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Matemáticaspara administración y economía
Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
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Unidad IV(Capítulos 11 y 13 del texto)
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TÓPICOS COMPLEMENTARIOSDE DIFERENCIACIÓN
4.1 Derivadas de funcioneslogarítmicas
4.2 Derivadas de funcionesexponenciales
4.3 Diferenciación implícita
4.4 Diferenciaciónlogarítmica
4.5 Derivadas de ordensuperior
4.6 Diferenciales
4.7 Aplicaciones a lasciencias económicoadministrativas
Derivadas de funciones logarítmicas
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Si f(x) = ln x, entonces f ´(x) = 1/x
Caso particular (Regla de la Cadena)
)(')(
1)('entonces)),(ln()(Si xf
xfxfxfxf ⋅==
Derivadas de funcionesexponenciales
4
xx exfexf == )('entonces,)(Si
Caso particular (Regla de la Cadena)
)(')('entonces,)(Si )()( xfexfexf xfxf ⋅==
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Halle dy/dx si:2
ln1
xy
x
= −
2xy e=
a)
b)
Ejemplos
Diferenciación implícita
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¡Interrogante!
¿Se puede “despejar” y en términos de x?
¿en cuál de los dos casos se puede obtener dy/dx? ¿acasoen los dos?
De la expresión: 2 2 4x y+ =
¿Y de la expresión: ?05223 =−+ xyxyx
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Diferenciación implícitaRecordemos la regla de la cadena, la derivada de
con respecto a x es:
Si a lo llamamos “y” tendríamos que laderivada de sería:
( )325 1x +
Nótese que cuando y depende implícitamente de x, laderivada respecto de x de y3 es 3y2y´
xx 10)15(3 22 ⋅+⋅
xx 10)15(3 22 ⋅+⋅
3 y2 y´
( )15 2 +x3y
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Procedimiento de diferenciación implícita
Para una ecuación que suponemos define implícitamente a y comouna función diferenciable de x, la derivada dy/dx puede encontrarsecomo sigue:
Derive ambos miembros de la ecuación con respecto a x.
Agrupe todos los términos que contenga dy/dx en un miembro de laecuación y agrupe los demás términos en el otro miembro.
Saque dy/dx como factor común en el miembro que contenga lostérminos dy/dx.
Despeje dy/dx.
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Si y es una función implícita de x, determine dy/dx:
)ln(.
.
13.
.2
2
yxd
exc
xyb
xya
y
==
==
Ejemplos:
Primeraderivada
Segundaderivada
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Derivadas de orden superior
¿Cómo se puede determinar a qué ritmo está cambiandola razón de cambio de una función en un instante dado?
Analice y responda
( ) ( )
( )2 2
22 2
( )
x
x
dy dy f x f x D y
dx dx
d y dy f x f x D y
dx dx
′ ′
′′ ′′
Notación: sea y = f (x), entonces
Primeraderivada
Segundaderivada
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Derivadas de orden superior
( ) ( )
( )2 2
22 2
( )
x
x
dy dy f x f x D y
dx dx
d y dy f x f x D y
dx dx
′ ′
′′ ′′
Sea y = f (x), entonces
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Ejemplos:
Para y = (x2 + 10x)20, halle y´ y y´´.
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DiferencialesAlgunas veces, el incremento de denominadiferencial de x y se denota mediante dx,entonces la fórmula de aproximación puedeescribirse:
dxxff )('≈∆
x∆
La diferencial de y se define como:
dxxfdy )('=