MANUAL DE MANUAL DE MATEMTIQUES MATEMTIQUES 22nn BATXILLERAT BATXILLERAT

Cristian Obiol-Pardo 2013Cristian Obiol-Pardo 2013(cristian.obiol@gmail.com)(cristian.obiol@gmail.com)

La identitat d'Euler:

e i= -1

ndexndexTema-1 Espais vectorials pg. 3 Tema-2 Sistemes d'equacions lineals pg. 7 Tema-3 Determinants, mtode de Cramer pg. 11Tema-4 Operacions amb matrius pg. 15Tema-5 Geometria en R2: Previ I pg. 19Tema-6 Geometria en R2: Previ II pg. 22Tema-7 Geometria en R2: Previ III pg. 24Tema-8 Geometria en R3: Punts, rectes i plans pg. 27Tema-9 Geometria en R3: Angles i distncies pg. 34Tema-10 Funcions I: Introducci pg. 40Tema-11 Funcions II: Lmits i continutat pg. 43Tema-12 Funcions III: Clcul de lmits pg. 46Tema-13 Funci derivada pg. 49Tema-14 Funcions IV: Aplicaci de la derivada pg. 53Tema-15 Funcions V: Teorema del valor mitj pg. 55Tema-16 Funcions VI: Grfic de funcions pg. 58Tema-17 Funci integral indefinida pg. 61Tema-18 Funci integral definida pg. 66

2

Tema-1 Espais vectorialsTema-1 Espais vectorialsIntroducciEn aquest primer captol formalitzarem millor el concepte d'espai vectorial, respecte cursos anteriors, aix com veurem millor les seves propietats. Tamb estudiarem la dependncia o independncia lineal de diversos vectors, el concepte de base i el concepte important de matriu.

Espai vectorialSuposarem que el cos K pot ser Q (racional), R (real) o b C (complexe).Un espai vectorial sobre K s una estructura matemtica que consta d'objectes i relacions entre objectes. Els objectes i relacions d'un espai vectorial sn:-Un conjunt E (no buit) composat per vectors, E = { e1, e2, ... en } .-Una operaci interna de suma (+).-Una operaci externa producte d'escalar (k) per vector, k en , tal que:

k e1 e2= k e1k e2 k 1k 2e = k 1ek 2e k 1k 2e=k 1 k 2e 1e = e

Tamb podem trobar altres relacions amb l'escalar zero, el vector zero i el vector oposat: 0e = 0 k 0 = 0 k - e = - k e = - k e Si k e =0 llavors k = 0 o b e =0

Subespai vectorialSi tenim un espai vectorial E i un altre H, tal que H E (H dins de E), llavors pot ser que H sigui un altre espai vectorial amb les mateixes operacions definides abans. Per a comprovar-ho no cal veure que es compleixen les propietats esmenades sin que noms cal aplicar el segent teorema:

Si H E s un altre espai vectorial sobre el cos K, es complir que per a qualsevol parella de vectors e1, e2 que siguin de E, i d'escalars k 1, k2 , llavors k 1 e1k 2 e2 H.s a dir, la combinaci lineal dels dos vectors de E est dins l'espai vectorial de H.

En aquest cas podrem dir que H s un subespai vectorial de l'espai vectorial E.

Exemple: En l'espai R3 dels vectors lliures, un cert pla en R2 es pot considerar un subespai vectorial.

Subespais generat per un conjunt de vectorsSigui e1, e2, ... en un conjunt de vectors i k 1 e1k 2 e2.. k n en una combinaci lineal, anomenem subespai generat pels vectors a totes les possibles combinacions lineals que es puguin establir.Aix ho expressem com L e1, e2, ... en que de fet s el menor subespai que es pot generar amb els vectors e1, e2, ... en .

Exemple: Si tenim dos vectors e1, e2 en R2 o R3, i representem totes les seves combinacions lineals L e1, e2 , obtindrem un pla.

3

Sistema generador d'un espai vectorialConsiderem un conjunt de vectors S { e1, e2, ... en} dins d'un espai vectorial E, direm que S s un sistema generador si qualsevol vector de E s combinaci lineal dels vectors de S. Matemticament expressat com S = L e1, e2, ... en .Quan el sistema generador S consta d'un nombre finit de vectors, l'espai vectorial t dimensi finita, ara b tamb es pot donar el cas d'un sistema generador de dimensi infinita. Recordem que el nmero de vectors d'un sistema generador ens dna la dimensi d'aquest.

Per exemple, tres vectors qualsevol en R3 que no siguin tots tres d'un mateix pla sn un sistema generador:

Dependncia, independncia linealDonat un conjunt de vectors e1, e2, ... en direm que sn linealment dependents, si entre ells hi ha algun vector que es pot expressar com a combinaci lineal dels altres (de tots o d'una part d'ells). Direm que en aquest cas el conjunt S { e1, e2, ... en } est lligat.En cas contrari direm que el conjunt S { e1, e2, ... en } s lliure i que els seus vectors sn linealment independents.Donat un conjunt de vectors podem comprovar a m si sn linealment independents o no, per aix pot ser un procs molt llarg, llavors aplicarem la segent propietat:Els vectors e1, e2, ... en sn linealment independents si la igualtat segent noms es compleix en el cas k 1 = k 2 = ... = kn = 0 : k 1 e1k 2 e2.. k n en =0Contrriament, si podem fer que la combinaci lineal doni zero amb no tots els escalars igual a zero, els vectors seran linealment dependents.

Propietats que conserven el carcter generador i la dependncia dels vectorsSigui de nou S { e1, e2, ... en } , es diu que hem fet una transformaci elemental en el conjunt si:-Hem canviat l'ordre d'alguns vectors S ' { e2, e1, ... en } .-Hem multiplicat algun vector per un escalar que no sigui zero S ' { 3 e1, e2, ... en} .-Hem sumat a un vector una combinaci lineal d'altres vectors S ' { e1, e2, e3 ' = e32 e2,... en } .Llavors les relacions entre els dos conjunts de vectors S i S' sn:-Si S est lligat, S' tamb.-Si S s lliure, S' tamb.-S i S' generen el mateix subespai vectorial, s a dir, L S = LS ' i S, S' sn per tant iguals.

Per altra banda, si partim d'un conjunt S lligat sempre el podrem transformar en un S' que sigui lliure mitjanant les transformacions elementals que hem descrit, encara que potser ens quedarem amb menys elements (vectors) del que tenem en principi.

Bases i dimensi d'un espai vectorialUna base d'un espai vectorial s un conjunt de vectors que s: 1) Ordenat, 2) Generador, 3) Lliure. Estar format per vectors linealment independents que generen tot l'espai.Quan tenim tal conjunt, qualsevol vector es pot expressar com a combinaci lineal de la base d'una nica manera, i els coeficients de la combinaci lineal s'anomenen components del vector en aquella base.

4

Aix, grficament:

El vector v es pot expressar com a combinaci lineal de la baseB {i ,j ,k } tal que v = v xi v yjv zk on v x , v y , vz sn les

seves components (fixem-nos que coincideixen amb la projecci del vector v sobre cadascun dels vectors de la base).

Relacions en espais de dimensi finitaSigui E un espai vectorial de dimensi finita n, llavors es complex que:

-Qualsevol conjunt de ms de n vectors est lligat.-No hi ha cap sistema generador de E amb menys vectors que n.-Qualsevol n vectors que siguin linealment independents seran un base de E.-Si H s un subespai de E, llavors la dimensi d'H ha de ser ms petita que E. En cas que fos igual, llavors H=E, els espais vectorials serien idntics.

Espais Rn i la base cannicaEn espais sobre els reals de dimensi n, es pot definir l'anomenada base cannica com aquella ms senzilla que s de fet e1 = 1, 0, ... , 0 , e2 = 0,1,... ,0 ... en = 0,0,... ,1 que escriurem com

B { e1, e2, ... , en } .

Matrius, rang d'una matriuSi considerem un conjunt de vectors S { e1, e2, ... en } i les seves combinacions lineals, s a dir

L S , anomenarem rang de S a la dimensi del subespai generat per les combinacions lineals:

rang(S) = dim L(S)

s important fer notar que les transformacions elementals en S no fan canviar el seu rang.En aquest context anomenarem matriu A de n files i m columnes a una representaci de nombres de la manera segent:

A=a11 a12 ... a1ma21 a22 ... a2m... ... ... ...an1 an2 ... anm on A=a ij ; i [1, n], j [1, m].En la matriu, com en qualsevol taula, distingirem les files i les columnes, i els seus elements.Finalment, anomenarem matriu escalonada per columnes o b per files a un tipus de matriu que tingui la segent forma:

A=1 0 0 02 5 0 03 6 8 04 7 9 10 A=1 2 3 40 5 6 70 0 8 90 0 0 10

Escalonada per columnes superiorment Escalonada per files inferiorment

5

El nombre de columnes/files no nulles d'una matriu escalonada A s el seu rang.

Doncs b, si els elements de la matriu sn els components d'un conjunt de vectors, collocats en columnes o en files, el rang de la matriu coincideix exactament amb el rang del conjunt de vectors, i per tant s la dimensi d'aquest espai o subespai vectorial.

Per trobar, per tant, el rang d'un conjunt dels vectors els collocarem en forma de matriu i intentarem expressar-la com a matriu escalonada. Aix s possible aplicant transformacions elementals a algunes de les seves files o columnes (que sn els vectors en si).

Un mtode que s'utilitza per transformar una matriu en escalonada, s l'anomenat mtode del pivot. Veurem com s'aplica en el segent exemple.

Exemple: Escalonarem per columnes la matriu A i trobarem el seu rang. Si considerem que la matriu s la representaci d'un conjunt de tres vectors, veurem si sn linealment independents o no.

A= 0 0 11 1 4-1 -1 02 3 3 Caldr fer un seguit de transformacions elementals. El primer pas pot ser bescanviar la primera i l'ultima columna: A=1 0 04 1 10 - 1 -13 3 2 i ja tenim la primera i segona columna escalonada, el nmero en negreta (1) s l'anomenat pivot. Passem a considerar el segon pivot

A=1 0 04 1 10 -1 -13 3 2 si ara en la tercera columna li restem la segona farem zero el nmero 1 desprs del segon pivot, a la seva dreta A=1 0 04 1 00 -1 03 2 -1 ja tindrem la matriu escalonada per columnes, que en aquest cas ser de rang=3. Com no hem trobat cap columna completa de zeros, aix equival a dir que els vectors que formen la matriu sn linealment independents (formen un sistema lliure, una base de dimensi 3). Si hagussim troba