lp2 módulo f segunda parte 2013

diseo industrial.faud.unmdp

lenguaje proyectual 2

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GIGLIO, Mara Paula (2013); MORFOLOGA: FORMA Y ESPACIO. Mar del Plata, FAUD / UNMDP.

LO EIDTICO: LA FORMA PROPIAMENTE DICHA

Ya hemos hablado de las entidades geomtricas y visuales. Tambin exploramos las posibilidades de las entidades desde la idea de fracciones propuestas por Nicols Jimnez. Ahora desarrollaremos la idea de la forma (propiamente dicha) de las entidades.

Para abordar estos temas, necesitamos definir directrices y generatrices:

- la directrz es aquella regla que da una condicin para la generacin de las formas: un punto, una lnea, una superficie o un volumen; la indicacin del movimiento de rotacin (de revolucin), de traslacin; entre otras.

- la generatriz, es aquella que con su movimiento y

segn las condiciones de una o varias directrices, da forma a una figura (lnea, superficie, volumen).

1. EL PUNTO

El punto, como entidad geomtrica, es una posicin en el espacio (segn dos ejes en el plano y segn tres ejes en la tridimensin).

En tanto entidad visual, el punto se presenta con una forma. Para que se lea como tal, debe cumplir con algunas condiciones. No debe predominar ninguna dimensin por sobre otra, sea en dos (bidimensin) o tres dimensiones (tridimensin). Adems, desde lo extensional, algo se lee como punto en funcin de las relaciones proporcionales con el espacio substrato y/o con otras entidades que se encuentren en el mismo entorno. Pero, adems, su conformacin debe ser simple, al menos en su lectura general, ms all de que su construccin pueda ser compleja.

Fig. 1: Igual dimensin de las figuras rojas, diferente espacio substrato. Por la

relacin extensional, en el primer caso son figuras superficiales y en el segundo, son puntuales.

Fig. 2: Diferentes dimensiones de figuras rojas, igual espacio substrato. Por la

relacin extensional, en el primer caso son figuras superficiales y en el segundo, son puntuales.

Fig. 3: Igual dimensin de las figuras rojas, en igual espacio substrato, pero con diferente espesor de la lnea negra. En el primer caso, se generan dudas sobre la definicin de punto por la relacin extensional con el espesor de la lnea, en

tanto en el segundo caso, no genera dudas que son puntos.



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2. LA LNEA

La lnea como entidad geomtrica tiene una dimensin. Por lo general, a la lnea se la define como la descripcin que hace un punto en movimiento (fig. 4). El caso ms general de lnea es la que el trayecto del punto es libre, en tanto el caso ms particular es donde el trayecto no cambia de direccin. Este ltimo caso es la lnea recta.

Fig. 4: el punto en movimiento describe una lnea

2.1. FORMA DE LA LNEA

La forma de la lnea puede ser regular o irregular; abierta o cerrada (Tabla 1); recta o curva; y desplazarse en una o ms direcciones.

Tabla 1

LNEAS REGULARES LNEAS

IRREGULARES

LNEAS ABIERTAS

LNEAS CERRADAS

En el caso de la lnea dibujada, su traza puede realizarse con precisin o a mano alzada. Adems, en su recorrido, puede tener bordes regulares o irregulares, y sus extremos tambin pueden variar.

Entre las formas de lneas regulares podemos encontrar lneas rectas y lneas curvas.

2.1.1. LNEA RECTA

La lnea recta (tabla 2) es la que se da en una sola dimensin y es la que describe un punto al moverse sin cambiar de direccin y se genera por traslacin. Segn sea sus lmites, podemos encontrar rectas propiamente dicha, infinitas (sin principio ni fin) y contine infinito puntos. Cuando se ubica un punto en una recta, se divide en dos semi-rectas (lnea recta que tiene un punto de inicio pero sin fin). Cuando

se ubican dos puntos en una recta, la distancia menor entre ambos puntos, se define como segmento (lnea recta que tiene un principio y tiene un fin).

Tabla 2

RECTA propiamente

dicha

SEMIRRECTA

SEGMENTO

2.1.2. LNEA CURVA

La lnea curva (tabla 3) es la que surge de la descripcin de un punto en movimiento que cambia constantemente de direccin, y dicho movimiento puede ser de rotacin, de rotacin traslatoria, de progresin y sus combinaciones. Mientras el desplazamiento se desarrolla coplanarmente es un tipo de curva plana, si se desarrolla en la tridimensin, es un tipo de curva alabeada.

Tabla 3

LN

EA

CU

RV

A P

LA

NA

ELIPSE

Cerrada Abierta

CIRCUNFERENCIA

Cerrada Abierta

PARBOLA

HIPRBOLA

ESPIRAL



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CATENARIA

CCLOIDE

LN

EA

CU

RV

A A

LA

BE

AD

A

HLICE DE CILINDRO

HLICE DE CONO

HLICE DE ESFERA

2.1.2.1. CURVAS PLANAS

Veamos algunas curvas planas. Algunas son lneas curvas cerradas y otras son abiertas por su generacin:

ELIPSE: Es la curva plana y cerrada que se genera por la

rotacin de un punto a una distancia constante que es igual a la suma de las dos distancias variables a dos puntos llamados focos. Tiene dos ejes de simetra. La circunferencia es un caso particular de elipse donde es simtrica en todos los ejes. Cuando la curva de la elipse est abierta, se denomina cuerda.

Fig. 5

CIRCUNFERENCIA: Es una curva plana y cerrada que se

genera por la rotacin de un punto ubicado a cierta distancia (radio) de un punto centro de la rotacin. Todos los puntos equidistan del centro. Cuando la curva de la circunferencia est abierta, se denomina cuerda.

Fig. 6

PARBOLA: La definicin que nos interesa aqu es la que

nos permite relacionar con formas conocidas como el cono. Desde esta idea, la parbola es la curva plana y abierta que se da en una superficie cnica y que surge de seccionar un cono recto con un plano paralelo a una generatriz de dicho cono.



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Fig. 7

Fig. 8

Fig. 9 Fig. 10

HIPRBOLA: La definicin que nos interesa aqu es la que

nos permite relacionar con formas conocidas como el cono.

Desde esta idea, la hiprbola es la curva plana y abierta que se da en una superficie cnica y que surge de seccionar un cono recto con un plano que tenga un ngulo igual al del eje de simetra, o menor a la de la generatriz con respecto al mismo eje.

Fig. 11

Fig. 12

ESPIRAL: Es una curva plana y abierta que se surge por el

movimiento de un punto que se va rotando y alejndose progresivamente del centro. Hay espirales de crecimiento aritmtico, geomtrico y ureo.

ESPIRALES DE CRECIMIENTO ARITMTICO

Espiral con dos centros

Fig. 13

Espiral con tres centros



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Fig. 14

Espiral con cuatro centros

Fig. 15

ESPIRAL DE CRECIMIENTO GEOMTRICO

Fig. 16

ESPIRAL DE CRECIMIENTO URICO

Fig. 17

Fig. 18

Fig. 19

CATENARIA: si bien este tipo de lnea tiene que ver con la

relacin de peso y gravedad, resulta interesante conocerla para poder operar con ella. La catenaria es la curva plana y



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abierta que describe una cadena colgada o un cable suspendido por sus extremos desde dos puntos por la accin de la gravedad y las tensiones que se generan. Cualquier lnea combinada con un material y por la accin de la gravedad, colgada desde sus extremos, describe una curva que es la que se denomina catenaria. Es tambin la curva que se genera en la tensin superficial de una pompa de jabn: dadas dos circunferencias paralelas y una pompa de jabn generada entre ambas, la seccin perpendicular a ambas circunferencias paralelas pasando por el centro de las mismas da como resultado la catenaria.

Fig. 20 Fig. 21

Fig. 22 Still (2001): Kempinas coloc cintas magnticas de VHS de un lado a otro de la sala con el fin de crear una ilusin de profundidad

y monumentalidad. A travs de la repeticin de formas mnimas, el artista transforma la ligereza de los materiales que emplea: la estructura de cintas paralelas unas a otras hace que parezcan slidas y pasadas a medida que se curvan hacia el suelo. El

contraste de la cinta negra con las paredes blancas tambin sugiere adems un notable esfuerzo por balancear visualmente el espacio y

la forma en esta instalacin. http://artesigloxxi.wordpress.com/category/minimal/

Fig. 23 http://pagciencia.quimica.unlp.edu.ar/experfis.htm

CICLOIDE: curva plana que puede ser abierta o cerrada, es la traza generada por un punto perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre una lnea recta directriz. Se dice que son lneas generadas por rodadura plana (recta directriz) o circular (circunferencia directriz). El punto puede estar ubicado en el borde de la circunferencia generatriz enlazada por el radio (cicloide natural), en el interior (cicloide reducida) o en la prolongacin (cicloide prolongada) del radio de una circunferencia generatriz. Recomendamos ver video del programa Alterados por Pi de canal Encuentro, conducido por Adrin Paenza y con el investigador invitado Dr. Leonard Echage: http://www.youtube.com/watch?v=m8Qli77-K9o&feature=endscreen&NR=1.

Fig. 24: Trocoide: cicloide natural por rodadura plana (recta directriz).

Fig. 25: Hipocicloide. cicloide por rodadura circular (circunferencia directriz)



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2.1.2.2. CURVAS EN EL ESPACIO

Tomaremos el caso de las hlices. Algunos las llaman espirales en el espacio. Ms all de definiciones precisas que podemos hallar en diferentes bibliografas al respecto, las hlices son curvas alabeadas, ya que sus puntos no son coplanares, y abiertas. Se genera por el movimiento de un punto por traslacin rotatoria con velocidad uniforme sobre la superficie de un cilindro, de un cono, de una esfera, por ejemplo.

HLICE DE CILINDRO: es la hlice que se desarrolla en la

superficie del cilindro y que se genera por el movimiento articulado de un punto por rotacin por rotacin enlazado por una recta perpendicular al eje de rotacin del cual mantiene igual distancia, y traslacin siempre paralela a dicho eje. Corta a las generatrices del cilindro en un ngulo constante.

Se puede definir como la lnea que se genera por la distancia menor que hay entre dos puntos ubicados a distinta altura de una superficie cilndrica. Es por eso que se denomina la geodsica del cilindro. La hlice se puede dibujar como recta en el desarrollo del cilindro.

Fig.26 Fig. 27

HLICE DE CONO: es la hlice que se desarrolla en la

superficie del cono y que se genera por el movimiento articulado de un punto por rotacin enlazado por una recta perpendicular al eje de rotacin longitudinal del cual va disminuyendo o aumentando progresivamente la distancia, por traslacin paralela a la del eje longitudinal. Corta a las generatrices del cono con un ngulo constante.

Fig. 28

Fig. 29

HLICE DE ESFERA: es la hlice que se desarrolla en la

superficie de la esfera y que se genera por el movimiento articulado de un punto por rotacin enlazado por una recta perpendicular al eje de rotacin del cual va disminuyendo o aumentando progresivamente la distancia,

Fig. 30

Fig. 31



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2.2. ARTICULACIN DE LNEAS

Las lneas se pueden articular entre rectas, entre curvas o mixtas, en el plano o en el espacio

2.2.1. ARTICULACIN ENTRE RECTAS

En la articulacin de lneas rectas, podemos encontrar de dos tipos (tabla 4).

LNEA POLIGONAL PLANA: Cuando lneas rectas se articulan en puntos coplanares (en un mismo plano), podemos hablar de una lnea poligonal plana, tambin denominada lnea quebrada.

Los polgonos regulares son figuras lineales cerradas donde las rectas que las componen son iguales entre s y se articulan segn ngulos tambin iguales. Tambin encontramos polgonos semirregulares e irregulares.

LNEA POLIGONAL ESPACIAL: Es la articulacin de puntos que no se encuentran en el mismo plano, se da en las tres dimensiones. Es un tipo de lnea tridimensional.

Tabla 4

LN

EA

RE

CT

A

LNEA POLIGONAL PLANA (dos dimensiones)

LNEA POLIGONAL

ESPACIAL (tres dimensiones)

2.2.2. ARTICULACIN ENTRE CURVAS (tabla 5)

LNEA CURVA PLANA DE ARTICULACIN: Cuando se

articulan lneas curvas planas en un mismo plano y sin quiebres, las denominaremos. En los puntos de articulacin entre curvas planas, si el ltimo punto de una curva y el primero de la siguiente comparten la tangente podemos denominarla continua. Si no tienen la misma tangente son discontinua.

LNEA CURVA ALABEADA: Cuando la lnea curva se

construye con la operacin de rotacin traslatoria de un punto continua se denomina. Podemos encontrar lneas como las hlices de cilindros, de conos y de esferas, por ejemplo.

Tabla 5

LNEAS CURVAS

PLANAS DE ARTICULACIN

(dos dimensiones)

Continua

Discontinua

LNEAS CURVAS PLANAS

ENLAZADAS EN EL

ESPACIO (tres

dimensiones) Continuas o discontinuas

Continua

LNEAS CURVAS

ALABEADAS ARTICULADAS

(tres dimensiones) Continuas o discontinuas

Continua

MIXTAS Planas +

espaciales Continuas o discontinuas

Discontinua



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2.2.3. ARTICULACIN ENTRE LNEAS MIXTAS

La articulacin entre lneas mixtas se da entre lneas rectas y curvas (fig. 32 y 33), con todas sus variantes posibles.

Fig. 32: Articulacin entre recta y dos curvas planas (arcos de circunferencias) discontinuas o quebradas

Fig. 33: Articulacin entre una curva plana (arco de circunferencia), una curva alabeada (hlice de cono) y una recta, discontinuas o

quebradas.

Tambin se puede definir que dos lneas tienen una articulacin continua si ambas lneas comparten la tangente en el punto de articulacin (Fig. 34). Cuando en el mismo punto hay dos tangentes en la misma lnea articuladas, decimos que es una lnea articulada discontinua o quebrada (Fig. 32, 33 y 35).

Fig. 34: Guzzini PizzaKobra Curvas planas (arcos de circunferencias) que se articulan de forma

continua en el plano armando una espiral, o se articulan en el espacio.

Fig. 35: Dos curvas planas articuladas discontinuas o quebradas.

2.2.1. ENLACE ENTRE LNEAS

As como la articulacin la planteamos en situaciones de toque entre lneas, el enlace lo planteamos en situaciones de distancia que demanda la generacin de un elemento que conecte ambas formas.



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La distancia entre las lneas debe generar una tensin tal que la dimensin del elemento de conexin sea proporcionalmente pequea con respecto a los elementos que se enlazan (Fig. 36).

Fig. 36: Diferentes tensiones en la relacin entre ambas lneas.

El elemento de enlace es una lnea que puede ser recta o curva, y pueden plantearse en continuidad o en discontinuidad o quebrada, tanto en uno de los contactos con una de las lneas, en el otro de los contactos de la otra lnea o en el contacto en ambas lneas (Fig. 37).

Fig. 37: Ante los mismos elementos dispuestos a cierta distancia se observan diferentes enlaces realizados con lneas: recta y curva,

dando continuidad o discontinuidad o quiebre.

Veamos algunos ejemplos (Fig. 38 a 42):

Fig. 38 y 39: Hlice cilndrica de varios giros y recta enlazadas, de forma continua por una curva.

Fig.40 : Sector entre lneas de arco de circunferencia, hlice cnica de 1 giro y recta. Abajo, enlace continuo, arriba discontinuo o

quebrado.



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Fig. 41: Ora Ito Lmpara One Line Tavolo Enlace entre rectas a travs de una curva de conexin que da

continuidad a la forma.

Fig. 42: Lmpara flo | Foster + Partners Enlace entre rectas a travs de una curva de conexin que da

continuidad a la forma.

2.2.2. EJEMPLOS

Veamos ahora, algunos ejemplos de diseo donde podemos observar articulacin de lneas rectas, de lneas curvas y mixtos (fig. 43 a 46):

Fig. 43: Nick Knack de Philips Se acenta el quiebre en la articulacin.

Fig. 44: Bouncing Vase, 2000 Ron Arad



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Fig. 45: Koncept lmpara de escritorio Bell Xpress Se acenta el quiebre en la articulacin.

Fig. 46: Ron Arad Screw Stool

2.3. POSICIONES RELATIVAS ENTRE LNEAS

Dos rectas pueden tener posiciones relativas entre s diferentes y las podemos definir desde esta relacin de la siguiente forma:

- RECTAS PARALELAS, son rectas coplanares que nunca

se cortan y todos los puntos de cada recta equidistan entre s (fig. 47).

- RECTAS QUE SE CORTAN O RECTAS SECANTES, son rectas coplanares que se cortan en un punto (fig. 48)

- RECTAS COINCIDENTES todos sus puntos son comunes (fig. 49)

- RECTAS QUE SE CRUZAN, son rectas que no son coplanares y que no tienen ningn punto en comn. (fig. 50)

Fig. 47: Rectas paralelas. Coplanariedad.

Fig. 48: Rectas secantes (se cortan en un punto)

Fig. 49: Rectas coincidentes

Fig. 50: Rectas que se cruzan

Dos rectas paralelas, tienen todos sus puntos equidistantes, son coplanares (pertenecen al mismo plano) (fig. 47). Por ambas rectas pasan mltiples planos paralelos (ambas rectas como bisagra) (fig. 51).

Fig. 51: Un par de rectas paralelas contenidas en planos paralelos.



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Tambin podemos hablar de la posicin relativa entre curvas planas. Por ejemplo, tendremos:

- CURVAS PLANAS PARALELAS, todos sus puntos equidistan. Cada curva est contenida en planos paralelos entre s (fig. 52)

- CURVAS PLANAS QUE SE CORTAN (fig. 53)

- CURVAS PLANAS COINCIDENTES (fig. 54)

- CURVAS PLANAS QUE SE CRUZAN, no tienen ningn punto en comn ya que no se cortan (fig. 55)

Fig. 52: Dos curvas paralelas en el espacio

Fig. 53: Dos curvas que se cortan en el espacio

Fig. 54: Dos curvas coincidentes en el espacio

Fig. 55: Dos curvas que se cruzan en el espacio

Las curvas pueden ser planas o alabeadas y cumplir con la condicin de paralelismo, que se corten, que coincidan o que se cruces.

En el caso de las curvas paralelas, podemos tenerlas dispuestas en diferentes superficies: cilndricas, cnicas, esfricas, esferoides, paraboloides hiperblicos, hiperboloides de una hoja y de dos hojas, paraboloides elpticos, toros de revolucin, etc. (fig. 56 a 62)

Fig. 56: En caso de la fig. 52, donde se dan dos curvas paralelas en el espacio. Aqu marcamos la superficie cilndrica que las contiene.

Fig. 57: Observamos curvas paralelas dispuestas en superficie cilndrica, cnica y esfrica.

Fig. 58: Dos hlices paralelas en una misma superficie cilndrica.



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Fig. 59: Curvas paralelas (horizontales) en una superficie de

hiperboloide de una hoja y en uno de dos hojas.

Fig. 60: Curvas paralelas (horizontales) en una superficie de

paraboloide elptico.

Fig. 61: Curvas paralelas (en dos sentidos) en una superficie de paraboloide hiperblico.

Fig. 62: Curvas paralelas (horizontales) en una superficie de toro de revolucin.

3. LA SUPERFICIE

El plano, como entidad geomtrica tiene dos dimensiones. Es un espacio bidimensional. Y se define desde su longitud y anchura.

La superficie, tambin se define en esos trminos ya que, cualquiera sea la forma de la superficie, tomando un punto, mnima parte de esa superficie donde toca un plano tangente, su definicin es bidimensional. Se habla tambin de espacio topolgico bidimensional.

La lnea en movimiento genera una superficie (fig. 63). El plano es un caso particular de superficies, desde esta idea, se lo define como la descripcin que hace una recta por movimiento de traslacin (igual direccin) (fig. 64).

Fig. 63: Superficies generadas por el movimiento de una lnea.

Fig. 64: Planos generados por el movimiento de traslacin de una recta.

Si a un plano lo curvamos, lo deformamos o lo plegamos obtendremos que, manteniendo su condicin de espacio bidimensional, comienza a ocupar el espacio tridimensional generando concavidades y convexidades (fig. 65).



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Fig. 65: Plano curvado, deformado y plegado.

3.1. FORMA DE LA SUPERFICIE

La forma de la superficie puede ser regular o irregular; abierta o cerrada (tabla 6); entre otras caractersticas.

Tabla 6

SUPERFICIES REGULARES

SUPERFICIES IRREGULARES

SUPERFICIES ABIERTAS

SUPERFICIES CERRADAS

Tabla 7

CLASE FAMILIA Grupo y Sub-grupo

SUPERFICIE

RE

GL

AD

AS

DE

SA

RR

OL

LA

BL

ES

POLIEDROS REGULARES

TETRAEDRO

CUBO

OCTAEDRO

DODECAEDRO

ICOSAEDRO POLIEDROS IRREGULARES

POLIEDROS Cir. Poligonal

PRMIDE (tambin se la puede encontrar como sup. radiada con vrtice

propio cnica-)

PRISMA (tambin se la puede encontrar como sup. radiada con vrtice

impropio cilndrica- )

RADIADAS

CONO CUADRTICO

CILINDRO CUADRTICO

SUPERFICIE CNICA

SUPERFICIE CILNDRICA

2 Dir. curvas Cono director

Convoluta De igual pendiente

Tangenciales

Helicoide desarrollable

Polares

Rectificantes

AL

AB

EA

DA

S

3 Directrices rectas

Hiperboloide Hiperblico

Paraboloide Hiperblico

2 Directrices rectas 1 Directriz cnica

Conoides

2 Directrices cnicas 1 Directriz recta

Paso Oblcuo

Cilindroides

Directriz Helicoidal y Cono o Plano Director

Helicoides Alabeadas

CU

RV

AS

Cudricas Elpticas

Esferas Elipsoides Paraboloide Elptico

Hiperboloide Elptico

De Revolucin Toro

Escocia

Helicoidales curvas

Helicoides curvos

Serpentines

GRFICAS Superficies

TOPOGRFICAS



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Al hablar de la forma de generar las superficies, estamos refirindonos a la morfognesis.

Hablaremos de generatrices y de directrices: Las generatrices son las lneas, rectas o curvas que por su movimiento, generar la superficie. En tanto, las directrices, que pueden ser rectas, curvas, cnicas, planos, etc., son los elementos que dan las rdenes que deben cumplir las generatrices.

En funcin del movimiento de las generatrices, las superficies se pueden generar por el movimiento de traslacin de una recta o de una curva (fig. 63-64-66-67-68).

dg

Fig. 66: Superficie por traslacin de una recta: Plano

g

d

Fig. 67: Superficie por traslacin de una recta: Superficie cilndrica

Fig. 68: Superficie generada por traslacin de una curva generatriz,

segn una curva directriz.

A su vez, puede generarse por el movimiento de rotacin de una recta o de una curva (fig. 68). Tambin se pueden encontrar denominadas como de revolucin (fig. 69).

g

d

Fig. 69: Superficie por rotacin de recta: Cilindro.

Pero, adems, se pueden combinar ambos movimientos, de traslacin y de rotacin. Es decir, por rotacin traslatoria, o por traslacin rotatoria, generar

helicoidales (fig. 70).

d1

d2

g

Fig. 70: Superficie generada por rotacin y traslacin: Helicoide.

Se pueden encontrar tambin superficies generadas por el doble movimiento de rotacin (fig. 71).

d1

d2

Fig. 71: Estructura para generar una superficie de doble rotacin.

g

d



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Este doble movimiento de rotacin puede darse por la rotacin de una recta sobre un eje perpendicular a su centro (generando un crculo) y a su vez rota sobre un eje externo contenido en el plano que contiene a dicho crculo (fig. 72).

d1

d2

g

Fig. 72: Superficie de doble rotacin.

Existen superficies que se pueden generar de diferentes formas. Por ejemplo, un Paraboloide Hiperblico se puede generar por la traslacin de una parbola generatriz sobre otras dos parbolas directrices de diferente signo a la anterior y paralelas entre s, contenidas en planos paralelos perpendiculares a la que contiene a la generatriz (fig. 73).

d2

d3

d1

g

Fig. 73: Paraboloide Hiperblico generado por

parbolas

d1d2

d3

g

Fig. 74: Paraboloide Hiperblico generado por

rectas.

Pero adems se puede generar por la traslacin de una recta generatriz, donde dicha traslacin es siempre paralela a un plano director, y que se apoya en dos rectas directrices

que no son coplanares entre s pero que estn contenidas en planos paralelos (fig. 74).

Desde la idea de morfognesis, se clasifican a las superficies como planas, regladas, curvas, o grficas tal como lo hemos podido observar en la tabla 7. A continuacin detallaremos cada clase, familia y tipo de superficies.

3.1.1. SUPERFICIES PLANAS

Las superficies planas, comnmente llamadas planos, son las que quedan definidas por una recta generatriz en movimiento traslatorio sobre una recta directriz (fig. 66).

El plano es una superficie ilimitada, pero se puede delimitar. A la delimitacin realizada por rectas poligonales cerradas se las denomina polgonos. Entonces, los polgonos son figuras geomtricas que quedan delimitadas por lneas poligonales cerradas que no se cortan a s mismas. Pueden ser regulares o irregulares.

Los polgonos regulares (fig. 75), son los que tienen todos sus lados de igual longitud. La descripcin de la poligonal queda inscripta en una circunferencia Cada polgono se define segn la cantidad de lados todos con el agregado de regular (tringulo equilteros, cuadrado, pentgono, hexgono, heptgono, octgono, nongono, etc.).

3 lados regulares:

Tringulo equiltero

4 lados regulares: Cuadrado

5 lados regulares: Pentgono regular

6 lados regulares: Hexgono regular

Fig. 75: Polgonos regulares.

El crculo, si bien se genera por la rotacin de una recta a partir del centro, se puede pensar como una figura geomtrica generada por una poligonal de infinitos lados.

Los polgonos irregulares (fig. 76) se generan por lneas poligonales cerradas con diferentes longitudes en sus lados y que no se inscriben en una circunferencia. Cada polgono irregular se define segn la cantidad de lados.

3 lados irregulares:

Tringulo 4 lados irregulares:

Cuadriltero 5 lados irregulares:

Pentgono 6 lados irregulares:

Hexgono

Fig. 76: Polgonos irregulares.



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3.1.2. SUPERFICIES REGLADAS

Las superficies regladas son aquellas que se generan por el movimiento de una recta generatriz, segn indicaciones dadas por directrices que pueden ser rectas, curvas, ejes de rotacin, planos directores, por ejemplo.

Entre estas clases de superficies se distinguen dos familias: las desarrollables y las alabeadas.

3.1.2.1. DESARROLLABLES

A. POLIEDROS A.1. POLIEDROS REGULARES E IRREGULARES

La generacin del poliedro la podemos comparar con la lnea poligonal cerrada (donde no se cruzan las lneas) que surge de la articulacin de varias rectas. En este caso, el poliedro es un cuerpo que surge de la articulacin de polgonos (la figura generada por el lmite de una poligonal cerrada sin cruce). Por ende, las caras de los poliedros son planas.

Se denominan en funcin de la cantidad y regularidad entre sus caras. Es por eso que encontramos poliedros regulares o irregulares que, segn sus caras quedan definidos del siguiente modo (fig. 77 y 78):

Tetraedro 4 caras

Tringulos equilteros

Exaedro / Cubo

6 caras Cuadrados

Octaedro 8 caras


Dodecaedro 12 caras

Pentgonos regulares

Icosaedro 20 caras


Fig. 77: Poliedros regulares

Tetraedro 4 caras

Tringulos irregulares

Pentaedro 5 caras

Polgonos irregulares

Hexaedro 6 caras


Heptaedro 7 caras


Octaedro 8 caras


Fig. 78: Poliedros irrregulares

Los elementos de los poliedros son cara, arista y vrtice (fig. 79).

Fig. 79: Elementos de un poliedro.

A.2. PRISMAS Y PIRMIDES

Los prismas son cuerpos que se generan a partir de dos polgonos iguales paralelos centrados segn un eje (ortogonal/recto u oblicuo), regulares o irregulares, donde las caras laterales (paralelogramos) unen a ambos polgonos a partir de los lados correspondientes (fig. 80-81).

Las pirmides son cuerpos que se generan a partir de un polgono (base), un punto denominado pice y caras triangulares que unen al polgono con el pice (fig. 82).

Ambos cuerpos se denominan en funcin de la regularidad y de la cantidad de lados del polgono de base y del eje ordenador segn sea recto u oblicuo.

Fig. 80: Prismas

Prisma recto Prisma oblicuo Prisma regular

recto Prisma regular

oblcuo

Fig. 81: Prismas rectos y oblicuos

Pirmide recta Pirmide oblicua Pirmide regular

recta Pirmide regular

oblcua

Fig. 82: Pirmides rectas y oblicuas.



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Hasta aqu las superficies son generadas por la articulacin de polgonos que son figuras planas. Las siguientes son superficies continuas que se generan por el movimiento de una recta generatriz de forma continua, sin quiebres, y que tambin pueden ser desarrollables. Es decir, que dos lneas consecutivas o son paralelas o se cortan, y

se pueden construir a partir de un papel.

B. CILINDRO, CONO, SUPERFICIE CILNDRICA Y CNICA

Las superficies cilndricas y cnicas, y los cilindros y conos, son todas superficies de curvatura simple por lo que son superficies desarrollables.

Fig. 83: Generacin de superficies cilndricas.

Fig. 84: Generacin del cono.

Tomando las definiciones de Alberto M. Prez G.,

docente de la Universidad de los Andes de Venezuela encontramos que lo siguiente:

superficie cilndrica: superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) que se mantiene en contacto con una directriz (d) curva, siendo adems paralelas todas las posiciones de la generatriz; se clasifican en:

o superficie cilndrica de revolucin: superficie cilndrica en la cual todas las posiciones de la generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a ella, (Fig. 85)

o superficie cilndrica de no revolucin: superficie cilndrica en la cual no es posible definir un eje (e) que equidiste de todas las posiciones de la generatriz (g), (Fig. 86)

superficie cnica: superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), mantenindose en contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas las posiciones de la generatriz (g), un punto comn (V), denominado vrtice; se clasifican en:

o superficie cnica de revolucin: superficie cnica en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ngulo con un eje (e), que pasa por el vrtice (V), (Fig. 87)

o superficie cnica de no revolucin: superficie cnica en la cual no es posible definir un eje (e), que forme el mismo ngulo con todas las posiciones de la generatriz. (Fig. 88)

d

gGeneratrizrecta

Directriz

Eje de revolucin(o rotacin)

e

gGeneratriz recta

dDirectrizcurva

Directriz ( )Plano de paralelismo

Fig. 85: Cilindro. Superficie cilndrica de revolucin.

Fig. 86: Superficie cilndrica de n revolucin.

gGeneratrizrecta

d

Directriz

Eje de revolucin(o de rotacin)

e

V

gGeneratrizrecta

dDirectrizcurva

V

Fig. 87: Cono.

Superficie cnica de revolucin. Fig. 88: Superficie cnica de

n revolucin

Ser superficies desarrollables significa que se pueden

construir a partir de un papel. La forma del desarrollo de un cilindro es rectangular,

pero sus dimensiones depender del permetro de la base y el alto de la generatriz (Fig. 89).

Fig. 89: Dos desarrollos de dos cilindros diferentes.



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La forma del desarrollo de un cono es una porcin de crculo, delimitada por dos radios y la circunferencia, pero sus dimensiones depender del permetro de la base y el alto de la generatriz (Fig. 90).

Fig. 90: Dos desarrollos de dos conos diferentes.

Ambas superficie podrn tener diferentes lmites segn

sea el recorte o la seccin de la superficie (Fig. 91).

Fig. 91: Ejemplo de diferente lmite del desarrollo del cilindro segn sea la seccin, interseccin o corte.

B.1.1. SECCIONES DEL CILINDRO

Las secciones del CILINDRO RECTO DE

REVOLUCIN pueden ser de tres tipos:

- CIRCUNFERENCIA: Es la seccin plana de un cilindro recto de revolucin por un plano que corta al eje de revolucin del cilindro y a todas sus generatrices del cilindro en forma perpendicular (fig. 92).

- ELIPSE: Es la seccin plana de un cilindro recto de revolucin por un plano que corta al eje de revolucin del cilindro y a todas sus generatrices en un ngulo que no sea el perpendicular a dicho eje (fig. 93).

- DOS RECTAS PARALELAS (generatrices): Es el resultado de

seccionar un cilindro recto de revolucin con un plano paralelo al eje de revolucin y en consecuencia a las generatrices. El corte pasar por dos generatrices (fig. 93).

Fig. 92: Circunferencia producto de la seccin de un cilindro con un

plano perpendicular al eje de revolucin.

Fig. 93: Elpise producto de la seccin de un cilindro con un plano

oblicuo al eje de revolucin.

Fig. 94: Dos rectas producto de la seccin de un cilindro con un

plano paralelo al eje de revolucin.

B.1.2. SECCIONES DEL CONO

Las secciones del CONO RECTO DE REVOLUCIN

son las denominadas SECCIONES CNICAS (fig. 95). Pueden ser de cuatro tipos:

- CIRCUNFERENCIA: Es la seccin plana de un cono recto de

revolucin por un plano ortogonal que corta al eje de revolucin del cilindro en forma perpendicular y a todas sus generatrices del cono con igual ngulo.

- ELIPSE: Es la seccin plana de un cono recto de revolucin por un plano oblicuo que corta al eje de revolucin del cilindro y a todas sus generatrices del cono con cualquier ngulo diferente al perpendicular al eje.

- PARBOLA: Es la seccin plana y abierta de un cono recto de revolucin por un plano paralelo a una de las generatrices de cono, que corta al eje de revolucin y nunca corta a todas las generatrices del cono.

- HIPRBOLA: Es la seccin plana y abierta de un cono recto de revolucin por un plano oblicuo que corta al eje de revolucin con un ngulo menor al de la generatriz respecto al eje de revolucin. Un caso particular de hiprbola es la generada por un plano paralelo al eje de revolucin sin que pase por el mismo (ya que la seccin sera una poligonal generada por dos generatrices).

circunferencia

elipseparbola

hiprbola

Fig. 95: Secciones cnicas.



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C. HELICOIDE DESARROLLABLE

El helicoide es una superficie que tiene por directriz a una hlice. Lo podemos encontrar desarrollable y alabeado. En este punto y segn la clasificacin, se tratarn slo el desarrollable.

El helicoide generado por dos hlices con igual ngulo de tangencia en la misma superficie cilndrica, es un helicoide desarrollable (Fig. 96).

Fig. 96: Helicoide desarrollable del cilindro.

El helicoide generado por dos hlices con igual ngulo

de tangencia en la misma superficie cnica, es un helicoide desarrollable (Fig. 97).

Fig. 97: Helicoide desarrollable del cilindro.

D. CONVOLUTA

En palabras de B. Leighton Wellman, en su libro

Geometra Descriptiva, describe a la superficie convoluta como una superficie de simple curvatura y plantea que:

Una convoluta puede ser engendrada por una lnea recta que se mueva de tal modo que sea siempre tangente a una lnea de doble curvatura. () Aunque la convoluta pudiera aparecer como una superficie alabeada es realmente una superficie de simple curvatura, ya que dos posiciones consecutivas de la generatriz se pueden considerar tan cerca como sea preciso para que se corten, y la tercera posicin adyacente cortar a una de las dos (). (WELLMAN, 1982: 171)

Fig. 98: Convoluta desarrollable. Grfico extrado del libro de Geometra para Ingenieros (2001).



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3.1.2.2 ALABEADAS

Las superficies alabeadas son aquellas superficies regladas no desarrollables, de doble curvatura, que se generan por el movimiento de una generatriz recta, de tal modo que dos posiciones consecutivas sean lneas que se crucen (WELLMAN, 1982: 210). Es decir, que esas lneas sucesivas no son coplanares.

A.1. HIPERBOLOIDE HIPERBLICO

El hiperboloide hiperblico de revolucin, tambin llamado de una hoja, es una superficie reglada alabeada que se genera por la rotacin de una hiprbola (generatriz) alrededor de su eje transverso (directriz) (fig. 99).

Fig. 99: Superficie hiperboloide hiperblico.

Pero, entonces, dnde est la recta generatriz en esta superficie?

Esta superficie tambin se puede generar a partir de una recta generatriz apoyada en dos circunferencias paralelas y centradas, giradas entre s en un cierto ngulo (fig. 100).

g

dEje de revolucin

dDirectriz

curva

dDirectriz

curva

g

dEje de revolucin

dDirectriz

curva

dDirectriz

curva

Fig. 100: Generacin de un hiperboloide hiperblico.

gGeneratriz recta

dEje de revolucin

dDirectriz

curva

dDirectriz

curva

Seccin circular

Hiperbola

gGeneratriz recta

dEje de revolucin

dDirectriz

curva

dDirectriz

curva

Seccin circular

Hiperbola

Fig. 101: Dos hiperbolides hiperblicos con generatriz recta de diferente ngulo con respecto a las circunferencias paralelas.

A.2. PARABOLOIDE HIPERBLICO

El parabolide hiperblico es una superficie generada por el movimiento de traslacin paralela de una parbola sobre dos parbolas invertidas a la generatriz (fig. 102).

Fig. 102: Superficie paraboloide hiperblico.

Pero, como superficie reglada, se puede construir por el movimiento de una lnea recta que est siempre en contacto con dos lneas rectas que se cruzan y adems permanecen siempre paralelo a un plano director (WELLMAN, 1982: 218). La posicin del plano director puede ser cualquiera mientras no sea paralela a ninguna de las directrices (fig. 103).

d1

d2

g

d3

Fig. 103: Superficie paraboloide hiperblico generado por rectas.

Sus secciones pueden ser rectas, parbolas e hiprbolas (fig. 104 y 105).



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Fig. 104: Hiprbolas en el paraboloide hiperblico.

Fig. 105: Hiprbolas en el paraboloide hiperblico.

B.1. CONOIDE

El conoide es una superficie alabeada, cuya recta

generatriz se mueve de tal modo que est siempre en contacto con dos lneas directrices, una recta y otra curva, y adems que sea siempre paralela a un plano director. Si la lnea recta directriz es perpendicular al plano director la superficie ser un conoide recto, de otra manera ser un conoide oblicuo. (WELLMAN, 1982: 223).

Planodirector

g

d1

d2Directriz curva

d2 d2

Fig. 106: Conoide recto.

Plano director

d1

d1Directriz curva

d2 Directriz recta

d2

Fig. 107: Conoide oblicuo.

C.1. CILINDROIDE

El cilindroide es una superficie alabeada, cuya generatriz recta se mueve de tal modo que est continuamente en contacto con dos lneas curvas directrices y es siempre, paralela a un plano director. Las lneas curvas directrices, pueden ser de simple o de doble curvatura, aunque en la prctica suelen ser crculos o elipses, colocadas en planos no-paralelos (WELLMAN, 1982: 224).

Plano director

d1Directriz curva

d2Directriz curva

gGeneratriz recta

Fig. 108: Generacin de un cilindroide.

Fig. 109: Cilindroide.



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D. HELIOCOIDE ALABEADA

El helicoide alabeado se genera por la rotacin traslatoria de una recta generatriz que se apoya en una hlice directriz y en el eje de revolucin de la misma hlice, tambin directriz.

La recta generatriz mantiene su ngulo en todo el

movimiento. Si es perpendicular al eje de revolucin, tiene un plano director (perpendicular al eje), se denomina a la superficie que genera: HELICOIDE RECTO (Fig. 110). Si la recta generatriz tiene otro ngulo, se dice que tiene un cono director, y la superficie que genera se denomina: HELICOIDE OBLICUO CON CONO DIRECTOR (Fig. 111).

Otra definicin es la siguiente: La forma general del

helicoide, es la de una superficie alabeada cuya lnea recta generatriz se mueve de tal modo que est siempre en contacto con dos hlices concntricas que sirven de directrices, formando un ngulo constante con sus ejes. (WELLMAN, 1982: 223) (Fig. 112).

El helicoide puede generarse a partir de hlices de

cilindro (fig. 110 a 112), de cono (fig. 113) o de esfera (fig. 114).

Fig. 110: Helicoide recto de cilindro.

Fig. 111: Helicoide oblicuo con cono director de cilindro.

Fig. 112: Helicoide recto de cilindro a partir de dos generatrices concntricas.



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Fig. 115: Helicoide recto de cono.

Fig. 116: Helicoide recto de cono.

3.1.3. SUPERFICIES CURVAS Las superficies de doble curvatura son aquellas que,

solamente, pueden ser engendradas por el movimiento de una lnea curva. No tienen elementos rectos, y por lo tanto dos puntos consecutivos de una curva generatriz puede ser constante o variable, y el movimiento puede ser guiado por varias lneas y planos o directrices planas, produciendo una variedad infinita de superficies. (WELLMAN, 1982: 234) (fig. 117-118).

Fig. 117: Superficies de doble curvatura.

Fig. 118: Superficies de doble curvatura.

A. ELIPSOIDE, ESFEROIDE Y ESFERA

El elipsoide es una superficie cerrada de doble

curvatura, que tiene secciones ortogonales elpticas. La esfera es un caso particular de elipsoide, donde esas

tres secciones ortogonales que pasan por el centro son circunferencias de igual radio.



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En forma general, el elipsoide, es una superficie que no se define por el movimiento de revolucin, como en el caso de la esfera y el esferoide.

La esfera y el esferoide son cada uno, un tipo de elipsoide.

Fig. 119: Elipsoide.

A.1. ESFERA

Es una superficie generada por el movimiento de

rotacin de una circunferencia generatriz a partir de un eje de revolucin director que pasa por una de las diagonales de dicha circunferencia (fig. 120-121). Todas sus secciones son circunferencia (fig. 122). Es una superficie que tiene infinitos ejes por los que pasan infinita cantidad de planos de simetra.

dEje de revolucin

gGeneratrizcircunferencia

Fig. 120: Generacin de la esfera

Fig. 121: Esfera

Fig. 122: Secciones de esfera

A.2. ESFEROIDE

El esferoide es parecido a la esfera pero achatada. Se

genera por el movimiento de rotacin de una elipse generatriz a partir de un eje de revolucin director que pasa por uno de los ejes de la misma elipse. Las secciones generadas con planos ortogonales al eje de revolucin son circunferencias, en los dems ngulos son elipses.

Segn sea el eje de revolucin, podemos encontrar: ESFEROIDE ALARGADO o ESFEROIDE ACHATADO.

Fig. 123: Esferoide.



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B. PARABOLOIDE ELPTICO

El paraboloide elptico es una superficie que se genera por la rotacin de una parbola alrededor del eje (fig. 124). Las secciones perpendiculares al eje son circunferencias.

Fig. 124: Paraboloide elptico.

C. HIPERBOLOIDE ELPTICO

El hiperboloide elptico es una superficie que se genera

por la rotacin de una hiprbola alrededor del eje(fig. 125). Las secciones perpendiculares al eje son circunferencias.

Fig. 125: Hiperboloide elptico.

D. TORO

El toro es una superficie de revolucin, obtenida por el movimiento de una curva alrededor de un eje, que no sea simtrico con la curva; cuando esa lnea generatriz es una curva cerrada, especialmente un crculo, la superficie se llama toro anular, (), donde el crculo generatriz es exterior al eje. (WELLMAN, 1982: 235) (fig. 126).

Fig. 126: Toro de revolucin.

Desde nuestras definiciones, el toro anular es el

generado por el movimiento rotacin de una circunferencia generatriz a partir de un eje de revolucin que se ubica coplanar a dicha circunferencia y ubicado por fuera de la misma (fig. 127).

d1

g

d2

Fig. 127: Toro de revolucin.



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Fig. 128: Toros cerrados y abiertos.

Fig. 129: Vistas de un toro anular.

E. HELICOIDE CURVO

El helicoide de esfera que se da sobre la superficie de

dicha esfera se genera a partir de la cuerda generatriz (sector de la circunferencia generatriz de la esfera) que se mueve entre dos hlices de la misma superficie esfrica (fig. 130-131).

Fig. 130: Helicoide curvo de esfera.

Fig. 131: Helicoide curvo de esfera.

BIBLIOGRAFA

- COBOS GUTIRREZ, Carlos; A. RODRGUEZ DOMNGUEZ y J.M. SALINAS (2001) Geometra para Ingenieros. Tomo I: Representacin didrica. Tbar, Madrid.

- GOMIS MART, Jos Mara (1996) Curvas y superficies en diseo de ingeniera. Universidad Politcnica de Valencia, Valencia.

- PREZ G., Alberto M. (s/f). Universidad de los Andes, Venezuela.

- WELLMAN, Bernard Leighton (1982) Geometra descriptiva. Revert, Barcelona.

lp2 módulo f segunda parte 2013

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