lp2 modulo f bibliografía 2013 primera parte

7/30/2019 LP2 Modulo F Bibliografía 2013 Primera parte

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diseño industrial.faud.unmdp

lenguaje proyectual 2MÓDULO F

1

MMMÓÓÓDDDUUULLLOOO FFF

F F F OOOR R R M M M A A A Y Y Y E E E SSSP P P A A AC C C I I I OOO

PPPRRRIIIMMMEEERRR A A A PPP A A ARRRTTTEEE

Compilación y Compaginación:María Paula Giglio

A A Añññooo 222000111333 (ac tua l i zado)

.diseño industrial





2

ÍNDICE Página

Ar t ícu l oPág.

de lMater ia l

Material de Trabajo 1

- GIGLIO, María Paula (2012) Aproximación a las categorías de la expresión desde logeométrico y eidético (forma) con relación a lo tópico. Mar Del Plata, FAUD-UNMDP. ____

- JIMÉNEZ, Nicolás (s/f) Selección de textos. Material teórico de cátedra. Mar del Plata,FAUD / UNMDP _____________________________________________ _____________

3

24

3a

26

Material de Trabajo 2

- MACHO STADLER, Marta (2002) ¿Qué es la topología?. En Sigma N° 20. Febrero de2002. Otsaila _____________________________________________________________ - BERGAMINA, David (s/f) Matemáticas. En Colección científica Life – Time. Selección del

Capítulo 8 _______________________________________________________________ - ANEXO VISUAL Y TEÓRICO. Material de cátedra _______________________________

._

27

3034

27a36

CÁTEDRA DE LENGUAJE PROYECTUAL 2

Profesora Adjunta

Lic. Prof. María Paula Giglio

Ayudantes

Arq. Susana Arrachea

D.I. Carolina Díaz Azorín

D.I. Gabriela Ramírez

Arq. Marcela Vicente

Arq. Daniel Vil lalba





3

Aproximación a las categorías de la expresión desde lo geométrico y eidético (forma) con relación a lo tópico.

Lic. María Paula GiglioFAUD-UNMDP. Mar del Plata, 2012

INTRODUCCIÓN1

En todo acto de significación, desde la

perspectiva de Louis Hjelmslev2 que reformula la teoría

de Saussure3, el signo es el resultado del proceso de

semiosis (Imagen 1), o función semiótica, que implica la

relación recíproca y de mutua solidaridad entre la

expresión4 y el contenido5 . Se presuponen

necesariamente y no puede existir expresión sin

contenido, ni contenido sin expresión. Sobre esto, ensu libro Prolegómenos a una teoría del lenguaje,

Hjelmslev nos dice:

Por tanto –a menos que se opere un aislamiento

artificial – no puede haber contenido sin expresión,

1 Nota de la Autora: El texto de la Introducción es compartido con edel texto “Sustancia de la expresión: aproximación para sucomprensión y análisis en el contexto del lenguaje proyectual ” de lamisma autora, que por razones didácticas repite en ambos

desarrollos teóricos particulares.2 Louis Hjelmslev (1899-1965): Lingüista danés, integrante del Círculolingüístico de Copenhage.

3 Ferdinand de Saussure (1857-1913): Lingüista suizo, consideradofundador de la lingüística moderna. Uno de los proyectossaussurianos era la Semiología: “ciencia que estudia la vida de lossignos en el seno de la vida social ”.

4 Expresión: 1. El plano de la expresión, según Hjelmslev, designa elsignificante saussuriano considerado en la totalidad de sus relacionesy articulaciones. El plano de la expresión presupone siempre el planodel contenido. La reunión o intersección de ambos constituye pues lasemiosis, o función semiótica.2. La forma de la expresión es lo que constituye el objeto de estudio

de la fonología, mientras que la sustancia de la expresióncorresponde a la fonética. (ALBANO y otros, 2005: 104)5 El plano del contenido es lo que hace posible la inscripción delsentido, y sinónimo de significado. (ALBANO y otros, 2005: 57)

o contenido carente de expresión, como tampoco

puede haber expresión sin contenido, o expresióncarente de contenido. Si pensamos sin hablar, el

pensamiento no será un contenido lingüístico ni

funtivo6 de una función de signo. Si hablamos sin

pensar, (…), tal habla sería un abracadabra, y no

una expresión lingüística ni funtivo de una función

de signo. Desde luego, la falta de contenido no

debe confundirse con falta de significación: una

expresión muy bien puede tener un contenido que

desde algún punto de vista (por ejemplo, el de la

lógica normativa o del fisicismo) pueda

considerarse carente de significación, pero que

sea un contenido. (HJELMSLEV, 1974: 75)

Imagen 1: Gráfico de Nicolás Jiménez

6 “Funtivo: Dícese de cada uno de los elementos que intervienen enuna función lingüística.” (Diccionario Enciclopédico Larousse, 2009)





4

Tanto en el plano de la expresión (PE) como en

el plano del contenido (PC) deberemos hablar de forma

y de sustancia. Así tendremos forma de la expresión y

forma del contenido al igual que sustancia de la

expresión (cadena de sonidos) y sustancia del

contenido (pensamiento).

Sin analizar en este momento el PC, la

sustancia de la expresión, en el contexto de Hjelmslev,

designa a la materia. La forma de la expresión es

aquello que es pre-significante, y se logra lo significante

en tanto se combina con la sustancia de la expresión

(Imagen 2).

Imagen 2: Plano de la expresión y plano del contenido. Forma y

sustancia (diapositiva de teórica de la autora)

Hjelmslev, al hablar de la sustancia de la

expresión, se refiere a la materia propia del lenguaje

oral, que es la cadena de sonidos. En nuestro caso,

deberemos pensar en la sustancia de la expresión

desde la idea del lenguaje del diseño, es decir, del

lenguaje proyectual (Imagen 3).

Imagen 3: Forma y sustancia del plano de la expresión (diapositivade teórica de la autora)

Desde esta mirada, adaptada a nuestra

disciplina proyectual, para comprender la distinción

entre forma de la expresión y sustancia de la expresión

comenzaremos por mencionar aquellos adjetivos con

que se los puede asociar respectivamente (Imagen 4).

Imagen 4: Adjetivos asociados a forma y sustancia del plano de laexpresión (diapositiva de teórica de la autora)

Al referirnos a la forma de la expresión

podremos usar, por ejemplo, los asociados a las





5

entidades como: puntual, lineal, planar, laminar,

superficial o volumétrico. En el caso de la sustancia de

la expresión, los asociados a los materiales: moldeable,

maleable, plegable, rígido, duro, blando, estirable,

comprimible, torsionable, flexible, quebradizo, cortable,

etc.

Pero en todos los casos deberemos

contextualizar los adjetivos anteriores en función de

discriminar, por ejemplo, cuándo un material es

plegable o una superficie es plegable. En el primer

caso, da cuenta de la propiedad mecánica del material

(sustancia de la expresión) y en el segundo, a la

propiedad del espacio (forma de la expresión).

ESPACIO

Pero antes, veamos algunas cuestiones sobre

el espacio ya que su definición tiene tantas variantes

como disciplinas podamos encontrar. Por ejemplo, se lo

puede definir de modo abstracto o figurativo,

cuantitativo y/o cualitativo, con el hombre o sin él,

observándolo, percibiéndolo, habitándolo, construyén-

dolo, modificándolo o destruyéndolo, de modo

personal, social, histórico o cultural.

Sabemos que el espacio físico puede

expresarse en una, dos o tres dimensiones, y nos

permite hablar de posición y dirección; y que la cuarta

dimensión incorpora la idea de tiempo.

Espacio (Del lat. spatĭum), en el diccionario de

la Real Academia Española, queda definido en primer

término, desde una idea general e imposible de percibir

en su totalidad, como “extensión que contiene toda la

materia existente”, luego, desde una idea local y

posible de percibir, como “parte que ocupa cada objeto

sensible” o “capacidad de terreno, sitio o lugar”. Así,

también, desde lo temporal, queda definido como

“transcurso de tiempo entre dos sucesos” o “tardanza,

lentitud”, desde la proximidad, como “distancia entre

dos cuerpos”, desde la mecánica, como “distancia

recorrida por un móvil en cierto tiempo”, además de los

usos del término en el lenguaje escrito y musical, en

astronomía, en los estudios particulares desde la

geometría, en la posibilidad de espacios imaginarios,

entre otros.

Si bien, en estas definiciones hay una

diversidad de sentidos del uso del término, es probable,

y así lo creemos, que no alcance para comprender la

profundidad y la complejidad del espacio.

Nuestra percepción del espacio, por ejemplo,

cambia según la edad que tengamos, los cambios

físicos o emocionales. Y no es lo mismo pensar en el

espacio individual que en el espacio social. Y así

pensamos al espacio desde una perspectiva cualitativa.

Pero, si al espacio le sacamos todo dato

histórico, social, psicológico, fenomenológico, o

perceptual, es decir, nos despojamos de todo dato

cualitativo, sólo nos quedarán los datos métricos o

físicos. Y estos serán datos cuantitativos.

Hay una instancia de las configuraciones

espaciales, en palabras de Doberti al referirse a una

Morfología general, “que es ontológicamente anterior a

toda determinación dimensional, material o funcional” y

es “esa instancia en la que las conformaciones dicen

estrictamente de su lógica interna y específica”

(DOBERTI, 2008:11).

Otra forma de analizar el espacio como

lenguaje es aquella que refiere a las construcciones





6

que hacen los hombres a través de las palabras

(Edward T. Hall, en su libro La dimensión oculta:

Enfoque antropológico del uso del espacio)

El estudio del espacio en diseño debe poder

contar con perspectivas tanto del orden de lo

geométrico o físico como de lo objetual, arquitectónico

o urbanístico, de lo escénico, de lo plástico, de lo

social, entre otros; poder hablar de geometría del

espacio, espacio físico, espacio arquitectónico, espacio

urbanístico, espacio escénico, espacio plástico o

espacio social.

FORMA DE LA EXPRESIÓN

El estudio de la forma de la expresión (Imagen

5) involucra dos niveles de análisis:

- FORMA en el ENTORNO DE LA EXPRESIÓN

o NIVEL PARADIGMÁTICO, el de los

elementos, el sistema, la dimensión, lo

endógeno (relaciones internas), lo mórfico

y los criterios de ordenamiento y

generación. MORFOLOGÍA- FORMA en el PLANO DE LA EXPRESIÓN

o NIVEL SINTAGMÁTICO, el de la

articulación, el proceso, la extensión, lo

exógeno (relaciones externas), lo topo-

mórfico y los criterios de selección,

articulación y organización. SINTAXIS

Imagen 5: Forma de la expresión. Paradigma y sintagma

Cabe aclarar que, en este contexto del plano

de la expresión, bajo el término forma de la expresión

incluimos forma (como tradicionalmente se la concibe,

lo eidético), color, textura y cesía, tanto en sus niveles

paradigmáticos como sintagmáticos.

Todo ello, es parte de la denominadagramática visiva, y es competencia del diseñador.

Para Hjelmslev, la división de la gramática,

entre morfología y sintaxis, carece de importancia

desde el punto de vista práctico ya que:

“todo hecho sintáctico es morfológico en el sentido

de que concierne únicamente a la forma gramatical,

y dado igualmente que todo hecho morfológico puede ser considerado como sintáctico, ya que

reposa siempre sobre una conexión sintagmática

entre los elementos gramaticales en cuestión”

(HJELMSLEV, 1976: 101)

Pero nuestra disciplina proyectual demanda el

estudio desde el campo morfológico. Es por ello que

nos referiremos a ambos niveles de análisis.

Desde lo morfológico nos interesa comprender

la posibilidad de sistemas de ordenamiento, las

relaciones endógenas, el nivel dimensional, y los





7

criterios de generación: morfogénesis (del griego

"morphê" que significa forma y "génesis" creación:

“origen de la forma”).

Desde lo sintáctico, hablaremos de la

articulación, de relaciones exógenas a través de los

aportes de la topología, que nos permite estudiar la

relación y posición de las formas. Desde esta mirada

hablamos de un espacio topológico.

Imagen 6: Morfológico y Sintáctico

Pero además, la topología nos permite el

estudio de aquellas propiedades de las formas que,

luego de operaciones de transformación, permanecen

inalteradas. Más adelante desarrollaremos ambas

ideas.

Nicolás Jiménez, en su texto “Lo formal y lo

fáctico”, luego de definir a la topología y a la morfología

como «aspectos complementarios», plantea que

“tienen un lugar común en el espacio y en el tiempo,

que hemos reducido a un espacio substrato operable

representativamente”.

CATEGORÍAS DE LA EXPRESIÓN

Cada plano tiene sus categorías propias:

categorías del PE y categorías del PC ( Imagen 7).

Imagen 7: Categorías de la Expresión y Categorías del Contenido

Con respecto a las referidas a este último

plano, en Lenguaje Proyectual 2 sólo trabajaremos

algunas categorías ya que el principal estudio estará

referido a las del PE. En el caso del PC se trabajará en

primer lugar con el cuadrado semiótico de Greimas7

que permite trabajar con pares opuestos de términos

para luego operar retóricamente.

En esta oportunidad nos abocaremos a

profundizar las categorías que nos permiten ordenar

aquellos elementos, reglas y procedimientos del

entorno de la expresión (Imagen 8).

7 El Cuadrado semiótico de Greimas se desarrolla en el Módulo B.





8

Imagen 8: Categorías de la Expresión

Imagen 9: Recorte a estudiar

En particular las correspondientes a las

categorías constitucionales constituyentes geométricas,y las categorías constitucionales constituidas

eidéticas8 , en particular las referidas a la forma

(propiamente dicha), en combinación con el tamaño, y

la posición y orientación (categorías no-constitucionales

tópicas) (Imagen 9). Con ello se pretende comprender los

criterios de generación, selección, articulación y

organización.

8 Eidos: Término de origen griego significa forma, es lo opuesto a lofáctico y a lo sensible. Edmund Husserl, filósofo alemán, utilizó esteconcepto para designar lo que concierne a la esencia de las cosas, yno a su existencia o presencia.

ENTIDADES: CATEGORÍA GEOMÉTRICA –

CATEGORÍA EIDÉTICA

En la mayoría de los textos que se refieren a

los elementos de diseño o al lenguaje gráfico,

distinguen a las entidades geométricas y entidades

visuales (Imagen 10).

Una entidad es geométrica en tanto es

conceptual, es teoría, es mental, y para su estudio o

comunicación se materializan a través de signos

gráficos. Luego la entidad geométrica tiene una forma,

una textura y un tamaño (categorías eidéticas), un color

(categoría cromática), etc., una serie de categorías de

la expresión que también siguen siendo pre-

significantes, pre-visuales.

Una entidad es visual, como su nombre lo

indica, en tanto es percibida por el sentido de la vista.

Una entidad se hace visual cuando combina forma de

la expresión y sustancia de la expresión.

Imagen 10: Entidades

El punto geométrico es el que indica una

posición en el espacio y se define con dimensión 0





9

(cero). Es adimensional ya que no es un objeto físico.

Es un punto de referencia.

El punto visual es el que se lee como punto

más allá de que para existir deba tener 2 dimensiones

(punto bidimensional – ancho y largo) ó 3 dimensiones

(punto tridimensional – ancho, largo y profundidad) y

para que se lea como punto, no debe prevalecer una

dimensión por sobre la/s otra/s. Puede ser una

intersección entre dos líneas, la huella o traza que deja

una herramienta puntiaguda o un instrumento de dibujo

sobre una superficie con un solo toque.

La recta geométrica es un tipo particular de

línea que se define con dimensión 1 (uno) ya que todos

sus puntos están dispuestos coplanarmente y

siguiendo una única dirección. No posee ni principio ni

fin, y su fragmentación se la define como segmento.

Las rectas sirven de referencia (ejes cartesianos, líneas

guías, ejes de rotación, etc.). Queda definida a partir de

un punto en movimiento en una única dirección, o por

la distancia mínima entre dos puntos (geometría

euclidiana). Es la herramienta básica con la que cuenta

la representación gráfica.

La recta visual, al igual que el punto, debe

tener 2 dimensiones (recta bidimensional – ancho ylargo) ó 3 dimensiones (recta tridimensional – ancho,

largo y profundidad). En todos los casos debe

prevalecer una dimensión por sobre la/s otra/s.

El plano geométrico es un tipo particular de

superficie que se define con dimensión 2 (dos) ya que

posee solo dos dimensiones. Queda definida por el

cruce de dos rectas, tres puntos no alineados, un punto

y una línea, y dos rectas paralelas. Por lo general se larepresenta gráficamente con líneas de contorno.

El plano visual, al igual que el punto y la línea,

debe tener 2 dimensiones (plano bidimensional – ancho

y largo) ó 3 dimensiones (plano tridimensional – ancho,

largo y profundidad). En la bidimensión no debe

prevalecer ninguna dimensión por sobre la otra,

mientras que en la tridimensión deben prevalecer dos

dimensiones por sobre la tercera.

Si bien, las entidades básicas son tres (punto,

recta, plano), podemos agregar el volumen geométrico

que es un espacio tridimensional, es dimensión 3 (tres).

La presencia de un cuarto punto que no sea coplanar a

los tres puntos anteriores permite definir un volumen.

ENTIDADES: FRACCIONES

Se pueden generar entidades a partir de otras

entidades: una línea por una sucesión de puntos, un

plano por una sucesión de líneas, un plano por una

sucesión de líneas generadas por una sucesión de

punto, etc.

Pero además, un punto puede ser

tridimensional (una esfera pequeña comparada con el

contexto), una línea puede ser una cinta o una varilla, y

un plano puede ser una placa.

La simple acción de curvar un plano para

generar una superficie curva nos lleva de las dos

dimensiones a las tres dimensiones.

En todos estos casos, las dimensiones de las

entidades varían entre las que fueron utilizadas para su

realización y las que finalmente resultan por diferentes

operaciones lo que nos lleva a considerar las

dimensiones de las entidades desde la idea de

fracciones tal como se muestra en la tabla siguiente.





10

Hablamos entonces de tres situaciones

claramente diferenciadas: las entidades geométricas,

las entidades virtuales y las entidades aditivas.

(Ver tabla 1 y 2)

Tabla 1: Entidades por sus dimensiones. Entidad geométrica – Relaciones virtuales – Relaciones aditivas

0 1 2 3

00/0

Punto geométrico.Ubicación en el espacio.

Punto foco, de inflexión, deposición y de inclusión.

0/1POLVO. HUELLA. TRAZA

0/2Punto plano

(figura pequeña)

0/3 Punto volumétrico

(volumen pequeño)

11/0

Repetición de puntos o unpunto en movimiento quegeneran perceptualmente

una línea.

1/1 Línea geométrica.

Distancia, recorridoEje de rotación y de

traslación

1/2 CINTA – BANDA

1/3Línea volumétrica

VARILLA

22/0

Repetición de puntos quegeneran perceptualmente

un plano.

2/1Repetición de líneas o unalínea en movimiento quegeneran perceptualmente

un plano.

2/2 Plano geométrico.Espacio substrato

bidimensional

2/3Pliegue – SUPERFICIE

Plano volumétrico PLACA

33/0

Repetición de puntos quegeneran perceptualmente

un volumen.

3/1Repetición de líneas quegeneran perceptualmente

un volumen.

3/2Seriación de corte. Plano

en movimiento generaperceptualmente volumen.

3/3Espacio tridimensional.

Espacio substratotridimensional. Volumen





11

Tabla 2: entidades gráficas por sus dimensiones

0 1 2 3

0

0/0 0/1 0/2 0/3

1

1/0 1/1 1/2 1/3

2

2/0 2/1 2/2 2/3

3

3/0 3/1 3/2 3/3

COMBINACIONES DE ENTIDADES

A continuación, encontramos ejemplos:

Imágenes 11





12

FORMA (lo eidético)

La forma es aquella DELIMITACIÓN

ESPACIAL que queda luego de la operación de

abstracción que hacemos cuando prescindimos de la

sustancia de las cosas (materiales). Se da en el

espacio y se prescinde de lo sensible ( Imagen 12).

Para Nicolás Jiménez, la delimitación espacialcontiene “una componente «constante», su

dimensión, y una componente «variable», su

extensión” (ob.cit.).

A su vez, José Luis Caivano, en la ponencia

“La investigación sobre los objetos visuales desde un

punto de vista semiótico, (…)”, al referirse a la Teoría

de la Delimitación Espacial de Jannello (1984), nos

dice que, si bien, “el sistema de figuras que propone

esta teoría no logra explicar cierto tipo de

delimitaciones, como las llamadas figuras

semirregulares o irregulares (…)”, por ejemplo, dicha

teoría queda protegida con la hipótesis de que en

“dichas delimitaciones no son figuras sino

configuraciones, formadas por la combinación de una

cierta cantidad de figuras”. Y continúa diciendo que,

“de manera que por más compleja que sea una

delimitación, siempre puede segmentarse en figuras

explicables” (CAIVANO, 2001).

Imagen 12: Delimitación espacial

GESTALT

Desde principio del siglo XX, la Escuela

Psicológica de la Gestlat nos ha ayudado a

comprender que EL TODO ES MÁS QUE LA SUMA

DE SUS PARTES. Gestalt, en alemán quiere decir

conjunto, totalidad, configuración o forma.

Analicemos el siguiente ejemplo: con cuatro

líneas podemos hacer numerosas configuraciones,

tales como las que se observan a continuación:

Imágenes 12

En cada caso se utilizaron cuatro líneas

rectas, pero, como podemos observar, EL TODO final

es muy diferente. Es que a LA SUMA DE SUS

PARTES les falta algo, les falta el MÁS, les falta la

ESTRUCTURA.

“EL TODO ES MÁS QUE LA SUMA DE SUS PARTE”





13

En esta frase encontramos datos referidos al

nivel morfológico y sintáctico.

FORMA DE LAS ENTIDADES

La forma del punto debe ser simple y su

apariencia puntual estará determinada por la relación

extensional con el espacio substrato o con otras

entidades que se encuentren en el mismo entorno.

Esta relación extensional vale para todas las

entidades.

La forma de la línea puede ser recta, curva o

combinada, continua o discontinua-quebrada, regular

o irregular, trazada con precisión o a mano alzada. En

su recorrido, la línea puede tener bordes regulares o

irregulares, sus extremos también pueden ser

diferentes.

Las superficies pueden ser, principalmente,

planas, regladas o curvas, además de las superficies

topográficas.

Las superficies regladas pueden ser

desarrollables o alabeadas. Entre las desarrollables

encontramos superficies cilíndricas, cónicas,

helicoides desarrollables, etc. Entre las alabeadas

encontramos hiperboloides hiperbólicos, paraboloide

hiperbólico, conoides, cilindroides, helicoides

alabeadas, etc.

Las superficies curvas pueden ser esferas,

elipsoides, esferoides, paraboloides elípticos, toros derevolución, etc.

Las superficies se estudian desde su

generación identificando directrices (las que dan laregla) y generatrices (lo que se repite según las reglas

de las directrices).

En el ejemplo siguiente podemos observar la

generación de dos superficies cilíndricas, una de

revolución y la otra de no revolución. Como se puede

observar, el desplazamiento paralelo de generatrices,

por ejemplo, es lo que las definen como cilíndricas, y

el rotar sobre un eje o desplazarse sobre una curva

abierta, por ejemplo, es lo que las diferencia como de

revolución, en el primer caso, y de no revolución, en el

segundo caso (imagen 13).

Imagen 13

Pueden tener un contorno geométrico,

orgánico, regular, irregular, etc.; tener concavidades,

convexidades y caladuras; y contar o no con vértices,

bordes. De hecho, hay superficies de una sola cara y

un solo contorno como la cinta de moebius.

DIMENSIÓN Y EXTENSIÓN

La dimensión es una variable de orden

endógeno. Corresponde al sistema. La dimensión de

una forma tradicionalmente refiere a lo métrico

vinculado con su tamaño, pero en general refiere a la

posibilidad de medición (dimensio en latín: medida).





14

Por un lado tenemos las dimensiones

espaciales. Son cuatro en el espacio en el quevivimos, tres dimensiones correspondientes a los ejes

cartesianos y una cuarta dimensión referida a lo

temporal. Pero también hablamos de dimensión como

variable de todo sistema de ordenamiento, sea de

forma, color, textura, cesía, etc. Estos sistemas de

ordenamiento son parte del estudio a nivel

morfológico. La dimensión queda definida

cuantitativamente.

La extensión es una variable de orden

exógeno. Corresponde al proceso. Es una variable

relacional ya que se puede decir que algo es grande o

pequeño en función de la relación con otro elemento o

espacio. Un valor es claro u oscuro con relación al

valor que lo rodea. Estas relaciones son parte del

estudio a nivel topomórfico. La extensión queda

definida cualitativamente.

La extensión misma nos permite hablar de la

proporción y/o escala.

Misma relación proporcional de la figura conrespecto al espacio substrato

Imágenes 14

APARIENCIA

La apariencia de la forma es un tema que no

puede dejar de estudiarse y que tiene relación con la

extensión, concepto recién definido.

Las formas pueden ser idénticas y de iguales

medida, igual dimensión, pero por el contexto en el

que se dan pueden verse diferentes, es decir,

aparentan ser diferentes entre sí.

Imagen 15





15

Si se necesita que dos formas en distintos

contexto se vean iguales, se deberá apelar a la

modificación de alguna de ellas (agrandando o

achicando) para producir la corrección visual.

Imagen 16

A la inversa también, dos formas diferentes

pueden aparentar ser iguales dependiendo del

contexto en el que están.

Es importante para el diseñador, formarse en

el tema de la apariencia visual , ya que es la apariencia

lo que en primera instancia percibe el usuario.

ARTICULACIÓN

Además de considerar en toda articulación la

estructura, las operaciones topológicas, las de

simetría, etc., deberemos considerar la definición de

criterios de selección y articulación que contemplen la

relación de armonía y contraste.

Cuando definamos que dos formas armonizan

o contrasta, deberemos saber que los criterios que se

deben utilizar para dicha definición serán los

relacionados con las dimensiones morfológicas y las

relaciones extensionales topomórficas antes

mencionadas.

Dos formas pueden contrastar por tamaño

pero no por su definición entitativa. A su vez, dosformas de igual tamaño pueden contrastar por la

regularidad en la generación de ambas.

Imagen 17

POSICIÓN, ORIENTACIÓN Y DIRECCIÓN





16

Imagen 18

Imagen 19

Imagen 20

TOPOLOGÍA

Tradicionalmente, en el ámbito de la

enseñanza proyectual, la topología, así como la define

Norberg-Schulz, “no trata de las distancias

permanentes, ángulos o áreas, sino que se basa en

relaciones tales como proximidad, separación,

sucesión, cerramiento (dentro, fuera) y continuidad ”

(NORBERG-SHULZ, 1979) como lo podemos

observar en la siguiente imagen:

Imagen 21

Estas se las conocemos como operaciones

topológicas.

Y si la proximidad la articulamos con las

operaciones de adición y sustracción los resultados,

por ejemplo, pueden ser los siguientes:





17

Imagen 22

Si analizamos un plano de las distintas líneas

de subterráneo de Buenos Aires, veremos que no es

geométricamente exacto y que no hay coincidencia de

curvas, longitudes, posiciones relativas, etc. Pero

representa la información que se requiere para su uso.

La topología aquí nos da la información necesaria:

Imagen 23

Pero aquí nos interesa una visión de la

topología como rama de las matemáticas que surge

como análisis de la posición.

La topología es “un tipo especial de geometríareferida a las posibilidades de que las superficies

puedan hacerse retorcer, doblar estirar o bien

deformar, de una forma determinada en otra”

(BERGAMINI, s/f ). Cuando a una forma se le aplican

transformaciones continuas, aquello que es inalteradoes lo que estudia la topología.

Imagen 24

Entonces, la topología es la que:

se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que

permanecen invariantes, cuando dichas figuras son

plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas, de

modo que no aparezcan nuevos puntos, o se hagan

coincidir puntos diferentes. La transformación

permitida presupone, en otras palabras, que hay una

correspondencia biunívoca entre los puntos de la

figura original y los de la transformada, y que la

deformación hace corresponder puntos próximos a

puntos próximos. Esta última propiedad se llama

continuidad, y lo que se requiere es que la

transformación y su inversa sean ambas continuas:

así, trabajarnos con homeomorfismos. (STADLER9,

2002)

La idea de invarianza topológica la podemosobservar en los siguientes ejemplos:

Imagen 25

9 Profesora de la Universidad del País Vasco-Euskal HerrikoUnibertsitatea.





18

Imagen 26

Imagen 27

La propiedad de género queda definida por la

cantidad de agujeros que tiene el volumen o por la

cantidad de cortes que se pueden hacer sin romper el

volumen en dos partes:

Imagen 28: DETERMINACIÓN DEL GÉNERO:

0: cualquier corte la divide. Sin agujero tiene género 0 1: Con 1 agujero tiene género 1

2: Con dos cortes se puede

Hablamos de isomorfismos cuando se

plantea la misma estructura. En la idea de morfismos,

ante dos estructuras, el resultado de operarle una

acción a una de ellas es igual al resultado de operarle

la misma acción a la otra, por ejemplo, homomorfismo

e isomorfismo, entre otros. El morfismo en laanimación se basa en la interpolación de vértices:

Imagen 29

Imagen 30

En tanto, las isometrías son las formas

iguales que surgen de las operaciones de traslación,

rotación o giro, reflexión o simetría axial. En el

caso de la extensión o dilatación, si bien es una

operación de simetría, el resultado no es la mismamedida.





19

Imagen 31

Imagen 32

Una circunferencia y un triángulo construido

por sus aristas no son iguales morfológicamente y no

surgen de ninguna operación isométrica.

Imagen 33

Pero ambas formas, desde el análisis

topológico, tienen las mismas propiedades (un agijero,

género 1). En tanto, una circunferencia cerrada y otra

abierta, morfológicamente son iguales, mientras que

topológicamente son diferentes.

Imagen 34

Imagen 35

Dos figuras serán homotópicas si en una

deformación continua puedo pasar de una a la otra. Y

dos espacios serán homeomorfos en tanto tienen las

mismas propiedades topológicas, es decir, son iguales

topológicamente hablando.

Imagen 36

Imagen 37





20

Imagen 38

Imagen 39

Desde la idea de agujeros, la vajilla que se

puede observar en la imagen, no se correspondetopológicamente:

Imagen 40

FORMA – TRANS-FORMA

Mencionaremos aquí dos operaciones de

transformación que nos permiten comprender dos

procesos bien diferenciados manteniendo las

propiedades topológicas: la metamorfosis y la

mutación.

La metamorfosis es la operación que permite

el pasaje de una forma ( A) a otra forma (B) a través de

pasos intermedio y de la definición de correspondenciade puntos entre ambas formas que permitan su

transformación (Imagen 41).

Imagen 41

La cantidad de pasos y la velocidad de la

gradación en la metamorfosis pueden variar.

Imagen 42





21

La mutación, en cambio, tiene una forma de

origen ( A) que a través de operaciones morfológicasderivan en una sucesión de pasos de transformación

(A´, A´´, A´´´, An) sin un fin determinado. Es un

proceso en el que las operaciones morfológicas que

se le aplican pueden ir cambiando gradualmente

(Imagen 43).

Imagen 43

Imagen 44

Imagen 45

Imagen 46





22

EJEMPLOS





23

BIBLIOGRAFÍA

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NORBERG-SHULZ, Christian (1979) Intenciones en

arquitectura. Barcelona, Gili.

http://lema.rae.es/drae/








24

SELECCIÓN DE TEXTOS del Prof. NICOLÁS JIMÉNEZ

[Las figuras se pueden] descomponer en “rasgos visuales”. Estos rasgos visualestendrán un valor diferencial de posición yoposición.

Si analizamos este dibujo queconstituye una figura, podemos apreciar quela misma puede ser descompuesta en siete

rasgos visuales de valor diferencial.Un enunciado icónico por lo tanto

estaría compuesto por figuras a partir deasimilarlo a un enunciado del lenguaje, comose muestra en el dibujo completo, dondeposición y oposición articulan la imagen.

Toda figura tiene por lo tanto una razónde ser y su existencia como fenómeno y ente,es el producto de un “logos”; concepto,fundamento, definición, proposición o juicio

que le anima y vincula lo sensorial con losemiótico.

(...)

1.- RASGOS

2.- FIGURA

3.- ENUNCIADO

Como hemos visto, rasgos, figuras yenunciados forman un sistema de elementosy relaciones o red endógena que interactúaen el plano o red exógena. Este encuentrointeractivo establece “hiatos” (relaciónfigura/fondo), que establecendiscontinuidades o diferencias espaciales.Ese término aparece ligado a otro “relevo”que permite pasar de un punto a otro,conservando el rastro del pasaje -SofíaFisher-.

Un relevo modifica las condicionesgenerales de una figura, mediante lainterrupción (intervalo) de su configuración.

En esa interrupción el fondo adquiere unadoble función; la de sustitución. Se constituyela figura por el fondo manteniendo sucontinuidad inicial.

En este punto las consideraciones detipo gestálticas, referidas a las relacionestodo/parte, parte/todo, son estudiadas comofenómenos estructurales que pueden tener una resolución arbitraria o no, de acuerdo almodelo configurativo táctico que se utilice.

Estos problemas estudiados por Wertheimer, Arnhein y otros, nos indican que en losprocesos de organización topo-mórfico, losproblemas se codeterminan, lo que indica





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que en diseño difícilmente sean válidas lasconsideraciones unilaterales.

Elemento y relación ponen en juego undispositivo tendiente a la inteligibilidadcomunicativa, muestran un procesodiscontinuo y discrecional. Ese procesocomienza por la selección de los elementos,continúa con su combinación yespaciamiento delimitando rasgos y figuras,terminando con la regulación y ajuste delconjunto.

Todas las operaciones que se cumplenen diseño, se canalizan categorialmentedesde la más simple selección a la máscompleja combinación, dispuesta por sucondición de pertinencia por el sujeto. Unamancha de color sobre el papel se convierteen un enunciado, ya que predica un términoseleccionado por el sujeto, y dispuesto aproducir un efecto de sentido sobre unpotencial destinatario.

El material que sigue pretendepresentar lo que definiremos como undominio pre-gráfico. Esto último indica queindependientemente del uso que de susmedios se haga, trataremos de hacer uninventario racional del conjunto de categoríasque conforman su paradigma.

Comenzaremos por definir algunascuestiones terminológicas y sus alcances enel contexto que estamos desarrollando.

ENTIDADES Y ATRIBUTOS

Los términos entidades y atributos,intentan producir una diferencia categorialentre los elementos que forman el paradigmasustancial del lenguaje gráfico.

Llamaremos ENTIDADES a los tres

elementos de la geometría: PUNTO, LÍNEA ySUPERFICIE, que constituyen el soporteesencial de cualquier fenómeno perceptiblevisualmente.

Una figura encuentra en cualquiera deestas entidades sus medios de manifestacióngráfica.

Desde una perspectiva filosófica, comolo hace Jaques Derrida, el término “traza”(galicismo que sustituye a huella) permite

todo lo que es sustancia gráfica que se diceespacial. Incluye todo proceso designificación como un juego formal dediferencias o de trazas, adjudicándose así, unvalor gramático que le es pertinente aldiseño. Derrida desarrolla un nuevo conceptode escritura llamada “grama” o “differance”, loque supone un juego de síntesis y remisionesque produce un encadenamiento o tejido quese define como texto.

COMO PUNTOTRAZA COMO LÍNEA

COMO SUPERFICIE

Por lo tanto la traza como categoríageneral y sus sub-categorías, se definencomo constantes, lo que significa que noexista la “variabilidad” de sus términosbásicos.

Un punto, una línea pueden variar dedimensión, grosor o forma, pero en todos loscasos pueden mantener su identidad deforma constante.

El término variable designa por lo tantoun “aspecto” o “dimensión” de un elemento.

Una “dimensión de variación”, unavariante o una variable, designa en diseño un

aspecto discernible de un fenómeno gráfico.Este fenómeno como “ente” se manifiesta através de cualquiera de las entidadesconstantes, pudiendo recibir cualquiera de los





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“atributos” retinianos, los que funcionan como

indicadores o datos visuales.Llamaremos ATRIBUTOS al conjunto

de variables que pueden intervenir en ladefinición de los rasgos, figuras oenunciados. Así “atributo” define unadistinción que se le confiere a la traza en elmomento de su inscripción. Estos operadoresgráficos funcionan de predicados analógicoscomo imagen de una hipótesis enunciativa.

Los atributos operacionales son:

ESPACIALIDAD – FORMA – TAMAÑO – ORIENTACIÓN – TEXTURA – COLOR – VALOR[En apuntes siguientes retomaremos estetema de los ATRIBUTOS)

IMPLANTACIÓN

Llamaremos implantación al acto productor de una diferencia de traza, como punto, líneao superficie constitutiva de cualquier

manifestación de cualquier geometría. laimplantación requiere de un soporte quehaga legible e inteligible la proposición visual,para lo cual se requiere de un espaciosustrato de dos o tres dimensiones. Estosespacios entendidos como recortes de unespacio más general, funcionan como lalocalización en sí de ciertas propiedadestopológicas (endógenas) que funcionan deinterfaz con cualquier manifestaciónmorfológica exógena.

ESPACIO SUBSTRATO

El concepto de espacio substrato se derivadel espacio físico a través de procedimientosde naturaleza matemática que nos proveende los límites y estados “estacionarios” parael universo finito del diseño.Una hoja de papel considerada como espaciosubstrato puede ser explicada a partir de suspropiedades espaciales donde la noción deestructura topológica adquiere características

de partición geométrica del mismo. Una redde puntos pueden generar una red lineal(grafos) con la cual producimos una particióndel plano la que puede generar diversasrelaciones topomórficas. En un planosubstrato cualquiera de sus líneas puedenconvertirse en un eje de inflexión y por supuesto en un límite. Una hoja de papelpuede “plegarse” tomando cualquiera de susejes estructurales e introducir con esaoperación la propiedad “inflexión del plano”.





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¿QUÉ ES LA TOPOLOGÍA?Marta Macho Stadler 10 SIGMA Nº 20 • SIGMA zk. 20 - Febrero 2002 •

Otsaila 2002

... Además de aquella parte de lageometría que trata sobre cantidades y

que se ha estudiado en todo tiempo congran dedicación, el primero que mencionó

la otra parte, hasta entoncesdesconocida, fue G. Leibniz, el cual lallamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que

ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de la posición

en todo lo cual no se ha de tener encuenta las cantidades, ni su cálculo... Por ello, cuando recientemente se mencionó

cierto problema que parecía realmente pertenecer a la geometría, pero estaba

dispuesto de tal manera que ni precisabala determinación de cantidades ni admitía

solución mediante el cálculo de ellas, nodudé en referirlo a la geometría de la

posición... L. Euler.

10 Profesora de la Universidad del País Vasco-EuskalHerriko Unibertsitatea.

La topología es probablemente la más joven de

las ramas clásicas de las matemáticas. Encontraste con el álgebra, la geometría y la teoríade los números, cuyas genealogías datan detiempos antiguos, la topología aparece en el siglodiecisiete, con el nombre de analysis situs, estoes, análisis de la posición.

De manera informal, la topología se ocupa deaquellas propiedades de las figuras quepermanecen invariantes, cuando dichas figurasson plegadas, dilatadas, contraídas odeformadas, de modo que no aparezcan nuevos

puntos, o se hagan coincidir puntos diferentes. Latransformación permitida presupone, en otraspalabras, que hay una correspondencia biunívocaentre los puntos de la figura original y los de latransformada, y que la deformación hacecorresponder puntos próximos a puntospróximos. Esta última propiedad se llamacontinuidad, y lo que se requiere es que latransformación y su inversa sean ambascontinuas: así, trabajarnos con homeomorfismos.

El topólogo considera los mismos objetos que elgeómetra, pero de modo distinto: no se fija en lasdistancias o los ángulos, ni siquiera de laalineación de los puntos. Para el topólogo uncírculo es equivalente a una elipse; una bola nose distingue de un cubo: se dice que la bola y elcubo son objetos topológicamente equivalentes,porque se pasa de uno al otro mediante unatransformación continua y reversible.

El objetivo de este texto es indicar algunos de losproblemas que estudia la topología y la noción de

invarianza topológica. Tras una breve revisiónhistórica de los hechos cruciales en la evoluciónde la topología, se estudian de manera muyintuitiva tres teorías topológicas:

• la teoría de grafos, insistiendo en dos ejemplosclásicos, el problema de los siete puentes deKönisberg11 y, el teorema de los cuatro coloresque parecen un juego de niños, pero que

11 Leonhard Euler el pionero de la Topología, es el queresuelve el problema que fue formulado en el siglo XVIII y

que consistía en encontrar un recorrido para cruzar a pietoda la ciudad, pasando sólo una vez por cada uno de lospuentes, y regresando al mismo punto de inicio. Euler ladenominó "geometriam situs" o geometría de posición. Otrode los problemas más famosos que se plantean, esta vez dela mano de Francis Guthrie, es el problema de colorear unmapa con sólo cuatro colores. Nota de la cátedra.





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involucran en su resolución complicadas teorías

matemáticas;

• la teoría de nudos, con sorprendentesaplicaciones en Biología Molecular, Física,...

• la teor ía de superficies, apartado desarrolladocon más rigor matemático que los anteriores: setrata aquí de clasificar todas las superficiescompactas... y clasificar es el objeto central de laTopología. (…)

2. La teoría de grafos

El estudio de grafos está ligado habitualmente a latopología. Un grafo es sencillamente un conjunto depuntos, los vértices, algunos de los cuales estánligados entre ellos por medio de líneas, las aristas.La naturaleza geométrica de estos arcos no tieneimportancia, sólo cuenta la manera en la que losvértices están conectados.(…)

2.2 El teorema de los cuatro colores

F. Guthrie (1831-1899) plantea en 1852 la siguienteconjetura: para colorear cualquier mapa geopolíticoplano (suponiendo cada país formado por un únicotrozo), de tal modo que dos países con fronteracomún sean de distinto color, basta (como máximo)con cuatro colores.(…)

3. La teoría de nudos

La técnica de tejido, que precisa cruces yanudados de hilos, se conoce ya en el neolítico. Aún en épocas anteriores, existen ya métodosque permiten unir una lámina de silex a sumango, con tripas, nervios de animales o fibrasvegetales. Lamentablemente, la descomposiciónde todas estas ligaduras orgánicas no permitiránunca conocer con precisión la edad de losprimeros nudos... En la época actual, los marinosse han apropiado de esta técnica, esencial parasu trabajo. En 1944, el pintor C.W. Ashley (1881-1947) describe y dibuja en su libro The AshleyBook of Knots exactamente 3.854 nudos.

Los nudos están presentes en ámbitos tandispares como la decoración, la industria textil, lamagia, el alpinismo o la cirugía. Su estudio

matemático permite en la actualidad ver su

relación con la física, la química o la biologíamolecular. Para el matemático, un nudo es unacurva continua, cerrada y sin puntos dobles. Estacurva está situada en un espacio de dimensióntres y se admite que pueda ser deformada,estirada, comprimida, pero está prohibido hacer cortes. Cuando se puede, a través demanipulaciones de este tipo (es decir, por medioun homeomorfismo) pasar de un nudo a otro, sedice que son equivalentes. En general, es muydifícil decidir cuando dos nudos son equivalentes,y gran parte de la teoría de nudos está

precisamente dedicada a intentar resolver esacuestión. Por ejemplo, el nudo trivial (no haynudo) equivale a este otro de aparienciacomplicada:

Los nudos están catalogados teniendo en cuentasu complejidad. Una medida de la complejidad esel número de cruce, es decir,, el número depuntos dobles en la proyección plana más simpledel nudo. El nudo trivial tiene número de crucecero. El trébol y la figura de ocho son los únicosnudos con número de cruce tres y cuatro,respectivamente.

Nudo trivial





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Nudo trébol

Nudo figura de ocho

Hay dos nudos con número de cruce cinco, trescon seis y siete con número de cruce siete. Peroel número crece radicalmente: hay 12.965 nudoscon trece o menos cruces en una proyección

minimal, y 1.701.935 con dieciseis o menoscruces... Los nudos se pueden sumar, restar,multiplicar e incluso dividir (el álgebre de losnudos). Pero cuando los nudos se complican, susimple descripción no basta para distinguirlos. Así, partiendo de su forma (la geometría delnudo), se han desarrollado fórmulas quefuncionan para todos los nudos, hay invariantestopológicos que se obtienen al estudiar elcomplementario del nudo...

(…)

4. Clasificación topológica de superficiescompactas

Los topólogos están particularmente interesadosen el estudio de variedades, nombre que sugieremultiplicidad de formas. Un balón de fútbol, por ejemplo, es una variedad de dimensión 2, estopológicamente una esfera S2: lo podemosmanipular como queramos, pero sin romperlo, yseguirá siendo un balón de fútbol.

(…)

6. Bibliografía

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[K] M. Kline, El pensamiento matemático de laantigüedad a nuestros días, Alianza Editorial, 1993.[M] W. S. Massey, Introducción a la topologíaalgebraica, Reverté, 1982.[Po] J.C. Pont, Topologie algébrique des origines aPoincaré, Presses Universitaires de France, 1974.[Pr] V.V. Prasolov, Intuitive topology, A.M.S., 1994.[S] I. Stewart, Conceptos de Matemática Moderna, Alianza Editorial, 1977.





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MATEMÁTICASColección científica Life – TimeDavid Bergamini

Preparado por Patricia Barros

http://www.librosmaravillosos.com/matematicalife/capitulo08.html

Capítulo 8Las matemáticas en la actualidad: hechos, dudas, sueños

Contenido:8.5 La topología: las matemáticas de la distorsión8.6 Un mundo de variaciones topológicas8.7 La "división' de una tira de Möbius

8.5. La topología: las matemáticas de ladistorsión

En las regiones más avanzadas de lasmatemáticas modernas, algunas de las mejoresmentes de hoy están trabajando en un extrañomundo de formas fascinantes, improbables. Estecampo se conoce por topología. Es un tipoespecial de geometría referida a las posibilidades

de que las superficies puedan hacerse retorcer,doblar estirar o bien deformar, de una formadeterminada en otra. Algunas veces los topólogosse ocupan de superficies que nadie podríaconstruir, algunas veces conciben formas queparecen imposibles, por ejemplo; una superficiecon una sola cara. A los topólogos les gustaescoger una parodia de Hiawatha, sobre un indioque hizo unos mitones de peluda piel:

«Para poner dentro el lado calientePuso fuera el lado de dentro de la piely Para poner fuera el lado frío

Puso dentro el lado caliente del lado del pelo».

Al dar la vuelta a los mitones, el indio realizabauna maniobra topológica.

SEMBLANTESTOPOLÓGICOS Al topólogo lo definen comoun hombre que no sabe la

diferencia entre una rosquillay una taza de café. Pero así como no le es posibletransformar una rosquilla enuna taza, puede demostrar que rosquilla y taza sontopológicamente iguales, locual significa decir que enteoría, por lo menos, una puede transformarse en laotra, como se mostróanteriormente

8.6 Un mundo de variaciones topológicas

La mayor parte de los objetos en estas páginas,tales como la esfera (abajo) que se transforma enprimer lugar en un cubo y después en una masasin forma, o como el imposible neumático elásticode la página derecha, están realizando lo que lostopólogos llaman transformaciones. Éstas sonvariaciones en la forma de una superficie quedejan inalteradas ciertas propiedades básicas.Para un topólogo una figura transformada así noha variado en forma alguna.Cuando un chiquillo coge una bola de barro, y la

transforma en una caja y después en un disco,está realizando transformaciones topológicassimilares a las que se ilustran en ésta y en laspáginas siguientes. Lo que ha hecho es deformar la bola de barro sin romperla.





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Todas las transformaciones topológicasdemostradas abajo comprenden una propiedaddenominada "el género". Éste se define por elnúmero de agujeros que tiene el objeto o, comodicen los topólogos, por el número de cortescirculares cerrados sin intersección ocompletamente circulares que pueden hacerse endicha superficie sin romperla en dos partes.

REALIZANDO TRANSFORMACIONESEn las tres filas de variaciones topológicas dearriba, los objetos pueden transformarse uno

en el otro al retorcerlos, doblarlos o darles otraforma. Pero una esfera no podríatransformarse en rosquilla o una jarra paraleche en un cubo, sin hacer o eliminar un

agujero.

LA DETERMINACIÓN DEL GÉNEROLas tres figuras ilustran el género. No se puede

hacer ningún corte alrededor de la esfera sindividirla; por tanto su género es 0. Sólo se puede hacer un corte en una rosquilla sindividirla: su género es 1. Una figura de 2

agujeros tiene género 2

DANDO LA VUELTA A UN NEUMÁTICOEn un ejercicio de imaginación topológica, un

neumático que pueda estirarse infinitamente puededársele la vuelta sin que se rompa. Primero (parte

superior izquierda) el agujero de la válvula(señalado en rojo) se abre estirándola. La aberturadespués se hace sucesivamente más ancha hasta

que hay más agujero que neumático. Al torcerlodos veces (pasos 6 y 7) se da la vuelta al

neumático

GIROS TOPOLÓGICOSSacarse un chaleco sin tener que sacarse la chaquetaes un movimiento simple aunque arduo. Los cuadros

de abajo muestran el esfuerzo de un hombre por sacarse su chaleco. Desde un punto de vista

topológico el chaleco jamás estuvo dentro de lachaqueta.





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EL GÉNERO DE CUATRO OBJETOSCOTIDIANOS

El amplio conjunto de objetos familiares cuyassuperficies pueden identificarse topológicamente,se ilustra en esta página. Arribo, de izquierdo a

derecha, se hallan superficies de género 0, 1, 2 otres o más. Abajo hay un grupo de formas distintas,

codo una de las cuales puede transformarse

topológicamente. Las superficies del mismo génerotienen igual color.

TOPOLOGÍA DE UNA CARADeformada en el espejo de la “casa de los misterios”

la cara del hombre y su reflejo son las mismas: un punto y su vecindad en una, corresponden a un punto

y su vecindad en otra

LA TIRA DE MÖBIUS CON UN SOLO LADOUna tira de Möbius se hace fácilmente con una tira

lisa de papel corriente: primero se da media vuelta ala tira y después se unen los extremos para obtener

un anillo cerrado.

«DIVISIÓN» DE UNA TIRA DE MÖBIUSCuando se hace un corte por la mitad de una tira deMöbius podría esperarse dividir la tira en dos. Pero

cuando se traza una línea alrededor de la tira (arriba)y la tira se corta a lo largo de la línea, el resultado no

es dos tiras sino una tira de dos lados. Una tira deMöbius sólo tiene un borde; el corte añade un

segundo borde, y un segundo lado.

8.7 La "división' de una tira de Möbius

Los topólogos disfrutan creando formas extrañas yobjetos raros. Entre los más curiosos de éstos se hallala superficie de un lado, introducida por el matemáticoalemán y astrónomo Augustus Ferdinand Möbius(1790-1868). En un artículo, Möbius describía susuperficie de papel como una tira que tiene "un sololado". Esta tira de un lado, difícil de imaginar pero fácilde construir (arriba) tiene toda clase de propiedadesinesperadas.Otro matemático alemán, Felix Klein (1849-1925),siguiendo las directrices de Möbius, ideó una botellacon una sola superficie (lado opuesto). Dicha botella,de cortarse por la mitad de su longitud, setransformaría entonces en dos tiras de Möbius.

La obra de Möbius y Klein siempre ha fascinado allego. Hace algunos años un mal poeta escribió:





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"Un matemático creíaQue la tira de Möbius tiene sólo una cara.

Usted mucho se reiráSi la corta por la mitad.

Ya que al dividirla queda en una sola pieza".Otro poeta terminó la historia:"Un matemático llamado KleinCreyó divina la tira de Möbius.

Dijo, si usted pega los bordes de dos tirasobtendrá una botella igual que la mía".

DANDO COLOR A UNA TIRA DE MÖBIUSCualquiera puede pintar un anillo de papel ordinariode color rojo por un lado y verde por el otro. «Pero ni

siquiera Picasso podría hacer esto con una tira deMöbius». Si alguien lo intentara vería que la tira

tiene únicamente un lado en el que coinciden amboscolores

TIRA DE MÖBIUS EN TRES PARTESUna tira de Möbius cortada en tres partes (arriba) dalugar a una nueva sorpresa: Las tijeras hacen dosvueltas completas alrededor de la tira pero sólo uncorte unitario continuo. El resultado final de este

corte son dos tiras entrelazadas (arriba, partederecha). Una de las tiras es un aro de dos lados y la otra es ahora una nueva tira de Möbius.

LA BOTELLA QUE NO TIENE INTERIOR Este modelo de una botella de Klein, que no tiene«ningún interior», pertenece al topólogo Albert W.

Tucker, de la Universidad de Princeton. Nadie verá jamás una verdadera botella Klein ya que ésta sólo

existe en la imaginación del topólogo, la "botellaKlein se atraviesa a si misma sin que haya ningún

agujero.

CONSTRUCCIÓN DE LA BOTELLA DE KLEIN Los tres diagramas de la izquierda ilustran cómo sehace la botella de Klein: (1) un extremo del tubo se

convierte en el cuello, el otro extremo en la base; (2)el cuello atraviesa el lado de la botella; (3) el cuello y

la base se unen, transformando en una sucesióncontinua el interior y el exterior .





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ANEXO VISUAL y TEÓRICO Material de cátedra





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lp2 modulo f bibliografía 2013 primera parte

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