la ley del semicírculo. · 22 de noviembre de 2012 j. armando domínguez molina [email protected]...

La ley del semicírculo.

J. Armando Domínguez [email protected]

Facultad de Ciencias Físico-MatemáticasUniversidad Autónoma de Sinaloa

Escuela de Matrices AleatoriasCIMAT, Guanajuato, Gto.19-23 de noviembre de 2012

22 de noviembre de 2012J. Armando Domínguez [email protected]

Facultad de Ciencias Físico-MatemáticasUniversidad Autónoma de Sinaloa

Escuela de Matrices AleatoriasCIMAT, Guanajuato, Gto.19-23 de noviembre de 2012

() Semicírculo 22 de noviembre de 2012 1 / 1

La ley del semicírculo

Ley del SemicírculoTeorema de Wigner. Sea An una matriz de Wigner, donde aij sonv.a.i.i.d, con Var

�aij�= 1, 1 � i < j � n, y aii son v.a.i.i.d. Entonces

FAn/p

n (x) D!n!∞

F (x) , c.s.,

donde F (x) es la ley del semicírculo.

Ley del Semicírculo

F0 (x) =1

2π

p4� x21[�2,2] (x) ,

1E (x) = 1 si x 2 E y 1E (x) = 0 en otro caso.

J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 22 de noviembre de 2012 2 / 24

Grá�cas cíclicas

Podemos separar las grá�cas-Γk,t en tres categorías.

Categoría 1: Γ1. Cada arista tiene una, y solo una, arista paralela endirección opuesta.

Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.

Lema

Si t > k2 entonces Γk,t /2 Γ3.

Corolario

Si Γk,t 2 Γ3 entonces t � k2 .





Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.

Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.

Lema


Corolario






Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.

Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.

Lema


Corolario






Observación. Si k es impar no hay grá�cas Γk,t en Γ1.Categoría 2: Γ2. Grá�cas con por lo menos una arista simple.Categoría 3: Γ3. El resto de las grá�cas.

Lema


Corolario




Corolario

Hay a lo más nk2 grá�cas en Γ3.

Observación

En Γ2 hay menos de nk < ∞.

Pregunta¿Cuántas habrá en Γ1?



LemaContar grá�cas en Γ1 es equivalente a contar sucesiones �1�s que cumplen

ζ i = �1sl = ζ1 + � � �+ ζ l , 1 � l � 2k,sl � 0 ) ζ1 = 1

s2k = 0 ) ζ2k = �1

ObservaciónLa grá�cas en Γ1 son árboles orientado con raíz de k aristas.


Biyección árboles orientados y árboles binarios

Se pueden identi�car estos árboles con sucesiones características quetienen de elementos dicotómicos como sigue. A cada árbol orientado conraíz de k aristas se le asocia la 2k-tupla (ζ1, ..., ζ2k) construida de lasiguiente manera: si en el i-ésimo paso del recorrido la arista en turno esrecorrida por primera vez (innovación) entonces ζ i = 1 y si ya se habíapasado ella entonces ζ i = �1. Esto establece una biyección entre losárboles orientados con raíz de k aristas y el subconjunto T2k de f�1, 1g2k

que consiste de los elementos (ζ1, ..., ζ2k) tales que

ζ i = �1sl = ζ1 + � � �+ ζ l , 1 � l � 2k,sl � 0 ) ζ1 = 1

s2k = 0 ) ζ2k = �1


Biyección árboles orientados y árboles binarios

Los árboles Árboles binarios con k/2 padres tienen la misma sucesión de�1�s.


Número de elementos en

Γ1

Resultado. Para k par hay Ck/2 árboles orientados con raíz de karistas.



Γ1Para cada i 2 f1, ..., ngk de�namos G (i) como una grá�ca Γk,t,reescribamos A (i) = A [G (i)] .

Para k � 1, n � 1 sea

Λk =fG (i) = (V, E, ϕ) : V = i = (i1, ..., ik) , E = fe1, ..., ekg ,

ϕ�ej�=�ij, ij+1

�, ik+1 := i1, 1 � j � k, 1 � ij � ng

,

con la convención de que ik+1 = i1.



Γ1

De�niciónDos grá�cas G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) son isomorfas, denotado porG1�= G2, si existe una biyección θ : V1 �! V2 tal que

(u, v) 2 E1 () (θ (u) , θ (v)) 2 E2.

Es decir, dos grá�cas son isomorfas si una puede convertirse en la otra poruna permutación de los números (1, ..., n) .

LemaLa relación ��=�es una relación de equivalencia en Λk.



Γ1Se tiene una partición �nita de M clases de equivalencias. Tomemos unrepresentante, Γ̂m, m = 1, ..., M, de cada clase�

Γ̂m�=�

G (i) : G (i) �= Γ̂m

,

Λk =M[

m=1

�Γ̂m�

=M[

m=1

[Γ̂m2Γjj=1,2,3

[G(i)2Γ̂m

G (i) .



Γ1En Γ1 hay

#

8<: M[m=1

[G(i)2Γ̂m

G (i)

9=; = n (n� 1) � � ��

n� k2

�Ck/2.


Veri�cación de la condición C1

Sea Bn = An/p

n entonces y λ1, ..., λn sus eigenvalores

FBn (x) =# fλi � x : i = 1, ..., ng

n

E [βk (Bn)] =1

n1+ k2

Ehtr�

Akn

�i=

1

n1+ k2

n

∑i1,i2,...,ik=1

E (ai1i2 ai2i3 ...aiki1)

=1

n1+ k2

∑i

E [A (i)] ,

donde A (i) = ai1i2 ai2i3 ...aiki1 , i = (i1, ..., ik) 2 f1, ..., ngk .



E [βk (Bn)] =1

n1+ k2

∑i

E [A (i)] =1

n1+ k2

∑i

E fA [G (i)]g



De acuerdo con lo anterior, podemos escribir como

E [βk (Bn)] =1

n1+ k2

∑i

E fA [G (i)]g

=1

n1+ k2

∑Γ̂m2Γjj=1,2,3

∑G(i)2Γ̂m

E fA [G (i)]g

= S1 + S2 + S3,

donde Sj =1

n1+ k2

∑Γ̂m2Γj

∑G(i)2Γ̂m

E fA [G (i)]g , j = 1, 2, 3.



En Γ2 toda grá�ca tiene una arista simple. En consecuencia S2 = 0.Dado que en S3 se tiene que t � k

2 )�� 1

n1+ k2

∑Γ̂m2Γ3

∑G(i)2Γ̂m

E fA [G (i)]g

�� 1

n1+ k2

∑Γ̂m2Γ3

∑G(i)2Γ̂m

jE fA [G (i)]gj

� 1

n1+ k2

∑Γ̂m2Γ3

∑G(i)2Γ̂m

Ck

� 1

n1+ k2

nk2 Ck =

Ck

n.



Lema

Por último, en S1 k es par y E fA [G (i)]g =hE��aij

��2�i k2= (1)

k2 = 1.

S1 =1

n1+ k2

Ck/2

∑m=1

∑G(i)2Γ̂m

1

=1

n1+ k2

Ck/2

∑m=1

n (n� 1) � � ��

n� k2

�= Ck/2

nn

n� 1n

� � � n� k/2n

�! Ck/2



Observemos que βk (Bn) 2 R.

βk (Bn) =1

n1+ k2

∑i

A (i)

Var [βk (Bn)] = En[βk (Bn)]

2o� fE [βk (Bn)]g2

= E

8<:"

1

n1+ k2

∑i

A (i)

#29=;�

(1

n1+ k2

∑i

E [A (i)]

)2

=1

n2+k ∑i,j

E [A (i) A (j)]� 1n2+k ∑

i,jE [A (i)]E [A (j)]

=1

n2+k ∑i,jfE [A (i) A (j)]� E [A (i)]E [A (j)]g .

i, j 2 f1, ..., ngk .J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 22 de noviembre de 2012 18 / 24


Var [βk (Bn)] =1

n2+k ∑i,jfE [A (i) A (j)]� E [A (i)]E [A (j)]g .

Observe que si A (i) es independiente de A (j) se tiene queE [A (i) A (j)] = E [A (i)]E [A (j)]

Si hay alguna arista simple en G (i) [ G (j) se sigue queE [A (i) A (j)] = E [A (i)]E [A (j)] = 0

En los casos que quedan el número de vértices de G (i) [ G (j) es � k yjE [A (i) A (j)]� E [A (i)]E [A (j)]j � 2C2k. Así

Var [βk (Bn)] �2

n2+k nkC2k =2C2k

n2 .

)∞

∑n=1

Var [βk (Bn)] � 2C2k∞

∑n=1

1n2 = 2C2k π2

6< ∞.

�J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 22 de noviembre de 2012 20 / 24

Generalización al caso no idénticamente distribuido

Ley del Semicírculo

Sea Bn = An/p

n una matriz de Wigner tal que aij son v.a.i. si1 � i < j � n. Eaij = 0, Ea2

ij = 1 y satisfacen la condición

limn!∞

1n2

n

∑j,k=1

E��ajk��2 I��ajk

�� ηp

n�= 0.

Entonces, FBn converge a la ley del semicírculo c.s.


Varianza o media in�nita

¿Qué pasa si E ja12j2 = ∞ o Eja12j = ∞?De�nición. Una función L : (0, ∞) �! (0, ∞) es de variación lenta si8a > 0

limx!∞

L (ax)L (x)

= 1.

De�nición. Una variable X aleatoria está en el dominio de atracción deuna ley α-estable, α 2 (0, 2) si existe una función, L, de variación lenta, talque

P (jXj � u) =L (u)

uα.


Caso varianza o media in�nita

Teorema

Sea An =�aij�

, una matriz de Wigner tal que aij son v.a. i.i.d,1 � i � j � n, tales que las v.a.�s aij�s están en el dominio de atracción deuna ley α-estable, α 2 (0, 2). Defínase

bn = inf�

u : P��xij

�� u�� 1

n

= L0 (n) n1/α.

sea α 2 (0, 2) y Bn = An/bn. Entonces

I) 9 Fα función de distribución tal que FBnD, p�! Fα.

(ii) Existe una subsucesión que tal que FBnD, c.s.�! Fα,

Propiedades de la DELFα es simétricaFα es de soporte no acotado


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