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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas.Mujeres en Matemáticas. Aritmética Modular

Margarita María Toro V. www.medellin.unal.edu.co/~mmtoro

23 de febrero de 2015

Universidad Nacional de Colombia () Lunes 2-4pm 23 de febrero de 2015 1 / 57

Problema de Josephus

Cuenta el historiador romano Flavio Josephus que en la guerrajudio-romano, 10 judios quedaron atrpados en una cueva y que, en lugarde rendirse, decidieron inmolarse. Se hicieron en un circulo y se ibanmatando uno de por medio. El último que quedara vivo debía entregarse¿Quien fue el sobreviviente?¿Cuál es la respuesta si hay 15 judios?¿Puede hallar un método general para el caso general?. Es decir, dado unnúmero n de judios, puede hallar el sobreviviente?


Problema de Josephus

Para el caso n = 10 el sobreviviente es 5, y para n = 15 es 15.Hay un método muy curioso y eficiente de encontrar el sobreviviente yutiliza la numeración binaria, que vimos en la clase pasada.Para encontrar el sobreviviente escriba el número n es binario. Luego paseel dígito 1 que se encuentra a la izquierda y pongalo a la derecha. Elnúmero que le da es el del sobreviviente.Por ejemplo, para n = 10.10 = 1010, muevo el 1 y obtengo 101 que es el número 5.

Para n = 15.15 = 1111, muevo el 1 y vuelvo a obtener 1111 que es 15.

El problema es tratar de explicar por qué funciona el algoritmo anterior.


Cuatro cuatros

¿Cuantos número enteros distintos puede escribir usando exactamentecuatro 4 y cualquier operación matemática conocida? (O desconocida parausted hasta ahora pero que exista).Veamos unos ejemplos.

44− 44 = 04444

= 1

4+ 4+ 44

= 3

4+√4+

44= 7


Mujeres en Matemáticas

Maryam Mirzakhani recibió la Medalla Fields en 2014, en el CongresoInternacional de Matemáticas, que se celebró en Seul. Es la primera mujerque recibe este premio, que es el premio más prestigioso en matemáticas yes el análogo al Premio Nobel para las matemáticas.Universidad Nacional de Colombia () Lunes 2-4pm 23 de febrero de 2015 5 / 57


Nació en Teheran, Iran en 1977. Ganó medallas de oro en la OlimpiadasInternacionales de Matemáticas de 1994 y 1995. De hecho tuvo puntajeperfecto en el examen de 1995.Se graduó de pregrado en matemáticas en 1999 en la UniversidadTecnológica de Sarif en Teheran. Obtiene su Ph. D. en matemáticas en laUniversidad de Harvard, Estados Unidos en 2004.

Su tesis de doctorado se titula "Simple Geodesics on Hyperbolic Surfacesand Volume of the Moduli Space of Curves". Su tesis resuelve variosproblemas importantes en el tema de superficies hiperbólicas, y le permitiópublicar tres artículos en revistas de alto prestigio. Su director de tesis fueCurtis McMullen, quien había ganado la Medalla Fields en 1998.

Es profesora de matemáticas de la Universidad de Stanford, EstadosUnidos desde 2008.



Maryam Mirzakhani dice que de cierta forma la investigación enmatemáticas se parece a escribir una novela. “Hay diferentes personajes yuno los empieza a conocer mejor. Las cosas cambian y uno vuelve a mirarun personaje, es completamente distinto a lo que había pensadooriginalmente."

Durante la historia de la matemática occidental ha habido casos demujeres en matemáticas. Inicialmente en forma esporádica, pero cada vezla situación es mejor y hay más mujeres estudiando matemáticas ycompitiendo con equidad, como lo muestra el caso de Maryam Mirzakhani.

Veamos algunos de esos ejemplos de mujeres matemáticas.



Teano, nació en Crotona, Grecia, en el siglo VI a.c.Si a Tales se le considera el primer matemático, a Pitágoras el padre de lamatemática, a Teano se le considera la primera mujer matemática.



Su padre, Milón, valoraba la importancia de las artes y de las ciencias yfue mecenas de Pitágoras. Cuando Teano tuvo la edad adecuada, su padrela envió a la escuela pitagórica, como alumna de Pitágoras, para queestudiara y aprendiera la ciencia matemática.

En aquella época la mujer estaba marginada de las actividades científicas,pero en la escuela pitagórica de Crotona no existían prejuicios nidiscriminaciones y se recibía por igual a hombres que a mujeres ¡hace2.700 años¡.

Se casó con Pitágoras. Se considera la primera persona que estudió laproporción áurea.



Hipatia de Alejandría fue la primera mujer en realizar una contribuciónsustancial al desarrollo de las matemáticas. Nació en el año 370, enAlejandría, Egipto.

Representación imaginaria de Hipatia en La escuela de Atenas, de Rafael.



Hipatia era hija del matemático y filósofo Teón de Alejandría y es casiseguro que estudió matemáticas bajo la guía e instrucción de su padre.Es notable que Hipatia haya llegado a ser directora de la escuela platónicade Alejandría hacia el 400 d. C.

Falleció en el 416, cuando sus trabajos en filosofía, física y astronomíafueron considerados como una herejía por un amplio grupo de cristianos,quienes la asesinaron brutalmente.

Desde entonces, Hipatia es considerada casi que como una santa patronade las ciencias y su imagen se considera un símbolo de la defensa de lasciencias.



Emilie du Châtelet (1706 - 1749). Fue una matemática y física francesa,traductora de Newton al francés y difusora de sus teorías. Émilie no pudoasistir a los colegios para hombres ni a la Universidad, pero tuvo unabuena formación con los mejores tutores. Sostuvo una estrecha relacióncon Voltaire (1694-1778).

Portada de Les Elements de la Philosophie de Newton de Voltaire.Universidad Nacional de Colombia () Lunes 2-4pm 23 de febrero de 2015 12 / 57


María Gaetana Agnesi (1718 - 1799). Italiana. Escribió el primer libroque trataba de calculo diferencial e integral.Agnesi nunca pudo entrar a la Academia Francesa por ser mujer; pero sien las Academias Italianas por éstas ser mas liberales.

AgnesiUniversidad Nacional de Colombia () Lunes 2-4pm 23 de febrero de 2015 13 / 57


y = 8a3/(x2 + 4a2

). Bruja de Agnesi para diferentes valores de a

Una de las partes más importantes de este libro fue la curva de plano conla ecuación cartesiana y = 8a3/

(x2 + 4a2

).

Cuando este libro fue traducido al inglés por John Colson, profesor dematemáticas de Cambridge, éste le dió el nombre de "bruja" a la curvaestudiada por Agnesi debido a una mala traducción y de ahí cada vez quese iba a mencionar a Agnesi se referían a ella como la bruja de Agnesi.Universidad Nacional de Colombia () Lunes 2-4pm 23 de febrero de 2015 14 / 57


Sophie Germain (1776 - 1831) Francia. Trabajó en teoría de números yel teorema de Fermat. Fue autodidacta. Estudio en la Escuela Politécnicade París usando el seudonimo de M. LeBlanc, para ocultar que era mujer.Varios matemáticos la apoyaron cuando se enteraron que era mujer. Entreellos estuvo Gauss, quien convenció a la Universidad de Gottingen de darleun grado honorario, pero Sophie murío antes de obtenerlo.



Mary Fairfax Somerville (1780 - 1872). Escocesa, escritora de ciencias,matemáticas y astrónoma. En 1826 escribe un artículo sobre su trabajoque es el primer artículo de una mujer que es aceptado para presentaciónen la Royal Society y luego publicado en sus Philosophical Transactions.Ada Byron, Lady Lovelace (1815 - 1852) Inglesa, se conoce como laprimera programadora de computador del mundo. Fue hija de un famosopoeta ingles, Lord Byron. Fue amiga de Charles Babbage, creador de laMáquina Analítica, que puede pensarse como precursor del computador.

Mary Someerville Ada Byron



Sonya Kovalevskaya (1850 - 1891) Rusa, fue la primera mujer queobtuvo un título de doctorado en matemáticas.



Estudio con Karl Weierstrass en la Universidad de Berlín pero obtuvo suPh.D. en la Universidad de Gottingen in 1874, porque la universidad deBerlín no permitía que hubiera estudiantes oficialmente.

Hizo contribuciones importantes en análisis, ecuaciones diferenciales ymecánica. Fue la primera mujer con el título de profesora de matemáticascuando la contrataron en la Universidad de Estocolmo. También fue laprimera mujer en editar una revista importante de matemáticas.



Charlotte Angas Scott (1858 - 1931) Primer mujer inglesa en obtener undoctorado en matemáticas en Inglaterra. Estudio en la Universidad deCambridge con resultados sobresalientes, terminando los exámenes en1880 y haciendo allí su investigación. Pero como la Universidad deCambridge no otorgaba títulos a mujeres, recibió su doctorado de laUniversidad de Londres en 1885. Dato curioso, la Universidad deCambridge sólo empezó a otorgar títulos a mujeres en 1948.



Winifred Edgerton Merrill (1862 - 1951) Primer mujer americana enobtener un Ph.D. en matemáticas.Emmy Noether (1882 - 1935) Es uno de los mas importantes algebristasdel siglo XX.



Noether tomó clases de matemáticas en la Universidad de Erlangen,Alemania, y fue la segunda mujer en obtener un título de doctorado enmatemáticas de esa institución. La Universidad de Erlangen no la contratóporque estaba prohibido contratar mujeres, pero ella hacía investigación enel departamento de matemáticas y ocasionalmente enseñaba las clases desu padre, que era profesor allí. Noether fue a enseñar a la Universidad deGottingen por la recomendación de Felix Klein y David Hilbert. Como erajudía, tuvo que abandonar Alemania en 1933, por la persecución nazi yviajó a Estado Unidos, donde enseño en Bryn Mawr College hasta sumuerte en 1935.


Situación de la mujer en las matemáticas en Colombia

Hasta 1933, el bachillerato en Colombia estaba restringido a los hombres.Cuando el Gobierno abrió el acceso al diploma de bachillerato a lasmujeres, empezaron a efectuarse los cambios necesarios en la educaciónsecundaria femenina.Una serie de reformas efectuadas durante las administraciones de EnriqueOlaya Herrera (1930 a 1934) y de Alfonso López Pumarejo (1934 a 1938)se dirigieron a afrontar algunos de los problemas tratados durante elCuarto Congreso Internacional Femenino celebrado en Bogotá endiciembre de 1930.De particular importancia fueron las concernientes a la educaciónsecundaria que hicieron posible la aprobación del bachillerato y elsubsecuente ingreso de las mujeres a la universidad.



Durante toda su administración, el Presidente Olaya Herrera lanzónumerosas propuestas de reforma educativa. El cambio en la educación,desde la primaria a la universitaria, era un cometido firme en el programadel partido liberal. Algunos elementos de la reforma pasaron al gobierno deAlfonso López Pumarejo e hicieron parte de su revolución política y social.El Decreto Presidencial N0 227 del 2 de febrero de 1933, mediante el cualse confería a los colegios colombianos la facultad de preparar a la mujerpara el bachillerato, despertó el entusiasmo de todo el país. En la práctica,sin embargo, la aplicación del cambio no fue fácil.El histórico Colegio Departamental de La Merced, fundado en Bogotá en1832, fue la primera institución oficial colombiana que ofreció educaciónpara la mujer, y en 1935 fue el primero en el país en recibir autorizacióndel Ministerio de Educación para ofrecer el bachillerato a las mujeres.



Maruja Blanco Cabrera, aprobó en 1936 el examen nacional para obtenerel diploma de bachillerato, siendo la primera mujer que obtuvo título debachillerato en Colombia.Fue también la primera mujer que se graduó, en 1940, en la Facultad deOdontología de la Universidad Nacional de Colombia.

La primera mujer que obtuvo el Título de Matemático en Colombia fueClara Rodriguez, en 1966, en la Universidad Nacional de Colombia.

La primera mujer que obtuvo el Título Ph. D. en Matemáticas enColombia fue Margarita Ospina, en 2000, en la Universidad Nacional deColombia.Hoy en la Carrera de Matemáticas de la Universidad Nacional-SedeMedellín hay 43 mujeres inscritas y 188 hombres inscritos.Desde el 2010 se han graduado 7 mujeres y 24 hombres.


Controversia


Controversia

En 1992 la empresa Mattel, que produce la muñeca Barbie, sacó almercado una muñeca que decía frases sueltas, de un banco de frases quetenía almacenada. Entre las frases estaba "math is hard".Inmediatamente se presento una discusión en la que un grupo grande depersonas acusaban a Mattel de influir negativamente en las niñas,predisponiéndolas en contra de las matemáticas. A los pocos meses Mattelretiró la frase de las muñecas.¿Qué opina de esta discusión?¿Qué tanta influencias tienen los juguetes "de genero" en el desarrollo delas niñas?Forme un grupo de discusión con 3 o 4 compañeros y trate este tema.


Congruencias

En el problema de los piratas chinos se vio que lo importante en unmomento dado es el residuo de una división y no importaba tanto elcociente.Otro ejemplo importante es el calendario, donde para saber el día de lasemana hay que llevas las cuentas modulo 7. Otro ejemplo en donde, demanera natural, es útil llevar las cuentas modulo 12 es en el reloj: las trecehoras, por ejemplo, son lo mismo que la hora 1; las catorce las 2 y asísucesivamente. Introduzcamos las siguiente notación.Decimos que a ≡ b mod n (se lee a es congruente con b modulo n) si ndivide a b− a (esto último lo indicaremos escribiendo n|(b− a)). Porejemplo, 10 ≡ 3 mod 7 y −11 ≡ 1 mod 12.


Congruencias

Propiedades básicas de las congruencias

1. Si a ≡ a′ mod n y a ≡ a”mod n entonces a ≡ a”mod n

Si a ≡ a′ mod n y b ≡ b mod n, entonces

2. a+ b ≡ a+ b mod n

3. a− b ≡ a− b mod n4. ab ≡ ab mod n.

5. De aquí ad ≡ (a′)d mod n, para todo entero d > 0.


Congruencias

Propiedades básicas de las congruencias

1. Si a ≡ a′ mod n y a ≡ a”mod n entonces a ≡ a”mod nSi a ≡ a′ mod n y b ≡ b mod n, entonces

2. a+ b ≡ a+ b mod n

3. a− b ≡ a− b mod n4. ab ≡ ab mod n.

5. De aquí ad ≡ (a′)d mod n, para todo entero d > 0.


Congruencias

Por ejemplo, 12 ≡ 5 mod 7 y 10 ≡ 3 mod 7, entonces 12× 10 ≡ 15 mod7 y 15 ≡ 1 mod 7. Luego 120 ≡ 1 mod 7. En efecto, 120 = 17× 7+ 1.Las propiedades 1-5 se verifican con facilidad.Veamos, por ejemplo, por qué es cierta la propiedad 5.Supongamos a ≡ a′ mod n y b ≡ b mod n. Entonces, por definición,n|(a− a) y n|(b− b).Luego n también debe dividir a b(a− a) y a a(b− b); luego divide susuma

b(a− a) + a(b− b) = ab− ba+ ab− ab = ab− ab.Esto significa precisamente que ab ≡ ab mod n.


Problemas de congruencias

1. Pruebe las propiedades 1 a 4 de la congruencia.2. Para cada uno de los casos siguientes, encuentre un entero x quesatisfaga la congruencia dada.

a. 5+ x ≡ 2 mod 7, b. 5+ x ≡ 1 mod 6c. 5+ x ≡ 1 mod 6 d . 5x ≡ 2 mod 7,e. 5x ≡ 1 mod 6 f . x3 ≡ 1 mod 6g . 2x ≡ 1 mod 3 h. 2x ≡ 1 mod 6

¿Es la solución a los problemas anteriores única?


Días de la semana

En las primeras épocas de la humanidad, cuando los seres humanosdescubrieron el ciclo solar y la regularidad de la aparición del verano y delinvierno, se dieron cuenta de que se podía medir el tiempo transcurrido yla edad de una persona por la cantidad de pasos del invierno a laprimavera (caracterizados por el derretimiento del hielo) que había vivido.

Cuando se conoció más el ciclo anual, se pudo dividir en 4 estacionestrimestrales (más o menos convencionales, ya que las estaciones nuncaduraban la misma cantidad de tiempo ni eran exactamente iguales).Igualmente, se descubrió el ciclo de las fases lunares. La Luna pasa porcuatro momentos fáciles de discriminar:• luna llena (completamente iluminada).• luna menguante (iluminada en una mitad).• luna nueva (completamente oscurecida).• luna creciente (iluminada en su otra mitad).


Días de la semana

Entre dos fases lunares hay aproximadamente de siete días, por lo queresulta razonable tomar una medida de 7 días como unidad, que ahoranosotros llamamos semana.

En las religiones judeo-cristianas y musulmanas, por su parte, definen elorigen de la semana como el tiempo que tardó Dios en crear los cielos y latierra, y todo lo que hay en ellos.

El origen de los nombres de los días como los tenemos se basa en laobservación del cielo por los antiguos.Durante el año, la inmensa mayoría de los astros visibles no cambiaban deposición unos con respecto a otros. Sin embargo, aquellos hombresobservaron a simple vista siete cuerpos celestes que sí variaban deposición: el Sol, la Luna, y los cinco planetas que pueden verse a simplevista: Marte, Mercurio, Júpiter, Venus y Saturno.Los nombres latinos de los dioses relacionados con los astros móviles delfirmamento son meras traslaciones de los nombres griegos, los cuales a suvez son traslaciones de los nombres babilónicos, los cuales se remontan alos sumeriosEn hebreo simplemente se numeran (primer día, segundo día, etc.)contando desde el domingo, excepto el séptimo y último, que se llamashabbat.En árabe también se numeran excepto el séptimo y el sexto (día de lareunión en la mezquita).


Días de la semana

En portugués los día de lunes a viernes se llaman Segunda-feira,Terça-feira, Quarta-feira, Quinta-feira, y Sexta-feira, y los dos restantes sellaman como en español, Sábado y Domingo.Mientras que los idiomas mediterráneos orientales reflejan la numeraciónde los días de la semana, los idiomas de Europa Occidental (excepto elportugués) reflejan los nombres de los astros móviles del firmamento:Luna, Marte, Mercurio, Júpiter, Venus, Saturno, Sol.Estos siete cuerpos celestes dieron sus nombres a los días de la semana:lunes, martes, miércoles, jueves, viernes. En español, sábado procede de lapalabra hebrea shabbat (día de descanso), y domingo de la palabra latinadomínica (día del Señor).No obstante, en algunos idiomas (como el inglés, por ejemplo), semantienen los nombres originales de estos dos días: saturday (día deSaturno) y sunday (día del Sol); y en otros idiomas se sustituyen los diosesgrecorromanos con los dioses germánicos más o menos correspondientes.Así, el dios germánico de la guerra Tiw (tuesday) sustituye al marcialgrecorromano Marte.Universidad Nacional de Colombia () Lunes 2-4pm 23 de febrero de 2015 33 / 57

Historia del calendario occidental

En los comienzos de nuestra era, el mundo occidental estaba dominadopor los romanos, de ahí que el calendario vigente en todo el imperio fueseel juliano, cuyo inicio se remontaba al 753 a.C., supuesto año de lafundación de Roma, pero con las reformas introducidas en 46 a.C. pororden de Julio César.Dionysius Exiguus propuso al Papa iniciar la numeración justo en el año dela Natividad de Jesús, que, en consecuencia, designó como el A.D. 1(Anno Domini uno, o primer año del Señor):

DionysiusExiguusUniversidad Nacional de Colombia () Lunes 2-4pm 23 de febrero de 2015 34 / 57

Historia del calendario occidental

¿Por qué no numerar los años comenzando desde el momento en el queJesús, el Salvador, inició su vida terrena?La propuesta obtuvo la bendición inmediata del Pontífice, con lo cual seinstitucionalizó la era cristiana. Hoy se sabe que Exiguus cometió unpequeño error aritmético por defecto, de tal modo que la Natividad ocurriórealmente cuatro años antes de lo calculado; esto es, y aunque sueneabsurdo, ¡Cristo nació en el año 4 antes de Cristo!


Reforma Gregoriana

Más adelante, en 1582, el Papa Gregorio XIII decidió modificar elcalendario juliano, vigente en su época, para lo cual reunió un equipo deimportantes astrónomos y matemáticos, comandados por el jesuitaChristoph Clavius. La comisión tenía dos tareas:

Hacer que el equinoccio de primavera volviera a ocurrir el 21 demarzo, como en los viejos tiempos del concilio de Nicea

Reformar la regla para designar los años bisiestos propuesta en lareforma juliana, y por medio de ello eliminar para siempre el molestodesacuerdo acumulativo entre los equinoccios y sus fechas. Lacomisión encargada del estudio debía tener en cuenta que el añotropical o de las estaciones, medido por el intervalo entre dos pasosconsecutivos por el equinoccio de primavera, duraba 365 días y unaengorrosa fracción ligeramente inferior a un cuarto de día(365,24219...).


Reforma Gregoriana

Para resolver las discrepancias tuvieron que adelantar el calendario.Decidieron que al jueves 4 de octubre de 1582 siguiera el viernes 15. Estesalto brusco permitió que santa Teresa de Jesús muriera el 4 de octubredel año de la reforma y fuese enterrada, sin que su cadáver mostrara señalalguna de descomposición, el 15 del mismo mes.

Gregorio XIII


Reforma Gregoriana

Lo que más preocupaba al Papa era el hecho de que la SemanaSanta, cuyo comienzo se determinaba teniendo en cuenta el momentode ocurrencia del equinoccio de primavera, estaba comenzando diezdías después de lo que Dios había ordenado, según dictados delConcilio Ecuménico de Nicea, celebrado en 325 d.C. "Acaso laSemana Santa es un planeta", decía en tono de burla el granastrónomo Kepler al observar el desmedido celo de los católicos porsincronizar la Semana Santa con los fenómenos celestes.

Ese sincronismo tiene importancia para los agricultores, porque lasépocas de siembra y recolección se rigen por la posición relativa de latierra respecto al sol.


Reforma Gregoriana

En la bula papal Inter gravissimas..., promulgada el 24 de febrero de 1582,el Papa declaraba que el nuevo calendario perpetuo debía acogerse bajopena de excomunión.


Reforma Gregoriana

La Reforma Gregoriana también estableció que el año debía iniciarseel primero de enero, y no el 25 de marzo, día de la Anunciación, comoera la costumbre, y que los años seculares -múltiplos de cien-, que nolo fuesen de 400, no serían bisiestos, a pesar de ser múltiplos de 4.Por este motivo, los años 1700, 1800 y 1900 no fueron bisiestos, peroel 2000 si fue. Con esta última medida se logró eliminar, al menos porvarios milenios, el desajuste acumulativo entre el calendario y elequinoccio de primavera (se calcula que alrededor del año 4317 sehabrá acumulado un error de apenas un día).

La duración del año es de 365,242189 días, aproximadamente. Cadasiglo se añaden 24 años bisiestos (no 25, ya que los fines de siglo nose consideran bisiestos, a no ser que sean múltiplos de 400). Estodeja todavía 0.2189 de día por adicionar cada siglo. De ahí quedebería adicionarse 0.2189× 4 = 0.8756 días cada 400 años. Pero seañada un día. En consecuencia se añade un exceso de 0.1244 díascada 400 años. En 4000 años se producirá un exceso de 1.244 de día.


Reforma Gregoriana

La Reforma Gregoriana también estableció que el año debía iniciarseel primero de enero, y no el 25 de marzo, día de la Anunciación, comoera la costumbre, y que los años seculares -múltiplos de cien-, que nolo fuesen de 400, no serían bisiestos, a pesar de ser múltiplos de 4.Por este motivo, los años 1700, 1800 y 1900 no fueron bisiestos, peroel 2000 si fue. Con esta última medida se logró eliminar, al menos porvarios milenios, el desajuste acumulativo entre el calendario y elequinoccio de primavera (se calcula que alrededor del año 4317 sehabrá acumulado un error de apenas un día).La duración del año es de 365,242189 días, aproximadamente. Cadasiglo se añaden 24 años bisiestos (no 25, ya que los fines de siglo nose consideran bisiestos, a no ser que sean múltiplos de 400). Estodeja todavía 0.2189 de día por adicionar cada siglo. De ahí quedebería adicionarse 0.2189× 4 = 0.8756 días cada 400 años. Pero seañada un día. En consecuencia se añade un exceso de 0.1244 díascada 400 años. En 4000 años se producirá un exceso de 1.244 de día.


Reforma Gregoriana

No todos los países se acogieron a la reforma gregoriana, a pesar de laamenaza de excomunión.

Los protestantes rechazaron de plano la reforma, que denunciaroncomo una argucia del Pontífice para que el mundo occidental volvieraa caer bajo la jurisdicción de Roma.

Otros, más suspicaces, creían que una de las tretas del anticristo paraengañar a los hombres era precisamente confundir el tiempo. Sinembargo, llegó un año, 1752, en que la diferencia de calendario con elresto de Europa creaba tal confusión, que prefirieron olvidar susrencillas con Roma y se acogieron al calendario cristiano. Como eldesfase con las estaciones era en ese momento de 11 días, tuvieronque saltar del miércoles 2 de septiembre al jueves 14.


Reforma Gregoriana

El desfase entre los calendarios creó un rompecabezas cronológicoinsólito: Cervantes y Shakespeare murieron en la misma fecha, perono en el mismo día. En efecto, Cervantes murió el 23 de abril -día delidioma- de 1616, y Shakespeare lo hizo en la misma fecha, pero delcalendario juliano, aún vigente en Inglaterra; lo que significa que enrealidad Cervantes murió 11 días antes que su famoso colega.

Otro rompecabezas histórico planteado por el cambio de calendario sepresentó con George Washington, quien aparece con dos fechas denacimiento. Nació el 11 de febrero de 1731 O.S. (Old Style, escriben),según el calendario juliano, vigente en Estados Unidos hasta 1752, yen el cual el año nuevo se iniciaba en marzo y terminaba en febrero;pero el 22 de febrero del año 1732 N.S. (New Style), según elcalendario gregoriano, en el que el año nuevo comenzaba en enero.


Universalidad del calendario

No todos utilizan el calendario occidental. Los musulmanes sólo utilizan elcalendario cristiano en sus relaciones internacionales, pero su verdaderaguía temporal es el religioso, que se inicia con la hégira o salida deMahoma de la Meca, ocurrida según nuestro calendario el 16 de julio delaño 622, por lo que para ellos el 2000 será apenas el 1378. Los Judíos, encambio, poseen un calendario religioso que se inicia el día de la creacióndel mundo, ocurrida según ellos el 6 de octubre de 3761 a.C., por lo queen el 2015 ellos están en el 5776 A.M. (Anno Mundi).


Universalidad del calendario

Es destacable la gran arbitrariedad y caprichos en la definición de loscalendarios. Han sido caprichosos la duración del año, el comienzo delmismo, el momento en que se inicia el conteo o año 1, la duración de losmeses y la de los días de la semana. Por ejemplo, durante el mandato deAugusto, febrero duraba 29 días en los años corrientes y 30 en losbisiestos; pero después de cambiar el nombre del sexto mes (el año romanocomenzaba en marzo), llamado sextilis, por augustus, en honor del magnoemperador, el senado de rodillas decidió quitarle un día a febrero yaumentar de 30 a 31 el número de días del nuevo mes, pues éste no podíaser inferior a julio, que tenía 31 días y se había denominado así en honor aJulio césar.


Calendario Mental

ProblemaComencemos por resolver el siguiente problema. Sabiendo que el 31 dediciembre de 1899 fue domingo, averiguar el día de la semanacorrespondiente a cualquier fecha del siglo XX. Si lo resolvemos, estaremosen condiciones de elaborar un procedimiento general para averiguar el díade la semana correspondiente a cualquier fecha, pasada o futura, sinimportar el siglo.


Calendario Mental

Para saber qué día de la semana corresponde a una fecha dada del sigloXX, basta que averigüemos cuántos días han pasado entre la fecha dada yel domingo 31 de diciembre de 1899.Procedamos con un caso particular. Para comenzar, hagámoslo para el 23de enero de 1900. Si dividimos por 7 los 23 días transcurridos del año,obtenemos un cociente de 3 y un residuo de 2

23 = 3× 7+ 2

lo que significa que han pasado tres semanas y dos días. Ahora bien, si nosdesplazamos, a partir del domingo 31 de diciembre de 1899, las tressemanas exactas, seguiremos estando en domingo. Desplacémonos ahoralos dos días faltantes para completar los 23 y estaremos en martes.


Calendario Mental

Del ejemplo anterior se deriva una primera lección: cuando queramossaber qué día resulta al corrernos por el calendario un número dado de díasa partir de un domingo, basta dividir dicho número por 7 y contar, a partirdel domingo, un número de días igual al residuo de la división. En otraspalabras, para saber el efecto sobre el día de la semana de un corrimientodado, podemos olvidar el número de semanas transcurridas, dado por elcociente de la división por 7, y fijarnos sólo en el residuo, esto es, podemosreemplazar el corrimiento por su residuo al dividirlo por 7, lo quellamaremos reducir el número módulo 7.


Calendario Mental

Por ejemplo, para saber el día de la semana correspondiente a uncorrimiento de 59 días a partir del 31 de diciembre de 1899, reducimos 59módulo 7, esto es, hallamos el residuo de la división entera de 59 por 7,que nos dará 3

59 = 7× 8+ 3

Ahora nos movemos 3 días a partir del domingo, para caer en miércoles.En general, si a partir de un domingo nos desplazamos hacia el futuro unacantidad n de días, basta dividir n entre 7 y tomar el residuo r , con el cualefectuamos el desplazamiento definitivo, siguiendo esta sencilla regla: si res 0 se trata de un domingo, si r es 1, de un lunes, si r es 2, de un martes,si r es 3, de un miércoles, y así sucesivamente.


Calendario Mental

Entendido lo anterior, pasemos a desarrollar un método que nos permitasaber el número de días transcurridos entre el 31 de diciembre de 1899 ycualquier fecha que nos den. Antes de comenzar a derivar el métodogeneral, es importante hacer dos aclaraciones.

Como los años normales tienen 365 días, y 365 = 7× 52+ 1,entonces por cada año que pasa, el día de la semana se corre un día.Así, por ejemplo, el 31 de diciembre de 1900 fue lunes, pues un añoatrás en la misma fecha fue domingo, y el 31 de diciembre de 1901fue martes, pues un año antes fue lunes.

Dado que los años bisiestos tienen 366 días, y 366 = 7× 52+ 2,después de transcurrido uno de estos años, el día de la semana sedesplaza dos días. Por ejemplo, como el primero de enero de 1904,año bisiesto, fue jueves, un año después será sábado, esto es, habráun corrimiento de dos días debido al hecho de que el año bisiestotiene 366 días.


Calendario Mental

Supongamos que nos dan una fecha, 20 de abril de 1933, porejemplo, y nos preguntan en qué día de la semana cayó. Paracomenzar, sabemos que han transcurrido, desde el 31 de diciembre de1899 hasta el 31 de diciembre de 1932, 33 años completos (1900,1901, 1902,..., 1932), es decir, que los dos últimos dígitos del añodado nos indican los años transcurridos.

Ahora, por cada uno de los 33 años transcurridos hay undesplazamiento de una unidad en el día de la semana, según seexplicó en el párrafo anterior, salvo los años bisiestos, que aportan 2desplazamientos. Esto quiere decir que para saber cuántoscorrimientos corresponden a los 33 años transcurridos, podemosaveriguar primero cuántos bisiestos hay en 33 años, lo que es igual alcociente de la división entera de 33 por 4 (son bisiestos los múltiplosde 4), o sea, 8 bisiestos. Entonces, el total de corrimientosacumulados en los 33 años es 41 (33 por los años transcurridos y 8adicionales aportados por los bisiestos).


Calendario Mental

Supongamos que nos dan una fecha, 20 de abril de 1933, porejemplo, y nos preguntan en qué día de la semana cayó. Paracomenzar, sabemos que han transcurrido, desde el 31 de diciembre de1899 hasta el 31 de diciembre de 1932, 33 años completos (1900,1901, 1902,..., 1932), es decir, que los dos últimos dígitos del añodado nos indican los años transcurridos.Ahora, por cada uno de los 33 años transcurridos hay undesplazamiento de una unidad en el día de la semana, según seexplicó en el párrafo anterior, salvo los años bisiestos, que aportan 2desplazamientos. Esto quiere decir que para saber cuántoscorrimientos corresponden a los 33 años transcurridos, podemosaveriguar primero cuántos bisiestos hay en 33 años, lo que es igual alcociente de la división entera de 33 por 4 (son bisiestos los múltiplosde 4), o sea, 8 bisiestos. Entonces, el total de corrimientosacumulados en los 33 años es 41 (33 por los años transcurridos y 8adicionales aportados por los bisiestos).


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Calculemos ahora los días transcurridos entre el 31 de diciembre de1932 y la fecha dada, 20 de abril de 1933. Son 31 días de enero, 28de febrero (33 no es bisiesto), 31 de marzo y los 20 de abril, lo quenos da un total de 110 días. Sumamos ahora estos 110 días a los 41ya calculados en el párrafo anterior, para obtener 151, que reducidomódulo 7 da 4 (151 = 7× 21+ 4). Esto quiere decir que el día de lasemana se ha corrido 4 días a partir de un domingo, lo que nos lleva aun jueves.

Podemos ahora presentar los cálculos anteriores de una manera mássencilla y sistemática, de tal modo que se puedan realizarmentalmente sin demasiado esfuerzo. Para comenzar, separamos losdos últimos dígitos del año dado, 33 en el ejemplo, y a este número lollamaremos el año. Dividimos ahora el año por 4 y el cocienteobtenido, que llamaremos los bisiestos, lo sumamos al año (laoperación de hallar el cociente de la división entera de n entre 4 laescribiremos [n/4]).


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Calculemos ahora los días transcurridos entre el 31 de diciembre de1932 y la fecha dada, 20 de abril de 1933. Son 31 días de enero, 28de febrero (33 no es bisiesto), 31 de marzo y los 20 de abril, lo quenos da un total de 110 días. Sumamos ahora estos 110 días a los 41ya calculados en el párrafo anterior, para obtener 151, que reducidomódulo 7 da 4 (151 = 7× 21+ 4). Esto quiere decir que el día de lasemana se ha corrido 4 días a partir de un domingo, lo que nos lleva aun jueves.Podemos ahora presentar los cálculos anteriores de una manera mássencilla y sistemática, de tal modo que se puedan realizarmentalmente sin demasiado esfuerzo. Para comenzar, separamos losdos últimos dígitos del año dado, 33 en el ejemplo, y a este número lollamaremos el año. Dividimos ahora el año por 4 y el cocienteobtenido, que llamaremos los bisiestos, lo sumamos al año (laoperación de hallar el cociente de la división entera de n entre 4 laescribiremos [n/4]).


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Pasamos ahora a calcular los días transcurridos desde el fin del añoinmediatamente anterior hasta la fecha dada. Para esto sumamos los 31días correspondientes a enero, los 28 o 29 de febrero, los 31 de marzo, etc.hasta llegar al mes anterior al dado en la fecha, y a este total, quellamaremos abreviadamente los meses, agregamos los días que se enuncianen la fecha dada (20 en el ejemplo del párrafo anterior). Finalmente,sumamos el año, los bisiestos, los meses y los días, reducimos este númeromódulo 7 y el valor obtenido, siempre entre 0 y 6, nos dará el corrimientoa partir de domingo. Si el valor fuese 0, por ejemplo, no habría corrimientoy la repuesta sería “domingo”, si fuese 1 la respuesta sería “lunes”, sifuese 2 sería “martes”, y así sucesivamente. Para cualquier fecha del sigloXX la fórmula general es entonces la siguiente:

D = (ano + bisiestos +meses + d ıas) modulo 7


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Apliquemos ahora la fórmula anterior a un caso particular. Por ejemplo,determinar el día de la semana correspondiente al 8 de junio de 1939.

D = 39+ [39/4] + (31+ 28+ 31+ 30+ 31) + 8 = 207 (modulo 7) = 4

Por ser D = 4, la respuesta es jueves.Para hacer los cálculos de manera mental hay una simplificación quefacilita las operaciones: reducir los diferentes sumandos módulo 7 antes dellevarlos al gran total. Como ejemplo, resolvamos de nuevo el problemaanterior. El año, 39, módulo 7 es 4, porque 4 es el residuo que resulta aldividirlo por 7. Los bisiestos son [39/4] = 9, que reducido módulo 7 es 2.Para los meses tenemos: los 31 días de enero se reducen a 3 módulo 7, los28 de febrero a 0, los 31 de marzo a 3, los 30 de abril a 2 y los 31 de mayoa 3. Finalmente, los 8 días de junio se reducen a 1 módulo 7, por lo que lasuma total será ahora:

D = 4+ 2+ (3+ 0+ 3+ 2+ 3) + 1 = 18 modulo 7 = 4Universidad Nacional de Colombia () Lunes 2-4pm 23 de febrero de 2015 53 / 57

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La fórmula general se puede complementar de tal modo que nos sirva paracalcular el día de la semana correspondiente a cualquier siglo. Basta paraello agregar a la fórmula general un sumando que llamaremos el siglo, yque se obtiene por medio de la expresión

siglo = 6− 2× (S modulo 4)

en la que S es el número que resulta al suprimir los dos últimos dígitos delaño dado.Por ejemplo, si nos piden un día de la semana del año 1933, S será 19, y sise trata del año 2002, S será 20. Entonces, para hallar el día de la semanacorrespondientes a fechas del 2002, la expresión anterior nos da:

siglo = 6− 2× (20 modulo 4) = 6− 2× 0 = 6.


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Para hallar fechas correspondientes a cualquier año que comience por 19,como 1939, la expresión da:

siglo = 6− 2× (19 modulo 4) = 6− 2× 3 = 0,

por lo que no es necesario incluir este sumando en los cálculos. Para fechasdel siglo XV y anteriores a octubre 16 de 1582 realizamos los cálculos en laforma usual y luego nos corremos 10 días adicionales, que módulo 7 son 3.Esta corrección se debe a que en la reforma gregoriana se dispuso que aljueves 4 de octubre de 1582 seguiría el viernes 15. Para fechas anterioresal 31 de diciembre de 1499 deben hacerse correcciones adicionales en losnúmeros correspondientes a los siglos (no se explicarán), pues en esaépoca los años terminados en doble cero eran todos bisiestos, pero despuésde la reforma sólo fueron bisiestos los dobles ceros múltiplos de 400.


Lecturas y direcciones recomendadas

Biografias de matemáticas:http://www.agnesscott.edu/lriddle/women/women.htmHistoria de las matemáticas: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Mathematics Genealogy Project: http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/Biografias: http://www.matem.unam.mx/cprieto/Biografias.htmM. B. W. Tent, Emmy Noether: The Mother of Modern Algebra, A KPeters/CRC Press, 2008.


Tarea

1 Pensar en el problema de Josephus. ¿Puede explicar que el métododado al principio de la clase es correcto?¿Puede resolver el problema de otra forma?

2 Trate de hallar el mayor número posible de enteros usando cuatrocuatro. ¿Que pasa si en lugar de cuatro cuatro trabaja con tres 3´s?

3 Consulte la biografía de alguna mujer matemática que le interese.4 Escriba algunas de las conclusiones a las que llegó su grupo deestudio.

5 Resuelva los problemas de congruencia.


3009353 introducción al programa de matemÆticas. …mmtoro/doc/intro/clase4mtoro.pdf · 3009353...

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