EL GEOESPACIO, UN RECURSO PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

Licenciado en Matemáticas y Maestro en Planeación Educativa

Manuel Vara Orozco

Revisaron esta obra: Santiago Valiente Barderas y Santiago Rubio Ramírez

CONTENIDO Introducción.............................................................................................. VII 1. La enseñanza de las Matemáticas en la Escuela Secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Propósitos en los Programas de Matemáticas en la Escuela Secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. La enseñanza de la Geometría en la Escuela Secundaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4. Características de las actividades para la enseñanza de la Geometría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. El geoespacio como recurso didáctico. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6. Características del cuaderno de actividades con el geoespacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

a) Postura psicopedagógica sobre el aprendizaje. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .21 b) Enfoque metodológico del cuaderno de actividades con el geoespacio. . . . . . . . . . . . . .23

c) Descripción de la secuencia didáctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7. Dialéctica herramienta-objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

a) Antigua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 b) Nueva búsqueda implícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 c) Explicitación e institucionalización local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 d) Institucionalización-estatuto de objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 e) Familiarización-reinversión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 f) La tarea o el nuevo problema se hace más complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 Observaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8. Juegos de marcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1) Transferencia e interpretación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2) Correspondencias imperfectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 3) Mejoría de las correspondencias y progreso del conocimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4) Elementos para el análisis de la secuencia didáctica. Contenidos y grados de dificultad. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 9. El uso del geoespacio como apoyo en la enseñanza de la Geometría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Actividades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1. Un triángulo de dos unidades de base. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 2. Pirámide hexagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 3. Prisma triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4. Prisma cuadrangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5. Prisma pentagonal. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6. Prisma hexagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7. Prisma octagonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 8. Tetraedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 9. Cubo-octaedro de Arquímedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 10. Pirámide cuadrangular, en dos geoespacios unidos por una cara. . . . . . . . . . . . . 83 11. Octaedro, auxiliándose de una estructura de cuatro geoespacios. . . . . . . . . . . . . 85

12. Otras de las actividades que se sugieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 CONCLUSIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

Introducción Uno de los propósitos que se persigue con la enseñanza de la Matemática, a nivel secundaria, es desarrollar la imaginación espacial del alumno a través de la representación plana de sólidos, el cálculo de volúmenes y capacidades, así como aplicaciones sencillas de los teoremas de semejanza y de Pitágoras en la solución de problemas en el espacio.

El �Libro para el Maestro� de educación secundaria propone que el alumno obtenga fórmulas para calcular el volumen de un sólido compuesto y si se pretende que se desarrolle la reversibilidad del pensamiento, entonces se pueden dirigir actividades donde no sólo se sumen volúmenes, sino también se resten.

En el desarrollo de este trabajo se presentan actividades que buscan que el alumno aprenda geometría con el apoyo del geoespacio. Se describe el geoespacio y su uso en la enseñanza de la geometría, así como la postura psicopedagógica en la que se apoya. Los temas que se presentan son susceptibles de trabajarse con este material didáctico.

Una de las propuestas del nuevo enfoque es la integración, tanto al interior de las Matemáticas, como en su relación con otras asignaturas. Así, al interior de las Matemáticas, podemos relacionar geometría con aritmética; una forma es pedirle al alumno que suponga que va llenado con cubos pequeños el geoespacio ya que con esta actividad el alumno aplica el concepto de fracciones; relacionamos también la geometría con el álgebra cuando dirigimos al alumno para demostrar el cuadrado de un binomio, por procedimientos algebraicos y con la demostración por áreas. Por otra parte, en páginas adelante mostraremos actividades que relacionan a la geometría con la Trigonometría y con la Presentación y Tratamiento de la Información. Además, la relación de las Matemáticas con otras asignaturas, se da claramente con la Física y la Química. Por ejemplo, cuando suponemos que vamos colocando cubitos llenos de algún líquido (agua, gasolina, éter, petróleo,...) dentro del geoespacio y, valiéndonos de las tablas de densidad de los líquidos, calculamos el peso de los cubitos y graficamos el número de éstos en relación con su peso en un plano cartesiano.

El geoespacio es un material (y recurso didáctico) que está comprobado puede ayudar en el desarrollo de habilidades matemáticas, especialmente la imaginación espacial y de ello trata este fascículo, además de proponerlo como modelo del que se pueden desprender actividades para el aula que tienen que ver con la geometría de los sólidos.

La gran ventaja del geoespacio es que incluye, por construcción, al geoplano como un recurso en el que se pueden materializar diversas y versátiles actividades geométricas en el plano.

Es conveniente referir al lector que estas actividades que a lo largo del fascículo propongo son resultado de su aplicación con alumnos de la escuela secundaria.

1

CAPÍTULO 1 La enseñanza de las Matemáticas en la Escuela Secundaria Las Matemáticas se usan en todas las áreas del quehacer humano, bien sea en lo cotidiano o en la investigación científica. El ama de casa aplica las Matemáticas al ir al mercado a comprar los alimentos y el niño hace lo mismo al comprar sus dulces en la tienda; los ingenieros y los arquitectos las aplican en la construcción de puentes, carreteras, edificios, maquinarias, e incluso en el diseño de computadoras y en la planeación de los viajes espaciales y los astrónomos en la observación del universo.

Las Matemáticas contribuyeron al desarrollo de la Física desde la Antigüedad y durante el Renacimiento, con conocimientos retomados de los griegos; hoy son una herramienta importante para otras disciplinas científicas y técnicas, como la Biología y la Economía. En la cruza de especies se aplica el diagrama de árbol y la probabilidad; la estadística se aplica para observar la producción de bienes y servicios de diversos países. En la prestación de servicios y en la industria se recurre a las Matemáticas; por ejemplo, una persona que arregla autos debe tener en cuenta el dinero que paga por las refacciones que coloca al carro que compone, además de considerar que sus herramientas sufren desgaste y que en cierto tiempo deben ser sustituidas. También tendrá presente que le debe quedar ganancia para pagar la renta del local donde tiene su negocio establecido y para llevar el alimento a su familia.

En la industria se invierte dinero en diseño, en mercadotecnia, en importación de materia prima o en la compra de insumos a otras empresas, ello lo toma en cuenta el productor al momento en que fija un precio a su mercancía. Las computadoras ayudan a las empresas para llevar el estado financiero del negocio, cobrar y pagar, hacer nóminas o inventarios. Actualmente las Matemáticas aparecen en casi todas las actividades de las sociedades desarrolladas.

El ser humano necesita reforzar sus conocimientos matemáticos, sea un profesionista como el especialista o el simple ciudadano. Un contador lleva un control de los negocios que atiende o de las declaraciones de impuestos de sus clientes; un cardiólogo estará atento a la frecuencia de los latidos del corazón de su paciente y al electrocardiograma que le mandó hacerse; toda persona piensa en la hora a la que debe entrar al trabajo, en cómo aplicará su sueldo para cubrir sus necesidades o en cuánto gastará si quiere ir al cine o a ver un juego de fútbol.

La Matemática es una ciencia que el hombre hace activa y dinámica; de ella emergen soluciones a problemas surgidos en diferentes disciplinas: por ejemplo, la Matemática se aplica en la Antropología para contabilizar y ubicar piezas encontradas en algún lugar; o se aplica para mejorar los diseños de motores de automóviles y de motocicletas. También se crean nuevas formas para resolver viejos problemas, por lo que se desarrollan no sólo las Matemáticas puras, sino

2

también las aplicadas; en diversos lugares geográficos de México se han tenido problemas serios de inundaciones, hoy se piensa en nuevas y diferentes formas de solución a las que dieron los mayas, los aztecas, los habitantes de la Nueva España o quienes diseñaron el proyecto del Tajo de Tequisquiac para desalojar el agua de nuestra ciudad. Los problemas prácticos nos llevan a la teoría y las Matemáticas puras nos conducen a nuevas aplicaciones.

Es la sociedad en su conjunto la que contribuye a la creación de las Matemáticas; por ejemplo, el hombre primitivo hizo marcas en los troncos de los árboles para contar el paso de los días o para saber cuántas piezas de conejo, venado o mamut debía cazar para alimentarse y vestirse, y de aquí surgen los sistemas de numeración; de la necesidad de protegerse de los elementos naturales busca habitación y luego la embellece al aplicar la geometría a la arquitectura; aplica asimismo la geometría para decorar con grecas los utensilios donde toma sus alimentos. Como producto de las indeseables y desastrosas guerras, en el siglo XX se avanzó enormemente en la industria militar, apoyándose en los hombres de ciencia, como Becquerel, Bohr, Rutherford, Fermi, Pierre Curie, María Sladowska, Einstein, Werner von Braun, entre otros.

Las Matemáticas son importantes para la educación. El aprendizaje y la creación matemática están al alcance de todo aquél que se lo proponga, con voluntad y disciplina.

La enseñanza de la Matemática en la escuela secundaria busca que los alumnos obtengan una parte del acervo cultural de la humanidad, que desarrollen conceptos y nociones que les sean útiles para comprender su entorno y resolver problemas de la vida real.

El profesor intentará que los alumnos adquieran conocimientos y habilidades de pensamiento, así como razonamientos necesarios para avanzar en el estudio de las Matemáticas y puedan acceder al conocimiento de otras disciplinas. Entre las muchas aplicaciones, por ejemplo, se usan en la Historia, para saber cuándo ocurrió un hecho; en la Geografía, para los usos horarios y el cálculo de la hora en cualquier lugar del mundo, para ubicar una nave según la latitud, la longitud y la altura respecto del nivel del mar, para medir la humedad, la velocidad del aire o la presión atmosférica en cierto lugar; en la Música, para las frecuencias de las notas o los tiempos, ayudándose del metrónomo; en la Biología, para las fórmulas de las flores y si éstas son tetrámeras o pentámeras, y si tienen estambres libres o soldados; en la Física, para calcular el movimiento o el alcance de un objeto, o qué forma debe tener una cúpula para lograr una óptima acústica; en la Química, para obtener compuestos, midiendo las cantidades adecuadas de las sustancias que intervienen en las reacciones químicas.

Un propósito de primer orden de la enseñanza de las Matemáticas en la secundaria es desarrollar los aspectos formativo e informativo (habilidades operatorias, de comunicación y de descubrimiento en los alumnos).

3

De acuerdo al enfoque que maneja el Plan y Programas de estudio de 1993 para Educación Básica, en particular Secundaria, y también señalado en el Libro para el Maestro, para cumplir con este propósito, las actividades en clase deberán permitir:

• Adquirir seguridad y destreza en el empleo de técnicas y procedimientos básicos a través de la solución de problemas.

Al tener seguridad en lo que hace, el alumno tendrá menos dudas y fallas, realizará las tareas con más confianza en sí mismo y así aumentará su autoestima; la destreza le disminuirá la dificultad para llevar a buen término sus trabajos, los hará con habilidad y rapidez. Por ejemplo, si el maestro pide al alumno calcular la longitud de la diagonal del salón entre dos vértices opuestos, dados el largo, el ancho y la altura; el alumno, luego de mirar el salón, hace un dibujo y aplica el teorema de Pitágoras, y podrá usar sin vacilaciones este método a problemas donde le pidan calcular la diagonal entre vértices opuestos de un cubo o de un paralelepípedo. • Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un

problema. Teniendo en consideración que para resolver un problema es necesario:

1. Leer cuidadosamente el problema hasta comprenderlo. 2. Ser capaz de reconocer los datos, la incógnita y la condición o condiciones. 3. Concebir un plan para resolverlo; de no encontrarse una relación inmediata,

pueden considerarse problemas auxiliares. Obtener finalmente un plan de solución.

4. Ejecutar el plan. 5. Examinar la solución obtenida.

Para el caso del ejemplo del punto anterior, el alumno deberá estar familiarizado con el teorema de Pitágoras y con algunas de sus aplicaciones a la geometría plana; si no tiene conocimientos de geometría del espacio, se puede confiar en su intuición. Para que el alumno comprenda bien el problema, el maestro señalará el salón e indicará con sus manos lo que se desea, luego preguntará cuál es la incógnita, cuáles son los datos, qué notación se usará, cuáles son las condiciones que relacionan a la incógnita con los datos, si se entiende el problema y no son necesarias más condiciones, si se conoce un problema relacionado y si se puede usar, si el problema se puede enunciar de otra forma, si se puede resolver un problema relacionado porque no se puede con éste, si se han usado todos los datos, si se está usando toda la condición del problema, sí la incógnita aparece en un problema similar. El alumno relacionará el problema con triángulos y con teorema de Pitágoras; así que, teniendo el plan, lo aplicará y luego verificará si su solución es coherente.

4

Como un ejemplo de lo dicho se presenta para el caso del cálculo de la diagonal entre vértices opuestos del paralelepípedo recto que es la forma que tiene su salón de clase: a d h D l h D d a l d El alumno hace los dibujos para reconocer la situación. Observa que se forman triángulos rectángulos. Identifica la hipotenusa y los catetos. Se aplica la fórmula del teorema de Pitágoras en dos ocasiones. Obtiene el resultado. Hace la comprobación.

22 lad += Con esta fórmula puede calcular la diagonal (d) del piso del salón de clases.

Si el largo del salón mide 8 m, el ancho 6 m y la altura 3 m; entonces se tiene:

101006436)8()6( 22222 ==+=+= mmmmmd m Comprobación :

(10 m)2 = (6 m)2 + (8 m)2 100 m2 = 36 m2 + 64 m2

100 m2 = 100 m2 Ahora puede calcular la diagonal (D) con apoyo en el cálculo anterior.

44.101091009)10()3( 2222222 ≈=+=+=+= mmmmmdhD m Comprobación:

5

(10.44 m)2 = (3 m)2 + (10 m)2 108.9936 m2 = 9 m2 + 100 m2

108.9936 m2 ≈109 m2 109 m2 = 109 m2

A partir de aquí puede generalizar y decir que para obtener la diagonal

mayor se usa la fórmula siguiente:

D = 222 hal ++ D = 44.1010993664)3()6()8( 2222222 ≈=++=++ mmmmmmm m

• Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas. El alumno formará juicios probables sobre relaciones matemáticas entre elementos de un problema, a partir de indicios y observaciones, los comentará con el maestro y con sus compañeros; al socializar el conocimiento se dará cuenta de si su razonamiento es correcto. En el ejemplo mencionado, podrá ver que su resultado cae en un rango posible, de acuerdo a las medidas del salón.

Una de sus conjeturas puede ser la generalización del teorema de Pitágoras al calcular la diagonal entre vértices opuestos. • Reconocer situaciones análogas. El alumno encontrará semejanzas entre problemas distintos. En el ejemplo anterior, el alumno recordará el cálculo de las dimensiones de un triángulo rectángulo; luego de calcular la diagonal entre vértices opuestos de un cubo, reconocerá una situación análoga en un paralelepípedo. • Escoger o adaptar estrategias de solución. El alumno trazará acciones para resolver un problema. En el caso dado, dibujará primero la diagonal sobre el piso del salón para obtener un triángulo rectángulo y luego trazará una segunda diagonal que quedará en el espacio y formará un segundo triángulo rectángulo. • Comunicar estrategias, procedimientos y resultados en forma clara y concisa. El alumno comentará sus formas o métodos de solución, empleando el vocabulario adecuado para que sus compañeros le entiendan. Por ejemplo, hará el dibujo donde muestre cómo se forman los triángulos rectángulos, colocará una notación adecuada y mencionará correctamente la hipotenusa y los catetos.

6

• Predecir y generalizar resultados. El alumno puede decir algo sobre el resultado sin haber llegado a él; por ejemplo, que la diagonal del salón entre vértices opuestos será mayor que el largo, el ancho, la altura y la diagonal sobre el piso; podrá generalizar que en lugar de aplicar dos veces el teorema de Pitágoras es mejor extraer la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las tres dimensiones; y conocer cuál es el orden de magnitud que deberá tener el valor numérico del resultado. • Desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo. El razonamiento es una secuencia lógica de proposiciones que llevan a demostrar algo y se hace con orden y método; consta de explicaciones, argumentos o motivos. Si se conocen aplicaciones diversas del teorema de Pitágoras ello puede ser un incentivo para hacer la demostración geométrica formal del teorema.

7

CAPÍTULO 2 Propósitos en los Programas de Matemáticas en la Escuela Secundaria Las actividades que se desarrollen en la escuela secundaria deberán ser variadas y ricas en posibilidades. Entre muchas otras cosas, deberán permitir: • Enriquecer el significado de los números y sus operaciones mediante la solución de problemas muy variados.

El profesor puede empezar por proponer contextos distintos donde se usen números, ya sea en operaciones de compra-venta, lectura de números, resultados de operaciones, lectura de la sección financiera o de economía de los periódicos, entre otros. Si los alumnos tienen problemas para leer correctamente números, es porque no identifican adecuadamente las posiciones de cada dígito (unidades, decenas, centenas,...), por lo que deben ejercitarse para desarrollar esta habilidad. • Practicar los algoritmos de las operaciones, los procedimientos de cálculo (y avanzar en su adquisición permanente), estimación mental de resultados y el uso inteligente de la calculadora (auxiliarse de ella en la solución de problemas).

Dados algunos números se pueden descomponer en unidades, decenas, centenas. Practicar procedimientos para realizar operaciones rápidamente, por medio de la estimación y el cálculo mental. Para operaciones laboriosas es mejor comprender los métodos de resolución y emplear la calculadora. Puede pedirse a los alumnos que al ir de compras con sus padres vayan calculando mentalmente, con valor aproximado, lo que se pagará por los productos tomados y al recibir el boleto de pago vean qué tan precisa fue su estimación; esta práctica continua mejorará su habilidad para llegar a resultados bastante aproximados.

La aproximación, el redondeo y el conteo son importantes para que el alumno llegue pronto a resultados correctos. La aproximación le dará idea de qué respuesta debe obtener, y ello le servirá para resolver problemas en su vida diaria. • Conocer la idea de aproximación a través del cálculo de la raíz cuadrada y la estimación de errores en algunos casos sencillos.

Para el cálculo de la raíz cuadrada se manejarán diversos formas: método babilónico, método usual, por aproximaciones sucesivas, obteniendo factores primos. Para estimación de errores se manejarán tanto el error absoluto como el error relativo.

8

• Fuente de errores en los cálculos.

En todas las informaciones estadísticas (sobre producción industrial, automóviles, censos), que se ofrecen por la radio o la prensa, los datos se dan en cientos o miles redondeados, lo que indica su carácter aproximado. Lo mismo ocurre en cualquier experimento científico: en cualquier medición también se obtienen números aproximados, puesto que los distintos aparatos de medición contienen cierto error. • Acotación de errores.

Los cálculos realizados con números aproximados producen resultados aproximados; es decir, tienen un margen de error.

En muchas situaciones de cálculo de la vida cotidiana no se exige exactitud, sino una aproximación con un razonable margen de error; esto es, deben establecerse los límites aceptables de ese error. A esto se le llama acotación de error.

Cuando se mide una cantidad conocida, la diferencia entre el valor que resulta de la medición (valor aproximado) y el valor conocido (valor exacto) es el error absoluto.

El error relativo se obtiene dividiendo el error absoluto entre el valor conocido. Se llama porcentaje de error al error relativo expresado como tanto por ciento.

Para la raíz cuadrada pueden resolverse problemas donde intervengan terrenos de superficie cuadrada y luego se calcule la longitud del lado del terreno. En cuanto a los errores pueden hacerse ejercicios con producción industrial, como manufactura de tornillos. Veamos a continuación un ejemplo: la longitud de un tornillo debe ser 2.5 cm y al tomar uno al azar de entre la producción se observa que mide 2.52 cm; a partir de estos datos se calcula el error absoluto, el error relativo y el porcentaje de error. • Iniciarse gradualmente en el razonamiento proporcional y sus aplicaciones.

Aquí son útiles los problemas donde interviene el precio de un producto y debe calcularse el de una cierta cantidad de productos iguales, o el recorrido que hace un móvil en cierto tiempo y cuánto recorrerá en otro tiempo si la velocidad es constante. • Familiarizarse a través de ejemplos con el uso de literales, de paréntesis y con otros temas que preparan el acceso al álgebra. Luego familiarizarse también con otros medios de expresión matemática, usarlos constantemente y encontrar criterios para pasar de unos a otros: la escritura simbólica, las tablas, las gráficas y su interpretación para utilizarlos en la solución de problemas.

9

Los alumnos deben elaborar tablas y gráficas de expresiones algebraicas, empezando con casos sencillos como y = mx + b. Las gráficas serán de funciones lineales (rectas), cuadráticas (parábolas) e hipérbolas. • Plantear problemas que conduzcan a ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas, y resolverlas por diversos métodos, así como aplicar los productos notables a la factoración o factorización de polinomios de segundo grado.

Se recomienda usar, entre otros recursos, el método de la balanza y pueden sugerirse problemas de edades de dos personas, valor de objetos con ciertas condiciones y teniendo el precio total, intersección de parábolas y/o circunferencias.

Los tres puntos siguientes son los más importantes, dada la intención de este trabajo: • Practicar los trazos geométricos como una forma de acostumbrarse y perfeccionar el uso de los instrumentos de dibujo y medición, explorar las propiedades de las figuras y apropiarse gradualmente del vocabulario básico de la geometría; resolver problemas que conduzcan al cálculo de perímetros y áreas de figuras usuales y combinadas, así como emplear las fórmulas para ello.

Los alumnos dibujarán figuras sencillas para posteriormente trazar figuras compuestas, usarán el juego de geometría y se les enseñará el vocabulario geométrico correcto. Al emplear el geoespacio, podrán planteárseles también problemas de cálculo de perímetros, áreas y volúmenes.

Por ejemplo, luego de ver que el geoespacio es un cubo, podrán dibujarlo en su cuaderno, aplicando el isométrico; también podrán calcular el perímetro y el área de una cara (o de todo el cubo) o el volumen del geoespacio (cubo). Lo mismo podrán hacer con diversos poliedros, prismas o pirámides. • Desarrollar la imaginación espacial a partir de la construcción y manipulación de modelos de sólidos y la representación plana de cubos, paralelepípedos y cuerpos formados por su combinación, así como la observación de secciones al cortar un sólido por un plano y el cálculo de volúmenes. Usar las fórmulas, los teoremas de semejanza, de Pitágoras y la trigonometría para resolver diversos problemas de cálculo geométrico.

El geoespacio ayuda a visualizar y desarrollar la imaginación espacial, ya que en él pueden construirse diversos sólidos y simular cortes para obtener secciones. El teorema de Pitágoras se aplicará para calcular longitudes de diagonales donde se formen triángulos rectángulos. Luego de resolver ejercicios con diversos sólidos, usando el geoespacio, el alumno

10

llegará a obtener la habilidad para resolver problemas ya sin el uso de este material didáctico. • Iniciarse en el razonamiento deductivo y aplicarlo en situaciones geométricas y en otras situaciones matemáticas.

Utilizar el razonamiento deductivo para hacer demostraciones geométricas formales, las cuales podrá realizarlas luego de solucionar problemas variados usando el geoespacio. Por ejemplo, en el geoespacio podrá observar las propiedades de los paralelogramos, de los cuadriláteros, o la relación de volumen que hay entre un prisma y una pirámide, ambos de igual base y altura. • Conocer el uso de porcentajes, cantidades absolutas y relativas, tablas, gráficas y otras formas usuales de organizar y presentar la información, con las nociones de censo, encuesta, población y muestra. Para estos ejercicios pueden usarse las gráficas y porcentajes presentados en periódicos o en los libros de Geografía. • Conocer ejemplos de crecimiento geométrico o exponencial y compararlo con el crecimiento aritmético o lineal.

Se harán gráficas de rectas y parábolas o se verá el crecimiento de las poblaciones. • Familiarizarse con la noción de azar y algunas de las situaciones ideales de la probabilidad por medio del registro y la enumeración a priori de los resultados de experimentos aleatorios. Explorar y aplicar las nociones frecuencial y clásica de la probabilidad por medio de diversas actividades, como la simulación, así como utilizar el diagrama de árbol para enumerar y describir los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar las reglas de la suma y el producto para hacer cálculos sencillos con probabilidades.

Se harán experimentos con urna de Bernoulli, monedas, dados, baraja y dominó.

11

CAPÍTULO 3 La enseñanza de la Geometría en la Escuela Secundaria Es importante el estudio de la geometría en el nivel básico porque desarrolla la imaginación espacial del alumno y su capacidad para explorar, representar y describir su entorno; porque le proporciona un conocimiento útil en la vida cotidiana, en las ciencias, en las técnicas y en diversos campos de la actividad humana; y porque lo prepara para razonar y demostrar conjeturas y comprender mejor las ideas relacionadas con el número, la medición y otras partes de las Matemáticas.

Antes de iniciar un curso formal de geometría, es necesario uno de geometría intuitiva, que permita a los niños tener las bases sobre las que se construirá el primero.

El curso formal de geometría consiste en adquirir el vocabulario y los conceptos propios de la materia.

Si nos basamos en la hipótesis de que el ente geométrico se forma en la mente humana por abstracción, a partir de observaciones de objetos reales y de experiencias sobre éstos, debemos, sobre el plano didáctico, hacer preceder al curso racional un curso de carácter experimental donde los axiomas encuentren sus raíces naturales; es decir, se justificarán.

El curso de geometría debe dividirse en ciclos, para que el joven que deja la escuela a los 14 años tenga una idea completa, aunque no profunda, del mundo de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas. El educando no sólo se da cuenta de la necesidad de demostrar una proposición, sino que sigue con dificultad razonamientos simples de carácter hipotético-deductivo.

Existe la imposibilidad de desarrollar para alumnos entre 11 y 14 años un curso de geometría formal porque carecen todavía de ciertas estructuras mentales necesarias para la comprensión abstracta; para seguir un razonamiento lógico se necesitan memoria y lenguaje y el niño todavía tiene incipientes estas facultades. Debe avanzarse de lo concreto a lo abstracto: observar, accionar y manipular el objeto.

A partir de la observación de figuras geométricas elementales, el alumno irá descubriendo sus características y dará definiciones, pero necesitará desarrollar un cierto grado de abstracción. Por ejemplo, si al niño se le dan tiras de madera articuladas con tornillos, descubrirá que un cuadrado puede convertirse en rombo, y por su solo esfuerzo llegará a la definición. Al trazar un triángulo, el niño observará el contorno de la figura y no dentro de ella porque no tiene la preparación para dar una interpretación general.

El material que se use con los adolescentes debe ser manejable y tal que se puedan hacer construcciones con él: será de carácter operativo. El material

12

debe ser artificial y transformable por continuidad para lograr ir de lo concreto a lo abstracto.

Para enseñar geometría hay que fijar objetivos mínimos en función de los cuales se programarán las actividades Los conceptos geométricos aparecerán y reaparecerán, deberán traducirse en diversos lenguajes, tener representaciones plurales, y sólo así podrán consolidarse los conceptos. Bueno será plantearse objetivos que vayan de acuerdo a los ciclos 6-12 años y 12-16 años, pero existen objetivos generales que toda persona debiera alcanzar luego de su formación básica: tener una cultura geométrica con visión histórica e interdisciplinar, aplicar conocimientos geométricos para modelar, crear o resolver problemas reales, usar los diferentes lenguajes y representaciones, ...

La enseñanza matemática debe estar ligada con el concepto de futuro y los cambios sociales se dan a velocidad vertiginosa. Cuando el profesor enseña, debe enlazar conceptos y motivaciones actuales, pero sin someterse a una moda; por ejemplo, el tema de escala puede enseñarse para hacer vestidos o mapas, pero no tendría sentido enseñar un juego gráfico de cambio de escala en la computadora, puesto que seguramente será obsoleto en unos cuantos años.

No debe enseñarse lo inútil: lo extraordinariamente inútil es aquello no adecuado ni al nivel ni a la capacidad del que aprende. Por ejemplo, las construcciones con regla y compás son inútiles a una edad en que no pueden manejarse manualmente. En la enseñanza de la geometría será deseable aquello que sea útil con rango futurible y pueda motivarse desde la actualidad: razonar correctamente (deductiva e inductivamente), representar, abstraer, relacionar, clasificar y resolver.

Los objetivos que se persiguen en la enseñanza de la geometría son de tres tipos: conceptuales, de procedimientos y de actitudes. 1.- Objetivos conceptuales (6 � 12 años).

- Localizar figuras planas en los entornos reales. - Distinguir figuras y encontrar relaciones geométricas entre ellas que

posibiliten clasificaciones sencillas (igual longitud o área, etc.). - Enumerar, describir y contar los elementos de una figura plana. - Generar figuras a partir de otras y diseccionar figuras. - Clasificar los triángulos y los cuadriláteros. - Comparar y ordenar según longitudes y áreas. - Poseer nociones y métodos de medida, y relacionar las magnitudes de

longitud y área. Algoritmos de cálculo de áreas. - Medir ángulos de polígonos. - Conocer las transformaciones elementales del plano y sus propiedades

más simples. 2.- Objetivos de procedimientos (6 � 12 años).

- Comparar, identificar y relacionar figuras según criterios diversos.

13

- Emplear transformaciones geométricas planas para generar y clasificar figuras.

- Iniciarse en la utilización correcta de instrumentos de dibujo para representar figuras planas (regla, compás, escuadra, ...).

- Elaborar planos y representaciones sencillas. - Construir modelos de figuras lineales, planas y espaciales. - Aplicar las nociones y métodos de medida de longitud y área al resolver

problemas reales y al deducir algoritmos de cálculo (fórmulas). 3.- Objetivos de actitudes (6 � 12 años).

- Mostrar inclinación por interrogarse y buscar respuestas a las cuestiones planteadas.

- Inquirir, preguntar hasta obtener 1a información suficiente y organizarla para ser utilizada.

- Valorar el esfuerzo y la planificación para descubrir y conocer. - Reconocer la elaboración de modelos facilita el estudio de la realidad. - Utilizar correctamente los instrumentos geométricos para representar

figuras planas y resolver problemas. - Conocer los términos que designan figuras, elementos y relaciones

geométricas.

Un comentario puede ser oportuno: nótese que se enfatiza en esta propuesta el estudio de la geometría plana y de la medida en longitud y área, pero en absoluto se niega la vivencia del espacio tridimensional, que es el gran objetivo de la geometría.

Se trata de una estrategia para llegar a él, y toda actividad de construcción de modelos espaciales (que incluyan figuras planas conocidas) o de ver movimientos reales es absolutamente enriquecedora. 4.- Objetivos de conceptos (12 � l6 años).

- Describir situaciones reales, fenómenos y experiencias con diferentes lenguajes geométricos (palabras, símbolos, signos, fórmulas, expresiones, figuras o gráficas).

- Reconocer magnitudes y conocer unidades en el caso de longitudes, superficies y volúmenes, sabiendo métodos directos e indirectos para medir.

- Distinguir figuras lineales, planas y espaciales, describiendo sus elementos y hallando las relaciones de igualdad, incidencia, perpendicularidad, ángulos, simetría, etc., entre dichos elementos mediante el lenguaje adecuado.

- Reconocer y explicar figuras congruentes, semejantes o equivalentes según un criterio dado (en área o volumen).

- Definir conceptos y enunciar propiedades geométricas, tanto planas como espaciales, sabiendo deducir o inducir algunas fundamentales.

- Enunciar y explicar las relaciones métricas del triángulo y las propiedades sobre las que éstas se basan (Thales, Pitágoras, ...).

14

- Conocer y situar en el tiempo aspectos relevantes de la historia de la geometría y su relación con el progreso de la humanidad.

5.- Objetivos de procedimientos (12 � 16 años).

- Realizar observaciones sistemáticas, clasificarlas, esquematizarlas y expresarlas en diferentes lenguajes (símbolo, palabra, fórmula, figura, ...) sabiendo realizar los cambios de lenguaje.

- Usar los métodos inductivos y deductivos. - Relacionar la geometría con las otras disciplinas. - Medir por métodos directos e indirectos longitudes, ángulos, superficies y

volúmenes, escogiendo la unidad adecuada e indicando el grado de precisión obtenido.

- Aplicar la proporcionalidad directa o inversa a la resolución de problemas geométricos.

- Resolver problemas por tanteo, por método analítico y por método gráfico, realizando la comprobación de las soluciones obtenidas y la discusión de las mismas.

- Clasificar y ordenar figuras planas y espaciales. - Construir modelos de figuras lineales, planas y espaciales. - Hacer construcciones gráficas planas con instrumentos de dibujo. - Hacer representaciones planas del espacio. - Usar las transformaciones geométricas (isometrías y semejanzas) para

clasificar, generar y analizar figuras. - Interpretar representaciones y deducir datos de las mismas (planos, mapas,

...). - Usar y calcular funciones trigonométricas. - Estudiar figuras geométricas, gráfica y analíticamente con especial énfasis

en los triángulos. 6.- Objetivos de actitudes (12 � 16 años).

- Mostrar disposición a interrogarse en cualquier situación, formulando hipótesis y comprobarlas experimentalmente o razonarlas.

- Criticar la información que se recibe procurando contrastarla con los métodos o información que se posea.

- Reconocer la necesidad de utilizar instrumentos de medida y dibujo, tipos distintos de papel, etcétera.

- Valorar positivamente las actividades destinadas a resolver cuestiones o descubrir hechos, lo que incluye planificar, buscar medios adecuados, diseñar experiencias, ...

- Abordar las situaciones problemáticas haciendo uso de todas las técnicas a su alcance: medir, construir, dibujar, etc.

- Valorar positivamente el uso correcto de vocabulario estudiado, en orden a conseguir claridad y concisión.

El alumno aprendió algunos elementos de geometría en la primaria o la

desarrolló espontáneamente. La enseñanza debe retomar este conocimiento y hacerlo evolucionar gradualmente hacia temas más avanzados. Aquí, los alumnos

15

deben conocer y usar con propiedad el lenguaje de la geometría. No es suficiente que se aprendan figuras, sólidos y fórmulas para calcular sus perímetros, áreas y volúmenes, sino que deben poder explorar e investigar sus propiedades geométricas a través de su uso en numerosas oportunidades para resolver problemas con una realidad, y se les deben dar ejemplos muy variados de aplicaciones concretas.

La solución de problemas de geometría debe desarrollar en el estudiante la capacidad para producir conjeturas, comunicarlas y validarlas.

Los propósitos principales de la enseñanza de la geometría en la escuela secundaria son: • Dar a los alumnos experiencias geométricas que les sirvan para entender, describir y representar su entorno y el mundo que habitan.

Proporcionarles conocimientos que les sirvan para resolver problemas cotidianos y para adquirir conocimientos de otras materias, como la Física, la Química, la Historia, entre otras. • Iniciarlos gradualmente al razonamiento deductivo a través de la demostración.

Es difícil lograr un aprendizaje significativo de la geometría porque se obliga al alumno a memorizar y ello no nos lo pide el programa de secundaria. Le presentan al estudiante las situaciones espaciales dibujadas en un plano y no es fácil apreciar el espacio en un plano.

No se conseguirá que los alumnos lleguen a la geometría formal dándoles definiciones, teoremas y demostraciones para que ellos las memoricen; por ello, se sugiere en este trabajo el uso de un modelo físico espacial, que pretende permita entender la geometría de una manera más accesible. Con este modelo podrá el estudiante jugar e incluso crear situaciones propias.

16

CAPÍTULO 4 Características de las actividades para la enseñanza de la Geometría Situaciones didácticas y recomendaciones. La conjetura y el razonamiento. El objetivo de las actividades didácticas planificadas es ayudar al alumno a apropiarse de los conocimientos básicos y a que adquiera seguridad y destreza en la aplicación de algunas técnicas y procedimientos. Las aplicaciones muestran la utilidad de los conocimientos en la vida cotidiana, en las matemáticas y en otras disciplinas.

Los problemas de exploración y búsqueda son necesarios para formar conceptos, para desarrollar la capacidad de trabajo personal del alumno y de sus aptitudes para investigar, comunicar y justificar sus afirmaciones. Por ejemplo, si el alumno quiere hacer la multiplicación de 5 × 8 y no le sirve la tecla x, podrá resolver sumando 5 veces el 8: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40, y con ello se dará cuenta que la multiplicación es una suma abreviada.

Si se quiere dividir 3

18 y no funciona la tecla ÷ , se puede proponer al alumno que

reste repetidas veces 3 a 18 hasta llegar a cero: 18 � 3 = 15, 15 � 3 = 12, 12 � 3 = 9, 9 � 3 = 6, 6 � 3 = 3, 3 � 3 = 0; como se restó 6 veces el 3, entonces el resultado de la división es 6 y el alumno concluye que la división es una resta abreviada.

Deberá, en todo momento, considerarse el ritmo de trabajo propio de los alumnos y se les animará a crear sus propios problemas; se plantearán preguntas a partir de casos particulares para llegar a generalizaciones.

Los problemas propuestos deben lograr que su resolución enriquezca lo aprendido y que se comprendan y asimilen nuevos conocimientos; deben ser interesantes y que se puedan resolver con conocimientos previos; deben provocar inmediatamente una actitud de búsqueda, orientada a proponer conjeturas y posibles soluciones; deben contener elementos que permitan a los alumnos validar o rechazar sus propias conjeturas y soluciones, según sean acertadas o incorrectas; debe seguirse la actividad del alumno al resolver un problema para verificar que aplica sus conocimientos previos y que sus conjeturas van de acuerdo al propósito inicial de la actividad.

Para resolver un problema se necesita tiempo y debe contemplarse que éste alcance para que se desarrolle totalmente el trabajo, desde la exploración hasta la apropiación del conocimiento; si se recorta el tiempo asignado a una actividad planificada no se lograrán los propósitos que se hayan establecido, por falta de una planeación adecuada.

17

Para ello, los alumnos pueden organizarse por equipos para discutir y

comparar sus soluciones; al dar ejemplos y contraejemplos reflexionarán más sobre los conocimientos y los procedimientos aplicados. Debe ponerse atención a los equipos para que todos trabajen. Otras actividades que se deben desarrollar en la clase son las siguientes: Procedimientos de cálculo, incluyendo el cálculo y la estimación mental de resultados; el uso de la calculadora como un auxiliar para solucionar problemas; los trazos y las construcciones geométricas, primero usando sólo el compás y la regla sin graduar, y luego todo el juego de geometría; el uso de diferentes medios de expresión matemática para solucionar problemas: lenguaje simbólico, tablas y representaciones gráficas; la iniciación gradual al razonamiento deductivo.

Al alumno se le debe dar la oportunidad de expresar sus ideas, comunicarlas y discutirlas; no se deben remarcar los errores del alumno, sino aprovecharlos, a través de un análisis, para una mejor comprensión de los temas.

Es bueno diseñar actividades que se relacionen con otras materias para que el alumno observe la aplicación de las matemáticas en diversos campos.

18

CAPÍTULO 5 El geoespacio como recurso didáctico Los recursos didácticos son todos aquellos medios que se utilizan para proporcionar al alumno las experiencias sensoriales en una introducción natural y segura del conocimiento. Pueden clasificarse en tres grandes grupos: ! Materiales audibles, que estimulan específicamente el sentido del oído, como

las grabaciones y el radio. ! Materiales visuales, que facilitan el aprendizaje a través de estímulos al sentido

de la vista y que pueden ser proyectados, como transparencias y fotos fijas; o no proyectados, como pizarrón, carteles y maquetas.

! Materiales audiovisuales, que estimulan simultáneamente los sentidos de la vista y del oído; pueden ser proyectados, como las películas, los sonoramas y los programas de la televisión; o no proyectados, como las representaciones, las marionetas y las excursiones.

La efectividad en el uso de los recursos didácticos depende de que:

1) Se seleccionen de manera tal que ayuden en la enseñanza. 2) Sean materiales claros y objetivos que se acerquen a la realidad. 3) Propicien una mayor actividad en los alumnos.

Dentro de la variedad de materiales didácticos para la enseñanza de la geometría, uno que tiene las características de ser simple, adecuado y versátil es el geoespacio.

El geoespacio es un material visual y manipulable, que pudiese considerarse dentro de las maquetas.

El doctor egipcio Caleb Gattegno preparó en 1921, un material que dimensiona el estudio experimental y dinámico del espacio: es el geoplano. Se trata de una tabla cuadrada o rectangular, de tamaño variable (25 cm x 25 cm para niños, 75 cm x 75 cm para el maestro), en la que se hace una red de cuadrados, en cuyos vértices se clavan puntas-alfileres de cabeza pequeña. Con ligas de colores se realizan las figuras, se transforman o se anulan. Realizada la figura, puede someterse el plano (materializado en el geoplano) a un movimiento global.

Emma Castelnuovo ha dicho que �es mejor construir que describir�, porque para el aprendizaje matemático hacen falta �bases reales�.

En el geoplano se construyen figuras vivas. El inconveniente es que no materializa los �barridos� (de ángulos, por ejemplo) como en el cine.

19

Pescarini y Puig Adam presentaron en 1935 una modificación del geoplano para hacer posible el estudio del espacio de tres dimensiones; lo han llamado geoespacio y sus posibilidades son sensiblemente menores. Consta de tres paredes de tela metálica fina formando un triedro. Con trozos de alambre se materializan las figuras del espacio, particularmente las poliédricas.

El estudio del espacio tiene numerosas ayudas en los productos de la técnica. Como ha dicho Puig Adam, �la formación matemática realiza una tarea inversa a la técnica�; todos los productos industriales tienen una índole matemática, están impregnados de matemática; la formación matemática debe procurar que los niños sean capaces de hallar en las cosas �lo matemático�, lo que puso el técnico.

Emma Castelnuovo, recordando a Puig Adam, menciona en su libro "Didáctica de la Matemática" (Florencia, Italia) el uso de una jaulilla de forma cúbica, cuyos lados han sido hechos con red metálica para poder estudiar cortes o secciones, auxiliándose del rayo de luz de un proyector. Aquí se presenta con algunas adecuaciones, que a continuación se detallan:

Descripción. El geoespacio es una estructura cúbica que lleva un sistema de argollas dispuestas en las aristas, donde podrán colocarse ligas de colores para formar sólidos y presentar diversas situaciones didácticas.

Pudiéramos hacer la consideración de que el geoespacio está formado por seis geoplanos (un geoplano en cada cara del geoespacio).

Se propone como el modelo más conveniente para trabajar con los alumnos el geoespacio de siete argollas en cada arista, y con una medida de 24 centímetros por arista; así, la distancia entre una argolla y otra será de cuatro centímetros.

El geoespacio tiene algunas reglas:

1. Las unidades lineales se miden de argolla a argolla. 2. El geoespacio es ortogonal: las aristas son perpendiculares a los planos

que forman el geoespacio.

20

3. Cuando en un análisis concreto se tienen rectas oblicuas se aplica el teorema de Pitágoras para determinar su medida, bien sea en el plano o en el espacio.

4. El geoespacio ayuda a enseñar algunos contenidos de geometría y lleva al alumno a la curiosidad de explorar; puede manipular, observar y experimentar, ya sea individual, por equipos o grupalmente, dirigido adecuadamente por el profesor.

5. Para iniciar la actividad, el alumno arma el geoespacio, coloca ligas en él para formar la figura que se le indica, dibuja la situación que armó, la razona y responde ciertas preguntas que lo lleven a lograr el objetivo de la lección; para ello, intercambiará puntos de vista con sus compañeros y con el profesor.

20

CAPÍTULO 6 Características del cuaderno de actividades con el geoespacio a) Postura psicopedagógica sobre el aprendizaje Para que los estudiantes más jóvenes comprendan las estructuras matemáticas, hay que hacer algo más que señalar dichas estructuras; también se deben determinar qué capacidades cognoscitivas aportan los niños al aprendizaje de las matemáticas, y cómo se interrelacionan con las capacidades de los niños los actos de enseñanza que presentan dichas estructuras. Dicho de otra forma, debemos tener una teoría del funcionamiento intelectual para evaluar la posibilidad de que las presentaciones pedagógicas específicas lleguen a formar la comprensión adecuada.

Jeroneme Bruner combinó los objetivos de la psicología experimental con los del estudio del trabajo en el aula, y sus experimentos se refirieron sobre todo al aprendizaje de las matemáticas; Bruner, al igual que otros educadores, buscaba desarrollar procedimientos elegantes para la enseñanza de las matemáticas e intentaba demostrar la capacidad de los niños para comprender conceptos matemáticos sofisticados, así que estudió a niños individualmente, en condiciones experimentales de enseñanza.

Bruner defendió la relación entre psicólogos, educadores y matemáticos; mostró interés por los procesos cognoscitivos humanos: �los medios por los que los organismos consiguen, retienen y transforman la información� . Estos estudios se vieron opacados por la influencia de la psicología conductista durante varias décadas.

Bruner desarrolló un programa extenso de estudios de laboratorio sobre los procesos cognoscitivos propios del pensamiento y del aprendizaje, y se enfocó muy en especial al desarrollo conceptual. Estudió las estrategias que usan los adultos para ordenar y clasificar. De allí, Bruner puso atención a los procesos cognoscitivos de los niños y se interesó en cómo ellos representan mentalmente los conceptos e ideas que van aprendiendo.

Bruner decía que lo importante de la memoria no es el almacenamiento de la experiencia pasada, sino la recuperación de lo relevante, en un formato que pueda usarse.

Esto depende de cómo se codifica y se procesa la experiencia anterior, para que sea relevante y aprovechable en el presente cuando se necesite. El producto final de tal sistema de codificación y procesamiento es lo que podemos llamar representación.

21

Hay diferentes formas de representación y Bruner describe tres formas de representación: enactiva o concreta, icónica o gráfica y simbólica o abstracta.

La etapa enactiva es un modo de representar situaciones pasadas mediante una respuesta motriz adecuada. Se cree que este modo es el único por el cual los niños pequeños pueden recordar las cosas (Piaget llama a esta etapa la sensoriomotriz). Por ejemplo, un niño cuenta cubos tal como lo aprendió dando un golpecito a cada uno. El alumno debe tener un primer acercamiento a los objetos de estudio por medio de la manipulación y la percepción; esta primera aproximación incluye las facultades de la vista y el tacto, que ubican naturalmente al joven en el terreno del aprendizaje multisensorial. Los materiales deben ser de fácil manipulación para que construya sus propios conocimientos, a partir de la acción con objetos fisicos; de esta forma irá desarrollando sus estructuras mentales.

El modo icónico es el paso de lo concreto y lo físico para entrar en el campo de las imágenes mentales, aquí, el niño �se imagina� una operación o manipulación para recordar el acto y para recrearlo mentalmente cuando sea preciso. Las imágenes mentales no incluyen todos los detalles sucedidos, sino que abrevian los sucesos representando sólo sus características importantes. El niño puede dibujar o trazar los materiales con los que se trabajó en la primera etapa, siguiendo cada paso para representar en el papel lo percibido con la manipulación. Aquí también se necesitan las facultades de la vista y el tacto para ubicar al estudiante en el terreno del aprendizaje multisensorial.

La representación simbólica se da por la aparición de la competencia lingüística; un símbolo representa una cosa, pero no tiene por qué parecerse a ella. Los símbolos los inventan las personas para referirse a objetos y se comparten porque se ponen de acuerdo en ello. El alumno simbolizará los objetos que manipuló y dibujó en las etapas anteriores, llegando así a la abstracción del conocimiento.

El desarrollo de estas tres etapas llevará al alumno a la aplicación del proceso enseñanza-aprendizaje en su vida diaria, tanto escolar como extraescolar.

Uno de los recursos didácticos a usar para que el alumno incorpore nuevos conocimientos es el geoespacio porque trabajará con un modelo concreto, al cual puede ver y tocar (aprendizaje multisensorial); luego podrá imaginarlo para hacer operaciones o manipulaciones, con lo que pasa de lo concreto y lo físico al terreno de las imágenes mentales, y dibujará algo de lo percibido en la manipulación; y finalmente, simbolizará el objeto manejado en las etapas anteriores para lograr la abstracción del conocimiento.

Los tres modos de representación se relacionan evolutivamente, según Bruner. Se desarrollan en ese orden, cada modo depende del anterior y exige

22

mucha práctica en el mismo para pasar al siguiente. Esta formulación de Bruner equivale a una teoría de las etapas de desarrollo del intelecto.

En la primera etapa, el alumno manipulará un objeto, que es el geoespacio. En la segunda etapa dibujará lo que manipuló y tendrá una representación

gráfica.

En la tercera etapa llegará a la abstracción al simbolizar el geoespacio, las propiedades y las fórmulas.

Para Bruner, hay formas de presentar los conceptos complicados de tal manera que los niños de cualquier edad los puedan entender en un nivel adecuado a sus capacidades intelectuales y a su experiencia. Para enseñar se deben presentar conceptos que respondan a los modos hipotéticos de representación. La forma en que los seres representan mentalmente las cosas se pueden traducir a formas de representar los conceptos en el aula.

Hay distinciones entre pensamiento analítico y pensamiento constructivo. En el primero, el individuo utiliza el pensamiento lógico todo lo posible, de modo que sus conceptos están claramente definidos y formulados antes de usarlos. En el segundo, el sujeto adquiere una percepción intuitiva (es decir, una percepción no basada en el razonamiento) de algo que no está totalmente entendido. Esta vaga percepción le impele a un esfuerzo constructivo o creador para conformar la intuición por medio del razonamiento lógico.

La manipulación de objetos (cubos, bastoncitos, cuentas) permite la representación enactiva de los conceptos numéricos. Estos materiales se pueden recordar de forma icónica, y los códigos de color del valor posicional de las cifras enriquecen las imágenes mentales.

Se pueden combinar los procesos psicológicos y matemáticos en la enseñanza basada en la estructura.

El geoespacio es un material didáctico, así como los bloques aritméticos multibase (BAM) de Dienes, las regletas de Cuisenaire o los geoplanos de Gattegno.

Para evaluar el profesor al alumno, lo observará a lo largo de las clases y verá su trabajo, tanto individual como por equipo, así como sus conocimientos matemáticos y geométricos aplicados en las diferentes actividades. Además de hacer los dibujos y contestar las preguntas relacionadas, también resolverá un cuestionario breve al final de cada lección.

23

b) Enfoque metodológico del cuaderno de actividades con el geoespacio Las características del conjunto de ejercicios son las siguientes: Se dan en un recuadro el nombre o titulo del tema y el objetivo que se persigue, se pide a los alumnos que coloquen ligas en las argollas del geoespacio para armar cierta figura, se presenta el dibujo de un geoespacio para que en él se trace la situación dada; luego de que se armó, se hacen preguntas sobre la actividad y se presenta información sobre el tema en un recuadro sombreado; finalmente se tiene un breve cuestionario para evaluar al estudiante. Para evaluar al alumno, además de observar su trabajo a lo largo de la clase, se le pedirá que verifique sus respuestas con la información dada, que platique sus experiencias con este material y se les preguntará sobre los conceptos teóricos aplicados en las actividades con el geoespacio. Algunas actividades tendrán la intención de saber qué conocimientos previos tienen los estudiantes, otras serán de iniciación en ciertos temas y algunas más servirán para reafirmar los conocimientos adquiridos. Se discutirán situaciones geométricas, pero también aritméticas y algebraicas. Para enseñar y aprender Matemáticas se consideran hechos, fórmulas, reglas, algoritmos, conceptos y resolución de problemas. El aprendizaje necesita ser de mantenimiento e innovativo. La resolución de problemas es un medio integrador del conocimiento porque: Construye conceptos. Resolver problemas permite aplicar conocimientos previos y entenderlos mejor. El geoespacio ayudará a entender, por ejemplo, los diferentes tipos de triángulos en el primer grado, ángulos entre paralelas cortadas por una transversal en el segundo grado y el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones en el tercer grado, ya que el alumno verá físicamente el modelo espacial (ver figuras que aparecen más adelante). Desarrolla habilidades matemáticas. Resolver un problema permite aplicar conocimientos y adquirir rapidez o habilidad. Resolviendo actividades con el geoespacio se desarrolla la imaginación espacial. Desarrolla la creatividad. El alumno puede crear nuevos problemas a partir de alguno que resuelve. Desarrolla un espíritu crítico y reflexivo. Para resolver un problema se debe razonar, meditar y reflexionar sobre cómo llegar a la solución. El geoespacio le permite al alumno razonar sobre las actividades que resuelve porque visualiza lo que de otra forma no haría.

24

Por ejemplo, para calcular la medida de la diagonal entre vértices opuestos de un cubo: D l d l l Se analiza primero la base para obtener la diagonal d: l d l d l l Si l = 6 u, entonces d = 485281374.8723636)6()6( 22222 ≈=+=+ uuuuu u Ahora, para obtener D:

D = ( ) 39230485.101087236485.8)6( 22222 ≈=+=+ uuuuu u l D

d Esto puede permitir intuir la generalización para obtener la diagonal entre vértices opuestos consistente en obtener la raíz cuadrada de la suma de los

25

cuadrados de largo, ancho y altura.

D = 3923.10108363636)6()6()6( 2222222 ≈=++=++ uuuuuuu u Promueve el uso de estrategias. Al tener frente a si un problema se piensa sobre la forma o formas en que éste se puede resolver. Teniendo un modelo físico, el estudiante pensará en diversas formas para resolver los problemas presentados. Ayuda a la adquisición de destrezas. Entre las destrezas que desarrollará el joven estará la rapidez para aplicar métodos de resolución de problemas matemáticos. Promueve el desarrollo gradual del razonamiento. Pensando en la forma de resolver un problema se logrará resolver otros, y cada vez se le dificultará menos. Al visualizar las situaciones, al alumno se le facilitará llegar a las demostraciones geométricas formales. Apoya el descubrimiento de relaciones y procedimientos. Teniendo enfrente un problema se pensará en los datos y qué método puede ser útil para su resolución. Al tener un modelo físico, el alumno entenderá los conceptos y podrá aplicarlos para resolver problemas. Da seguridad y confianza en sí mismo. Cuando el alumno conoce algo se siente seguro, así como tiene miedo a lo desconocido. Favorece los procesos de comunicación de ideas. Al entender conceptos, el alumno puede explicarlos de manera clara. Influye en la formación de valores y de actitudes positivas hacia las Matemáticas. Esto es correcto porque, al jugar el alumno con un material didáctico, hace una actividad que le gusta, el aprendizaje será divertido y el estudiante adquirirá la disciplina para estudiar. Los alumnos pueden detestar las Matemáticas si no existen personas que se las muestren de forma agradable; si las entienden les gustarán y su actitud será de aceptación. Para la adquisición de destrezas se promoverá el uso de instrumentos de dibujo, de medida y de cálculo. A continuación se mencionan algunas habilidades matemáticas, que se propician con la resolución de problemas: El cálculo mental. A través del cálculo mental se darán resultados de operaciones aritméticas, como son la adición, la sustracción, la multiplicación y la división, sin necesidad de usar lápiz y papel o calculadora; se pide al estudiante

26

resolver operaciones sencillas mentalmente y poco a poco se le van proponiendo operaciones con números mayores o más complicadas. La estimación. Usando los algoritmos se hacen cálculos aproximados de operaciones. La flexibilidad de pensamiento. Esto permite enfocar de diversas formas un problema para encontrar su solución. La reversibilidad de pensamiento. Una vez resuelto un problema puede tomarse el camino inverso para comprenderlo y verificar que la respuesta es correcta. La imaginación espacial. Se desarrolla a partir de la construcción y la manipulación de modelos de sólidos y la representación plana de sólidos. La clasificación. Permite ordenar elementos por sus características diferenciadoras conocidas. La generalización. Permite abstraer algo que es común a varias cosas para formar un concepto general que las comprenda a todas. Estas habilidades se promoverán con este material al pedir al alumno que haga cálculos o estimaciones mentales para que tenga idea de en qué rango se ubicará su respuesta; si no encuentra solución por un camino, buscará por otros, o colocará en diversas posiciones su geoespacio para visualizar mejor la situación problemática; podrá descomponer o reunir superficies o sólidos para recorrer posibles soluciones en ambos sentidos; verá situaciones espaciales en un modelo físico, las cuales quizá se le dificulten al verlas en un dibujo porque éste se encuentra sólo en dos dimensiones; realizará algunas clasificaciones, como las de ángulos, de triángulos, de cuadriláteros, de paralelogramos o sólidos; realizará generalizaciones resolviendo problemas, como la del teorema de Pitágoras al aplicarlo al espacio. Algunas características que hacen que un enunciado sea un problema, es que presente una situación que:

• Sea un reto. • Su solución no sea inmediata. • Permita usar diversas estrategias de resolución. • Ponga en juego las experiencias previas del estudiante. • Permita descubrir o generar nuevos conocimientos. • Permita el desarrollo de habilidades matemáticas.

Algunas de las estrategias a usar pueden ser:

27

• Ensayo y error. • Uso de tablas. • Reconocimiento de un patrón. • Ir de atrás hacia delante. • Establecer analogías. • Elaborar listas. • Representar la información por medio de diagramas y gráficas. • Recurrir a dibujos. • Formular y probar hipótesis. • Modelar el problema. • Experimentar con la calculadora.

Se pretende que entre alumnos y maestro experimenten cada una de ellas y otras posibles.

27

c) Descripción de la secuencia didáctica Para explicar la secuencia didáctica, se expondrán algunas ideas de Douady (1984) sobre los juegos de marcos y dialéctica herramienta-objeto.

En el aprendizaje, consideramos los trabajos �desequilibrios-reequilibrios�. Una misma herramienta se puede adaptar a diversos problemas o varias

herramientas a un solo problema, y el alumno debe ser capaz de usar sus conocimientos para resolver situaciones.

Para organizar la enseñanza, Douady se basa en tres puntos: la dialéctica herramienta-objeto, la dialéctica antigua-nueva y los juegos de marcos, los cuales se engranan a partir de problemas que responden a varias condiciones.

En los problemas se tiene: • El enunciado (contexto y preguntas) tiene sentido para los alumnos. • De acuerdo a sus conocimientos, los alumnos pueden iniciar un procedimiento de solución, pero no pueden resolver completamente el problema. • Los conocimientos buscados por el aprendizaje (contenido o método) son herramientas adaptadas al problema. • El problema puede formularse al menos en dos marcos diferentes (pudiera ser el algebraico, el aritmético, el geométrico,...).

Supóngase que se tiene el siguiente problema: Se trata de los rectángulos de perímetro P fijado en 34 cm ó 36 cm. Calcular el área de varios entre ellos. Se ordenan los rectángulos según el área de la menor a la mayor. ¿Puede el área adquirir valores tan grandes como se quiera o bien hay un valor que es el mayor posible? Para P = 34 cm, hay un rectángulo de área igual a 70 cm2, uno de área de 72 cm2, ¿hay de área comprendida entre 70 cm2 y 72 cm2? P = 2(a + l) = 2(6 cm + 11 cm) = 2(17 cm) a = 6 cm P = 34 cm l = 11 cm P = 2(7 cm + 10 cm) = 2(17 cm) = 34 cm a = 7 cm A = al = (7 cm)(10 cm) = 70 cm2 l = 10 cm

28

P = 2(8 cm + 9 cm) = 2(17 cm) = 34 cm a = 8 cm A = al = (8 cm)(9 cm) = 72 cm2 l = 9 cm

Es interesante el problema porque se maneja el parámetro P y los alumnos ya conocen los enteros (operaciones y orden) y las fracciones, pero no conociendo ni los decimales ni la multiplicación de dos fracciones; saben calcular el área de rectángulos que tienen dimensiones enteras, tienen una concepción geométrica del área en el caso en que las dimensiones no sean enteras. El objetivo del aprendizaje es la extensión de la multiplicación a los números fraccionarios:

29

CAPÍTULO 7 Dialéctica herramienta-objeto Dado un problema, la dialéctica herramienta-objeto es el proceso siguiente, con varias fases que cubren funciones diferentes. a) Antigua Los conceptos se usan como herramientas para resolver al menos parcialmente el problema. Así, los alumnos a quienes se dirige el problema, pueden mostrar rectángulos aceptables cuyas dimensiones son enteras, llamando a y b a las medidas de los lados, que 2a + 2b = 34 ó a + b = 7, y para cada uno de ellos calcular el área y luego ordenar los resultados. b) Nueva búsqueda implícita Los alumnos encuentran dificultades para resolver completamente el problema si la estrategia primitiva se vuelve muy costosa (muchas operaciones, mucho tiempo, peligro de error e incertidumbre sobre el resultado) o ya no funciona y se plantean nuevos problemas, como en el caso de un rectángulo que responda a una condición suplementaria: área comprendida en un intervalo fijo o tomando un valor máximo. Limitándose a los rectángulos de dimensiones enteras, para P = 34 cm sucede que el rectángulo de dimensiones 8 cm, 9 cm es el de área más grande. Pero para P = 36 cm se encuentra que es el cuadrado de 9 cm de lado. ¿Tendría

el cuadrado de lado ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

218 cm un área mayor que el rectángulo 8 cm, 9 cm?

¿Cómo comparar esas dos áreas?: ¿geométricamente? ¿por el cálculo? Se necesitaría determinar el área del cuadrado ¿cómo hacerlo?

Esas nuevas preguntas llevan a los alumnos a tratar de adaptar nuevos medios. Los progresos eficaces provienen de un cambio de marcos y ello permite poner en acción nuevas herramientas por la extensión del campo de intervención o por su misma naturaleza. En esta etapa de se habla de lo "nuevo implícito". Los cambios de puntos de vista y los juegos de marcos son medios a disposición del enseñante para hacer avanzar la etapa de búsqueda en forma fructuosa. Pero la investigación puede también avanzar bajo la sola responsabilidad de los alumnos.

Por ejemplo, al tomar la medida ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

218 cm, numéricamente es menor que

9 cm. A un lado de 8 cm corresponde un área de 64 cm2 y a un lado de 9 cm, una de 81 cm2. El área buscada es intermedia, pero hay que modificar la práctica.

30

En el campo geométrico, se trata de adición de áreas: se tienen cuatro

partes: área del cuadrado: 64 cm2

área de los rectángulos B y C ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

218 : 4 cm2

área del rectángulo D: 41

21

21

=× cm2 A B

Al sumar las cuatro partes, se tiene que el C D

área buscada es (72 + 41 ) cm2

El área del cuadrado es más grande, pero en la cercanía del cuadrado,

¿habría allí un área aún más grande?

Los alumnos son llevados a extender la correspondencia entre longitudes y áreas en medidas no enteras. Ello lleva, en el marco numérico, a buscar parejas de números (a, b) no enteros y tales que a + b = 17

Cada pareja de números proporciona las medidas de los lados de un rectángulo del que quiere conocerse el área. Por ejemplo, ¿cuál es el área del

rectángulo que corresponde a (8 + ,83 8 +

85 )?

De igual forma, el rectángulo se descompone en cuatro partes y surge el

problema de si el rectángulo pequeño es el que corresponde a (8 + ,83 8 +

85 ). Ese

rectángulo pequeño no cabe un número entero de veces en el cuadrado unidad, pero un pequeño cuadrado cabe un número de veces exacto en el rectángulo pequeño y en el cuadrado unidad. Se necesitan 64 cuadrados pequeños para

cubrir el cuadrado unidad. El área de un cuadrado pequeño es 641 cm2. Se

necesitan 15 para cubrir el rectángulo pequeño. El área de éste es 6415 cm2 (15

×641 ). Los alumnos puntualizan un método que les permite obtener el área de un

rectángulo de dimensiones m + qp , n +

sr . El rectángulo es descompuesto en

cuatro partes de las que saben calcular el área de cada una por medios diferentes

31

y adaptados de los ejemplos descritos antes: m × n, n × p × q1 , m × r ×

s1 , p × r

× (q1× s). Por convención, el producto (m +

qp ) × (n +

sr ) es la suma de los

cuatro términos anteriores.

Numéricamente, los alumnos extienden la multiplicación a los números fraccionarios, gracias a un juego entre el marco geométrico y el marco numérico, marcos a la vez autónomos y en relación gracias a la medida. c) Explicitación e institucionalización local. Algunos elementos han sido importantes en la fase anterior y pueden ser apropiados ahora para los alumnos. Son formulados en términos de objeto o de práctica con sus condiciones de empleo para el momento. Se puede también tratar de convicciones que hayan sido el objeto del debate y dando lugar a la formulación argumentada: por ejemplo, entre los rectángulos que tienen un perímetro fijo, el cuadrado tiene la mayor área. Se trata aquí de un nuevo explícito que puede ser re-usado y hacerse familiar.

En esta fase se discute colectivamente la validez de los trabajos y las propuestas de los alumnos. Aún cuando el grupo ha resuelto el problema, no todos han reaccionado igual ante las herramientas movilizadas. En las situaciones de comunicación, el saber se difunde diversamente según los alumnos. Oficializar conocimientos que hasta el momento sólo han sido herramientas, darles un estatuto de objeto matemático es una condición de homogeneización y de constitución de un saber de la clase, y para cada uno una manera de señalar su propio saber y con ello asegurarse la progresión. Esa es la finalidad de la fase siguiente. d) Institucionalización-estatuto de objeto El enseñante expone lo que es nuevo y debe relacionarlo con las conversaciones usuales. Expone la clase presentando de manera organizada y estructurada las definiciones, teoremas, demostraciones, señalando lo esencial y lo secundario. En el caso de la escritura con números decimales, de su comparación, de su propiedad de aproximar con la precisión tan grande como se desee una medida que no se sabe expresar exactamente con los números conocidos. Así, el enseñante tiene el cargo de dar un estatuto de objeto a los conceptos utilizados en su aspecto de herramienta. Esta novedad a retener está destinada a funcionar ulteriormente en tanto que antigua, pero aún no ha llegado el momento. En realidad, la estructuración personal es de primera importancia en matemáticas

32

para que haya efectivamente saber. Para perfeccionar esta estructuración, el alumno debe poner a prueba por él mismo los conocimientos que cree haber adquirido y hacer el balance sobre lo que sabe. Ese es el objetivo de la fase siguiente. e)Familiarización-reinversión El enseñante pide a los alumnos que resuelvan ejercicios variados que necesitan las nociones recientemente institucionalizadas. Al proceder, los alumnos desarrollan hábitos y habilidades, integran el saber social confrontándolo a su saber particular. Esos ejercicios sólo ponen en juego lo conocido. Pero los alumnos los abordan con conceptos que han evolucionado y que les permiten considerar un campo más amplio de problemas.

Falta ponerlos a prueba en situaciones más complejas, donde los alumnos podrán probar y desarrollar su dominio de las nuevas adquisiciones. f) La tarea o el nuevo problema se hace más complejo El enseñante propone a los alumnos resolver un problema más complejo. Por ejemplo, buscar un rectángulo donde: • el semi-perímetro sea igual a 41 cm y el área 402 cm2 • el semi-perímetro sea igual a 39 cm y el área 402 cm2

Los números decimales serán una herramienta técnica. Deberán hacerse preguntas más precisas, pertinentes en relación al problema y entonces el estudio se traducirá en cálculos sobre los números decimales elegidos por su comodidad de cálculo. Aquí la herramienta esencial es la función donde se va de (a, b) a a × b, donde a + b = 41, cuyo estudio de variaciones permite situar 402 entre los valores del producto a x b y distinguir cada vez más el rectángulo buscado. Si se fracasa en el procedimiento de a + b = 39, eso nos lleva a buscar explicaciones en el marco geométrico y formular el problema de otra manera: el área puede ser bastante grande para alcanzar, incluso rebasar 402 cm2. Los alumnos han resuelto para otros valores numéricos. Se vuelve ahora objeto de estudio en el caso general. La referencia al cuadrado de igual perímetro que el rectángulo buscado lleva a una conjetura y una argumentación geométrica que cierra el asunto. El conocimiento de la clase se enriquece con un teorema.

A partir de aquí, el objeto estudiado es susceptible de situarse como antiguo para un nuevo ciclo de la dialéctica herramienta-objeto.

33

Observaciones 1) A veces más de un ciclo (a, b, c, a, b, c, ...) es necesario antes del desarrollo de un ciclo de la dialéctica herramienta-objeto. 2) Puede ocurrir que hábitos y prácticas familiares necesiten años antes de dar lugar a objetos de saber. Es el caso de las funciones y las representaciones gráficas. 3) Por la experiencia que se tiene, puede llegarse a la siguiente hipótesis: mientras que suficientes nociones buscadas por el aprendizaje sean introducidas por la dialéctica herramienta-objeto, otras pueden ser objeto de un aporte directo por el enseñante o por la lectura de un manual. Un problema didáctico importante es el de criterios de selección, de la organización y de la articulación de las nociones según su modo de introducción.

34

CAPÍTULO 8 Juegos de marcos Los juegos de marcos son cambios de marcos, hechos a iniciativa del enseñante, en ocasión de problemas escogidos convenientemente, para hacer avanzar las fases de investigación y hacer evolucionar los conceptos de los alumnos. Se trata del desarrollo de un procedimiento donde se distinguen tres fases: 1) Transferencia e interpretación Los alumnos se enfrentan a un problema dentro de un cierto marco. De acuerdo a sus conocimientos, prácticas y hábitos, el análisis del problema los lleva a traducirlo todo o parte de él a otro marco e interpretar ciertas cuestiones. Con ello hacen correspondencia entre distintos marcos (entre objetos y entre relaciones).

El problema de buscar un rectángulo de 41 cm de semi-perímetro y un área de 402 cm2 está formulado en el marco geométrico. Los alumnos buscan una superficie plana de cierta forma y que saben dibujar, cuyo perímetro y área tienen medidas impuestas. Traducen numéricamente ese problema por la búsqueda de dos números de quienes conocen la suma, 41, y el producto, 402. A base de ensayos no lo van a encontrar y deben organizar las respuestas para elegir correctamente los siguientes ensayos. Para acercarse a la respuesta pueden primero buscar soluciones aproximadas y buscan parejas de números cuya suma es 41 y esperan que el producto sea cercano a 402. 2) Correspondencias imperfectas Las correspondencias entre los marcos son imperfectas por razones matemáticas o por conocimientos insuficientes de los alumnos. Al hacer ensayos buenos y malos, la situación es fuente de desequilibrio entre sus convicciones y lo que saben hacer. Están a punto de manipular implícitamente funciones que sus conocimientos matemáticos no permiten controlar. 3) Mejoría de las correspondencias y progreso del conocimiento La comunicación entre marcos es un factor de re-equilibración. Representan gráficamente parejas de números en una cuadrícula y en cada punto encontrado anotan el producto a × b; los puntos son alineados. Han podido así visualizar la variación del producto en función de la pareja (a, b) y seleccionarán nuevas parejas mejores, que no lo hubieran logrado sin la representación gráfica. Alumnos que no hicieron esto también llegaron al resultado, pero la gráfica tiene limites de visibilidad. Esto los puede llevar a una conjetura: cuando se reduce la diferencia

35

entre a y b el producto aumenta, cuando aumenta la diferencia el producto disminuye, esto los lleva a encontrar parejas cada vez mejores. La interpretación geométrica permite a los alumnos elaborar una prueba y las interacciones entre marcos permiten hacer avanzar el conocimiento en cada uno de ellos. No debemos olvidar que: a) Existe una masa crítica de conocimientos antiguos y de hábitos en cada uno de los marcos involucrados. b) Existe un umbral crítico de interrogación debajo del cual la reflexión no se encadena.

Los alumnos no han adquirido todos sus conocimientos a través de la dialéctica herramienta-objeto, pero para la mayoría de ellos los conocimientos se han anclado en una armadura de conocimientos adquiridos por el juego de marcos y la dialéctica herramienta-objeto. También hay que reconocer que otras formas de trabajo podrían adaptarse mejor para otros alumnos.

La dialéctica herramienta-objeto produce significado. Los juegos de marcos son fuente de desequilibrio; la reequilibración participa del aprendizaje. Los juegos de marcos tienen un papel motor en una de las fases de la dialéctica.

Con el ejemplo dado se busca la extensión de la multiplicación de fracciones y la introducción de números decimales. 4) Elementos para el análisis de la secuencia didáctica. Contenidos y grados de dificultad Los temas que se abarcan en este trabajo son en general los del programa de Geometría de Secundaria. Algunos de los que no se incluyen son: Los referentes a círculo y circunferencia. Mediatrices y bisectrices. Rotación y translación de figuras en el plano. Homotecia. Efecto de la escala en el volumen. Lo que nos permite decir que con el geoespacio se pretenden cubrir una buena parte de los temas del programa de secundaria. Para trabajar con los alumnos se verá qué conocimientos previos tienen y

36

luego se realizarán actividades de iniciación y reafirmación. Por ejemplo, el tema de paralelas y perpendiculares servirá posteriormente para conocer los ángulos formados entre dos paralelas cortadas por una transversal, que a su vez ayudará a la comprensión y realización de demostraciones geométricas formales. La clasificación de ángulos se aplicará en la clasificación de triángulos y en ángulos internos y externos de un triángulo, que luego se usará en ejes de simetría. El conocimiento de los polígonos se aplicará en el recubrimiento del plano, en secciones transversales, en congruencia y en perímetros y áreas equivalentes. Las características de los sólidos y el teorema de Pitágoras apoyarán el cálculo de áreas superficiales totales y volúmenes de dichos sólidos. Los dibujos y trazos geométricos serán útiles para estudiar el efecto de la escala en el área. Algunos temas van evolucionando en la profundidad con la que se les estudia; por ejemplo, a los triángulos se les estudia por su clasificación, por sus ángulos internos y externos, por sus características y condiciones para su construcción, y todo ello se podrá aplicar a la demostración geométrica formal, ayudándose de la lógica y del razonamiento deductivo. El conocimiento del plano cartesiano permitirá utilizar el teorema de Pitágoras para calcular distancias en dicho plano. El conocimiento de las características de los polígonos y sólidos, aunado al uso del geoespacio, ayudará a la justificación de algunas fórmulas. Los ejercicios a realizar ayudarán a desarrollar las habilidades mencionadas con anterioridad. Este trabajo se enfoca más a la geometría, pero ello no indica que no pueda usarse en aritmética, álgebra, trigonometría, presentación y tratamiento de la información, y probabilidad. El grado de dificultad va evolucionando de conocimientos previos a adquisición de nuevos conocimientos y aplicación de ellos a la resolución de problemas, auxiliándose del razonamiento deductivo.

35

CAPÍTULO 9 El uso del geoespacio como apoyo en la enseñanza de la Geometría Los materiales didácticos son los modelos que se usan para la enseñanza de ciertos conceptos y contenidos; el material didáctico es un medio y un fin para enseñar un concepto.

En el geoespacio pueden representarse un punto, una recta, uno o varios planos, una recta que interseque a un plano. Pueden analizarse propiedades de la geometría, postulados y teoremas: por un punto del espacio pueden pasar una infinidad de rectas, por dos puntos del espacio pasa una y sólo una recta. Se puede hacer pasar un plano por tres puntos dados, ¿qué ocurre si los tres puntos están alineados? En un geoespacio pueden localizarse líneas paralelas, secantes, perpendiculares y puede establecerse si una recta pertenece al plano, si está fuera de él, si lo interseca, si es paralela o perpendicular, y en cuanto a planos, se puede ver si son paralelos, si se intersecan o si son perpendiculares. Las figuras siguientes muestran algunas de esas situaciones:

Modelo del geoespacio. Estas otras figuras muestran propiedades:

Están determinados un En esta situación una recta l

punto Q, una recta l y interseca a un plano P y pasa un punto P. por un punto Q.

36

Por 3 puntos alineados pasa una recta y sólo una.

Otras situaciones que se visualizan en el geoespacio son:

37

Puede pedirse a los alumnos que obtengan diversas secciones, triangulares, cuadradas, rectangulares, trapezoidales o hexagonales, haciendo cortes que permitan llegar a esto. Una vez obtenida la sección, calcularán su perímetro y su área en aquellas en que ello sea posible con los datos y los conocimientos de que se disponga.

También se les puede pedir que formen diversos sólidos, pueden ser prismas o pirámides, y luego hagan los dibujos en isométrico o perspectiva, lo cual les será explicado por el profesor para que dominen la técnica correspondiente; que calculen las áreas laterales, áreas totales y volúmenes de dichos cuerpos.

En todos los sólidos que formen los alumnos en el geoespacio, ayudándose de las ligas, deberán usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de las

38

diagonales donde se formen triángulos rectángulos o aquellas ideas que vaya desarrollando el grupo y se aprecie que son viables.

El geoespacio es un buen recurso para aplicar las fórmulas de áreas y volúmenes para sólidos y figuras geométricas.

39

Actividades Ya se explicó que el geoespacio ayuda a plantear y resolver problemas. El alumno podrá visualizar las situaciones presentadas y luego dedicarse a buscar procedimientos para resolverlos.

A continuación se explicarán algunas actividades y se verá la forma en que se pueden trabajar, no siendo soluciones únicas las aquí presentadas.

La intención que se tiene al presentar posibles soluciones es que tanto el profesor como el alumno vean algunos métodos en forma detallada, donde se lleva de la mano al lector, ya que muchas veces se nos explica cómo resolver, pero no se detallan los pasos intermedios. 1) Un triángulo de dos unidades de base Se forma un triángulo de dos unidades de base (AB) en una de las caras del geoespacio y el tercer vértice se ubica en la cara opuesta a aquélla donde está la base del triángulo; este vértice recorrerá los 24 puntos de dicha cara opuesta (de C a Y), luego se calculará el área de cada triángulo formado. Resultarán 24 triángulos y los valores correspondientes de sus áreas se graficarán en el plano cartesiano, colocando los números de los triángulos en el eje horizontal y sus áreas correspondientes en el eje vertical. La curva obtenida permite ver la variación del área de los triángulos.

40

T S R Q P O Ñ U N V M X W K L Y J C D E F G H I α A B β

El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Para el triángulo ABC, la altura es αC; esta altura es la misma para los

triángulos ABD, ABE, ABF, ABG, ABH y ABI. La base del triángulo ABC es AB; esta base es la misma para los otros seis

triángulos mencionados. Entonces el área es: ( )( ) 62

622

===uubhA u2

Al formarse el triángulo ABJ, su altura es βJ y se calcula por medio del teorema de Pitágoras: I J β

βJ = ( ) ( ) 08.637361)6()1( 2222222 ≈=+=+=+ uuuuuIIJ β u

41

El área del triángulo ABJ es: ( )( ) 08.62

08.62=

uu u2

En los siguientes triángulos puede uno valerse de figuras similares a la

anterior, para ir calculando las alturas de dichos triángulos. I K I L I M I N I Ñ β β β β β Triángulo ABK: su altura es βK = 32.640364)6()2( 22222 ≈=+=+ uuuuu u Su área es 6.32 u2 Triángulo ABL: su altura es βL = 70.645369)6()3( 22222 ≈=+=+ uuuuu u Su área es 6.708 u2 Triángulo ABM: su altura es βM = 21.7523616)6()4( 22222 ≈=+=+ uuuuu u Su área es 7.21 u2 Triángulo ABN: su altura es βN = 81.7613625)6()5( 22222 ≈=+=+ uuuuu u Su área es 7.81 u2 Triángulo ABÑ: su altura es βÑ = 485.8723636)6()6( 22222 ≈=+=+ uuuuu u Su área es 8.485 u2. La altura del triángulo ABÑ es la misma para los triángulos ABO, ABP, ABQ, ABR, ABS y ABT; por lo tanto, el área será la misma del triángulo ABÑ para los seis triángulos. La altura del triángulo ABU es la misma que la del triángulo ABN, ya que están en el mismo plano; por lo tanto, el área del triángulo ABU es la misma que la del triángulo ABN = 7.81 u2. De igual forma, el área del triángulo ABV es igual al área del triángulo ABM = 7.21 u2; el área del triángulo ABW es igual al área del triángulo ABL = 6.708 u2; el área del triángulo ABX es igual al área del triángulo ABK 6.32 u2; el área del triángulo ABY es igual al área del triángulo ABJ = 6.08 u2. Áreas de los 24 triángulos:

42

l) Δ ABC ≈ 6 u2 9) Δ ABK ≈ 6.32 u2 17) Δ ABR ≈ 8.485 u2 2) Δ ABD ≈ 6 u2 10) Δ ABL ≈ 6.708 u2 18) Δ ABS ≈ 8.485 u2 3) Δ ABE ≈ 6 u2 11) Δ ABM ≈ 7.21 u2 19) Δ ABT ≈ 8.485 u2 4) Δ ABF ≈ 6 u2 12) Δ ABN ≈ 7.81 u2 20) Δ ABU ≈ 7.81 u2 5) Δ ABG ≈ 6 u2 13) Δ ABÑ ≈ 8.485 u2 21) Δ ABV ≈ 7.21 u2 6) Δ ABH ≈ 6 u2 14) Δ ABO ≈ 8.485 u2 22) Δ ABW ≈ 6.708 u2 7) Δ ABI ≈ 6 u2 15) Δ ABP ≈ 8.485 u2 23) Δ ABX ≈ 6.32 u2 8) Δ ABJ ≈ 6.08 u2 16) Δ ABQ ≈ 8.485 u2 24) Δ ABY ≈ 6.08 u2

Estos datos se graficarán de manera continua para ver la variación del área de los 24 triángulos y de otros que tengan como vértice cualquier punto de las aristas superiores del geoespacio.

42

2) Pirámide hexagonal

Se forma una pirámide hexagonal regular tomando como vértice de ella un vértice del geoespacio y colocando los vértices de la base en los puntos medios de las aristas del geoespacio. Se calculan el lado de la base, la arista de la pirámide, el apotema lateral de la pirámide, la distancia entre dos vértices opuestos del geoespacio y su mitad es la altura de la pirámide, y el apotema de la base; con estos datos se calcula el área de la base de la pirámide, el volumen y el área superficial total de ella. También se calculan los volúmenes de las pirámides triangulares que quedan filera de la pirámide hexagonal (tres) y las relaciones de volumen entre el geoespacio, la pirámide hexagonal y la pirámide triangular. Para comprobar que todo se calculó correctamente se suman los volúmenes de la pirámide hexagonal y de las tres pirámides triangulares, esto se multiplica por dos y resultará el volumen del geoespacio, ya que se puede formar otra pirámide hexagonal opuesta y simétrica a la primera, y también se formarán tres pirámides triangulares fuera de ella.

La pirámide hexagonal tiene una base en forma de hexágono regular y seis

caras triangulares; la pirámide tiene un vértice y la base seis vértices; la altura de la pirámide se mide del centro de la base al vértice de ella; en la figura se pueden ver señalados la arista de la pirámide (ap), que va del vértice de la pirámide a cualquier vértice de la base de la pirámide; el apotema lateral (a1), que va del vértice de la pirámide al punto medio de cualquier lado del hexágono (base de la

43

pirámide) y el apotema de la base (ab), que va del centro de la base al punto medio de un lado de la base de la pirámide. Lado de la base de la pirámide hexagonal: 5 u 5 u l l 071067812.7502525)5()5( 22222 ≈=+=+= uuuuu u Arista de la pirámide: 10 u ap ap = 18033989.1112525100)5()10( 22222 ≈=+=+ uuuuu u 5 u ap ap a1 a1

l 2l

a1= 60660172.105.1125.12125 222 ≈=− uuu u

535533906.32

071.72

≈≈ul u (3.535533906 u)2 = 12.5 u2

La altura de la pirámide hexagonal es la mitad de la diagonal entre vértices opuestos.

44

D l l d l

d = ( )( ) 14213562.144142.11022 222 ====+ ullll u D = ( ) 32050808.173002001001421.14)10( 2222222 ≈=+=+=+ uuuuudl u

h = 660254038.82

32050808.17≈

u u

a1 h ab ab = ( ) ( ) 123724357.65.37755.11266.86066.10 2222222 ≈=−=−=− uuuuuhal u Área de la base de la pirámide:

Ab = ( )( )( ) 9038106.129071.7123.6332

62

≈≈== uulalaPa u2

P = 6 l

Volumen de la pirámide hexagonal:

V = ( )( ) 3753

66.89.1293

2

=≈uuhAb u3

Volumen del cubo:

V = l 3 = (10 u)3 = 1000 u 3

45

Relación entre ambos volúmenes:

R = 375.083

1000375

3

3

3

3

===uu

uu

VV

c

p

El volumen de la pirámide es las tres octavas partes del volumen del cubo.

La pirámide está ocupando la mitad del cubo, ya que su altura es la mitad

de la diagonal entre vértices opuestos del cubo.

Se calculará el volumen de las tres secciones que no pertenecen a la pirámide.

Para una de las secciones, se tiene que se forma una pirámide triangular, con los dos lados de la base formando un ángulo recto.

( )( ) 666.413

1253

105.123

32

≈===uuuhA

V b u3

( )( ) 5.12

225

255

2

2

====uuubhAb u2

b = h 10 u h = 5 u l = 250u 5 u l = 250u 5 u b = 5 u

Siendo tres secciones piramidales semejantes, entonces el volumen de las tres es:

3V = 3(41.666 u3) = 125 u3.

El volumen de la pirámide hexagonal es 375 u3. La suma de los volúmenes de las tres pirámides triangulares y del volumen

de la pirámide hexagonal es: 125 u3 + 375 u3 = 500 u3.

46

La pirámide está ocupando la mitad del cubo; entonces, dos veces el

volumen de la pirámide hexagonal más dos veces el volumen de las tres pirámides triangulares que están fuera de la pirámide hexagonal resultará el volumen del cubo.

2(375 u3) + 2(125 u3) = 750 u3 + 250 u3 = 1000 u3.

46

3) Prisma triangular.

Un prisma de base triangular que se puede formar en el geoespacio es el que se muestra en la figura siguiente:

Algunos de los elementos de esta figura que se pueden calcular son: El volumen. Y para el de un prisma se utiliza la fórmula V = AbH El área de la base, la cual se obtiene restándole al área de la cara cuadrada del geoespacio las áreas A1, A2 y A3, que corresponden a dos triángulos y un trapecio. El área de un cuadrado se calcula con la fórmula A = l2 = (6 u)2 = 36 u2 A1 A2 A3

47

A1 = 62

12243

2

2

===uuuxbh u2

A1

A2 = 5.72

15253

2

2

===uuuxbh u2

A2 Para obtener A3 se usa la fórmula para obtener el área de un trapecio:

A3 = 92

18263

26)12(

2)( 2

===+

=+ uuuxuuuhbB u2

Entonces, A1 + A2 + A3 = 6 u2 + 7.5 u2 + 9 u2 = 22.5 u2

El área de la base del prisma triangular es igual al área de la cara cuadrada del geoespacio menos la suma de las áreas A1 , A2 y A3:

Ab = 36 u2 � 22.5 u2 = 13. 5 u2

La altura del prisma es la medida de la arista del geoespacio: 6 u2

El volumen del prisma triangular es VPT = 13.5 u2 x 6 u = 81 u3

Una forma para comprobar el resultado es la siguiente:

A3

48

Se suman los volúmenes de los tres prismas que se forman fuera del

prisma triangular con el volumen de este último, y el resultado debe ser el volumen del geoespacio:

VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3

V1 = A1H = 6 u2 × 6 u = 36 u3

V2 = A2H = 7.5 u2 × 6 u = 45 u3

V3 = A3H = 9 u2 × 6 u = 54 u3

49

V1 + V2 + V3 = 36 u3 + 45 u3 + 54 u3 = 135 u3

VG = V1 + V2 + V3 + VPT = 135 u3 + 81 u3 = 216 u3

Con esto se comprueba que los resultados son correctos.

Para obtener el área superficial total del prisma triangular, se calcula el área de las tres caras rectangulares y de las dos bases del prisma triangular, luego se suman todas.

Se calculan los lados l1 y l2, por Teorema de Pitágoras, considerando las figuras de los triángulos que se usaron para calcular A1 y A2:

l1 = ==+=+ 22222 25169)4()3( uuuuu 5 u

l2 = 83.534259)5()3( 22222 ≈=+=+ uuuuu u

Para calcular l3, se aísla la siguiente figura, a partir de la figura del trapecio que se usó para calcular A3:

l3 = 08.637361)6()1( 22222 ≈=+=+ uuuuu u Si se desdobla el prisma triangular, se tiene la siguiente plantilla:

50

El área de los tres rectángulos es:

Ar1 = l1 H = 5 u × 6 u = 30 u2

Ar2 = l2 H ≈ 5.83 u × 6 u ≈ 34.99 u2

Ar3 = l3 H ≈ 6.08 u × 6 u ≈ 36.5 u2 El área lateral del prisma triangular es:

Al = Ar1 + Ar2 + Ar3 ≈ 30 u2 + 34.99 u2 + 36.5 u2 ≈ 101.48 u2 El área de la base del prisma es Ab = 13.5 u2 Como el prisma tiene dos bases, el área de ambas es 13. 5 u2 × 2 = 27 u2 El área superficial total del prisma triangular es:

AT = Al + 2Ab ≈ 101.48 u2 + 27 u2 ≈ 128.48 u2

51

Calculemos la relación de volúmenes entre el prisma triangular y el geoespacio:

R = 3

3

3

3

83

21681

uu

uu

VV

G

PT == = 0.375

52

4) Prisma cuadrangular.

Para obtener el volumen del prisma de la figura puede uno valerse del siguiente razonamiento:

Veamos la cara del geoespacio donde queda la base del prisma cuadrangular:

Nótese que uno de los lados del cuadrado interior divide en dos triángulos de igual área a uno de los cuatro cuadrados trazados en la figura.

Por ello, el área del cuadrado interior es la mitad del área de la cara del geoespacio, y puesto que la altura del prisma y la del geoespacio es la misma,

53

entonces el volumen del prisma cuadrangular es la mitad del volumen del geoespacio.

El volumen del geoespacio es:

VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3

El volumen del prisma cuadrangular es:

VPC = 1082

2162

3

==uVG u3

Otra forma de obtener el volumen del prisma cuadrangular es aplicar el

teorema de Pitágoras para calcular la medida del lado de la base del prisma cuadrangular.

l = 24.41899)3()3( 22222 ≈=+=+ uuuuu u

El área de la base del prisma cuadrangular se obtiene así, puesto que es un cuadrado:

Ab = l2 = (4.24 u)2 = 18 u2 El volumen del prisma será:

V = AbH = l2H = (18 u2)(6 u) = 108 u3 Para obtener el área superficial total del prisma cuadrangular, éste se desdobla.

54

El área de una base del prisma cuadrangular es 18 u2 El área de las dos bases es 2(18 u2) = 36 u2

El área de una cara del prisma cuadrangular es:

A = (6 u)( 46.25)24.4)(6()18 2 ≈≈ uuu u2

El área lateral del prisma cuadrangular es el área de las cuatro caras, o sea:

4A ≈ 4(25.46 u2) ≈ 101.82 u2

El área superficial total se obtiene sumando el área lateral y el área de las dos bases:

AT = Al + 2Ab ≈ 101.82 u2 + 36 u2 ≈ 137.82 u2

Si calculamos la relación entre el volumen del prisma cuadrangular y el del geoespacio se tiene:

R = 3

3

3

3

21

216108

uu

uu

VV

G

PC == = 0.5

55

5) Prisma pentagonal.

Se debe hacer ver al alumno que los lados de este prisma pentagonal no son todos de la misma medida, por lo que no se trata de un pentágono regular. Al no ser pentágono regular, no se puede aplicar la fórmula de área que se usa para

los polígonos regulares: A = 2

Pa , así que hay que buscar otro método; quizá al

alumno se le ocurra la triangulación.

Para calcular el volumen del prisma pentagonal, primero se calculan las áreas A1, A2, A3, A4, y se suman; el área resultante se resta al área del cuadrado: Ac = (6 u)2 = 36 u2 , y así se obtiene el área del pentágono.

A1 = 5.42

9233

2

2

===uuuxbh u2

56

A2 = =×2

23 uu 3 u2

A3 = =×2

41 uu 2 u2

A4 = =×2

32 uu 3 u2

A = A1 + A2 + A3 + A4 = 4.5 u2 + 3 u2 + 2 u2 + 3 u2 = 12.5 u2

Ap = Ac � A = 36 u2 � 12.5 u2 = 23.5 u2

El volumen de un prisma se obtiene multiplicando el área de la base por la altura:

V = Ab h = 23.5 u2 × 6 u = 141 u3

Si queremos comprobar que nuestro resultado es correcto, calculamos el

volumen de los cuatro prismas triangulares que se forman fuera del prisma pentagonal, sumamos estos cuatro volúmenes con el volumen del prisma pentagonal y nos debe dar el volumen del geoespacio.

A continuación se presentan los prismas. Obsérvese que el área A2 es igual al área A4, por lo que el prisma V2 es igual al prisma V4. V2 V1 V3

Para calcular el volumen de un prisma se usa la fórmula V = AbH.

57

Puesto que las áreas de la base de los cuatro prismas son A1, A2, A3 y A4,

entonces los volúmenes serán:

V1 = A1H = 4.5 u2 × 6 u = 27 u3

V2 = A2H = 3 u2 × 6 u = 18 u3

V3 = A3H = 2 u2 × 6 u = 12 u3

V4 = A4H = 3 u2 × 6 u = 18 u3

La suma de los volúmenes de los cuatro prismas es:

V4P = V1 + V2 + V3 + V4 = 27 u3 + 18 u3 + 12 u3 + 18 u3 = 75 u3

El volumen del prisma pentagonal es 141 u3 y la suma de los cuatro prismas triangulares y del prisma pentagonal es:

VG = V4P + VPP = 75 u3 + 141 u3 = 216 u3

El volumen del geoespacio es 216 u3, por lo que el resultado es correcto.

Puede calcularse la relación existente entre el volumen del prisma pentagonal y el volumen del geoespacio:

R = 65277.07247

216141

)6(141

3

3

3

3

3

3

≈===uu

uu

uu

VV

g

pp

O las relaciones entre los volúmenes de los prismas triangulares y del

geoespacio:

R1G = 3

3

3

31

81

21627

uu

uu

VV

G

== = 0.125

R2G = R4G = 3

3

3

3

121

21618

uu

uu

= ≈ 0.0833

R3G = 3

3

3

3

181

21612

uu

uu

= ≈ 0.055

58

O las relaciones entre los volúmenes de los prismas triangulares y el prisma

pentagonal:

R1PP = 3

3

3

31

479

14127

uu

uu

VV

PP

== ≈ 0.191489361

R2PP = R4PP = 3

3

3

3

476

14118

uu

uu

= ≈ 0.127659574

R3PP = 3

3

3

3

474

14112

uu

uu

= ≈ 0.085106382

Desdoblando el prisma pentagonal, podremos obtener su área superficial

total:

Apoyándonos en la segunda figura de esta ejercicio, aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener las longitudes de los lados del pentágono, que es la base del prisma:

59

AT = 2 Ab + (l1 + l2 + l3 + l4 + l5) h

l1 = ==+=+ 22222 1899)3()3( uuuuu 4.24 u

l 2 = 6.31349)2()3( 22222 ==+=+ uuuuu u

l 3 = 12.417161)4()1( 22222 ==+=+ uuuuu u

l 4 = 3 u

l 5 = 6.3139)3()2( 22222 ≈=+4=+ uuuuu u

Se sustituyen los valores de los cinco lados y de las dos bases en la fórmula del área total:

AT = 2(23.5 u2) + (4.24 u2 + 3.6 u2 + 3.6 u2 + 4.12 u2 + 3 u2 + 3.6 u2) 6 AT ≈ 47 u2 + 18.5768 u2 (6) ≈ 47 u2 + 111.46 u2 ≈ 158.46 u2

60

6) Prisma hexagonal.

Para obtener el volumen de un prisma, la fórmula que se aplica es:

V = AbH

La altura H es 6, que es lo que mide de arista el geoespacio.

Se debe hacer observar al alumno que el hexágono no tiene todos sus lados iguales: 2 de ellos miden 2 unidades y los otros cuatro miden más, por lo que se trata de un hexágono irregular y para calcular su área no puede aplicarse la fórmula que se usa para un polígono regular:

A = 2

Pa

Para calcular el área de la base, que es un hexágono, usaremos la

siguiente figura:

61

El área de la cara del geoespacio, que es un cuadrado, se calcula así:

A = l2 = (6 u)2 = 36 u2

Se calculan las áreas A1, A2 , A3 y A4, las cuales son iguales entre sí:

A1 = 32

322

=×

=uubh u2

La suma de estas cuatro áreas es:

4A1 = 4 × 3 u2 = 12 u2

Del área del cuadrado se restan estas cuatro áreas y se obtiene el área del

hexágono, que es el área de la base del prisma hexagonal:

Ab = 36 u2 � 12 u2 = 24 u2

Entonces, el volumen del prisma hexagonal es: VPH = 24 u2 × 6 u = 144 u3

62

Una forma de comprobar lo correcto del resultado es la siguiente:

Se calcula el volumen de los cuatro prismas triangulares que se forman fuera del prisma hexagonal.

Aquí se presenta la figura de uno de ellos:

El volumen de uno de los cuatro prismas triangulares es:

VPT = AbH = 3 u2 x 6 u = 18 u3

El volumen de los cuatro prismas triangulares es:

4VPT = 4 x 18 u3 = 72 u3

Al sumar el volumen de los cuatro prismas triangulares y el del prisma hexagonal, debe obtenerse el volumen del geoespacio:

VG = 4VPT + VH = 72 u3 + 144 u3 = 216 u3 La comprobación se da y el resultado, por lo tanto, es correcto. Veremos a continuación algunas relaciones entre volúmenes: Relación entre los volúmenes del prisma hexagonal y del geoespacio:

R = 3

3

3

3

32

216144

uu

uu

VV

G

PH == ≈ 0.66

63

Relación entre los volúmenes de un prisma triangular y del geoespacio:

R = 121

21618

==G

PT

VV

≈ 0.0833

Relación entre los volúmenes de los prismas triangular y hexagonal:

R = 3

3

3

3

81

14418

uu

uu

VV

PH

PT == = 0.125

Para calcular el área superficial total del prisma hexagonal, lo desdoblamos:

El área de una de las bases del prisma hexagonal es: Ab = 24 u2 El área de las dos bases es: 2Ab = 2 x 24 u2 = 48 u2

64

Para calcular el área lateral del prisma hexagonal: Dos de las caras laterales del prisma hexagonal miden 2 unidades de base y 6 unidades de altura. El área de una de estas caras es: A = bh = 2 u × 6 u = 12 u2 El área de las dos caras es: 2A = 2 x 12 u2 = 24 u2 Las otras cuatro bases de las caras laterales del prisma hexagonal miden lo mismo. l 3 u 2 u La medida de una de estas cuatro bases se calcula por Teorema de Pitágoras:

l = 6.31394)3()2( 22222 ≈=+=+ uuuuu u El área de una de estas cuatro caras del prisma hexagonal es:

A = bh = (6 u)( 13 u) ≈ (6 u)(3.6 u) ≈ 21.63 u2 La suma de las áreas de estas cuatro caras iguales es:

4A ≈ 4 x 21.63 u2 ≈ 86.53 u2 Al sumar las áreas de las seis caras se tiene que el área lateral del prisma hexagonal es:

Al ≈ 24 u2 + 86.53 u2 ≈ 110.53 u2 El área superficial total es la suma del área lateral y del área de las dos bases:

AT = Al + 2Ab ≈ 110.53 u2 + 48 u2 ≈ 158.53 u2

65

7) Prisma octagonal.

Al iniciar la clase, el profesor coloca las ligas del geospacio, ante todos los alumnos, o solicita que algunos de ellos lo hagan, mientras él los dirige.

Ya formado el prisma octagonal, muestra el geospacio a todos y lo hace circular entre ellos, o aún mejor, dispone de varios geospacios y ligas y los reparte al grupo para que trabajen en equipos. Muestra el geospacio a los alumnos de forma que miren la base octagonal del prisma y pregunta si observan alguna característica especial del octágono. Si ningún alumno hace algún comentario, el profesor pregunta si están mirando los lados del octágono. ¿Son de igual medida un lado cualquiera y el lado contiguo? Algún alumno observará que los lados en diagonal son mayores que los lados verticales y horizontales. A continuación se pregunta; ¿Cuánto mide el lado más corto? Al lado corto lo llamaremos l1 Los alumnos observarán que l1 mide 2 unidades. Luego se pregunta: ¿Cuánto mide l2 ?

66

Los alumnos, si tienen previamente el conocimiento del teorema de Pitágoras, podrán contestar; si no lo hacen, se hace un dibujo en el pizarrón y luego se aísla el triángulo isósceles en otro dibujo para que se les facilite le visualización de lo que queremos. l1 l2 l2 l1 l1 l2 2 u 2 u l2 l2 l1 Se pide a alguien que calcule l2

l2 = 222424844)2()2( 2222222 ==×==+=+ uuuuuuu u ≈ 2.83 u Ya calculado l2 ≈ 2.83 u, les preguntamos si ya observaron que l1 es diferente de l2. ¿Entonces, qué tipo de octágono tenemos? El alumno deberá captar que el octágono es irregular porque no miden lo mismo todos los lados. A continuación se pregunta: ¿Cuál es la fórmula para obtener el área de un octágono regular?

La fórmula es A = 2

Pa

El perímetro de un octágono ¿cómo se calcularía?: P = 8 × l Entonces se sustituye el perímetro en el área y se obtiene:

67

A = 2

8la = 4la

¿Puede aplicarse esta fórmula al octágono que tenemos en el geospacio? Si el octágono del geospacio tiene lados de diferente medida, se trata de un octágono irregular y no se puede aplicar la fórmula anterior. ¿De qué manera podríamos calcular el área de este octágono irregular? Si no hay ideas de los alumnos, se les sugiere que observen el triángulo formado en una esquina de la cara del geospacio, y se les pregunta cómo calcularían el área de dicho triángulo.

A = 22

222

=×

=uubh u2

Vuelve a preguntarse cómo calcularían el área del octágono y tal vez a un alumno se le ocurra triangular toda la cara del geospacio e ir sumando las áreas de todos los triángulos que pertenecen al octágono. Cada cuadrado tiene 2 unidades por lado, por lo que tiene un área de 4 u2. Como hay 5 cuadrados, se tiene un área de 20 u2. Al formar triángulos, que son la mitad de un cuadrado, cada triángulo tendrá 2 u2; como son 4 triángulos, entonces se tienen 8 u2, y el área total es de 28 u2. Se señala que esa es una posible opción y se pregunta si hay una estrategia alternativa más eficaz o más rápida. A algún alumno se le ocurrirá que puede calcular el área de un triángulo y, como los triángulos de las cuatro esquinas son iguales, tienen igual área, el área

68

calculada se multiplica por 4 y se tiene el área de los 4 triángulos, que se restará al área total de la cara cuadrangular del geospacio para así obtener el área del octágono irregular. Área de un triángulo: 2 u2 Área de los 4 triángulos de las esquinas: 4 × 2 u2 = 8 u2 Área del cuadrado: l2 = (6 u)2 = 36 u2 Área del cuadrado menos área de los 4 triángulos: 36 u2 � 8 u2 = 28 u2 Ya teniendo el área del octágono, se pregunta cómo puede calcularse el volumen del prisma octagonal.

V = AbH = (28 u2)(6 u)= 168 u3

Para comprobar que el volumen del prisma octagonal es correcto, pueden calcularse los volúmenes de los cuatro prismas triangulares formados fuera del prisma octagonal (en las aristas del geoespacio). La siguiente figura muestra uno de los prismas. 2 u 2 u 6 u 6 u 2 u Volumen del prisma triangular: VPT = AbH Para calcular el área de la base del prisma triangular, se tiene:

69

Ab = 22

222

=×

=uubh u2

Se observa que la altura del prisma triangular es la misma que la del prisma octagonal:

H = 6 u

Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el volumen del prisma triangular:

VPT = 2 u2 x 6 u = 12 u3 La suma de los volúmenes de los cuatro prismas triangulares es:

4 VPT = 4 x 12 u3 = 48 u3 El volumen del geoespacio es la suma del volumen del prisma octagonal más el volumen de los cuatro prismas triangulares. Volumen del geoespacio:

VG = VPO + 4VPT = 168 u3 + 48 u3 = 216 u3

El volumen del geoespacio es el volumen de un cubo de 6 u de arista:

VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3 De esta forma se comprueba que los cálculos son correctos. Se pide a los alumnos calcular el área lateral del prisma octagonal. Se señala, si es posible con dibujos en el pizarrón, o simplemente mostrando el geospacio, que las caras de éste son rectangulares (igual que las de todo el prisma). El área de un rectángulo es igual a base por altura o a largo por ancho. Hay dos tipos de rectángulos, el de l1 y el de l2 Para l1, el rectángulo tiene un área de 2 u × 6 u = 12 u2 El largo del rectángulo es 6 u, que es la altura o arista del geospacio, que es

70

cúbico. Para l2, el área es 2.83 u × 6 u = 16.97 u2 Hay 4 rectángulos de ancho igual a l1 y el área de los 4 rectángulos es 4 x 12 u2 = 48 u2 El área de los 4 rectángulos de ancho igual a l2 es: 4 x 16.97 u2 = 67.88 u2 La suma de las áreas de los 8 rectángulos es: 48 u2 + 67.88 u2 = 115.88 u2 y ésta es el área lateral.

El área del octágono es 28 u2, el área de las 2 bases será 2 × 28 u2 = 56 u2. Entonces el área total del prisma octagonal es la suma del área lateral más

el área de las dos bases:

AT = 115.88 u2 + 56 u2 = l71.88 u2 También se calcularán algunas relaciones entre los volúmenes de las figuras:

71

Relación entre el volumen del prisma octagonal y el volumen del geoespacio:

R1 = 3

3

3

3

97

216168

uu

uu

VV

G

PO == ≈ 0.77

Relación entre el volumen del prisma triangular y el volumen del geoespacio:

R2 = 3

3

3

3

181

21612

uu

uu

VV

G

PT == ≈ 0.055

Relación entre el volumen del prisma triangular y el volumen del prisma octagonal:

R3 = 3

3

3

3

141

16812

uu

uu

VV

PO

PT == ≈ 0.071428571

Relación entre el volumen de los cuatro prismas triangulares y el volumen del prisma octagonal:

R4 = 3

3

3

3

72

168484

uu

uu

VV

PO

PT == ≈ 0.285714285

Relación entre el volumen de los cuatro prismas triangulares y el volumen del geoespacio:

R5 = 3

3

3

3

92

216484

uu

uu

VV

G

PT == ≈ 0.22

Se sugieren otras actividades: Formar diversos prismas, como triangulares (figuras 1, 2, 3, 4) o pentagonales (figuras 5 y 6). Desarrollar similarmente estas actividades como se hizo con el prisma octagonal. Fig. 1 Fig. 2

72

Fig. 3 Fig. 4

Fig. 5 Fig. 6

72

8) Tetraedro

l = 6 u Por teorema de Pitágoras:

d = 485.8723636)6()6( 22222 ==+=+ uuuuu u La diagonal del cuadrado es arista del tetraedro. La fórmula para obtener el área total de un tetraedro es:

A = 1.1178 a2 = 1.7321 (8.485 u)2 = 1.7321 × 72 u2 = 124.7 u2 La fórmula para obtener el volumen de un tetraedro es:

V = 0.1178 a3 = (0.1178) (8.485 u)3 = 71.966 u3 ≈ 72 u3 La relación existente entre el volumen del tetraedro y el del geoespacio es:

R = 3

3

3

3

31

21672

uu

uu

VV

g

t == ≈ 0.33

73

Otra forma para calcular el área total del tetraedro es la siguiente: Se tiene una cara del tetraedro. l = 8.485 u l h h b 4.2425 u Aplicando el teorema de Pitágoras:

h = 348469228.7541872)2425.4()485.8( 2222222 ≈=−=−=− uuuuubl u Se calcula el área de la cara:

A = ( )( )

97229722

29724

23888

25472

2

222222

=====uuuuuuubh u2

A = =×× 2222 )3()3(32 uux 2 × 3 × 3 u × 3 u = 18 u ≈23u 31.17691454 u2

El área del tetraedro de 4 veces el área de una cara:

4A = (4) (18 u 23u ) = 72 u 23u ≈ 124.7076581 u2

74

9) Cubo-octaedro de Arquímedes

Se calcula la medida de la arista por medio del teorema de Pitágoras:

a = 24.42329)9)(2(1899)3()3( 222222 ≈====+=+ uuuuuuuuu u 3 u 3 u Para calcular el área de una cara cuadrada del cubo-octaedro de Arquímedes:

A = l2 = a2 = (4.24 u)2 = 18 u2 l = a ≈ 4.24 u El área de las seis caras cuadradas del cubo-octaedro de Arquímedes es:

6 × 18 u2 = 108 u2

75

El área de una cara triangular del cubo-octaedro de Arquímedes es:

A = 2

bh

Conocemos la base, pero no la altura. Para calcular la altura del triángulo se aplica el teorema de Pitágoras:

h = 67.35.135.418)12.2()24.4( 22222 ≈=−=− uuuuu u

a = l ≈ 4.24 u

h l/2

12.2224.4

2≈≈

ul u

El área de la cara triangular del cubo-octaedro de Arquímedes es:

A = 2

bh≈ 8.7

2)67.3)(24.4(≈

uu u2

El área de las ocho caras triangulares del cubo-octaedro de Arquímedes es:

8 × 7.8 u2 ≈62.35 u2

El área total del cubo-octaedro de Arquímedes es la suma de las áreas de las caras cuadrangulares y las caras triangulares: A ≈ 108 u2 + 62.35 u2 ≈ 170.35 u2 Para calcular el volumen del cubo-octaedro de Arquímedes se resta al volumen total del geoespacio el volumen de las ocho pirámides triangulares que se forman en los vértices del geoespacio. El geoespacio es un cubo de 6 u de arista y su volumen es: V = a3 = (6 u)3 = 216 u3

76

Para calcular el volumen de una pirámide triangular se recurre a los siguientes dibujos: 3 u 4.24 u H = 3 u h = 3 u 3 u b = 3 u El área de la base es:

Ab = 2

bh = 5.42

92

)3)(3( 2

==uuu u2

El volumen de la pirámide es:

V = 5.43

)3)(5.4(3

2

==uuhAb u3

El volumen de las ocho pirámides es 8 x 4.5 u3 = 36 u3 Para calcular el volumen del cubo-octaedro:

VCO = VG � VP = 216 u3 � 36 u3 = 180 u3 Para manejar fracciones comunes pueden calcularse algunas relaciones de volumen; por ejemplo, la relación existente entre el volumen del cubo-octaedro de Arquímedes y el del geoespacio es:

R = 3

3

3

3

65

216180

uu

uu

VV

G

CO == ≈ 0.833

77

10) Pirámide cuadrangular, auxiliándose de dos geoespacios unidos por una cara Se calcularán el volumen y el área superficial total de la pirámide cuadrangular, así como las relaciones de volumen de la pirámide y del geoespacio.

En este ejercicio se unen dos geoespacios para tener el vértice de la pirámide, ya que un geoespacio no tiene un punto de apoyo al centro de una de sus caras.

La fórmula para obtener el volumen de una pirámide es:

V = 33

2hlhAb =

Para obtener el área de la base, puesto que la base es un cuadrado:

Ab = l2 = (6 u)2 = 36 u2

La altura de la pirámide es lo que mide la arista del geoespacio:

h = 6 u

Se sustituyen los valores del área de la base y de la altura en la primera

fórmula:

V = ( )( ) 723

2163

636 32

==uuu u3

78

Para obtener el área total, se calcula el área lateral y se suma al área de la

base, que es 36 u2

Para calcular el área lateral, se calcula el área de una cara y luego se multiplica por 4, ya que la pirámide es cuadrangular.

Para poder calcular el área de una de las caras de la pirámide, debemos conocer la altura de ella, que en este caso es el apotema lateral.

Veamos la figura anterior y aislemos el triángulo rectángulo que incluye al apotema lateral: al h = 6 u 3 u

Se calcula el apotema lateral de una de las caras de la pirámide cuadrangular, que es la altura de la cara, la cual es triangular:

a1 = 7.645936)3()6( 22222 ≈=+=+ uuuuu u

Área de una cara de la pirámide: A = 12.202

)7.6)(6(22

≈==uulabh l u2

El área de las 4 caras de la pirámide es: 4 × 20.12 u2 ≈ 80.5 u2

El área total de la pirámide se obtiene sumando el área de la base más el

área de las 4 caras laterales:

AT = Ab + A1 = 36 u2 + 80.5 u2 ≈ 116.5 u2

La relación existente entre el volumen de la pirámide y el del geoespacio es:

R = 3

3

3

3

31

21672

uu

uu

VV

g

p == ≈ 0.33

79

11) Octaedro, auxiliándose de una estructura de cuatro geoespacios

d = 7.645936)3()6( 22222 ≈=+=+ uuuuu u

Para calcular la magnitud de la arista:

a = 9813645 ==+ u

Cálculo del apotema lateral de la cara de 12 u de base:

80

a1 = 7.6453681)6()9( 22222 ≈=−=− uuuuu u

El área de la cara de 12 u de base es:

A = 25.402

)7.6)(12(2

≈=uubh u2

El área de las 4 caras iguales de 12 u de base es:

4 × 40.25 u2 ≈ 161 u2

Para calcular el apotema lateral de una cara de 6 u de base:

a1 = 485.872981 222 ≈=− uuu u

Para calcular el área de una cara de 6 u de base:

A = 4558.252

)485.8)(6(2

≈=uubh u2

El área de las 4 caras iguales de 6 u de base:

4 × 25.4558 u2 ≈ 101.8 u2

El área total del octaedro es:

AT = 161 u2 + 101.8 u2 ≈ 262.8 u2

Para obtener el volumen del octaedro, en cada geoespacio hay una pirámide cuadrangular de 6u de altura; por lo tanto, el volumen de cada pirámide es la tercera parte del geoespacio:

81

V = 723

216 3

=u u3

Multiplicando por 4, que son las 4 pirámides existentes en los 4

geoespacios:

Volumen de los 4 geoespacios: V = 4 × 72 u3 = 288 u3.

La relación entre el volumen de la pirámide y los 4 geoespacios es:

R = 3

3

3

3

31

864288

uu

uu

VV

g

o == ≈ 0.33

81

12) Otras de las actividades que se sugieren Para Aritmética: Se propone llenar de cubitos el geoespacio, seis por arista, y preguntar al alumno el número de cubitos que hay en el geoespacio. Son 63 = 216 cubitos.

Si lleno el geoespacio a la mitad tendré 108 cubitos, que equivalen a ½ del volumen total del geoespacio. 54 cubitos es ¼ del volumen del geoespacio. 50

cubos equivalen a 10825 del volumen del geoespacio.

Para raíz cuadrada: Si se tienen 36 cuadritos en una cara del geoespacio, se tendrán 6 lados de cuadrito por cada lado de una cara del geoespacio.

Para raíz cúbica: Si se tienen 216 cubitos dentro del geoespacio, se tendrán 6 cubitos por arista del geoespacio.

Álgebra: Pueden explicarse productos notables: cuadrado y cubo de un binomio.

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. El cuadrado de un binomio da origen a un trinomio cuadrado perfecto.

Al sumar las áreas se observa que coinciden perfectamente el método algebraico y el método geométrico.

82

a b a A1 A2 1 = a + b b A3 A4 At = A1 + A2 + A3 + A4 (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3a2b + b3 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = a2 + 2ab + b2

El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo.

Vt = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8 (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

83

En este ejercicio vemos que se forma un cubo de arista a y su volumen es

a3 , un segundo cubo de arista b y su volumen es b3 , tres prismas cuadrangulares donde el lado de sus bases mide a y su altura mide b, y tres prismas cuadrangulares donde el lado de sus bases mide b y su altura mide a.

El volumen de un prisma cuadrangular es igual al área de la base del prisma multiplicada por su altura.

La fórmula para obtener el volumen de un prisma cuadrangular es; V = Abh. Donde Ab es el área de la base del prisma y h es la altura del prisma.

Como la base es cuadrada, su área es lado por lado o lado al cuadrado y la fórmula para obtener el volumen se podrá escribir así: V = l2h

El teorema de Pitágoras se aplica a triángulos rectángulos y nos dice que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos:

c2 = a2 + b2 Si a = 3 y b = 4 , entonces

52 = 32 + 42 25 = 9 + 16

25 = 25 En Trigonometría: Podrán calcularse los ángulos de la base de una pirámide hexagonal, auxiliándose del teorema de Pitágoras.

Cuando se vea este tema, ya se le debió haber explicado al alumno toda la parte teórica sobre las funciones trigonométricas.

Si un hexágono regular se triangula a partir de su centro, se obtienen seis triángulos equiláteros. A uno de los triángulos se le traza la altura y se tendrá un

84

triángulo rectángulo escaleno (los ángulos agudos son de 30° y 60°); dicha altura es el apotema del hexágono y se calcula con el teorema de Pitágoras:

a = llllll23

43

444

22

22

22 ==−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

sen B = 232

3

===l

l

la

hipotenusastocatetoopue

B = arc sen 23 = 60°

Para Presentación y Tratamiento de la Información: Se sugiere la siguiente actividad: Se puede suponer que se llena el geoespacio con cubitos y que se pintan todas las caras del geoespacio, luego se sacan todos los cubitos del geoespacio y se pregunta:

85

¿Cuántos cubos no tienen ninguna cara pintada? ¿Cuántos cubos tienen pintada sólo una cara? ¿Cuántos tienen dos caras pintadas? ¿Cuántos tienen tres caras pintadas? ¿Cuántos tienen al menos una cara pintada?

En Probabilidad: Con la misma actividad, se supone que todos los cubitos se colocan en una urna de Bernoulli y se calcula la probabilidad de extraer un cubo: sin ninguna cara pintada, con una cara pintada, con dos caras pintadas o con tres caras pintadas.

Un ejercicio para gráficas es suponer que el geoespacio se llena con cubitos de agua y se pide calcular el volumen de un cubo, de dos, de tres, etc., y que esto se grafique en el plano cartesiano.

En lugar de suponer que el geoespacio se llena con cubitos de agua, ahora se usarán cubitos de petróleo, mercurio, alcohol, éter, agua salada, etc., y que el alumno se ayude de una tabla de densidades de líquidos para hacer gráficas de

peso o de masa (d = Vm ; P = mg).

La densidad del alcohol etílico es 0.789 3cmg

Si se tiene 1 cm3 de alcohol etílico, éste tiene una masa de 0.789 g y su peso es:

P = mg = (0.789 g)(9.8 2sm ) = 7.7322 2s

gm =7.7322 dinas.

Igualmente pueden manejarse sólidos:

La densidad del aluminio es 2.7 3cmg

Si se tiene un cubo de aluminio de 1 cm3, éste tiene una masa de 2.7 g y su

peso es:

P = mg = (2.7 g)(9.8 2sm ) =26.46 2s

gm = 26.46 dinas.

Las posibilidades que da el geoespacio son muchas y los profesores y los

alumnos las enriquecerán según su imaginación y dedicación.

86

Conclusiones Este material se ha aplicado durante ocho años a grupos de segundo y tercer grado de secundaria, desde 1996 hasta 2003, en la Escuela Secundaria Diurna N°. 60, “República de Honduras”, Turno Matutino. Luego de que los estudiantes lo usaron, se les pidió que opinaran sobre él; a continuación se presentan algunas de esas opiniones:

• Me es más divertida y menos aburrida la clase manejando el geoespacio. • Esto es muy diferente a que el profesor llegue al salón y sólo llene el pizarrón

con números y letras. • Trabajando con el geoespacio entiendo mejor que si simplemente observo

dibujos. • En lugar de hacer muchos dibujos o borrar y volver a trazar, tan sólo quito y

pongo ligas para corregir lo que quiero. • Algunos cálculos los entiendo mejor usando el geoespacio.

Se observó que los alumnos pasaban más agradablemente la clase y que asimilaban mejor contenidos como el conocimiento y aplicación del teorema de Pitágoras y el descubrimiento de las propiedades de los sólidos. Siempre se trabajó con el geoespacio por equipos. Sí se recomienda el trabajo por equipos porque permite la socialización del conocimiento y habrá mayor posibilidad de descubrir más estrategias entre tres estudiantes que con uno solo. Cada equipo coloca sus butacas en círculo y, si es necesario, se mueven para observar alguna explicación del maestro. Hasta lo que hoy han investigado los psicólogos y los matemáticos no se ha podido demostrar que el aprendizaje mejora con cierto material; el profesor deberá buscar cuál es el más útil, de acuerdo a los procesos cognitivos de sus alumnos y a los factores que existen alrededor del proceso de enseñanza-aprendizaje. Lo que puede observar es que el estudiante sí aprende a resolver ciertos problemas porque el modelo físico le permite entender e internalizar ciertos conceptos, pero sería pretencioso afirmar que este material es la panacea y hará que cualquier alumno aprenda lo que el profesor desea. Para diseñar las actividades del cuadernillo se revisaron los contenidos del programa y se fueron creando actividades para cada tema, pero se observó que

87

algunos no se pudieron integrar debido a las limitantes del material, como bisectrices, círculo, circunferencia, cilindro, cono, esfera y otros. El geoespacio puede servir a la enseñanza de contenidos de los cinco ejes: Aritmética, Álgebra, Geometría (incluye Trigonometría), Presentación y Tratamiento de la Información, Probabilidad. El geoespacio tiene otras posibilidades, como son las estructuras de geoespacio; al montar estructuras de dos, cuatro o más geoespacios se pueden trabajar nuevos y más complicados sólidos. Entre las limitantes que tiene este material es que no existen puntos de apoyo fuera de las aristas y uno de los recursos que subsanan esta situación es recurrir a las ligas auxiliares, pero las figuras obtenidas aparecen un poco deformes. Entre las ventajas que da este material es que para el alumno resulta muy sencillo quitar o poner ligas, y no necesitará hacer dibujos repetidas veces. Otras ventajas que se tienen al usar el geoespacio, son que el profesor enseñará a sus alumnos, además del aspecto teórico de la geometría, el uso del juego de geometría y los dibujos ortogonal e isométrico; con esto, el alumno, además de crear figuras novedosas, desarrollará su habilidad psico-espacial.

88

Bibliografía ALSINA Catalá, Claudi, Carme Burgués Flamarich y Joseph Ma. Fortuny Aymemmi. Invitación a la Didáctica de la Geometría. Ed. Síntesis. 2ª. reimp. Madrid, España. 1992. ALVARENGA, Beatriz y Antonio Máximo. Física General. Ed. Harla. 3ª. ed. México. 1983. ÁLVAREZ Areces, S. R. Y M. Fernández Flores. Matemáticas 1er. grado, 2° curso. Formación Profesional. Ed. Everest, S. A. León. España. 1977. BELMONTE Juan Miguel y María del Carmen Chamorro. El Problema de la Medida. Didáctica de las Magnitudes Lineales. Ed. Síntesis. la. reimp. Madrid, España. 1991. BENÍTEZ, René. Geometría. Ed. Esfinge. México. 1994. BLATT, Frank J. Fundamentos de Física. Ed. Prentice Hall. 3a. ed. México. 1989. CASTELNUOVO, Emma. Didáctica de la matemática moderna. Ed. Trillas. 3ª. ed. México 1997. DOLCIANI, Mary P., Simón L. Berman y Julius Freilich. Álgebra moderna. Ed. Publicaciones Cultural. 30ª. reimp. México. 1995. DOUADY, Régine (1984). Juegos de Marcos y Dialéctica a Herramienta-Objeto. Lecturas en didáctica de las matemáticas: Escuela Francesa. Grupo de estudios sobre la enseñanza de las matemáticas en el bachillerato. Sección de matemática educativa del CINVESTAVIPN. Editores: Ernesto A. Sánchez Sánchez y Gonzalo Zubieta Badillo. México. 1993. DOWNIE, N. M. y R. W. Heath. Métodos Estadísticos. Ed. Harla. México. 1983. GARCÍA Juárez, Marco Antonio. Introducción a la resolución de problemas. Teoría y estrategias matemáticas. Ed. Esfinge. 1a. ed. México. 1996. GARZA Mercado, Ario. Manual de Técnicas de Investigación para Estudiantes de Ciencias Sociales. Ed. Harla y El Colegio de México. 4a. ed. México. 1988.

89

GRANVILLE, Anthony William. Trigonometría plana y esférica con tablas trigonométricas. Ed. Limusa. 53ª. reimp. México. 1995. HEMMERLING, Edwin M. Geometría elemental. Ed. Limusa. México. 1994. KREIMERMAN, Norma. Métodos de Investigación para Tesis y Trabajos Semestrales. Ed. Trillas. 33, ed., 43a. reimp. México. 1997. LANDAVERDE, Felipe de Jesús. Curso de geometría. Ed. Progreso. 6a. ed. México. 1991. LEVIN, Jack. Fundamentos de Estadística. Ed. Haría. 2ª. ed. México. 1979. LOVELL, K. Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Ediciones Morata, S. A. 3a. ed. Madrid. 1977. LUNA Castillo, Antonio. Metodología de la Tesis. Ed. Trillas. 13a. ed. México. 1996. MOISE y Downs. Geometría Moderna. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. E.U. A. 1986. MORENO Carretero, Ma. Francisca, Ma. De los Ángeles Del Olmo Romero y Francisco Gil Cuadra. Superficie y volumen, ¿algo más que el trabajo con fórmulas? Ed. Síntesis. 1ª. reimp. Madrid, España. 1993. O’DAFFER, Phares G., ley R. Clemens y Randalí L. Charles. Preálgebra. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. E.U. A. 1992. PARDINAS, Felipe. Metodología y Técnicas de Investigación en Ciencias Sociales. Ed. Siglo XXI, editores. 34ª. ed. México. 1996. PERERO, Mariano. Historia e historias de Matemáticas. Gpo. Ed. Iberoamérica. México. 1994. PETERSON, Johan A. y Joseph Hashisaki. Teoría de la Aritmética. Ed. Limusa. 14a. reimp. México. 1996. PHILLIPS, Elizabeth P, Thomas Butts y Michael Shaughnessy. Álgebra con Aplicaciones. Ed. Harla. México. 1988.

90

PIAGET, Jean. Seis estudios de Psicología. Ed. Ariel Seix Barral. 33ª. ed. México. 1977. POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. Ed. Trillas. 21ª. reimp. México. 1997. RESNICK, Lauren. Fundamentos psicológicos en el aprendizaje de las Matemáticas. Ed. Paidós. Madrid. 1988. ROJAS Soriano, Raúl. Guía para realizar investigaciones sociales. Ed. Plaza y Valdés Editores. l8a. ed. México. 1996. SPARKS, Fred W. y Paul K. Rees. Trigonometría. Reverté Ediciones. México. 1994. SPIEGEL, Murray R. Probabilidad y estadística. Ed. McGraw-Hill. México. 1992. WENTWORTH, Jorge y David Eugenio Smith. Elementos de álgebra. Ed. Porrúa. 4a. ed. México. 1985. WENTWORTH, Jorge y David Eugenio Smith. Geometría plana y del espacio. Ed. Porrúa. l7a. ed. México. 1990. National Council of Teachers of Mathematics. Núm. 15. Medida. Ed. Trillas. 19a. reimp. México. 1995. Libro para el Maestro. Matemáticas. Educación Secundaria. SEP. Subsecretaría de

Educación Básica y Normal. Dirección General de Materiales y Métodos Educativos. México. 1994.

Revista LUX PAX VIS. Órgano de comunicación y divulgación académica de la BENM.

2a. época. Vol. II. Núm. 21. Abril-mayo-junio. 1997. Revista “de seis a diez”. Revista de opinión sobre la enseñanza de la matemática.

Época II. Vol. 1. No. 3, enero-marzo, 1998, y No. 4, abril-junio. México. 1998.

Memoria del XIV Congreso Nacional de la Enseñanza de las Matemáticas. Toluca. 1997. Memoria del V Congreso Regional Metropolitano sobre la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas. México. 1998.

91

Memoria de la 7ª. Jornada sobre la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática. México. 1999. Resúmenes de la RELME 16. La Habana, Cuba. 2002. Antología sobre geoplano y geoespacio. SEP. México. 2004.