la ley del semicírculo.la ley del semicírculo. j. armando domínguez molina [email protected]...

La ley del semicírculo.

J. Armando Domínguez [email protected]

Facultad de Ciencias Físico-MatemáticasUniversidad Autónoma de Sinaloa

Escuela de Matrices AleatoriasCIMAT, Guanajuato, Gto.19-23 de noviembre de 2012

19 de noviembre de 2012J. Armando Domínguez [email protected]

Facultad de Ciencias Físico-MatemáticasUniversidad Autónoma de Sinaloa

Escuela de Matrices AleatoriasCIMAT, Guanajuato, Gto.19-23 de noviembre de 2012

() Semicírculo 19 de noviembre de 2012 1 / 2

Matriz aleatoria

Una matriz aleatoria

A =

26664a11 a12 a1na21 a22 a2n...

.... . .

...an1 an2 ann

37775 ,

es una variable aleatoria que toma valores en algún espacio de matrices,por ejemplo el espacio de matrices simétricas reales de n n. Hayentonces, una medida de probabilidad en estos espacios, que usualmenteestán equipados con σ-álgebras de Borel.

J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 2 / 28

Matriz aleatoria

Podríamos pensar que la Teoría de matrices aleatorias es el estudio deestadísticas de estas matrices aleatorias... No necesariamente es así.Su meta, desde sus orígenes con Wishart y Wigner ha sido entender unacolección particular de estadísticas de estas matrices: los eigenvalorescomo estadísticas, el espectro aleatorio, y casi siempre conforme el tamañode la matriz va a innito.

Una manera natural de denir una matriz aleatoria es por medio de laespecicació de la distribución de todos sus elementos. Los ensambles deWigner son el prototipo clásico: Una matriz simétrica de n n, A = Antal que los elementos

aijson v.a.i.i.d. 1 i j n.


Matriz de Wigner

Sean x1, ..., xn vectores a.i.i.d xi Npµ, Ip

. Entonces la matriz de

varianza y covarianzas denida por

Sn =1n

n

∑i=1(xi x) (xi x)T ,

donde x = 1n ∑n

i=1 xi. Se cumple quep

nSn Ip

!ppWp,

donde las elemetos de la diagonal principal dep

pWp son i.i.d. N (0, 1) ylos elementos arriba de la diagonal principal son i.i.d N (0, 2) . Esta matrizse conoce como la matriz gaussiana o matriz de Wigner


Matriz de Wigner

Una matriz W de n n es hermitiana si W = W, donde W = WT.

Una generalización de la matriz de wigner es aquella a la que solo se lepide que la matriz sea matriz aleatoria hermitiana cuyos elementosaleatorios dentro y sobre la diagonal sean independientes.

W =

26664a11 a12 a1na12 a22 a2n...

.... . .

...a1n a2n ann

37775 ,

donde aij = xij iyij.


Distribución espectral empírica

Sea An una matriz de n nλ1, ..., λn sus eigenvalores. Para z 2 C denamos

FAn (z) =# fλi z, 1 i ng

n,

donde λi z si Re (λi) Re (z) e Im (λi) Im (z) .

Ejercicio.Probar que los eigenvalores de un matriz hermitiana son reales.

Si A es una matriz hermitiana con eigenvalores λ1 λn, 8x 2 R

FAn (x) =# fλi x, 1 i ng

n,

si λi tiene multiplicidad m, FAn tiene un salto de tamaño m/n.


Propiedades de la DEE

Para cada x 2 R, FAn (x) es una v.a.

Para σ > 0 y c 2 R

FσAn (x) = FAn (x/σ) , FAn+cIn (x) = FAn (x c) .

) Fσ(An+cIn) (x) = FAn

x c

σ

.

Sea f una función creciente

F f (An) (x) = FAnh

f1 (x)i

.


Distribución espectral límite (DEL)

Distribución espectral límite (DEL)Deseamos estudiar hacia dónde converge la sucesión

FAn

.La convergencia será en sentido probabilista (e.g., casi seguramente, enprobabilidad)

Probaremos que bajo ciertas condiciones existirá una función dedistribución F, llamada distribución espectral límite, tal que

limn!∞

FAn (x) = F (x) , c.s. 8x 2 C (F) .


El método de momentos

Supongamos que fYng es una sucesión de v.a.s con función dedistribución fFng t.q. EYk!βk8k 2 N y fβkg cumplela condición de Riesz:

lim infk!∞

1k

β12k2k < ∞.

Entonces existe una función de distribución F tal que 8kβk = βk (F) =

RxkdF (x) y fYng (o fFng) converge en distribución a F.


El método de momentos

Supongamos que fAng es una sucesión de matrices con DEE

FAn

,abusando de la notación escribiremos

βk (An) =Z

xkdFAn (x) ,

el k-ésimo momento de FAn .

Ahora supongamos que 9 fβkg que cumpla la condición de Riesz y:C1) Condición de primer momento:8k 2 N, E[βk (An)]!βk, n ! ∞.C2) Condición para convergencia en probabilidad:Var [βk (An)]!0, n ! ∞.C3) Condición para convergencia casi segura: ∑ Var [βk (An)] < ∞.

Después de vericar [C1 y C2] o [C1 y C3] la DEL se identica por fβkg


Convergencia casi segura y en probabilidad

Sea fXng una sucesión de v.a.s y X una v.a., se dice que:

XnP!X si 8ε > 0 lim

n!∞P (jXn Xj < ε) = 1.

Xnc.s.!X si P

limn!∞

Xn = X= 1.


Desigualdad de ChebyshevSea X es una v.a. con varianza nita, entonces, 8ε > 0,

P (jX θj ε) E (X θ)2

ε2 .


LemaSea fXng una sucesión de v.a.s tales que

EXn!θ y VarXn!0.

EntoncesXn

p!θ.

Demostración.

limn!∞

P (jXn θj ε) limn!∞

1ε2 E (Xn θ)2

= limn!∞

[E (Xn θ)]2 + limn!∞

VarXn

= 0.


LemaSea fXng una sucesión de v.a.s tales que

EXn!θ y ∑ VarXn < ∞.

EntoncesXn

c.s.!θ.


Lema de Borel-CantelliSea fXng una sucesión de eventos. Si ∑ P (An) < ∞, entonces

P

∞\

n=1

∞[k=n

Ak

!= 0.

Demostración.

∞\n=1

∞[k=n

Ak ∞[

k=n

Ak 8n

) P

∞\

n=1

∞[k=n

Ak

! P

∞[

k=n

Ak

!

∞

∑k=n

P (An) 8n

) P

∞\

n=1

∞[k=n

Ak

! lim

n!∞

∞

∑k=n

P (An) = 0.


Demostración. Denimos para ε > 0,

Dn,ε = fω 2 Ω : jXn (ω) E (Xn)j εg .

Por la desigualdad de Chebyshev, Proposición,

∞

∑N=1

P (Dn,ε) ∞

∑N=1

Var (Xn)

ε2 < ∞

y por el Lema de Borel-Cantelli

P

∞\

N=1

∞[n=N

Dn,ε

!= 0.

Esto implica que existe un evento Ω0 con P (Ω0) = 1 tal que para cadaω 2 Ω0 existe N (ω) 1 tal que jXn E (Xn)j < ε para n N (ω).Por lo tanto cuando n!∞

jXn EXnj c.s.!0.

y dado que EXn!θ ) jXn θj c.s.!0.J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 16 / 28

Ley del Semicírculo

Ley del SemicírculoTeorema de Wigner. Sea An una matriz de Wigner, donde aijs sonvariables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, conVaraij= 1, 1 i < j n, y aiis son variables aleatorias

independientes. Entonces

FAn/p

n (x) D!F (x) , c.s.,

donde F (x) es la ley del semicírculo.


F0 (x) =1

2π

p4 x21[2,2] (x) ,

1E (x) = 1 si x 2 E y 1E (x) = 0 en otro caso.



Función de distribución (ley) del semicírculo:

F (x) =

8>>>><>>>>:0 si x < 2,

12 +

1π arcsen x

2 +1

4π xp

4 x2, si jxj 2,

1 si x 2.

Función de densidad del semicírculo:

f (x) =

8<:1

2π

p4 x2, si jxj 2,

0, si jxj > 2.


3 2 1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y2

3 2 1 0 1 2 30.

000.

100.

200.

30x

y1


¿Es un semicírculo?

y =1

2π

p4 x2

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.3

x

y


Es una semielipse

En realidad es una semielipse

x2

4+

y2

π2 = 1

cuya excentricidad es

ε =

r1 1

4π2 .

Nota:x2

a2 +y2

b2 = 1 ) ε =

q1 (b/a)2.


Semicírculo

Si X F la v.a. Y = σX tiene fución de densidad dada por

fY (x) =1

2πσ

r4 x2

σ2 , xσ

2

La cual es la ecuación de la semielipse

x2

4π2σ4 + y2 =1

π2σ2 , y 0

Lo que implica que si σ = 1p2πla densidad de Y = σX es un

semicírculo de radioq

2π .


Momentos de la ley del semicírculo

Lema(Ejercicio) Los momentos pares de la distribución del semicírculo estándados por los números de Catalan Ck =

1k+1 (

2kk ), esto esZ 2

2x2k 1

2π

p4 x2dx = Ck.

Los momentos impares son cero por la simetría de la distribución.

2 1 1 20.2

0.2

x

y

2 1 1 20.5

0.5

x

y

Gráca de xp

4 x2 y de x3p

4 x2


Lemma(Ejercicio) Si fβkg representa la sucesión de momentos de la ley delsemicírculo, pruebe que ésta cumple la condición de Riesz:

lim inf1k

β12k2k < ∞.


Sin pérdida de generalidad (SPG)SPG probaremos el teorema de Wigner suponiendo que la matriz deWigner cumple lo siguiente:aii = 0, 1 i n.9C > 0 tal que

aij C, Eaij = 0 y Var

aij= 1, aij i.i.d, 1 i < j n.

A =

266640 a12 a1n

a12 0 a2n...

.... . .

...a1n a2n 0

37775 ,


Robusticidad de la DEE

Sean F y G dos funciones de distribución, la distancia de Lévy se denecomo

L (F, G) = inf fε : F (x ε) ε G (x) F (x+ ε) + εg

Convergencia en la métrica L implica convergencia en distribución.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y


Distancias entre DEE

Una matriz es normal si AA = AA.

LemaSean A y B dos matrices normales de n n entonces

L3

FA, FB 1

ntr(A B) (A B)

.

LemaSean A y B dos matrices hermitianas de n n. Entonces FA FB

1n

rango (A B) ,

donde k f k = supx j f (x)j .


Desigualdad de Bernstein

Desigualdad de BernsteinSi X1, ..., Xn son v.a.i. con media cero y acotadas uniformemente por b,entonces 8ε > 0

P (jSnj ε) 2 expε2/

2

B2n + bε

,

donde Sn = X1 + + Xn y B2n = ES2

n.


la ley del semicírculo.la ley del semicírculo. j. armando domínguez molina [email protected]...

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