soluciones de los ejercicios de selectividad sobre ... · selectividad matemÆticas aplicadas a las...

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y

Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a

las Ciencias Sociales II

Antonio Francisco Roldán López de Hierro *

Convocatoria de 2008

Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas

de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias

Sociales II sobre Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales. Cada uno lleva un códigocomo el siguiente: 2008-6-B-1, que signi�ca ejercicio 1 de la opción B del modelo 6 de laconvocatoria de 2008.

Ejercicio 1 (2008-1-A-1) (a) (1 punto) Dada la matriz A =

a 1

a 0

!, calcule el valor

de a para que A2 sea la matriz nula.

(b) (2 puntos) Dada la matriz M =

1 2

1 1

!calcule la matriz

�M�1 �M t

�2.Solución : Apartado (a). Calculamos la matriz A2:

A2 = A �A = a 1

a 0

!� a 1

a 0

!=

a2 + a a

a2 a

!:

Para que esta matriz sea la matriz nula, todos sus elementos deben ser cero, es decir, debemos

buscar los números que cumplen: 8>>><>>>:a2 + a = 0;

a2 = 0;

a = 0:

Evidentemente, la única solución de este sistema es:

*Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/index.html

1

Selectividad Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

a = 0:

Apartado (b). El determinante de la matriz M es:

detM =

�� 1 2

1 1

�� = 1� 2 = �1:Como este determinante es distinto de cero, sabemos que M posee inversa, y ésta es:

M�1 =1

detM� adjM t =

1

�1

1 �2�1 1

!=

�1 2

1 �1

!:

La matriz traspuesta de M es:

M t =

1 2

1 1

!t=

1 1

2 1

!:

El producto de la matriz inversa de M por su traspuesta es:

M�1 �M t =

�1 2

1 �1

!� 1 1

2 1

!=

3 1

�1 0

!:

Y el cuadrado de ésta última es:

�M�1 �M t

�2=

3 1

�1 0

!�

3 1

�1 0

!=

8 3

�3 �1

!:

Por tanto, �M�1 �M t

�2=

8 3

�3 �1

!:

Ejercicio 2 (2008-2-A-1) a) (1�5 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dadopor:

1 + 3x 2

x �1

!� 3

y

!=

5

4

!:

b) (1�5 puntos) Calcule la matriz inversa de

0B@ 1 0 1

0 1 0

1 2 0

1CA.

Solución : Apartado (a). Multiplicando las matrices obtenemos: 1 + 3x 2

x �1

!� 3

y

!=

3 (1 + 3x) + 2y

3x� y

!=

9x+ 2y + 3

3x� y

!:

Andalucía 2 Antonio Roldán


Para que dos matrices sean iguales, además de ser del mismo orden, deben poseer los mismos

elementos colocados en las mismas posiciones. Por tanto, 1 + 3x 2

x �1

!� 3

y

!=

5

4

!,

9x+ 2y + 3

3x� y

!=

5

4

!,

,(9x+ 2y + 3 = 5;

3x� y = 4,

(9x+ 2y = 2;

3x� y = 4,

(9x+ 2y = 2;

6x� 2y = 8,

,(9x+ 2y = 2;

15x = 10:

De aquí, x = 10=15 = 2=3, y sustituyendo en la primera ecuación:

y =2� 9x2

=2� 9 � 23

2=2� 62

=�42= �2:

Por tanto, la única solución del sistema es:

x =2

3; y = �2:

Apartado (b). Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa de una matriz. Porejemplo, vamos a aplicar el método de Gauss-Jordan por �las.

(AjI3) =

0B@ 1 0 1

0 1 0

1 2 0

��1 0 0

0 1 0

0 0 1

1CA ��F 03 = F3 � F1

�

�

0B@ 1 0 1

0 1 0

0 2 �1

��1 0 0

0 1 0

�1 0 1

1CA ��F 003 = F

03 � 2F 02

�

�

0B@ 1 0 1

0 1 0

0 0 �1

��1 0 0

0 1 0

�1 �2 1

1CA ��F 0003 = �F 003

�

�

0B@ 1 0 1

0 1 0

0 0 1

��1 0 0

0 1 0

1 2 �1

1CA ��F iv1 = F 0001 � F 0003

�

�

0B@ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

��0 �2 1

0 1 0

1 2 �1

1CA :



Por consiguiente, la matriz inversa de la matriz dada es:0B@ 1 0 1

0 1 0

1 2 0

1CA�1

=

0B@ 0 �2 1

0 1 0

1 2 �1

1CA :

Ejercicio 3 (2008-3-A-1) Sean las matrices A =

0 2

3 0

!y B =

a b

6 1

!.

a) (1�5 puntos) Calcule los valores de a y b para que A �B = B �A.

b) (1�5 puntos) Para a = 1 y b = 0, resuelva la ecuación matricial X �B �A = I2.

Solución : Apartado (a). Calculemos los productos A �B y B �A:

A �B = 0 2

3 0

!� a b

6 1

!=

12 2

3a 3b

!;

B �A = a b

6 1

!� 0 2

3 0

!=

3b 2a

3 12

!:

Para que estas dos matrices sean iguales, deben coincidir elemento a elemento, y ello ocurrirá

únicamente si 3a = 3 y 3b = 12, de donde concluimos que A y B conmutan si, y sólo si, a = 1 y

b = 4.

Apartado (b). Por otro lado, si a = 1 y b = 0, la matriz B es

B =

1 0

6 1

!:

De esta forma, el determinante de la matriz B es distinto de cero (de hecho, detB = 1), lo que

signi�ca que es una matriz regular, y precisamente su matriz inversa es:

B�1 =1

detB� eBT = 1

1�

1 0

�6 1

!=

1 0

�6 1

!:

Así, la ecuación matricial se resuelve despejando la matrix X:

X �B �A = I2 , X �B = A+ I2 , X = (A+ I2) �B�1 ,

, X =

" 0 2

3 0

!+

1 0

0 1

! #�B�1 =

1 2

3 1

!�

1 0

�6 1

!=

=

�11 2

�3 1

!:



La matriz

X =

�11 2

�3 1

!es la única solución de la ecuación matricial dada.

Ejercicio 4 (2008-4-B-1) (a) (1 punto) Dadas las matrices F =�2 �1 3

�y C =0B@ 1

5

�2

1CA, calcule los productos C � F y F � C.

(b) (2 puntos) Dadas las matrices A =

2 0

1 �1

!, B =

1 �32 �1

!y C =

1 �1�1 0

!,

calcule la matriz X que veri�que la ecuación X �A�1 �B = C.

Solución : Apartado (a). Los productos que se piden son:

C � F =

0B@ 1

5

�2

1CA � � 2 �1 3�=

0B@ 2 �1 3

10 �5 15

�4 2 �6

1CA ;

F � C =�2 �1 3

��

0B@ 1

5

�2

1CA =��9

�:

C � F =

0B@ 2 �1 3

10 �5 15

�4 2 �6

1CA y F � C =��9

�

Apartado (b). Despejamos la matriz X observando que la matriz A tiene inversa ya que

su determinante es distinto de cero (es importante el lado por el que multiplicamos por A para

que se obtenga la matriz identidad):

X �A�1 �B = C , X �A�1 = B + C , X �A�1 �A = (B + C) �A ,

, X � I2 = (B + C) �A , X = (B + C) �A:

Como:

B + C =

1 �32 �1

!+

1 �1�1 0

!=

2 �41 �1

!;

obtenemos:

X = (B + C) �A = 2 �41 �1

!� 2 0

1 �1

!=

0 4

1 1

!:



Por consiguiente, la matriz buscada es:

X =

0 4

1 1

!:

Ejercicio 5 (2008-5-B-1) (a) (2 puntos) Halle la matriz X que veri�ca la ecuación

X � 2 5

1 3

!=

1

2

!��3 4

�:

(b) (1 punto) Determine los valores de x e y que cumplen la igualdad: 1 0

3 �1

!� x

y

!=

2 1

�x y

!� 1

1

!:

Solución : Apartado (a). El segundo miembro de la ecuación es: 1

2

!��3 4

�=

3 4

6 8

!:

Como:

det

2 5

1 3

!= 6� 5 = 1 6= 0;

esta matriz posee inversa, y es: 2 5

1 3

!�1=1

1

3 �5�1 2

!=

3 �5�1 2

!:

Por tanto, sólo hay que despejar X:

X =

" 1

2

!��3 4

� #� 2 5

1 3

!�1=

3 �5�1 2

!�

3 �5�1 2

!=

14 �25�5 9

!:

X =

14 �25�5 9

!:

Apartado (b). Calculamos los productos: 1 0

3 �1

!� x

y

!=

x

3x� y

!;

2 1

�x y

!� 1

1

!=

3

y � x

!:



Si los igualamos, tenemos el sistema:(x = 3;

3x� y = y � x,

(x = 3;

4x = 2y,

(x = 3;

y = 2x,

(x = 3;

y = 6:

Por consiguiente, los números buscados son:

x = 3; y = 6:

Ejercicio 6 (2008-6-B-1) Sean A y B las matrices siguientes:

A =

1 2

0 1

!; B =

0 �12 4

!:

(a) (1 punto) Calcule (A+B) � (A�B).

(b) (2 puntos) Determine la matriz X, cuadrada de orden 2, en la ecuación matricial

(A+ 2B) �X = 3I2:

Solución : Apartado (a). Es inmediato que:

(A+B) � (A�B) ="

1 2

0 1

!+

0 �12 4

! #�"

1 2

0 1

!� 0 �12 4

! #=

=

1 1

2 5

!�

1 3

�2 �3

!=

�1 0

�8 �9

!:

Apartado (b). Calculamos la matriz:

A+ 2B =

1 2

0 1

!+ 2 �

0 �12 4

!=

1 2

0 1

!+

0 �24 8

!=

1 0

4 9

!:

El determinante de esta matriz es 9 (distinto de cero), por lo que posee inversa, y ésta es:

(A+ 2B)�1 =

1 0

4 9

!�1=1

9

9 0

�4 1

!:

Podemos entonces despejar X como:

(A+ 2B)�X = 3I2 , X = (A+ 2B)�1�(3I2) , X = 3 (A+ 2B)�1�I2 = 3 (A+ 2B)�1 :

Por tanto:

X = 3 (A+ 2B)�1 = 3 � 19

9 0

�4 1

!=1

3

9 0

�4 1

!=

3 0

�43

13

!:



Así, la matriz buscada es:

X =

3 0

�43

13

!:


PROBLEMAS RESUELTOS

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2012

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

TEMA 1: MATRICES

• Junio, Ejercicio 1, Opción B

• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A

• Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B



• Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

http://emestrada.wordpress.com


R E S O L U C I Ó N a)

2

1 1 1 0 1 22 1 0 1 1 1

00 2 2 1

1 ; 4 ; 1 ; 62 2 1 2 2

2 2

t a bA X A I

c d

a ca c b d a c

a b c da c b d b d

b d

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = ⎫⎪− − − − =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = = = =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭

Luego, la matriz es 1 41 6

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 filas, es decir, de orden (2,m). c) Como la matriz A es (2,2), la matriz B debe de tener 2 columnas, es decir, de orden (m,2).

Sea la matriz 1 12 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠.

a) Resuelva la ecuación matricial 2tA X A I⋅ + = .

b) ¿Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el producto A B⋅ ?. c) ¿Y para el producto 3 B A⋅ ⋅ ?. SOCIALES II. 2012 JUNIO. EJERCICIO 1. OPCION B


= −

Sean las matrices ; y C . 1 62 4

A− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 21 0 1

B−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

0 13 1a

b⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠a) Halle los valores de a y b para que se verifique tB C A⋅ = . b) Resuelva la ecuación matricial 2

2A X A I⋅ − = . SOCIALES II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCION A

R E S O L U C I Ó N

a)

31 1 2 1 6

0 11 0 1 2 4

1

2 12 3 1 2 1 6 4 2 6

3 ; 11 3 2 4 1 2

3 4

t

aB C A

b

aa b b

a ba b a

b

⎛ ⎞− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠− + = − ⎫

⎪− + − − + − − − + = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪− = ⎭

b)

22

1 6 1 6 1 6 1 02 4 2 4 2 4 0 1

6 106 6 11 18 1 0 2 4 6 1 21 7; ; ;

2 4 2 4 6 4 0 1 6 18 2 4 42 4 5

a bA X A I

c d

a ca c b d a c

a b c da c b d b d

b d

− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − = − ⎫

⎪− − − − − − + =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = + ⇒ ⇒ = − = − =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + − − = −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪+ = ⎭

318

=

Los alumnos de 2º Bachillerato organizan una venta de pasteles para el viaje de fin de curso. Venden pasteles grandes, que necesitan 2 huevos, 5 terrones de azúcar y 100 g de harina cada uno, y pasteles pequeños, que necesitan 1 huevo, 3 terrones de azúcar y 80 g de harina cada uno. a) Presente en una matriz M, de dimensión 3x2, las cantidades de los elementos necesarios para la elaboración de un pastel grande y uno pequeño. b) Si desean fabricar 20 pasteles de una clase y 30 de otra, escriba las dos matrices columna, A ( 20 grandes y 30 pequeños) y B (30 grandes y 20 pequeños) que representan este reparto. c) Calcule los productos M·A y M·B e indique si con 8 docenas de huevos, 200 terrones de azúcar y 5 Kg de harina se pueden elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. ¿Y 30 grandes y 20 pequeños?. SOCIALES II. 2012 RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCION B


a) La matriz que nos piden es:

2 15 3

100 80

g pH

M AHa

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Las matrices que nos piden son: y 2030

gA

p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

3020

gB

p⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Calculamos los productos de matrices:

2 1 7020

5 3 19030

100 80 4400M A

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

2 1 8030

5 3 21020

100 80 4600M B

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

Tenemos 8 docenas de huevos huevos; 200 terrones de azúcar y 5.000 g de harina. 8 12 96= ⋅ = Vemos que podemos elaborar 20 pasteles grandes y 30 pequeños. No se pueden elaborar 30 grandes y 20 pequeños, ya que nos faltarían terrones de azúcar.


Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial 2A X A B C⋅ = − ⋅ , siendo A, B y C las matrices:

1 10 2

A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; y . 1 0 11 1 4

B⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

1 01 12 0

C−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

SOCIALES II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCION A


2

1 01 1 1 1 1 1 1 0 1

1 10 2 0 2 0 2 1 1 4

2 0

3 03 3 0 1 4 8 1 16 ; ; 2 ;

4 4 8 1 3 1 4 44 1

a bA X A B C

c d

a ca c b d c

a b c dc d b d

d

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⋅ − ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠+ = ⎫

⎪+ + = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⇒ = ⇒ ⇒ = = = −⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎪= ⎭

=


Una empresa vende tres artículos diferentes A, B y C, cada uno de ellos en dos formatos, grande y normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo en cada formato.

100 150 80 6 8 5200 250 140 4 5 3

A B C A B Cgrande grande

F Gnormal normal

⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

a) Efectúe los productos tF G⋅ y tF G⋅ b) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos y especifique cuáles son esas ganancias. c) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles son esas ganancias y halle la ganancia total. SOCIALES II. 2012 RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCION A


a) Calculamos los productos:

100 200 1400 1800 11006 8 5

150 250 1900 2450 15004 5 3

80 140 1040 1340 820

tF G⎛ ⎞ ⎛

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎠

6 4

100 150 80 2200 13908 5

200 250 140 3900 24705 3

tF G⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Las ganancias de cada uno de los tres artículos es la diagonal de la matriz tF G⋅ 1400 € del artículo A 2450 € del artículo B 820 € del artículo C c) Las ganancias de cada uno de los formatos es la diagonal de la matriz tF G⋅ 2200 € del formato grande 2470 € del formato normal


Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero. a) Para cada mes construya la matriz de dimensión 3x2 correspondiente a las compras de ese mes. b) Calcule la matriz de compras del trimestre. c) Si los precios de los productos A y B son, respectivamente, 80 y 100 euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente y en total. SOCIALES II. 2012 SEPTIEMBRE EJERCICIO 1. OPCION B


a) Las matrices de compras son:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

9 5 18 10 0 03 7 6 14 6 144 6 5 7 5 7

A B A BC C C

E C F C M CC C C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

A B

⎞⎟⎟⎟⎠

b) La matriz de compras del trimestre es:

1

2

3

27 1515 3514 20

A BC

T E F M CC

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

c) La matriz de los precios es: 80

100A

PB

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ Lo que factura la fábrica es:

27 15 366080

15 35 4700100

14 20 3120T P

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

Luego, lo que factura la fábrica al primer cliente es 3660 €, al segundo 4700 € y al tercero 3120 €. En total, factura: 366 0 4700 3120 11480 €+ + =


TEMA 1.TEMA 1.TEMA 1.TEMA 1.---- MATRICES MATRICES MATRICES MATRICES ---- MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II –––– IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) ---- CURSO 08/09CURSO 08/09CURSO 08/09CURSO 08/09

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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS DE MATRICESEJERCICIOS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS DE MATRICESEJERCICIOS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS DE MATRICESEJERCICIOS COMPLEMENTARIOS RESUELTOS DE MATRICES

1111 De una matriz A se sabe que su segunda fila es ( )1 2− y su segunda columna es

1

2

3

−

Halle los restantes elementos de A sabiendo que 1 1 1 0 0

A2 0 1 0 1

⋅ = −

(Propues(Propues(Propues(Propuesto para PAU Andalucía 2004)to para PAU Andalucía 2004)to para PAU Andalucía 2004)to para PAU Andalucía 2004)

RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN

Según el enunciado, A =

x 1

1 2

y 3

− −

; Sustituyendo en la igualdad:

x 11 1 1 0 0

1 22 0 1 0 1

y 3

⋅ − = − −

; x 1 y 0

2x y 1

− + + −

0 0

0 1

= −

Luego x 1 y 0

2x y 0

− + = + =

. Resolviendo el sistema obtenemos x = -1 , y = 2

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2222 Sea la matriz A = 3 m

1 m m 1

− +

a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa.

b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial AXA = I2 , donde I

2 es la matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de

orden 2. (Propuesto para PAU(Propuesto para PAU(Propuesto para PAU(Propuesto para PAU Andalucía 2003) Andalucía 2003) Andalucía 2003) Andalucía 2003)


a)a)a)a) Para que A tenga inversa, debe ser | A | ≠≠≠≠ 0 . | A | = 3(m+1) – m(1-m) = 3m+3 – m+m2 = m2+2m+3

Resolvemos la ecuación m2+2m+3 = 0 ;22 2 4.1.3 2 8

m2.1 2

− ± − − ± −= = (no tiene solución). Por tanto, | A | ≠≠≠≠ 0 , para cualquier valor de m

Conclusión: A tiene inversa para cualquier valor de m

b)b)b)b) Para m = 0 , A = 3 0

1 1

. Partiendo de AXA = I2 y multiplicando por A-1 por la dcha y por la izda en los dos miembros:

A-1 AXA A-1 = A-1 I2 A-1 ; I

2 . X . I

2 = A-1 I

2 A-1 ; X = A-1 I

2 A-1 ; Luego X = A-1 . A-1

Hallemos A-1 : ( | A | = 3.1- 0.1 = 3 ) A-1 = 1

|A|(adj A)t =

1

3

t1 1

0 3

−

= 1

3

1 0

1 3

−

Por tanto X = 1

3

1 0

1 3

−

. 1

3

1 0

1 3

−

= 1

9

1 0

1 3

−

1 0

1 3

−

= 1

9

1 0

4 9

−

= 1/ 9 0

4 / 9 1

−

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3333 Resuelva la ecuación

1 3 5

4 2 x x

1 1 3

−+

− − = 0 (Propuesto para P(Propuesto para P(Propuesto para P(Propuesto para PAU Andalucía 2003)AU Andalucía 2003)AU Andalucía 2003)AU Andalucía 2003)


Calculamos el determinante: 1.(2+x).(-3) + 3.x.(-1) + 4.1.(-5) - (-5).(2+x).(-1) - 4.3.(-3) - x.1.1 =

= -3(2+x) + (-3x) + (-20) - 5(2+x) - (-36) - x = -6 - 3x - 3x - 20 - 10 - 5x + 36 - x = -12x

La ecuación es: -12x = 0 ; de donde x = 0

012

=−

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4444 Un supermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de

roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene

150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert.

Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán de cada una

de las tres clases de quesos. (NotaNotaNotaNota: Fue propuesto en clase, pero la solución no era la correcta)


A B C

M

R

C

40 120 150 50

160 120 80 . 80

80 120 80 100

=

A

B

C

26100

25600

21600

soluciones de los ejercicios de selectividad sobre ... · selectividad matemÆticas aplicadas a las...

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