Profesora: E. Borbúa

INDICE

DEFINICIÓN

RELACION DE PERTENENCIA

DETERMINACION DE CONJUNTOS

CONJUNTOS ESPECIALES

UNION DE CONJUNTOS

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

EJEMPLO DE PROBLEMA DE APLICACIÓN

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación.  Todo conjunto se escribe entre llaves { } y para denotarlos se usan letras mayúsculas, A, B, C, ...,y sus elementos se separan mediante punto y coma.

Ejemplo: El conjunto de las vocales se puede escribir así: A = {a; e; i; o; u}

 

Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x1 Є A. En caso de que un elemento y1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y1 Є A.

Ejemplo: N = {2, 4, 6, 8, 10}

4 Є N y se lee 4 pertenece al conjunto N

9 Є N y se lee 9 no pertenece al conjunto N

 Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:1. Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.

Ejemplo: A = {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}

 2. Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo │ que significa “tal que". En forma simbólica es: A = {x │ P(x)} = {x1, x2, x3,…, xn} que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como x1, x2, x3, …, xn, etc.Ejemplo: A = {x/x es un mes del año}

3. Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.

 Ejemplo:

4. Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos.Ejemplo: “El conjunto de las letras vocales”

Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).Ejemplo:

A= {a; e; i; o; u} su cardinal n(A)= 5

A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “

CONJUNTO VACÍOSe denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la siguiente forma: o { }

Ejemplo:Conjunto de los meses del año que terminan en a. A = { }

CONJUNTO UNITARIOEs el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo:

Conjunto de los meses del año que tiene menos de treinta días. B = { febrero}CONJUNTO FINITO

Es el conjunto con limitado número de elementos.

Ejemplos:El conjunto de las vocales, A = {a; e; i; o; u}

CONJUNTO INFINITOEs el conjunto con ilimitado número de elementos.Ejemplos:El conjunto de los números enteros

CONJUNTO UNIVERSAL

Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra UEjemplo:

A={x/x es un mamífero}

CONJUNTO DE CONJUNTOSEs un conjunto cuyos elementos son

conjuntos.Ejemplo:

F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} }

Los elementos del conjunto F también son conjuntos.

{b} es un elemento del conjunto F entonces {b} F

CONJUNTO POTENCIAEl conjunto potencia de un conjunto A denotado por P(M) o Pot(M) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de M.

Ejemplo: Sea M = { a; b; c }Los subconjuntos de M son{a},{b},{c},{a; b}, {b; c},{a; c}, {a; b; c},Φ

Entonces el conjunto potencia de A es:

P(M) = { {a};{b};{c};{a; b};{a; c};{b; c};{a; b; c};Φ }

¿ CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO POTENCIA DE A ?

Se observa que el conjunto M tiene 3 elementos y su conjunto potencia P(M) tiene 8 elementos.Propiedad:Dado un conjunto M cuyo número de elementos es n , entonces el número de elementos de su conjunto potencia es 2n

El conjunto “A unión B” que se representa así A U B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos conjuntos.

Ejemplo:Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}

La unión de dichos conjuntos será: AUB= {d, f, g, h, b, c}

El conjunto “A intersección B” que se representa A П B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

Ejemplo:Dados el conjunto A = {3, 8, 24} y el conjunto B = {13, 7, 8, 12}

El conjunto “A menos B” que se representa A – B , es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Ejemplo:

si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces A –  B = { b, c, d }

La parte sombreada de verde indica los elementos que pertenecen a A y no pertenece a B .

Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.

Notación: A’ o AC

Ejemplo:Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }; A= { 1, 3, 5, 7, 9 }. El complemento de A estará dado por: A'= { 2, 4, 6, 8 }

12 3

45

6

78

9

U AA

A’={2;4;6,8}

Ejemplo de Aplicación de Operaciones de Conjuntos:

En una unidad habitacional viven 130 familias y se sabe que 80 de ellas tienen automóvil, que 40 poseen un reproductor de DVD y que 27 tienen ambas cosas. Se desea conocer:

a) ¿cuántas familias tienen exclusivamente automóvil?,

b) cuántas familias son dueños exclusivamente de un reproductor DVD,

c) ¿cuántas familias son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD?, y

d) ¿cuántas familias no poseen ni automóvil ni reproductor DVD?

Solución. Identificando los datos por su cardinalidad:Número de familias del conjunto universal, n(U ) = 130Número de familias con automóvil, n(A) = 80Número de familias con reproductor DVD, n(D) = 40Número de familias con automóvil y con reproductor DVD, n(A ∩ D) = 27

A

80 – 2727

D

40 - 27

U

(A U B)’

Del diagrama en donde se muestran el número de elementos de los conjuntos se aprecia que:

a. El número de familias que exclusivamente tienen automóvil es: n(A)- n(A ∩ D) = 80 -27 = 53

b. El número de familias que son dueños exclusivamente de un reproductor DVD es: n(D)- n(A ∩ D) = 40 -27 = 13

c. El número de familias que son propietarias de un automóvil o de un reproductor DVD es: n(A ∪ B), así que:

n (A∪ D) =n (A)+n (D)-n (A∩ D) = 80 + 40 -27 = 93

d. El número de familias que no poseen ni un automóvil ni un reproductor DVD es: n (A ∪ B)' (Complemento de la Unión), por lo que: n (A ∪ D)' =n (U )-n (A ∪ D) = 130 - 93 = 37

GRACIAS POR SU ATENCIÓN