hidraulica-basica.pdf

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por el M. en 1 DE 91

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Apuntes oBenjamn

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1.

2.

3.

4.

5.

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por el M. en 2 DE 91

C. Guillermo

APUNTES DE HIDRULICA BSICA

Apuntes originales del Dr. Jess Alberto Rodrguez Castro, adaptados y complementados por el M. en C. Guillermo Benjamn Prez Morales 3 DE 91

1. DEFINICIN Y OBJETIVO

Hidrulica es una es una de las principales ramas de la Ingeniera Civil que trata los

problemas relacionados con la utilizacin y el manejo de los fluidos, principalmente el

agua. Esta disciplina se avoca, en general, a la solucin de problemas tales como, el

flujo de lquidos en tuberas, ros y canales y a las fuerzas desarrolladas por lquidos

confinados en depsitos naturales, tales como lagos, lagunas, estuarios, etc., o

artificiales, como tanques, pilas y vasos de almacenamiento, en general.

El desarrollo de la hidrulica se ha basado principalmente en los conocimientos

empricos transmitidos a travs de generaciones y en la aplicacin sistemtica de

ciencias, principalmente Matemticas y Fsica. Una de estas ciencias, es la Mecnica de

los Fluidos, que proporciona las bases tericas en que descansa la hidrulica.

El objetivo del presente curso es la de que el alumno reafirme los conceptos bsicos en

hidrulica ambiental requeridos para toda investigacin formal, en el afn de nivelar los

conocimientos de los aspirantes de diferentes formaciones.

2. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Para emprender el estudio de la hidrulica es conveniente, tener un conocimiento claro

de los principios fundamentales de la fsica. A continuacin se presentan algunos de

estos conceptos.

Fuerza de gravedad.- se refiere a la fuerza gravitacional entre la Tierra y los objetos

situados en su superficie o cerca de ella. Por lo regular se mide de acuerdo a la

aceleracin que proporciona a un objeto en la superficie de la Tierra. En el ecuador, la

aceleracin de la gravedad es de 9,7799 m/s2, mientras que en los polos es superior a

9,83 m/s2. El valor que suele aceptarse internacionalmente para la aceleracin de la

gravedad en clculos que no requieren mucha precisin es de 9.81 m/s2.

Los campos de estudio de la Fsica clsica, conocida tambin como, Fsica newtoniana, son:



Mecnica

Electricidad y magnetismo

Fsica Acstica

ptica

Termodinmica

Mecnica.- describe los efectos de fuerzas en cuerpos (materia) en movimiento o reposo. Esttica.- Estudia la materia en reposo y las fuerzas que actan

sobre ella. Mecnica Cinemtica- Estudia la materia en movimiento, sin tomar en cuenta

las causas que lo producen. Dinmica- Estudia el movimiento de la materia y las causas que lo

producen.

La materia se puede encontrar en cualquiera de los siguientes estados:

Slidos

Estados de la materia Lquidos

Gases

Fluido.- estado de la materia que no presenta resistencia a la deformacin. Bajo esta

categora se agrupan los lquidos y los gases.

Sistema de unidades.- Las cantidades fsicas se miden en el tiempo y en el espacio,

haciendo uso de algn sistema de unidades de medicin. Con base en estas unidades,

se describen las diferentes magnitudes fsicas, las cuales pueden ser fundamentales

derivadas. La longitud (L) y el tiempo (t) se consideran dimensiones fundamentales en

cualquier sistema de unidades pero la masa (m) y la fuerza (F) se consideran

dimensiones fundamentales en ciertos sistemas y dimensiones derivadas en otros.

Para definir las unidades de medida se utilizan diferentes sistemas, pero en general se

pueden identificar dos: el mtrico y el ingls, los cuales a su vez pueden ser absolutos o

gravitacionales.

Fluidos



Temperatura.- Es una cantidad que representa el nivel de energa calorfica en la

materia. En el sistema mtrico la unidad de temperatura es grado centgrado (C) y en

el sistema ingls es el grado Fahrenheit (F). La conversin entre estas unidades es

( )329532

59 =+= FCbienoCF

Factores de conversin.- Los clculos matemticos, por lo regular, involucran

diferentes tipos de unidades de medicin y con frecuencia se requiere transformar las

unidades de un sistema a otro. Para lograr esto, se hace uso de factores de conversin

que relacionan las unidades de una misma clase. Por ejemplo para convertir del sistema

ingls al sistema mtrico, algunos factores de conversin son los siguientes:

Longitud

1 Pulgada (in) = 2.54 cm.

1 pie (ft) = 30.48 cm. = 12 plg

1 yarda (yd) = 3 pies = 36 plg = 91.44 cm.

1 milla (mi) = 1760 yardas = 5280 pies = 1609 m.

Volumen

Onza (fluida) = 29.573 ml

Pint (pt) = 16 onzas = 0.473 l

Quart (qrt) = 2 pints = 0.946 l

Gallon (gal) = 4 quart = 3.785 l

barrel = 31 a 42 gallons (no muy precisa)

Fuerza

Grain = 64.8 mg.

Dram = 27.344 grains=1.772 gr.

Onza (oz) = 16 dram=28.35 gr.

Pound (lb) = 16 Onzas=453.59 gr.

Tonelada corta =2000 libras= 0.907 tonelada mtrica.

Tonelada larga =1.12 toneladas cortas=1.016 toneladas mtricas.



Los factores de conversin tambin se pueden expresar como cocientes para facilitar las

conversiones, por ejemplo

cmin 54.21 = o bien 154.21 =

cmin

De esta manera, al convertir las unidades, solamente se requiere multiplicar el cociente

apropiado que permite eliminar las unidades que se desean convertir. Por ejemplo, para

convertir 25 cm a pulgadas (in), se realiza la siguiente operacin:

incm

incm 842.9

54.21

25 =

Ejercicios

1.- convertir las siguientes cantidades del sistema ingls al mtrico

298.32 ft/s2 = ? m/s2

38 gal/min = ? l/s = ? m3/s

2487 lb/in2 = ? kg/cm2 = ? ton /m2

2.- Convertir la densidad y el peso especfico del agua en condiciones normales del

sistema mtrico al sistema ingls para cantidades absolutas y gravitacionales

334

2

4

2

???102ftlb

mkg

ftslb

mskg mm ====

333 ??1000 mnewtons

ftlb

mkg ===

2.1 PRINCIPALES PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Para fines de este Curso, solo se vern aquellas propiedades de los fluidos que tiene

aplicacin en los temas que lo conforman.

A) DENSIDAD Y PESO ESPECFICO

Peso especfico o peso volumtrico ( ), se define como el peso (W) de una unidad de volumen (Vol) de un fluido, es decir sustancia



Ejemplo

Un litro de aceite lubricante medio pesa aproximadamente 905 gr., entonces el peso

especfico o volumtrico de este aceite es de 905 gr/l bien, 0.905 kg/m3.

Densidad, masa especfica o masa volumtrica ( ) Se define como la masa o materia que est contenida en la unidad de volumen.

Volmasa=

Ejemplo

En un litro de agua contiene aproximadamente 1 kg-masa de materia.

El peso especfico vara con la temperatura y la presin. Para condiciones normales, es

decir a 20 C y a una atmsfera, el peso especfico del agua tiene un valor de 1000

kg./m3 1 kg/l. La densidad para estas condiciones es de 102 kgs2/m4

La densidad tambin vara con la temperatura, lo cual se muestra en la figura siguiente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.00000

0.99996

0.99990

0.99985

0.99980

0.99975

0.99970

Temperatura C

Den

sida

d g

/cm

3

Como se puede apreciar, la densidad del agua tiene un valor mximo a una temperatura

de 4C. Esto se debe a que, a tal temperatura el volumen del agua es menor.

VolW=



F rea

El peso especfico y la densidad se relacionan de la siguiente manera:

g =

lo cual se demuestra como sigue:

Volm=

pero como

gwmmgw ==

y de la definicin de peso especfico se tiene que Volw = , entonces gVol

m=

y sustituyendo en la definicin de densidad

gVolgVol

==

Densidad relativa (Dr).- es la relacin de la densidad de cualquier sustancia y la densidad

del agua, tambin se puede expresar como la relacin entre pesos especficos.

OHOHrD

22

==

B) VISCOSIDAD

La viscosidad es la oposicin de un fluido a las deformaciones tangenciales. Un fluido

que no tiene viscosidad se llama fluido ideal, en realidad todos los fluidos conocidos

presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una aproximacin

bastante buena para ciertas aplicaciones.

Un esfuerzo es una fuerza distribuida sobre un rea. Cuando esta fuerza es paralela al

rea se le llama esfuerzo cortante ( ).

Area

F=



Viscosidad dinmica ( ).- es la propiedad de un fluido que determina su resistencia al esfuerzo cortante

Gradiente.- variacin de la velocidad perpendicular al movimiento, matemticamente se

presenta como

yV

Suposiciones

1) La velocidad de las partculas del lquido en contacto con la placa mvil, es la

misma que la de la placa.

2) La variacin de la velocidad en direccin normal al movimiento tiene forma

lineal.

3) El esfuerzo cortante entre dos capas contiguas de lquido es proporcional a la

variacin de la velocidad. De la segunda suposicin, se tiene que

yV

yV

=

Si se define como el esfuerzo y de acuerdo a la suposicin 3

yV

=

donde = constante de proporcionalidad. Entonces, reagrupando se tiene

yV

yV =

=

y

V

V y



o bien

Vy =

entonces a se le conoce como viscosidad dinmica absoluta. En el sistema mks gravitacional las unidades de viscosidad son:

[ ] [ ] [ ][ ][ ]

=

== 22 mskg

smm

mkg

Vy

y en el sistema cgs absoluto, la viscosidad se expresa como

[ ] poisescm

grm =

=

Viscosidad cinemtica.- relacin entre la viscosidad absoluta y la masa especfica o

densidad.

=

Las unidades de la viscosidad cinemtica en el sistema mks gravitacional son:

[ ] [ ][ ][ ][ ]

=

==

sm

mskgmskg 2

42

2

y en el sistema cgs es el stoke, es decir

scmstoke

2

=

De acuerdo a la relacin entre el esfuerzo cortante y la distribucin de velocidades, los

fluidos se pueden clasificar en ideales, newtonianos y no newtonianos. Los fluidos

newtonianos se comportan segn la ley lineal de esfuerzos, mientras que los no

newtonianos siguen otra relacin. Los fluidos ideales carecen de viscosidad.

2



Fluido ideal

Fluido newt

oniano

Fluido

no

newt

onian

o

Fluido

newt

onian

o

Fluido

no ne

wton

iano

Plsti

co id

eal

Slid

o re

al

Sl

ido

idea

l

Esfu

erzo

cor

tant

e (

)

Gradiente de velocidad ( V/y )

Ejercicios

1.- Calcular el peso especfico la masa especfica y la densidad relativa de un aceite si el

peso de 8 m3 de este es de 5080 kg. (Res. 635 kg/m3, 64.73 kg s2/m4 , 0.634).

2.- La viscosidad del agua a 20 C es de .01008 poises, calcular:

a) La viscosidad absoluta en kg s/m2 (res. 1.028x10-4 kg s/m2 )

b) El valor de la viscosidad cinemtica si la densidad relativa es de 0.998. (res.

1.0093x10-6 m2/s)

Nota: 1poise = 1grm / cms

3.- Un cilindro de 12 cm de radio gira concntricamente en el interior de un cilindro fijo

de 12.6 cm de radio. Ambos cilindros tienen una longitud de 30 cm. Determinar la

viscosidad del lquido que llena el espacio entre los dos cilindros, si se necesita un

par de 9 cm-kg para mantener una velocidad angular de 60 rev. por minuto.



4.- Un bloque de 10 kg de peso y 20 cm por lado se desliza hacia abajo en un plano

inclinado, sobre una pelcula de aceite con espesor de 0.005 mm. Cul ser la

velocidad del bloque, si se considera una distribucin lineal de velocidades en el

aceite?. La viscosidad dinmica del aceite es de 1.5x10-3 kg-s/m2.

20

w20 w cos

20

w sen 20

v

5.- Determinar la fuerza necesaria para desplazar una placa de espesor muy pequeo a

una velocidad de 0.5 m/s, con los datos indicados en la figura siguiente

rea = 0.04 m2

= 1.5x10-3 kg-s/m 2

15 cm

30 cm

F

6.- Calcular la fuerza requerida si el fluido tuviera una velocidad igual a .2 m/s en:

a) la direccin de la fuerza

b) en direccin contraria a la fuerza

3. HIDROSTTICA

3.1 DEFINICIONES

La esttica de los fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos fluidos en

reposo. Cuando se trata solo de los lquidos se denomina Hidrosttica.



3.1.1 Presin

Se define a la presin como el resultado de una fuerza actuando sobre una superficie en

direccin perpendicular a esta. Las unidades de presin son, por lo tanto, unidades de

fuerza sobre unidades de superficie [F / L2].

3.1.2 Medicin de la presin

La medicin de la presin se hace con base en una referencia arbitraria que por lo

general, es el cero absoluto (vaco total) la presin atmosfrica local. Cuando la

presin se expresa con respecto a la presin atmosfrica local, se le conoce como

presin manomtrica o relativa. En cambio, cuando se mide con respecto al vaco

total, se le conoce como presin absoluta. La relacin entre estas dos es la siguiente:

atmrelabs ppp += donde

pabs = presin absoluta

prel = presin relativa o manomtrica

patm = presin atmosfrica la representacin grfica de las presiones absoluta y relativa es la siguiente

Presin atmosfricalocal p = 1.033 kg/cm

P rel

P abs

2

Vaco total (p = 0)

3.1.3 Presin atmosfrica

La presin atmosfrica es causada por el espesor de la capa atmosfrica sobre la

superficie terrestre. A nivel del mar y a 20 C, su valor es de 1.033 Kg/cm2 y se le

denomina atmsfera estndar.



Para medir la presin atmosfrica en cualquier punto de la tierra se utiliza un

barmetro. Evangelista Torricelli fue el primero en medir la presin atmosfrica con el

barmetro que lleva su nombre. Este aparato consiste en un tubo de cristal cerrado en

uno de sus extremos lleno con mercurio e invertido sobre un recipiente que contiene

tambin mercurio como se muestra en la figura:

H

Hg

Patm Patm

Debido a la accin de la gravedad, el mercurio desciende dentro del tubo hasta un nivel

H, medido con respecto a la superficie libre del mercurio. La fuerza debida a la presin

atmosfrica es por lo tanto, equivalente al peso de la columna de mercurio, que a nivel

del mar alcanza una altura de 760 mm.

La relacin entre la presin absoluta, relativa y atmosfrica, se puede visualizar por

medio del diagrama siguiente:

Cero absoluto

0

kg/cm2

kg/cm2

kg/cm2

kg/cm2

0

1 kg/cm

2 kg/cm 2

3 kg/cm 2

4 kg/cm 2

2absP

relP

absP

= 1.033 kg/cm2atmP

3.1.4 Presin sobre una superficie



La fuerza debido a la presin que ejerce un lquido en reposo sobre las paredes y el

fondo del recipiente que lo contiene, se transmite a travs de las partculas que estn

en contacto con ellas tal como se muestra en la figura.

Ps

Pn

Pt

Donde

Ps = fuerza de presin debido al peso de la partcula

Pn= componente de Ps normal a la pared del recipiente

Pt= componente de Ps paralela a la pared del recipiente

Como el lquido est en reposo, no existe movimiento de las partculas y por lo tanto, la

accin de la componente de la fuerza ( Pt ), paralela a la pared del recipiente, es nula;

no as, la componente normal ( Pn ), que trata de comprimir la partcula, siendo esta la nica fuerza que tiene efecto sobre la pared. De esto se puede concluir que la direccin

de las fuerzas, derivadas de la presin que acta sobre una superficie, es siempre

perpendicular a estas.

3.2 Principio de Pascal

En una masa lquida la presin en un punto tienen el mismo valor en todas las

direcciones. Esto se puede demostrar considerando una masa lquida homognea en

reposo y dentro de ella un prisma del mismo lquido, con paredes imaginarias y ancho

unitario, como se muestra en la figura siguiente



b

a

c

p1

p2

p3

w

SLA

p cos 3

p sen 3

Las variables p1, p2 y p3 son las fuerzas debidas a la presin que acta sobre cada una de las caras del prisma y el ngulo de la cara inclinada del prisma, con respecto al plano

horizontal es . Partiendo de la definicin de esfuerzo se definen las fuerzas p1, p2 y p3, es decir

iiii

ii ApFA

Fp ==

donde i = 1, 2 3. Como el lquido est en reposo, el sistema de fuerzas debe de estar equilibrado y por lo

tanto, la suma de fuerzas en todas las direcciones, debe ser igual a cero. Para la

direccin horizontal, se tiene

011 21 == acsenpabpFH pero absenac = entonces, sustituyendo se tiene que

2121 011 ppabpabp ==

Para la direccin vertical

011cos 32 =+= bcpwacpFV

coscos acbcacbc ==

senacabacabsen ==



pero como

abacademsabbcw == cos12

sustituyendo

02 32

=+ bcpabbcbcp por lo tanto

02 32

=+ pabp En el lmite

3232 020lim

pppabpab

==

+ entonces,

321 ppp == Esto quiere decir que si se hacen tender las dimensiones del prisma a cero, en el lmite

este se convierte en un punto y por lo tanto p1, p2, y p3 son iguales en cualquier direccin.

3.3 Presin hidrosttica

Considrense dos puntos en una masa lquida homognea en reposo, situados a las

profundidades z1 y z2 respectivamente, tal como se muestra en la figura siguiente

z

h

z1

2

p

p

1

2

LdA

w

SLA

wcos

1

2



La diferencia de profundidades se define como h. Supngase que en los puntos 1 y 2 se encuentran las bases de una regin cilndrica dentro del lquido. El rea de estas es de

magnitud diferencial (dA) y la longitud del cilindro es L. El peso del cilindro (w) acta en

el centro de gravedad de este y sobre las bases actan las presiones p1 y p2.

Como el lquido est en reposo, la suma de las fuerzas, en cualquier direccin, debe ser

igual a cero. En la direccin del eje del cilindro se tiene que

0cos 12 = dApwdAp pero como

dALw = entonces

0cos 12 = dApLdAdAp Tambin de la figura se observa que

cosLh = por lo tanto, al sustituir se obtiene la siguiente expresin

012 = php Entonces, al reagrupar se obtiene

Esta expresin indica que la diferencia de presiones entre 2 puntos, dentro de una masa

lquida, homognea en reposo, es igual al producto del peso especfico del lquido por la

diferencia de profundidades a que se encuentran los puntos. Este es el principio

fundamental de la hidrosttica

Ahora bien, si los puntos estn en un plano horizontal, entonces

012 == zzh y por lo tanto

hpp = 12



p2 =p1

Esto significa que las presiones en un plano horizontal de un lquido homogneo, en

reposo, tienen el mismo valor.

Ahora bien, si el punto 1 est localizado sobre la superficie libre del agua (SLA),

entonces z1 = 0 y por lo tanto la presin en ese punto corresponde a la atmosfrica. Si

se trabaja con presiones relativas, entonces p1 = 0 y la presin en 2 queda expresada

de la siguiente forma

22 zp = En este caso h = z2, por lo tanto

hp =2 En general, para cualquier punto situado dentro de una masa lquida, homognea y en

reposo, la presin hidrosttica es igual al producto del peso especfico por la

profundidad a que se encuentra dicho punto, es decir

Como el peso especfico del lquido no vara, se concluye que la presin hidrosttica en

un punto solamente vara con la profundidad.

3.4 Manmetros

Son dispositivos que emplean una columna lquida para medir la presin. El manmetro

ms elemental consiste en un tubo conectado a un recipiente o tubera a presin con

uno de sus extremos expuesto a la atmsfera como se muestra en las figuras siguientes

hp =



h

A

h

hA

A

a) b) c)

Este tipo de manmetros se conocen generalmente como piezmetros y miden la presin en funcin de la altura de la columna h. Por ejemplo, la presin en el punto A

de la figura (a) es igual a

hpA = donde es el peso especfico del lquido a presin. Cuando se requiere conocer la diferencia de presiones entre dos puntos se utiliza un

manmetro diferencial que no es ms que un tubo que conecta dos recipientes tuberas, como se muestra en la figura siguiente

A

B

h

B

Otro tipo de manmetros son los denominados manmetros abiertos que son similares a los piezmetros pero difieren de estos en que contienen un lquido de mayor

peso especfico que el del lquido a presin como se muestra en la figura.



A h

' >

Mtodo de clculo

Para calcular la presin de un manmetro abierto o diferencial, se pueden utilizar dos

procedimientos: uno consiste en igualar con cero. la suma de todas las presiones a lo

largo del manmetro y el otro en igualar las presiones en puntos convenientes.

1.- Suma de presiones

a) Manmetro abierto

Se suman las presiones que se generan a lo largo del manmetro, teniendo en cuenta

su signo. Si realiza la suma desde el punto m hasta el punto d de la figura siguiente, se

tiene que las presiones contrarias a esta direccin son negativas, es decir

m

a

b

c

d

h

hcd

hbcabh

0''' =++ cdbcabmam hhhhp



o bien

madcm hhp = '

donde, es el peso especfico de lquido manomtrico. b) Manmetro diferencial

En este caso la suma de presiones se realiza desde el punto m al punto n que se

muestran en la figura siguiente

m

n

a

b

c

d

e

hab

hma

hbc

hcd

hdehen

0''' =+++ nendecdbcabmam phhhhhhp

por lo que

endecdmanm hhhhpp ++= '



2.- Igualacin de presiones

a) Manmetro abierto

Igualando las presiones en los puntos a y b de la figura siguiente

m

a

b

c

d

h

bchabh

hcd

se tiene que

ca pp = Entonces

mama hpp += y cdc hp = igualando

cdmam hhp ' =+ y despejando

macdm hhp = ' que es igual al resultado obtenido con el otro mtodo.



b) Manmetro diferencial

Igualando las presiones en los puntos a y c de la figura siguiente, se tiene

m

n

a

b

c

d

e

hab

hma

hbc

hcd

hdehen

ca pp =

es decir

mama hpp += y dcdeennc hhhpp ' ++= igualando

=+ mam hp dcdeenn hhhp ' ++ por lo que

dcdeenmanm hhhhpp ' ++= que es igual a la expresin obtenida con el primer mtodo.



3.5 Empuje hidrosttico

El empuje hidrosttico es la fuerza que resulta de la accin de la presin sobre una

superficie. Para facilitar su estudio, se hace la distincin entre empuje sobre superficies

planas y curvas.

3.5.1 Superficies Planas

Una superficie plana de rea A, colocada horizontalmente a una profundidad h en el

seno de un lquido, est sujeta a una presin hidrosttica ( hp = ) constante en toda la extensin de su rea. Esta presin se puede representar como un conjunto de fuerzas

distribuidas uniformemente en toda el rea. A esta representacin se le conoce como

diagrama o cua de presiones, tal como se muestra en la figura siguiente

EDiagrama de presiones

P= h

Centro de gravedad del diagrama depresiones

A C = CG p

SLA

h

El efecto de la presin hidrosttica se puede representar con una fuerza equivalente,

llamada Empuje (E), la cual se define como

ApE =

donde p es la presin hidrosttica. Si se sustituye la expresin que define la presin hidrosttica, se tiene

AhE =



En este caso particular, el centro de presiones (CP), que se alinea con el centro de

gravedad del diagrama de presiones, coincide con el centro de gravedad (CG), de la

superficie horizontal.

Ntese que el producto hA es igual al volumen de la cua de presiones y que al multiplicar por el peso especfico del lquido se obtiene el peso de esta cua. Por lo

tanto, se puede decir que el empuje es equivalente al peso de la cua de presiones.

Cuando la superficie plana sumergida en el seno de un lquido se coloca en una posicin

diferente a la horizontal, las presiones que actan sobre ella no tienen el mismo valor en

todos sus puntos, ya que son mayores en los puntos de mayor profundidad. En este

caso, el diagrama de presiones es como se muestra en la figura siguiente

Diagrama de presiones

SLASLA

CGCp

Centro de gravedad deldiagrama de presiones

E

En este caso el empuje, pasa por el centro de gravedad del diagrama de presiones pero

no coincide con el centro de gravedad de la superficie plana (CG), sino que se aplica en

un punto diferente al que se le conoce como centro de presiones (CP ). La magnitud del empuje y posicin del centro de presiones, se pueden calcular de la siguiente

manera: Supngase una superficie plana en una posicin cualquiera en el interior de

una masa lquida, en reposo, como se muestra en la siguiente figura.



o

dAA

Go'

z

C

SLA

y

yc

y

z

PC

La superficie est contenida en un plano imaginario que intercepta la superficie libre del

agua (SLA) a un ngulo y forma la traza oo. Sobre una pequea franja de rea diferencial dA, situada a una profundidad z, la presin hidrosttica es igual a

zp =

As mismo, la presin debida a un empuje diferencial dE, sobre la franja es igual a

dAdEp =

Igualando estas dos expresiones y despejando dE, se tiene

dAzdApdE == Para calcular el empuje sobre toda el rea de la superficie se integra de la forma

siguiente

=A

dAzE

Por otro lado, de la figura se observa que



senyzyzsen ==

Al sustituir el valor de z en la integral, se tiene

==A A

dAysendAsenyE

Pero el valor A

dAy es el momento esttico de la superficie considerada con respecto al

eje OO, por lo tanto

AyMdAy oA

== volviendo a sustituir en la ecuacin del empuje, se obtiene lo siguiente

AysenE = Al referirse de nuevo a la figura anterior, se puede observar que la profundidad al

centro de gravedad de la superficie, se puede expresara como

senyz = Entonces, al sustituir en la expresin del empuje, se obtiene lo siguiente

AzE = o bien

ApE = Esta expresin indica que el empuje sobre una superficie plana cualquiera, es igual a la

presin sobre el centro de gravedad, multiplicada por el rea de la superficie.

La posicin del centro de presiones (donde se aplica el empuje) se calcula considerando

el momento esttico de la superficie libre con respecto a la traza oo, es decir

dAzyydEMd == integrando ambos lados de la ecuacin, se tiene



=== dAysendAysenydAzyM 2 pero tambin el momento de la resultante (el empuje)se calcula como

===== ydAsenydAsenyydAzydEyEyM cpcpcpcpcp igualando estas dos ecuaciones, se tiene

= ydAsenydAysen cp 2

=

ydA

dAyycp

2

pero dAy 2 y dAy son los momentos de inercia (Ioo ) y esttico (Moo ) de la superficie A con respecto a la traza oo, respectivamente, es decir

'

'

oo

oocp M

Iy =

donde

yAdAyMtambinydAyI oooo === '2' A partir del teorema de Steiner o de los ejes paralelos

2' yAII Goo +=

sustituyendo, se tiene

yAyAIy Gcp

2+=

o bien

yyA

Iy Gcp +=



en donde IG, es el momento de inercia con respecto al centro de gravedad de la superficie

3.5.2 Superficies Curvas

Considrese una superficie curva en el seno de una masa lquida como el que se

muestra en la figura siguiente.

Si se analiza un rea diferencial dA de esta superficie, situada a una profundidad z, se

observa que est sujeta a un empuje diferencial igual a

dAzdE = La lnea de accin de este empuje forma un ngulo con respecto a la superficie libre del agua. As mismo, este se pude expresar en funcin de sus componentes ortogonales

dEH y dEV, que se definen como

VH dAzdAzdEdE === coscos

HV dAzdAsenzdEsendE ===

La componente horizontal del empuje EH se obtiene integrando dEH, es decir

===A

HVA

VA

H EdAzdAzdE

dA

dAV = dAcos

dAH = dAsen

dE

dE

dEH = dEcos

dEV = dEsen z

z

AV

CG dA

dAH

dAV

SLA



El producto z dAV es el momento esttico de la proyeccin vertical del rea diferencial

dA con respecto a la superficie libre del agua. Integrando se obtiene

VA

V AzdAz = que es el momento esttico de la proyeccin vertical de la superficie curva ( AV ), con respecto a la superficie libre del agua. Sustituyendo en la expresin del empuje, se tiene

VH AzE = Esto significa que la componente horizontal del empuje se puede calcular, simplemente,

multiplicando la proyeccin vertical del superficie ( AV ) por la profundidad de su centro

de gravedad ( z ) y el peso especfico ( ) del lquido en que se encuentre sumergida. Para el clculo de la componente vertical del empuje, se integra la ecuacin de la

componente vertical del empuje, es decir

==A

VHA

V EdAzdE

Al integrar el producto HdAz en toda el rea, se obtiene volumen del lquido colocado

sobre la superficie considerada, es decir

VoldAzA

H = por lo tanto,

VolEV =

Como el producto Vol corresponde a un peso, se concluye que la componente vertical del empuje sobre la superficie curva es igual al peso del lquido encima superficie. Esto

se cumple an cuando no haya lquido encima de la superficie. Por ejemplo, la

componente vertical del empuje sobre la superficie abc del cuerpo sumergido mostrado en la figura siguiente, es

EV = Aeabcd L



d

c

e

ab

SLA L

Donde Aeabcd es el rea lateral del cuerpo y L es el ancho.

La posicin de la componente horizontal del empuje se calcula considerando el

momento del empuje horizontal con respecto a la superficie libre. Para el diferencial de

dicho empuje, se tiene

zEdMd H=

integrando

====A A

VVH AdzzdAzzEdMdM2

Este momento tambin se pude calcular multiplicando la componente horizontal del

empuje total ( EH ) por la distancia del centro de presiones a la superficie libre del agua, es decir

====A

VcpA

VcpHcpcpH dAzydAzyEdyyEM

igualando las dos expresiones

=A

VAdz2

AVcp dAzy

entonces



AV

AV

AV

AV

cp QI

dAz

Adzy ==

2

donde IAV es el momento de inercia de la proyeccin vertical de la superficie (AV) y QAV es el momento esttico de esta proyeccin, con respecto a la superficie libre del lquido.

El empuje total sobre la superficie curva se obtiene de la siguiente manera

22VH EEE +=

3.6 Flotacin

3.6.1 Principio de Arqumedes

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un lquido recibe un empuje hacia arriba

igual al peso del volumen del lquido desplazado. La lnea de accin de este empuje

coincide con el centro de gravedad del volumen desplazado.

Una demostracin sencilla de este principio se puede efectuar considerando un cuerpo

sumergido en un lquido, como se muestra en la figura siguiente

Se puede considerar que el cuerpo est formado por una gran cantidad de prismas de

seccin diferencial dA y altura z.

dE2

Z1

Z

Z2

dE1

dA



Analizando un prisma separadamente, se puede observar que sobre las bases, situadas

a profundidades z1 y z2, estn actuando los empujes diferenciales dE1 y dE2,

respectivamente, cuyo valor se define como

dAzdE 11 = y dAzdE 22 =

la resultante de estos empujes es entonces,

( )12 zzdAdE = donde el producto dA(z2-z1) es el volumen del lquido desalojado por el prisma. Si se

multiplica este volumen por el peso especfico del lquido , se obtiene el peso del mismo. Integrando sobre todo el cuerpo, se obtiene el volumen total, es decir

( ) === dVolzzdAdEE V 12 por lo tanto

E = Vol Como el empuje es mayor en las bases inferiores de los prismas, la resultante tiene

direccin hacia arriba.

4. ECUACIONES FUNDAMENTALES

Antes de empezar a estudiar las ecuaciones fundamentales de la hidrulica, es

importante tener el conocimiento de algunos conceptos que estn relacionados con el

agua en movimiento, a la cual se le denomina CINEMTICA DE LOS FLUIDOS, la cual

estudia el movimiento de sus partculas sin considerar las causas que lo producen, a

travs de magnitudes fsicas tales como velocidad, aceleracin y rotacin.

4.1 DEFINICIONES

4.1.1 Velocidad de una partcula fluida.- se define como la rapidez con la que

ocurre un cambio en la posicin de la partcula.



Si la partcula p0 de la figura siguiente se desplaza siguiendo la trayectoria c, descrita en

cada instante por el vector de posicin kzjyixtrr )( ++== , entonces la velocidad queda definida por la expresin

dtrdv =

donde dr representa el vector diferencial de arco sobre la curva que recorre la partcula

en el tiempo dt. La velocidad es entonces un campo vectorial dentro de un flujo y al

seguir la partcula la trayectoria c, es un vector tangente en cada punto de la misma y

en general depende de la posicin y el tiempo v = v(r,t).

La velocidad se puede describir en trminos de sus componentes, segn la direccin de

los ejes coordenados, de la siguiente forma

kvjvivv zyx ++=

Dichas componentes son funciones de la posicin de la partcula y del tiempo, es decir

Puesto que la magnitud del vector diferencial de r es

dtdtrdrd =

y entonces la magnitud de la velocidad es

( )( )( )tzyxvv

tzyxvvtzyxvv

zz

yy

xx

,,,,,,,,,

=== vp0

r

vx

vz

vy

x

y

v = v(r, t)



222

+

+

=dtdz

dtdy

dtdxv

Si s representa un vector unitario tangente en cada punto a la trayectoria de la partcula

y es funcin del desplazamiento S, la velocidad tambin se puede expresar como

dtsds

dtdsv ==

donde sd se conoce como el vector diferencial de arco y vale sds 4.1.2 Aceleracin de una partcula fluida.-se define como la variacin de la

velocidad. Esta variacin se puede dar en el tiempo o en el espacio. Si ocurre en el

tiempo se define como aceleracin local y se expresa como

2

2

dtsd

dtvda ==

Cuando la velocidad vara de un punto a otro en un instante fijo en el tiempo, se define

como aceleracin convectiva, es decir

dsvda =

donde ds representa el espacio.

En funcin de las coordenadas cartesianas se tiene

kdzdvj

dydv

idxdv

sdvda zyx ++==

4.2 CLASIFICACIN DE LOS FLUJOS

De acuerdo al movimiento caracterstico de las partculas fluidas, los fluidos se pueden

clasificar en los siguientes tipos:

4.2.1. Flujo permanente.- es aquel en que las propiedades del fluido (densidad,

presin, temperatura, etc.) y las condiciones de movimiento (velocidad) no cambian en

el tiempo, es decir

0=

t

, 0=

tp

, 0=

tT ,

Se puede considerar flujo permanente, si la variacin del valor sus caractersticas fsicas

y de movimiento es pequea, es decir que se desve poco del los valores promedio.

0=

tv



4.2.2. Flujo no permanente.-es aquel en que las caractersticas fsicas y las

condiciones de movimiento cambian de un instante a otro.

0

t

0

tp

0

tT

0

tv

4.2.3. Flujo uniforme.- se presenta cuando no existe variacin de la velocidad en el

espacio, es decir

donde s es un sistema de coordenadas espaciales, tal como, el sistema cartesiano (x, y, z)

4.2.4. Flujo no uniforme.- se presenta cuando existen variaciones de la velocidad de un punto a otro en el espacio, es decir

0

sv

4.2.5.- Flujo irrotacional.- se presenta cuando no existe rotacin entre las partculas del fluido, es decir

0=vrot 4.2.6. Flujo rotacional.- es aquel donde del rotacional adquiere un valor diferente de cero, es decir

0vrot Si la relacin espacial entra partculas no cambia, aunque el movimiento se produzca sobre una trayectoria curva, el flujo es irrotacional, tal como se muestra en la figura siguiente.

4.2.7.- Flujo Laminar.- se distingue por que el movimiento se realiza a travs de trayectorias separadas y bien definidas sin que existan cruces o mezclas.. En un conducto circular, el flujo se desplaza en forma de cilindros concntricos. Si se inyecta tinta en un punto del flujo, de manera continua, se observa que se forma un hilo a todo

0=

sv

cdadabcdab cd



lo largo del conducto. Si al mismo tiempo se inyecta tinta en otro punto, se formar otro hilo. Entonces se puede imaginar que en este caso, el flujo se da a manera de desplazamientos de cilindros concntricos como se muestra en la figura siguiente.

En una placa, el flujo laminar de dara como una series de planos paralelos a la placa.

4.2.8.- Flujo turbulento.- es el ms comn, no presenta trayectorias ordenadas bien definidas pero las partculas se desplazan en direccin general al movimiento, como se muestra en la figura siguiente.

4.2.9.-Flujo incompresible.- se presenta cuando los cambios de densidad de un punto a otro son muy pequeos y despreciables. Los lquidos y los gases a bajas velocidades, pueden considerarse incompresibles.

4.2.10.- Flujo compresible.- ocurre cuando los cambio de densidad del fluido son considerables, el aire es un flujo altamente compresible.



4.3 CONCEPTO DE GASTO O CAUDAL

Cuando se observa el agua que pasa por un ro o se imagina la que pasa por una

tubera, el primer cuestionamiento que suele formularse, es acerca de la cantidad de

agua que pasa por ese conducto. Esta idea de cantidad de agua conducida tiene un

significado integral ya que implica el conocimiento del movimiento en conjunto de las

partculas que constituyen la masa del fluido. Sin embargo, para poder comparar o

hacer estimaciones, es necesario referir esta cantidad de materia en movimiento al

tiempo, definindose de esta manera, el concepto de gasto o caudal como la cantidad

de materia o masa que atraviesa un lugar en cierta unidad de tiempo. En el caso de los

lquidos, los cuales se consideran prcticamente incompresibles, la cantidad de materia

se puede indicar como el volumen. Entonces, el gasto se define como el volumen que

pasa por un punto en el espacio, en un determinado tiempo, es decir

tVolQ =

donde

Q = gasto o caudal

t

L3

Vol = volumen [ ]3L t = tiempo [ ]t

En un sistema unidimensional se puede tener una expresin para el gasto, considerando

por ejemplo, la seccin transversal de un tramo de un conducto de rea A por el cual

pasa un volumen Vol como se muestra en la figura:

L

Vol A



Como el volumen se define como Vol = AL, entonces al sustituir en la expresin del

gasto, se tiene

tALQ =

pero como

tLV =

donde v es la velocidad con que se mueve la masa o el volumen. Entonces

VAQ =

que es la expresin que define el gasto o caudal que circula en un conducto en una

direccin dada.

4.4 ECUACIN DE LA CONTINUIDAD O LEY DE CASTELLI

4.4.1 Flujo unidimensional

En la mecnica de los fluidos se considera que la cantidad de masa es invariable con

respecto al estado de movimiento. Sobre esta consideracin se basa en la ecuacin de

la continuidad, propuesta de tal forma por Benedetto Castelli, establecindose entonces

que la materia fluida no puede ser creada ni destruida por ningn proceso

hidrodinmico. Una demostracin objetiva de este principio se puede lograr

considerando un conducto como el que se muestra en la figura siguiente

B C

ds2

ds1

B' C'

V1 A1V2 A2



A travs de este conducto pasa un fluido incompresible de la regin 1, que tiene un rea

transversal A1 a la regin 2 con rea transversal A2. Como A1 y A2 son diferentes, las

velocidades V1 y V2 tambin los son.

Si se considera el desplazamiento de la regin BB a la regin CC en un tiempo dt,

entonces por el principio de la conservacin de la materia, se tiene que

dtdsA

dtdsA 222111 =

pero como el fluido es homogneo e incompresibles, entonces 1 = 2 y por lo tanto esta expresin se reduce a

dtdsA

dtdsA 2211 =

donde dtds1 y

dtds2 son las velocidades medias V1 y V2 , respectivamente. Sustituyendo en

la expresin anterior se tiene

2211 VAVA = expresin que denota el principio de continuidad. Haciendo uso del concepto de gasto o

caudal, ( VAQ = ) se observa que nQQQQ === 321

Esto significa que el gasto que pasa por un conducto se mantiene constante, aun

cuando existan cambios en la seccin a lo largo de este.

4.4.2 Ecuacin diferencial de la continuidad

Si se considera un volumen de control diferencial en un espacio tridimensional, como el

que se muestra en la figura, se puede hacer un balance de la masa que atraviesa ese

volumen, de la siguiente manera



z

y

x

dz

dy

dx

Considerando las componentes de la velocidad en las direcciones x, y, z como u, v, w

respectivamente, se analiza el flujo a travs del prisma mostrado en la figura que tiene

dimensiones dx, dy, dz. La masa de fluido que entra a travs de una de sus caras, por

ejemplo, dxdz, en la direccin y, por unidad de tiempo es la siguiente

dtdydzdx

dtvol

dtmasa ==

Pero como

dtdyv =

Entonces la masa ser

vdzdxdt

masa =

Por lo tanto, el flujo de masa que sale por la cara opuesta, segn la figura, es el mismo

ms el cambio que pueda ocurrir en la direccin del flujo, es decir

( )dydzdxvdy

dzdxv +

Efectuando la diferencia entre la masa de fluido que entra y la que sale, se tiene

dzdxv ( )dydzdxvy

dzdxv +



( ) ( )dydzdxvdy

dydzdxvdy

dzdxvdzdxv =

+

Haciendo lo mismo para las otras direcciones, se obtiene lo siguiente:

Direccin x

( )dxdzdyudx

Direccin z

( )dzdydxwdz

Para encontrar la masa total neta que entra al prisma, se suman los flujos en las tres

direcciones de la manera siguiente

( ) ( ) ( )

dzdydxwz

vy

ux

dydzdxwdz

dzdydxvdy

dzdydxudx

dzdydxwdz

dydzdxvdy

dxdzdyudx

+

+

=

=

Asimismo, el cambio de masa por unidad de tiempo dentro del fluido es

dzdydxt

Igualando esto con la masa total neta que entra al prisma, se obtiene lo siguiente

dzdydxt

dzdydxwz

vy

ux

=

+

+

Por lo tanto,

tw

zv

yu

x =

+

+



Esta es la ecuacin diferencial de continuidad en tres dimensiones. En forma compacta

esta ecuacin se representa como

tq

=

Donde es un operador diferencial llamado gradiente que se define como

zyx +

+=

y q es el vector velocidad definido como

kwjviuq ++= Si el fluido es incompresible, sale del operador diferencial quedando,

tq

= 1

o bien en la forma desarrollada,

tzw

yv

xu

=

+

+

1

Por otro lado, si la densidad permanece constante con respecto al tiempo, es decir

0=

t

Entonces

0=+

+

zw

yv

xu

o en forma compacta,

0=q Que es la ecuacin diferencial de continuidad para flujo permanente.



En dos dimensiones, para en un plano horizontal, la componente vertical de la velocidad

es nula, es decir,

0=

zw

Por lo que la ecuacin de la continuidad, queda como

0=+

yv

xu

Finalmente en una sola direccin, por ejemplo en x

0=

xu

La cual corresponde al flujo uniforme en una direccin.

4.5 ECUACIN DE LA ENERGA

4.5.1 Ecuacin General del movimiento de una partcula

De acuerdo con la segunda ley de Newton, se establece que cuando a una partcula,

con masa m, se le aplica una fuerza F, se genera una aceleracin a, es decir

maF =

Esta es la ecuacin general del movimiento. Si la aceleracin se expresa como dtdv ,

entonces se tiene que

dtdvmF =

AL multiplicar ambos miembros de esta expresin por un desplazamiento diferencial

ds, se obtiene lo siguiente

dvdtdsmds

dtdvmFds ==

Pero

vdtds =

Entonces, al sustituir en la expresin anterior, se tiene que



dvvmFds = Al integrar ambos trminos de la ecuacin, es decir

CvmdvvmFdss

+== 22

0

El trmino 2

2vm se define como la energa cintica y se debe exclusivamente al

movimiento y la masa de la partcula. Para resolver esta ecuacin es necesario definir

las siguientes condiciones de frontera:

cuando s = 0, Fds = 0 y v = vo Donde vo es la velocidad inicial de la partcula, la cual no necesariamente es cero.

Aplicando estas condiciones a la ecuacin anterior se tiene que

2,0

2

20

20 vmCbinoCvm ==+

Al sustituir nuevamente en la ecuacin, se obtiene

22

20

21

0

mvmvFds

s

= Que es la ecuacin que describe el principio de la variacin de la energa cintica y del

trabajo, el cual se expresa de la manera siguiente: si a un cuerpo de masa m se le aplica

una fuerza F en una distancia s, el trabajo desarrollado por esta fuerza es igual a la diferencia

entre la energa cintica final y la inicia. En la figura siguiente se ilustra grficamente

este principio

F

Sm V0

2m V1

2

V0 V1

mF m

4.5.2 Ecuacin de la energa de una masa fluida



La ecuacin de la energa de una masa fluida se deriva del principio de conservacin de

la energa, y dice que: la energa total en la seccin de una corriente es igual a la energa

total en una seccin ubicada agua arriba de sta, menos la energa consumida (transformada)

entre las dos secciones.

Para demostrar este principio en forma simplificada, se considera un tramo de una

corriente entre dos secciones transversales de una tubera, como se muestra en la

figura siguiente. Los centros de las secciones, denotadas en la figura como 1 y 2 ,

est referido a un plano horizontal (PHR), colocado arbitrariamente. Con respecto a este

plano, la seccin 1 tendr una elevacin z1 y la seccin 2 una elevacin z2, siendo la

distancia vertical entre ambas secciones z, es decir, 21 zzz = F = p A

11

1

F = p A2

22

ds1

ds2

GCGC

w

z

w

11'

2

2'

PHR

f

1w

z22w

z2

Si las reas de las secciones 1 y 2 son A1 y A2, respectivamente, para un gasto

constante Q, entonces las velocidades sern

11 A

Qv = 2

2 AQv =

En la seccin 1 se tiene una presin p1 y en la seccin 2 , p2. Estas presiones se

manifiestan como fuerzas F1 y F2 de la siguiente forma

111 ApF = 222 ApF =



El peso (w)de la masa lquida comprendida entre las dos secciones, acta en el centro

de gravedad (CG) del volumen comprendido entre dichas secciones. Si la masa lquida

se desplaza una distancia diferencial (ds), de manera que pase a ocupar la posicin

entre las secciones 1 y 2 , desde la posicin entre las secciones 1 y 2 , por el

principio de conservacin de la masa se obtiene la siguiente igualdad de volmenes.

2211 dsAdsA =

Al ocurrir este desplazamiento se generan fuerzas de friccin ( f ) entre el lquido y las

paredes del conducto.

Por otro lado, las fuerzas que acta sobre la masa en desplazamiento, realizan un

trabajo que es igual a la diferencia de la energa dinmica de la posicin inicial menos la

de la posicin final, definida por la siguiente expresin

22

20

21

0

mvmvFds

s

= Las diferentes fuerzas que actan sobre el volumen considerado, generan los siguientes

trabajos ( ): 1) F1, 111111 dsApdsF == (debido a la presin en 1) 2) F2, 222222 dsApdsF == (debido a la presin en 2) 3) w, ssenww 1= (debido al peso) 4) f, pff = (debido a la friccin)

Donde s es la distancia entre las secciones 1 y 2 y p es el permetro interno del

conducto.

El trabajo realizado por el peso se puede visualizar mediante la siguiente analoga:

Imagnese un conjunto de bloques de peso w y espesor e, colocados en un plano A que

se trasladado a un plano B, tal como se muestra en la siguiente figura



www

1

2

3A

e

e

e

e

www

1

2

3 B

El trabajo desarrollado al trasladar los bloques del plano A al B es

ew3= Si se traslada solamente el bloque en la posicin 1, sobre el plano A, a la posicin 3,

sobre el plano B, el trabajo realizado ser

we3= que es exactamente el mismo trabajo que en el caso anterior. As entonces, resulta el

mismo trabajo al desplazar toda la masa lquida de peso w de la posicin 1 - 2 a la

posicin 1 -2, que desplazar la masa de peso w1 comprendida entre 1 y 1 a la

posicin 2 y 2 .Como la masa en desplazamiento es constante, entonces los pesos w1

y w2 son iguales.

Ahora bien, de acuerdo a la figura anterior

111 dsAw = y szz

szsen 21 ==

Por lo tanto

( )211112111 zzdsAsszzdsAssenww ===

El trabajo realizado por las fuerzas de friccin ( f ) se dejar solamente indicado, ya que analizar posteriormente en otro tema.

Por otro lado, la diferencia entre la energa dinmica final e inicial es

Y al sustituir estos valores en la ecuacin de la variacin de la energa cinemtica y el

trabajo

2222

2111

2222

211

222 v

gdsAv

gdsAvmvm =



22

20

21

0

mvmvFds

s

= , se obtiene lo siguiente

( )22

2111

2222

2111222111v

gdsAv

gdsAzzdsAdsApdsAp f

=+

Ordenando trminos y considerando que A1 ds1 = A2 ds2 (ya que se trata del mismo volumen), se tiene que

22

2222

222222

2111

111111v

gdsA

zdsAdsApv

gdsA

zdsAdsAp f +=++

Esta es la ecuacin de la energa para el peso del volumen diferencial A1ds1, que se

traslada a la posicin que ocupa A2 ds2, la cual fue presentada por Daniel Bernoulli y por

lo cual tambin es conocida como ECUACIN DE BERNOULLI. Los primeros trminos de

ambos lados de la ecuacin son energas debido a la presin, los segundos son debido a

la posicin y los terceros debido a la velocidad.

Dividiendo entre el peso del volumen considerado ( A1ds1 = A2ds2), se obtiene la siguiente expresin

gv

zp

dsAgv

zp f

22

22

22

11

21

11 ++=++

La forma acostumbrada de representar esta ecuacin es

phgvp

zg

vpz +++=++

22

222

2

211

1

en donde

11dsAh fp

= = energa transformada por el desplazamiento de la masa lquida

z = energa o carga de posicin

p

= energa o carga de presin



gv2

2

= energa o carga de velocidad

Los trminos de esta ecuacin representan trabajo por unidad de peso (ya que se

dividi entre Ads) y sus unidades corresponden a unidades de longitud. Esta ecuacin se puede visualizar mediante un tramo de una corriente, comprendido entre dos

secciones 1 y 2 de un conducto de seccin variable, referidas a un plano horizontal,

como se muestra en la siguiente figura siguiente.

1

2z2

PHR

1z

2H

1H

p 2

hp

p 1

v2g

22

Plano de carga total

Gradiente de energaGradiente hidrulico

Lnea piezomtrica

v12g

2

Las energas de posicin z1 y z2 son las alturas de las secciones 1 y 2, respectivamente,

sobre el plano horizontal de referencia ( PHR ), los piezmetros colocados en los puntos

1 y 2 muestran la energa de presin ( 1p y

2p ) en esos puntos y las energas de

velocidad se muestran como g

v2

21 y

gv2

22 en 1 y 2, respectivamente.

Al sumar en cada seccin los tres tipos de energa (posicin, presin y velocidad) se

tiene la energa total disponible en cada seccin (H). Si se unen las coordenadas



correspondientes, se obtiene la lnea que muestra el gradiente de energa y cuyas

ordenadas se miden a partir del plano horizontal de referencia (PHR), donde z=0.

Si se unen las superficies libres de los piezmetros, se obtiene la lnea piezomtrica que

representa el gradiente hidrulico. Las distancias medidas desde el eje del conducto y

esta lnea, indican las cargas o energas de presin a lo largo del conducto.

La lnea horizontal que pasa a la altura de H1, indica el perfil del plano de carga total

disponible en la seccin 1 y la diferencia entre la energa total disponible en la seccin 1

y la seccin 2 , representa la prdida de carga total hp, es decir

hp = H1 H2

Es importante recordar que aunque se utiliza el trmino prdida, esto no significa que

la energa se pierde entre 1 y 2, ya que de acuerdo al principio de conservacin de la

energa, esta solamente se transforma.

4.6 POTENCIA HIDRULICA

Lo potencia se define como el trabajo realizado en la unidad de tiempo, o la rapidez con

que se realiza un trabajo. En el sistema mtrico gravitacional, las unidades de potencia

son: kg-m/s

Para calcular la potencia necesaria para trasladar un volumen (Vol), de un fluido en un

conducto, de la posicin 1 a la 2, como el que se muestra en la figura, se aplica la

definicin de potencia de la siguiente manera:

Vol

ww

12

zVol

Si z es la diferencia de elevaciones entre los centros de gravedad del volumen (Vol), en las posiciones 1 y 2, por lo tanto el trabajo realizado ( ) al pasar de la posicin 1 a la



2, ser igual al producto del peso del volumen del fluido ( Vol ) por la diferencia de elevaciones, es decir

zVol = Al dividir esto entre el tiempo se obtiene una expresin para la potencia

tzVol

tP ==

Pero como

)(caudalQt

Vol =

Entonces zQP =

Que es la expresin para calcular la potencia que desarrolla un fluido en movimiento.

Por otro lado, en una seccin de una tubera, como la que se muestra en la figura

siguiente, por la cual pasa un gasto Q, la energa disponible H genera una potencia que

es igual a

HQP =

H

z

p

gv2

2

z = 0

Q

Q

La unidad mas empleada para medir la potencia es el caballo de fuerza (HP), que es

igual a

sftlbfHP = 550



En el sistema MKS gravitacional

smkgf

ftm

lbfkgf

sftlbfhp = 76

281.3205.2550

Por lo tanto, para utilizar las unidades del sistema MKS gravitacional, a relacin anterior

se modifica de tal forma que

76HQP =

En donde la potencia ( P ) est dada en caballos de fuerza ( HP ), el caudal ( Q ) en m3/s

y el peso especfico ( ), en kg/m3. Con frecuencia, tambin se utilizan los caballos de vapor ( CV ) para definir la potencia.

En este caso, la expresin anterior se convierte en

75HQ

P=

Otra unidad comn para expresar la potencia es el kilowatt-hora (kW), cuya conversin

es

kW = 1.341 HP

4.7 TEOREMA DE TORRICELLI

La forma de calcular la descarga o gasto a travs de un orificio de ciertas dimensiones y

bajo una carga o tirante hidrulico, se debe a los experimentos desarrollados por

Evangelista Torricelli, que deca:

Considrese un recipiente con un orificio en una pared lateral como el que se muestra

en la siguiente figura.



1

2

H

Si se aplica la ecuacin de la energa o ecuacin de Bernoulli, del punto 1 al punto 2 y

se considera que:

1) no existen prdidas de carga entre 1 y 2

2) al estar en contacto con la atmsfera, la presin relativa en ambos puntos 1 y 2

es cero

3) la velocidad V en el punto 1 es muy pequea y por lo tanto despreciable

Bajo estas condiciones, la ecuacin de la energa queda entonces como:

gVpz

gVpz

22

222

1

211

1 ++=++

por lo tanto

Hzzg

V == 212

2

2

Al despejar la velocidad, se obtiene la siguiente expresin

gHV 2=

que se conoce como el Teorema de Torricelli

Flujo con descenso de carga

Considrese un recipiente con un orificio, que contiene un lquido, cuyo nivel desciende

continuamente a travs del tiempo, como el que se muestra en la figura siguiente

0 0 0



h2

dht1

t2

1h

Aj

At

Para determinar el tiempo de vaciado es necesario integrar la ecuacin del teorema de

Torricelli, ya que el gasto que sale por el orificio no es constante debido a que la carga

sobre este vara.

De la ecuacin de caudal se tiene que

iii VAQ = donde

Ai = rea transversal del chorro

Vi = velocidad media del chorro

Para un intervalo de tiempo ( dt ), el volumen de lquido que sale del recipiente es

( ) ( )dtVAdtQ ii= A medida que el lquido sale del recipiente, el nivel desciende. Para el intervalo dt, el

nivel disminuye en una cantidad igual a dh. Por lo tanto, el volumen de fluido removido

es

dhAt

Donde At es el rea transversal del recipiente y el signo negativo es para denotar el

descenso de carga.

As entonces, estos dos volmenes deben de ser iguales y por lo tanto

( ) dhAdtVA tii = o bien



dhVAA

dti

i

t

=

y aplicando el teorema de Torricelli, se tiene

dhhg

AA

dhghAA

dt it

i

t

21

22

=

=

Integrando

( )dhh

gdt

h

h

AA

t

ti

t = 21

2

1

21

2

( ) ( ) 21

21

2212

h

h

AA

hg

ttt it==

o bien

( ) ( )212122 hh

gAAt it =

5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTALES

5.1 Sifones

Un sifn es un dispositivo hidrulico que se utiliza para extraer un lquido de un depsito

cuando existe un obstculo por encima de la superficie libre del agua en el depsito, tal

como se muestra en la siguiente figura.

A B

C

D

E

hA

zA

zE



Para que el sifn funcione, es necesario mantener una presin negativa (menor que la

atmosfrica) del punto B al punto C, de tal forma que el lquido logre ascender hasta el

punto C de la figura. La presin mnima, ocurre en este punto y su valor depende de la

altura hA; a mayor altura menor presin. Por lo tanto, la altura mxima a la que se

elevar el lquido, tericamente, es la siguiente:

atmph =max

Donde patm es la presin atmosfrica y es el peso especfico del lquido. En el caso del agua, en condiciones normales de presin y temperatura

m

mkg

mkg

phOH

atm 33.10101

10033.1

33

24

max2

=

==

Este valor en realidad es menor ya que existen prdidas de energa a lo largo del sifn.

Una vez que se logra establecer el flujo en un sifn, este se mantiene constante, a

menos que cambie el valor de la diferencia de elevaciones entre los puntos A y E (zA

zE), de la figura.

Para calcular el caudal que se extrae con un sifn, es necesario aplicar la ecuacin de la

energa entre los puntos A y E, de la siguiente forma

pEE

EAA

A hgVpz

gVpz +++=++

22

22

Donde hp denota las prdidas de carga.

Como la presin en los punto A y E corresponde a la atmosfrica y como se est

tratando con presiones relativas, entonces

0== EA pp



Asimismo, si se considera que la elevacin de la superficie libre en el depsito

permanece constante, entonces

02

2

=g

VA

Por ltimo, si se desprecian las prdidas de carga, es decir 0ph , entonces la ecuacin de la energa original, se reduce a

gVzz EEA 2

2

+=

Al despejar la velocidad se obtiene la siguiente expresin

EAE zzgV = (2

Para obtener el caudal, de acuerdo a la expresin del caudal Q = VA, se multiplica por el

rea de la seccin del conducto (A), perpendicular al flujo, es decir

EA zzgAQ = (2

Para conductos circulares

EA zzgDQ = (24

2

Donde D es el dimetro del conducto.

5.2 Orificios

Un orificio es bsicamente una abertura de forma regular (crculo, rectngulo, tringulo,

etc.), relativamente pequea, que se practica en la pared de un recipiente con el objeto

de extraer un gasto. Cuando el orificio tiene aristas delgadas, como se muestra en la

figura siguiente, se dice que es un orificio de pared delgada.



H Area del orificio (A)Area contraida (Ac)

Velocidad media (V)

Como las partculas en la proximidad de orificios se mueven en direccin aproximada

hacia el centro, debido a su inercia se produce una contraccin de la seccin transversal

del chorro. A esta seccin se le llama seccin contrada y tiene un rea Ac, la cual es

menor que el rea del orificio A.

Si el nivel del agua permanece constante, se puede aplicar el teorema de Torricelli para

calcular la velocidad media V, es decir

gHV 2=

Para tomar en cuenta las prdidas de energa y la variacin de velocidad en el rea

transversal del chorro, esta ecuacin se debe corregir mediante un coeficiente de

velocidad Cv, esto es

gHCvV 2=

La magnitud de este coeficiente se determina de forma experimental y en general su

valor es cercano a la unidad.

Para determinar el gasto, la velocidad simplemente se multiplica por el rea transversal

contrada del chorro (Ac), es decir

gHAcCvQ 2=

Si el rea contrada se calcula en funcin del rea del orificio, entonces

gHACcCvQ 2=



Donde Cc es el coeficiente de contraccin y resulta de dividir el rea del chorro entre el

rea del orificio, es decir

AAcCc =

Al producto CvCc se le conoce como el coeficiente de descarga Cd . As, entonces, al

sustituir en la ecuacin del gasto se tiene que

gHACdQ 2=

Los coeficientes de velocidad, contraccin y descarga son funcin exclusivamente del

nmero de Reynolds ( Re) y varan segn se muestra en la figura siguiente.

Variacin del CvCc, y Cd con el numero de Reynolds (Sotelo, 1979)

De acuerdo con diferentes investigaciones, para orificios circulares y para Re> 105, los

valores de estos coeficientes son

600.0605.0099.0

===

CdCcCv



La prdida de carga causada por un orifico es funcin solamente de la velocidad y se

calcula a travs de la siguiente ecuacin.

gvKhp 2

2

=

donde

11 2 = CvK

Cuando la descarga por un orificio se encuentra sumergida, tal como se muestra en la

figura siguiente, se dice que el flujo por el orificio ocurre con descarga sumergida.

H

En este caso el caudal se calcula de acuerdo a la expresin siguiente

HgACdQ = 2

donde

=Cd Coeficiente de descarga =A rea del orificio

=H diferencia de niveles Se recomienda utilizar el mismo coeficiente de descarga que el de un orificio a descarga

libre.



Cuando el contorno del orificio no tiene aristas afiladas, el orificio se conoce como

orificio de pared gruesa. En este tipo de orificio, como se muestra en la figura, el

chorro llena la totalidad de la seccin del orificio, una vez que se ha expandido.

DV

H

e

De manera similar a los orificios analizados anteriormente, la velocidad del chorro de la

descarga del orificio se calcula con la frmula siguiente

gHCvV 2=

Cuando 3/ =De , el valor del coeficiente Cv es igual a 0.82 y adems, como dimetro del chorro es igual al dimetro del orificio, entonces 1=Cc y por lo tanto CvCd = . La perdida de energa es entonces

gV

gVhp 2

49.02

182.01 22

2 =

=

Cuando 3>De , la friccin empieza a tener influencia y por lo tanto, el flujo en el orificio (formado por un tubo corto) debe considerarse como flujo en un tubo a presin.

En la siguiente tabla se presentan los coeficientes de descarga para diferentes tipos de

orificios de pared gruesa (fuente: Hidrulica General , Sotelo vila, 1979, editorial

Limusa).



D

e

.

.r = 0.3d

r = 0.3d

dC d = 0.952 (P op ow )

1.6d d

0 .7 d

7 5 '1 .1 9 d

2 dC d = 0 .9 3

E lip se0 .5 d

2 dC d = 0 .9 7

d1 .2 5 d

2 dC d = 0 .9 8 4

y1 .2 5 d

1 .3 6 6 d

4 5

dx

xxxy +

=14.014.0



5.3 Tubo Pitot

El tubo Pitot mide la velocidad en un punto, basado entre la diferencia de la presin de

estancamiento y la presin hidrosttica, tal como se muestra en la siguiente figura.

Aplicando la ecuacin de la energa entre A y B y considerando que no existen prdidas,

se tiene



pBB

BAA

A hgvpz

gvpz +++=++

22

22

Como la velocidad en B es cero, entonces

gvpp AAB2

2

+=

Donde Bp se conoce como presin de estancamiento.

Despejando Av , que es igual a la velocidad promedio v , se tiene

=

AB ppgv 2

De esta forma se determina la velocidad, con base en la diferencia de las cargas de

presin entre A y B. Esta velocidad, sin embargo, no es la real ya que se ignora la

prdida de carga debido a las caractersticas geomtricas y material con que est hecho

el tubo Pitot. Para tomar en cuenta estos factores, se introduce un coeficiente y de esta

manera se tiene que

=

AB ppgCv 2

en donde C se determina experimentalmente.

5.4 FLUJO EN TUBERAS

En el anlisis de flujo en tuberas es importante conocer el tipo de flujo, ya que de ello depende la seleccin del mtodo a utilizar.

5.4.1 Con respecto al tiempo

De acuerdo a la variacin temporal del flujo, este se clasifica en:

1. Flujo permanente o estacionario 2. Flujo no permanente o no estacionario 3. Flujo transitorio

Flujo permanente.- se presenta cuando las caractersticas del flujo como son velocidad y presin, permanecen constantes en el tiempo. Por ejemplo, el flujo en una tubera conectada a un tanque de carga constante, como el que se muestra en la figura siguiente



h = f(t)

hQ = cte

Flujo no permanente.- ocurre cuando las condiciones de flujo cambian continuamente en el tiempo, como es el caso del vaciado de recipientes a travs de un orificio, donde el nivel del lquido desciende continuamente hasta llegar al fondo y como consecuencia la velocidad y el gasto disminuyen hasta llagar a cero.

Q = ctehh

hh

h = f(t)

1

1

23

4

t2t3t4t

Flujo transitorio.- es un flujo de transicin entre dos flujos permanentes. Por ejemplo, el cerrar parcialmente una vlvula en una tubera por la que fluye un lquido a una velocidad, causa que el flujo cambie de su estado original a un estado final que depende de la abertura de la vlvula. Entre el estado inicial y el final, ocurre el rgimen de flujo transitorio y la velocidad cambia de Vo (velocidad inicial) a Vf. (velocidad final)

5.4.2 Con respecto al comportamiento

En el pasado se saba de la existencia de 2 tipos de flujo, los cuales se diferenciaban por su comportamiento. G. H. L. Hagen en 1840, haba identificado los principios y diferencias de estos dos tipos de flujo. Sin embargo, no fue sino hasta el periodo entre 1880 y 1884 en que Osborne Reynolds de la Universidad de Cambridge en Inglaterra, logr describirlos utilizando un aparato como el que se muestra esquemticamente en la figura siguiente.



Tinta

Tubo de vdrio

Vlvula

Al manipular la vlvula, Reynolds lograba controlar la velocidad del flujo en el conducto. Para velocidades bajas, observ que la tinta inyectada al caudal segua una trayectoria recta sin mezclarse con el lquido del flujo, como se muestra en la figura siguiente

Flujo

Tinta

Para velocidades intermedias, la trayectoria de la tinta comenzaba a ondular pero no se mezclaba con el lquido del flujo, como se muestra a continuacin.

Flujo

Tinta

Cuando las velocidades eran ms altas, la trayectoria de a tinta se volva ms inestable y esta inestabilidad se acercaba ms a la boquilla de inyeccin de tinta. Asimismo, en un punto dado la tinta se mezclaba con el fluido, como se muestra en la figura siguiente



Tinta

Flujo

Para velocidades todava ms grandes, la mezcla de tinta con el lquido del flujo se haca ms intensa y se estabilizaba en un punto cercano a la boquilla de extraccin de tinta.

Con base en estas observaciones, Reynolds defini los tipos de flujo de la siguiente forma:

Flujo Laminar.- cuando la tinta no se mezclaba por lo que se desarrolla de manera ordenada como si estuviera compuesto de capas que se desplazan a diferentes velocidades. En una tubera, el flujo se desarrolla en forma de cilindros concntricos, como se muestra en la siguiente figura

Flujo Turbulento.- cuando la tinta se mezcla completamente, se presenta intercambio de paquetes de fluido entre las masas que se mueven a diferente velocidad y las partculas siguen una trayectoria irregular y catica y no es posible distinguir patrones definidos de las velocidades por lo que se debe hablar de una velocidad promedio del flujo.

Nmero de Reynolds Osborne Reynolds demostr que se puede determinar si un flujo es laminar o es turbulento cuando se conoce la magnitud de un parmetro adimensional que depende de la relacin entre las fuerzas viscosas y las de inercia, es decir

A

FRe = (1) Donde

Re = parmetro conocido como nmero de Reynolds F = fuerzas de inercia = esfuerzo cortante entre las partculas del fluido en movimiento



A = rea de contacto entre las partculas

Las fuerzas de inercia se calculan de acuerdo a la segunda Ley de Newton(F = ma ) y el esfuerzo cortante como

yV

= (2)

Al sustituir en (1) se tiene

A

yV

maRe

=

(3)

pero como, Volm = y tVa

= , entonces

A

tVVol

Re

=

Asimismo,A

VolL = y tyV

= , entonces

VLRe = (4)

Donde L es una longitud caracterstica, que en el caso de una tubera corresponde al dimetro. Por lo tanto

/VDVDRe ==

pero como /= , entonces

VDRe = (5)

Cuando las fuerzas de inercia son mayores que las fuerzas viscosas, el nmero de Reynolds resulta relativamente alto. En este caso, para nmeros de Reynolds arriba de 3000, el flujo presenta rgimen turbulento.

Para nmeros valores del nmero de Reynolds inferiores a 2000, el tipo de flujo es laminar, lo cual significa que las fuerzas viscosas dominan.

En el rango de 2000 a 3000, no es posible distinguir el tipo de flujo, por lo que se considera flujo de transicin.

En un ambiente muy controlado, donde se tiene una cuidadosa minimizacin de las variaciones, es posible lograr un flujo laminar para valores del nmero de Reynolds de hasta 5000, sin embargo en la mayora de los casos esto no sucede y por lo tanto para fines prcticos, se supone los siguientes intervalos que definen el tipo de flujo:



Re O 2000, Flujo laminar Re P 3000, flujo turbulento

2000 < Re < 3000, flujo crtico

5.4.3 PRDIDAS DE CARGA

Un fluido, al desplazarse en el interior de un conducto, encuentra resistencia debido a la friccin con las paredes y entre la mismas partculas del fluido, as como a los obstculos (vlvulas, cambios de direccin, etc.) colocados a lo largo del conducto, lo que ocasiona, invariablemente, una disminucin en la energa disponible. A esta disminucin de energa se le conoce como prdidas de carga. Estas pueden ser distribuidas (por friccin), locales (causadas por accesorios).

5.4.3.1 Prdidas de Carga por Friccin

Las prdidas de carga por friccin se deben a viscosidad del fluido y a las colisiones, ya sea con entre partculas o con las paredes interiores del conducto. Cuando el rgimen de flujo es laminar, la viscosidad tiene un gran efecto en la definicin de prdidas de carga por friccin, ya que entre las capas o cilindros concntricos que forman este flujo, se desarrollan fuerzas que se oponen al movimiento. En fluj

hidraulica-basica.pdf

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