Introducción al Algebra Geométrica

para la computación gráfica

Presentado por el Lic. Eduardo Roa

Algebra Vectorial

Puntos

Segmentos

Vectores

Polígonos

Algebra Vectorial

Producto Escalar Producto Vectorial

Información del ángulo entrelos vectores

Vector perpendicular y área del paralelogramo

Algebra Vectorial

Aplicación en iluminación

Producto Vectorial

Producto Escalar

Números Complejos

Fractales

Números Complejos

Rotaciones en los complejos

Quaterniones

Tomb Raider, citado como el primer juego distribuido en masa que uso quaterniones para lograr rotaciones suaves en 3D

Quaternion

Inversa de un quaternion

Quaterniones

Rotaciones

Donde el eje de rotación es:

Algebra Geométrica

GA

Complejos

Quaterniones

Algebra Vectorial

Algebra Geométrica

BivectorDescribe la orientacion de un plano en termino de dos vectores, y su magnitud es el area del paralelogramo formado por los mismos

Algebra Geométrica

Orientación?

a

b

a

b

Algebra Geométrica

Sean dos vectores en R2

Área

Sean dos vectores en R3

Algebra Geométrica

e1

e2

e3

a

b

Algebra Geométrica

e1

e2

e3

a

b

e1

e2

e3

a

b

e1

e2

e3

a

b

Algebra Geométrica

Relación de las áreas

Sean dos vectores en R4

Algebra Geométrica

Producto Geométrico

Algebra Geométrica

Producto Geométrico de los vectores base

Sean dos vectores en R2

Algebra Geométrica

Algebra Geométrica

Algebra Geométrica

I como rotor

Algebra Geométrica

Reflexiones

a

n

a’

a.n

a.n

a

n

a’

apar

aper

-apar

Algebra Geométrica

a

n

a’

apar

aper

-apar

n es un vector unitario

Algebra Geométrica

a

n

a’

apar

aper

-apar

Pero aB = -Ba

Algebra Geométrica

Punto dentro de un triangulo

Algebra Geométrica

Trivectores Volúmenes

a

b

c

ab

c

c

a

b

Algebra Geométrica

Orientación de un punto y un plano

e1

e2

e3

A un bivector

P

T

p

t

Como A y v son paralelos:

Sea q en el espacio:

Algebra Geométrica

Inversa de un vector

Corta distancia de un punto a un plano

Algebra Geométrica

e1

e2

e3

A un bivector

Q

T

q

t

Pp

v

d

Como d es perpendicular A