EXPRESIONES EXPONENCIALES

Introducción

Una célula se reproduce partiéndose en dos; dos células se reproducen partiéndose en 4; 4 células se reproducen partiéndose en 8; 8 células se reproducen partiéndose en 16. Matemáticamente este hecho lo podemos expresar así: en la primera reproducción obtenemos 21 células; en la segunda reproducción obtenemos 22 células; en la tercera reproducción obtendremos 23 células; en la cuarta reproducción obtendremos 24

células. En la reproducción x obtendríamos 2x células. Es ahí donde nace la función exponencial.

Definición.

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.

Propiedades

Sean a y b reales positivos, entonces:

1.

2.

3.

4.

5. .

6.

EXPRESIONES LOGARITMICAS

Observemos que pasa cuando tomamos como base 10 y desarrollamos la expresión exponencial 10x

101 = 10 El exponente al que elevamos la base es 1

102 = 100 El exponente al que elevamos la base es 2

103 = 1000 El exponente al que elevamos la base es 3

104 = 10000 El exponente al que elevamos la base es 4

105 = 100000 El exponente al que elevamos la base es 5

106 = 1000000 El exponente al que elevamos la base es 6

Se define logaritmo de un número el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número. Así por ejemplo, si tomamos como base 10:

Logaritmo en base 100 de 10 es 2, porque 2 es el exponente al que hay que elevar 10 para que me de 100

Logaritmo en base 10 de 10000 es 4, porque 4 es el exponente al que hay que elevar 10 para que me de 10000

Logaritmo en base 10 de 1000000 es 6, porque 6 es el exponente al que hay que elevar 10 para que me de 1000000

El logaritmo se denota loga B = C Se lee logaritmo en base a de B es igual a C. Significa que aC = B, es decir, la base se eleva al logaritmo y da el número.

Observamos pues que las funciones exponenciales y las logarítmicas van relacionadas, dependiendo la una de la otra.

Entonces:

Las bases mas usadas.

Se puede usar cualquier base para trabajar con expresiones exponenciales y logarítmicas, pero las mas usadas son: la base 10 o logaritmo decimal y la base e (llamado número Euler = 2.7182……) o logaritmo natural. Los logaritmos decimales se denotan por log, así por ejemplo, log375 es el logaritmo en base 10 de 375 y corresponde al exponente que hay que elevar el 10 para que me de 375. Los logaritmos naturales se denotan como ln, así por ejemplo, ln62 se lee logaritmo natural de 62 y representa el exponente al que hay que elevar e para que me de 62

Propiedades de los logaritmos

. Por definición.

Por definición

Todo número elevado a la 0 da 1

Logaritmo de un producto

Logaritmo de una división

Logaritmo de un número elevado a un exponente

. Cambia de la base b a la base a

Observe que no hay una fórmula para expresar, logaritmo de una suma log(a+b), no tiene propiedad que permita resolverla

Operaciones con exponenciales

Ejemplo 1 con expresiones exponenciales: Simplificar

a. 5x.5x+2 = 5x+x+2= 52x+2 Se suman los exponentes

b. 2x.82x+1 = 2x(23)2x+1 = 2x.26x+3 = 27x+3

Resuelva los siguientes ejercicios de expresiones exponenciales

1. Simplificar 2x + 1 / 2-x

2. Simplificar (1 + 3x) / 2x + 1 / 6x

3. Simplificar ex(3e-x) + e-x

4. Simplificar (2e2x – 2) / 2ex * e2x / (ex + 1 )

Operaciones con logaritmos

Ejemplo 2 utilizar las propiedades con expresiones logarítmicas:

a. Desarrollar la expresión log(x2 / y3z4) = logx2 – log(y3z4) = logx2 – logy3 – logz4 =

= 2logx – 3logy – 4logz

b. Simplificar ln 5x – ln (6x+1) = ln (5x / (6x+1))

c. Transforme log3 8 a log10 log38 = log8 / log3

Resuelva los siguientes ejercicios de expresiones logarítmicas

5. Si loga 2 = 0.3016 loga 7 = 0.8451 Encuentre el valor de loga14

6. Exprese en forma mas simple ln(x+y) + ln(x-y) – 2lnx

7. Encuentre el valor de log38.log825/ln39 Para esto, transforme la operación en ln

8. Escriba como una ecuación logarítmica y4 = 25x3

Solución de ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es aquella en la cual la incógnita se ubica en el exponente

Ejemplo 3 de resolución de ecuaciones exponenciales:

a. 33(x+1) = 32(x+2) Como es la misma base, los exponentes tienen que ser iguales, así:

3(x+1) = 2(x+2) Se resuelve esta ecuación para x

b. 5(x + 1) + 5x = 750 Solución: 5x5 + 5x = 750 5x(5+1) = 750 5x = 750/6

5x = 125 5x = 55 x05

Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales

9. 3(x + 1) + 2.3(2 - x) - 29 = 0

10. 27x-1 = 9x-2

Solución de ecuaciones logarítmicas

En una ecuación logarítmica la incógnita está dentro del logaritmo

Ejemplo 4 Resolver para x las ecuaciones logarítmicas

a. log232 = x Solución: log225 = x x = 5

b. log3x = 4 Solución: 34 = x

c. logx16 = 4 Solución: x4 =16 4lnx = 16 lnx = 4 x = antiln 4

d. log(x+1) – log2x = log1 Solución: log(x+1 / 2x) = log1 x+1 / 2x = 1

e. log3(2x+3) – log3x = 2 Solución: log3(2x+3 / x) =2 2x+3 / x = 32

f. 5x-2 = 22x+1 Solución: ln(5x+2) = ln(22x+1) (x+2)ln5 = (2x+1)ln2

g. Log(x+1) – log(x-2) = log(x+3) Solución log(x+1 / x-2) = log(x+3)

x+1 / x-2 = x+3

Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas

11. Log(x-3) = ln(x-3)

12. Log(5x-1) – log(x-3) = 2

13. 2log2 (2x-1) -2log2x =log23

14. Ln(x+4)+ lnx = ln(x+1)

15. 125x/3 = 54x+1

16. (logx)2 = log x2

17. Loga(x+1) = 1 + logax

18. Log3(x-4) = 2