19_sesion 6.3 modelación con exponenciales y logaritmos (2)

7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)

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Matemtica Bsica(Ing.) 1

Sesin 6.3

Modelos Exponenciales


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&a'ilidades

#. (esuel)e pro'lemas donde los modelos se

descri'en por medio de funcionesexponenciales* + anali,a las posi'les soluciones

dentro del contexto del pro'lema presentado.

- Modelo de enfriamiento de e/ton.- Modelo de Inter0s Simple + !ompuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.

- Modelo de 1esintegracin (adiacti)a.


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kt

m

mte

TT

TT =

2

e+ del enfriamiento de e/tona le+ de enfriamiento de e/ton esta'lece 4ue el

cociente de diferencias de temperaturas real +m5xima decrece en forma exponencial

T0 = Temperatura inicial de un o'eto*

Tm = Temperatura del am'iente o medio circundante*

k = Constante positi)a 4ue depende del tipo de o'eto.

de donde:kt

mm eTTTtT

+= %%2

- Modelo de enfriamiento de Newton.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiacti)a.- Modelo de Inter0s simple + compuesto.


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7na tasa de caf0 tiene una temperatura de $2289 + se

coloca en una ha'itacin 4ue tiene una temperaturade 289. 1espu0s de #2 minutos la temperatura delcaf0 es de #;289.

a% 1etermine una funcin 4ue modele la

temperatura del caf0 en un tiempo t.'% !alcule la temperatura del caf0 despu0s de #;min.c%


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Eemplo $

7n hue)o cocido a temperatura de >68! se coloca

en agua de #68! para enfriarlo. !uatro minutosdespu0s la temperatura del hue)o es ?;8!.

1etermine el momento en 4ue el hue)o estar5 a

$28!.

- Modelo de enfriamiento de Newton.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiacti)a.- Modelo de Inter0s simple + compuesto.


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1iferentes tipos de intereses.

)1( rPA +=

nr

n

rPA

+= #

rtPeA=

nrPA )1( +=

Inter0s simple por un a@o

Inter0s compuesto capitali,a'le k

perodos por a@os.

Inter0s compuesto anualmente

Inter0s compuesto continuamente.

- Modelo de enfriamiento de e/ton.- Modelo de Inters simple y compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiacti)a.


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$.


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?. Dud+ tiene ;22 para in)ertir al >C de inter0s

anual compuesto cada mes.

;. Stephen tiene ;22 para in)ertir.

tasa de inter0s anual* compuesta trimestralmente*4ue se necesita para duplicar su dinero en #2a@os=

3. Suponga 4ue Fuan i in)ierte ;22 al C de inter0s

compuesto cada a@o. 1etermine el )alor de suin)ersin despu0s de #2 a@os.

- Modelo de enfriamiento de e/ton.- Modelo de Inters simple y compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiacti)a.


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6. Suponga 4ue aura in)ierte #22 al BC de inter0s

anual capitali,a'le deforma continua. 1etermine el)alor de su in)ersin al final de cada uno de los a@os#* $* G* .

- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inters simple y compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.-Modelo de desintegracin radiacti)a.


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a disciplina 4ue estudia la po'lacin se conoce comodemografa + anali,a el tama@o* composicin + distri'ucin

de la po'lacin* sus patrones de cam'io a lo largo de losa@os en funcin de nacimientos* defunciones + migracin* +los determinantes + consecuencias de estos cam'ios. Elestudio de la po'lacin proporciona una informacin deinter0s para las tareas de planificacin especialmente

administrati)as% en sectores como sanidad* educacin*)i)ienda* seguridad social* empleo + conser)acin del medioam'iente. Estos estudios tam'i0n proporcionan los datosnecesarios para formular polticas gu'ernamentales depo'lacin* para modificar tendencias demogr5ficas +

conseguir o'eti)os econmicos + sociales.Enciclopedia MicrosoftH EncartaH $223. #>>3"$22$ Microsoft !orporation.(eser)ados todos los derechos.

- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.-Modelos de Crecimiento poblacional.-Modelo de desintegracin radiacti)a.

Modelos de crecimiento


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7na po'lacin 4ue experimenta crecimientoexponencial crece segJn el modelo.

nt% K n2ert

donde:

nt% K Lo'lacin en un tiempo tn2 K Tama@o inicial de la po'lacin

r =Tasa relati)a de crecimiento expresadacomo una proporcin de la po'lacin%

t =Time

Modelos de crecimiento



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a po'lacin de una cierta especie de pe, )iene dada

por:

1onde t: a@os + nen millones.

Eemplo #

-Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.

-Modelo de desintegracin radiactiva.

a%

po'lacin de peces='%

d% Trace la gr5fica de la funcin nt%

( )t

etn 2#$.2#$=


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7n culti)o de 'acterias tiene inicialmente ;22

'acterias. M5s tarde un 'ilogo reali,a un conteomuestral en el culti)o + encuentra 4ue la tasa

relati)a de crecimiento es ?2C por hora.

a% Encuentre una funcin 4ue modele el nJmero de'acterias despu0s de thoras.

'%

horas=

c% Trace la gr5fica de la funcin nt%.

Eemplo $



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!ierta ra,a de coneos se introduo en una pe4ue@a

isla hace B a@os atr5s. a po'lacin actual deconeos en la isla se estima en ?222* con una tasa

de crecimiento relati)a de ;;C.

a% Encuentre una funcin 4ue modele el nJmero de'acterias despu0s de thoras.

'%

Eemplo 3



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7n culti)o de 'acterias tiene inicialmente #2 222

'acterias + el nJmero se duplica cada ?2 minutos.

a% Encuentre una funcin 4ue modele el nJmero

de 'acterias en el tiempo t.

'% Encuentre el nJmero de 'acterias despu0s deuna hora.

c% 1espu0s de cuantos minutos ha'r5 ;2*222

'acterias=

d% os4uee una gr5fica 4ue ilustre el crecimiento

de las 'acterias en funcin del tiempo t.

Eemplo ?



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1esintegracin radiacti)a

Todos los organismos )i)osa'sor'en car'ono radiacti)o* forma

inesta'le de car'ono 4ue tiene una)ida media de unos ;.32 [email protected] su )ida* un organismorenue)a de forma continua supro)isin de radiocar'ono al respirar+ al comer. Tras su muerte* elorganismo se con)ierte en un fsil +

el car'ono #? decae sin serreempla,ado. Lara medir la cantidadde car'ono #? restante en un fsil*los cientficos incineran unfragmento pe4ue@o para con)ertirloen gas de dixido de car'ono. Seutili,an contadores de radiacin paradetectar los electrones emitidos por

el decaimiento de car'ono #? ennitrgeno. a cantidad de car'ono#? se compara con la de car'ono#$* forma esta'le del car'ono* paradeterminar la cantidad deradiocar'ono 4ue se hadesintegrado + as datar el fsil.Enciclopedia MicrosoftH EncartaH $223. #>>3"$22$

Microsoft !orporation. (eser)ados todos los derechos.

- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.-Modelo de desintegracin radiactiva.


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1esintegracin radiacti)a

Se puede demostrar 4ue la masa mt% 4ue

permanece en el tiempo t se modela mediante lafuncin

mt% K m2ert

donde:

r = es la tasa de desintegracin expresadacomo una proporcin de la masa 4ue 4ueda%.

m2K es la masa inicial.



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a masa mt% 4ue 4ueda deNpu0s de t das de una

muestra de ?2 gramos de torio $3? est5 dada por

Eemplo #


( ) tetm 2$.2?2 =

a%

das='%


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El plutonio $#2 $#2Lo% tiene una )ida media de #?2

das. Suponga 4ue una muestra de sustancia tieneuna masa de 322 mg.

a% Encuentre una funcin 4ue modele la cantidad de

la muestra 4ue 4ueda en un tiempot.

'% !alcule la masa 4ue 4ueda despu0s de un a@o.

c%

a una masa de $22 mg=d% Es'oce una gr5fica 4ue represente la cantidad de

masa en funcin del tiempo.

Eemplo $



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Eemplo 3

Se anali, un hueso fsificado + se encontr 4ue

contena la mil0sima parte de la cantidad originalde !"#?. 1etermine la edad del fsil.

- Modelo de enfriamiento de e/ton.- Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiactiva.


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7n reactor de reproduccin con)ierte el uranio $3B*

relati)amente esta'le* en plutonio $3>* un istoporadiacti)o. Al ca'o de #; a@os* se tiene 4ue se ha

desintegrado 2.2?3C de la cantidad inicialAo* de una

muestra de plutonio. !alcule la )ida media de ese

istopo* si la rapide, de desintegracin esproporcional a la cantidad restante.

Eemplo ?



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Otros modelosa longitud* en centmetros de las truchas de

tmeses de edad se pueden aproximar mediante

una funcin de crecimiento de la forma

P Estime la longitud de la trucha al momento denacer.

P En el mercado internacional la trucha se compracuando tiene una longitud mnima de ?$*cm*estime cuanto tiempo de'e pasar para poderofertar un lote en el mercado internacional.

P Qrafi4uen f+ estime la longitud m5xima 4uepuede alcan,ar la trucha.

%>;6*2#B2% #B*2 texf =


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os alumnos de'en re)isar los eercicios del li'ro

texto gua.

Eercicios de la seccin 3.;

L5g. 3$2 " 333

Sobre la tarea,

est publicada en el ! Moodle.

Importante


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Suponga 4ue un culti)o de #22 'acterias se coloca

en una caa de Letri + el culti)o se duplica cadahora. Lrediga cu5ndo el nJmero de 'acterias ser5

de 3;2 222.

Suponga 4ue la )ida media de cierta sustancia

radiacti)a es $2 das + 4ue al inicio ha+ ; gramos.

1etermine el momento en 4ue 4uedar5 # gramo dela sustancia.

Eercicios adicionales

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