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Estudios Generales

NIVEL TÉCNICO OPERATIVO

CÓDIGO: 89001292

000977

SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

Matemática Parte I

DIRECCIÓN NACIONAL GERENCIA ACADÉMICA

MATEMÁTICA

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO. 5

UNIDAD 01

NÚMEROS NATURALES

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1.1. NÚMERO NATURAL. Definición. Un número natural es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de la naturaleza. Numeral. Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,..." son numerales arábicos, diferentes de los numerales romanos "I, II, III, IV, V,..." pero ambos representan los mismos números. Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11 es el tres binario pero el once decimal. 1.2. LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES. En la escritura de un número natural se debe tener en cuenta que la cifra forma un orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases, forman un período.

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ENTERO

S 4° Período

8° Clase 24° Orden Centenas de millar de trillón.

23° Orden Decenas de millar de trillón.

22° Orden Unidades de millar de trillón.

7° Clase

21° Orden Centenas de trillón.

20° Orden Decenas de trillón.

19° Orden Unidades de trillón. 3° Período

6° Clase 18° Orden Centenas de millar de billón.

17° Orden Decenas de millar de billón.

16° Orden Unidades de millar de billón.

5° Clase

15° Orden Centenas de billón.

14° Orden Decenas de billón.

13° Orden Unidades de billón.

2° Período

4° Clase 12° Orden Centenas de millar de millón.

11° Orden Decenas de millar de millón.

10° Orden Unidades de millar de millón.

3° Clase

9° Orden Centenas de millón.

8° Orden Decenas de millón.

7° Orden Unidades de millón.

1° Período

2° Clase 6° Orden Centenas de millar.

5° Orden Decenas de millar.

4° Orden Unidades de millar.

1° Clase

3° Orden Centenas simples.

2° Orden Decenas simples.

1° Orden Unidades simples.

Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a partir de la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin usar ningún otro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:

79 142 031 789 358.

TRILLONES BILLONES MILLONES UNIDADES

MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD

C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U

24º23º 22º 21º 20º 19º 18º17º16º15º14º13º12º11º10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8

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Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un millones, setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho unidades.” Aplicaciones: 1: Aún recordando, se realizarán los ejercicios siguientes: Escribir cómo se lee cada número: a) 4 121

.................................................................................................................. b) 20 305

................................................................................................................ c) 2 000 000

........................................................................................................... d) d) 5 001 008

...................................................................................................... 2: Leer y escribir con cifras cada número: a) Tres mil cinco

................................................................................................... b) Cien mil cuarenta y

dos.................................................................................. c) Un millón trescientos mil

................................................................................ d) Dieciocho millones tres mil uno

........................................................................ e) Seis millones quince mil

.................................................................................... f) Doscientos tres millones cuatro mil uno

…….................................................... 3: ¿Qué número está formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM? a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014 e) 2048014 4: Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es: a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763

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5: ¿Cuántas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM? a) 75 560 b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560 e) 74 560 6: ¿Cuántas Decenas forman Dos Millares? a) 20 b) 200 c) 2000 d) 2 e) 0,2 7:¿Cómo se puede escribir el producto de: 345x11? a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA 1.3. OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES. 1.3.1. ADICIÓN.

Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a y b la cual se denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S. Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a ; b) su suma a + b. Ejemplo 1:

15 + 17 = 32 Ejemplo 2:

7 + 8 + 13 = 28 Aplicación 1:

Si: a + b + c = 15, hallar: abc + bca + cab Rpta: 1665

Aplicación 2: Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal.

Rpta: 494550

Sumandos Suma

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Suma notables:

I) Suma de los “n” primeros números naturales.

S = 1+2+3+4+ ....+n 2)1n(nS +

=

Ejemplo:

1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25 ( ) 325

212525S =

+=

II) Suma de los “n“ primeros impares.

S = 1 + 3 + 5 + …….... + n

2

21nS ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

Ejemplo:

1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39 4002

139S2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

III) Suma de los “n” primeros pares.

S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n ( )1nnS +=

Ejemplo: 2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20 ( ) 11011010S =+=

n = 25

n = 39

n = 10

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1.3.2. SUSTRACCIÓN. Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D. Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a ; b) su diferencia a - b. Ejemplo 1: 235 - 140 = 95 Aplicación 1: Si, a4b - 3c5 = 418; Hallar: a + b – c

Rpta: 8 Propiedades de la sustracción: 1. Si se suma o resta un mismo número natural al MINUENDO y al

SUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA.

2. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO, la DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.

3. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL SUSTRAENDO, la

DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa misma cantidad.

4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO. S + D = M

5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL MINUENDO.

M + S + D = 2M Aplicación 1: La diferencia de dos números es 305, si al menor se le quita 20 y al mayor se le aumenta 85 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 410

MINUENDO ( M )

SUSTRAENDO ( S )

DIFERENCIA ( D )

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Aplicación 2: La diferencia de dos números es 157, si al menor se le aumenta 48 y al mayor se le quita 31 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 78 Aplicación 3: La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo? Rpta. : 239 1.3.3. MULTIPLICACIÓN. Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la cual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P. Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a ; b) su producto a.b. Ejemplo 1:

18 x 15 = 270 Ejemplo 2: Aplicación 1: El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al multiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de cifras del multiplicador? Rpta. 7.

Multiplicando Multiplicador Producto

7 3 4 x

4 6

4 4 0 4

2 9 3 6

3 3 7 6 4

Multiplicando

Multiplicador

Productos parciales

Producto final

7 3 4 x 6

7 3 4 x 4

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Aplicación 2: El producto de dos factores es 74495, si se aumenta en 23 unidades al multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del multiplicador? Rpta. 11. POTENCIACIÓN. Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces.

an = a x a x a x .………a = P Potencia de exponente cero: a0 = 1 siempre que a ≠ 0 Nota: 00 = no está definido. Ejercicio mental: Resolver las siguientes operaciones mentalmente.

23 = ….. 34 = ….. 112 = ….. 162 = …..

33 = ….. 54 = ….. 122 = ….. 172 = …..

43 = ….. 25 = ….. 132 = ….. 182 = …..

53 = ….. (14+17)0 = ….. 142 = ….. 192 = …..

24 = ….. (2X3 – 6)0 = …. 152 = ….. 202 = …..

“n” veces a

Elementos de la potenciación, donde: a: es la base n: es el exponente P: es la potencia perfecta de grado n.

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1.3.4. DIVISIÓN. Definición. Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b,

se denota ba

, al número natural c, si existe, tal que a = b.c.

Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares

de números naturales (a; b) su cociente ba

.

Elementos de una división: Dividir 104 entre 11 Además: 104 = 11. (9) + 5 Clases de división: • Exacta (residuo = 0). • Inexacta (residuo ≠ 0).

• En donde : 9 + 2 = 11 r(defecto) + r(exceso) = divisor

104 11

99 9

5

Dividendo (D) Divisor (d)

Residuo (r)

Cociente (q)

Algoritmo de la división

28 70 4

D d0 q

28 = 7. (4) D = d.q

75 = 11.(6) + 9

75 119 6

75 112 7

75 = 11.(7) - 2

Defecto: Exceso:

Residuo por defecto Residuo por exceso

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En general: Propiedades de la división: • Si: r = 0, la división es exacta.

• Algoritmo de la división: D = d. (q) + r

• Residuo máximo : r(máx) = ( d - 1 )

• Residuo mínimo : r(min) = 1

• r(defecto) + r(exceso) = divisor

• residuo < divisor

• Si se multiplica o divide el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un mismo número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA, pero el RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número natural.

Aplicación 1: El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al dividendo y se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterar el residuo ¿Cuál es el divisor de la división? Rpta.: 16 Aplicación 2: El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo y se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo disminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor? Rpta: 6

Defecto: Exceso:

D dr q

D dr* q + 1

D = d.(q) + r D = d.(q + 1) - r*

D dr q

D.k d.kr.k q

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1.3.5. RADICACIÓN. Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así se tiene:

Resolver los siguientes ejercicios:

=64 =3 8 =4 16 =1600

=81 =3 64 =4 81 =3 27000

=144 =3 125 =4 625 =4 810000

=169 =3 1000 =4 1210 =×3 278

1.3.6. OPERACIONES COMBINADAS.

• Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los

signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.) Ejemplo:

( )[ ] 63338 ÷+×−

= [ ] 6335 ÷+×

= [ ] 6315 ÷+ = 618 ÷ = 3

TÉRMINOS DE LA RADICACIÓN

KRRK nn =⇔=

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• Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en el siguiente orden :

o Primero: La potenciación o radicación. o Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que aparecen)

“de izquierda a derecha” o Tercero: Adición o Sustracción.

Ejemplo: 32 : 8 + 6 x 5 = Observar, con atención, las operaciones indicadas.

4 + 30 = Fueron efectuados: la división (32:8) y la multiplicación (6 x 5).

34 = Finalmente, fue efectuada la suma (4 + 30). Resolver la expresión:

45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 = La respuesta debe haber sido 231; sino, corregir lo que hizo. No olvidar que cero veces cualquier numeral es cero. 7 + 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 = Observar paréntesis.

= 7 + 3 x ( 40 – 36 ) – 23 = Fue efectuada la multiplicación contenida en los paréntesis (9 x4).

= 7 + 3 x 4 – 23 = También fue hecha la resta: (40 – 36)

= 7 + 3 x 4 – 8 = Fue efectuada la potencia 23.

= 7 + 12 – 8 = Fue realizada la multiplicación: (3 x 4) = 19 – 8 = Se realizó la suma ( 7 + 12 ) = 11 Finalmente, fue hecha la resta: (19 – 8)

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EJERCICOS

Resolver las siguientes operaciones combinadas:

OPERACIÓN COMBINADA RESPUESTA

( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 =

6 x 8 + 13 - 9 =

250 x 2 + 32 + 4 x 5 – 6 + 73 =

12 x 22 + 32 x 42 + 52 =

PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS.

Ejemplo: Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de 5 m se podrán obtener?

20m 5m 100pedazos de Nº == pedazos de 5 m c/u

Número de cortes Número de estacas

LÍNEA ABIERTA

Nº cortes = 1−unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = 1+unitaria Longitud

total Longitud

LÍNEA CERRADA

Nº cortes = unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = unitaria Longitud

total Longitud

unitaria LongitudTotal Longitudpartes =

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Ejemplo (LINEA ABIERTA): 1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si

cada árbol están separados 50 m? 2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios

realizar para obtener trozos de 50 m? Ejemplo (LINEA CERRADA): 1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro

es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m? 2. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán

necesarios realizar, para obtener trozos de 5 m?

Nº de cortes = 520 = 4

cortes

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº árboles = 150200

+

= 4 + 1 = 5 árboles

(estacas)

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº cortes = 150200

−

= 4 - 1 = 3 cortes

1º 2º 3º

CORTES

50 m

50 m 50 m

50 m Perímetro = 200 m (Longitud total)

Nº de árboles = 50200

= 4 árboles (estacas)

5 5

5 5 13

2

4cortes

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PROBLEMAS: 1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde

cada corte pierde 641 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene?

a) 193 b) 235 c) 195 d) 425 e) 194

2. Dividir una barra de Hierro 8"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada

corte 321 “¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 3” b) 5” c) 2” d) 4” e) 1” 3. Dividir una barra de bronce de 137 m en trozos iguales de 35 cm.,

perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto material sobra?

a) 342; 30cm b) 142; 30cm c) 342; 20cm d) 352; 30cm e)12; 30cm

4. Dividir una barra de cobre 8"110 en trozos iguales de 2”, se pierde en cada

corte 321 ”. ¿Cuántos cortes se obtiene?

a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 1

Número de = Número - 1 Cortes de partes Número de = Número - 1 espacios de puntos

LÍNEA ABIERTA

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1.4. PLANTEO DE ECUACIONES. Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje común a lenguaje matemático, por ello es que debe detenerse a reflexionar sobre algunos aspectos de este lenguaje. El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones. El lenguaje matemático está conformado por diversos símbolos. A través de la combinación de estos se puede representar diversidad de situaciones SUSCEPTIBLES de ser representados matemáticamente; esto quiere decir que no todo aquello que pasa diariamente puede ser representado en forma matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda está alegre, no puede representarse de la manera mencionada; en cambio la expresión: El dinero de Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguaje matemático es para ser usado fundamentalmente en todo aquello que sea MEDIBLE y CUANTIFICABLE. Ejemplo: ¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18, y dividir dicha suma entre 19 se obtiene 2 como resultado?

¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre? x

si al multiplicarlo por cuatro 4x

añadirle 18 4x + 18

y dividir dicha suma entre 19 19

184 +x

se obtiene =+

19184x

2 como resultado? 219

184=

+x

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Resolviendo la ecuación:

219

184=

+x

)19.(2184 =+x 18384 −=x

204 =x 5=x

TEORÍA ADICIONAL: Operaciones fundamentales con fracciones:

a. Conversión de un número mixto a Fracción: D

NDEDNE +×

=

b. Suma de Fracciones: ( ) ( ) ( )( )[ ]usqMCMM

tuMrsMpqMut

sr

qp

,,=÷+÷+÷

=++

c. Número natural.

d. Ejemplos: 2 y 5 son números naturales. Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o partes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las operaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

÷

x

=

+ 5+1,000 x b0 =

5

+1

Exponente +1 Se completa con ceros la parte decimal

Parte variable

El denominador es +1

Signo +

+ 2+1,000 x a0 = 2

+1

La coma divide la parte entera de la parte decimal.

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NOTA. Si se da cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas estas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo, a la derecha de la coma redondear con CEROS y al último parte variable elevado a la potencia CERO que equivale a uno. En esta época, siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar sumas, restas, multiplicar y/o dividir. e. Reducción de fracción de fracciones : Ejemplos:

a. 81

241

6413

1643

643

=×

=××

== b. 5,4214

29

4163

6413

643

===××

==

c. 5,7217

215

42203

20423

===××

=

Problemas que tengan relación Parte – Todo: Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras? *¿Qué parte de 27 es 9? 9 / 27 <> 1 / 3 *¿Qué fracción de b es c? c / b *¿M representa que fracción de N? M / N

Es importante esta teoría base para hacer las 4 operaciones de fracciones. ( ÷×−+ ,,, ) cb

da

dcba

××

=

Cantidad de partes iguales que se han tomado.

Cantidad de partes iguales en que se han dividido a la unidad

f = Qué Fracción o

Qué Parte

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*¿Q que fracción representa respecto de P? Q / P *¿Qué fracción es 24 respecto de 60? 24 / 60 <> 2 / 5 *¿Qué fracción es “a” respecto de “b”? a / b *¿Qué fracción es “b” respecto de “a”? b / a *¿Qué parte representa 11 de 33? 11 / 33 <> 1 / 3

ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA:

Enunciados Expresión Matemática Forma verbal Forma Simbólica

1) La suma de 2 números consecutivos más 3. ( ) ( ) 31 +++ xx

2) Yo tengo 20 más que tú Yo: 20 + x Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes Tu: x

3) A es el doble de B A = 2B A es 2 veces B A = 2K

B es la mitad de A B = K A tiene una vez más de lo que posee B B = K ; A = 2K

4) A es 2 veces más que B ó A = 3B A = 3X A es 2 veces mayor que B B = X

5) A es a B como 3 es a 5 ó 53

=BA

La relación entre A y B es 3/5 ó A = 3k

A y B están en la razón de 3 a 5 ó B = 5k

A es a 3 como B es a 5

6) El cuadrado de la suma de 2 números ( )2yx +

7) La suma de los cuadrados de 2 números 22 yx +

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8) El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20 204 +y Tengo : y

9) El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20 ( )204 +y Tengo : y

10) A excede a B en 4 ó 4=− BA A es mayor que B en 4 ó 4+= xA

El exceso de A sobre B es 4 xB =

11) Tres menos 2 veces un número X x23−

12) Tres menos de 2 veces un número X 32 −x

13) El producto de 5 números consecutivos es m. ( )( )( )( ) mxxxx =+++ 421 ó

( )( )( )( )( ) maaaaa =++−− 2112

14)

Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules. 4

3=

AR

kR 3= ; kA 4=

1.4.1. ECUACIONES DE 1ER GRADO. Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas. Propiedades de las ecuaciones: 1. Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuación una cantidad

constante, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera.

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2. Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación por una

cantidad constante diferente de cero, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X Solución: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X

2X + 3X + 1X = 140 – 20 6X = 120

X = 120 / 6 X = 20

Ejemplos de aplicación: Resolver las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:

1. 414 −=− xx

2. 631209740 −=+ xx

3. )3(2)5(5)12(4)1(3 −−+=−++ xxxx

4. xx+=+

21

21

5. 24

352

41 xx +=+

6. 65

223

2+

−=+

− xx

7. 2)12(312)1(

21

−−=+− xx

8. ( ) ( ) 303

17554

32

+−

+=+−xxxx

9. ( ) ( ) 46325

23

21

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++ xxx

10. ( )[ ] ( )[ ]12261142313 +−−−=++−− xx

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Problemas de Aplicación: Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de primer grado. Es importante leer el problema 2 o 3 veces hasta comprenderlo, hacer el planteamiento y resolver. 1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para

seguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno habría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó S/. 13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús?

2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Hallar esos números.

3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro en su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarle?

Comprobando respuestas: 1. El autobús tenía 39 asientos. 2. Los números son 18, 20 y 22. 3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos. SISTEMAS DE ECUACIONES. En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que se reemplaza en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. Método de Sustitución: El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la se ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en la que se podrá seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, suponiendo que se quiere resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, se selecciona la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja, obteniendo la siguiente ecuación:

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación se obtiene el resultado , y si ahora se substituye esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se obtendrá

, con lo que el sistema queda ya resuelto.

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Método de Igualación. El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si se despeja la incógnita en ambas ecuaciones queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que se puede afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y se puede obtener el valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la y, que además ya se encuentra despejada. Método de Reducción. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que se obtengan dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

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Por ejemplo, en el sistema

no se tiene más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación queda así:

Si se suma esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así

que el valor de es igual a 3

17 .

Ejercicios de Aplicación: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres métodos.

1) 52

152−=−

=+yxyx

2) 6843

4=+

=−yx

yx

3) 1132

514−=

−=ba

ba 4) 0113503427

=++=+−

nmnm

5) yx

yx9397

35=−

+=

6) [ ] 1218)2()2(

−=−−−=−−+

xyxyxyx

7) ( ) ( )( ) ( ) 32172

25127−=−+−−=−+−

yxyxxy

8) [ ] [ ]

43145,102743

=−−=−+−

yxyxyx

-4x - 6y = -10

5x + 6y = 4

x = - 6

+

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1.4.2. ECUACIONES DE 2DO GRADO. Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma.

02 =++ cbxax . Donde no se anula a Si se observan los coeficientes b y c, se pueden clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes. Número de soluciones: Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.

Se denomina discriminante acb 42 −=Δ , en función del signo del discriminante se conocerá el número de soluciones de la ecuación, así: • Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución. • Si el discriminante es 0 hay una solución. • Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones. Ejemplo de Aplicación 1: ¿Cuántas raíces tiene la ecuación 0898 2 =−− xx ? a) Ninguna solución b) Una solución: x = c) Dos soluciones: x1 = ; x2 =

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Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0. Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0, despejando se llega:

Ejemplos:

• •

Ejemplo de Aplicación 1:

La ecuación 092 =−x a) No tiene solución b) Tiene una solución x = c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0. Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0. Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0; ax + b = 0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a. Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las soluciones es x=0 Ejemplo:

• •


Resolver la ecuación

Soluciones x1= x2=

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Ecuación de segundo grado completa. Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos. Para resolver estas ecuaciones se aplica la fórmula:

Ejemplo:


La ecuación 0962 =−−− xx

a) No tiene solución b) Tiene una solución x = c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 = PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO. 1. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m y

su área es 286m2.

El lado mayor mide m y el menor m

2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años

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3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese caminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?

El deportista ha caminado horas 4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la

edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años

5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber

comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos. ¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?

Compró objetos a un precio de euros

6. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m y

su área es 144m2. El lado mayor mide m y el menor m

Comprobando respuestas:

1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m 2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años 3) Ha estado caminando 8 horas 4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años 5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros 6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m

Resolver: 1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y un

par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía S/ 1 000?. Rpta. S/. 232

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2. Se gastó S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún

se tiene el doble de la cantidad que se gastó? Rpta. S/. 579

3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos

decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás? Rpta. 5 cajas

4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial de S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el valor de cada letra?

Rpta. S/. 540

5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació? Rpta. 1922

6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el

triple del residuo. ¿Cuál es el dividendo? Rpta. 416

7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 117. ¿Cuántos cuadernos se

podrán comprar con S/ 78? Rpta. 8 cuadernos

8. Se dio un cheque de S/. 200, para pagar 9 metros de alambre, se

recibió de vuelto S/ 20. ¿Cuánto se pagó por el metro de alambre? Rpta. S/. 20

9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los

75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones recibió cada uno si aún sobran 15 bombones?

Rpta. 3 bombones

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10. Con S/. 2 340 se podrán comprar 4 casacas ó 9 camisas. ¿Cuál es la

diferencia de precio entre una casaca y una camisa ? Rpta. S/.

325

11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia la pérdida de corte).

Rpta. 172 mm

12. Un aprendiz hizo 58 tornillos en una semana y 49 tornillos en otra, en total, 29 estaban con defecto ¿Cuántos tornillos perfectos entregados al final?

Rpta. 78 tornillos

13. En cierta fábrica hay 10 máquinas .Cada Máquina produce 30 piezas por hora. ¿Cuál es la producción de esa fábrica en 8 horas?

Rpta. 2 400 piezas

14. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 48 y 36. Si se multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división, el cociente queda multiplicado por 26 y el resido no se altera. ¿Cuál fue el dividendo inicial? Rpta. 900

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si reparto mis S/. 250 entre mis hijos, sólo me queda S/. 2; pero si accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/. 126; ¿Cuántos hijos tengo?

A) 10 B)1 C)6 D)4 E)8 2) Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144

contiene a dicho número. Calcular el doble del número. A) 96 B) 48 C) 24 D) 12 E) 192

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3) Andrés sube hasta el 5° piso de un edificio, luego baja al 2° y vuelve a subir al 4° piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12 peldaños

¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés? A)60 B)90 C)72 D)84 E)108 4) Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar

frente a una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la longitud del túnel.

A)5 000 m B)6 000 m C)5 800 m D)3 800 m E)4 500m 5) En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo

que debía, costándole así cada artículo S/.2 más de lo normal. ¿Cuántos artículos compró?

A)10 B)8 C)12 D)16 E)20 6) Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar

un túnel de 500 m? A)35 s B)14 s C)10 s D)16 s E)12 s 7) En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132

cabezas y 420 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

A)10 y 25 B)54 y 78 C)98 y 34 D)13 y 22 E)200 y 32

8) Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar cada uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el segundo S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor pagado?

A) S/.11 B)S/13 C)S/.5 D)S/.12 E)S/.8

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9) Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54

monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones adquieran el mismo peso.

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene

como residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número.

A)9 B)10 C)8 D)7 E)6

SOLUCIÓN

1) C/U : S/ .x Sobrarían: S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126

8 31

2250 º

31 x 126 2 4x

=−

=

=⇒=+⇒

hijosdeN Clave: E

2) Sea “ x” el numero , entonces :

96 2(48) : es número del doble El

48 x

304 2 x14428

2

=∴=

=⇒=x

x

Clave: A

3) * Cuando asciende al 5to piso sube: 12 x 4 = 48 peldaños * Cuando desciende hasta el 2do piso baja: 12 x 3 = 36 peldaños * Cuando asciende hasta el 4to piso sube: 12 x 2 = 24 peldaños * Finalmente, lo que ha subido en total será:

48 + 24 = 72 peldaños Clave: C

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4) Clave: C 5) pagar debía que lo : n x a Sea

Costo por Nº de artículos

cada artículo Luego a x n + 24, lo que pagó.

12 n 2 a n24

nan

artículo cada costó que lo 24

=⇒+=+⇒

+⇒

nna

artículos 12 Compro ∴ Clave: C 6) túnel + tren = para que pase por el túnel 500 + 200 =700

s 14 s

m 50 m 700==t Clave: B

7) Nº de cabezas = 132 Suponiendo que los 132 son conejos patas 528 x4132 =⇒ Se observa un exceso de patas de 108 veces 54 2 108 =÷⇒ , para convertir ese exceso en gallinas Finalmente: Número de gallinas: 54 Número de conejos: 132 – 54 = 78 Clave: B 8) 1er obrero = S/.143 ⇒ recibe S/.55 más que el 2do 2do obrero = S/. 88 Nº de días trabajados será: S/.55 ÷ S/.5 = 11 1er obrero = S/.143 ÷ 11 = S/.13 2do obrero = S/. 88 ÷ 11 = S/.8 Clave: E

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9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g

Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g ⇒ Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g

Al intercambiar el mismo número de monedas, cada montón debe pesar: 2190 ÷ 2 = 1095g Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en: 25 – 10 = 15g Luego, para que aumente: 1095- 840 = 255g

Se debe intercambiar: 255 ÷15 = 17 monedas Clave: D 10) Sea N el número, entonces:

N 83 3q q

2786 27 " q" para obtiene se N número mayor El

27,6 q q 86 N 83 3q 383

xN

qqN

=⇒=

∠∧=∠∧+=⇒

N = 2322 Clave: A

92232 =+++=∴ cifrasdeSuma

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PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES I. Ejercicios: 1. Resolver x:

a) 6 + x = 18 b) 18 - x = 14 c) x - 6 = 24

d) b + x = 18 e) d - x = 14 f) x - 3 = 24

g) b + x = a h) d - x = c i) x - e = a

2.

a) 14 = 7 + x b) 10 = x + 14 c) 1 = 6 - x

d) m = 7 + x e) r = x + 4 f) z = 6 - x

g) m = k + x h) r = x + v i) z = 1 - x

3. Resolver cada una de las letras:

a) a + b = c b) k - d = v c) 1 + m = - d

d) l1 + l 2 = L e) g1 + g2 = G f) F1 + F 2 =

F3

g) R1 = R – R2 h) C2 = C – C2 i) t = t1 + t2

4. a) a + b = 86 b) c - t = - 65 c) F - G = 80

d) 684 - G = 65 + K e) 456 + H = Z – 65 f) W - 45 = 32 + 14

g) -24 + F = 36 + x h) V – 18 = - 42 + L i) -16 + W = Z + 36

5. Un cuarto tiene una longitud de 4,25 m. Otro cuarto es 1,12 m. más corto. ¿Qué longitud tiene éste?

6. Los tres lados de un triangulo tiene una longitud total de 318 mm.

Calcular la base cuando los otros dos lados tienen una longitud de 114 mm y 62 mm respectivamente.

7. Antes de comenzar un viaje, el cuentakilómetros de un automóvil marca

312,4 km. Terminado el viaje indica 618,7 km. ¿Cuántos kilómetros se ha viajado?

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.TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES II. 1. Resolver x:

a) 3x = 24 b) 9x = 36 c) 56 = 7x d) 3x = A

e) 9x = F f) 56 = F . x g) b . x = A h) p . x = F

2.

a) 0,3 x = 3 4

b) 9x = 36 4 c) 51 = 17x

3 d) 0,2 x = A

e) 9x = R 4 f) 51 = G . x

L g) B . x = A h) Q . x = R

4

3. Hay que cortar un hierro plano de 1,85m de longitud en una relación de 2:3. Calcular las longitudes parciales.

4. La altura de una tuerca hexagonal es de 28,8 mm. Esta dimensión es 8/10 del diámetro del tornillo. ¿Qué tamaño tiene el diámetro?

5. Un trecho es 12 m más largo que otro; la suma de ambos es de 48m

¿Cuál es la longitud de los trechos?

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1. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces

el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cuál es el cociente de dicha división?

A)26 B)15 C)5 D)10 E)20 2. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al

dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32 3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a

cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?

A)S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280 E)S/.310 4. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta

S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas .¿Cuántos participaron en la compra?

A)18 personas B)36 personas C)6 personas D) 12 personas E)20 personas 5. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14

soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?

A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9

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UNIDAD 02

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

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2. NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros se pueden clasificar en: Números enteros negativos Z - = { }1;2;3...... −−−

El cero y Números enteros positivos Z+ = { };.........4;3;2;1

2.1. DIVISIBILIDAD. Un número entero A es divisible por otro numero entero positivo B si al dividirlos, el cociente resulta exacto.

Si A B 0 k entonces “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además, por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es un número entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “

Ej.

1) ¿20 es divisible por 4? Sí, porque: 20 4 0 5 Luego, se cumple que: * 20 es divisible por 4. * 4 es un divisor de 20. * 4 es un factor de 20. * 20 es un múltiplo de 4. 2) ¿0 es divisible por 3? Sí es, porque: 0 3 0 0

Luego, se cumple que: * 0 es divisible por 3. * 3 es un divisor de 0. * 3 es un factor de 0. * 0 es un múltiplo de 3. 3) ¿- 42 es divisible por 7? Sí es, porque: - 42 7 0 - 6 Luego, se cumple que: * - 42 es divisible por 7. * 7 es un divisor de – 42. * 7 es un factor de - 42. * - 42 es un múltiplo de 7.

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4) 15 no es divisible por 0. (V) (F) Verdadero, porque por definición el divisor debe ser diferente de cero.

5) 36 no es divisible por - 9 (V) (F) Verdadero, porque el divisor debe ser positivo.

Ej. Hallar todos los divisores de: 8 y 18 D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8 D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18 2.2. MULTIPLICIDAD. Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si se cumple que A = B . K donde K es un número entero.

Ej. Responder las siguientes preguntas.

1) ¿15 es múltiplo de 3? Sí, porque 15 = 3 × 5 y 5 es un número entero. 2) ¿- 12 es múltiplo de 4? Sí, porque - 12 = 4 × - 3 y - 3 es un número entero. 3) ¿Cero es múltiplo de 5? Sí, porque 0 = 5 × 0 y 0 es un entero. 4) ¿5 es múltiplo de cero? No, porque 5 = 0 × K, no hay ningún número entero que multiplicado por cero nos de 5. 5) ¿8 es múltiplo de - 2? No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un entero negativo.

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Si un número A es múltiplo de B, su notación será:

A = B.K donde K es un número entero ó A = 0B y se leerá “A es

múltiplo de B “.

Ej. 1) 20 = 05 ó 20 = 5.K

2) 18 = 03 ó 18 = 3.K

3) 0 = 0

2 ó 0 = 2.K

donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;……….. Ej. Hallar los múltiplos de 3 y de 5. Eso se escribirá 3K y 5K, entonces: M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 …….. M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ……… RELACIÓN ENTRE UN MÚLTIPLO Y UN DIVISOR:

Ej. Entre 24 y 6 múltiplo 24 6 divisor

Ej. Entre 9 y 27. divisor 9 27 múltiplo

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CUANDO UN NÚMERO NO ES DIVISIBLE POR OTRO. Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B , entonces , eso se puede expresar de dos maneras :

A = 0B + rd ó A =

0B - re

Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de la división de A entre B, además, recordar que:

rd + re = divisor Ejemplo: 1) 15 no es divisible por 2 porque 15 2 1 7 Entonces:

15 = 02 + 1

ó 1 + 1 = 2

15 = 02 - 1

3) 26 no es divisible por 7 porque 26 7 5 3 Entonces:

26 = 0

7 + 5 ó 5 + 2 = 7

15 = 0

7 - 2


23 = 05 + 3

ó 3 + 2 = 5

15 = 05 - 2


520 = 0

12 + 4 ó 4 + 8 = 12

520 = 0

12 - 8

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PROPIEDADES: 1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.

2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.

3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor, el mismo número.

4) El cero es divisible por todo número entero positivo.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

Divisibilidad por 2n.

Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número debe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.

Divisibilidad por 21 = 2: Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser divisible por 2, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es divisible por 2.

b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.

c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.

Divisibilidad por 22 = 4: Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y 24 es divisible por 4.

b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es divisible por 4.

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c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible por 4.

Divisibilidad por 23 = 8.

Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número debe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.

Ejemplos.

a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y 136 es divisible por 8.

b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero es divisible por 8.

c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es divisible por 8.

Divisibilidad por 5n.

Para que un número sea divisible por 5n, las “n” últimas cifras del número debe de ser múltiplo de 5n, o terminar en “n” ceros.


Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser múltiplo de 5, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es divisible por 5.

b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.

c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5,

además 7 = 05 + 2, entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como

residuo 2.

MATEMÁTICA



Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número debe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son ceros.

b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es divisible por 25.

c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es

divisible por 25, además 88 = 0

25 + 13, entonces al dividir 257 088 entre 25, se obtendrá como residuo 13.

Divisibilidad por 3.

Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número dé un número que es divisible por 3.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.

1) 2 358, 2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 03 por lo tanto, si es divisible por 3.

2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3.

Además, 13 = 03 + 1 lo que significa que al dividir 283 entre 3 el

residuo debe ser 1.

3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3, además, 17 = 03 + 2 lo

que significa que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como residuo 2.


Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos dé un número que es divisible por 9.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.

MATEMÁTICA


1) 9 558, 9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 = 09 por lo tanto, sÍ es divisible por 9.

2) 283, 2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9, además 13 = 09+ 4 lo

que significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.

3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9, además, 17 = 09 + 8 lo

que significa que al dividir 57 014 ÷ 9, se obtiene como residuo 8.


Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)

Ejemplos.

Verificar si los siguientes números son divisibles por 7 , en caso contrario hallar su residuo1).

1) 3 738 8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y

28 = 07 , si es.

3) 99 148 8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14

y -14 = 07 , si es .

2) 35 266 6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y

14 = 07 , si es.

4) 264

4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 = 07 + 5

no es , y su residuo es igual a 5


Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un número que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33;…)

a b c d e f g = 07 ⇔ g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a =

07

1 2 3 1 2 3 1 + +

MATEMÁTICA


Para el número: Ejemplos: Verificar si los siguientes números son divisibles por 11.

1) 539

9 + 5 – 3 = 11 = 0

11 , entonces 539 es divisible por 11.

4) 8 074

4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 0

11 , entonces 8 074 es divisible por 11.

2) 5379

9 + 3 – 7 - 5 = 0 = 0

11 , entonces 5 379 es divisible por 11

5) 7 364

4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 0

11 , entonces

7 364 no es divisible por 11 ya que al dividir 7 364 entre 11 dejará como residuo por exceso 6 y por defecto será 5

7 364 = 0

11 - 6 = 0

11 + 5

3) 381 909

9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 0

11 ,

Entonces 381 909 es 0

11

6) 579

9 + 5 – 7 = 7 ≠ 0

11 entonces 579 no es divisible por 11. El residuo por defecto es 7 y por exceso es 4.


Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez.

Ejemplos. a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 6.

a b c d e f g

Lugares impares

Lugares pares

(g + e + c + a) – (f + d + b) = 0

11

MATEMÁTICA



Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez

Ejemplos. a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez. b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible

por 12.


Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.

Ejemplos.

a) 11 720 es divisible por 10 por que 11 720 termina en cero.

b) 3102 no es divisible por 10, por que su última cifra no termina en cero.

PRÁCTICA Marcar con un aspa (X), si el número N de la columna izquierda es divisible por alguno de los números de la fila horizontal superior.

Número N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

324 X X X X X X

570

1 120

3 240

1 540

20 310

1 120

8 690

9 372 189

MATEMÁTICA


2.3. OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros, también se pueden clasificar según la cantidad de divisores que tenga el número como:

a) NÚMEROS SIMPLES.

Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.

Ej. Son números simples:

1) 1, D ( 1 ) : 1

2) 5, D ( 5 ) : 1 y 5

3) 11, D ( 11 ) : 1 y 11

b) NÚMEROS PRIMOS.

Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidad y el mismo número.

Ej.

1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo.

2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo.

NOTA: “El menor número primo es 2” c) NÚMEROS COMPUESTOS.

Son aquellos que tienen más de dos divisores.

Ej.

1) D (6) = 1, 2, 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto.

2) D (9) = 1, 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto.

MATEMÁTICA


NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . . 1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50? Están los: 31; 37; 41; 43 y 47. Hay 5. 2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen? Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8. 3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77. (V) (F) La suma de los números primos menores a 19 es: 2+3+5+7+11+13+17 = 58

2.4. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO.

1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número.

2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la raíz hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el número será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto entonces el número no será primo .

Ej. Verificar si 97 es primo.

Paso 1 : 97 ≈ 9,…. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera y se trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer la raíz cuadrada en forma aproximada “. Paso 2 : dividir a 97 entre los números primos menores a la raíz hallada : 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los casos , las divisiones son inexactas por lo que se concluye que 97 es primo .

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Ej. Verificar si 163 es primo. Paso 1 : 163 ≈ 12,… es 12 y algo más, se trabaja sólo con 12. Paso 2 : divide a 163 entre todos los números primos menores a 12 , que son : 2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es inexacto por lo que concluye que 163 es primo . Ej. 91 no es primo. (V) (F) Solución: Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9. Paso 2 : Números primos menores a 9: 2; 3; 5 y 7. 91 es divisible por 7 por lo tanto, no es primo. Ej. 247 es primo. (V) (F) Solución: Paso 1: 247 en forma aproximada es 15. Paso 2: Números primos menores a 15: 2; 3; 5; 11 y 13. 247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero sí es divisible por 13, entonces 247 no es primo. 2.5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI). Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común la unidad. Ej. Verificar si 4 y 9 son PESI. Solución. D (4): 1 ; 2 y 4 D (9): 1 ; 3 y 9 Como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad, por lo tanto , se concluye que 4 y 9 son PESI.

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Ej. Verificar si 6; 14 y 25 son PESI. Solución. D (6) : 1 ; 2; 3 y 6. D (14) : 1 ; 2; 7 y 14. D (25) : 1 ; 5 y 25 Se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números es la unidad, por lo que se concluye que los 3 números son PESI. Ej. 15; 12 y 18 son PESI. (V) (F) Solución. D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15. D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12. D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18. Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI. 2.6. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES

PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA. Todo número se puede descomponer como producto de sus factores primos, elevados a exponentes que son números enteros positivos. Para un número N, descompuesto en sus factores primos, se tiene: N = Aa x Bb x Cc x Dd

Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c y d , son los exponentes de los factores primos .

MATEMÁTICA


Ej. Descomponer en sus factores primos los números: 1) 90 2) 120 90 2 120 2 45 3 60 2 15 3 30 2 5 5 15 3 1 5 5 1

90 = 2×32×5 120 = 2

3×3×5

2.7. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N (CD(N)). Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la descomposición del número en sus factores primos.

Para la descomposición del número N = A dcba DCB ××× se cumple, que la cantidad de divisores de N será : CD ( N ) = ( )( )( )( )1111 ++++ dcba donde: a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número. También la cantidad de divisores se puede con las siguientes fórmulas: CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos ó CD = CDsimples + CDcompuestos Ej. ¿Cuántos divisores tiene 60? Solución. Como 60 = 2 532 ×× entonces CD (60) = ( )( )( )111112 +++ = 12.

MATEMÁTICA


Ej. Hallar la cantidad de divisores de 1 008. Solución. Como 1 008 = 2

4×3

2×7 entonces CD (1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30.

SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N (SD (N)). Dada la descomposición de un número N en sus factores primos: N = Aa×Bb×Cc×Dd , entonces :

SD (N) =1

11

111

111

111

−−+

×−−+

×−−+

×−−+

D

dDC

cCB

bBA

aA Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 60. Solución. Como 60 = 2

2×3×5 entonces

SD (60) = 1515

1313

1212 223

−−

−−

×−− x = 7×4×6 = 168.

Ej. Hallar la suma de todos los divisores de 504. Solución. Como 504 = 2

3×3

2×7 entonces,

SD (504) = 1717

1313

1212 234

−−

×−−

×−− = 15×13×7 = 1 365.

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1. ¿Cuántos divisores primos tiene 700? Solución. Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 2

2 × 52 × 7

y sus divisores primos serán: 2; 5 y 7 por lo que tendrá 3. Problema 2. Hallar la suma de todos los divisores primos de 644. Solución. Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =2

2 ×7 ×

23 entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32. Problema 3. ¿Cuántos divisores pares tiene 252? Solución. Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto de la descomposición del número en sus factores primos, se extrae el factor 2.

.252 = 2 7322 ×× = 2 ( )732 2 ×× , entonces,

CD pares = ( )( )( )111211 +++ = 12 Problema 4. ¿Cuántos divisores impares tiene 360? Solución. Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces de la descomposición de 360 en sus factores primos, se va a eliminar el factor 2 elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que resulten serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 . 360 = 2 5323 ×× = 2

3 ( 3

2 × 5) entonces la cantidad de divisores

impares será igual a la cantidad de divisores del número que está entre paréntesis . CD( 360 )

impares = (2+1)(1+1) = 6 .

MATEMÁTICA


Problema 5. ¿Cuántos divisores impares tiene 1404?

Solución. 1404 = 22 ×3

3 ×13 = 22(3

3 ×13), entonces CDimpares

= (3+1)(1+1)= 8.

Problemas Propuestos

1. De las siguientes afirmaciones : I 3 es divisor de - 18 II - 4 es un divisor de 12 III 20 es un divisor de 5 IV 72 es un múltiplo de 9 V 4 es un múltiplo de 12 VI 8 no es múltiplo de cero ¿Cuáles son falsas? A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V D) II y III E) III , V y VI 2. Del siguiente grupo de números : 53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71 ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número primo? A) 118 B) 134 C) 72 D)110 3. Calcular la suma de los números primos comprendidos entre 40 y 50. A)84 B)90 C)93 D)131 E)120 4. Calcular la suma de todos los divisores primos de 120. A) 3 B) 16 C) 10 D) 8 E)12 5. ¿Cuántos divisores no primos tiene 24? A) 1 B) 2 C) 8 D) 6 E) 4

MATEMÁTICA


2.8. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD). De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de los divisores comunes. Ej. Hallar el MCD de 12 y 18. D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 El mayor de los divisores comunes es 6, por lo tanto, el MCD = 6. Si se hallan los divisores del MCD, D(6): 1;2;3;6 y justamente éstos son los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del MCD. Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del MCD de dichos números. Propiedades: 1) El MCD está contenido en los números. 2) De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD. 2.9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM). De un grupo de números, el MCM, es el menor de los múltiplos comunes. Ej. Hallar el MCM de 4 y 6. M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;….. M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,………….

MATEMÁTICA


Se ve que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 , por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 . Si se hallan los múltiplos del MCM, se tendrá, M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , … que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos comunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos números . Métodos para calcular el MCD y MCM. 1) Por descomposición simultanea. Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24. 18 - 24 2 18 - 24 2 9 12 3 9 12 3 3 4 3 4 3 1 4 4 1 1 mcd = 2×3= 6 mcm = 2×3×3×4= 72 2) Por descomposición de los números en sus factores primos. El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados a su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los factores primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente. Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60. Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene:

18 = 2x3 2 y 60 = 2 532 ×× . Luego se aplica la propiedad.

MCD = 2x3 = 6 y MCM = 2 5232 ×× = 180. 3) Por divisiones sucesivas. Este método sólo se aplicará para calcular el MCD de dos números. Ej. Calcular el MCD de 144 y 56.

MATEMÁTICA


MCD=8 Ej. Calcular el MCD de 480 y 572.

MCD = 4. Propiedades. 1) El producto de dos números es igual al producto de su MCM por su

MCD. Ej. Para los números 6 y 9 su MCD = 3 y su MCM = 18 entonces se cumple que 6 × 9 es igual que 3 x 18. 2) Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igual

al producto de dichos números . Ej. Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y su MCM = 4 x 9 = 36. 3) Si un número está contenido dentro de otro entonces el MCD de

dichos números será el menor de los números. Ej. Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el menor de los números.

Cocientes 2 1 1 3

144 56 32 24 8

residuos 32 24 8 0

cocientes

1

5

4

1

1

2

572 480

92

20

12

8

4

residuos

92

20

12

8

4

0

MATEMÁTICA


4) Si un grupo de números es multiplicado o dividido por una cantidad

entonces su MCD ó MCM también quedará multiplicado o dividido por esta misma cantidad.

Ej. Para los números 8; 12 y 20 su MCD = 4 y su MCM = 120. Si a los números se dividen entre 2 se tendrá 4; 6 y 10 y su nuevo MCD será igual a 2 y su MCM = 60. 5) Si un número N es:

a0

N b0

c0

entonces N = mcm( a ; b ; c ) , ó si :

a0

± r

N b0

± r

c0

± r entonces N = mcm( a ; b ; c ) ± r Ej. Si un número N es divisible por 2; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es divisible? Solución.

Por propiedad, N = 0

)4;3;2(MCM = 0

12 Ej.

¿Cuál es el menor número que es: 30

+2; 70

- 5 y 60

- 4?

MATEMÁTICA


Solución. Ese número N que se busca debe de ser:

03 + 2

N 70

- 5 = 70

+ 2

60

- 4 = 60

+ 2 Por lo tanto, por propiedad se sabe que:

N = ( )3;7;6mcm0

+ 2 = 420

+ 2,

como se pide el menor valor, este sería 44.

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1. ¿Cuántos divisores comunes tienen: 14, 28 y 42? Solución. Por teoría, se sabe que la cantidad de divisores comunes de un grupo de números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos números. Por lo tanto, MCD (14; 28; 42) = 14 D (14): 1, 2, 7 y 14 Entonces tendrán 4 divisores comunes. Problema 2. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se desea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ? Solución. La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos para obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos comunes queremos el menor. Longitud del tubo = MCM ( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm.

MATEMÁTICA


Problema 3. ¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para construir un cuadrado? Solución. Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado. X X De la figura, se observa que la medida de x debe ser un múltiplo común de 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes se necesita el menor porque se quiere emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que : X = mcm (34; 18) = 306 La cantidad de losetas es igual a:

34306 x

18306 = 153

Problema 4. De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho, se desea obtener el menor número de pedazos de forma cuadrada, sin que sobre material. ¿Cuántos pedazos se obtendrán? Solución. Sea X: longitud del lado del pedazo de forma cuadrada. 96 cm 72 cm

34cm

18 cm

X

X

MATEMÁTICA


Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe de ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad de pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, por esto que : X = MCD (96; 72) = 24 cm El número de pedazos que se obtendrán será:

# pedazos = 2496 x

2472 = 4 x 3 = 12

Problema 5 Tres ciclistas A, B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista circular con velocidades constantes. A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y medio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente, ¿Cuántas vueltas habrá dado el ciclista A ? Solución.

Transformando las medidas a segundos

A : 3 min = 180 s B : 3 min y medio = 210 s C : 4 min = 240 s El tiempo que debe transcurrir para que un ciclista vuelva a pasar nuevamente por el punto de partida será un múltiplo de los tiempos empleado en dar una vuelta . Para que los tres ciclistas vuelvan a pasar por el punto de partida , el tiempo a transcurrir será un múltiplo común de los 3 tiempos dados . # vueltas que habrá dado el

ciclista A = 1805040 = 28.

PARTIDA

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I. 1. Hallar el M.C.M. y el M.C.D. de: 7532532 222 ..... =∧= QP

a) 630 y 45 b) 900 y 70 c) 900 y 210 d) 600 y 12 e) 6300 y 30 2. Si el M.C.M. de 2 números es 1050, ¿Cuál será su M.C.D., si su

producto es 5250? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

3. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M.

sea 5148. a) 143 b) 396 c) 468 d) 684 e) 639

4. Si x2x.53N = , tiene 15 divisores, hallar N.

a) 2000 b) 2075 c) 3196 d) 2025 e) 2184 5. Si 5.412By12.45A nn == , hallar “n” para que su MCM presente 90

divisores.

a) 5 b) 2 c) 8 d) 6 e) 3 6. En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero

más de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12, siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno. ¿Cuántos alumnos eran?

a) 600 b) 605 c) 660 d) 671 e) 796

7. En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y

de noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12 en 12 o de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18 en 18 no sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la noche? a) 20 b) 24 c) 32 d) 126 e) 36

MATEMÁTICA


8. El número de páginas de un libro esta comprendido entre 400 y 500. Si

se cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro?

a) 417 b) 419 c) 420 d) 463 e) 472

MATEMÁTICA

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO 72

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.

1. Hallar la suma de las cifras del menor número que tenga como

divisores: 4; 9 y 12. A) 6 B) 8 C) 10 D)9 E) 5

2. El MCM de dos números es 48. Si el producto de los mismos es 864.

¿Cuál es su MCD? A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 9

3. Un número A es el triple de otro B y su MCD es igual a 27. Hallar la

suma de A más B.

A)27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40 4. El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los

números.

A) 900 B) 720 C)3 600 D)3 240 E) 2 400 5. Se tiene 3 varillas de cobre cuyas longitudes son 3780 cm; 3360 cm y

2520 cm. Se quiere dividirlas en trozos de igual medida y de la mayor longitud posible, ¿Cuántos cortes fueron necesarios hacer en la varilla de menor longitud?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 420 E) 8

6. Calcular el menor número de cuadrados iguales en las que se puede

dividir una plancha de madera rectangular de dimensiones 360 cm por 210 cm.

A) 30 B)19 C) 84 D) 48 E) 30

7. Se quiere llenar 4 cilindros de capacidades: 50; 75; 100 y 80 litros

respectivamente. ¿Cuál será la mayor capacidad que puede tener un balde de tal manera que pueda llenar los cilindros en una cantidad exacta de veces?

A)10 lt B)5 lt C)8 lt D)25lt E) 12 lt

MATEMÁTICA


8. Un terreno rectangular de medidas 255 m. por 225 m. se quiere dividir en

el menor número de parcelas cuadradas e iguales. Si se va a colocar una estaca en cada vértice de las parcelas, ¿Cuántas estacas se necesitarán?

A) 255 B) 288 C) 300 D) 260 E) 280

9. Se tiene 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. se desea envasarlas

en la menor cantidad de bolsas y que contengan la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuántas bolsas más habrán de bombones que de chocolates?

A) 16 B) 6 C) 9 D) 25 E) 34

10. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/ 525 y en otro S/

810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuantos trabajadores hay en cada taller si el salario es el mayor posible?

A) 45 y 35 B) 54 y 53 C)15 y 35 D) 54 y 35 E) 30 y 40

MATEMÁTICA


UNIDAD 03

NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES

MATEMÁTICA


3. FRACCIÓN.

3.1. FRACCIÓN: ELEMENTOS. Se llama fracción a un número racional a/b donde: a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0, å ≠ b

- Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente de dos

números enteros con denominador diferente de cero.

- Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o fracción.

- Toda fracción tiene 3 signos.

BA

BA

+=−−

BA

BA

−=−+

BA

BA

−=+−

BA

BA

+=++

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES:

• El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad.

• El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad.

S =

45

S = ¼

S = 1/12

S = 113

ba

Fracción = Numerador Denominador

MATEMÁTICA


Ejemplo Aplicativo: Del gráfico que se muestra: a) ¿Qué fracción es la parte sombreada?

Fsombrada= Totalsombrada.Parte Fsombrada=

k8k3 =

83

b) ¿Qué fracción es la parte no sombreada?

Fno sombrada= Total

sombrada.no.Parte Fno sombrada= k8k5 =

85

c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada?

Fsombrada de la no sombrada = sombrada.no.Parte

sombrada.Parte Fsombrada= k5k3 =

53

d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada?

Fno sombrada de la sombrada = sombrada.Parte

sombrada.no.Parte Fsombrada= k3k5 =

35

k k

k k k

k

k k Parte sombreada = 3k

Parte no sombrada = 5k Total = 8k

denominador

denominador

MATEMÁTICA


3.2. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES.

1) POR COMPARACION DE SUS TÉRMINOS. . • Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador. El valor de

una fracción propia es menor que la unidad.

ba1ba

<⇒< Ejemplos: ,...32,

2317,

75,

31

• Fracción Impropia:. El numerador es mayor de que el denominador. El valor de una fracción propia es mayor que la unidad.

ba1ba

>⇒> Ejemplos: ,...3

11,9

14,34,

27

2) POR SUS DENOMINADORES. • Fracción Ordinaria ó común: Es aquella cuyo denominador es diferente a

una potencia de 10.

ba = es ordinaria, si: b ≠ 10 n ,...

2352,

2517,

75,

51

• Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

ba = es decimal, si: b = 10 n ,...

1000057,

100012,

1005,

101

3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE VARIAS FRACCIONES. • Fracciones Homogéneas: Igual denominador.

,...32,

317,

35,

31

• Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador.

,...31,

94,

54,

27

MATEMÁTICA


4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.

• Fracción irreductible. ba = es irreducible, si a y b son PESI.

• Fracción reductible. ba = es reductible, si a y b tiene divisores

comunes a parte de la unidad. 5) FRACCIÓN EQUIVALENTE. Son aquellas fracciones que tiene el mismo valor

pero sus términos son diferentes. Su representación gráfica es por ejemplo:

3.3. CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO Y

DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA.

• De Fracción a número mixto: ba =

bpn ; donde ; p < b

Ejemplo: convertir 517

a número mixto

Primero dividir 17 entre 5.

21

42

63

84

17 5

2 3 Parte Entera

denominador

numerador 523

MATEMÁTICA


• De un número mixto a fracción:

nb

pbnbp +=

. = ba (Fracción Impropia) ; p < b

Ejemplo: convertir 523 a fracción.

3.4. MCM Y MCD DE FRACCIONES.

MCD );;(

);;(;;fdbMCMecaMCD

fe

dc

ba

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

MCM );;();;(;;

fdbMCDecaMCM

fe

dc

ba

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Nota: donde las fracciones ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

fe;

dc;

ba , deben ser fracciones irreductible “si no lo

son, se tienen que simplificar”. Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20. 1º. Simplificar 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles, se obtiene

2/7 y 3/4. 2º. Hallar el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas:

MCD 281

)4;7(MCM)3;2(MCD

43;

72

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

MCM 616

)4;7(MCD)3;2(MCM

43;

72

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

= +

523

517

=

MATEMÁTICA


3.5. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez, IRREDUCTIBLE. Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos (numerador y denominador) se dividen entre su MCD.

Ejemplo: ¿Simplificar la fracción 24/180? Solución:

1º Forma: Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores comunes hasta lograr una fracción irreducible. Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3.

2º Forma: Dividir al numerador y denominador entre su MCD:

152

121801224

)180;24(MCD180)180;24(MCD24

18024

=÷÷

=÷÷

=

3.5.1. PROPIEDADES:

1.

Ejemplo:

Simplificar: 777333

777333 =

73 Porque:

777333 =

11171113

×× =

73

18024

12

90

6

45

2

2

15

= 15

ba

bbbaaa

=

MATEMÁTICA


2.

Ejemplo:

Simplificar: 37371212

37371212 =

3712

Porque: 37371212 =

1013710112

×× ; se elimina 101 y queda

3712

3.6. FRACCIONES EQUIVALENTES.

Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.

....208

3012

104

52

====

....3,2,1k,bkak

ba

=<> donde

3.7. HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DE

FRACCIONES.

Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:

1. Reducir a su más simple expresión. 2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores. 3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se

multiplica con cada numerador correspondiente.

Ejemplo: Homogenizar los denominadores de las fracciones: 64 ;

105 ;

86

Solución: Para homogenizar, reducir dichas fracciones a su más simple expresión:

64 ;

105 ;

86 ; < >

32 ;

21 ;

43

cdab

cdcdabab

=

MATEMÁTICA


Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12. Luego, se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de cada uno se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo:

128 ;

126 ;

129

Esquemáticamente: 3.8. COMPARACIÓN DE FRACCIONES.

• Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción

positiva y menor la fracción negativa.

Ejemplo: 72 >

23

−

• Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será

mayor el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor numerador. Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:

31 ;

38 ;

37 ;

32

Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 38 ;

37 ;

32 ;

31

• Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será mayor

el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor denominador. Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:

137 ;

97 ;

27 ;

37

Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene: 27 ;

37 ;

97 ;

137

129 ;

126 ;

128

43 ;

21 ;

32

⇒

MCM (3, 2, 4 ) = 12 ÷

×

=

MATEMÁTICA


• Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se

procederá a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como en el caso anterior.

Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:

65 ;

91 ;

23 ;

37

Solución: Primero se homogenizan denominadores (MCM).

Ordenando de menor a mayor se obtiene:

1881 ;

1842 ;

1827 ;

1815 que son las fracciones equivalentes a

91 ;

37 ;

23 ;

65 respectivamente.

• Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos.

Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:97 y

85

Solución:

MCM (3, 2, 9, 6) = 18 65 ;

91 ;

23 ;

37

1815 ;

1881 ;

1827 ;

1842÷

×

=Fracciones Equivalentes

FraccionesHomogéneas

85

97

56 45 >Entonces

85

97 >

MATEMÁTICA


Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:85 y

54

Solución:

EJERCICIOS NIVEL I

1. Completar:

24 83 h.

32

41 g. 12

163 f.

128

85

163 d.

81 c.

32

85 b.

====

====

.e

648

1612

43.a

2. Reducir a un mismo denominador (homogenizar denominadores):

=

=

=

Respuesta 41 ;

165 ;

Respuesta 43 ;

Respuesta 85 ;

83.c

21.b

85;

82

41.a

3. Completar los espacios vacíos adecuadamente: a) Dadas varias fracciones de igual denominador es mayor la que

tiene…......................…......... numerador

b) Dadas varias fracciones de igual numerador, es mayor la que tiene…........................…......denominador

4. Colocar los signos > ó < como en los ejemplos: a. 5/8 < 7/8 b. 3/8 1/ 8 c. 3/4 5/4 d. 1/4 5/4

e. 3/7 < 3/5 f. 1/2 1/3 g. 2/5 > 2/7 h. 4/5 4/6

25 32 <Entonces

< 85

54

85

54

MATEMÁTICA


5. Reducir a un mismo denominador las siguientes fracciones; y colocarlas en el

orden solicitado:

a. 3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8 --- < ---- < ----- ---- (Orden Creciente)

b. 4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4 --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente)

6. Completar los espacios en blanco:

a. Simplificar una fracción es encontrar otra cuyos términos

sean…................................. que los de la primera.

b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo

número diferente de cero y diferente de

….................................................................

c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción

…...................... ser simplificada.

d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador

posible …...........................................

e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número,

son llamadas fracciones …............................................

A continuación se puede comparar las respuestas. 4. b. > c < d. < f. > h. >

5. a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16 R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4

b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60 R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12

6. a. más simples b. uno. c. no puede d. 63 e. equivalentes

MATEMÁTICA


7. Reducir a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar):

4 2 =

128 96 =

64 48 =

16 8 =

15 12 =

128

120 = 32

24 = 20

15 = 9 6 =

128 100 =

32

4 = 18

15 = 8

40 = 64

60 = 100

25 =

8. Colocar falso (F) o verdadero (V) a. 4/5 > 3/5 ( ) b. 3 > 15/3 ( ) c. 2/5 < 3/7 ( ) d 1/3 < 34/72 ( ) e. 2/5 > 2/7 ( ) d. 7/8 > 6/7 ( )

9. Completar las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco elementos (cinco fracciones equivalentes):

a. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12 b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----- c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----- d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----

Tratar de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes: 7. =1/2 = 3/4 = 3/4 =1/2 = 4/5 =15/16 =3/4 = 3/4 = 2/3 =25/32 = 1/8 =5/6 =5 = 15/16 = ¼ 8. a. (V) b. (F) c. (V) d. (V) e . (V) 9. a) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12

b) 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 12/18

c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32 = 15/40 = 18/48

d) 3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20 = 18/24

MATEMÁTICA


10. Marcar con (X) las fracciones irreductibles:

2/3 ( X ) 3/5 ( ) 4/8 ( ) 4/6 ( ) 7/8 ( )

5/6 ( X ) 1/3 ( ) 6/2 ( ) 4/12 ( ) 9/10( )

- EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL II

1. Distribuir en el cuadro las fracciones en orden creciente: a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64 b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16 c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128 A B C

2. Al simplificar una fracción se obtuvo 1/7. Sabiendo que la suma de los

términos es 40, Calcular la diferencia de los mismos. A.30 B.15 C.8 D.1 E.13 3. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tienen denominador 32 y son

mayores que 1/6?

A.3 B.15 C 2 D. 4 E.13 4. ¿Cuántas son las fracciones irreductibles con denominador 10

comprendidos entre 1/2 y 4/3? A.30 B.5 C 8 D. 4 E.13 5. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 720 existen? A.192 B.13 C.24 D.15 E.2

MATEMÁTICA


6. ¿Qué fracción representa el área no sombreada?

A. 5/7 B.3/4 C.4/7 D.3 E.1/4

7. Simplificar las fracciones:

9240 / 6930 y 4158 / 43 68

- Rpta: 4/3; 99/104 8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba; en un banco;

2/9 del resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¿Cuántas cartas le dieron para repartir?

A. 10 B.108 C.23 D.25 E.19

9. Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes. Si sacara 2100 litros quedará llena hasta sus 3/8 ¿Cuánto falta para llenarla? A. 2400 B.2700 C.234 D.1235 E. 1300

10. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros de

mezcla ¿Cuántos litros de leche salen? A.13 B. 15 C. 10 D.14 E.5

11. Qué fracción representa el área sombreada en el cuadrado?

A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3

MATEMÁTICA


UNIDAD 04

FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

MATEMÁTICA


4.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES. a) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA. Observar el siguiente gráfico: • Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los

numeradores y se escribe el mismo denominador:

Ejemplo:

Efectuar: 139

1337258

133

137

132

135

138

=−++−

=−++−

• Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte fraccionaria.

Ejemplo:

Efectuar: [ ]1317

135271483

1354

132

1378

1313 =

−−+−+=−−+

b) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS. Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo denominador y se procede de la forma anteriormente vista. Considerando los siguientes casos:

La parte sombreada es:

64

63

61

=+ 63

61

bdca

bd

bc

ba −+

=−+

[ ]c

gebfdacgf

ced

cba −+

−+=−+

MATEMÁTICA


1. DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS. Ejemplo 1. Efectuar: Ejemplo 2. Efectuar:

1228

1214115

1214

121

1215

2627

121

3435

67

121

45

=+−

=+−=××

+−××

=+−

2. MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM). Se seguirá el siguiente procedimiento: Primero: Hallar el MCM de los denominadores y se escribe como DENOMINADOR del resultado. Segundo: Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador; luego efectuar la suma de estos resultados. Ejemplo 1. Efectuar:

Multiplicar por un factor a ambos términos de la fracción, tal que los denominadores sean iguales.

81

8643

86

84

83

2423

4241

83

43

21

83

=−+

=−+=××

−××

+=−+

¡Fracciones Equivalentes!

2413

240130

240569096

307

83

52

==−+

=−+

MCM(5;8;30) = 240 ÷

×

=

MATEMÁTICA


3. REGLA DE PRODUCTO CRUZADO. Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños. Ejemplo 1. Efectuar: Ejemplo 2: Efectuar

EJERCICIOS I. Resolver con el método de “Denominadores múltiplos de otros”.

a) =−12

567 b) =+

103

607

c) =−+31

52

4541 d) =+++

167

85

43

21

II. Resolver con el método de “Mínimo Común Múltiplo”.

a) =+−+54

41

21

103

b) =+++51

41

31

21

c) =−+87

65

43

III. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”.

a) =+32

95 b) =−

53

35 c) =+

29

75

d) =−31

21 e) =−

21

83 f) =+

121

131

402524

855583

85

53 +

=×

×+×=+

173

72−

72

173

34 21

11913

MATEMÁTICA


4.2. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE

FRACCIONES: Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se encuentran al interior de los signos de agrupación. Ejemplo: resolver la siguiente operación: También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación.

6087

602012153040

31

51

41

21

32

31

51

41

21

32

31

51

41

21

32

=++−+

=++−+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++−+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

EJERCICIO

Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.

1. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

51

21

51

72

61 =

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

23

521

32

612

513 =

3. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

711

25

31

212

711 =

4. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+

65

21

43

83

65

31 =

5. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ 2

43

752

75

21 =

6087

6047

32

31

201

21

32

31

51

41

21

32

=+=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

MATEMÁTICA


4.3. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE FRACCIONES: • Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los

denominadores entre sí.

dbca

dc

ba

××

=×

Ejemplos:

a) 6310

7925

72

95

=××

=× b)

• Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los

términos de la fracción, al exponente indicado.

n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Ejemplos:

a) 494

72

72

2

22

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ b)

811

31

31

4

44

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

}

EJERCICIO

1. Escribir en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican: X

53 4

1 75 3

2 94

21

57

76 7

4

21

352

7109362

73

106

92

=××××

=××3

3 5

MATEMÁTICA


2. Multiplicar:

a) 5312 × =

3355

37

=× b) =×3254 c) =×

511

413

d) =×415

32 e) =×

212

53 f) =×

311

211

3. Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:

n

ba⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Al cuadrado Al cubo A la cuarta

21

81

23

52

53

−

4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que indica que se debe multiplicar.

Teniendo en cuenta este criterio, resolver los siguientes problemas:

a) Hallar los 3/5 de 20 b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24?

c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2 de 400 soles?

d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45 kg?.

e) ¿Los 3/5 de que número es 120?

f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3 de que número?

MATEMÁTICA


4.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES. • Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción

divisor invertida.

Ejemplo:

a) 98

3342

34

32

43

52

=××

=×=÷ b) 21

14337

143

37

314

312 =

××

=×=÷

• Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de

fracción:

cbda

dcba

××

=

Ejemplo:

a) 167

22437

32

247

=××= b)

57

12047

4120

7=

××

=

EJERCICIOS

1. Escribir en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican:

÷ 53 4

1 75 3

2 94

21

57

76 7

9 2. Escribir la expresión más simple equivalente a:

cbda

cd

ba

dc

ba

××

=×=÷

Fracción inversa

Producto de extremos

Producto de medios

MATEMÁTICA


a)

41

31

21+

= b) =++

+

2314

52

43

41

51

c) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

241

31

21

41

d)

307

21

31

52

+×=

e)

2831

356

519

73

710

52

−×+×

= f) 3

212

311

1141

21

71

+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+×+

+=

4.5. RADICACIÓN DE FRACCIONES. Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de la fracción.

n

nn

ba

ba =

Ejemplo:

a) 51

1251

1251

3

33 == b)

118

12164

12164

==

EJERCICIO

MATEMÁTICA


1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas

fracciones dadas.

a) 2516

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ b) 91

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ c) 2536

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

d) 6449

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ e) 814

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ f) 49

1002

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

g) 100

12

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ h) 8116

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ i) 12125

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2. Hallar la raíz en cada caso:

a) =3827 b) =3

81 c) =3

10008

d) =2516 e) =5

24332 f) =4

62516

g) =4936 h) =3

12527 i) =4

1000081

4.6. OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES.

1. 2

4161

103

37

61

56

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×

−

+=

2.

3

31

1

51

13

11

211

911

−+

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

=

MATEMÁTICA


3. 7

146

135

21

121

81

81

612

31

21

+

+

++

+

+

=

4.

61

41

31

21

811

+

+× =

5. 1

5693

21

61

41

37

43

21

43

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×

+

++

+ =

6.

5

731

531

321

521

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

=

7. ( )( )

211

91

3625

781

716

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ××

−

Comprobar respuestas:

Pregunta Nº 1 2 3 4 5 6 7

Respuesta 1 -4 1 4 4 1 85

MATEMÁTICA


PROBLEMAS APLICATIVOS

La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que equivalía a la longitud de un pulgar. Equivalencia:

1 pulgada = 2,54 cm. 1 pulgada = 25,4 mm 1 pie = 12 pulgadas 1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas

Ejemplo:

8"73 Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada.

Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie.

32 ′′′ Representa dos pies y 3 pulgadas.

La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro país principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso industrial. 4. GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS. Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8; 16; … 2n, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128 divisiones (27= 128).

1” representa una PULGADA

1´ representa un PIE

Si se divide una pulgada en dos partes iguales, cada parte es 1/2 pulgada.

MATEMÁTICA


A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la pulgada, pie, yarda. Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla está graduada en pulgadas.

Si se divide una pulgada en cuatro partes iguales, cada parte es 1/4 pulgada.

Si se divide una pulgada en ocho partes iguales, cada parte es 1/8 pulgada.

Si se divide una pulgada en dieciséis partes iguales, cada parte es 1/16 pulgada.

Si se divide una pulgada en treinta y dos partes iguales, cada parte es 1/32 pulgada.

MATEMÁTICA


MATEMÁTICA


Escribir en el siguiente cuadro las lecturas realizadas:

Le

ctur

a

Lect

ura

Lect

ura

Lect

ura

Lect

ura

Lect

ura

Lect

ura

″

871

Realizar las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas:

a) + - =

b) x =

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A

1. Determinar la cota “Y” en la pieza representada.

2. Calcular “X” en la pieza.

10 07

03 02 01

01 02 03 04 05 06 07

08 09 10 11 12 13 14

a) 1749 ”

b) 1617 ”

c) 3161 “

d) 4614 ”

a) 43231 ”

b) 33231 ”

c) 6412 ”

d) 33213 ”

MATEMÁTICA


3. Determinar la longitud C del tornillo, dibujado.

4. ¿Cuánto mide el diámetro externo de la arandela? 5. Completar el cuadro conforme las indicaciones del dibujo.

D c D

1” 8"5

4"3

32"15

64

"35 ″

32311

16"1

″

649

a) 6 1611 ”

b) 5 321 ”

c) 163 ”

d) 6”

a) 1 85 ”

b) 1 73 ”

c) 2 53 ”

d) 1”

MATEMÁTICA


6. Un agujero de diámetro 8"7 debe ser agrandado en

32"5 más. ¿Cuál será el

nuevo diámetro? a) 1 32

4 ” b) 1 321 ” c) 2” d) 2 641 ” e) 3/4”

7. Una barra de bronce tiene 2"132 de longitud, de la cuál cuatro pedazos miden,

respectivamente 2"16 ,

16"138 ,

16"910 y

4"15 . Despreciando por pérdida de corte,

¿Calcule que pedazo de la barra fue utilizado?

a) 3181 ” b) 31

52 ” c) 31

161 ” d) 3

81 ” e)

81 ”

8. Una barra de hierro mide 2632

"25 , si se divide en partes iguales de 232"1 y se

pierde en cada corte 32"1 ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

9. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener 18 trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)

a) 1¾” b) 1½” c) 22½” d) 2” e) 1¼” 10. Calcular la medida del diámetro interno de la arandela, representada.

a) 41 ”

b) 31 ”

c) 72 ”

d) 1/2”

MATEMÁTICA


11. Determinar las dimensiones A, B, C, y D , dar como respuesta A + B + C – D.

12. Una barra de cobre mide 2632

"25 , si se divide en partes iguales de 232"1 y se

pierde en cada corte 32"1 ¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material?

a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18 13. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener

18 trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra).

a) 1¾” b) 1½” c) 2½” d) 2” e) 1¼”

14. Dividir una barra de aluminio 8"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada

corte 321 “¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 1 32

7 ” b) 1” c) 2 325 ” d) 16

7 ” e) 2” 15. Calcular la distancia X, en la siguiente plancha:

a) 3”

b) 2”

c) 1”

d) 4”

e) 5”

a) 12 41 ”

b) 13 41 ”

c) 12 21 ”

d) 12 81 ”

MATEMÁTICA


Nota: Por lo general, al interior de al interior de las máquinas, motores, piezas, etc., los agujeros son equidistantes y simétricos. 16. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes: 17. Calcular “a” en la siguiente placa

18. La longitud de la circunferencia puede ser calculada, aproximadamente,

multiplicando su diámetro por π (π = 3.14 = 713 ). Siendo así, completar el

cuadro siguiente, conforme el ejemplo.

Lc = π×D Donde: • r : radio de la circunferencia • D : Diámetro de la circunferencia

• π ≈ 722 ≈ 3,14 Lc = r2 .π

a) 19 ½”

b) 13”

c) 14”

d) 13 ¼”

e) 7 1/8”

a) 2 1/64”

b) 2 1/32”

c) 2 3/64”

d) 3 ½”

e) 3 1/64”

MATEMÁTICA


DIÁMETRO CÁLCULOS LONGITUD

DE CIRCUNFERENCIA

213

"

11722

27

713

213

"

′′=×=× 11”

811

"

1pie 2pulg ″

767

19. Completar el cuadro, usando:

Lc = π×D D = 2.r LC = Longitud de

circunferencia Cálculos D = diámetro r = radio

435

"

88731

88161

227

423

713:

435

"

=== x 88731

"

176161"

212

"

6515

"

43"

41"

“Al dar una vuelta la rueda, esta se desplaza aproximadamente 3.14 veces la longitud del diámetro, sobre una superficie recta.”

D

LC

La circunferencia ha girado una vuelta completa

MATEMÁTICA


20. ¿Cuántas vueltas tendrá que girar una rueda, para recorrer 19,80 m, si el

radio de la rueda es de 21 cm?

Fórmula:

Distancia recorrida = Numero de vueltas x Longitud de la circunferencia a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 5 21. Las resistencias de una conexión en paralelo son R1 = 15 ohmios, R2 = 12

ohmios, R3 = 9 ohmios. Calcular la resistencia total.

a) 34729

Ω b) 34739

Ω c) 1Ω d) 4739

Ω e) 44739

Ω

Fórmula: n321t R

1R1

R1

R1

R1

++++= . . .

22. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas ½; 1/3 y 1/4 de lo que le

iba quedando, ¿Con cuánto se queda? Solución:

( ) 30234

1202312021

32

43 =

××××=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Se tiene al inicio Se pierde 1/2 queda 1/2 Se pierde 1/3 queda 2/3 R. Se quedó con S/. 30.

Se pierde 1/4 queda 3/4

Donde: Rt: Resistencia Total

R1 = 15 Ω

R1 = 12 Ω

R1 = 9 Ω

A B

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-B

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II

1. Dos tercios de los docentes de nuestro instituto son mujeres. Doce de los

instructores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de docentes? a) 70 b) 120 c) 60 d) 56 e) 90

2. Al tesorero de una sección de 1° grado le falta 1/9 del dinero que se le confió.

¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido. a)1/8 b) 1/3 c)1/6 d)1/7 e)1/9

3. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco más

dos hojas; si después de tres días consecutivos le quedan aun 18 hojas en blanco, ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona? a) 56 b) 57 c) 55 d) 54 e) 75

4. Cada vez que un profesor entra al salón deja la mitad de las hojas que posee y

8 hojas más. Si entra sucesivamente a 3 salones y al final se queda con 61 hojas, ¿Cuál es la cantidad de hojas que tenía al entrar al primer salón? a) 800 b) 500 c) 600 d) 400 e) 700

5. De los dos caños que fluyen a un tanque, uno sólo lo puede llenar en 6 horas,

y el otro sólo lo puede llenar en 8 horas. Si abrimos los dos caños a la vez, estando el tanque vacío, ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque? a) 3 1/7 h b) 3 2/7 h c) 3 3/7 h d) 2 ½ e) 3 1/4

6. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12

horas y la segunda en 4 horas; estando lleno el desagüe lo vacía en 6 horas, ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren las tres llaves a la vez?

a) 8h b) 7h c) 6h d) 5h e) 4h

MATEMÁTICA


7. Una pelota pierde un quinto de su altura en cada rebote que da. Si se deja caer desde 1,25 m de altura ¿qué altura alcanzará después del tercer rebote? a) 50cm b) 64 cm c) 24cm d) 62cm e) 72 cm

8. Si dejamos caer una pelota desde cierta altura, ¿Cuál es esta altura, sabiendo

que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada rebote se eleva 2/3 de la altura anterior?

a) 81cm b) 162cm c) 324cm d) 62cm e) 72cm

9. ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18 para obtener 3 1/3?

a) 5 1/5 b) 5 7/9 c) 5 2/5 d) 5 1/9 e) 5 1/3 10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿Cuánto me deben?

a)S/80 b)S/100 c)S/120 d)S/140 e)S/125

MATEMÁTICA


UNIDAD 05

NÚMEROS DECIMALES

MATEMÁTICA


5.1. NÚMERO DECIMAL. Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se obtiene al dividir el numerador por el denominador. Ejemplos:

(1) ⇐= 375083 , Resulta de dividir 3 entre 8.

(2) ⇐= .....,444094

Resulta de dividir 4 entre 9.

(3) ⇐= ....,2330307

Resulta de dividir 7 entre 30.

5.2. TABLERO POSICIONAL DE CIFRAS DE UN NÚMERO DECIMAL.

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

Cen

tena

s de

Milla

r

Dec

enas

de

Mill

ar

Uni

dade

s de

Mill

ar

Cen

tena

s

Dec

enas

Uni

dade

s

déci

mos

cent

ésim

os

milé

sim

os

Déc

imos

de

milé

sim

os

o di

ezm

ilési

mos

Cen

tési

mos

de

milé

sim

os

o ci

enm

ilési

mos

Millo

nési

mo

7 1 , 0 7 3 9

La parte decimal tiene las siguientes órdenes, contadas de izquierda a derecha a partir del coma decimal: 1° Orden decimal ⇒ décimos.

2° Orden decimal ⇒ centésimos.

3° Orden decimal ⇒ milésimos.

etc.

MATEMÁTICA


5.3. LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES. La lectura de un número decimal, se efectúa del siguiente modo: Se lee la parte entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra. Los ejemplos siguientes esclarecerán cómo hacer la lectura de un número decimal. Completar:

a) 12,7 doce enteros y siete décimos o doce unidades y siete décimos.

b) 3,125 tres ......................... y ciento veinticinco .......................................

c) 0,000 4 ........................ diez milésimos.

d) 3,1416 ..................y mil cuatrocientos ...................... décimos de milésimos.

e) 8,30 ocho ......................... y....................................................................

f) 12,005 ...........................................................................................................

5.3.1. ESCRITURA DE UN NÚMERO DECIMAL: Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el orden que le corresponde. Observemos los ejemplos:

(1) Quince enteros y veintiséis centésimos : 15,26 (2) Seis enteros y veintitrés diez milésimos : 6,002 3

Cuando no hay parte entera, ésta se representa por cero (0).

(1) 12 milésimos : 0,012 (2) 50 millonésimo : 0,000 050

Completar:

(1) Quince enteros y seis centésimos : .............................................

(2) Cuatro centésimos : .............................................

(3) Tres enteros y veinte centésimos de milésimos : ........................

(4) Veinticinco milésimos : ..............................................

MATEMÁTICA


Escribir como se lee, observando el ejemplo, y asociar las UNIDADES. (1) 3,7 chapas ................ 3 chapas y 7 décimos (de chapas)

(2) 0,50 soles ........................................................................

(3) 5,4 metros ........................................................................

(4) 2,5 pulgadas ....................................................................

(5) 3,175 centímetros ............................................................

(6) 8,0025 segundos .............................................................

Observar cómo se pueden resolver los siguientes problemas:

(1) ¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos? Representación

Literaria

1000

x = 10054 Representación

Matemática

Despejando “x”: x = 540 “Rpta: hay 540 milésimos en 54 centésimos”

(2) ¿Cuántos centésimos de décimos hay en 20000 diezmilésimos de

centésimos?

100

x . 101 =

1000020000 .

1001

x = 20

Rpta: Existen 20 centésimos de décimos en 20000 diezmilésimos de centésimos.

(3) ¿Cuántos milésimos hay en 2,4 centésimos?

(4) ¿Cuántos cienmillonésimos de centésimos hay en 4,52

diezmilésimos?

(5) ¿Cuántos décimos de centésimos de milésimos hay en 240000 diezmillonésimos de milésimo?

MATEMÁTICA


5.4. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DECIMALES: 1º. Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime CEROS

A SU DERECHA. Ejemplos: 4,8 = 4,80 (1) 4,8 = 4,800 000 0

(2) 312,240 000 00 = 312,24

(3) 7,500 0 = 7,50

2º. Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o más

lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal. Ejemplos:

(1) 0,253 ⇒ 100

3252530 ,, =

2103252530 ,, =

2103252530 −×= ,,

(2) 0,000002 ⇒ 10000

0200000020 ,, =

4100200000020 ,, =

4100200000020 −×= ,,

(3) 0,0075 = 41075 −×

2 lugares

Potencia de 10

2 lugares

4 lugares

Potencia de 10

4 lugares

4 lugares Potencia de 10

4 lugares

MATEMÁTICA


EJERCICIOS:

(1) 0,007 = 7 x 10.....

(2) 0,00016 = 16 x 10.....

(3) 0,000064 = 64 x 10.....

(4) 0,0025 = 250 x 10.....

(5) 0,06 = 6000 x 10.....

3º. Si a un número decimal, se le corre el coma decimal a la izquierda uno o

más lugares, para que su valor no se altere, se debe multiplicar por la unidad

seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.

Ejemplos:

(1) 70002,5 = 10000000257 ×,

= 410000257 ×,

(2) 2000 = 10002×

= 3102×

(3) 50000000 = 61050×

4 lugares

Potencia de 10 con exponente positivo

4 lugares

3 lugares

Potencia de 10 con exponente positivo

3 lugares

6 lugares

MATEMÁTICA


EJERCICIOS: (1) 8302,5 = 83,025 x 10.....

(2) 160,5 = 0,1605 x 10.....

(3) 6400000000= 6,4 x 10.....

(4) 25000000000 = 25 x 10.....

(5) 3200000000000 = 32 x 10.....

5.5. COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

1º. Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo negativo sin mayor discusión por su ubicación en la recta numérica. Ejemplo: Entre los números –16,257 y +2,3 es menor el primero por ser negativo.

2º. Si dos números decimales son de igual signo, se procede del siguiente modo: se iguala el número decimal con ceros, para luego eliminar la coma decimal y comparar como si fueran números enteros.

Ejemplos:

(1) Comparar 3,2 con 3,574 Como el primer número tiene sólo un decimal, se le agrega DOS CEROS

para que ambos números dados tengan tres decimales cada uno:

3,200 3,574

Ahora, se elimina la coma decimal en ambos números: 3 200 3 574

Como 3200 es menor que 3574, entonces: 3,2 < 3,574

(2) Comparar -2,31 con - 2,310 000

MATEMÁTICA


Por propiedad de números decimales, podemos suprimir ceros a la derecha del segundo número dado: Entonces ambos números quedarán así:

-2,31 = -2,31

5.6. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplos: 0,25 ; 2,75 ; 1,2

- Una fracción da lugar a un NÚMERO DECIMAL EXACTO si en el denominador aparecen sólo factores que son potencias de 2 ó de 5 ó de ambos (la fracción tiene que ser irreductible).

Ejemplos:

(1) La fracción 3217 ¿Equivale a un número decimal exacto?

La fracción debe ser irreductible⇒ 3217

NÚMERO DECIMAL

NÚMERO DECIMALRACIONAL

PERIÓDICO PURO

PERIÓDICO MIXTO

NÚMERO DECIMAL IRRACIONAL.

NÚMERO DECIMALEXACTO

NÚMERO DECIMAL INEXACTO

(Se pueden escribir como Fracción; tienen Generatriz)

(tienen Período)

Números decimales inexactos que no tienen período; resultan de las raíces inexactas.

Ejemplo: 2 = 1,414213562373095 . . . .

π = 3,1415926535897932 . . .

MATEMÁTICA


Descomponiendo el denominador: 5217

3217

=

Entonces 3217 da origen a un número decimal exacto:

3217 = 0,53125



837524

=

Se descompone el denominador: 358

1258

=


37524 = 0,064




138013

4 ×=


8013 = 0,1625

¿Se puede saber cuántas cifras decimales tendrá el número decimal resultante antes de efectuar la división? Sí; bastará con saber cuál es el mayor exponente de 2 ó 5 en el denominador de la fracción irreductible.

Ejemplo:


138013

4 ×=

Entonces 8013 al convertirlo en número decimal, tendrá solamente 4

cifras decimales. Comprobar con 5002071 .

Potencia de 2

Potencia

Potencia de 2 y 5

Potencia de 2 y 5. El mayor exponente es 4

MATEMÁTICA


NÚMERO DECIMAL INEXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales.

A. DECIMAL PERÍÒDICO PURO: Es aquel en cuya parte decimal aparece una o un grupo de cifras llamado período que se repite indefinidamente a partir de la coma decimal.

Ejemplo: 0,27272...... = 0,27

¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un DECIMAL PERIÓDICO PURO?

1º. Se simplifica la fracción hasta que sea irreductible. 2º. Descomponer el denominador en sus factores primos. 3º. El número decimal correspondiente será periódico puro si los factores

del denominador son distintos a 2 y 5. Por ejemplo: 1/7; 2/3; 5/63

B. DECIMAL PERIÒDICO MIXTO: Es aquel cuyo período empieza luego de una cifra o grupo de cifras después del coma decimal. A esta cifra o grupo de cifras se denomina parte no periódica.

Ejemplo: 0,7312512512........ = 0,73125

¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por un DECIMAL PERIÓDICO PURO?

1º. Simplificar la fracción hasta que sea irreductible. 2º. Descomponer el denominador en sus factores primos. 3º. El número decimal correspondiente será periódico mixto si los factores

del denominador son 2 ó 5 ó ambos, además de otros factores primos distintos de 2 y 5.

Por Ejemplo: 2/15 ; 6/35 ; 5/24

PERÍODO (2 cifras)

Parte No Periódica Parte Periódica

MATEMÁTICA


5.7. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL. Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ. A. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO:

1º. Se escribe como numerador todo el número sin el coma decimal. 2º. Se escribe como denominador la unidad seguida de tantos ceros como

cifras tenga la parte decimal

Ejemplos:

a) 0,75 = 10075

b) 2,058 = 10002058

B. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO :

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA PARTE ENTERA NULA : 1º. En el numerador escribimos el período. 2º. En el denominador se escribe tantos nueves como cifras tenga el

período. Ejemplo:

a) 0,54 = 9954 =

116

b) 0,1 = 91

2 cifras decimales

2 ceros

3 cifras decimales

3 ceros

2 CIFRAS 2 NUEVES

MATEMÁTICA


CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA PARTE ENTERA DISTINTA DE CERO: 1º. Se desdobla la parte entera de la decimal, así:

3,54 = 3 + 0,54

2º. Escribir la fracción generatriz de la parte decimal :

3,54 = 3 + 9954

3º. Finalmente, volver a sumar, pero ahora como una suma de fracciones:

3,54 = 3 + 9954

= 3 + 116

= 1139

C. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NULA: 1º. En el numerador de la fracción generatriz, escribimos el número

decimal sin el coma y se resta la PARTE NO PERIÓDICA. 2º. En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras tenga el

PERIÓDO seguido de tantos ceros como cifras tenga la PARTE NO PERIÓDICA.

Ejemplos:

(1) 0,235 = 990

2235 −

0,235 = 990233

(2) 0,372 = 900

37372 −

0,372 = . . . Completar.

2 cifras 2 nueves

1 cifra 1 cero

MATEMÁTICA


CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NO

NULA : Se procede a desdoblar la parte entera de la decimal. Ejemplo:

3,254 = 3 + 0,254

3,254 = 3 + 900

25254 −

3,254 = 3 + 900229

3,254 = 9002999

5.8. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Si se trata de decimales exactos, se busca que tenga la misma cantidad de cifras en la parte decimal completando con ceros. Al sumar o restar, se escribe un número bajo el otro cuidando que la coma decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se trataran de números enteros. En el resultado, se vuelve a escribir la coma decimal en la misma línea vertical que las demás. Ejemplos: (1) Efectuar: 0,3 + 12,78 + 3,2057

∗ Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

0,3000 12,7800

3,2057

16,2857

∗ Se efectúa como si fueran enteros :

La coma conserva el lugar de los demás

+

MATEMÁTICA


(2) Efectuar: 78,13 − 9,087

∗ Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

78,130

9,087

69,043

Si se trata de decimales inexactos, se opera con sus fracciones generatrices: Ejemplos: (1) Efectuar: 0,3 + 2,5 + 1,6

Solución: Se van a reemplazar los decimales periódicos puros por sus fracciones

generatrices:

= 961

952

93

++++

= 9

143 +

= ....,5554941

=

Respuesta: 0,3 + 2,5 + 1,6 = 4,5

(2) Efectuar: 31,62 - 7,36

Solución: Reemplazar los decimales periódicos mixtos por sus fracciones

generatrices:

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+90

336790

66231

Suprimiendo los paréntesis ⇒ = 90337

905631 −−+

= 902324 +

= 90

2183 = 24,25 =24,2555…

∗ Efectuando como si fueran enteros :

La coma conserva el lugar de los demás

MATEMÁTICA


5.8.1. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE DECIMALES. Viendo un ejemplo:

Efectuar: ( )[ ]{ }2202501011350251 ,,,,,, +−+−−

Eliminando paréntesis ⇒ = [ ]{ }2202501011350251 ,,,,,, +−+−−

Suprimiendo corchetes ⇒ = { }2202501011350251 ,,,,,, −+−−−

Suprimiendo llaves ⇒ = 2202501011350251 ,,,,,, +−++−

Se suman los positivos y negativos por separado:

= ( ) ( )0250502210113251 ,,,,,, +−+++

= 16,65 – 0,525

= 16,125

Ahora, resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento:

(1) ( )[ ]1525407625518 ,,,,, −−−+

A) 41,75 B) 31,75 C) 41,57 D) 75,41 E) 75,31

(2) ( )[ ]{ }12750400320080 ,,,,, +−+−

A) 2,75 B) 3,50 C) 1,578 D) 2,498 E) 5,310

(3) ( )[ ]1020850238502010 ,,,,,,, +−−+−+

A) 4,6 B) 3,50 C) - 1,5 D) 2,4 E) - 3,2

(4) ( ){ }...,...,...,..., 330221110220 +−+

A) 2/9 B) –11/9 C) –5/9 D) 1 E) 2

(5) ( ){ } { }...,,...,,...,, 44075022050330250 −++−+

A) 11/18 B) –11/18 C) 7/9 D) 12/7 E) 1

MATEMÁTICA


(6) 3 décimos + 85 milésimos + 458 centésimos

A) 4,965 centésimos B) 496,5 milésimos C) 49,65 centésimos

D) 496,5 centésimos E) 49,65 milésimos

(7) 75 décimos – 457 milésimos + 32 centésimos

A) 7363 centésimos B) 7363 milésimos C) 736,3 décimos

D) 73,63 centésimos E) 736,3 milésimos

(8) 200 décimos de centésimos + 40000 diezmilésimos de centésimos

A) 0,24 B) 2,4 C) 1,5 D) 4,24 E) 3,2 (9) Elio le dice a Oswaldo; si me dieras S/. 3,75 ambos tendríamos la misma

cantidad de dinero. Si entre los dos tiene S/. 42,50 ¿Cuánto dinero tiene Oswaldo? A) S/ 12,50 B) S/ 38,75 C) S/. 25,00 D) S/ 40,00 E) S/ 35,50

Comprobar respuestas: 1A 2D 3E 4B 5A 6D 7B 8A 9C

5.9. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

5.9.1. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR POTENCIAS DE 10. Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia la derecha tantas órdenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta correr la coma decimal para la izquierda. Observar que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir el valor: Ejemplo 1: Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 102. Basta correr la coma decimal dos órdenes hacia la derecha.

MATEMÁTICA


Entonces: 47,235 x 100 = 4723,5 ⇒ El valor relativo de 7 pasó ser 700 Corre 2 espacios a la derecha Además: 38,31152 x 1000 = 38311,52 ⇒ 8 pasa a ser 8000 Corre 3 espacios a la derecha Completar a simple vista:

a) 0,2356 x 1000 = _______

b) 0,7568565 x 100000 = ______

c) 0,012021 x 100000 = ______

d) 1,2 x 1000 = ________

e) 0,26 x 102 = ________

f) 0,000005 x 105 = ________

g) 2,58 x 104 = ________

h) 10,3 x 103 = ________

i) 0,5 x 105 = ___________

Verificar los resultados y corregir, si es necesario:

a) 235,6 b) 75685,65 c) 1202,1 d) 1200 e) 26

f) 0,5 g) 25800 h) 10300 i) 50000

Ejemplo 2: Para Dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres órdenes hacia la izquierda. Así: 13,235 ÷ 1000 = 0,013235 ⇒ El valor relativo de 13 enteros pasa a ser

0,013 (trece milésimos). “Corre 3 espacios a la izquierda” O también: 352,7 ÷ 100 = 3,527 ⇒ El valor relativo de 300 pasa a ser 3. “Corre 2 espacios a la izquierda”

MATEMÁTICA


Completar a simple vista, según el ejemplo:

a) 385,2 ÷ 100 = 3,852 b) 2500 ÷ 10000 = c) 2335,8 ÷ 100000 = d) 25000000÷ 105 = e) 3,20 ÷ 104 = f) 3002,4 ÷ 107 = g) 30000000 ÷ 109 = Verificar la respuesta: b) 0,25 c) 0,023358 d) 250 e) 0,00032 f) 0,00030024 g) 0,03 5.9.2. MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10. Recordar que la multiplicación es una suma indicada de sumandos iguales, entonces 6,33× puede efectuarse como sigue:

3,6 + Complete el ejercicio: 0,175 + x 3,6 ⇒ 3,6 x 0,175 ⇔ 3,6 3

10,8 10,8

Por tanto, para multiplicar números decimales:

Se multiplican los números como si fuesen enteros, y en el producto se separan tantos decimales, como tengan los factores.

MATEMÁTICA


Ejemplos: a) 5 x 1,41 = 7,05 b) 1,732 x 5 = 8,660 ⇒ 8,66 c) 0,012 x 1,2 = 0,0144 d) 1,25 x 1,4 = 1,750 ⇒ 1,75 Observar cómo se forman los resultados en los dos últimos ejemplos: 0,012 → 3 órdenes decimales 1,25 → 2 órdenes decimales 1,2 → 1 orden decimal 1,4 → 1 ..........................

24 500 12 125

0,0144 ← 4 ordenes decimales 1,750 ← ............................... Resolver los siguientes ejercicios: 23,12 x 24,786 x 0,0048 x 0,14 2,5 3,9 Rpta: 3,2368 Rpta: 61,965 Rpta: 0,01872 Observar el primer ejemplo y escribir la respuesta (a simple vista) de los ejercicios de reforzamiento que continúan. 0,35 x 0,2 x 0,0006 = 420 Se multiplica como si fuesen números enteros 2 cd + 1 cd + 4 cd = 7 cd Se completa con ceros, las cifras decimales que

faltan. = 0,0000420 = 0,000042 a) 0,005 x 0,06 =

b) 0,15 x 0,05 =

c) 5 x 0,0054 =

d) 2,48 x 0,005 =

e) 0,5 x 0,624 =

f) 3,20 x 0,5 =

g) 3,4 x 0, 11 =

h) 2,5 x 1,1

MATEMÁTICA


i) 0,071 x 0,011

j) 1,2 x 1,1 x 0,01 =

k) 0,03 x 0,002 x 0,1 =

l) 4 x 0.02 x 0,1 x 0,05 =

Comprobar las respuestas: a) 0,00030 b) 0,0075 c) 0,0270 d) 0,01240 e) 0,3120 f) 1,60

g) 0,374 h) 2,75 i) 0,000781 j) 0,0132 k) 0,000006 l) 0,00040

5.9.3. POTENCIACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Por definición de potenciación, se sabe que:

(0.2)3 = (0.2) × (0.2) × (0.2) = 0.008

Se puede hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de una forma práctica, por ejemplo:

(0,03)4 = 0.00000081

Resolver mentalmente las potenciaciones que se muestran en el cuadro siguiente:

1. (0.003)2 = 2. (0.07)2 = 3. (0.2)5 =

4. (0.05)3 = 5. (0.012)2 = 6. (0.13)2 =

2 cifras decimales

(0,03)4 = 0.00000081 Multiplicar la cantidad de cifras decimales por el exponente.

× 8 cifras decimales =

Hallar la potencia de la cifra

significativa: 34 = 81

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5.10. DIVISIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10. Suponiendo que se tienen 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo será:

13 5

2 caramelos para cada niño 3 sobrando 3 caramelos Propiedad: Si al dividendo y al divisor se multiplica por cualquier número entero “K”, y se repite la división, el cociente no se altera, sigue siendo el mismo, pero el verdadero residuo varía quedando multiplicado por el número “K”. Comprobando, multiplicar al dividendo y al divisor del ejemplo anterior por 4 y volver a dividir:

52 20

2 El cociente no varía 12 el residuo quedó multiplicado por 4 Comprobando otra vez la propiedad, multiplicando al dividiendo y al divisor por 100, y volviendo a dividir:

1300 500

2 El cociente no varía 300 el residuo quedó multiplicado por 100 Esta propiedad permite convertir a DIVISOR ENTERO al hacer operaciones con números decimales. Tomando por ejemplo, la división 39,276 ÷ 0,5. Observar que el divisor se convierte en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo y al divisor (recordar que al multiplicar por una potencia de diez a un número decimal, se corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así:

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3 9 2 , 7 6 5 0 4 2 7 8 , 5 5 Cociente 0 0 2 7 0 0 0 2 5 0 0 0 , 0 1 0,01 es el Residuo falso (quedó multiplicado

por 10) El verdadero residuo es 0,01 ÷10 = 0,001. Respuesta: Al dividir 39,276 ÷ 0,5 se obtiene Cociente: 78,55 Residuo: 0,001 Comprobando, utilizando el Algoritmo de la división: Dividendo = divisor x cociente + residuo

39,276 = 0,5 x 78,55 + 0,001

Desarrollar los siguientes cálculos como comprobación: 78,55 x + 0,5 Luego, se llega a la conclusión que para dividir decimales con coma decimal en el divisor, se sigue la siguiente regla: Realizar la división de 38,49 entre 0,6 y confirmar el resultado como se hizo con el ejemplo anterior.

Se convierte el divisor a entero, multiplicando por una potencia de 10. Se compensa esto multiplicando el dividendo con el mismo número (Potencia de 10). El verdadero residuo se obtendrá dividiendo el falso residuo entre el mismo número (Potencia de 10).

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EJERCICIOS: 1. Convertir en enteros los divisores, como el ejemplo: a) 4,6 ÷ 0,02 460 2

b) 1,45 ÷ 0,5

c) 8 ÷ 0,001

d) 4 ÷ 1,25

e) 1,2 ÷ 4,325

f) 4,82 ÷ 1,4

g) 6,247 ÷ 21,34

2. Dividir siguientes ejercicios, hasta llegar a obtener los cocientes en milésimos y además indicar cual es el verdadero residuo.

0,32 ÷ 0,13 = 3 2 , 1 3 0 6 0 2 , 4 6 1 Cociente

0 0 8 0

0 0 0 2 0 8 9 9

0 0 , 0 0 7 Falso residuo = 0,007

Verdadero Residuo = 0,007 ÷ 100 = 0,00007 a) 0,17 ÷ 15 =

b) 0,1 ÷ 0,03 =

c) 0,325 ÷ 0,19 =

d) 25,0087 ÷ 3,02 =

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Corregir los ejercicios 1 y 2: 1. b) 14,5 5

c) 8000 1

d) 400 25

e) 1200 4325

f) 48,2 14

g) 624,7 21,34

2. a) Cociente = 0,011 Residuo = 0,005 b) Cociente = 3,333 Residuo = 0,00001 c) Cociente = 1,710 Residuo = 0,0001 d) Cociente = 8,281 Residuo = 0,00008 EJERCICIOS: 3. Calcular la distancia “x” de la pieza. 4. Halla la medida de la distancia de “x”.

x5,7 m

x x

x

2,15 m

3,015 m

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5. En la Figura “O” y “P” son puntos medios de AB y CD respectivamente. Calcular

el valor de “x”. Comprobando respuesta de los ejercicios 3; 4 y 5: 3. 1,9 4. 0,865 5. 1,95 5.11. RADICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. Definición de una radicación: Reconociendo qué números decimales tienen raíz exacta a simple vista. Por ejemplo, hallar la raíz cúbica de 0,000064: 3 000064,0

Primero, analizar si la cifra significativa del número decimal tiene raíz exacta.

Bien, ahora se tiene que contar la cantidad de cifras decimales. Esta debe ser múltiplo o divisible por el índice radical.

Si cumple estas dos condiciones, entonces se puede afirmar con seguridad que el número 0,000064 tiene raíz cúbica exacta.

A 1

C D

O

P

x

6,24 7,02

15,6

3 000064,0

4643 =

3 000064,06 cifras decimales y es divisible

por el índice radical que es 3

nnn a b b a =⇔=n : índice radical a : radicando b : raíz

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Esa raíz exacta se obtendrá a simple vista de la siguiente manera:

Hallar la raíz de la parte significativa. Dividir la cantidad de cifras decimales, entre el índice radical, este cociente indicará la cantidad de cifras decimales que debe tener la raíz.

Ejemplo, hallar: 4 06250,00000000

EJERCICIOS

I. Completar el siguiente cuadro a simple vista, no usar calculadora.

¿Tiene raíz exacta?

Si tiene raíz exacta, ¿Cuál

es? ¿Tiene raíz

exacta? Si tiene raíz

exacta, ¿Cuál es?

1,44 sí 1,2 3 0,000008 0,0625 3 0,125

0,000049 3 0,027 1,21 3 0,0001

0,00000036 4 0,00000081 0,00009 5 0,00001

II. Resolver las siguientes operaciones combinadas con números decimales

1. ( ) =−+8

3 0,360,0270,09

Rpta: 0

6 cifras decimales

0,04 0,0000643 =÷

2 cifras decimales=

4643 =

12 cifras decimales 56254 =

0,005 06250,000000004 =÷

=3 cifras decimales

MATEMÁTICA


2. =−+

0,50,000010,1250,008 533

Rpta: 1,2

3. [ ] 4000,95 0,00000001 - 0,0270,000064 436 ×+×

Rpta: 20

4. 0,0001- 0,000000250,000004 + Rpta: 0,2

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una rueda de 0,12 m de longitud ¿Cuántas vueltas dará al recorrer 1,80 m?

Solución: Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia) Distancia recorrida = # vueltas x Lc. 1,80 m = # vueltas.(0,12 m) 15 = # de vueltas

2. Para comprar 20 tornillos faltarían 8 céntimos de sol, si se compran 15 tornillos, sobraría S/. 0,12. ¿Cuánto vale cada tornillo en soles?

Solución: Se tiene : T Precio de cada tornillo : P

20P = T + 0,08 15P = T - 0,12

5P = 0,20 P = 0,04

3. ¿En cuántos ochentavos es mayor 0,32 que 0,1325?

Solución:

15 x )80.(0,1875 x

0,1325 - 0,3280x

==

=

4. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y el aceite vale S/. 3,75 más que el frasco; entonces el precio del frasco es:

Solución: Frasco : F Perfume : P

F + P = 4,75 P - F = 3,75 2F = 1 F = 0,50

Restar miembro a miembro.

Restando miembro a miembro.

MATEMÁTICA


5. Efectuar:

3332666973555243555924E

,...,...,...,

+−

=

Solución:

100900

=E

= 3

6. En el dibujo hallar a - b + c

Solución:

3R = 19,50 R = 6,50

a = 21,75 - 2R = 21,75 - 13 = 8,75

b = 2R = 13

c = 2R + 3,25 = 13 + 3,25 = 16,25

a - b + c = 8,75 - 13 + 16,25

a - b + c = 12 mm

7. Guido da a un mendigo tantas veces 15 centavos como soles llevaba en la billetera. Si aún le queda S/. 170.00 ¿Cuánto llevaba en la billetera?

Solución: Soles que llevaba en la billetera : x

x - 0,15 x = 170 0,85x = 170 x = 200

8. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el ciento; se echan a perder 20 y los restantes los vendo a S/. 0,84 la docena. ¿Cuánto se gana?

Solución: Quedan por vender 180 alfileres que es igual a : 180/12 = 15 docenas Se vendió: 15 Docenas x 0,84 = S/. 12,60 Se Invirtió: S/. 10 por los dos cientos. Ganancia: S/.12,60 - S/. 10,00 = S/. 2,60

9. Andrés vendió 60,80 kg de hortalizas

por S/.160,72 sabiendo que en los 40 primeros kg ha ganado S/. 0,60 por kg y en los restantes ha perdido S/.0,35 por kg ¿Cuál fue el precio de compra?

Solución: En los 40 kg., ganó = 40.(0,60) = S/. 24 En el resto : 60,80 - 40 = 20,80 Kg perdió = 20,80.(0,35) = 7,28 Ganancia liquida: 24 – 7,28 = S/. 16,72

P. de Compra = P. de Venta - Ganancia P. de Compra = 160,72 - 16,72 = S/.144

10. ¿Qué fracción de 6,025 es 1,205?

Solución:

Fracción = 025,6205,1 = 1/5

3,25 mm

21,75 mm

19,50 mm

a

c

b

R

R

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

1. Tres cajas contienen diferentes artículos. La primera con segunda pesan 76,58

Kg., la segunda con la tercera 90,751 Kg. y la primera con tercera pesan 86,175 Kg. ¿Cuánto pesa la segunda caja? a) 40,84 Kg. b) 50,17 Kg. c) 40,578 Kg .d) 42,57 Kg e) 48,25 Kg.

2. Un depósito de 425,43 litros de capacidad, se puede llenar con dos caños .La

primera vierte 25,23 litros en 3min. y la segunda 31,3 litros en 5min. Si trabajan los dos juntos, ¿en cuánto tiempo podrán llenar el depósito? a) 27min b) 28min c) 29min d) 30min e) 8min

3. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34 m. De un extremo a otro de un

terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno? a) 60,254 m b) 162,558 m c) 154,058 m d) 156,915 m e) 52,128 m

4. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro

cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? a) S/. 70,20 b) S/. 72,28 c)S/.73 d) S/. 71,20 e) S/. 70

5. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20 y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la

recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió, subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros. a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

6. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos?

a) 0,6 b) 60 c) 600 d) 0,06 e) 6000

7. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para

comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada uno le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos? a) S/. 125 b) S/. 100 c) S/. 75 d) S/. 150 e) S/. 162

MATEMÁTICA


8. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería S/. 0,6. ¿Cuántos lápices tengo? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

9. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de

pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto sobrará de la barra en cm? a) 4 b) 4,52 c) 3,75 d) 4,25 e) 2,28

10. En el recorrido de un micro se observo que en total Viajaron 63 personas entre

adultos y universitarios. Si el pasaje de un adulto es S/. 1,25 y el de un Universitarios S/.0,75. ¿Cuántos adultos viajaron, si en total se recaudó S/. 64,75? a) 28 b) 53 c) 35 d) 45 e) 42

11. Si tiene 5 cajas y en cada caja hay 2,5 docenas de paquetes de medio ciento

de lápices cada uno. Si en total se pagó s/.9 975. ¿A cómo tiene que vender cada ciento de lápices para ganar S/. 0,65 en cada lápiz? a) 140 b) 192 c) 190 d) 198 e) 178

12. Calcular la suma de cifras de M.

Si: ( )

61122521025040M )

))

,,,, +×

=

a) 14 b) 11 c) 10 d) 19 e) 9

13. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su

capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos litros de vino se extrajo? a) 50 b) 65 c) 70 d) 50 e) 60

MATEMÁTICA


( ) ( )( )2

52

000004000200060

,,, ×

35218T ,=

( )2636910))

,, +

L

18,3m

r R

8,4m

14. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m

a) 12,40 m b) 14,20 m c) 11,84 m d) 15,30 m e) 13,64 m

15. Efectuar la siguiente operación.

a) 91072 −× b) 1 c) 41036 −× d) 41063 −×, e) 21018 −× 16. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, hallar la raíz cuadrada de “M” a) 1, 3 b) 1,2 c) 1,7 d) 1,01 e) 1,4 17. Hallar el valor de “E”

31380375032E)))

,,,, ÷−×= a) 0,72 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,55 e) 0,333… 18. Hallar el decimal equivalente a: a) 6,4 b) 12 c) 8 d) 8,25 e) 5,444…

MATEMÁTICA



1. Doce pernos cuestan S/. 1,20; si se venden 4 pernos por S/0,50 ¿Cuántas

docenas de pernos hay que vender para ganar S/. 2,40? A) 12 B) 10 C) 8 D) 18 E) 24

2. Efectuar :

1

...555,0...444,1...31414,0...31414,8

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=B

A) 1/2 B) 2/3 C) 4 D) 1/4 E) 2

3. Se vio una muestra de bronce que pesaba 4,55 kg, contenía 3,18 kg de

cobre y 1,37 kg de zinc. ¿En 500 kg de bronce cuánto cobre habrá? (Nota: la razón de cobre a bronce será constante en cualquier cantidad de bronce) A) 300 kg B) 250 kg C) 324 kg D) 349 kg E) 180 kg

4. En una tienda hay arroz de dos calidades cuyos precios son S/. 2,00 y S/.

1,50 el kg. ¿Cuántos kg de arroz de mayor precio se deben poner para obtener una mezcla de 50 kg de arroz de S/ 1,80 el Kg? A) 30 kg B) 25 kg C) 32 kg

) D) 49 kg E) 18 kg 5. Se quiere formar un cubo sólido con ladrillos cuyas dimensiones sean

0,12m; 0,10m; y 0,18m. ¿Calcule el menor número de ladrillos? A) 3000 B) 2500 C) 3240 D) 2700 E) 2800

6. ¿Cuántas de las siguientes fracciones generan números decimales

inexactos periódicos mixtos?

4743

165

30301

4117

9009

6023 ;;;;;

A) 1/2 B) 2 C) 4 D) 3 E) 1

7. Hallar 3R

, si:

),)(,)(,(),)(,)(,(

007015000202520000500280R =

A) 1,20 B) 2,50 C) 1,50 D) 0,80 E) 0,50

MATEMÁTICA


UNIDAD 06

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

MATEMÁTICA


6.1. POTENCIACIÓN. Es la operación que consiste en repetir número llamado base, tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, denominando al resultado de esta operación potencia. Ejemplos:

a. 625555554 =×××= b. 2733333 =××=

c. 7771 == d. 322222225 =××××=

e. 278

32

32

32

32 3

=××=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ f. ( ) 125,05,05,05,05,0 3 =××=

6.2. SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN. El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.

a. ( ) PositivoPositivo =impar o Par b. ( ) PositivoNegativo = Par c. ( ) NegativoNegativo = Impar

Ejemplos:

a. (+2)4 = +16 b. (+2)5 = +32

c. (-2)4 = +16 d. (-3)2 = +9

e. (-2)5 = -32 f. (-3)3 = -27

g. 8116

32 4

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− h.

641

41 3

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

P bn =b : base n : exponente P : potencia

P b....bbb bn =××××=“n” veces

MATEMÁTICA


NOTA: Observar el siguiente ejemplo:

81 - 3333 - 3- 4 =×××= “El exponente solo afecta al número 3”, mientras que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 81 3333 - 3- 4 +=−×−×−×= “El exponente afecta al signo y al número 3” Por lo tanto: -34 ≠ (-3)4 6.2.1. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLO

Exponente cero

a0 = 1; (a ≠ 0)

00 = Indeterminado

a) 177 00==

b) ( ) =−× 02173 Indeterminado

Producto de potencias de igual base an x am = an+m 83535

222x2 ==+

Cociente de potencias de igual base

m-nm

n

aaa

= ( )( )

( ) ( )5383

8

2222

−=−=−− −

Exponente negativo

n

nn

a1

a1a =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

n

nnn

ab

ab

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

22

34

43

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Potencia de un producto ( ) nnn baba ×=× ( ) 44 444 x25x25 =

Potencia de un cociente n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

22

43

43

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Potencia de una potencia ( ) bccb aa = ( ) 15x5353

222 ==

MATEMÁTICA


Exponente de exponente

( )cc bb aa = 9x333 2222

==

Potencia de la unidad 1n = 1 a) 18 = 1 b) 115 = 1

EJERCICIOS Completar el número que falta en el casillero correspondiente:

1) (-5)3 = 2) (+7)2 = 3) (-1)715 =

4) (-10)3 = 5) (-9)2 = 6) (-4)3 =

7) (+5)3 = 8) (+1)17 = 9) (-7)3 =

10) (-4)4 = 11) (-1)13 = 12) -113 =

13) (-1)80 = 14) -180 = 15) (-5+5)3 ─ 3 =

16) 3

52⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− = 17)

3

52⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− = 18)

3

32

− =

19) 4

52⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− = 20)

4

52⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− = 21)

4

32

− =

Completar los casilleros para que se verifique las siguientes igualdades 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )77777 327 −=−−−−

2) ( ) ( )( ) ( )17

171717

373

125250

−=−

−−

3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3327927 8583 −=−−+− 4) ( ) ( )( ) =−− +− 882 137

5) ( )( )

( )( )19

131913

69

+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

MATEMÁTICA


6) ( )[ ]{ } ( )1313..5.3.2. −=−

7) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )5..2..3523

3.564 +×−×−=+−−

8) ( )[ ]{ } ( )[ ]{ } =−+−− 3.0.58.

57.77.20. 19253 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15153155 615915 +=−+−−

10) [ ]( )[ ] ( ) 9987..........9. 9517 +−−=−

11) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )155353 12.27.3.9.4. =−−−−

12) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

27

72

83.

13) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 2

53

14) ( ) =− 213

15) 11111111

311

117

75

53

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − =

Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:

n

ba⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Al cuadrado Al cubo A la cuarta

21

32−

21−

23

52−

MATEMÁTICA


6.3. RADICACIÓN.

La RADICACION es una operación inversa de la potenciación.

En la potenciación se vio que:

23 = 2 x 2 x 2 = 8.

Al factor 2 que se repite (BASE) se llama raíz cúbica de 8. Simbólicamente se

tiene: 3 8 = 3 32 =2

Si 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

Se dice que 2 es la raíz………………de 16.

La notación será:

....................164 ==

O que es lo mismo, raíz cuarta de 16 es 2.

⇒ Al trabajo de sacar raíz se denomina RADICACIÓN, que es una operación

inversa de la POTENCIACIÓN.

OBSERVACIONES:

A LA RAIZ TERCERA se le llama también RAIZ CÚBICA.

A LA RAIZ SEGUNDA se le llama RAIZ CUADRADA.

Así mismo:

23 = 8 ⇔ 3 8 = 2 (se lee RAÍZ CÚBICA DE OCHO)

15 = 1 ⇔ 5 = 1 (se lee RAÍZ……………………………………………… )

32 = 9 ⇔ 2 = 3 ( se lee……………………………………………………)

51 = 5 ⇔ …...= 5 (se lee RAÍZ PRIMERA DE CINCO RAIZ……………

MATEMÁTICA


Ver los nombres de los términos de la radicación ( ).

Luego:

La radicación es la operación que asocia al par ordenado (b;n), con b ∈ |R y n ∈ |N,

un número real (si existe) llamado raíz enésima de b, que se denota n b

Radicación: |R x |N* → |R

(b, n) → n b = a ↔ an = b

Donde:

• Si b> 0, entonces a > 0

• Si b >0 entonces a< 0 (si existe)

Ejemplos:

a) 3,0027,03 −=−

b) 36− = no existe en el conjunto de números reales (R).

ALGORITMO DE UNA RAÍZ CUADRADA.

Se va a hacer un ejemplo paso a paso para mostrar cómo se hace. Suponiendo que se quiere hallar la raíz cuadrada de 59074 En primer lugar se separan las cifras de dos en dos empezando de derecha a izquierda así:

5.90.74

MATEMÁTICA


Buscando un número cuyo cuadrado sea 5 o menor que 5, que será 2. Se escribimos el 2 en la caja de la derecha:

Se eleva 2 al cuadrado, que da 4 y se le resta al 5, quedando 1:

Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 90, separando la última cifra de la derecha, o sea el cero.

Se pone el doble de 2 debajo, o sea un 4:

Y se divide 19 entre 4 que cabe a 4. Se añade ese 4 a la derecha del otro 4 y se multiplica por 4 el 44:

MATEMÁTICA


Se resta 190 menos 176 y se escribe debajo del 190, subiendo ya el 4 a la derecha del 2:

Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 74, separando la última cifra de la derecha:

Se baja el doble de 24, o sea 48 y se divide 147 entre 48:

Como esa división cabe a 3, se añade un 3 a la derecha del 48 y se multiplica 483 por 3:

Se resta 1474 menos 1449, quedando 25 de resto:

MATEMÁTICA


De tal forma que: 59074252432 =+ “Donde 25 es el residuo de la radicación.” Si el número del que se quiere hallar la raíz es decimal la separación de las cifras de dos en dos se hace desde la coma hacia la derecha y hacia la izquierda. Si en la raíz cuadrada anterior se quiere sacar decimales, se bajan dos ceros a la derecha del 25, se pone una coma después del 243 y se sigue el mismo procedimiento.

EJERCICIOS.

Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números e indicar su raíz cuadrada, el residuo y realizar su comprobación.

Número Raíz cuadrada Residuo Comprobación 58708 242 144 14424258708 2 += 99500

734449

1522756 RAIZ CUADRADA POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS FACTORES PRIMOS.

Se va a hallar la raíz cuadrada de 435 600, empleando el método descomposición en sus factores primos. Primero. Descomponer en sus factores primos el número 435600.

2224 11532435600 ×××=

Segundo. Extraer la raíz cuadrada de 435600, utilizando la propiedad de radicales (Raíz de una multiplicación indicada).

660115321153211532435600 222242224 =×××=×××=×××=

MATEMÁTICA


Entonces 660435600 =

Otro ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 216000.

60532532216000 23 3363 =××=××=

EJERCICIOS Calcular la raíz que se indica en cada caso (ver cuadro), utilizar le método de descomposición de factores primos.

Número Procedimiento Respuesta

3 2744 1472722744 3 333 =×=×= 14

7744

4 50625

18225

6.3.1. SIGNOS DE LA RADICACIÓN.

SIGNOS DE LA RADICACIÓN EJEMPLOS

a) +=+ Impar o Par

1) 381 +=+ 4

2) 232 +=+ 5

3) 11 +=+ 724

4) 11 +=+ 725

MATEMÁTICA


b) - Impar =− 1) 464 −=− 3

2) 11 −=− 547

c) =− Par No existe en el conjunto

de números reales (R)

1) =− 4 16 No existe en R.

2) 540 =−1 No existe en R.

6.3.2. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLOS

Raíz de un Producto

nnn b.aab = 1) 1243 =×=×= 333 642764x27 2) 30103 =×=×=×= 4444 1000811000081810000

Raíz de un Cociente .

n

nn

ba

ba=

1) 104

10000256

10000256

4

44 ==

2) 7730

11765

121493625

121493625

=××

=××

=××

Raíz de una Potencia

( ) nbb

a aa nn b ==

1) ( ) 4 ) (2 2 ===233 2 88

2) 27333 335

10535 105 === ¡Se simplifica el exponente fraccionario!

3) 255125125125 2233 215 ==== 10 ¡ Se simplifica el índice radical con el exponente!

4) 5

565

785

4925

4925

72 23

6 6

6 36 186

6

318

=×

=×

=×

=×

MATEMÁTICA


Raíz de una raíz

n.mn a.a =m

1) 204 5 77 = 2) 7777 132 328 4 32 ===

3)

1696

16923

1383

1383

1383

2

31

120 240

120 40120 1203 8

240

40120

=×

=

×=

×=

× 5

Consecuencia de las propiedades anteriormente mencionadas

n m baba mnn ××=×

1) 63 233 525858 ×=×=×

2) 623

168116811681 44

=×=×=×=×

n nn baba ×=× 1) 753535 2 =×=

2) 33 33 80102102 =×=

p.m.nn m p cba xx.xc ).p b m . a (

x ++

= Ejemplo:

613

1226

23222)333(

3 233 2222248.8 ==== ××+×+×

32

6.3.3. RADICALES HOMOGENEOS Y RADICALES SEMEJANTES. Radicales Homogéneos. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical. Ejemplos:

a) 7 ; 8 ; 65 ; 5

23 “Todos son raíces cuadradas”

x + x +

MATEMÁTICA


b) 3 25− ; 533

; 3 7 ; 3 5 “Todos son raíces cúbicas”

Radicales Semejantes. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical y la misma cantidad subradical. Ejemplos:

a) 7 ; 5

73 ; 72− “Todos son raíces cuadradas de siete”

b) 3 25− ; 523

; 3 2 ; 3 24 “Todos son raíces cúbicas de dos”

6.3.4. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES. Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz. Ejemplos:

1) Simplificar 720

Se descompone 720 en sus factores primos: 532720 24 ××=

Algunos factores tienen exponentes divisibles por el índice radical; se procede a extraer esos factores:

512532532720 224 =××=××=

2) Simplificar 3 17280

Se descompone 8640 en sus factores primos: 53217280 37 ××=

MATEMÁTICA


Algunos factores tienen exponentes mayores que el índice radical, se descomponen de tal forma que tengan exponentes divisibles por el índice radical.

3

32

33 33 6

3 363

1012

5232

5232

532217280

=

×××=

×××=

×××=

3) Simplificar 50 Se puede simplificar a simple vista algunos radicales, esto dependerá mucho de la habilidad del ejecutor, observar con cuidado:

252 =×=×= 25 2 25 50 3) Simplificar 327

2282472167327 =××=××=×= 2167

EJERCICIOS

Simplificar los siguientes radicales:

a) 3 7 27 × 332333 63 6 1449277277277 =×=××=××=

b) 3 875

c) 3 54

d) 5 12500

e) 3 1080

f) 7 1920

6.3.5. OPERACIONES CON RADICALES. ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES. Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes. Algunos ejemplos:

Se buscan 2 números cuyo producto sea 50 y uno de ellos debe tener raíz cuadrada exacta.

MATEMÁTICA


1) Efectuar: 2428223 −+−

( ) 2624813

2428223

=−+−=

−+−

Sumar y restar sólo los coeficientes.

2) Efectuar: 6356852 33 +−+

6115

6368552

6356852

3

33

33

+=

++−=

+−+

Se suman y restan solo los radicales semejantes.

2) Efectuar: 3250223 −+ Se tiene que simplificar cada radical, para poder sumar (obteniéndose radicales semejantes):

2924210233250223 =−+=−+ MULTIPLICACION DE RADICALES. Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos.

n dbcadcba nn ××=× Ejemplos: 1) Multiplicar: 333 742352 ××

33333 7024725432742352 =×××××=××

2) Multiplicar: 55 3734

53

×

5555 12

35934

73

533

734

53

=×××=×

MATEMÁTICA


DIVISIÓN DE RADICALES. Si los radicales son homogéneos se dividen los coeficientes y los radicandos.

( ) ( )n. dbcadcba nn ÷÷=÷ Ejemplos: 1) Dividir: 33612 ÷ ( ) 24312 =÷÷=÷ 3633612

2) Dividir: 3

3

36727224 33

3

3

231

3672

7224

36727224

=×=

6.3.6. RACIONALIZACIÓN DE RADICALES. Cuando se tienen fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: CASO I: Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si se quiere racionalizar el denominador de la fracción 2

5 , se

multiplicará numerador y denominador por 2

225

225

2225

25

2==

××

=

MATEMÁTICA


Otro ejemplo. Racionalizar 18

32

Si antes de racionalizar se extraen los factores que se puedan en el radical del denominador, se tiene:

2

2 3 2 3 2 318 3 22.3

= =

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por 2 para eliminar la raíz del denominador:

36

2362

223232

2332

=×

=××

=

También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 18 2 3 2 3. 18 2 54 54

18 918 18. 18= = =

Y ahora se extraen factores de la raíz del numerador y se simplifica.

36

9323

932

954 3

=×

=×

= , como se ve da el mismo resultado.

CASO II: Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo35

7−

, multiplicar numerador y denominador por 35 +

( )( )( )

7 5 375 3 5 3 5 3

+=

− − +

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una

diferencia, o sea una expresión del tipo ( )( ) 22 bababa −=−+

MATEMÁTICA


( )( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )2 2

7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 375 3 25 3 5 3 5 3 5 3

+ + + += = = =

−− − + −

Otro ejemplo:73

2+

, ahora multiplicar numerador y denominador por 73−

( )( )( )

( ) ( )2 3 7 2 3 7 2 3 72 3 79 7 23 7 3 7 3 7

− − −= = = = −

−+ + −

CASO III: Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, “n”, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una potencia de exponente “n”.

Por ejemplo: 3 25

1

Se factoriza el radicando del denominador: 3 23 5

1251

= y como 553 3 = , se va a

multiplicar numerador y denominador por 3 5 para completar la potencia de 5:

3 3 3

3 3 3 32 2 33

1 1 5 5 5525 5 5 5 5

= = = =

Otro ejemplo: 4 22 ,

Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego

basta multiplicar por 4 32

4 4 43 3 34 3

4 4 43 44

2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2

= = = =

MATEMÁTICA


EJERCICIOS NIVEL I

1. Extraer la raíz de: a) 2916 b) 45796 c) 2401 d) 63,845 e) 0,8436 2. Valor de potencias:

a) (-3)2 = b) (-2)2 + 24 = c) (-4)2 - (-3)2 = d) (-4)3 -2(-4)3 = 3. Suma y resta de potencias:

a) 2. 32 + 4.32 = b) 4.33 – 2.33 = c) 2. (-4)2 - 52 = d) (-4)3 +33 -2(-4)3 = 4. Multiplicación de potencias con bases iguales:

a) 2. 22 .22.2 2 = b) 3.33 . 3.33 = c) 4. 42 . 42 = d) 2b.23 .2 3 .2b3 = 5. Multiplicación de potencias con exponentes iguales:

a) 42 .32.5 2 = b) 23. (0,3)3 = c) 2. 33. 43 = d) 2b3.3b3 .5b 3 = 6. Potencias con exponentes negativos:

a) 5 -2 = b) 2-3. 3-2= c) 2-3. 3-2. 4-3 = d) -2-3 +( -3)-3 = 7. División de potencias con bases iguales:

a) 25 :22 = b) 33 : 31 = c) 46 : 42 = d) 6n4x5 : 2n4 x3 8. División de potencias con exponentes iguales:

a) 45 :25 = b) 63 : 33 = c) 166 : 46 = d) 6n5x3 : 2n5 x3 9. Multiplicación y división de potencias:

a)5.3.25.4.2 2

b) 5.3.2

5.6.42 c)

b6.b4.b3b5.b3.b2

3

5

d) d9.b5.16d6.b7.b80

2

MATEMÁTICA


10. Potencia de potencias:

a) 23.5 b) (3-4)-2 c) (-2-3)-2 d) (2-2.2-4.32.5-3)-2 11. Potencia de sumas:

a) (2+3).(2+3) b) (1+6).(1+6) c) (3a-1)2 = d) (3-2b).(3+2b) = 12. Conversión en factores de potencias:

a) 4-4a+a2 b) 25 + 30b +9b2 c) x2 +8x + 15 d) (25-c2)/ (5+c) EXTRACIÓN DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A 1. Extraer la raíz de:

a) 2916 b) 45796 c) 8,2944 d) 4,53 e) 2401

f) 88,36 g) 6,3504 h) 7,569 i) 63,845 j) 0,8436

2. Un pivote excéntrico se ha de forjar con un corte transversal cuadrado de

15,9 cm2 ¿Qué longitud tienen los lados?

3. La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 15,9 cm2. Calcular el diámetro de la cadena.

4. La sección transversal de un vástago de émbolo se tiene que agrandar en un

12,7%, es decir 360 mm2 ¿Qué longitud tendrá el diámetro del vástago de émbolo?

5. La sección transversal interior de una instalación de transporte es de 45,6

cm2. ¿Qué longitud tiene el diámetro interior del tubo?

MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE RAÍZ CUADRADA NIVEL I-A Problema 1.- VER FIGURA Un punzón perforador con corte transversal cuadrado tiene 2025 mm2 de superficie. Calcular la longitud de los lados

a) 45 mm b) 17 mm c) 15 mm d) 24 mm e) 35 mm Problema 2.- VER FIGURA

La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 176,715mm2

Calcular el diámetro de la cadena. a) 5 mm b) 7 mm c) 15 mm d) 12 mm e) 13 mm Problema 3.- VER FIGURA La sección transversal de una costura de garganta (cordón de soldadura) de 45o es de 16 mm2. Calcule la longitud de los catetos.

a) 5,65 mm b) 7,1 mm c) 1,5 mm d) 1,25 mm e) 1,36 mm

MATEMÁTICA



1. Determinar la suma de cifras del menor número tal que al agregarle sus tres

cuartas partes se obtenga un cubo perfecto. a) 1 b) 16 c) 8 c) 27 d) 9 e) 25

2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay entre 1521 y 15878?

a) 10 b) 87 c) 98 c) 27 d) 39 e) 55

3. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si

se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados; se emplea 261 árboles más cuando los cuadrados son 2 m de lado, que cuando son de 4 m. ¿Hallar el lado del terreno? a) 36 b) 17 c) 48 c) 27 d) 39 e) 35

4. En el centro de un terreno que tiene la forma de un cuadrado, se ha construido

un almacén cuyas esquinas forman una superficie de 49 m2 con las esquinas de los límites de la propiedad. Si el almacén ocupa una extensión de 361 m2. ¿Cuál es el área de toda la propiedad?

a) 1089 m2 b) 1024 m2 c) 2420 m2 d) 1280 m2 e) 1325 m2

5. Un terreno esta sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en el interior hay 476 árboles más que en el perímetro, ¿Cuántos árboles hay en total? a) 625 b) 676 c) 576 d) 729 e) 616

6. Hallar el residuo de extraer la raíz cuadrada de 13,5742

a) 318 b) 0,1 c) 0,318 d) 0,0318 e) 4,5742

7. Reducir: 2318983283502

+−

−+

a) 12 b) 6/7 c) 12/7 d) 5/7 e) 6

MATEMÁTICA


8. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las proposiciones:

I. ( ) ( ) 0x ; 1x.xn22n ≠∀=−

II. ( ) ( ) 282- 51

52

−=−. III.

91273n2 nn =−− .

IV. xxn

n 22 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−

a) VVFV b) FVVF c) VVVV d) VFVV e) FFFV

9. Efectuar: 5 45 4 133133 E +−++= . a) 5 3 b) 10 3 c) 5 9 d) 1 e) -1

10. Efectuar: 72

22

73

21

73

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

a) 9/7 b) 7 c) 1 d) 2/7 e) 8

11. Efectuar: 6

3232 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

a) 16 b) 64 c) 8 d) 128 e) 256

12. : a equivale

2732108

−−

a)

31319 + b) 333 + c) –2 d) 2726 + e) 1084

13. El Factor racionalizante de : 5 648137

, es a b hallar a + b :

a) 17 b) 37 c) 12 d) 784 e) 1

14. Simplificar : 3510

7512

108541661224

....

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Efectuar: ( )3333 2505416 +− a) 256 b) 216 c) 212 d) 144 e) 128

MATEMÁTICA


16. Efectuar: [ ] 5,2.4,06,08,0 32323232 −−−=E a) 4 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64

MATEMÁTICA


UNIDAD 07

TRIGONOMETRÍA BÁSICA

MATEMÁTICA


7.1. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES. Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida alguna fracción del ángulo de una vuelta. Principales sistema de medidas angulares:

• Sistema Sexagesimal (inglés) : Sº • Sistema Centesimal (francés): Cg • Sistema Radial o Circular: R rad 7.1.1. SISTEMA SEXAGESIMAL (S). La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. Parte del ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 360º

Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1′) y el Segundo Sexagesimal (1″), donde:

1º equivale a 60′ 1′ equivale a 60″ 1º equivale a (60x60)″ ó 3600″

7.1.2. SISTEMA CENTESIMAL ( C ). La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte del ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 400g

Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el Segundo Centesimal (1s), donde:

90°

180°

MATEMÁTICA


1g equivale a 100m

1m equivale a 100s

1g equivale a (100x100)s ó 10000s

7.1.3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR ( R ). La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de un ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud del arco de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.

El ángulo de una vuelta mide 2π rad.

7.1.4. RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. Sea θ un angulo donde:

S representa la medida de θ en grados Sexagesimales. C representa la medida de θ en grados Centesimales. R representa la medida de θ en Radianes.

Donde la fórmula de Conversión es:

100g

200g

θ

R

L

rad2π

radπ

“Si L = R entonces la medida del ∠ θ, es igual a un radián o simplemente θ = 1 rad.”

MATEMÁTICA


π==

R200

C180

S

Observaciones:

S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos).

Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa se emplea

sólo: 200C

180S

= ; simplificando se obtiene: 10C

9S

=

Donde:

Otras equivalencias importantes: Ejemplos: 1) Convertir 45° a grados centesimales.

Como S = 45°, remplazar en la siguiente fórmula:

9S.10C = ( ) g50

9º45.10C ==

2) Convertir 125g a radianes.

Como C = 125g, remplazar en la siguiente fórmula:

200CR

=π

200125R

=π

rad8

5R π=

3) Convertir 5

3π radianes a grados sexagesimales.

Como R = 5

3π rad, remplazar en la siguiente fórmula:

109.CS =

910.SC =

9° = 10g 27′ = 50m 81″ = 250s

180° = π rad 200g = π rad

MATEMÁTICA


π=

R180

S π

π

= 53

180S ( )

ππ

=5

3180S º108S =

OTRA FORMA: Multiplicar la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que está conformado por una fracción equivalente a la unidad. En el denominador de tal fracción se escribe la unidad a eliminar y en el numerador la unidad que se busca.

Por ejemplo para convertir 5

3π rad a grados sexagesimales se hará de la siguiente

manera:

rad.º180

5rad.31

5rad.3

π×

π=×

π

Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION) sabiendo que: 180° = π rad.

Luego: º1085

º1803rad.

º1805rad.3rad

53

=×

=π

×π

=π

4) Convertir 0,621° a segundos centesimales. Solución: Se va a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN. No olvidar que:

s

m

s

g

mg

69001

1001

100º9

10º621,0º621,0 =×××=

5) Convertir 7500s a minutos sexagesimales.

5́,40601́

2508175007500 "s

"ss =××=

9°=10g 1g=100m 1m=100s

Recordar que: 81” = 250s 1´ = 60”

MATEMÁTICA


EJERCICIOS

1. Completar el siguiente cuadro en el sistema de medidas angulares pedido:

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg ) RADIAL ( R rad ) 1 30º

2 60º

3 90º

4 45º

5 27º

6 53º

7 16º

8 74º

9 8º

10 91 1/9g

11 16 2/3g

12 83 1/3g

13 25g

14 75g

15 20 5/9g

16 79 4/9g

17 29 4/9g

18 127 π 360

19 2 π 3

20 5 π 4

21 27 π 36

MATEMÁTICA


1. SOLUCIÓN DE LAS APLICACIONES

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg ) RADIAL ( R rad )

1 30º 33 1/3g 1 π rad 6

2 60º 66 2/3g 1 π rad 3

3 90º 100g 1 π rad 2

4 45º 50g 1 π rad 4

5 27º 30g 3 π rad 20

6 53º 58 8/9g 53 π rad 180

7 16º 17 7/9g 4 π rad 45

8 74º 82 2/9g 37 π rad 90

9 8º 8 8/9g 2 π rad 45

10 82º 91 1/9g 41 π rad 90

11 15º 16 2/3g 1 π rad 12

12 75º 83 1/3g 5 π rad 12

13 22,5º 25g 1 π rad 8

14 67,5º 75g 3 π rad 8

15 18,5º 20 5/9g 37 π rad 360

16 71,5º 79 4/9g 143 π rad 360

17 26,5º 29 4/9g 53 π rad 360

18 63,5º 70 5/9g 127 π rad 360

19 120º 133 1/3g 2 π rad 3

20 225º 250g 5 π rad 4

21 135º 150g 3 π rad 4

MATEMÁTICA


7.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS. Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo agudo. En el triángulo rectángulo que se muestra, los catetos son los lados a y b; la hipotenusa es c, además:

Cateto opuesto de α es “a” Cateto adyacente de α es “b” Cateto opuesto de β es “b” Cateto adyacente de β es “a”

Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “α” serian:

Hipotenusaopuesto Cateto

ca Seno ==α

opuesto Catetoadyacente Cateto

ab Cotangente ==α

Hipotenusaadyacente Cateto

cb Coseno ==α

adyacente CatetoHipotenusa

bc Secante ==α

adyacente Catetoopuesto Cateto

ba Tangente ==α

opuesto CatetoHipotenusa

ac Cosecante ==α

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES.

α

β

b

ac

30º

60º2kk

k 337º

53º5k3k

4k

45ºk 2 k

k45º

16º

74º25k7k

24k 8º

82º10kk 2

27 k15º

75º4k

( 26 + )k

( 26− )k

MATEMÁTICA


TABLA DE VALORES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

F.T. 8º 15º 16º 37/2º 53/2º 30º 37º 45º 53º 60º

Sen 10

2 4

26 −

257

101

51 1

2 3 5 2

1 4 5 2

3

Cos 10

27 4

26 +2524

103

52

23 4

5 21 3

5 1 2

Tng 71

2626

+−

247

31 1

2 31 3

4 1 1

4 3 1

3

Ctg 17

2626

−+

724

13 2

1 13 4

3 1 1

3 4 3

1

Sec 27

10 26

4+ 24

25 310

25

32 5

4 12 5

3 2 1

Csc 2

10 26

4−

725

110

15 2

1 5 3 1

2

5 4 3

2

7.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES. Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los semiejes del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL. Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º; 360º. Las razones trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente tabla:

sen cos tg cotg sec cosec0º ó 360º 0 1 0 ND 1 ND

90º 1 0 ND 0 ND 1

180º 0 -1 0 ND -1 ND

270º -1 0 ND 0 ND -1

10 k k

3k

37º 2

k

2k

5 k

53º2

75° 4k

15° k

0°

90°

180°

270°

360°

MATEMÁTICA


ND: “No definido” Ejemplos de aplicación: Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:

1. º53cos

º16cos6º45cos2 2 + =

53

25246

212

2

×+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×

=

53

25144

212 +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×

=

53

5121+

=

535

17

= 3

17

2. 3 22

3sec3

6ctg5 π

+π = 3 22 º60sec3º30ctg5 + = ( ) ( )3 22

2335 ×+×

= 3 4335 ×+× = 3 27 = 3

7.4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a partir de dos datos, uno de los cuales debe ser lado. Para resolver triángulos rectángulos se pueden presentar dos casos: I. Los datos conocidos son: dos lados. II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo. Ejemplos: 1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Solución: Como datos se tienen la medida de dos lados, “este problema corresponde al caso I.”

Para hallar el tercer lado “a”, se aplica el Teorema de Pitágoras.

28 m

35 m a

α

β

MATEMÁTICA


Razón Trigonométrica de α

21a441a

441a2835a3528a

2

222

222

==

=

−=

=+

El ángulo α se halla estableciendo una razón trigonométrica que relacione lados conocidos.

º37β

""

;

==β

αβ

====

53º - 90º:tanto lo por ,"" de ocomplement el es

53ºα :Entonces 54Cos53 el Pero ;

54

3528Cosα o

2. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Solución: Como datos se tienen la medida de un ángulo agudo y un lado, “este problema corresponde al caso II.” Hallando β, que es el complemento de 16°

β = 90° - 16° β = 74°

Se calcula “a”: tomando una razón trigonométrica de 16°, que relacione el dato con la incógnita.

)( RT conocido Lado

odesconocid Ladoα=

cm 14 a

257

cm 50a

16º sen cm 50a

=

=

=

b

50cm a

16°

β

b

50cma

16°

β

MATEMÁTICA


Se calcula “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez conviene trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16°.

cm 48 b

2524

cm 50b

16º Cos cm 50

b

=

=

=

7.5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE SENOS. “En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos” Ejemplo: 1. Resolver el triángulo que se muestra continuación: Solución: Resolver el triángulo consiste en hallar la medida de sus lados y sus ángulos internos. Se tiene que hallar las medidas de “L”, “β” y “θ”. Primero hallar el valor de “θ” aplicando la ley de senos:

b

50cma

16°

β

α β

θ a b

c

θ=

β=

α Senc

Senb

Sena

37º

θ β

70 m

84 m

L

MATEMÁTICA


30º : Entonces ; 21

70

37º Sen70

θ Sen70m

37º Sen84m

=θ=θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×

=θ

×=θ

=

Sen

8453

Sen

84Sen

Ahora hallar el valor de “β”:

37º + 30º + β = 180º β = 113º Aplicando la Ley de senos para calcular el valor de “L”:

m 128,87 L : Entonces

Tablas) (Por 0,9205 67º Sen ;

210,9205m 70

30º Sen67º Senm 70 L

Cuadrante) I (Reducción Sen67º113º Sen :Pero

30º Sen

113º Senm 70 L

30º Sen70m

113º SenL

=

=×

=×

=

=

×=

=

7.6. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE COSENOS. “En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.

2ab.Cosθbac 222 −+=

37º

30° 113°

70 m

84 m

L

a

θb

c

MATEMÁTICA


Ejemplo: 1. Hallar la medida del lado “x” Solución:

( )( )cos37º201222012x 222 −+=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

54480400144x2

384544x2 −= m. 104 160x ==

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. Sobre un cuerpo actúa una fuerza vertical de 20 N hacia arriba, una fuerza

hacia la izquierda de 15 N. ¿Qué ángulo forma la resultante con la horizontal? a) 53° b) 33,7° c) 25° d) 37° e) 45°

2. Un cuerpo que pesa 100kg fuerza, sube un plano inclinado de 37° ¿Hallar aproximadamente el valor de la normal en Newton? . (1kg-f = 9,81 N) a) 298 b) 537 c) 706 d) 593 e) 785

3. Convertir 5° a radianes.

a) 8π b) 7π c) 6π d) 3π e) 36π

4. Convertir 0.5 radianes a grados sexagesimales (π = 3,1416): a) 35° b) 44,1° c) 50° d) 28,65° e) 39°

37º

20 m

12 m

x

MATEMÁTICA


5. Hallar el valor de 2 radianes en grados (π = 3,1416): a) 77° 47´ 45 ´´ b) 57° 37´ 45 ´´ c) 27° 17´ 25 ´´ d) 114° 35´ 29 ´´ e) 58° 17´ 45 ´´

6. Encontrar el valor del θcos , si el 5.0=θsen

a) 0.78 b) 0.86 c) 0.5 d) 0.63 e) 0.83

7. Hallar el valor de la θTg , si la 4=θCtg .

a) 0.31 b) 0.20 c) 0,25 d) 0.34 e) 0.60

8. Se observa un árbol a una distancia de 25m, con una ángulo de elevación de

53° ¿Cuál es la altura del árbol aproximadamente? a) 85m b) 33,3 m c) 125m d) 37,4 m e) 29,5 m

9. Se observa desde lo alto de un edificio de altura 20m a un auto, con un ángulo

de depresión de 37°. Si el auto de aleja del edificio a una velocidad de 15m/s ¿A qué distancia del edificio se encontrará aproximadamente el auto, en 2 segundos? a) 75m b) 56,67m c) 115m d) 50m e) 250m

10. ¿A qué es equivalente 5

4π rad?

a) 130° b) 124° c) 136° d) 124° e) 164°

MATEMÁTICA


11. Expresar 150° en radianes. a) rad 54π b) rad 45π c) rad 34π d) rad 65π e) rad 6π

12. En un triangulo rectángulo, el perímetro es 90 cm y el coseno de uno de los ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de su hipotenusa. a) 13 b) 26 c) 39 d) 52 e) 65

13. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo

a) 2 b) 22 c) 23 d) 2 e) 4

14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:

SenCsenAM :Calcular .125cotA −==

a) 3/13 b) 5/13 c) 7/13 d) 9/13 e) 11/13

15. Si Tgα = Sen245° + Cos60°. Hallar. Sen α (α Es un ángulo agudo)

a) 22 b)

223 c)

42 d)

82 e) 2

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II 1. Hallar “ x”

a) 4 b) 4 2 c) 4 3 d) 4 6 e) 6

2. Hallar AF si AM= 2 5

a) 3.873 b) 7.746 c) 5

d) 35

e) 10 3. Hallar (X + Y):

a) 35 b) 30 c) 40 d) 20 e) 25

4. Hallar R:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

52

MATEMÁTICA


UNIDAD 08

MEDIDAS DE LONGITUD

MATEMÁTICA


8.1. MEDIDAS DE LONGITUD. Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, tomada como unidad de medida Cientos de años atrás, la gente media el largo de objetos usando partes del cuerpo. Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo, el ancho de un pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos extendidos (de la punta de un dedo hasta la punta del otro), eran 6 pies. Cuando los británicos comenzaron a establecerse en Norteamérica las colonias usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel tiempo. Aún había confusión entre medidas que llegaron hacerse hasta más confusas después de la Revolución Americana, pues cada una de las 13 colonias trataba de encontrar una norma uniforme de pesas y medidas. También los Franceses, Españoles y Holandeses tenían sus propias normas y nadie estaba de acuerdo. Es así que en el año 1832, el Departamento de Tesorería dispuso que Ferdinad Rudolph Hassler construyera las normas de medida y masas, y en el año 1836, el Congreso oficialmente creó la Oficina de Pesos y Medidas. Hassler escogió el Sistema Imperial de Inglaterra sobre el sistema métrico. Sin embargo, el Sistema Internacional (SI) de Unidades (Sistema Métrico), es aceptado como la norma de medidas.

8.1.1. UNIDAD FUNDAMENTAL (EL METRO).

Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental de la magnitud longitud es el METRO.

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DEFINICIÓN DE LA UNIDAD

Longitud metro m

Longitud del trayecto recorrido en el vacío, por un

rayo de luz en el tiempo de

s 458 792 299

1

MATEMÁTICA


8.1.2. PREFIJOS EN EL S.I.

Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades básicas o derivadas. 1.1 PREFIJO SÍMBOLO FACTOR NOMBRE DEL VALOR

NUMÉRICO

Para formar múltiplos decimales

exa peta tera giga mega kilo hecto deca

E P T G M k h da

10 18 10 15 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10

trillón mil billones billón mil millones millón mil cien diez

Para formar submúltiplos decimales

deci centi mili micro nano pico femto atto

d c m

μ n p f a

10 -1 10 -2 10 -3 10 -6 10 -9 10 -12 10 -15 10 -18

Décima centécima milésima millonésima mil millonésima billonésima mil billonésima trillonésima

En el caso de la medida de longitud:

Múltiplos Submúltiplos

kilómetro 1.2 HECTÓMETRO decámetro metro decímetro centímetro milímetro

X 1000 1.3 X 100 X10 : 10 : 100 : 1000

1000 m 1.4 100 M 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

1 km 1.5 1 HM 1 dam 1 m 1 dm 1cm 1 mm

MATEMÁTICA


2 Largo = …………unidades

Aplicar este conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo. Anotar estos datos, usando como unidades de medida el centímetro y el milímetro.

Largo ....................... cm ... ........................ mm Ancho ...................... cm ........................... mm Alto ........................... cm ........................... mm

Sin embargo, el centímetro y el milímetro, no son las únicas unidades de medida, si se toman 10cm, se tiene 1 decímetro.

1 decímetro = 10 centímetros Y si se toman 10 decímetros, se tiene 1 metro (1 m) que es la unidad principal de medida de longitud. Como ejercicio, tomar las medidas de longitud y anotar sus resultados.

a) Un libro ⇒ b) Un salón de clase ⇒ c) Un lápiz ⇒

Continuar multiplicando cada unidad por 10 y se tiene:

10 m forman 1 decámetro ⇒ dam

10 dam forman 1 hectómetro ⇒ hm Observar, con atención, los dibujos de abajo. Cada una de las aristas de los cuerpos recibe, en geometría, el nombre de segmento de recta. Medir algunos de ellos, recordando que medir un segmento de recta es verificar cuantas veces una unidad está contenida en él.

2

MATEMÁTICA


3 Ancho = ……. Unidades Altura = ……. Unidades

4 Muy Importante: El número es la MEDIDA y el segmento (u) es la UNIDAD DE MEDIDA.

Subrayar, entonces, con un trazo, la medida, y con dos, la unidad de medida.

Ejemplo:

La longitud de la regla es de seis pulgadas.

La broca de tres cuartos está sobre la bancada.

Compré mil milímetros de alambre de cobre.

Esta caja contiene doce docenas de pernos.

La primera clase comienza a las 7 h y 15 minutos. En los dibujos de la página anterior, los segmentos medidos representan: Largo, ancho y altura. La unidad (u), tomada como medida, fue el centímetro (cm). Notar que cada centímetro está dividido en partes iguales, cada una de las cuales se llama milímetro (mm). En la medición de la longitud: se tiene: 6 u = 6 cm = 60 mm. Se puede comprobar que: 10 veces 1 milímetro es igual a 1 centímetro 10 x 1 mm = ........ mm = 1 ....... Completar: Ancho = 2,5 u = 2,5 cm = .......... mm alto = 1 u = 1 cm = .......... mm Por consiguiente, se acaba de formar un conjunto (Sistema Internacional) de unidades de medidas de longitud. Observar el cuadro:

MATEMÁTICA


8.1.3. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO.

MÚLTIPLOS UNIDAD SUBMÚLTIPLOS

km 4.1 HM dam m dm cm mm

kilómetro 4.2 HECTÓMETRO decámetro metro decímetro centímetro milímetro

1000 m 4.3 100 M 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Observación: Es preciso aclarar que: • Existen múltiplos mayores que el kilómetro. • Existe submúltiplos menores que el milímetro. Por ejemplo: En mecánica de precisión y en trabajos científicos, se usan otros submúltiplos

del metro, como por ejemplo la millonésima parte (μ micra) del metro que se

denomina micra (μ m). Resumiendo se tiene: Medidas mayores que el metro, o sea, múltiplos del metro:

decámetro dam 1 dam = 10 m

hectómetro hm 1 ....... = 100 ........

kilómetro km 1 .........= ……........

1 KM = 10 HM = 100 DAM = 1 000 M

MATEMÁTICA


Medidas menores que el metro, o sea submúltiplos del metro:

decímetro dm 1 dm = 0,1 m

centímetro cm 1 ....... = ......... m

milímetro mm 1 ....... = .............

1 MM = 0,1 CM = 0,01 DM = 0,001 M

EJERCICIOS

Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados anteriormente: 1. Completar:

a) 5 dam = cinco decámetros

b) 18 mm = ...................................................

c) ........................... = doce kilómetros

d) ........................... = nueve hectómetros

e) 35 cm = .....................................................

f) . .....................dm = siete .......................... 2. Completar:

a) 9,082 km = 9 km, 8 dam y 2 m

b) 13,052 km = ......... km, ........ hm, ...... dam y ...…. m

c) ............dam = 19 dam, 5m y 3dm

d) 9,5 ..............= 9 m y 5 dm

e) 8,25 dm = ............. y .............

3. Se sabe que: 1 dam = 10 m

MATEMÁTICA


Entonces, completar:

a) 8 dam = 8 x 10 = 80 m

b) 28 dam = ............................ = .......................... m

c) 3,4 dam = ........................... = …………………. m

d) 53 m = 53 ÷ 10 = 5,3 dam

e) 156 m = ……………………. = …………………. dam

f) 90 m = ……….……………. = ……………….… dam 4 También se sabe que:

1 hm = 10 dam

Completar entonces:

a) 5 hm = 5 x 10 = 50 dam

b) 0,8 hm = ......................... = ........................ dam

c) 58 hm = ......................... = ….……………. dam

d) 30 dam = 30 ÷ 10 = ………. hm

e) 48 dam = …………..…… = ……..………….. hm

f) 0,08 dam = …………… .. = …….………...… hm 5. Siguiendo el raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades,

completar:

a) 2 km = 2 x 10 = 20 hm

b) 72 km = ........................... = …………………. hm

c) 0,8 km = ……………….… = …………………. hm

d) 5 m = 5 x 10 = 50 dm

e) 3,8 m = ..………………….. = …………………. dm

f) 4 dm = 4 x 10 = 40 cm

g) 52 dm = …………………... = ….………..……. cm

MATEMÁTICA


8.1.4. CONVERSIÓN DE UNIDADES. La unidad escrita se refiere a la cifra que está a la izquierda de la coma decimal, que usted debe haber observado. Ejemplo: En 45,87dm, se tiene 5 que corresponde al casillero de dm. Para convertir unidades, basta recordar el principio de la numeración decimal. Por consiguiente, para escribir 45,87 dm en metros, se tiene:

M dm cm Mm 4,587 m

4 5 8 7 que se lee, 4 metros y 587 milímetros

Observar con atención, la escalinata con sus “carteles”.

Pues bien: Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la derecha.

Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia la izquierda. Realizar ahora los ejercicios que siguen: 6. De las equivalencias:

1 dam = ........... m 1dm = ….............. m

1 hm = ………….m 1cm = ..…………..m

1 km = .…………m 1mm = ….……….. m

km hm

dam

m

dm

cm mm

MATEMÁTICA


7. Siguiendo el Ejemplo, no olvidar que la unidad indicada se refiere al orden

colocado inmediatamente antes de la coma decimal.

Ejemplo: 35,40 m = 35 m y 40 cm 2,5 mm = .....................................

802,7cm = ................................... 1,520 km = ....................................

7,28 dm = .................................... 0,85 m = .................................... 8. Completar, observando el ejemplo:

a) Nueve metros y treinta centímetros = 9,30 m

b) Doce decímetros y doce milímetros = .............................................

c) Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = ...........................

d) Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = ..........................

9. Complete el cuadro, observando los ejemplos: Ejemplo:

m dm cm mm

a) 7 mm a 7 b) 14,5 dm b 1 4 5

c) 4,5 m c

d) 20,1 cm d

e) 0,2 m e

f) 12,5 cm f

g) 3 m g

h) 0,8 dm h

10. Responder:

a) ¿Cuál es mayor? ¿5cm ó 25 mm? .............................................

b) ¿Cuál es menor? ¿2dm ó 12 cm? ...............................................

c) ¿Cuántos dm hay en 1 metro? ....................................................

d) ¿Cuántos cm hay en 1 metro? ....................................................

e) ¿Cuántos mm hay en 1 metro? ...................................................

MATEMÁTICA


11. Completar:

a) En 1 km hay ........................................ metros

b) En 1 hm hay ........................................ metros

c) En 1 dam hay ...................................... metros

d) En 3 m hay ...........................................decímetros

e) En 5 m hay ...........................................centímetros

f) En 10 m hay ........................................ milímetros 12. Completar:

6m = .................................. dm 23 dm = ......................... m

9,7m = …………………….. dm 80 dm = ………………… m

88,53 m = ……………….… dm 8,2 dm = ……...………… m

0,44 m = ………………….. dm 33,4 dm = ..……..…..….. m 13. Colocar convenientemente los símbolos en las siguientes conversiones:

a) 45,67 m = 456,7 ................ g) 289,05 km=28 905 .............……

b) 45,67 m = 4567 ……….…. h) 300,7 mm = 3,007 …..………….

c) 45,67 m = 45 670…………. i) 0,7 dam = 0,007 ………………….

d) 45,67 m = 4,567 …………. j) 10 hm = 100 000 …………………

e) 45,67 m = 0,4567 ………... l) 9,47 cm = 94,7 ............................

f) 45,67 m = 0,04567 ............ m) 4000 dm = 4 ……………………. 14. Escribir en los puntos, los valores correspondientes:

a) 8 m = ........................ cm g) 4 cm = ......…...........…..... dam

b) 17 m = ………………. mm h) 38 cm = .….………….….. m

c) 9,5 m = ……………… cm i) 680 cm = …………….…. m

d) 0,16 m = ………….… dm j) 77,5 cm = ………………… hm

e) 0,007 m = ………….. km l) 6,91 cm = ......................... dm

f) 2800 m = .................... cm m) 0,25 cm = ……………….. mm

MATEMÁTICA


15. Efectuar, haciendo la conversión de unidades conveniente:

80 cm + 0,7 Km + 5,2 m = ............................................................ m

4,8 dam – 1 000 mm + 85 cm = …………………………………… cm

27,6 m – 1,360 dam = …………………...………………………… m

Solucionario:

1. b) Dieciocho milímetros

c) 12 km

d) 9 hm

e) Treinta y cinco milímetros

f) 7 dm = siete decímetros 2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m

c) 19,53 dam

d) 9,5 m

e) 8 dm, 2 cm y 5 mm 3. b) 28 x 10 = 280 m

c) 3,4 x 10 = 34 m

e) 156 : 10 = 15,6 dam

f) 90 : 10 = 9 dam 4. b) 0,8 x 10 = 8 dam

c) 58 x 10 = 580 dam

d) 30 : 10 = 3 hm

e) 48 : 10 = 4,8 hm

f) 0,08 : 10 = 0,008 hm 5 b) 72 x 10 = 720 hm

c) 0,8 x 10 = 8 hm

d) 3,8 x 10 = 38 dm

c) 52 x 10 = 520 cm

MATEMÁTICA


6. 1 dam = 10m 1 dm = 0,1 m

1 hm = 100 m 1 cm = 0,01 m

1 km = 1000 m 1 mm = 0,001 m 7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm

7,28 dm = 7dm y 28 mm

2,5 mm = 2 mm y 5 décimos de mm

1,520Km = 1 Km y 520 m

0,85 m = 85 cm 8. Doce decímetros y doce milímetros = 12,12 dm

Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = 48,7cm

Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = 32,8 mm 9.

m dm Cm mm .......... ........ .......... ............ ..........

c 4 5 d 2 0 1 e 0 2 f 1 2 5 g 3 h 0 8

10. a) 5 cm b) 12 cm c) 10 dm d) 100 cm e) 1000 mm 11. a) 1000 m d) 30 dm

b) 100 m e) 500 cm

c) 10 m f) 10 000 mm

12. 6m = 60 dm 23 dm = 2,3 m 9,7 m = 97 dm 80 dm = 8 m 88,53 m = 885,3 dm 8,2 dm = 0,82 m 0,44 m = 4,4 dm 33,4 dm = 3,34 m

MATEMÁTICA


13. a) ………………. = 456,7 dm g) ……………. = 29 905 dam

b) ………………. = 4567 cm h) ……………. = 3,007 dm

c) ………………. = 45 670 mm i) ………….…. = 0,007 km

d) ………………. = 4,567 dam j) …………….. = 100 000 cm

e) ………………. = 0,4567 hm l) …………….. = 94,7 mm

f) ........................ = 0,04567 km m) .................. = 4 hm 14. a) ……………….. = 800 cm g) …………….. = 0,004 dam

b) ……………….. = 17 000 mm h) …………….. = 0,38 m

c) ……………….. = 950 cm i) ……………… = 6,80 m

d) ……………….. = 1,6 dm j) ……………… = 0,00775 hm

e) ……………….. = 0,000 007 km l) ……………… = 0,691 dm

f) ………………… = 280 000 cm m) ……………. = 2,5 mm 15. 0,80 m + 700 m + 5,2 m = 706 m

4800 cm – 100 cm + 85 cm = 4785 cm

27,6 m – 13,6 m = 14 m Observación: Unidades que permiten medir a seres microscópicos o distancias inapreciables por los seres humanos:

1 micra < > 0,001 milímetros.

1 nanómetro < > 0,000 001 milímetros.

1 angstron (A°) < > 0,000 000 1 milímetros. Unidades que permiten medir enormes distancias, como la distancia de los planetas:

1 año luz < > 9,461 mil millones de kilómetros.

(distancia que recorre la luz en un año)

1 unidad astronómica < > 149 600 000 km de longitud.

MATEMÁTICA


8.2. SISTEMA INGLÉS. Ahora se va a pasar de una a otra unidad (pulgada) que además se emplea en las especificaciones de materiales y de productos de USO industrial: la pulgada. En la industria, las medidas de máquinas, herramientas, instrumentos e instalaciones, se utiliza también otra unidad de medida, denominada PULGADA. 8.2.1. PULGADA. La pulgada se representa simbólicamente por dos comillas (“) colocadas a la derecha y un poco encima de un número.

La figura de abajo representa un tipo de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe con atención: La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en inglés significa “pulgadas”.

8.2.2. EQUIVALENCIAS DE PULGADAS.

Por consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milímetros y cuatro décimos, aproximadamente.

Dos pulgadas se abrevia

Tres pulgadas se abrevia

2 ”

3 ”

1”

25,4 mm

MATEMÁTICA


1 3”4

Las medidas en PULGADAS pueden ser expresadas:

En NÚMEROS ENTEROS Ej.: 1”; 2”; 17”

En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.

Ej.: 8"5

4"3

'2"1 ;;

En NÚMEROS MIXTOS, cuya parte fraccionaria tendrá, también, como

denominador 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.

Ej: 64

"1374"31

'2"12 ;;

Se encuentran algunas veces pulgadas escritas en forma decimal.

Ej.: "25,0"4"1"5,0

2"1

== "75,0"4"3"125,0

8"1

==

1pulgada = 1” = 25,4 mm

Además: 1pie = 1′ = 12″ pulgadas

1yarda = 3 pies = 3′ = 36″

1 pie = 0,3048 m 1 yarda = 0,9144 m 1 m = 3,28 pies

1 pie = 1′

1″

3”4

MATEMÁTICA


Para medir una longitud utilizando pulgadas, es necesario que se observen las divisiones de la regla:

1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8 partes iguales, por tanto

cada división es 1/8” (un octavo de pulgada).

2. Cada pulgada fue además dividida en 16 partes iguales (la menor división es

161 ); excepto una parte de 1” cuya menor división es

321 (de 1” a 32”)

Ver la medida de la longitud AB

La regla indica:

3. La pulgada está dividida en 8 partes iguales. De A hasta B se tienen .......... partes iguales. . Por consiguiente la pulgada fue dividida en 8 partes y se están tomando 5 partes, luego: La medida de A hasta B es …… Observar finalmente la lectura de las medidas indicadas en las reglas que siguen, comenzando siempre la cuenta del inicio de la regla.

Medida A = 2” Medida B = 8"51 Medida C =

2"12

Medida D = 4"33 Medida E =

16"1 Medida F =

16"13

MATEMÁTICA


Ejercicio:

Medida G = 2"12 Medida H =

8"7 Medida I =

4"13

Medida J = 32

"17 Medida L = 16

"15 Medida M = 32

"71

Efectuar las lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo:

8.2.3. TRANSFORMACIÓN DE PULGADAS EN MILÍMETROS. Para transformar pulgadas en milímetros, usted debe multiplicar el número presentado en pulgadas por 25,4 mm. Es fácil llegar a esta conclusión: 1. Si 1” es igual a 25,4 mm 5” será igual a 5 veces 25,4 mm ¿Cierto? 5” = 5 x 25,4 mm = ........................................... mm

2. ===4

34,2543

4"3 xx ………………………….. mm

3. 0,8” = 0,8 x 25,4 mm = ........................................... mm

4. ...................................811

8"31 == x

MATEMÁTICA


Observar los ejemplos del cuadro y complételo convenientemente.

Pulgada Número x 25,4 mm mm

1” 1 x 25,4 mm 25,4 mm

3” 3 x 25,4 mm 76,2 mm

5” 5 x 25,4 mm .............

10” 10 x ................................. .............

2"1

2mm 25,4

14,25

21

=mmx 12,7mm

4"3

mmxx4

4,2531mm 25,4

43

= 19,05

8"72

84,2523

1mm 25,4

823 mmxx = ..............

16"11

....................16

"11=x ..............

Se verá ahora cómo se hace el problema inverso, esto es.

8.2.4. TRANSFORMACIÓN DE MILÍMETROS A PULGADAS.

Para transformar milímetros en pulgadas, usted debe dividir el número presentado en milímetros entre 25,4 y después multiplicar el resultado por 1” o fracción equivalente, es decir:

128"128

64"64;

32"32;

16"16;

8"8;

4"4;

2"2 ó

Hacer esta multiplicación para obtener la fracción de pulgada. Observar con atención los ejemplos y completar: 1. Transformar 50,8 mm a pulgadas:

24,258,50

8,504,25"1

=→→

mmmm

mmxmm

MATEMÁTICA


2.1” = 2”

Rpta. = 50,8 mm = .......................

2. Transformar 12,7 mm a pulgadas:

5,04,257,12

=mmmm

0,5 . 1” = 0,5” = 2"1

2"1

6464:

12864

128"128.5,0 == Rpta. = 12,7 mm = ...........................

3. Transformar 10 mm a pulgadas:

=mm

mm4,25

10 ....................

....................... x 1” = .......................

ó ................................ x _________......

"50128

"128=≈x

Rpta. = 10 mm = 64

"25

Resolver los ejercicios siguientes:

Transformar:

a) 21,2 mm a fracción irreductible de pulgada.

=mmmm

4,252,21 ................ x 1” = ............................

ó ............... x =128

"128 ................... Rpta. = 21,2 mm = .............

MATEMÁTICA


b) 2 mm a fracción irreductible de pulgada:

Rpta. = 2mm = ....................

Para resolver estos problemas se acostumbra usar REGLA PRÁCTICAS ver:

TRANSFORMAR MILÍMETROS A PULGADAS (NÚMERO DECIMAL).

En este caso, se tendrá que dividir el número de milímetros entre.........

Pues bien, dividir entre 25,4 mm es lo mismo que multiplicar por 4,25

1 , ¿De

acuerdo?

Como: 03937,04,25

1= , se puede escribir la primera regla práctica:

Para transformar milímetros a pulgadas representadas por números decimales, se multiplica los milímetros por ......................... obteniéndose el resultado en pulgadas (decimales).

Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en número decimales.

10 x 0,03937 = 0,3937”

Ejemplo: Transformar ahora 25 mm en fracción decimal de pulgada.

Rpta. .......................

TRANSFORMAR MILÍMETROS A FRACCIÓN ORDINARIA DE PULGADA.

Ahora multiplicar por 04,54,25

128,128128

4,251

=comoperox se tiene la segunda regla

práctica. Luego:

MATEMÁTICA


Para transformar milímetros a fracción ordinaria de pulgada, se multiplica los milímetros por 5,04 (numerador), y se coloca el resultado sobre el denominador 128.

Observar el ejemplo con atención, que se entenderá mejor la segunda regla

práctica.

Ejemplo: Transformar 10 mm a fracción de pulgada:

64

"25128

"50128

04,510==

x

Rpta. .....................

Resolver ahora aplicando la regla práctica.

1. Transformar 21,2 mm a fracción ordinaria de pulgada

128"107

12804,52,21

==x

2. Transformar 2 mm a fracción de pulgada:

Rpta. ...................

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PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban en el mes de enero 3 km de una

carretera, en febrero 3 hm 8m y en el mes siguiente 14 dam 34m. ¿Cuántos hectómetros de carretera se han asfaltado en los tres meses?

km hm dam m dm 3 0 3 0 8 1 4 3 4

Es decir, 34,82 hm

2. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden obtener de una tira de

madera de 5 m 6dm?

hm dam M dm cm 0, 0 5 0 0 6 0

Es decir, 560 cm, luego el número de varillas = 2028560

=cmcm

3. Una lámina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12 partes iguales.

¿Cuál es la longitud de cada parte, si en cada corte se pierde 0,93 mm del material? Para obtener 12 partes se deberá hacer 11 cortes, pero en cada corte se pierde 0,93 mm del material. Luego, por los 11 cortes se perderá:

0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023 cm. Entonces quedará: 29,343 cm – 1,023 cm = 28,32 cm

Por lo tanto, la longitud de cada parte será: cmcm 36,21232,28

=

4. ¿Cuántos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas medidas

son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho? Largo 20 cm = 200 mm Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm

MATEMÁTICA


Área de la hoja = (200 mm) . (100 mm) = 20 000 mm2 Área del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2

Por lo tanto, el número de cuadraditos será = 8002500020

2

2

=mm

mm

5. El perímetro de un rectángulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, ¿Cuánto

mide el largo del rectángulo, expresar la respuesta en dm? Perímetro del rectángulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm Como el ancho mide 250 mm, el largo medirá:

750 mm – 250 mm = 500 mm.

6. Convertir a fracción de pulgada 92,075 mm.

Aplicando la regla de conversión: 853

829

128464

12804,5075,92 ⟩⟨⟩⟨=× pulgadas.

7. Una cinta metálica esta graduada en pies, pero en forma errónea, de tal manera

que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies. ¿Cuál es la verdadera medida de una tira de madera de 6,25 pies?

Si 6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg 15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg 18 pies = 18 x 12 pulg = 216 pulg Aplicando regla de tres simple directa, se tendrá: 180 pulg _________ 216 pulg 75 pulg _________ x

Luego: x = 90 pulg

8. A qué es equivalente 437 pulgadas en metros.

lg75,775,07437

437 pu=+=+= , que convertidos a mm dará:

7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado en metros. 0,19685 m

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CONVERSIÓN DE UNIDADES DE LONGITUD 1. Convertir en cm:

0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7 dm; 0,01 m; 62,8 mm; 0,68 dm

2. Convertir en dm:

3,21 m; 0,48 m ; 3,4 mm; 8,6 cm; 7,88 mm; 32, 08 m; 7,85 cm

3. Convertir en mm:

2,84 dm; 6,82 m ; 5,8 dm; 0,3 m; 6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm

4. Convertir en m:

2,84 dm ; 7621 cm ; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm; 482,5 mm; 0,85 cm 5. Sumar en mm:

3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34, 1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm 6. Sumar en cm:

3,42 m + 38 cm + 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm

7. Restar en m:

86, 4m – 8,2 cm – 3,45 cm – 0,87 dm – 0,0034m – 0,082 dm

8. Un acero cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. ¿Qué longitud tiene la pieza restante (en m)?

9. Los extremos de dos tubos de 420 mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a tope

entre sí. Calcule la longitud del tubo soldado en cm.

10. La distancia entre centros de dos perforaciones de 44 y 23 mm de diámetros respectivos es de 318,5 mm. ¿Qué distancia existe entre las perforaciones?

11. Se quieren poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres

distancias iguales ¿Qué longitud tienen los espacios?

12. En un hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a igual distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha distancia.

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PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.

1. Efectuar y expresar en metros la respuesta: 1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm

A) 52,554 m B) 16,554 m C) 46,56 m D) 26,45 m E) 12,954 m

2. Efectuar y expresar en milímetros la respuesta: 0,123 dm + 42,7 cm + 0,0057 m – 240 mm

A) 367 mm B) 20,5 mm C) 2040 mm D) 205 mm E) 248 mm

3. ¿Cuántas varillas de 2,8 dm de longitud, se podrán obtener de una varilla de 5m 6 dm? A) 36 B) 18 C) 20 D) 40 E) 48

4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm y se corta los 3/8 de ella, ¿Qué longitud

queda? A) 7,8 m B) 0,078 8 m C) 780 dm D) 780 mm E) 78,8 dm

5. Cierta persona compró 123,45 dam de cable eléctrico, de los cuales vende

0,004 km, utiliza 1246 cm y dona 340 dm. ¿Cuánto le queda? A) 116,5 dam B) 1184,04 m C) 11,84 dm D) 1184 cm E) 116,52 m

6. La medida de la arista de un cubo es 0,52 m, ¿Cuál será la suma de las medidas de todas sus aristas? A) 31,2 dm B) 20,8 dm C) 41,6 dm D) 42,7 dm E) 62,4 dm

7. El perímetro de un hexágono regular mide 450 cm, ¿Cuánto mide cada lado?

A) 0,75 cm B) 0,007 5 m C) 0,075 m D) 75 dm E) 0,75 m

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PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-A

1. Calcular en centésimas de hectómetro: 200” + 205,25m + 0,45km

a) 660,33m b) 660,33cm c) 660,033mm d) 606,30m e) 660,33hm

2. De una pieza de madera de 10yd 7,62cm se ha obtenido trozos de 33cm cada una. ¿Qué longitud falta para completar un trozo más, si en cada corte se pierde 1cm? a) 5,02cm b) 2,6cm c) 28,98cm d) 29,98cm e) 310,2cm

3. Del gráfico hallar: a+b+c+d. a) 123 mm b) 20,23 mm c) 19,8 mm d) 10,2 mm e) 310,2 mm

4. Reducir a milésimas de dam: 12dam 6cm 20dm 11,5cm a) 12,620m b) 122,175cm c) 12217,5cm d) 12217,5mm e) 122,75cm

5. Si: A= 45,8cm – 0,0428m;

B= 0,82dm + 14,3cm. C= 2(A – B)/3. Hallar el exceso de A sobre C.

a) 28,84cm b) 10,2cm c) 2,16cm d) 24,12cm e) 48,24c 6. Hallar el perímetro de la figura:

a) 158,342mm b) 159,524mm c) 162,412mm d) 222,25mm e) 222,5mm

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PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III-B

1. ¿A cuántos centímetros equivale "

413 ?

a) 2,54cm b) 10,2cm c) 8,255cm d) 6,72cm e) 9,28Cm

2. El equivalente de 127mm a pulgadas es:

a) 4” b) 5” c) 6” d) 8” e) 3”

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones.

I. 13,56dm < > 1m 35cm 6mm

II. 31,67m < > 3Dm 16dm 7cm III. 5,608Hm < > 56Dm 8m IV. 2,24dm < > 0,2m 24cm

a) VVFF b) VVFV c) VVVF d) VVVV e) FVVF

4. ¿Cuántas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de

14,696dm de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin que sobre material? a) 8 b) 79 c) 80 d) 75 e) 87

5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm – 0,025m – 4,269dm

a) 2,048dm b) 10,2dm c) 0,25dm d) 0,553dm e) 1,248dm

6. Cortando los 2/7 y los 3/5 de una varilla de cobre, la longitud de ésta ha

disminuido en 124cm. ¿Cuál era la longitud de la varilla en centímetros? a) 140 b) 120 c) 160 d) 144 e) 158

7. ¿Cuántos centésimos de milímetro están contenidos en dos décimos de metro?

a) 200 b) 2 000 c) 20 000 d) 200 000 e) 20

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8. Al dividir un listón de madera de 2,1 pies de longitud, de tal manera que el trozo

menor mida los ¾ de la longitud del mayor. Dar la medida, en centímetros, del trozo mayor. a) 36,57 b) 36,576 c) 36, 574 d) 36, 5 e) 43

9. Hallar el perímetro de la figura en fracción de pulgadas. 14,3=π

a) "

12853

b) "

3253

c) "

81

d) "

12825

e) "

3221

10. Convertir 2,04mm a fracción ordinaria de pulgada.

a) "

81 b)

"

161 c)

"

647 d)

"

645 e)

"

83

11. Hallar el perímetro de la región sombreada. Si R = 2,4 mm 14,3=π

a) 31/64” b) 25/64” c) 29/32” d) 43/64” e) 19/32” 12. Hallar la longitud del contorno de la figura. a) 370,44mm. b) 342,32mm. c) 387,35mm. d) 328,52mm. e) 387,24mm.

r r

R

0,24 mm 0,24 mm

2,34 mm

2,34 mm

″

813

″

214

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13. Hallar el radio de la circunferencia:

a) 1/32” b) 19/128” c) 7/16” d) 11/64” e) 7/32” 14. 98 006 dm se puede expresar como:

a) 9 Km 7 Hm 6dm b) 8 Km 8 Hm 8dm c) 8 Km 7 Hm 8dm d) 9 Km 8 Hm 6dm e) 9 Km 6 Hm 6dm

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UNIDAD 09

MEDIDAS DE TIEMPO

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9.1. MEDIDA DE TIEMPO. En la antigüedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de agua o de arena, carecían de divisiones especiales para contar los minutos. Hasta principios del siglo XVIII los relojes no tenían minutero, pero a comienzos del siglo XIX aparece ya hasta el segundo. ¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Es verdad que, en este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros, pero el sonido recorre ya 33 centímetros; un avión cerca de medio metro, la Tierra, en este intervalo de tiempo, recorre 30 metros de su órbita alrededor del sol, y la luz, 300 kilómetros. En la actividad laboral y académica, por lo general, establecemos un registro del tiempo empleado en la confección de un artículo, en los trabajos de taller, para la investigación, la elaboración de un informe, la atención al cliente, etc. En Informática hablamos de tiempo de acceso; en fotografía, tiempo de exposición; en el deporte, tiempo muerto; en astronomía, tiempo sideral; en religión, tiempo litúrgico; en lingüística, tiempo compuesto como forma verbal, entre otros. Y tal como otras magnitudes, los intervalos de tiempo pueden medirse.

Unidad Fundamental.

Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad fundamental de la magnitud tiempo es el SEGUNDO.

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DEFINICIÓN DE LA UNIDAD

Tiempo segundo s Es la duración de 9 192 631 770 períodos de

la radiación correspondiente a la transición

entre los dos niveles hiperfinos del estado

fundamental del átomo de cesio 133.

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9.2. MULTIPLOS DEL SEGUNDO. Se tiene al MINUTO y a la HORA. El instrumento para medir el tiempo se llama ....................................... El tiempo es la única magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la hora local utilizando el segundo y sus múltiplos (minuto y hora) se recomienda lo siguiente: 1. En la representación numérica del tiempo se emplearán las cifras arábigas (0; 1;

2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearán únicamente los siguientes símbolos:

h hora

min minuto

s segundo

2. El tiempo se expresará utilizando dos cifras para indicar los valores numéricos

de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de los símbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de acuerdo al siguiente orden:

Primero: HORA Segundo: MINUTO y Tercero: SEGUNDO

Ejemplo: 08 h 23 min 43 s ; 18 h 54 min 27 s

3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas y minutos, puede omitirse el último símbolo respectivo. Ejemplo: 05 h 11 min 20 s ⇒ 05 h 11 min 20

00 h 39 min 08 s ⇒ 00 h 39 min 08

23 h 42 min ⇒ 23 h 42

15 h ⇒ 15 h

4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del día siguiente. Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del día martes.

5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda usar el

modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua.

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Ejemplo:

Denominación recomendada Denominación antigua

08 horas 8 a.m.

15 h 30 min ó 15:30 h 15:30 p.m. ó 3 p.m.

12 h 12 m

23 h 42 ó 23:42 h 11:30 p.m.

24 h 12 p.m.

6. Cuando se escriba una cantidad acompañada de una unidad del SI, se

recomienda escribir la cantidad seguida del símbolo de la unidad y no del nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos técnicos.

Ejemplo: Correcto Incorrecto

47 s cuarenta y siete s

27 min veintisiete min

RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA NUMÉRICA

a) En la representación numérica de fechas se utilizarán las cifras arábigas, es

decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

b) Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en bloque. Cuando no exista riesgo de confusión podrá utilizarse sólo dos cifras. Ejemplo: 2007 ó 07

1998 ó 98 Para expresar el mes se utilizarán dos cifras, desde 01 hasta 12. Para expresar el día se empleará dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la fecha completa, se respetará el orden siguiente:

Primero: AÑO Segundo: MES y Tercero: DÍA

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Además se usará preferentemente un guión para separarlos, también se puede usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusión.

Ejemplo: 2005-03-17 ó 2005 03 17

98-09-23 ó 98 09 23 c) Ejemplos de escritura de fechas numéricas:

Correcto Incorrecto

20 de marzo del 2007 2007-03-20 20-3-2007

25 de diciembre de 1998 1998-12-25 25 / 12 / 98

28 de julio de 1821 1821-07-28 28 / VII / 1821

30 de abril de 2007 2007-04-30 2,007-04-30

15 octubre de 2003 2003-10-15 15 de octubre de 2003

9.3. EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO.

El tiempo se mide de la unidad más grande a la más pequeña en:

Milenio < > 1000 años. Siglo < > 100 años. Década < > 10 años. Lustro < > 5 años. Año < > 12 meses, 365 días o 366 en los años bisiestos.

(una vez cada 4 años el mes de febrero tiene 29 días)

Semestre < > 6 meses. Trimestre < > 3 meses. Bimestre < > 2 meses. Mes < > 30 días (abril, junio, septiembre y noviembre). 31días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y

diciembre). Quincena < > 15 días. Día < > 24 h < > 1440 min < > 86 400 s Hora < > 60 min < > 3600 s Minuto < > 60 segundos

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9.4. OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO.

ADICIÓN.

Operar: 07 h 45 min + 07 h 15 min +

02 h 14 min 04 h 50 min

09 h 59 min 11 h 65 min < > 12 h 05 min

Ahora sumar: 5d 08h 20 min + 12 h 48 min Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min Ahora sumar: 23d 18 h 20 min + 36 h 48 min El resultado será: …………………….. SUSTRACCIÓN.

Operar: 16 h 50 min - 18 h 30 min - < > 17 h 90 min -

12 h 30 min 17 h 45 min 17 h 45 min

04 h 20 min 00 h 45 min

Observar que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usar el artificio de “pedir prestado” una unidad del orden inmediato superior, en este caso, 1 h.

Observación: 05 h 30 min es diferente de 5,30 h

Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min

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MULTIPLICACIÓN.

Operar: 06 h 14 min 29 s ×

_____________5__

30 h 70 min 145 s < > 31 h 12 min 25 s

03 h 12 min 25 s ×

______ 18__

54 h 216 min 450 s < > 57 h 43 min 30 s

Ahora multiplicar: 5d 08h 20min 24s × 12

el resultado es: ........................................................

DIVISIÓN.

Operar: 57 h 43 min 30 s 18 54 h 180 min 420 s 03h 12min 25 s 03 h × 223 min 450 s

60 18 36 180 43 90 36 00 7 × 60 420

Dividir: 28d 09h 35min ÷ 7 Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s

Dividir: 4d 13h 30min 20s ÷ 5

El resultado es: .................................................

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EJERCICIOS

1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min

2. De 17 h restar 12 h 30 min

3. Utilizar los símbolos de acuerdo al ejemplo:

Ejemplo: Diez horas y cincuenta y cinco minutos ⇒ 10 h 55 min

a) Cinco horas y cuarenta y cinco minutos ⇒

b) Dieciocho horas y cinco minutos ⇒

c) Trece horas y media ⇒

d) Doce horas y media ⇒

4. Escribir conforme al ejemplo:

Ejemplo: 07 h 15 min ⇒ siete horas y quince minutos.

a) 05 h 45 min ⇒

b) 18 h 30 min ⇒

5. Indicar los valores que corresponden, siguiendo el ejemplo:

Ejemplo: 08 h ⇒ 480 min ⇒ 28 800 s

a) 05 h 30 min ⇒ 330 min ⇒

b) 04 h 10 min ⇒ ⇒

c) 02 h 50 min ⇒ ⇒

d) 09 h 15 min ⇒ ⇒

6. Desarrollar: a) 05 h 40 min + 03 h 35 min ⇒ b) 03h 35 min + 02 h 40 min ⇒ c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min ⇒ d) 08 h 12 min + 06 h 55 min + 01 h 45 min ⇒

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e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min ⇒ f) 55 h 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s ⇒ 7. Una pieza requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h 30

min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza. 8. Realizar las siguientes sustracciones: a) 18 h 30 min – 13 h 15 min ⇒ b) 12 h 45 min – 07 h 30 min ⇒ c) 04 h 15 min – 30 min ⇒ d) 03 h 20 min – 50 min ⇒ e) 12 h – 07 h 30 min ⇒ 9. El tiempo previsto para ejecutar una pieza es de 07 h 15 min. Un trabajador pudo

hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y desde las 12 h 45 min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia entre el tiempo empleado y el tiempo previsto.

10. Completar el cuadro:

01 min ……………… s

01h ……………… s

01h ……………… min

1d ..................... h

1 semana ..................... d

1 año ..................... d

1 década ..................... años

11. Colocar el signo igual (=) o diferente (≠) a) 07 h 45 min .................. 07,45 h b) 07, 45 h ………..…. 07 h 27 min c) 12,30 h ……………. 12 h 18 min d) 12 h 30 min ……………. 12,30 h e) 17,15 h ……………. 17 h 15 min f) 17 h 15 min ……………. 17,25 h 12. Cada uno de los 8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h. Calcular el

total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en días y horas (1 día laborable es 8 horas)

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13. Una pieza fue fabricada en 4 períodos iguales. Si cada período fue de 06 h 50 min, ¿Cuál es el tiempo empleado en la pieza?

14. Un instalador hidráulico trabaja desde las 07 h hasta las 11 h 30 min, y desde

las 13 h hasta las 15 h. Después de 6 días de trabajo. ¿Cuánto debe recibir, si por hora cobra S/. 6?

15. Calcular los 3/5 de 2 d 05 h 20 min 16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si un segundo obrero ha

trabajado la tercera parte de este período, ¿Qué tiempo ha trabajado el segundo obrero? (Trabajan 8 horas diarias)

17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demoró 15 d 6 h 30 min. ¿Qué

tiempo emplearán en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08 h diarias?

Muy Importante:

Sería necesario memorizar las equivalencias de los múltiplos del tiempo, según

esto, numerar la segunda columna de acuerdo a la primera:

(1) 1 año ( ) 30 minutos

(2) media hora ( ) 100 años

(3) 3 minutos ( ) 3 meses

(4) 1 siglo ( ) 180 segundos

(5) 1 bimestre ( ) 365 días

(6) 1 trimestre

Escribir los meses que tienen 31 días: Escribir (V) ó (F), si es verdadero o falso: Febrero tiene 31 días ( ) Un trimestre tiene 3 años ( ) Un día tiene 24 horas ( ) Una hora tiene 3600 segundos ( ) Un día tiene 1440 segundos ( ) Una semana tiene156 horas ( ) Un año tiene 4 trimestres ( )

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PROBLEMAS RESUELTOS 1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual

al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?

Día = 24 h ⎩⎨⎧

− x24rtranscurrifaltanquehorasxdastranscurrihoras

Luego: 95372)24(53

=⇒=−⇒=− xxxxx

∴Es las 9 de la mañana

2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la tercera parte de

este periodo. ¿Qué tiempo trabaja Palmira?

−→×

−min9060

min305513min301615

mihdh

hd

∴ Palmira trabaja 5d 5 h 30 min

3. Un ómnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h 40

min. ¿Cuántos metros recorre por minuto en dicho tramo?

2h 40 min = 160 min

120 km = 120 000 m

∴ Recorre por minuto min/750min160

000120 mm==

4. ¿A qué es igual 121 207 segundos?

121 207 s : 60 s = 2020 min y 7s de resto

2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto

33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto

∴ 9 h 40 min 7 s

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5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son:

Pedro: 15 años 5 meses 6 días, Marisol: 7 años 4 meses 8 días

Roberto: 4 años 18 días, ¿Cuánto suman las tres edades?

15 años 5 meses 6 días

7 años 4 meses 8 días

4 años 18 días

∴ 26 años 9 meses 32 días = 26 años 10 meses 2 días

6. Un mecanógrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. ¿Cuánto

necesitará para hacer 7 veces más el mismo trabajo?

3 h 16 min 18 s x 8 =

24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 )

∴ 1 d 2 h 10 min 24 s

7. En una fábrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos laboró 25 d 4 h 35 min.

¿Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h?

25 d 4 h 35 min x 14 =

350 d 56 h 490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min)

∴ 358 d 10 min

8. Seis obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, después de 6 d de trabajo se

retiran 2 de ellos. ¿Con qué atraso se entregará la obra?

xobrhhdobr

hdobr

478696

6156= (como trascurren 6 d)

hdhobr

hobrx 5141174

786⟩⟨=

×=

∴ 14 d 5 h – 9 d 6 h = 4 d 7 h

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9. Una persona nació el 15 de setiembre de 1986. ¿En qué fecha cumplirá 36 años

8 meses y 20 días de edad?

1986 años 9 meses 15 d +

36 años 8 meses 20 d

∴ 2022 años 17 meses 35 d = 2023 años 6 meses 5 d

10. Una obra está programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador. Este

empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para refrigerar. Si

prosigue su labor a las 15 h 17 min, ¿A qué hora deberá acabar su trabajo?

15 h 17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio

Hora de inicio 8 h 20 min +

Duración del trabajo 12 h 18 min

Refrigerio 37 min

∴ 20 h 75 min = 21 h 15 min

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1) Convertir en: a) horas: 312min; 6374 s; 3,2min; 6800min; 22850 s; 415min b) minutos: 32h; 4350h; 6,8h; 8400 s; 18215 s; 12h c) segundos: 21h; 320min; 7,3min; 4600min; 12860min; 15h d) decimales: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min 56 s; 46min 48 s e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h f) restar: 143h 36min 18 s -45h 39min 26 s 2) Convertir en: a) grados: 240' ;35' ; 4200”; 31,2' ; 0,68' ; 0,42” ; 425' b) minutos: 360” ;38° ;4600” ; 38,6° ; 0,64° ; 172” ; 86” c) segundos: 314' ;56' ; 3800' ;68,2” ; 0,45° ; 0,012°; 15° d) decimales: 6°4' ; 2°8”; 126°27'42” ; 3638'°18” ; 42° 12' 48” e) ° , ' , “ : 14,38° ; 6,3° ; 12,7° ; 0.38° ; 18,75° f) sumar: 14°46'+181°34”+37°8' + 9° 12' 32” 3) El tiempo de trabajo de una maquina es de 1h 13 min 19 s. Reducir el tiempo a decimales. 4) En 32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el tiempo para una pieza de trabajo. 5) En una pista se corren 12 vueltas en 1h 8min 36 s. ¿Cuánto tiempo fue necesario para dar una vuelta? 6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un angulo de 14° 12' 56”. Para el ajuste se requiere el ángulo en decimales. 7) La suma de los dos ángulos de un triangulo es de 139° 37' 4”. Calcular el tercer ángulo.

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PROBLEMAS PROPUESTOS – NIVEL II.

1. Me desperté a las 7 h 32 min 14 s e ingresé a Estudios Generales 12 432 segundos después. ¿A qué hora ingresé a estudiar? A) 9 h 59 min 27s

B) 7 h 32 min 43 s

C) 3 h 29 min 50 s

D) 10 h 59 min 26s

E) 13 h 2 min 59 s

2. Cada día de lunes a viernes, gané S/. 6 más de lo que gané el día anterior. Si el viernes gané el quíntuple de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el jueves? A) 30 B) 25 C) 28D) 27 E) 24

3. La bajada de una montaña se hace ordinariamente en los 4/5 del tiempo empleado en la subida. Si una persona bajó desde la cúspide en 1 h 56 min y subió a razón de 50 m cada 5 min, ¿Calcular la altura de la montaña?

A) 860 m B) 1160 m C) 1450 m D) 950 m E) 1830 m

4. Un elástico al ser estirado 3 cm vuelve a su estado primitivo al cabo de 30 s. Si se estira 3 mm, ¿Cuánto tiempo después volverá a su estado primitivo?

A) 30 s B) 3 s C) 0,3 s D) 5 s E) 4 s

5. Desde las 24 horas hasta este momento han transcurrido 84 352 s, ¿Qué hora es? A) 23 h 25m 51 s B) 23 h 25min 52 s C) 24h 25 min 52 s D) 22 h 32 min 25 s E) 21 h 23 min 35 s

6. Una cuadrilla de trabajadores empieza a asfaltar una avenida el 4 de enero. Si asfaltan una cuadra en 4 días, ¿En qué fecha se acaba la obra, si la avenida tiene 43 cuadras? A) 05-26 B) 06-24 C) 07-26 D) 04-26 E) 07-25

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7. Expresar en días, horas, minutos y segundos: 31 183 625 s A) 114 d 22 h 07 min B) 360 d 22 h 07 min C) 360 d 22 h 07 min 05 s D) 866 d 20 h 07 min 05 s

E) 368 d 22 h 07 min

8. Si a la mitad de los días transcurridos en el año, se le agrega 1/3 de los que falta para acabarse, se obtiene el número de días transcurridos. ¿En qué fecha estamos?. Considerar año no bisiesto. A) 05-25 B) 05-26 C) 05-27 D) 04-26 E) 04-27

9. En una oficina trabajan 14 empleados y cada uno de ellos laboró 25 d 04 h 35 min. Calcular el tiempo total de trabajo de dichos empleados. Considerar 1 d: 08 horas de trabajo. A) 357 d 05 h B) 358 d 40 min C) 358 d 10 min D) 357 d 49 min E) 358 d 06 h

10. Un tornero fabrica una matriz en 8 h 34 min 15 s, un aprendiz lo hace en 20 h 45 min 15 s. Si cada uno debe fabricar 10 matrices en el taller, ¿Cuánto tiempo de ventaja le lleva el tornero al aprendiz?

A) 3 d 02 h 15 min B) 5 d 01h 40 min C) 3 d 04 h 40 min D) 4 d 02 h 50 min E) 5 d 01 h 50 min

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11. Para construir un barco trabajan 120 soldadores; cada uno suelda 2 m2 en 05 h 30 min. Si el barco tiene una superficie total de 347 760 m2, ¿En cuánto tiempo estará listo el barco? A) 11 meses 2 d 01 h 30 min B) 11 meses 15 d 03 h 25 min C) 11 meses 04 d 15 min D) 10 meses 3 d 02 h 10 min E) 11 meses 28 d 10 h 15 min

12. Un caño llena un depósito en dos horas, y estando lleno el desagüe lo vacía en tres horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si se abre el caño y el desagüe al mismo tiempo? A) 02 h B) 03 h C) 04 h D) 05 h E) 06 h

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PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III

Medida de tiempo 1. Un tren parte a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500 Km. ;

lo que efectúa en 16 horas y 40 minutos. ¿Qué velocidad debe llevar un segundo tren, que parte 2 horas y 58 minutos después que el primero, para que alcance a éste en una estación situada a 156Km. Del punto de partida?

a) 60 km/h b) 30 km/h c) 40 km/h d) 50 km/h e) 69,85 km/h 2. Un caracol sube por una pared, cada día logra ascender un metro, pero cada

noche baja 600 mm. ¿Cuánto tardará en llegar a lo alto de la pared que mide 10m de altura?

a) 22 días b) 23 días c) 24 días d) 25 días e) 26 días 3. En una casa encantada, un fantasma aparece en cuanto empiezan a dar las 12,

en el reloj de pared y desaparece en cuanto a sonar la última campanada. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma, si además el reloj tarda 6 segundos en dar las 6?

a) 10 seg b) 12 seg c) 13 seg d) 13,2 seg e) 15 seg 4. ¿A que hora entre las 2 y las 3, el horario y el minutero estarán en direcciones

opuestas? a) 2h 43min 38s b) 2h 23min 38s c) 2h 33min 38s d) 2h 43min 28s e) 2h 43min 18s 5. ¿Qué tiempo tardará un auto en recorrer 1626 Hm con una velocidad de

60 Km/h? a)2,69h b)2h 42min 30s c)2,72h d)2h 44min 36s e)2h 42min 36s

6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de radio ¿Cuánto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio? a)18min b)36min c)15min d)27min e)24min

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7. Rosa, Chabela, Margarita demoran 15 minutos en limpiar ½, 1/3y 1/4 de su

casa respectivamente. Si juntas se ponen a limpiar todo su casa ¿En qué tiempo lo harían?

a) 12/13 min b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min e)13 11/13 min 8. Un ladrón arrebata una cartera a una señora escapándose con una

velocidad de 8 m/s y la señora la persigue a 3 m/s . Cuando el ladrón ha sacado 120 m de ventaja, lo atrapa un policía ¿Qué tiempo demoró la fuga del ladrón?

a) 32s b)15s c)24s d)18s e)30s 9. En 7 horas 30 minutos una costura puede confeccionar un pantalón y

3 camisas, o dos pantalones y una camisa ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa? a) 3h b) 3h 30min c) 4h d) 4h 30min e) 5h

10. A cuánto equivale 3,5 trimestres: a) 3m b) 2m 1d c) 40d d) 10m 15d e) 6m 2d 11. Un padre tiene 30 años y su hija 3 ¿Dentro de cuántos años la edad de

padre será el cuádruple de la edad de su hija?

a) 15años b) 3años c) 5años d) 6años e)10años

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UNIDAD 10

RAZONES Y PROPORCIONES

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10.1. RAZÓN.

Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división. 10.2. TIPOS DE RAZONES.

RAZÓN ARITMÉTICA. Es la comparación de dos cantidades que se obtiene mediante la sustracción, y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra. ∴ a menos b a – b = r ∴ el exceso de a sobre b ∴ a excede a b Ejemplo: Las velocidades de dos autos son Va = 30 m/s y Vb = 24 m/s. Valor de Razón aritmética la razón

Va – Vb = 30 m/s – 24 m/s = 6 m/s ↑ ↑

Antecedente Consecuente ∴ La velocidad del auto “a” excede en 6 m/s a la velocidad del auto “b”.

∴ El exceso de Va sobre Vb es 6 m/s.

∴ La velocidad de Va excede a Vb en 6 m/s.

APLICACIONES: 1. Hallar la razón aritmética de:

a) Las edades de Adán y Eva que son de 20 años y 11 años. Rpta. 9 años.

b) Los precios de dos artículos son S/. 1,40 y S/. 3,60. Rpta. S/. 2,20

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2. La diferencia entre las temperaturas de dos cuerpos es 20º C, si la

menor temperatura marca 50º C, ¿cuál es la mayor temperatura? Rpta. 70ºC

3. La edad del padre excede en 24 años a la edad del hijo, y éste tiene 40 años.

Hallar la edad del hijo. Rpta. 16 años.

4. La razón aritmética de dos números es 15, si el menor es 30. Hallar el

número mayor. Rpta. 45.

RAZÓN GEOMÉTRICA. Es la comparación de dos cantidades mediante el cociente. ∴ Razón de a sobre b a k ∴ a es a b b ∴ a entre b Ejemplo: Las edades de dos personas son 48 años y 36 años respectivamente Razón geométrica

Antecedente → a = 48 años = 4 valor de la razón Consecuente → b 36 años 3 APLICACIONES: 1. La diferencia de dos números es 280 y están en la relación de 7 a 3. Hallar

el mayor número. Rpta. 490.

2. Las edades de dos personas son: 20 años y 12 años, ¿En qué relación están

sus edades? Rpta. 5 / 3.

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3. De dos números, cuya razón aritmética es 19, y su suma es 35. Hallar la

razón geométrica. Rpta. 27/ 8.

4. La razón aritmética de dos números es 26, y la razón geométrica

es 3. Hallar el menor número. Rpta. 13.

10.3. PROPORCIÓN. Es el resultado de comparar dos razones. DIFERENCIA: a – b = c – d = r ⇒ PROPORCIÓN ARITMÉTICA COCIENTE: a = c = k ⇒ PROPORCIÓN GEOMÉTRICA b d También se expresa como: “a” es a “b” como “c” es a “d”

a : b :: c : d

Para ambos casos, a y d se llaman EXTREMOS.

b y c se llaman MEDIOS.

10.4. CLASES DE PROPORCIONES.

PROPORCIÓN ARITMÉTICA (P.A.) (Equidiferencia). A) PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA.

• Los cuatro términos de la proporción son diferentes: a ≠ b ≠ c ≠ d. • El 4º término (d) de la proporción se llama: CUARTA DIFERENCIAL.

Términos ⇒ 1º 2º 3º 4º

a – b = c – d = r

medios extremos

⇒ a , c : antecedentes ∧ b , d : consecuentes

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PROPIEDAD BÁSICA:

suma de extremos = suma de medios a + d = b + c

B) PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA.

• Los términos medios son iguales.

• El 3º término (c) de la proporción se llama: TERCERA DIFERENCIAL.

• MEDIA DIFERENCIAL o MEDIA ARITMÉTICA ⇒ b = a + c

2

Términos ⇒ 1º 2º 2º 3º a – b = b – c = r

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (P.G.) (Equicociente). A) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA.

• Los cuatro términos son diferentes: a ≠ b ≠ c ≠ d • El 4º término (d) de la proporción se llama: CUARTA PROPORCIONAL

Términos ⇒ 1º 3º

Antecedentes ⇒ a = c = Medios Consecuentes b d Extremos

Términos ⇒ 2º 4º

PROPIEDAD BÁSICA:

Producto de extremos = Producto de medios

a. d = b.c B) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA.

• Los términos medios de la proporción son iguales. • El 3º término (c) de la proporción se llama:

TERCERA PROPORCIONAL.

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1º 2º

antecedentes ⇒ a = b = k consecuentes b c

2º 3º ____

• MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMÉTRICA⇒ b = √ a. c 10.5. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES. a = k ∧ c = k ⇒ a = c = k b d b d 1º a + b = c + d = k + 1; a – b = c – d = k – 1 b d b d 2º a + b = c + d = k + 1 a – b c – d k – 1 3º a + c = k; c – d = k a + b b – d 4º a = c = k a ± b c ± d k ± 1 5º a2 + b2 = c2 + d2 = k2 a2 – b2 c2 – d2 6º a x c = (a + c)2 = k2

b x d (b + d)2 a1 = a2 = a3 = a4 = ….. = a(n – 1) = an = k b1 b2 b3 b4 ….. b(n – 1) bn 7º a1 + a2 + a3 + a4 + ….. + a(n – 1) + an = k b1 + b2 + b3 + b4 + ….. + b(n – 1) + bn 8º a1 x a2 x a3 x a4 x ….. x a(n – 1) x an = k n b1 x b2 x b3 x b4 x ….. x b(n – 1) x bn

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10.6. ESCALAS GRÁFICAS. La ESCALA es la razón entre la longitud representada en un plano y la longitud en tamaño real. La ESCALA es una fracción con numerador unitario. El denominador indica las veces que se repite el numerador para obtener la medida o dimensión real.

ESCALA = Longitud en el plano Longitud del tamaño real

Tamaño real = 4,50 m Tamaño en el plano = 0,09 m

Tamaño en el plano = 0,09 m Tamaño real 4,50 m

Escala: 1 : 50 REPRESENTACIÓN. 1 :100 →“indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real” 1/100→“indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real” 1 → “indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real” 100

MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE APLICACIÓN: 1. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo,

si el dibujo se hace a una escala de 1:750?

1 = X ⇒ X = 45 m = 0,06 m = 6 cm 750 45 m 750

Rpta. 6 cm

2. En un plano a escala 1 : 50 , se observa que las dimensiones del dormitorio son de 3 cm de ancho por 4 cm de largo. ¿Cuáles son las dimensiones reales del dormitorio?

Rpta. 1,5 m.; 2,0 m. 3. a distancia gráfica entre dos ciudades en un plano a escala 1 : 2 500

es 20 cm. Hallar la distancia gráfica en otro plano a Escala 1 : 10 000. Rpta. 5 cm

4. Completar el siguiente cuadro y hallar X, Y, Z, W, P, Q y R, en las unidades

medidas:

Nº ESCALAS DISTANCIA GRÁFICA

DISTANCIA REAL

1 1 : 20 X mm 2,40 m 2 1 : 25 5 ½ cm Y m 3 1 : 50 5 ¼ cm Z cm 4 1 : 75 W mm 0,02 km 5 1 : 100 6,5 m P cm 6 1 : 150 4 cm Q km 7 1 : 200 R mm 0,54 m

Solución de la aplicación, completando el cuadro:

Nº ESCALAS DISTANCIA GRÁFICA

DISTANCIA REAL

1 1 : 20 120 mm 2,40 m 2 1 : 25 5 ½ cm 1 3/8 m 3 1 : 50 5 ¼ cm 262,5 cm 4 1 : 75 3 750 mm 0,020 km 5 1 : 100 6,5 m 65 000 cm 6 1 : 150 4 cm 0,006 km 7 1 : 200 27 mm 0,54 m

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PROBLEMAS RESUELTOS. 1. La razón de dos números es 6/5, y la suma de dichos números es igual a

33. ¿Cuáles son estos números? A) 20; 13 B) 18; 15 C) 16; 17 D) 30; 3 E) 16; 13 2. En un concurso de tiro, Antonio acertó 50 sobre 75 tiros; Pepe 70 sobre

90 tiros ; y Ricardo 48 sobre 60 tiros. ¿Quién logró mayor razón de tiros acertados?

A) Pepe B) Ricardo C) Antonio D) Igual Antonio y Pepe E)Faltan datos. 3. Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos partes, cuya

diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte mayor, si el precio por metro es de S/. 8. A) 352 B) 216 C) 208 D) 360 E) 192

4. Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500 litros de vino

respectivamente. ¿Cuántos litros de vino se debe de pasar del primer al segundo barril, para que las cantidades de vino en cada barril estén en la relación de 2 a 3?

A) 68 l B) 30 l C) 80 l D) 40 l E) 100 l 5. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 43,20 m de

largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ?

A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 100 cm 6. Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se

desea dibujarlo a una escala de 1 : 20, ¿Cuál será su altura?

A) 80 cm B) 40 cm C) 200 cm D) 60 cm E) 100 cm

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7. Sí: A = B = C y (A + B) = 30. ¿Cuánto vale “C”? 2 8 7 A) 12 B) 18 C) 21 D) 30 E) 42 8. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma

relación que los números 11; 5 y 144. Hallar el mayor dichos números. A) 15 B) 48 C) 60 D) 52 E) 24 9. El producto de los antecedentes de una serie de 3 razones iguales es 288, y

el producto de los consecuentes de dicha serie es 2 304. ¿Cuál es la suma de los consecuentes, si la suma de los antecedentes es 21?

A) 42 B) 90 C) 91 D) 32 E) 62 10. Un empelado ahorra S/. 5 940 por día; si lo que cobra y lo que gasta

diariamente está en la relación de 13 a 7. Determinar en cuántos soles debe disminuir sus gastos diarios para que la relación entre lo que cobra y lo que gasta sea de 9 a 2.

A) S/. 2 035 B) S/. 4 070 C) S/. 5 040 D) S/. 4 505 E) S/. 6 015

SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS 1. Sean A y B los números

A = 6 k A = 6 k B 5 k B= 5 k A + B = 33 ⇒ K = 3 ⇒ A = 18 6k + 5k = 33 B = 15 Rpta. B

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2. A : Antonio; P : Pepe; R : Ricardo A = 50 = 2 P = 70 = 7 R = 48 = 4 75 3 90 9 60 5 MCM (3; 9; 5) = 45 ⇒ homogenizando los denominadores:

A = 30 P = 35 R = 36 Rpta. B 45 45 45 3. Sean A y B las dos partes de la tela A + B = 72 m Sumando ambas ecuaciones: A = 45 m

A – B =18 m Precio = 45 m x S/. 8 / m ⇒Precio= S/. 360 Rpta. D

4. 400 – X = 2 ⇒ X = 40 l Rpta. D 500 + X 3 5. Escala = Longitud en el plano Longitud de tamaño real 1 cm = X ⇒ X = 6 cm Rpta. E 720 cm 4 320 cm 6. H = altura real del objeto; X = tamaño del objeto en el dibujo 1 = 40 cm 30 H Dividiendo ambas proporciones: 1 = X X=60 cm Rpta. D 20 H 7. A = B = C = k 2 8 7 Propiedad: A + B + C = C ⇐ (A + B) = 30 dato 2 + 8 + 7 7 30 + C = C ⇒ C = 21 Rpta. C 17 7

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8. A + B = A – B = A x B = k 11 5 144 A + B = 11 k A = 8 k A – B = 5 k B = 3k A x B = 144 k k = 6 (8 k) x (3 k) = 144 k A = 6 x 8 ⇒ A = 48 Rpta. B 9. A = C = E = k B D F Producto de antecedentes: A x C x E = 288 Producto de consecuentes: B x D x F = 2 304 Propiedad: A x C x E = k3 B x D x F 288 = k3 ⇒ k = 1/2 2 304

Propiedad: A + C + E = k B + D + F 21 = 1 ⇒ B + D + F = 42 Rpta. A B + D + F 2 10. Sea: C = cobra; G = gasta; A = ahorra C = G + A C – G = S/. 5 940 …………. (1) C = 13 k ⇒ C = 13 k ^ G = 7 k G 7 k Reemplazando en (1): 13 k – 7 k = 5 940 C = 13 x 990 = 12 870 4 k = 5 940 K = 990 G = 7 x 990 = 6 930 Sea X soles la cantidad en que debe de disminuir sus gastos diarios

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C = 9 G – X 2 ⇒ X = S/. 4 070 Rpta. B 12 879 = 9 6 930 – X 2

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 1. En un corral hay N aves (patos y gallinas). Si el número de patos es a N

como 3 es a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20. ¿Cuál será la relación entre patos y gallinas, luego de retirar 50 gallinas?

A) 4 : 3 B) 2 : 1 C) 3 : 4 D) 3 : 20 E) 2 : 3 2. En una reunión hay 60 adultos, y por cada 5 jóvenes hay 7 niños. Luego

llegan a la reunión 50 jóvenes, 40 niños y cierto número de adultos. ¿Cuántos adultos llegaron al final, si los jóvenes niños y adultos son ahora proporcionales a 5; 6 y 8 respectivamente? A) 150 B) 160 C) 170 D) 180 E) 190

3. La cantidad de dinero que tiene A es a lo que tiene B como 7 es a 3. Si A le

da a B la quinta parte de su dinero; y luego B le da a A la cuarta parte de lo que tiene ahora. Al final A tiene S/. 3 350. ¿Cuánto de dinero tenía A al principio? A) S/. 2 800 B) S/. 3 000 C) S/. 3 200 D) S/. 3 500 E) S/. 4 000

4. En una carrera a dos vueltas sobre un circuito cerrado, A le ganó a B por

1/2 vuelta; y B le ganó a C por 1/4 de vuelta. Cuando A llega a la meta, hallar la fracción de vuelta con que B aventaja a C. A) 1 / 4 B) 3 / 16 C) 1 / 5 D) 3 / 8 E) 1 / 8

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5. La suma de los cuadrado de los 4 términos de una proporción geométrica

continua es 7 225. Hallar la media proporcional, si la diferencia de extremos es 75. A) 85 B) 55 C) 80 D) 10 E) 20

6. En un tonel hay una mezcla de 63 litros de agua y 36 litros de vino,

se extraen 22 litros del contenido y se añade al recipiente N litros de vino para tener finalmente una mezcla cuya relación es de 1 a 3 respectivamente. Hallar el valor de N. A) 80 l B) 60 l C) 110 l D) 119 l E) 120 l

7. A es la tercera proporcional de 24 y 12; B es la cuarta proporcional de 56, 7

y 64; C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta proporcional de B, A y C. A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25

8. Cierto número de canicas se divide en tres grupos, cuyos números son

proporcionales a los números 5, 7 y 11 respectivamente. Si del tercer grupo pasa al segundo grupo 8 canicas; en el tercer grupo queda el doble de lo que hay en el primer grupo, ¿Cuántas canicas hay finalmente en el segundo grupo? A) 50 B) 54 C) 58 D) 62 E) 64

9. Sean A y B dos cantidades: A es la cuarta proporcional de 12; 5 y 16, B es

la media proporcional de 1 y 81. La correcta relación de orden entre A y B es: A) A < B B) A = B C) A > B D) A +1= R E) A2 < B

10. Se desea preparar una solución utilizando los componentes líquidos A, B y C

en la proporción de 2; 5 y 8. Pero para preparar la solución le faltan 2 litros del componente B y 2 litros del componente C; los cuales son remplazados por el componente A, siendo la proporción final obtenida de 2; 3; X. Hallar X. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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1. Se quiere cortar un tubo de acero de 2,75 m de longitud en razón directa de

2:3. Calcular las longitudes parciales. 2. El diámetro y la longitud de un eje están en razón directa de 2:7. El diámetro

del eje es de 40 mm. Calcular la longitud del eje. 3. Los brazos de una palanca de 1,75 m de longitud están en relación directa

de 3:7. ¿Cuál es la longitud menor cuando para la otra se miden 1,48 m.? 4. Una chapa de acero de 800 x 1400 mm ha de ser representada en un dibujo

en la proporción de 1:20 ¿Qué longitud tendrán los lados en el dibujo? 5. La escala de un mapa automovilístico es de 1:500 000. ¿Qué longitud natural

corresponde al trayecto de 4,5 cm medido en el mapa? 6. Un trayecto de 2,875 Km de longitud está representado en un mapa con 11,5

cm. Determinar la escala del mapa. 7. Un letrero advierte »Pendiente de 5% en 1200 m «. Calcular la altitud a

superar. 8. El diámetro y la longitud de un cono están en razón directa de 1:10. Calcular

el diámetro correspondiente a la longitud de 150 mm. 9. Una chaveta tiene una razón de inclinación de 1:20. ¿ Qué altura

corresponde a una longitud de chaveta de 140 mm?

Estudios Generales

NIVEL TÉCNICO OPERATIVO

CÓDIGO: 89001293

000977

SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

Matemática Parte II

DIRECCIÓN NACIONAL GERENCIA ACADÉMICA

MATEMÁTICA


UNIDAD 11

MAGNITUDES PROPORCIONALES

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11.1. MAGNITUD.

Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser

medido.

11.2. CANTIDAD.

Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor

numérico y unidad.

MAGNITUD CANTIDAD

Tiempo 60 h

Longitud 15 m

Temperatura 35º C

Masa 40 kg

11.3. CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES.

11.3.1. Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P. ó ).

Se sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto más gasolina se coloque en

el tanque, más soles pagará. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de

abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galón sea de S/. 8.

GASOLINA (GALONES)

PRECIO

(S/.)

1 8,00

2 16,00

5 40,00

10 80,00

15 120,00

30 240,00

Al colocar 1 galón de gasolina, se pagará S/. …………pero, si se colan 15

galones de gasolina, el precio será 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual

a S/. …………..

MATEMÁTICA


Así, si se aumenta la magnitud “gasolina”, la otra magnitud “precio” (soles)

aumentará el mismo número de veces, o sea, las magnitudes varían en el mismo

sentido. Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:

Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o disminuyen en la misma proporción.

Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales:

Número de libros y costo total.

Si se compran libros, cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor cantidad de

libros el costo total será mayor, pero; si compra menor cantidad de libros el costo

total será menor.

Además, se verifica que la razón entre el número de libros y el costo total es

CONSTANTE, esto es, la razón tiene siempre el mismo valor (0,25).

25,04

1 25,0

16

4 25,0

96

24 25,0

12

3

Entonces se puede escribir:

25,012

3

96

24

16

4

4

1

Interpretación geométrica.

MATEMÁTICA


Conclusión. Si:

I. La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de

coordenadas.

II. En cualquier punto de la gráfica (excepto en origen de coordenadas) el cociente

de cada par de valores correspondiente resulta una constante.

III. La función de proporcionalidad directa será:

F(X) = K x K: pendiente (constante)

11.3.2. Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P Ó 1 ).

Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al

aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes

en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción.

Observar el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo

empleado en recorrer una misma distancia:

Disminuyendo la velocidad del auto, aumentará el tiempo empleado, luego la

velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.

Observar, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo)

es siempre el mismo.

90 x 2 = 180 ; 60 x 3 = 180 ; 45 x 4 = 180 ; 36 x 5 =180

VELOCIDAD TIEMPO

90 km/h 2 horas

60 km/h 3 horas

45 km/h 4 horas

36 km/h 5 horas

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x

K ) x ( F

Se puede finalmente concluir que: Interpretación Geométrica: Conclusión.

Si: B"I.P." "A" B de valor x A de valor Constante

Importante:

I. La gráfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hipérbola equilátera.

II. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores

correspondientes, resulta una constante.

III. La función de proporcionalidad inversa será:

K: constante PROPIEDADES: I. Si : A D.P. B B D.P. C A D.P. C

II. Si: A I.P. B A D.P. 1

B o: A D.P. B A I.P. 1

B

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tetanConsdificultad x obra

h/d x días Nº x eficiencia x obreros ºN

III. Si: A D.P. B ( C es constante) A D.P. C ( B es constante)

A K B x C IV. Si: A I.P. B ( C es constante) A I.P. C ( B es constante)

A x B x C = K

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PROBLEMAS RESUELTOS

1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el

valor que toma B, cuando A = 34.

Resolución:

Se debe plantear:

2

2

1

1

B

A

B

A

x

34

3

51 X = 2

2. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)

Resolución: Se debe plantear:

5

3

85

5124

10

b

a

a = 6 ; b = 40 ; a + b = 46

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Días I.P. Rapidez

3. La magnitud A es I.P. a B , además cuando A es igual a 6 entonces B

es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4.

Resolución:

Se debe plantear:

2211 BABA

x4166 x = 36

4. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente

proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a

65 Km cuesta S/. 180 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material,

si su área es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima?

Resolución:

kárea

distanciaprecio

)(

))((, ( k = constante )

Entonces:

2s

(120) . )(

s

(65) . 000) 180( x x = S/. 195 000

5. Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en

12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?.

Resolución: Sea R rapidez: RA = 3 RB

(Días) . (Rapidez) = cte

Reemplazando valores:

( RA + RB ) x 12 = RA x X

( 3RB + RB ) x 12 = 3 RB x X

4 RB x 12 = 3 RB x X

Simplificando: X = 16

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EJERCICIOS DE REFUERZO

Seguir los modelos para decir si las series siguientes representan sucesión de

números directa o inversamente proporcionales:

a) Valores de magnitud Q: 6 1 8 48 0,1

Valor de magnitud R: 4 24 3 0,5 240

b) Valores de magnitud M: 0,4 10 16 13 0,1 2,5 18

Valor de magnitud N: 2,4 60 96 78 0,6 15 108

Resolver los ejercicios para fijar lo que estudió sobre magnitudes proporcionales. 1. Observar los ejercicios siguientes y responder: Valor de magnitud x : 5 2 10 1 0,4

Valor de magnitud y : 8 20 4 40 100 ¿Cómo se denominan las magnitudes “x” e “y”? 2. Completar: Valor de magnitud A : 7 3 5 9

Valor de magnitud B : 28 12 ….. ….. ¿Cómo se denominan las magnitudes “A” y “B”?

3. En estos ejercicios se tiene valores correspondientes a dos magnitudes

directa o inversamente proporcionales. Completar conforme el caso:

a) Valor de magnitud y : 10 25 2 …. 5

Valor de magnitud z : 20 8 …. 4 …. b) Valor de magnitud x : 2 3 1 24 0,5 69 90 7

Valor de magnitud y : 6 9 …. …. …. …. …. …. c) Valor de magnitud A : …. …. 7 …. …. …. …. ….

Valor de magnitud B : 20 40 35 100 10 8 45 15

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d) Valor de magnitud M : 6 1 8 48 …...

Valor de magnitud R : 4 …. 3 …. 240 Corregir respuestas: 1. 5 x 8 = 2 x 20 = 10 x 4 = 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40

Rpta.: inversamente proporcional. 2. 5 9

20 36 Rpta. directamente proporcional

3. a) 2 50 5

100 4 40 b) 3 72 1,5 207 270 21 c) 4 8 7 20 2 1,6 9 d) 4 24 3 0,5 0,1

11.4. REPARTO PROPORCIONAL.

Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números

llamados “índices” del reparto; ya sea en forma directa o inversamente

proporcional.

11.4.1. TIPOS DE REPARTO.

A. REPARTO SIMPLE DIRECTO: Cuando las partes a obtener son

proporcionales a los índices.

Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5.

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Resolución: Las partes serán: “2k” , “3k” y “5k” las cuales deben sumar

400, entonces:

2 k + 3 k + 5 k = 400

K ( 2 + 3 + 5 ) = 400 K = 40

Suma de índices Constante de reparto

Ahora, damos lo que le toca a cada uno:

2 (40) = 80 ; 3 (40) = 120 ; 5 (40) = 200

Método Práctico: PARTES D.P. A 2k 400 B 3k + k = 400 = 40 10 C 5k

10k Luego:

A = 2 (40) = 80 ; B = 3 (40) = 120 ; C = 5 (40) = 200

Observación:

Si a los índices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo número

positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes.

Ejemplo:

Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los números: 5 ; 3 ; 3 6 8 4 Resolución:

Es conveniente que los números proporcionales sean enteros, entonces

buscamos números que estén en la misma relación que las fracciones; para ello

es necesario considerar el MCM de los denominadores, para multiplicar a los

índices.

MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24

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10 47

470 K

PARTES D.P

A : 6

5 x = 20 k

470 B : 8

3 x = 9 k

C : 4

3 x = 18 k

47 k Luego las partes serán: A = 20 (10); B = 9 (10); C= 18 (10) B. REPARTO INVERSO. Recordando que: ( “A” IP “B” ) ( “A” DP “1” ) B Inversamente Directamente Proporcional Proporcional

Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a

ciertos índices, es suficiente repartir directamente proporcional a las inversas

de los índices:

Ejemplo:

Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números de

6 ; 9 y 12.

Resolución:

Partes I.P. D.P. A : 6 1 x 36 = 6 k 6 390 B : 9 1 x 36 = 4 k k = 390 = 30 9 13 C : 12 1 x 36 = 3 k 12 13 k Las partes serán: A = 6 (30) = 180; B = 4 (30) = 120; C = 3 ( 30) = 90

24

24

24

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C. REPARTO COMPUESTO.

Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios

grupos de índices.

Recordar:

Si: “A” D.P. “B” y también con “C” , entonces “A” D.P. (“B” x “C”).

EJEMPLO:

Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números: 3 , 5 y 8 e I.P. a

los números 4, 6 y 9.

Resolución: MCM ( 4, 6, 9 ) = 36 Partes D.P. I.P. D.P.

A : 3 4 1 3 x 1 = 3 x 36 = 27k 4 4 4

2 225 B : 5 6 1 5 x 1 = 5 x 36 = 30k k = 2225 = 25 6 6 6 89

C : 8 9 1 8 x 1 = 8 x 36 = 32k 9 9 9 89k Las partes son:

A = 27 (25 ) = 675 ; B= 30 ( 25 ) = 750 y C = 32 ( 25 ) = 800

REGLA PRÁCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO Primero : Se convierte la relación I.P. a D.P. Segundo: Los grupos de los índices D.P. se multiplican. Tercero : Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos índices.

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PROBLEMAS RESUELTOS 6. Repartir el número 32 en partes D.P. a los números 3, 5 y 8 Resolución: Partes D.P. A : 3 3 k 32 B : 5 5 k k = 32 = 2 16 C : 8 8 k 16 k Las partes son: A = ……………… B = …………………. C = ………………… Luego los valores que satisfacen al problema son: 6 , 10 y 16. 7. Repartir el número 63 en partes D.P. a los números 2, 3 y 4. Resolución: Partes D.P. A : …. …. 63 B : . … …. k …… = …… C : …. ….. …… Luego los valores son: A = ………….…., B = ……………, C = ……………… Comparar respuestas: 6) A = 3 ( 2 ) = 6 , B = 5 ( 2 ) = 10 , C) = 8 ( 2 ) = 16 DP 7) : 2 2 k …. : 3 3 k + k 63 7 : 4 4 k 9 9 k las partes son: A = 2 ( 7 ) = 14 , B = 3 ( 7 ) = 21 y C = 4 ( 7 ) 28

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Resolver:

8. Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus

trabajadores en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del

semestre éste debe distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4

faltas, respectivamente. ¿Cuánto recibe cada uno?

9. Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc.

¿Cuántos Kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40 Kg. de esa

mezcla?

Corregir: 8)

Partes I.P. D.P. , MCM ( 3, 5 4 ) = 60

A : 3 1 x 60 = 20 k 3 470 B : 5 1 x 60 = 12 k + k = 470 = 10 5 47 C : 4 1 x 60 = 15 k 4 47 k Las partes serán: A = 20(10 ) = 200 ; B = 12 (10) = 120 ; C = 15 ( 10) = 150 9) DP : 5 5 k 40 : 3 3 k + k = 40 = 4 : 2 2 k 10 10 k Las partes son: A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estaño C = 2 ( 4 ) = 8 Kg zinc

MATEMÁTICA



1. Se tienen dos magnitudes A y B, tales que: 3 A es I.P. a B. Si cuando

A = 8, B = 6. Hallar A, si B = 2.

A) 218 B) 212 C)216 D) 220 E) 228

2. Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus años, si un elefante tuviera

360 Kg, entonces su edad sería 32 años. ¿Cuántos años tendrá sabiendo que pesa 324 Kg? (1 año = 365 días) A) 28a, 294d B) 27a, 280d C) 27a, 294d D) 28a, 292d E) 30a.

3. El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura

que se compra. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones. ¿Qué área se pintará con 15 galones? A) 367 B) 300 C) 100 D) 320 E) 120

4. Manolo descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son

D.P al número de invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última vez gastó S/. 1 200; invitó a 100 personas y ocupó 12 horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas más?

A) 480 B) 230 C) 460 D) 320 E) 485

5. Una rueda A de 60 dientes engrana con otra de 25 dientes. Fija al eje de

esta última hay una tercera de 40 dientes que engrana en una rueda B de 75 dientes. Si A da una vuelta cada 2/3 segundos. ¿Cuántas vueltas dará B en 2 horas 30 minutos? A) 36750 B) 17280 C) 46000 D) 32000 E) 48000

6. Repartir 22270 inversamente proporcional a 5(n + 2); 5(n + 4); 5(n + 5). Dar

como respuesta la menor de las 3 partes. A) 140 B) 150 C) 160 D) 170 E) 180

MATEMÁTICA


7. Repartir “N” directamente proporcional a los números 32 ; 72 ; 162

obteniendo que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de “N” más 578. Hallar “N”.

A) 5941 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800

8. Una herencia dejada por un padre a sus tres hijos se repartió I.P. a sus

edades siendo; 12 ; n ; y 24 años si el reparto hubiera sido D.P. a sus edades, el que tiene “n” años hubiera recibido los 13/12 de lo que recibió. Calcular el valor de “n”. A) 13 B) 18 C) 15 D) 16 E) 17

9. Al repartir 22 050 directamente proporcional a las raíces cuadradas de los

números 7,2; 9,8 y 12,8. ¿En cuánto excede la parte mayor a la parte menor? A) 3600 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800

10. Repartir 33 000 en 4 partes que sean D.P. a los números. ;;;83

31

73

0,5;

indicar una de las cantidades. A) 8000 B) 6720 C) 10000 D) 10 E) 100

MATEMÁTICA



REPARTOS PROPORCIONALES.

En este tipo de problemas se divide un total en varias partes que han de ser

proporcionales a ciertos números dados.

1. Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero en partes

proporcionales a sus edades. Si el mayor tiene 23 años y le han

correspondido S/. 184, ¿cuánto se llevará cada uno de los otros dos que

tienen 15 y 12 años, respectivamente?

2. Repartir 559 en partes proporcionales a 4, 4, 3 y 2.

3. Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de un trofeo que ha

de pesar 5 kg y ha de estar fabricado con una aleación que contenga tres

partes de oro, tres de plata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de

cada metal?

4. Se ha pagado S/. 37500 por tres parcelas de terreno de 7,5 Ha, 4 Ha y

36000 m2, respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela?

5. La nómina de una empresa asciende a 1,5 millones de nuevos soles. Un

doceavo corresponde a los sueldos de los directivos, tres doceavos a los

sueldos de los técnicos y ocho doceavos a los de los obreros. ¿Qué cantidad

corresponde a cada grupo?

6. Para fabricar una pieza de tela de 1,10 m de ancho y 65 m de largo, se

necesitan 35,75 kg de algodón. ¿Cuánto pesará una pieza de tela de la

misma clase que mide 0,95 m de ancho y 120 m de largo?

7. Un grifo arroja 100 litros de agua por minuto y otro arroja 80 litros en el

mismo tiempo. ¿Cuánto tardarán, entre los dos ,en llenar un depósito de 540

litros?

MATEMÁTICA


8. La ruedas delanteras de una locomotora tienen un radio de 0,45 m y las

traseras, 0,65 m. ¿Cuántas vueltas darán las primeras mientras las

segundas dan 2600 vueltas?

9. Una pieza de cierta aleación metálica contiene 24 g de cobre, 5 g de estaño

y 15 g de níquel. Si en la fabricación de una partida de esas piezas se han

invertido 84 kg de cobre, ¿Cuáles son las cantidades de estaño y níquel

empleadas?

MATEMÁTICA


UNIDAD 12

REGLA DE TRES

MATEMÁTICA


CONCEPTO.

Es una de las más usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en

calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o más magnitudes

y esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta.

12.1. REGLA DE TRES SIMPLE (R3S).

Es Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen

tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra

magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos:

R3S DIRECTA.

Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente

proporcionales (D.P).

EN GENERAL:

Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la

incógnita “X”.

Se plantea así:

MAGNITUD A MAGNITUD B

Supuesto: a c …………….

Pregunta: b X (D)

Como son magnitudes directamente proporcionales se está

indicando por (D) y aplicando la definición se tiene:

x

b

c

a

Despejando la incógnita “X”

a

bcx

MATEMÁTICA


REGLAS PRÁCTICAS.

REGLA 1°.Una vez planteado se multiplica en “aspa”; es decir, de se efectúa:

cbXa ..

a

bcx

REGLA 2°. Del planteado la incógnita “X” es igual al valor que está sobre él,

multiplicado por la fracción a

b.

X = c. a

b

EJEMPLO (1):

Si 3 limas cuestan S/. 144, ¿Cuánto se pagará por 7 limas iguales que las

primeras?

RESOLUCIÓN.

Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el

costo las cuales son D.P. porque a mayor cantidad de limas el costo será mayor

y a menor cantidad de limas el costo será menor y se plantea:

Cantidad Limas Costo (s/.)

Supuesto: 3 144

Pregunta: 7 X

(D)

Aplicando la 2da regla práctica, se tiene:

3363

7.144x soles

OBSERVACIÓN:

Para aplicar esta regla práctica es necesario que la incógnita se ubique en la

segunda fila además se está indicando con (D) porque son directamente

proporcionales.

Se coloca de manera diferente como

se indica en el planteo

MATEMÁTICA


EJEMPLO (2):

Esmeralda al comprar 5 revistas gastó “x” soles pero si hubiera comprado 12

revistas el gasto sería S/, 28 más. Hallar el valor de X.

RESOLUCIÓN.

Del enunciado se nota que intervienen las magnitudes N° de revistas y el gasto

respectivo, el cual se plantea del modo siguiente:

Nº REVISTAS Costo (s/.)

Supuesto: 5 X

Pregunta: 12 X + 28

(D) En este caso es conveniente utilizar la primera regla práctica por lo cual se

multiplica en “aspa”:

5 (X + 28) = 12X 5X + 140 = 12X 140 = 7X

X = 20

R3S INVERSA.

Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P)

EN GENERAL:

Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b y c y a

incógnita “X” se plantean:

MAGNITUD A MAGNITUD B

Supuesto: a c ……………

Pregunta: b X (I)

Por definición de magnitudes inversamente proporcionales

acbx ..

b

acx .

MATEMÁTICA


REGLAS PRÁCTICAS:

REGLA Nº 1. Una vez planteado se multiplica en “Línea” y éstas deben ser

iguales, tal como se ha hecho en la solución anterior.

REGLA Nº 2. Del planteo (β) la incógnita “X” es igual al valor que se encuentra

sobre ella multiplicado por la fracción b

a; es decir, se copia Igual como está en

el planteo.

b

acX .

EJEMPLO 3:

¿En qué tiempo 2 albañiles pueden hacer un muro, que un albañil lo hace en 8

horas?

RESOLUCIÓN.

Del enunciado se nota que las magnitudes que intervienen son número de

albañiles y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a mayor

número de albañiles se demora menos tiempo y a menor número de albañiles

mayor tiempo, por lo cual se plantea:

N albañiles Tiempo (horas)

Supuesto: 1 8

Pregunta: 2 t

( I ) Para hallar el valor de “t” se aplica la REGLA Nº 2:

horas42

1.8t

EJEMPLO 4:

Un móvil a una velocidad de 90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto

pero si aumenta su velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X.

RESOLUCIÓN.

Se copia Igual como está en el

planteo

MATEMÁTICA


Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor

velocidad demora más tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P.

VELOCIDAD TIEMPO Supuesto: 90 X Pregunta: 120 X - 2 (I)

En este caso conviene utilizar la REGLA Nº 1 y para ello se multiplica en” Línea”:

90(x) = 120 (x – 2)

3x = 4x – 8

8 x

NOTA:

En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es

conveniente aplicar la regla Nº 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1) y (3).

En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es

conveniente aplicar la regla Nº 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o

multiplicar en línea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4).

Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden

dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera.

12.2. REGLA DE TRES COMPUESTA (R.3.C).

Se plantea cuando intervienen más de dos magnitudes.

MÉTODO DE SOLUCIÓN.

Existen varios métodos de solución pero en este caso vamos a utilizar las reglas

prácticas que se han estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello se van a

seguir los siguientes pasos:

MATEMÁTICA


1º. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema

2º. Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma

magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estén en las

mismas unidades.

3º. En la primera fila (supuesto) se colocan los datos y en la segunda fila

(pregunta) los demás incluido la incógnita.

4º. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás,

indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) y si es

inversamente proporcional con (I).

5º. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella

por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P. se

coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual.

EJEMPLO (5).

Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 días trabajando 9h/d han hecho

21m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m3 de la misma obra

de 5 como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento durante 12

días de 8 h/d.

RESOLUCIÓN.

X% = 60%.%48

5

3.

14

21.

9

8.

16

12.

6

8

NOTA:

Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud número de obreros y el

rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola

magnitud que sería el rendimiento total.

RENDIMIENTO

Nº OBREROS

Nº

DIAS

H / D

OBRA

DIFICULTAD

Supuesto 60% 8 12 8 14 5

Pregunta X% 6 16 9 21 3

(I) (I) (I) (D) (D) Igual Igual Igual Diferente Diferente

MATEMÁTICA


Si en un problema se tiene el número de días y las horas diarias ambas se

multiplican y se remplazan por una sola magnitud que sería el tiempo.

Igualmente si se tiene la obra y su respectiva dificultad ambas se multiplican

y se

remplazan por la magnitud obra.

%4810

9.

3

2%.80% X

PROBLEMAS PROPUESTO NIVEL I

Resolver los siguientes problemas:

1) 18 tornillos hexagonales cuestan s/. 3,20. ¿Cuánto cuestan 5 tornillos?

2) Un obrero gana 528 nuevos soles en 48 horas. ¿Cuánto gana por hora?

3) Tres aprendices efectúan un trabajo en 2 ½ días ¿Qué parte del trabajo

realizan en un día?

4) Dos planchas de chapa de acero pesan 31,2 kg. ¿Cuál es la masa referida a

la superficie de cinco planchas de magnitudes idénticas?

5) Determinar la masa referida a la longitud de una barra perfilada de 1 m

cuando para 6,1 m se da una masa de 32 kg.

6) Una polea de transmisión con un diámetro de 120 mm efectúa 1200

revoluciones. ¿Cuál es el número de revoluciones de la polea accionada de

720 mm de diámetro?

RENDIMIENTO TOTAL

TIEMPO

OBRA

60 % • 8

12. 8 <> 2

14..5 <> 10

x % • 6

16..9 <> 3

21..3 <> 9

(I)

(D)

MATEMÁTICA


7) Un automóvil consume 8,4 litros de gasolina por 100 km. ¿Qué trayecto

puede recorrer con 40 litros en el tanque?

8) Un automóvil recorrió 33 km en 12 minutos. ¿Cuál era su velocidad de

marcha en km/h?

9) Una rueda dentada impulsadora con 42 dientes ejecuta 96 revoluciones.

¿Cuántos dientes ha de tener la rueda accionada para que ejecute 224

revoluciones?

10) Una bomba transporta en 2 horas 1200 l de agua. ¿Cuánto tiempo se

necesita para vaciar un sótano inundado de 2x1, 5 x 3 m?

11) Para la obtención de 40Kg de bronce se necesitan 2,4 kg de estaño ¿Cuánto

estaño es necesario para 122 kg de bronce?

12) Cuatro obreros roblonan 480 remaches en 3 horas. ¿Cuántos remaches

roblonan 2 obreros en 4 horas?

MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE REFUERZO-NIVEL II.

1) Para recorrer 44 km; una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos son de

igual longitud. ¿Cuántos pasos dará para recorrer 33 km?

A) 44000 B) 45 000 C) 44000 D) 33 000 E) 30

2) Un trabajo puede ser hecho por 16 hombres en 38 días. Si 5 hombres

aumentaron su rendimiento en un 60 %, ¿en que tiempo terminaron el trabajo? A) 30 B) 26 C) 32 D) 25 E) 40

3) Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora.

¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta? A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días

4) Una persona demora 10 horas para construir un cubo compacto de 9

dm de arista. Después de 320 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 36 dm de arista se habrá construido? A) 2

1 B) 41 C) 5

1 D) 61 E) 3

1

5) Una obra puede ser realizada por 6 obreros en 20 días ¿Cuántos

obreros más se necesitarán para hacer el mismo trabajo en las 103

partes de ese tiempo? A) 14 B) 12 C) 20 D) 15 E) 18

6) En 9 litros de agua se han disuelto 580 gramos de azúcar ¿Cuántos litros

de agua serán necesarios añadir para que el litro de la mezcla tenga 29 gramos de azúcar?

A) 8 l B) 9 l C) 10 l D) 11 l E) 20 l 7) Si 8 obreros hacen una obra en 20 días y después de 5 días se retiran 3

obreros. ¿Cuántos días se retrasará la obra? A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15

MATEMÁTICA


8) Si 10 obreros trabajando 8 horas diarias emplean 12 días para terminar

un trabajo. ¿Cuántos días emplearan 5 obreros, trabajando 6 horas diarias para hacer el mismo trabajo? A)8 B) 18 C) 24 D) 32 E) 34

9) Se tiene un cubo de madera que cuesta S/.1 920.¿Cuánto costará un

cubo cuya arista sea los 5/4 de la arista anterior? A) S/.3 750 B)S/.3 850 C)S/.4 530 D)S/.1 890 E)S/.3 560

10) Si 15 obreros van a hacer una obra en 30 días trabajando 10 horas

diarias y después de 8 días se acordó que la obra termine 12 días antes del plazo. ¿Cuántos trabajadores deben contratarse , teniendo en cuenta que se aumento 1 hora de trabajo diario? A)8 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

11) Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 días .Si 8 de ellos aumentan

su rendimiento en 60%, qué tiempo empleará para realizar la obra. A) 12 B) 15 C) 18 D) 24 E) 17

12) Un ingeniero puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres ,en

5 días , trabajando 8 h/d ¿Cuántos días tardara este ingeniero en construir 800 metros de carretera con 80 obreros doblemente eficientes que los anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por día? A)4 B)5 C)8 D)9 E) 15

13) Despepitando 8250 kg de ciruelas se ha obtenido 6750kg de pulpa. ¿Cuál

sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kg de pulpa?, si las ciruelas se compran a razón de S/. 0.81 el kg. A) SI. 91,81 B) SI. 8,91 C) SI. 8,80 D) S/. 72,90 E) SI. 7,29

14) Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento

abandonan el trabajo cinco obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

15) Un auto va de P a Q y llega a cierta hora; si aumentara su velocidad un 50 %

ahorraría 2 horas. ¿En qué porcentaje debe aumentarla, si quiere llegar una hora antes?

A) 100% B) 15% C) 20% D) 25 E) 40%

MATEMÁTICA


UNIDAD 13

PORCENTAJE

MATEMÁTICA


13.1. PORCENTAJE.

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una

fracción de 100 (por ciento, que significa “cada 100”). Es a menudo denotado

utilizando el signo porcentaje %.

20 Por Ciento = 100

20 = 20 x

100

1 = 20 %

100

1 %

13.2. TRANSFORMACIÓN DE PORCENTAJE A NÚMERO.

Todo porcentaje puede ser expresado como número, se convertir en fracción

con denominador 100; por ejemplo:

a) 20% = 100

20 =

5

1

b) 60% = 100

60 =

5

3

c) 2,4% = 2,4100

1 =

100

1

10

24 =

125

3

d) 0,002% = 100

1

1000

2 =

50000

1

e) 17

12% =

100

1

17

12 =

425

3

13.3. TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO A PORCENTAJE.

Todo número puede ser expresado como porcentaje, multiplicando dicho número

por 100 %.

Ejemplos: a) 1 < > 1 x 100% = 100 % b) 3 < > 3 x 100% = 300 %

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

MATEMÁTICA


c) 0,25 < > 0,25 x 100% = 25 %

d) 5

3 < >

5

3 x 100% = 60 %

e) 5

42 < >

5

14 x 100% = 280 %

13.4. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE PORCENTAJES DE UNA MISMA

CANTIDAD.

Se puede sumar y restar porcentaje de una misma cantidad. Ejemplos I: a) 30%.A + 10%.A – 5%.A = 35%.A b) 7%.45%.B + 13%.45%.B = 20%.45%.B c) 37%.40%.25%.B + 23%.40%.25%.B - 20%.40%.25%.B = 40%.40%.25%.B Ejemplos II: a) Una cantidad más su 20% = 120% de la cantidad b) Mi edad menos su 30% = 70% de mi edad c) “C” menos su 40% = 60% “C” 13.5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Problemas I: a) Hallar el 30% de 6000.

Solución:

Recordar que “de”, “del” y “de los”, en el lenguaje matemático representa a la

operación de la multiplicación.

MATEMÁTICA


30% de 6000 = 100

306000 = 180

b) Hallar el 0,4% de 50000 Solución:

0,4% de 50000 = 100

1

10

450000 = 200

c) Hallar el 3% del 20% del 5% de 6 x104 Solución:

3% del 20% del 5% de 6 x104 = 100

5

100

20

100

36104 = 18

d) Si Esmeralda recibe el 32 % de 200 soles ¿Cuánto no recibe? e) Calcular el porcentaje de los siguientes números:

1a. 10% de 2860

1b. 10% de 1280

1c. 50% de 4970

2a. 10% de 3060

2b. 10% de 1340

2c. 10% de 50

3a. 50% de 2710

3b. 10% de 2400

3c. 50% de 1060

4a. 10% de 3440

4b. 50% de 1520

4c. 50% de 1470

5a. 50% de 2500

5b. 50% de 1600

5c. 10% de 3860

6a. 50% de 1370

6b. 10% de 4940

6c. 10% de 100

f) Sombrear el porcentaje correspondiente a cada figura.

a. 25% de la figura ( 25 1

25%100 4

)

MATEMÁTICA


b. 100% de la figura (100% )

c. 80% de la figura (80% )

d. 50% de la figura (50% )

e. 60% de la figura (60% )

Problemas II: a) ¿20% de qué número es 70? Solución: 20% de que número es 70

20%.N = 70 100

20N = 70 N = 350

b) ¿4 es el 0,25% de qué número? Solución:

0,25%.N = 4 100

1

100

25N = 4 N = 1600

c) Si tuviera 30% más del dinero que tengo, tendría 260 soles ¿Cuánto es el

dinero que tengo?

Solución:

Lo que tengo: T, entonces si tuviera 30% más; tendría 130% de T.

130%.T = 260 100

130T = 260 T = 200

MATEMÁTICA


d) Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 40% menos; costaría 6

soles. ¿Cuál es el precio real del libro?

Solución:

El libro “L” lo estaría vendiendo en un 60% de su valor real.

60%.L = 6 100

60L = 6 L = 10

e) Jaime reparte su fortuna de la siguiente manera: a Rosa le da el 28% de la

fortuna, a María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes ¿De cuanto fue la

Fortuna?

Solución:

Problemas III:

a) ¿Qué porcentaje de 80 es 4?

Solución:

En el lenguaje matemático, “de” es una multiplicación y la palabra “es”, significa

igual.

x% . 80 = 4 100

x80 = 4 x = 5 Rpta: 5%

b) De 460 operarios que existen en una fábrica, 115 son mujeres. ¿qué tanto por

ciento de los operarios no son mujeres?

Solución:

El personal que no son mujeres serán: 460 – 115 = 345 personas

¿Qué porcentaje de 460 es 345?

X%.(460) = 345 100

x460 = 345 x = 75 Rpta 75%

MATEMÁTICA


c) En la figura ¿Qué porcentaje representa la parte sombreada? Solución:

Si preguntan qué porcentaje representa la parte

sombreada, es equivalente a que pregunten qué fracción

está sombreada; ya que toda fracción se puede escribir

como porcentaje.

Por lo tanto, se hallará la fracción sombreada y luego se

convertirá en porcentaje.

A cada cuadrito se le asignará una “k”, total se tienen 64k.

Recordar:

“La diagonal de un paralelogramo divide a este en dos triángulos de igual superficie.”

Además en “todo paralelogramo al unir cualquier punto de uno de los lados con los extremos del lado opuesto se formará un triangulo, cuya superficie es la mitad del paralelogramo.” Ahora se va a analizar por partes la figura: Resumiendo: Total = 64k ; No sombreado = 36k; Sombreado = 64k – 36k = 24k

Fracción sombreada = total

sombreado =

k64

k24 =

8

3

Porcentaje sombreado = 8

3100% = 37,5%

S S S

S

S

Área total: 2S

El rectángulo contiene

32k por lo tanto la parte

no sombreada del lado

inferior derecho será 16k,

El rectángulo contiene

18k por lo tanto la parte

no sombreada del lado

superior 9k,

Trabajando en forma

similar las otras partes,

observamos que la parte

no sombreada es 36k

16k

9k 9k 2k

9k 16k

k

MATEMÁTICA


d) ¿0,0072 que porcentaje es de 0,36? e) ¿Qué porcentaje del 80% del 40% de25 es el 0,8% del 20% de 100? f) ¿Qué tanto por ciento representa la parte

sombreada de la no sombreada? : PROBLEMAS SOBRE PRECIO DE COMPRA Y VENTA.

Rossmery es comerciante y realiza las siguientes transacciones comerciales

según muestra los gráficos siguientes:

Del ejemplo anterior se puede deducir lo siguiente: PV = Precio de Venta. PC = Precio de Compra o Precio de Costo G = Ganancia P = Pérdida

PV = PC + G

PV = PC - P

$ 100.00

Rossmery compra

un TV a $ 100.00

$ 120.00

Rossmery vende

el TV a $ 120.00

PC: Precio de costo Pv: Precio de venta

Ganancia de $ 20.00

$ 100.00

Rossmery compra

un TV a $ 100.00

$ 70.00

Rossmery vende

el TV a $ 70.00

PC Pv

Pérdida de $ 30.00

MATEMÁTICA


De lo cual se deduce que: Si hubiera sido un aumento entonces: Problemas:

a) Esmeralda compra un vestido en 120 soles ¿En cuánto debe venderlo para

ganar el 15% sobre el precio de compra?

Solución:

PV = PC + G

PV = 120 + 15%.(120) PV = 120 + 15%.(120) PV = S/ 138

b) Oswaldo compra un taladro pagando S/ 120, ¿hallar el precio de Lista, si le

hicieron un descuento del 25%?

Solución: PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento

120 = PF - 25%. PF 120 = 75%. PF

120 = 100

75 PF PF = 160

PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento

$ 100.00

Rossmery desea vender un vestido y lo

exhibe en su tienda a $ 100.00

$ 40.00

Rossmery vende el vestido

a $ 40.00

PF: Precio Fijado o Precio de Lista Pv: Precio de Venta

Rossmery realiza un

Descuento de $ 60.00

PVENTA = PFIJADO O LISTA + Aumento

Datos: Pc = 120 Pv = ? G = 15%.Pc

Datos: Pv = 120 PF = ? Descuento = 25%.PF

MATEMÁTICA


c) ¿Cuáles precio de venta de un artículo, cuyo precio de costo es 46 soles y la

ganancia es el 8% del precio de venta?

d) El precio de venta de un televisor es $150, en esta venta se ha perdido el 25%

del precio de costo. Hallar el precio de costo.

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS.

Este tipo de problema es cuando a una cantidad se le aplica varios descuentos o

aumentos en forma sucesiva.

Por ejemplo:

Se hace 3 descuentos sucesivos de 20%, 25% y 30% del precio inicial del auto: En el 1º descuento es del 20% de $8000, por lo tanto el nuevo precio será:

PFINAL = 80%(8000)

El 2º descuento es de 25% de 80%(8000) entonces el nuevo precio será:

PFINAL = 75%.80%(8000) El 3º descuento es del 30% del 75%.80%(8000), entonces el nuevo precio será:

PFINAL = 70%.75%.80%(8000) = $ 3360 Entonces el descuento único fue de: $8000 - $ 3360 = $ 4640 ¿Qué % es el descuento único? X%.8000 = 4640

100

X8000 = 4640 X = 58% (Descuento único)

Problemas: a) ¿Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único

de? Solución:

Una forma práctica de resolver este tipo de problema será de la siguiente manera:

PINICIAL = 100%

$ 8000.00

Rossmery desea compra un

auto cuyo precio de Lista es $

8000.00

PF

MATEMÁTICA


PFINAL = 80%.100% Después de 1º descuento del 20% PFINAL = 60%.80%.100% Después de 2º descuento del 40%

PFINAL = 100

80

100

60100%

PFINAL = 48% Descuento único = 100% - 48% = 52% b) ¿Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de?

Solución:

PINICIAL = 100% PFINAL = 120%.100% Después de 1º aumento del 20% PFINAL = 130%.120%.100% Después de 2º aumento del 30%

PFINAL = 100

120

100

130100%

PFINAL = 156% Aumento único = 156% - 100% = 56% c) Un Artículo cuyo precio de lista es de $240, se vende haciendo 2 descuentos

sucesivos del 25% y 15%. ¿Calcular el precio de venta?

d) ¿Cuál era el precio de lista de un artículo si la venta fue de 204 soles luego de

los descuentos sucesivos de 20% y 15%?

VARIACIONES PORCENTUALES.

Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su valor

original, y que es expresado en forma de Tanto Por ciento.

Problemas:

a) ¿En que porcentaje se ha incrementado el área de un rectángulo, si la base se

incremento en un 20% y su altura en un 50%?

Solución:

Método I:

Área Inicial = B.h < > 100% La Base aumenta el 20% y su altura aumenta en un B

h

MATEMÁTICA


50%

Área Final = 120%B.150%h = 100

150

100

120 B.h

Área Final = 1,8.B.h

Aplicando regla de tres simple:

Bh 100%

1,8 Bh X

X = 100%.Bh

Bh 1,8 = 180%

El aumento de área en porcentaje fue de: 180%

Método II:

Con este método no es necesario saber las formulas de áreas de los diferentes

figuras planas, por que las constantes que existieran en dichas formulas se

anularían.

AINICIAL = 100%

AFINAL = 120% .150% = 100

120150% = 180%

El aumento de Área = 180% - 100% = 80%

b) ¿La base de un triángulo se ha incrementado en un 10% y la altura ha

disminuido en un 40%. ¿En que porcentaje ha variado su área?

Solución:

AINICIAL = 100%

AFINAL = 110% .60% = 100

11060% = 66%

El Área disminuye en: 100% - 66% = 34%

120% B

150% h

+20% +50%

+10% -40%

MATEMÁTICA


c) ¿En que porcentaje aumenta el área de un círculo, si su radio aumenta en un

30%?

Solución:

Área del círculo es 2.r = r.r , la dimensión de longitud “radio” se multiplica

dos veces, entonces el aumento de 30 % se repetirá dos veces y la constante ,

se cancela.

AINICIAL = 100%

AFINAL = 130% .130% = 100

130130% = 169%

El Área aumenta en: 169% - 100% = 69%

d) ¿La base de un triángulo aumenta en sus 3/5 y su altura disminuye a la mitad.

¿Cuánto % varía su área?

Solución:

3/5 equivale al 60%, entonces la base aumenta en 60% y su altura disminuye en

un 50%

AINICIAL = 100%

AFINAL = 160% .50% = 100

16050% = 80%

El Área disminuye en: 100% - 80% = 20% e) ¿El radio de una esfera disminuye en un 20% ¿En que porcentaje varia su

volumen ?

Solución:

Nota: En caso de variación de volúmenes, con este método se tendría que

realizar 3 variaciones porcentuales “Flechas”, por que la magnitud física de

volumen es L3.

+30% +30%

+60% -50%

MATEMÁTICA


VINICIAL = 100%

VFINAL = 80% .80% .80% = 100

80

100

8080% = 51,2%

El Volumen disminuye: 100% - 51,2% = 48,8%

RESOLVER:

f) ¿En qué porcentaje varía el área de un paralelogramo, si su altura aumenta en

un 10 % y su base disminuye en un 10%?

g) Si la base de rectángulo disminuye en un 20%, ¿En que porcentaje debe de

aumentar la altura para que su área aumente en un 25%,

h) Si el largo de un prisma rectangular disminuye en un 20% y su ancho aumenta

en un 10%, ¿En que porcentaje debe de variar su altura, para que su volumen

no varíe?

-20% -20% -20%

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I)

1. Para una puerta se necesitaron 1,86 m2 de una plancha de metal, la

plancha de metal perdida por recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte en

%.

2. Un obrero especializado trabaja a destajo por 9 dólares la hora. ¿En qué

tanto por ciento supera su salario a destajo el salario normal de 7,20

dólares?

3. Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador

paga 820,00 nuevos soles. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin

descuento?

4. Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración

pierde la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.

5. El alquiler mensual de un taller es de 1860,00 nuevos soles. Habiendo sido

aumentado a S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.

6. En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22%

de todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?

7. Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las

proporciones de cobre y cinc en %.

8. 60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de

Pb; el resto es cinc. Calcular las proporciones en %

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS (NIVEL II). 1. Determinar el 3% de 600 piezas.

Solución:

Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de tres

directa.

En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que se

debe calcular, luego, corresponderá x.

PIEZAS POR CIENTO 600.......................100% X ....................... 3% 2. ¿Cuál será él numero de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas?

Solución:

El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es el

total de piezas).

3 .......

100 x

3. José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento obtuvo

de descuento?

Solución:

José pago lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue: Rpta. 20 %

600 100.............. ....

3 100x piezas

x

POR CIENTO PIEZAS

3% ...........................18

100% ............................X

___________ ....................x piezas

VALOR PIEZAS

1 880 ...........................100%

1 440 ............................X ___________ 80%x

100% ..................% ....................%

MATEMÁTICA


4. Calcular el 8% de 320 octavos. Solución: 8% de 320

.% 320 8

.............100 100

Bp

5. ¿Qué por ciento es 5 de 30? Solución: 5 es de 30

100. .............

% .............p

B

6. Determinar:

a. 4% de 10

b. 25% de 80

c. 2,5% de 3

d. 10% de 480

7. Escribir en forma de porcentaje: a. 0,75 _________________

b. 0,4 _________________

c. 2

_________________5

d. 1

_________________10

Total = 320

Tasa = 8

Porcentaje = ¿

Total = 30

Porcentaje = 5

Tasa = ¿

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL III): 1. Hallar el 0,05% de 4 200. A) 0,12 B) 0,021 C) 2,1 D) 2,01 E) 210 2. Hallar los 3/5% de 6000. A) 16 B) 20 C) 162 D) 36 E) 45 3. El 32% del 45% de 5 300, ¿Qué porcentaje representa del 25% de 4 770? A) 30% B) 60% C) 64 % D) 44% E) 80%

4. Si el precio de un artículo se rebaja en 40%, ¿En qué porcentaje hay que

aumentar el nuevo precio para obtener el original?

A) 40% B) 50% C) 30% D) 6632 % E) 60%

5. ¿Cuál es el valor de “n” después de ser disminuido en 1472 %?

A) 6

1n B)

6

5n C)

6

7n D)

3

1n E)

7

6n

6. En una clase de 60 alumnos, el 25% son niñas. Si el 40% de los niños y el

20% de las niñas salen de paseo, ¿Qué porcentaje de la clase salió de paseo?

A) 30% B) 3221 % C) 35% D) 32% E) 20

21 %

7. Para una puerta se necesitaron 1,86 m2 de chapa, la chapa perdida por

recortes fue de 0,2 m2, Calcular el recorte en %.

8. De una chapa cuadrada de 400 mm de lado se desea cortar el mayor círculo

posible. Calcule el resto de recorte en %

9. Un obrero especializado trabaja a destajo por S/. 9 la hora. ¿En qué tanto por

ciento supera su salario a destajo el salario normal de S/. 7,20?

MATEMÁTICA


10. Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador paga

S/. 820,00. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento?

11. Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración pierde

la pieza un 14% de su peso. Calcular el peso final.

12. El alquiler mensual de un taller es de S/. 1860,00. Habiendo sido aumentado a

S/. 3160,00. Calcular el porcentaje de aumento del alquiler.

13. En una escuela vocacional hay 88 mecánicos, los que constituyen el 22% de

todos los escolares. ¿Cuántos escolares tiene la escuela?

14. Una pieza se tornea con una pieza de acero al tungsteno-silicio en 25 minutos,

con otra de acero rápido en 20,5 minutos ¿Cuál es el ahorro de tiempo en por

ciento?

15. Por refinado se mejora la resistencia a la tracción de un acero en un 36%

alcanzando entonces el valor de 11,2 N/mm2. ¿Qué resistencia a la tracción

tenía el acero antes del refinado?

16. Una aleación se compone de 27 kg de cobre y 18 kg de cinc. Calcular las

proporciones de cobre y cinc en %.

17. 60 kg de fundición roja contienen 51,6 kg de Cu, 5,4 kg de Sn y 0, 6 kg de Pb;

el resto es cinc. Calcular las proporciones en %

18. Un árbol de 26 mm de diámetro recibe un corte de 2,4 mm de profundidad.

¿En que porcentaje disminuye la sección transversal?.

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL IV):

1. Calcular los siguientes porcentajes:

a. 20 % de 240;

b. 5 % de 900;

c. 60 % de 1240;

d. 40 % de 12000;

e. 8 % del 40 % de 160000;

f. 5 % del 30 % de 400000;

g. 10 % del 50 % de 60000;

h. 250 % de 840000.

2. En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el

tanto por ciento de ausencias?

3. En una ciudad de 23500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión

municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento?

4. Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas las

camas disponibles. ¿De cuántas camas dispone el hospital?

5. El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos

habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años?

6. Calcular en cuánto se transforman las siguientes cantidades si varían según el

porcentaje indicado:

a. 3500 nuevos soles, si aumentan el 8 %.

b. 8500 litros, si aumentan el 27 %.

c. 360000 personas, si aumenta el 3 %.

d. 2300 discos, si aumentan el 150 %.

e. 546 alumnos, si aumentan el 4 %.

f. 1600000 nuevos soles, si aumentan el 16 %.

7. El precio de un libro, después de haber aumentado un 12 %, es de S/. 26,5.

¿Cuánto valía antes de la subida?

8. Con las últimas lluvias el contenido del pantano ha aumentado el 27 % y tiene

321,6 hm3. ¿Cuánta agua tenía antes de las lluvias?

MATEMÁTICA


9. He conseguido que me rebajaran la nevera un 18 %, con lo que me ha costado

S/. 340. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

10. Si el precio de una mercancía se sube el 50 % y después se baja el 50 %,

¿cómo queda con respecto al precio inicial? Compruébalo con un precio de S/.

100.

11. En las rebajas de una tienda se descuentan todos los artículos un 10 %. Si

compras por valor de 1580 S/. , ¿cuánto tendrás que pagar?

12. Una tienda carga el 12 % de IGV sobre cada factura. Si el importe de las

ventas es de S/. 30500, ¿a cuánto asciende con el IGV?

MATEMÁTICA


UNIDAD 14

ÁNGULO

MATEMÁTICA


Postulados:

La línea recta posee dos sentidos.

La línea recta se extiende

indefinidamente en ambos

sentidos.

Dos puntos determinan una recta

Por un punto pasan infinitas

rectas.

14.1 DEFINICIÓN: RECTA, RAYO, SEMIRRECTA. RECTA.

Conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección.

Veamos: los puntos A y B determinan una RECTA.

A B r Así, la recta puede ser representada de dos maneras:

- Con una letra minúscula: r, s,t,…. - Con dos letras mayúsculas: AB , CD , ….

Completar entonces, correctamente, la indicación de cada recta: s D E F G C t H u Recta …………..o CD recta t, o……….. recta ……… o ………..

RAYO.

Se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los

sentidos.

La figura muestra un rayo donde el punto O se llama origen y forma parte de la

figura.

Notación: OA

SEMIRRECTA.

Es uno de los sentidos de la recta. A diferencia del rayo una semirrecta no

considera el origen.

MATEMÁTICA


Gráficamente:

Notación : OA 14.2. ÁNGULO.

Es la región del plano limitado por dos rayos que tienen un origen común.

Parte común a dos semiplanos.

Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo.

Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el mismo

origen.

Elementos del ángulo: vértice “O”; lados OA y OB; abertura ● A lado

ángulo cóncavo ángulo convexo

O abertura lado ● B

180º < < 360º 14.2.1 UNIDADES DE CONVERSIÓN.

S: sistema sexagesimal C: sistema centesimal R: sistema radial

S C R

360º 400g 2

MATEMÁTICA


En el sistema sexagesimal: 1º = 60´ ; 1´ = 60”

90º /2

II I

180º 360º 2 o

III IV

270º 3/2 14.2.2 INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS. A) TRANSPORTADOR. B) GONIÓMETRO. C) FALSA ESCUADRA.

MATEMÁTICA


θ

D) ESCUADRA.

14.2.3 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.

I. De acuerdo a su medidas. A) Ángulo agudo.

0º < m < 90º B) Ángulo recto.

m = 90º C) Ángulo obtuso.

B

90º < m < 180º O C D) Ángulo llano o lineal.

m = 180º A O B E) Ángulo convexo. 0º < θ < 180º F) Ángulo no convexo (ó cóncavo).

180º < θ < 360º

θ

MATEMÁTICA


II. De acuerdo a la posición de sus lados. A) ÁNGULOS ADYACENTES. Son dos ángulos que tienen un lado común . B) ÁNGULOS CONSECUTIVOS. Son dos o más ángulos adyacentes y están uno al lado del otro. C) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE. Tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados

del otro: m = m

III. De acuerdo a la suma de sus medidas. A) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS.

+ = 90º

C () = 90º –

n = par: C C C C C C () = n = 6

n = impar: C C C C C () = C () n = 5

O

A

B C

D

MATEMÁTICA


B) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.

+ = 180º S () = 180º –

n = par: S S S S () = n = 4

n = impar: S S S S S () = S () n = 5

C) ÁNGULOS REPLEMENTARIOS.

+ = 360º

R () = 360º –

n = par: R R R R R R () = n = 6

n = impar: R R R () = R () n = 3

14.2.4 OPERACIONES CON ÁNGULOS.

ADICIÓN.

Para sumar unidades angulares, debe de disponerse en columnas las unidades

de igual denominación (de modo que se correspondan en columnas vertical), ya

se vio esto anteriormente.

MATEMÁTICA


Observar la operación siguiente.

Sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie; esto es, segundo con

segundo, minuto con ................... y grado con ...............

En cambio, en la suma de unidades angulares, a veces se hace necesario usar

las relaciones existentes entre ellas.

En la suma del lado, hay 81’, esto es un grado y veintiún minutos (1° 21’). Se tendrá entonces una nueva forma a la suma (resultado) que pasará a ser 53° 21’. Pues bien, para que esto ocurra se debe dividir 81’ por 60’, que dará como cociente el número de grados y el residuo -si hubiera- será el número de minutos: Observar además estos otros ejemplos: 35° 16’ + 17’ 42” + 45° 45’ 20’ 41” 80° 61’ 37’ 83” 81° 1’ 38’ 23” EJERCICIOS DE ADICIÓN: 1. Sumar las siguientes medidas angulares: a. 31° 17’ + 3° 38’ = ..............................

32° 17‟ 30” +

19° 13‟ 15”

51° 30‟ 45”

1° 81‟ | 60

17° 36‟ + 21‟ 1°

35° 45‟

52° 81‟

53° 21‟

17° 36‟ +

35° 45‟

52° 81‟

1 grado (°) = 60 minutos („)

1 Minuto („) = 60 Segundos (“)

MATEMÁTICA


b. 105° 18’ + 25° 17’ + 10° 25’ = .....................

c. 21’ 30” + 2° 13’ 40” = ..................................

d. 2° 45’ + 10° 10” = ...................................

2. Calcular la medida del ángulo x:

a = 27° 25’

b = 16° 13’

x = a + b = ........... 3. ¿Cuál es la medida del ángulo y?

a = 42°

b = 36°

c = 19°

y = ................= ...........

RESPUESTAS:

1. a) 34° 55’ b) 141° c) 2° 35’ 10” d) 12° 45’ 10” 2. 43° 38’ 3. 97°

SUSTRACCIÓN.

En la resta se procederá de la misma manera que en la suma haciendo

corresponder en columnas las unidades de la misma denominación, y cuando sea

necesario, tomando en cuenta las relaciones existentes entre ellas. Observar:

¿Cuándo es posible hacer una resta? Sólo es posible efectuar la resta cuando las magnitudes: Del minuendo son mayores o iguales que las del Sustraendo.

49° 20‟ -

20° 14‟

29° 6‟

MATEMÁTICA


Por tanto ¿Cómo sería posible resolver la resta de abajo? De 5’ no se puede restar 16’ Pues bien, la resta se hará de la siguiente manera: Se pide prestado 1° a los 74°. El mi - nuendo, pasará entonces A ser 73° 65’. Ud. debe de haber notado que de los 74° fue Retirado 1° quedando entonces 73°, este 1° fue transformado En minutos(1° = 60’= y después, sumado a los 5’ existentes 60’ + 5’ = 65’ Así fue posible la resta.

Observar con atención los ejemplos y completar.

EJEMPLOS DE SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS: a) b) c) 13° 16’ -- 35° 25’ -- 12’ 16” -- 8° 27’ 17° 35’ 9’ 40” _________ _________ ____________ 4° 49’ ................ 2’ 36” d) e) f) 10’ 25” -- 12° 15’ 18” -- 20° 10’ 35” -- 8’ 45” 9° 20’ 25” 18° 15’ 30” _________ ___________ ____________ ………… 2° 54’ 53” ………….

74° 5‟ -

18° 16‟

?

El ángulo 73° 65‟

es igual a 74° 5‟

73° 65‟ -

18° 16‟

55° 49‟

MATEMÁTICA


Respuestas a los Ejemplos:

b) 17° 50’ c) 11’ 76” d) 9’ 85” - 1’ 40” f) 19° 70’ - 1° 55’ 5” EJERCICIOS DE SUSTRACCIÓN: 1. Calcular la medida del ángulo x:

x = .......... 2. ¿Cuál es la medida del ángulo y?

a = 35°

b = 10° 15”

y = a - b 3. ¿Cuál es la medida del ángulo b?

a = 35° 25’

b = 90° - a 4. Restar las siguientes medidas angulares:

MATEMÁTICA


a. 45° 30’ - 22° 15’ = ....................

b. 53° - 19° 45’ = ................. c. 65° 17’ - 42° 36” = ..................

d. 20’ 18” - 15’ 30” = ............... e. 28° 16’ 30” - 17° 40’ 18” = .......

f. 47° 48’ 23° 55’ 10” = ...........

g. 45° - 12’ 29” = ...............

h. 36’ - 18’ 30” = ....................

i. 56° 17” - 5° 10’ 10” = ...............

5. Efectuar: 18° 36’ - 15° 42’ 37” + 3° 55’

MULTIPLICACIÓN.

Para multiplicar un ángulo por un número natural se debe multiplicar

por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y

segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es

superior a 60, se transformamos en una unidad de orden

inmediatamente superior.

18º 26' 35" X 3

54º 78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego

54º 79' 45"

Pero 79' = 1º 19', luego

55º 19' 45"

MATEMÁTICA


6. Realizar los siguientes productos:

a. 56º 20' 40" * 2

b. 37º 42' 15" * 4

c. 125º 15' 30" * 2

d. 24º 50' 40" * 3

e. 33º 33' 33" * 3

f. 17º 43' 34" * 2

DIVISIÓN.

Para dividir un ángulo por un número natural dividir los grados entre ese número.

Transformar el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y se suma a

los que se tenían. Dividir los minutos. Transformar el resto de la división en

segundos, multiplicándolo por 60, y sumar a los segundos que se tenían. Dividir

segundos.

7. Realizar las siguientes divisiones:

a. 56º 20' 40" : 5

b. 37º 42' 15" : 4

c. 125º 15' 30" : 5

d. 25º 50' 40" : 6

e. 33º 33' 33" : 2

f. 17º 43' 24" : 12

MATEMÁTICA


ÁNGULOS CONGRUENTES (). Dos ángulos son congruentes cuando tienen igual medida. A B P R 30º 30º

mABC m PQR C Q

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La bisectriz es un rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a éste en dos

ángulos de igual medida o congruentes.

OM : Bisectriz

14.3 TEOREMAS RELATIVO A LOS ANGULOS.

1. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un

Angulo de 45º

2. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman 90º

3. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.

45º

Teorema 1

Teorema 2

Teorema 3

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 120º.

2. Calcular el valor de la razón aritmética entre el duplo del complemento de la

mitad de un ángulo y la tercera parte del suplemento del triple de dicho ángulo.

3. Del gráfico mostrado la medida del ángulo DRO es tres veces la media del

ángulo ARE. Calcular el valor de “x”. Si los rayos RD y RO son las bisectrices

del ángulo MRA y ERN.

4. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3/ 5. Calcular

la medida del ángulo menor.

5. En la siguiente figura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la

medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.

6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: mAOC = 80º

y mBOD = 60º. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices

de los ángulos AOB y COD.

7. En la figura, calcular el ángulo AOB.

MATEMÁTICA


8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que

mAOB=20º, mBOD = mDOE y mCOE = mBOC + mBOD = 90º.

Calcule mAOC.

9. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y

EOA está, en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD.

10. Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de

modo que: 5432

DECDBCAB y AE = 42 cm. Calcular CD.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

1.

La ecuación será : º1203

1

2

1CSxx

)º120º180(º903

1

2

1 xx

º5x

2. Del enunciado se tiene:

X =

3

3

1

22 SC

. . . ( I )

Donde : * Medida del ángulo en mención

* x Valor de la Razón Aritmética

En ( I) : x =

31803

1

2902

x = 180° - - 60° + x = 120º

MATEMÁTICA


3.

Dato:

AREmDROm 3

xx 3

x2

según el gráfico : 9022 x

90)(2 x

90)2(2 xx

905x ; º18X

4.

Sea “x” el ángulo menor:

5

3

º180

x

x

03º67º5,67 x

5.

Sea mAOX = θ mAOB + mAOC = 90º (θ + α ) + (θ – α ) = 90º θ = 45º 6. Se pide: α + β + θ = ? Como: 2 α + β = 80º 2 θ + β = 60º Al sumar y simplificar: α + β + θ = 70º

α α

MATEMÁTICA


7. Sea mAOB = X Del gráfico, por ángulo de una vuelta: mDOB + mBOD = 360º ( 210º - X ) + 190º = 360º X = 40º

8. Piden mAOC = ? Sean mBOC = α mBOD = θ Del enunciado α + θ = 90º ....... ( 1 ) Se Observa 2 θ = 90º + α .........( 2 ) Sumando ( 1) y ( 2) 2 θ + θ = 180º Θ = 60º y α = 30º mAOC = 50º

9. Tomando los ángulos en forma conveniente ( X - 2 α ) + ( X – α ) + X + ( X + α ) + ( X + 2 α ) = 360º α = 72º 10. 14 X = 42 X = 3 Se pide: CD = 12

20º

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS (NIVEL I)

1. Calcular la suma de los ángulos y el tamaño de un ángulo para:

a) un pentágono regular b) un hexágono regular, c) un octógono regular.

2. Calcular para el ángulo de 78 41 28 el ángulo complementario y suplementario.

3. La suma de dos ángulos de un triángulo es de 139 37 4 . Calcular el tercer ángulo.

4. La cubierta de en cilindro esta sujeta con 8 tornillos. Calcular el ángulo de distancia

entre los tornillos.

5. Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12 56. Para el ajuste

se requiere el ángulo en decimales.

6. Una válvula de admisión abre 17,43 antes del punto muerto superior. Calcule tal

ángulo de abertura en grados, minutos y segundos.

MATEMÁTICA


7. Convertir en:

a) Grados: 240 ; 35 ; 4200 ; 31,2 ; 0,68 ; 0,42 ; 425

b) Minutos: 360 ; 38 ; 4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86

c) Segundos: 314 ; 56 ; 3800 ; 68,2 ; 0,45 ; 0,012 ; 15

e) Sumar: 14 46 + 181 34 + 37 8 + 9 12 32

8. Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 5 ; 3 y 1.

Calcular la diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulo.

A) 80º B) 90º C) 65º D) 100º E) 60º

9. En un triángulo ABC, BE es bisectriz interior. Calcular la medida del ángulo

C, si AB = BE = EC

A) 72º B) 30º C) 36º D) 40º E) 80º

10. Un ángulo mide la sexta parte de la medida de un ángulo recto. Otro ángulo

mide los 5/9 de la medida de un ángulo recto. Determinar el complemento de

la suma de las medidas de dichos ángulos.

A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 20º

11. En la figura, L1 // L2. Sí: x+y = 40º , calcular (a + b).

A) 80º B) 85º C) 90º D) 100º E) 120º

12. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CF, el ángulo B mide 80º.

Calcular la medida del mayor ángulo que forman las bisectrices de los

ángulos HAC y ACF.

A) 125º B) 80º C) 135º D) 140º E) 120º

x 1L

2Ly

a

b6

5

4

MATEMÁTICA



1. Encontrar el complemento de un ángulo que mide 25º, más el suplemento de

otro ángulo que mide 105º

A) 120º B) 125º C) 140º D) 130º E) 135º

2. Encontrar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es igual a

2/5 de su suplemento.

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º

3. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 4 es a 5.

¿Cuánto mide el mayor de los dos ángulos?

A) 95º B) 100º C) 105º D) 110º E) 105º

4. Hallar la medida de un ángulo es “X”, si el suplemento del complemento del

triple de mX es igual al complemento de mX, aumentado en 20º. Calcular

mX.

A) 3º B) 4º C) 5º D) 6º E) 7º

5. En los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD se cumple que:

mAOC = 125º, mBOD = 100º. Calcular mAOB – mCOD.

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 25º

6. La diferencia de los ángulos adyacentes AOB y BOC es 42º, se traza

el rayo OM bisectriz del ángulo AOC. Calcular la mMOB.

A) 42º B) 20º C) 10º D) 21º E) 25º

7. En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mAOB = 50º. Encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos

BOC y AOC.

A) 22º B) 20º C) 18º D) 25º E) 26º

MATEMÁTICA


8. Hallar G:

G = 2 (35º 32’ 55” – 24º 48’ 40”) 5 A) 5º 12’ 45” B) 4º 17’ 42” C) 4º 12’ 32” D) 4º 7’ 32” E) 6º 27’ 42”

9. Efectuar: 98º 45´ + 77º 42´ 5 6

A) 32º 41’00” B) 32º 41’15” C) 32º 42’ D) 32º 40’8” E) 32º 41’20”

10. El ángulo formado por 2 semirrectas opuestas se llama ángulo

A) Obtuso B) Congruente C) Llano D) Nulo E) De un giro

11. Restar: (2º 3´ 12” ) : 3 de 2 ( 4º 6” ) A) 7º 19´ 8” B) 8º 41´ 8” C) 2º 41´ 2” D) 9º 19´ 8” E) 7º 31´ 4”

12. Dado los ángulos adyacentes AOB y BOC; los rayos OX, OY, OZ

son las bisectrices de los ángulos: AOB, BOC, XOY.

Si: mAOB – mBOC = . Hallar mBOZ

A) /2 B) /3 C) /4 D) /8 E) 2/3

13. Transformar /6 radianes a grados sexagesimales:

A) 10º B) 20º C) 30º D) 45º E) 50º

MATEMÁTICA


UNIDAD 15

ANGULOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

MATEMÁTICA


15.1. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTA

PARALELAS Y UNA SECANTE.

Considerar dos rectas paralelas r y s:

La región comprendida entre “r” y “s” será llamada región interna y las otras, regiones externas.

Considerando ahora las dos rectas paralelas cortadas por la secante “t”.

Observar que la secante forma con las rectas paralelas:

Cuatro ángulos AGUDOS iguales.

Cuatro ángulos OBTUSOS iguales.

De estos ocho ángulos, - Cuatro son INTERNOS pues pertenecen

a la región interna. Ej: a, b, c, d - Cuatro son EXTERNOS pues pertenecen

a la región externa. Ej: e, f, g, h

I. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS.. Son dos ángulos internos, ambos agudos o ambos obtusos y situados uno a cada lado de la secante. Ej.:

a y .......

c y ........

Región externa

Región interna

Región externa

obtuso

obtuso

agudo

agudo

obtuso

obtuso

agudo

agudo

c a b

d

e

f h

g

a b

c d

MATEMÁTICA


Dos ángulos alternos internos son iguales (pues ambos son agudos o ambos obtusos)

....... = b .......... = d II. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS. Son dos ángulos externos, ambos agudos o ambos obtusos y situados uno a cada lado de la secante. Ej:

e y ....... g y ........ Dos ángulos alternos externos son iguales

....... = f .......... = h

III. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES.

Son dos ángulos, uno interno y otro externo, ambos agudos o ambos obtusos y

situados en el mismo lado de la secante.

Dos ángulos correspondientes son iguales.

e y b

a y ........

....... y d

e

f

g

h

e

b

MATEMÁTICA


........ y ........

IV. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS.

Son dos ángulos internos, uno agudo otro obtuso

Ambos situados del mismo lado de la secante.

Ej:

a y d ........ y ........ Dos ángulos conjugados internos suman 180°.

a + d = 180° c + b = .........

V. ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS.

Son dos ángulos externos, uno agudo otro obtuso

Ambos situados del mismo lado de la secante.

Ej.:

g y f ........ y h

Dos ángulos conjugados externos suman 180°.

g + f = 180° ....... + ....... = 180°

MATEMÁTICA


EJERCICIOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

1. Observar la figura y completar: Dos rectas paralelas, cortadas por una secante forman ...............ángulos

f. Los ángulos internos son: (........................................................) g. Los ángulos externos son: (........................................................)

h. Los pares de ángulos correspondientes son:

(.................................); (.................................), (.................................) y (...........................)

i. Los pares de ángulos alternos internos son: (.................................) y (...........................) j. Los pares de ángulos alternos externos son:

(.................................) y (...........................) k. Los pares de ángulos opuestos por el vértice son: (.................................); (.................................), (.................................) y (...........................) l. Citar dos ángulos internos que sean suplementarios y dos ángulos

externos que también lo sean: Ángulos internos (.................................) Ángulos externos (.................................)

2. Observar también la figura del lado y determinar los ángulos:

a = .................................

b = .................................

c = .................................

MATEMÁTICA


3. Determinar el valor de x:

x = ................................. x = .................................

4. En la figura siguiente, responder: ¿Cuál es la medida de cada ángulo agudo?

......................................................

¿Cuál es la medida de cada ángulo obtuso?

......................................................

5. Completar el siguiente cuadro observando el dibujo y el ejemplo.

Alternos internos B y H , C y E

Alternos externos

Correspondientes

Conjugados internos

Conjugados externos

Opuestos por el vértice

6. Determinar las medidas de los ángulos sin ayuda del transportador,

observando el dibujo.

1 = .............32°....................

2 = ......................................

3 = ......................................

4 = ......................................

MATEMÁTICA


7. Dar nombres a los pares de rectas representados abajo: Rectas ................................................. Rectas ................................................. Rectas ................................................. 8. Determinar la medida de cada uno de los ángulos desconocidos:

a = .............130°........... e = .....................

b = .............................. f = ......................

c = ................................ g = .....................

d = .................................. h = ...................... 9. Completar observando la figura

Si b = 70° , entonces r = .............

Si c = 65° , entonces p = .............

Si s = 65° , entonces a = .............

Si q = 80° , entonces d = .............

Si a = 20° , entonces p = .............

MATEMÁTICA


RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS: 1. a) 8

b) ( 1, 4, 6, 7)

c) ( 2, 3, 5, 8)

d) (2, 6) ; ( 1, 5) ; ( 8, 4) ; ( 3, 7)

e) (4, 6) y ( 1, 7)

f) (3, 5) y ( 2, 8)

g) (1, 3) ; ( 2, 4) ; ( 6, 8) ; (5, 7)

h) ( 6, 7) y ( 5, 8)

2. a = 50° b = 130° c = 50°

3. x = 150° x = 60° 4. 30° 150° 5.

Alternos internos B y H , C y E

Alternos externos D y F , A y G

Correspondientes

D y H , C y G, Ay E ,

B y F

Conjugados internos E y B , C y H

Conjugados externos A y F , D y G

Opuestos por el vértice

B y D , A y C, E y G,

F y H

6. 2 = 148° 3 = 32° 4 = 148° 7. Paralelas – perpendiculares - concurrentes

8. b = 50° d = 50° f = 50° h = 50°

c = 130° e = 130° g = 130°

9. f = 70° a = 65° q = 160°

p = 65° d = 80°

MATEMÁTICA


15.2. PROPIEDADES AUXILIARES.

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS:

Si dos ángulos tienen sus lados paralelos: o son iguales, ó son suplementarios.

Se ve que son como dos paralelas entre dos secantes.

180

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES:

Si dos ángulos tienen sus lados perpendiculares: o son iguales ó son

suplementarios.

180

OTRAS PROPIEDADES

m

n

m + n = + +

+ + + = 180º

m

n

+ = m + n

MATEMÁTICA


BISECTRIZ DE UN ÁNGULO INTERIOR:

Si se traza la bisectriz de un ángulo interior de un trapecio ADFC, se genera un

triángulo isósceles, donde el segmento CA es igual al segmento CG, y la base

no igual es el segmento AG.

TEOREMA DE THALES:

Tres o más paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos

mutuamente proporcionales.

Si se aplica a un trapecio ADFC:

Se cumple que: AB DE

BC EF

THALES APLICADO A UN TRIÁNGULO:

Si se juntan las dos secantes, el trapecio se transforma en triángulo, pero por ser

paralelas entre dos secantes, el teorema de Thales se sigue cumpliendo:

MATEMÁTICA


Se cumple que: EF

AE

BC

AB

EJERCICIOS RESUELTOS DE:

Ángulos y paralelas. 1. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 355°25’20” y 31°39’47”

A) 18°40” B) 35°12’ C) 27°5’7” D) 23°10’ E) 13° Solución: 355°25’20” + 31°39’47” = 386°64’67” = 27°5’7”

2. Dividir en 5 partes, el ángulo : 310°10’45” A) 82°35’ B) 12°24’ C) 56°8’ D) 63° 2’4” E) 62°2’9”

Solución: 310°10’45” 5 = 62°2’9” 3. Efectuar la resta : 15°50” y 11°50’59”

A) 3°9’51” B) 4°12’30” C) 7°10’ D) 7°34’ E) 5°17’ Solución: 14°60’50” - 11°50’59” = 3°9’51”

4. Hallar el triple de 192°45’55”

A) 170°24’ B) 250°15” C) 218°17’45” D) 279°23’ E) 335°20’15” Solución: 192°45’55” x 3 = 576°135’165” = 218°17’45”

MATEMÁTICA


5. Dos ángulos conjugados internos donde uno es el triplo del otro.¿Cuánto mide

el ángulo conjugado del doble del ángulo menor? A) 18° B) 35° C) 90° D) 23° E) 13° Solución:

Por ser conjugados (+) = 180°, luego (+ 3) =180°, luego = 45°

Luego 2 = 90° y su conjugado es 90° 6. Dos ángulos conjugados externos miden 5K + 45° y 4K+15°. Hallar el

suplemento del complemento de la mitad del ángulo menor. A) 37° B) 44° C) 124°10’ D) 45° E) 39° Solución: Por ser conjugados (5K + 45°) + ( 4K+15°.) = 180° entonces K= 13°20’

El ángulo menor mide = 68°20’ y la mitad 34°10’ Luego SC(34°10’) = 180°- ( 90° - 34°10’) = 124°10’

7. Calcular el valor del ángulo menor, sabiendo que los ángulos conjugados internos están en razón 2/3.

A) 60° B) 44° C) 72° D) 53° E) 37°

Solución: Por ser conjugados 2K + 3K = 180° entonces K= 36° El ángulo menor mide 2K = 72°

MATEMÁTICA


PARALELAS:

8. Si L1 // L2 . Hallar “x”. SOLUCIÓN

2 y 2 son ángulos conjugados internos, luego dichos ángulos son suplementarios, es decir su suma vale 180°, entonces:

+ = 90°

El ángulo x está formado por la suma de los ángulos y , porque son ángulos alternos internos, por lo tanto:

+ = x = 90°

9. En la figura, L1 // L2, hallar .

SOLUCIÓN: Si se trazan paralelas por los vértices de los ángulos y se aplican ángulos alternos internos y ángulos opuestos por el vértice, se obtiene:

60º

MATEMÁTICA


Es decir 2 + = 60°

Finalmente = 20°

10. Si el triángulo ABC es equilátero y L1 // L2 , hallar

SOLUCIÓN:

Por triángulo equilátero B = 60°

Por opuestos por el vértice V = 6

Por suplementario U = 180° - Por propiedad de triángulos

El ángulo D = 240° - 6

El ángulo E = 60° + Como la suma de ángulos internos de un pentágono es 540°, entonces

B + U + E + D + V = 540°

si se pone en función de y resuelve, resulta que = 24°

MATEMÁTICA


11. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 37° 19’ 43” + 112° 53’ 38” A) 150° 13’ 21” B) 149° 62’ 71” C) 149° 72’ 21” D) 149° 12’ 21” E) 150° 03’ 11”

Solución: 37° 19’ 43” + 112° 53’ 38” = 149°72’81” = 150° 13’ 21”

12. Efectuar la resta de los siguientes ángulos: 112°23’ 35” - 10°15’20” A) 112° 25’ 15” B) 102° 8’ 15” C) 112° 25’ 45” D) 112° 5’ 15” E) 92° 15’ 25”

Solución: 112°23’ 35” - 10°15’20” = 102° 8’ 15”

13. Hallar el cociente de 309° 27’ 52” por 25: A) 12° 22’ 12 22/25” B) 22° 12’ 42” C) 9° 2’ 42” 2/5 D) 12° 12’ 32” 2/25 E) 32° 22’ 42” 23/25

Solución: 309° 27’ 52” 25 = 12° 22’ 12 22/25” 14. Dividir en 5 partes, el ángulo 162°

A) 82°35’ B) 12°24’ C) 56°8’ D) 63° 2’4” E) 32°25’

Solución: 162° 5 = 32°25’

MATEMÁTICA


EJERCICIOS PROPUESTOS: ALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE. 1. Hallar x, si L1 // L2:

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

2. Hallar x/y, si L1 // L2:

A) 1 B) 3 C) 1 / 5 D) 3 / 2 E) 2

3. Calcular x, si L1 // L2, (a + b) = 4x A) 20° B) 50° C) 30° D) 10° E) 40°. 4. Calcular x, si L1 // L2 y si L3 // L4

A) 145° B) 105° C) 175° D) 95° E) 80°

MATEMÁTICA


5. Si 1// 2 // 3L L L , hallar “x”

Si a = 45° A) 30° B) 30° C) 45° D) 60°

E) 11°

6. Si 1// 2L L , hallar “ x ”

A) 30° B) 45° C) 51° D) 60° E) 75°

7. Si 1// 2L L , hallar “x”:

A) 120° B) 100° C) 102,8° D) 150° E) 90°

8. Si 1// 2L L , hallar “x”:

A) 98° B) 108° C) 45° D) 120° E) 116°

9. Si 1// 2L L , hallar “y”:

A) 34° B) 14° C) 60° D) 30°

E) 50°

L1

L2

MATEMÁTICA


10. Si CG es bisectriz.

1// 2L L , hallar “x”

A) 140° B) 48° C) 120° D) 100°

E) 95 11. Dos ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas miden:

(2 - ) y (+ ).

Encontrar / . A) 2/3 B) 1 C)4/5 D) 2 E) 145 12. Dos ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas miden: 2x y (3x – 40°). Hallar x: A) 30° B) 25° C) 40° D) 45° E) 20°

L1

L2

MATEMÁTICA


UNIDAD 16

CIRCUNFERENCIA CÍRCULO

MATEMÁTICA


CIRCUNFERENCIA.

16.1. DEFINICIÓN.

Es el lugar geométrico, de los puntos de un plano que equidistan de otro punto

llamado centro. La distancia del centro a cualquiera de los puntos del lugar

geométrico se llama radio.

16.2. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA.

Líneas notables en la circunferencia.

Para el gráfico adyacente:

O : Centro

r : Radio

QP : Cuerda

CD : Diámetro

AB : Arco

L 1 : Recta tangente (T: punto de

tangencia)

L 2 : Recta secante

MN : Flecha o sagita

16.3. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

1) Ángulo central. 2) Ángulo inscrito.

AOB = AB 2

ACB

MATEMÁTICA


3) Ángulo semi inscrito. 4) Ángulo interior.

2

ATATB

2

CDABX

5) Ángulo exterior. Casos que se pueden presentar: a.- De dos secantes. b.- De secante y tangente.

2

CDABP

2

TBATP

c.- De dos tangentes.

2

ABACBP

NOTA: para este caso particular se cumple que:

P + AB = 180°

MATEMÁTICA


16.4. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA.

1) La recta L tangente a una circunferencia es

perpendicular al radio o al diámetro en el punto de

tangencia. (forman un ángulo de 90 grados)

2) Si dos cuerdas miden igual entonces los arcos

correspondientes también miden igual y viceversa.

Si CDAB entonces AB = CD

3) Los arcos comprendidos entre dos cuerdas

paralelas miden igual.

Si AB // CD , entonces AC = BD

NOTA

Si la recta L es tangente y AB // L entonces

AT = TB

4) Las rectas tangentes trazadas a una misma

circunferencia desde un punto exterior, miden

igual.

Se cumple que:

PA = PB y

OP es bisectriz

5) Todo diámetro o radio perpendicular a una cuerda divide a dicha cuerda y a los arcos correspondientes en partes iguales.

Se cumple que:

AE = EB y AN = NB

MATEMÁTICA


REGIONES CIRCULARES. O: Centro de circunferencia OA : radio

1) Sector circular.

2) Segmento circular.

3) Corona circular.

4) Trapecio circular.

5) Segmento o faja circular.

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si AC = 100º y AB = 110º. Hallar la medida del ángulo CAB.

A) 150° B) 155° C) 166° D) 75° E )120°

Solución.

El arco CB mide 360º - (100º + 110º) = 150º.

Como el ángulo CAB es inscrito, entonces

CAB = 150º ÷ 2 = 75º.

2) Hallar el valor de “x” A) 70º B) 110º C) 120º D) 130º E) 150º

Solución.

Por propiedad, el arco AFC mide 140º y el arco AC mide 360º - 140º = 220º. Como el ángulo AFC es inscrito

entonces mide 220º ÷ 2 = 110º.

100º

110º

A

C

B

A

C

XF

B 40º

220º

140º

MATEMÁTICA


3) Hallar la medida del ángulo “x”

A) 15° B) 20° C) 25° D) 40° E) 50º

Solución.

X

70º

A

C

140º

40º

B

Por propiedad, el arco AC mide 140º y

como el ABC es inscrito, su medida es

de 140º ÷ 2 = 70º.

En el triángulo rectángulo , X = 90º-70º

= 20º.

4) Si CD = 134º, hallar la medida del ángulo AOB si “O” es el centro del la circunferencia.

A) 30° B) 45° C) 50° D) 46° E) 60°

Solución. El ángulo de 90º es un ángulo interior a la circunferencia, entonces su medida es igual a:

90º = 2

ABCD =

2

ABº134 de donde AB = 180º - 134º = 46º.

MATEMÁTICA


5) Si BC es igual a 5 veces AD. Hallar la medida de BC.

A) 47° B) 38° C) 58° D) 100° E) 70º

Solución.

40ºX

5xA

B

CD

E

Como el ángulo BEC es exterior a

la circunferencia, su medida es

igual a

40º = 2

x-5x

80º = 4x x = 20º

por lo que BC = 100º.

6) Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”.

A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 150º

Solución.

40ºA

CD

B

80º

180º

El arco AC mide 80º. Completando la

circunferencia, se tiene que el CAB

= 260º .

El ángulo C por ser inscrito, su

medida será 260º ÷ 2 = 130º.

MATEMÁTICA


7) Hallar la medida de AB si “O” es el centro de la circunferencia de radio igual a 10 cm.

A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 12cm E) 10cm

Solución.

A

B

O10

P

37º10

Se traza la altura OP del triángulo

isósceles AOB , donde AP = PB = 6, por lo

que AB = 12 cm.

8) Una cuerda de 16 cm está a 15 cm del centro de una circunferencia. Hallar la medida del diámetro.

A) 15 cm B) 17cm C) 34 cm D) 38cm E) 20cm

Solución.

A

B

O

P8

8

15

Se construye el triángulo isósceles AOB

trazando los radios. Se traza la mediatriz OP.

Para hallar la medida de OB aplicar el teorema

de Pitágoras.

OB = 28215 = 17 entonces diámetro=34 cm.

MATEMÁTICA


9) En una circunferencia de 13 cm de radio, calcular la medida de la flecha

correspondiente a una cuerda de 24cm. A) 17 cm B) 8 cm C) 5 cm D) 10 cm E) 7 cm Solución.

13-x

X 12

13

Suponiendo que la medida de la flecha sea X. Como el radio mide 13, uno de los catetos del triángulo mide 13-x. Aplicando el teorema de Pitágoras: 132 = (13 - x)2 + 122 169 - 144 = (13 - x)2 25 = (13 - x)2 5 = 13 - x de donde x= 8

10) El ángulo P mide 32º. Hallar la medida del ángulo ACD.

A

CD

P

B

Solución.

A

CD

PB

58º

Trazar el radio al punto de tangencia

D. Completar la circunferencia tal que

el arco BD mide 58º y el arco ABD

mide 180º+58º=238º. El ángulo

inscrito ACD medirá 238º ÷ 2 = 119º.

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL I

1. Del extremo de un árbol de 60 mm de diámetro se quiere sacar el mayor

cuadrado posible. ¿Qué longitud tendrá el lado?

2. Se desea transformar la superficie de un círculo de 44,18 cm2 en una

superficie cuadrada equivalente. Calcule el lado.

3. En un árbol hexagonal se mide una longitud de entre caras de 75 mm. ¿Cuál

es el diámetro de árbol necesario?

4. El extremo de una barra de 55 cm de diámetro ha de recibir por fresado el

mayor hexágono posible. Calcule la longitud de entre caras.

5. Se quiere fabricar de un círculo de 1963,5 cm2 el mayor hexágono. ¿Qué

porcentaje es desperdicios?

6. Determinar para las siguientes figuras el diámetro de la circunferencia

inscrita y circunscrita:

a) Para un triángulo equilátero con 30 mm de lado.

b) Para un cuadrado con 30 mm de lado.

c) Para un hexágono con30 mm de diagonal central.

7. De una plancha de chapa rectangular de 750 x 400 mm han de cortarse

discos de 180 mm de diámetro. Calcular el número de discos.

8. De un círculo de 380 mm de diámetro se cortan 8 sectores circulares

iguales. Calcular la superficie de sector, la longitud del arco y el ángulo

central.

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS - NIVEL II

9. Si “O” es el centro de la circunferencia

y CBD = 130°. Calcular “x”.

A) 50° B) 40° C) 30° D) 25° E) 20°

10. Si “O” es el centro y AB= OC . Hallar “X”.

A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 45°

11. Si AB es diámetro, “O” es centro. Hallar la medida del ángulo BCD.

A)140° B) 150° C) 170° D) 160° E)117°

12. Si AB = BC y BD = 82º. Hallar el valor de “x”.

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 41°

MATEMÁTICA


13. Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”.

A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 150°

MATEMÁTICA


UNIDAD 17

POLÍGONOS: TRIÁNGULOS, CUADRILÁTEROS.

MATEMÁTICA


POLÍGONO.

17.1. DEFINICIÓN.

Es la figura geométrica que se obtiene al intersectar por sus extremos tres o más

segmentos de recta no colineales pero sí coplanares, de modo que al interior de

este polígono quede cerrada una porción de plano, llamada REGIÓN

POLIGONAL.

17.2. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO.

Lados. AB, BC, CD, DE, EF y FA.

Vértices. Puntos A, B, C, D, E y F.

Diagonales. Segmento que une dos vértices no consecutivos. Ejemplo: BF.

Angulo Interior.

Angulo Exterior.

Angulo Central.

Apotema. OM, segmento que une el centro del polígono regular con el punto

medio del lado del polígono y son perpendiculares.

Perímetro. AB + BC + CD + DE + EF + FA

A O

F E

D

C B

M

MATEMÁTICA


17.3. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.

17.3.1. DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS.

Triángulo 3 lados Cuadrilátero 4 lados

Pentágono 5 lados Exágono 6 lados

Heptágono 7 lados Octágono 8 lados

Nonágono 9 lados Decágono 10 lados

Endecágono 11 lados Dodecágono 12 lados

Pentadecágono 15 lados Icoságono 20 lados

17.3.2 DE ACUERDO A LAS MEDIDAS A SUS ELEMENTOS.

POLÍGONO CONVEXO. Todos sus ángulos internos miden menos de 180°.

POLÍGONO CONCAVO. Por lo menos uno de sus ángulos internos mide más

de 180°.

POLÍGONO EQUILÁTERO. Todos sus lados tienen igual medida.

POLÍGONO EQUIÁNGULO. Todos sus ángulos internos tienen igual medida.

POLÍGONO REGULAR. Sus lados y sus ángulos internos tiene igual medida.

POLÍGONO IRREGULAR- Es aquel polígono que no es regular

Polígono Convexo Polígono Cóncavo

Polígono Equilátero P. Equiángulo Polígono Regular

MATEMÁTICA


Observaciones:

En todo polígono, el número de lados (n) es igual al número de vértices (nv), e

igual al número de ángulos interiores (ni), número de ángulos exteriores (ne),

número de ángulos centrales (nc). n = nv = ni = ne = nc

Todo polígono regular puede ser inscrito o circunscrito en una circunferencia.

En todo polígono regular inscrito, la apotema y la

sagita o también llamada flecha, forman el radio de la

circunferencia que circunscribe al polígono.

OP: Apotema; PQ: Sagita o flecha; OQ: Radio de la

circunferencia.

17.4. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Sea un polígono de “n” lados.

Total de Diagonales: 2

3)n.(nD

Número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice : n – 3 La

cual divide al polígono en n – 2 Triángulos.

Suma de medidas de los ángulos internos (Si):

2).(n180Si

Suma de medidas de los ángulos externos (Se):

360Se

POLÍGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA

O

P

Q

MATEMÁTICA


Ángulo Interior ( i ): Polígono Equiángulo

n

2).(n180i

Angulo Central (). Polígono regular n

360θ

Angulo Exterior (e). Polígono Equiángulo n

360e

Para un polígono estrellado:

Un polígono estrellado se origina al prolongar los lados de un polígono

convexo. Ejemplo pentágono estrellado ABCDE. (es el menor polígono

estrellado que se puede formar), sus lados son AC, CE, ....

La suma de las medidas de los ángulos internos (puntas):

)º.( 4n180SP

La suma de las medidas de los ángulos exteriores es 720º

Si la estrella es regular, La medida de uno de los ángulos internos es:

n

4n180p

)º.(

A C

B

D E

Ángulo interno

Ángulo externo

Nota:

= e

Se = S = 360º

MATEMÁTICA


HEXÁGONO REGULAR.

Al trazar las diagonales AD, BE y CF, se forman 6 triángulos EQUILÁTEROS.

Los lados del Hexágono tienen igual medida del RADIO de la CIRCUNFERENCIA

que circunscribe al EXÁGONO.

EJERCICIOS

I. Completar el siguiente cuadro:

Nombre del polígono

Suma de medida de

ángulos internos

S(i)

SUMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS

EXTERNOS

S(e)

Total de diagonales (D)

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Icoságono

A O

F E

D

C B

M

L

L L

60°

60°

60°

2.L

L. 3 Apotema OM =

2

3L

MATEMÁTICA


II. Completar el siguiente cuadro si los polígonos son regulares:

Nombre del polígono

Medida de ángulo interno

(i)

MEDIDA DE ÁNGULO

EXTERNO

(e)

MEDIDA DE ÁNGULO CENTRAL

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Icoságono

III. Resolver los siguientes problemas:

1. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices

en 18?

a) 6 lados b)9 c)27 d)15 e)10

2. Cuál es el Polígono regular convexo que si su ángulo interno disminuye en 10°

resultaría otro polígono regular cuyo número de lados sería 2/3 del número de

lados del polígono anterior.

a) 10 lados b)12 c)14 d)16 e)18

3. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su ángulo interior aumenta en

12°. El número de lados del polígono es:

a) 5 lados b)6 c)7 d)8 e)9

4. ¿Cómo se llama el polígono cuyo número de diagonales es igual a su número

de sus lados?

a) Pentágono b)Heptágono c) Octágono d) Hexágono e) Cuadrilátero

MATEMÁTICA


5. Si a un polígono se la aumenta en 4 a su número de lados; entonces la suma

de sus ángulos internos se duplica, Hallar el número de vértices.

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 10

6. Hallar la medida de “x” en cada caso: (hexágonos regulares)

Rpta:.......... Rpta:................ Rpta: .............

Rpta:.......... Rpta:................ Rpta: .............

Rpta:................

x

12 cm O

12 cm

x O

12 cm

x a) b) c)

12 cm

x

O O

x

12 cm 12 cm

x

d) e) f)

12 cm

x g)

MATEMÁTICA


7. Hallar la apotema de los siguientes polígonos regulares, si el lado de cada

polígono mide 24 3 cm:

a) b) c)

Rpta: .............. Rpta: ................... Rpta: ............

17.5. TRIÁNGULO.

Polígono de tres lados:

Perímetro = a + b + c

Semiperímetro = 2

cba

17.5.1. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.

I. De acuerdo a la relación entre sus lados, pueden ser:

Triángulo Equilátero.

Triángulo Isósceles.

Triángulo Escaleno.

A) Triángulo Equilátero. Sus tres lados son de igual medida.

Región Triangular a b

c

a b

c

MATEMÁTICA


B) Triángulo Isósceles. Dos de sus lados son de igual medida.

C) Triángulo Escaleno. Sus tres lados son de diferente medida.

II. De acuerdo a la medida de sus ángulos, pueden ser:

Triángulo Rectángulo.

Triángulo Acutángulo.

Triángulo Obtusángulo.

60°

60° 60°

L

L

L

h = L2

3

BM es “Altura”, “Bisectriz”, “Mediana” y “Mediatriz”, a la vez. 30°

60° 60°

L

30°

M A

B

C

L

2

L

2

BM es la Altura relativa a la base y a la vez es: “Mediana”, “Bisectriz” y “Mediatriz”.

A M C

B

Base

A

B

C

b

c a

MATEMÁTICA


A) Triángulo Rectángulo. Tiene un ángulo interno que mide 90º.

B) Triángulo Acutángulo.

Todos sus ángulos internos miden menos de 90º.

C) Triángulo Obtusángulo. Tiene un ángulo interno mayor de 90 º.

a b

h

n m c

h2 = m.n a

2 = m.c b

2 = n.c

a2 + b

2 = c

2 a.b = c.h

222 h

1

b

1

a

1

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO

r

b a

a + b = c + 2r

n m

c

Area = m.n

RELACIÓN ENTRE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA

A

C

B

Base

Altura

> 90°

MATEMÁTICA


17.5.2. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO.

1. ALTURA: Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae

perpendicular sobre su lado opuesto.

El Punto de Intersección de Las Alturas se llama ORTOCENTRO. (ver los gráficos, el

pto. “O” es el Ortocentro).

2. BISECTRIZ. Es un rayo que partiendo de un vértice, divide al ángulo

correspondiente a dicho vértice en dos ángulos congruentes.

El INCENTRO es el punto de intersección de las

bisectrices interiores del triángulo.

El incentro es el centro de la circunferencia

que se encuentra inscrita en el Triángulo.

Bisectriz Exterior

A B

C

Bisectriz Interior

I

A B

C

I : INCENTRO

O

T. ACUTÁNGULO

O

T. OBTUSÁNGULO

O

T. RECTÁNGULO

MATEMÁTICA


El EXCENTRO es el punto de intersección de una bisectriz interior y 2 bisectrices

exteriores.

El excentro es el centro de la circunferencia tangente exteriormente con el

triángulo (Ver Gráfico).

3. MEDIANA. Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae sobre el

lado opuesto dividiéndolo en dos partes iguales.

El BARICENTRO es el pto. de intersección de las medianas. El BARICENTRO

divide a la mediana en dos segmentos proporcionales como 2 es a 1.

4. MEDIATRIZ. Es la recta perpendicular a uno de los lados que pasa por su

punto medio.

I

A B

C

E

E : EXCENTRO

A

P N

M C

B

O

O: BARICENTRO

O

O: BARICENTRO

2x

2y 2z x

y z

P

N

M

C

C: CIRCUNCENTRO

MATEMÁTICA


El CIRCUNCENTRO es el centro de la circunferencia que circunscribe al

triángulo

CEVIANA. Segmento que une el vértice del triángulo con cualquier punto del lado

opuesto.

17.5.3. TEOREMAS ELEMENTALES SOBRE TRIÁNGULOS.

1º. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

2º. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los

ángulos internos no adyacentes.

3º. La suma de los ángulos exteriores del triángulo suman 360°.

C

T. ACUTÁNGULO

C

T. RECTÁNGULO

C

T. OBTUSÁNGULO

A B

C

Ceviana interior Ceviana exterior

M N

e

f

g

e = +

+ + = 180°

f = +

g = +

e + f + g = 360°

MATEMÁTICA


4º. A ángulo mayor se le pone lado mayor y ángulo menor se le pone lado

menor.

5º. Naturaleza de existencia de un triángulo:

Para que un triángulo exista debe cumplir como mínimo la siguiente

condición.

6º. Ángulos formados por dos bisectrices.

a).- 2 bisectrices interiores: b).- 2 bisectrices Exteriores:

c).- Una bisectriz Interior y una bisectriz Exterior:

7º. Teorema de los puntos medios.

Si: M y N son puntos medios,

Entonces:

a

b

c

Si: > >

Entonces: a > b > c

X = 2

90

x

X = 2

90

x

X = 2

x

M N

A B

C

MN AB

MN = 2

AB

a

b c

b + c > a > b – c “Cualquier lado del triángulo debe ser mayor que la diferencia de los otros dos lados, pero menor que la suma de dichos lados”

MATEMÁTICA


8º. Mediana Relativa a la HIPOTENUSA.

La mediana BM mide la mitad de la hipotenusa.

9º. Teorema de la bisectriz Interior

10º. Teorema de la bisectriz exterior.

11º. Teorema del Incentro.

12º. Teorema del Mediana.

13º. Relaciones de Áreas en un Triángulo.

B

M A

k

C

k

k

n

m

b

a

a

n m

b

x

m.na.bx2

c a x

n

m

n

m

a

c a.cm.nx2

c

c

ba

n

m

b a

m

n

I

a b

x

c

2

c2xba

2222

m n p

A1 A2 A3 K

p

A

n

A

m

A 321

p.KA

n.KA

m.KA

3

2

1

MATEMÁTICA


14º. Triángulos Rectángulos Notables:

17.5.4. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

PROBLEMAS:

1. Los ángulos de un triángulo miden: 6x, 5x+10° y 3x + 30. ¿Qué clase de

triángulo es?

Rpta: ………………………………………

2. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las bisectrices interiores de los

ángulos agudos de un triángulo rectángulo?

Rpta: ………………

3. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por una bisectriz exterior y la

prolongación de una bisectriz interior, en un triángulo equilátero?

Rpta: …………………

7k

25k

24k

16°

74°

2k

k

53° 2

2k

k 3

30°

60° k

53°

37°

3k

4k 5k

k

k

k 2

45°

45°

a b

h

n m c

h2 = m.n a

2 = m.c b

2 = n.c

a2 + b

2 = c

2 a.b = c.h

222 h

1

b

1

a

1

MATEMÁTICA


4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) el ángulo A mide 70°. Si se traza

altura BH (H AC). ¿Cuánto mide el ángulo HBC

Rpta: ………………

5. En un Triángulo, la medida del ángulo determinado por dos bisectrices

exteriores es el doble de la medida del tercer ángulo. ¿Cuánto mide dicho

ángulo?

Rpta: …………

6. La distancia de un punto de la bisectriz de un ángulo a uno de los lados es 3x

+ 5, y la distancia al otro lado es 2x + 15 ¿Cuál es dicha distancia?

Rpta: ……………………

7. En un Triángulo rectángulo, la distancia del Circuncentro al Ortocentro es 12

cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Rpta: ……………………

8. Dos lados de un triángulo isósceles tienen longitudes 7 y 14 cm,

respectivamente. Hallar el perímetro,

a) 28 cm b) 35 cm c) 25 cm d) a ó b e) 21 cm

9. Las longitudes de las medianas de un triángulo equilátero, suman 6 cm. Hallar

el perímetro

a) 18 cm b) 36 c) 34 d) 32 e) 3

10. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de

razón 7 cm. El mínimo valor entero, en cm. del perímetro es:

a) 20 cm b) 21 cm c) 41 cm d) 42 cm e) 43 cm

MATEMÁTICA


11. En al figura, hallar la longitud “x”

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

12. En un triángulo equilátero de lado 12 cm inscrito en una circunferencia, hallar

el perímetro del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de las

sagitas de los tres lados.

a) 36 cm b) 18 cm c) 27 cm d) 24 cm e) 30 cm

13. En el triángulo ABC equilátero, calcular: MN + NP

a) 36

b) 332

c) 324

d) 364

e) 310

14. En al Figura MN = NC = BC. Hallar x

a) 80° b) 75°

c) 90° d) 60°

e) 85°

15. Dado el triángulo equilátero de lado L. Hallar el lado del cuadrado inscrito en

dicho triángulo.

a) L3 b) L2 c) L(3 + 1) d) L5 e) L(23 – 3)

7 5

x 10

53° 37°

20°

40°

x

A

B

M

C

N

B

P

N

C A M 8 cm 8 cm

MATEMÁTICA


16. Cada lado de un triángulo isósceles mide el doble de la base. Si el perímetro

mide 30 cm ¿Cuánto mide la altura relativa a la base?

a) 12 b)213 c)315 d)5 3 e)10

17. La altura trazada a la base de un triángulo isósceles es un sexto de la base. El

lado igual mide 1010. La base mide:

a) 60 b)50 c)64 d)80 e)75

18. Si los siguientes grupos de valores representan longitudes de segmentos,

¿Con cuántos grupos se pueden construir triángulos?

I. 1, 1 y 1 II. 2, 3 y 5 III. 7, 7 y 1 IV. 2 , 2 y 6 V. 5, 12 y 13

a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5

19. Si los lados de un triángulo miden 27 cm, 30 cm y 51 cm respectivamente. El

triángulo es:

a) Acutángulo b)Obtusángulo c)Rectángulo d)Isósceles e)Equilátero.

20. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5m y 12m, ¿Cuánto mide la

altura relativa a la hipotenusa?

a) 5 b)60/13 c)12 d)4 e)13

17.6. CUADRILÁTERO.

Polígono de cuatro lados, donde sus ángulos internos suman 360º.

17.6.1. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS.

1. Trapezoide. Sus lados no son paralelos

2. Trapecio. Posee únicamente un par de lados opuestos paralelos.

3. Paralelogramo. Los lados opuestos son paralelos.

MATEMÁTICA


17.6.2. TRAPEZOIDE.

Caso Particular:

TRAPEZOIDE SIMÉTRICO O BISÓSCELES

Sus diagonales son perpendiculares

BD es mediatriz de AC.

17.6.3. TRAPECIO.

AD : Base Mayor

BC : Base menor

BH : Altura

BC AD

MN : Mediana

Clases de Trapecios:

PROPIEDADES:

a) MN : Mediana

MN : Es paralelo a las Bases.

A

B

C

D

A

B

C

D

h

A

B C

D H

B

b

A

B C

D

B

b

M N

2

b B MN

M N

b

B

A

B C

D

Trapecio Escaleno

A

B C

D

Trapecio Isósceles

A

B C

D

Trapecio Rectángulo

+ = 180º

+ = 180º

MATEMÁTICA


b) Sobre la MEDIANA, se ubica los puntos medios de las DIAGONALES (P y Q).

17.6.4. PARALELOGRAMO.

PROPIEDADES:

Lados opuestos son paralelos y de igual medida.

Sus ángulos internos opuestos son de igual medida

Sus DIAGONALES, se bisecan.

Clases de Paralelogramo:

M N

b

B

P Q 2

b- B PQ

E

E : Punto medio de las diagonales

h

B

E

ROMBOIDE

E h

B RECTÁNGULO

B : base

h: altura

45° 45°

E L

L CUADRADO

E

D

d

ROMBO

D : Diagonal Mayor

d : Diagonal menor

MATEMÁTICA


PROBLEMAS:

1. En un cuadrilátero los ángulos están en la relación 1, 2, 3 y 4 ¿Cuánto vale el

ángulo mayor?

a) 150° b)144 c)100 d)90 e)72

2. Las bases de un trapecio miden 4m y 8m respectivamente, los lados no

paralelos miden 7m cada uno. Calcular el valor de la diagonal.

a) 6m b)7m c)8m d)9m e)10m

3. Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 6 cm. Luego el lado del rombo

mide:

a) 6 b)5 c)8 d)12 e)7

4. El lado de un cuadrado mide lo mismo que la diagonal de otro cuadrado.

¿Cuál es la razón del lado del cuadrado mayor y el lado del cuadrado menor?

a) 2 : 1 b) 1 : 4 c) 1 : 2 d) 1 : 2 e) 2 : 1

5. Si en un cuadrado ABCD de 12 m de lado, se une el vértice A con el punto

medio de BC, cortando a la diagonal BD en el punto E, entonces la distancia

del punto E al lado AD es:

a) 6m b)4m c)7m d)8m e)5m

6. Determinar la expresión falsa:

a) Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

b) El ángulo interior de un polígono regular de 16 lados mide 157°.

c) Las diagonales de un rombo son perpendiculares.

d) Los ángulos interiores de un rectángulo son rectos.

7. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles mide 16 cm y forman con la

base ángulos de 60°. Si su mediana mide 18 cm ¿Cuánto mide el segmento

que une los puntos medios de las diagonales?

a) 10 b) 26 c) 18 d) 8 e) 16

MATEMÁTICA


8. En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 10 cm respectivamente. Si un

lado no paralelo determina un ángulo de 60° con la base. ¿Cuánto mide dicho

lado?

a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 12

9. En un Rombo ABCD, las diagonales miden 12 y 16 cm. Hallar la longitud del

segmento trazado desde el vértice B al punto medio del “lado opuesto”. (BD

diagonal menor).

a) 7cm b) 8 c) 5 d) 6 e) 97

10. En la figura mostrada, calcular “x”.

a) 20° d) 30º

b) 40° e) 50º

c) 60°

11. En un Rombo, las diagonales miden 6 y 8 cm. Hallar la distancia que hay entre

dos lados opuestos.

a) 5 cm b) 4,8 cm c) 4,5 cm d) 3 cm e) 6 cm

12. El perímetro de un rombo es 80 cm y uno de sus ángulos mide 60°. ¿Cuál es

la diferencia entre la diagonal mayor y la diagonal menor.

a) 1320 b) 1320 c) 1310 d) 1310 e) 1315

13. En un romboide ABCD la diagonal BD se prolonga hasta el punto E, luego se

prolonga CE hasta el punto F, tal que AF // BD.

Calcular AF si DE = 4 cm y BD = 6 cm.

a) 12 cm b) 13 c) 15 d) 14 e) 16

14. En un rectángulo ABCD, los lados AB y BC miden 8 y 12 cm respectivamente.

Se traza la bisectriz del ángulo A, que determina en BC al punto M ¿Cuánto

mide la mediana del Trapecio AMCD?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

2

x

3a

a

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. Hallar “x” (BC // AD)

A. 30º

B. 18º

C. 37º

D. 45º

E. 60º

2. Hallar “x”

A. 120º

B. 100º

C. 135º

D. 160º

E. 150º

3. Hallar “x”

A. 30º

B. 25º

C. 15º

D. 18º

E. 20º

4. Hallar “x” (BC // AD)

A. 21

B. 20

C. 18

D. 19

A

B C

D

MATEMÁTICA


UNIDAD 18

PERÍMETRO

MATEMÁTICA


18.1 DEFINICIONES PREVIAS.

Región Plana: Es una porción de plano cuyo contorno es una línea cerrada, la

línea que limita a la región puede ser poligonal o una curva cerrada.

Perímetro de una región: Es la medida de la longitud de la línea (o líneas) que

conforman el borde o contorno de una región.

18.2. PERÍMETRO DE LAS PRINCIPALES REGIONES PLANAS.

a) Cuadrado (b) Rectángulo (c) Triángulo

b a a a b

b

c

P = 4 P = 2a + 2b P = a + b + c

(d) Polígono regular de “n” (e) Sector Circular (f) Longitud de

lados de longitud “ “ circunferencia

A

L R

R

O

O B

P = Longitud de Arco + 2R

P = n. P = o

R360

2

+ R RL 2

MATEMÁTICA


PERÍMETRO DE LOS POLÍGONOS (En general).

Usando una regla, se puede determinar, separadamente, la medida de cada lado del polígono siguiente, intentar y completar. A AB = mm BC = mm B CD = mm DA = mm C D

Sumando esas medidas, se encuentra la medida del contorno del polígono. Así: AB + BC + CD + DA = Completar: + + + = La medida del contorno del polígono es denominada PERÍMETRO (P). Se puede decir entonces que:

Ejemplo: Hallar el perímetro del polígono siguiente:

Completar: P = 1,5 cm + + + + +

P =

El perímetro es de 11,50 cm

Perímetro de un polígono es la suma de las medida de sus lados.

2

1,5

4

1,5

2,5

MATEMÁTICA


En ciertos polígonos, el cálculo del perímetro puede ser hecho de forma más

simple, no se requiere una fórmula especial para cada caso, pues el modo de

calcularlo es simple y directo.

Ejemplo:

1. Calcular el perímetro del triángulo equilátero cuyo lado mide 5 cm.

Como los lados del triángulo equilátero son iguales se tiene: P = 3L en este caso P = 3 x 5 cm P = 15 cm

Lado L = 5 cm Se concluye que la fórmula del perímetro del triángulo equilátero es: de donde “L” es la medida del lado. 2. Calcular el perímetro del cuadrado cuyo lado mide 3 cm.

El cuadrado tiene 4 lados iguales. Luego: P = 4L P = 4 x 3 cm P = cm

Lado L = 3 cm. Concluyéndose: El perímetro del cuadrado está dado por la fórmula: Observación:

Si el polígono es regular, todos los lados son iguales, y el perímetro se obtendrá multiplicando la medida del lado (L) por el número de lados (n).

P = 3 x L

P = 4 x L

MATEMÁTICA


Ejemplo:

El perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 8 cm será: P = ..................... x 5 = ............................. cm 3. Calcular el perímetro del rectángulo siguiente:

ALTURA

Como el rectángulo tiene sus lados opuestos iguales, tenemos: P = 5 + 3 + 5 + 3 P = .................... cm

b = 5 cm BASE

5 Luego el perímetro del rectángulo será: 3 3 P = 2.( b + h ) 5

Resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento: 1. Calcular el perímetro de los triángulos equiláteros siguientes: a) L = 3 cm P =.................... b) L = 4,5 cm P =.................... 2. Calcular el perímetro de los cuadrados siguientes: a) L = 2 cm P =....................

P = n x L

h = 3 cm

P = 2.b + 2.h

MATEMÁTICA


b) L = 1,5 cm P =.................... 3. Calcular el perímetro de los rectángulos siguientes:

b = 5 cm a) h = 2 cm P =....................

b = 6,5 cm b) h= 1,5 cm P =.................... 4. Calcular el perímetro del rombo. a) L = 3,50 cm P = .................... 5. Calcular el perímetro de las figuras, en mm. a) P=…………….... b) P=…….........…..

20

35

45

5

10 12

5

30

37

MATEMÁTICA


c) P =.....................

d) P =..................... 6. Completar el siguiente cuadro:

Triángulo Equilátero

Cuadrado Rombo Rectángulo

L P L P L P b h P

5 cm 0,4 cm 4 mm 25 mm 10 mm

120 mm 144mm 1,5 cm 12 cm 10 cm

1,8 cm 0,25 m 82 mm 16 mm 40 mm

7. Calcular el perímetro de las figuras: a) b) c) P =............ P =............ P =............ Antes de proseguir, corregir todos los ejercicios:

1) a) 9 cm b) 13,5 cm

2) a) 8 cm b) 6 cm

3) a) 14 cm b) 16 cm

4) a) 14 cm

14

15 20

45

42

15

1”

7/8”

9/16”

1/2” 1 1/2”

5/8”

5/8”

MATEMÁTICA


Dibujo pag 314 D = 17.7

cm

D = 17.7

cm D = 17.7

cm

C = 55.6 cm

5) a) 105 mm b) 94 mm c) 94 mm d) 114 mm

6)

Triángulo Equilátero

Cuadrado Rombo Rectángulo

L P L P L P b h P

15 cm 1,6 cm 16 mm 70 mm

40 mm 36 mm 6 cm 44 cm

5,4 cm 1 m 20,5 mm 4 mm

7) a) 3 ¾ “ b) 2 15/16” c) 4 ¼”

Así como se determinó el perímetro de los polígonos, puede determinar el

PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA, o sea, su LONGITUD.

Envolver un cilindro con un pedazo de hilo, como lo

muestra la figura.

Estirar enseguida el hilo y medir la longitud obtenida. Se

habrá determinado experimentalmente, la longitud de la

circunferencia, o sea, su perímetro.

Si ahora se divide la longitud obtenida (55,6 cm) por el diámetro de esa

circunferencia (17,7 cm), se obtendrá un cociente aproximadamente igual al

número 3,14.

17,5 cm

Dibujo pag. 314

55,6 cm

MATEMÁTICA


Sean dos (o más) circunferencia de diámetros diferentes, por ejemplo:

C = 32,044 cm ............2,10

044,32

d

c

d = 10,2 cm

C = 19,479 cm ............2,6

479,19

d

c

d = 6,2 cm Procurar calcular los cocientes y llenar los vacíos.

Siempre que se divida la longitud de una circunferencia por su diámetro obtendrá,

aproximadamente, como cociente, el número 3,14; como se encontró

anteriormente.

Por lo tanto, siempre será:

3,14d

c (Con aproximación al centésimo)

Ese número 3,14 es representado por la letra griega (pi) Cualquiera que sea la circunferencia, se debe recordar siempre que

π Diámetro

nciacircunfere de Longitud

Luego, se quiere determinar la longitud de una circunferencia, basta multiplicar el

diámetro por (3,14), por lo tanto:

Longitud de circunferencia = Diámetro x Que se representa:

3,14 =

C = . D

MATEMÁTICA


Como el diámetro es igual a 2 veces el radio (D = 2r), se puede escribir también. Observación:

1° = 3,14 = 22/7

2° Perímetro de la circunferencia = Longitud de la circunferencia Ejemplos: 1. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm?

D = 6 cm, Como: C = . D Se tiene que: C = 3,14 x 6 cm C =.................. cm

2. Determinar la longitud de la circunferencia que tiene 5 mm de radio.

R = 5 mm

C = 2 . . r

C = 2 x 3,14 x 5 mm C =........................ mm

Ejercicios de reforzamiento para que usted resuelva: 1. Calcular la longitud de la circunferencia cuyo diámetro mide 7 cm.

C =..............................

2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene 2,7 cm de radio?

C =..............................

3. Calcular el perímetro del círculo cuyo radio mide 9 cm.

P =..............................

C = 2 . R

MATEMÁTICA


4. Un círculo que mide 3,7 cm de radio. ¿Cuál es el perímetro?

P =.............................. 5. Un disco con un diámetro que mide 10 cm da una vuelta completa sobre un

carril, ¿Cuál fue la distancia recorrida?

10 cm

Distancia =.............................. cm

6. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia de una rueda cuyo radio mide 25

cm? C =..............................

7. Las ruedas de una bicicleta miden 70 cm de diámetro. ¿Cuál es la longitud de

su circunferencia? ¿Cuál será la distancia recorrida por un ciclista, si cada una

de las ruedas de la bicicleta han dado 1000 vueltas?

C =.............................. cm

Distancia recorrida =............................... m.

8. Un carril de longitud 9,42 m. ¿Cuántas vueltas tiene que dar una rueda de 50

cm de diámetro para recorrerlo?

R =.................... vueltas

9. Las ruedas de una bicicleta tienen como diámetro 0,5 m y la otra 40 cm,

respectivamente. Si al desplazar la bicicleta, se observa que la suma de

vueltas que dan las dos ruedas es 18 000, ¿Qué distancia en metros ha

recorrido la bicicleta?

distancia =.................... m.

10. El auto de Guillermo se desplaza con una velocidad de 20 m / s, durante 2

minutos 37 segundos, y cada rueda tiene un radio que mide 40 cm, ¿Cuántas

vueltas habrá dado cada rueda?

R =.................... vueltas

MATEMÁTICA


Corregir las respuestas:

1. 21,98 cm

2. 16,956 cm

3. 56,52 cm

4. 23,236 cm

5. 31,14 cm

6. 157 cm

7. c = 219,8 cm

Distancia = 2 198 m

8. 6 vueltas

9. 12560 m

10. 1250 vueltas

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar la longitud aproximada de la correa de transmisión requerida para el trabajo mostrado en la figura

SOLUCIÓN :

Los 2 arcos “L”, forman una circunferencia de 12” de diámetro.

Perímetro = 30” + 30” + Long. Circunferencia Perímetro = 30” + 30” + 12”.(3,14) Perímetro = 97,68 “

2. Calcular el perímetro del trapecio rectángulo. (Las medidas están en metros)

SOLUCIÓN : Hallamos AB en el triángulo rectángulo ABC: (Teorema de Pitágoras)

AB2 = 25

2 - 7

2

AB = 24

Como BC es paralelo AD, entonces la m A del

triángulo ACD mide “”. El triángulo ACD es Isósceles, por lo tanto CD = 25. Trazamos CE (Altura del Triángulo Isósceles ACD) por lo tanto AE = ED = 7. Perímetro = 24m + 25m + 7m + 14m = 70m

3. Determinar el perímetro de la figura

SOLUCIÓN : La suma de todos los segmentos horizontales mide el doble de 13 cm. La suma de todos los segmentos verticales mide el doble de 15 cm. Perímetro = 2.(13cm) + 2.(15cm) = 56 cm.

25

7

30”

=12”

30”

L

25

7

A

B C

D

25

24

E 7 7

15 cm

13 cm

MATEMÁTICA


4. Calcular el perímetro de la región achurada

SOLUCIÓN : Unimos los centros P y Q. En el Triángulo rectángulo PAQ (Teorema de Pitágoras) :

(3 + r)2 = 3

2 + (6 – r)

2

9 + 36 – 12r + r2 = r

2 + 6r + 9

r = 2

Entonces : AR = 2

Perímetro = 2 + L1 + L2 + L3 .

Perímetro = 2

(2)2

2

(3)2

4

(6)2 2

Perímetro = ( 82 ) metros = 27,12 m.

5. Se tiene un polígono de ángulo central 20° y su lado de 5 cm. Hallar el perímetro del polígono.

SOLUCIÓN :

central = n

º360

n = 20º

360º = 18 lados

Perímetro = 18.(5 cm) = 90 cm

6. La mediana de un trapecio es 12 m. Hallar su perímetro si los lados no paralelos suman 10 m.

SOLUCIÓN :

Mediana = 2

bB = 12 m B + b = 24 m

Perímetro = B + b + C + D Perímetro = 24m + 10 m = 34 m

B

b

C D

6 m 6 m

3

r

r 6 - r

3

A

B

C

P

Q R

3

2

2

A R

L1

L2

L3

MATEMÁTICA


7. La figura es un triángulo equilátero de 8 cm de lado, calcular el perímetro de la parte sombreada.

SOLUCIÓN : El perímetro es la suma de las tres longitudes de arco, de ángulo central 60º y de radio igual a 4 cm. Que llegan a formar el arco de una semicircunferencia:

Perímetro = 2.(4cm) = 8 cm.

8. Hallar el perímetro de la región sombreada (las medidas están en milímetros)

SOLUCIÓN : Las longitudes de arcos de un mismo ángulo central son proporcionales a sus respectivos radios:

20

L

12

18

4

L 21

Entonces : L1 = 6 y L2 = 30 Perímetro = 4 + 4 + L1 + 18 + 8 + 8 + L2 Perímetro = 4 + 4 + 6 + 18 + 8 + 8 + 30 Perímetro = 78 mm.

9. Hallar el perímetro de la región sombreada

SOLUCIÓN : Perímetro = 12 + 12 + 6 + 6 + 6 + 6 + 4L

Perímetro = 48 + 4

2

(3)2

Perímetro = 48 + 12

Perímetro = 12.( 4 + ) m. = 85,68 m

60º 60º

60º

L

L L

L

L

L

60º 60º

60º

4 cm 4 cm

4 18

16

8

4 18

20

12

L1

L2

8

12 m.

12 m.

L

12

6

6

6

6

12

L

L

L

3

MATEMÁTICA


10. Calcular el perímetro del área sombreada. OB = 5 m. EC = 2m.

E

C = 2 m

SOLUCIÓN : Radio del Sector Circular : OB = OE = 5 Como EC = 2 ; Entonces CO = 3 = AB. En el Triángulo rectángulo hallamos CB (Teorema de Pitágoras):

CB2 = 5

2 - 3

2 CB = 4 = OA

Como OA = 4 , Entonces AD = 1 Perímetro = EC + CB + AB + AD + EBD

Perímetro = 2 + 4 + 3 + 1 + 4

52π

Perímetro = 10 + 2

5π

Perímetro = 17,85 m

E

C

O

B

D A

5

2

3

4

3

4 1

E

C

O

B

D A

MATEMÁTICA


PERIMETROS NIVEL I

1. El diámetro de un árbol es de 315 mm. ¿Cuál es su perímetro?

2. Una polea de transmisión tiene un diámetro de 450 mm. ¿Cuántas

revoluciones ejecuta en un trecho de 1 km?

3. ¿Qué longitud de correa se necesita para dos poleas de transmisión de 350

mm de diámetro dada una distancia entre centros de 1,5 m?

4. ¿Cuál es el diámetro de una ventana redonda con igual perímetro de una

ventana cuadrada con 620 mm de lado?

.

5. ¿Qué trayecto (en m/min) recorre una broca espiral de 20 mm de diámetro de

un minuto cuando la taladradora ejecuta 520 revoluciones?

6. ¿Cuántos metros de alambre de 1,2 mm de diámetro se pueden enrollar en

una bobina de 120 mm de longitud y 55 mm de diámetro? (Sin tener en

cuenta el grosor del alambre)

7. Para el trazado de una curva se necesita un arco con 210 mm de diámetro y

120° de ángulo central. Calcular la longitud del arco.

8. Una plantilla de chapa tiene una longitud de arco de 312 mm y un ángulo

central de 106°. Calcular el diámetro.

9. Se quiere fabricar una cubierta protectora con una longitud de arco de 818 mm

y un radio de 310 mm. Calcular el ángulo central.

10. Siendo la longitud del arco de un disco de mando circular de 420 mm y

teniendo lugar la inversión de marcha después de 80°, calcular el diámetro.

MATEMÁTICA



1. Calcular el perímetro del paralelogramo.

A) 46 B) 38 C) 48 D) 30 E) 36

2. Calcular el perímetro de la figura A) 20,56 cm B) 205,6 cm C) 2056 cm D) 28,56 cm E) 0,2856 cm

3. El perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es de 24 cm. Calcular el perímetro de otro hexágono regular determinado al unir los puntos medios de los lados.

A) 312

B) 216

C) 38

D) 324

E) 212

4. El perímetro de la parte sombreada mide 62,8 cm, ABCD es un cuadrado y los puntos N, M, P y Q son puntos medios. Hallar el lado del cuadrado


4m 4m

C B

A D

M

N P

Q

7

12

MATEMÁTICA


5. Hallar el perímetro de la región sombreada R = 20 cm y r = 10 cm.

A) 30 cm

B) (30 - 80) cm

C) (30 + 80) cm

D) (30 + 20) cm E) 100 cm

6. Hallar el perímetro de la región sombreada, M y N puntos medios y ABC es

un triángulo equilátero de lado 4 m.

A) 34

B) 8

C) 3

28

D) 3

E) 8

7. Si en la figura, ABC es un triángulo equilátero, y en cada lado tomamos el

punto medio para formar otro triángulo. ¿Qué parte del perímetro de ABC es el perímetro del triángulo achurado? A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/16 E) 1/32

8. Hallar el perímetro de la figura, lado del cuadrado es 8 cm

A) 42,84 cm B) 40,56 cm C) 48,24 cm D) 40 cm E) 48 cm

r

R

A

B

C

M

N

A

B

C

MATEMÁTICA


9. Hallar el perímetro de la parte achurada.

A) 24,5 cm B) 17,5 cm C) 20,5 cm D) 35,5 cm E) 36 cm

10. Hallar el perímetro. A) 72 B) 42 C) 50 D)60 E)82

11. Hallar el perímetro de la región sombreada

A) 3

82

B) 6

C) 62

D) 4 E) 5

12. Hallar el perímetro de la figura sombreada, lado del hexágono es 6 cm

A) 4(3 + 2) cm

B) (4 + 3) cm

C) 3(4 + 2) cm

D) (12 + ) cm

E) (3 + 2) cm

13. Hallar el perímetro

A) 40( + 1)

B) 40

C) ( + 40)

D) 40( - 1) E) 120

6 cm

6 cm

60°

4

5 2

5 6

8 16

60 m

MATEMÁTICA


14. Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo equilátero cuyo lado

mide 34 metros, Hallar el perímetro del hexágono inscrito en dicha

circunferencia? A) 15 m B) 24 m C) 50 m D)6 m E) 12 m

15. Hallar el perímetro del triángulo que resulta de unir los puntos medios de

los lados no consecutivos de un hexágono regular cuya sagita mide

3612 metros

A) 65 m B) 54 m C) 50 m D)60 m E) 42 m

16. Hallar el perímetro de la figura sombreada, el lado del cuadrado es 20 cm.

A) 20 B) 25 C) 30 D) 10 E) 35

17. Hallar el perímetro del rectángulo. A) 68 B) 84 C) 36 D) 70 E) 72

18. Hallar el perímetro de la región sombreada, las circunferencias tiene un

radio de 10 m.

A) 3820 m B) 180 m C) 160 m

D) 3160 m E) 3208 m

18 m

6

m

4

m

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL III

1. Hallar el perímetro de un rombo, si es 6 veces el perímetro de un triángulo

equilátero inscrito en una circunferencia de 8 cm de diámetro.

a) 24 3 cm b) 48 3 cm c) 72 3 cm d) 60 cm e) 210 cm

2. El perímetro de un trapecio equivale al de un rombo cuyas diagonales miden

60 y 80 cm. Si la altura del trapecio es igual a la mitad de la diagonal menor y

los lados no paralelos miden 50 cm cada uno. ¿cuánto mide la base mayor?

a) 50 cm b) 10 cm c) 90 cm d) 70 cm

3. Un rectángulo tiene el doble de perímetro que un cuadrado de 36 cm2 de área. La base del rectángulo mide el triple de su altura. ¿cuánto mide la base del rectángulo? a) 6 cm b) 18 cm c) 48 cm d) 9 cm

4. Dos ruedas de 36 y 48 cm de radio están en contacto. Si la primera da 400

vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la segunda en media hora ? a) 9 000 b) 300 c) 500 d) 3 000 e) 800

5. En la figura, abcd es un cuadrado. Hallar el perímetro de la región sombreada.

A) 22,28 dm B) 20,56 dm C) 16+2 dm

D) 8+2 dm

E) 4+8 dm

6. El lado del hexágono regular mide 4 cm. Hallar el perímetro de la región

sombreada.

A) 8 3 cm

B) (8 3 +1) cm

C) ( 3 +8) cm

D) 8( 3 +1) cm

E) 21,2 cm

A B

CD

4 dm

MATEMÁTICA


7. El perímetro del trapecio circular mide 6,2 m. Hallar la medida del ángulo .

( = 7

22)

a) 30º b) 60º c) 22º d) 21º e) 15º

8. Hallar el perímetro de la figura sombreada.

A) (10+14 ) cm

B) (14+20 ) cm

C) (10 +8) cm

D) (14+5 ) cm

E) (14 +5) cm

2 m

2 m6 cm

8 c

m

MATEMÁTICA


UNIDAD 19

MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN

MATEMÁTICA


19.1. MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN.

MEDIDAS DE SUPERFICIE.

Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una

unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y

corresponde a un cuadrado de un metro de lado.

Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus

múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100

La medida de una superficie es llamada ÁREA DE SUPERFICE. La unidad

fundamental de medida de superficie, o sea, el área, es el metro cuadrado (m2).

Por ejemplo, medida de la superficie ABCD es:

En el símbolo m2, el exponente 2 indica las dos dimensiones de una superficie

MEDIDAS DE VOLUMEN.

El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver

cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de

medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un

metro de lado.

Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus

múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000

Superficie de ABCD = 10 m2

1 m2

5 m

2 m

m2

1 m

1 m

m2 = Área de un cuadrado de 1m de lado

MATEMÁTICA


19.2. REPRESENTACIÓN Y LECTURA.


Como las unidades de superficie varían de 100 en 100, la cantidad 43,2 dm2 es

conveniente escribirla 43,20 dm2 y se lee: cuarenta y tres decímetros cuadrados y

veinte centímetros cuadrados.

3,48 m2 se lee: Tres………………………………………………………………….

2,30 m2 se lee: ……………………………………………………………………….

MEDIDAS DE VOLUMEN.

Como las unidades de volumen varían de 1000 en 1000, la cantidad 43,2 dm3 es

conveniente escribirla 43,200 dm3 y se lee: cuarenta y tres decímetros cúbicos y

doscientos centímetros cúbicos.

3,48 m3 se lee: Tres………………………………………………………………….

2,30 m3 se lee: ……………………………………………………………………….

19.3. CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE SUPERFICIE Y VOLUMEN.


MÚLTIPLOS

UNIDAD

SUBMÚLTIPLOS

KILÓMETRO CUADRADO

HECTÓMETRO

CUADRADO

DECÁMETRO CUADRADO

METRO

CUADRADO

DECÍMETRO CUADRADO

CENTÍMETRO CUADRADO

MILÍMETRO CUADRADO

km

2

hm

2 dam

2 m

2 dm

2 cm

2 mm

2

1 000 000 m

2

10 000 m

2

100 m

2

1 m

2

0,01 m

2

0,0001 m

2

0,000001 m2

1 m 1 m

1 m 1 m3

m3 = Volumen de un cubo de 1m de arista

MATEMÁTICA


Para realizar la conversión de unidad de medida de superficie en el sistema

métrico se debe de tener en cuenta lo siguiente:

1. Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar por

100.

2. Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por

100.

En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.

Construir, para facilitar, una escalera con las unidades de medida de superficie.

Cada grada que se descienda, la

coma se desplaza hacia la derecha

dos cifras por cada grada

Ejemplo:

2,5326 hm2 = 25 326 m2

0,38 m2 =…………… dm2

0,001532 dam2………………cm2

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

hm2

MATEMÁTICA


Cada grupo que se sube, la coma se desplaza hacia la izquierda dos cifras por

cada grada.

Ejemplo:

108,42 dm2 = 1,0842 m2

5083 m2 =……………. km2

Concluyendo:

Unidad

inmediatamente

superior

Unidad

inmediatamente

inferior

0,345697 dam2 = 34,5697 m2 = 3456,97 dm2

La coma se

desplaza dos

lugares

izquierda para Derecha

Siempre que sea necesario agregar ceros.

Hacer estas transformaciones:

1. 5,86 dam2 a dm2

2. 183,2 cm2 a dam2

3. 12,05 m2 a cm2

4. 78350 dm2 a dam2

Las respuestas deben ser:

1. 58600 dm2

2. 0,00018320 dam2

3. 120500 cm2

4. 7,835 dam2

MATEMÁTICA


EJERCICIOS:

1. Llenar los espacios con las palabras adecuadas:

a) Toda superficie tiene dos dimensiones: ……………………. y ……………….

b) Medir una superficie es compararla con otra tomada como ………………..

El resultado obtenido de esta comparación se llama ………………………….

c) Área es la ……………………………………………….…… de una superficie.

d) Un metro cuadrado tiene ………………………………decímetros cuadrados.

e) Un decímetro cuadrado tiene…………………………centímetros cuadrados.

f) 1 m2 = ……………… dm2 …………………. cm2……………… mm2…………

2. Transformar en metros cuadrados. Observar antes los ejemplos:

a) 14542,75 cm2 = 1,454275 m2

b) 0,72 dm2 = 0,0072 m2

c) 2 mm2 = 0,000002 m2

d) 81 dm2 = ……………………………... m2

e) 0,04512 dam2 = ……………………… m2

f) 1415,30 cm2 = ………………………. m2

g) 545,1257 hm2 = …………………….. m2

3. El hecho de existir en cada unidad de área 10 divisiones de 10 unidades

cuadradas, permite escribir:

a) 1 cm2 tiene 10 veces 10 mm2 = 100 mm2 1 cm2 = 100 mm2

b) 1 dm2 tiene ……. veces …………cm2 = ………….. cm2 1 dm2 = …cm2

c) 1 m2 tiene …….. veces …………….. dm2 = ………….. dm2 …………

d) 1 dam2 tiene …….. veces …………… m2 = …………… m2 ………………

e) 1 hm2 tiene …….. veces ……….… dam2 = …………. dam2 ………………

f) 1 km2 tiene …….. veces …………… hm2 = …………. hm2 ………………

Ahora, corregir:

1. a) Largo y ancho b) Unidad, área c) Medida

d) 100 e) 100 f) 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2

MATEMÁTICA


2. d) 0,81 e) 4,5120 f) 0,141530

g) 5451257 h) 0,001260

3. b) 10 x 10 = 100 100

c) 10 x 10 = 100 1 m2 = 100 dm2

d) 10 x 10 = 100 1 dm2 = 100 m2

e) 10 x 10 = 100 1 hm2 = 100 dam2

f) 10 x 10 = 100 1 km2 = 100 hm2

Continuar:

4. Completar:

a) 2,12 m2 + 31,45 dm2 + 12 cm2 = …………………………………………mm2

b) (5,12 m2 + 588,50 dm2) – 30 050 cm2 =………………………………… mm2

5. Completar:

a) 4,50 m2 + 45 dm2 + 445 mm2 = ……………………………………………cm2

b) 0,85 m2 + 15 dm2 – 5 000 mm2 = ……………………………………….. cm2

6. Completar:

a) 4 m2 + 1 245 cm2 + 500 000 mm2 = ………………………………………dm2

b) 100 000 mm2 + (0,9 m2 – 5 000 cm2) = ………………………………… dm2

7. Completar:

a) 6,45 dm2 – (6,45 mm2 + 6,45 cm2) = ……………………………………..m2

b) (6,45 dm2 + 6,45 mm2 – 6,45 cm2) = …………………………………… m2

Corregir:

4. a) 2 435 700 mm2 b) 8 000 000 mm2

5. a) 49 504,45 cm2 b) 9 950 cm2

6. a) 462, 45 dm2 b) 50 dm2

7. a) 0,06384855 m2 b) 0,06386145 m2

MATEMÁTICA


MEDIDAS DE VOLUMEN.

SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO

EQUIVALENCIAS ENTRE

DISTINTAS UNIDADES DE

MEDIDA PARA EL AGUA

Las unidades de volumen, capacidad y peso del agua están relacionadas: Un litro de agua a 4º C de temperatura peso 1 kg y ocupa un volumen de 1 dm

3.

Capacidad Volumen 1 litro equivale 1dm

3

Peso Volumen 1 kg equivale 1dm

3

decímetro cúbico dm3 1 dm

3 = 0,001 m

3

centímetro cúbico cm3 1 cm

3 = 0,001 dm

3

milímetro cúbico mm3 1 mm

3 = 0,001 cm

3

1m3 = 1 000 dm

3 = 1 000 000 cm

3 = 1 000 000 000 mm

3

MÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO

decámetro cúbico dam3 1 dam

3 = 1 000 m

3

hectómetro cúbico hm3 1 hm

3 = 1 000 dam

3

kilómetro cúbico km3 1 km

3 = 1000 hm

3

1m3 = 0,001 dam

3 = 0,000 001 hm

3 = 0,000 000 001 km

3

Para realizar la conversión de unidad de medida de volumen en el sistema

métrico se debe de tener en cuenta lo siguiente:

1. Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar por

1000.

2. Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por

1000.

En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.

Construir, para facilitar, una escalera con las unidades de medidas de volumen.

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

MATEMÁTICA


Cada grada que usted descienda, la

coma se desplaza hacia la derecha

cifras por cada grada.

Ejemplo:

2,5326 hm3 = 2 532 600 m3

0,38 m3 = …………… dm3

0,001532 dam3 ………………cm3

Cada grupo que usted sube, la coma se desplaza hacia la izquierda, tres cifras

por cada grada.

Ejemplo:

108,42 dm3 = 0,108 42 m3

5083 m3 = ……………. Km3

Concluyendo:

Unidad

inmediatamente

superior

Unidad

inmediatamente

inferior

0,0345697 dam3 = 34,5697 m3 = 34569,7 dm3

La coma se desplaza

tres lugares

izquierda para Derecha

Siempre que sea necesario agregar ceros.

hm3

MATEMÁTICA


Realizar las siguientes transformaciones:

1. 5,86 dam3 a dm3

2. 183,2 cm3 a dam3

3. 12,05 m3 a cm3

4. 78350 dm3 a dam3

Las respuestas deben ser:

1. 5860000 dm3

2. 0,00000018320 dam3

3. 12050000 cm3

4. 0,07835 dam3

MATEMÁTICA


EJERCICIOS:

1. Transformar en metros cúbicos. Observar antes los ejemplos:

a) 14542,75 cm3 = 0,01454275 m3

b) 0,72 dm3 = 0,00072 m3

c) 2 mm3 = 0,000000002 m3

d) 81 dm3 = ……………………………... m3

e) 0,04512 dam3 = ……………………… m3

f) 1415,30 cm3 = ………………………. m3

g) 545,1257 hm3 = …………………….. m3

Continuar:

1. Completar:

c) 2,12 m3 + 31,45 dm3 + 12 cm3 = …………………………………………mm3

d) (5,12 m3 + 588,50 dm3) – 30 050 cm3 =………………………………… mm3

2. Completar:

c) 4,50 m3 + 45 dm3 + 445 mm3 = ……………………………………………cm3

d) 0,85 m3 + 15 dm3 – 5 000 mm3 = ……………………………………….. cm3

19.4. AREAS DE PRINCIPALES REGIONES PLANAS.

ÁREA DEL RECTÁNGULO

En la figura del lado, se tiene un rectángulo de 6 cm. de

largo y 3 cm. de ancho, cuya área es de 6 x 3 = 18 cm2.

Representado por A el área del rectángulo, por “b” la

base y por “h” la altura, se tendrá la fórmula.

P = 2 (b + h)

P: perímetro

Completar:

A = b . h

MATEMÁTICA


El área del rectángulo es igual al producto de la medida de …………………………

por la medida de la altura.

Calcular el área del rectángulo que tiene 5 cm. de base y 4 cm de altura.

Respuesta: ……………………..

ÁREA DEL CUADRADO

El cuadrado es un rectángulo en donde la medida de la base es igual a la medida

de la altura (b = h). Por lo tanto, el área puede ser encontrada a través de la

fórmula:

Por lo tanto:

b = 1 A = b . h

h = 1 A = 1 . 1

A = 12

Completar: - El área del cuadrado es igual al cuadrado de la medida del………………………

……………………………………………………………………………………………

- ¿Cuál es el área del cuadrado de 8 cm. de lado? …………………………………

……………………………………………………………………………………………

P = 4 L

d = L 2

d = diagonal

P = perímetro

A = b . h

MATEMÁTICA


ÁREA DEL PARALELOGRAMO

Si se dibuja en un papel las figuras que a continuación se presentan y recorta el

triángulo QTR; luego lo coloca haciendo coincidir RQ con SP , le resulta un

…………………...

trapecio / rombo / rectángulo

( SIGNIFICA EXACTAMENTE IGUAL)

QT es la altura h. Área del Paralelogramo Área del cuadrilátero

TT’ (RS) es la base B del rectángulo, Luego:

Ejemplo:

Medida de la base = 5 (b)

Medida de la altura = 3 (h)

A = b . h

A = 5 . 3 A = 15 cm2

Es el área del paralelogramo de base b y altura h.

Completar:

Para calcular el área del paralelogramo, se utiliza la misma fórmula que se utiliza

para calcular el área del ……..…………………………………………………………..

rectángulo / cuadrado

Un paralelogramo que tiene 8 cm. De base y 3 cm. De altura, tendrá ………….cm2

de área.

Área del paralelogramo A = b.h

MATEMÁTICA


ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Observar en la figura, que el área del triángulo QRS

es la mitad del área del paralelogramo QRTS, o sea,

tiene la misma base b y la misma altura h.

Siendo A = b . h

El área del paralelogramo, basta dividir por 2, para obtener el área del triángulo,

como muestra la fórmula.

2

h . b A

Sustituyendo por las medidas de b y h del triángulo sombreado, se obtendrá:

2

h . b A

2

2,8 x 3 A A = ……………….

Respuesta: ……………

Otro ejemplo:

Calcular el área de un triángulo cuyas medidas están en el dibujo

Datos:

b = 8 cm

h = 4 cm

Fórmula: 2

h . b A Completar:

2

.....................x A A = ______________ = …………………

Respuesta: …………………

MATEMÁTICA


ÁREA DEL ROMBO

La figura del lado representa un rectángulo (EFGH);

contiene 8 triángulos rectángulos iguales de los

cuales 4 constituyen el rombo.

Por lo tanto, como el área del rectángulo es:

A = b . h

A = D . d: es entonces el área del rectángulo EFGH

Se ve entonces que el área del rombo es la mitad del área del rectángulo de

dimensiones D y d; o sea, que el área del rombo es igual a la mitad del producto

de las medidas de las diagonales. Por tanto, el área del rombo esta dada por la

fórmula.

2

d . D A

Equivale a decir: el área del rombo es igual al semi-producto de las medidas de

sus ………………………… En la fórmula, completa sustituyendo D y d por los

valores de la figura:

2

x A = ………………. cm2

Calcular el área de un rombo cuyas diagonales están

representadas en la figura:

Datos: D = 80 mm d = 50 mm

Fórmula: 2

d . D A = …………………

Respuesta:

MATEMÁTICA


ÁREA DE TRAPECIO

Sea el trapecio de bases B y b y altura h.

Recortar otro trapecio igual al dibujado.

Ajustar sus lados de modo que se obtenga la figura

del lado. Se obtiene la figura de un ……………

………………………………………………..

trapecio / paralelogramo

El área del paralelogramo (figura total) está dada por:

A = base . h

ó A = (B + b) . h

Pero, observar que el área sombreada (del trapecio) es apenas la mitad del área

del paralelogramo. De ahí que el área del trapecio será:

2

h . b) (B A

Lo que equivale a decir. El área de un trapecio es igual a al mitad del producto de

la suma de las bases por la altura.

Ejemplo:

Calcular el área del trapecio cuyas bases son:

18 m y 12 m, respectivamente, y la altura 9 m.

MATEMÁTICA


Datos:

B = 18 m. b = 12 m. h = 9 m.

2

h . b) (B A

..............

................

2

........ 12) (18 A

x

A = ………………… m2

ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR

Con número de lados mayor de 4.

Tomemos, por ejemplo, el hexágono regular ABCDEF representado. Este

hexágono regular puede ser dividido en 6 triángulos equiláteros.

El paralelogramo AGIJ contiene 12 triángulos equiláteros iguales, de los cuales 6

constituyen el hexágono regular dado.

Como el área del paralelogramo es A = b . h y b = 6L

h = apotema (ap)

Apotema: segmento perpendicular trazado del el centro del polígono hacia un

lado.

Entonces el área del paralelogramo AGIJ será:

A = 6L . ap

Pero esta área del paralelogramo es el doble de área del hexágono regular

(observar nuevamente la figura).

Por lo tanto. El área del hexágono regular está dada por la fórmula:

MATEMÁTICA


2

ap . L . 6 A

Sustituyendo 6L por P (perímetro) y apotema por ap, se tendrá:

2

ap . P A P = perímetro

Con esta fórmula usted se puede calcular el ÁREA DE CUALQUIER POLÍGONO

REGULAR, desde que sean dadas las mediadas del lado y de al apotema.

Ejemplo:

a) Calcular el área del hexágono.

L = 20 mm.

ap = 17,32 mm.

2

ap . P A

2

17,32 . 20 . 6 A =

A = …………………

b) Calcular el área del octógono.

Datos: L(8) = ……………………. mm.

ap(8) = …………………….mm.

A = ?

2

........... . P A

2

.......... x ....... x 8 A

= …………… mm2

ÁREA DEL CÍRCULO

Tomar, por ejemplo, el círculo representado en el dibujo. Este círculo se dividió en

16 partes iguales.

MATEMÁTICA


El paralelogramo ABCD contiene 32 partes iguales, de las cuales 16 constituyen

el círculo. El área del paralelogramo se obtiene

(Recordar que 2 r = Perímetro de la circunferencia).

Como el área es el doble de la del círculo, entonces el

área del círculo será: 2

r .r 2 A

ó = .r2

Ejemplo:

Calcular el área:

Datos:

D = 10 cm r = 5 cm Se pide el Área

= 3,14

A = . r2 3,14 x 52 = 3,14 x …………….. = …………….…… cm2

Luego: el área del círculo de diámetro 10 cm es de ……………………. cm2

2.r

A = b . h = 2 r . r

MATEMÁTICA


ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

SECTOR CIRCULAR

Región limitada por dos radios y el arco correspondiente

º: Ángulo central

AB: arco º = AB

Sí: r2 -------------- 360º

A< -------------- º

A< = º360

ºr 2

Ejemplo:

Calcule el área del sector circular para un arco 72º, si r = 5 cm

Datos:

R = 5 cm

AB = 72º º = 72º

Fórmula: A< = º360

ºr 2 = 3,14

A< = º360

)º72()5)(14,3( 2cm

A< = 5

)m(3,14)(25c 2

A< = ………….. cm2

MATEMÁTICA


ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR

Observe que el área de la corona sombrada es igual a la diferencia entre el área

del círculo mayor y el área del círculo menor; por lo tanto, el área será:

A = R2 - r2

Aplicando la propiedad distributiva tenemos:

A = (R2 – r2)

Ejemplo:

Calcular el área de una corona circular en la cual: D = 16 cm y d = 14 cm

Datos:

D = 16 R = 8 cm. D diámetro mayor

d = 14 r = 7 cm. d diámetro menor

Fórmula:

A = (R2 – r2)

A = 3,14 (82 – 72)

A = 3,14 (64 – 49)

A = 3,14 x 15

A = ………… cm2

SEGMENTO CIRCULAR

Región circular limitada por una cuerda y un arco. Su área está dada por la

diferencia entre el área del sector circular y el área del triángulo

360º

º . R A

2

SC

BOAA

MATEMÁTICA


Ejemplo:

Calcular el área del segmento circular cuyo arco es 74º y su radio 5 cm.

Datos:

R = 5 cm.

AB = 74º = 74º

360º

º . R A

2

SC

BOAA

360º

)º(74 . (5) 14,3 A

2

SC2

)34(2 x

ASC = 16,14 – 12

ASC = ………. cm2

TRAPECIO CIRCULAR

Es la parte de una corona circular limitada por dos radios de la circunferencia

mayor. Su área está dada por la diferencia entre las áreas de los sectores

circulares mayor y menor, respectivamente. 2 2

TC

R º r ºA

360º 360º

2 2

TC

ºA (R r )

360º

Ejemplo:

Calcular el área del trapecio circular de 72º de arco, sabiendo que los radios

miden 10 cm. y 5 cm., respectivamente.

Datos:

Arco = 72º = 72º

R = 10 cm.

r = 5 cm.

MATEMÁTICA


2 2

TC

2 2

TC

2

TC

ºA R r

360º

72ºA 10cm 5cm

360º

A 75cm5

ATC = …………………

EJERCICIOS:

1. Determinar el área y los perímetros, las medidas están en milímetros:

a)

Respuesta A= ………mm2 P = …….. mm

b)

Respuesta A = ……. m m2 P= ……. mm

2. Calcular el área de los siguientes polígonos:

a)

b)

MATEMÁTICA


c)

d)

e)

3. Calcular el área de los polígonos siguientes:

a) b)

c)

d)

MATEMÁTICA


e)

4. Calcular el área de las figuras que siguen:

Observación:

Las medidas están en cm.

5. Calcular el área de una lámina de forma trapezoidal, cuyas bases miden,

respectivamente, 16 cm. y 12 cm., y la altura mide 8 cm.

6. El perímetro de un cuadrado es de 52 dm. Calcular su área.

MATEMÁTICA


7. Calcular el área del círculo, siendo el dato numérico en mm.

8. Calcular las partes sombreadas de cada figura. Los datos numéricos se dan

en mm.

MATEMÁTICA


Corregir:

1. a) A = 46,24 P = 27,2 b) A = 113,15 P = 45,6

2. a) A = 693 b) A = 149,94

c) A = 685,54 d) A = 663,60

e) a = 14,9 mm P = 103,2 mm A = 768,84 mm2

3. a) 180 b) 699,867

c) 585 d) 60,2

e) 656,04

4. a) 313,50 cm2 b) 43 cm2

c) 815 cm2 d) 24 cm2

5. 112 cm2

6. 169 dm2

7. 2 826 mm2

8. a) 107,875 mm2 b) 329,70 mm2

c) 12,56 mm2

EVALUACIÓN FINAL

1. Reducir a las unidades que se piden:

a) 45,70 dm2 = Dm2

b) 4 Km2 = m2

c) 3,44 Hm2 = cm2

d) 205,40 m2 = Hm2

2. Calcular el área de la corona circular siguiente. Los datos están dados en

pulgadas

8 5

MATEMÁTICA


3. Calcular el área del rombo. Los datos se dan en cm.

4. Calcular la parte sombreada. Los datos se dan en pulgadas.

5. Calcular el área de la figura siguiente: los datos están en mm.

RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN

1. a) 0,004570 Dm2

b) 4 000 000 m2

c) 344 000 000 cm2

d) 0,020540 Hm2

2. 122,46”2

3. 360 cm2

4. 260,64”2

5. 2 200 mm2

45

16

MATEMÁTICA


INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA

1. Área de regiones triangulares.

a) Fórmula General

c) Fórmula trigonométrica d) En función de los lados

b) En función del radio de la circunferencia inscrita

c) En función del radio de la

circunferencia circunscrita

a.b.cA=

4R

b) Triangulo equilátero

2

h.bA

4

3.A

2

2

sen.b.aA

)cp)(bp)(ap(pA

2

cbap

trosemiperímep

:Donde

2

.rPA

P: perímetro

MATEMÁTICA


d) Relación de áreas

A ABN m

A BNC n

2. Regiones cuadrangulares

a) Trapecio

a+bA= .h

2

A=m.h

Donde: m = mediana

b) En todo trapecio se cumple que:

a2 = b . c

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Calcular el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.

A) 50 cm2 B) 40 cm2 C) 30 cm2 D) 60 cm2 E) 70 cm2

2. El perímetro de un rectángulo es de 40 cm. Si el largo es el triple del ancho

¿Cuál es su área?


3. Hallar el área de un paralelogramo cuya base mide 12 cm., la medida del lado

no paralelo es 8 cm. y el ángulo obtuso mide 150º


4. Hallar el área del triángulo AMN, si M y N son puntos medios.

A) 1 u2 B) 2 u2 C) 3 u2 D) 4 u2 E) 5 u2

5. El perímetro de un rombo es 52 m., la diagonal mayor mide24 m. Calcular el

área del rombo.

A) 100 m2 B) 110 m2 C) 120 m2 D) 140 m2 E) 160 m2

6. Una diagonal de un trapecio isósceles mide 13 m. Si la altura es de 5 m., el

área del trapecio es:

A) 30 m2 B) 40 m2 C) 50 m2 D) 50 m2 E) 60 m2

22

22

MATEMÁTICA


7. Calcular el área de un hexágono cuyo lado mide 6 cm.

A) 54 3 cm2 B) 56 3 cm2 C) 55 3 cm2 D) 57 3 cm2 E) 58 3 cm2

8. El área de una corona circular mide 12 cm2. Si los radios mayor y menor se

diferencian en 2 cm., entonces los radios suman.


9. Calcular el área de un trapecio circular comprendido en un ángulo de 54º y los

radios 9m y 6m respectivamente.

A) 6,4 πm2 B) 6,6 πm2 C) 6,50 πm2 D) 70 πm2 E) 6,75 πm2

19.5. VOLUMEN DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.

19.5.1. POLIEDRO.

Un poliedro es una figura que limita una región del espacio

mediante cuatro o más regiones poligonales planas.

19.5.2. PRISMA.

Es un poliedro, dos de cuyas caras son regiones poligonales

congruentes y paralelas, siendo las otras, regiones

paralelográmicas.

LOS PRISMAS SE PUEDEN CLASIFICAR EN:

Prismas Rectos. Cuando las caras laterales son

perpendiculares a las bases, en este caso las caras laterales son rectángulos y la

arista lateral coincide con la altura.

Prismas Oblicuos. Cuando las caras laterales son oblicuas a las bases.

MATEMÁTICA


2

3

6

aAt

totalareaAt

ladooaristaa

volumenV

aV

Prismas Regulares. Cuando el prisma es recto y las bases son polígonos

regulares.

ORTOEDROS.

Es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas

caras forman entre sí ángulos diedros rectos. los

ortoedros son prismas rectangulares rectos, y

también son llamados paralelepípedos

rectangulares. Las caras opuestas son congruentes

y paralelas. Tienen 6 caras y 4 diagonales.

Para calcular la diagonal :

ÁREAS Y VOLÚMENES DEL PRISMA.

ab

h

Paralelepípedo recto.

a

Cubo

h

Prisma recto Prisma oblicuo Prisma regular

a

b

c

d

2222 cbad

alturah

baseladeladosba

volumenV

bhahabAt

altoanchool

hbaV

,

222

)arg(

At Área total

http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelep%C3%ADpedo

http://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonal

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_recto

http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_%28geometr%C3%ADa%29

MATEMÁTICA


Prisma recto

19.5.3. PIRÁMIDE.

Es un poliedro, que tiene por base un polígono. Las caras laterales son triángulos

con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

LAS PIRAMIDES SE CLASIFICAN:

1. Por el número de lados de la base pueden ser: pirámide triangular, pirámide

cuadrangular, etc.

2. Por su forma pueden ser : regular ( si la base es un polígono regular y la altura

cae en el centro de la base); irregular; convexa (cuando la base del polígono

es convexo) y cóncavo

h

Pirámide

OBSERVACIÓN:

Si la pirámide es regular:

Donde:

P : semiperimetro

aP : apotema de la pirámide

aB : apotema de la base

totalárea A

alturah

base de áreaB

hperimetro 2B A

hB V

t

t

h

alturah

baseladeareaB

volumenV

hBV

3

Área lateral = AL = Suma de áreas de caras laterales

Área total = AL + B

AL = p.aP

AT = p.( aP + aB )

aP

aB

V

h

h

MATEMÁTICA


SECCIÓN TRANSVERSAL:

En la figura se observa que EFGM es

paralelo con ABCD, es sección

transversal de la pirámide de área AB

Aquí se cumple que:

3

3

2

2

B

B

H

h

H

h

A

A

ABCD- VVolumen

EFGM- VVolumen y

PROBLEMAS:

Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras

espaciales:

a) .

b) .

Prisma recto

m ABC = 90º

12

8 6

Prisma regular hexagonal

33

4

cubo

2

MATEMÁTICA


c) ..

d) ..

ABCD : cuadrado

EB 13 ; AB 4

EB ABCD

Pirámide regular,

de base cuadrangular

h = 2

h

10

EA H

AB BC

9

9 12

MATEMÁTICA


19.5.4. CILINDRO.

Un cilindro es una figura geométrica formada por media revolución

de un rectángulo. Consta de tres lados: dos caras idénticas

circulares unidas por un plano curvo y cerrado perpendicular a

ambas caras.

El volumen, V, de un cilindro con una base de radio R, y altura o

generatriz, H, es el área de la base (un círculo) por la altura, es

decir:

H.RV 2

El área lateral, AL, de un cilindro con una base de radio R, y altura, H, es:

La superficie o área total, AT, de un cilindro con una base de radio r, y altura, h,

es:

H = g

R

AL 2R.H

AT 2.AB + AL = 2.R2 + 2.R.H = 2.R.(R + .H )

2R

R

CILINDRO

ABIERTO

AB : Área de la Base

MATEMÁTICA


19.5.5. CONO.

Un cono, es un sólido formado por la revolución de

un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus

catetos. Al círculo generado por el otro cateto ( R )

se denomina base y al punto donde confluyen los

lados opuestos se llama vértice (V) y la hipotenusa

generatriz ( g ).

En un cono de revolución:

o Hay solo una base: círculo de radio R

o La generatriz (g) no es congruente a la altura (H)

Si pudiéramos abrir un cono a través de su generatriz,

tendríamos el desarrollo de su superficie lateral del

cono en revolución, como se observa en la figura tiene

la forma de un sector circular, con igual radio a “g”.

o Área lateral (AL):

o Área Total (AT):

Donde AB es el Área de la base (círculo).

o Volumen :

V Eje

g H

R B A O

g

2R

AL = .R.g

AT = AB + AL = .R2 + .R.g = .R( R + g )

V = 3

1R

2H

MATEMÁTICA


A = 4R2

A zona esférica = 2R.h

19.5.6. ESFERA.

Es generada por la rotación (360º) de un semicírculo alrededor

del diámetro.

La intersección de cualquier plano con la esfera, origina círculos

como sección. Si un plano pasa por el centro de la esfera, se

obtiene como sección un círculo mayor.

Propiedades:

Si se traza el radio perpendicular a un círculo

menor, este radio pasa por el centro de dicho

círculo.

Fórmula para hallar el área de una esferas es:

El volumen de la esfera se calcula con la siguiente fórmula:

De la esfera una porción de su superficie entre dos

planos paralelos se llama zona esférica y la formula

es:

Si una zona tiene solo una

base, a esta superficie se le llama casquete

esférico; su área se calcula así:

R

Eje

V = 3

4R

3

A casquete = .AB2

MATEMÁTICA


r = 2 3 cm

m = OEC = 30º

PROBLEMAS:

Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras

espaciales:

a) .

b)

c)

d) .

e) .

MATEMÁTICA


f)

g)

h) .

i)

MATEMÁTICA


Resolver los siguientes problemas:

1) Calcular la longitud de la arista del cubo donde la distancia del vértice al centro

de la cara opuesta es 6 m.

2) Hallar el volumen del cilindro, si la altura es dos veces el radio. Radio del

cilindro es 2m.

3) Hallar el área lateral del cono recto, si el radio del cono es 2m, y su ángulo del

vértice del cono es 60.

4) El área total de un cubo es numéricamente igual al volumen. ¿Cuánto mide su

arista?

5) El volumen de una esfera es numéricamente igual a su área. Calcular su radio.

6) El volumen del cilindro es 30m3. El volumen de la esfera inscrita en dicho

Cilindro es:

7) Un recipiente de agua paralelepípedo de 0,8 x 0,45 x 1,5 m se llena con agua.

¿Cuántos litros caben en él?

8) Un recipiente de aceite con una base de 60 x 40cm está lleno con 140 dm 3 de

aceite ¿Qué altura tiene el nivel de aceite en cm?

9) Transformar un prisma cuadrado de 35 mm de lado en un cilindro de igual

volumen y altura. Calcular el diámetro.

10) El diámetro superior de un balde de agua es de 290 mm, el diámetro inferior

de 180 mm, la altura 320 mm ¿Cuántos litros caben en el balde?

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