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SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

MANUAL DE APRENDIZAJE

CÓDIGO: 89001295

PROFESIONAL TÉCNICO

MATEMÁTICA – PARTE I

ESTUDIOS GENERALES

MATEMÁTICA

ESTUDIOS GENERALES – NIVEL PROFESIONAL TÉCNICO

UNIDADES

Unidad I : NÚMEROS NATURALES

Unidad II : MÍNIMO COMÚN MULTIPLO Y MÁXIMO COMUN DIVISOR Unidad III : NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES. Unidad IV : FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y

DIVISIÓN. Unidad V : NÚMEROS DECIMALES Unidad VI : POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN Unidad VII : TRIGONOMETRÍA BÁSICA Unidad VIII : MEDIDAS DE LONGITUD Unidad IX : MEDIDA DE TIEMPO

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MATEMÁTICA


INDICE


1.1 Número Natural: Numeral 1.2 Lectura y escritura de números naturales 1.3 Operaciones en el conjunto de Números Naturales

1.3.1 Adición: - Sumas Notables 1.3.2 Sustracción: Propiedades 1.3.3 Multiplicación y potenciación 1.3.4 División: Elementos; Tipos de división entera; Algoritmo de la división;

Propiedades 1.3.5 Radicación 1.3.6 Operaciones combinadas.

1.4 Planteo de Ecuaciones. Ecuaciones de 1er grado. Ecuación de 2do grado

Unidad II : MÍNIMO COMÚN MULTIPLO Y MÁXIMO COMUN DIVISOR 2.1 Divisibilidad – propiedades. – Criterios de Divisibilidad 2.2 Clasificación de los números enteros. 2.3 Procedimiento para determinar si un número es primo. 2.4 Número primo entre sí (PESÍ) 2.5 Descomposición de un número en sus factores primos. 2.6 Cantidad de divisores de un número. 2.7 MCD y MCM: Métodos para calcular el MCM y el MCD

Propiedades Unidad III : NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES. 3.1 Fracción : Elementos 3.2 Clasificación de Fracciones 3.3 Conversión de Fracción impropia a numero mixto y de número mixto a fracción

impropia 3.4 MCD Y MCM de fracciones 3.5 Simplificación de fracciones. Propiedades. 3.6 Fracciones equivalentes 3.7 Homogenización de denominadores o numeradores, de fracciones. 3.8 Comparación de fracciones Unidad IV : FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y

DIVISIÓN. 4.1 Adición y sustracción de Fracciones 4.2 Operaciones combinadas de adición y sustracción. 4.3 Multiplicación y Potenciación de Fracciones 4.4 División de Fracciones. 4.5 Radicación de fracciones. 4.6 Operaciones combinadas.

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Unidad V : NÚMEROS DECIMALES 5.1 Numero decimal 5.2 Tablero posicional de cifras de un número decimal. 5.3 Lectura y escritura de números decimales 5.4 Propiedades de números decimales. 5.5 Comparación de números decimales 5.6 Clasificación de números decimales 5.7 Generatriz de un número decimal 5.8 Adición y sustracción de números decimales 5.9 Multiplicación y potenciación de números decimales 5.10 División de números decimales. 5.11 Radicación de números decimales Unidad VI : POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 6.1 Potenciación 6.2 Signos de la Potenciación

6.2.1 Propiedades de la potenciación 6.3 Radicación

6.3.1 Signos de la Radicación 6.3.2 Propiedades de la Radicación 6.3.3 Definición: Radicales Homogéneos, y Radicales Semejantes. 6.3.4 Simplificación de radicales 6.3.5 Operaciones con radicales: Adición, Sustracción, Multiplicación y

División de radicales. 6.3.6 Racionalización

Unidad VII : TRIGONOMETRÍA BÁSICA 7.1 Sistema de medidas angulares: sexagesimal, Centesimal, radial o Circular -

Equivalencias 7.2 Razones Trigonométricas. 7.3 Razones Trigonométricas de ángulos cuadrantales. 7.4 Resolución de triángulos rectángulos 7.5 Resolución de triángulos oblicuángulos – Ley de senos 7.6 Resolución de triángulos oblicuángulos – Ley de coseno Unidad VIII : MEDIDAS DE LONGITUD 8.1 Sistema Métrico

8.1.1 Unidad fundamental (El metro) 8.1.2 Prefijos en el S.I. 8.1.3 Múltiplos y Submúltiplos del metro 8.1.4 Conversión de unidades.

8.2 Sistema Inglés 8.2.1 Pulgada 8.2.2 Equivalencias de pulgadas 8.2.3 Transformación de pulgadas a milímetros 8.2.4 Transformación de milímetros a pulgadas

Unidad IX : MEDIDA DE TIEMPO 9.1 Medida de tiempo

Unidad fundamental : el segundo 9.2 Múltiplos del segundo 9.3 Equivalencias de unidades de tiempo 9.4 Operaciones con medida de tiempo

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MATEMÁTICA


UNIDAD 01

NÚMEROS NATURALES

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1.1 Número Natural Definición.- Un número natural es cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de la naturaleza. Numeral.- Los numerales "1, 2, 3, 4, 5, ..." son numerales arábicos, diferentes de los numerales romanos "I, II, III, IV, V, ..." pero ambos representan los mismos números. Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11 es el tres binario pero el once decimal. 1.2 Lectura y Escritura de Números Naturales En la escritura de un número natural debemos tener en cuenta que la cifra forma un orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases, forman un período.

24º Orden Centenas de millar de trillón23º Orden Decenas de millar de trillón22º Orden Unidades de millar de trillón21º Orden Centenas de trillón20º Orden Decenas de trillón19º Orden Unidades de trillón18º Orden Centenas de millar de billón17º Orden Decenas de millar de billón16º Orden Unidades de millar de billón15º Orden Centenas de billón14º Orden Decenas de billón13º Orden Unidades de billón12º Orden Centenas de millar de millón11º Orden Decenas de millar de millón10º Orden Unidades de millar de millón9º Orden Centenas de millón8º Orden Decenas de millón7º Orden Unidades de millón6º Orden Centenas de millar5º Orden Decenas de millar4º Orden Unidades de millar3º Orden Centenas simples2º Orden Decenas simples1º Orden Unidades simples

1º Clase

2º Clase

3º Clase

4º Clase

5º Clase

6º Clase

7º Clase

8º Clase

ENTEROS

1º P

erío

do2º

Per

íodo

3º P

erío

do4º

Per

íodo

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MATEMÁTICA


Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a partir de la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin usar ningún otro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:

79 142 031 789 358.

TRILLONES BILLONES MILLONES UNIDADES

MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD

C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U

24º23º22º 21º 20º19º 18º17º 16º15º14º13º12º11º10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º

7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8

Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un millones, setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho unidades.” Aplicación 1 : Aún recordando, usted realizará los ejercicios siguientes : Escriba como se lee cada número: a) 4 121 ............................................................................................... b) 20 305 ............................................................................................... c) 2 000 000 ................................................................................................ d) 5 001 008 ................................................................................................. Aplicación 2: Lea y escriba con cifras cada número: a) Tres mil cinco ..................................................................... b) Cien mil cuarenta y dos..................................................... c) Un millón trescientos mil .......................................................................... d) Dieciocho millones tres mil uno .................................................................. e) Seis millones quince mil ............................................................................. f) Doscientos tres millones cuatro mil uno ..................................................... Aplicación 3: Qué número esta formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014 e) 2048014 Aplicación 4: Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es: a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763 Aplicación 5: Cuantas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM a) 75 560 b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560 e) 74 560 Aplicación 6 : Cuántas Decenas forman Dos Millares a)20 b)200 c)2000 d)2 e)0,2

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MATEMÁTICA


Aplicación 7: Como se puede escribir el producto de: 345x11 a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA 1 .3 Operaciones en el Conjunto de Números Naturales 1.3.1 Adición Definición.- Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a y b la cual se denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S. Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a ; b) su suma a + b. Ejemplo 1 :

15 + 17 = 32 Ejemplo 2 :

7 + 8 + 13 = 28 Aplicación 1:

Si: a + b + c = 15, hallar: abc + bca + cab Rpta: 1665

Aplicación 2: Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal

Rpta: 494550 Suma notables:

I) Suma de los “n” primeros números naturales.

S = 1+2+3+4+ ....+n 2)1n(nS

Ejemplo :

1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25 325

212525S

Sumandos Suma

n = 25

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MATEMÁTICA


II) Suma de los “ n “ primeros impares

S = 1 + 3 + 5 + …….... + n

2

21nS

Ejemplo :

1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39 4002

139S2

III) Suma de los “n” primeros pares

S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n 1nnS

Ejemplo : 2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20 11011010S 1.3.2 Sustracción Definición.- Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D. Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a ; b) su diferencia a - b. Ejemplo 1: 235 - 140 = 95 Aplicación 1: Si: a4b - 3c5 = 418 ; Hallar: a + b – c

Rpta: 6 Propiedades de la Sustracción :

1. Si sumamos o restamos un mismo número natural al MINUENDO y al SUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA.

2. Si sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO,

la DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.

MINUENDO ( M )

SUSTRAENDO ( S )

DIFERENCIA ( D )

n = 39

n = 10

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3. Sí sumamos o restamos un mismo número natural SÓLO AL

SUSTRAENDO, la DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa misma cantidad.

4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.

S + D = M

5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL MINUENDO.

M + S + D = 2M Aplicación 1 : La diferencia de dos números es 305, si al menor le quitamos 20 y al mayor le aumentamos 85 ¿Cuál es la nueva diferencia?

Rpta: 410 Aplicación 2 : La diferencia de dos números es 157, si al menor le aumentamos 48 y al mayor le quitamos 31 ¿Cuál es la nueva diferencia?.

Rpta: 78 Aplicación 3 : La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo?

Rpta : 239 1.3.3 Multiplicación Definición.- Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la cual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P. Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a ; b) su producto a.b. Ejemplo 1 :

18 x 15 = 270 Ejemplo 2 :

Multiplicando Multiplicador Producto

7 3 4 x

4 6

4 4 0 4

2 9 3 6

3 3 7 6 4

multiplicando

multiplicador

productos parciales

producto final

7 3 4 x 6

7 3 4 x 4

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MATEMÁTICA


Aplicación 1 : El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al multiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de cifras del multiplicador?

Rpta. 7 Aplicación 2 : El producto de dos factores es 74495, si aumentamos en 23 unidades al multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del multiplicador?

Rpta. 11 Potenciación Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por si mismo varias veces.

an = a x a x a x .………a = P Potencia de exponente cero: a0 = 1 siempre que a ≠ 0 Nota: 00 = no esta definido Ejercicio mental: resuelve las siguientes operaciones mentalmente.

23 = ….. 34 = ….. 112 = ….. 162 = …..

33 = ….. 54 = ….. 122 = ….. 172 = …..

43 = ….. 25 = ….. 132 = ….. 182 = …..

53 = ….. (14+17)0 = ….. 142 = ….. 192 = …..

24 = ….. (2X3 – 6)0 = …. 152 = ….. 202 = …..

“n” veces a

Elementos de la Potenciación Donde: a : es la base n : es el exponente P : es la potencia perfecta de grado n.

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MATEMÁTICA


1.3.4 División Definición.- Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b,

se denota ba

, al número natural c, si existe, tal que a = b.c.

Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de

números naturales (a ; b) su cociente ba

.

Elementos de una división: Divida 104 entre 11 Además: 104 = 11.(9) + 5 Clases de división:

Exacta ( residuo = 0 )

Inexacta ( residuo ≠ 0 )

En donde : 9 + 2 = 11

r(defecto) + r(exceso) = divisor En general:

104 11

99 9

5

Dividendo (D) divisor (d)

residuo (r)

Cociente (q)

Algoritmo de la división

28 70 4

D d0 q

28 = 7.(4) D = d.q

Defecto : Exceso :

D dr q

D dr* q + 1

D = d.(q) + r D = d.(q + 1) - r*

75 = 11.(6) + 9

75 119 6

75 112 7

75 = 11.(7) - 2

Defecto : Exceso :

residuo por defecto residuo por exceso

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MATEMÁTICA


Propiedades de la división: Si : r = 0 , la división es exacta

Algoritmo de la división: D = d. (q) + r

Residuo máximo : r(máx) = ( d - 1 )

Residuo mínimo : r(min) = 1

r(defecto) + r(exceso) = divisor

residuo < divisor

Si multiplicamos o dividimos el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un

mismo número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA,

pero el RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número

natural.

Aplicación 1 : El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al dividendo y se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterar el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

Rpta: 16 Aplicación 2 : El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo y se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo disminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor?

Rpta: 6 1.3.5 Radicación Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así tenemos:

D dr q

D.k d.kr.k q

TÉRMINOS DE LA RADICACIÓN

KRRK nn

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MATEMÁTICA


Resuelve los siguientes ejercicios:

64 3 8 4 16 1600

81 3 64 4 81 3 27000

144 3 125 4 625 4 810000

169 3 1000 4 1210 3 278

1.3.6 OPERACIONES COMBINADAS

Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves , etc..)

Ejemplo:

63338

= 6335

= 6315

= 618

= 3

Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en el siguiente orden :

o Primero: La potenciación o radicación o Segundo: La multiplicación o división (en el orden en que

aparecen) “de izquierda a derecha” o Tercero: Adición o Sustracción.

Ejemplo:

32 : 8 + 6 x 5 = Observe, con atención, las operaciones indicadas

4 + 30 = Fueron efectuados : la división ( 32 : 8 ) y la multiplicación (6 x 5)

34 = Finalmente, fue efectuada la suma ( 4 + 30 ) Resuelva la expresión:

45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 =

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MATEMÁTICA


Su respuesta debe haber sido 231; sino , corrija lo que hizo. No se olvide que cero veces cualquier numeral es cero. 7 + 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 = Observe paréntesis

= 7 + 3 x ( 40 – 36 ) – 23 = Fue efectuada la multiplicación contenida en los paréntesis ( 9 x4)

= 7 + 3 x 4 – 23 = También fue hecha la resta (40 – 36)

= 7 + 3 x 4 – 8 = Fue efectuada la potencia 23

= 7 + 12 – 8 = Fue realizada la multiplicación (3 x 4)

= 19 – 8 = Se realizó la suma ( 7 + 12 )

= 11 Finalmente, fue hecha la resta (19 – 8)

EJERCICOS

Resuelva las siguientes operaciones combinadas:

OPERACIÓN COMBINADA RESPUESTA

( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 =

6 x 8 + 13 - 9 =

250 x 2 + 32 + 4 x 5 – 6 + 73 =

12 x 22 + 32 x 42 + 52 =

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MATEMÁTICA


PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS

Ejemplo: Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de 5 m se podrán obtener?

20m 5m 100pedazos de Nº pedazos de 5 m c/u

Número de cortes Número de estacas

LÍNEA ABIERTA

Nº cortes = 1unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = 1unitaria Longitud

total Longitud

LÍNEA CERRADA

Nº cortes = unitaria Longitud

total Longitud Nº estacas = unitaria Longitud

total Longitud

Ejemplo: (LINEA ABIERTA):

1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si cada árbol están separados 50 m?

2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios realizar para obtener trozos de 50 m?

unitaria LongitudTotal Longitudpartes

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº árboles = 150200

= 4 + 1 = 5 árboles

(estacas)

50 m 50 m 50 m 50 m

200 m

Nº cortes = 150200

= 4 - 1 = 3 cortes

1º 2º 3º

CORTES

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MATEMÁTICA


Ejemplo: (LINEA CERRADA): 1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro

es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m? 2.- Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios realizar, para obtener trozos de 5 m?

Nº de cortes = 520

= 4 cortes

50 m

50 m 50 m

50 m Perímetro = 200 m (Longitud total)

Nº de árboles = 50200

= 4 árboles (estacas)

5 m 5 m

5 m 5 m

1º 3º

2º

4º cortes

Número de = Número - 1 Cortes de partes Número de = Número - 1 espacios de puntos

LÍNEA ABIERTA

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MATEMÁTICA


PROBLEMAS:

1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde

cada corte pierde 641 ”. ¿Cuántos trozos se obtiene?

a) 193 b) 235 c) 195 d) 425 e) 194

2. Divida una barra de Hierro 8"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada

corte 321

“¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 3” b) 5” c) 2” d) 4” e) 1”

3. Divida una barra de bronce de 120m en trozos iguales de 35 cm., perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto material sobra?

a) 342; 30cm b) 142; 30cm c) 342; 20cm d) 352; 30cm e) 12; 30cm

4. Divida una barra de cobre 8"110 en trozos iguales de 2”, se pierde en

cada corte 321 ”. ¿Cuántos cortes se obtiene?

a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 1 1.4 PLANTEO DE ECUACIONES Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje común a lenguaje matemático, por ello es que debemos detenernos a reflexionar sobre algunos aspectos de este lenguaje. El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones. El lenguaje matemático esta conformado por diversos símbolos. A través de la combinación de estos podemos representar diversidad de situaciones SUSCEPTIBLES de ser representados matemáticamente; esto quiere decir que no todo aquello que nos pasa diariamente puede ser representado en forma matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda esta alegre, no puede representarse de la manera mencionada; en cambio la expresión: El dinero de Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguaje matemático es para ser usado fundamentalmente en todo aquello que sea MEDIBLE y CUANTIFICABLE.

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MATEMÁTICA


Ejemplo : ¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18, y dividir dicha suma entre 19 obtendremos 2 como resultado?

¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre x

si al multiplicarlo por cuatro 4x

añadirle 18 4x + 18

y dividir dicha suma entre 19 19

184 x

obtendremos

19184x

2 como resultado? 219

184

x

Resolviendo la ecuación:

219

184

x

)19.(2184 x 18384 x

204 x 5x

TEORÍA ADICIONAL Operaciones fundamentales con fracciones:

a. Conversión de un número mixto a Fracción: D

NDE

D

NE

b. Suma de Fracciones:

usqMCMM

tuMrsMpqM

u

t

s

r

q

p

,,

c. Número natural.

Ejemplos : 2 y 5 son números naturales.

÷

x

=

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MATEMÁTICA


Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o partes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las operaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.

Ejemplo 1

Ejemplo 2 NOTA- Si nos damos cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas estas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo, a la derecha de la coma redondee con CEROS y al último parte variable elevado a la potencia CERO que equivale a uno. En está época siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar sumas, restas, multiplicar y/o dividir. d. Reducción de fracción de fracciones : Ejemplos:

a. 81

241

6413

1643

643

b. 5,4214

29

4163

6413

643

c. 5,7217

215

42203

20423

Es importante esta teoría base para hacer las 4 operaciones de fracciones. ( ,,, )

+ 5+1,000 x b0 =

5

+1

Exponente +1 Se completa con ceros la parte decimal

Parte variable

El denominador es +1

Signo +

+ 2+1,000 x a0 =

2

+1

La coma divide la parte entera de la parte decimal.

cbda

dcba

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MATEMÁTICA


Problemas que tengan relación Parte – Todo : Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras? *¿Qué parte de 27 es 9? 9 / 27 <> 1 / 3

*¿Qué fracción de b es c? c / b

*¿M representa que fracción de N? M / N

*¿Q que fracción representa respecto de P? Q / P *¿Qué fracción es 24 respecto de 60? 24 / 60 <> 2 / 5

*¿Qué fracción es “a” respecto de “b”? a / b

*¿Qué fracción de “b” respecto de “a”? b / a

*¿Qué parte de representa 11 de 33? 11 / 32 <> 1 / 3

ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA :

Enunciados Expresión Matemática

Forma verbal Forma Simbólica

1) la suma de 2 números consecutivos más 3 31 xx

2) Yo tengo 20 más que tú Yo: 20 + x

Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes Tu: x

3) A es el doble de B A = 2B

A es 2 veces B A = 2K

B es la mitad de A B = K

A tiene una vez más de lo que posee B B = K ; A = 2K

Cantidad de partes iguales que se han tomado.

Cantidad de partes iguales en que se han dividido a la unidad

f = Qué Fracción o

Qué Parte

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MATEMÁTICA


4) A es 2 veces más que B ó A = 3B A = 3X A es 2 veces mayor que B B = X

5) A es a B como 3 es a 5 ó 53

B

A

La relación entre A y B es 3/5 ó A = 3k

A y B están en la razón de 3 a 5 ó B = 5k

A es a 3 como B es a 5

6) El cuadrado de la suma de 2 números 2yx

7) La suma de los cuadrados de 2 números 22 yx

8) El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20 204 y

Tengo : y

9) El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20 204 y

Tengo : y

10) A excede a B en 4 ó 4 BA

A es mayor que B en 4 ó 4 xA

El exceso de A sobre B es 4 xB

11) Tres menos 2 veces un número X x23

12) Tres menos de 2 veces un número X 32 x

13) El producto de 5 números consecutivos es m. mxxxx 421 ó

maaaaa 2112

14)

Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules. 4

3

A

R

kR 3 ; kA 4

23

MATEMÁTICA


1.4.1 ECUACIONES DE 1ER GRADO Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas. Propiedades de las ecuaciones:

1. Si sumamos o restamos a los dos miembros de una ecuación una cantidad constante, la ecuación que obtenemos es EQUIVALENTE a la primera.

2. Si multiplicamos o dividimos a los dos miembros de una ecuación por una cantidad constante diferente de cero, la ecuación que obtenemos es EQUIVALENTE a la primera.

Ejemplo : Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X Solución :

2X + 3X + 20 = 140 – 1X 2X + 3X + 1X = 140 – 20 6X = 120

X = 120 / 6 X = 20

24

MATEMÁTICA


Ejemplos de aplicación: Resuelva las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:

1. 414 xx

2. 631209740 xx

3. )3(2)5(5)12(4)1(3 xxxx

4. xx

21

21

5. 24

352

41 x

x

25

MATEMÁTICA


Problemas de Aplicación: Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de primer grado. Es importante que leas el problema 2 o 3 veces hasta que lo comprendas, luego haz el planteamiento y lo resuelves. ¡¡Anímate y haz los problemas !!

1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para seguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno habría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó S/. 13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús?

El autobús tenía asientos.

2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Halla esos números. Los números son: , y

3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro en su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarle?

El tiempo que tardara es horas y minutos Comprueba tus respuestas

1. El autobús tenía 39 asientos 2. Los números son 18, 20 y 22 3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos

SISTEMAS DE ECUACIONES En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema

26

MATEMÁTICA


MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Método de Sustitución : El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto. Método de Igualación El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

27

MATEMÁTICA


Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de la incógnita , y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la , que además ya se encuentra despejada. Método de Reducción Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a 17 / 3.

-4x - 6y = -10

5x + 6y = 4

x = - 6

+

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MATEMÁTICA


Ejercicios de Aplicación: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres métodos.

1) 52

152

yx

yx 2)

68434

yx

yx

3) 1132

514

ba

ba 4)

0113503427

nm

nm

5) yx

yx

939735

6) 1218)2()2(

xyx

yxyx

7) 32172

25127

yxy

xxy 8)

4314

5,102743

yx

yxyx

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MATEMÁTICA


1.4.2 ECUACIONES DE 2DO GRADO Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma

. Donde no se anula a Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes. Número de soluciones: Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.

Llamamos discriminante , en función del signo del discriminante conoceremos el número de soluciones de la ecuación, así:

Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución. Si el discriminante es 0 hay una solución. Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.

Ejemplo de Aplicación 1: ¿Cuantas raíces tiene la ecuación ?

a) Ninguna solución b) Una solución: x =

c) Dos soluciones : x1 = ; x2 = Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0. Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0 , despejando se llega:

Ejemplos:

Ejemplo de Aplicación 1:

La ecuación

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 =

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MATEMÁTICA


Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0 Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0. Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que x=0 ; ax+b=0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a. Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las soluciones es x=0 Ejemplo:


Resuelve la ecuación Soluciones x1= x2=

Ecuación de segundo grado completa Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos. Para resolver estas ecuaciones aplicamos la fórmula

Ejemplo:


La ecuación

a) No tiene solución b) Tiene una solución x =

c) Tiene dos soluciones x1 = ; x2 =

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MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO

1. Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m y su área es 286m2.

El lado mayor mide m y el menor m 2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la

edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años

3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese caminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?

El deportista ha caminado horas

4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y el hijo?

La edad del padre es años y la del hijo años

5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos. ¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?

Compró objetos a un precio de euros

6. Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m y su área es 144m2.

El lado mayor mide m y el menor m

Comprueba tus respuestas: 1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m 2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años 3) Ha estado caminando 8 horas 4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años 5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros 6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m

Para terminar con la Unidad 1, usted hará algunos problemas para que su raciocinio se torne más ágil. ¡Es un desafió!, se anima... ¡Vamos adelante!

1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y un par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía

S/ 1 000?. Rpta. S/. 232

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MATEMÁTICA


2. Gaste S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún

tengo el doble de la cantidad que gasté ? Rpta. S/. 579

3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos

decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás? Rpta. 5 cajas

4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial

de S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el valor de cada letra?

Rpta. S/. 540

5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació? Rpta. 1922

6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el

triple del residuo. ¿Cuál es el dividendo? Rpta. 416

7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 177. ¿Cuántos cuadernos podré

comprar con S/ 78? Rpta. 8 cuadernos

8. Di un cheque de S/. 200, para pagar 9 metro de alambre, recibí de

vuelto S/ 20. ¿Cuánto pagué por el metro de alambre? Rpta. S/. 20

9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los

75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones recibió cada uno si aún sobran 15 bombones?

Rpta. 3 bombones

10. Con S/. 2 340 podré comprar 4 casacas o 9 camisas . ¿Cuál es la diferencia de precio entre una casaca y una camisa ?

Rpta. S/. 325 11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los

pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia la pérdida de corte).

Rpta. 172 mm

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si reparto mis S/250 entre mis hijos, sólo me queda S/2; pero si

accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/ 126; ¿Cuántos hijos tengo?

A) 10 B)1 C)6 D)4 E)8

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MATEMÁTICA


2) Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144 contiene a dicho número. Calcular el doble del número.

A) 96 B) 48 C) 24 D) 12 E) 192

3) Andrés sube hasta el 5to piso de un edificio, luego baja al 2do y vuelve a subir al 4to piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12 peldaños

¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés? A)60 B)90 C)72 D)84 E)108

4) Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar frente a una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la longitud del túnel.

A)5 000 m B)6 000 m C)5 800 m D)3 800 m E)4 500m

5) En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo que debía , costándole así cada articulo S/.2 más de lo normal.¿Cuántos artículos compro?

A)10 B)8 C)12 D)16 E)20

6) Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar un túnel de 500 m?

A)35 s B)14 s C)10 s D)16 s E)12 s

7) En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132 cabezas y 420 patas.¿Cuántos animales hay de cada clase?

A)10y 25 B)54 y 78 C)98 y 34 D)13 y 22 E)200 y 32 8) Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar cada

uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el segundo S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor ganado?

A)S/.11 B)S/13 C)S/.5 D)S/.12 E)S/.8

9) Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54 monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe

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MATEMÁTICA


intercambiarse (el mismo número) para que ambos montones adquieran el mismo peso.

A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene como residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número.

A)9 B)10 C)8 D)7 E)6

SOLUCIÓN

1) C/U : S/ .x Sobrarían : S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126

8 31

2250 º

31 x 126 2 4x

hijosdeN Clave : E

2) Sea “ x” el numero , entonces :

96 2(48) : es número del doble El

48 x

304 2 x144

28

2

x

x

Clave : A

3) * Cuando asciende al 5to piso sube : 12 x 4 = 48 peldaños * Cuando desciende hasta el 2do piso baja: 12 x 4 = 36 peldaños * Cuando asciende hasta el 4to piso sube: 12 x 2 = 24 peldaños * Finalmente , lo que ha subido en total será :

48 + 24 = 72 peldaños Clave : C 4) Clave : C 5) pagar debía que lo : n x a Sea

m 800 5 X

600 200 x 60s

200 2

s

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MATEMÁTICA


Costo por Nº de artículos

cada artículo Luego a x n + 24 lo que pagó

12 n 2 a n

24

n

an

artículo cada costó que lo 24

n

na

artículos 12 Compro Clave : C 6) túnel + tren = para que pase por el túnel 500 + 200 =700

s 14

sm 50

m 700t

Clave : B 7) Nº de cabezas = 132 Suponiendo que los 132 son conejos patas 528 x4132 Se observa un exceso de patas de 108 veces 54 2 108 ,para convertir ese exceso en gallinas Finalmente : Número de gallinas : 54 Número de conejos : 132 – 54 = 78 Clave : B 8) 1er obrero = S/.143 recibe S/.55 más que el 2do 2do obrero = S/. 88 Nº de días trabajados será : S/.55 S/.5 = 11 1er obrero = S/.143 11 = S/.13 2do obrero = S/. 88 11 = S/.8 Clave : E

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MATEMÁTICA


9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g

Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g

Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g

Al intercambiar el mismo número de monedas , cada montón debe pesar : 2190 2 = 1095g Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en : 25 – 10 = 15g Luego , para qué aumente : 1095- 840 = 255g

Se debe intercambiar : 255 15 = 17 monedas Clave : D 10) Sea N el número , entonces :

N 83 3q q

2786 27 " q"

para obtiene se N número mayor El

27,6 q q 86 N

83 3q 383

xN

qqN

N = 2322 Clave : A

92232 cifrasdeSuma

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MATEMÁTICA


1. Calcular : 842510051032116 xx A)2 B)3 C)4 D)8 E)10

Solución :

2. El producto de 2 factores es 29 016;si se aumenta 112 unidades al multiplicando, el producto total aumenta en 13 888 unidades Hallar la suma de cifras del multiplicador.

A)5 B)6 C)7 D)10 E)11

Solución :

3. Hallar la suma de las cifras del producto 27xabc .Si los productos parciales suman 4 851.

A)18 B)20 C) 22 D) 23 E)24

Solución :

4. El cociente de dos números es 45,su resta es 3 435 y el residuo de su división es 3 ,Calcular la suma de los dígitos de los dos números .

A) 20 B)23 C)25 D)27 E)29

Solución :

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MATEMÁTICA


5. Si la diferencia entre el dividendo y el residuo de una división es 3 510.Calcular el divisor si el cociente es 45.

A)45 B)65 C)68 D)47 E)78

Solución

6. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto.¿Cuál es el cociente de dicha división?

A)26 B)15 C)5 D)10 E)20

Solución

7. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 mas que el anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 30 E) 32

Solución

8. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?

A)S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280 E)S/.310

Solución

9. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas .¿Cuántos participaron en la compra?

A)18 personas B)36 personas C)6 personas D) 12 personas E)20 personas

Solución

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MATEMÁTICA


10. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14 soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?

A)5 B)6 C)7 D) 8 E)9

Solución

11. Esmeralda gasta cada día la mitad de lo que tiene , más 2 soles .Si luego de cuatro días se quedó sin dinero.¿Cuánto tenia al inicio?

A)S/30 B)S/28 C)S/60 D)S/40 E)S/50

Solución

12. Un recipiente lleno de vino cuesta S/ 700, si se saca 80 litros , vale solamente S/140,¿Cuál es la capacidad del recipiente?

A)1 401 B)1 081 C)1 001 E)2 001

Solución

13. Un espectáculo público cubre sus gastos con las entradas de 30 adultos más 70 niños o de 42 adultos más 18 niños .Si entraron solo niños .¿Con cuántas entradas cubrirá sus gastos?

A)216 B) 200 C)160 D)178 E)232

Solución

14. En SENATI existe un santo que hace el milagro de duplicar el dinero; pero con la condición que deje 8 soles de limosna .Si al cabo de 3 milagros Rossmery salió sin dinero.¿Cuánto dinero tuvo al ingresar?

A)S/.8 B)S/.9 C)S/.7 D)S/.14 E)S/.10

Solución

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MATEMÁTICA


UNIDAD 02

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

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MATEMÁTICA


NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros se pueden clasificar en : Números enteros negativos Z - = 1;2;3......

El cero y

Números enteros positivos Z+ = ;.........4;3;2;1 2.1 DIVISIBILIDAD Un número entero A es divisible por otro numero entero positivo B si al dividirlos , el cociente resulta exacto .

Si A B 0 k

entonces “A es divisible por B ó B es un divisor de A “ además , por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es un número entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “

Ejm.

1) ¿ 20 es divisible por 4 ? Si , porque : 20 4 0 5 luego , se cumple que : * 20 es divisible por 4 * 4 es un divisor de 20 * 4 es un factor de 20 * 20 es un múltiplo de 4 2) ¿ 0 es divisible por 3 ? Si es , porque : 0 3 0 0 luego , se cumple que :

* 0 es divisible por 3 * 3 es un divisor de 0 * 3 es un factor de 0 * 0 es un múltiplo de 3 3) ¿ - 42 es divisible por 7 ? Si es , porque : - 42 7 0 - 6 luego , se cumple que : * - 42 es divisible por 7 * 7 es un divisor de - 42 * 7 es un factor de - 42 * - 42 es un múltiplo de 7 4) 15 no es divisible por 0 ( V ) ( F )

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MATEMÁTICA


Verdadero , porque por definición el divisor debe ser diferente de cero.

5) 36 no es divisible por - 9 ( V ) ( F )

Verdadero, porque el divisor debe ser positivo .

Ejm. Hallar todos los divisores de : 8 y 18 D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8 D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18

MULTIPLICIDAD

Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B , si se cumple que A = B . K donde K es un número entero .

Ejm. Responder las siguientes preguntas.

1) ¿ 15 es múltiplo de 3 ?

Si , porque 15 = 3 5 y 5 es un número entero.

2) ¿ - 12 es múltiplo de 4 ?

Si , porque - 12 = 4 - 3 y - 3 es un número entero.

3) ¿Cero es múltiplo de 5 ?

Si, porque 0 = 5 0 y 0 es un entero.

4) ¿ 5 es múltiplo de cero ?

No, porque 5 = 0 K , no hay ningún número entero que multiplicado por cero nos de 5.

5) ¿ 8 es múltiplo de - 2 ?

No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un entero negativo.

Si un número A es múltiplo de B , su notación será :

A = B . K donde K es un número entero ó A = 0B y se leerá “ A es

múltiplo de B “.

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MATEMÁTICA


Ejm.

1) 20 = 05 ó 20 = 5 . K

2) 18 = 03 ó 18 = 3 . K

3) 0 = 0

2 ó 0 = 2 . K

donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;………..

Ejm. Hallar los múltiplos de 3 y de 5 .

Eso se escribirá 3K y 5K , entonces :

M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ……..

M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ………

Relación entre un múltiplo y un divisor

Ejm. Entre 24 y 6

múltiplo

24 6

divisor

Ejm. Entre 9 y 27.

divisor

9 27

múltiplo

44

MATEMÁTICA


Cuando un número no es divisible por otro

Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B , entonces , eso se puede expresar de dos maneras :

A = 0B + rd ó A =

0B - re

Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de la división de A entre B , además , recordar que :

rd + re = divisor

Ejemplo:

1) 15 no es divisible por 2 porque

15 2

1 7

Entonces:

15 = 02 + 1

ó 1 + 1 = 2

15 = 02 - 1


26 7

5 3

Entonces:

26 = 07 + 5

ó 5 + 2 = 7

15 = 0

7 - 2


23 5

3 4

Entonces:

23 = 0

5 + 3

ó 3 + 2 = 5

15 = 05 - 2


520 12

4 43

Entonces:

520 = 0

12 + 4

ó 4 + 8 = 12

520 = 0

12 - 8

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MATEMÁTICA


PROPIEDADES :

1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.

2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.

3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor , el mismo número.

4) El cero es divisible por todo número entero positivo.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Divisibilidad por 2n

Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número debe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.

Divisibilidad por 21 = 2

Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser divisible por 2, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es divisible por 2.

b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.

c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.


Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y 24 es divisible por 4.

b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es divisible por 4 .

c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible por 4.


Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número debe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.

46

MATEMÁTICA


Ejemplos.

a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y 136 es divisible por 8.

b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero es divisible por 8.

c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es divisible por 8.

Divisibilidad por 5n

Para que un número sea divisible por 5n , las “n” ultimas cifras del número debe de ser múltiplo de 5n ,o terminar en “n” ceros.


Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser múltiplo de 5, o terminar en un cero.

Ejemplos.

a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es divisible por 5.

b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.

c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5,

además 7 = 05 + 2 , entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como

residuo 2.


Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número debe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.

Ejemplos.

a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son ceros.

b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es divisible por 25.

c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es

divisible por 25, además 88 = 0

25 + 13 , entonces al dividir 257 088 entre 25, obtendremos como residuo 13.

47

MATEMÁTICA


Divisibilidad por 3

Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número nos dé un número que es divisible por 3.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.

1) 2 358

2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 03 por lo tanto , si es divisible por 3.

2) 283

2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3 , además 13 = 03 + 1 lo que

significa que al dividir 283 entre 3 el residuo debe ser 1.

3) 57 014

5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3 , además , 17 = 03 + 2 lo que

significa que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como residuo 2.

Divisibilidad por 9

Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos dé un número que es divisible por 9.

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.

1) 9 558

9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 = 09 por lo tanto , si es divisible por 9.

2) 283

2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9 , además 13 = 09+ 4 lo que

significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.

3) 57 014

5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9 , además , 17 = 09 + 8 lo que

significa que al dividir 57 014 entre 9 , se obtiene como residuo 8.

48

MATEMÁTICA


Divisibilidad por 7

Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)

Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 7 , en caso contrario hallar su residuo.1)

1) 3 738

8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y

28 = 07 , si es.

3) 99 148

8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14

y -14 = 07 , si es .

2) 35 266

6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y

14 = 07 , si es.

4) 264

4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 = 07 + 5

no es , y su residuo es igual a 5

Divisibilidad por 11

Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un número que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33; …)

Para el número :

a b c d e f g = 07 g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a =

07

1 2 3 1 2 3 1

+ +

a b c d e f g

Lugares impares

Lugares pares

( g + e + c + a ) – ( f + d + b ) = 011

49

MATEMÁTICA


Ejemplos: Verificar si los siguientes números son divisibles por 11.

1) 539

9 + 5 – 3 = 11 = 011 , entonces

539 es divisible por 11

4) 8 074

4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 011 , entonces

8 074 es divisible por 11.

2) 5379

9 + 3 – 7 - 5 = 0 = 011 , entonces

5 379 es divisible por 11

5) 7 364

4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 011 , entonces

7 364 no es divisible por 11 ya que al dividir 7 364 entre 11 dejará como residuo por exceso 6 y por defecto será 5

7 364 = 011 - 6 =

011 + 5

3) 381 909

9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 011 ,

Entonces 381 909 es 011

6) 579

9 + 5 – 7 = 7 ≠ 011 entonces 579 no

es divisible por 11. El residuo por defecto es 7 y por exceso es 4.

Divisibilidad por 6

Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez

Ejemplos.

a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 6.


Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez

Ejemplos.

a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez.

b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible por 12.

50

MATEMÁTICA



Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.

Ejemplos.

a) 11 720 es divisible por 10 por que 11 720 termina en cero.

b) 3102 no es divisible por 10, por que su última cifra no termina en cero.

PRÁCTICA

Marcar con un aspa ( X ), si el número N de la columna izquierda es divisible por alguno de los números de la fila horizontal superior

Número N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

324 X X X X X X

570

1 120

3 240

1 540

20 310

1 120

8 690

9 372 189

2.2 OTRA FORMA DE CLASIFICAR

LOS NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros , también se pueden clasificar según la cantidad de divisores que tenga el número como :

a) NÚMEROS SIMPLES

Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.

Ejm. Son números simples :

1) 1 , D ( 1 ) : 1

2) 5 , D ( 5 ) : 1 y 5

51

MATEMÁTICA


3) 11 , D ( 11 ) : 1 y 11

b) NÚMEROS PRIMOS

Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidad y el mismo número .

Ejm.

1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo

2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo

NOTA: “El menor número primo es 2”

c) NÚMEROS COMPUESTOS

Son aquellos que tienen dos o más divisores .

Ejm.

1) D ( 6 ) : 1 , 2 , 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto.

2) D ( 9 ) : 1 , 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto.

NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 123, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . .

Ejm.

1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50 ?

Están los : 31 ; 37 ; 41 ; 43 y 47 . Hay 5.

2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen ?

Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8.

3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77.

( V ) ( F )

La suma de los números primos menores a 19 es : 2+3+5+7+11+13+17 =

58

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MATEMÁTICA


2.3 PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO

1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número .

2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la raíz hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el número será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto entonces el número no será primo .

Ejm. Verificar si 97 es primo.

Solución

Paso 1 : 97 9, …. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera

y se trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer la raíz cuadrada en forma aproximada “.

Paso 2 : dividimos a 97 entre los números primos menores a la raíz hallada : 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los casos , las divisiones son inexactas por lo que concluimos que 97 es primo .

Ejm. Verificar si 163 es primo Solución Paso 1 : 163 12,… es 12 y algo más, trabajamos solo con 12. Paso 2 : dividimos a 163 entre todos los números primos menores a 12 ,

que son : 2 , 3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es inexacto por lo que concluimos que 163 es primo . Ejm. 91 no es primo. ( V ) ( F ) Solución Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9. Paso 2 : Números primos menores a 9 : 2 ; 3 ; 5 y 7. 91 es divisible por 7 por lo tanto , no es primo. Ejm. 247 es primo ( V ) ( F ) Solución Paso 1 : 247 en forma aproximada es 15. Paso 2 : Números primos menores a 15 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 y 13. 247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero si es divisible por

13, entonces 247 no es primo.

53

MATEMÁTICA


2.4 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ ( PESI ) Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común la unidad. Ejm. Verificar si 4 y 9 son PESI Solución D ( 4 ) : 1 ; 2 y 4 D ( 9 ) : 1 ; 3 y 9 como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad, por lo tanto , concluimos que 4 y 9 son PESI. Ejm. Verificar si 6 ; 14 y 25 son PESI. Solución D ( 6 ) : 1 ; 2 ; 3 y 6. D (14 ) : 1 :; 2 ; 7 y 14. D ( 25 ) : 1 ; 5 y 25 se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números es la unidad, por lo que concluimos que los 3 números son PESI . Ejm. 15 ; 12 y 18 son PESI. ( V ) ( F ) Solución D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15. D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12. D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18. Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI. 2.5 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS

FACTORES PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA Todo número se puede descomponer como producto de sus factores primos, elevados a exponentes que son números enteros positivos . Para un número N , descompuesto en sus factores primos , se tiene : N = Aa x Bb x Cc x Dd

Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c y d , son los exponentes de los factores primos .

54

MATEMÁTICA


Ejm. Descomponer en sus factores primos los números : 1) 90 2) 120

90 2 120 2

45 3 60 2

15 3 30 2

5 5 15 3

1 5 5

1

90 = 2325 120 = 2

335

2.6 CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N ( CD(N) ) Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la descomposición del número en sus factores primos .

Para la descomposición del número N = Adcba

DCB se cumple, que la cantidad de divisores de N será : CD ( N ) = 1111 dcba donde : a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número. También la cantidad de divisores lo podemos calcular utilizando las siguientes fórmulas : CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos

ó CD = CDsimples + CDcompuestos Ejm. ¿ Cuántos divisores tiene 60 ? Solución

Como 60 = 2 532 entonces CD ( 60 ) = 111112 = 12. Ejm. Hallar la cantidad de divisores de 1 008. Solución

Como 1 008 = 243

27 entonces CD(1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30.

55

MATEMÁTICA


SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N ( SD (N) ) Dada la descomposición de un número N en sus factores primos: N = AaBbCcDd , entonces :

SD (N) =1

11

111

111

111

D

dD

C

cC

B

bB

A

aA

Ejm. Hallar la suma de todos los divisores de 60 . Solución

Como 60 = 2235 entonces

SD (60) = 1515

1313

1212 223

x = 746 = 168.

Ejm. Hallar la suma de todos los divisores de 504. Solución

Como 504 = 233

27 entonces

SD(504) = 1717

1313

1212 234

= 15137 = 1 365.

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 ¿Cuántos divisores primos tiene 700? Solución

Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 22

52 7

y sus divisores primos serán : 2 ; 5 y 7 por lo que tendrá 3 . Problema 2 Hallar la suma de todos los divisores primos de 644.

56

MATEMÁTICA


Solución

Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =22 7

23 entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32. Problema 3 ¿ Cuántos divisores pares tiene 252 ? Solución Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto ,de la descomposición del número en sus factores primos , extraeremos el factor 2 .

252 = 2 7322 = 2 732 2 entonces

CD pares = 111211 = 12

Problema 4 ¿Cuántos divisores impares tiene 360? Solución Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces de la descomposición de 360 en sus factores primos , vamos a eliminar el factor 2 elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que resulte serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 .

360 = 2 5323 = 23 ( 3

2 5) entonces la cantidad de divisores

impares será igual a la cantidad de divisores del número que está entre paréntesis . CD( 360 )

impares = (2+1)(1+1) = 6 .

Problema 5 ¿ Cuántos divisores impares tiene 1404 ? Solución

1404 = 22 3

3 13 = 2

2( 3

3 13 ) entonces CD

impares = (3+1)(1+1) = 8.

57

MATEMÁTICA


Problemas Propuestos 1. De las sgts afirmaciones :

I 3 es divisor de - 18 II - 4 es un divisor de 12 III 20 es un divisor de 5 IV 72 es un múltiplo de 9 V 4 es un múltiplo de 12 VI 8 no es múltiplo de cero ¿ Cuáles son falsas ? A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V D) II y III E) III , V y VI

2. Del sgt grupo de números : 53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71 ¿Cuál es la diferencia entre el mayor

y el menor número primo? A) 118 B) 134 C) 72 D)110

3. Calcular la suma de todos los numeros primos comprendidos

entre 40 y 50. A)84 B)90 C)93 D)131 E)120

4. Calcular la suma de todos los divisores primos de 120.

A) 3 B) 16 C) 10 D) 8 E)12

5. ¿Cuántos divisores no primos tiene 24?

A) 1 B) 2 C) 8 D) 6 E) 4

2.7 MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( MCD ) De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de los divisores comunes. Ejm. Hallar el MCD de 12 y 18 . D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18

58

MATEMÁTICA


El mayor de los divisores comunes es 6 , por lo tanto , el MCD = 6. Si hallamos los divisores del MCD , D(6): 1;2;3;6 , y justamente éstos son los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del MCD. Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del MCD de dichos números. Propiedades 1) El MCD está contenido en los números. 2) De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD. 2.8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( MCM ) De un grupo de números , el MCM , es el menor de los múltiplos comunes. Ejm. Hallar el MCM de 4 y 6 M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;….. M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,…………. Vemos que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 , por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 . Si hallamos los múltiplos del MCM , tendremos , M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , … que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos comunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos números . Métodos para calcular el MCD y MCM 1) Por descomposición simultanea.

Ejm. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24 18 - 24 2 18 - 24 2 9 12 3 9 12 3 3 4 3 4 3 1 4 4 1 1 mcd = 23= 6 mcm = 2334= 72

59

MATEMÁTICA


2) Por descomposición de los números en sus factores primos.

El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados a su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los factores primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente. Ejm. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60. Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene : 18 =

2x32

y 60 = 2 532 . Luego aplicamos la propiedad.

MCD = 2x3 = 6 y

MCM = 2 5232 = 180. 3) Por divisiones sucesivas Este método solo se aplicará para calcular el MCD de dos números. Ejm. Calcular el MCD de 144 y 56

MCD=8

Ejm. Calcular el MCD de 480 y 572 .

MCD = 4.

Propiedades 1) El producto de dos números es igual al producto de su MCM por su MCD . Ejm. Para los números 6 y 9 su MCD = 3 y su MCM = 18 entonces se cumple que 6 9 es igual que 3 x 18.

Cocientes 2 1 1 3

144 56 32 24 8

residuos 32 24 8 0

cocientes

1

5

4

1

1

2

572 480

92

20

12

8

4

residuos

92

20

12

8

4

0

60

MATEMÁTICA


2) Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igual al producto de dichos números .

Ejm. Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y su MCM = 4 x 9 = 36. 3) Si un número esta contenido dentro de otro entonces el MCD de

dichos números será el menor de los números. Ejm. Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el menor

de los números. 4) Si un grupo de números es multiplicado o dividido por una cantidad

entonces su MCD ó MCM también quedará multiplicado o dividido por esta misma cantidad .

Ejm. Para los números 8 ; 12 y 20 su MCD = 4 y su MCM = 120 . Si a

los números los dividimos entre 2 tendremos 4 ; 6 y 10 y su nuevo MCD será igual a 2 y su MCM = 60.

5) Si un número N es :

a0

N b0

c0

entonces N = mcm( a ; b ; c ) , ó si :

a0

r

N b0

r

c0

r

entonces N = mcm( a ; b ; c ) r Ejm. Si un número N es divisible por 2 ; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es divisible? Solución

Por propiedad , N = 0

)4;3;2(MCM = 0

12

61

MATEMÁTICA


Ejm.

¿Cuál es el menor número que es : 30

+2 ; 70

- 5 y 60

- 4 ? Solución Ese número N que buscamos, debe de ser :

03 + 2

N 70

- 5 = 70

+ 2

60

- 4 = 60

+ 2 Por lo tanto, por propiedad sabemos que :

N = 3;7;6mcm0

+ 2 = 420

+ 2 , como nos piden el menor valor, es que de

todos los múltiplos de 42 , elegimos a 42, por lo tanto, el menor número sería 44.

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 ¿Cuántos divisores comunes tienen : 14 , 28 y 42 ? Solución Por teoría, se sabe que la cantidad de divisores comunes de un grupo de números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos números . Por lo tanto , MCD ( 14 ; 28 ; 42 ) = 14 D ( 14 ) : 1 , 2 , 7 y 14 Entonces tendrán 4 divisores comunes . Problema 2 ¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se desea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ? Solución La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos para obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos comunes queremos el menor . Longitud del tubo = MCM( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm. Problema 3

62

MATEMÁTICA


¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para construir un cuadrado ? Solución Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado. X X De la figura, se observar que la medida de x debe ser un múltiplo común de 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes necesitamos el menor de todos porque queremos emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que : X = mcm(34 ; 18) = 306 La cantidad de losetas es igual a:

34306

x 18306

= 153

Problema 4 De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho ,se desea obtener el menor número de pedazos de forma cuadrada , sin que sobre material . ¿Cuántos pedazos se obtendrán ? Solución Sea X : longitud del lado del pedazo de forma cuadrada. 96 cm 72 cm Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe de ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad de pedazos entonces el valor de X debe de ser el mayor posible, por esto que : X = MCD(96;72) = 24 cm

34cm

18 cm

X

X

63

MATEMÁTICA


El número de pedazos que se obtendrán será :

# pedazos = 2496

x 2472

= 4 x 3 = 12

Problema 5 Tres ciclistas A , B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista circular con velocidades constantes . A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y medio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente , ¿Cuántas vueltas habrá dado el ciclista A ? Solución

Transformando las medidas a segundos A : 3 min = 180 s B : 3 min y medio = 210 s C : 4 min = 240 s El tiempo que debe transcurrir para que un ciclista vuelva a pasar nuevamente por el punto de partida será un múltiplo de los tiempos empleado en dar una vuelta . Para que los tres ciclistas vuelvan a pasar por el punto de partida , el tiempo a transcurrir será un múltiplo común de los 3 tiempos dados . # vueltas que habrá dado el

ciclista A = 1805040

= 28.

PARTIDA

64

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I 1. A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres y mujeres. De las

mujeres, se conoce que la sexta parte tiene cabello largo, los 3/8 usan aretes y que los 5/11 son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión? a) 118 b) 132 c) 136 d) 164 e) 220

2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 180 y 300? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

3. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M. sea 5148. a) 143 b) 396 c) 468 d) 684 e) 639

4. Si x2x.53N , tiene 15 divisores, hallar N. a) 2000 b) 2075 c) 3196 d) 2025 e) 2184

5. Si 5.412By12.45A nn , hallar “n” para que su MCM presente 90

divisores. a) 5 b) 2 c) 8 d) 6 e) 3

6. En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero

más de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12, siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno. ¿Cuántos alumnos eran? a) 600 b) 605 c) 660 d) 671 e) 796

7. En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y

de noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12 en 12 o de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18 en 18 no sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la noche? a) 20 b) 24 c) 32 d) 126 e) 36

8. El número de páginas de un libro esta comprendido entre 400 y 500. Si se

cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro? a) 417 b) 419 c) 420 d) 463 e) 472

9. ¿Cuál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar con tres

caños que vierten 24; 42 y 15 litros por minuto?

a) 420 l b) 480 l c) 640 l d) 840 l e) 960 l 10. ¿Cuál es el menor número de trozos que se puede obtener dividiendo 3

varillas de medidas: 540 cm; 480 cm y 360 cm, sin desperdiciar material? a) 60 b) 23 c) 24 d) 12 e) 30

65

MATEMÁTICA


11. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados de igual medida en que podemos dividir un terreno de forma rectangular cuyo largo mide 1680 m y su ancho 700 m? a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 90

12. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencia de 42 s y 54 s. Si a

las 20 h 15 min se encienden simultáneamente, ¿A qué hora volverán a encenderse nuevamente juntos? a) 21 h b) 20 h 21 s c) 21h 18 s d) 22 h e) 20 h 21 min 18s

13. Si tenemos que llenar 4 cilindros de 72; 24; 56 y 120 litros de capacidad,

¿Cuál es la máxima capacidad de un balde que permite llenarlos exactamente? a) 8 l b) 15 l c) 17 l d) 4,5 l e) 9 l

14. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son: 24 cm de largo, 12 cm de

ancho y 10 cm de altura. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para formar el menor cubo compacto? a) 600 b) 400 c) 550 d) 580 e) 500

15. Una caja mide 82 cm de largo, 46 cm de ancho y 32 cm de alto; esta caja

se quiere llenar de cajitas cúbicas y de la mayor arista posible, ¿Cuántas cajitas cúbicas entrarían? a) 30 176 b) 15 088 c) 16 745 d) 13 272 e) 15 176

16. ¿Cuál es la menor cantidad de losetas cuadradas, sin partir ninguna, se

necesita para cubrir un patio cuyo largo mide 744 cm y el ancho 528 cm? a) 745 b) 826 c) 682 d) 724 e) 842

PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II 1. Hallar la suma de las cifras del

menor número que tenga como divisores : 4 ; 9 y 12 .

A) 6 B) 8 C) 10 D)9 E) 5

Solución:

2. El MCM de dos números es 48 . Si el producto de los mismos es 864. ¿ Cuál es su MCD ?

A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 9

Solución:

3. Un número A es el triple de otro B y su MCD es igual a 27 . Hallar la suma de A mas B .

A)27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40

Solución:

66

MATEMÁTICA


4. El MCD de los números 36K ; 54K y 90K es 1620 . Hallar el menor de los números .

A) 900 B) 720 C)3 600 D)3 240 E) 2 400

Solución:

5. Se tiene 3 varillas de cobre cuyas longitudes son 3 780 ; 3 360 y 2 520 cm .

Se quiere dividirlas en trozos de igual medida y de la mayor longitud posible , ¿Cuántos cortes fueron necesarios hacer en la varilla de menor longitud

A) 6 B) 5 C) 4 D) 420 E) 8

Solución:

6. Calcular el menor número de cuadrados iguales en las que se puede dividir una plancha de madera rectangular de dimensiones 360 cm por 210 cm.

A) 30 B)19 C) 84 D) 48 E) 30

Solución:

7. Se quiere llenar 4 cilindros de capacidades : 50 ; 75 ; 100 y 80 litros respectivamente . ¿Cuál será la mayor capacidad que puede tener un balde de tal manera que pueda llenar los cilindros en una cantidad exacta de veces ?

A)10 lt B)5 lt C)8 lt D)25lt E) 12 lt

Solución:

8. Un terreno rectangular de medidas 255m por 225 m se quiere dividir en el menor número de parcelas cuadradas e iguales . Si se va a colocar una estaca en cada vértice de las parcelas , ¿Cuántas estacas se necesitarán?

A) 255 B) 288 C) 300 D) 260 E) 280

Solución:

67

MATEMÁTICA


9. Se tiene 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. Se desea envasarlas en la menor cantidad de bolsas y que contengan la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuántas bolsas más habrá de bombones que de chocolates?

A) 16 B) 6 C) 9 D) 25 E) 34

Solución:

10. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/ 525 y en otro S/ 810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuantos trabajadores hay en cada taller si el salario es el mayor posible?

A) 45 y 35 B) 54 y 53 C)15 y 35 D) 54 y 35 E) 30 y 40

Solución:

68

MATEMÁTICA


UNIDAD 03

NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES

69

MATEMÁTICA


3.0 FRACCION

3.1 FRACCIÓN: Elementos Se llama fracción a un número racional a/b donde: a Z, b Z, b 0, å b

- Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente de dos números enteros con denominador diferente de cero.

- Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o

fracción. - Toda fracción tiene 3 signos.

BA

BA

BA

BA

BA

BA

BA

BA

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad

S = 45

ba

Fracción = Numerador Denominador

S = 1/12

S = 103

S = ¼

70

MATEMÁTICA


Ejemplos Aplicativo: Del Grafico que se muestra: a) ¿Que fracción es la parte sombreada?

Fsombrada= Totalsombrada.Parte

Fsombrada= k8k3

= 83

b) ¿Que fracción es la parte no sombreada?

Fno sombrada= Total

sombrada.no.Parte Fno sombrada=

k8k5

= 85

c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada?

Fsombrada de la no sombrada = sombrada.no.Parte

sombrada.Parte Fsombrada=

k5k3

= 53

d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada?

Fno sombrada de la sombrada = sombrada.Parte

sombrada.no.Parte Fsombrada=

k3k5

= 35

3.2 CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES 1) POR COMPARACION DE SUS TERMINOS.

Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador. El valor de una fracción propia es menor que la unidad.

ba1ba

Ejemplos: ,...32,

2317,

75,

31

Fracción Impropia:. El numerador es mayor de que el

denominador. El valor de una fracción propia es mayor que la unidad.

k k

k k k

k

k k Parte sombreada = 3k

Parte no sombrada = 5k Total = 8k

denominador

denominador

71

MATEMÁTICA


ba1ba

Ejemplos: ,...3

11,9

14,34,

27

2) POR SUS DENOMINADORES.

Fracción Ordinaria ó común :: Es aquella cuyo denominador es diferente a una potencia de 10.

ba

= es ordinaria, si: b 10 n ,...2352,

2517,

75,

51

Fracción Decimal :Es aquella cuyo denominador es una potencia

de 10.

ba

= es decimal, si: b = 10 n ,...10000

57,1000

12,100

5,101

3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE

VARIAS FRACCIONES. Fracciones Homogéneas: Igual denominador.

,...32,

317,

35,

31

Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador.

,...31,

94,

54,

27

4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS. Fracción irreductible.

ba

= es irreducible, si a y b son PESI

Fracción reductible.

ba

= es reductible, si a y b tiene divisores comunes a parte de la

unidad.

5) Fracción Equivalente

Son aquellas fracciones que tiene el mismo valor pero su términos son diferentes. Su representación gráfica es por ejemplo:

72

MATEMÁTICA


3.3 CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO Y

DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA

De Fracción a número mixto:

ba

= bpn ; donde ; p < b

Ejemplo: convertir 517

a número mixto

Primero Dividimos 17 entre 5

De un número mixto a fracción:

nb

pbn

b

p

. =

ba

(Fracción Impropia) ; p < b

Ejemplo: convertir 523 a fracción.

2

1 42

63

84

17 5

2 3 Parte Entera

denominador

numerador 523

x

= +

523

517

73

MATEMÁTICA


3.4 MCM y MCD de fracciones

MCD );;(

);;(;;fdbMCM

ecaMCD

f

e

d

c

b

a

MCM );;();;(;;

fdbMCD

ecaMCM

f

e

d

c

b

a

Nota: donde las fracciones

fe;

dc;

ba

, deben ser fracciones irreductible “si

no lo son, se tienen que simplificar”. Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20 1º Simplificamos 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles, obtenemos 2/7 y 3/4. 2º Hallamos el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas:

MCD 281

)4;7(MCM)3;2(MCD

43;

72

MCM 616

)4;7(MCD)3;2(MCM

43;

72

3.5 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez, IRREDUCTIBLE. Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos (numerador y denominador) se dividen entre su MCD. Ejemplo: ¿Simplificar la fracción 24 / 180?

74

MATEMÁTICA


Solución: 1º Forma: Dividimos sucesivamente los términos de la fracción por los divisores comunes hasta lograr una fracción irreducible. Pasos.- Dividimos ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3. 2º Forma: Dividimos al numerador y denominador entre su MCD:

152

121801224

)180;24(MCD180)180;24(MCD24

18024

3.5.1 PROPIEDADES

Propiedad 1:

Ejemplo:

Simplificar: 777333

777333 =

73

Porque: 777333 =

11171113

=

73

Propiedad 2 :

Ejemplo:

Simplificar: 37371212

37371212 =

3712

18024

12

90

6

45

2

2

15

= 15

ba

bbbaaa

cdab

cdcdabab

75

MATEMÁTICA


Porque: 37371212 =

1013710112

; se elimina 101 y queda

3712

3.6 FRACCIONES EQUIVALENTES Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.

....208

3012

104

52

....3,2,1k,bkak

ba

donde

3.7 HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DE FRACCIONES

Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:

1.- Se reducen a su más simple expresión. 2.- Se calcula el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores. 3.- Se divide el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica con cada numerador correspondiente.

Ejemplo: Homogenizar los denominadores de las fracciones: 64

; 105

; 86

Solución: Para homogenizarlos, reducimos dichas fracciones a su más simple expresión, veamos:

64

; 105

; 86

; < > 32

; 21

;43

Ahora, calculamos el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12. Luego, dividimos el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de cada uno lo multiplicamos por sus numeradores correspondiente, obteniendo:

128

; 126

; 129

Esquemáticamente:

129

; 126

; 128

43

; 21

; 32

MCM (3, 2, 4 ) = 12

76

MATEMÁTICA


3.8 COMPARACIÓN DE FRACCIONES Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción

positiva y menor la fracción negativa.

Ejemplo: 72

> 2

3

Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será

mayor el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor numerador.

Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: 3

1 ;

3

8 ;

3

7 ;

3

2

Solución: Ordenando de menor a mayor obtenemos: 38

; 37

; 32

; 31

Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será

mayor el que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor denominador.

Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: 13

7 ;

9

7 ;

2

7 ;

3

7

Solución: Ordenando de menor a mayor obtenemos: 2

7 ;

3

7 ;

9

7 ;

13

7

Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se

procederá a homogenizar los denominadores y se luego se procederá como en el caso anterior.

Ejemplo : Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones: 6

5 ;

9

1 ;

2

3 ;

3

7

Solución: Primero Homogenizamos denominadores (MCM)

MCM (3, 2, 9, 6) = 18 65

; 91

; 23

; 37

1815

; 1881

; 1827

; 1842

Fracciones Equivalentes

Fracciones Homogéneas

77

MATEMÁTICA


Ordenando de menor a mayor obtenemos:

1881

; 1842

; 1827

; 1815

que son las fracciones equivalentes a

91

; 37

; 23

; 65

respectivamente.

Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá realizando el producto cruzado. Y se compara los productos obtenidos.

Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:9

7 y

8

5

Solución:

Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:85

y 54

Solución:

EJERCICIOS nivel I

Vamos a efectuar algunos ejercicios sobre lo que aprendió de fracciones 1. Complete

24

83

h. 32

41

g. 12

163

f. 128

85

163

d. 81

c. 32

85

b.

.e

648

1612

43.a

2. Reduzca a un mismo denominador (homogenizar denominadores)

Respuesta 4

1 ;

16

5 ;

Respuesta 4

3 ;

Respuesta 8

5 ;

83.c

21.b

85;

82

41.a

85

97

56 45 >Entonces

85

97 >

25 32 <Entonces

< 85

54

85

54

78

MATEMÁTICA


3. Complete los espacios vacíos adecuadamente: a) Dadas varias fracciones de igual denominador es mayor la que

tiene…...................... …......... numerador

b) Dadas varias fracciones de igual numerador, es mayor la que tiene…........................ …......denominador

4. Coloque los signos > ó < como en los ejemplos: a. 5/8 < 7/8 b. 3/8 1/ 8 c. 3/4 5/4 d. 1/4 5/4

e. 3/7 < 3/5 f. 1/2 1/3 g. 2/5 > 2/7 h. 4/5 4/6 5. Reduzca a un mismo denominador las siguientes fracciones; y las coloca

en el orden solicitado:

3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8 --- < ---- < ----- ---- (Orden Creciente)

4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4 --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente)

6. Complete los espacios en blanco:

a. Simplificar una fracción es encontrar otra cuyos términos

sean…................................. que los de la primera.

b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo

número diferente de cero y diferente de

….................................................................

c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción

…...................... ser simplificada

d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador

posible …...........................................

e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número,

son llamadas fracciones …............................................

79

MATEMÁTICA


A continuación puede comparar sus respuestas, no copie por favor, trate de hacer sus ejercicios por si solo. De esto depende mucho el éxito de aprendizaje.

4. b. > c < d. < f. < h. >

5. a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16 R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4

b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60 R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12

6. a. más simples b. uno. c. no puede d. 63 e. equivalentes

¿Vamos a trabajar un poco más? ¡Avance!

7. Reduzca a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar):

4

2=

128 96

= 64

48=

16 8

= 15

12=

128

120=

32 24=

20 15=

9 6

= 128

100=

32

4 =

18 15=

8 40

= 64

60=

100 25

=

8. Coloque falso (F) o verdadero (V)

a. 4/5 > 3/5 ( ) b. 3 > 15/3 ( ) c. 2/5 < 3/7 ( ) d 1/3 < 34/72 ( ) e. 2/5 > 2/7 ( ) d. 7/8 > 6/7 ( )

9. Complete las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco elementos

(cinco fracciones equivalentes):

a. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12 b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----- c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----- d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----

80

MATEMÁTICA


Trata de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes: 7. =1/2 = 3/4 = 3/4 =1/2 = 4/5 =60/64 =3/4 = 3/4 = 2/3 =25/32 = 1/8 =5/6 =5 = 15/16 = ¼ 8. a. (V) b. (F) c. (V) d. (V) e . (V) 9. a) 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12

b) 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 12/18

c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32 = 15/40 = 18/48

d) 3/4 = 6/8 = 9/12 = 12/16 = 15/20 = 18/24

Continúe, siga adelante 10. Marque con (X) las fracciones irreductibles:

2/3 ( X ) 3/5 ( ) 4/8 ( ) 4/6 ( ) 7/8 ( ) 5/6 ( X ) 1/3 ( ) 6/2 ( ) 4/12 ( ) 9/10( )

81

MATEMÁTICA


EJERCICIOS PROPUESTOS nivel II

1. Distribuya en el cuadro las fracciones en orden creciente: a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64 b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16 c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128 a b c

solución

2. Al simplificar una fracción obtuvimos 1/7. Sabiendo que la suma de los términos es 40, Calcular la diferencia de los mismos. A.30 B.15 C.8 D.1 E.13

solución

3. ¿Cuántas fracciones propias tienen denominador 32 y son mayores que 1/6 ¿ A.3 B.15 C 2 D. 4 E.13

solución

4. ¿Cuántas son las fracciones irreductibles con denominador 10 comprendidos entre 1/2 y 4/3 ¿ A.30 B.5 C 8 D. 4 E.13

solución

5. ¿Cuántas fracciones propias y irreductibles de denominador 720 existen? A.192 B.13 C.24 D.15 E.2

solución

6. ¿Qué fracción representa el área no sombreada ¿ A. 5/7 B.3/4 C.4/7 D.3 E.1/4

solución

82

MATEMÁTICA


7. Simplificar las fracciones: 9240 / 6930 y 4158 / 43 68

Rpta: 4/3 99/104

solución

8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba; en un banco; 2/9 del resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¡ Cuántas cartas le dieron para repartir ? A. 10 B.108 C.23 D.25 E.19

solución

9. Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes. Si sacara 2100 litros quedará llena hasta sus 3/8 ¿Cuánto falta para llenarla? A. 2400 B.2700 C.234D.1235 E. 1300

solución

10. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros de mezcla ¿Cuántos litros de leche salen? A.13 B. 15 C. 10 D.14 E.5

solución

11. ¿Qué fracción representa el área sombreada en el cuadrado?

A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3

solución

83

MATEMÁTICA


12. En el cuadrado hallar la fracción que representa el área no sombreada

A. 2/7 B. 3/4 C. 1/2 D. 2/5 E. 2/3

solución

13. ¿Cuántas fracciones irreductibles de denominador 77 hay entre 4/7 y 5/11?

A. 7 B. 8 C.0 D. 5 E.3

solución

14. Hallar un número tal que aumentado en sus 3/8, se obtenga 440. Dar como respuesta los 5/8 del número. A. 23 B. 200 C. 26 D. 62 E, 12

solución

15. En la siguiente figura ABCD es un cuadrado ¿Qué fracción de ABCD representa la región sombreada? A. 3/16 B. 3/15 C.2/7 D.3/17 E.1/5

solución

84

MATEMÁTICA


UNIDAD 04

FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

85

MATEMÁTICA


4.1 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES: A) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA Observa el siguiente gráfico: Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los

numeradores y se escribe el mismo denominador: Ejemplo:

Efectuar : 139

1337258

133

137

132

135

138

Si son números mixtos operamos la parte entera y después la parte fraccionaria. Ejemplo:

Efectuar : 1317

135271483

1354

132

1378

1313

B) ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca transformarlas a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo denominador y se procede de la forma anteriormente vista. Consideraremos los siguientes casos: 1.- DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS. Ejemplo 1: Efectuar

La parte sombreada es:

64

63

61

63

61

bdca

bd

bc

ba

c

gebfdacgf

ced

cba

Multiplicar por un factor a ambos términos de la fracción, tal que los denominadores sean iguales.

81

8643

86

84

83

2423

4241

83

43

21

83

86

MATEMÁTICA


Ejemplo 2: Efectuar

1228

1214115

1214

121

1215

2627

121

3435

67

121

45

2.- MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Seguiremos el siguiente procedimiento: Primero: Hallamos el mcm de los denominadores y lo escribimos como DENOMINADOR del resultado. Segundo: dividimos el mcm por cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador; luego efectuamos la suma de estos resultados. Ejemplo 1: Efectuar 3.- REGLA DE PRODUCTO CRUZADO. Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños. Ejemplo 1: Efectuar Ejemplo 2: Efectuar

EJERCICIO Es necesario que ejercites lo aprendido hasta este momento, para ello tendrás que resolver estos ejercicios que se te muestra, asume este reto, tú si eres capaz de resolverlos correctamente, ¡Vamos!, continuemos… I. Resuelve con el método de “Denominadores múltiplos de otros”

a) 12

567

b) 10

360

7

c) 31

52

4541

d) 16

785

43

21

¡Fracciones Equivalentes!

2413

240130

240569096

307

83

52

MCM(5;8;30) = 240

=

402524

855583

85

53

173

72

72

173

34 21

11913

87

MATEMÁTICA


II. Resuelve con el método de “Mínimo Común Múltiplo”

a) 54

41

21

103

b) 51

41

31

21

c) 87

65

43

II. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”

a) 32

95

b) 53

35

c) 29

75

d) 31

21

e) 21

83

f) 121

131

4.2 OPERACIONES COMBINADAS DE ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES: Se tiene que tener en cuenta que primero resolveremos las operaciones que se encuentran al interior de los signos de agrupación. Ejemplo: resolver la siguiente operación: También podemos resolver eliminando primero los signos de agrupación.

6087

602012153040

31

51

41

21

32

31

51

41

21

32

31

51

41

21

32

6087

6047

32

31

201

21

32

31

51

41

21

32

88

MATEMÁTICA


EJERCICIO Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.

1.

51

21

51

72

61

=

2.

23

521

32

612

513 =

3.

711

25

31

212

711 =

4.

65

21

43

83

65

31

=

5.

2

43

752

75

21

=

4.3 MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACION DE FRACCIONES: Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los

denominadores entre sí.

dbca

dc

ba

Ejemplos:

a) 6310

7925

72

95

b)

352

7109362

73

106

92

3

3 5

89

MATEMÁTICA


Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los términos de la fracción, al exponente indicado.

n

nn

ba

ba

Ejemplos:

a) 494

72

72

2

22

b)

811

31

31

4

44

EJERCICIO

1. Escriba en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican x

53 4

1 75 3

2 94

21

57

76 7

4

21

2. Multiplicar:

a) 5312 =

3355

37

b) 3254 c)

511

413

d) 415

32

e) 212

53

f) 311

211

3. Escribe en los casilleros en blanco las potencias indicadas

n

ba

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

21

81

23

52

53

90

MATEMÁTICA


4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que nos indica que debemos multiplicar, teniendo en cuenta este criterio resuelva UD. Los siguientes problemas

a) Hallar los 3/5 de 20 b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24?

c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2 de 400 soles?

d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45 kg?.

e) ¿Los 3/5 de que número es 120?

f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3 de que número?

4.4 DIVISIÓN DE FRACCIONES Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción divisor

invertida. Ejemplo:

a) 98

3342

34

32

43

52

b) 21

14337

143

37

314

312

Una división de fracciones también se puede presenta como una fracción de

fracción:

cbda

dcba

Ejemplo:

a) 167

22437

32

247

b)

57

12047

4120

7

cbda

cd

ba

dc

ba

Fracción inversa

Producto de extremos

Producto de medios

91

MATEMÁTICA


EJERCICIO

1. Escriba en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican

53 4

1 75 3

2 94

21

57

76 7

9

2. Escriba la expresión más simple equivalente a:

a)

41

31

21

= b)

2314

52

43

41

51

c)

241

31

21

41

d)

307

21

31

52

=

e)

2831

356

519

73

710

52

= f) 3

212

311

1141

21

71

=

4.5 RADICACIÓN DE FRACCIONES: Para extraer una raíz a una fracción, se le extrae la raíz indicada a cada término de la fracción.

n

nn

ba

ba

Ejemplo:

a) 51

1251

1251

3

33 b)

118

12164

12164

92

MATEMÁTICA


EJERCICIO

1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas

fracciones dadas.

a) 2516

2

b)

91

2

c)

2536

2

d) 6449

2

e)

814

2

f)

49100

2

g) 100

12

h)

8116

2

i)

12125

2

2. Hallar la raíz en cada caso:

a) 3827

b) 381

c) 31000

8

d) 2516

e) 524332

f) 462516

g) 4936

h) 312527

i) 41000

81

4.6 OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES

1. 2

4161

103

37

61

56

=

2.

3

31

1

51

13

11

211

911

=

93

MATEMÁTICA


3. 7

1411

135

21

121

81

81

612

31

21

=

4.

61

41

31

21

811

=

5. 1

5693

21

61

41

37

43

21

43

=

6.

5

731

531

321

521

=

7.

211

91

3625

781

716

Comprueba tus respuestas:

Pregunta Nº 1 2 3 4 5 6 7

Respuesta 1 -4 1 4 1 1 85

94

MATEMÁTICA


PROBLEMAS APLICATIVOS

Muy bien ahora PRESTE ATENCIÓN! La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que equivalía a la longitud de un pulgar. Equivalencia:

1 pulgada = 2,54 cm.

1 pulgada = 25,4 mm

1 pie = 12 pulgadas

1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas Ejemplo:

8"73 Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada.

Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie. 32 Representa dos pies y 3 pulgadas

La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro país principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso industrial. GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS

Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8; 16; … 2n, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128 divisiones (27= 128)

1” representa una PULGADA

1´ representa un PIE

Si dividimos a la una pulgada en dos partes iguales, cada parte es 1/2 pulgada

Si dividimos a la una pulgada en cuatro partes iguales, cada parte es 1/4 pulgada

Si dividimos a la una pulgada en ocho partes iguales, cada parte es 1/8 pulgada

95

MATEMÁTICA


A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la pulgada, pie, yarda. Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla esta graduada en pulgadas.

Si dividimos a la una pulgada en dieciséis partes iguales, cada parte es 1/16 pulgada

Si dividimos a la una pulgada en treinta y dos partes iguales, cada parte es 1/32 pulgada

96

MATEMÁTICA


Escriba UD en el siguiente cuadro las lecturas realizadas

Lec

tura

Lec

tura

Lec

tura

Lec

tura

Lec

tura

Lec

tura

Lec

tura

871

Realice UD. Las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas:

a) + - =

b) x = 10 07

03 02 01

01 02 03 04 05 06 07

08 09 10 11 12 13 14

97

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I-A Continuemos con los ejercicios: 1. Determine la cota “Y” en la pieza representada.

2. Calcule “X” en la pieza. 3. Determine la longitud C del tornillo, dibujado.

a) 6 1611 ”

b) 5 321 ”

c) 163 ”

d) 6”

a) 1749 ”

b) 1617 ”

c) 3161

“

d) 4614

”

a) 43231 ”

b) 33231 ”

c) 6412 ”

d) 33213 ”

98

MATEMÁTICA


4. ¿Cuánto mide el diámetro externo de la arandela? 5. Complete el cuadro conforme las indicaciones del dibujo.

d c D

1” 8"5

4"3

32

"15

64

"35

32311

16"1

649

6. Un agujero de diámetro 8"7

debe ser agrandado en 32

"5 más. ¿Cuál será el

nuevo diámetro?

a) 1 324 ” b) 1 32

1 ” c) 2” d) 2 641 ” e) 3/4”

a) 1 85 ”

b) 1 73 ”

c) 2 53 ”

d) 1”

99

MATEMÁTICA


7. Una barra de bronce tiene 2"132 de longitud, de la cuál cuatro pedazos miden,

respectivamente 2"16 ,

16"138 ,

16"910 y

4"15 . Despreciando por pérdida de corte,

¿Calcule que pedazo de la barra fue utilizado?

a) 3181 ” b) 31

52 ” c) 31

161 ” d) 3

81 ” e)

81 ”

8. Una barra de hierro mide 2632

"25, si lo dividimos en partes iguales de 2

32"1

y

perdemos en cada corte 32"1

¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

9. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾” , se necesita obtener 18 trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)

a) 1¾” b) 1½” c) 22½” d) 2” e) 1¼” Calcule la medida del diámetro interno de la arandela, representada. 10. Determine las dimensiones A, B, C, y D , dar como respuesta A + B + C - D

a) 41 ”

b) 31 ”

c) 72 ”

d) 1/2”

a) 3”

b) 2”

c) 1”

d) 4”

e) 5”

100

MATEMÁTICA


11. Una barra de cobre mide 2632

"25, si lo dividimos en partes iguales de 2

32"1

y

perdemos en cada corte 32"1

¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta

material? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18 12. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾” , se necesita obtener 18

trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)

a) 1¾” b) 1½” c) 2½” d) 2” e) 1¼”

13. Divida una barra de aluminio 8"110 en 5 partes iguales perdiendo en cada corte

321

“¿Qué longitud tendrá cada parte?

a) 1 327 ” b) 1” c) 2 32

5 ” d) 167 ” e) 4

3 ”

14. Calcular la distancia X, en la siguiente plancha:

Nota: Por lo general, al interior de al interior de las máquinas, motores, piezas, etc., los agujeros son equidistantes y simétricos.

a) 12 41 ”

b) 13 41 ”

c) 12 21 ”

d) 12 81 ”

101

MATEMÁTICA


15. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes: 16. Calcular “a” en la siguiente placa

17. La longitud de la circunferencia puede se calculada, aproximadamente,

multiplicando su diámetro por ( = 3.14 = 713 ). Siendo así, complete el cuadro

de la página siguiente, conforme el ejemplo.

Lc = D Donde: r : radio de la circunferencia D : Diámetro de la circunferencia

722

3,14 Lc = r2 .

a) 19 ½”

b) 13”

c) 14”

d) 13 ¼”

e) 7 1/8”

a) 2 1/64”

b) 2 1/32”

c) 2 3/64”

d) 3 ½”

e) 3 1/64”

102

MATEMÁTICA


DIÁMETRO CÁLCULOS LONGITUD

DE CIRCUNFERENCIA

213

"

11722

27

713

213

"

11”

811

"

767

1pie 2pulg

18. Complete el cuadro, usando:

Lc = D D = 2.r LC = Longitud de

circunferencia Cálculos D = diámetro r = radio

435

"

88731

88161

227

423

713:

435

"

x 88731

"

176161"

212

"

6515

"

43"

41"

“Al dar una vuelta la rueda, esta se desplaza aproximadamente 3.14 veces la longitud del diámetro, sobre una superficie recta.”

D

LC

La circunferencia ha girado una vuelta completa

103

MATEMÁTICA


19. ¿cuántas vueltas tendrá que girar una rueda, para recorrer 19,80 m, si el radio de la rueda es de 21 cm?

Fórmula:

Distancia recorrida = Numero de vueltas x Longitud de la circunferencia a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 5 20. Las resistencias de una conexión en paralelo son R1 = 15 ohmios, R2 = 12

ohmios, R3 = 9 ohmios. Calcule la resistencia total.

a) 34729

b) 34739

c) 1 d) 4739

e) 44739

Fórmula: n321t R

1R1

R1

R1

R1

. . .

21. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas ½; 1/3 y 1/4 de lo que le iba

quedando, ¿Con cuánto se queda? Solución:

30234

1202312021

32

43

Se tiene al inicio Se pierde 1/2 queda 1/2 Se pierde 1/3 queda 2/3 La respuesta se quedó con S/. 30

Se pierde 1/4 queda 3/4

Donde: Rt: Resistencia Total

R1 = 15

R1 = 12

R1 = 9

A B

104

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I-B

105

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II 1. Dos tercios de los docentes de nuestro instituto son mujeres. Doce de los

instructores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de docentes? a)70 b) 120 c) 60 d) 56 e) 90

2. Al tesorero de una sección de 1° grado le falta 1/9 del dinero que se le confió.

¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido? a)1/8 b) 1/3 c)1/6 d)1/7 e)1/9

3. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco más

dos hojas; si después de tres días consecutivos le quedan aun 18 hojas en blanco, ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona? a)56 b)57 c) 55 d) 54 e) 75

4. Cada vez que un profesor entra al salón deja la mitad de las hojas que posee y 8

hojas más. Si entra sucesivamente a 3 salones y al final se queda con 61 hojas, ¿Cuál es la cantidad de hojas que tenía al entrar al primer salón? a)800 b)500 c)600 d)400 e)700

5. De los dos caños que fluyen a un tanque, uno sólo lo puede llenar en 6 horas, y

el otro sólo lo puede llenar en 8 horas. Si abrimos los dos caños a la vez, estando el tanque vacío, ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque? a)3 1/7 h b)3 2/7 h c)3 3/7 h d) 2 ½ h e) 1 ¾ h

6. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12 horas

y la segunda en 4 horas; estando lleno el desagüe lo vacía en 6 horas, ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren las tres llaves a la vez? a)8h b) 7h c) 6h d) 5h e) 4h

7. Una pelota pierde un quinto de su altura en cada rebote que da. Si se deja caer

desde 1,25 m de altura ¿qué altura alcanzará después del tercer rebote? a)50cm b)64 cm c)24cm d)62cm e)72 cm

8. Si dejamos caer una pelota desde cierta altura, ¿Cuál es esta altura, sabiendo

que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada rebote se eleva 2/3 de la altura anterior? a)81cm b)162cm c)324cm d)62cm e)72cm

9. ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18 para obtener 3 1/3?

a)5 1/5 b)5 7/9 c)5 2/5 d)5 1/9 e)5 1/3 10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿Cuánto me deben?

a)S/80 b)S/100 c)S/120 d)S/140 e)S/125

106

MATEMÁTICA


11. Se llena un recipiente de 3 litros con 2 litros de alcohol y el resto con agua. Se utiliza una tercera parte de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se utiliza la cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Cuánto de alcohol queda en el recipiente? a)7/12 litro b)1 c)2/3 d)nada e)1/2

12. En una mezcla alcohólica de 20 litros de alcohol con 10 litros de agua, se extrae

15 litros de la mezcla y se reemplaza por agua, luego se extrae 6 litros de la nueva mezcla y se vuelve a reemplazar por agua. ¿Cuántos litros de alcohol queda al final?

a)8 b)10 c)9 d)5 e)6 13. Un comerciante compró un cierto número de computadoras y el precio que pagó

por c/u era la cuarta parte del número de computadoras que compró. Si gastó S/ 30976.00 ¿Cuántos computadoras compró? a)176 b) 88 c) 253 d) 352 e) 264

14. Una barril con cal pesa 3720 kg, cuando contiene 5/8 de su capacidad pesa

95/124 del peso anterior. Hallar el peso de la barril vacía? a)2100 b) 1400 c)1000 d)7000 e)2400

107

MATEMÁTICA


UNIDAD 05

NÚMEROS DECIMALES

108

MATEMÁTICA


5.1 NÚMERO DECIMAL

Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se obtiene al

dividir el numerador por el denominador.

Ejemplos:

(1) 37508

3 , Resulta de Dividir 3 entre 8

(2) .....,44409

4 Resulta de Dividir 4 entre 9

(3) ....,233030

7 Resulta de Dividir 7 entre 30

5.2 TABLERO POSICIONAL DE CIFRAS DE UN NÚMERO DECIMAL

PARTE ENTERA PARTE DECIMAL

Cen

tena

s de

Mill

ar

Dec

enas

de

Mill

ar

Uni

dade

s de

Mill

ar

Cen

tena

s

Dec

ena

s

Uni

dad

es

déci

mos

cent

ésim

os

milé

sim

os

Déc

imos

de

milé

sim

os

o di

ezm

ilési

mos

Cen

tési

mos

de

milé

sim

os

o ci

enm

ilési

mos

Mill

onés

imo

7 1 , 0 7 3 9

La parte decimal tiene las siguientes ordenes, contadas de izquierda a derecha a

partir del coma decimal:

1° Orden decimal décimos

2° Orden decimal centésimos

3° Orden decimal milésimos

etc.

109

MATEMÁTICA


5.3 LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES

La lectura de un número decimal, se efectúa del siguiente modo: Usted lee la

parte entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte

decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra.

Los ejemplos siguientes esclarecerán como hacer la lectura de un número

decimal. Complételos:

a) 12,7 doce enteros y siete décimos o doce unidades y siete décimos

b) 3,125 tres ......................... y ciento veinticinco .......................................

c) 0,000 4 ........................ diez milésimos

d) 3,1416 ..................y mil cuatrocientos ...................... décimos de milésimos

e) 8,30 ocho ......................... y....................................................................

f) 12,005 ...........................................................................................................

5.3.1 ESCRITURA DE UN NÚMERO DECIMAL

Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte

decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el orden que le corresponde.

Observemos los ejemplos:

(1) Quince enteros y veintiséis milésimos : 15,26

(2) Seis enteros y veintitrés diez milésimos : 6,002 3

Cuando no hay parte entera, ésta se representa por cero (0).

(1) 12 milésimos : 0,012

(2) 50 millonésimo : 0,000 050

Complete:

(1) Quince enteros y seis centésimos : .............................................

(2) Cuatro centésimos : .............................................

(3) Tres enteros y veinte centésimos de milésimos : ........................

(4) Veinticinco milésimos : ..............................................

110

MATEMÁTICA


Escriba como se lee, observando el ejemplo y asocie las UNIDADES.

(1) 3,7 chapas ................ 3 chapas y 7 décimos (de chapas)

(2) 0,50 soles ........................................................................

(3) 5,4 metros ........................................................................

(4) 2,5 pulgadas ....................................................................

(5) 3,175 centímetros ............................................................

(6) 8,0025 segundos .............................................................

Observe como se puede resolver los siguientes problemas:

(1) ¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos ? Representación

Literaria

1000

x =

100

54 Representación

matemática

Despejando “x” : x = 540 “Rpta: hay 540 milésimos en 54 centésimos”

(2) ¿Cuántos centésimos de décimos hay en 20000 diezmilésimos de

centésimos?

100

x .

10

1 =

10000

20000 .

100

1

x = 20

Rpta: Existen 20 centésimos de décimos en 20000 diezmilésimos de

centésimos.

(3) ¿Cuántos milésimos hay en 2,4 centésimos

111

MATEMÁTICA


(4) ¿Cuántos cienmillonésimos de centésimos hay en 4,52

diezmilésimos?

(5) ¿Cuántos décimos de centésimos de milésimos hay en 240000

diezmillonésimos de milésimo?

5.4 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DECIMALES

1º. Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime CEROS

A SU DERECHA ..

Ejemplos:4,8 = 4,80

(1) 4,8 = 4,800 000 0

(2) 312,240 000 00 = 312,24

(3) 7,500 0 = 7,50

2º. Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o más

lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad seguida

de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal.

Ejemplos:

(1) 0,253 100

3252530

,,

210

3252530

,,

2103252530 ,,

2 lugares

Potencia de 10 con exponente negativo

2 lugares

112

MATEMÁTICA


(2) 0,000002 10000

0200000020

,,

410

0200000020

,,

4100200000020 ,,

(3) 0,0075 = 41075

Ahora tú puedes convertir a simple vista, cualquier número decimal en un número

entero multiplicado por una potencia de diez con exponente negativo: ¡Demuestra

completando lo siguientes ejercicios!:

(1) 0,007 = 7 x 10.....

(2) 0,00016 = 16 x 10.....

(3) 0,000064 = 64 x 10.....

(4) 0,0025 = 250 x 10.....

(5) 0,06 = 6000 x 10.....

3º. Si a un número decimal, le corremos el coma decimal a la izquierda uno o

más lugares, para que su valor no se altere, debemos multiplicar por la unidad

seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.

Ejemplos:

(1) 70002,5 = 10000000257 ,

= 410000257 ,

4 lugares

Potencia de 10

4 lugares

4 lugares Potencia de 10

4 lugares

4 lugares

Potencia de 10 con exponente positivo

4 lugares

113

MATEMÁTICA


(2) 2000 = 10002

= 3102

(3) 50000000 = 61050

Ahora practica completando los siguientes ejercicios a simple vista:

(1) 8302,5 = 83,025 x 10.....

(2) 160,5 = 0,1605 x 10.....

(3) 6400000000= 6,4 x 10.....

(4) 25000000000 = 25 x 10.....

(5) 3200000000000 = 32 x 10.....

5.5 COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

1º. Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo

negativo sin mayor discusión por su ubicación en la recta numérica.

Ejemplo:

Entre los números –16,257 y +2,3 es menor el primero por ser negativo.

2º. Si dos números decimales son de igual signo, se procede del siguiente modo:

se iguala el número decimal con ceros, para luego eliminar la coma decimal y

comparar como si fueran números enteros.

Ejemplos:

(1) Comparar 3,2 con 3,574

Como el primer número tiene solo un decimal, le agregamos DOS CEROS

para que ambos números dados tengan tres decimales cada uno:

3,200 3,574

3 lugares

Potencia de 10 con exponente positivo

3 lugares

6 lugares

114 114

MATEMÁTICA


Ahora eliminamos la coma decimal en ambos números:

3 200 3 574

Como 3200 es menor que 3574, entonces:

3,2 3,574

(2) Comparar -2,31 con - 2,310 000

Por propiedad de números decimales, podemos suprimir ceros a la derecha

del segundo número dado:

Entonces ambos números quedarán así:

-2,31 = -2,31

5.6 CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

NÚMERO DECIMAL EXACTO:

Es aquel número que tiene una cantidad limitada de cifras decimales.

Ejemplos: 0,25 ; 2,75 ; 1,2

NÚMERO DECIMAL

NÚMERO DECIMALRACIONAL

PERIÓDICO PURO

PERIÓDICO MIXTO

NÚMERO DECIMAL IRRACIONAL .-

NÚMERO DECIMALEXACTO

NÚMERO DECIMAL INEXACTO

(Se pueden escribir como Fracción; tienen Generatriz)

(tienen Período)

Números decimales inexactos que no tienen período; resultan de las raíces inexactas.

Ejemplo : 2 = 1,414213562373095 . . . .

= 3,1415926535897932 . . .

115

MATEMÁTICA


- Una fracción da lugar a un NÚMERO DECIMAL EXACTO si en el

denominador aparecen sólo factores que son potencias de 2 ó de 5

ó de ambos (la fracción tiene que ser irreductible)

Ejemplos:

(1) La fracción 32

17 ¿Equivale a un número decimal exacto?

La fracción debe ser irreductible 32

17

Descomponemos el denominador : 52

17

32

17

Entonces 32

17 da origen a un número decimal exacto:

32

17 = 0,53125

(2) La fracción 375



8

375

24


8

125

8

Entonces 375


375

24 = 0,064

(3) La fracción 80



13


13

80

134

Entonces 80


80

13 = 0,1625

¿Podemos saber cuántas cifras decimales tendrá el número

decimal resultante antes de efectuar la división?

Sí; bastará con saber cuál es el mayor exponente de 2 ó 5 en el

denominador de la fracción irreductible.

Potencia de 2

Potencia de 5

Potencia de 2 y 5

116

MATEMÁTICA


Ejemplo:


13

80

134

Entonces 8013

al convertirlo en número decimal, tendrá solamente 4

cifras decimales. ¡Ahora tú comprueba la siguiente Fracción5002071

!

¿Y bien .... Sí cumple?

NÚMERO DECIMAL INEXACTO:

Es aquel número que tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales.

A. DECIMAL PERÍÒDICO PURO :

Es aquel en cuya parte decimal aparece una o un grupo de cifras llamado

período que se repite indefinidamente a partir de la coma decimal.

Ejemplo : 0,27272...... = 0,27

¿Cómo podemos saber si una fracción puede ser representada por un

DECIMAL PERIÓDICO PURO?

1º. Simplificamos la fracción hasta que sea Irreductible.

2º. Descomponemos el denominador en sus factores primos.

3º. El número decimal correspondiente será periódico puro si los factores

del denominador son distintos a 2 y 5.

Por Ejemplo: 1/7 ; 2/3 ; 5/63

B. DECIMAL PERIÒDICO MIXTO :

Es aquel cuyo período empieza luego de una cifra o grupo de cifras después

del coma decimal. A esta cifra o grupo de cifras le llamamos parte no

periódica.

Ejemplo: 0,7312512512........ = 0,73125

¿Cómo podemos saber si una fracción puede ser representada por un

DECIMAL PERIÓDICO PURO?

Potencia de 2 y 5 El mayor exponente es 4

PERIODO (2 cifras)

Parte No Periódica Parte Periódica

117

MATEMÁTICA


1º. Simplificamos la fracción hasta que sea Irreductible.

2º. Descomponemos el denominador en sus factores primos.

3º. El número decimal correspondiente será periódico mixto si los factores

del denominador son 2 ó 5 ó ambos, además de otros factores primos

distintos de 2 y 5.

Por Ejemplo: 2/15 ; 6/35 ; 5/24

5.7 GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL

Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La

fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.

A. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO :

1º. Se escribe como numerador todo el número sin el coma decimal.

2º. Se escribe como denominador la unidad seguida de tantos ceros

como cifras tenga la parte decimal

Ejemplos:

a) 0,75 = 100

75

b) 2,058 = 1000

2058

B. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO :

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA

PARTE ENTERA NULA :

1º. En el numerador escribimos el período

2 cifras decimales

2 ceros

3 cifras decimales

3 ceros

118

MATEMÁTICA


2º. En el denominador escribimos tantos nueves como cifras tenga

el período.

Ejemplo:

a) 0,54 = 99

54 =

11

6

b) 0,1 = 9

1

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA

PARTE ENTERA DISTINTA DE CERO:

1º. Desdoblamos la parte entera de la decimal, así:

3,54 = 3 + 0,54

2º. Escribimos la fracción generatriz de la parte decimal :

3,54 = 3 + 99

54

3º. Finalmente, volvemos a sumar, pero ahora como una suma de

fracciones:

3,54 = 3 + 99

54

= 3 + 11

6

= 11

39

C. GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO :

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA

NULA:

1º. En el numerador de la fracción generatriz, escribimos el

número decimal sin el coma y se resta la PARTE NO

PERIÓDICA.

2 CIFRAS 2 NUEVES

119

MATEMÁTICA


2º. En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras

tenga el PERIÓDO seguido de tantos ceros como cifras tenga

la PARTE NO PERIÓDICA.

Ejemplos:

(1) 0,235 = 990

2235

0,235 = 990

233

(2) 0,372 = 900

37372

0,372 = . . . ¡Completa!

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NO

NULA :

Procedemos a desdoblar la parte entera de la decimal.

Ejemplo:

3,254 = 3 + 0,254

3,254 = 3 + 900

25254

3,254 = 3 + 900229

3,254 = 9002999

5.8 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Si se trata de decimales exactos, buscamos que tenga la misma cantidad de

cifras en la parte decimal completando con ceros.

2 cifras 2 nueves

1 cifra 1 cero

120

MATEMÁTICA


Al sumar o restar, escribimos un número bajo el otro cuidando que la coma

decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se tratara de

números enteros.

En el resultado, volvemos a escribir la coma decimal en la misma línea vertical

que las demás.

Ejemplos:

(1) Efectuar: 0,3 12,78 3,2057

Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

0,3000

12,7800

3,2057

16,2857

(2) Efectuar: 78,13 9,087

Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:

78,130

9,087

69,043

Si se trata de decimales inexactos, operamos con sus fracciones generatrices:

Ejemplos:

(1) Efectuar: 0,3 2,5 1,6

Solución:

Vamos a reemplazar los decimales periódicos puros por sus fracciones

generatrices:

= 9

61

9

52

9

3

= 9

143

Efectuamos como si fueran enteros :

La coma conserva el lugar de los demás

Efectuando como si fueran enteros :

La coma conserva el lugar de los demás

121

MATEMÁTICA


= ....,55549

41

Respuesta: : 0,3 2,5 1,6 = 4,5

(2) Efectuar: 31,62 - 7,36

Solución:

Reemplacemos los decimales periódicos mixtos por sus fracciones generatrices:

=

90

3367

90

66231

Suprimimos los paréntesis = 90

337

90

5631

= 90

2324

= 90

2183 = 24,25 =24,2555…

5.8.1 OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE DECIMALES

Veamos un ejemplo:

Efectuar: 2202501011350251 ,,,,,,

Eliminamos paréntesis = 2202501011350251 ,,,,,,

Suprimimos corchetes = 2202501011350251 ,,,,,,

Suprimimos llaves = 2202501011350251 ,,,,,,

Sumamos los positivos y negativos por separado:

= 0250502210113251 ,,,,,,

= 16,65 – 0,525

= 16,125

122

MATEMÁTICA


Ahora resuelve los siguientes ejercicios de reforzamiento:

(1) 1525407625518 ,,,,,

A) 41,75 B) 31,75 C) 41,57 D) 75,41 E) 75,31

(2) 12750400320080 ,,,,,

A) 2,75 B) 3,50 C) 1,578 D) 2,498 E) 5,310

(3) 1020850238502010 ,,,,,,,

A) 4,6 B) 3,50 C) - 1,5 D) 2,4 E) - 3,2

(4) ...,...,...,..., 330221110220

A) 2/9 B) –11/9 C) –5/9 D) 1 E) 2

(5) ...,,...,,...,, 44075022050330250

A) 11/18 B) –11/18 C) 7/9 D) 12/7 E) 1

123

MATEMÁTICA


(6) 3 décimos 85 milésimos + 458 centésimos

A) 4,965 centésimos B) 496,5 milésimos C) 49,65 centésimos

D) 496,5 centésimos E) 49,65 milésimos

(7) 75 décimos – 457 milésimos + 32 centésimos

A) 7363 centésimos B) 7363 milésimos C) 736,3 décimos

D) 73,63 centésimos E) 736,3 milésimos

(8) 200 décimos de centésimos + 40000 diezmilésimos de centésimos

A) 0,24 B) 2,4 C) 1,5 D) 4,24 E) 3,2

(9) Elio le dice a Oswaldo; si me dieras S/. 3,75 ambos tendríamos la misma

cantidad de dinero. Si entre los dos tiene S/. 42,50 ¿Cuánto dinero tiene Oswaldo? A) S/ 12,50 B) S/ 38,75 C) S/. 25,00 D) S/ 40,00 E) S/ 35,50

¡Comprueba tus respuestas! Clave de Respuetas : 1A 2D 3E 4B 5A 6D 7B 8A 9C

124

MATEMÁTICA


5.9 MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

5.9.1 Multiplicación y División Por Potencias De 10 Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia la derecha tantas ordenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta correr la coma decimal para la izquierda. Observe que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir el valor: Ejemplo 1: Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 102. Basta correr la coma decimal dos ordenes hacia la derecha. Entonces: 47,235 x 100 = 4723,5 El valor relativo de 7 pasó ser 700 Corre 2 espacios a la derecha Además: 38,31152 x 1000 = 38311,52 8 pasa a ser 8000 Corre 3 espacios a la derecha Complete a simple vista:

a) 0,2356 x 1000 = _______

b) 0,7568565 x 100000 = ______

c) 0,012021 x 100000 = ______

d) 1,2 x 1000 = ________

e) 0,26 x 102 = ________

f) 0,000005 x 105 = ________

g) 2,58 x 104 = ________

h) 10,3 x 103 = ________

i) 0,5 x 105 = ___________

Verifique sus resultados y corrija si es necesario:

a) 235,6 b) 75685,65 c) 1202,1

d) 1200 e) 26 f) 0,5

125

MATEMÁTICA


g) 25800 h) 10300

i) 50000

Ejemplo 2: Para Dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres ordenes hacia la izquierda. Así: 13,235 1000 = 0,013235 El valor relativo de 13 enteros pasa a ser

0,013 (trece milésimos) “Corre 3 espacios a la izquierda” O también: 352,7 100 = 3,527 El valor relativo de 300 pasa a ser 3 “Corre 2 espacios a la izquierda” Complete a simple vista según el ejemplo

a) 385,2 100 = 3,852

b) 2500 10000 =

c) 2335,8 100000 =

d) 25000000 105 =

e) 3,20 104 =

f) 3002,4 107 =

g) 30000000 109 =

Verifica la respuesta de las divisiones que has realizado, si es necesario tienes que corregir: b) 0,25 c) 0,023358 d) 250 e) 0,00032 f) 0,00030024 g) 0,03

126

MATEMÁTICA


5.9.2 Multiplicación Por Números Diferentes de Potencias de 10 Recuerde usted que la multiplicación es una suma indicada de sumandos iguales, entonces 6,33 puede efectuarse como sigue:

3,6 + Complete el ejercicio: 0,175 + x 3,6 3,6 x 0,175 3,6 3

10,8 10,8

Por tanto, para multiplicar números decimales: Ejemplos: a) 5 x 1,41 = 7,05

b) 1,732 x 5 = 8,660 8,66

c) 0,012 x 1,2 = 0,0144

d) 1,25 x 1,4 = 1,750 1,75

Observe como se forman los resultados en los dos últimos ejemplos: 0,012 3 órdenes decimales 1,25 2 órdenes decimales 1,2 1 orden decimal 1,4 1 ..........................

24 500 12 125

0,0144 4 ordenes decimales 1,750 ............................... Si ha comprendido los ejemplos anteriores, resuelva las siguientes multiplicaciones: 23,12 x 24,786 x 0,0048 x 0,14 2,5 3,9 Rpta: 3,2368 Rpta : 61,965 Rpta : 0,01872

Multiplicamos los números como si fuesen números enteros, y en el producto se separan tantos decimales, como tengan los factores.

127

MATEMÁTICA


Observe el primer ejemplo y escriba la respuesta (a simple vista) de los ejercicios de reforzamiento que continúan ¡Ejercicio mental! 0,35 x 0,2 x 0,0006 = 420 ¡Se multiplica como si fuesen números enteros! 2 cd + 1 cd + 4 cd = 7 cd ¡Se completa con ceros, las cifras decimales que

faltan!

= 0,0000420 = 0,000042 a) 0,005 x 0,06 =

b) 0,15 x 0,05 =

c) 5 x 0,0054 =

d) 2,48 x 0,005 =

e) 0,5 x 0,624 =

f) 3,20 x 0,5 =

g) 3,4 x 0, 11 =

h) 2,5 x 1,1

i) 0,071 x 0,011

j) 1,2 x 1,1 x 0,01 =

k) 0,03 x 0,002 x 0,1 =

l) 4 x 0.02 x 0,1 x 0,05 =

Comprueba tus respuestas: a) 0,00030 b) 0,0075 c) 0,0270 d) 0,01240 e) 0,3120 f) 1,60

g) 0,374 h) 2,75 i) 0,000781 j) 0,0132 k) 0,000006 l) 0,00040

5.9.3 Potenciación de Números Decimales Por definición de potenciación, sabemos que:

(0.2)3 = (0.2) (0.2) (0.2) = 0.008

Podemos hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de una forma práctica, por ejemplo:

(0,03)4 = 0.00000081

2 cifras decimales

(0,03)4 = 0.00000081 Multiplicamos la cantidad de cifras decimales por el exponente.

8 cifras decimales =

Hallamos la potencia de la cifra significativa: 34 = 81

128

MATEMÁTICA


Ahora, resuelva mentalmente las potenciaciones que se muestran en el cuadro siguiente ¡ UD. SI PUEDE !

1. (0.003)2 = 2. (0.07)2 = 3. (0.2)5 =

4. (0.05)3 = 5. (0.012)2 = 6. (0.13)2 =

5.10 DIVISIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE 10 Vamos a suponer que usted tiene 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo será:

13 5

2 caramelos para cada niño 3 sobrando 3 caramelos Propiedad: Si al dividendo y al divisor se multiplica por cualquier número entero “K” , y se repite la división, el cociente no se altera, sigue siendo el mismo, pero el verdadero residuo varia quedando multiplicado por el número “K”. ¡Comprobemos! , multipliquemos al dividendo y al divisor del ejemplo anterior por 4 y volvamos a dividir :

52 20

2 El cociente no varia 12 el residuo quedo multiplicado por 4 Comprobemos otra vez la propiedad, multiplicando al dividiendo y al divisor por 100, y volvemos a dividir:

1300 500

2 El cociente no varia 300 el residuo quedo multiplicado por 100 Esta propiedad permite convertir a DIVISOR ENTERO al hacer operaciones con números decimales. Tome por ejemplo, la división 39,276 0,5 Observe que el divisor lo convertiremos en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo y al divisor (recuerda que al multiplicar por una potencia de diez a un número decimal, se corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así:

129

MATEMÁTICA


3 9 2 , 7 6 5

0 4 2 7 8 , 5 5 Cociente 0 0 2 7 0 0 0 2 5

0 0 0 , 0 1 0,01 es el Residuo falso (quedo multiplicado

por 10) El verdadero residuo es 0,01 10 = 0,001 Respuesta: Al dividir 39,276 0,5 se obtiene Cociente: 78,55 Residuo: 0,001 Comprobemos, utilizando el Algoritmo de la división: Dividendo = divisor x cociente + residuo

39,276 = 0,5 x 78,55 + 0,001

Desarrolle estos cálculos abajo para que confirme usted esto: 78,55 x + 0,5 ¿Todo cierto? Luego llegamos a la conclusión que para dividir decimales con coma decimal en el divisor, se sigue la siguiente regla:

Se convierte el divisor a entero, multiplicando por una potencia de 10. Se compensa esto multiplicando el dividendo con el mismo número (Potencia de 10). El verdadero residuo se obtendrá dividiendo el falso residuo entre el mismo número (Potencia de 10).

130

MATEMÁTICA


Haga ahora usted solo, la división de 38,49 entre 0,6 y confirme el resultado como hicimos con el ejemplo anterior. Usted hará una serie de ejercicios, no se olvide sin embargo, de corregir las respuestas. Esto es muy importante para un mejor aprendizaje. 1. Convierta en enteros los divisores, como el ejemplo:

a) 4,6 0,02 460 2

b) 1,45 0,5

c) 8 0,001

d) 4 1,25

e) 1,2 4,325

f) 4,82 1,4

g) 6,247 21,34

2. Divida Ud. Los siguientes ejercicios, hasta llegar a obtener los cocientes en

milésimos y además indicar cual es el verdadero residuo. 0,32 0,13 = 3 2 , 1 3 0 6 0 2 , 4 6 1 Cociente

0 0 8 0

0 0 0 2 0 8 9 9

0 0 , 0 0 7 Falso residuo = 0,007

Verdadero Residuo = 0,007 100 = 0,00007 a) 0,17 15 =

131

MATEMÁTICA


b) 0,1 0,03 =

c) 0,325 0,19 =

d) 25,0087 3,02 =

Corrija los ejercicios 1 y 2 : 1. b) 14,5 5

c) 8000 1

d) 400 25

e) 1200 4325

f) 48,2 14

g) 624,7 21,34

2. a) Cociente = 0,011 Residuo = 0,005 b) Cociente = 3,333 Residuo = 0,00001 c) Cociente = 1,710

Residuo = 0,0001

d) Cociente = 8,281 Residuo = 0,00008

132

MATEMÁTICA


Continúe resolviendo los ejercicios y después corríjalos: 3. Calcular la distancia “x” de la pieza. 4. Halla la medida de la distancia de “x”. 5. En la Figura “O” y “P” son puntos medios de AB y CD respectivamente.

Calcular el valor de “x”. Comprueba tu respuesta de los ejercicios 3; 4 y 5 : 3. 1,9 4. 0,865 5. 1,95

x5,7 m

x

x x

2,15 m

3,015 m

A B

C D

O

P

x

6,24 7,02

15,6

133

MATEMÁTICA


5.11 RADICACIÓN DE NUMEROS DECIMALES Definición de un radicación: Bien, ahora vamos a reconocer que números decimales tienen raíz exacta a simple vista. ¡Presta atención! … Por ejemplo vamos a hallar la raíz cúbica de 0,000064 : 3 000064,0

Primero analizamos si la cifra significativa

del número decimal tiene raíz exacta. Bien ahora tenemos que contar la cantidad

de cifras decimales, esta cantidad debe ser múltiplo o divisible por el índice radical.

Si cumple estas dos condiciones, entonces podemos afirmar con seguridad que el número 0,000064 tiene raíz cúbica exacta. Esa raíz exacta se obtendrá a simple vista de la siguiente manera: Hallamos la raíz de la parte significativa. Dividimos la cantidad de cifras decimales, entre el índice radical, este

cociente nos indicará la cantidad de cifras decimales que debe tener la raíz.

Veamos un último ejemplo, vamos a hallar 4 06250,00000000

3 000064,0

4643

3 000064,06 cifras decimales y es divisible

por el índice radical que es 3

6 cifras decimales

0,04 0,0000643

2 cifras decimales

4643

12 cifras decimales 56254

0,005 06250,000000004

3 cifras decimales

nnn a b b a n : índice radical a : radicando b : raíz

134

MATEMÁTICA


EJERCICIOS

I. Complete el siguiente cuadro a simple vista, no uses calculadora, ¡Tú si puedes!

¿Tiene raíz

exacta?

Si tiene raíz exacta, ¿Cuál

es?

¿Tiene raíz exacta?

Si tiene raíz exacta, ¿Cuál

es?

1,44 sí 1,2 3 0,000008

0,0625 3 0,125

0,000049 3 0,027

1,21 3 0,0001

0,00000036 4 0,00000081

0,00009 5 0,00001

II. Resuelva las siguientes operaciones combinadas con números decimales

1. 8

3 0,360,0270,09

Rpta: 0

2.

0,5

0,000010,1250,008 533

Rpta: 1,2 3. 4000,95 0,00000001 - 0,0270,000064 436

Rpta: 2

4. 0,0001- 0,000000250,000004

Rpta: 0,2

135

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una rueda de 0,12 m de longitud

¿Cuántas vueltas dará al recorrer 1,80 m?

Solución: Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia)

Distancia recorrida = # vueltas x Lc.

1,80 m = # vueltas.(0,12 m)

15 = # de vueltas

2. Para comprar 20 tornillos me faltaría 8 céntimos de sol y si compro 15 tornillos, me sobraría S/. 0,12. ¿Cuánto vale cada tornillo en soles?

Solución: Tengo : T Precio de cada tornillo : P

20P = T + 0,08 15P = T - 0,12

5P = 0,20 P = 0,04

3. ¿En cuántos ochentavos es mayor 0,32 que 0,1325?

Solución:

15 x )80.(0,1875 x

0,1325 - 0,3280x

4. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y

el aceite vale S/. 3,75 más que el frasco; entonces el precio del frasco es:

Solución: Frasco : F Perfume : P

F + P = 4,75 P - F = 3,75 2F = 1 F = 0,50

5. Efectuar:

333266697

3555243555924E

,...,...,...,

Solución:

100900

E

= 3

Restamos miembro a miembro

Restamos miembro a miembro

136

MATEMÁTICA


6. En el dibujo hallar a - b + c

Solución:

3R = 19,50 R = 6,50 a = 21,75 - 2R = 21,75 - 13 = 8,75 b = 2R = 13 c = 2R + 3,25 = 13 + 3,25 = 16,25 a - b + c = 8,75 - 13 + 16,25

a - b + c = 12 mm

7. Guido da a un mendigo tantas veces

15 centavos como soles llevaba en la billetera. Si aun le queda S/. 170.00 ¿Cuánto llevaba en la billetera?

Solución: Soles que llevaba en la billetera : x

x - 0,15 x = 170 0,85x = 170 x = 200

8. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el

ciento; se echan a perder 20 y los restantes los vendo a S/. 0,84 la docena. ¿Cuánto se gana?

Solución: Quedan por vender 180 alfileres que es igual a : 180/12 = 15 docenas

Se vendió: 15 Docenas x 0,84 = S/ 12,60 Se Invirtió: S/ 10 por los dos cientos La Ganancia : S/ 12,60 - S/ 10,00 = S/ 2,60

9. Andrés vendió 60,80 kg de hortalizas por S/.160,72 sabiendo que en los 40 primeros kg ha ganado S/. 0,60 por kg y en los restantes ha perdido S/.0,35 por kg ¿Cuál fue el precio de compra?

Solución: En los 40 kg , ganó

Ganacia = 40.(0,60) = S/. 24 En el resto : 60,80 - 40 = 20,80 Kg perdío

Pérdida = 20,80.(0,35) = 7,28 Obtuvo una ganancia liquida de :

24 – 7,28 = S/. 16,72

P. de Compra = P. de Venta - GananciaP. de Compra = 160,72 - 16,72 = S/.144

10. ¿Qué fracción de 6,025 es 1,205?

Solución:

Fracción = 025,6205,1

= 1/5

3,25 mm

21,75 mm

19,50 mm

a

c

b

R

R

137

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I

01. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de un terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno? a) 60,254 m b) 62,558 m c) 54,058 m d) 56,915 m e) 52,128 m 02. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? a) S/. 70,20 b) S/. 72,28 c)S/.73 d) S/. 71,20 e) S/. 70 03. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió, subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros. a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 04. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos? a) 0,6 b) 60 c) 600 d) 0,06 e) 6000 05. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada uno le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos? a) S/. 125 b) S/. 100 c) S/. 75 d) S/. 150 e) S/. 162 6. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería S/. 0,6. ¿Cuántos lápices tengo? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 7. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto sobrará de la barra en cm? a) 4 b) 4,52 c) 3,75 d) 4,25 e) 2,28 8. Calcule la suma de cifras de M.

Si:

61122521025040M

,,,,

a) 14 b) 11 c) 10 d) 19 e) 9 9. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos litros de vino se extrajo? a) 50 b) 65 c) 70 d) 50 e) 60

138

MATEMÁTICA


2

52

000004000200060

,,,

35218T ,

2636910

,,

10. En el gráfico, halle “L”, si r = 2,6 m a) 12,40 m b) 14,20 m c) 11,84 m d) 15,30 m e) 13,64 m 10A. Efectuar la siguiente operación. a) 21072 b) 1 c) 41036 d) 41063 , e) 21018 11. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, halle la raíz cuadrada de “M” a) 1, 3 b) 1,2 c) 1,7 d) 1,01 e) 1,4 12. Hallar el valor de “E”

31380375032E

,,,,

a) 0,72 b) 0,50 c) 0,60 d) 0,55 e) 0,333… 13. Hallar el decimal equivalente a: a) 6,4 b) 12 c) 8 d) 8,25 e) 5,444… 14. Pierdo s/.19 al vender 95 pelotas a s/.9,65 cada una.¿Cual es el precio de compra de una gruesa de pelotas? a) S/.1418,40 b) S/.1400 c) S/. 985 d) S/.1280 e) S/. 1346

L

r R

13,6m

8,4 m

139

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II

1. Doce pernos cuestan S/. 1,20; si se

venden 4 pernos por S/0,50 ¿Cuántas docenas de pernos hay que vender para ganar S/. 2,40? A) 12 B) 10 C) 8 D) 18 E) 24

Solución:

2. Efectuar :

1

55504441

31414031448B

...,...,

...,...,

A) 1/2 B) 2/3 C) 4 D) 1/4 E) 2

Solución:

3. ¿Cuántas de las siguientes

fracciones generan números decimales inexactos periódicos mixtos?

47

43

16

5

30

301

41

17

900

9

60

23 ;;;;;

A) 1/2 B) 2 C) 4 D) 3 E) 1

Solución:

4. Hallar 3

R, si:

),)(,)(,(),)(,)(,(

00701500020

2520000500280R

A) 1,20 B) 2,50 C) 1,50 D) 0,80 E) 0,50

Solución:

140

MATEMÁTICA


UNIDAD 06

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

141

MATEMÁTICA


6.1 POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir número llamado base, tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, denominando al resultado de esta operación potencia. Ejemplos:

a. 625555554 b. 2733333

c. 7771 d. 322222225

e. 278

32

32

32

32 3

f. 125,05,05,05,05,0 3

6.2 SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.

a. PositivoPositivo impar o Par

b. PositivoNegativo Par

c. NegativoNegativo Impar Ejemplos:

a. (+2)4 = +16 b. (+2)5 = +32

c. (-2)4 = +16 d. (-3)2 = +9

e. (-2)5 = -32 f. (-3)3 = -27

g. 8116

32 4

h.

641

41 3

NOTA: ¡Cuidado!, observa el siguiente ejemplo:

81 - 3333 - 3- 4 “El exponente solo afecta al número 3”, mientras que:

81 3333 - 3- 4 “El exponente afecta al signo y al número 3” Por lo tanto : -34 ≠ (-3)4

P bn b : base n : exponente P : potencia

P b....bbb bn “n” veces

142

MATEMÁTICA


6.2.1 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLO

Exponente cero

a0 = 1; (a ≠ 0)

00 = Indeterminado

a) 177 00

b) 02173 Indeterminado

Producto de potencias de igual base an x am = an+m 83535

222x2

Cociente de potencias de igual base

m-nm

n

aaa

5383

8

2222

Exponente negativo

n

nn

a1

a1a

n

nnn

ab

ab

ba

22

34

43

Potencia de un producto nnn baba 44 444 x25x25

Potencia de un cociente n

nn

ba

ba

2

22

43

43

Potencia de una potencia bccb aa 15x5353

222

Exponente de exponente

cc bb aa 9x333 222

2

Potencia de la unidad 1n = 1 a) 18 = 1 b) 115 = 1

143

MATEMÁTICA


EJERCICIOS Completar el número que falta en el casillero correspondiente:

1) (-5)3 = 2) (+7)2 = 3) (-1)715 =

4) (-10)3 = 5) (-9)2 = 6) (-4)3 =

7) (+5)3 = 8) (+1)17 = 9) (-7)3 =

10) (-4)4 = 11) (-1)13 = 12) -113 =

13) (-1)80 = 14) -180 = 15) (-5+5)3 ─ 3 =

16) 3

52

= 17)

3

52

= 18)

3

32

=

19) 4

52

= 20)

4

52

= 21)

4

32

=

Completar los casilleros para que se verifique las siguientes igualdades 1) 77777 327

2)

17

171717

373

125250

3) 3327927 8583 4) 882 137

5)

19

131913

69

6) 1313..5.3.2.

7) 5..2..35233.564

8) 3.0.58.

57.77.20. 19253 9) 15153155 615915

144

MATEMÁTICA


10) 9987..........9. 9517

11) 155353 12.27.3.9.4.

12)

27

72

83.

13)

2

53

14) 213

15) 11111111

311

117

75

53

=

Escribe en los casilleros en blanco las potencias indicadas:

n

ba

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

21

32

21

23

52

145

MATEMÁTICA


6.3 RADICACIÓN La RADICACION es una operación inversa de la potenciación.

En la potenciación vimos que:

23 = 2 x 2 x 2 = 8.

Al factor 2 que se repite (BASE) se llama raíz cúbica de 8. Simbólicamente

tenemos:

3 8 = 3 32 =2

Si 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

decimos que 2 es la raíz ………………de 16.

La notación será:

....................164

O que es lo mismo, raíz cuarta de 16 es 2.

Al trabajo de sacar raíz llamamos RADICACION, que es una operación inversa

de la POTENCIACION.

OBSERVACIONES:

A LA RAIZ TERCERA se le llama también RAIZ CUBICA.

A LA RAIZ SEGUNDA se le llama RAIZ CUADRADA.

Asimismo:

23 = 8 3 8 = 2 (se lee RAIZ CUBICA DE OCHO)

15 = 1 5 = 1 (se lee RAIZ……………………………………………… )

32 = 9 2 = 3 ( se lee……………………………………………………)

51 = 5 …...= 5 (se lee RAIZ PRIMERA DE CINCO RAIZ……………

Vea los nombres de los términos de la radicación

146

MATEMÁTICA


Luego:

La radicación es la operación que asocia al par ordenado (b;n), con b |R y n

|N, un número real (si existe) llamado raíz enésima de b, que se denota n b

Radicación: |R x |N* |R

(b, n) n b = a an = b

Donde:

Si b> 0, entonces a > 0

Si b >0 entonces a< 0 (si existe)

Ejemplos:

a) 3,0027,03

b) 36 = no existe en el conjunto de números reales (R)

ALGORITMO DE UNA RAÍZ CUADRADA

Vamos a hacer un ejemplo paso a paso para mostrar como se hace Supongamos que queremos hallar la raíz cuadrada de 59074 En primer lugar se separan las cifras de dos en dos empezando de derecha a izquierda así

5.90.74 Buscamos un número cuyo cuadrado sea 5 o menor que 5, que será 2 Escribimos el 2 en la caja de la derecha

Elevamos 2 al cuadrado, que da 4 y se le resta al 5, quedando 1

Bajamos las dos cifras siguientes, o sea el 90, separando la última cifra de la derecha, o sea el cero.

147

MATEMÁTICA


Ponemos el doble de 2 debajo, o sea un 4

Y dividimos 19 entre 4 que cabe a 4. Se añade ese 4 a la derecha del otro 4 y se multiplica por 4 el 44

Se resta 190 menos 176 y se escribe debajo del 190, subiendo ya el 4 a la derecha del 2.

Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 74, separando la última cifra de la derecha

Se baja el doble de 24, o sea 48 y se divide 147 entre 48

Como esa división cabe a 3, se añade un 3 a la derecha del 48 y se multiplica 483 por 3

Se resta 1474 menos 1449, quedando 25 de resto

148

MATEMÁTICA


De tal forma que: 59074252432 “Donde 25 es el residuo de la radicación.” Si el número del que queremos hallar la raíz es decimal la separación de las cifras de dos en dos se hace desde la coma hacia la derecha y hacia la izquierda. Si en la raíz cuadrada anterior queremos sacar decimales, se bajan dos ceros a la derecha del 25, se pone una coma después del 243 y se sigue el mismo procedimiento.

EJERCICIOS Calcule la raíz cuadrada de los siguientes números e indique su raíz cuadrada, el residuo y realizar su comprobación.

Número Raíz cuadrada Residuo Comprobación

58708 242 144 14424258708 2

99500

734449

1522756

149

MATEMÁTICA


RAIZ CUADRADA POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS FACTORES PRIMOS

Vamos a hallar la raíz cuadrada de 435 600, empleando el método

descomposición en sus factores primos.

Primero.- descomponemos en sus factores primos el número 435600

2224 11532435600

Segundo.- Extraemos la raíz cuadrada de 435600, utilizando la propiedad de

radicales (Raíz de una multiplicación indicada)

660115321153211532435600 222242224

Entonces 660435600

Veamos otro ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 216000

60532532216000 23 3363

EJERCICIOS

Calcule la raíz que se indica en cada caso (ver cuadro), utilice le método de

descomposición de factores primos.

Número Procedimiento Respuesta

3 2744 1472722744 3 333 14

7744

4 50625

18225

150

MATEMÁTICA


6.3.1 SIGNOS DE LA RADICACIÓN

SIGNOS DE LA RADICACIÓN EJEMPLOS

a) Impar o Par

1) 381 4

2) 232 5

3) 11 724

4) 11 725

b) - Impar

1) 464 3

2) 11 547

c) Par No existe en el conjunto

de números reales (R)

1) 4 16 No existe en R.

2) 540 1 No existe en R.

6.3.2. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

PROPIEDAD NOTACIÓN EJEMPLOS

Raíz de un Producto

nnn b.aab

1) 1243 333 642764x27 2) 30103 4444 1000811000081810000

Raíz de un Cociente .

n

n

n

b

aba

1) 1016

10000256

10000256

4

44

2) 7730

11765

121493625

121493625

151

MATEMÁTICA


Raíz de una Potencia

nbb

a aa nn b

1) 4 ) (2 2 233 2 88

2) 27333 33510535 105 ¡Se simplifica el exponente

fraccionario!

3) 255125125125 2233 215 10 ¡ Se simplifica el índice radical con el exponente!

4) 5

565

785

4925

4925

72 23

6 6

6 36 186

6

318

Raíz de una raíz

n.mn a.a m

1) 204 5 77

2) 7777 132 328 4 32

3)

1696

16923

1383

1383

1383

2

31

120 240

120 40120 1203 8

240

40120

5

Consecuencia de las propiedades anteriormente mencionadas

n m baba mnn

1) 63 233 525858

2) 623

168116811681 44

n nn baba

1) 753535 2

2) 33 33 80102102

p.m.nn m p cba xx.xc ).p b m . a (

x

Ejemplo:

613

1226

23222)333(

3 233 2222248.8

32

x + x +

152

MATEMÁTICA


6.3.3 RADICALES HOMOGENEOS Y RADICALES

SEMEJANTES:

Radicales Homogéneos.- Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical. Ejemplos:

a) 7 ; 8 ; 65 ; 5

23 “Todos son raíces cuadradas”

b) 3 25 ; 533

; 3 7 ; 3 5 “Todos son raíces cúbicas”

Radicales semejantes.- Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical y la misma cantidad subradical. Ejemplos:

a) 7 ; 5

73; 72 “Todos son raíces cuadradas de siete”

b) 3 25 ; 523

; 3 2 ; 3 24 “Todos son raíces cúbicas de dos”

6.3.4 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES :

Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz. Ejemplos:

1) Simplificar 720

Descomponemos 720 en sus factores primos 532720 24

Algunos factores tienen exponentes divisibles por el índice radical; procedemos a extraer esos factores.

512532532720 224

2) Simplificar 3 17280

Descomponemos 8640 en sus factores primos 53217280 37

153

MATEMÁTICA


Algunos factores tienen exponentes mayores que el índice radical, los descomponemos de tal forma que tengan exponentes divisibles por el índice radical.

3

32

33 33 6

3 363

1012

5232

5232

532217280

3) Simplificar 50 Podemos simplificar a simple vista algunos radicales, esto dependerá mucho de su habilidad, observe con cuidado:

252 25 2 25 50 3) Simplificar 327

2282472167327 2167

EJERCICIOS Simplifica los siguientes radicales

a) 3 7 27 332333 63 6 1449277277277

b) 3 875

c) 3 54

d) 5 12500

e) 5 1080

f) 7 1920

Buscamos 2 números cuyo producto sea 50 y uno de ellos debe tener raíz cuadrada exacta

154

MATEMÁTICA


6.3.5 OPERACIONES CON RADICALES :

ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes, veamos algunos ejemplos:

1) Efectuar: 2428223

2624813

2428223

Súmanos y restamos solo los coeficientes.

2) Efectuar: 6356852 33

6115

6368552

6356852

3

33

33

Se suman y restan solo los radicales semejantes.

2) Efectuar: 3250223 Tenemos que simplificar cada radical, para poder sumar (obteniéndose radicales semejantes)

2924210233250223 MULTIPLICACION DE RADICALES Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos.

n dbcadcba nn Ejemplos: 1) Multiplicar : 333 742352

33333 7024725432742352

155

MATEMÁTICA


2) Multiplicar: 55 3734

53

5555 12

35934

73

533

734

53

DIVISIÓN DE RADICALES Si los radicales son homogéneos dividimos los coeficientes y dividimos los radicándos.

n. dbcadcba nn

Ejemplos: 1) Dividir: 33612

24312 3633612

2) Dividir: 3

3

36727224

333

3

231

3672

7224

36727224

6.3.6 RACIONALIZACIÓN DE RADICALES :

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: CASO I: Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción 2

5,

multiplicaremos numerador y denominador por 2 .

225

225

2225

25

2

156

MATEMÁTICA


Otro ejemplo. Racionalizar 18

32

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:

2

2 3 2 3 2 318 3 22.3

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por 2 para eliminar la raíz del denominador:

36

2362

223232

2332

También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por 18

2 3 2 3. 18 2 54 5418 918 18. 18

Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.

36

9323

932

954 3

, como vemos da el mismo resultado.

CASO II: Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo35

7

, multiplicamos numerador y denominador por 35

7 5 375 3 5 3 5 3

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una

diferencia, o sea una expresión del tipo 22 bababa

2 2

7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 375 3 25 3 5 3 5 3 5 3

157

MATEMÁTICA


Otro ejemplo:73

2

ahora multiplicamos numerador y denominador por 73

2 3 7 2 3 7 2 3 72 3 79 7 23 7 3 7 3 7

CASO III: Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, “n”, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una potencia de exponente “n”.

Por ejemplo: 3 25

1

Factorizamos el radicando del denominador: 3 23 5

1251

y como 553 3 , vamos

a multiplicar numerador y denominador por 3 5 para completar la potencia de 5

3 3 3

3 3 3 32 2 33

1 1 5 5 5525 5 5 5 5

Otro ejemplo: 4 22

Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego

basta multiplicar por 4 32

4 4 43 3 34 3

4 4 43 44

2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO NIVEL I

1. Valor de potencias a) (-3)2 = b) (-2)2 + 24 = c) (-4)2 - (-3)2 = d) (-4)3 -2(-4)3 = 2. Suma y resta de potencias a) 2. 32 + 4.32 = b) 4.33 – 2.33 = c) 2. (-4)2 - 52 = d) (-4)3 +33 -2(-4)3 = 3. Multiplicación de potencias con bases iguales a) 2. 22 .22.2 2 = b) 3.33 . 3.33 = c) 4. 42 . 42 = d) 2b.23 .2 3 .2b3 =

158

MATEMÁTICA


4. Multiplicación de potencias con exponentes iguales a) 42 .32.5 2 = b) 23. (0,3)3 = c) 2. 33. 43 = d) 2b3.3b3 .5b 3 = 5. Potencias con exponentes negativos a) 5 -2 = b) 2-3. 3-2= c) 2-3. 3-2. 4-3 = d) -2-3 +( -3)-3 = 6. División de potencias con bases iguales a) 25 :22 = b) 33 : 31 = c) 46 : 42 = d) 6n4x5 : 2n4 x3 = 7. División de potencias con exponentes iguales a) 45 :25 = b) 63 : 33 = c) 166 : 46 = d) 6n5x3 : 2n5 x3 = 8. Multiplicación y división de potencias

a)5.3.25.4.2 2

b) 5.3.2

5.6.42 c)

b6.b4.b3b5.b3.b2

3

5

d) d9.b5.16d6.b7.b80

2

9. Potencia de potencias a) 23.5 b) (3-4)-2 c) (-2-3)-2 d) (2-2.2-4.32.5-3)-2 10. Potencia de sumas a) (2+3).(2+3) b) (1+6).(1+6) c) (3a-1)2 = d) (3-2b).(3+2b) = 11. Conversión en factores de potencias a) 4-4a+a2 b) 25 + 30b +9b2 c) x2 +8x + 15 d) (25-c2)/ (5+c) EXTRACIÓN DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I-A 1. Extraiga la raíz de:

a) 2916 b) 45796 c) 8,2944 d) 4,53 e) 2401

f) 88,36 g) 6,3504 h) 7,569 i) 63,845 j) 0,8436

2. Un pivote excéntrico se ha de forjar con un corte transversal cuadrado de

15,9 cm2 ¿Qué longitud tienen los lados? 3. La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 15,9

cm2, Calcule el diámetro de la cadena. 4. La sección transversal de un vástago de émbolo se tiene que agrandar en un

12,7%, es decir 360 mm2 ¿Qué longitud tendrá el diámetro del vástago de émbolo?

5. La sección transversal interior de una instalación de transporte es de 45,6

cm2. ¿Qué longitud tiene el diámetro interior del tubo?

159

MATEMÁTICA


PROBLEMAS DE RAÍZ CUADRADA nivel I-B Problema 1.- FIGURA 2- 4 Un punzón perforador con corte transversal cuadrado tiene 2025 mm2 de superficie. Calcule la longitud de los lados

a) 45 mm b) 17 mm c) 15 mm d) 24 mm e) 35 mm Problema 2.- La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 176,715mm2

Calcule el diámetro de la cadena.

a) 5 mm b) 7 mm c) 15 mm d) 12 mm e) 13 mm Problema 3.- FIGURA 10 La sección transversal de una costura de garganta (cordón de soldadura) de 45o es de 16 mm2. Calcule la longitud de los catetos.

a) 5,65 mm b) 7,1 mm c) 1,5 mm d) 1,25 mm e) 1,36 mm

160

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II 1. Determine la suma de cifras del menor número tal que al agregarle sus tres

cuartas partes se obtenga un cubo perfecto. a) 1 b) 16 c) 8 d) 27 e) 25

2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay entre 1521 y 15878?

a) 10 b) 87 c) 98 d) 27 e) 55 3. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si

se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados; se emplea 261 árboles más cuando los cuadrados son 2 m de lado, que cuando son de 4 m. ¿Hallar el lado del terreno? a) 36 b) 17 c) 48 d) 27 e) 39

4. En el centro de un terreno que tiene la forma de un cuadrado, se ha

construido un almacén cuyas esquinas forman una superficie de 49 m2 con las esquinas de los límites de la propiedad. Si el almacén ocupa una extensión de 361 m2. ¿Cuál es el área de toda la propiedad?

a) 1089 m2 b) 1024 m2 c) 2420 m2 d) 1280 m2 e) 1325 m2

5. Un terreno esta sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en el interior hay 476 árboles más que en el perímetro, ¿Cuántos árboles hay en total? a) 625 b) 676 c) 576 d) 729 e) 616

6. Hallar el residuo de extraer la raíz cuadrada de 13,5742

a) 318 b) 0,1 c) 0,318 d) 0,0318 e) 4,5742

7. Reducir: 2318983283502

a) 12 b) 6/7 c) 12/7 d) 5/7 e) 6 8. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las proposiciones:

I. 0x ; 1x.xn22n

II. 282- 51

52

.

III. 9

1273n2 nn .

IV. xxn

n 22

a) VVFV b) FVVF c) VVVV d) VFVV e) FFFV

9. Efectuar: 5 45 4 133133 E .

a) 5 3 b) 10 3 c) 5 9 d) 1 e) -1

161

MATEMÁTICA


10. Efectuar: 7

2

2

2

7

3

2

1

7

3

a) 9/7 b) 7 c) 1 d) 2/7 e) 8

11. Efectuar: 6

3232

a) 16 b) 64 c) 8 d) 128 e) 256

12. : a equivale 273

2108

a) 3

1319 b) 333 c) –2 d) 2726 e) 1084

PROBLEMAS PROPUESTOS nivel III 1. El cuadrado de la raíz cúbica de : 0,296296... es:

5,0)4,0)3,0)2,0)1,0)

edcba 2. ¿A que es igual la diferencia de 2 números consecutivos elevados al cubo ? a) 3n+1 b) 3n² + 1 c) 3n² + 3n d)3n(n+1 )+ 1 e) 3 3. Al multiplicar un número por 3, 5 y 7 se obtienen tres números cuyo producto es 230 685. Calcule dicho número. a)11 b)13 c)15 d)17 e)19 4. ¿ Cuál de las expresiones es Mayor ?

),(edcba 10 3)10

3)31)16,0

54)027,0)

5. Resuelva la siguiente expresión )²05,02,0()²05,02,0(

6. Resolver 131815

7118

5.3225.75.45

225)250)125)25)15) edcba

7. Resolver

32

23

32

23

2)1)2)3)5) edcba

162

MATEMÁTICA


2122

23.8

1)7)6)5)2) edcba

)5

15)(2

12)(10110(.9

5,4)4)6,3)7,2)5,1) edcba

)2,192

963(2458020.10

63)327)5

215)38)510) edcba

223 006,0008,0006.0.11 QP

Pe)QQd)PPc)QQb)PQa)P 5 2

22 ..2529.12 BAHallarBA

450)2700)8100)270)810) edcba

)2

12()2

11(.13

2e) 2d)3 23 c) 3b)2 2a)1

3232.

3232.14

10)8)6)4)1) edcba

)

311

2()

1322

3(.15

1)16)6)3)2) edcba

16. Hallar x : xx 22 43 2781

3)2/1)2)1)8/1) edcba

163

MATEMÁTICA


UNIDAD 07

TRIGONOMETRÍA BÁSICA

164

MATEMÁTICA


TRIGONOMETRÍA BÁSICA 7.1. SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida alguna fracción del ángulo de una vuelta. Principales sistema de medidas angulares:

* Sistema Sexagesimal (inglés) : Sº

* Sistema Centesimal (francés) : Cg

* Sistema Radial o Circular : R rad

7.1.1. SISTEMA SEXAGESIMAL ( S ) La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. Parte del ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 360º

Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1) y el Segundo Sexagesimal (1), donde:

1º equivale a 60 1 equivale a 60 1º equilave a (60x60) ó 3600

7.1.2. SISTEMA CENTESIMAL ( C ) La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte del ángulo de una vuelta.

El ángulo de una vuelta mide 400g

Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el Segundo Centesimal (1s), donde:

1g equivale a 100m

1m equivale a 100s

1g equilave a (100x100)s ó 10000s

90

180

100g

200g

165

MATEMÁTICA


7.1.3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR ( R ) La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de un ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud del arco de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.

El ángulo de una vuelta mide 2 rad.

7.1.4. RELACION ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ANGULOS Sea un angulo donde:

S representa la medida de en grados Sexagesimales. C representa la medida de en grados Centesimales. R representa la medida de en Radianes.

Donde la fórmula de Conversión es:

R

200

C

180

S

Observaciones: S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos). Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa empleamos

solo: 200

C

180

S ; simplificando obtenemos:

10

C

9

S

Donde:

R

L

rad2

rad

“Si L R entonces la medida del , es igual a un radián o simplemente 1 rad.”

10

9.CS

9

10.SC

166

MATEMÁTICA


Otras equivalencias importantes: Ejemplos:

1) Convertir 30 a grados centesimales.

Como S = 30, remplazamos en la siguiente fórmula:

9

S.10C

g509

º45.10C

2) Convertir 125g a radianes

Como C = 125g, remplazamos en la siguiente fórmula:

200

CR

200

125R

rad

8

5R

3) Convertir 5

3 radianes a grados sexagesimales

Como R = 5

3rad, remplazamos en la siguiente fórmula:

R

180

S

5

3

180

S

5

3180S º108S

OTRA FORMA: Multiplicamos la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que esta conformado por una fracción equivalente a la unidad. En el denominador de tal fracción escribimos la unidad a eliminar y en el numerador la unidad que buscamos.

Por ejemplo para convertir 5

3rad a grados sexagesimales lo haremos de la

siguiente manera:

rad.

º180

5

rad.31

5

rad.3

Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION) sabiendo que: 180 = rad.

Luego : º1085

º1803

rad.

º180

5

rad.3rad

5

3

9 = 10g 27 = 50m 81 = 250s

180 = rad 200g = rad

167

MATEMÁTICA


4) Convertir 0,621 a segundos centesimales Solución: Vamos a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN No debemos de olvidar que:

s

m

s

g

mg

69001

100

1

100

º9

10º621,0º621,0

5) Convertir 7500s a minutos sexagesimales

5́,40601́

25081

75007500 "s

"ss

EJERCICIOS 1. Complete el siguiente cuadro en el sistema de medidas angulares pedido:

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg ) RADIAL ( R rad )

1 30º

2 60º

3 90º

4 45º

5 27º

6 53º

7 16º

8 74º

9 8º

10 91 1/9g

11 16 2/3g

12 83 1/3g

13 25g

9=10g 1g=100m 1m=100s

Recordar que: 81” = 250s 1´ = 60”

168

MATEMÁTICA


14 75g

15 20 5/9g

16 79 4/9g

17 29 4/9g

18 127 360

19 2 3

20 5 4

21 27 36

1. SOLUCIÓN DE LAS APLICACIONES

N SEXAGESIMAL ( Sº ) CENTESIMAL ( Cg ) RADIAL ( R rad )

1 30º 33 1/3g 1 rad 6

2 60º 66 2/3g 1 rad 3

3 90º 100g 1 rad 2

4 45º 50g 1 rad 4

5 27º 41 219g 37 rad 180

6 53º 58 8/9g 53 rad 180

7 16º 17 7/9g 4 rad 45

8 74º 82 2/9g 37 rad 90

9 8º 8 8/9g 2 rad 45

10 82º 91 1/9g 41 rad 90

11 15º 16 2/3g 1 rad 12

12 75º 83 1/3g 5 rad 12

13 22,5º 25g 1 rad 8

169

MATEMÁTICA


14 67,5º 75g 3 rad 8

15 18,5º 20 5/9g 37 rad 360

16 71,5º 79 4/9g 143 rad 360

17 26,5º 29 4/9g 53 rad 360

18 63,5º 70 5/9g 127 rad 360

19 120º 133 1/3g 2 rad 3

20 225º 250g 5 rad 4

21 135º 150g 3 rad 4

7.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo agudo. En el triángulo rectángulo que se muestra, los catetos son los lados a y b; la hipotenusa es c, además:

Cateto opuesto de es “a”

Cateto adyacente de es “b” Cateto opuesto de es “b”

Cateto adyacente de es “a” Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “” serian:

Hipotenusa

opuesto Cateto

c

a Seno

opuesto Cateto

adyacente Cateto

a

b Cotangente

Hipotenusa

adyacente Cateto

c

b Coseno

adyacente Cateto

Hipotenusa

b

c Secante

adyacente Cateto

opuesto Cateto

b

a Tangente

opuesto Cateto

Hipotenusa

a

c Cosecante

b

ac

170

MATEMÁTICA


TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

TABLA DE VALORES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

F.T. 8º 15º 16º 37/2º 53/2º 30º 37º 45º 53º 60º

Sen 10

2

4

26

25

7

10

1

5

1 1

2 3 5 2

1 4

5 2

3

Cos 10

27

4

26

25

24

10

3

5

2

2

3

4 5 2

1 3

5 1 2

Tng 7

1

26

26

24

7

3

1 1

2 3

1 3

4 1 1

4 3 1

3

Ctg 1

7

26

26

7

24

1

3 2

1 1

3

4 3

1 1

3 4 3

1

Sec 27

10

26

4

24

25

3

10

2

5

3

2 5

4 1

2

5 3

2 1

Csc 2

10

26

4

7

25

1

10

1

5

2 1

5 3 1

2

5 4 3

2

30º

60º2kk

k 337º

53º5k3k

4k

45ºk 2 k

k45º

16º

74º25k7k

24k

8º

82º10kk 2

27 k

15º

75º4k

( 26 )k

( 26 )k

10 k k

3k

37º 2

k

2k

5 k

53º 2

75 4k

15

k

171

MATEMÁTICA


7.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los semiejes del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL. Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º;360º. Las razones trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente tabla:

sen cos tg cotg sec cosec

0º ó 360º 0 1 0 ND 1 ND

90º 1 0 ND 0 ND 1

180º 0 -1 0 ND -1 ND

270º -1 0 ND 0 ND -1

ND: “No definido” Ejemplos de aplicación Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones

1. º53cos

º16cos6º45cos2 2 =

5

325

246

2

12

2

=

5

325

144

2

12

=

5

35

121

=

5

35

17

= 3

17

2. 3 22

3sec3

6ctg5

= 3 22 º60sec3º30ctg5 = 3 22

2335

= 3 4335 = 3 27 = 3

0

90

180

360

172

MATEMÁTICA


7.4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a partir de dos datos, uno de los cuales debe ser lado. Para resolver triángulos rectángulos se nos puede presentar dos casos:

I. Los datos conocidos son: dos lados. II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo.

Ejemplos: 1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Solución: Como datos tenemos la medida de dos lados, “este problema corresponde al caso I.”

Para hallar el tercer lado “a”, aplicamos el Teorema de Pitágoras.

21a

441a

441a

2835a

3528a

2

222

222

El ángulo lo hallamos estableciendo una razón trigonométrica que relacione lados conocidos.

º37β

""

;

53º - 90º

:tanto lo por ,"" de ocomplement el es

53ºα :Entonces 5

4Cos53 el Pero ;

5

4

35

28Cosα o

2. Resolver el triángulo que se muestra continuación:

Solución: Como datos tenemos la medida de un ángulo agudo y un lado, “este problema corresponde al caso II.”

Hallamos β, que el complemento de 16 β = 90 - 16

β = 74

28 m

35 m a

β

b

50cm a

16

β

173

MATEMÁTICA


Razón Trigonométrica de

Calculamos “a” : tomemos una razón trigonométrica de 16, que relacione el dato con la incógnita.

)( RT conocido Lado

odesconocid Lado

cm 14 a

25

7

cm 50

a

16º sen cm 50

a

Calculamos “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez

conviene trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16.

cm 48 a

25

24

cm 50

a

16º Cos cm 50

b

7.5 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE SENOS “En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”

b

50cma

16

β

b

50cma

16

β

β

a b

c

Senc

Senb

Sena

174

MATEMÁTICA


Ejemplo: 1. Resolver el triángulo que se muestra continuación: Solución: Resolver el triángulo consiste en hallar la medida de sus lados y sus ángulos internos. Entonces tenemos que hallar las medidas de “L”, “β” y “” . Primero hallamos el valor de “” aplicando la ley de senos :

30º : Entonces ; 2

1

70

37º Sen70

θ Sen

70m

37º Sen

84m

Sen

845

3

Sen

84Sen

Ahora hallamos el valor de “β”:

37º + 30º + β = 180º β = 113º Aplicamos la Ley de senos para calcular el valor de “L”:

m 128,87 L : Entonces

Tablas) (Por 0,9205 67º Sen ;

2

10,9205m 70

30º Sen

67º Senm 70 L

Cuadrante) I (Reducción Sen67º113º Sen :Pero

30º Sen

113º Senm 70 L

30º Sen

70m

113º Sen

L

37º

β

70 m

84 m

L

37º

30 113

70 m

84 m

L

175

MATEMÁTICA


7.6 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE COSENOS “En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”

2ab.Cosθbac 222 Ejemplo: 1. Hallar la medida del lado “x” Solución:

cos37º201222012x 222

5

4480400144x2

384544x2

m. 104 160x

PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I MEDIDAS TRIGOMETRICAS 1. Sobre un cuerpo actúa una fuerza vertical de 10 N hacia arriba, una fuerza hacia la

izquierda de 15 N. ¿Qué ángulo forma la resultante con la horizontal?

a) 18,1° b) 33,7° c) 25° d) 27,5° e) 20,8°

2. Un cuerpo que pesa 100kg fuerza, sube un plano inclinado de 37° ¿Hallar la normal en N?

a) 298 b) 537 c) 706 d) 593 e) 785

a

b

c

37º

20 m

12 m

x

176

MATEMÁTICA


3. Convertir 5° a radiantes.

a) 8

b) 7

c) 6

d) 3

e) 36

4. Convertir 0.5 radiantes a grados sexagesimales:

a) 35° b) 44,1° c) 50° d) 28,64° e) 39°

5. Hallar el valor de 2 radiantes en grados:

a) 77° 47´ 45 ´´ b) 57° 37´ 45 ´´ c) 27° 17´ 25 ´´ d) 114° 35´ 29 ´´ e) 58° 17´ 45 ´´

6. Encuentre el valor del cos , si el 5.0sen a) 0.78 b) 0.86 c) 0.5 d) 0.63 e) 0.83

7. Hallar el valor de la tan , si la 4sec .

a) 0.31 b) 0.20 c) 0,25 d) 0.34 e) 0.60

8. Se observa un árbol a una distancia de 25m, con una ángulo de elevación de 53° ¿Cuál

es la altura del árbol?

a) 85m b) 33m c) 125m d) 37m e) 29m

177

MATEMÁTICA


9. Se observa desde lo alto de un edificio de altura 20m a un auto, con un ángulo de depresión de 37°. Si el auto de aleja del edificio a una velocidad de 15m/seg ¿A qué distancia del edificio se encontrará el auto en 2 segundos?

a) 75m b) 57m c) 115m d) 50m e) 250m

10. ¿A qué es equivalente 5

4 rad ?

a) 130° b) 124° c) 136° d) 124° e) 164°

11. Expresar 150° en radianes.

a) rad 54

b) rad 45

c) rad 34

d) rad 65

e) rad 6

12. En un triangulo rectángulo, el perímetro es igual a 90 cm y el coseno de uno de los ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de la hipotenusa de dicho triangulo. a) 13 b) 26 c) 39 d) 52 e) 65

13. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo

a) 2

b) 22

c) 23 d) 2 e) 4

178

MATEMÁTICA


14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:

SenCsenACalcularMA ..12

5cot

a) 3/13 b) 5/13 c) 7/13 d) 9/13 e) 11/13

15. Si Tg = Sen�45° + Cos60° Hallar. Sen ( Es un ángulo agudo)

a) 2

2 b)

2

23 c)

4

2 d)

8

2 e) 2

PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II 1. Halle “ x”

a) 4

b) 4 2

c) 4 3

d) 4 6 e) 6

2. Hallar AF si AM= 2 5

a) 3.873 b) 7.746

c) 5

d) 3

5

e) 10

3. Hallar (X + Y):

a) 35 b) 30 c) 40 d) 20 e) 25

4. Hallar R:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

5. Hallar R:

a) 70,0 b) 43,6 c) 28,2 d) 35,0 e) 90,0

52

179

MATEMÁTICA


UNIDAD 08

MEDIDAS DE LONGITUD

180

MATEMÁTICA


8.1 SISTEMA MÉTRICO

Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie, tomada como

unidad de medida

Cientos de años atrás, la gente media el largo de objetos usando partes del

cuerpo. Por ejemplo, el pie de una persona representaba a un pie de largo, el

ancho de un pulgar era una pulgada, el espacio entre brazos extendidos (de la

punta de un dedo hasta la punta del otro), eran 6 pies.

Cuando los Británicos comenzaron a establecerse en Norteamérica las colonias

usaban pesos y medidas que eran comunes en aquel tiempo. Aún había

confusión entre medidas que llegaron hacerse hasta más confusas después de la

Revolución Americana, pues cada una de las 13 colonias trataba de encontrar

una norma uniforme de pesas y medidas.

También los Franceses, Españoles y Holandeses tenían sus propias normas y

nadie estaba de acuerdo. Es así que en el año 1832, el Departamento de

Tesorería dispuso que Ferdinad Rudolph Hassler construyera las normas de

medida y masas, y en el año 1836, el Congreso oficialmente creó la Oficina de

Pesos y Medidas. Hassler escogió el Sistema Imperial de Inglaterra sobre el

sistema métrico. Sin embargo, el Sistema Internacional (SI) de Unidades

(Sistema Métrico), es aceptado como la norma de medidas.

8.1.1 Unidad Fundamental (EL METRO)

Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad

fundamental de la magnitud longitud es el METRO.

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DEFINICIÓN DE LA UNIDAD

Longitud metro m

Longitud del trayecto recorrido en el vacío,

por un rayo de luz en el tiempo de

s 458 792 299

1

181

MATEMÁTICA


8.1.2 PREFIJOS EN EL S.I.

Los prefijos del SI son prefijos empleados para nombrar a los múltiplos y

submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades

básicas o derivadas

PREFIJO SÍMBOLO FACTOR NOMBRE DEL VALOR

NUMÉRICO

Para formar múltiplos decimales

exa

peta

tera

giga

mega

kilo

hecto

deca

E

P

T

G

M

k

h

da

10 18

10 15

10 12

10 9

10 6

10 3

10 2

10

trillón

mil billones

billón

mil millones

millón

mil

cien

diez

Para formar submúltiplos decimales

deci

centi

mili

micro

nano

pico

femto

atto

d

c

m

n

p

f

a

10 -1

10 -2

10 -3

10 -6

10 -9

10 -12

10 -15

10 -18

Décima

centécima

milésima

millonésima

mil millonésima

billonésima

mil billonésima

trillonésima

En el caso de la medida de longitud

Múltiplos Submúltiplos

kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

X 1000 X 100 X10 : 10 : 100 : 1000

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

1 km 1 hm 1 dam 1 m 1 dm 1cm 1 mm

182

MATEMÁTICA


Largo = …………unidades

Aplique este conocimiento midiendo el largo, ancho y alto de su mesa de trabajo.

Anote estos datos, usando como unidades de medida el centímetro y el milímetro.

Largo ....................... cm ... ........................ mm

Ancho ...................... cm ........................... mm

Alto ........................... cm ........................... mm

Sin embargo, el centímetro y el milímetro, no son las únicas unidades de medida,

si tomamos 10cm, tenemos 1 decímetro.

1 decímetro = 10 centímetros

Y si tomamos 10 decímetros, tenemos 1 metro (1 m) que es la unidad principal de

medida de longitud.

Como ejercicio, tome las medidas de longitud de los objetos indicados abajo,

anotando sus resultados.

a) Un libro

b) Un salón de clase

c) Un lápiz

Continuemos multiplicando cada unidad por 10 y tenemos:

10 m forman 1 decámetro dam

10 dam forman 1 hectómetro hm

Observe, con atención, los dibujos de abajo. Cada una de las aristas de los

cuerpos reciben, en geometría, el nombre de segmento de recta.

Midamos algunos de ellos, recordando que medir un segmento de recta es

verificar cuantas veces una unidad está contenida en él.

183

MATEMÁTICA


Ancho = ……. Unidades Altura = ……. Unidades

Muy Importante

El número es la MEDIDA y el segmento (u) es la UNIDAD DE MEDIDA

Subraye, entonces, con un trazo, la medida, y con dos, la unidad de medida.

Ejemplo:

La longitud de la regla es de seis pulgadas.

La broca de tres cuartos está sobre la bancada.

Compré mil milímetros de alambre de cobre.

Esta caja contiene doce docenas de pernos.

La primera clase comienza a las 7 h y 15 minutos.

En los dibujos de la página anterior, los segmentos medidos representan: Largo,

ancho y altura. La unidad (u), tomada como medida, fue el centímetro (cm).

Note que cada centímetro está dividido en partes iguales, cada una de las cuales

se llama milímetro (mm).

En la medición de la longitud: tenemos: 6 u = 6 cm = 60 mm.

Usted puede comprobar que:

184

MATEMÁTICA


10 veces 1 milímetro es igual a 1 centímetro

10 x 1 mm = ........ mm = 1 .......

Complete Usted

Ancho = 2,5 u = 2,5 cm = .......... mm

alto = 1 u = 1 cm = .......... mm

Por consiguiente, acabamos de formar un conjunto (Sistema Internacional) de

unidades de medidas de longitud. Observe el cuadro:

8.1.3 MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS DEL METRO

MÚLTIPLOS UNIDAD SUBMÚLTIPLOS

km hm dam m dm cm mm

kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Observación:

Es preciso aclarar que:

Existen múltiplos mayores que el kilómetro.

Existe submúltiplos menores que el milímetro.

Por ejemplo:

En mecánica de precisión y en trabajos científicos, se usan otros submúltiplos

del metro, como por ejemplo la millonésima parte ( micra) del metro que se

denomina micra ( m).

185

MATEMÁTICA


Resumiendo tenemos:

Medidas mayores que el metro, o sea, múltiplos del metro:

decámetro dam 1 dam = 10 m

hectómetro hm 1 ....... = 100 ........

kilómetro km 1 .........= ……........

1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m

Medidas menores que el metro, o sea submúltiplos del metro:

decímetro dm 1 dm = 0,1 m

centímetro cm 1 ....... = ......... m

milímetro mm 1 ....... = .............

1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m

EJERCICIOS

Haciendo uso de los conceptos vertidos y detallados anteriormente, procuremos

ejercitarnos:

1. Complete:

a) 5 dam = cinco decámetros

b) 18 mm = ...................................................

c) ........................... = doce kilómetros

d) ........................... = nueve hectómetros

e) 35 cm = .....................................................

f) . .....................dm = siete ..........................

186

MATEMÁTICA


2. Complete:

a) 9,082 km = 9 km, 8 dam y 2 m

b) 13,052 km = ......... km, ........ hm, ...... dam y ...…. m

c) ............dam = 19 dam, 5m y 3dm

d) 9,5 ..............= 9 m y 5 dm

e) 8,25 dm = ............. y .............

3. Usted ya sabe que:

1 dam = 10 m

Entonces, complete:

a) 8 dam = 8 x 10 = 80 m

b) 28 dam = ............................ = .......................... m

c) 3,4 dam = ........................... = …………………. m

d) 53 m = 53 10 = 5,3 dam

e) 156 m = ……………………. = …………………. dam

f) ,90 m = ……….……………. = ……………….… dam

4 . Usted también ya sabe que:

1 hm = 10 dam

Complete entonces:

a) 5 hm = 5 x 10 = 50 dam

b) 0,8 hm = ......................... = ........................ dam

c) 58 hm = ......................... = ….……………. dam

187

MATEMÁTICA


d) 30 dam = 30 10 = ………. hm

e) 48 dam = …………..…… = ……..………….. hm

f) 0,08 dam = …………… .. = …….………...… hm

5. Siguiendo el raciocinio de las preguntas 3 y 4, para las otras unidades,

complete:

a) 2 km = 2 x 10 = 20 hm

b) 72 km = ........................... = …………………. hm

c) 0,8 km = ……………….… = …………………. hm

d) 5 m = 5 x 10 = 50 dm

e) 3,8 m = ..………………….. = …………………. dm

f) 4 dm = 4 x 10 = 40 cm

g) 52 dm = …………………... = ….………..……. cm

8.1.4 CONVERSIÓN DE UNIDADES

La unidad escrita se refiere a la cifra que está a la izquierda de la coma decimal,

que usted debe haber observado.

Ejemplo: En 45,87dm, tenemos 5 que corresponde al casillero de dm.

Para convertir unidades, basta recordar el principio de la numeración decimal. Por

consiguiente, para escribir 45,87 dm en metros, tenemos:

M dm cm mm 4,587 m

4 5 8 7 que se lee, 4 metros y 587 milímetros

188

MATEMÁTICA


Observe con atención, la escalinata con sus “carteles”.

Pues bien:

Cada grada que descienda, corra la coma decimal un lugar hacia la derecha.

Cada grada que suba, corra la coma decimal un lugar hacia la izquierda.

Realice ahora los ejercicios que siguen:

6. De las equivalencias:

1 dam = ........... m 1dm = ….............. m

1 hm = ………….m 1cm = ..…………..m

1 km = .…………m 1mm = ….……….. m

7. Siga el Ejemplo, no olvide que la unidad indicada se refiere al orden

colocado inmediatamente antes de la coma decimal.

Ejemplo: 35,40 m = 35 m y 40 cm 2,5 mm = .....................................

802,7cm = ................................... 1,520 km = ....................................

7,28 dm = .................................... 0,85 m = ....................................

8. Complete, observando el ejemplo:

a) Nueve metros y treinta centímetros = 9,30 m

b) Doce centímetros y doce milímetros = .............................................

c) Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = ...........................

d) Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = ..........................

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

189

MATEMÁTICA


9. Complete el cuadro de abajo, observando los ejemplos:

Ejemplo:

m dm cm mm

a) 7 mm a 7

b) 14,5 dm b 1 4 5

c) 4,5 m c

d) 20,1 cm d

e) 0,2 m e

f) 12,5 cm f

g) 3 m g

h) 0,8 dm h

10. Responda:

a) ¿ Cuál es mayor? ¿5cm ó 25 mm? .............................................

b) ¿Cuál es menor? ¿2dm ó 12 cm? ...............................................

c) ¿Cuántos dm hay en 1 metro? ....................................................

d) ¿Cuántos cm hay en 1 metro? ....................................................

e) ¿Cuántos mm hay en 1 metro? ...................................................

11. Complete:

a) En 1 km hay ........................................ metros

b) En 1 hm hay ........................................ metros

c) En 1 dam hay ...................................... metros

d) En 3 m hay ...........................................decímetros

e) En 5 m hay ...........................................centímetros

f) En 10 m hay ........................................ milímetros

12. Complete:

6m = .................................. dm 23 dm = ......................... m

9,7m = …………………….. dm 80 dm = ………………… m

190

MATEMÁTICA


88,53 m = ……………….… dm 8,2 dm = ……...………… m

0,44 m = ………………….. dm 33,4 dm = ..……..…..….. m

13. Coloque convenientemente los símbolos en las siguientes conversiones:

a) 45,67 m = 456,7 ................ g) 289,05 km=28 905 .............……

b) 45,67 m = 4567 ……….…. h) 300,7 mm = 3,007 …..………….

c) 45,67 m = 45 670…………. i) 0,7 km = 0,007 ………………….

d) 45,67 m = 4,567 …………. j) 10 hm = 100 000 …………………

e) 45,67 m = 0,4567 ………... l) 9,47 cm = 94,7 ............................

f) 45,67 m = 0,04567 ............ m) 4000 dm = 4 …………………….

14. Escriba en los puntos, los valores correspondientes:

a) 8 m = ........................ cm g) 4 cm = ......…...........…..... dam

b) 17 m = ………………. mm h) 38 cm = .….………….….. m

c) 9,5 m = ……………… cm i) 680 cm = …………….…. m

d) 0,16 m = ………….… dm j) 77,5 cm = ………………… hm

e) 0,007 m = ………….. km l) 6,91 cm = ......................... dm

f) 2800 m = .................... cm m) 0,25 cm = ……………….. mm

15. Efectúe, haciendo la conversión de unidades conveniente:

80 cm + 0,7 Km + 5,2 m = ............................................................ m

4,8 dam – 1 000 mm + 85 cm = …………………………………… cm

274,6 m – 1,360 dam = …………………...………………………… m

Solucionario:

1. b) Dieciocho milímetros

c) 12 km

d) 9 hm

e) Treinta y cinco milímetros

f) 7 dm = siete decímetros

191

MATEMÁTICA


2. b) 13 km, 0 hm, 5 dam y 2 m

c) 19,53 dam

d) 9,5 m

e) 8 dm, 2 cm y 5 mm 3. b) 28 x 10 = 280 m

c) 3,4 x 10 = 34 m

d) 156 : 10 = 15,6 dam

e) 90 : 10 = 9 dam 4. b) 0,8 x 10 = 8 dam

c) 58 x 10 = 580 dam

d) 30 : 10 = 3 hm

e) 48 : 10 = 4,8 hm

f) 0,08 : 10 = 0,008 hm 5 b) 72 x 10 720 hm

c) 0,8 x 10 8 hm

d) 3,8 x 10 38 dm

c) 52 x 10 = 520 cm 6. 1 dam = 10m 1 dm = 0,1 m

1 hm = 100 m 1 cm = 0,01 m

1 km = 1000 m 1 mm = 0,001 m 7. 802,7 cm = 802 cm y 7 mm

7,28 dm = 7dm y 28 mm

2,5 mm = 2 mm y 5 décimos de mm

1,520Km = 1 Km y 520 m

0,85 m = 85 cm 8. Doce centímetros y doce milímetros = 12,12 dm

Cuarenta y ocho centímetros y siete milímetros = 48,7cm

Treinta y dos milímetros y ocho décimos de mm = 32,8 mm

192

MATEMÁTICA


9.

m dm Cm mm .......... ........ .......... ............ ..........

c 4 5 d 2 0 1 e 0 2 f 1 2 5 g 3 h 0 8

10. a) 5 cm b) 12 cm c) 10 dm d) 100 cm e) 1000 mm 11. a) 1000 m d) 30 dm

b) 100 m e) 500 cm

c) 10 m f) 10 000 mm

12. 6m = 60 dm 23 dm = 2,3 m 9,7 m = 97 dm 80 dm = 8 m 88,53 m = 885,3 dm 8,2 dm = 0,82 m 0,44 m = 4,4 dm 33,4 dm = 3,34 m

13. a) ………………. = 456,7 dm g) ……………. = 29 905 dam

b) ………………. = 4567 cm h) ……………. = 3,007 dm

c) ………………. = 45 670 mm i) ………….…. = 0,007 km

d) ………………. = 4,567 dam j) …………….. = 100 000 cm

e) ………………. = 0,4567 hm l) …………….. = 94,7 mm

f) ........................ = 0,04567 km m) .................. = 4 hm 14. a) ……………….. = 800 cm g) …………….. = 0,004 dam

b) ……………….. = 17 000 mm h) …………….. = 0,38 m

c) ……………….. = 950 cm i) ……………… = 6,80 m

d) ……………….. = 1,6 dm j) ……………… = 0,00775 hm

e) ……………….. = 0,000 007 km l) ……………… = 0,691 dm

f) ………………… = 280 000 cm m) ……………. = 2,5 mm 15. 0,80 m + 700 m + 5,2 m = 706 m

4800 cm – 100 cm + 85 cm = 4785 cm

27,6 m – 13,6 m = 14 m

193

MATEMÁTICA


Observación

Unidades que permiten medir a seres microscópicos o distancias

inapreciables por los seres humanos:

1 micra 0,001 milímetros.

1 nanómetro 0,000 001 milímetros.

1 angstron (A°) 0,000 000 1 milímetros.

Unidades que permiten medir enormes distancias, como la distancia de

los planetas:

1 año luz 9,461 mil millones de kilómetros.

(distancia que recorre la luz en un año)

1 unidad astronómica 149 600 000 km de longitud.

194

MATEMÁTICA


8.2 SISTEMA INGLÉS

Ahora vamos a pasar de una a otra unidad (pulgada) que además se emplea en

las especificaciones de materiales y de productos de USO industrial: la

pulgada.

Usted ya vio algo sobre pulgadas en la unidad 4 ¿recuerda?

Pues bien, en nuestra industria, las medidas de máquinas, herramientas,

instrumentos e instalaciones, se utiliza también otra unidad de medida,

denominada PULGADA.

8.2.1 PULGADA

La pulgada se representa simbólicamente por dos comillas (“) colocadas a la

derecha y un poco encima de un número.

Vea:

La figura de abajo representa un tipo de regla de 6 pulgadas de longitud. Observe

con atención:

La palabra INCH que se encuentra escrita en esta regla, en inglés significa

“pulgadas”

Dos pulgadas se abrevia

Tres pulgadas se abrevia

2 ”

3 ”

1”

25,4 mm

195

MATEMÁTICA


1 3”4

8.2.2 EQUIVALENCIAS DE PULGADAS

Por consiguiente una pulgada corresponde a veinticinco milímetros y cuatro

décimos, aproximadamente.

Las medidas en PULGADAS pueden ser expresadas:

En NÚMEROS ENTEROS

Ejm: 1” ; 2” ; 17”

En FRACCIONES ORDINARIAS de denominadores 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.

Ejm: 8"5

4"3

'2"1

;;

En NÚMEROS MIXTOS, cuya parte fraccionaria tendrá, también, como

denominador 2; 4; 8; 16; 32; 64 y 128.

Ejm: 64

"1374"31

'2"12 ;;

1pulgada = 1” = 25,4 mm

Además: 1pie = 1 = 12 pulgadas

1yarda = 3 pies = 3 = 36

1 pie = 0,3048 m

1 yarda = 0,9144 m

1 m = 3,28 pies 1 pie = 1

1

3”4

196

MATEMÁTICA


OBSERVACIÓN

Encontramos algunas veces pulgadas escritas en forma decimal

Ejm: "25,0"4

"1"5,0

2

"1 "75,0

"4

"3"125,0

8

"1

Para medir una longitud utilizando pulgadas, es necesario que usted observe las

divisiones de la regla. Vea:

1. En la parte superior, cada pulgada fue dividida en 8 partes iguales, por tanto

cada división es 1/8” (un octavo de pulgada).

2. Cada pulgada fue además dividida en 16 partes iguales (la menor división es

16

1); excepto una parte de 1” cuya menor división es

32

1 (de 1” a 32”)

3. ¿Comprendió? Continúe que no queden dudas, tenga seguridad

Vea la medida de la longitud AB

La regla indica:

4. La pulgada está dividida en 8 partes iguales.

De A hasta B tenemos.......... partes iguales. Muy bien, 5 partes.

Por consiguiente la pulgada fue dividida en 8 partes y estamos tomando 5

partes, luego: La medida de A hasta B es ……

Su respuesta probablemente fue 5/8”.

Observe finalmente la lectura de las medidas indicadas en las reglas que

siguen, comenzando siempre la cuenta del inicio de la regla.

197

MATEMÁTICA


Medida A = 2” Medida B = 8

"51 Medida C =

2

"12

Medida D = 4

"33 Medida E =

16

"1 Medida F =

16

"13

¿Comprendió las mediciones? No siga adelante si tiene dudas...

Ejercicio:

Medida G = 2

"12 Medida H =

8

"7 Medida I =

4

"13

Medida J = 32

"17 Medida L =

16

"15 Medida M =

32

"71

Efectúe las lecturas de las medidas indicadas en la regla de abajo:

8.2.3 TRANSFORMACIÓN DE PULGADAS EN MILÍMETROS

Para transformar pulgadas en milímetros, usted debe multiplicar el número

presentado en pulgadas por 25,4 mm. Es fácil llegar a esta conclusión, veamos:

1. Si 1” es igual a 25,4 mm

5” será igual a 5 veces 25,4 mm ¿Cierto?

5” = 5 x 25,4 mm = ........................................... mm

2. 4

34,2543

4"3 x

x ………………………….. mm

3. 0,8” = 0,8 x 25,4 mm = ........................................... mm

4. ...................................8

11

8

"31 x

198

MATEMÁTICA


Observe los ejemplos del cuadro y complételo convenientemente.

Pulgada Número x 25,4 mm mm

1” 1 x 25,4 mm 25,4 mm

3” 3 x 25,4 mm 76,2 mm

5” 5 x 25,4 mm .............

10” 10 x ................................. .............

2

"1

2

mm 25,4

1

4,25

2

1

mmx 12,7mm

4

"3 mmxx

4

4,253

1

mm 25,4

4

3 19,05

8

"72

8

4,2523

1

mm 25,4

8

23 mmxx ..............

16

"11 ....................

16

"11x ..............

Usted ahora vera como se hace el problema inverso, esto es.

8.2.4 TRANSFORMACIÓN DE MILÍMETROS A PULGADAS

Para transformar milímetros en pulgadas, usted debe dividir el número presentado

en milímetros entre 25,4 y después multiplicar el resultado por 1” o fracción

equivalente, es decir:

128

"128

64

"64;

32

"32;

16

"16;

8

"8;

4

"4;

2

"2ó

Usted hará esta multiplicación para obtener la fracción de pulgada

Observe con atención los ejemplos y complete:

1. Transformar 50,8 mm a pulgadas:

24,258,50

8,504,25"1

mm

mm

mmx

mm

2.1” = 2”

Rpta. = 50,8 mm = .......................

199

MATEMÁTICA


2. Transformar 12,7 mm a pulgadas:

5,04,257,12

mm

mm

0,5 . 1” = 0,5” = 2

"1

2

"1

64

64:

128

64

128

"128.5,0

Rpta. = 12,7 mm = ...........................

3. Transformar 10 mm a pulgadas:

mm

mm

4,25

10....................

....................... x 1” = .......................

ó ................................ x _________......

"50

128

"128x

Rpta. = 10 mm = 64

"25

Resuelva ahora los ejercicios siguientes:

Transforme:

a) 21,2 mm a fracción irreductible de pulgada.

mm

mm

4,25

2,21 ................ x 1” = ............................

ó ............... x 128

"128................... Rpta. = 21,2 mm = .............

b) 2 mm a fracción irreductible de pulgada:

Rpta. = 2mm = ....................

Para resolver estos problemas se acostumbra usar REGLA PRACTICAS vea:

200

MATEMÁTICA


TRANSFORMAR MILÍMETROS A PULGADAS (NÚMERO DECIMAL)

En este caso usted vio que tendrá que dividir el número de milímetros entre.........

Pues bien, dividir entre 25,4 mm es lo mismo que multiplicar por 4,25

1 , ¿De

acuerdo?

Como: 03937,04,25

1 , podemos escribir la primera regla práctica:

Para transformar milímetros a pulgadas representadas por

números decimales, se multiplica los milímetros por

......................... obteniéndose el resultado en pulgadas

(decimales).

Ejemplo: Transformar 10 mm a pulgadas, representado en número decimales.

10 x 0,03937 = 0,3937”

Ejemplo: Transformar ahora 25 mm en fracción decimal de pulgada.

Rpta. .......................

TRANSFORMAR MILÍMETROS A FRACCIÓN ORDINARIA DE PULGADA

Usted ahora multiplicará por 04,54,25

128,128128

4,251

comoperox tiene usted la

segunda regla práctica. Luego:

Para transformar milímetros a fracción ordinaria de pulgada,

se multiplica los milímetros por 5,04 (numerador), y se coloca

el resultado sobre el denominador 128.

Observe el ejemplo con atención, que entenderá mejor la segunda regla práctica.

201

MATEMÁTICA


Ejemplo: Transformar 10 mm a fracción de pulgada:

64

"25

128

"50

128

04,510

x

Rpta. .....................

Resuelva ahora aplicando la regla práctica.

1. Transformar 21,2 mm a fracción ordinaria de pulgada

128

"107

128

04,52,21

x

2. Transformar 2 mm a fracción de pulgada:

Rpta. ...................

“Primero se multiplica y se redondea la parte entera”

202

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una cuadrilla de trabajadores asfaltaban en el mes de enero 3 km de una

carretera, en febrero 3 hm 8m y en el mes siguiente 14 dam 34m. ¿Cuántos hectómetros de carretera se han asfaltado en los tres meses?

km hm dam m dm 3 0 3 0 8 1 4 3 4

Es decir 34,82 hm

2. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden obtener de una tira de

madera de 5 m 6dm?

hm dam m dm cm 0, 0 5 0 0 6 0

Es decir 560 cm, luego el número de varillas = 2028560

cm

cm

3. Una lámina de acero de 29,343 cm de longitud se divide en 12 partes iguales.

¿Cuál es la longitud de cada parte, si en cada corte se pierde 0,93 mm del material?

Para obtener 12 partes se deberá hacer 11 cortes, pero en cada corte se pierde 0,93 mm del material. Luego, por los 11 cortes se perderá: 0,93 mm x 11 = 10,23 mm = 1,023 cm. Entonces quedará: 29,343 cm – 1,023 cm = 28,32 cm

Por lo tanto, la longitud de cada parte será: cmcm 36,2

1232,28

4. ¿Cuántos cuadraditos de 5 mm de lado se cuentan en una hoja cuyas

medidas son 20 cm de largo y 0,1 m de ancho? Largo 20 cm = 200 mm Ancho 0,1 m = 10 cm = 100 mm

Área de la hoja = (200 mm) . (100 mm) = 20 000 mm2

203

MATEMÁTICA


Área del cuadradito = (5 mm) . (5 mm) = 25 mm2

Por lo tanto, el número de cuadraditos será = 8002500020

2

2

mm

mm

5. El perímetro de un rectángulo mide 1500 mm y el ancho mide 25 cm, ¿Cuánto

mide el largo del rectángulo, expresar la respuesta en dm? Perímetro del rectángulo = 2(l + a) =1500 mm, de lo cual (l +a) = 750 mm Como el ancho mide 250 mm, el largo medirá:

750 mm – 250 mm = 500 mm.

6. Convertir a fracción de pulgada 92,075 mm.

Aplicando la regla de conversión:

853

829

128464

12804,5075,92

pulgadas.

7. Una cinta metálica esta graduada en pies, pero en forma errónea, de tal

manera que cuando mide 15 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies. ¿Cuál es la verdadera medida de una tira de madera de 6,25 pies?

Si 6,25 pies = 6,25 x 12 pulg = 75 pulg 15 pies = 15 x 12 pulg = 180 pulg 18 pies = 18 x 12 pulg = 216 pulg Aplicando regla de tres simple directa, tendremos: 180 pulg ________ 216 pulg 75pulg _______ x

Luego: x = 90 pulg

8. A qué es equivalente 437 pulgadas en metros.

lg75,775,07437

437 pu , que convertidos a mm dará:

7,75 x 25,4 mm = 196,85 mm; y expresado en metros. 0,19685 m

204

MATEMÁTICA


9. Por la compra de 3 pies 9 pulgadas de un tubo de latón se pagó S/. 43. ¿Cuántos metros se podrá comprar con S/. 130?

Se tiene que 3 pies 9 pulg = 3 x 12 pulg + 9 pulg = 45 pulg Convirtiendo 45 pulg a mm: 45 x 25,4 mm = 1143 mm ó 1,143 m Aplicando regla de tres simple directa, tendremos: 1,143 m ________ S/. 43 X ________ S/. 130

Luego: x = 3,45 m

10. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

3,5 yd

2’ 3” 2’ 3”

3,5 yd 3,5 yd = 3,5 x 36 pulg = 126 pulg 2 pies 3 pulg = 2 x 12 pulg + 3 pulg = 27 pulg Perímetro del rectángulo = 2 (l + a) = 2 (126 + 27) = 306 pulg Convirtiendo a cm, se tendrá: 306 x 2,54 cm = 777,24 cm

205

MATEMÁTICA



CONVERSIÓN DE UNIDADES DE LONGITUD 1. Convierta en cm:

0,36 dm; 312mm; 0,8m; 3,7 dm; 0,01 m; 62,8 mm; 0,68 dm

2. Convierta en dm:

3,21 m; 0,48 m ; 3,4 mm ; 8,6 cm ; 7,88 mm ; 32, 08 m ; 7,85 cm

3. Convierta en mm:

2,84 dm; 6,82 m ; 5,8 dm; 0,3 m; 6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm

4. Convierta en m:

2,84 dm ; 7621 cm ; 0,5 mm ; 7,8 cm ; 3,41 dm; 482,5 mm; 0,85 cm 5. Sume en mm:

3, 42 m + 34 cm + 68, 1 dm + 34, 1 mm + 0,085m + 3,485 cm + 0, 05 dm 6. Sume en cm:

3,42 m + 38 cm + 0,12 mm + 0, 03 dm + 0,045 m + 0,00875 dm + 22,2 cm

7. Reste en m:

86, 4m – 8,2 cm – 3,45 cm – 0,87 dm – 0,0034m – 0,082 dm

8. Un acero cuadrado con 1430 mm de longitud se reduce en 138 cm. ¿Qué longitud tiene la pieza restante (en m)?

9. Los extremos de dos tubos de 420 mm y 38,2 cm de longitud se sueldan a

tope entre sí. Calcule la longitud del tubo soldado en cm. 10. La distancia entre centros de dos perforaciones de 44 y 23 mm de diámetros

respectivos es de 318,5 mm. ¿Cuánto material queda entre las perforaciones? 11. Se quieren poner dos soportes en un eje de 732 mm de longitud a tres

distancias iguales ¿Qué longitud tienen los espacios? 12. En un hierro plano de 5,81 m de longitud se quieren perforar 6 agujeros a

igual distancia entre si y de los extremos. Calcule dicha distancia.

206

MATEMÁTICA



1. Efectuar y expresar en metros la respuesta:

1,23 dam + 25,4 cm + 0,04 hm

A) 52,554 m

B) 16,554 m

C) 46,56 m

D) 26,45 m

E) 12,954 m

Solución:

2. Efectuar y expresar en milímetros la respuesta: 0,123 dm + 42,7 cm + 0,0057 m – 240 mm

A) 367 mm

B) 20,5 mm

C) 2040 mm

D) 205 mm

E) 248 mm

Solución:

3. ¿Cuántas varillas de 2,8 dm de longitud, se podrán obtener de una varilla de 5m 6 dm?

A) 36

B) 18

C) 20

D) 40

E) 48

Solución:

4. Se tiene una canaleta de 124,8 dm y se corta los 3/8 de ella, ¿Qué longitud queda?

A) 7,8 m

B) 0,078 8 m

C) 780 dm

D) 7800 mm

E) 78,8 dm

Solución:

207

MATEMÁTICA


5. Cierta persona compró 123,45 dam de cable eléctrico, de los cuales vende 0,004 km, utiliza 1246 cm y dona 340 dm. ¿Cuánto le queda?

A) 116,5 dam

B) 1184,04 m

C) 11,84 dm

D) 1184 cm

E) 116,52 m

Solución:

6. La medida de la arista de un cubo es 0,52 m, ¿Cuál será la suma de las medidas de todas sus aristas?

A) 31,2 dm

B) 20,8 dm

C) 41,6 dm

D) 42,7 dm

E) 62,4 dm

Solución:

7. El perímetro de un hexágono regular mide 450 cm, ¿Cuánto mide cada lado?

A) 0,75 cm

B) 0,007 5 m

C) 0,075 m

D) 75 dm

E) 0,75 m

Solución:

8. Convertir 15 cm a pulgadas.

A) 6”

B) 4 29/64 ”

C) 5 29/32 ”

D) 5,7”

E) 4 29/32 ”

Solución:

208

MATEMÁTICA


9. Convertir 1502,5 pies a hm.

A) 3,048 hm

B) 18 030 hm

C) 4,579 62 hm

D) 1,803 hm

E) 30,48 hm

Solución:

10. Un milímetro a pulgada representa:

A) 7/32 ” B) 5/64 ”

C) 3/64 ”

D) 3/128 ”

E) 5/128 ”

Solución:

11. Convertir 4 ¾ de pulgada a mm.

A) 120,6 mm

B) 103,5 mm

C) 120 mm

D) 114,3 mm

E) 107,9 mm

Solución:

12. Efectuar en pulgadas:

12 yardas 45 pies 23 pulgadas

A) 1018”

B) 599”

C) 995”

D) 870”

E) 1095”

Solución:

209

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel III

1. ¿A cuántos centímetros equivale "

413 ?

a) 2,54cm b) 10,2cm c) 8,255cm d) 6,72cm e) 9,28cm 2. El equivalente de 127mm a pulgadas es: a) 4” b) 5” c) 6” d) 8” e) 3” 3. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones. I) 13,56dm < > 1m 35cm 6mm II) 31,67m < > 3Dm 16dm 7cm III) 5,608Hm < > 56Dm 8m IV) 2,24dm < > 0,2m 24cm a) VVFF b) VVFV c) VVVF d) VVVV e) FVVF 4. ¿Cuántas partes de 16mm de longitud pueden cortarse de una barra de 14,696dm de longitud, usando una herramienta de 2,4mm de ancho sin que sobre material? a) 8 b) 79 c) 80 d) 75 e) 87 5. Efectuar: 0,222dm + 48,5cm – 0,025m – 4,269dm a) 2,048dm b) 10,2dm c) 0,25dm d) 0,553dm e) 1,248dm 6. Convertir a fracción de pulgada 92,075mm.

a)"

413 b)

"

1613 c)

"

853 d)

"

812 e)

"

814

7. Si: A = 45,8cm – 0,0428m; B = 0,82dm + 14, 3cm

C = BA 32

; halle el exceso de A sobre C

a) 28,84cm b) 10,2cm c) 48,24cm d) 2,16cm e) 24,12cm 8. En un dibujo a escala una línea de 12mm de longitud representa 54 cm. En el mismo dibujo. ¿Qué longitud representa 153cm. a) 28mm b) 24mm c) 32mm d) 34mm e) 36mm 9. Una sala de 4,5 m de largo y 2,8 m de ancho, ¿cuántas losetas de 30cm de lado necesitarán para ponerle el piso? a) 140 b) 128 c) 180 d) 152 e) 120

210

MATEMÁTICA


10. Una cinta metálica está graduada en pies, pero en forma errónea de tal manera que cuando “mide” 22 pies, en realidad su verdadera longitud es 18 pies 4 pulgadas. ¿Cuál es la verdadera longitud de una distancia que medida con esta

cinta da 326 yardas.

a) 8pies 6pulg b) 12pies 8pulg c) 16pies 8pulg. d) 15 pies 4pulg e) 9 pies 2pulg 11. ¿Cuántos milímetros existen en 3 decímetros y 12 centímetros? a) 410 b) 440 c) 424 d) 428 e) 420 12. Cortando los 2/7 y los 3/5 de una varilla de cobre, la longitud de ésta ha disminuido en 124cm. ¿Cuál era la longitud de la varilla en centímetros? a) 140 b) 120 c) 160 d) 144 e) 158 13. ¿Cuántos centésimos de milímetro están contenidos en cuatro décimos de metro? a) 200 b) 2 000 c) 20 000 d) 200 000 e) 20 14. Al dividir un listón de madera de 2,1 pies de longitud, de tal manera que el trozo menor mida los ¾ de la longitud del mayor. Dar la medida, en centímetros, del trozo mayor. a) 36,57 b) 36,576 c) 36, 574 d) 36, 5 e) 43 15. Hallar el perímetro de la figura en fracción de pulgadas. 14,3

a) "

12853

b) "

3253

c) "

81

d) "

12825

e) "

3221

16. Convertir 2,04mm a fracción ordinaria de pulgada.

a) "

81

b) "

161

c) "

647

d) "

645

e) "

83

17 Halle el perímetro de la región sombreada. Si R = 2,4 mm 14,3 a) 31/64” b) 25/64” c) 29/32” d) 43/64” e) 19/32”

r r

R

0,24 mm 0,24 mm

2,34 mm

2,34 mm

211

MATEMÁTICA


18. Halle la longitud del contorno de la figura. a) 370,44mm. b) 342,32mm. c) 387,35mm. d) 328,52mm. e) 387,24mm. 19. Halle el radio de la circunferencia: a) 1/32” b) 19/128” c) 7/16” d) 11/64” e) 7/32”

813

214

212

MATEMÁTICA


UNIDAD 09

MEDIDAS DE TIEMPO

213

MATEMÁTICA


9.1. MEDIDA DE TIEMPO En la antigüedad, la vida del hombre no era apresurada y sus relojes, de sol, de

agua o de arena, carecían de divisiones especiales para contar los minutos.

Hasta principios del siglo XVIII los relojes no tenían minutero, pero a comienzos

del siglo XIX aparece ya hasta el segundo.

¿Qué puede ocurrir en una milésima de segundo? ¡Muchas cosas! Es verdad

que, en este tiempo, un tren solamente puede avanzar unos tres centímetros,

pero el sonido recorre ya 33 centímetros; un avión cerca de medio metro, la

Tierra, en este intervalo de tiempo, recorre 30 metros de su órbita alrededor del

sol, y la luz, 300 kilómetros.

En la actividad laboral y académica, por lo general, establecemos un registro

del tiempo empleado en la confección de un artículo, en los trabajos de taller,

para la investigación, la elaboración de un informe, la atención al cliente, etc.

En Informática hablamos de tiempo de acceso; en fotografía, tiempo de

exposición; en el deporte, tiempo muerto; en astronomía, tiempo sideral; en

religión, tiempo litúrgico; en lingüística, tiempo compuesto como forma verbal,

entre otros. Y tal como otras magnitudes, los intervalos de tiempo pueden

medirse.

Unidad Fundamental

Teniendo el marco del Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad

fundamental de la magnitud tiempo es el SEGUNDO.

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DEFINICIÓN DE LA UNIDAD

Tiempo segundo s Es la duración de 9 192 631 770 períodos

de la radiación correspondiente a la

transición entre los dos niveles hiperfinos

del estado fundamental del átomo de

cesio 133

214

MATEMÁTICA


9.2. MULTIPLOS DEL SEGUNDO

Se tiene al MINUTO y a la HORA.

El instrumento para medir el tiempo se llama .......................................

El tiempo es la única magnitud no decimal del SI, por lo que para expresar la

hora local utilizando el segundo y sus múltiplos (minuto y hora) se recomienda

lo siguiente:

1. En la representación numérica del tiempo se emplearán las cifras

arábigas (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y se emplearán únicamente los

siguientes símbolos:

h hora

min minuto

s segundo

2. El tiempo se expresará utilizando dos cifras para indicar los valores

numéricos de las horas, de los minutos y de los segundos, separados de

los símbolos de estas unidades mediante espacios en blanco y de

acuerdo al siguiente orden:

Primero: HORA Segundo: MINUTO y Tercero: SEGUNDO

Ejemplo: 08 h 23 min 43 s ; 18 h 54 min 27 s

3. Cuando el tiempo se exprese en horas, minutos y segundos, o en horas

y minutos, puede omitirse el último símbolo respectivo.

Ejemplo: 05 h 11 min 20 s 05 h 11 min 20

00 h 39 min 08 s 00 h 39 min 08

23 h 42 min 18 h 42

15 h 15 h

215

MATEMÁTICA


4. Las 24 horas corresponden a las 00 h 00 del día siguiente.

Ejemplo: Las 24 horas del lunes, corresponden a las 00 h del día martes.

5. Para escribir el tiempo en horas, minutos y segundos, se recomienda

usar el modo descrito anteriormente, dejando de lado la forma antigua.

Ejemplo:

Denominación recomendada Denominación antigua

08 horas 8 a.m.

15 h 30 min ó 15:30 h 15:30 p.m. ó 3 p.m.

12 h 12 m

23 h 42 ó 23:42 h 11:30 p.m.

24 h 12 p.m.

6. Cuando se escriba una cantidad acompañada de una unidad del SI, se

recomienda escribir la cantidad seguida del símbolo de la unidad y no

del nombre del mismo, en especial cuando se trate de documentos

técnicos.

Ejemplo: Correcto Incorrecto

47 s cuarenta y siete s

27 min veintisiete min

RECOMENDACIONES PARA LA ESCRITURA DE FECHAS EN FORMA

NUMÉRICA

a) En la representación numérica de fechas se utilizarán las cifras arábigas,

es decir {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

216

MATEMÁTICA


b) Para expresar el año se utilizarán cuatro cifras, las que se escribirán en

bloque. Cuando no exista riesgo de confusión podrá utilizarse sólo dos

cifras.

Ejemplo: 2007 ó 07

1998 ó 98

Para expresar el mes se utilizarán dos cifras, desde 01 hasta 12. Para

expresar el día se empleará dos cifras, desde 01 hasta 31. Al escribir la

fecha completa, se respetará el orden siguiente:

Primero: AÑO Segundo: MES y Tercero: DÍA

Además se usará preferentemente un guión para separarlos, también se

puede usar un espacio en blanco cuando no exista riesgo de confusión.

Ejemplo: 2005-03-17 ó 2005 03 17

98-09-23 ó 98 09 23

c) Ejemplos de escritura de fechas numéricas

Correcto Incorrecto

20 de marzo del 2007 2007-03-20 20-3-2007

25 de diciembre de 1998 1998-12-25 25 / 12 / 98

28 de julio de 1821 1821-07-28 28 / VII / 1821

30 de abril de 2007 2007-04-30 2,007-04-30

15 octubre de 2003 2003-10-15 15 de octubre de 2003

9.3. EQUIVALENCIA DE UNIDADES DE TIEMPO El tiempo se mide de la unidad más grande a la más pequeña en:

Milenio 1000 años.

Siglo 100 años.

Década 10 años.

Lustro 5 años.

217

MATEMÁTICA


Año 12 meses, 365 días o 366 en los años bisiestos.

(una vez cada 4 años el mes de febrero tiene 29 días)

Semestre 6 meses.

Trimestre 3 meses.

Bimestre 2 meses.

Mes 30 días (abril, junio, septiembre y noviembre).

31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y

diciembre).

Quincena 15 días.

Día 24 h 1440 min 86 400 s

Hora 60 min 3600 s

Minuto 60 segundos

9.4. OPERACIONES CON LA MEDIDA DE TIEMPO

ADICIÓN

Operar: 07 h 45 min + 07 h 15 min +

02 h 14 min 04 h 50 min

09 h 59 min 11 h 65 min 12 h 05 min

Ahora sume usted: 5d 08h 20 min + 12 h 48 min

Muy bien, el resultado es: 5d 21h 08min

Ahora sume usted: 23d 18 h 20 min + 36 h 48 min

El resultado será: ……………………..

Pasemos a otra operación.

218

MATEMÁTICA


SUSTRACCIÓN

Operar: 16 h 50 min - 18 h 30 min - 17 h 90 min -

12 h 30 min 17 h 45 min 17 h 45 min

04 h 20 min 00 h 45 min

Observe que no se puede restar 45 min de 30 min, por eso, usamos el artificio

de “pedir prestado” una unidad del orden inmediato superior, en este caso, 1

h.

Observación

05 h 30 min es diferente de 5,30 h

Dado que: 05,3 h equivale a 05 h 18 min, pues 0,3 de 60 min = 18 min

Ahora bien, pasemos a otra operación.

MULTIPLICACIÓN

Operar: 06 h 14 min 29 s

5__

30 h 70 min 145 s 31 h 12 min 25 s

03 h 12 min 25 s

______ 18__

54 h 216 min 450 s 57 h 43 min 30 s

Ahora multiplique usted: 5d 08h 20min 24s 12

Muy bien, el resultado es: ........................................................

219

MATEMÁTICA


Pasemos a otra operación.

DIVISIÓN

Operar: 57 h 43 min 30 s 18

54 h 180 min 420 s 03h 12min 25 s 03 h 223 min 450 s

60 18 36 180 43 90 36 00 7 60 420

Ahora divida usted: 28d 09h 35min 7

Muy bien, el resultado es: 4d 01h 22min 08 4/7s

Ha entendido …… , siga dividiendo: 4d 13h 30min 20s 5 Muy bien, el resultado es: .................................................

220

MATEMÁTICA


EJERCICIOS Ponga atención y marque las respuestas correctas 1. Sumar 07 h 25 min con 08 h 55 min

2. Restar 17 h de 12 h 30 min

3. Utilice los símbolos de acuerdo al ejemplo:

Ejemplo: Diez horas y cincuenta y cinco minutos 10 h 55 min

a) Cinco horas y cuarenta y cinco minutos

b) Dieciocho horas y cinco minutos

c) Treces horas y media

d) Doce horas y media

4. Escriba conforme al ejemplo:

Ejemplo: 07 h 15 min siete horas y quince minutos.

a) 05 h 45 min

b) 18 h 30 min

5. Indique los valores que corresponden, siguiendo el ejemplo:

Ejemplo: 08 h 480 min 28 800 s

a) 05 h 30 min 330 min

b) 04 h 10 min

c) 02 h 50 min

d) 09 h 15 min

6. Desarrolle:

a) 05 h 40 min + 03 h 35 min

b) 03h 35 min + 02 h 40 min

221

MATEMÁTICA


c) 05 h 45 min + 55 min + 01h 25 min

d) 08 h 12 min + 06 h 55 min + 01 h 45 min

e) 03 h 35 min + 50 min + 03 h 25 min + 30 min

f) 55 min 05 min + 09 h 23 min 56 s + 234 min 45 s

7. Una pieza requiere 06 h 25 min, en el torno, 45 min en la fresadora y 01 h

30 min en el acabado. Calcular el tiempo total que requiere la pieza.

Rpta. El tiempo será de …....................

8. Realice las siguientes sustracciones:

a) 18 h 30 min – 13 h 15 min

b) 12 h 45 min – 07 h 30 min

c) 04 h 15 min – 30 min

d) 03 h 20 min – 50 min

e) 12 h – 07 h 30 min

9. El tiempo previsto para ejecutar una pieza es de 17 h 15 min. Un trabajador

pudo hacerla trabajando desde las 07 h 50 min hasta las 11 h 15 min, y

desde las 12 h 45 min hasta las 16 h 30 min. Calcular la diferencia entre el

tiempo empleado y el tiempo previsto.

Rpta. La diferencia es de ........................

222

MATEMÁTICA


10. Complete el cuadro:

01 min ……………… s

01h ……………… s

01h ……………… min

1d ..................... h

1 semana ..................... d

1 año ..................... d

1 década ..................... años

11. Coloque el signo igual (=) o diferente ()

a) 07 h 45 min .................. 07,45 h

b) 07, 45 h ………..…. 07 h 27 min

c) 12,30 h ……………. 12 h 18 min

d) 12 h 30 min ……………. 12,30 h

e) 17,15 ……………. 17 h 15 min

f) 17 h 15 min ……………. 17,25 h

12. Cada uno de los 8 funcionarios de una empresa trabajaron 24 d 5 h.

Calcule el total de tiempo trabajado por dichos funcionarios en días y horas.

(cada funcionario trabaja 8 horas diarias)

Rpta. ........................................................

13. Una pieza fue fabricada en 4 períodos iguales. Si cada período fue de 06 h

50 min, ¿Cuál es el tiempo empleado en la pieza?

Rpta. ........................................................

223

MATEMÁTICA


14. Un instalador hidráulico trabaja desde las 17 h hasta las 11 h 30 min, y

desde las 13 h hasta las 15 h. Después de 6 días de trabajo. ¿Cuánto debe

recibir, si por hora cobra S/. 6?

Rpta. ........................................................

15. Calcule los 3/5 de 2 d 05 h 20 min

Rpta. ........................................................

16. Un obrero, en un mes, trabaja 22 d 2 h 40 min. Si un segundo obrero ha

trabajado la tercera parte de este período, ¿Qué tiempo ha trabajado el

segundo obrero? (trabajan 8 horas diarias)

Rpta. ........................................................

17. Para pavimentar 8 salas, un grupo de operarios demoró 15 d 6 h 30 min.

¿Qué tiempo emplearán en pavimentar 3 salas, si se trabaja 08 h diarias?

Rpta. ........................................................

224

MATEMÁTICA


Muy Importante

Sería necesario que memorice las equivalencias de los múltiplos del tiempo,

según esto, numere la segunda columna de acuerdo a la primera:

(1) 1 año ( ) 30 minutos

(2) media hora ( ) 100 años

(3) 3 minutos ( ) 3 meses

(4) 1 siglo ( ) 180 segundos

(5) 1 bimestre ( ) 365 días

(6) 1 trimestre

Escriba los meses que tienen 31 días:

Rpta.

........................................................................................................................

Escriba (V) ó (F), si es verdadero o falso:

Febrero tiene 31 días ( )

Un trimestre tiene 3 años ( )

Un día tiene 24 horas ( )

Una hora tiene 3600 segundos ( )

Un día tiene 1440 segundos ( )

Una semana tiene156 horas ( )

Un año tiene 4 trimestres ( )

225

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1. Al mirar el reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es

igual al tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?

Día = 24 h

x24rtranscurrifaltanquehoras

xdastranscurrihoras

Luego: 85372)24(53

xxxxx

Es las 9 de la mañana

2. Maruja trabaja 15 d 16 h 30 min, su hermana Palmira labora la tercera parte

de este periodo. ¿Qué tiempo trabaja Palmira?

min9060

min305513min301615

mi

hdh

hd

Palmira trabaja 5d 5 h 30 min

3. Un ómnibus que va de Lima a Pisco recorre en cierto tramo 120 km a 2 h 40

min. ¿Cuántos metros recorre por minuto en dicho tramo?

2h 40 min = 160 min

120 km = 120 000 m

Recorre por minuto min/750min160

000120m

m

4. ¿A qué es igual 121 207 segundos?

121 207 s : 60 s = 2020 min y 7s de resto

2020 min : 60 min = 33 h y 40 min de resto

33 h : 24 h = 1d y 9 h de resto

9 h 40 min 7 s

226

MATEMÁTICA


5. Un padre tiene 3 hijos cuyas edades son:

Pedro: 15 años 5 meses 6 días, Marisol: 7 años 4 meses 8 días

Roberto: 4 años 18 días, ¿Cuánto suman las tres edades?

15 años 5 meses 6 días

7 años 4 meses 8 días

4 años 18 días

26 años 9 meses 32 días = 26 años 10 meses 2 días

6. Un mecanógrafo ha empleado 3 h 16 min 18 s en hacer un trabajo. ¿Cuánto

necesitará para hacer 7 veces más el mismo trabajo?

3 h 16 min 18 s x

8

24 h 128 min 144 s = 1 d (2 h 8 min) (2 min 24 )

1 d 2 h 10 min 24 s

7. En una fábrica trabajan 14 operarios y cada uno de ellos laboró 25 d 4 h 35

min. ¿Calcular el tiempo trabajado por dichos operarios, considere 1 d = 8 h?

25 d 4 h 35 min x

14

350 d 56 h 490 min = 350 d (7 d) (8 h 10 min)

358 d 10 min

8. Seis obreros pueden hacer una obra en 15 d 6 h, después de 6 d de trabajo

se retiran 2 de ellos. ¿Con qué atraso se entregará la obra?

xobr

hhdobr

hdobr

478696

6156 (como trascurren 6 d)

hdhobr

hobrx 514117

4786

14 d 5 h – 9 d 6 h = 4 d 7 h

227

MATEMÁTICA


9. Una persona nació el 15 de setiembre de 1986. ¿En qué fecha cumplirá 36

años 8 meses y 20 días de edad?

1986 años 9 meses 15 d +

36 años 8 meses 20 d

2022 años 17 meses 35 d = 2023 años 6 meses 5 d

10. Una obra esta programada para hacerla en 12 h 18 min por un trabajador.

Este empieza la jornada a las 8 h 20 min y para a las 14 h 40 min para

refrigerar. Si prosigue su labor a las 15 h 17 min , ¿A qué hora deberá acabar

su trabajo?

15 h 17 min - 14 h 40 min = 37 min de refrigerio

Hora de inicio 8 h 20 min +

Duración del trabajo 12 h 18 min

Refrigerio 37 min

20 h 75 min = 21 h 15 min

228

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I 1) Convierta en: a) horas : 312min; 6374 s; 3,2min; 6800min; 22850 s; 415min b) minutos : 32h; 4350h; 6,8h; 8400 s; 18215 s; 12h c) segundos: 21h; 320min; 7,3min; 4600min; 12860min; 15h d) decimales: 6h 36min; 12h 34min; 16h 48min 56 s; 46min 48 s e) h,min,s : 12,334h; 2,4h; 46,86h; 0,866h; 18,48h f) reste: 143h 36min 18 s - 45h 39min 26 s 2) Convierta en: a) grados: 240' ;35' ; 4200”; 31,2' ; 0,68' ; 0,42” ; 425' b) minutos: 360” ;38 ;4600” ; 38,6 ; 0,64 ; 172” ; 86” c) segundos: 314' ;56' ; 3800' ;68,2” ; 0,45 ; 0,012; 15 d) decimales: 64' ; 28”; 12627'42” ; 3638'18” ; 42 12' 48” e) , ' , “ : 14,38 ; 6,3 ; 12,7 ; 0.38 ; 18,75 f) sume: 1446'+18134”+378' + 9 12' 32” 3) El tiempo de trabajo de una maquina es de 1h 13 min 19 s. Redusca el tiempo a decimales. 4) En 32h 38min 42s se fabrican 4 piezas de trabajo iguales. Calcule el tiempo para una pieza de trabajo. 5) En una pista se corren 12 vueltas en 1h 8min 36 s. ¿Cuánto tiempo fue necesario para dar una vuelta? 6) Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12' 56” . Para el ajuste se requiere el ángulo en decimales. 7) La suma de los dos ángulos de un triangulo es de 139 37' 4”. Calcule el tercer ángulo.

229

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RROPUESTOS nivel II

1. Me desperté a las 7 h 32 min 14 s e ingresé a la Nivelación Académica 12 432 segundos después. ¿A qué hora ingresé a estudiar?

A) 9 h 59 min 27s

B) 7 h 32 min 43 s

C) 3 h 29 min 50 s

D) 10 h 59 min 26s

E) 13 h 2 min 59 s

Solución:

2. Cada día de lunes a viernes, gané S/. 6 más de lo que gané el día anterior. Si el viernes gané el quintuple de lo que gané el lunes, ¿Cuánto gané el jueves?

A) 30 B) 25 C) 28

D) 27 E) 24

Solución:

3. La bajada de una montaña se hace ordinariamente en los 4/5 del tiempo empleado en la subida. Si una persona bajó desde la cúspide en 1 h 56 min y subió a razón de 50 m cada 5 min, ¿Calcular la altura de la montaña?

A) 860 m B) 1160 m C) 1450 m

D) 950 m E) 1830 m

Solución:

4. Una cuadrilla de trabajadores empieza a asfaltar una avenida el 4 de enero. Si asfaltan una cuadra en 4 días, ¿En qué fecha se acaba la obra, si la avenida tiene 43 cuadras?

A) 05-26 B) 06-26 C) 07-26

D) 04-26 E) 07-25

Solución:

230

MATEMÁTICA


5. Expresar en días, horas, minutos y segundos: 31 183 625 s

A) 114 d 22 h 07 min

B) 360 d 22 h 07 min

C) 360 d 20 h 07 min 05 s

D) 866 d 20 h 07 min 05 s

E) 368 d 22 h 07 min

Solución:

6. Si a la mitad de los días transcurridos en el año, se le agrega 1/3 de los que falta para acabarse, se obtiene el número de días transcurridos. ¿En qué fecha estamos?. Considerar año no bisiesto.

A) 05-25

B) 05-26

C) 05-27

D) 04-26

E) 04-27

Solución:

7. En una oficina trabajan 14 empleados y cada uno de ellos laboró 25 d 04 h 35 min. Calcular el tiempo total de trabajo de dichos empleados. Considerar 1 d: 08 horas de trabajo.

A) 357 d 05 h

B) 358 d 40 min

C) 358 d 10 min

D) 357 d 49 min

E) 358 d 06 h

Solución:

231

MATEMÁTICA


8. Un tornero fabrica una matriz en 8 h 34 min 15 s, un aprendiz lo hace en 20 h 45 min 15 s. Si cada uno debe fabricar 10 matrices en el taller, ¿Cuánto tiempo de ventaja le lleva el tornero al aprendiz?

A) 3 d 02 h 15 min

B) 5 d 01h 40 min

C) 3 d 04 h 40 min

D) 4 d 02 h 50 min

E) 5 d 01 h 50 min

Solución:

9. Para construir un barco trabajan 120 soldadores; cada uno suelda 2

m2 en 05 h 30 min. Si el barco tiene una superficie total de 347

760 m2, ¿En cuánto tiempo estará listo el barco?

A) 11 meses 2 d 01 h 30 min

B) 11 meses 15 d 03 h 25 min

C) 11 meses 04 d 15 min

D) 10 meses 3 d 02 h 10 min

E) 11 meses 28 d 10 h 15 min

Solución:

10. Alfredo acepta terminar una obra en 08 h 30 min. Al cabo de 03 h 48 min 45 s, se da cuenta que sólo hizo la mitad de la obra, por lo que decide trabajar lo más rápido haciendo 1/3 de la obra en 02 h 30 min 20 s. Si sigue trabajando lo más rápido posible, el trabajador terminará la obra en:

A) 35 min 45 s después de lo previsto

B) 55min 45s después de lo previsto

C) 35 min 45 s antes de lo previsto

D) 55 min 45 s antes de lo previsto

E) 45 min 45 s después de lo previsto

Solución:

232

MATEMÁTICA


11. La edad de Alberto es de 60 años y la de sus tres hijos es de 14 años 7 meses 3 días, 12 años 8 días y 10 años 8 meses. ¿Cuánto falta a la suma de las edades de los hijos para igualar a la del padre?

A) 22 años 8 meses 16 días

B) 22 años 9 meses 15 días

C) 22 años 7 meses 16 días

D) 22 años 8 meses 18 días

E) 22 años 7 meses 18 días

Solución:

12. Un trabajo lo hicieron 4 personas y por etapas. El primero le tomó 04h 48 min; el segundo empleó 3/5 del tiempo del primero; el tercero 2/3 del tiempo del segundo y el cuarto ¾ del tiempo del primero. ¿En qué tiempo se concluye el trabajo?

A) 03 h 12 min

B) 11 h 52 min

C) 12 h 13 min

D) 11 h 32 min

E) 12 h 12 min

Solución:

233

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel III Medida de tiempo 1. Un tren parte a las 8 horas y 20 minutos para Hacer un recorrido de 500

Km. ; lo que efectúa en 16 horas y 40 minutos. ¿Qué velocidad debe llevar un segundo tren, que parte 2 horas y 58 minutos después que el primero, para que alcance a éste en una estación situada a 156Km. Del punto de partida?

a) 20Km/h b) 30Km/h c) 40Km/h d) 50Km/h e) 60Km/h 2. Un caracol sube por una pared, cada día logra ascender un metro, pero

cada noche baja 600 mm. ¿Cuánto tardará en llegar a lo alto de la pared que mide 10m de altura?

a) 22 días b) 23 días c) 24 días d) 25 días e) 26 días 3. En una casa encantada, un fantasma aparece en cuanto empiezan a dar

las 12, en el reloj de pared y desaparece en cuanto a sonar la última campanada. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma, si además el reloj tarda 6 segundos en dar las 6?

a) 10 seg b) 12 seg c) 13 seg d) 13,2 seg e) 15 seg 4. ¿A que hora entre las 2 y las 3, el horario y el minutero estarán en

direcciones opuestas? a) 2h 43min 38s b) 2h 23min 38s c) 2h 33min 38s d) 2h 43min 28s e) 2h 43min 18s 5. ¿Qué tiempo tardará un auto en recorrer 1626 Hm con una velocidad

de 60 Km/h? a)2,69h b)2h 42min 30s c)2,72h d)2h 44min 36s e)2h 42min 36s

6. Carlos demora 12 minutos en comerse una pizza de 10cm de radio ¿ Cuánto demora en comerse una Pizza de 15cm de radio? a)18min b)36min c)15min d)27min e)24min 7. Rosa ,Chabela, Margarita demora 15 minutos en limpiar ½,1/3y 1/4 de su

casa respectivamente. Si juntas se ponen a limpiar todo su casa ¿En que tiempo lo harían?

a)12/13 min b)15 12/13min c)15 11/13 min d) 12 11/13min e)13 11/13 min 8. Un ladrón arrebata una cartera a una señora escapándose con una

velocidad de 8 m/s y la señora la persigue a 3 m/s . Cuando el ladrón ha sacado 120 m de ventaja, lo atrapa un policía ¿Qué tiempo demoró la fuga del ladrón?

a)32s b)15s c)24s d)18s e)30s

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MATEMÁTICA


9. 9)En 7 horas 30 minutos una costura puede confeccionar un pantalón y 3 camisas,o dos pantalones y una camisa ¿En cuanto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa? a)3h b) 3h 30min c) 4h d) 4h 30min e) 5h

10. 10) A cuánto equivale 3,5 trimestres: a) 3m b) 2m 1d c) 40d d) 1m 15d e) 6m 2d 11. Un padre tiene 30 años y su hija 3 ¿Dentro de cuántos años la edad de

padre será el cuádruple de la edad de su hija? a)15años b)3años c)5ños d)6años e)10años

12. ¿En que tiempo cruzará un tren de 40 m de longitud a un puente de

200m de largo, si el tren tiene una velocidad de 30m/s? a)7s b)6s c)8s d)9s e)10s 13. Tres aviones A, B y C parten de una base a las 8 horas .Si A regresa

cada hora y cuarto, B cada ¾ hora y C cada 50 minutos, se reencontrarán por primera vez en la base a las :

a)17h 20min b)18h 20min c)15h 30min d)17h 30min e)16h 30 min 14. Un reloj se retrasa 8 minutos cada 24 horas .Si éste marca la hora

correcta 7am el 2 de Marzo ¿Qué hora marcara a la 1pm del 7 de Mayo?

a)11h 28 min b)12h 8min c)11h 18min d)12h 42min e)12h 18min 15. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos.si ahora marca las 5h

2min y hace 4 horas que se adelanta,la hora correcta sería: a)4h 48min b)4h 28min c)4h 30min d)4h 32min e)4h 52min 16. Un trabajador ha laborado 18d 21h 20s si su compañera ha laborado 3/4

de ese tiempo .¿ Cuál es el tiempo de labor efectuado por esta persona?(1d=8h de trabajo)

a)15d 4h 35min 20s b)16d 2h 10min 12s c)15d 3h 45min15s d)14d 5h 25min 40s e)15d 4h 15min 10s 17. Si Fuera 3 horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día los

5/7 de lo que faltaría si es que fuera 3 horas mas temprano .¿Qué hora es?

a)6:00 am b)7:00am c)7:20am d)8:45am e)7:45am 18. A cuánto equivale 25,13 meses: a) 4a5m7h b) 2a1m3d22h c) 5a2m7h d) 3a6m15h e) 7a34m

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PROPIEDAD INTELECTUAL DEL SENATI PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN Y VENTA SIN LA AUTORIZACIÓN

CORRESPONDIENTE

SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL

MANUAL DE APRENDIZAJE

CÓDIGO: 89001296

PROFESIONAL TÉCNICO

MATEMÁTICA – PARTE II

ESTUDIOS GENERALES

MATEMÁTICA


UNIDADES

Unidad X : RAZONES Y PROPORCIONES Unidad XI : MAGNITUDES PROPORCIONALES Unidad XII : REGLA DE TRES Unidad XIII : PORCENTAJES E INTERÉS SIMPLE. Unidad XIV : ÁNGULOS Unidad XV : ANGULOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE. Unidad XVI : CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Unidad XVII : POLÍGONOS: Triángulos - Cuadriláteros Unidad XVIII : PERÍMETRO Unidad XIX : MEDIDAS DE SUPERFICIE Unidad XX : VOLUMEN

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MATEMÁTICA


INDICE

Unidad X : RAZONES Y PROPORCIONES 10.1 Razón 10.2 Tipos de razones 10.3 Proporción 10.4 Clases de Proporciones

10.4.1 Proporción aritmética 10.4.2 Proporción Geométrica

10.5 Propiedades de las proporciones 10.6 Escala Unidad XI : MAGNITUDES PROPORCIONALES 11.1 Magnitud 11.2 Cantidad 11.3 Clasificación de magnitudes 11.4 Reparto proporcional 11.5 Tipos de repartos Unidad XII : REGLA DE TRES 12.1 Regla de tres simple: Directa, Inversa 12.2 Regla de tres compuesta Unidad XIII : PORCENTAJES E INTERÉS SIMPLE. 13.1 Porcentaje 13.2 Transformación de porcentaje a número 13.3 Transformación de número a porcentaje 13.4 Adición y sustracción de porcentajes de una misma cantidad 13.5 Problemas de aplicación

Precio de compra y precio de venta Descuentos y Aumentos sucesivos Variaciones porcentuales

13.6 Interés simple Unidad XIV : ÁNGULOS 14.1 Definición: Recta, Rayo, Semirrecta 14.2 Angulo

14.2.1 Unidades de conversión 14.2.2 Instrumentos de medición de ángulos 14.2.3 Clasificación de los ángulos

De acuerdo a sus medidas De acuerdo a la posición de sus lados De acuerdo a la suma de sus medidas

14.2.4 Operaciones con ángulos Adición, sustracción, multiplicación y división de ángulos

14.3 Teoremas relativo a los ángulos

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MATEMÁTICA


Unidad XV : ANGULOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE. 15.1 Clasificación de ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante. 15.2 Propiedades auxiliares. Unidad XVI : CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 16.1 Definición 16.2 Elementos de una circunferencia 16.3 Ángulos en la circunferencia 16.4 Propiedades básicas de la circunferencia. Unidad XVII : POLÍGONOS: Triángulos - Cuadriláteros 17.1 Polígono – Definición 17.2 Elementos de un polígono 17.3 Clasificación de los polígonos

17.3.1 De acuerdo a su número de lados 17.3.2 De acuerdo a la medida de sus elementos

17.4 Propiedades de los polígonos 17.5 Triángulos – definición

17.5.1 Clasificación 17.5.2 Líneas y puntos notables en un triángulo 17.5.3 Teorema sobre triángulos 17.5.4 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

17.6 Cuadrilátero – Definición 17.6.1 Clasificación 17.6.2 Trapezoide 17.6.3 Trapecio – Clases. 17.6.4 Paralelogramo – Clases

Unidad XVIII : PERÍMETRO 18.1 Definiciones Previas

Región plana Perímetro de una región

18.2 Perímetro de las principales regiones planas: Cuadrado, Rectángulo, Triángulo, Polígono regular de “n” lados, Longitud de arco, Longitud de circunferencia

Unidad XIX : MEDIDAS DE SUPERFICIE 19.1 Medidas de superficie 19.2 Representación y lectura 19.3 Conversión de medidas de superficie 19.4 Áreas de principales regiones planas: Rectángulo, Cuadrado, Paralelogramo,

Triángulo, Rombo, Trapecio, Polígono regular, Círculo, Sector circular, Corona circular, Segmento circular, Trapecio circular.

Unidad XX : VOLUMEN 20.1 Medidas de volumen 20.2 Representación y lectura 20.3 Conversión de medidas de volumen 20.4 Volumen y superficie de sólidos : Prisma , Pirámide , Cono, Cilindro y Esfera

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UNIDAD 10

RAZONES Y PROPORCIONES

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RAZONES Y PROPORCIONES 10.1. RAZÓN Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud mediante las operaciones de sustracción o división. 10.2. TIPOS DE RAZONES RAZÓN ARITMÉTICA

Es la comparación de dos cantidades que se obtiene mediante la sustracción, y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra. a menos b a – b = r el exceso de a sobre b a excede a b Ejemplo: Las velocidades de dos autos son Va = 30 m/s y Vb = 24 m/s Valor de Razón aritmética la razón

Va – Vb = 30 m/s – 24 m/s = 6 m/s

Antecedente Consecuente

La velocidad del auto “a” excede en 6 m/s a la velocidad del auto “b”.

El exceso de Va sobre Vb es 6 m/s.

La velocidad de Va excede a Vb en 6 m/s. APLICACIONES: 1. Halle la razón aritmética de: a) Las edades de Adán y Eva que son de 20 años y 11 años. ... Rpta. 9 años

b) Los precios de dos artículos son S/. 1,40 y S/. 3,60. ……. Rpta. S/. 2,20 2. La diferencia entre las temperaturas de dos cuerpos es

20º C, si la menor temperatura marca 50º C, ¿cuál es la mayor temperatura? ……………………………………………………….. Rpta. 70ºC

3. La edad del padre excede en 24 años a la edad del hijo, y

éste tiene 40 años. Halle la edad del hijo. ………………........ Rpta. 16 años 4. La razón aritmética de dos números es 15, si el menor es 30.

Halle el número mayor. ………………………………………… Rpta. 45

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RAZÓN GEOMÉTRICA

Es la comparación de dos cantidades mediante el cociente.

Razón de a sobre b a k a es a b b a entre b

Ejemplo: Las edades de dos personas son 48 años y 36 años respectivamente Razón geométrica

Antecedente a 48 años 4 valor de la razón Consecuente b 36 años 3 APLICACIONES:

1. La diferencia de dos números es 280 y están en la relación de a 3. Hallar el mayor número.

Rpta. 490 2. Las edades de dos personas son: 20 años y 12 años, ¿En qué relación están

sus edades? Rpta. 5 / 3

3. De dos números, cuya razón aritmética es 19, y su suma es 35. Hallar la

razón geométrica. Rpta. 27/ 8

4. La razón aritmética de dos números es 26, y la razón geométrica es 3. Hallar

el menor número. Rpta. 13

10.3. PROPORCIÓN Es el resultado de comparar dos razones. DIFERENCIA : a – b = c – d = r PROPORCIÓN ARITMÉTICA COCIENTE : a c k PROPORCIÓN GEOMÉTRICA b d También se expresa como: “a” es a “b” como “c” es a “d”

a : b :: c : d Para ambos casos: a y d se llaman EXTREMOS

b y c se llaman MEDIOS

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MATEMÁTICA


10.4 CLASES DE PROPORCIONES PROPORCIÓN ARITMÉTICA (P.A.) (Equidiferencia)

A) PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA

* Los cuatro términos de la proporción son diferentes: a b c d * El 4º término (d) de la proporción se llama: CUARTA DIFERENCIAL

Términos 1º 2º 3º 4º a – b = c – d = r

medios extremos

a , c : antecedentes b , d : consecuentes * PROPIEDAD BÁSICA:

suma de extremos = suma de medios a + d = b + c

B) PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA

* Los términos medios son iguales.

* El 3º término (c) de la proporción se llama: TERCERA DIFERENCIAL.

* MEDIA DIFERENCIAL o MEDIA ARITMÉTICA b a + c 2

Términos 1º 2º 2º 3º a – b = b – c = r PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (P.G.) (Equicociente)

A) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA * Los cuatro términos son diferentes: a b c d

* El 4º término (d) de la proporción se llama: CUARTA PROPORCIONAL

Términos 1º 3º medios

antecedentes a c consecuentes b d extremos

Términos 2º 4º

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* PROPIEDAD BÁSICA: Producto de extremos = Producto de medios

a . d = b . c B) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA * Los términos medios de la proporción son iguales.

* El 3º término (c) de la proporción se llama: TERCERA PROPORCIONAL. 1º 2º

antecedentes a b k consecuentes b c 2º 3º ____ * MEDIA PROPORCIONAL o MEDIA GEOMÉTRICA b = a . c 10.5 PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

a k c k a c k b d b d 1º a + b c + d k + 1 ; a – b c – d k – 1 b d b d 2º a + b c + d k + 1 a – b c – d k – 1 3º a + c k ; c – d k a + b b – d 4º a c k a b c d k 1 5º a2 + b2 c2 + d2 k2 a2 – b2 c2 – d2 6º a x c (a + c)2 k2

b x d (b + d)2

a1 a2 a3 a4 ….. a(n – 1) an k b1 b2 b3 b4 ….. b(n – 1) bn

7º a1 + a2 + a3 + a4 + ….. + a(n – 1) + an k b1 + b2 + b3 + b4 + ….. + b(n – 1) + bn

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MATEMÁTICA


8º a1 x a2 x a3 x a4 x ….. x a(n – 1) x an k n b1 x b2 x b3 x b4 x ….. x b(n – 1) x bn

10.6. ESCALAS GRÁFICAS La ESCALA es la razón entre la longitud representada en un plano y la longitud en tamaño real. La ESCALA es una fracción con numerador unitario. El denominador indica las veces que se repite el numerador para obtener la medida o dimensión real.

ESCALA Longitud en el plano Longitud del tamaño real

Tamaño real = 4,50 m Tamaño en el plano = 0,09 m

Tamaño en el plano 0,09 m Tamaño real 4,50 m

Escala: 1 : 50 REPRESENTACIÓN 1 : 100 “indica: 1 mm de trazo en el papel es a 100 mm de longitud real” 1 / 100 “indica: 1 cm de trazo en el papel representa 100 cm de longitud real” 1 “indica: 1 m de trazo en el papel representa 100 m de longitud real” 100

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MATEMÁTICA


Problemas De Aplicación

1. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 45,00 m de largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 750?

1 X X 45 m 0,06 m = 6 cm 750 45 m 750

Rpta. 6 cm

2. En un plano a escala 1 : 50 , se observa que las dimensiones del dormitorio son de 3 cm de ancho por 4 cm de largo. ¿Cuáles son las dimensiones reales del dormitorio?

Rpta. 1,5 m ; 2,0 m

3. La distancia gráfica entre dos ciudades en un plano a escala 1 : 2 500 es 20 cm. Halle la distancia gráfica en otro plano a Escala 1 : 10 000.

Rpta. 5 cm 4. Complete el siguiente cuadro y halle X, Y, Z, W, P, Q y R, en las unidades

medidas:

Nº ESCALAS DISTANCIA GRÁFICA

DISTANCIA REAL

1 1 : 20 X mm 2,40 m 2 1 : 25 5 ½ cm Y m 3 1 : 50 5 ¼ cm Z cm 4 1 : 75 W mm 0,02 km 5 1 : 100 6,5 m P cm 6 1 : 150 4 cm Q km 7 1 : 200 R mm 0,54 m

Solución de la aplicación, completando el cuadro:

Nº ESCALAS DISTANCIA GRÁFICA

DISTANCIA REAL

1 1 : 20 120 mm 2,40 m 2 1 : 25 5 ½ cm 1 3/8 m 3 1 : 50 5 ¼ cm 262,5 cm 4 1 : 75 3 750 mm 0,020 km 5 1 : 100 6,5 m 65 000 cm 6 1 : 150 4 cm 0,006 km 7 1 : 200 27 mm 0,54 m

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MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS 1. La razón de dos números es 6/5, y la suma de dichos números es igual a

33. ¿Cuáles son estos números? A) 20 ; 13 B) 18 ; 15 C) 16 ; 17 D) 30 ; 3 E) 16 ; 13 2. En un concurso de tiro, Antonio acertó 50 sobre 75 tiros; Pepe 70 sobre

90 tiros ; y Ricardo 48 sobre 60 tiros. ¿Quién logró mayor razón de tiros acertados?

A) Pepe B) Ricardo C) Antonio D) Igual Antonio y Pepe E) Faltan datos.

3. Una pieza de franela de 72 m de longitud se ha dividido en dos partes,

cuya diferencia es de 18 m. Hallar el precio de la parte mayor, si el precio por metro es de S/. 8.

A) S/. 352 B) S/. 216 C) S/. 208 D) S/. 360 E) S/. 192 4. Se tienen dos barriles que contienen 400 litros y 500 litros de vino

respectivamente. ¿Cuántos litros de vino se debe de pasar del primer al segundo barril, para que las cantidades de vino en cada barril estén en la relación de 2 a 3?

A) 68 B) 30 C) 80 D) 40 E) 100 5. ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 43,20 m de

largo, si el dibujo se hace a una escala de 1 : 720 ? A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 100 cm 6. Un objeto se dibuja a escala de 1 : 30 , y tiene una altura de 0,40 m ; si se

desea dibujarlo a una escala de 1 : 20, ¿Cuál será su altura? A) 80 cm B) 40 cm C) 200 cm D) 60 cm E) 100 cm 7. Sí: A B C y (A + B) = 30. ¿Cuánto vale “C”? 2 8 7 A) 12 B) 18 C) 21 D) 30 E) 42 8. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma

relación que los números 11 ; 5 y 144. Hallar el mayor dichos números. A) 15 B) 48 C) 60 D) 52 E) 24

SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS 1. Sean A y B los números

A 6 k A = 6 k B 5 k B = 5 k

A + B = 33 K = 3 A = 18 6k + 5k = 33 B = 15 Rpta. B

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MATEMÁTICA


2. A : Antonio ; P : Pepe ; R : Ricardo A 50 2 ; P 70 7 ; R 48 4 75 3 90 9 60 5 MCM (3 ; 9 ; 5) = 45 homogenizando los denominadores:

A 30 ; P 35 ; R 36 Rpta. B 45 45 45 3. Sean A y B las dos partes de la tela A + B = 72 m Sumando ambas ecuaciones: A = 45 m A – B = 18 m Precio = 45 m x S/. 8 / m Precio = S/. 360

Rpta. D

4. 400 – X 2 X = 40 Rpta. D 500 + X 3 5. Escala Longitud en el plano Longitud de tamaño real 1 cm X X = 6 cm Rpta. E 720 cm 4 320 cm 6. H = altura real del objeto ; X = tamaño del objeto en el dibujo 1 40 cm 30 H Dividiendo ambas proporciones: 1 X X = 60 cm Rpta. D 20 H

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MATEMÁTICA


7. A B C k 2 8 7 Propiedad: A + B + C C (A + B) = 30 dato 2 + 8 + 7 7 30 + C C C = 21 Rpta. C 17 7 8. A + B A – B A x B k 11 5 144 A + B = 11 k A = 8 k A – B = 5 k B = 3k A x B = 144 k k = 6 (8 k) x (3 k) = 144 k A = 6 x 8 A = 48 Rpta. B PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I 1. En un corral hay N aves (patos y gallinas). Si el número de patos es a N

como 3 es a 7; y la diferencia entre patos y gallinas es 20. ¿Cuál será la relación entre patos y gallinas, luego de retirar 50 gallinas?

A) 4 : 3 B) 2 : 1 C) 3 : 4 D) 3 : 20 E) 2 : 3 2. En una reunión hay 60 adultos, y por cada 5 jóvenes hay 7 niños. Luego

llegan a la reunión 50 jóvenes, 40 niños y cierto número de adultos. ¿Cuántos adultos llegaron al final, si los jóvenes niños y adultos son ahora proporcionales a 5 ; 6 y 8 respectivamente?

A) 150 B) 160 C) 170 D) 180 E) 190 3. La cantidad de dinero que tiene A es a lo que tiene B como 7 es a 3. Si A le

da a B la quinta parte de su dinero; y luego B le da a A la cuarta parte de lo que tiene ahora. Al final A tiene S/. 3 350. ¿Cuánto de dinero tenía A al principio?

A) S/. 2 800 B) S/. 3 000 C) S/. 3 200 D) S/. 3 500 E) S/. 4 000

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MATEMÁTICA


4. En una carrera a dos vueltas sobre un circuito cerrado, A le ganó a B por 1/2 vuelta; y B le ganó a C por 1/4 de vuelta. Cuando A llega a la meta, hallar la fracción de vuelta con que B aventaja a C.

A) 1 / 4 B) 3 / 16 C) 1 / 5 D) 3 / 8 E) 1 / 8 5. La suma de los cuadrado de los 4 términos de una proporción geométrica

continua es 7 225. Halle la media propor_ cional, si la diferencia de extremos es 75.

A) 85 B) 55 C) 80 D) 10 E) 20 6. En un tonel hay una mezcla de 63 litros de agua y 36 litros de vino, se extraen 22 litros del contenido y se añade al recipiente N litros de vino para tener finalmente una mezcla cuya relación es de 1 a 3 respectivamente. Hallar el valor de N. A) 80 B) 60 C) 110 D) 119 E) 120 7. A es la tercera proporcional de 24 y 12; B es la cuarta proporcional de 56, 7

y 64; C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta proporcional de B, A y C.

A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25 8. Cierto número de canicas se divide en tres grupos, cuyos números

son proporcionales a los números 5, 7 y 11 respectivamente. Si del tercer grupo pasa al segundo grupo 8 canicas; en el tercer grupo queda el doble de lo que hay en el primer grupo, ¿Cuántas canicas hay finalmente en el segundo grupo?

A) 50 B) 54 C) 58 D) 62 E) 64 9. Sean A y B dos cantidades: A es la cuarta proporcional de 12; 5 y 16, B

es la media proporcional de 1 y 81. La correcta relación de orden entre A y B es:

A) A < B B) A = B C) A > B D) A +1= R E) A2 < B 10. Se desea preparar una solución utilizando los componentes líquidos A, B y

C en la proporción de 2; 5 y 8. Pero para preparar la solución le faltan 2 litros del componente B y 2 litros del componente C; los cuales son remplazados por el componente A, siendo la proporción final obtenida de 2 ; 3 ; X. Hallar X.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 11. En una fiesta, los hombres y mujeres están en la relación de 3 a 1, después

de transcurridas 6 horas, se retiran 20 parejas, y ocurre que la nueva relación de hombres mujeres es de 5 a 1. Halle el número original de asistentes a la fiesta.

A) 160 B) 180 C) 200 D) 220 E) 240

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MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II RAZON Y PROPORCION PROBLEMAS 1. Se quiere cortar un tubo de acero de 2,75 m de longitud en razón directa de

2:3. Calcule las longitudes parciales. 2. El diámetro y la longitud de un eje están en razón directa de 2:7. El diámetro

del eje es de 40 mm. Calcule la longitud del eje. 3. Los brazos de una palanca de 1,75 m de longitud están en relación directa

de 3:7. ¿Cuál es la longitud menor cuando para la otra se miden 1,48 m.? 4. Una chapa de acero de 800 x 1400 mm ha de ser representada en un dibujo

en la proporción de 1:20 ¿Qué longitud tendrán los lados en el dibujo? 5. La escala de un mapa automovilístico es de 1:500 000. ¿Qué longitud natural

corresponde al trayecto de 4,5 cm medido en el mapa?. 6. Un trayecto de 2,875 Km de longitud está representado en un mapa con 11,5

cm. Determine la escala del mapa. 7. Un letrero advierte »Pendiente de 5% en 1200 m «. Calcule la altitud a

superar. 8. El diámetro y la longitud de un cono están en razón directa de 1:10. Calcule

el diámetro correspondiente a la longitud de 150 mm. 9. Una chaveta tiene una razón de inclinación de 1:20. ¿ Qué altura

corresponde a una longitud de chaveta de 140 mm?. 10. En un plano inclinado alcanza una bola después de 6 segundos una

velocidad de rodaje de 7,6 m/s. ¿Qué velocidad tiene la bola después de 8 segundos?

11. Calcule las proporciones de Cu y Sn para 42 kg de latón, cuando la relación

es de 2:3. 12. Longitud y anchura de un paralelogramo rectángulo de 54 cm2 de superficie

están en razón directa de 2,3. Calcule la longitud de los datos. 13. Dos ruedas dentadas engranan entre sí. Una rueda tiene 24 dientes y la otra

85. Calcule el número de revoluciones de la rueda grande cuando la pequeña efectúa 640 revoluciones.

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UNIDAD 11

MAGNITUDES PROPORCIONALES

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MAGNITUDES PROPORCIONALES 11.1 MAGNITUD Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser medido. 11.2 CANTIDAD Es el valor de un estado particular de la magnitud, posee dos partes: valor numérico y unidad.

MAGNITUD CANTIDAD

Tiempo 60 h

Longitud 15 m

Temperatura 35º C

Masa 40 kg 11.3 CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES 11.3.1 Magnitudes Directamente Proporcionales ( D.P. ó ) Usted sabe que al abastecer un carro en un grifo, cuanto más gasolina coloque en el tanque, más soles pagará. Para tener una idea, basta observar en el cuadro de abajo, suponiendo que el precio de la gasolina por galón sea de S/. 8.

GASOLINA PRECIO

1 galón S/. 8,00

2 galones S/. 16,00

5 galones S/. 40,00

10 galones S/. 80,00

15 galones S/. 120,00

30 galones S/. 240,00 Al colocar 1 galón de gasolina, pagará S/. …………pero, si colamos 15 galones de gasolina, el precio será 15 veces mayor, o sea; 15 x 8.00 que es igual a S/. ………….. Así, si aumentamos la magnitud “gasolina”, la otra magnitud “precio” (soles) aumentará el mismo número de veces, o sea, las magnitudes varían en el mismo sentido.

19

MATEMÁTICA


Por tanto, dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONLES:

Cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o disminuyen en la misma proporción.

Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales:

Número de libros y costo total.

Si compramos libros cada uno a S/. 2 (precio constante); a mayor cantidad de libros el costo total será mayor, pero; si compramos menor cantidad de libros el costo total será menor. Además verificamos que la razón entre el número de libros y el costo total es

CONSTANTE, esto es, la razón tiene siempre el mismo valor (0,25).

25,041 25,0

164 25,0

9624

25,0123

Entonces podemos escribir:

25,0123

9624

164

41

Interpretación geométrica.

20

MATEMÁTICA


Conclusión. Si: ¡Importante! I. La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

II. En cualquier punto de la gráfica (excepto en origen de coordenadas) el cociente de cada par de valores correspondiente resulta una constante.

III. La función de proporcionalidad directa será:

F(X) = K x K: pendiente (constante)

11.3.2 Magnitudes Inversamente Proporcionales ( I.P Ó 1 )

Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan en la misma proporción.

Observe el cuadro que representa las velocidades de un auto y el tiempo empleado en recorrer una misma distancia:

VELOCIDAD TIEMPO

90 km/h 2 horas

60 km/h 3 horas

45 km/h 4 horas

36 km/h 5 horas Disminuyendo la velocidad del auto, aumentará el tiempo empleado, luego la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.

21

MATEMÁTICA


xK

) x ( F

Observe, que el producto de dos valores correspondientes (velocidad y tiempo) es siempre el mismo.

90 x 2 = 180 ; 60 x 3 = 180 ; 45 x 4 = 180 ; 36 x 5 =180 Podemos finalmente concluir que: Interpretación Geométrica: Conclusión. Si: B"I.P." "A" B de valor x A de valor Constante ¡Importante! I. La gráfica de dos magnitudes I.P. es una rama de una hipérbola equilátera. II. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores

correspondientes, resulta una constante. III. La función de proporcionalidad inversa será: K: constante

22

MATEMÁTICA


tetanConsdificultad x obra

h/d x días Nº x eficiencia x obreros ºN

PROPIEDADES I. Si : A D.P. B B D.P. C A D.P. C II. Si: A I.P. B A D.P. 1 B ó: A D.P. B A I.P. 1 B III. Si: A D.P. B ( C es constante) A D.P. C ( B es constante)

A K B x C IV. Si: A I.P. B ( C es constante) A I.P. C ( B es constante)

A x B x C = K

23

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A= 51, B = 3. Hallar el valor que toma B, cuando A = 34. Resolución: Se debe plantear:

2

2

1

1

B

A

B

A

x

34351 X = 2

2. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales, calcular (a + b)

Resolución: Se debe plantear:

53

855124

10

b

a

a = 6 ; b = 40 ; a + b = 46

24

MATEMÁTICA


Días I.P. Rapidez

3. La magnitud A es I.P. a B , además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Halle B cuando A es igual a 4.

Resolución:

Se debe plantear:

2211 BABA

x4166 x = 36 4. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente

proporcional a la distancia que se encuentra de Lima. Si una casa ubicada a 65 Km cuesta S/. 135 000. ¿Cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 120 Km de distancia de Lima?

Resolución:

kárea

distanciaprecio

)())((

, ( k = constante )

Entonces:

2s(120) . )(

s(65) . 000) 180( x

x = 295 000

5. Si “A” es el triple de rápido que “B”. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a “A” hacerlo sólo?.

Resolución: Sea R rapidez: RA = 3 RB

(Días) . (Rapidez) = cte

Reemplazando valores:

( RA + RB ) x 12 = RA x X

( 3RB + RB ) x 12 = 3 RB x X

4 RB x 12 = 3 RB x X Simplificando : X = 16

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MATEMÁTICA


EJERCICIOS DE REFUERZO:

Siga los modelos para decir si las series siguientes representan sucesión de números directa o inversamente proporcionales: a) Valores de magnitud Q: 6 1 8 48 0,1

Valor de magnitud R: 4 24 3 0,5 240

Rpta. = …………………… b) Valores de magnitud M: 0,4 10 16 13 0,1 2,5 18

Valor de magnitud N: 2,4 60 96 78 0,6 15 108

Rpta. = …………………… Resuelva los ejercicios para fijar lo que estudió sobre magnitudes proporcionales. 1. Observe los ejercicios siguientes y responda: Valor de magnitud x : 5 2 10 1 0,4

Valor de magnitud y : 8 20 4 40 100 ¿Cómo se denominan las magnitudes “x” e “y”?

Rpta. = …………………… 2. Complete: Valor de magnitud A : 7 3 5 9

Valor de magnitud B : 28 12 ….. ….. ¿Cómo se denominan las magnitudes “A” y “B”?

Rpta. ……………………...

3. En estos ejercicios Ud. tiene valores correspondientes a dos magnitudes directa o inversamente proporcionales. Complete conforme el caso:

a) Valor de magnitud y : 10 25 2 …. 5

Valor de magnitud z : 20 8 …. 4 …. b) Valor de magnitud x : 2 3 1 24 0,5 69 90 7

Valor de magnitud y : 6 9 …. …. …. …. …. ….

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MATEMÁTICA


c) Valor de magnitud A : …. …. 7 …. …. …. …. ….

Valor de magnitud B : 20 40 35 100 10 8 45 15 d) Valor de magnitud M : 6 1 8 48 …...

Valor de magnitud R : 4 …. 3 …. 240 Vamos a corregir sus respuestas: 1. 5 x 8 = 2 x 20 = 10 x 4 = 1 x 40 = 0,4 x 100 = 40

Rpta.: inversamente proporcional. 2. 5 9

20 36 Rpta. directamente proporcional

3. a) 2 50 5

100 4 40 b) 3 72 1,5 207 270 21 c) 4 8 7 20 2 1,6 9 d) 4 24 3 0,5 0,1

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MATEMÁTICA


11.4 REPARTO PROPORCIONAL Consiste en distribuir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados “índices” del reparto; ya sea en forma directa o inversamente proporcional. 11.4.1 TIPOS DE REPARTO A ) REPARTO SIMPLE DIRECTO: Cuando las partes a obtener son proporcionales a los índices. Ejemplo: Repartir 400 en 3 partes que sean proporcionales a 2, 3 y 5. Resolución: Las partes serán: “2k” , “3k” y “5k” las cuales deben sumar 400, entonces: 2 k + 3 k + 5 k = 400 K ( 2 + 3 + 5 ) = 400 K = 40 Suma de índices Constante de reparto Ahora damos lo que le toca a cada uno:

2 (40) = 80 ; 3 (40) = 120 ; 5 (40) = 200

Método Práctico: PARTES D.P. A 2k 400 B 3k + k = 400 = 40 10 C 5k

10k Luego:

A = 2 (40) = 80 ; B = 3 (40) = 120 ; C = 5 (40) = 200

28

MATEMÁTICA


10 47

470 K

Observación: Si a los índices de un reparto, se dividen o multiplican por un mismo número positivo, el reparto no varia es decir se obtiene las mismas partes. Ejemplo: Repartir 470 en 3 partes que sean proporcionales a los números: 5 ; 3 ; 3 6 8 4 Resolución: Es conveniente que los números proporcionales sean enteros, entonces buscamos números que estén en la misma relación que las fracciones; para ello es necesario considerar el MCM de los denominadores, para multiplicar a los índices. MCM ( 6 ; 8 ; 4) = 24 PARTES D.P

A : 65

x = 20 k

470 B : 83

x = 9 k

C : 43

x = 18 k

47 k Luego las partes serán:

A = 20 (10) ; B = 9 ( 10) ; C= 18 (10) B) REPARTO INVERSO Recordando que: ( “A” IP “B” ) ( “A” DP “1” ) B Inversamente Directamente Proporcional Proporcional

Entonces para repartir una cantidad en forma inversamente proporcional a ciertos

índices, es suficiente repartir directamente proporcional a las inversas de los índices:

24

24

24

29

MATEMÁTICA


Ejemplo: Repartir 390 en 3 partes que sean inversamente proporcionales a los números de 6 ; 9 y 12. Resolución: Partes I.P. D.P. A : 6 1 x 36 = 6 k 6 390 B : 9 1 x 36 = 4 k k = 390 = 30 9 13 C : 12 1 x 36 = 3 k 12 13 k Las partes serán: A = 6 (30) = 180 ; B = 4 (30) = 120 ; C = 3 ( 30) = 90 C) REPARTO COMPUESTO Se da cuando el reparto se hace en partes que son proporcionales a varios grupos de índices. Recuerda: Si: “A” D.P. “B” y también con “C” , entonces “A” D.P. (“B” x “C”). EJEMPLO Repartir 2 225 en 3 partes que sean D.P. a los números: 3 , 5 y 8 e I.P. a los números 4, 6 y 9. Resolución: MCM ( 4, 6, 9 ) = 36 Partes D.P. I.P. D.P. A : 3 4 1 3 x 1 = 3 x 36 = 27k 4 4 4 2 225 B : 5 6 1 5 x 1 = 5 x 36 = 30k k = 2225 = 25 6 6 6 89 C : 8 9 1 8 x 1 = 8 x 36 = 32k 9 9 9 89k Las partes son:

A = 27 (25 ) = 675 ; B= 30 ( 25 ) = 750 y C = 32 ( 25 ) = 800

30

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS 6. Repartir el número 32 en partes D.P. a los números 3, 5 y 8 Resolución: Partes D.P. A : 3 3 k 32 B : 5 5 k k = 32 = 2 16 C : 8 8 k 16 k Las partes son: A = ……………… B = …………………. C = ………………… Luego los valores que satisfacen al problema son: 6 , 10 y 16. 7. Repartir el número 63 en partes D.P. a los números 2 , 3 y 4. Resolución: Partes D.P. A : …. …. 63 B : . … …. k …… = …… C : …. ….. …… Luego los valores son: A = ………….…., B = ……………, C = ………………

REGLA PRÁCTICA PARA EFECTUAR UN REPARTO COMPUESTO Primero : Se convierte la relación I.P. a D.P. Segundo: Los grupos de los índices D.P. se multiplican. Tercero : Se efectúa el reparto simple directo a los nuevos índices.

31

MATEMÁTICA


A Continuación tienes las respuestas de las preguntas 6 y 7 (compáralas) 6) A = 3 ( 2 ) = 6 , B = 5 ( 2 ) = 10 , C) = 8 ( 2 ) = 16 DP 7) : 2 2 k …. : 3 3 k + k 63 7 : 4 4 k 9 9 k las partes son: A = 2 ( 7 ) = 14 , B = 3 ( 7 ) = 21 y C = 4 ( 7 ) 28 Resuelva ahora los ejercicios que siguen, con la siguiente explicación 8. Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus

trabajadores en orden inverso a las faltas de los mismos. Al final del semestre éste debe distribuirse entre tres trabajadores que tienen 3, 5 y 4 faltas, respectivamente. ¿Cuánto recibe cada uno?

Resolución: Planteo

Respuesta.: …………….. 9. Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc.

¿Cuántos Kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40 Kg. de esa mezcla?

Resolución: Planteo

Respuesta.: …………….. ¡Corrija por favor!

32

MATEMÁTICA


8)

Partes I.P. D.P. , MCM ( 3, 5 4 ) = 60

A : 3 1 x 60 = 20 k 3 470 B : 5 1 x 60 = 12 k + k = 470 = 10 5 47 C : 4 1 x 60 = 15 k 4 47 k Las partes serán: A = 20(10 ) = 200 ; B = 12 (10) = 120 ; C = 15 ( 10) = 150 9) DP : 5 5 k 40 : 3 3 k + k = 40 = 4 : 2 2 k 10 10 k Las partes son: A = 5 ( 4 ) = 20 Kg cobre B = 3 ( 4 ) = 12 Kg estaño C = 2 ( 4 ) = 8 Kg zinc

33

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I 01. Se tiene dos magnitudes A y B, tales que: 3 A es I.P. a B. Si cuando A = 8, B = 6. Halle A, si B = 2. A) 218 B) 212 C)216 D) 220 E) 228

Solución:

02. Si el peso de un elefante blanco es D.P. a sus años, si un elefante tuviera 360 Kg, entonces su edad sería 32 años. ¿Cuántos años tendrá sabiendo que pesa 324 Kg?. A) 28A, 294 D B) 27A, 280D C) 27A, 294D D) 28A, 292D E) 30A

Solución:

03. El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura que se compra. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones. ¿Qué área se pintará con 15 galones? A) 367 B) 300 C) 100 D) 320 E) 120

Solución:

04. Manolo descubre que los gastos que hace en celebrar su cumpleaños son D.P al número de invitados e I.P. a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la última vez gastó S/. 1 200; invitó a 100 personas y ocupó 12 horas. ¿Cuánto ahorrará invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas más?. A) 480 B) 230 C) 460 D) 320 E) 485

Solución:

05. Una rueda A de 60 dientes engrana con otra de 25 dientes. Fija al eje de esta última hay una tercera de 40 dientes que engrana en una rueda B de 75 dientes. Si A da una vuelta cada 2/3 segundos. ¿Cuántas vueltas dará B en 2 horas 30 minutos? A) 36750 B) 17280 C) 46000 D) 32000 E) 48000

Solución:

06. Repartir 22 270 inversamente proporcional a 5(n + 2) ; 5(n + 4) ; 5(n + 5) . Dar como respuesta la menor de las 3 partes. A) 3675 B) 2300 C) 4600 D) 3200 E) 4800

Solución:

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MATEMÁTICA


07. Repartir “N” directamente proporcional a los

números 32 ; 72 ; 162 obteniendo que la media geométrica de las partes obtenidas es 4/19 de “N” más 578. Halle “N”. A) 3600 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800

Solución:

08. Una herencia dejada por un padre a sus tres hijos se repartió I:P. a sus edades siendo; 12 ; n ; y 24 años si el reparto hubiera sido D.P. a sus edades, el que tiene “n” años hubiera recibido los 13/12 de lo que recibió. Calcular el valor de “n”. A) 13 B) 18 C) 15 D) 16 E) 17

Solución:

09. Al repartir 22 050 directamente proporcional a las raíces cuadradas de los números 7,2 ; 9,8 y 12,8. ¿En cuánto excede la parte mayor a la parte menor? A) 3600 B) 2300 C) 2100 D) 4200 E) 1800

Solución:

10. Repartir 33 000 en 4 partes que sean D.P. a

los números. 5,0;83;

31;

73

; indicar una de las

cantidades. A) 8000 B) 6720 C) 10000 D) 10 E) 100

Solución:

11. En una maratón se va repartir un apremio de S/. 2080 entre todos los participantes si ellos emplearon: 3, 15, 35, ............, 1023 minutos en llegar a la meta ¿cuántos atletas participaron en la competencia y cuanto le corresponde al que llegó en el séptimo lugar? A) 16 Y 22 B) 17 Y 23 C) 17 Y 22 D) 1 Y 2 E) 16 Y 55

Solución:

12. Repartir S/. 1539 entre A, B y C de tal manera que “A” le corresponde 1/5 más que a “B” y a “B” le corresponde 1/10 más que a “C”. ¿Cuánto le corresponde a “A”? A) 540 B) 504 C) 594 D) 624 E) 720

Solución:

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MATEMÁTICA



1. Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a sus edades. Si el mayor tiene 23 años y le han correspondido S/. 184, ¿cuánto se llevará cada uno de los otros dos que tienen 15 y 12 años, respectivamente?

2. .Repartir 559 en partes proporcionales a 4, 4, 3 y 2.

3. Se ha encargado a un orfebre el diseño y la fabricación de un trofeo que ha de pesar 5 kg y ha de estar fabricado con una aleación que contenga tres partes de oro, tres de plata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de cada metal?

4. Se ha pagado S/. 37500 por tres parcelas de terreno de 7,5 Ha, 4 Ha y 36000 m2, respectivamente. ¿Cuánto ha costado cada parcela?

5. La nómina de una empresa asciende a 1,5 millones de Nuevos soles. Un doceavo corresponde a los sueldos de los directivos, tres doceavos a los sueldos de los técnicos y ocho doceavos a los de los obreros. ¿Qué cantidad corresponde a cada grupo?

6. Para fabricar una pieza de tela de 1,10 m de ancho y 65 m de largo, se necesitan 35,75 kg de algodón. ¿Cuánto pesará una pieza de tela de la misma clase que mide 0,95 m de ancho y 120 m de largo?

7. Un grifo arroja 100 litros de agua por minuto y otro arroja 80 litros en el mismo tiempo. ¿Cuánto tardarán, entre los dos ,en llenar un depósito de 540 litros?

8. La ruedas delanteras de una locomotora tienen un radio de 0,45 m y las traseras, 0,65 m. ¿Cuántas vueltas darán las primeras mientras las segundas dan 2600 vueltas?

9. Una pieza de cierta aleación metálica contiene 24 g de cobre, 5 g de estaño y 15 g de níquel. Si en la fabricación de una partida de esas piezas se han invertido 84 kg de cobre, ¿cuáles son las cantidades de estaño y níquel empleadas?

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MATEMÁTICA


UNIDAD 12

REGLA DE TRES

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MATEMÁTICA


REGLA DE TRES

CONCEPTO

Es una de las más usuales aplicaciones de la proporcionalidad que consiste en calcular el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o más magnitudes y esta puede ser regla de tres simples o bien regla de tres compuesta.

12.1 REGLA DE TRES SIMPLE (R3S)

Es Cuando intervienen dos magnitudes proporcionales de las cuales se conocen tres valores, dos pertenecientes a una de las magnitudes y la tercera a la otra magnitud y debemos calcular el cuarto valor. La R.3.S. Puede ser de dos tipos:

R.3.S. DIRECTA

Se plantea cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P).

EN GENERAL:

Dada las magnitudes A y B directamente proporcionales los valores a; b; c y la incógnita “X” . Se plantea así:

MAGNITUD A MAGNITUD B Supuesto: a c ……………………. Pregunta: b X (D)

Como son magnitudes directamente proporcionales se esta indicando por (D) y aplicando la definición tenemos:

xb

c

a

Despejando la incógnita “X”

a

bcx

REGLAS PRÁCTICAS REGLA 1° .- Una vez planteado se multiplica en “aspa” es decir de efectuamos:

38

MATEMÁTICA


cbXa ..

a

bcx

REGLA 2°.- Del planteado la incógnita “X” es igual al valor que

esta sobre él multiplicado por la fracción a

b

X = c. a

b

¡Recuerde que cuando es directa se coloca de manera diferente! EJEMPLO (1): Si 3 limas cuestan S/. 144, ¿Cuánto se pagará por 7 limas iguales que las primeras? RESOLUCIÓN. Las magnitudes que intervienen son la magnitud de cantidad de limas y el costo las cuales son D.P porque a mayor cantidad de limas el costo será mayor y a menor cantidad de limas el costo será menor y planteamos:

Cantidad Limas Costo (s/.)

Supuesto: 3 144

Pregunta: 7 X

(D)

Aplicando la 2da regla práctica tenemos:

33637.144x soles

OBSERVACIÓN:

Para aplicar esta regla practica es necesario que la incógnita se ubique es la segunda fila además se esta indicando con (D) por que son directamente proporcionales.

EJEMPLO (2) Esmeralda al comprar 5 revistas gasto “x” soles pero si hubiera comprado 12 revistas el gasto seria 28 soles más. Hallar el valor de X.

Se coloca de manera diferente como

se indica en el planteo “b

a”

39

MATEMÁTICA


RESOLUCIÓN Del enunciado notamos que intervienen las magnitudes N° de revistas y el gasto respectivo el cual planteamos del modo siguiente.

Nº REVISTAS Costo (s/.)

Supuesto: 5 X

Pregunta: 12 X + 28

(D) En este caso es conveniente utilizar la primera regla práctica por lo cual multiplicamos en “aspa”

5 ( X + 28 ) = 12X 5X + 140 = 12X 140 = 7X X = 20

R.3.S INVERSA.

Resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales (I.P)

EN GENERAL: Dada las magnitudes A y B inversamente proporcionales los valores a, b y c y a incógnita “X” se plantean:

MAGNITUD A MAGNITUD B Supuesto: a c …………… Pregunta: b X (I) Por definición de magnitudes inversamente proporcionales

acbx ..

b

acx .

REGLA PRÁCTICAS: REGLA Nº 1.- Una vez planteado se multiplica en “Línea” y estas deben ser

iguales, tal como se ha hecho en la solución anterior.

40

MATEMÁTICA


REGLA Nº 2.- Del planteo (β) la incógnita “ X” es igual al valor que se

encuentra sobre ella multiplicado por la fracción b

a es decir se copia Igual

como está en el planteo.

b

acX .

EJEMPLO 3: ¿En qué tiempo 2 albañiles pueden hacer un muro, que un albañil lo hace en 8 horas ? RESOLUCIÓN Del enunciado notamos que las magnitudes que intervienen son número de albañiles y el tiempo los cuales son inversamente proporcionales, ya que a mayor número de albañiles se demora menos tiempo y a menor número de albañiles mayor tiempo por la cual planteamos.

N albañiles Tiempo (horas)

Supuesto: 1 8

Pregunta: 2 t

( I ) Para hallar el valor de “t” aplicamos la REGLA Nº 2

horas421.8t

EJEMPLO 4: Un móvil a una velocidad de 90km/h emplea X horas para recorrer un trayecto pero si aumenta su velocidad a 120 Km/h empleara 2 horas menos. Hallar X. RESOLUCIÓN Se sabe que a mayor velocidad demora menos tiempo y viajando a menor velocidad demora mas tiempo lo cual indica que la velocidad y el tiempo son I.P.

VELOCIDAD TIEMPO Supuesto: 90 X Pregunta: 120 X - 2 (I)

En este caso nos conviene utilizar la REGLA Nº 1 y para ello multiplicamos en” Línea”

90(x) = 120 (x – 2)

3x = 4x – 8

Se copia Igual como está en el

planteo “b

a”

41

MATEMÁTICA


8 x NOTA: En una regla de tres cuando se conocen tres valores de los cuatro es

conveniente aplicar la regla Nº 1 ya sea del D.P como el ejemplo (1) y (3). En una regla de tres cuando se conocen dos valores de los cuatro es

conveniente aplicar la regla Nº 2 ya sea multiplicar en aspa si es D.P o multiplicar en línea si es I.P. como el caso del ejemplo (2) y (4).

Los valores correspondientes a una misma magnitud o columna se pueden

dividir o multiplicar por el mismo valor y el resultado no se altera. 12.2 REGLA DE TRES COMPUESTA (R.3.C)

Se plantea cuando intervienen más de dos magnitudes. MÉTODO DE SOLUCIÓN Existen varios métodos de solución pero en este caso vamos a utilizar las reglas prácticas que hemos estudiado en R.3.S directa e inversa y para ello vamos a seguir los siguientes pasos.

1º. Se reconocen las magnitudes que interviene en el problema

2º. Se disponen los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud se ubique en una misma columna y es adecuada que estén en las mismas unidades.

3º. En la primera fila (supuesto) se colocan los datos y en la segunda fila (pregunta) los demás incluido la incógnita.

4º. La magnitud en la cual se ubica la incógnita se compara con las demás, indicando en su parte inferior si es directamente proporcional por (D) y si es inversamente proporcional con (I).

5º. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se conforman en cada magnitud si es D.P. se coloca de manera Diferente y si es I.P se copia Igual.

EJEMPLO (5) Qué rendimiento deben tener 6 obreros que en 16 días trabajando 9h/d han hecho 21m3 de una obra cuya dificultad es como 3 si para hacer 14 m3 de la misma obra de 5 como dificultad se empleara 8 obreros de 60% de rendimiento durante 12 días de 8 h/d. .

42

MATEMÁTICA


RESOLUCIÓN

X% = 60% . %4853.

1421.

98.

1612.

68

NOTA:

Cuando en una R.3.C intervienen la magnitud número de obreros y el rendimiento de c/u se multiplican porque son I.P y se reemplaza por una sola magnitud que seria el rendimiento total

Si en un problema tenemos el número de días y las horas diarias ambas se multiplican y se reemplazan por una sola magnitud que sería el tiempo.

Igualmente si tenemos la obra y su respectiva dificultad ambas se multiplican y se reemplazan por la magnitud obra.

¡Ah no se olvide que los factores comunes de una misma columna se pueden cancelar! Apliquemos lo que hemos indicado en la nota en el ejemplo 5.

%48109.

32%.80% X

RENDIMIENTO

Nº OBREROS Nº DIAS H / D OBRA DIFICULTAD

Supuesto 60% 8 12 8 14 5

Pregunta X% 6 16 9 21 3

(I) (I) (I) (D) (D) Igual Igual Igual Diferente Diferente

RENDIMIENTO TOTAL

TIEMPO

OBRA

60 % • 8

12. 8 <> 2

14..5 <> 10

x % • 6

16..9 <> 3

21..3 <> 9

(I)

(D)

43

MATEMÁTICA



Resuelva ahora los siguientes problemas : 1) 18 tornillos hexagonales cuestan s/. 3,20? Cuanto cuestan 5 tornillos?

Rpta. .................. 2) Un obrero gana 528 nuevos soles en 48 horas. ¿Cuánto gana por hora?

Rpta. .................. 3) Tres aprendices efectúan un trabajo en 2 ½ días ¿Qué parte del trabajo realizan

en un día? Rpta. ..................

4) Dos planchas de chapa de acero pesan 31,2 kg. ¿Cuál es la masa referida a la

superficie de cinco planchas de magnitudes idénticas? Rpta. ..................

5) Determine la masa referida a la longitud de una barra perfilada de 1 m cuando

para 6,1 m se da una masa de 32 kg. 6) Una polea de transmisión con un diámetro de 120 mm efectúa 1200

revoluciones. ¿ Cuál es el número de revoluciones de la polea accionada de 720 mm de diámetro?.

Rpta. .................. 7) Un automóvil consume 8,4 litros de gasolina por 100 km. ¿Qué trayecto puede

recorrer con 40 litros en el tanque? Rpta. ..................

8) Un automóvil recorrió 33 km en 12 minutos. ¿Cuál era su velocidad de marcha

en km/h? Rpta. ..................

9) Una rueda dentada impulsadora con 42 dientes ejecuta 96 revoluciones.

¿Cuántos dientes ha de tener la rueda accionada para que ejecute 224 revoluciones?

Rpta. .................. 10) Una bomba transporta en 2 horas 1200 l de agua. ¿Cuánto tiempo se

necesita para vaciar un sótano inundado de 2x1, 5 x 3 m? Rpta. ..................

11) Para la obtención de 40Kg de bronce se necesitan 2,4 kg de estaño ¿Cuánto

estaño es necesario para 122 kg de bronce? Rpta. ..................

12) Cuatro obreros roblonan 480 remaches en 3 horas. ¿Cuántos remaches

roblonan 2 obreros en 4 horas? Rpta. ..................

44

MATEMÁTICA


13) Una bomba con 4 kw de rendimiento transporta en 1 hora 180 m3 de agua a

una altura de 6 m. ¿Qué rendimiento (en 1 hora) es necesario para transportar 270 m3 de agua a una altura de 8 m?

Rpta. .................. 14) Con 6 ranuradoras verticales se fabrican en 8 horas 180 piezas. ¿Cuántas

horas se necesitan para producir 240 piezas con 4 maquinas? Rpta. ..................

15) Una volante gira dando 180 vueltas en 30 segundos. ¿En cuántos segundos

dará 120 vueltas? Rpta. ..................

16) Por 4,8 m de alambre se pagaron S/. 76,80 . ¿Cuál es el precio de 8 m

de ese mismo alambre? Rpta. ..................

17) Un libro de 150 páginas tiene 40 líneas en cada página .Si cada página

tuviese 30 líneas .¿Cuántas páginas tendrá el libro ? Rpta. ..................

18) Veinte hombres pueden hacer un trabajo en 6 días , trabajando 9 horas

por día. ¿Cuánto tiempo emplearán para hacer el mismo trabajo, 12 hombres trabajando 5 horas por día?

Rpta. .................. 19) Dieciocho máquinas producen 2 400 piezas trabajando 8 horas. ¿Cuántas

horas deberán trabajar 36 máquinas iguales a las primeras para producir 7 200 piezas?

Rpta. .................. 20) Se tiene un engranaje de 60 mm de diámetro con 30 dientes. Calcular el

diámetro que debe tener otro engranaje de 12 dientes, a fin de utilizar en la misma transmisión.

Rpta. ..................

21) Para pintar un cubo de 10cm de arista se gastó 12 soles. ¿Cuánto se gastará para pintar otro cubo de 15 cm de arista?

‘

Rpta. .................. 22) Se sabe que 15 hombres y 10 mujeres pueden cosechar 20 hectáreas de

trigo en 40 días, después de 10 días de trabajo se retiran 5 hombres y 5 mujeres. Determinar con cuántos días de retraso se termina la cosecha si el trabajo que realiza un hombre equivale al de 2 mujeres.

Rpta. ..................

45

MATEMÁTICA


23) Tres albañiles y cuatro ayudantes pueden hacer una obra en 50 días.¿En

cuántos días harán la misma obra 5 ayudantes y 2 albañiles, si el trabajo que hace un ayudante en 5 horas lo hace un albañil en 3 horas?

Rpta. .................. 24) Un automóvil gasta 10 litros de gasolina para recorrer 65 km. ¿Cuántos

litros gastará para recorrer 910 km.? Rpta. ..................

25) Doce hombres trabajando 8 horas diarias pueden hacer un muro en 15 días

. ¿En cuántos días harán otro muro igual 15 hombres trabajando 6 horas diarias?

Rpta. .................. 26) Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanja de 2 m de profundidad

.¿Cuántos hombres serán necesarios para cavar otra zanja de 3m de profundidad en 20 días?

Rpta. ..................

27) 13. Un reloj que da las horas por campanadas demora 6 segundos en dar las 4. ¿Cuánto demorará en dar las 8?

. Rpta. .................. 28) Caminando 6 horas diarias, un hombre ha empleado 4 días para ir de un

pueblo a otro distante entre sí 96 km. Si continuando sus viajes debe ir otro pueblo distante 192 km de éste último, ¿Cuántos días e empleará caminando 8 horas diarias?

Rpta. ..................

29) La cantidad de granos de maíz que entran en un balón esférico de 3 dm de diámetro es 120. ¿Cuántos granos entrarán en un balón de 6 dm de diámetro?

Rpta. ..................

30) Un empleado que trabaja 6 horas diarias recibe como salario $480 por mes.

El dueño de la fábrica le ha comunicado que la empresa aumentará su horario de trabajo en 2 horas diarias. ¿Cuál será a partir de ahora su sueldo?

Rpta. .................. 31) Un operario recibe por 18 días de trabajo S/. 288, ¿Cuánto recibirá si sólo

trabajó 15 días? Rpta. ..................

32) Un automóvil emplea 4 horas para cierta distancia, con una velocidad de

90 km por hora, si se aumenta la velocidad a 120 km por hora. ¿En cuánto tiempo recorrerá la misma distancia?

Rpta. ..................

46

MATEMÁTICA


1) Para recorrer 44 km en 2 horas; una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos son de igual longitud. ¿Cuántos pasos dará para recorrer 33 km en 3h? A) 44000 B) 45 000 C) 44000 D) 33 000 E) 30 2) Un trabajo puede ser hecho por 16 hombres en 38 días. Si 5 hombres aumentaron su rendimiento en un 60 % ,en que tiempo terminaron el trabajo?. A) 30 B) 26 C) 32 D)25 E) 40 3) Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora. ¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta?. A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días 4) Una persona demora 10 horas para construir un cubo compacto de 9 dm de arista. Después de 320 horas de trabajo.¿Qué parte de un cubo de 36 dm de arista se habrá construido? A) 2

1 B) 41 C) 5

1 D) 61 E) 3

1 5) Una obra puede ser realizada por 6 obreros en 20 días ¿Cuántos obreros más se necesitarán para hacer el mismo trabajo en las

103 partes de ese tiempo? A) 14 B) 12 C)20 D)15 E) 18

Solución Solución Solución Solución Solución

47

MATEMÁTICA


6) En 9 litros de agua se han disuelto 580 gramos de azúcar ¿Cuántos litros de agua serán necesarios añadir para que el litro de la mezcla tenga 29 gramos de azúcar? A) 8 l B) 9 l C) 10 l D)11 l E)20 l 7) Si 8 obreros hacen una obra en 20 días y después de 5 días se retiran 3 obreros.¿Cuántos días se retrasará la obra? A)4 B)5 C)8 D)9 E)15 8) Si 10 obreros trabajando 8 horas diarias emplean 12 días para terminar un trabajo.¿Cuántos días emplearan 5 obreros, trabajando 6 horas diarias para hacer el mismo trabajo? A)8 B) 18 C)24 D)32 E)34 9) Se tiene un cubo de madera que cuesta S/.1 920.¿Cuánto costará un cubo cuya arista sea los 5/4 de la arista anterior? A)S/.3 750 B)S/.3 850 C)S/.4 530 D)S/.1 890 E)S/.3 560 10) Si 15 obreros van a hacer una obra en 30 días trabajando 10 horas diarias y después de 8 días se acordó que la obra termine 12 días antes del plazo.¿Cuántos trabajadores deben contratarse , teniendo en cuenta que se aumento 1 hora de trabajo diario? A)8 B)12 C)15 D)18 E)20


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MATEMÁTICA


11) Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 días .Si 8 de ellos aumentan su rendimiento en 60%, qué tiempo empleará para realizar la obra A)12 B)15 C)18 D)24 E)17 12) Un ingeniero puede construir 600 metros de carretera con 40 hombres ,en 5 días , trabajando 8 h/d ¿Cuántos días tardara este ingeniero en construir 800 metros de carretera con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores en un terreno de triple dificultad, trabajando 2 horas más por día? A)4 B)5 C)8 D)9 E)15 13) Despepitando 8250 kg de ciruelas se ha obtenido 6750kg de pulpa. ¿Cuál sería el importe que se tendría que gastar para obtener 9 kg de pulpa, si las ciruelas se compran a razón de S/. 0.81 el kg.? A) SI. 91,81 B) SI. 8,91 C) SI. 8,80 D) S/. 72,90 E) SI. 7,29 14) Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo cinco obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan?. A) 24 B) 26 C)28 D)30 E)32 15) Un auto va de P a Q y llega a cierta hora; si aumentara su velocidad un 50 % ahorraría 2 horas. ¿En qué porcentaje debe aumentarla, si quiere llegar una hora antes?. A) 100% B)15% C)20% D)25 E) 40%


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MATEMÁTICA


16) Un reloj que da las horas por campanadas demora 6 segundos en dar las 4. ¿Cuánto demorará en dar las 8? A) 15s B) lOs C) 16s D)12s E) 14s 17) Un reloj que marcaba las O horas se adelanta 6 minutos en cada hora. ¿Dentro de qué tiempo marcará la hora exacta?. A) 3 días B) 4 días C) 5 días D) 6días E) 7 días 18) Se sabe que 15 hombres y 10 mujeres pueden cosechar 20 hectáreas de trigo en 40 días, después de 10 días de trabajo se retiran 5 hombres y 5 mujeres. Determinar con cuántos días de retraso se termina la cosecha si el trabajo que realiza un hombre equivale al de 2 mujeres. A) 18 B) 15 C) l2 D) l0 E) 9 19) A y B hacen un trabajo normalmente en 18 y 24 días respectivamente. El primero aumenta su rendimiento en 20 % y el segundo en 50 %. Si trabajan juntos, ¿en cuántos días harían el trabajo (aproximadamente)? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 20) Para pintar una casa, 1ero se pasa la primera mano, luego el acabado. Hugo y Carlos se disponen a pintar una casa a las 6:00 a.m. Carlos el encargado del acabado espera que Hugo pinte durante 3 horas aduciendo que él lo hace en 2 horas lo que hasta ese momento Carlos ha hecho. Si terminaron simultáneamente el trabajo a qué hora fue. A) l p.m B) 2 p.m C) 3p.m D) 4p.m E) 5 p.m


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MATEMÁTICA


21) Un obra puede ser hecha por 36 obreros en 20 días de 8 h/d pero a los 8 días de iniciada la obra se les indicó que la obra aumentaba en un 20% , por lo que en ese mismo instante se contratan “n” obreros adicionales para cumplir con el plazo fijado. Sin embargo, luego de “D” días más se observó que a partir de esté momento sólo 8 obreros mantienen su rendimiento y el resto disminuyó en un 40%, por lo que la obra se terminó con 5 días de atraso. Calcular “D” A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 22) 120 obreros pueden realizar una obra en 40 días. Después del primer día se retira la mitad y trabajan 2 días; luego se retira la 1/3 parte de los que quedan y trabajan 3 días y más tarde se retira 1/4 del resto y trabajan 4 días ;así sucesivamente hasta que se retira 1/n; de esta manera se realiza 3/20 de la obra. Halle “n” A) 10 B) 8 C) 6 D) 7 E)5 23) Un grupo de 15 máquinas pueden completar un trabajo en 24 días.¿Cuántas máquinas adicionales, cuya eficiencia es el 60 % de los anteriores se necesitan si el trabajo aumenta en un 80 %, pero se sigue teniendo 24 días para completarlo? A) 20 B)5 C)40 D)25 E)36 24) En cuántos días se atrasara una obra si faltando 10 días los obreros bajan su rendimiento en un 25%. La jornada diaria es de 9 horas A) 3d 3h B) 11d 3h C) 13d 3h D)15d E) 16d 4h

Solución Solución Solución Solución

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MATEMÁTICA


25) Un ingeniero puede construir un tramo de autopista en 3 días con cierta cantidad de máquinas; pero emplearía un día menos si le dieran 6 máquinas más. ¿En cuántos días podrá ejecutar el mismo tramo con una sola máquina?. A) 36 B)42 C)48 D)30 E)33 26) Una obra puede ser hecha por 24 obreros en 21días .¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obra se termine en 12 días ? A)14 B)15 C)16 D)17 E)18

27) Si 36 obreros cavan 1800 metros de una zanja diaria .¿Cuál será el avance diario cuando se ausenten 18 obreros? A )70 m B)809 m C)900 m D)600 m E)100 m

28) Dos ruedas cuyos diámetros , son 13m y 20,8m están movidas por una correa , cuando la menor da 208 revoluciones .¿Cuántas revoluciones da la mayor? A ) 137 B)137,2 C)130 D)133,7 E)135 29) 12 obreros pueden hacer una obra en 29 días .Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros .¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra? A )15 B)30 C)16 D)18 E)20 30) Johana es el doble de rápida que Esmeralda y ésta es el triple de rápida que Rossmery .Si entre las tres pueden terminar una obra en 16 días .¿En cuántos días Esmeralda con Rossmery harán la misma tarea? A)22 B)30 C)15 D)40 E)64

Solución Solución Solución Solución Solución Solución

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MATEMÁTICA


UNIDAD 13

PORCENTAJE E INTERÉS SIMPLE

53

MATEMÁTICA


13.1 PORCENTAJE En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %.

20 Por Ciento = 10020

= 20 x 100

1 = 20 %

100

1 %

13.2 TRANSFORMACIÓN DE PORCENTAJE A NÚMERO Todo porcentaje puede ser expresado como número, se convertir en fracción con denominador 100; por ejemplo:

a) 20% = 10020

= 51

b) 60% = 10060

= 53

c) 2,4% = 2,4100

1 =

1001

1024

= 125

3

d) 0,002% = 100

11000

2 =

500001

e) 1712

% = 100

11712

= 4253

13.3 TRANSFORMACIÓN DE NÚMERO A PORCENTAJE Todo número puede ser expresado como porcentaje, multiplicando dicho número por 100 %. Ejemplos: a) 1 < > 1 x 100% = 100 % b) 3 < > 3 x 100% = 300 % c) 0,25 < > 0,25 x 100% = 25 %

d) 53

< > 53

x 100% = 60 %

e) 542 < >

514 x 100% = 280 %

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MATEMÁTICA


13.4 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE PORCENTAJES DE UNA

MISMA CANTIDAD Se puede sumar y restar porcentaje de una misma cantidad. Ejemplos I: a) 30%.A + 10%.A – 5%.A = 35%.A b) 7%.45%.B + 13%.45%.B = 20%.45%.B c) 37%.40%.25%.B + 23%.40%.25%.B - 20%.40%.25%.B = 40%.40%.25%.B Ejemplos II: a) Una cantidad más su 20% = 120% de la cantidad b) Mi edad menos su 30% = 70% de mi edad c) “C” menos su 40% = 60% “C” 13.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Problemas I: a) Hallar el 30% de 6000

Solución: Recordemos en este caso que la palabra “de”, “del” y “de los”, en el lenguaje matemático representa a la operación de la multiplicación.

30% de 6000 = 10030

6000 = 180

b) Hallar el 0,4% de 50000 Solución:

0,4% de 50000 = 100

1104

50000 = 200

c) Hallar el 3% del 20% del 5% de 6 x104

Solución:

3% del 20% del 5% de 6 x104 = 100

510020

1003

6104 = 18

¡Resuelva el siguiente problema, Ud lo puede hacer solo!

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MATEMÁTICA


d) Si Esmeralda recibe el 32 % de 200 soles ¿Cuánto no recibe?

Solución: e) Calcular el porcentaje de los siguientes números:

1a. 10% de 2860

1b. 10% de 1280 1c. 50% de 4970

2a. 10% de 3060

2b. 10% de 1340 2c. 10% de 50

3a. 50% de 2710

3b. 10% de 2400 3c. 50% de 1060

4a. 10% de 3440

4b. 50% de 1520 4c. 50% de 1470

5a. 50% de 2500

5b. 50% de 1600 5c. 10% de 3860

6a. 50% de 1370

6b. 10% de 4940 6c. 10% de 100

f) Sombree el porcentaje correspondiente a cada figura.

a. 25% de la figura ( 25 125%100 4

)

b. 100% de la figura (100% )

c. 80% de la figura (80% )

d. 50% de la figura (50% )

e. 60% de la figura (60% )

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MATEMÁTICA


Problemas II: a) ¿ 20% de que número es 70 ?

Solución: 20% de que número es 70

20%.N = 70 10020

N = 70 N = 350

b) ¿ 4 es el 0,25% de qué número ?

Solución:

0,25%.N = 4 100

110025

N = 4 N = 1600

c) Si tuviera 30% más del dinero que tengo, tendría 260 soles ¿Cuánto es el

dinero que tengo? Solución: Lo que tengo : T , entonces si tuviera 30% más; tendría 130% de T.

130%.T = 260 100130

T = 260 T = 200

d) Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 40% menos;

costaría 6 soles. ¿Cuál es el precio real del libro? Solución: El libro “L” lo estaría vendiendo en un 60% de su valor real.

60%.L = 6 10060

L = 6 L = 10


e) Jaime reparte su fortuna de la siguiente manera: a Rosa le da el 28% de la

fortuna, a María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes ¿De cuanto fue la Fortuna? Solución:

Problemas III: a) ¿ Qué porcentaje de 80 es 4 ?

Solución: En el lenguaje matemático, “de” es una multiplicación y la palabra “es”, significa igual.

x% . 80 = 4 100

x80 = 4 x = 5 Rpta: 5%

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MATEMÁTICA


b) De 460 operarios que existen en una fábrica, 115 son mujeres. ¿qué tanto por ciento de los operarios no son mujeres? Solución: El personal que no son mujeres serán : 460 – 115 = 345 personas ¿Qué porcentaje de 460 es 345?

X%.(460) = 345 100

x460 = 345 x = 75 Rpta 75%

c) En la figura ¿Qué porcentaje representa la parte sombreada ? Solución: Si son preguntan que porcentaje representa la parte sombreada, es equivalente a que nos preguntaran que fracción esta sombreada; ya que todo fracción se puede escribir como porcentaje. Por lo tanto, hallaremos la fracción sombreada y luego lo convertiremos en porcentaje. A cada cuadrito le asignaremos una “k”, total tenemos 64k Recuerda:

“ La diagonal de un paralelogramo divide a este en dos triángulos de igual superficie.”

Además en “todo paralelogramo al unir cualquier punto de uno de los lados con los extremos del lado opuesto se formará un triangulo, cuya superficie es la mitad del paralelogramo.” Ahora vamos a analizar por partes la figura: Resumiendo: Total = 64k ; No sombreado = 36k ; Sombreado = 64k – 36k = 24k

Fracción sombreada = total

sombreado =

k64k24

= 83

Porcentaje sombreado = 83

100% = 37,5%

S S S

S

S

Área total : 2S

El rectángulo contiene 32k por lo tanto la parte no sombreada del lado inferior derecho será 16k,

El rectángulo contiene 18k por lo tanto la parte no sombreada del lado superior 9k,

Trabajando en forma similar las otras partes, observamos que la parte no sombreada es 36k

16k

9k9k 2k

9k 16k

k

58

MATEMÁTICA



d) ¿ 0,0072 que porcentaje es de 0,36 ?

Solución:

e) ¿Qué porcentaje del 80% del 40% de25 es el 0,8% del 20% de 100?

Solución: f) ¿Qué tanto por ciento representa la parte

sombreada de la no sombreada? Solución:

PROBLEMAS SOBRE PRECIO DE COMPRA Y VENTA Rossmery es comerciante y realiza las siguientes transacción comercial según muestra los gráficos siguientes: Del ejemplo anterior podemos deducir lo siguiente: PV = Precio de Venta. PC = Precio de Compra o Precio de Costo G = Ganancia P = Pérdida

PV = PC + G

PV = PC - P

$ 100.00

Rossmery compra un TV a $ 100.00

$ 120.00

Rossmery vende el TV a $ 120.00

PC: Precio de costo Pv: Precio de venta

Ganancia de $ 20.00

$ 100.00

Rossmery compra un TV a $ 100.00

$ 70.00

Rossmery vende el TV a $ 70.00

PC Pv

Pérdida de $ 30.00

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MATEMÁTICA


De lo cual deducimos que: Si hubiera sido un aumento entonces: Problemas : a) Esmeralda compra un vestido en 120 soles ¿En cuánto debe venderlo para

ganar el 15% sobre el precio de compra? Solución:

PV = PC + G PV = 120 + 15%.(120) PV = 120 + 15%.(120) PV = S/ 138

b) Oswaldo compra un taladro pagando S/ 120, ¿hallar el precio de Lista, si le hicieron un descuento del 25%?

Solución: PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento 120 = PF - 25%. PF 120 = 75%. PF

120 = 10075

PF PF = 160

¡Resuelva los siguiente problema, Ud lo puede hacer solo!

c) ¿Cuáles precio de venta de un artículo, cuyo precio de costo es 46 soles y

la ganancia es el 8% del precio de venta? d) El precio de venta de un televisor es $150, en esta venta se ha perdido el

25% del precio de costo. Hallar el precio de costo.

PVENTA = PFIJADO O LISTA - Descuento

$ 100.00

Rossmery desea vender un vestido y lo exhibe en su tienda a $ 100.00

$ 40.00

Rossmery vende el vestido a $ 40.00

PF: Precio Fijado o Precio de Lista Pv: Precio de Venta

Rossmery realiza un Descuento de $ 60.00

PVENTA = PFIJADO O LISTA + Aumento

Datos: Pc = 120 Pv = ? G = 15%.Pc

Datos: Pv = 120 PF = ? Descuento = 25%.PF

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MATEMÁTICA


DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Este tipo de problema es cuando a una cantidad se le aplica varios descuentos o aumentos en forma sucesiva.

Por ejemplo: Se hace 3 descuentos sucesivos de 20%, 25% y 30% del precio inicial del auto: En el 1º descuento es del 20% de $8000, por lo tanto el nuevo precio será:

PFINAL = 80%(8000)

El 2º descuento es de 25% de 80%(8000) entonces el nuevo precio será:

PFINAL = 75%.80%(8000)

El 3º descuento es del 30% del 75%.80%(8000), entonces el nuevo precio será:

PFINAL = 70%.75%.80%(8000) = $ 3360 Entonces el descuento único fue de : $8000 - $ 3360 = $ 4640 ¿Qué % es el descuento único?

X%.8000 = 4640

100X

8000 = 4640

X = 58% (Descuento único) Problemas : a) ¿Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único

de? Solución: Una forma práctica de resolver este tipo de problema será de a siguiente manera: PINICIAL = 100% PFINAL = 80%.100% Después de 1º descuento del 20% PFINAL = 60%.80%.100% Después de 2º descuento del 40%

PFINAL = 10080

10060

100%

PFINAL = 48%

Descuento único = 100% - 48% = 52%

$ 8000.00

Rossmery desea compra un auto cuyo precio de Lista es $ 8000.00

PF

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MATEMÁTICA


b) ¿Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único

de? Solución: PINICIAL = 100% PFINAL = 120%.100% Después de 1º aumento del 20% PFINAL = 130%.120%.100% Después de 2º aumento del 30%

PFINAL = 100120

100130

100%

PFINAL = 156%

Aumento único = 156% - 100% = 56%


c) Un Artículo cuyo precio de lista es de $240, se vende haciendo 2

descuentos sucesivos del 25% y 15%. ¿Calcular el precio de venta? d) ¿Cuál era el precio de lista de un artículo si la venta fue de 204 soles luego

de los descuentos sucesivos de 20% y 15%?

62

MATEMÁTICA


VARIACIONES PORCENTUALES Se denomina así al cambio que experimenta una cantidad, con relación a su valor original, y que es expresado en forma de Tanto Por ciento. Problemas : a) ¿En que porcentaje se ha incrementado el área de un rectángulo, si la base

se incremento en un 20% y su altura en un 50%? Solución: I Método:

Área Inicial = B.h < > 100% La Base aumenta el 20% y su altura aumenta en un 50%

Área Final = 120%B.150%h = 100150

100120

B.h

Área Final = 1,8.B.h

Aplicamos regla de tres simple: Bh 100%

1,8 Bh X

X = 100%.Bh

Bh 1,8 = 180%

El aumento de área en porcentaje fue de: 180% II Método: Con este método no es necesario saber las formulas de áreas de los diferentes figuras planas, por que las constantes que existieran en dichas formulas se anularían.

AINICIAL = 100%

AFINAL = 120% .150% 100

120150% = 180%

El aumento de Área = 180% - 100% = 80%

B

h

120% B

150% h

+20% +50%

63

MATEMÁTICA


b) ¿La base de un triángulo se ha incrementado en un 10% y la altura ha

disminuido en un 40%. ¿En que porcentaje ha variado su área? Solución:

AINICIAL = 100%

AFINAL = 110% .60% 100

11060% = 66%

El Área disminuye en: 100% - 66% = 34% c) ¿En que porcentaje aumenta el área de un círculo, si su radio aumenta en

un 30%? Solución: Área del círculo es 2.r = r.r , la dimensión de longitud “radio” se multiplica dos veces, entonces el aumento de 30 % se repetirá dos veces y la constante , se cancela.

AINICIAL = 100%

AFINAL = 130% .130% 100

130130% = 169%

El Área aumenta en: 169% - 100% = 69% d) ¿La base de un triángulo aumenta en sus 3/5 y su altura disminuye a la

mitad. ¿Cuánto % varía su área? Solución: 3/5 equivale al 60%, entonces la base aumenta en 60% y su altura disminuye en un 50%

AINICIAL = 100%

AFINAL = 160% .50% 100

16050% = 80%

El Área disminuye en: 100% - 80% = 20% e) ¿El radio de una esfera disminuye en un 20% ¿En que porcentaje varia su

volumen ?

+10% -40%

+30% +30%

+60% -50%

64

MATEMÁTICA


Solución: Nota: En caso de variación de volúmenes, con este método se tendría que realizar 3 variaciones porcentuales “Flechas”, por que la magnitud física de volumen es L3.

VINICIAL = 100%

VFINAL = 80% .80% .80% = 10080

10080

80% = 51,2%

El Volumen disminuye en:100% - 51,2% = 48,8% ¡Resuelva los siguiente problema, Ud lo puede hacer solo!

f) ¿En que porcentaje varia el área de un paralelogramo, si su altura aumenta

en un 10 % y su base disminuye en un 10%? g) Si la base de rectángulo disminuye en un 20%, ¿En que porcentaje debe de

aumentar la altura para que su área aumente en un 25%, h) Si el largo de un prisma rectángular disminuye en un 20% y su ancho

aumenta en un 10%, ¿En que porcentaje debe de variar su altura, para que su volumen no varié?

-20% -20% -20%

65

MATEMÁTICA


13.6 INTERÉS SIMPLE

Se llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés. La fórmula más conocida de interés simple es:

El Interés, es también conocido como Ganancia, Beneficio, Renta, que produce el capital del préstamo durante cierto tiempo.

El Capital, conocido también como capital inicial, capital primitivo, capital original. Suma de dinero que su poseedor impone o presta a determinadas condiciones para obtener ganancia.

La tasa de Interés, nos indica que tanto por ciento del capital se obtiene como ganancia en un período de tiempo.

El Monto, es también conocido como nuevo capital, capital originado, capital final, capital generado. El monto es la suma de capital y interés que genera este en cierto período.

Para el uso de la Fórmula, es importante tener en cuenta que la tasa de interés ( i ) y el tiempo ( T ), deben estar en la misma unidad de medida del tiempo. Si la tasa de interés y el Tiempo no están en las mismas unidades de medida, entonces una de ella se tendrá que convertir en la misma unidad de medida que la otra. Para hacer conversión, por cada grada se tendrá que multiplicar o dividir según sea el caso, como se muestra en el grafico “escalera”

Donde : I = Interés C = Capital i = Tasa de interés T = Tiempo M = Monto

I = C.i.T

M = C + I

Año Semestre

Bimestre

Mes

QuincenaDías

TIEMPO

2

3

2

2

15Cuando se desciende la escalera, se multiplica

AñoSemestre

Bimestre

Mes

Quincena Días

TIEMPO

2

3

2

2 15

Cuando se asciende la escalera, se divide

66

MATEMÁTICA


Ejemplos: 1. Convertir 3 bimestres a quincenas: 3 4 = 12 quincenas; “se

multiplica por 4, por que un bimestre tiene 4 quincenas.” 2. Convertir 7 meses a años: 7 12 = 7/12 año; “se divide entre 12,

por que un año tiene 12 meses.”

Ejemplos: 1. Convertir la tasa de interés de 6% anual a tasa trimestral:

6% 4 = 1,5% trimestral; “se divide entre 4, por que un año tiene 4 trimestres.”

2. Convertir la tasa de interés de 0,2% diario a tasa mensual: 0,2% 30 = 6% mensual;

“se multiplica por 30, por que un mes tiene 30 días.”

Problemas : 1. Pedro depositó $ 4500 en el Banco de Crédito a una tasa mensual del 3%.

¿Cuánto ha ganado en 4 meses? a) $620 b) 480 c) 540 d) 370 e) 360

Solución: Observamos que la tasa de interés esta en meses y el tiempo también esta en meses, entonces ya podemos aplicar la fórmula:

I = C.i.T

I = 4500(3%).(4)

I = 4500 100

34 = S/ 540

Respuesta: En 4 meses ha ganado S/ 540 y su nuevo capital o Monto será:

4500 + 540 = S/ 5040

Datos: C = S/ 4500 i = 3% mensual T = 4 meses

Año Semestre

Bimestre

Mes

QuincenaDías

Tasa de Interés ( i )

2

3

2

2

15Cuando se desciende la escalera, se divide

AñoSemestre

Bimestre

Mes

Quincena Días

2

3

2

2 15

Cuando se asciende la escalera, se multiplica

Tasa de Interés ( i )

67

MATEMÁTICA


2. Un Capital fue depositado al 5% mensual y produce un interés de $ 800 en

4 meses. ¿Qué interés producirá el mismo capital a una tasa del 9% semestral en 8 meses? a) $150 b) 160 c) 420 d) 480 e) 550 Solución:

Hallamos el capital “C”.

I = C.i.T 800 = C.(5%).(4) 800 = C

100

5 4 C = S/ 4000

Ahora calculamos el interés que producirá el capital de S/ 4000 a una tasa de 9% semestral, durante 8 meses. “la tasa de interés semestral la convertiremos en tasa de interés mensual

I = C.i.T

I = 4000.(

6

9 %).8 = 4000 100

1

6

9 8

I = S/ 480

3. El precio de una moto es $ 2600; si Pablo tiene sólo $ 2400 ¿Qué tiempo deberá depositar este dinero a una tasa del 4% anual para que pueda comprar la moto? Suponer que la moto no cambia de precio. a) 2a b) 2a 1m c) 1a 8m d) 1a 6m e) 3a 1m Solución:

El precio de la moto S/ 2600, es el capital final que se debe tener para `poder comprar la moto, “capital final o también llamado Monto” . El interés que se debe de ganar es : S/ 2600 – S/ 2400 = S/ 200 “El tiempo que calcularemos será en meses por que es la menor unidad de medida del tiempo que se muestran en las alternativas.”

I = C.i.T

200 = 2400.(12

4 %).T

200 = 2400100

1

12

4 .T

T = 25 meses = 2 años 1 mes

OBSERVACION.- El interés que genera un capital es proporcional al tiempo;

siempre que la tasa de interés permanezca constante

Datos: C = ? i = 5% mensual I = 800 T = 4 meses

Datos: C = 4000 i = 9% semestral =

6

9 % mensual.

T = 8 meses I = ?

Datos: C = S/ 2400 i = 4% anual =

12

4 % mensual.

T = T meses I = S/ 200

68

MATEMÁTICA


Reglas Prácticas

También se tiene que:

100t.%.cI

1200t.%.cI

36000t.%.cI

Nota:

Recordemos la forma de realizar el cambio de tasa anual a otros períodos

menores

Averigüemos cuantos períodos menores hay en el período mayor. Por

ejemplo en año hay 6 bimestres, entonces dividimos la tasa anual entre

6 y listo, tenemos la tasa bimestral.

Ahora al revés, queremos la tasa anual y solo tenemos la tasa trimestral, en

un año hay cuatro trimestres, multiplicamos por cuatro, ya tenemos la

tasa anual.

Tasa anual Período N° períodos al año Tasa del período

40% anual 1 40% anual

40% semestral 2 20% semestral

40% trimestral 4 10% trimestral

40% bimestral 6 6,67% bimestral

40% mensual 12 3,33% mensual

Ejemplo: Qué interés origina S/ 7200,00, al 2% trimestral en 5 meses? Solución: C = 7200 ; Tasa = 8% anual

1200t.%.cI 120

1200587200I

120I

Donde: C : Capital % = i = tasa de interés I = Interés

Nota: La tasa de interés o porcentaje, siempre debe estar en tasa ANUAL

t : años

t : meses

t : dìas 36000

1200

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MATEMÁTICA



4. Se deposita en un banco $ 2500 a una tasa quincenal del 0,6% ¿Qué

interés habrá producido en 5 quincenas? a) $75 b) 150 c) 45 d) 60 e) 90

5. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual para que se

convierta en $ 6500 a los 2 años? a) $4000 b) 5000 c) 7000 d) 2000 e) 3000

6. Si en interés producido por un capital en 8 meses equivale a un cuarto de

capital. ¿Cuál es la tasa de interés anual a la cual fue depositada? a) 42,5% b) 32,5% c) 35% d) 37,5% e) 40%

7. Los 2/3 de un capital se imponen al 8% anual y el resto al 2,5% trimestral.

Si al cabo de 2 años los intereses son $ 6240, hallar el capital originado. a) $24000 b) 30000 c) 36000 d) 42000 e) 50000

70

MATEMÁTICA


8. Un capital se impone al 5% mensual, ¿En qué tiempo se quintuplicará? a) 50m b) 60m c) 70m d) 80m e) 90m

EJEMPLOS DE PORCENTAJE : Complete convenientemente:

FRACCIÓN A PORCENTAJE

f. Escriba 15

en forma de porcentaje.

Solución:

15 100

x

100 1 ............

5x

Sustituyendo x en la razón 100

x tenemos el porcentaje 20100

ó 20 %

b. Escriba 34

en forma de porcentaje

Solución:

34 100

............. .................

.............x :

100R ó .................

PORCENTAJE A FRACCIÓN c. Escriba 30% en forma de fracción irreductible. Solución:

30 330%

100 10 R: ..........................

71

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS DE PORCENTAJE: Complete los espacios en blanco a. Determinar el 3% de 600 piezas.

Solución: Los datos desconocidos se disponen de igual manera que en la regla de tres directa.

En total de piezas (600) corresponderá al 100%. 3% es la parte del todo que

se debe calcular, luego, corresponderá x.

PIEZAS POR CIENTO

600.......................100% X ....................... 3%

b. ¿Cuál será él numero de piezas cuyo 3% es igual a 18 piezas? Solución:

El problema consiste en calcular ¿Cuánto corresponderá al 100 %? (que es el total de piezas).

3 .......

100 x

c. José compró un televisor de S/. 1800 por S/. 1 440 ¿Cuánto por ciento

obtuvo de descuento? Solución:

José pago lo que corresponde al 80 %, luego el descuento obtenido fue:

Rpta. 20 %

6 0 0 1 0 0 ........ ...... ....3 1 0 0

x p ie za sx

POR CIENTO PIEZAS 3% ...........................18 100% ............................X

___________ ....................x piezas

VALOR PIEZAS 1 880 ...........................100% 1 440 ............................X ___________ 80%x

100% ..................% ....................%

72

MATEMÁTICA


TANTO POR CIENTO MÁS d. Un libro que cuesta S/. 25,00 va a aumentar de precio el 20 %. ¿Cuál

será el nuevo precio?

Solución:

El precio del objeto antes del aumento es representado por el 100 %, después del aumento, será representado por 100 % + 20 % = 120 %

Podemos, entonces plantear el problema:

....... 25.00 ............... ................. ..................120 ...........

xx

Rpta. S/. 30

TANTO POR CIENTO MENOS e. Un corte de tela fue comprado con un descuento del 15% del costo a S/.

170 ¿Cuál es el valor real de ese corte? Solución:

El precio de corte era representado por 100%, después del descuento estará representado por 100% -15%, o sea 85%.

........ ........ ............... ................. ..................

........ ........ ...........x

Rpta.: S/. 200

100% ____________ ............. 120% ____________ X

100% ____________ X 85% ____________ 170.00

73

MATEMÁTICA


EJERCICIOS DE PORCENTAJE

a. Calcule el 8% de 320 octavos.

Solución:

8% de 320

.% 3 2 0 8 .. . . . . . . . . . . .

1 0 0 1 0 0B

p

b. ¿Qué por ciento es 5 de 30?

Solución:

5 es de 30

1 0 0 . . . . . . . . . . . . . .% . . . . . . . . . . . . .p

B

c. 18 alumnos representan el 60% de un turno. ¿Cuántos tienen ese turno?

Solución:

18 alumnos es el 60%

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p ...............

EJERCICIOS DE REPASO

Haremos ahora una serie de ejercicios, para confirmar lo que Ud. Aprendió sobre el porcentaje.

1. Complete observando el ejemplo:

ejemplo : 4 80 80%5 100

Total = 320 Tasa = 8 Porcentaje = ¿

Total = 30

Porcentaje = 5

Tasa = ¿

Porcentaje = 18

Tasa = 60

Total = ¿

74

MATEMÁTICA


a. 1 ...... ..........%2 100 b.

3 ...... ..........%4 100

2. Complete los items observando el ejemplo:

Ejemplo : 700,70 70%

100

a. 0.25 = ............ = .............% b. 0.01 = .............. = .............. 4. Un objeto fue comprado con el 20% de descuento, así costo S/. 480.

¿Cuál era su precio inicial? Rpta. ................................................. 5. Determine

a. 4% de 10 Rpta.: ................................... b. 25% de 80 Rpta.: ................................... c. 2,5% de 3 Rpta.: ................................... d. 10% de 480 Rpta.: ...................................

6. Una pieza de 36,5 Kg debe contener cobre, estaño y zinc. ¿Cuánto de cada metal será necesario, si la mezcla debe contener 96% de cobre, 3% de estaño y 1% de zinc? Rpta.

7. ¿Cuántos Kg de cobre y plomo serán necesarios para obtener 60 Kg de

una mezcla de dos metales que contenga el 70% de Cobre y el resto de plomo?

Rpta.

8. Un tornero recibe un salario de S/. 9 por hora y el 25% más de sobre las

horas extras. Siendo su horario normal de trabajo de 8 horas y sabiendo que en 5 días ha trabajado 52 horas, se pregunta ¿Cuánto recibirá? Rpta. ................................................

9. Escriba en forma de porcentaje

a. 0,75 _________________ b. 0, 4 _________________

c. 2 _________________5

d. 1 _________________10

Cobre: Estaño: Zinc:

Cobre: Plomo:

75

MATEMÁTICA


RESPUESTAS DEL REPASO 1. a) 50% b) 75% 2. a) 25% b) 1% 3. a)1/4 b) 1 c) 4/5 d) 1/2 e)3/5 4. S/. 600 5. a) 0,4 b) 20 c) 0,075 d) 48 6. Cu = 35,04 Sn = 1,095 Zn = 0,365 7. Cu = 42 Pb = 18 8. S/. 495 9. a) 75% b) 40% c) 40% d) 10% PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I 1. Hallar el 0,05% de 4 200. A) 0,12 B) 0,021 C) 2,1 D) 2,01 E) N.A. 2. Hallar los 3/5% de 6000. A) 1640 B) 1620 C) 162 D) 16,2 E) N.A. 3. El 32% del 45% de 5 300, ¿Qué porcentaje representa del 25% de 4 770?

A) 30% B) 60% C) 64,4 %

D) 44% E) 80%

4. Si el precio de un artículo se rebaja en 40%, ¿En qué porcentaje hay que

aumentar el nuevo precio para obtener el original?

A) 40% B) 50% C) 30% D) 6632 % E) 60%

5. ¿Cuál es el valor de “n” después de ser disminuido en 1472 %?

A) 6

1 n B) 6

5 n C) 6

7 n D) 3

1 n E) 7

6 n

6. En una clase de 60 alumnos, el 25% son niñas. Si el 40% de los niños y el

20% de las niñas salen de paseo, ¿Qué porcentaje de la clase salió de

paseo?

A) 30% B) 3221 % C) 35% D) 32% E) 20

21 %

76

MATEMÁTICA


EJERCICIOS RESUELTOS DE PORCENTAJE: 1. Los aumentos sucesivos del 10% y 30%, equivalen a un único aumento de:

A) 63% B) 43% C) 42,8% D) 40% E) 48%

Solución:

Calculamos el primer aumento: 100% + 10% =110%

Calculamos el segundo aumento: 100% + 30% =130% A=130%(110%) = 143%

Luego el aumento es 43 %

2. Si la base de un triángulo, disminuye en su 20% y su altura disminuye 30%,

el área en qué porcentaje disminuye.

A) 56% B) 44% C) 54% D) 24% E) 76%

Solución:

Calculamos el primer descuento: 100% - 20% = 80%

Calculamos el segundo descuento: 100% - 30% =70%

Luego el área final es 80%x70% = 56 %del área inicial, disminuyo en 44%

3. Si “a” aumenta en su 10%, ¿en qué porcentaje aumenta “a2”?

A) 10% B) 42% C) 21% D) 100% E) 20%

Solución:

Calculamos el área inicial: 100%

Calculamos el área final: 110% x 110% =121%, el área aumento en 21%,

4. El área de un cuadrado es 100 m2. Si sus lados disminuyen en 6 m, ¿En

qué porcentaje disminuye su área?

A) 16% B) 36% C) 44% D) 84% E) 64%

Solución:

Calculamos el área inicial: 10 x 10 = 100

Calculamos el área final: 4 x 4 = 16 el área disminuyo 84%,

5. Si las aristas de un cubo aumentan su triple, ¿En qué porcentaje aumenta

su volumen?

A) 2700% B) 6400% C) 1600% D) 2600% E) 6300%

Solución:

Calculamos el volumen inicial: a x a x a = a3

Calculamos el volumen final: 4a x 4a x 4a = 64 a3 el área aumento 6300%,

77

MATEMÁTICA


6. ¿Qué porcentaje de “a” es (a + 0,05a)?

A) 105% B) 50% C) 125% D) 150% E) 250%

Solución:

Calculamos (1a + 0,05a)/ a x100%= 105%?:

7. ¿"a" es el n% de qué número?

A) a

n100 B) n100

a C) 100

an D) n

a100 E) a100

n

Solución:

Calculamos :

a= n% x luego despejando x = n

a100

EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS SIMPLE:

8. Calcule el capital que en 4 años prestado al 8% de interés anual, ha producido S/. 22 de interés.

A) S/. 50 B) S/. 70 C) S/. 60 D) S/. 120 E) S/. 240 Solución: Datos: I = S/. 22,4 r = 8% anual t = 4 años

Usando la fórmula tenemos: 1 0 0

.I

Cr t

Capital: 1 0 0 2 2 , 4 04 8

c

; donde C =

9. ¿A qué tasa anual se debe prestar un capital de S/. 120 para que al término de 3 meses produzca S/. 2,88? A) 13 B) 8 C) 4,5 D) 7,1 E) 9,6 Solución: Datos:

I = S/. 2,88 c = S/. 120,00 t = 3 meses = 3 112 4

a a


.I

rC t

1 0 0 . 2 , 8 8

11 2 0 .4

r donde r =

78

MATEMÁTICA


10. Calcule por cuánto tiempo se debe prestar, a una tasa de 0,5% mensual,

un capital de S/. 800 para obtener S/. 280 de interés. A) 5 a 10 m B) 3a10 m C) 7 a 8 m D) 9 a 4 m E) 35 meses Solución:

Datos: c = S/. 800,00 I = S/. 280,00 r = 0,5 x 12m = 6% al año


.I

tC r

Tiempo: 1 0 0 . 2 8 0

8 0 0 . 6t

donde 556

t a = ........años y .......meses

11. Calcule el interés producido por un capital de S/. 20 000 colocados a una tasa de 12% anual, durante 3 años.

A) S/. 2500 B) S/. 3000 C) S/. 6000 D) S/. 7200 E) S/. 4000 Solución: Datos: c = S/. 20 000 r = 12% anual t = 3 años

Usando la fórmula tenemos: . .

1 0 0C r t

I

2 0 0 0 0 . 1 2 . 3

1 0 0I Luego I = S/. …………………….

12. ¿Qué tiempo debe estar prestado un capital de S/. 8 500 al 3% trimestral para producir S/. 1 360 de interés? A) 12 meses B) 16 meses C) 18 meses D) 9 meses E) 20 meses Solución: La tasa 3% trimestral la pasamos a anual, 3% x 4 trimestres = 12% anual

Usamos la fórmula de meses . .

1 2 0 0C r m

I y despejamos el tiempo m

1 2 0 0 1 3 6 0 1 6

1 2 8 5 0 0x

t m e s e sx

13 ¿A qué tasa anual debe ser colocado un capital para que a los 8 meses produzca un interés equivalente a los 7/50 del capital? A) 27 B) 35 C) 14 D) 21 E) 36 Solución: Sabemos

75 0

I C reemplazando . . 7

1 2 0 0 5 0C r m

C

79

MATEMÁTICA


podemos eliminar el capital y despejar la tasa anual, donde m = 8 meses

. 8 71 2 0 0 5 0

r despejando la tasa es r = 21 % anual

14. Jorge y Luis ahorran juntos. El primero deposita S/. 600 y el segundo S/. 800 a una tasa 10% mensual y el 10% bimestral respectivamente. ¿Dentro de cuántos tiempo tendrán el mismo monto? A) 17 meses B) 12 meses C) 13 meses D) 8 meses E) 10 meses Solución: Calculamos las tasas anuales: Jorge 10% x 12 meses = 120% anual Luis 10% x 6 bimestres = 60% anual, como los montos ganados deben ser iguales

1 2M M

1 21 2

. .( 1 ) ( 1 )1 0 0 1 0 0r t r t

C C

1 2 0 . 6 0 .6 0 0 ( 1 ) 8 0 0 ( 1 )1 0 0 1 0 0

t t

6 0 0 7 2 0 . 8 0 0 4 8 0 .t t y despejando el tiempo t es 10/12 años = 10 meses 15. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de interés anual para que se convierta en S/. 6 500 en 2 años? A) S/. 4000 B) S/. 5000 C) S/. 7000 D) S/. 2000 E) S/. 3000 Solución:

Como se convierte ,entonces es monto .( 1 )

1 0 0r t

M C

Reemplazamos datos 1 5 26 5 0 0 ( 1 )

1 0 0x

C

Y despejando el capital C = 5000 soles

EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE Resuelva aplicando las fórmulas. 1. Calcule por cuánto tiempo se prestará, a una tasa de /% anual, un capital

de S/. 800, para obtener S/. 280 de interés. Rpta. .......................................................

80

MATEMÁTICA


2. Calcule el capital que en 3 años rindió S/. 270 al 5% anual.

Rpta. .......................................................

3. ¿A qué tasa se deben colocar S/. 850, durante 2 años, para que rindan S/.51? Rpta. .......................................................

4. ¿A qué tasa anual fue prestado un capital de S/. 12 000 que en 9 meses rindió S/. 450 de interés?. Rpta. .......................................................

En la práctica las fórmulas son preparadas para facilitar los cálculos, así:

Para t en meses m : . .

1 2 0 0C r m

I y tasa r anual

Para t en días d : . .

3 6 0 0 0C r d

I y tasa r anual

Resolver: 5. a. ¿Qué interés producirán S/. 12 000 prestados al 5% anual, al final de 9

meses? Rpta. .......................................................

b. ¿Qué interés produce en 20 días a una tasa de 6% anual, un capital

de S/. 150 000? Rpta. .......................................................

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 1. 5 años 2. S/. 1800 3. 3 % anual 4. 5 % anual 5. a) S/. 450 b) S/. 500

81

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS (nivel II): 1. Para una puerta se necesitaron 1,86 m2 de una plancha de metal, la

plancha de metal perdida por recortes fue de 0,2 m2 , Calcule el recorte en %.

2. Un obrero especializado trabaja a destajo por 9 dólares la hora. ¿En qué

tanto por ciento supera su salario a destajo el salario normal de 7,20 dólares ?

3. Una taladradora usada se vende con 16% de descuento. El comprador

paga 820,00 nuevos soles. ¿Cuánto hubiera costado la máquina sin descuento?

4. Una pieza a trabajar tiene un peso bruto de 45,4 Kg. Con la elaboración

pierde la pieza un 14% de su peso. Calcule el peso final. 5. El alquiler mensual de un taller es de 1860,00 nuevos soles. Habiendo

sido aumentado a S/. 3160,00, calcule el porcentaje de aumento del alquiler.

PROBLEMAS PROPUESTOS (nivel III): 1) Calcula los siguientes porcentajes: a) 20 % de 240; b) 5 % de 900; c) 60 % de 1240; d) 40 % de 12000; e) 8 % del 40 % de 160000; f) 5 % del 30 % de 400000; g) 10 % del 50 % de 60000; h) 250 % de 840000. 2) En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el

tanto por ciento de ausencias? 3) En una ciudad de 23500 habitantes, el 68 % están contentos con la gestión

municipal. ¿Cuántos ciudadanos se sienten satisfechos con el ayuntamiento?

4) Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas

las camas disponibles. ¿De cuántas camas dispone el hospital? 5) El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos

habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años?

82

MATEMÁTICA


6) Calcula en cuánto se transforman las siguientes cantidades si varían según

el porcentaje indicado: a) 3500 nuevos soles, si aumentan el 8 %. b) 8500 dólares, si aumentan el 27 %. c) 360000 personas, si aumenta el 3 %. d) 2300 discos, si aumentan el 150 %. e) 546 alumnos, si aumentan el 4 %. f) 1600000 nuevos soles, si aumentan el 16 %. 7) El precio de un libro, después de haber aumentado un 12 %, es de S/. 26,5

. ¿Cuánto valía antes de la subida? 8) Con las últimas lluvias el contenido del pantano ha aumentado el 27 % y

tiene 321,6 hm3. ¿Cuánta agua tenía antes de las lluvias? 9) Calcula en cuánto se transforman las siguientes cantidades si varían según

el porcentaje indicado: a) S/. 350 , si disminuyen el 8 %. b) 8500 litros, si disminuyen el 27 %. c) 360000 personas, si disminuyen el 3 %. d) 2300 discos, si disminuyen el 95 %. e) 546 alumnos, si disminuyen el 4 %. 10) He conseguido que me rebajaran la nevera un 18 %, con lo que me ha

costado S/. 340 . ¿Cuánto valía antes de la rebaja? 11) Si el precio de una mercancía se sube el 50 % y después se baja el 50 %,

¿cómo queda con respecto al precio inicial? Compruébalo con un precio de S/. 100.

12) En las rebajas de una tienda se descuentan todos los artículos un 10 %.

Si compras por valor de 1580 S/. , ¿cuánto tendrás que pagar? 13) Una tienda carga el 12 % de IGV sobre cada factura. Si el importe de las

ventas es de S/. 30500 , ¿a cuánto asciende con el IGV? 14) Un equipo de música vale en una tienda S/. 739 + 12 % de IGV, y en

otra, S/. 800 incluido el IGV. ¿Dónde te conviene comprarlo? 15) Calcula el interés simple anual en los siguientes casos: a) S/. 72000 al 9 % en 3 años y 6 meses. b) S/. 144000 al 8 % en 5 años. c) S/. 96000 al 11 % en 18 meses. d) S/. 324000 al 12 % en 27 meses. e) S/. 150000 al 10 % en 1000 días. f) S/. 750000 al 9 % en 4 años y 6 meses.

83

MATEMÁTICA


16) ¿Cuánto tiempo hay que tener colocados S/. 1000 al 5% anual para que

se conviertan en 1500 ? 17) Encuentra el capital que depositado al 7,5% ha producido unos intereses

de S/. 250 en 2 años

84

MATEMÁTICA


UNIDAD 14

ÁNGULO

85

MATEMÁTICA


Postulados: La línea recta posee dos sentidos. La línea recta se extiende

indefinidamente en ambos sentidos.

Dos puntos determinan una recta Por un punto pasan infinitas

rectas.

14.0 ÁNGULO 14.1 Definición: Recta, Rayo, Semirrecta RECTA Conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección. Veamos: los puntos A y B determinan una RECTA.

A B r Así, la recta puede ser representada de dos maneras:

- Con una letra minúscula: r, s,t,…. - Con dos letras mayúsculas: AB , CD , ….

Complete entonces, correctamente, la indicación de cada recta: s D E F G C t H u Recta …………..o CD recta t, o……….. recta ……… o ……….. RAYO Se determina en la línea recta tomando un punto como origen y uno de los sentidos. La figura muestra un rayo donde el punto O se llama origen y forma parte de la figura.

Notación: OA

SEMIRRECTA Es uno de los sentidos de la recta. A diferencia del rayo una semirrecta no considera el origen. Gráficamente:

Notación : OA

86

MATEMÁTICA


14.2 ÁNGULO

* Es la región del plano limitado por dos rayos que tienen un origen

común. * Parte común a dos semiplanos. * Es la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo. * Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que tienen el

mismo origen. Elementos del ángulo: vértice “O” ; lados OA y OB ; abertura ● A lado

ángulo cóncavo ángulo convexo

O abertura ● lado ● B

180º < < 360º 14.2.1 UNIDADES DE CONVERSIÓN

S: sistema sexagesimal C: sistema centesimal R: sistema radial

S C R 360º 400g 2

En el sistema sexagesimal: 1º = 60´ ; 1´ = 60” 90º /2

II I 180º 360º 2

o

III IV

270º 3/2

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MATEMÁTICA


14.2.2 INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS A) TRANSPORTADOR B) GONIÓMETRO C) FALSA ESCUADRA D) ESCUADRA 14.2.3 CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS I. De acuerdo a su medidas A) Ángulo agudo

0º < m < 90º

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MATEMÁTICA


θ

B) Ángulo recto m = 90º C) Ángulo obtuso B

90º < m < 180º O C D) Ángulo llano o lineal m = 180º A O B E) Ángulo convexo 0º < θ < 180º F) Ángulo no convexo (ó cóncavo)

180º < θ < 360º

II. De acuerdo a la posición de sus lados A) ÁNGULOS ADYACENTES Son dos ángulos que tienen un lado común B) ÁNGULOS CONSECUTIVOS Son dos o más ángulos adyacentes y están uno al lado del otro.

θ

O A

B C

D

89

MATEMÁTICA


C) ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones de los lados del otro: m = m

III. De acuerdo a la suma de sus medidas A) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS + = 90º

C () = 90º –

n = par: C C C C C C () = n = 6 n = impar: C C C C C () = C () n = 5

B) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

+ = 180º

S () = 180º –

n = par: S S S S () = n = 4

90

MATEMÁTICA


n = impar: S S S S S () = S () n = 5

C) ÁNGULOS REPLEMENTARIOS

+ = 360º

R () = 360º –

n = par: R R R R R R () = n = 6

n = impar: R R R () = R () n = 3 14.2.4 OPERACIONES CON ÁNGULOS

I Adición de medidas de ángulos Para sumar unidades angulares, debe de disponerse en columnas las unidades de igual denominación(de modo que se correspondan en columnas vertical). Ud. ya vio esto anteriormente. Observe la operación siguiente. Sólo se pueden sumar magnitudes de la misma especie, esto es segundo con segundo, minuto con ................... y grado con ...............

32° 17’ 30” + 19° 13’ 15” 51° 30’ 45”

91

MATEMÁTICA


En cambio, en la suma de unidades angulares, a veces se hace necesario usar las relaciones existentes entre ellas. En la suma del lado, hay 81’, esto es un grado y veintiún minutos (1° 21’) Tendremos entonces una nueva forma a la suma (resultado) que pasará a ser 53° 21’. ¿Cómo fue que esto ocurrió?. Si Ud., sabe siga con los ejercicios. En caso contrario, prosiga el estudio normalmente. Pues bien, para que esto ocurra debemos dividir 81’ Por 60’, que dará como cociente el número de grados y el residuo si hubiera será el número de minutos. Vea al lado ¿Entendió? Observe además estos otros ejemplos: 35° 16’ + 17’ 42” + 45° 45’ 20’ 41” 80° 61’ 37’ 83” 81° 1’ 38’ 23” EJERCICIOS DE ADICIÓN: 1. Sume las siguientes medidas angulares: a. 31° 17’ + 3° 38’ = ..............................

b. 105° 18’ + 25° 17’ + 10° 25’ = ..................... c. 21’ 30” + 2° 13’ 40” = .................................. d. 2° 45’ + 10° 10” = ...................................

1° 81’ | 60 17° 36’ + 21’ 1° 35° 45’ 52° 81’ 53° 21’

17° 36’ + 35° 45’ 52° 81’

1 grado (°) = 60 minutos (‘) 1 Minuto (‘) = 60 Segundos (“)

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MATEMÁTICA


2. Calcule la medida del ángulo x: a = 27° 25’ b = 16° 13’ x = a + b = ........... 3. ¿Cuál es la medida del ángulo y? a = 42° b = 36° c = 19° y = ................= ...........

RESPUESTAS PARA LA ADICIÓN DE ANGULOS 1. a) 34° 55’ b) 141° c) 2° 35’ 10” d) 12° 45’ 10” 2. 43° 38’ 3. 97°

II Sustracción de medidas de ángulos En la resta, Ud., procederá de la misma manera que en la suma haciendo corresponder en columnas las unidades de la misma denominación, y cuando sea necesario, tomando en cuenta las relaciones existentes entre ellas: Observe la operación : ¿Cuándo es posible hacer una resta? Sólo es posible efectuar la resta cuando las magnitudes: Del minuendo son mayores o iguales que las del Sustraendo.

49° 20’ - 20° 14’ 29° 6’

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MATEMÁTICA


Por tanto ¿Cómo sería posible resolver la resta de abajo? De 5’ no se puede restar 16’ Pues bien, la resta se hará de la siguiente manera: Se pide prestado 1° a los 74°. El mi - nuendo, pasará entonces A ser 73° 65’. Ud. debe de haber notado que de los 74° fue Retirado 1° quedando entonces 73°, este 1° fue transformado En minutos(1° = 60’= y después, sumado a los 5’ existentes 60’ + 5’ = 65’ Así fue posible la resta. Observe con atención los ejemplos y complete sin mirar lo que está escrito al final de la hoja. ¡De su lealtad dependerá su aprendizaje! EJEMPLOS DE SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS: a) b) c) 13° 16’ -- 35° 25’ -- 12’ 16” -- 8° 27’ 17° 35’ 9’ 40” _________ _________ ____________ 4° 49’ ................ 2’ 36” d) e) f) 10’ 25” -- 12° 15’ 18” -- 20° 10’ 35” -- 8’ 45” 9° 20’ 25” 18° 15’ 30” _________ ___________ ____________ ………… 2° 54’ 53” ………….

74° 5’ - 18° 16’ ?

El ángulo 73° 65’ es igual a 74° 5’

73° 65’ - 18° 16’ 55° 49’

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MATEMÁTICA


Respuestas a los Ejemplos: b) 17° 50’ c) 11’ 76” d) 9’ 85” - 1’ 40” f) 19° 70’ - 1° 55’ 5” EJERCICIOS DE SUSTRACCIÓN: 1. Calcule la medida del ángulo x: x = .......... 2. ¿Cuál es la medida del ángulo y? a = 35° b = 10° 15” y = a - b 3. ¿Cuál es la medida del ángulo b? a = 35° 25’ b = 90° - a 4. Reste las siguientes medidas angulares: a. 45° 30’ - 22° 15’ = ....................

b. 53° - 19° 45’ = ................. c. 65° 17’ - 42° 36” = ..................

d. 20’ 18” - 15’ 30” = ...............

95

MATEMÁTICA


e. 28° 16’ 30” - 17° 40’ 18” = .......

f. 47° 48’ 23° 55’ 10” = ...........

g. 45° - 12’ 29” = ...............

h. 36’ - 18’ 30” = ....................

i. 56° 17” - 5° 10’ 10” = ...............

5. Efectué: 18° 36’ - 15° 42’ 37” + 3° 55’ III Multiplicación de un ángulo por un número natural

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

18º 26' 35" X 3 54º 78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego

54º 79' 45"

Pero 79' = 1º 19', luego

55º 19' 45"

6. Realiza los siguientes productos:

a. 56º 20' 40" * 2

b. 37º 42' 15" * 4

c. 125º 15' 30" * 2

d. 24º 50' 40" * 3

e. 33º 33' 33" * 3

f. 17º 43' 34" * 2

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MATEMÁTICA


IV División de un ángulo por un número natural

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.

7. Realiza las siguientes divisiones:

a. 56º 20' 40" : 5

b. 37º 42' 15" : 4

c. 125º 15' 30" : 5

d. 25º 50' 40" : 6

e. 33º 33' 33" : 2

f. 17º 43' 24" : 12 ÁNGULOS CONGRUENTES () Dos ángulos son congruentes cuando tienen igual medida. A B P R 30º 30º mABC m PQR C Q

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MATEMÁTICA


BISECTRIZ DE UN ÁNGULO La bisectriz es un rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a éste en dos ángulos de igual medida o congruentes. OM : Bisectriz 14.3 TEOREMAS RELATIVO A LOS ANGULOS

1. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos y complementarios forman un

Angulo de 45º 2. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman 90º 3. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcular la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de 120º. 2. Calcule el valor de la razón aritmética entre el duplo del complemento de la mitad de un ángulo y la tercera parte del suplemento del triple de dicho ángulo.

3. Del gráfico mostrado la medida del ángulo DRO es tres veces la media del ángulo ARE . Calcule el valor de “x”. Si los rayos RD y RO son las bisectrices del ángulo MRA y ERN.

45º

Teorema 1

Teorema 2

Teorema 3

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MATEMÁTICA


4. Dos ángulos adyacentes suplementarios están en la relación de 3/ 5. Calcular la medida del ángulo menor.

5. En la siguiente figura, los ángulos AOB y AOC son complementarios. Hallar la medida del ángulo AOX, siendo OX bisectriz del ángulo BOC.

6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que: mAOC = 80º y mBOD = 60º. Hallar la medida del ángulo determinado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. 7. En la figura, calcular el ángulo AOB. 8. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOE, tal que mAOB=20º, mBOD = mDOE y mCOE = mBOC + mBOD = 90º. Calcule mAOC. 9. En la siguiente figura, las medidas de los ángulos AOB, BOC, COD, DOE y EOA está, en progresión aritmética. Hallar la medida del ángulo COD. 10. Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de modo

que: 5432

DECDBCAB y AE = 42 cm. Calcular CD.

Resolución de los Problemas

1.

La ecuación será : º1203

1

2

1 CSxx

)º120º180(º903

1

2

1 xx

º5x

99

MATEMÁTICA


2. Del enunciado se tiene:

X =

33

1

22 SC

. . . ( I )

Donde : * Medida del ángulo en mención * x Valor de la Razón Aritmética

En ( I) : x = 3180

3

1

2902

x = 180° - - 60° + x = 120º 3.

Dato :

AREmDROm 3

xx 3

x2

según el gráfico : 9022 x

90)(2 x

90)2(2 xx

905x ; º18X

4. Sea “x” el ángulo menor:

5

3

º180

x

x

03º67º5,67 x

5.

Sea mAOX = θ mAOB + mAOC = 90º (θ + α ) + (θ – α ) = 90º θ = 45º

α α

100

MATEMÁTICA


6. Se pide: α + β + θ = ? Como: 2 α + β = 80º 2 θ + β = 60º Al sumar y simplificar: α + β + θ = 70º 7. Sea mAOB = X Del gráfico, por ángulo de una vuelta: mDOB + mBOD = 360º ( 210º - X ) + 190º = 360º X = 40º

8. Piden mAOC = ? Sean mBOC = α mBOD = θ Del enunciado α + θ = 90º ....... ( 1 ) Se Observa 2 θ = 90º + α .........( 2 ) Sumando ( 1) y ( 2) 2 θ + θ = 180º Θ = 60º y α = 30º mAOC = 50º

9. Tomando los ángulos en forma conveniente ( X - 2 α ) + ( X – α ) + X + ( X + α ) + ( X + 2 α ) = 360º α = 72º

20º

101

MATEMÁTICA


10. 14 X = 42 X = 3 Nos pide: CD = 12

PROBLEMAS PROPUESTOS nivel I 01.-Calcule la suma de los ángulos y el tamaño de un ángulo para: a) un pentágono regular b) un hexágono regular, c) un octógono regular. 02.- Calcule para el ángulo de 78 41 28 el ángulo complementario y suplementario. 03.- La suma de dos ángulos de un triángulo es de 139 37 4 . Calcule el tercer ángulo 04.- La cubierta de en cilindro esta sujeta con 8 tornillos. Calcule el ángulo de distancia entre los tornillos. 05.- Para trabajar una pieza hay que ajustarla en un ángulo de 14 12 56. Para el ajuste se requiere el ángulo en decimales. 06.- Una válvula de admisión abre 17,43 antes del punto muerto superior. Calcule tal ángulo de abertura en grados, minutos y segundos.

102

MATEMÁTICA


07.-Convierta en: a) Grados: 240 ; 35 ; 4200 ; 31,2 ; 0,68 ; 0,42 ; 425 b) Minutos: 360 ; 38 ; 4600 ; 38,6 ; 0,64 ; 172 ; 86 c) Segundos: 314 ; 56 ; 3800 ; 68,2 ; 0,45 ; 0,012 ; 15 d) Sume: 14 46 + 181 34 + 37 8 + 9 12 32 08. Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números 5 ; 3 y 1. Calcule la diferencia entre las medidas del mayor y menor ángulo.

A) 80º B) 90º C) 65º D) 100º E) 60º

10. En un triángulo ABC, BE es bisectriz interior. Calcule la medida del ángulo C, si AB = BE = EC A) 72º B) 30º C) 36º D) 40º E) 80º

11. Un ángulo mide la sexta parte de la medida de un ángulo recto. Otro ángulo mide los 5/9 de la medida de un ángulo recto. Determine el complemento de la suma de las medidas de dichos ángulos. A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 20º

12. En la figura, L1 // L2. Sí: x+y = 40º , calcule (a + b).

A) 80º B) 85º C) 90º D) 100º E) 120º x a 4 5 y 6

13. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CF, el ángulo B mide 80º.

Calcule la medida del mayor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos HAC y ACF.

A) 125º B) 80º C) 135º D) 140º E) 120º

103

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II 1. Encontrar el complemento de un ángulo que

mide 25º, más el suplemento de otro ángulo que mide 105º

A) 120º B) 125º C) 140º D) 130º E) 135º

Solución:

2. Encontrar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es igual a 2/5 de su suplemento.

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º

Solución:

3. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí como 4 es a 5. ¿Cuánto mide el mayor de los dos ángulos?

A) 95º B) 100º C) 105º D) 110º E) 105º

Solución:

4. La medida de un ángulo es “X”, el suplemento del complemento del triple de mX es igual al complemento de mX aumentado en 20º. Calcular mX.

A) 3º B) 4º C) 5º D) 6º E) 7º

Solución:

5. En los ángulos consecutivos: AOB, BOC, COD se cumple que: mAOC = 125º, mBOD = 100º. Calcular mAOB – mCOD.

A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 25º

Solución:

6. La diferencia de los ángulos adyacentes

AOB y BOC es 42º, se traza el rayo OM bisectriz del ángulo AOC. Calcular la mMOB.

A) 42º B) 20º C) 10º D) 21º E) 25º

Solución:

7. En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mAOB = 50º. Encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC.

A) 22º B) 20º C) 18º D) 25º E) 26º

Solución:

104

MATEMÁTICA


8. Hallar G: G = 2 (35º 32’ 55” – 24º 48’ 40”) 5 A) 5º 12’ 45” B) 4º 17’ 42” C) 4º 12’ 32”

D) 4º 7’ 32” E) 6º 27’ 42”

Solución:

9. Efectuar: 98º 45´ + 77º 42´ 5 6

A) 32º 41’00” B) 32º 41’15” C) 42º 41’30” D) 32º 40’8” E) 32º 41’20”

Solución:

10. El ángulo formado por 2 semirrectas opuestas se llama ángulo A) Obtuso B) Congruente C) Llano

D) Nulo E) De un giro

Solución:

11. Restar: (2º 3´ 12” ) : 3 de 2 ( 4º 6” ) A) 7º 19´ 8” B) 8º 41´ 8” C) 2º 41´ 2” D) 9º 19´ 8” E) 7º 31´ 4”

Solución:

12. Dado los ángulos adyacentes AOB y BOC; los rayos OX, OY, OZ son las bisectrices de los ángulos: AOB, BOC, XOY. Si: mAOB – mBOC = . Hallar

mBOZ A) /2 B) /3 C) /4

D) /8 E) 2/3

Solución:

13. Transformar /6 a grados sexagesimales:

A) 10º B) 20º C) 30º

D) 45º E) 50º

Solución:

14. Efectuar: E = 4 ( 24º 48´ 40” ) + 6 ( 25º 32´ 45” )

A) 246º 38´ 42” B) 248º 04´ 30” C) 246º 38´ 42”

D) 252º 31´ 10” E) 252º 21´ 48”

Solución:

105

MATEMÁTICA


UNIDAD 15

ANGULOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

106

MATEMÁTICA


15.0 ÁNGULOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE 15.1 CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTA PARALELAS Y UNA SECANTE. Vamos a considerar dos rectas paralelas r y s

La región comprendida entre “r” y “s” Será llamada región interna y las otras,

Regiones externas. Consideremos ahora las dos rectas paralelas cortadas por la secante “t”

Observe que la secante forma con las rectas paralelas:

-Cuatro ángulos AGUDOS iguales(de la misma medida) -Cuatro ángulos OBTUSOS iguales(de la misma medida) De estos ocho ángulos

- Cuatro son INTERNOS pues pertenecen A la región interna. Ejm: a, b, c, d

- Cuatro son EXTERNOS pues pertenecen A la región externa. Ejm: e, f, g, h

Región externa

Región interna

Región externa

obtuso

obtuso

agudo

agudo

obtuso

obtuso

agudo

agudo

c a b

d

e

f h

g

107

MATEMÁTICA


¿Todo entendido? Pues, entonces, continuemos: Los ángulos formados por las dos rectas paralelas cortadas por una secante reciben, dos a dos denominaciones especiales. Vemos estos ángulos. No olvide de llenar las lagunas que esto le ayudará a comprender. I. ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS Son dos ángulos internos, ambos agudos o ambos obtusos y situados uno a cada lado de la secante. Ejm: a y ....... c y ........ Dos ángulos alternos internos son iguales(pues ambos son agudos o ambos obtusos) ....... = b .......... = d II. ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS Son dos ángulos externos, ambos agudos o ambos obtusos y situados uno a cada lado de la secante. Ejm: e y ....... g y ........ Dos ángulos alternos externos son iguales ....... = f .......... = h III. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES Son dos ángulos, uno interno y otro externo, ambos agudos o ambos obtusos y situados en el mismo lado de la secante. Dos ángulos correspondientes son iguales. e y b

a b

c d

e

f

g

h

e

b

108

MATEMÁTICA


a y ........ ....... y d ........ y ........ IV. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS Son dos ángulos internos, uno agudo otro obtuso Ambos situados del mismo lado de la secante. Ejm: a y d ........ y ........ Dos ángulos conjugados internos suman 180°. a + d = 180° c + b = ......... V. ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS Son dos ángulos externos, uno agudo otro obtuso Ambos situados del mismo lado de la secante. Ejm: g y f ........ y h

109

MATEMÁTICA


Dos ángulos conjugados externos suman 180°. g + f = 180° ....... + ....... = 180° EJERCICIOS DE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE 1. Observe la figura y complete: Dos rectas paralelas, cortadas por una secante forman ...............ángulos

a. Los ángulos internos son: (........................................................) b. Los ángulos externos son: (........................................................)

c. Los pares de ángulos correspondientes son:

(.................................); (.................................), (.................................) y (...........................)

d. Los pares de ángulos alternos internos son: (.................................) y (...........................) e. Los pares de ángulos alternos externos son:

(.................................) y (...........................) f. Los pares de ángulos opuestos por el vértice son: (.................................); (.................................), (.................................) y (...........................) g. Cite dos ángulos internos que sean suplementarios y dos ángulos

externos que también lo sean: Ángulos internos (.................................) Ángulos externos (.................................)

110

MATEMÁTICA


2. Observe también la figura del lado y determine los ángulos: a = ................................. b = ................................. c = ................................. 3. Determine el valor de x:

x = ................................. x = .................................

4. En la figura siguiente, responda: ¿Cuál es la medida de cada ángulo agudo?

......................................................

¿Cuál es la medida de cada ángulo obtuso?

......................................................

5. Complete el siguiente cuadro observando el dibujo y el ejemplo

Alternos internos B y H , C y E Alternos externos Correspondientes Conjugados internos Conjugados externos Opuestos por el vértice

111

MATEMÁTICA


6. Determine las medidas de los ángulos sin ayuda del transportador, observando el dibujo

1 = .............32°.................... 2 = ...................................... 3 = ...................................... 4 = ...................................... 7. Dé nombres a los pares de rectas representados abajo: Rectas ................................................. Rectas ................................................. Rectas ................................................. 8. Determine la medida de cada uno de los ángulos desconocidos: a = .............130°........... e = ..................... b = .............................. f = ...................... c = ................................ g = ..................... d = .................................. h = ......................

112

MATEMÁTICA


9. Complete observando la figura Si b = 70° , entonces r = ............. Si c = 65° , entonces p = ............. Si s = 65° , entonces a = ............. Si q = 80° , entonces d = ............. Si a = 20° , entonces p = ............. RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS 1. a) 8 b) ( 1, 4, 6, 7) c) ( 2, 3, 5, 8) d) (2, 6) ; ( 1, 5) ; ( 8, 4) ; ( 3, 7) e) (4, 6) y ( 1, 7) f) (3, 5) y ( 2, 8) g) (1, 3) ; ( 2, 4) ; ( 6, 8) ; (5, 7) h) ( 6, 7) y ( 5, 8) 2. a = 50° b = 130° c = 50° 3. x = 150° x = 60° 4. 30° 150° 5.

Alternos internos B y H , C y E Alternos externos D y F , A y G

Correspondientes D y H , C y G, Ay E , B y F

Conjugados internos E y B , C y H Conjugados externos A y F , D y G

Opuestos por el vértice B y D , A y C, E y G, F y H

6. 2 = 148° 3 = 32° 4 = 148° 7. Paralelas – perpendiculares - concurrentes 8. b = 50° d = 50° f = 50° h = 50° c = 130° e = 130° g = 130° 9. f = 70° a = 65° q = 160° p = 65° d = 80°

113

MATEMÁTICA


15.2 PROPIEDADES AUXILIARES

ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS: Si dos ángulos tienen sus lados paralelos: o son iguales , ó son suplementarios. Vemos que son como dos paralelas entre dos secantes. 180

ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES: Si dos ángulos tienen sus lados perpendiculares: o son iguales ó son suplementarios. 180 OTRAS PROPIEDADES BISECTRIZ DE UN ÁNGULO INTERIOR: Si trazamos la bisectriz de un ángulo interior de un trapecio ADFC, se genera un triángulo isósceles, donde el segmento CA es igual al segmento CG, y la base no igual es el segmento AG.

m

n

m + n = + +

+ + + = 180º

m

n

+ = m + n

114

MATEMÁTICA


TEOREMA DE THALES: Tres o más paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos mutuamente proporcionales. Si lo aplicamos a un trapecio ADFC

Se cumple que: AB DE

BC EF

THALES APLICADO A UN TRIÁNGULO: Si juntamos las dos secantes, el trapecio se transforma en triángulo, pero por ser paralelas entre dos secantes, el teorema de Thales se sigue cumpliendo:

Se cumple que: EFAE

BCAB

115

MATEMÁTICA


EJERCICIOS RESUELTOS DE: Ángulos y paralelas 1. Hallar la suma de los siguientes ángulos:

355°25’20” y 31°39’47” A) 18°40” B) 35°12’ C) 27°5’7” D) 23°10’ E) 13° Solucion:

355°25’20” + 31°39’47” = 386°64’67” = 27°5’7”

2. Dividir en 5 partes, el ángulo : 310°10’45” A) 82°35’ B) 12°24’ C) 56°8’ D) 63° 2’4” E) 62°2’9” Solucion:

310°10’45” 5 = 62°2’9” 3. Efectuar la resta : 15°50” y 11°50’59”

A) 3°9’51” B) 4°12’30” C) 7°10’ D) 7°34’ E) 5°17’ Solucion:

14°60’50” - 11°50’59” = 3°9’51” 4. Hallar el triple de 192°45’55”

A) 170°24’ B) 250°15” C) 218°17’45” D) 279°23’ E) 335°20’15” Solucion: 192°45’55” x 3 = 576°135’165” = 218°17’45”

5. Dos ángulos conjugados internos donde uno es el triplo del otro.¿Cuánto mide el ángulo conjugado del doble del ángulo menor? A) 18° B) 35° C) 90° D) 23° E) 13° Solucion:

Por ser conjugados (+) = 180°, luego (+ 3) =180°, luego = 45° Luego 2 = 90° y su conjugado es 90° 6. Dos ángulos conjugados externos miden 5K + 45° y 4K+15°. Hallar el

suplemento del complemento de la mitad del ángulo menor. A) 37° B) 44° C) 124°10’ D) 45° E) 39° Solucion: Por ser conjugados (5K + 45°) + ( 4K+15°.) = 180° entonces K= 13°20’ El ángulo menor mide = 68°20’ y la mitad 34°10’ Luego SC(34°10’) = 180°- ( 90° - 34°10’) = 124°10’

7. Calcular el valor del ángulo menor, sabiendo que los ángulos conjugados internos están en razón 2/3 .

A) 60° B) 44° C) 72° D) 53° E) 37°

116

MATEMÁTICA


Solucion:

Por ser conjugados 2K + 3K = 180° entonces K= 36° El ángulo menor mide 2K = 72°

PARALELAS 8. Si L1 // L2 . Hallar “x”.

SOLUCIÓN 2 y 2 son ángulos conjugados internos, luego dichos ángulos son suplementarios , es decir su suma vale 180°, entonces :

+ = 90° El ángulo x esta formado por la suma de los ángulos y , porque son ángulos alternos internos, por lo tanto: + = x = 90°

9. En la figura, L1 // L2 , hallar .

SOLUCIÓN Si trazamos paralelas por los vértices de los ángulos y aplicamos ángulos alternos internos y ángulos opuestos por el vértice, obtenemos:

x

60º

117

MATEMÁTICA


Es decir 2 + = 60° Finalmente = 20° 10. Si el triángulo ABC es equilátero y L1 // L2 , hallar

SOLUCIÓN Por triángulo equilátero B = 60° Por opuestos por el vértice V = 6 Por suplementario U = 180° - Por propiedad de triángulos El ángulo D = 240° - 6 El ángulo E = 60° + Como la suma de ángulos internos de un pentágono es 540°, entonces B + U + E + D + V = 540° si los ponemos en función de y resolvemos, resulta que = 24°

118

MATEMÁTICA


11. Se tiene dos ángulos conjugados internos y y, si (2 - ) =30°, ¿En cuánto se diferencian estos ángulos?

A) 30° B) 27,5° C) 40° D) 45° E) 20° 12. Hallar la suma de los siguientes ángulos: 37° 19’ 43” + 112° 53’ 38” A) 150° 13’ 21” B) 149° 62’ 71” C) 149° 72’ 21” D) 149° 12’ 21” E) 150° 03’ 11”

Solucion: 37° 19’ 43” + 112° 53’ 38” = 149°72’81” = 150° 13’ 21” 13. Efectuar la resta de los siguientes ángulos: 112°23’ 35” - 10°15’20” A) 112° 25’ 15” B) 102° 8’ 15” C) 112° 25’ 45” D) 112° 5’ 15” E) 92° 15’ 25”

Solucion: 112°23’ 35” - 10°15’20” = 102° 8’ 15” 14. Hallar el cociente de 309° 27’ 52” por 25: A) 12° 22’ 12 22/25” B) 22° 12’ 42” C) 9° 2’ 42” 2/5 D) 12° 12’ 32” 2/25 E) 32° 22’ 42” 23/25

Solucion: 309° 27’ 52” 25 = 12° 22’ 12 22/25” 15. Dividir en 5 partes, el ángulo 162°

A) 82°35’ B) 12°24’ C) 56°8’ D) 63° 2’4” E) 32°25’

Solucion: 162° 5 = 32°25’ EJERCICIOS PROPUESTOS: PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE 1. Hallar x, si L1 // L2 :

A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

2. Hallar x/y, si L1 // L2 :

A) 1 B) 3 C) 1 / 5 D) 3 / 2 E) 2

119

MATEMÁTICA


3. Calcular x, si L1 // L2, (a + b) = 4x A) 20° B) 50° C) 30° D) 10° E) 40°. 4. Calcular x, si L1 // L2 y si L3 // L4

A) 145° B) 105° C) 175° D) 95° E) 80°

5. Si 1 // 2 // 3L L L

, hallar “x” Si a = 45°

A) 30° B) 30° C) 45° D) 60°

E) 11°

6.Si 1 // 2L L , hallar “ x ”

A) 30° B) 45° C) 51° D) 33 ° E) 75°

7.Si 1 // 2L L

, hallar “x” : A) 120° B) 100° C) 102,8° D) 150° E) 90°

8. Si 1 // 2L L

, hallar “x”: A) 98° B) 108° C) 45° D) 120° E) 116°

9. Si 1 // 2L L

, hallar “y”: A) 34° B) 14° C) 60° D) 30°

E) 50° 10.Si Hallar “x”.Si CE es bisectriz y el triángulo ABC es isósceles:

A) 34° B) 14° C) 60° D) 30°

E) 29°

11. Calcular “y” : A) 34° B) 14° C) 60° D) 30° E) 29°

12.Si CG es bisectriz. 1 // 2L L

, hallar “x” A) 34° B) 48° C) 20° D) 40°

E) 95 13. Dos ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas miden (2+) y (+ ). Encontrar / A) 2/3 B) 1 C)4/5

D) 2 E) 145 14. Dos ángulos alternos internos

entre dos rectas paralelas miden 2x y (3x – 40°). Hallar x:

A) 30° B) 25° C)40° D) 45° E) 20°

L1

L1

L2

L2

120

MATEMÁTICA


UNIDAD 16

CIRCUNFERENCIA CÍRCULO

121

MATEMÁTICA


16.0 CIRCUNFERENCIA

16.1 DEFINICIÓN

Es el lugar geométrico, de los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro. La distancia del centro a cualquiera de los puntos del lugar geométrico se llama radio. 16.2 ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

Líneas notables en la circunferencia

Para el gráfico adyacente:

O : Centro

r : Radio

QP : Cuerda

CD : Diámetro

AB : Arco

L 1 : Recta tangente (T : punto de

tangencia)

L 2 : Recta secante

MN : Flecha o sagita

16.3 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1) ángulo central 2) ángulo inscrito

AOB = AB 2

ACB

122

MATEMÁTICA


3) ángulo semi inscrito 4) ángulo interior

2

ATATB

2

CDABX

5) ángulo exterior Casos que se pueden presentar: a.- De dos secantes b.- De secante y tangente

2

CDABP

2

TBATP

c.- De dos tangentes

2

ABACBP

NOTA: para este caso particular se cumple que: P + AB = 180°

123

MATEMÁTICA


16.4 PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA

1) La recta L tangente a una circunferencia es perpendicular al radio o al diámetro en el punto de tangencia. (forman un ángulo de 90 grados)

2) Si dos cuerdas miden igual entonces los arcos correspondientes también miden igual y viceversa.

Si CDAB entonces AB = CD

3) Los arcos comprendidos entre dos cuerdas paralelas miden igual.

Si AB // CD , entonces AC = BD NOTA Si la recta L es tangente y AB // L entonces AT = TB

4) Las rectas tangentes trazadas a una misma circunferencia desde un punto exterior, miden igual. Se cumple que:

PA = PB y OP es bisectriz

5) Todo diámetro o radio perpendicular a

una cuerda divide a dicha cuerda y a los arcos correspondientes en partes iguales.

Se cumple que: AE = EB y AN = NB

124

MATEMÁTICA


REGIONES CIRCULARES

O: Centro de circunferencia OA : radio 1) Sector circular

2) Segmento circular

3) Corona circular

4) Trapecio circular

5) faja circular

125

MATEMÁTICA


PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si AC = 100º y AB = 110º. Hallar la medida del ángulo CAB.

A) 150° B) 155° C) 166° D) 75° E )120°

Solución El arco CB mide 360º - (100º + 110º) = 150º.

Como el ángulo CAB es inscrito, entonces

CAB = 150º ÷ 2 = 75º.

2) Hallar el valor de “x”

A) 70º B) 110º C) 120º D) 130º E) 150º

Solución Por propiedad, el arco AFC mide 140º

y el arco AC mide 360º - 140º = 220º. Como el ángulo AFC es inscrito entonces mide 220º ÷ 2 = 110º.

3) Hallar la medida del ángulo “x”

A) 15° B) 20° C) 25° D) 40° E) 50º

100º

110º

A

C

B

A

C

XF

B 40º

220º140º

126

MATEMÁTICA


Solución

X

70º

A

C

140º40º

B

Por propiedad, el arco AC mide 140º y

como el ABC es inscrito, su medida es

de 140º ÷ 2 = 70º .

En el triángulo rectángulo , X = 90º-70º

= 20º.

4) Si CD = 134º, hallar la medida del ángulo AOB si “O” es el centro del la circunferencia.

A) 30° B) 45° C) 50° D) 46° E) 60°

Solución El ángulo de 90º es un ángulo interior a la circunferencia, entonces su medida es igual a :

90º = 2

ABCD =

2ABº134

de donde AB = 180º - 134º = 46º.

5) Si BC es igual a 5 veces AD. Hallar la medida de BC.

A) 47° B) 38° C) 58° D) 100° E) 70º Solución

40º X5xA

B

CDE

Como el ángulo BEC es exterior a

la circunferencia, su medida es

igual a

40º = 2x-5x

80º = 4x

x = 20º

por lo que BC = 100º.

127

MATEMÁTICA


6) Si AB es el diámetro de la semicircunferencia. Hallar la medida de “x”.

A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 150º

Solución

40ºA

CD

B

80º

180º

El arco AC mide 80º. Completando la

circunferencia, se tiene que el CAB

= 260º .

El ángulo C por ser inscrito, su

medida será 260º ÷ 2 = 130º.

7) Hallar la medida de AB si “O” es el centro de la circunferencia de radio igual

a 10 cm.

A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 12cm E) 10cm

Solución

A

B

O10

P

37º10

Se traza la altura OP del triángulo

isósceles AOB , donde AP = PB = 6, por lo

que AB = 12 cm.

128

MATEMÁTICA


8) Una cuerda de 16 cm está a 15 cm del centro de una circunferencia.

Hallar la medida del diámetro. A) 15 cm B) 17cm C) 34 cm D) 38cm E) 20cm

Solución

A

B

O

P88

15

Construimos el triángulo isósceles AOB trazando

los radios. Trazamos la mediatriz OP. Para hallar

la medida de OB aplicamos el teorema de

Pitágoras.

OB = 28215 = 17 entonces diámetro=34 cm.

9) En una circunferencia de 13 cm de radio, calcular la medida de la flecha

correspondiente a una cuerda de 24cm. A) 17 cm B) 8 cm C) 5 cm D) 10 cm E) 7 cm Solución

13-x

X 1213

Supongamos que la medida de la flecha sea X. Como el radio mide 13, uno de los catetos del triángulo mide 13-x. Aplicando el teorema de Pitágoras : 132 = (13 - x)2 + 122 169 - 144 = (13 - x)2 25 = (13 - x)2 5 = 13 - x de donde x= 8

10) El ángulo P mide 32º. Hallar la medida del ángulo ACD.

A

CD

PB

Solución

A

CD

PB

58º

Trazamos el radio al punto de

tangencia D. Completamos la

circunferencia tal que el arco BD mide

58º y el arco ABD mide

180º+58º=238º. El ángulo inscrito

ACD medirá 238º ÷ 2 = 119º.

129

MATEMÁTICA



1. Del extremo de un árbol de 60 mm de diámetro se quiere sacar el mayor cuadrado posible. ¿Qué longitud tendrá el lado?

…………….

2. Se desea transformar la superficie de un círculo de 44,18 cm2 en una superficie cuadrada equivalente. Calcule el lado.

…………….

3. En un árbol hexagonal se mide una longitud de entrecaras de 75 mm. ¿Cuál es el diámetro de árbol necesario?

……………..

4. El extremo de una barra de 55 cm de diámetro ha de recibir por fresado el mayor hexágono posible. Calcule la longitud de entrecaras.

……………. 5. Se quiere fabricar de un círculo de 1963,5 cm2 el mayor hexágono. ¿Qué

porcentaje es desperdicios? ……………….

6. De un acero redondo de 80 cm de longitud y 56 mm de diámetro se elabora una columna hexagonal de arista viva. Calcule la longitud de entrecaras y la sección transversal de la columna elaborada.

……………….

7. Determine para las siguientes figuras el diámetro de la circunferencia inscrita y circunscrita:

a) Para un triángulo equilátero con 30 mm de lado. …………… b) Para un cuadrado con 30 mm de lado. …………… c) Para un hexágono con30 mm de diagonal central ……………


1. De una plancha de chapa rectangular de 750 x 400 mm han de cortarse discos de 180 mm de diámetro. Calcule el número de discos.

……………………

2. De un círculo de 380 mm de diámetro, se cortan 8 sectores circulares. Calcule la superficie de cada sector, la longitud del arco y el ángulo central.

………………… 3. La suma de los diámetros de un tubo de acero es 16,8 cm, su diferencia 8

mm. Calcule los diámetros en mm. ………………………………

130

MATEMÁTICA



1) Hallar la medida del arco AR si AP = AR .

A) 120º B) 135º C) 145º D) 130º E) 110º

Solución

2) Hallar la medida de “X” A) 58º B) 80º C) 45º D) 60º E) 70º

Solución

3) Hallar “x”.

A) 70º B) 110º C) 120º D) 130º E) 115º

Solución

4) Hallar “x” si:

A) 30º B) 45º C) 36º D) 50º E) 60º

Solución

131

MATEMÁTICA


5) Hallar el valor de “x” si los arcos AB;

BC; CD y AD son proporcionales a: 3; 2; 4 y 6 respectivamente.

A) 80° B) 20° C) 70° D) 84°

E) 96°

Solución

6) Si las circunferencias son iguales y CME = 136º . Hallar “x”.

A) 2° B) 34° C) 74° D) 60° E) 45º

Solución

7) Si AO = BC . Hallar el valor de “x”.

A) 45°B) 60°C) 50°D) 30°

E) 35º

Solución

8) Si “O” es el centro dela circunferencia

y CBD = 130°. Calcular “x”.

A) 50°B) 40°C) 30°D) 25°E) 20°

Solución

132

MATEMÁTICA


9) Si “O” es el centro y AB= OC . Hallar

“X”. A) 40° B) 50° C) 70° D) 60° E) 45°

Solución

10)Si AB es diámetro, “O” es centro.

Hallar la medida del ángulo BCD. A)140° B) 150° C) 170° D) 160° E)117°

Solución

11) Si AB = BC y BD = 82º. Hallar el

valor de “x”.

A) 20°B) 30°C) 40°D) 50°E) 41°

Solución

12) Si AB es el diámetro de la

semicircunferencia. Hallar la medida de “x”.

A) 100°B) 110°C) 120°D) 130°E) 150°

Solución

133

MATEMÁTICA


13) Si L1 // L2 y AB es diámetro de la

semicircunferencia. Hallar “x”.

A) 40°B) 60°C) 45°D) 50°E) 30°

Solución

14) Hallar el valor de R.

4 R

10

A) 5/2 B) 30/7 C) 6 D) 5 E) 25/4

Solución

134

MATEMÁTICA


UNIDAD 17

POLIGONOS : TRIÁNGULOS, CUADRILÁTEROS

135

MATEMÁTICA


17.0 POLÍGONO

17.1 DEFINICIÓN

Es la figura geométrica que se obtiene al intersectar por sus extremos tres o más

segmentos de recta no colineales pero sí coplanares, de modo que al interior de

este polígono quede cerrada una porción de plano, llamada REGIÓN

POLIGONAL.

17.2 ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

Lados.- AB, BC, CD, DE, EF y FA.

Vértices.- Puntos A, B, C, D, E y F.

Digonales.- Segmento que une dos vértices no consecutivos. Ejemplo : BF.

Angulo Interior.-

Angulo Exterior .-

Angulo Central.-

Apotema.- OM, segmento que une el centro del polígono regular con el

punto medio del lado del polígono y son perpendiculares.

Perímetro.- AB + BC + CD + DE + EF + FA

17.3 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

17.3.1 De Acuerdo al número de lados

Triángulo 3 lados

Cuadrilátero 4 lados

Pentágono 5 lados

Exágono 6 lados

Heptágono 7 lados

A O

F E

D

C B

M

136

MATEMÁTICA


Octágono 8 lados

Nonágono 9 lados

Decágono 10 lados

Endecágono 11 lados

Dodecágono 12 lados

Pentadecágono 15 lados

Icoságono 20 lados

17.3.2 De acuerdo a las medidas a sus elementos

POLÍGONO CONVEXO.- Todos sus ángulos internos miden menos de 180°.

POLÍGONO CONCAVO.- Por lo menos uno de sus ángulos internos mide más

de 180°.

POLÍGONO EQUILÁTERO.- Todos sus lados tienen igual medida.

POLÍGONO EQUIÁNGULO.- Todos sus ángulos internos tienen igual medida.

POLÍGONO REGULAR.- Sus lados y sus ángulos internos tiene igual medida.

POLÍGONO IRREGULAR.- Es aquel polígono que no es regular

Observaciones:

En todo polígono, el número de lados (n) es igual al número de vértices (nv), e

igual al número de ángulos interiores (ni), número de ángulos exteriores (ne),

número de ángulos centrales (nc). n = nv = ni = ne = nc

Todo polígono regular puede ser inscrito o circunscrito en una circunferencia.

Polígono Convexo Polígono Cóncavo

Polígono Equilátero P. Equiángulo Polígono Regular

137

MATEMÁTICA


En todo polígono regular inscrito, la apotema y la

sagita o también llamada flecha, forman el radio de la

circunferencia que circunscribe al polígono.

OP : Apotema; PQ: Sagita o flecha ; OQ: Radio de la

circunferencia.

17.4 PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Sea un polígono de “n” lados.

Total de Diagonales: 2

3)n.(nD

Número de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice : n – 3 La

cual divide al polígono en n – 2 Triángulos .

Suma de medidas de los ángulos internos (Si):

2).(n180Si

Suma de medidas de los ángulos externos (Se):

360Se

Angulo Interior ( i ): Polígono Equiángulo

n2).(n180

i

Angulo Central (). Polígono regular n360

θ

Angulo Exterior (e). Polígono Equiángulo n360

e

POLÍGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA

POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA

O

P

Q

Nota: = e Se = S = 360º

138

MATEMÁTICA


Para un polígono estrellado:

Un polígono estrellado se origina al prolongar los lados de un polígono convexo.

Ejemplo pentágono estrellado ABCDE. (es el menor polígono estrellado que se

puede formar), sus lados son AC, CE, ....

La suma de las medidas de los ángulos internos (puntas):

)º.( 4n180SP

La suma de las medidas de los ángulos exteriores es 720º

Si la estrella es regular, La medida de uno de los ángulos internos es:

n4n180

p)º.(

HEXÁGONO REGULAR

Al trazar las diagonales AD, BE y CF, se forman 6 triángulos EQUILÁTEROS.

Los lados del Hexágono tiene igual medida del RADIO de la CIRCUNFERENCIA

que circunscribe al EXÁGONO.

A C

B

D E

Ángulo interno

Ángulo externo

AO

F E

D

C B

M

L

L L

60°

60°

60°

2.L

L. 3Apotema OM =

2

3L

139

MATEMÁTICA


EJERCICIOS

I. Complete el siguiente cuadro:

Nombre del polígono

Suma de medida de

ángulos internos

S(i)

Suma de medida de

ángulos externos

S(e) Total de diagonales (D)

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Icoságono

II. Complete el siguiente cuadro si los polígonos son regulares:

Nombre del polígono Medida de ángulo interno

(i)

Medida de ángulo externo

(e)

Medida de ángulo central

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Icoságono

III. Resuelva los siguientes problemas:

1. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices

en 18?

a) 6 lados b)9 c)27 d)15 e)10

2. Cuál es el Polígono regular convexo que si su ángulo interno disminuye en 10°

resultaría otro polígono regular cuyo número de lados sería 2/3 del número de

lados del polígono anterior.

a) 10 lados b)12 c)14 d)16 e)18

140

MATEMÁTICA


3. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su ángulo interior aumenta en

12°. El número de lados del polígono es:

a) 5 lados b)6 c)7 d)8 e)9

4. Como se llama el polígono cuyo número de diagonales es igual a su número

de sus lados.

a) Pentágono b )heptágono c) Octágono d) Hexágono e) Cuadrilátero

5. Si a un polígono se la aumenta en 4 a su número de lados; entonces la suma

de sus ángulos internos se duplica, Hallar el número de vértices.

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 10

6. Hallar la medida de “x” en cada caso: (hexágonos regulares)

Rpta:.......... Rpta:................ Rpta: .............

Rpta:.......... Rpta:................ Rpta: .............

Rpta:................

x

12 cm

O12 cm

x

O

12 cm

x a) b) c)

12 cm

x O O

x

12 cm 12 cm

x

d) e) f)

12 cm

x g)

141

MATEMÁTICA


7. Hallar la apotema de los siguientes polígonos regulares, si el lado de cada

polígono mide 24 3 cm:

a) b) c)

Rpta: .............. Rpta: ................... Rpta: ............

17.5 TRIÁNGULO

Polígono de tres lados

Perímetro = a + b + c

Semiperímetro = 2

cba

17.5.1 Clasificación de los triángulos

I. De acuerdo a la relación entre sus lados pueden ser:

Triángulo Equilátero

Triángulo Isósceles

Triángulo Escaleno

A) Triángulo Equilátero

Sus tres lados son de igual medida

Región Triangular a b

c

a b

c

60°

60° 60°

L

L

L h = L

23

BM es “Altura”, “Bisectriz”, “Mediana” y “Mediatriz”, a la vez. 30°

60°60°

L 30°

M A

B

C L2

L2

142

MATEMÁTICA


B) Triángulo Isósceles

Dos de sus lados son de igual medida

C) Triángulo Escaleno

Sus tres lados son de diferente medida.

II. De acuerdo a la medida de sus ángulos pueden ser:

Triángulo Rectángulo

Triángulo Acutángulo

Triángulo Obtusángulo

A) Triángulo Rectángulo

Tiene un ángulo interno que mide 90º

B) Triángulo Acutángulo

Todos sus ángulos internos miden menos de 90º

BM es la Altura relativa a la base y a la vez es: “Mediana”, “Bisectriz” y “Mediatriz”.

A M C

B

Base

A

B

C

b

c a

a b

h

n m c

h2 = m.n a2 = m.c b2 = n.c

a2 + b2 = c2a.b = c.h 222 h

1

b

1

a

1

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIANGULO RECTÁNGULO

r

b a a + b = c + 2r

n m c

Area = m.n

Relación entre los lados del triángulo rectángulo y la circunferencia inscrita

143

MATEMÁTICA


C) Triángulo Obtusángulo

Tiene un ángulo interno mayor de 90 º

17.5.2 Líneas y puntos notables en el triángulo

1. ALTURA:

Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae perpendicular sobre

su lado opuesto.

El Punto de Intersección de Las Alturas se llama ORTOCENTRO. (ver los

gráficos, el pto. “O” es el Ortocentro)

2. BISECTRIZ

Es un rayo que partiendo de un vértice, divide al ángulo correspondiente a dicho

vértice en dos ángulos congruentes.

A

C

B

Base

Altura

> 90°

Bisectriz Exterior

A B

C

Bisectriz Interior

O

T. ACUTÁNGULO

O

T. OBTUSÁNGULO

O

T. RECTÁNGULO

144

MATEMÁTICA


El INCENTRO es el punto de intersección de las

bisectrices interiores del triángulo.

El incentro es el centro de la circunferencia que

se encuentra inscrita en el Triángulo

El EXCENTRO es el punto de intersección de una bisectriz interior y 2 bisectrices

exteriores.

El excentro es el centro de la circunferencia tangente exteriormente con el

triángulo. (Ver Gráfico)

3. MEDIANA : Es el segmento de recta que partiendo de un vértice cae sobre el lado opuesto

dividiéndolo en dos partes iguales.

El BARICENTRO es el pto. de intersección de las medianas. El BARICENTRO divide a la mediana en dos segmentos proporcionales como 2 es a 1

4. MEDIATRIZ : Es la recta perpendicular a uno de los lados que pasa por su punto medio.

I

A B

C

I : INCENTRO

I

A B

C

E

E : EXCENTRO

A

P N

M C

B

O

O: BARICENTRO

O

O: BARICENTRO

2x

2y 2z x

y z

P N

M

C

C: CIRCUNCENTRO

145

MATEMÁTICA


El CIRCUNCENTRO es el centro de la circunferencia que circunscribe al

triángulo

CEVIANA.- Segmento que une el vértice del triángulo con cualquier punto del

lado opuesto.

17.5.3 Teoremas elementales sobre triángulos

1º. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°

2º. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los

ángulos internos no adyacentes.

3º. La suma de los ángulos exteriores del triángulo suman 360°

4º. A ángulo mayor se le pone lado mayor y ángulo menor se le pone lado

menor.

C

T. ACUTÁNGULO

C

T. RECTÁNGULO

C

T. OBTUSÁNGULO

A B

C

Ceviana interior Ceviana exterior

M N

e

f

g

e = +

+ + = 180°

f = +

g = +

e + f + g = 360°

a

b

c

Si: > >

Entonces: a > b > c

146

MATEMÁTICA


5º. Naturaleza de existencia de un triángulo:

Para que un triángulo exista debe cumplir como mínimo la siguiente condición.

6º. Angulos formados por dos bisectrices.

a).- 2 bisectrices interiores: b).- 2 bisectrices Exteriores:

c).- Una bisectriz Interior y una bisectriz Exterior:

7º. Teorema de los puntos medios

Sí : M y N son puntos medios, Entonces:

8º. Mediana Relativa a la HIPOTENUSA.

La mediana BM mide la mitad de la hipotenusa.

9º. Teorema de la bisectriz Interior

X = 2

90

x

X = 2

90

x

X = 2

x

B

M A

k

C

k

k

M N

A B

C

MN AB

MN = 2

AB

nm

ba

a

n m

b

x

m.na.bx2

a

b c

b + c > a > b – c “Cualquier lado del triángulo debe ser mayor que la diferencia de los otros dos lados, pero menor que la suma de dichos lados”

147

MATEMÁTICA


10º. Teorema de la bisectriz exterior

11º. Teorema del Incentro

12º. Teorema del Mediana

13º. Relaciones de Areas en un Triángulo:

14º. Triángulos Rectángulos Notables:

17.5.4 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

c a x

n

m

n

m

a

c a.cm.nx2

c

cba

nm

b a

m

n

I

a b

x

c

2c

2xba2

222

m n p

A1 A2 A3 K

p

A

n

A

m

A 321

p.KA

n.KA

m.KA

3

2

1

7k 25k

24k 16°

74°

2k

k 53° 2

2k

k2

3

30°

60° k

53°

37°

3k

4k 5k

k

k

k 2

45°

45°

a b

h

n m c

h2 = m.n a2 = m.c b2 = n.c

a2 + b2 = c2 a.b = c.h 222 h

1

b

1

a

1

148

MATEMÁTICA


PROBLEMAS :

1. Los ángulos de un triángulo miden : 6x, 5x+10° y 3x + 30. ¿Qué clase de

triángulo es?

Rpta: ………………………………………

2. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por las bisectrices interiores de los

ángulos agudos de un triángulo rectángulo?

Rpta: ………………

3. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por una bisectriz exterior y la

prolongación de una bisectriz interior, en un triángulo equilátero?

Rpta: …………………

4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B ) el ángulo A mide 70°. Si se traza

altura BH (H AC). ¿Cuánto mide el ángulo HBC

Rpta: ………………

5. En un Triángulo, la medida del ángulo determinado por dos bisectrices

exteriores es el doble de la medida del tercer ángulo. ¿Cuánto mide dicho

ángulo?

Rpta: …………

6. La distancia de un punto de la bisectriz de un ángulo a uno de los lados es 3x

+ 5, y la distancia al otro lado es 2x + 15 ¿Cuál es dicha distancia?

Rpta: ……………………

7. En un Triángulo rectángulo, la distancia del Circuncentro al Ortocentro es 12

cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Rpta: ……………………

8. Dos lados de un triángulo isósceles tienen longitudes 7 y 14 cm,

respectivamente. Hallar el perímetro,

a) 28 cm b) 35 cm c) 25 cm d) a ó b e) 21 cm

149

MATEMÁTICA


9. Las longitudes de las medianas de un triángulo equilátero, suman 6 cm. Hallar

el perímetro

a) 18 cm b) 36 c) 34 d) 32 e) 3

10. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de

razón 7 cm. El mínimo valor entero, en cm. del perímetro es:

a) 20 cm b) 21 cm c) 41 cm d) 42 cm e) 43 cm

11. En al figura, hallar la longitud “x”

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

12. En un triángulo equilátero de lado 12 cm inscrito en una circunferencia, hallar

el perímetro del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de las

sagitas de los tres lados.


13. En el triángulo ABC equilátero, calcular: MN + NP

a) 36

b) 332

c) 324

d) 364

e) 310

14. En al Figura MN = NC = BC. Hallar x

a) 80° b) 75°

c) 90° d) 60°

e) 85°

7 5

x10

53° 37°

20°

40°

x

A

B

M

CN

B

P

N

CA M 8 cm 8 cm

150

MATEMÁTICA


15. Dado el triángulo equilátero de lado L. Hallar el lado del cuadrado inscrito en

dicho triángulo.

a) L3 b) L2 c) L(3 + 1) d) L5 e) L(23 – 3)

16. Cada lado de un triángulo isósceles mide el doble de la base. Si el perímetro

mide 30 cm ¿Cuánto mide la altura relativa a la base?

a) 12 b)213 c)315 d)5 3 e)10

17. La altura trazada a la base de un triángulo isósceles es un sexto de la base. El

lado igual mide 1010. La base mide:

a) 60 b)50 c)64 d)80 e)75

18. Si los siguientes grupos de valores representan longitudes de segmentos,

¿Con cuántos grupos se pueden construir triángulos?

I. 1, 1 y 1 II. 2, 3 y 5 III. 7, 7 y 1 IV. 2 , 2 y 6 V. 5, 12 y 13

a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5

19. Si los lados de un triángulo miden 27 cm, 30 cm y 51 cm respectivamente. El

triángulo es:

a) Acutángulo b)Obtusángulo c)Rectángulo d)Isósceles e)Equilátero.

20. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5m y 12m, ¿Cuánto mide la

altura relativa a la hipotenusa?

a) 5 b)60/13 c)12 d)4 e)13

151

MATEMÁTICA


17.6 CUADRILÁTERO

Polígono de cuatro lados, donde sus ángulos internos suman 360º

17.6.1 Clasificación de los cuadriláteros

1. Trapezoide.- Sus lados no son paralelos

2. Trapecio.- Posee únicamente un par de lados opuestos paralelos.

3. Paralelogramo.- los lados opuestos son paralelos.

17.6.2 TRAPEZOIDE

Caso Particular:

TRAPEZOIDE SIMÉTRICO O BISÓSCELES

Sus diagonales son perpendiculares

BD es mediatriz de AC.

17.6.3 TRAPECIO

AD : Base Mayor

BC : Base menor

BH : Altura

BC AD

MN : Mediana

Clases de Trapecios:

A

B

C

D

A

B

C

D

h

A

B C

DH

B

b

A

B C

D

B

b

M N

A

B C

D Trapecio Escaleno

A

B C

D

Trapecio Isósceles A

B C

D

Trapecio Rectángulo

+ = 180º + = 180º

152

MATEMÁTICA


PROPIEDADES:

a) MN : Mediana

MN : Es paralelo a las Bases.

b) Sobre la MEDIANA, se ubica los puntos medios de las DIAGONALES (P y Q).

17. 6.4 PARALELOGRAMO

PROPIEDADES:

Lados opuestos son paralelos y de igual medida.

Sus ángulos internos opuestos son de igual medida

Sus DIAGONALES, se bisecan.

Clases de Paralelogramo:

M N

b

B

P Q 2

b- B PQ

2

b B MN

M N

b

B

E

E : Punto medio de las diagonales

h

B

E

ROMBOIDE

E h

B

RECTÁNGULO

B : base h: altura

45° 45°

E L

L CUADRADO

E

D

d

ROMBO

D : Diagonal Mayor

d : Diagonal menor

153

MATEMÁTICA


PROBLEMAS :

1. En un cuadrilátero los ángulos están en la relación 1, 2, 3 y 4 ¿Cuánto vale el

ángulo mayor?

a) 150° b)144 c)100 d)90 e)72

2. Las bases de un trapecio miden 4m y 8m respectivamente, los lados no

paralelos miden 7m cada uno. Calcular el valor de la diagonal.

a) 6m b)7m c)8m d)9m e)10m

3. Las diagonales de un rombo miden 8 cm y 6 cm. Luego el lado del rombo

mide:

a) 6 b)5 c)8 d)12 e)7

4. El lado de un cuadrado mide lo mismo que la diagonal de otro cuadrado.

¿Cuál es la razón del lado del cuadrado mayor y el lado del cuadrado menor?

a) 2 : 1 b) 1 : 4 c) 1 : 2 d) 1 : 2 e) 2 : 1

5. Si en un cuadrado ABCD de 12 m de lado, se une el vértice A con el punto

medio de BC, cortando a la diagonal BD en el punto E, entonces la distancia

del punto E al lado AD es:

a) 6m b)4m c)7m d)8m e)5m

6. Determinar la expresión falsa:

a) Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

b) El ángulo interior de un polígono regular de 16 lados mide 157°.

c) Las diagonales de un rombo son perpendiculares.

d) Los ángulos interiores de un rectángulo son rectos.

7. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles mide 16 cm y forman con la

base ángulos de 60°. Si su mediana mide 18 cm ¿Cuánto mide el segmento

que une los puntos medios de las diagonales?

a) 10 b) 26 c) 18 d) 8 e) 16

154

MATEMÁTICA


8. En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 10 cm respectivamente. Si un

lado no paralelo determina un ángulo de 60° con la base. ¿Cuánto mide dicho

lado?

a) 15 b) 14 c) 13 d) 10 e) 12

9. En un Rombo ABCD, las diagonales miden 12 y 16 cm. Hallar la longitud del

segmento trazado desde el vértice B al punto medio del “lado opuesto”. (BD

diagonal menor).

a) 7cm b) 8 c) 5 d) 6 e) 4

10. En la figura mostrada, calcular “x”.

a) 20° d) 30º

b) 40° e) 50º

c) 60°

11. En un Rombo, las diagonales miden 6 y 8 cm. Hallar la distancia que hay entre

dos lados opuestos.

a) 5 cm b) 4,8 cm c) 4,5 cm d) 3 cm e) 6 cm

12. El perímetro de un rombo es 80 cm y uno de sus ángulos mide 60°. ¿Cuál es

la diferencia entre la diagonal mayor y la diagonal menor.

a) 1320 b) 1320 c) 1310 d) 1310 e) 1315

13. En un romboide ABCD la diagonal BD se prolonga hasta el punto E, luego se

prolonga CE hasta el punto F, tal que AF // BD.

Calcular AF si DE = 4 cm y BD = 6 cm.

a) 12 cm b) 13 c) 15 d) 14 e) 16

14. En un rectángulo ABCD, los lados AB y BC miden 8 y 12 cm respectivamente.

Se traza la bisectriz del ángulo A, que determina en BC al punto M ¿Cuánto

mide la mediana del Trapecio AMCD?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

2

x

3a

a

155

MATEMÁTICA


PROBLEMAS Nivel I

1. Hallar “x”

A. 115º B. 116º C.100º D. 88º E. 114º

2. Hallar “x”

A. 20º B. 30º C. 18º D. 24º E.32º

3. Hallar “x”; ABCD es un cuadrado, CED es un equilátero.

A. 15º

B. 12º

C. 10º

D. 20º

E. 18º

. ABCD es un cuadrado, AM = 6; CN = 5. Hallar MN .

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

E. 12

5. Hallar “x”, OM es bisectriz.

A. 1 B. 2 C. 3 D.4 E.6

40º

2x+y 3x+y+10º

C

E

D

B

A

x

L1

82º

32º L2

x

º

x

M

1m

aa ºO

M D N

A C

B

156

MATEMÁTICA


6. Si: BD = DC = AB. M ABD = 40º. Hallar “x”,

A. 30º

B. 35º

C. 20º

D. 25º

E. 28º

7. Hallar PQ, si AB = 16 m, BC = 20 m y AC = 30m.

A. 33

B. 32

C. 28

D. 29

E. 30

8. Hallar RC , si AB = 10 m.

A. 8

B. 9

C 10

D. 12

E. 15

EJERCICIOS Nivel II

1. Hallar el número de diagonales de un polígono convexo cuyos ángulos

interiores suman 900º.

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15

2. Hallar el número de lados de un polígono sabiendo que la suma de sus

ángulos internos y externos es 3960º.

A. 21 B. 22 C. 20 D. 23 E. 25

3. Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono que tiene tantas

diagonales como número de lados.

A. 540º B. 480º C. 610º D. 720º E. 700º

A D Cxº

B

P

B

Q

A

C

a

R

3

A

a B

157

MATEMÁTICA


x

4. En un polígono regular la relación entre la medida de un ángulo interior y

exterior es como 3 es a 2. Calcular el número de lados del polígono.

A. 6 B. 8 C. 12 D. 4 E. 5

5. ¿Cuántos lados tiene un polígono si la suma de sus ángulos interiores es

3240º?

A. 18 B. 20 C. 24 D. 25 E. 26

6. Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono en el cual su número

de lados más su número de diagonales es igual a 45.

A. 1200º B. 1100º C. 1480º D. 1440º E. 980º

7. Calcular el número de lados de aquel polígono cuyo número de diagonales

excede al número de vértices en 18.

A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 E. 15

8. Si tienen 2 polígonos cuyo número de lados suman 25 y el máximo número de

diagonales que se pueden trazar en ambos suman 125. ¿Cuál es la diferencia

de los números de lados de ambos polígonos?

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

9. El número de lados de dos polígonos están en la razón de los números 5 a 7,

sus diagonales se diferencian en 180. ¿Cuántos suman sus diagonales?

A. 480 B. 490 C. 510 D. 570 E. 340

10. Hallar “x”

A. 140º

B. 120º

C. 130º

D. 150º

E. 135º

40º

20º

60º

2 2

158

MATEMÁTICA


EJERCICIOS Nivel III

1. Hallar “x” (BC // AD)

A. 30º

B. 18º

C. 37º

D. 45º

E. 60º

2. Hallar “x”

A. 120º

B. 100º

C. 135º

D. 160º

E. 150º

3. Hallar “x”

A. 30º

B. 25º

C. 15º

D. 18º

E. 20º

4. Hallar “x” (BC // AD)

A. 21

B. 20

C. 18

D. 19

E. 24

159

MATEMÁTICA


5. Si; AB =BC = CD; hallar “x”

A. 10º

B. 25º

C. 30º

D. 35º

E. 37º

6. Hallar “x”

A. 60º

B. 50º

C. 75º

D. 55º

E. 56º

7. Hallar “x”

A. 80º

B. 70º

C. 50º

D. 45º

E. 60º

8. En un paralelogramo ABCD, se construye exteriormente los triángulos

equiláteros ABM y BCN. Hallar m MDN.

A. 40º B. 50º C. 75º D. 62º E. 60º

9. AD = 6; CH = 2, hallar “”.

A. 10º

B. 20º

C. 30º

D. 25º

E. 35º

160

MATEMÁTICA


10. ABCD es un cuadrado; m ECF = 90º. Hallar “x”

A. 45º

B. 40º

C. 42º

D. 43º

E. 48º

11. Hallar “x”

A. 72º

B. 94º

C. 124º

D. 100º

E. 102º

12. En el interior de un cuadrado ABCD se dibuja el triángulo equilátero AED.

Hallar m BEC.

A. 90º B. 120º C. 135º D. 150º E. 145°

13.- Las bases de un trapecio miden 6 y 10cm, los lados no paralelos miden 8cm

cada uno. Calcular la medida de la diagonal del trapecio.

A) 11,13 B) 12,11 C) 13,4 D) 14 E) 15

14.- El triple del semiperímetro de un trapecio isósceles equivale al doble del

perímetro de un rombo, cuyas diagonales miden 54 y 72cm respectivamente. Si la

altura es igual a la mitad de la diagonal menor y los lados no paralelos miden

45cm cada uno. ¿Cuánto mide la base mayor?

A) 15,1dm B) 14,1dm C) 13,1dm D) 12,1dm E) 11,1dm

15.- En un trapecio isósceles los lados no paralelos miden 18cm cada uno y

forman con la base mayor un ángulo de 60º. Si la base media del trapecio mide

24cm. ¿Cuánto mide el segmento que une los puntos medios de las diagonales?

A) 9cm B) 10cm C) 11cm D) 12cm E) 15cm

161

MATEMÁTICA


16.-Verdadero o Falso:

I. Todo trapezoide tiene siempre sus cuatro lados de diferentes medidas

II. El segmento que une el centro de cualquier polígono con cualquiera de sus

vértices se denomina apotema

III. Dos ángulos cualesquiera que tienen un lado común y un vértice común son

adyacentes

IV. En un polígono de 9 lados la suma de sus ángulos interiores es igual a 14

ángulos rectos

a) FFFV b) FVVV c) FFVF d) FFVV e) FFFF

17.-Si la base de un triangulo aumenta en 1% y la altura disminuye en 1%,

entonces se área:

a) aumenta 20% b) aumenta 1% c) disminuye 1% d)disminuye 0,01%

e) aumenta ,001%

18.-Sea el cuadrado ABCD, sobre AD se ubica el punto E y sobre CE se ubica

el punto F, tal que m<FAE=30º y AB=AF. Hallar la m<AFE.

a) 15º b) 60º c) 75º d) 45º e) 30º

19.-En un exágono regular de semiperímetro 12cm. Calcular la longitud del

segmento formado al unir los puntos medios de dos lados no consecutivos.

a) 3,46cm b) 4,54cm c) 5,86cm d) 6,92cm e) 7,24cm

20.-En un trapecio rectángulo el segmento que une los puntos medios de las

diagonales mide 4cm y la altura del trapecio es 8cm. Calcular la longitud del lado

lateral mayor del trapecio.

a) 9,48cm b) 10,24cm c) 11,28cm d) 12,32cm e) 13,12cm

21.-¿En qué polígono convexo al sumar su número de diagonales, la suma de sus

ángulos interiores y la suma de sus ángulos externos resulta 1460º?. Dar como

respuesta la cantidad de diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

162

MATEMÁTICA


UNIDAD 18

PERÍMETRO

163

MATEMÁTICA


18.0 PERÍMETROS 18.1 DEFINICIONES PREVIAS Región Plana: Es una porción de plano cuyo contorno es una línea cerrada, la línea que limita a la región puede ser poligonal o una curva cerrada. Perímetro de una región: Es la medida de la longitud de la línea (o líneas) que conforman el borde o contorno de una región. 18.2 PERÍMETRO DE LAS PRINCIPALES REGIONES PLANAS (a) Cuadrado (b) Rectángulo (c) Triángulo

b a a a b

b

c

P = 4 P = 2a + 2b P = a + b + c (d) Polígono regular de “n” (e) Sector Circular (f) Longitud de lados de longitud “ “ circunferencia

A

L R R

O

O B

P = Longitud de Arco + 2R

P = n. P = o

R360

2 +

2R�� RL 2

164

MATEMÁTICA


PERÍMETRO DE LOS POLÍGONOS Usando una regla, usted puede determinar, separadamente, la medida de cada lado del polígono siguiente, intente y complete. A AB = mm BC = mm B CD = mm DA = mm C D Sumando esas medidas, encontramos la medida del contorno del polígono. Así: AB + BC + CD + DA = ¡Complete! : + + + = La medida del contorno del polígono es denominada PERÍMETRO (P) Podemos decir entonces que: Ejemplo : Halle el perímetro del polígono siguiente: ¡Complete! P = 1,5 cm + + + + + P = El perímetro es de 11,50 cm

Perímetro de un polígono es la suma de las medida de sus lados.

2

1,5

4

1,5

2,5

165

MATEMÁTICA


En ciertos polígonos, el cálculo del perímetro puede ser hecho de forma más simple, no se requiere una fórmula especial para cada caso, pues el modo de calcularlo es simple y directo. Ejemplo: 1. Calcule el perímetro del triángulo equilátero cuyo lado mide 5 cm.

Como los lados del triángulo equilátero son iguales tenemos: P = 3L en este caso P = 3 x 5 cm P = 15 cm

lado L = 5 cm Concluimos que la fórmula del perímetro del triángulo equilátero es: de donde “L” es la medida del lado. 2. Calcule el perímetro del cuadrado cuyo lado mide 3 cm.

El cuadrado tiene 4 lados iguales. Luego: P = 4L P = 4 x 3 cm P = cm

lado L = 3 cm. Concluimos: El perímetro del cuadrado está dado por la fórmula: Observación:

Si el polígono es regular, todos los lados son iguales, y el perímetro se obtendrá multiplicando la medida del lado (L) por el número de lados (n).

Ejemplo: El perímetro de un pentágono regular cuyo lado mide 8 cm será: P = ..................... x 5 = ............................. cm 3. Calcular el perímetro del rectángulo siguiente:

P = 3 x L

P = 4 x L

P = n x L

166

MATEMÁTICA


ALTURA

Como el rectángulo tiene sus lados opuestos iguales, tenemos: P = 5 + 3 + 5 + 3 P = .................... cm

b = 5 cm BASE

5 Luego el perímetro del rectángulo será: 3 3 P = 2.( b + h ) 5 Resuelva los siguientes ejercicios de reforzamiento: 1. Calcule el perímetro de los triángulos equiláteros siguientes: a) L = 3 cm P = .................... b) L = 4,5 cm P = .................... 2. Calcule el perímetro de los cuadrados siguientes: a) L = 2 cm P = .................... b) L = 1,5 cm P = .................... 3. Calcule el perímetro de los rectángulos siguientes:

h = 3 cm

P = 2.b + 2.h

167

MATEMÁTICA


b = 5 cm a) h = 2 cm P = ....................

b = 6,5 cm b) h= 1,5 cm P = .................... 4. Calcule el perímetro del rombo. a) L = 3,50 cm P = .................... 5. Calcule el perímetro de las figuras, en mm. a) P=…………….... b) P=…….........….. c) P = ..................... d) P = .....................

20

35

45

5

10 12

5

30

37

14

15 20

45

42

15

168

MATEMÁTICA


6. Complete el siguiente cuadro:


Cuadrado Rombo Rectángulo

L P L P L P b h P

5 cm 0,4 cm 4 mm 25 mm 10 mm

120 mm 144mm 1,5 cm 12 cm 10 cm

1,8 cm 0,25 m 82 mm 16 mm 40 mm

7. Calcule el perímetro de las figuras: a) b) c) P = ............ P = ............ P = ............ Antes de proseguir, corrija todos los ejercicios que ha hecho de perímetro. 1) a) 9 cm b) 13,5 cm

2) a) 8 cm b) 6 cm

3) a) 14 cm b) 16 cm

4) a) 14 cm

5) a) 105 mm b) 94 mm c) 94 mm d) 114 mm


Cuadrado Rombo Rectángulo

L P L P L P b h P

15 cm 1,6 cm 16 mm 70 mm

40 mm 36 mm 6 cm 44 cm

5,4 cm 1 m 20,5 mm 4 mm

7) a) 3 ¾ “ b) 2 15/16” c) 4 ¼”

1”

7/8”

9/16”

1/2”1 1/2”

5/8”

5/8”

169

MATEMÁTICA


Así como se determinó el perímetro de los polígonos, puede determinar el PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA, o sea, su LONGITUD. Envuelva un cilindro con un pedazo de hilo, como lo muestra la figura. Estire enseguida el hilo y mida la longitud obtenida. Habrá determinado experimentalmente, la longitud de la circunferencia, o sea, su perímetro. Si ahora dividimos la longitud obtenida (55,6 cm) por el diámetro de esa circunferencia (17,7 cm), obtendrá un cociente aproximadamente igual al número 3,14 55,6 17,7 02,50 3,14 07,30 00,22 Sean dos (o más) circunferencia de diámetros diferentes, por ejemplo: C = 32,044 cm

............2,10

044,32

d

c

d = 10,2 cm C = 19,479 cm

............2,6

479,19

d

c

d = 6,2 cm Procure calcular los cocientes y llenar los vacíos.

17,5 cm

Dibujo pag. 314

55,6 cm

Dibujo pag 314

D = 17.7 cm

D = 17.7 cm

D = 17.7 cm

C = 55.6 cm

170

MATEMÁTICA


Siempre que divida la longitud de una circunferencia por su diámetro obtendrá, aproximadamente, como cociente, el número 3,14; como se encontró anteriormente. Por lo tanto, siempre será:

3,14d

c (con aproximación al centésimo)

Ese número 3,14 es representado por la letra griega (pi) Cualquiera que sea la circunferencia, usted deberá recordar siempre que

π Diámetro

nciacircunfere de Longitud

Luego, se quiere determinar la longitud de una circunferencia, basta multiplicar el diámetro por (3,14), por lo tanto: Longitud de circunferencia = Diámetro x Que se representa: Como el diámetro es igual a 2 veces el radio (D = 2r), podemos escribir también. Observación: 1° = 3,14 = 22/7

2° Perímetro de la circunferencia = Longitud de la circunferencia Ejemplos: 1. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm?

3,14 =

C = . D

C = 2 . R

171

MATEMÁTICA


D = 6 cm , Como: C = . D Tenemos que: C = 3,14 x 6 cm C =.................. cm

2. Determine la longitud de la circunferencia que tiene 5 mm de radio.

R = 5 mm C = 2 . . r C = 2 x 3,14 x 5 mm C =........................ mm

Ejercicios de reforzamiento para que usted resuelva: 1. Calcular la longitud de la circunferencia cuyo diámetro mide 7 cm.

C =..............................

2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia que tiene 2,7 cm de radio?

C =.............................. 3. Calcular el perímetro del círculo cuyo radio mide 9 cm.

P =.............................. 4. Un círculo que mide 3,7 cm de radio. ¿Cuál es el perímetro?

P =.............................. 5. Un disco con un diámetro que mide 10 cm da una vuelta completa sobre un

carril, ¿Cuál fue la distancia recorrida?

10 cm

Distancia =.............................. cm 6. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia de una rueda cuyo radio mide 25

cm?

C =.............................. 7. Las ruedas de una bicicleta miden 70 cm de diámetro. ¿Cuál es la longitud de

su circunferencia? ¿Cuál será la distancia recorrida por un ciclista, si cada una de las ruedas de la bicicleta han dado 1000 vueltas?

172

MATEMÁTICA


C =.............................. cm

Distancia recorrida =............................... m. 8. Un carril de longitud 9,42 m. ¿Cuántas vueltas tiene que dar una rueda de 50

cm de diámetro para recorrerlo?

R =.................... vueltas 9. Las ruedas de una bicicleta tienen como diámetro 0,5 m y la otra 40 cm,

respectivamente. Si al desplazar la bicicleta, se observa que la suma de vueltas que dan las dos ruedas es 18 000, ¿Qué distancia en metros ha recorrido la bicicleta?

distancia =.................... m.

10. El auto de Guillermo se desplaza con una velocidad de 20 m / s, durante 2 minutos 37 segundos, y cada rueda tiene un radio que mide 40 cm, ¿Cuántas vueltas habrá dado cada rueda?

R =.................... vueltas Corrija sus respuestas 1. 21,98 cm

2. 16,956 cm

3. 56,52 cm

4. 23,236 cm

5. 31,14 cm

6. 157 cm

7. c = 219,8 cm

Distancia = 2 198 m

8. 6 vueltas

9. 1256 m

10. 1250 vueltas

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar la longitud aproximada de la correa de transmisión

SOLUCIÓN :

30”

=12”

30”

L 173

MATEMÁTICA


requerida para el trabajo mostrado en la figura

Los 2 arcos “L”, forman una circunferencia de 12” de diámetro. Perímetro = 30” + 30” + Long. Circunferencia Perímetro = 30” + 30” + 12”.(3,14) Perímetro = 97,68 “

2. Calcular el perímetro del trapecio rectángulo. (Las medidas están en metros)

SOLUCIÓN : Hallamos AB en el triángulo rectángulo ABC: (Teorema de Pitágoras)

AB2 = 252 - 72 AB = 24

Como BC es paralelo AD, entonces la m A del triángulo ACD mide “”. El triángulo ACD es Isósceles, por lo tanto CD = 25. Trazamos CE (Altura del Triángulo Isósceles ACD) por lo tanto AE = ED = 7. Perímetro = 24m + 25m + 7m + 14m = 70m

3. Determine el perímetro de la figura

SOLUCIÓN : La suma de todos los segmentos horizontales mide el doble de 13 cm. La suma de todos los segmentos verticales mide el doble de 15 cm. Perímetro = 2.(13cm) + 2.(15cm) = 56 cm

4. Calcular el perímetro de la región

achurada

SOLUCIÓN :

25

7

25

7

A

B C

D

25

24

E 7 7

15 cm

13 cm

6 m 6 m

3

r

3

B

P

174

MATEMÁTICA


Unimos los centros P y Q. En el Triángulo rectángulo PAQ (Teorema de Pitágoras) :

(3 + r)2 = 32 + (6 – r)2

9 + 36 – 12r + r2 = r2 + 6r + 9 r = 2

Entonces : AR = 2 Perímetro = 2 + L1 + L2 + L3 .

Perímetro = 2

(2)2

2

(3)2

4

(6)2 2

Perímetro = ( 82 ) metros = 27,12 m. 5. Se tiene un polígono de ángulo

central 20° y su lado de 5 cm. Hallar el perímetro del polígono.

SOLUCIÓN :

central = n

º360

n = 20º

360º = 18 lados

Perímetro = 18.(5 cm) = 90 cm

6. La mediana de un trapecio es 12 m. Hallar su perímetro si los lados no paralelos suman 10 m.

SOLUCIÓN :

Mediana = 2

bB = 12 m B + b = 24 m

Perímetro = B + b + C + D Perímetro = 24m + 10 m = 34 m

7. La figura es un triángulo equilátero de 8 cm de lado, calcular el perímetro de la parte sombreada.

SOLUCIÓN : El perímetro es la suma de las tres longitudes de arco, de ángulo central 60º y de radio igual a 4 cm. Que llegan a formar el arco de una semicircunferencia:

3

2

2

A R

L1

L2

L3

B

b

C D

60º 60º

60º

L

L L

L

L

L

60º 60º

60º

4 cm 4 cm 175

MATEMÁTICA


Perímetro = 2.(4cm) = 8 cm.

8. Hallar el perímetro de la región sombreada (las medidas están en milímetros)

SOLUCIÓN : Las longitudes de arcos de un mismo ángulo central son proporcionales a sus respectivos radios:

20

L

12

18

4

L 21

Entonces : L1 = 6 y L2 = 30 Perímetro = 4 + 4 + L1 + 18 + 8 + 8 + L2 Perímetro = 4 + 4 + 6 + 18 + 8 + 8 + 30 Perímetro = 78 mm.

9. Hallar el perímetro de la región sombreada

SOLUCIÓN : Perímetro = 12 + 12 + 6 + 6 + 6 + 6 + 4L

Perímetro = 48 + 4

2

(3)2

Perímetro = 48 + 12 Perímetro = 12.( 4 + ) m. = 85,68 m

10. Calcular el perímetro del área sombreada. OB = 5 m. EC = 2m.

SOLUCIÓN :

4 18

16

8

4 18

20

12

L1

L2

8

12 m.

12 m.

E

C B

5

2

3

4

3

L

12

6

6

6

6

12

L

L

L

3

176

MATEMÁTICA


Radio del Sector Circular : OB = OE = 5 Como EC = 2 ; Entonces CO = 3 = AB. En el Triángulo rectángulo hallamos CB (Teorema de Pitágoras):

CB2 = 52 - 32 CB = 4 = OA

Como OA = 4 , Entonces AD = 1 Perímetro = EC + CB + AB + AD + EBD

Perímetro = 2 + 4 + 3 + 1 + 4

52π

Perímetro = 10 + 2

5π

Perímetro = 17,85 m

E

C

O

B

D A

177

MATEMÁTICA


PERIMETROS nivel I 1. El diámetro de un árbol es de 315 mm. ¿Cuál es su perímetro? ……… 2. Una polea de transmisión tiene un diámetro de 450 mm. ¿Cuántas

revoluciones ejecuta en un trecho de 1 km ? ……………………… 3. ¿Qué longitud de correa se necesita para dos poleas de transmisión de 350

mm de diámetro dada una distancia entre centros de 1,5 m? ……………………….. 4. ¿Cuál es el diámetro de una ventana redonda con igual perímetro de una

ventana cuadrada con 620 mm de lado? ………………………………….

5. ¿Qué trayecto (en m/min) recorre una broca espiral de 20 mm de diámetro de

un minuto cuando la taladradora ejecuta 520 revoluciones? ……………………………… 6. ¿Cuántos metros de alambre de 1,2 mm de diámetro se pueden enrollar en

una bobina de 120 mm de longitud y 55 mm de diámetro? (Sin tener en cuenta el grosor del alambre)

…………………………….. 7. Para el trazado de una curva se necesita un arco con 210 mm de diámetro y

120° de ángulo central. Calcule la longitud del arco. ……………………………… 8. Una plantilla de chapa tiene una longitud de arco de 312 mm y un ángulo

central de 106°. Calcule el diámetro. ……………………………. 9. Se quiere fabricar una cubierta protectora con una longitud de arco de 818 mm

y un radio de 310 mm. Calcule el ángulo central. …………………………… 10. Siendo la longitud del arco de un disco de mando circular de 420 mm y

teniendo lugar la inversión de marcha después de 80°, calcule el diámetro. ………………………… 11. Sobre una polea de transmisión de 450 mm de diámetro reposa una correa

plana con 520 mm de longitud de arco. Calcule el ángulo abrazado.

178

MATEMÁTICA


………………………. 12. Requiere reforzar un recipiente rectangular de 30 x 400 cm soldando hierros

planos. Calcule la longitud del material necesario en metros. …………………….. 13. Una caja rectangular tiene un perímetro de 3168 mm. La proporción de los

lados es de 3:5. Calcule la longitud de los lados. …………………………

179

MATEMÁTICA


PROBLEMAS PROPUESTOS nivel II 1. Calcular el perímetro del

paralelogramo. A) 46 B) 38 C) 48 D) 30 E) 36

SOLUCIÓN :

2. Calcular el perímetro de la figura A) 20,56 cm B) 205,6 cm C) 2056 cm D) 28,56 cm E) 0,2856 cm

SOLUCIÓN :

3. El perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es de 24 cm. Calcular el perímetro de otro hexágono regular determinado al unir los puntos medios de los lados. A) 312

B) 216

C) 38

D) 324

E) 212

SOLUCIÓN :

4. El perímetro de la parte sombreada mide 62,8 cm, ABCD es un cuadrado y los puntos N, M, P y Q son puntos medios. Hallar el lado del cuadrado

A) 20 cm B) 10 cm C) 28 cm D) 25 cm E) 15 cm

SOLUCIÓN :

7

12

2

4m 4m

CB

A D

M

N P

Q

180

MATEMÁTICA


5. Hallar el perímetro de la región

sombreada R = 20 cm y r = 10 cm

A) 30 cm B) (30 - 80) cm C) (30 + 80) cm D) (30 + 20) cm E) 100 cm

SOLUCIÓN :

6. Hallar el perímetro de la región sombreada, M y N puntos medios y ABC es un triángulo equilátero de lado 4 m. A) 34 B) 8

C) 3

28

D) 3 E) 8

SOLUCIÓN :

7. Si en la figura, ABC es un triángulo equilátero, y en cada lado tomamos el punto medio para formar otro triángulo. ¿Qué parte del perímetro de ABC es el perímetro del triángulo achurado? A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/16 E) 1/32

SOLUCIÓN :

8. Hallar el perímetro de la figura, lado del cuadrado es 8 cm A) 42,84 cm B) 40,56 cm C) 48,24 cm D) 40 cm E) 48 cm

SOLUCIÓN :

A

B

C

M

N

A

B

C

r

R

181

MATEMÁTICA


9. Hallar el perímetro de la parte

achurada

A) 24,5 cm B) 17,5 cm C) 20,5 cm D) 35,5 cm E) 36 cm

SOLUCIÓN :

10. Hallar el perímetro A) 72 B) 42 C) 50 D)60 E)82

SOLUCIÓN :

11. Hallar el perímetro de la región sombreada

A) 3

82

B) 6 C) 62 D) 4 E) 5

SOLUCIÓN :

12. Hallar el perímetro de la figura sombreada, lado del hexágono es 6 cm

A) 4(3 + 2) cm B) (4 + 3) cm C) 3(4 + 2) cm D) (12 + ) cm E) (3 + 2) cm

SOLUCIÓN :

13. Hallar el perímetro

A) 40( + 1) B) 40 C) ( + 40) D) 40( - 1) E) 120

SOLUCIÓN :

60°

4

60 m

6 cm

6 cm

5 2

5 6 8

16

182

MATEMÁTICA


14. Se tiene una circunferencia inscrita

en un triángulo equilátero cuyo lado mide 34 metros, Hallar el perímetro del hexágono inscrito en dicha circunferencia?

A) 15 m B) 24 m C) 50 m D)6 m E) 12 m

SOLUCIÓN :

15. Hallar el perímetro del triángulo que resulta de unir los puntos medios de los lados no consecutivos de un hexágono regular cuya sagita mide 3612 metros

A) 65 m B) 54 m C) 50 m D)60 m E) 42 m

SOLUCIÓN :

16. Hallar el perímetro de la figura sombreada, el lado del cuadrado es 20 cm.

A) 20 B) 25 C) 30 D) 10 E) 35

SOLUCIÓN :

17. Hallar el perímetro del rectángulo. A) 68 B) 84 C) 36 D) 70 E) 72

SOLUCIÓN :

18 m

6 m

4

183

MATEMÁTICA


18. Hallar el perímetro de la región sombreada, las circunferencias tiene un radio de 10 m.

A) 3820 m B) 180 m C) 160 m

D) 3160 m E) 3208 m

SOLUCIÓN :

184

MATEMÁTICA



1) Hallar el perímetro de un rombo, si es 6 veces el perímetro de un triángulo

equilátero inscrito en una circunferencia de 8 cm de diámetro.

a) 24 3 cm b) 48 3 cm c) 72 3 cm d) 60 cm e) 210 cm

2) El perímetro de un trapecio equivale al de un rombo cuyas diagonales

miden 60 y 80 cm. Si la altura del trapecio es igual a la mitad de la diagonal

menor y los lados no paralelos miden 50 cm cada uno. ¿Cuánto mide la

base mayor?

a) 50 cm b) 10 cm c) 90 cm d) 70 cm

3) Un rectángulo tiene el doble de perímetro que un cuadrado de 36 cm2 de

área. La base del rectángulo mide el triple de su altura. ¿Cuánto mide la

base del rectángulo?

a) 6 cm b) 18 cm c) 48 cm d) 9 cm

4) Dos ruedas de 36 y 48 cm de radio estan en contacto. Si la primera da 400

vueltas por minuto, ¿Cuántas vueltas dara la segunda en media hora ?

a) 9 000 b) 300 c) 500 d) 3 000 e) 800

5) En la figura, ABCD es un cuadrado. Hallar el perímetro de la región

sombreada.

a) 22,28 dm

b) 20,56 dm

c) 16+2 dm

d) 8+2 dm

e) 4+8 dm

185

MATEMÁTICA


6) El lado del exágono regular mide 4 cm. Hallar el perímetro de la región

sombreada.

a) 8 3 cm

b) (8 3 +1) cm

c) ( 3 +8) cm

d) 8( 3 +1) cm

e) 21,2 cm

7) El perímetro del trapecio circular mide 6,2 m. Hallar la medida del ángulo .

( =7

22)

a) 30º b) 60º

c) 22º d) 21º

e) 15º

10) Hallar la medida del perímetro de la figura, si el lado del cuadrado mide 8 cm.

a) (24+ ) cm

b) (24 +6) cm

c) 42,84 cm

d) 48,2 cm

e) 24 cm

11) Hallar el perímetro de la figura sombreada.

a) (10+14 ) cm

b) (14+20 ) cm

c) (10 +8) cm

d) (14+5 ) cm

e)(14 +5) cm

6 cm

186

MATEMÁTICA


12) Hallar el perímetro de la región sombreada si el lado del cuadrado ABCD

mide 10 cm y M,N,P y Q son puntos medios.

a) 10 cm

b) 15 cm

c) 12 cm

d) 8 cm

13) calcular el perímetro del triángulo sombreado, si el lado del cuadrado abcd

mide " 2a ".

a) 4a

b) 6a

c) 8a

d) 10a

e) 3a

14) si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 cm, calcular el perímetro de la

figura sombreada.

a) 8( +3) cm

b) (8 +4) cm

c) (8+4 ) cm

d) 8(2 +3) cm

e) 8 cm

15) Calcule el perímetro del mayor triángulo equilátero, cuyos lados son

números enteros, construidos sobre el lado de un triángulo en donde los otros

lados miden 7 cm y 14 cm.


M

N

P

Q

A B

CD

A

B C

D

187

MATEMÁTICA


UNIDAD 19

MEDIDAS DE SUPERFICIE

188

MATEMÁTICA


19.1 MEDIDAS DE SUPERFICIE


Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en

ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro

cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.

Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se

utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100

La medida de una superficie es llamada ÁREA DE SUPERFICE. La unidad

fundamental de medida de superficie, o sea, el área, es el metro cuadrado (m2).

Por ejemplo, medida de la superficie ABCD es:

En el símbolo m2, el exponente 2 indica las dos dimensiones de una superficie

19.2 REPRESENTACIÓN Y LECTURA


Como las unidades de superficie varían de 100 en 100, la cantidad 43,2

dm2 es conveniente escribirla 43,20 dm2 y se lee: cuarenta y tres decímetros

cuadrados y veinte centímetros cuadrados.

3,48 m2 se lee: Tres ………………………………………………………………….

2,30 m2 se lee: ……………………………………………………………………….

Superficie de ABCD = 10 m2

1 m2

5 m

2 m

m2 1 m

1 m

m2 = Área de un cuadrado de 1m de lado

189

MATEMÁTICA


19.3 CONVERSION DE MEDIDAS DE SUPERFICIE


MÚLTIPLOS

UNIDAD

SUBMÚLTIPLOS

KILÓMETRO CUADRADO

HECTÓMETRO

CUADRADO

DECÁMETRO CUADRADO

METRO

CUADRADO

DECÍMETRO CUADRADO

CENTÍMETRO CUADRADO

MILÍMETRO CUADRADO

km2

hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 000 000 m2

10 000 m2

100 m2

1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2

Para realizar la conversión de unidad de medida de superficie en el sistema

métrico debemos de tener en cuenta lo siguiente:

1. Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar por

100.

2. Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por 100.

En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.

Construyamos, para facilitar, una escalera con las unidades de medida de

superficie.

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

190

MATEMÁTICA


Cada grada que usted descienda, la coma se desplaza hacia la derecha dos cifras

por cada grada

Ejemplo:

2,5326 hm2 = 25 326 m2

0,38 m2 = …………… dm2

0,001532 dam2 ………………cm2

Cada grupo que usted sube, la coma se desplaza hacia la izquierda dos cifras por cada grada.

Ejemplo:

108,42 dm2 = 1,0842 m2

5083 m2 = ……………. km2

hm2

191

MATEMÁTICA


Concluyendo:

Unidad

inmediatamente

superior

Unidad

inmediatamente

inferior

0,345697 dam2 = 34,5697 m2 = 3456,97 dm2

La coma se

desplaza dos

lugares

izquierda para Derecha

Siempre que sea necesario agregue ceros.

Para comprobar sus conocimientos, haga estas transformaciones:

1. 5,86 dam2 a dm2

2. 183,2 cm2 a dam2

3. 12,05 m2 a cm2

4. 78350 dm2 a dam2

Sus respuestas deben ser:

1. 58600 dm2

2. 0,00018320 dam2

3. 120500 cm2

4. 7,835 dam2

192

MATEMÁTICA


EJERCICIOS:

1. Llene los espacios con las palabras adecuadas:

a) Toda superficie tiene dos dimensiones: ……………………. y ……………….

b) Medir una superficie es compararla con otra tomada como ………………..

El resultado obtenido de esta comparación se llama ………………………….

c) Área es la ……………………………………………….…… de una superficie.

d) Un metro cuadrado tiene ………………………………decímetros cuadrados.

e) Un decímetro cuadrado tiene…………………………centímetros cuadrados.

f) 1 m2 = ……………… dm2 …………………. cm2……………… mm2…………

2. Transforme en metros cuadrados. Observe antes los ejemplos:

a) 14542,75 cm2 = 1,454275 m2

b) 0,72 dm2 = 0,0072 m2

c) 2 mm2 = 0,000002 m2

d) 81 dm2 = ……………………………... m2

e) 0,04512 dam2 = ……………………… m2

f) 1415,30 cm2 = ………………………. m2

g) 545,1257 hm2 = …………………….. m2

3. El hecho de existir en cada unidad de área 10 divisiones de 10 unidades

cuadradas, nos permite escribir:

a) 1 cm2 tiene 10 veces 10 mm2 = 100 mm2 1 cm2 = 100 mm2

b) 1 dm2 tiene ……. veces …………cm2 = ………….. cm2 1 dm2 = …cm2

c) 1 m2 tiene …….. veces …………….. dm2 = ………….. dm2 …………

d) 1 dam2 tiene …….. veces …………… m2 = …………… m2 ………………

Ahora corrijamos:

1. a) Largo y ancho b) Unidad, área c) Medida

d) 100 e) 100 f) 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2

2. d) 0,81 e) 4,5120 f) 0,141530

g) 5451257 h) 0,001260

3. b) 10 x 10 = 100 100

c) 10 x 10 = 100 1 m2 = 100 dm2

d) 10 x 10 = 100 1 dm2 = 100 m2

193

MATEMÁTICA


Continúe…

4. Complete:

a) 2,12 m2 + 31,45 dm2 + 12 cm2 = …………………………………………mm2

b) (5,12 m2 + 588,50 dm2) – 30 050 cm2 =………………………………… mm2

5. Complete:

a) 4,50 m2 + 45 dm2 + 445 mm2 = ……………………………………………cm2

b) 0,85 m2 + 15 dm2 – 5 000 mm2 = ……………………………………….. cm2

6. Complete:

a) 4 m2 + 1 245 cm2 + 500 000 mm2 = ………………………………………dm2

b) 100 000 mm2 + (0,9 m2 – 5 000 cm2) = ………………………………… dm2

7. Complete:

a) 6,45 dm2 – (6,45 mm2 + 6,45 cm2) = ……………………………………..m2

b) (6,45 dm2 + 6,45 mm2 – 6,45 cm2) = …………………………………… m2

Corrija:

4. a) 2 436 000 mm2 b) 8 000 000 mm2

5. a) 49 504,45 cm2 b) 9 950 cm2

6. a) 462, 45 dm2 b) 50 dm2

7. a) 0,06384855 m2 b) 0,06386145 m2

194

MATEMÁTICA


19.4 AREAS DE PRINCIPALES REGIONES PLANAS

ÁREA DEL RECTÁNGULO

En la figura del lado, usted tiene un rectángulo de 6 cm.

de largo y 3 cm. de ancho, cuya área es de 6 x 3 = 18

cm2.

Representado por A el área del rectángulo, por “b” la

base y por “h” la altura, tendremos la fórmula.

P = 2 (b + h)

P: perímetro

Complete:

El área del rectángulo es igual al producto de la medida de …………………………

por la medida de la altura.

Calcule el área del rectángulo que tiene 5 cm. de base y 4 cm de altura.

Respuesta: ……………………..

ÁREA DEL CUADRADO

El cuadrado es un rectángulo en donde la medida de la base es igual a la medida

de la altura (b = h). Por lo tanto, el área puede ser encontrada a través de la

fórmula:

A = b . h

A = b . h

195

MATEMÁTICA


Por lo tanto:

b = 1 A = b . h

h = 1 A = 1 . 1

A = 12

Complete: - El área del cuadrado es igual al cuadrado de la medida del………………………

……………………………………………………………………………………………

- ¿Cuál es el área del cuadrado de 8 cm. de lado? …………………………………

……………………………………………………………………………………………

ÁREA DEL PARALELOGRAMO

Si usted dibuja en un papel las figuras que a continuación se le presentan y

recorta el triángulo QTR; luego lo coloca haciendo coincidir RQ con SP , le resulta

un …………………...

trapecio / rombo / rectángulo

( SIGNIFICA EXACTAMENTE IGUAL)

QT es la altura h. Área del Paralelogramo Área del cuadrilátero

TT’ (RS) es la base B del rectángulo,Luego:

P = 4 L

d = L 2

d = diagonal

P = perímetro

Área del paralelogramo A = b.h

196

MATEMÁTICA


Ejemplo:

Medida de la base = 5 (b)

Medida de la altura = 3 (h)

A = b . h

A = 5 . 3 A = 15 cm2

Es el área del paralelogramo de base b y altura h.

Complete:

Para calcular el área del paralelogramo, se utiliza la misma fórmula que se utiliza

para calcular el área del ……..…………………………………………………………..

rectángulo / cuadrado

Un paralelogramo que tiene 8 cm. De base y 3 cm. De altura, tendrá ………….cm2

de área.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Observe en la figura, que el área del triángulo QRS es

la mitad del área del paralelogramo QRTS, o sea,

tiene la misma base b y la misma altura h.

Siendo A = b . h

El área del paralelogramo, basta dividir por 2, para

obtener el área del triángulo, como muestra la fórmula.

2h . b A

Sustituyendo por las medidas de b y h del triángulo sombreado, obtendremos.

2h . b A

22,8 x 3 A A = ……………….

Respuesta: ……………

Otro ejemplo:

Calcule el área de un triángulo cuyas medidas están en el dibujo

Datos:

b = 8 cm

h = 4 cm

197

MATEMÁTICA


Fórmula: 2h . b A Complete:

2

.....................x A A = ______________ = …………………

Respuesta: …………………

ÁREA DEL ROMBO

La figura del lado representa un rectángulo (EFGH); contiene 8 triángulos

rectángulos iguales de los cuales 4 constituyen el rombo.

Por lo tanto, como el área del rectángulo es:

A = b . h

A = D . d: es entonces el área del rectángulo EFGH

Usted ve entonces que el área del rombo es la mitad del

área del rectángulo de dimensiones D y d; o sea, que el área del rombo es igual a

la mitad del producto de las medidas de las diagonales. Por tanto, el área del

rombo esta dada por la fórmula.

2

d . D A

Equivale a decir: el área del rombo es igual al semi-producto de las medidas de

sus ………………………… En la fórmula, completa sustituyendo D y d por los

valores de la figura:

2x A = ………………. cm2

Calcule el área de un rombo cuyas diagonales están

representadas en la figura:

Datos: D = 80 mm d = 50 mm

Fórmula: 2

d . D A = …………………

Respuesta:

198

MATEMÁTICA


ÁREA DE TRAPECIO

Sea el trapecio de bases B y b y altura h.

Recorte otro trapecio igual al dibujado.

Ajuste sus lados de modo que obtenga la figura del

lado. Obtiene la figura de un …………………………

………………………………………………..

trapecio / paralelogramo

El área del paralelogramo (figura total) está dada por:

A = base . h

ó A = (B + b) . h

Pero observe que el área sombreada (del trapecio) es apenas la mitad del área

del paralelogramo. De ahí que el área del trapecio será:

2h . b) (B A

Lo que equivale a decir. El área de un trapecio es igual a al mitad del producto de

la suma de las bases por la altura.

Ejemplo:

Calcular el área del trapecio cuyas bases son:

18 m y 12 m, respectivamente, y la altura 9 m.

199

MATEMÁTICA


Datos:

B = 18 m. b = 12 m. h = 9 m.

2h . b) (B A

..............................

2........ 12) (18 A x

A = ………………… m2

ÁREA DEL POLÍGONO REGULAR

Con número de lados mayor de 4.

Tomemos, por ejemplo, el hexágono regular ABCDEF representado. Este

hexágono regular puede ser dividido en 6 triángulos equiláteros.

El paralelogramo AGIJ contiene 12 triángulos equiláteros iguales, de los cuales 6

constituyen el hexágono regular dado.

Como el área del paralelogramo es A = b . h y b = 6L

h = apotema (ap)

Apotema: segmento perpendicular trazado del el centro del polígono hacia un

lado.

Entonces el área del paralelogramo AGIJ será:

A = 6L . ap

Pero esta área del paralelogramo es el doble de área del hexágono regular

(observe nuevamente la figura).

Por lo tanto. El área del hexágono regular está dada por la fórmula:

2ap . L . 6 A

200

MATEMÁTICA


Sustituyendo 6L por P (perímetro) y apotema por ap, tendremos:

2ap . P A P = perímetro

Con esta fórmula usted puede calcular el ÁREA DE CUALQUIER POLÍGONO REGULAR, desde que sean dadas las mediadas del lado y de al apotema.

Ejemplo:

a) Calcule el área del hexágono.

L = 20 mm.

ap = 17,32 mm.

2ap . P A

217,32 . 20 . 6 A =

A = …………………

b) Calcule el área del octógono.

Datos: L(8) = ……………………. mm.

ap(8) = …………………….mm.

A = ?

2........... . P A

2.......... x ....... x 8 A

= …………… mm2

ÁREA DEL CÍRCULO

Tomemos, por ejemplo, el círculo representado en el dibujo. Este círculo se dividió

en 16 partes iguales.

2.r

201

MATEMÁTICA


El paralelogramo ABCD contiene 32 partes iguales, de las cuales 16 constituyen

el círculo. El área del paralelogramo se obtiene

(Recuerde que 2 r = Perímetro de la circunferencia).

Como el área es el doble de la del círculo, entonces el

área del círculo será:

2

r .r 2 A ó A = . r2

Ejemplo:

Calcular el área:

Datos:

D = 10 cm r = 5 cm Se pide el Área

= 3,14

A = . r2 3,14 x 52 = 3,14 x …………….. = …………….…… cm2

Luego: el área del círculo de diámetro 10 cm es de ……………………. cm2

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

SECTOR CIRCULAR

Región limitada por dos radios y el arco correspondiente

º: Ángulo central

AB: arco º = AB

Sí: r2 -------------- 360º

A< -------------- º

A< = º360ºr 2

A = b . h = 2 r . r

202

MATEMÁTICA


Ejemplo:

Calcule el área del sector circular para un arco 72º, si r = 5 cm

Datos:

R = 5 cm

AB = 72º º = 72º

Fórmula: A< = º360ºr 2

= 3,14

A< = º360

)º72()5)(14,3( 2cm

A< = 5

)m(3,14)(25c 2

A< = ………….. cm2

ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR

Observe que el área de la corona sombrada es igual a la diferencia entre el área

del círculo mayor y el área del círculo menor; por lo tanto, el área será:

A = R2 - r2

Aplicando la propiedad distributiva tenemos:

A = (R2 – r2)

Ejemplo:

Calcule el área del una corona circular en la cual: D = 16 cm y d = 14 cm

Datos:

D = 16 R = 8 cm. D diámetro mayor

d = 14 r = 7 cm. d diámetro menor

Fórmula:

A = (R2 – r2)

A = 3,14 (82 – 72)

A = 3,14 (64 – 49)

A = 3,14 x 15

A = ………… cm2

203

MATEMÁTICA


SEGMENTO CIRCULAR

Región circular limitada por una cuerda y un arco. Su área está dada por la

diferencia entre el área del sector circular y el área del triángulo

360º

º . R A2

SC

BOAA

Ejemplo:

Calcule el área del segmento circular cuyo arco es 74º y su radio 5 cm.

Datos:

R = 5 cm.

AB = 74º 2 = 74º

360º

º . R A2

SC

BOAA

360º

)º(74 . (5) 14,3 A2

SC 2)34(2 x

ASC = 16,14 – 12

ASC = ………. cm2

TRAPECIO CIRCULAR

Es la parte de una corona circular limitada por dos radios de la

circunferencia mayor. Su área está dada por la diferencia entre las áreas de los

sectores circulares mayor y menor, respectivamente.

2 2

TCR º r ºA360º 360º

2 2TC

ºA (R r )360º

204

MATEMÁTICA


Ejemplo:

Calcule el área del trapecio circular de 72º de arco, sabiendo que los radios miden

10 cm. y 5 cm., respectivamente.

Datos:

Arco = 72º = 72º

R = 10 cm.

r = 5 cm.

2 2TC

2 2TC

2TC

ºA R r360º

72ºA 10cm 5cm360º

A 75cm5

ATC = …………………

EJERCICIOS:

1. Determinar el área y los perímetros

a)

Respuesta A= ………mm2 P = …….. mm

b)

Respuesta A = ……. m m2 P= ……. mm

205

MATEMÁTICA


2. Calcule el área de los siguientes polígonos:

a)

Respuesta A = ……………… mm2

b)

Respuesta A = ………………. mm2

c)

Respuesta A = ………………….. mm2

d)

Respuesta A= ………………. mm2

206

MATEMÁTICA


e)

Respuesta:

a = …………………… mm

P = …………………… mm

A = …………………… mm

3. Calcule el área de los polígonos siguientes:

a) b)

c)

d)

Respuestas: a) b) c) d)

207

MATEMÁTICA


4. Calcule el área de las figuras que siguen:

Observación:

Las medidas están en cm.

a) Respuesta …………. cm b) Respuesta …………… cm

c) Respuesta ………….. cm d) Respuesta ………….… cm

5. Calcule el área de una lámina de forma trapezoidal, cuyas bases miden,

respectivamente, 16 cm. y 12 cm., y la altura mide 8 cm.

Respuesta: …………………………………..

6. El perímetro de un cuadrado es de 52 dm. Calcule su área

Respuesta ………………………………….

7. Calcule el área del círculo, siendo el dato numérico en mm.

Respuesta: ……………………………..

208

MATEMÁTICA


8. Calcule las partes sombreadas de cada figura. Los datos numéricos se dan en

mm.

Respuesta: …………………………….

Respuesta: …………………………….

Respuesta: …………………………….

Corrija algunos ejemplos:

1. a) A = 46,24 P = 27,2 b) A = 113,15 P = 45,6

2. a) A = 693 b) A = 149,94

c) A = 685,54 d) A = 663,60

e) a = 14,9 mm P = 103,2 mm A = 768,84 mm2

3. a) 180 b) 699,867

c) 585 d) 60,2

4. a) 313,50 cm2 b) 43 cm2

c) 815 cm2 d) 24 cm2

5. 112 cm2

6. 169 dm2

7. 2 826 mm2

8. a) 107,875 mm2 b) 329,70 mm2 c) 12,56 mm2

209

MATEMÁTICA


EVALUACIÓN FINAL

1. Reduzca a las unidades que se piden:

a) 45,70 dm2 = Dm2

b) 4 Km2 = m2

c) 3,44 Hm2 = cm2

2. Calcule el área de la corona circular siguiente. Los datos están dados en

pulgadas

Respuesta: ………………………….

3. Calcule el área del rombo. Los datos se dan en cm.

Respuesta: ……………………………..

4. Calcule la parte sombreada. Los datos se dan en pulgadas.

Respuesta: …………………………

5. Calcule el área de la figura siguiente: los datos están en mm.

Respuesta: …………………..

8 5

45

16

210

MATEMÁTICA


RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN

1. a) 0,004570 Dm2

b) 4 000 000 m2

c) 344 000 000 cm2

d) 0,020540 Hm2

2. 122,46”2

3. 360 cm2

4. 260,64”2

5. 2 200 mm2

INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA

1. Área de regiones triangulares

a) Fórmula General

c) Fórmula trigonométrica d) En función de los lados

b) En función del radio de la circunferencia inscrita

b) Triangulo equilátero

2h.bA

43.A

2

2sen.b.aA

)cp)(bp)(ap(pA

2cbap

trosemiperímep:Donde

2r.pA

p: semiperímetro

211

MATEMÁTICA


c) En función del radio de la

circunferencia circunscrita

a.b.cA=4R

d) Relación de áreas

A ABN mA BNC n

2. Regiones cuadrangulares

a) Trapecio

a+bA= .h2

A=m.hDonde: m = mediana

b) En todo trapecio se cumple que:

a2 = b . c

212

MATEMÁTICA



SUPERFICIES DE CUADRILÁTEROS REGULARES

1. Convierta en

a) m2: 3,8 dm2 ; 0,78 cm2 ; 3140 mm2 ; 0,04 c m2; 3,8 m m2 b) cm2: 6,3 m2 ; 0,66 dm2 ; 2130 mm2 ; 0,03 dm2; 86,4 m2 c) dm2: 9,8 m2 ; 0,31 dm2 ; 6186 mm2 ; 0,23 m2; 0,2 mm2 d) mm2: 4,3 dm2 ; 0,04 m2 ; 7281 cm2 ; 2,12 cm2; 0,21 dm2

2. Sume en

a) m2: 0,42 m2 + 3,81 dm2 + 68,4 mm2 + 0,8 cm2 b) cm2: 3,88 cm2 + 0,82m2 + 3213 mm2 + 2,7 dm2

3. Una plancha de chapa tiene 1200 mm de largo y 580 mm de ancho. Calcule

la superficie en m2 4. Para una placa de matricula se requieren 5,72 dm2 de chapa. Calcule la

altura, siendo conocida la base de 52 cm, en mm. 5. Para una puerta de chapa se necesitan 1,89 m2 de chapa. La puerta tiene

0,9 m de ancho. Calcule la altura de la puerta en mm 6. En un paralelogramo con una superficie de 618 cm2 se busca la altura

perpendicular. La base es de 112 cm. 7. Se quiere agrandar un vano rectangular de 440 x 250 mm en 2 dm2 habiendo

de variar solamente la longitud de la base. 8. Se quiere transformar un cuadrado de 120 mm de lado en un rectángulo de

superficie equivalente de 85 mm de altura. ¿Cuál es la longitud de la base?

CALCULO DE SUPERFICIES 1. Una chapa de cubierta cuadrada de 1450 x 1450 mm está cortada por dos

cortes diagonales. Calcule una de estas superficies parciales en m2 2. Una matriz triangular con 688 mm2 de sección transversal tiene una altura

de 35 mm . Calcule la longitud de la base. 3. Una ventana de ventilación equilátera tiene una longitud de lado de 450 mm.

¿Qué superficie tiene la sección transversal de ventilación en cm2?

213

MATEMÁTICA


4. Descomponga el trapecio de las bases de 220 y 330 mm y 120 mm de altura

en dos triángulos. Determine las dos superficies parciales en cm2 5. Las bases de un trapecio han de ser en relación de 3 : 5. siendo la superficie

de 371,84 c m2 y la altura de 112 mm, calcule las bases. 6. Calcule las bases de un trapecio cuya diferencia es de 2 cm, siendo la

superficie de 735 m m2 y la altura de 21 mm. 7. Un trapecio con bases de 85 y 115 mm y una altura de 6,5 cm ha de ser

transformado en un rectángulo de igual superficies y de la misma altura. Calcule el lado que falta en cm.

SUPERFICIES CIRCULARES 1. Se cilindra un árbol a 220 mm de diámetro. ¿Cuál es su sección transversal

en c m2? 2. El eslabón de una cadena tiene una sección transversal total de 981,6 mm2.

Calcule el diámetro de la cadena (tabla) 3. una plancha de chapa rectangular de 750 x 400 mm han de cortarse discos

de 180 mm de diámetro. Calcule el número de discos. 4. En el desarrollo de un cono se mide un radio de 180 mm y un ángulo de 120°

¿Cuál es la superficie lateral en cm2? 5. En una ranura de ventilación de 240 mm de radio se mide un arco de 320

mm de longitud. ¿Cuál es la sección transversal de ventilación en cm2? 6. Para un listón de unión se requieren 78,5 mm2 de sección transversal.

Calcule la longitud del arco para un radio dado de 15 mm.

214

MATEMÁTICA



1. Calcular el área de un cuadrado

cuya diagonal mide 10 cm.

A) 50 CM2 B) 40 CM2 C) 30 CM2

D) 60 cm2 E) 70 cm2

2. El perímetro de un rectángulo es

de 40 cm. Si el largo es el triple

del ancho ¿Cuál es su área?

A) 55 cm2 B) 60 cm2 C) 75 cm2

D) 85 cm2 E) 70 cm2

3. Hallar el área de un

paralelogramo cuya base mide 12

cm., la medida del lado no

paralelo es 8 cm. y el ángulo

obtuso mide 150º

A) 45 cm2 B) 46 cm2 C) 48 cm2

D) 50 cm2 E) 54 cm2

4. Hallar el área del triángulo AMN,

si M y N son puntos medios.

A) 1 u2 B) 2 u2 C) 3 u2

D) 4 u2 E) 5 u2

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

2 2

2 2

215

MATEMÁTICA


5. El perímetro de un rombo es 52

m., la diagonal mayor mide24 m.

Calcular el área del rombo.

A) 100 cm2 B) 110 cm2 C) 120 cm2

D) 140 cm2 E) 160 cm2

6. Una diagonal de un trapecio

isósceles mide 13 m. Si la altura

es de 5 m., el área del trapecio

es:

A) 30 cm2 B) 40 cm2 C) 50 cm2

D) 50 cm2 E) 60 cm2

7. Calcular el área de un hexágono

cuyo lado mide 6 cm.

A) 54 3 cm2 B) 56 3 cm2

C) 55 3 cm2 D) 57 3 cm2

E) 58 3 cm2

8. El área de una corona circular

mide 12 cm2. Si los radios mayor

y menor se diferencian en 2 cm.,

entonces los radios suman.

A) 6 cm B) 7 cm C) 8 cm

D) 9 cm E) 10 cm

9. Calcular el área de un trapecio

circular comprendido en un

ángulo de 54º y los radios 9m y

6m respectivamente.

A) 64 πm2 B) 66 πm2 C) 68 πm2

D) 70 πm2 E) 72 πm2

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

216

MATEMÁTICA


10. Calcular el área de un sector

circular comprendido en un

ángulo de 15º, si su radio mide

6 2 m.

A) 1 m2 B) 3 m2 C) 5 m2

D) 7 m2 E) 9 m2

11. Calcular el área del segmento

circular comprendido a un ángulo

central de 90º y un radio de 8m.

A) 2(4-1) m2 B) 2(6-1) m2

C) 2(4-1) m2 D) 2(8-1) m2

E) 2(6-2) m2

12. Hallar el área de un triángulo

inscrito en una circunferencia, si

sus lados miden 5 cm., 6 cm. y 8

cm. respectivamente y el radio de

la circunferencia 12 cm.

A) 5 cm2 B) 4 cm2 C) 3 cm2

D) 2 cm2 E) 1 cm2

13. En un sector de 60ª y 15 m de

radio se halla inscritas una

circunferencia. Determina el área

de la región exterior a la

circunferencia e interior al sector

A) 102,32 cm2 B) 353,25 cm2

C) 942 cm2 D) 50 cm2

E) 350,43 cm2

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

217

MATEMÁTICA


TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES

cuadrado

A = a2

triángulo

A = B · h / 2

rectángulo

A = B · h

romboide

A = B · h

rombo

A = D · d / 2

trapecio

A = (B + b) · h / 2

polígono regular

A = P · a / 2 (1)

círculo

A = · R2

P = 2 · · R

corona circular

A = · (R2 r2)

sector circular

A = · R2 · n / 360

cubo

A = 6 · a2

V = a3

cilindro

A = 2 · · R · (h + R)

V = · R2 · h

ortoedro

A = 2 · (a·b + a·c + b·c)

V = a · b · c

cono

A = · R2 · (h + g) (2)

V = · R2 · h / 3

prisma recto

A = P · (h + a)

V = AB · h (3)

tronco de cono

A = · [g·(r+R)+r2+R2]

V = · h · (R2+r2+R·r) / 3

218

MATEMÁTICA


tetraedro regular

A = a2 · 3

V = a2 · 2 / 12

esfera

A = 4 · · R2

V = 4 · · R3 / 3

octaedro regular

A = 2 · a2 · 3

V = a3 · 2 / 3

huso. cuña esférica

A = 4 · ·R2 · n / 360

V = VE · n / 360

pirámide recta

A = P · (a + a') / 2

V = AB · h / 3

casquete esférico

A = 2 · · R · h

V = · h2 · (3·R h) / 3

(1) P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema

(2) g es la generatriz ; es la raíz cuadrada del número

(3) AB es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ;

PROBLEMAS PROPUESTOS nivel III 1. En un triángulo ABC, la altura y la mediana relativa al lado AC, trisecan al

ángulo B. Calcule el área (en cm2) de la región triangular ABC. Si AC = 8 cm. A) 82 B) 83 C) 25 D) 103 E) 63 2. Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC miden 30 cm, 26 cm y 28 cm

respectivamente, Calcule el área (en cm2) de la región triangular AIC, siendo I el incentro del triángulo ABC.

A) 224 B) 56 C) 112 D) 336 E) 28 3. Halle le área (en cm2) de la región de un triángulo rectángulo, si el cateto

menor mide 23 cm menos que el otro cateto y este 2 cm menos que la hipotenusa.

A) 210 B) 105 C) 420 D) 336 E) 115 4. Un cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo, si uno de sus lados descansa

sobre la hipotenusa de dicho triángulo. Si la hipotenusa y la altura relativa a ella miden 20 cm y 5 cm respectivamente. Halle el área (en cm2) de la región cuadrangular PQRS.

A) 16 B) 32 C) 24 D) 21 E)18 cm2

219

MATEMÁTICA


UNIDAD 20

MEDIDAS DE VOLUMEN

220

MATEMÁTICA


20.0 VOLUMEN

20.1 MEDIDAS DE VOLUMEN

El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se

debe ver cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como

unidad de medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un

cubo de un metro de lado.

Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus

múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000

20.2 REPRESENTACIÓN Y LECTURA

Como las unidades de volumen varían de 1000 en 1000, la cantidad 43,2

dm3 es conveniente escribirla 43,200 dm3 y se lee: cuarenta y tres decímetros

cúbicos y doscientos centímetros cúbicos.

3,48 m3 se lee: Tres ……………………………………………….

2,30 m3 se lee: …………………………………………………….

13,1 m3 se lee: …………………………………… …………….

0,2 m3 se lee: …………………………………………………….

0,27 m3 se lee: …………………………………………………….

17,4 m3 se lee: …………………………………………………….

58,475 m3 se lee: …………………………………………………….

100,1 m3 se lee: …………………………………………………….

100,01 m3 se lee: …………………………………………………….

100,001 m3 se lee: …………………………………………………….

1 m 1 m

1 m 1 m3

m3 = Volumen de un cubo de 1m de arista

221

MATEMÁTICA


20.3 CONVERSION DE MEDIDAS DE VOLUMEN

SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO EQUIVALENCIAS ENTRE DISTINTAS UNIDADES DE MEDIDA PARA EL AGUA

Las unidades de volumen, capacidad y peso del agua están relacionadas: Un litro de agua a 4º C de temperatura peso 1 kg y ocupa un volumen de 1 dm3. Capacidad Volumen 1 litro equivale 1dm3 Peso Volumen 1 kg equivale 1dm3

decímetro cúbico dm3 1 dm3 = 0,001 m3

centímetro cúbico cm3 1 cm3 = 0,001 dm3

milímetro cúbico mm3 1 mm3 = 0,001 cm3

1m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3

MÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO

decámetro cúbico dam3 1 dam3 = 1 000 m3

hectómetro cúbico hm3 1 hm3 = 1 000 dam3

kilómetro cúbico km3 1 km3 = 1000 hm3

1m3 = 0,001 dam3 = 0,000 001 hm3 = 0,000 000 001 km3

Para realizar la conversión de unidad de medida de volumen en el sistema

métrico debemos de tener en cuenta lo siguiente:

1. Para pasar de una unidad a otra inmediata inferior, se debe multiplicar

por 1000.

2. Para pasar por una unidad a otra inmediata superior, se debe dividir por

1000.

En la práctica, basta con correr la coma hacia la izquierda o hacia la derecha.

Construyamos, para facilitar, una escalera con las unidades de medidas de

volumen.

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

222

MATEMÁTICA


Cada grada que usted descienda,

la coma se desplaza hacia la

derecha cifras por cada grada.

Ejemplo:

2,5326 hm3 = 2 532 600 m3

0,38 m3 = …………… dm3

0,001532 dam3 ………………cm3

Cada grupo que usted sube, la coma se desplaza hacia la izquierda, tres cifras por cada grada.

Ejemplo:

108,42 dm3 = 0,108 42 m3

5083 m3 = ……………. Km3

Concluyendo:

Unidad

inmediatamente

superior

Unidad

inmediatamente

inferior

0,0345697 dam3 = 34,5697 m3 = 34569,7 dm3

La coma se desplaza

tres lugares

izquierda para Derecha

Siempre que sea necesario agregue ceros.

hm3

223

MATEMÁTICA


Para comprobar sus conocimientos, haga estas transformaciones

1. 5,86 dam3 a dm3

2. 183,2 cm3 a dam3

3. 12,05 m3 a cm3

4. 78350 dm3 a dam3

Sus respuestas deben ser

1. 5860000 dm3

2. 0,00000018320 dam3

3. 12050000 cm3

4. 0,07835 dam3

EJERCICIOS:

1. Transforme en metros cúbicos. Observe antes los ejemplos:

a) 14542,75 cm3 = 0,01454275 m3

b) 0,72 dm3 = 0,00072 m3

c) 2 mm3 = 0,000000002 m3

d) 81 dm3 = ……………………………... m3

e) 0,04512 dam3 = ……………………… m3

f) 1415,30 cm3 = ………………………. m3

g) 545,1257 hm3 = …………………….. m3

Ahora corrijamos:

1. d) 0,081 e) 45,120 f) 0,00141530

g) 545125700

Continúe…

2. Complete:

a) 2,12 m3 + 31,45 dm3 + 12 cm3 = ……………………………mm3

b) (5,12 m3 + 588,50 dm3) – 30 050 cm3 =…………………… mm3

3. Complete:

224

MATEMÁTICA


a) 4,50 m3 + 45 dm3 + 445 mm3 = ……………………………………cm3

b) 0,85 m3 + 15 dm3 – 5 000 mm3 = ……………………………….. cm3

4. Complete:

a) 4 m3 + 1 245 cm3 + 500 000 mm3 = ………………………………dm3

b) 100 000 mm3 + (0,9 m3 – 5 000 cm3) = ………………………… dm3

5. Complete:

a) 6,45 dm3 – (6,45 mm3 + 6,45 cm3) = ……………………………..m3

b) (6,45 dm3 + 6,45 mm3 – 6,45 cm3) = …………………………… m3

20.4 VOLUMEN DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

20.4.1 POLIEDRO

Un poliedro es una figura que limita una región del

espacio mediante cuatro o más regiones poligonales planas.

20.4.2 PRISMA

Es un poliedro, dos de cuyas caras son regiones poligonales

congruentes y paralelas, siendo las otras, regiones

paralelográmicas.

LOS PRISMAS SE PUEDEN CLASIFICAR EN:

Prismas Rectos.- Cuando las caras laterales son perpendiculares a las bases,

en este caso las caras laterales son rectángulos y la arista lateral coincide con

la altura.

Prismas Oblicuos.- Cuando las caras laterales son oblicuas a las bases.

Prismas regulares.- Cuando el prisma es recto y las bases son polígonos

regulares.

h

Prisma recto Prisma oblicuo Prisma regular

225

MATEMÁTICA


2

3

6

aAt

totalareaAt

ladooaristaa

volumenV

aV

ORTOEDROS

Un ortoedro es un paralelepípedo ortogonal,

es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos

diedros rectos. los ortoedros son prismas

rectangulares rectos, y también son llamados

paralelepípedos rectangulares. Las caras

opuestas son congruentes y paralelas. Tienen 6

caras y 4 diagonales.

Para calcular la diagonal : AREAS Y VOLUMENES DEL PRISMA

a b

h

Paralelepípedo recto

a Cubo

Prisma recto

a

b

c

d

2222 cbad

alturah

baseladeladosba

volumenV

bhahabAt

altoanchool

hbaV

,

222)arg(

At Área total

totalárea Aalturah

base de áreaBhperimetro 2B A

hB V

t

t

h

226

MATEMÁTICA


20.4.3 PIRÁMIDE

Es un poliedro, que tiene por base un polígono. Las caras laterales son

triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

LAS PIRAMIDES SE CLASIFICAN:

1. Por el número de lados de la base pueden ser: pirámide triangular, pirámide

cuadrangular, etc.

2. Por su forma pueden ser : regular ( si la base es un polígono regular y la

altura cae en el centro de la base); irregular; convexa (cuando la base del

polígono es convexo) y cóncavo

h

Pirámide

OBSERVACIÓN:

Si la pirámide es regular:

Donde:

P : semiperimetro

aP : apotema de la pirámide

aB : apotema de la base

SECCIÓN TRANSVERSAL

En la figura se observa que EFGM

es paralelo con ABCD, es sección

transversal de la pirámide de área AB

Aquí se cumple que :

3

3

2

2

B

B

Hh

Hh

AA

ABCD- VVolumen

EFGM- VVolumen y

alturah

baseladeareaB

volumenV

hBV

3

Área lateral = AL = Suma de áreas de caras laterales Área total = AL + B

AL = p.aP

AL = p.( aP + aB )

aP

aB

V

h

h

227

MATEMÁTICA


PROBLEMAS:

Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras

espaciales:

a) .

b) .

c)

d) .

Prisma recto

m ABC = 90º

12

8 6

Prisma regular hexagonal

33

4

cubo

2

Pirámide regular, de base cuadrangular

h = 2

h

10

228

MATEMÁTICA


e) ..

f) ..

20.4.4 CILINDRO

Un cilindro es una figura geométrica formada por media

revolución de un rectángulo. Consta de tres lados: dos caras

idénticas circulares unidas por un plano curvo y cerrado

perpendicular a ambas caras.

El volumen, V, de un cilindro con una base de radio R, y

altura o generatriz, H, es el área de la base (un círculo) por

la altura, es decir:

H.RV 2

El área lateral, AL, de un cilindro con una base de radio R, y altura, H, es:

ABCD : cuadrado

EB 3 ; AB 4

EB ABCD

H = g

R

AL 2R.H

EA H

AB BC

9

9 12

229

MATEMÁTICA


AT 2.AB + AL = 2.R2 + 2.R.H = 2.R.(R + .H )

2R

R

CILINDRO ABIERTO

AB : Area de la Base

La superficie o área total, AT, de un cilindro con una base de radio r, y

altura, h, es:

20.4.5 CONO

Un cono, es un sólido formado por la

revolución de un triángulo rectángulo

alrededor de uno de sus catetos. Al círculo

generado por el otro cateto ( R ) se denomina

base y al punto donde confluyen los lados

opuestos se llama vértice (V) y la hipotenusa

generatriz ( g )

En un cono de revolución :

o Hay solo una base: círculo de radio R

o La generatriz (g) no es congruente a la altura (H)

Si pudiéramos abrir un cono a través de su generatriz,

tendríamos el desarrollo de su superficie lateral del

cono en revolución, como se observa en la figura tiene

la forma de un sector circular, con igual radio a “g” .

o Area lateral (AL):

o Area Total (AT):

V Eje

g H

R BA O

g

2R

AL = .R.g

AT = AB + AL = .R2 + .R.g = .R( R + g )

230

MATEMÁTICA


A = 4R2

A zona esférica = 2R.h

Donde AB es el Área de la base (círculo)

o Volumen :

20.4.6 ESFERA

Es generada por la rotación (360º) de un semicírculo

alrededor del diámetro.

La intersección de cualquier plano con la esfera, origina

círculos como sección. Si un plano pasa por el centro de la

esfera, se obtiene como sección un circulo mayor .

Propiedades:

Si se traza el radio perpendicular a un círculo

menor, este radio pasa por el centro de dicho

círculo.

Fórmula para hallar el área de una esferas es:

El volumen de la esfera se calcula con la siguiente fórmula:

De la esfera una porción de su superficie entre

dos planos paralelos se llama zona esférica y la

formula es: .

Si una zona tiene solo una base, a esta superficie

se le llama casquete esférico; su área se calcula

así:

V = 31R2H

R

Eje

V = 34R3

A casquete = .AB2

231

MATEMÁTICA


r = 2 3 cm m = OEC = 30º

PROBLEMAS:

Hallar el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes figuras

espaciales:

a) .

b)

c)

d) .

e) .

232

MATEMÁTICA


f)

g) .

h) .

i)

Resuelva los siguientes problemas:

1) Calcular la longitud de la arista del cubo donde la distancia del vértice al

centro de la cara opuesta es 6 m.

2) Hallar el volumen del cilindro, si la altura es dos veces el radio. Radio del

cilindro es 2m.

233

MATEMÁTICA


3) 6.-Hallar el área lateral del cono recto, si el radio del cono es 2m, y su

ángulo del vértice del cono es 60.

4) El área total de un cubo es numéricamente igual al volumen. ¿Cuánto mide

su arista?

5) El volumen de una esfera es numéricamente igual a su área. Calcular su

radio.

6) El volumen del cilindro es 30m3. El volumen de la esfera inscrita en dicho

Cilindro es:

7) Un recipiente de agua paralelepípedo de 0,8 x 0,45 x 1,5 m se llena con

agua. ¿Cuántos litros caben en él?

8) Un recipiente de aceite con una base de 60 x 40cm está lleno con 140 dm 3

de aceite ¿Qué altura tiene el nivel de aceite en cm?

9) Transforme un prisma cuadrado de 35 mm de lado en un cilindro de igual

volumen y altura. Calcule el diámetro.

10) El diámetro superior de un balde de agua es de 290 mm, el diámetro inferior

de 180 mm, la altura 320 mm ¿Cuántos litros caben en el balde?

234

MATEMÁTICA


TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES

cuadrado

A = a2

triángulo

A = B · h / 2

rectángulo

A = B · h

romboide

A = B · h

rombo

A = D · d / 2

trapecio

A = (B + b) · h / 2

polígono regular

A = P · a / 2 (1)

círculo

A = · R2

P = 2 · · R

corona circular

A = · (R2 r2)

sector circular

A = · R2 · n / 360

cubo

A = 6 · a2

V = a3

cilindro

A = 2 · · R · (h + R)

V = · R2 · h

ortoedro

A = 2 · (a·b + a·c + b·c)

V = a · b · c

cono

A = · R2 · (h + g) (2)

V = · R2 · h / 3

235

MATEMÁTICA


prisma recto

A = P · (h + a)

V = AB · h (3)

tronco de cono

A = · [g·(r+R)+r2+R2]

V = · h · (R2+r2+R·r) / 3

tetraedro regular

A = a2 · 3

V = a2 · 2 / 12

esfera

A = 4 · · R2

V = 4 · · R3 / 3

octaedro regular

A = 2 · a2 · 3

V = a3 · 2 / 3

huso. cuña esférica

A = 4 · ·R2 · n / 360

V = VE · n / 360

pirámide recta

A = P · (a + a') / 2

V = AB · h / 3

casquete esférico

A = 2 · · R · h

V = · h2 · (3·R h) / 3

tronco de pirámide

A=½(P+P')·a+AB+AB'

V = (AB+AB'+AB·AB') · h/3

zona esférica

A = 2 · · R · h

V = ·h·(h2+3·r2+3·r'2) / 6

(1) P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema

(2) g es la generatriz ; es la raíz cuadrada del número

(3) AB es el área de la base ; h es la altura ; R y r son los radios ;

236

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