Estado de Esfuerzo

3.1 Fuerzas de superficie y de cuerpoConsideraremos que las fuerzas que pueden actuar sobre un

medio continuo pueden ser de dos tipos: fuerzas de superficie o

de cuerpo (masicas)

3.1.1 Fuerzas de cuerpo

Sea b ( x ,t )la descripción espacial del campo vectorial; fuerzas de cuerpo por unidad de masa. Multiplicando el vector de fuerzas de cuerpo b ( x ,t ) por la densidad ρ, se obtiene el vector de fuerzas de cuerpo por unidad de

volumen pb ( x ,t ) (densidad de fuerzas másicas). La

resultante total, f v, de las fuerzas másicas sobre el

volumen material V de la representacin 3.1.11 f v=∫ pb ( x ,t )dv

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Figura 3.1.11

Definición

Fuerzas de cuerpo: son las fuerzas que se ejercen a distancia sobre las partículas del interior del medio continuo. Ejemplos de dicho tipo de fuerzas son las fuerzas gravitatorias, las inerciales o las de atracción magnética.

Figura 3.1.21

Definición

Fuerzas superficiales: fuerzas que actúan sobre el contorno del volumen material considerado. Pueden considerarse producidas por las acciones de contacto de las partículas situadas en el contorno del medio con el exterior del mismo.

3.1.2 Fuerzas superficiales

Sea t ( x , t ) la descripción espacial del campo vectorial de fuerzas superficiales por unidad de superficie en el medio continuo que se representa en el 3.1.21. La fuerza resultante sobre un elemento diferencial de superficie dS será t ∙ dSy la resultante total de las fuerzas de superficie actuando en el contorno ∂ddel volumen V.

3.2 Teorema de Cauchy

Se considera un medio continuo sobre el que actúan las correspondientes fuerzas másicas y superficiales (representacion 3.2.1). Consideremos también una partícula P del interior del medio continuo y una superficie arbitraria, que pasa por el punto P y de normal unitaria n en dicho punto, que divide al medio continuo en dos partes (volúmenes materiales). En la superficie de corte, considerada ahora como parte del contorno de cada uno de estos volúmenes materiales, actuarán las fuerzas superficiales debidas al contacto entre ambos. Sea t el vector de tracción que actúa en el punto P considerado como parte del contorno del primero de estos volúmenes materiales. En principio este vector de tracción (definido ahora en un punto material del interior del medio continuo original) dependerá:

1) De cuál sea la partícula considerada.

2) La orientación de la superficie (definida a través de la normal n)

3) Cuál sea la propia superficie de corte.

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Postulados de Cauchy

1° Postulado de Cauchy

El vector de tracción que actúa en un punto material P de un medio continuo según un plano de normal unitaria n, depende únicamente del punto P y de la normal n t=t (P ,n )

2° Postulado de Cauchy

El vector de tracciones en un punto P de un medio continuo, según un plano de normal unitaria n, es igual y de sentido contrario al vector de tracciones en el mismo punto P según un plano de normal unitaria –n en el mismo punto.

t (P ,n )=−t (P .−n )

Representación 3.2.1

3.3 Tensor de Fuerzas

Introducción

Consideremos un sistema discreto de partículas en movimiento, tal que una partícula genérica i del mismo tiene una masa mi, una velocidad v iy una aceleración

a i=d v idt

. Sobre cada partícula i actúa además una fuerza

f i que se relaciona con su aceleración a través de la segunda ley de Newton

f i=miai

y la resultante R de las fuerzas que actúan sobre todas las partículas del sistema resulta ser:

R=∑i

f i=∑i

mia i

Estos conceptos anteriores se generalizan en medios continuos entendidos como sistemas discretos constituidos por un número infinito de partículas. En este caso la aplicación de la segunda ley de Newton a un medio continuo de masa total M, sobre el que actúan unas fuerzas exteriores caracterizadas por el vector de densidad de fuerzas másicas, pb ( x , t )y el vector de

tracción t ( x , t )cuyas partículas tienen una aceleración,

a ( x , t ) y que ocupa en el instante t el volumen de espacio

v t se escribe:

3.31Tensor de fuerzas o Tensor de tensores

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Representación 3.3.1

Consideremos ahora el caso particular de volumen material constituido por un tetraedro elemental situado alrededor de una partícula arbitraria P del interior del medio continuo, y orientado según se muestra en 3.3.1. Sin pérdida de generalidad puede situarse el origen de coordenadas en P.

El tetraedro tiene un vértice en P y sus caras quedan definidas mediante un plano de normal n≡ {n1 ,n2, n3 ,}que intersecta con los planos coordenados definiendo una superficie genérica de

área S (la base del tetraedro) a una distancia h (la altura del tetraedro) del punto P. A asu vez, los planos coordenados definen las otras caras del tetraedro de áreas S1 , S2Y S3con

normales (hacia fuera) −e1 ,−e2 y−e3, respectivamente. Por consideraciones geométricas pueden establecerse las relaciones:

3.4 Esfuerzos y direcciones principales

Consideremos el tensor de tensiones σ. Al tratarse de un tensor de segundo orden simétrico diagnostica en una base ortonormal y sus autovalores son reales. Consideremos, pues, su matriz de componentes en la base cartesiana ( x , y , z )

En el sistema cartesiano (x ´ , y' , z ´ )en el que σ diagonaliza su matriz de componentes será:

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Para obtener las direcciones y tensiones principales, se debe plantear el problema de autovalores asociado al tensor σ. Es decir, si λ y v son un autovalor y su correspondiente autovector, respectivamente, se plantea:

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Para que la solución de este sistema sea no trivial (distinta de 0 =v), el determinante que tiende a ser igual a cero, es decir:

Esta ecuación polinómica de tercer grado en λ. Siendo el tensor σ simétrico, sus tres

soluciones, (λ1≡σ1 , λ2≡σ2 , λ3≡σ 3) son reales. Una vez hallado los autovalores y ordenados

según el criterio σ 1≥σ2≥σ3se puede obtener el vector propio v tpara cada tensión, σ i resolviendo el sistema

De esta manera se proporciona una solución no trivial para los autovectores v tortogonales entre sí, la cual, una vez normalizada, define los tres elementos de la base correspondientes a las tres direcciones principales.

3.5 Representación grafica del estado de esfuerzo.

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Fuentes de Información

1. http://www.itvillahermosa.edu.mx/docs/oferta/ingcivil/ temario2010/4semestre/FundamentosdeMecanicadelosMediosContinuos.pdf

2. http://switch2011.upa.edu.mx/biblioteca/Ingenier%C3%ADa/%5Bebook %5D%20Edicions%20UPC%20-%20Mec%C3%A1nica%20de%20medios%20continuos%20para%20ingenieros%20-%20Spanish%20Espa%C3%B1ol.pdf

3. Libro de Mecánica de medios continuos para ingenieros, Autores: Eduardo Vieira, Chaves Eduardo Car, Xavier Oliver Olivella, Carlos Agelet de Saracíbar Bosch

4. Libro de Mecanica del Medio Continuo, GEORGE E. MASE, Pb. D.

5. Continuos para Ingenieros. México: Alfa Omega, 2002.

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