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  • 5/21/2018 Ejercicios de Amortizacion

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    DOMINGO GONZLEZ GARCA

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    EJERCICIOS DE REPASO DE PRSTAMOS.

    http:://www.matematicas-financieras.com

    1. Concepto de prstamo

    El prstamo es una operacin financiera de prestacin nica y contraprestacin mltiple. Enella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C0) a otra (llamadaprestatario) que lo recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el (los)vencimiento(s) pactado(s) y a pagar unos intereses (precio por el uso del capital prestado)en los vencimientos sealados en el contrato.

    La operacin de amortizacin consiste en distribuir con periodicidad la devolucin delprincipal (C0), junto con los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida delprstamo. Los pagos peridicos que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad dereembolsar, extinguir o amortizar el capital inicial. Esto justifica el nombre de operacin deamortizacin y el de trminos amortizativos que suele asignarse a estos pagos.

    1.1. PRINCIPALES SISTEMAS DE AMORTIZACIN DE PRSTAMOS

    Segn la finalidad a la que se destinen los trminos amortizativos es posible admitir diversasinterpretaciones de amortizacin, es decir, diferentes formas de llevar a cabo la amortizacin(devolucin) del capital inicial: es lo que se denomina sistema amortizativo o sistema deamortizacin del prstamo.

    a) Prstamos amortizables mediante reembolso nico del principal al final de la operacin.

    Sin pago peridico de intereses: prstamo simple. Con pago peridico de intereses: sistema americano.

    b) Prstamos reembolsables mediante una serie de pagos peridicos que constituyan renta,esto es, fraccionamiento del principal en varios pagos parciales (cuotas de amortizacin) convencimientos peridicos, que se pagan conjuntamente con los intereses, formando lostrminos amortizativos.

    Segn la cuanta de los trminos amortizativos, podemos distinguir los siguientes casos:

    Trminos amortizativos constantes. Trminos amortizativos variables:

    Cuota de amortizacin constante.Trminos amortizativos variables en progresin geomtrica.Trminos amortizativos variables en progresin aritmtica.

    Todo ello con independencia de que los intereses se paguen con una frecuencia u otra, seanfijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de cada perodo.

    Estudiando la evolucin de la deuda pendiente se observa que sta crece en el interior decada uno de los perodos en los que se divide la operacin, para disminuir al final de losmismos como consecuencia de la entrega del trmino amortizativo.

    Se producen, por tanto, dos movimientos de signo contrario en cada uno de los perodos:uno de crecimiento por efecto de los intereses generados y otro de disminucin por el pagodel trmino amortizativo. La suma de estos dos movimientos nos da la variacin total de ladeuda pendiente al final del perodo. Esta variacin supondr una disminucin de la deudacaso de ser el trmino amortizativo mayor que los intereses generados en el perodo ysupondr un incremento de la deuda en el supuesto contrario, es decir, la cuota de inters

    mayor que el trmino amortizativo. En el caso concreto de que la cuanta del trminoamortizativo coincida con la cuota de inters no habr variacin de la deuda.

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    El grfico de evolucin de la deuda pendiente de un prstamo y los pagos realizados durantetres perodos ser el siguiente:

    1.2. NOMENCLATURA PARA PRSTAMOS DE AMORTIZACINFRACCIONADA

    La terminologa utilizada ser la siguiente:

    C0: Importe del prstamo, cantidad financiada.n: Nmero de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene contrada la deuda.

    i: Tipo de inters efectivo convenido (coste de la financiacin).ak: Trmino amortizativo al final del perodo k, pago total realizado por el prestatario en cadavencimiento (mensual, trimestral, semestral, ...).

    ak= Ik+ Ak

    Ik: Cuota de inters del perodo k, cantidad destinada a remunerar al prestamista por elperodo correspondiente.Ak: Cuota de amortizacin del perodo k, cantidad destinada a devolver deuda en cadavencimiento.Ck: Capital pendiente de amortizacin en el momento k. Tambin se llama capital vivo, saldode la operacin o reserva matemtica.mk: Capital total amortizado al final del perodo k.

    1.3. GENERALIDADES

    1. Los intereses de cada perodo se calculan sobre el capital vivo a principio del perodo.

    Ik= Ck-1x i

    2. El parmetro que amortiza directamente el capital es la cuota de amortizacin (A), eindirectamente el trmino amortizativo.3. El capital a amortizar siempre es la suma aritmtica de todas las cuotas de amortizacin.

    C0= A1+ A2+ + An

    4. El capital vivo (pendiente) es la suma aritmtica de las cuotas de amortizacin que

    queden por amortizar.

    Ck= Ak+1+ Ak+2+ + An

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    Aunque tambin se obtiene por la diferencia entre el importe del prstamo y el totalamortizado hasta ese momento.

    Ck= C0(A1+ A1+ + Ak) = C0mk

    Sin embargo, y a pesar de la sencillez de los sistemas anteriormente comentados, lo msfrecuente consiste en fraccionar la devolucin de la deuda destinando los trminosamortizativos simultneamente a pagar los intereses devengados en el perodo y cancelarparte de la deuda pendiente.

    En estos casos resulta til recoger en un cuadro el proceso de amortizacin del capital,reflejando de forma clara y concisa el valor que toman las principales variables en losdiversos vencimientos de la operacin.

    La denominacin ser la de cuadro de amortizacin, y en l vamos a reflejar las cuantas delos trminos amortizativos (ak), las cuotas de intereses (Ik) y las cuotas de amortizacin (Ak)correspondientes a cada uno de los perodos, as como las cuantas del capital vivo (Ck) y del

    capital amortizado (mk) referidos a cada perodo de la operacin.

    El cuadro resultante es:

    PerodosTrmino

    amortizativointers

    Cuota deCuota de

    amortizacinTotal

    amortizadoCapital

    vivo

    0

    1

    2

    n

    a1

    a2

    I1= C0x i1

    I2= C1x i2

    A1= a1I1

    A2= a2I2

    m1= A1

    m2 = A1 + A2

    C0

    C1= C0

    A1

    C2= C0

    A1A2

    EJEMPLO 1

    Construir el cuadro de amortizacin del siguiente prstamo:

    Importe: 30.000 euros. Devolucin del principal en tres pagos anuales vencidos de igual cuanta. Tipo de inters anual del 10%.

    Grficamente, el esquema de pagos de la operacin es:

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    Cuadro de amortizacin:

    (5) (4) (1) (2) (3)

    AosTrmino

    amortizativoCuota deinters

    Cuota deamortizacin

    Totalamortizado

    Capitalvivo

    0

    1

    2

    3

    13.000,00

    12.000,00

    11.000,00

    3.000,00

    2.000,00

    1.000,00

    10.000,00

    10.000,00

    10.000,00

    10.000,00

    20.000,00

    30.000,00

    30.000,00

    20.000,00

    10.000,00

    Total 36.000,00 6.000,00 30.000,00

    Descripcin de los pasos a seguir para construir el cuadro:

    (1) Se calcula la cuota de amortizacin a travs del fraccionamiento en pagos iguales delimporte del prstamo.(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortizacinpracticadas hasta la fecha.(3) La deuda pendiente se obtendr de restar al capital a principios de cada perodo la cuotade amortizacin de ese mismo perodo, o bien, al importe del prstamo (C0) se le resta eltotal amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de inters se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada perodo

    (3).(5) El trmino amortizativo de cada perodo ser la suma de las columnas (1) y (4)

    2. Reembolso nico sin pago peridico de intereses prstamosimpleSe trata de diferir la devolucin del capital y de los intereses devengados hasta el final de laoperacin, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

    Grficamente:

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    Para el prestatario esta operacin solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada(cobro) en el origen, por el importe del prstamo, y otro al final, de salida (pago), por elimporte del prstamo ms los intereses devengados y acumulados.

    La acumulacin de intereses se puede realizar tanto en rgimen de capitalizacin simplecomo en compuesta.

    EJEMPLO 2

    Se solicita el siguiente prstamo simple:

    Capital prestado: 100.000 euros. Duracin: 3 aos. Inters del 12% anual.

    Se pide:

    Determinar el capital a devolver.

    3. Reembolso nico con pago peridico de intereses prstamoamericanoSe trata de diferir la devolucin del capital y de los intereses devengados hasta el final de laoperacin, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

    Grficamente:

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    Para el prestatario esta operacin solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada(cobro) en el origen, por el importe del prstamo, y otro al final, de salida (pago), por elimporte del prstamo ms los intereses devengados y acumulados.

    La acumulacin de intereses se puede realizar tanto en rgimen de capitalizacin simplecomo en compuesta.

    EJEMPLO 2

    Se solicita el siguiente prstamo simple:

    Capital prestado: 100.000 euros. Duracin: 3 aos. Inters del 12% anual.

    Se pide:

    Determinar el capital a devolver.

    4. Amortizacin con trminos amortizativos constantes mtodofrancs

    Este sistema de amortizacin se caracteriza porque:

    Los trminos amortizativos permanecen constantes, y El tanto de valoracin permanece constante.

    ambos durante toda la vida del prstamo.

    De esta forma al principio