AMORTIZACINDEFINICION: La amortizacin es el proceso financiero mediante el cual la deuda u obligacin y los intereses que generan, se extinguen progresivamente por medios de pagos peridicos o servicios parciales, que puedan iniciarse conjuntamente con la percepcin del efectivo recibido (flujos anticipados), al vencimiento de cada periodo de pago (flujos vencidos), o despus de cierto plazo pactado originalmente (flujos diferidos). De cada pago, cuota o servicio, una parte se aplica a cubrir el inters generado por la deuda y el resto a disminuir el saldo insoluto. Se infiere que si el pago parcial efectuado es tan pequeo que no puede cubrir ni siquiera el inters generado por el saldo insoluto, entonces la diferencia no cubierta es capitalizada.A partir del da siguiente al vencimiento de cada cuota, si esta no hubiese sido amortizada completamente, la parte no amortizada de ella, entrara en mora generando diariamente un inters de mora, independiente del inters compensatorio que genera el saldo insoluto.1. TABLA DE REEMBOLSO DE PRSTAMOS O SERVICIO DE LA DEUDASe emite una tabla referencial de reembolso, conjuntamente con el desembolso inicial del prstamo, cuando este se otorga en partes o con su desembolso total, llamada as porque su elaboracin supone:a) El desembolso del crdito en una nica armada.b) La invariabilidad de la tasa de inters durante todo el plazo del crdito.c) La cancelacin de las cuotas exactamente el da de su vencimiento.

Elementos de la tabla de reembolsos: Mayormente se adoptan 2 modelos de reembolsos.MODELO 1:N fechaCuota o servicioIntersAmortizacinSaldo insolutoDeuda extinguida

MODELO 2N o fechaCuota o servicioCuota intersCuota capitalDeuda residual

Deuda extinguida

DESCRIPCION DEL CONTENIDO DE LOS MODELOS: N fecha: Indica el nmero de la cuotao servicio, de la fecha de vencimiento.

Cuota o servicio:Es la suma de la cuota de inters y de la cuota del capital. El servicio puede incluir la cuota total o solo la cuota capital, de acuerdo como se haya pactado el prstamo.

Cuota inters:Es el importe devengado por la aplicacin de la tasa peridica del prstamo sobre la deuda residual.

Cuota capital: Es el importe calculado de acuerdo al sistema de reembolso pactado. Al vencimiento de cada cuota disminuye la deuda residual.

Deuda residual: Es el saldo del prstamo original que se origina en cualquier momento o circunstancia. El momento o la deuda residual es igual al importe recibido en el prstamo.

Deuda extinguida: Es el importe acumulado de las cuotas capitales vencidas. El vencimiento de todos los servicios ser igual al importe original del prstamo.2. SISTEMAS DE REPAGO DE PRESTAMOSPara reembolsar un prstamo, formalizado mediante un contrato con una entidad financiera y regulado por las entidades competentes, pueden aplicarse diversos sistemas de repago, limitados o solamente por el principio de equivalencia financiera por medio de la cual la suma de las cuotas evaluadas a valor presente con la tasa de inters o combinacin de tasas pactadasen el cual deben ser iguales al importe del crdito original. Los principales sistemas de repago de prstamos son:SISTEMA DE REPAGO

MODALIDAD

Cuotas constantes (Francs) Vencidas Vencidas en periodos variables Anticipadas Diferidas

Amortizacin constante (Alemn)

Inters constante (Ingles)

Cuotas crecientes Aritmticamente Geomtricamente Peridicamente Suma de dgitos

Reajuste de deudas

Combinados

DESCRIPCION: Cuota constante: Calculada con el FRC, se compone de la cuota de inters y la cuota capital. La primera es generada por la deuda residual y la segunda esta constituidapor la diferencia de la cuota constante y la cuota de inters, ya que tiene por objeto disminuir el capital adeudado. A medida que se devenga cada servicio, la cuota capital experimenta un incremento geomtrico de razn (1+i) cuyo importe es igual al decremento que experimenta la cuota inters. Amortizacin constante:Se calculada dividiendo el importe del prstamo original entre el nmero de servicios. Este sistema origina en cada servicio una cuota inters decreciente aritmticamente.

Inters constante:Da a conocer que al vencimiento de cada servicio se paga solo el inters devengado por la deuda residual y en el ltimo servicio, adems del inters se amortiza el capital. Cuotas crecientes: Se incrementa de acuerdo con una ley predeterminada: progresin aritmtica, progresin geometra, series escaladas, etc.

Reajuste de deudas: Se realiza sobre la base de un factor de indexacin.

Sistemas combinados: Agrupa algunos de los descritos anteriormente o incluso otros sistemas.

3. CUOTAS CONSTANTES VENCIDASEn el sistema de repago por medio de cuotas constates, conocido tambin como mtodo francs, las cuotas son calculadas con el FRC. 3.1 Clculo de la cuota constante cuando el prstamo se desembolsa en partesLos crditos aprobados por las entidades bancarias pueden desembolsarse total o parcialmente, efectuando los respectivos abonos en la cuenta corriente del prestatario. Los principales motivos que originan los desembolsos parciales son: Cuando la entidad financiadora, previo a los desembolsos, exige el cumplimiento de condiciones adicionales al cliente, por ejemplo: aumento del capital social, capitalizacin de las utilidades, acuerdo de directorio de no repartir utilidades durante la vigencia del prstamo, inscripcin de la prenda industrial en los registros pblicos, etc.

En financiaciones de proyectos, cuando debe cumplirse un calendario de inversiones previamente establecidos, conocido como plan de inversin.

Falta de liquidez de la entidad financiadora,etc.Un desembolso parcial origina una variedad de clculos alternativos de equivalencia financiera con el objeto de cumplir con la tasa efectiva vigente para las operaciones activas. 3.2 Clculo de la cuota constante cuando existen variaciones de tasaCuando un prstamo ha sido desembolsado en una sola armada o en partes y que adems se dan variaciones de tasas antes del vencimiento de cada cuota, se utilizara el procedimiento descrito anteriormente.3.3 Pagos en fechas anteriores al vencimiento de la cuota fijaCuando un cliente efecta un pago anticipndose a la fecha de vencimiento de la cuota establecida en la tabla de reembolso, los procedimientos de equivalencia financiera a adoptar pueden efectuarse:A. Calculando los intereses del principal por vencer hasta la fecha del pago de la cuota y en esa fecha adicionar la cuota capital por vencer establecida en la tabla de reembolso.

PagoVcto.R

B. Descontando la cuota desde la fecha de vencimiento original a la fecha de pago, sin alterar la fecha de vencimiento de toda operacin.

PagoVcto.R

3.4 Pagos cuyos importes son mayores a la cuota fijaCuando un cliente paga un importe mayor al de su cuota, la diferencia de no existir mora, deber aplicarse a disminuir el importe del principal por vencer, con lo cual los intereses a rebatir de la siguiente cuota experimentaran una disminucin. 3.5 Clculo de la cuota capital en cualquier cuota constante

La amortizacin o cuota capital es la parte de la cuota constante que se aplica a disminuir el importe de la deuda contrada.

La cuota capital puede ser calculada en funcin de:

a) El prstamob) El importe de la primera cuotac) La cuota constante

3.5.1 Cuota capital en funcin del prstamo

La formula () puede ser expresada en funcin del prstamo reemplazando R por su equivalente P..

3.5.2 Cuota capital en funcin de la primera cuota capital

De la formula (), para k=1 obtenemos:

(a)

Reemplazando (a) en ()

3.5.3Cuota capital en funcin de la cuota constante

En la siguiente ecuacin,donde k es siempre un entero positivo que hace referencia al periodo en el que se est calculando la cuota inters, la cuota capital y la deuda residual.

Cuota capital 1

Cuota capital 2

= R - pero

Cuota capital 1

Cuota capital 2

Analizando (a) y (b) podr notarse que si k=1 o k=2 entonces se cumple:

()

Utilizando el mtodo inductivo puede demostrarse que la formula se cumple para todo k entero positivo.3.6 Clculo de la cuota inters en cualquier cuota constante

La cuota de inters de una constante puede calcularse en funcin de:

a) La renta o cuota constante.b) El importe del prstamo

3.6.1 Cuota inters en funcin de la cuota constante

R =

(

3.7 Clculo de la deuda extinguida en cualquier cuota

La deuda extinguida de una deuda que genera intereses y se reembolsa en cuotas uniformes corresponde a la sumatoria de las amortizaciones o cuotas capitales vencidas, independientemente que hayan sido canceladas o no. La deuda extinguida no pagada ni genera diariamente el inters compensatorio pactado ms los intereses moratorios de ley.

En cualquier momento, un prstamo que se reembolsa en cuotas es igual a la sumatoriade la deuda extinguida ms la deuda residual o saldo insoluto:

PRESTAMO=DEUDA EXTINGUIDA + DEUDA RESIDUAL

La duda extinguida en cualquier cuota, puede hallarse en funcin de:a) El prstamo Pb) La primera cuota capital c) La renta R

3.7.1 Deuda extinguida en funcin de PReemplazando en () R por su equivalente

3.7.1 Deuda extinguida en funcin de

Reemplazando las amortizaciones de cada cuota por sus equivalentes en funcin de

Como el trmino entre corchetes es el FCS, tenemos:

()

3.7.2 Deuda extinguida en funcin de R

Reemplazando en ()por su equivalente R

()

3.8 Calculo de la deuda residual en cualquier fecha

En cualquier fecha la deuda residual o saldo insoluto de un prstamo que se reembolsa con cuotas constantes est constituida por la sumatoria de las cuotas capitales por devengar, excluyendo la que haya vencido en la fecha de la evaluacin (este importe no es insoluto sino vencido).

3.8.1Deuda residual en funcin de R

La deuda residual donde K representa el nmero de cuotas devengadas hasta la fecha de evaluacin de un prstamo que se amortiza en n cuotas constantes se calcula descontando el importe de las cuotas por devengar:

Como el trmino entre corchetes es el tenemos:

3.8.2 Deuda residual en funcin de P

La deuda residual en funcin de P se puede obtener relacionando (*) y ()

(*)(

Si en ( reemplazamos R por su equivalente desarrollado en (*) tenemos:

Cuya expresin matemtica es:

3.9 Calculo para hallar n

Cuando se dispone de una determinada renta y se conoce el importe del financiamiento requerido y su respectivo costo, puede calcularse el nmero de cuotas constantes necesarias para reembolsar completamente el crdito. Si al aplicar la formula (*) se obtiene que n es un numero entero, n indicara el nmero de cuotas uniformes para reembolsar un prstamo. En caso contrario, es decir cuando n no es entero, para la obtencin del nmero de cuotas y el momento en el que se cancela la ltima cuota se utilizan diversas formulas matemticas.

La obtencin de un n no entero implica los siguientes problemas:

Conocer el importe de la ltima renta correspondiente al momento n. Si se decide cancelar el prstamo en el momento h o en el momento h1, conocer el importe de la cuota en ese momento.

En el primer caso la cuota ser mayor a las anteriores y en el segundo caso ser menor a las anteriores.

3.10 Importe de la ltima renta cuando n es no entero

El valor obtenido con la formula (*), puede resultar un nmero no entero.

En forma general, el diagrama de flujo de caja de una anualidad con h-1 rentas uniformes iguales a R y una renta de menor importer, a pagar en el momento n, es el siguiente:

rRRRR

01h-1hn

Donde:n = nmero no entero de periodos de renta calculado con la formula (*)h = mnimo entero mayor que nh-1 = mximo entero menor que nr = renta que se debera pagar en el momento nh-1 < n < hr < R

Clculo de la renta r en el momento nEl importe de la ltima renta en el momento n se calcula con la ecuacin que se obtiene a continuacin:

Importe de la ultima renta r en el momento h

Si se desea cancelar el prstamo en el momento h, (con un nmero entero de rentas redondeando n por exceso al entero superior), debemos llevar r del momento n hacia el momento h.

r0hnh-1RR1nh-1RR1h0

n es nmero no entero

Denotando r a la renta en el momento h, tenemos:

Pero r = entonces:

Importe de la ultima renta R en el momento h-1Si se desea cancelar el prstamo, en el momento h-1, con un nmero entero de rentas redondeando n por defecto al entero inferior, debemos traer r del momento n hacia el momento h-1 y sumarle el pago R.

R

R

rR

10hnh-1

Traemos r del momento n al momento h-1 y le sumamos el pago R para obtener la renta ubicada en el momento h-1, que denotaremos R:

Pero r = Entonces: R=

3.11 Clculo para hallar la tasa de inters

Cuando un prstamo u operacin similar es otorgado para ser reembolsado con un determinado nmero de cuotas constantes en un horizonte temporal previamente establecido, pero sin indicar expresamente la tasa de inters cargada.

EJERCICIOS DE APLICACIONEjercicio 01Elabore la tabla referencial de reembolso de un prstamo de S/. 10,000 desembolsado el 8 de marzo, el mismo que debe ser cancelado con 6 cuotas constates cada 90 das aplicando una TET del 5%.Solucin: R=?P= S/. 10,000N= 6 trim. i = 0.05Entonces:

TABLA REFERENCIAL DE REEMBOLSOFechaDasnCuotaIntersAmortizacinSaldo InsolutoDeuda extinguida

Mar. 080100000.00

Jun. 069011970.175001470.178529.831470.17

Set. 049021970.17426.491543.686986.153013.85

Dic. 039031970.17349.311620.865365.294634.71

Mar. 039041970.17268.261701.913663.386336.62

Jun. 019051970.17183.1717871876.388123.62

Ago. 309061970.1793.821876.40.0010000.0

54011821.021821.0510000.0

Ejercicio 02Se solicita un prstamo de S/. 10 000 para amortizarlo con 4 cuotas constantes de S/. 2 885.91 cada fin de trimestre. El banco Continental cobra una TET del 6%. Al vencimiento de la primera cuota la empresa abona S/. 3 500. Calcule el importe de las 3 cuotas restantes.Solucin:La tabla de reembolso original es la siguiente:n

CuotasIntersAmort.Saldo

012342 885.91 2 855.91 2 855.91 2 855.91600.00462.85317.46163.352 285.912 423.072 568.452 722.5610 000.007 714.095 291.022 722.560.00

11 543.661 543.6610 000.00

El pago de la 1ra cuota se aplica del siguiente modo:Pago Cuota Saldo

3 500.002 885.91614.09

Saldo al final de la primera cuota7 714.09Aplicacin del saldo(614.09)Principal al inicio de la segunda cuota7 100.00

El importe de las cuotas restantes se calcula sobre el saldo insoluto:

R = = 2 656.18

Ejercicio 03Calcule la primera cuota capital de un prstamo a ser reembolsado en 8 cuotas constantes uniformes trimestrales vencidas a una TET del 6% es de S/. 1 010.36. Calcule la cuota capital de la stima cuota.Solucin:

=?=1 010.36i= 0.06k= 7

Ejercicio 04Calcule la quinta cuota capital de un prstamo de S/. 10 000 contratado a una TET del 6% amortizable en 8 cuotas trimestrales constantes vencidas.Solucin:

1 275.56 =?P=10 000i=0.06k=5n=8 trim.

Ejercicio 05Un proyecto de inversin demanda un financiamiento bancario de S/. 10 000 que ser amortizado en 8 cuotas trimestrales uniformes vencidas a una TET del 6%. Cul ser el importe de la stima cuota capital?

1 433.21Solucin:

R=P. R=10 000.R=10 000 x 0.1610359426R= 1 610.36 =?P=10 000n=8 trim.i=0.06k=7

Ejercicio 06Calcule la sexta cuota capital de un prstamo que se reembolsara con ocho cuotas constantes trimestrales vencidas de S/. 1 610.36 y a una TET del 6%.

Solucin:

1 352.09 =?k=6n=8 trim.R=1 610.36i=0.06

Ejercicio 07Calcule la quinta cuota capital de un prstamo que se reembolsa con 8 cuotas constantes de S/. 1 610.36 cada fin de trimestre. La TET es del 6%.

1 275.56Solucin:

=?R=1 610.36n=8 trim.i=0.06k=5

Ejercicio 08Calcule la cuota constante de un prstamo que se reembolsara con ocho cuotas al final de cada trimestre con una TET del 6%, cuya sexta cuota capital es de S/. 1,352.09.

Solucin:

0.7920936632RR = 1 610.36R=?n=8 trim.i=0.06 =1 352.09k= 6

Ejercicio 09Calcule la cuota inters de la quinta cuota de un prstamo de S/. 10 000 contratado a una TET del 6% amortizable en 8 cuotas trimestrales constantes vencidas.

Solucin:

=?P=10 000i=0.06k=5n=8 trim.

Ejercicio 10Calcule el importe de la cuota inters de la stima cuota de un prstamo reembolsable en ocho cuotas constantes trimestrales vencidas de S/. 1 610.36 a una TET del 6%.

Solucin:

=?n= 8 trim.i= 0.06k= 7

Ejercicio 11Una empresa requiere un capital de $ 10 000 para ampliar su planta de procesos qumicos. El estudio de factibilidad indica que el proyecto puede generar excedentes trimestrales de $ 1 500 aplicables a reembolsar el prstamo. Si el financiamiento tiene un costo efectivo trimestral del 5%. En cunto tiempo podr amortizarse?

Solucin:

n = - n = - n = 8.31038622n =?P = 10 000R = 1 500i = 0.05

Ejercicio 12Calcule la deuda residual al vencimiento de la novena cuota, de un prstamo de S/. 8 000 amortizable en 12 cuotas constantes mensuales vencidas de S/. 803.70 con una TEM del 3%.Solucin:

=?k = 9P= 8 000n=12R= 803.70i= 0.03

Ejercicio 13Calcule la deuda extinguida al final de la tercera cuota en un prstamo de S/. 10 000 contratado a una TET del 6% amortizable en 8 cuotas trimestrales uniformes vencidas.Solucin:

3 216.58 =?P= 10 000i= 0.06n=8 trim.k=3

Ejercicio 14Calcular la cuota fija y prepare la tabla referencial de reembolso para un prstamo de S/. 10 000 desembolso el 16 de agosto, reembolsable en cuatro cuotas uniformes con vencimiento cada trimestre calendario (el 16 de cada trimestre), a una TET del 5%.Solucin:a) Calculo de los periodos de tiempos de cada cuota.

Detalle

FechaDasAcum.n

Desembolso1 vencimiento 2 vencimiento3 vencimiento4 vencimientoAgosto 16Noviembre 16Febrero 16Mayo 16Agosto 16092928992

09218427336501234

b) Descuento de las cuotas de importe S/.100

FAS = + + + FAS = 3.539323029

c) Obtencin del FRC

FRC = 1/ FAS FRC = 1/3.539323029FRC = 0.2825399072

d) Calculo de la cuota fija para perodos de tiempo variables

R = P. FRCR = 10 000 x 0.2825399072R = 2 825.40

Tabla de reembolso

FechaDasnCuotasIntersAmort.

Saldo

Agosto 16Noviembre 16Febrero 16Mayo 16Agosto 16092928992

012342 825.402 825.402 825.402 825.40511.39393.05259.69137.46

2 314.012 432.342 565.712 687.94

10 000.007 685.995 253.652 687.940.00

36511 301,601 301,6010 000.00

El inters de cada cuota corresponde al nmero de das de cada periodo de renta.Por ejemplo: La primera cuota vence a los 92 das, entonces su inters es:

I = 10 000 () = 511.39

FONDO DE AMORTIZACIN

DEFINICION:

El fondo de amortizacin es la suma de dinero que se va acumulando con el fin de obtener un determinado monto.El fondo de amortizacin generalmente se forma invirtiendo cantidades iguales al final de periodos iguales; esto significa que el valor del fondo, al final de un cierto tiempo, corresponde al monto de una anualidad ordinaria.

Los fondos de amortizacin se establecen con el fin de pagar una deuda que vence en una fecha futura, para la compra de equipo nuevo que sustituya al equipo depreciado u obsoleto, para los fondos de jubilacin, etc.

Los pagos peridicos hechos a un fondo de amortizacin tienen como objetivo la acumulacin con el fin de liquidar una deuda futura.

EJERCICIOS DE APLICACION

Ejercicio 01

La vida til de un cierto equipo industrial que acaba de ser adquirido por una compaa es de 5 aos. Con el fin de reemplazarlo al final de este tiempo, la compaa establece un fondo de amortizacin efectuando depsitos anuales en una cuenta bancaria que paga el 9.6% anual. Si se estima que el equipo costar 42,740 dlares, halle el valor del depsito.

Solucin:

Se trata de hallar el pago peridico de una anualidad ordinaria cuyo monto ser 42,740 dlares al final de 5 aos y cuya tasa de inters es del 9.6%.

(42740)(0.096)

1.0965 - 1

A =

A = 7056.68 dlares

El fondo de amortizacin se forma invirtiendo 7,056.68 dlares al final de cada ao, durante 5 aos.

Una tabla de capitalizacin, llamada tambin tabla de fondo de amortizacin, muestra la forma en que se acumula el dinero, periodo tras periodo, en un fondo de amortizacin.

Tabla de capitalizacin:

AoCantidad en el fondo al inicio del ao

Inters ganadoDeposito hecho al final del aoMonto al final del ao

1007056.687056.68

27056.68677.447056.6814790.81

314790.811419.927056.6823267.41

423267.412233.677056.6832557.77

532557.773125.557056.6842740.00

TOTALES$ 7456.58$ 35283.40

El inters ganado al final del ao se obtiene utilizando la frmula del inters simple, usando como capital la cantidad al inicio del ao.

I = (7,056.68) (0.096) (1) = 677.44

El monto al final del ao, que es exactamente igual a la cantidad en el fondo al inicio del ao, se obtiene sumando la cantidad al inicio del ao ms el inters ganado ms el depsito hecho al final del ao:

7,056.68 + 677.44 + 7,056.68 = 14,790.81

Los depsitos hechos al final del ao no ganan intereses.

La suma de la columna 'inters ganado" ms la suma de la columna "depsito hecho al final del ao" es igual al monto o valor futuro de la anualidad:

7,456.58 + 35,283.40 = 42,739.98

Nota: La diferencia de 2 centavos se debe al redondeo de las cantidades.

Ejercicio 02

El seor Alberto desea tener $ 12,000.00 para darlos de enganche para una casa. Si puede ahorrar $1,300.00 cada mes en un banco que le paga una tasa de inters del 2.24% mensual, cunto tiempo se tardar en acumular los $ 12,000.00? constryase la tabla de capitalizacin.

Solucin:

(1.0224)n 1

0.0224

12000 = 1300

0.2067922308 = (1.0224)n 1

(1.0224)n=1.2067922308

log 1.2067692308

log 0.0224

n =

n = 8.484106 meses

Por lo tanto el seor Alberto tendr que hacer 8 depsitos mensuales de $ 1,300.00 ms un noveno depsito por una cantidad menor a $1,300.00.

MesCantidad en el fondo al inicio del mes

Inters ganadoDeposito hecho al final del mesMonto al final del mes

10013001300

2130029.1213002629.12

32629.1258.8913003988.81

43988.8189.3313005377.34

55377.34120.4513006797.80

66797.80152.2713008250.07

78250.07184.8013009734.87

89734.87218.06130011252.93

911252.93252.0749512000

Por lo tanto el noveno depsito ser por $ 495.00

CONCLUSIONES

Por medio del trabajo se puede evaluar claramente la amortizacin y el fondo de amortizacin, con los ejercicios de aplicacin que complementan para un mejor entendimiento sobre los temas.

La amortizacin, significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que generalmente son iguales y que se realizan tambin a intervalos iguales, ya que se debe pagar una cantidad al valor actual.

El fondo de amortizacin es la inversa de la amortizacin, ya que una cantidad o deuda que se debe pagar en el futuro, para lo cual se acumulan los pagos peridicos con el objetivo de tener en esa fecha futura cantidad necesaria.

Tanto la amortizacin y los fondos de amortizacin de deudas, se utilizan con el fin de pagar una obligacin.

BIBLIOGRAFIA

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Palacios Hugo, fundamentos dela matemtica financiera, Fondo Editorial (Pontificia Universidad Catlica del Per)-2006.

Villalobos Jos, Matemticas Financieras (segunda edicin), Editorial Pearson Educacin (2001).

Extrado de:http://189.203.26.193/Biblioteca/Matematicas_Financieras/Pdf/Unidad_13.pdf