unidad 3. amortizacion

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  • 5/26/2018 Unidad 3. Amortizacion

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    Divisin de Ciencias Sociales y Administrativas | Licenciatura en Gestin y Administracin de PyMES.

    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    Licenciatura en:

    Gestin y Administracin de las Pequeas y MedianasEmpresas (PyMES)

    Programa de la asignatura:

    Matemticas financieras

    Clave

    080920414

    Universidad Abierta y a Distancia de Mxico

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    Divisin de Ciencias Sociales y Administrativas | Licenciatura en Gestin y Administracin de PyMES.

    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    ndice

    Unidad 3. Amortizacin ................................................................................................................... 3

    Presentacin de la unidad ........................................................................................................... 3

    Propsitos ...................................................................................................................................... 3

    Competencia especfica .............................................................................................................. 3

    3.1. Conceptos bsicos ............................................................................................................... 4

    3.1.1. Capitalizacin ..................................................................................................................... 5

    3.1.2. Tasa de amortizacin........................................................................................................ 7

    3.2. Aplicaciones ......................................................................................................................... 10

    3.2.1. Calculo de montos de capitalizacin ............................................................................ 10

    3.2.2. Fondo de amortizacin ................................................................................................... 17

    Actividad 1. Ensayo .................................................................................................................... 19

    Actividad 2. Formulario .............................................................................................................. 20

    Actividad 3. Aplicaciones reales ............................................................................................... 20

    Autoevaluacin: .......................................................................................................................... 21

    Evidencia de aprendizaje. Ejercicios prcticos...................................................................... 23

    Autorreflexin .............................................................................................................................. 23

    Cierre de la unidad ..................................................................................................................... 24

    Para saber ms ....................................................................................................................... 24

    Fuentes de consulta ................................................................................................................... 24

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    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    Unidad 3. Amortizacin

    Presentacin de la unidad

    Las finanzas se ocupan del estudio e interpretacin de operaciones que implican inversin

    o desembolso de capital, a una tasa de inters determinada y en un periodo de tiempo

    especificado. Como gestor y administrador de PyMES, es imperativo que conozcas,

    domines y apliques las matemticas financieras. Con la informacin de la unidad 3,

    podrs integrar los conocimientos que has adquirido a lo largo del desarrollo de la

    asignatura. Conocers a fondo el valor del dinero en diferentes periodos de tiempo y sus

    aplicaciones.

    Propsitos

    Al terminar la unidad sers capaz de:

    Aplicar los conceptos de capitalizacin y amortizacin en la resolucin de

    problemas.

    Competencia especfica

    Calcular el monto de los pagos o la tasa de inters para facilitar la toma de decisiones de

    ndole econmico mediante los esquemas de capitalizacin y amortizacin para facilitar latoma de decisiones de ndole econmico.

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    3.1. Conceptos bsicos

    La materia Matemticas financieras tiene como objeto de estudio las finanzas; este

    concepto comprende ,como ya se ha establecido, el valor del dinero en el tiempo y la

    transferencia de capitales entre dos o ms entes econmicos, teniendo en consideracin

    una tasa de inters que puede ser simple o compuesto.

    El tema de capitalizacin y amortizacin, se aborda tomando en cuenta la simbologa ya

    citada, es decir:

    Valor presente (capital actual). Valor futuro (monto o capital futuro). Tasa de inters por periodo (anual, semestral, trimestral, etc.) y puede ser Interssimple o inters compuesto.

    Numero de periodos (tiempo de capitalizacin o descuento). Interes generados

    En relacin a la simbologa anterior, se debe tener presente las siguientes expresiones:

    Para Inters simple:

    Si

    Para Inters compuesto:

    La expresin incluyen los intereses respectivos .

    Las expresiones que se derivan del inters compuesto, se consideran ms laboriosas en

    su aplicacin, debido a la utilizacin de potencias, a las cuales se hizo referencia en la

    obtencin de las frmulas y factores de equivalencia respectivas.

    Expresin

    3.1 (1)

    Expresin

    3.1 (2)

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    3.1.1. Capitalizacin

    La capitalizacines una operacin financiera asociada a la accin del descuento, ya que

    representan efectos cualitativa y cuantitativamente opuestos.

    La operacin de capitalizacin referida a una inversin de un capital en el momento

    presente a una tasa de inters determinada, y un cierto nmero de periodos, implicaque se obtendr un capital futuro mayor que el capital actual por efecto de losintereses generados en dicha inversin.Si se consigna la capitalizacin al mbito del servicio bancario, se define como la

    operacin de aplazar o posponer el cobro o el pago de un capital, para obtener otro

    superior. Sin embargo, si el cobro o el pago se anticipan, la operacin recibe el nombre de

    descuento.

    En sntesis, se puede establecer para la capitalizacin y el descuento de la siguiente

    manera:

    En el inters simple, la tasa correspondiente se aplica sobre un capital inicial, de talmanera que los intereses producidos, no se acumulan al capital.En el inters compuesto, la tasa respectiva se aplica cada vez sobre un capital diferente,originado por la acumulacin sucesiva de los intereses

    o en su caso, de la resta

    sucesiva de los descuentos.

    En las operaciones financieras a corto plazo(mximo un ao), se emplea el interssimple. Para operaciones a largo plazo(tiempo mayor de un ao), por lo general, seutiliza el inters compuesto bajo el cual la capitalizacin es ms ventajosa para el banco o

    personas fsicas o morales poseedoras de capital.

    Con inters simple

    Con inters compuesto

    Operacin de capitalizacin

    Con inters simple

    Con inters compuesto

    Operacin de descuento

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    Diagramticamente, la capitalizacin y el descuento se representan de la siguiente

    manera:

    Capitalizacin

    Fecha inicial Fecha final

    capital inicial Ejemplo

    = factor de capitalizacini = inters compuesto

    Descuento

    Fecha inicial Fecha final

    capital inicial [ ]Ejemplo

    factor de descuento

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    3.1.2. Tasa de amortizacin

    Las operaciones financieras relativas a la capitalizacin y la amortizacin, tiene que ver

    con el concepto renta,el cual se utiliza para denominar a una sucesin de pagos o cobrosregulares (es lo mismo queen la simbologa establecida).El trmino renta puede corresponder a las siguientes denominaciones:

    Renta de trabajo: sueldo de un trabajador.

    Renta de crdito: pago mensual establecido.

    En suma, dentro del campo financiero, unarentaes una sucesin de capitales convencimientos peridicos con alguna relacin entre s.

    Dentro del clculo financiero, se pueden identificar 2 clases de renta, es decir:

    Una serie de depsitos peridicos para construir un capital.

    Una serie de pagos derivados de un prstamo de este tipo de renta, se

    deriv el concepto de amortizacin, el cual se especifica ms adelante.

    En las rentas de cualquier tipo, se consideran los conceptos siguientes:

    1. Fecha de compromiso: obligacin de pagar o el derecho de cobrar la renta.2. Fecha de vencimiento: momento del cobro o pago de cada componente de

    la serie de los flujos monetarios respectivos.

    3. Fecha final: momento de cobro o pago del ltimo componente de la serie deflujos monetarios.

    4. Plazo: tiempo considerado entre la fecha de compromiso y la ultima fecha decobro o pago de la ultima componente de la serie de flujos.

    5. Trmino: importe o monto de cada uno de los flujos relativos a cobros opagos. El concepto trmino puede ser sustituido por los vocablos siguientes:

    prima, anualidad, mensualidad, etc.

    La informacin anterior proporciona los requerimientos bsicos para abordar el concepto

    de amortizacin. Se har referencia a dos tipos de renta, es decir:

    Rentas de amortizacin Rentas de capitalizacin

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    Rentas de amortizacin:la finalidad de este tipo de rentas es pagar un capital inicial oactual, en tal virtud se establece que amortizares igual a pagar o cubrir. A las rentas deamortizacin les corresponde el diagrama siguiente:

    En este caso, la incgnita es la cantidad a pagar en cada periodo para amortizar elprstamo o valor actual .Para el diagrama anterior, se tiene que para una tasa de inters compuesto , el valoractual resulta ser:

    Despejandose tiene:

    [ ]

    En la expresin 3.1.2 (2), representa el pago por periodo o trmino. Las expresionesanteriores se dedujeron en la unidad pasada.

    Ejemplo:Una persona solicita un crdito (capital actual) de $50,000 pesos. El compromiso consiste

    en amortizar el crdito en doce mensualidades a un inters mensual del 3%. Cunto

    debe pagar cada mes?

    Solucin:

    3%=12

    ?

    Segn la expresin 3.1.2 (2)resulta:

    [ ]

    -10 1 2 3 4

    Expresin

    3.1.2 (1)

    Expresin

    3.1.2 (2)

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    En el ejemplo anterior, se deben pagar doce documentos por $5,023.10 para amortizar

    $50,000 en doce meses. Si nos referimos al concepto de equivalencia, se establece que:

    doce flujos monetarios de $5,023.10 son equivalentes a un valor actual de $50,000,

    siempre y cuando, el inters sea de 3% (0.03) mensual.

    Rentas de capitalizacin: Con el propsito de vincular los conceptos de amortizacin ycapitalizacin con el concepto de equivalencia, se considera el siguiente caso de rentas

    de capitalizacin relativo al ejemplo anterior, es decir:

    Ejemplo:

    Se requiere acumular $71,288.04 en el mes 12. Cunto se debe invertir mensualmente

    si la tasa de inters compuesto es 3% mensual?

    Solucin:

    El diagrama de flujo monetario es:

    La expresin a utilizar se deriva de:

    [

    ]

    [ ]

    Observacin:

    En los ejemplos anteriores referentes a las rentas de amortizacin y rentas de

    capitalizacin, se enfatiza en la presencia de equivalencia entre , y, si prevalecen losmismos valores de la tasa de inters compuesto con un valor de 3% por periodo y el

    horizonte con un valor de 12 meses.

    5 6 7 8 9 10 11 120 1 2 3 4

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    3.2. Aplicaciones

    En este apartado, encontrars ejemplos de aplicaciones de los conceptos de

    capitalizacin y amortizacin, con los que relacionars todos los conceptos de la unidadcon situaciones que enfrentars en la vida real.

    En las operaciones financieras, acontece un intercambio de dinero en el cual la entrega y

    la recuperacin del mismo, ocurren en fechas diferentes, generndose as, un rendimiento

    o un costo, lo cual se traduce como un inters en dichas operaciones; lo anterior equivale

    dentro de otras causas y efecto, a un premio o castigo, segn las circunstancias de las

    partes involucradas.

    3.2.1. Calculo de montos de capitalizacin

    Capitalizarconsiste en hacer productivo un capital actual ya sea que se invierta o seubique en un prstamo, para obtener en el futuro un valor mayor.

    En referencia a lo anterior, se puede tambin establecer el concepto de descuento, esdecir, poseer anticipadamente un capital, que debera cobrarse en un tiempo futuro,

    obtenido as, un valor menor.

    La capitalizacin (o el descuento) es una operacin que se puede calcular con inters

    simple o con inters compuesto. Observa:

    Capitalizacin con inters simple

    Ejemplo:

    Un banco presta $10,000 pesos durante dos aos a una tasa de inters simple de 40%

    anual. Calcular los intereses producidos y el monto total del banco al final de ao dos.

    Solucin:

    Formulas {

    Valor futuro o monto total? Intereses producidos? Inters simple0.40 2 aos

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    Ejemplo:

    El banco expresa: te presto $10,000 pesos a un plazo de dos aos y al final de ese tiempo

    me pagars $18,000 pesos. Determina el inters simple que te cobrara.

    Solucin:

    Se tiene que:

    Tambin:

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    Ejemplo:

    Si la financiera presta al 40% de inters simple y ofrece un prstamo de $10,000 para

    despus pagar $18,000. A qu plazo en meses propone esa operacin?

    Solucin:

    Se tiene que:

    Y que:

    En el inters simple puede ocurrir que la tasa de inters adquiera dos o ms valores

    durante un ao, tratndose en este caso de una tasa variable. Esta situacin puede

    originarse debido a situaciones especiales en el mercado financiero que provoque alguna

    importancia a los saldos de los inversionistas a corto plazo. El ejemplo al respecto es:

    Un cliente ahorrador cuenta con un saldo de $20,000 al inicio de ao. El banco le hace

    saber que en dicho ao, el inters ser:

    - 40% a partir del 1 de enero

    - 35% a partir del 1 de abril hasta el 31 de diciembre

    En estas circunstancias, los intereses son:- Para el 40% - Para el 35%

    En total, obtendr el ahorrador

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    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    Operacin de descuento

    El descuento, consiste bsicamente en adelantar la fecha de disposicin o paso de un

    capital, de tal manera, que el descuento equivale a la operacin inversa a lacapitalizacin.

    En el siguiente diagrama, el descuento implica disminuir el monto de un capital futuro.

    Observa:

    Capital Actual = Capital FuturoDescuento

    En el descuento, al capital futuro se denomina tambin como valor nominal y al valoractual, como el valor efectivo, de tal maneta que:

    ; Ejemplo:

    Un banco descuenta una letra (documento) de cambio con valor nominal de $10,000

    pesos, aplicando una tasa de inters simple del 40% anual, a 70 das antes de su

    vencimiento. Cul es el valor del descuento y cul es el valor efectivo a pagar?

    Solucin:

    -10 1 2 3 4

    Capital Futuro

    Capital actual

    Descuento

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    Capitalizacin con inters compuesto

    En la unidad 2 se deriv la ecuacin de valor futuro un capital actual invertido auna tasa de inters compuesto a periodos; es decir: En la cual: = Factor de capitalizacin, de tal manera que:Capital futuro= Capital actual factor de capitalizacin, es decir:

    Observacin:

    Para encontrar el valor de un factor de capitalizacin requerido, existen tablas para

    diferentes valores de y de .Ejemplo:

    Cunto se capitalizar dentro de 7 aos, si ahora se invierten $50,000 a un inters del

    21% anual?

    Solucin:

    Si empleamos el factor de capitalizacin,

    resulta que:

    Ejemplo:

    Se realizan las siguientes inversiones a un inters compuesto , es decir: $1,000 ahora

    $3,000 dentro de 3 aos

    $5,000 dentro de 5 aos

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    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    Cunto se capitalizar el ao 7?

    Este caso equivale a una sola inversin en 3 ocasiones.

    Solucin:

    Lo anterior equivale al siguiente diagrama:

    7650 1 2 3 4

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    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    Ejemplo:Un plan de inversiones uniformes acontecer durante los periodos de 1 al 4, con unvalor de $3,000 cada una. Cunto se capitalizar en el periodo 5, si el inters es del 10%

    anual?Solucin:

    A este problema le corresponde el siguiente diagrama:

    El primer paso es acumular o capitalizar los depsitos en el periodo 4 ya que elfactor opera directamente a un valor de (Cuatro depsitos). Despus, el valorcorrespondiente, se capitaliza en el periodo 5 con y con el factor .La frmula para capitalizar una serie es:

    Aplicando la expresin anterior obtenida en la unidad 2, se tiene:

    50 1 2 3 4

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    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    3.2.2. Fondo de amortizacin

    Se enfatiza que las rentas o fondos de amortizacin, tienen la finalidad de amortizar o

    pagar un capital presente o actual (un prstamo). Este concepto se cit en el inciso3.1.2.

    Los ejemplos del clculo de fondos de amortizacin que se presentan, revisten dos

    aspectos a saber:

    Fondos pagaderos al final cada periodo iniciado con el periodo uno (1).

    Fondos pagaderos al final de cada periodo, pero iniciando en un periodo diferente

    del primero hasta un punto ensimo.

    Se aclara que las rentas o fondos de amortizacin se refieren a una serie uniforme de

    flujos monetarios (A).

    Ejemplo:

    Un prstamo de $30,000 pesos deber ser amortizado o pagado en 12 pagos mensuales,

    los cuales se efectuaran al final de cada mes, iniciando con el primer mes. La tasa es de

    4% de inters compuesto mensual. De qu magnitud resulta cada pago ?Solucin:

    Diagrama:

    5 6 7 8 9 10 11 120 1 2 3 4

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    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    En la unidad 2 se dedujo la frmula para hallar un valor uniforme A, a partir de un valor

    actual o presente (P), es decir:

    Nota:

    La estructura del diagrama inters, permite la aplicacin directa de la frmula para

    encontrara partir de , teniendo como valor de , una cantidad de periodos igual alhorizonte de dicho diagrama

    .

    Ejemplo:

    Se solicita un prstamo de $50,000 para amortizarlo en 10 mensualidades, la condicin

    de los pagos ser a partir del final del mes 3 hasta el mes 12. La tasa de inters

    corresponde al 5% mensual compuesto.

    Solucin:

    En este ejemplo, podemos suponer dos situaciones:

    1. Si la institucin que otorga el crdito, no realiza ningn cargo o costo financiero a

    partir del presente hasta el final del mes 2, el problema se convierte en un caso

    igual al ejemplo anterior (ejemplo 1), ya que solo bastara ubicar los $50,000 en el

    punto 2 y resolver del mismo modo que el ejemplo citado (ejemplo 1) con la

    expresin: hallardado , y .2. Por otra parte, si quien presta cobra intereses desde ahora, el problema se

    resuelve de acuerdo al siguiente diagrama:

    56 7 8 9 10 11 120

    12

    34

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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    Solucin:

    El valor de indica el nuevo capital que se tiene que amortizar durante un horizonte de , es decir:

    Actividad 1. Ensayo

    En esta actividad elaborars un ensayo en el cual explicars la diferencia entre

    capitalizacin y amortizacin.

    1. Una vez que hayas revisado los contenidos de la unidad, identificalosconceptos de capitalizacin y amortizacin y elaboraun ensayo en el queexpliques la diferencia entre ambos conceptos.

    2. Guarda tu archivo con la nomenclatura MF_U3_A1_XXYZ, envalo a tuFacilitador(a) a travs de la seccin de Tareas y espera retroalimentacin.

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    Actividad 2. Formulario

    En esta actividad realizars un formulario de las ecuaciones necesarias para calcular

    montos, periodos y tasas de inters de capitalizacin y amortizacin.

    1. Una vez que revisaste los contenidos de la Unidad, identificalos principalesconceptos que son expuestas en el tema y, a partir de las mismas. Elabora unformulario en un documento de Word.

    2. Envatu archivo a la Base de datos con la siguiente nomenclaturaMF_U3_A2_XXYZ.

    3. Revisalos trabajos de tus compaeros(as) y comntalos. Recuerda enriquecertu trabajo a partir de las observaciones que recibas.

    *Tu archivo no debe pesar ms de 4MB.

    Actividad 3. Aplicaciones reales

    En esta actividad investigars las aplicaciones reales dela capitalizacin y la

    amortizacin, para ello:

    1. Investigaen diversas fuentes con autoridad en la materia (libros de texto,revistas, foros, entre otros) las aplicaciones de la capitalizacin y la

    amortizacin.

    2. Elabora un documento en el cual plasmeslos resultados de tu investigacin.3. Enva tu documento a la base de datos con la siguiente nomenclatura

    MF_U3_A3_XXYZ.4. Revisa los trabajos de tus compaeros(as) y comntalos. Recuerda

    enriquecer tu trabajo a partir de las observaciones que recibas.

    *Tu archivo no debe pesar ms de 4MB.

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    Autoevaluacin:

    En este apartado pondrs a prueba los conocimientos adquiridos en la unidad. Lee con

    atencin el enunciado y elige la respuesta correcta.

    1. Un banco presta $6,000 pesos durante tres aos a una tasa de inters simple de45% anual. Calcular los intereses producidos y el monto total del banco al final delao tres.

    a) I=8,110 F=14,101b) I=8,200 F=12,100c) I=8,100 F=14,100d) I=8,100 F=14,111

    2. El banco del problema anterior, expresa: te presto $250,000 pesos a un plazo decuatro aos y al final de ese tiempo me pagars $396,000 pesos. Determina elinters simple que te cobrara.

    a) b) c) d)

    3. Si la financiera presta al 93% de inters simple y ofrece un prstamo de $6,500 paradespus pagar $18,590. A qu plazo en meses propone esa operacin?

    a) b) c) d)

    4. Un banco descuenta una letra (documento) de cambio con valor nominal de $6,300pesos, aplicando una tasa de inters simple del 43% anual, a 90 das antes de suvencimiento. Cul es el valor del descuento y cul es el valor efectivo a pagar?

    a) b) c)

    d) 5. Cunto se capitalizar dentro de 3 aos, si ahora se invierten $39,572 a un inters

    del 49% anual?

    a) b) c) d)

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    6. Se realizan las siguientes inversiones a un inters compuesto , es decir: $3,000 ahora $1,600 dentro de 3 aos $2,700 dentro de 5 aos

    Cunto se capitalizaba el ao 7 y en el ao 9?

    a) b) c) d)

    7. Un prstamo de $70,000 pesos deber ser amortizado o pagado en 5 pagosmensuales, los cuales se efectuaran al final de cada mes, iniciando con el primermes. La tasa es de 12% de inters compuesto mensual. De qu magnitud resultacada pago?a) b) c) d)

    8. Cunto se capitalizar dentro de 5 aos, si ahora se invierten $50, 000 a un intersdel 10% anual?

    a)

    b) c) d)

    9. Se realizan las siguientes inversiones a un inters compuesto , es decir: $1,000 ahora $1,500 dentro de 2 aos $2,500 dentro de 4 aos

    Cunto se capitalizar el ao 5?

    a) 8, 080.32b) , 080.32c) 8, 090.32d) 8, 980.32

  • 5/26/2018 Unidad 3. Amortizacion

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    Divisin de Ciencias Sociales y Administrativas | Licenciatura en Gestin y Administracin de PyMES.

    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    10. Un prstamo de $10,000 pesos deber ser amortizado 3 pagos anuales, los cualesse efectuaran al final de cada ao, iniciando con el primer ao. La tasa es de 4% deinters compuesto anual. De qu magnitud resulta cada pago?a) b) c) d)

    Evidencia de aprendizaje. Ejercicios prcticos

    Mediante esta actividad puedes poner en prctica la resolucin de problemas relativosa:

    Capitalizacin con inters simple y compuesto Amortizacin con inters simple y compuesto

    Para ello:

    1. Descargael documento Ejercicios y resuelvelo que se te pide.

    *Debes leer con atencin el enunciado antes de desarrollar todo elprocedimiento y llegar a la solucin.

    1. Guardatu documento con la nomenclatura MF_U3_EA_XXYZ.2. Envaloa tu facilitador (a) a travs de, portafolio de evidencias y espera su

    retroalimentacin.

    Autorreflexin

    Recuerda que debes realizar un ejercicio de autorreflexin al terminar la autoevaluacin.

    Para ello, ingresaal Foro: Preguntas de Autorreflexiny consultalas preguntas que tuFacilitador(a) haya formulado. Enva tus respuestas mediante la herramienta

    Autorreflexiones.

  • 5/26/2018 Unidad 3. Amortizacion

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    Matemticas financierasUnidad 3. Amortizacin

    Cierre de la unidad

    Felicidades!

    Has concluido la unidad 3. Capitalizacin y amortizacin. Con esto, tambin has finalizadoel curso de Matemticas financieras. Muy bien! Ahora posees todas las herramientas que

    necesitas para tomar mejores decisiones financieras que permitirn usar el dinero

    eficientemente. No olvides aplicar todo lo que has aprendido a la hora de gestionar y

    administrar PyMES.

    Para saber ms

    Con el fin de que refuerces los conocimientos que adquiriste en esta unidad, te sugerimos

    que ingreses a las siguientes pginas:

    Hiru.com es un portal educativo, que te proporcionar informacin sobre las matemticas

    dentro del campo de la economa y finanzas

    http://www.hiru.com/matematicas/matematicas-financieras

    En la siguiente pgina encontrars informacin y ejemplos de capitalizacin y

    amortizacin que te ayudarn en la comprensin de estos temas:

    http://www.juntadeandalucia.es/averroes/ipfacadiz/MATES/Est-

    Mayores%2025/Hoja%2008%20Apuntes%20Aritmetica%20Mercantil.pdf

    aulafacil.com es una pgina de internet con temas que te pueden ayudar en tu formacin

    profesional, en la siguiente pgina se encuentra un artculo de las diferencias entre la

    capitalizacin simple y compuesta:

    http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza5.htm

    Fuentes de consulta

    Vidaurri Aguirre, H. M.(2008). Matemticas Financieras. Mxico: CengageLearning,Cuarta edicin.

    Daz Mata, A.; Aguilera Gmez, V. M. (1999). Matemticas Financieras. Mxico: Mc Graw

    Hill, Tercera Edicin.

    Highland, E. H.; Rosenbaum, R.S.(1987).Matemticas Financieras. Mxico: Prentice-Hall

    Hispanoamericana, Primera Edicin.

    http://www.hiru.com/matematicas/matematicas-financierashttp://www.hiru.com/matematicas/matematicas-financierashttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/ipfacadiz/MATES/Est-Mayores%2025/Hoja%2008%20Apuntes%20Aritmetica%20Mercantil.pdfhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/ipfacadiz/MATES/Est-Mayores%2025/Hoja%2008%20Apuntes%20Aritmetica%20Mercantil.pdfhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/ipfacadiz/MATES/Est-Mayores%2025/Hoja%2008%20Apuntes%20Aritmetica%20Mercantil.pdfhttp://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza5.htmhttp://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza5.htmhttp://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza5.htmhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/ipfacadiz/MATES/Est-Mayores%2025/Hoja%2008%20Apuntes%20Aritmetica%20Mercantil.pdfhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/ipfacadiz/MATES/Est-Mayores%2025/Hoja%2008%20Apuntes%20Aritmetica%20Mercantil.pdfhttp://www.hiru.com/matematicas/matematicas-financieras