DINÁMICA II

Joseph-Louis de Lagrange (Turín, 1736-París, 1813) Matemático francés de origenitaliano. Sus padres tuvieron 11 hijos de los cuales sólo el menor, Lagrange, llegó asobrevivir. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitudespecial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglésEdmund Halley despertó su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya unmatemático consumado. Lagrange era de mediana altura, complexión débil, con ojos azulclaro y un color de piel pálida. Era de un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia,y al evitarla de buena gana permitió a otros tener crédito por cosas que él había hecho.Su actividad mental durante unos veinte años que paso en Prusia fue asombrosa, no sólopor el hecho de producir su espléndida Mécanique analytique, sino por contribuir, condoscientos trabajos, a las Academias de Berlín, Turín, y París. Algunos de éstos realmenteson tratados, y todos, sin excepción, son de una extraordinaria calidad. Salvo un cortotiempo cuando él estaba enfermo en que produjo aproximadamente un artículo por términomedio al mes.Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones,sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números.Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y losmovimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica (1788).

C U R S O: FÍSICA COMÚN

MATERIAL: FC-12

2

Cuando se golpea una pelota de golf en el campo de juego, una gran fuerza F actúa sobre la

pelota durante un corto intervalo de tiempo t, haciendo que ésta se acelere desde el reposo

hasta una velocidad final. Es en extremo difícil medir tanto la fuerza como la duración de su

acción; pero el producto de ambas F · t puede calcularse en función del cambio de

velocidad resultante de la pelota de golf. A partir de la segunda ley de Newton, sabemos que

usando la definición de aceleración

Multiplicando por t se obtiene:

de donde se tiene

A partir de esta relación definiremos momentum lineal e impulso:

Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento se define mediante la siguiente expresión:

El momentum lineal p es una cantidad vectorial, de igual dirección y mismo sentido que el

vector velocidad v, como muestra la figura 1. Por la definición en el SI la unidad de medida

del momentum lineal es Kg m/s.

F = m · a

F = m ·vt

F · t = m · (vf – vi)

F · t = m · vf – m · vi

m

pv

fig. 1

p = m · v

3

Impulso I se define mediante la expresión:

I = F · t

Observemos en la figura 2, que I es un vector que tiene la misma dirección y el mismo

sentido que F. Por la expresión anterior vemos que en el SI la unidad de medida delimpulso es N · s.

Relación entre Impulso y Momentum Lineal

En la figura 3 un cuerpo de masa m, se mueve con una velocidad v1. Si una fuerza F,constante, actúa sobre el cuerpo durante un intervalo de tiempo t , observaremos que

su velocidad sufrirá una variación, pasando a ser v2 al final del intervalo.

A partir de las definiciones anteriores en la siguiente relación:

se observa:

F · t Representa el impulso I que recibió el cuerpo.

m · v2 Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, p2, al final del intervalo t.

m · v1 Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, p1, al inicio del intervalo t.

lo que implica

Esta es la relación que existe entre el impulso y el momentum, es decir, el impulso es el

responsable de la variación del momentum del cuerpo.

2 1t = t t

1t 2t

I

F F

fig. 2

v1 v2

FFfig. 3

F · t = m · v2 – m · v1

I = p2 – p1

I = p

4

Fuerzas internas y externas

Las fuerzas que actúan en un sistema de partículas se pueden clasificar en internas y

externas. Si una partícula del sistema ejerce una fuerza sobre otra que también pertenece al

sistema, aquella será una fuerza interna. Por otra parte, si la fuerza que actúa sobre una

partícula del sistema fuese ejercida por un agente que no pertenece al sistema, se tratará

entonces de una fuerza externa.

Las fuerzas internas pueden producir variaciones en las cantidades de movimiento de las

partículas de un sistema, pero no producen variación en la cantidad de movimiento del

sistema.

Choques en una dimensión

Choques elásticos e inelásticos: una colisión es elástica cuando los cuerpos que chocan

no sufren deformaciones permanentes durante el impacto o cuando se conserva su energía

cinética. Dos bolas de billar, por ejemplo, experimentan choques que se pueden considerar

elásticos.

En caso contrario, si los cuerpos presentan deformaciones debido a la colisión estamos en

presencia de un choque inelástico y no se conserva la energía cinética del sistema. Por

ejemplo, si chocan dos automóviles y se mueven pegados después de la colisión, aunque en

el caso que los cuerpos continúan pegados, más bien se habla de choque totalmente

inelástico.

Principio de conservación del momentum lineal en los choques

En los casos que no existen fuerzas externas que actúen sobre los cuerpos que chocan, la

cantidad de movimiento del sistema se conserva, si sobre él sólo actúan fuerzas internas.

Por lo tanto la cantidad de movimiento de un sistema de cuerpos que chocan,

inmediatamente antes de la colisión, es igual a la cantidad de movimiento, inmediatamente

después del choque.

En la figura 4 vemos un ejemplo de un choque elástico, para explicar la conservación de

momentum.

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Consideremos una colisión directa entre las masas m1 y m2, como lo muestra la figura 4.Suponga que las superficies están libres de fricción. Indicamos sus velocidades antes del

impacto v1A y v2A ; y después del impacto como v1D y v2D. El impulso de la fuerza F12 que

actúa sobre la masa m2 es

En forma similar, el impulso de la fuerza F21 sobre la masa m1 es

Durante el intervalo de tiempo t, F12 = -F21, de modo que

O bien,

Y, finalmente, reagrupando los términos

(ANTES)

(DESPUES)

1m 2m

1m 2m

1m 2m

fig. 4

v1A v2A

F21 · tF12 · t

v1D v2D

(DURANTE)

F12 · t = m2 · v2D – m2 · v2A

F21 · t = m1 · v1D – m1 · v1A

F12 · t = -F21 · t

m2 · v2D – m2 · v2A =(m1 · v1D – m1 · v1A)

PSISTEMA(ANTES)

m1 · v1A + m2 · v2A = m1 · v1D + m2 · v2D

PSISTEMA(DESPUÉS)

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EJEMPLOS

1. Un móvil cambia de posición en el tiempo, tal como lo muestra la figura. Si la masa delmóvil es de 8 kg, entonces el momentum que posee a los 10 s, expresado en unidadesdel SI, es

A) 2B) 4C) 10D) 40E) 200

2. Un mismo objeto es mostrado en tres situaciones distintas. En I se encuentra enreposo, en II está bajando por un plano inclinado con velocidad constante y en III estácayendo libremente. Respecto al cuerpo, es correcto decir que tendrá un momentumdistinto de cero

I) II) III)

A) solo en I.B) solo en II.C) solo en III.D) solo en I y II.E) solo en II y III.

3. En los casos I, II y III se muestran cuerpos con distinta masa y distinta velocidad, alrespecto se afirma que al comparar las cantidades de movimiento de los cuerpos escorrecto concluir que son iguales los casos

I) II) III)

A) I y II.B) I y III.C) II y III.D) I, II y III.E) ninguno de ellos.

m = 2 kgv = 12 m/s

m = 4 kgv = 6 m/s

m = 2 kgv = 12 m/s

t[s]

x[m]

10

5

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PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. Un cuerpo avanza en línea recta de modo que su momentum es p0. El mismo cuerpo apartir de cierto momento reduce su masa a la mitad y cuadruplica su rapidez, por lotanto, ahora su momentum es

A) p0/4.B) p0/2.C) p0.D) 2p0.E) 4p0.

2. En el gráfico que muestra la figura, se observa como varía la cantidad de movimientoversus la velocidad de una pelota, en base a él, se puede afirmar que la masa de lapelota, expresada en kg, es

A) A · BB) A / BC) B / AD) A · B / 2E) 2 · A · B

3. Un cuerpo de masa constante está bajando por un plano inclinado, y el gráfico de lafigura muestra cómo se comporta su momentum en función del tiempo. De laobservación del gráfico, es verdadero concluir que el cuerpo

A) está bajando con velocidad constante.B) está sometido a una fuerza neta mayor que cero.C) no posee momentum.D) experimenta una aceleración constante mayor que cero.E) está aumentando su momentum.

4. Dos cuerpos A y B, son soltados desde los 20 m y los 5 m de altura, respectivamente.Considerando que las respectivas masas de A y B son 2 kg y 4 kg, será correcto afirmarque al comparar sus cantidades de movimiento, pA y pB, cuando cada uno está llegandoal suelo, se cumple que

A) pA = pB

B) pA = 2pB

C) pA = 4pB

D) 4pA = pB

E) 2pA = pB

A

p [kg · m/s]

v[m/s]B

t

p

20 m

2 kg

5 m

4 kg

A B

8

5. Respecto a la cantidad de movimiento se afirma que

es una magnitud vectorial. solo depende de la velocidad. si se duplica la masa, el momentum disminuye a la mitad. la unidad de medida del momentum en el SI es el kg · m/s.

¿Cuántas afirmaciones son correctas?

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

6. Si Z y W representan, respectivamente, la velocidad y el momentum de un cuerpo, esposible, entonces que de las tres situaciones mostradas sea(n) correcta(s)

I) II) III)

A) solo IB) solo II.C) solo III.D) I, II y III.E) ninguna de ellas.

7. Juan y José están parados sobre patines en una pista de patinaje en hielo, Juan tieneuna masa de 80 kg y José de 60 kg. En cierto instante Juan empuja horizontalmente aJosé y este adquiere una velocidad de 0,8 m/s. Entonces, con respecto a Juan escorrecto decir que después del empujón se

A) quedará quieto.B) moverá con sentido opuesto a José y rapidez de 0,4 m/s.C) moverá con sentido opuesto a José y rapidez de 0,6 m/s.D) moverá con sentido opuesto a José y rapidez de 0,8 m/s.E) moverá con sentido opuesto a José y rapidez de 1,0 m/s.

Z

W

Z

W

Z

W

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8. Dos carritos pueden moverse sobre rieles horizontales en el laboratorio. El roce entrelos carritos y los rieles es despreciable. Inicialmente el carrito (1) está en reposo y elcarrito (2) que se mueve con velocidad constante va a chocar con el (1). Considere Tel instante del choque. El momentum total del sistema de carritos está mejorrepresentado por el gráfico

A) B) C)

D) E)

9. El gráfico de la figura muestra el comportamiento del módulo del momentum, de uncuerpo en función del tiempo, entonces es correcto afirmar que

A) el cuerpo se mueve por un plano inclinado.B) sobre el cuerpo actúa la fuerza de roce.C) la velocidad del cuerpo disminuye hasta parar.D) sobre el cuerpo actúa una fuerza variable.E) el gráfico puede representar una caída libre del cuerpo.

tT

p

tT

p

tT

p

tT

p

tT

p

0,2

10

t[s]

p [kg · m/s]

10

10. Un cuerpo rectangular se mantiene en reposo en el espacio hasta que en ciertomomento, debido a una explosión que ocurre en su interior, se fracciona en dos partesA y B, que salen disparadas hacia el espacio. Respecto a estas partes, se afirmacorrectamente que

A) A y B salen hacia el Sur.B) A y B salen hacia el Norte.C) si A sale hacia el Sur, B sale hacia el Oeste.D) si A sale hacie el Este, B sale hacia el Oeste.E) los dos trozos pueden salir hacia el mismo lado o hacia lados distintos.

11. ¿Cuál afirmación es FALSA respecto al impulso?

A) Es una magnitud vectorial.B) Siempre produce una variación en la cantidad de movimiento.C) Al chocar dos partículas se ejercen impulsos iguales.D) Tiene la misma dirección y sentido de la fuerza.E) Mientras mayor sea el tiempo de aplicación de la fuerza sobre un cuerpo, mayor

será el impulso sobre él.

12. La figura muestra un gráfico de fuerza versus tiempo, obtenida de un móvil que estabasiendo empujado. En base al gráfico, es correcto decir que el impulso ejercido sobre elmóvil es

A) 0,1 NsB) 0,2 NsC) 1,0 NsD) 2,0 NsE) 5,0 Ns

0,1

20

t[s]

F [N]

A B

11

13. Un carrito de 1,8 kg que se encuentra en reposo, es golpeado horizontalmente por unabolita de plasticina de 0,2 kg, quedando adherida al carrito. Si el conjunto tiene unarapidez de 1 m/s, la rapidez con la fue lanzada la plasticina es

A) 2 m/sB) 5 m/sC) 10 m/sD) 18 m/sE) 20 m/s

14. ¿En cuál de los siguientes casos se conserva el momentum de una partícula de masaconstante?

A) En una caída libre.B) En un lanzamiento vertical hacia arriba.C) Al lanzar un cuerpo por un plano horizontal sin roce.D) En un plano inclinado sin roce.E) En un bus que está siendo frenado.

15. El momentum siempre tendrá la misma dirección y sentido que la

A) velocidad y la aceleración.B) fuerza y el desplazamiento.C) velocidad y el desplazamiento.D) aceleración y el desplazamiento.E) fuerza y la aceleración.

16. La figura muestra un gráfico de velocidad versus tiempo, construido con valorestomados de un camión en movimiento, al respecto es correcto afirmar que el camión

A) disminuyó su cantidad de movimiento.B) mantuvo constante su impulso y su momentum.C) no fue sometido a ningún impulso.D) conservó su momentum.E) ninguna de las anteriores.

t[s]

v[m/s]

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CLAVES DE LOS EJEMPLOS

1 B 2 E 3E

DMTRFC-12

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