ii. dinámica relativista licenciatura en tecnologÍa...

II. Dinámica Relativista

LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA

FÍSICA MODERNA

II. DINÁMICA RELATIVISTA

a) Velocidades Relativistas.

b) Dinámica Relativista.

c) Aceleración bajo una fuerza constante.

d) Invariantes Relativistas.

e) Transformación de campos electromagnéticos.

M. en C. Angel Figueroa Soto. [email protected] de Geociencias, UNAM http://www.geociencias.unam.mx/~angfsoto/


Objetivo: comportamiento de la naturaleza dado los postulados :

1.- Como suceden los fenómenos vistos desde diferentes marcos de referencia.

2.- Principio de Causalidad.

3.- Interacción de cuerpos entre sí

Newton, Lagrange, Hamilton, Poincaré, Einstein


02

21

m vmvv

c

S S’v t

Velocidades Relativistas.

Cantidad de Movimiento. Masa y Energía

( )dP d mvFdt dt


0 0 0 0

( ) ( ) ( )s s s s

cd mv dsE F ds ds d mv d mv v

dt dt

S S’v t



S’s

02 20 0

( ) ( )1

mv v

cm vE d mv v d v

v c


S S’v t



S’s

22 2 20

02 21c o

m cE m c mc m cv c

20c TE E m c

20T cE E m c


S S’v t



S’s

Para bajas velocidades:

¿?

2

2 1vc

2

22 2

1 1121

vcv c

2 20

12c oE m c m v


S S’v t


Obtener

2

2

'1

x vtxvc

2

2

2

'1

vt xct

vc

'y y

'z z

' ?dx ' ?dt

x’

t’

vx’



2

2

'1

x vtxvc

2

2

2

'1

vt xct

vc

'y y

'z z

2 2'

1dx vdtdx

v c

2

2 2'

1

vdt dxcdtv c

Velocidad medida desde el sistema de referencia S’:

' ''x

dxvdt

S S’v tx’

t’

vx’



Obtener las velocidades medida desde el sistema de referencia S’:

' ''x

dxvdt

' ''y

dyvdt

' ''z

dzvdt

S S’v tx’

t’

vx’



Obtener las velocidades medida desde el sistema de referencia S’:

'

21

xx

x

v vv v vc

2

2'

1

1

y

y

x

vvc

vv vc

2

2'

1

1

z

z

x

vvc

vv vc

S S’v tx’

t’

vx’


Velocidades Relativistas. Transformaciones Inversas

Velocidades desde el sistema S:

'y y'z z

?dx ?dt Velocidad medida desde el sistema de referencia S:

xdxvdt

2

2

2

' '

1

vt xct

vc

2

2

' '

1

x vtxvc

ydyvdt

zdzvdt

S S’v tx

t

vx


Análisis Vectorial y Matricial

Que es un Escalar, Vector, Matriz.

Sistema de Coordenadas.

Suma, Resta, Productos Escalar y Vectorial de Vectores.

Suma, Resta, Multiplicación de Matrices. Orden y Rango de matrices.


Análisis Tensorial

Los tensores son importantes en muchas áreas de la física, como relatividad general y electrodinámica.

Los escalares y los vectores son un caso especial de los tensores.

Un escalar está especificado por un número real y es un tensor de rango 0.

En el espacio de tres dimensiones, un vector es especificado por 3=31

números reales, y es un tensor de rango 1.

Un tensor de rango n tiene 3n componentes.

Describir el mundo físico por medio de las matemáticas, pero una predicción física debe de ser independiente de la convección matemática, tal como el sistema coordenado con su origen arbitrario o la orientación de sus ejes.


Análisis Tensorial

Tensor de Rango 1

Tensor de Rango 2

11 12 13 1'

21 22 23 2

31 32 33 3

i ij j ij jj

a a a AA a A a A a a a A

a a a A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

kl

A A AA A A A

A A A

'ij kl lj kl

iA a b C


Análisis Tensorial

En general, los tensores son sistemas de componentes organizados por uno o más índices que transforman, de acuerdo a reglas específicas bajo un conjunto de transformación.

El número de índices es llamado el rango del tensor.

En Cuatro dimensiones, las transformaciones son las transformaciones de Lorentz, y los tensores de rango 1 son llamados cuadri vectores

1 2 3ˆ ˆ ˆx y zx x x

' '

' j

i j ij

xx x x


Análisis TensorialConvenio de suma de Einstein

Tensor Simétrico.

Tensor Anti simétrico.

Delta de Kronecker

Símbolo de Levi-CivitaTensor de Rango 3

mn nmA A

mn nmA A

ij

ijk101

ijk pqk ip jq iq jp

ijk jki kij

ijk ikj jik kji

10


Análisis Tensorial

Producto Escalar

i i ic a b

Producto Vectorial.

Rotacional y Divergencia

A B C i ijk j kc a b

A B C

( )i ijk j kA A A

( )i i iA A A


Análisis Tensorial

( )i klm l m i i ilm l m ilm i l ma b c a b c a b c

( )A B C

lmi i l m l lmi m ia b c b c a ( )B C A

mil i l m m mil i la b c c a b ( )C A B

iml i l m i iml m la b c a c b ( )A C B

mli i l m m mli l ia b c c b a ( )C B A


Análisis Tensorial

( )D A B C

( ) ( )i ijk j k ijk j lmn m n kd a B C a b c

i ijk j kmn m nd a b c

i ijk kmn j m n ijk mnk j m nd a b c a b c

( )i im jn in jm j m nd a b c

i im jn j m n in jm j m nd a b c a b c

i ii jj j i j ii jj j j id a b c a b c

i i j j i j jd b a c c a b ( ) ( )D B A C C A B


Análisis Tensorial

( ) ( )A B C D

( )( )ijk j k ipq p q ijk j k ipq p q jki pqi j k p qa b c d a b c d a b c d

( ) ( )i iA B C D

( )jki pqi j k p q jp kq jq kp j k p qa b c d a b c d

jp kq j k p q jq kp j k p q jj kk j k j k jj kk j k k ja b c d a b c d a b c d a b c d

j k j k j k k j j j k k j j k ka b c d a b c d a c b d a d b c

( )( ) ( )( )A C B D A D B C


Análisis Tensorial

( )A B

( )A B

( )A

( )A


Transformación de Campos Electromagnéticos

Ecuaciones de Maxwell

( , )

( , )( , )

( , )

E E r t

B B r tr t

J J r t

0

t

t

E

B

E B

B E J

Ley de Gauss campo Eléctrico

Ley de Gauss campo Magnético

Ley de Faraday

Ley de Ampere

x x y y z z i iE E E E E

B A

( )i i ijk j kB A A



( , )

( , )( , )

( , )

E E r t

B B r tr t

J J r t

0

t

t

E

B

E B

B E J



Ley de Faraday

Ley de Ampere

( )tE A

( ) 0tE A

tE A

tE A

0i i t iE A



( , )

( , )( , )

( , )

E E r t

B B r tr t

J J r t

0

t

t

E

B

E B

B E J



Ley de Faraday

Ley de Ampere

( )t tE

( ) ( ) 0tB E J

0t E J

0t J

Ley de Conservación de la carga eléctrica



( , )

( , )( , )

( , )

E E r t

B B r tr t

J J r t

0

t

t

E

B

E B

B E J



Ley de Faraday

Ley de Ampere

Definimos los cuadrivectores:

Cuadri Velocidad

Cuadri Operador:

Cuadripotencial:

( , , , ) ( , )t x y z t

( , )A

0 1, 1 ,xA 2 ,yA 3 zA

0 ,t 1 ,x 2 ,y 3 z

( , , , )t x y zV V V V V 2 2,

1t

cVv c

2 2

,1

iVVv c



( , )

( , )( , )

( , )

E E r t

B B r tr t

J J r t

0

t

t

E

B

E B

B E J



Ley de Faraday

Ley de Ampere

Definimos la cuadri corriente:

El campo Electromagnético:

( , )j J

F

0 ,j 1 ,xj J 2 ,yj J

3 zj J

, 0,1,2,3



El campo Electromagnético: F

0 0 0 0 0( )i i i t i i t i i iF A A E


8. Un hombre abandona la tierra en una nave cohete que hace el recorrido de ida y vuelta a una estrella, situada a una distancia de 4 años-luz a la velocidad de 0.9c (OJO: Distancia y velocidad medidas desde la tierra). A su regreso a la tierra ¿cuánto tiempo es más joven que su hermano gemelo que permaneció en ella? (Un año luz es igual a 9.46 x 1015m).

Tiempo desde el sistema S

Tiempo desde el sistema S’

02

21

ttv

c

:t

0 :t220 1 vt tc

15(2)(4)(9.46 10 ) 8.80.9

dt añosv c

0 3.8t años

0 5t t años

ii. dinámica relativista licenciatura en tecnologÍa...

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