de las representaciones intuitivas de la negatividad a la …
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Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto Politeacutecnico
Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
DE LAS REPRESENTACIONES INTUITIVAS DE LA NEGATIVIDAD
A LA INTERPRETACIOacuteN FORMAL DEL CONCEPTO DE ENTERO
Tesis que presenta
Mario Hernaacutendez Peacuterez
Para obtener el Grado de Maestro en Ciencias
en la Especialidad de Matemaacutetica Educativa
Directora de Tesis Dra Aurora Gallardo Cabello
Meacutexico Distrito Federal Julio 2014
2
Agradezco al CONACYT por su apoyo para
mis estudios de Maestriacutea en Ciencias en
Matemaacutetica Educativa
Becario No 373649
3
Agradecimientos
A mi familia que
con su apoyo
han hecho posibles
mis Estudios
A los Doctores
del CINVESTAV
por los aprendizajes
en sus clases
que son muy valiosos
en mi profesioacuten
A la Doctora Aurora Gallardo Cabello por
guiarme en este camino de la Investigacioacuten en
Matemaacutetica Educativa y por el apoyo en la
conclusioacuten de la Tesis
A mis compantildeeros de la
Maestriacutea y a mis
amigos que estuvieron
siempre en la disposicioacuten
de escucharme y apoyarme
A los trabajadores de apoyo
de Matemaacutetica Educativa
por las atenciones al solicitar
los documentos que se requirieron
A la Dra Teresa Rojano Ceballos
y a la Dra Marta E Valdemoros Aacutelvarez
por sus sugerencias en la revisioacuten de
este Trabajo
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IacuteNDICE
RESUMEN
INTRODUCCIOacuteN
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO 9
11 Nuacutemero entero 9
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo 10
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio 12
14 Preguntas de investigacioacuten 14
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA 15
21 Perspectiva semioacutetica 15
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Alicia Bruno y Antonio
Martinoacuten 17
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio 19
2 3 1 Pilotaje 19
23 2 Cuestionario final 20
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO 21
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas equivalentes y
sentidos de uso de los negativos 21
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final 30
321 Anaacutelisis de resultados de las Tablas 66
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso 68
331 Conclusiones del Estudio de Caso 115
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES 121
5
41 Conclusiones Finales 121
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten 122
Referencias bibliograacuteficas 124
Apeacutendices 126
6
Resumen
En este documento se muestra el desempentildeo de 35 estudiantes de tercero de secundaria en
la aplicacioacuten de un cuestionario conformado esencialmente por problemas aditivos que retoma
cinco de las once categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Los sujetos pertenecen a una escuela
puacuteblica de la Ciudad de Meacutexico La investigacioacuten se realiza como alternativa a una problemaacutetica
documentada en estudios previos Gallardo (2002) donde se expresa que los estudiantes usan
positivos en problemas de negativos es decir no ven la necesidad del uso de la negatividad
Nuestra investigacioacuten incluye un Estudio de Caso donde la alumna explica al entrevistador los
procesos de resolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos y situaciones en contexto viacutea la forma
dialoacutegica
Los estudiantes usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos Filloy (1999) que van
desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos graacuteficos procedimientos
propios aritmeacutetica y aacutelgebra La categorizacioacuten de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos
permiten llegar a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las resoluciones
que obstaculizaron el arribo al uso preciso de negativos Se muestra que las equivalencias
semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de negativos en problemas aditivos Asimismo
consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas aunque tambieacuten se puso de manifiesto
la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los problemas
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Summary
In this document we tested the performance of 35 8th
grade students in completing a
questionnaire composed primarily of addition and subtraction problems utilizing five of the
eleven categories employed by Bruno and Martinoacuten (1997) Our study subjects are taken from a
public school in Mexico City Our research is realized in order to find alternatives to a
problematic which has been detected in previous studies Gallardo (2002) where it is shown that
students use positives in negative problems which is to say they avoid using negativity Our
research includes a Case Study where student explains to the interviewer the process by which
they resolve and execute additive problems and their situations in context through the form of
dialogue
Students use distinct Mathematical Systems of Signs Filloy (1999) which span from the
concrete to the formal verbal language graphical knowledge personal processes arithmetic and
algebra The categorization of the different Mathematical Systems of Signs allow us to reach the
formal resolution with negatives as well as its contrary the exposing of resolutions which stood
as obstacles against the precise use of negatives in the first place We have shown that semantic
equivalencies contribute towards making sense of the use of negatives in additive problems
Thus we considered the importance of syntactic expressions although we also discovered the
ambiguity surrounding the enunciation of certain problems
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INTRODUCCIOacuteN
En nuestra praacutectica docente hemos observado que los alumnos en muchos casos no
aceptan soluciones negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas
equivalentes utilizando el lenguaje natural Comenzamos el trabajo de investigacioacuten buscando
referencias respecto a nuestro tema como las siguientes Vergnaud (1982) Carpenter y Moser
(1984) Peled (1991) Janvier (1983) Bruno y Martinoacuten (1997 1999) Thompson y Dreyfus
(1998) Liebeck (1990) Gallardo (1995) Streefland (1996) Vlassis (2004) Gallardo y Basurto
(2009) Mejiacutea (2009) Alcaacutentara (2010) Bofferding y Richardson (2013) De todas estas
investigaciones elegimos solamente las que fundamentan nuestro estudio ver paacuteginas 12 y 13
del presenta documento
En la propuesta Institucional SEP (2006) se describen situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen algoritmos pero existe
una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal Debido a este vaciacuteo conceptual nos
hemos interesado en la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) como alternativa para que los
alumnos adviertan la presencia y uso de los negativos en la vida real
Nuestra investigacioacuten se sustenta fundamentalmente en el estudio realizado por Gallardo
y Basurto (2009) quienes han retomado la clasificacioacuten de once categoriacuteas de problemas
aditivos propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997) El resultado principal en Gallardo y Basurto
(2009) es la aparicioacuten de formas semaacutenticas equivalentes en la resolucioacuten de problemas
Nuestro intereacutes por los problemas aditivos es debido a que el enunciado verbal de los
mismos permite que los alumnos le den sentido a conceptos opuestos y los puedan simbolizar
con positivos y negativos de una manera natural e ir avanzando cada vez maacutes hacia
representaciones formales Pretendemos en esta investigacioacuten validar una ensentildeanza que advierta
la inevitable extensioacuten del dominio numeacuterico en la resolucioacuten de este tipo de problemas
Las dificultades mayores encontradas en el Estudio se refieren a la tendencia de los
estudiantes por el uso de nuacutemeros positivos exclusivamente en la resolucioacuten de problemas
aditivos
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CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO
11 Nuacutemero entero
Vargas et al (1990) sentildealan la existencia de distintas viacuteas de acceso a los enteros (Z)
Sintetizamos la informacioacuten del texto anterior relativo al concepto de nuacutemero entero y la
concepcioacuten de las operaciones de suma y resta en Z Uno de los primeros pasos en la ensentildeanza
del concepto de nuacutemero entero es la presentacioacuten de situaciones concretas en las que se
encuentran estos nuacutemeros La constitucioacuten de este conjunto de nuacutemeros implica mucho maacutes que
situaciones concretas No todas las operaciones con enteros tienen en cada contexto una
representacioacuten concreta e intuitiva Asiacute por ejemplo multiplicar temperaturas no tiene sentido
Tampoco es faacutecil encontrar una representacioacuten intuitiva en la reduccioacuten de deudas es auacuten maacutes
difiacutecil representar la multiplicacioacuten de enteros Los enteros son un contenido de ensentildeanza
donde se debe mostrar a traveacutes del planteamiento de situaciones problemaacuteticas que los nuacutemeros
naturales (N) resultan insuficientes y a partir de esta necesidad constituir los nuacutemeros enteros
Una de las dificultades para aceptar a estos nuacutemeros es la ausencia de significados concretos
Dentro de cada marco conceptual (aritmeacutetica aacutelgebra y geometriacutea) existen distintas viacuteas de
acceso a N En este apartado de tesis soacutelo explicaremos algunas viacuteas En aritmeacutetica la
insuficiencia en N para hacer vaacutelidas expresiones como 0-1 3-4 nos conduce a la necesidad de
usar otro tipo de nuacutemeros Es posible partir de situaciones concretas establecer los enteros y
definir las operaciones directamente pero expresiones como 8 ndash(-3) oacute (-2)(-4) no tienen una
representacioacuten concreta faacutecil de encontrar por lo que una alternativa es que despueacutes de haber
trabajado con las representaciones es necesario dejarlas a un lado definir la resta a partir de la
suma y considerar a la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros negativos como una resta reiterada En
aacutelgebra existen expresiones en que se hace necesario el uso de enteros
La ecuacioacuten x+ a= b tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales siempre que
ltltagtgt sea menor o igual que ltltbgtgt Estas ecuaciones de primer grado se pueden reducir
a los tipos x + a = 0 o x ndash a = 0 donde ltltagtgt es un nuacutemero natural Las ecuaciones del
tipo ltltx ndash a = 0gtgt tienen por solucioacuten a ltltagtgt que es un nuacutemero natural Sin embargo
las ecuaciones ltltx + a = 0gtgt no tienen solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales
por lo que es necesario definir una serie de nuevos nuacutemeros que sean las soluciones de
estas ecuaciones a tales nuacutemeros se les denomina nuacutemeros negativos y se suelen denotar
por ltlt-1gtgt la solucioacuten de x + 1 = 0 ltlt-2gtgt la solucioacuten de x + 2 = 0 etc
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
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y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
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1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
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CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
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T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
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22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
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La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
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23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
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2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
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331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
Referencias bibliograacuteficas
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126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
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del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
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SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
Bruno A y Martinoacuten A (1994) La recta en el aprendizaje de los nuacutemeros negativos Suma 18
pp 39-48
Bruno A y Martinoacuten A (1997) Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
Educacioacuten Matemaacutetica Vol 9 No 1 pp 33-46
Gallardo A (1994) El estatus de los nuacutemeros negativos en la resolucioacuten de ecuaciones
algebraicas Tesis Doctoral Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del IPN
Meacutexico
Gallardo A (2002) The extension of the natural-number domain to the integers in the transition
from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
Publishers The Netherlands Vol 49 pp 171-192
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
2
Agradezco al CONACYT por su apoyo para
mis estudios de Maestriacutea en Ciencias en
Matemaacutetica Educativa
Becario No 373649
3
Agradecimientos
A mi familia que
con su apoyo
han hecho posibles
mis Estudios
A los Doctores
del CINVESTAV
por los aprendizajes
en sus clases
que son muy valiosos
en mi profesioacuten
A la Doctora Aurora Gallardo Cabello por
guiarme en este camino de la Investigacioacuten en
Matemaacutetica Educativa y por el apoyo en la
conclusioacuten de la Tesis
A mis compantildeeros de la
Maestriacutea y a mis
amigos que estuvieron
siempre en la disposicioacuten
de escucharme y apoyarme
A los trabajadores de apoyo
de Matemaacutetica Educativa
por las atenciones al solicitar
los documentos que se requirieron
A la Dra Teresa Rojano Ceballos
y a la Dra Marta E Valdemoros Aacutelvarez
por sus sugerencias en la revisioacuten de
este Trabajo
4
IacuteNDICE
RESUMEN
INTRODUCCIOacuteN
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO 9
11 Nuacutemero entero 9
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo 10
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio 12
14 Preguntas de investigacioacuten 14
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA 15
21 Perspectiva semioacutetica 15
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Alicia Bruno y Antonio
Martinoacuten 17
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio 19
2 3 1 Pilotaje 19
23 2 Cuestionario final 20
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO 21
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas equivalentes y
sentidos de uso de los negativos 21
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final 30
321 Anaacutelisis de resultados de las Tablas 66
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso 68
331 Conclusiones del Estudio de Caso 115
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES 121
5
41 Conclusiones Finales 121
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten 122
Referencias bibliograacuteficas 124
Apeacutendices 126
6
Resumen
En este documento se muestra el desempentildeo de 35 estudiantes de tercero de secundaria en
la aplicacioacuten de un cuestionario conformado esencialmente por problemas aditivos que retoma
cinco de las once categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Los sujetos pertenecen a una escuela
puacuteblica de la Ciudad de Meacutexico La investigacioacuten se realiza como alternativa a una problemaacutetica
documentada en estudios previos Gallardo (2002) donde se expresa que los estudiantes usan
positivos en problemas de negativos es decir no ven la necesidad del uso de la negatividad
Nuestra investigacioacuten incluye un Estudio de Caso donde la alumna explica al entrevistador los
procesos de resolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos y situaciones en contexto viacutea la forma
dialoacutegica
Los estudiantes usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos Filloy (1999) que van
desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos graacuteficos procedimientos
propios aritmeacutetica y aacutelgebra La categorizacioacuten de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos
permiten llegar a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las resoluciones
que obstaculizaron el arribo al uso preciso de negativos Se muestra que las equivalencias
semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de negativos en problemas aditivos Asimismo
consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas aunque tambieacuten se puso de manifiesto
la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los problemas
7
Summary
In this document we tested the performance of 35 8th
grade students in completing a
questionnaire composed primarily of addition and subtraction problems utilizing five of the
eleven categories employed by Bruno and Martinoacuten (1997) Our study subjects are taken from a
public school in Mexico City Our research is realized in order to find alternatives to a
problematic which has been detected in previous studies Gallardo (2002) where it is shown that
students use positives in negative problems which is to say they avoid using negativity Our
research includes a Case Study where student explains to the interviewer the process by which
they resolve and execute additive problems and their situations in context through the form of
dialogue
Students use distinct Mathematical Systems of Signs Filloy (1999) which span from the
concrete to the formal verbal language graphical knowledge personal processes arithmetic and
algebra The categorization of the different Mathematical Systems of Signs allow us to reach the
formal resolution with negatives as well as its contrary the exposing of resolutions which stood
as obstacles against the precise use of negatives in the first place We have shown that semantic
equivalencies contribute towards making sense of the use of negatives in additive problems
Thus we considered the importance of syntactic expressions although we also discovered the
ambiguity surrounding the enunciation of certain problems
8
INTRODUCCIOacuteN
En nuestra praacutectica docente hemos observado que los alumnos en muchos casos no
aceptan soluciones negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas
equivalentes utilizando el lenguaje natural Comenzamos el trabajo de investigacioacuten buscando
referencias respecto a nuestro tema como las siguientes Vergnaud (1982) Carpenter y Moser
(1984) Peled (1991) Janvier (1983) Bruno y Martinoacuten (1997 1999) Thompson y Dreyfus
(1998) Liebeck (1990) Gallardo (1995) Streefland (1996) Vlassis (2004) Gallardo y Basurto
(2009) Mejiacutea (2009) Alcaacutentara (2010) Bofferding y Richardson (2013) De todas estas
investigaciones elegimos solamente las que fundamentan nuestro estudio ver paacuteginas 12 y 13
del presenta documento
En la propuesta Institucional SEP (2006) se describen situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen algoritmos pero existe
una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal Debido a este vaciacuteo conceptual nos
hemos interesado en la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) como alternativa para que los
alumnos adviertan la presencia y uso de los negativos en la vida real
Nuestra investigacioacuten se sustenta fundamentalmente en el estudio realizado por Gallardo
y Basurto (2009) quienes han retomado la clasificacioacuten de once categoriacuteas de problemas
aditivos propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997) El resultado principal en Gallardo y Basurto
(2009) es la aparicioacuten de formas semaacutenticas equivalentes en la resolucioacuten de problemas
Nuestro intereacutes por los problemas aditivos es debido a que el enunciado verbal de los
mismos permite que los alumnos le den sentido a conceptos opuestos y los puedan simbolizar
con positivos y negativos de una manera natural e ir avanzando cada vez maacutes hacia
representaciones formales Pretendemos en esta investigacioacuten validar una ensentildeanza que advierta
la inevitable extensioacuten del dominio numeacuterico en la resolucioacuten de este tipo de problemas
Las dificultades mayores encontradas en el Estudio se refieren a la tendencia de los
estudiantes por el uso de nuacutemeros positivos exclusivamente en la resolucioacuten de problemas
aditivos
9
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO
11 Nuacutemero entero
Vargas et al (1990) sentildealan la existencia de distintas viacuteas de acceso a los enteros (Z)
Sintetizamos la informacioacuten del texto anterior relativo al concepto de nuacutemero entero y la
concepcioacuten de las operaciones de suma y resta en Z Uno de los primeros pasos en la ensentildeanza
del concepto de nuacutemero entero es la presentacioacuten de situaciones concretas en las que se
encuentran estos nuacutemeros La constitucioacuten de este conjunto de nuacutemeros implica mucho maacutes que
situaciones concretas No todas las operaciones con enteros tienen en cada contexto una
representacioacuten concreta e intuitiva Asiacute por ejemplo multiplicar temperaturas no tiene sentido
Tampoco es faacutecil encontrar una representacioacuten intuitiva en la reduccioacuten de deudas es auacuten maacutes
difiacutecil representar la multiplicacioacuten de enteros Los enteros son un contenido de ensentildeanza
donde se debe mostrar a traveacutes del planteamiento de situaciones problemaacuteticas que los nuacutemeros
naturales (N) resultan insuficientes y a partir de esta necesidad constituir los nuacutemeros enteros
Una de las dificultades para aceptar a estos nuacutemeros es la ausencia de significados concretos
Dentro de cada marco conceptual (aritmeacutetica aacutelgebra y geometriacutea) existen distintas viacuteas de
acceso a N En este apartado de tesis soacutelo explicaremos algunas viacuteas En aritmeacutetica la
insuficiencia en N para hacer vaacutelidas expresiones como 0-1 3-4 nos conduce a la necesidad de
usar otro tipo de nuacutemeros Es posible partir de situaciones concretas establecer los enteros y
definir las operaciones directamente pero expresiones como 8 ndash(-3) oacute (-2)(-4) no tienen una
representacioacuten concreta faacutecil de encontrar por lo que una alternativa es que despueacutes de haber
trabajado con las representaciones es necesario dejarlas a un lado definir la resta a partir de la
suma y considerar a la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros negativos como una resta reiterada En
aacutelgebra existen expresiones en que se hace necesario el uso de enteros
La ecuacioacuten x+ a= b tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales siempre que
ltltagtgt sea menor o igual que ltltbgtgt Estas ecuaciones de primer grado se pueden reducir
a los tipos x + a = 0 o x ndash a = 0 donde ltltagtgt es un nuacutemero natural Las ecuaciones del
tipo ltltx ndash a = 0gtgt tienen por solucioacuten a ltltagtgt que es un nuacutemero natural Sin embargo
las ecuaciones ltltx + a = 0gtgt no tienen solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales
por lo que es necesario definir una serie de nuevos nuacutemeros que sean las soluciones de
estas ecuaciones a tales nuacutemeros se les denomina nuacutemeros negativos y se suelen denotar
por ltlt-1gtgt la solucioacuten de x + 1 = 0 ltlt-2gtgt la solucioacuten de x + 2 = 0 etc
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
15
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
16
T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
17
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
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331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
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1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
Bruno A y Martinoacuten A (1997) Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas
aditivos Educacioacuten Matemaacutetica Vol 9 No 1 pp 33-46
Cohen L y Manion L (1990) Triangulacioacuten Meacutetodos de investigacioacuten
Educativa Madrid La Muralla
Filloy E y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio G (1999) Aspectos teoacutericos
del aacutelgebra educativa Meacutexico Grupo Editorial Iberoameacuterica
Gallardo A y Basurto E (2009) Formas semaacutenticas equivalentes en problemas
del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
Bruno A y Martinoacuten A (1994) La recta en el aprendizaje de los nuacutemeros negativos Suma 18
pp 39-48
Bruno A y Martinoacuten A (1997) Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
Educacioacuten Matemaacutetica Vol 9 No 1 pp 33-46
Gallardo A (1994) El estatus de los nuacutemeros negativos en la resolucioacuten de ecuaciones
algebraicas Tesis Doctoral Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del IPN
Meacutexico
Gallardo A (2002) The extension of the natural-number domain to the integers in the transition
from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
Publishers The Netherlands Vol 49 pp 171-192
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
3
Agradecimientos
A mi familia que
con su apoyo
han hecho posibles
mis Estudios
A los Doctores
del CINVESTAV
por los aprendizajes
en sus clases
que son muy valiosos
en mi profesioacuten
A la Doctora Aurora Gallardo Cabello por
guiarme en este camino de la Investigacioacuten en
Matemaacutetica Educativa y por el apoyo en la
conclusioacuten de la Tesis
A mis compantildeeros de la
Maestriacutea y a mis
amigos que estuvieron
siempre en la disposicioacuten
de escucharme y apoyarme
A los trabajadores de apoyo
de Matemaacutetica Educativa
por las atenciones al solicitar
los documentos que se requirieron
A la Dra Teresa Rojano Ceballos
y a la Dra Marta E Valdemoros Aacutelvarez
por sus sugerencias en la revisioacuten de
este Trabajo
4
IacuteNDICE
RESUMEN
INTRODUCCIOacuteN
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO 9
11 Nuacutemero entero 9
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo 10
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio 12
14 Preguntas de investigacioacuten 14
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA 15
21 Perspectiva semioacutetica 15
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Alicia Bruno y Antonio
Martinoacuten 17
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio 19
2 3 1 Pilotaje 19
23 2 Cuestionario final 20
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO 21
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas equivalentes y
sentidos de uso de los negativos 21
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final 30
321 Anaacutelisis de resultados de las Tablas 66
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso 68
331 Conclusiones del Estudio de Caso 115
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES 121
5
41 Conclusiones Finales 121
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten 122
Referencias bibliograacuteficas 124
Apeacutendices 126
6
Resumen
En este documento se muestra el desempentildeo de 35 estudiantes de tercero de secundaria en
la aplicacioacuten de un cuestionario conformado esencialmente por problemas aditivos que retoma
cinco de las once categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Los sujetos pertenecen a una escuela
puacuteblica de la Ciudad de Meacutexico La investigacioacuten se realiza como alternativa a una problemaacutetica
documentada en estudios previos Gallardo (2002) donde se expresa que los estudiantes usan
positivos en problemas de negativos es decir no ven la necesidad del uso de la negatividad
Nuestra investigacioacuten incluye un Estudio de Caso donde la alumna explica al entrevistador los
procesos de resolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos y situaciones en contexto viacutea la forma
dialoacutegica
Los estudiantes usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos Filloy (1999) que van
desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos graacuteficos procedimientos
propios aritmeacutetica y aacutelgebra La categorizacioacuten de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos
permiten llegar a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las resoluciones
que obstaculizaron el arribo al uso preciso de negativos Se muestra que las equivalencias
semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de negativos en problemas aditivos Asimismo
consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas aunque tambieacuten se puso de manifiesto
la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los problemas
7
Summary
In this document we tested the performance of 35 8th
grade students in completing a
questionnaire composed primarily of addition and subtraction problems utilizing five of the
eleven categories employed by Bruno and Martinoacuten (1997) Our study subjects are taken from a
public school in Mexico City Our research is realized in order to find alternatives to a
problematic which has been detected in previous studies Gallardo (2002) where it is shown that
students use positives in negative problems which is to say they avoid using negativity Our
research includes a Case Study where student explains to the interviewer the process by which
they resolve and execute additive problems and their situations in context through the form of
dialogue
Students use distinct Mathematical Systems of Signs Filloy (1999) which span from the
concrete to the formal verbal language graphical knowledge personal processes arithmetic and
algebra The categorization of the different Mathematical Systems of Signs allow us to reach the
formal resolution with negatives as well as its contrary the exposing of resolutions which stood
as obstacles against the precise use of negatives in the first place We have shown that semantic
equivalencies contribute towards making sense of the use of negatives in additive problems
Thus we considered the importance of syntactic expressions although we also discovered the
ambiguity surrounding the enunciation of certain problems
8
INTRODUCCIOacuteN
En nuestra praacutectica docente hemos observado que los alumnos en muchos casos no
aceptan soluciones negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas
equivalentes utilizando el lenguaje natural Comenzamos el trabajo de investigacioacuten buscando
referencias respecto a nuestro tema como las siguientes Vergnaud (1982) Carpenter y Moser
(1984) Peled (1991) Janvier (1983) Bruno y Martinoacuten (1997 1999) Thompson y Dreyfus
(1998) Liebeck (1990) Gallardo (1995) Streefland (1996) Vlassis (2004) Gallardo y Basurto
(2009) Mejiacutea (2009) Alcaacutentara (2010) Bofferding y Richardson (2013) De todas estas
investigaciones elegimos solamente las que fundamentan nuestro estudio ver paacuteginas 12 y 13
del presenta documento
En la propuesta Institucional SEP (2006) se describen situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen algoritmos pero existe
una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal Debido a este vaciacuteo conceptual nos
hemos interesado en la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) como alternativa para que los
alumnos adviertan la presencia y uso de los negativos en la vida real
Nuestra investigacioacuten se sustenta fundamentalmente en el estudio realizado por Gallardo
y Basurto (2009) quienes han retomado la clasificacioacuten de once categoriacuteas de problemas
aditivos propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997) El resultado principal en Gallardo y Basurto
(2009) es la aparicioacuten de formas semaacutenticas equivalentes en la resolucioacuten de problemas
Nuestro intereacutes por los problemas aditivos es debido a que el enunciado verbal de los
mismos permite que los alumnos le den sentido a conceptos opuestos y los puedan simbolizar
con positivos y negativos de una manera natural e ir avanzando cada vez maacutes hacia
representaciones formales Pretendemos en esta investigacioacuten validar una ensentildeanza que advierta
la inevitable extensioacuten del dominio numeacuterico en la resolucioacuten de este tipo de problemas
Las dificultades mayores encontradas en el Estudio se refieren a la tendencia de los
estudiantes por el uso de nuacutemeros positivos exclusivamente en la resolucioacuten de problemas
aditivos
9
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO
11 Nuacutemero entero
Vargas et al (1990) sentildealan la existencia de distintas viacuteas de acceso a los enteros (Z)
Sintetizamos la informacioacuten del texto anterior relativo al concepto de nuacutemero entero y la
concepcioacuten de las operaciones de suma y resta en Z Uno de los primeros pasos en la ensentildeanza
del concepto de nuacutemero entero es la presentacioacuten de situaciones concretas en las que se
encuentran estos nuacutemeros La constitucioacuten de este conjunto de nuacutemeros implica mucho maacutes que
situaciones concretas No todas las operaciones con enteros tienen en cada contexto una
representacioacuten concreta e intuitiva Asiacute por ejemplo multiplicar temperaturas no tiene sentido
Tampoco es faacutecil encontrar una representacioacuten intuitiva en la reduccioacuten de deudas es auacuten maacutes
difiacutecil representar la multiplicacioacuten de enteros Los enteros son un contenido de ensentildeanza
donde se debe mostrar a traveacutes del planteamiento de situaciones problemaacuteticas que los nuacutemeros
naturales (N) resultan insuficientes y a partir de esta necesidad constituir los nuacutemeros enteros
Una de las dificultades para aceptar a estos nuacutemeros es la ausencia de significados concretos
Dentro de cada marco conceptual (aritmeacutetica aacutelgebra y geometriacutea) existen distintas viacuteas de
acceso a N En este apartado de tesis soacutelo explicaremos algunas viacuteas En aritmeacutetica la
insuficiencia en N para hacer vaacutelidas expresiones como 0-1 3-4 nos conduce a la necesidad de
usar otro tipo de nuacutemeros Es posible partir de situaciones concretas establecer los enteros y
definir las operaciones directamente pero expresiones como 8 ndash(-3) oacute (-2)(-4) no tienen una
representacioacuten concreta faacutecil de encontrar por lo que una alternativa es que despueacutes de haber
trabajado con las representaciones es necesario dejarlas a un lado definir la resta a partir de la
suma y considerar a la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros negativos como una resta reiterada En
aacutelgebra existen expresiones en que se hace necesario el uso de enteros
La ecuacioacuten x+ a= b tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales siempre que
ltltagtgt sea menor o igual que ltltbgtgt Estas ecuaciones de primer grado se pueden reducir
a los tipos x + a = 0 o x ndash a = 0 donde ltltagtgt es un nuacutemero natural Las ecuaciones del
tipo ltltx ndash a = 0gtgt tienen por solucioacuten a ltltagtgt que es un nuacutemero natural Sin embargo
las ecuaciones ltltx + a = 0gtgt no tienen solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales
por lo que es necesario definir una serie de nuevos nuacutemeros que sean las soluciones de
estas ecuaciones a tales nuacutemeros se les denomina nuacutemeros negativos y se suelen denotar
por ltlt-1gtgt la solucioacuten de x + 1 = 0 ltlt-2gtgt la solucioacuten de x + 2 = 0 etc
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
15
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
16
T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
17
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
Referencias bibliograacuteficas
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Tesis de maestriacutea DME Cinvestav del IPN Meacutexico
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125
SEP 1994 Plan y programas de estudio 1993 Educacioacuten Secundaria Subsecretariacutea de
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Meacutexico SEP
SEP 2006 Educacioacuten Baacutesica Secundaria Matemaacuteticas Programas de estudio 2006 Direccioacuten
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Additions and Subtraction A cognitive Perspective (35-59) New Jersey Lawrance
Erlbaum Associates
126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
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del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
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from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
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SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
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333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
4
IacuteNDICE
RESUMEN
INTRODUCCIOacuteN
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO 9
11 Nuacutemero entero 9
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo 10
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio 12
14 Preguntas de investigacioacuten 14
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA 15
21 Perspectiva semioacutetica 15
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Alicia Bruno y Antonio
Martinoacuten 17
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio 19
2 3 1 Pilotaje 19
23 2 Cuestionario final 20
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO 21
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas equivalentes y
sentidos de uso de los negativos 21
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final 30
321 Anaacutelisis de resultados de las Tablas 66
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso 68
331 Conclusiones del Estudio de Caso 115
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES 121
5
41 Conclusiones Finales 121
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten 122
Referencias bibliograacuteficas 124
Apeacutendices 126
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Resumen
En este documento se muestra el desempentildeo de 35 estudiantes de tercero de secundaria en
la aplicacioacuten de un cuestionario conformado esencialmente por problemas aditivos que retoma
cinco de las once categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Los sujetos pertenecen a una escuela
puacuteblica de la Ciudad de Meacutexico La investigacioacuten se realiza como alternativa a una problemaacutetica
documentada en estudios previos Gallardo (2002) donde se expresa que los estudiantes usan
positivos en problemas de negativos es decir no ven la necesidad del uso de la negatividad
Nuestra investigacioacuten incluye un Estudio de Caso donde la alumna explica al entrevistador los
procesos de resolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos y situaciones en contexto viacutea la forma
dialoacutegica
Los estudiantes usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos Filloy (1999) que van
desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos graacuteficos procedimientos
propios aritmeacutetica y aacutelgebra La categorizacioacuten de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos
permiten llegar a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las resoluciones
que obstaculizaron el arribo al uso preciso de negativos Se muestra que las equivalencias
semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de negativos en problemas aditivos Asimismo
consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas aunque tambieacuten se puso de manifiesto
la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los problemas
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Summary
In this document we tested the performance of 35 8th
grade students in completing a
questionnaire composed primarily of addition and subtraction problems utilizing five of the
eleven categories employed by Bruno and Martinoacuten (1997) Our study subjects are taken from a
public school in Mexico City Our research is realized in order to find alternatives to a
problematic which has been detected in previous studies Gallardo (2002) where it is shown that
students use positives in negative problems which is to say they avoid using negativity Our
research includes a Case Study where student explains to the interviewer the process by which
they resolve and execute additive problems and their situations in context through the form of
dialogue
Students use distinct Mathematical Systems of Signs Filloy (1999) which span from the
concrete to the formal verbal language graphical knowledge personal processes arithmetic and
algebra The categorization of the different Mathematical Systems of Signs allow us to reach the
formal resolution with negatives as well as its contrary the exposing of resolutions which stood
as obstacles against the precise use of negatives in the first place We have shown that semantic
equivalencies contribute towards making sense of the use of negatives in additive problems
Thus we considered the importance of syntactic expressions although we also discovered the
ambiguity surrounding the enunciation of certain problems
8
INTRODUCCIOacuteN
En nuestra praacutectica docente hemos observado que los alumnos en muchos casos no
aceptan soluciones negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas
equivalentes utilizando el lenguaje natural Comenzamos el trabajo de investigacioacuten buscando
referencias respecto a nuestro tema como las siguientes Vergnaud (1982) Carpenter y Moser
(1984) Peled (1991) Janvier (1983) Bruno y Martinoacuten (1997 1999) Thompson y Dreyfus
(1998) Liebeck (1990) Gallardo (1995) Streefland (1996) Vlassis (2004) Gallardo y Basurto
(2009) Mejiacutea (2009) Alcaacutentara (2010) Bofferding y Richardson (2013) De todas estas
investigaciones elegimos solamente las que fundamentan nuestro estudio ver paacuteginas 12 y 13
del presenta documento
En la propuesta Institucional SEP (2006) se describen situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen algoritmos pero existe
una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal Debido a este vaciacuteo conceptual nos
hemos interesado en la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) como alternativa para que los
alumnos adviertan la presencia y uso de los negativos en la vida real
Nuestra investigacioacuten se sustenta fundamentalmente en el estudio realizado por Gallardo
y Basurto (2009) quienes han retomado la clasificacioacuten de once categoriacuteas de problemas
aditivos propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997) El resultado principal en Gallardo y Basurto
(2009) es la aparicioacuten de formas semaacutenticas equivalentes en la resolucioacuten de problemas
Nuestro intereacutes por los problemas aditivos es debido a que el enunciado verbal de los
mismos permite que los alumnos le den sentido a conceptos opuestos y los puedan simbolizar
con positivos y negativos de una manera natural e ir avanzando cada vez maacutes hacia
representaciones formales Pretendemos en esta investigacioacuten validar una ensentildeanza que advierta
la inevitable extensioacuten del dominio numeacuterico en la resolucioacuten de este tipo de problemas
Las dificultades mayores encontradas en el Estudio se refieren a la tendencia de los
estudiantes por el uso de nuacutemeros positivos exclusivamente en la resolucioacuten de problemas
aditivos
9
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO
11 Nuacutemero entero
Vargas et al (1990) sentildealan la existencia de distintas viacuteas de acceso a los enteros (Z)
Sintetizamos la informacioacuten del texto anterior relativo al concepto de nuacutemero entero y la
concepcioacuten de las operaciones de suma y resta en Z Uno de los primeros pasos en la ensentildeanza
del concepto de nuacutemero entero es la presentacioacuten de situaciones concretas en las que se
encuentran estos nuacutemeros La constitucioacuten de este conjunto de nuacutemeros implica mucho maacutes que
situaciones concretas No todas las operaciones con enteros tienen en cada contexto una
representacioacuten concreta e intuitiva Asiacute por ejemplo multiplicar temperaturas no tiene sentido
Tampoco es faacutecil encontrar una representacioacuten intuitiva en la reduccioacuten de deudas es auacuten maacutes
difiacutecil representar la multiplicacioacuten de enteros Los enteros son un contenido de ensentildeanza
donde se debe mostrar a traveacutes del planteamiento de situaciones problemaacuteticas que los nuacutemeros
naturales (N) resultan insuficientes y a partir de esta necesidad constituir los nuacutemeros enteros
Una de las dificultades para aceptar a estos nuacutemeros es la ausencia de significados concretos
Dentro de cada marco conceptual (aritmeacutetica aacutelgebra y geometriacutea) existen distintas viacuteas de
acceso a N En este apartado de tesis soacutelo explicaremos algunas viacuteas En aritmeacutetica la
insuficiencia en N para hacer vaacutelidas expresiones como 0-1 3-4 nos conduce a la necesidad de
usar otro tipo de nuacutemeros Es posible partir de situaciones concretas establecer los enteros y
definir las operaciones directamente pero expresiones como 8 ndash(-3) oacute (-2)(-4) no tienen una
representacioacuten concreta faacutecil de encontrar por lo que una alternativa es que despueacutes de haber
trabajado con las representaciones es necesario dejarlas a un lado definir la resta a partir de la
suma y considerar a la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros negativos como una resta reiterada En
aacutelgebra existen expresiones en que se hace necesario el uso de enteros
La ecuacioacuten x+ a= b tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales siempre que
ltltagtgt sea menor o igual que ltltbgtgt Estas ecuaciones de primer grado se pueden reducir
a los tipos x + a = 0 o x ndash a = 0 donde ltltagtgt es un nuacutemero natural Las ecuaciones del
tipo ltltx ndash a = 0gtgt tienen por solucioacuten a ltltagtgt que es un nuacutemero natural Sin embargo
las ecuaciones ltltx + a = 0gtgt no tienen solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales
por lo que es necesario definir una serie de nuevos nuacutemeros que sean las soluciones de
estas ecuaciones a tales nuacutemeros se les denomina nuacutemeros negativos y se suelen denotar
por ltlt-1gtgt la solucioacuten de x + 1 = 0 ltlt-2gtgt la solucioacuten de x + 2 = 0 etc
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
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CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
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T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
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22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
Referencias bibliograacuteficas
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125
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Meacutexico SEP
SEP 2006 Educacioacuten Baacutesica Secundaria Matemaacuteticas Programas de estudio 2006 Direccioacuten
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126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
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del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
Bruno A y Martinoacuten A (1994) La recta en el aprendizaje de los nuacutemeros negativos Suma 18
pp 39-48
Bruno A y Martinoacuten A (1997) Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
Educacioacuten Matemaacutetica Vol 9 No 1 pp 33-46
Gallardo A (1994) El estatus de los nuacutemeros negativos en la resolucioacuten de ecuaciones
algebraicas Tesis Doctoral Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del IPN
Meacutexico
Gallardo A (2002) The extension of the natural-number domain to the integers in the transition
from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
Publishers The Netherlands Vol 49 pp 171-192
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
5
41 Conclusiones Finales 121
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten 122
Referencias bibliograacuteficas 124
Apeacutendices 126
6
Resumen
En este documento se muestra el desempentildeo de 35 estudiantes de tercero de secundaria en
la aplicacioacuten de un cuestionario conformado esencialmente por problemas aditivos que retoma
cinco de las once categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Los sujetos pertenecen a una escuela
puacuteblica de la Ciudad de Meacutexico La investigacioacuten se realiza como alternativa a una problemaacutetica
documentada en estudios previos Gallardo (2002) donde se expresa que los estudiantes usan
positivos en problemas de negativos es decir no ven la necesidad del uso de la negatividad
Nuestra investigacioacuten incluye un Estudio de Caso donde la alumna explica al entrevistador los
procesos de resolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos y situaciones en contexto viacutea la forma
dialoacutegica
Los estudiantes usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos Filloy (1999) que van
desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos graacuteficos procedimientos
propios aritmeacutetica y aacutelgebra La categorizacioacuten de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos
permiten llegar a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las resoluciones
que obstaculizaron el arribo al uso preciso de negativos Se muestra que las equivalencias
semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de negativos en problemas aditivos Asimismo
consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas aunque tambieacuten se puso de manifiesto
la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los problemas
7
Summary
In this document we tested the performance of 35 8th
grade students in completing a
questionnaire composed primarily of addition and subtraction problems utilizing five of the
eleven categories employed by Bruno and Martinoacuten (1997) Our study subjects are taken from a
public school in Mexico City Our research is realized in order to find alternatives to a
problematic which has been detected in previous studies Gallardo (2002) where it is shown that
students use positives in negative problems which is to say they avoid using negativity Our
research includes a Case Study where student explains to the interviewer the process by which
they resolve and execute additive problems and their situations in context through the form of
dialogue
Students use distinct Mathematical Systems of Signs Filloy (1999) which span from the
concrete to the formal verbal language graphical knowledge personal processes arithmetic and
algebra The categorization of the different Mathematical Systems of Signs allow us to reach the
formal resolution with negatives as well as its contrary the exposing of resolutions which stood
as obstacles against the precise use of negatives in the first place We have shown that semantic
equivalencies contribute towards making sense of the use of negatives in additive problems
Thus we considered the importance of syntactic expressions although we also discovered the
ambiguity surrounding the enunciation of certain problems
8
INTRODUCCIOacuteN
En nuestra praacutectica docente hemos observado que los alumnos en muchos casos no
aceptan soluciones negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas
equivalentes utilizando el lenguaje natural Comenzamos el trabajo de investigacioacuten buscando
referencias respecto a nuestro tema como las siguientes Vergnaud (1982) Carpenter y Moser
(1984) Peled (1991) Janvier (1983) Bruno y Martinoacuten (1997 1999) Thompson y Dreyfus
(1998) Liebeck (1990) Gallardo (1995) Streefland (1996) Vlassis (2004) Gallardo y Basurto
(2009) Mejiacutea (2009) Alcaacutentara (2010) Bofferding y Richardson (2013) De todas estas
investigaciones elegimos solamente las que fundamentan nuestro estudio ver paacuteginas 12 y 13
del presenta documento
En la propuesta Institucional SEP (2006) se describen situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen algoritmos pero existe
una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal Debido a este vaciacuteo conceptual nos
hemos interesado en la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) como alternativa para que los
alumnos adviertan la presencia y uso de los negativos en la vida real
Nuestra investigacioacuten se sustenta fundamentalmente en el estudio realizado por Gallardo
y Basurto (2009) quienes han retomado la clasificacioacuten de once categoriacuteas de problemas
aditivos propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997) El resultado principal en Gallardo y Basurto
(2009) es la aparicioacuten de formas semaacutenticas equivalentes en la resolucioacuten de problemas
Nuestro intereacutes por los problemas aditivos es debido a que el enunciado verbal de los
mismos permite que los alumnos le den sentido a conceptos opuestos y los puedan simbolizar
con positivos y negativos de una manera natural e ir avanzando cada vez maacutes hacia
representaciones formales Pretendemos en esta investigacioacuten validar una ensentildeanza que advierta
la inevitable extensioacuten del dominio numeacuterico en la resolucioacuten de este tipo de problemas
Las dificultades mayores encontradas en el Estudio se refieren a la tendencia de los
estudiantes por el uso de nuacutemeros positivos exclusivamente en la resolucioacuten de problemas
aditivos
9
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO
11 Nuacutemero entero
Vargas et al (1990) sentildealan la existencia de distintas viacuteas de acceso a los enteros (Z)
Sintetizamos la informacioacuten del texto anterior relativo al concepto de nuacutemero entero y la
concepcioacuten de las operaciones de suma y resta en Z Uno de los primeros pasos en la ensentildeanza
del concepto de nuacutemero entero es la presentacioacuten de situaciones concretas en las que se
encuentran estos nuacutemeros La constitucioacuten de este conjunto de nuacutemeros implica mucho maacutes que
situaciones concretas No todas las operaciones con enteros tienen en cada contexto una
representacioacuten concreta e intuitiva Asiacute por ejemplo multiplicar temperaturas no tiene sentido
Tampoco es faacutecil encontrar una representacioacuten intuitiva en la reduccioacuten de deudas es auacuten maacutes
difiacutecil representar la multiplicacioacuten de enteros Los enteros son un contenido de ensentildeanza
donde se debe mostrar a traveacutes del planteamiento de situaciones problemaacuteticas que los nuacutemeros
naturales (N) resultan insuficientes y a partir de esta necesidad constituir los nuacutemeros enteros
Una de las dificultades para aceptar a estos nuacutemeros es la ausencia de significados concretos
Dentro de cada marco conceptual (aritmeacutetica aacutelgebra y geometriacutea) existen distintas viacuteas de
acceso a N En este apartado de tesis soacutelo explicaremos algunas viacuteas En aritmeacutetica la
insuficiencia en N para hacer vaacutelidas expresiones como 0-1 3-4 nos conduce a la necesidad de
usar otro tipo de nuacutemeros Es posible partir de situaciones concretas establecer los enteros y
definir las operaciones directamente pero expresiones como 8 ndash(-3) oacute (-2)(-4) no tienen una
representacioacuten concreta faacutecil de encontrar por lo que una alternativa es que despueacutes de haber
trabajado con las representaciones es necesario dejarlas a un lado definir la resta a partir de la
suma y considerar a la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros negativos como una resta reiterada En
aacutelgebra existen expresiones en que se hace necesario el uso de enteros
La ecuacioacuten x+ a= b tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales siempre que
ltltagtgt sea menor o igual que ltltbgtgt Estas ecuaciones de primer grado se pueden reducir
a los tipos x + a = 0 o x ndash a = 0 donde ltltagtgt es un nuacutemero natural Las ecuaciones del
tipo ltltx ndash a = 0gtgt tienen por solucioacuten a ltltagtgt que es un nuacutemero natural Sin embargo
las ecuaciones ltltx + a = 0gtgt no tienen solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales
por lo que es necesario definir una serie de nuevos nuacutemeros que sean las soluciones de
estas ecuaciones a tales nuacutemeros se les denomina nuacutemeros negativos y se suelen denotar
por ltlt-1gtgt la solucioacuten de x + 1 = 0 ltlt-2gtgt la solucioacuten de x + 2 = 0 etc
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
15
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
16
T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
17
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
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331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
Referencias bibliograacuteficas
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125
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Meacutexico SEP
SEP 2006 Educacioacuten Baacutesica Secundaria Matemaacuteticas Programas de estudio 2006 Direccioacuten
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126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
Bruno A y Martinoacuten A (1997) Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas
aditivos Educacioacuten Matemaacutetica Vol 9 No 1 pp 33-46
Cohen L y Manion L (1990) Triangulacioacuten Meacutetodos de investigacioacuten
Educativa Madrid La Muralla
Filloy E y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio G (1999) Aspectos teoacutericos
del aacutelgebra educativa Meacutexico Grupo Editorial Iberoameacuterica
Gallardo A y Basurto E (2009) Formas semaacutenticas equivalentes en problemas
del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
Bruno A y Martinoacuten A (1994) La recta en el aprendizaje de los nuacutemeros negativos Suma 18
pp 39-48
Bruno A y Martinoacuten A (1997) Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
Educacioacuten Matemaacutetica Vol 9 No 1 pp 33-46
Gallardo A (1994) El estatus de los nuacutemeros negativos en la resolucioacuten de ecuaciones
algebraicas Tesis Doctoral Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del IPN
Meacutexico
Gallardo A (2002) The extension of the natural-number domain to the integers in the transition
from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
Publishers The Netherlands Vol 49 pp 171-192
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
6
Resumen
En este documento se muestra el desempentildeo de 35 estudiantes de tercero de secundaria en
la aplicacioacuten de un cuestionario conformado esencialmente por problemas aditivos que retoma
cinco de las once categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Los sujetos pertenecen a una escuela
puacuteblica de la Ciudad de Meacutexico La investigacioacuten se realiza como alternativa a una problemaacutetica
documentada en estudios previos Gallardo (2002) donde se expresa que los estudiantes usan
positivos en problemas de negativos es decir no ven la necesidad del uso de la negatividad
Nuestra investigacioacuten incluye un Estudio de Caso donde la alumna explica al entrevistador los
procesos de resolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos y situaciones en contexto viacutea la forma
dialoacutegica
Los estudiantes usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos Filloy (1999) que van
desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos graacuteficos procedimientos
propios aritmeacutetica y aacutelgebra La categorizacioacuten de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos
permiten llegar a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las resoluciones
que obstaculizaron el arribo al uso preciso de negativos Se muestra que las equivalencias
semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de negativos en problemas aditivos Asimismo
consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas aunque tambieacuten se puso de manifiesto
la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los problemas
7
Summary
In this document we tested the performance of 35 8th
grade students in completing a
questionnaire composed primarily of addition and subtraction problems utilizing five of the
eleven categories employed by Bruno and Martinoacuten (1997) Our study subjects are taken from a
public school in Mexico City Our research is realized in order to find alternatives to a
problematic which has been detected in previous studies Gallardo (2002) where it is shown that
students use positives in negative problems which is to say they avoid using negativity Our
research includes a Case Study where student explains to the interviewer the process by which
they resolve and execute additive problems and their situations in context through the form of
dialogue
Students use distinct Mathematical Systems of Signs Filloy (1999) which span from the
concrete to the formal verbal language graphical knowledge personal processes arithmetic and
algebra The categorization of the different Mathematical Systems of Signs allow us to reach the
formal resolution with negatives as well as its contrary the exposing of resolutions which stood
as obstacles against the precise use of negatives in the first place We have shown that semantic
equivalencies contribute towards making sense of the use of negatives in additive problems
Thus we considered the importance of syntactic expressions although we also discovered the
ambiguity surrounding the enunciation of certain problems
8
INTRODUCCIOacuteN
En nuestra praacutectica docente hemos observado que los alumnos en muchos casos no
aceptan soluciones negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas
equivalentes utilizando el lenguaje natural Comenzamos el trabajo de investigacioacuten buscando
referencias respecto a nuestro tema como las siguientes Vergnaud (1982) Carpenter y Moser
(1984) Peled (1991) Janvier (1983) Bruno y Martinoacuten (1997 1999) Thompson y Dreyfus
(1998) Liebeck (1990) Gallardo (1995) Streefland (1996) Vlassis (2004) Gallardo y Basurto
(2009) Mejiacutea (2009) Alcaacutentara (2010) Bofferding y Richardson (2013) De todas estas
investigaciones elegimos solamente las que fundamentan nuestro estudio ver paacuteginas 12 y 13
del presenta documento
En la propuesta Institucional SEP (2006) se describen situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen algoritmos pero existe
una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal Debido a este vaciacuteo conceptual nos
hemos interesado en la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) como alternativa para que los
alumnos adviertan la presencia y uso de los negativos en la vida real
Nuestra investigacioacuten se sustenta fundamentalmente en el estudio realizado por Gallardo
y Basurto (2009) quienes han retomado la clasificacioacuten de once categoriacuteas de problemas
aditivos propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997) El resultado principal en Gallardo y Basurto
(2009) es la aparicioacuten de formas semaacutenticas equivalentes en la resolucioacuten de problemas
Nuestro intereacutes por los problemas aditivos es debido a que el enunciado verbal de los
mismos permite que los alumnos le den sentido a conceptos opuestos y los puedan simbolizar
con positivos y negativos de una manera natural e ir avanzando cada vez maacutes hacia
representaciones formales Pretendemos en esta investigacioacuten validar una ensentildeanza que advierta
la inevitable extensioacuten del dominio numeacuterico en la resolucioacuten de este tipo de problemas
Las dificultades mayores encontradas en el Estudio se refieren a la tendencia de los
estudiantes por el uso de nuacutemeros positivos exclusivamente en la resolucioacuten de problemas
aditivos
9
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO
11 Nuacutemero entero
Vargas et al (1990) sentildealan la existencia de distintas viacuteas de acceso a los enteros (Z)
Sintetizamos la informacioacuten del texto anterior relativo al concepto de nuacutemero entero y la
concepcioacuten de las operaciones de suma y resta en Z Uno de los primeros pasos en la ensentildeanza
del concepto de nuacutemero entero es la presentacioacuten de situaciones concretas en las que se
encuentran estos nuacutemeros La constitucioacuten de este conjunto de nuacutemeros implica mucho maacutes que
situaciones concretas No todas las operaciones con enteros tienen en cada contexto una
representacioacuten concreta e intuitiva Asiacute por ejemplo multiplicar temperaturas no tiene sentido
Tampoco es faacutecil encontrar una representacioacuten intuitiva en la reduccioacuten de deudas es auacuten maacutes
difiacutecil representar la multiplicacioacuten de enteros Los enteros son un contenido de ensentildeanza
donde se debe mostrar a traveacutes del planteamiento de situaciones problemaacuteticas que los nuacutemeros
naturales (N) resultan insuficientes y a partir de esta necesidad constituir los nuacutemeros enteros
Una de las dificultades para aceptar a estos nuacutemeros es la ausencia de significados concretos
Dentro de cada marco conceptual (aritmeacutetica aacutelgebra y geometriacutea) existen distintas viacuteas de
acceso a N En este apartado de tesis soacutelo explicaremos algunas viacuteas En aritmeacutetica la
insuficiencia en N para hacer vaacutelidas expresiones como 0-1 3-4 nos conduce a la necesidad de
usar otro tipo de nuacutemeros Es posible partir de situaciones concretas establecer los enteros y
definir las operaciones directamente pero expresiones como 8 ndash(-3) oacute (-2)(-4) no tienen una
representacioacuten concreta faacutecil de encontrar por lo que una alternativa es que despueacutes de haber
trabajado con las representaciones es necesario dejarlas a un lado definir la resta a partir de la
suma y considerar a la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros negativos como una resta reiterada En
aacutelgebra existen expresiones en que se hace necesario el uso de enteros
La ecuacioacuten x+ a= b tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales siempre que
ltltagtgt sea menor o igual que ltltbgtgt Estas ecuaciones de primer grado se pueden reducir
a los tipos x + a = 0 o x ndash a = 0 donde ltltagtgt es un nuacutemero natural Las ecuaciones del
tipo ltltx ndash a = 0gtgt tienen por solucioacuten a ltltagtgt que es un nuacutemero natural Sin embargo
las ecuaciones ltltx + a = 0gtgt no tienen solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales
por lo que es necesario definir una serie de nuevos nuacutemeros que sean las soluciones de
estas ecuaciones a tales nuacutemeros se les denomina nuacutemeros negativos y se suelen denotar
por ltlt-1gtgt la solucioacuten de x + 1 = 0 ltlt-2gtgt la solucioacuten de x + 2 = 0 etc
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
15
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
16
T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
17
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
69
70
71
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331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
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Education (pp 145-152) University of Hafia
Rojano T (2011 Octubre) Homenaje al Dr Eugenio Filloy Yaguumle Por su trayectoria
acadeacutemica y su contribucioacuten a la Matemaacutetica Educativa En el marco de los festejos del
50 Aniversario del Cinvestav Meacutexico DF
125
SEP 1994 Plan y programas de estudio 1993 Educacioacuten Secundaria Subsecretariacutea de
Educacioacuten Baacutesica y Normal Direccioacuten General de Materiales y Meacutetodos Educativos
Meacutexico SEP
SEP 2006 Educacioacuten Baacutesica Secundaria Matemaacuteticas Programas de estudio 2006 Direccioacuten
General de Desarrollo Curricular Subsecretariacutea de Educacioacuten Baacutesica de la Secretariacutea de
Educacioacuten Puacuteblica
Vergnaud G (1982) A Classification of Cognitive Tasks and Operations of Thought Involved in
Addition and Subtraction Problems En T Carpenter J Moser amp T Romberg (Eds)
Additions and Subtraction A cognitive Perspective (35-59) New Jersey Lawrance
Erlbaum Associates
126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
Bruno A y Martinoacuten A (1997) Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas
aditivos Educacioacuten Matemaacutetica Vol 9 No 1 pp 33-46
Cohen L y Manion L (1990) Triangulacioacuten Meacutetodos de investigacioacuten
Educativa Madrid La Muralla
Filloy E y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio G (1999) Aspectos teoacutericos
del aacutelgebra educativa Meacutexico Grupo Editorial Iberoameacuterica
Gallardo A y Basurto E (2009) Formas semaacutenticas equivalentes en problemas
del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
Bruno A y Martinoacuten A (1994) La recta en el aprendizaje de los nuacutemeros negativos Suma 18
pp 39-48
Bruno A y Martinoacuten A (1997) Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
Educacioacuten Matemaacutetica Vol 9 No 1 pp 33-46
Gallardo A (1994) El estatus de los nuacutemeros negativos en la resolucioacuten de ecuaciones
algebraicas Tesis Doctoral Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del IPN
Meacutexico
Gallardo A (2002) The extension of the natural-number domain to the integers in the transition
from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
Publishers The Netherlands Vol 49 pp 171-192
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
7
Summary
In this document we tested the performance of 35 8th
grade students in completing a
questionnaire composed primarily of addition and subtraction problems utilizing five of the
eleven categories employed by Bruno and Martinoacuten (1997) Our study subjects are taken from a
public school in Mexico City Our research is realized in order to find alternatives to a
problematic which has been detected in previous studies Gallardo (2002) where it is shown that
students use positives in negative problems which is to say they avoid using negativity Our
research includes a Case Study where student explains to the interviewer the process by which
they resolve and execute additive problems and their situations in context through the form of
dialogue
Students use distinct Mathematical Systems of Signs Filloy (1999) which span from the
concrete to the formal verbal language graphical knowledge personal processes arithmetic and
algebra The categorization of the different Mathematical Systems of Signs allow us to reach the
formal resolution with negatives as well as its contrary the exposing of resolutions which stood
as obstacles against the precise use of negatives in the first place We have shown that semantic
equivalencies contribute towards making sense of the use of negatives in additive problems
Thus we considered the importance of syntactic expressions although we also discovered the
ambiguity surrounding the enunciation of certain problems
8
INTRODUCCIOacuteN
En nuestra praacutectica docente hemos observado que los alumnos en muchos casos no
aceptan soluciones negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas
equivalentes utilizando el lenguaje natural Comenzamos el trabajo de investigacioacuten buscando
referencias respecto a nuestro tema como las siguientes Vergnaud (1982) Carpenter y Moser
(1984) Peled (1991) Janvier (1983) Bruno y Martinoacuten (1997 1999) Thompson y Dreyfus
(1998) Liebeck (1990) Gallardo (1995) Streefland (1996) Vlassis (2004) Gallardo y Basurto
(2009) Mejiacutea (2009) Alcaacutentara (2010) Bofferding y Richardson (2013) De todas estas
investigaciones elegimos solamente las que fundamentan nuestro estudio ver paacuteginas 12 y 13
del presenta documento
En la propuesta Institucional SEP (2006) se describen situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen algoritmos pero existe
una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal Debido a este vaciacuteo conceptual nos
hemos interesado en la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) como alternativa para que los
alumnos adviertan la presencia y uso de los negativos en la vida real
Nuestra investigacioacuten se sustenta fundamentalmente en el estudio realizado por Gallardo
y Basurto (2009) quienes han retomado la clasificacioacuten de once categoriacuteas de problemas
aditivos propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997) El resultado principal en Gallardo y Basurto
(2009) es la aparicioacuten de formas semaacutenticas equivalentes en la resolucioacuten de problemas
Nuestro intereacutes por los problemas aditivos es debido a que el enunciado verbal de los
mismos permite que los alumnos le den sentido a conceptos opuestos y los puedan simbolizar
con positivos y negativos de una manera natural e ir avanzando cada vez maacutes hacia
representaciones formales Pretendemos en esta investigacioacuten validar una ensentildeanza que advierta
la inevitable extensioacuten del dominio numeacuterico en la resolucioacuten de este tipo de problemas
Las dificultades mayores encontradas en el Estudio se refieren a la tendencia de los
estudiantes por el uso de nuacutemeros positivos exclusivamente en la resolucioacuten de problemas
aditivos
9
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO
11 Nuacutemero entero
Vargas et al (1990) sentildealan la existencia de distintas viacuteas de acceso a los enteros (Z)
Sintetizamos la informacioacuten del texto anterior relativo al concepto de nuacutemero entero y la
concepcioacuten de las operaciones de suma y resta en Z Uno de los primeros pasos en la ensentildeanza
del concepto de nuacutemero entero es la presentacioacuten de situaciones concretas en las que se
encuentran estos nuacutemeros La constitucioacuten de este conjunto de nuacutemeros implica mucho maacutes que
situaciones concretas No todas las operaciones con enteros tienen en cada contexto una
representacioacuten concreta e intuitiva Asiacute por ejemplo multiplicar temperaturas no tiene sentido
Tampoco es faacutecil encontrar una representacioacuten intuitiva en la reduccioacuten de deudas es auacuten maacutes
difiacutecil representar la multiplicacioacuten de enteros Los enteros son un contenido de ensentildeanza
donde se debe mostrar a traveacutes del planteamiento de situaciones problemaacuteticas que los nuacutemeros
naturales (N) resultan insuficientes y a partir de esta necesidad constituir los nuacutemeros enteros
Una de las dificultades para aceptar a estos nuacutemeros es la ausencia de significados concretos
Dentro de cada marco conceptual (aritmeacutetica aacutelgebra y geometriacutea) existen distintas viacuteas de
acceso a N En este apartado de tesis soacutelo explicaremos algunas viacuteas En aritmeacutetica la
insuficiencia en N para hacer vaacutelidas expresiones como 0-1 3-4 nos conduce a la necesidad de
usar otro tipo de nuacutemeros Es posible partir de situaciones concretas establecer los enteros y
definir las operaciones directamente pero expresiones como 8 ndash(-3) oacute (-2)(-4) no tienen una
representacioacuten concreta faacutecil de encontrar por lo que una alternativa es que despueacutes de haber
trabajado con las representaciones es necesario dejarlas a un lado definir la resta a partir de la
suma y considerar a la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros negativos como una resta reiterada En
aacutelgebra existen expresiones en que se hace necesario el uso de enteros
La ecuacioacuten x+ a= b tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales siempre que
ltltagtgt sea menor o igual que ltltbgtgt Estas ecuaciones de primer grado se pueden reducir
a los tipos x + a = 0 o x ndash a = 0 donde ltltagtgt es un nuacutemero natural Las ecuaciones del
tipo ltltx ndash a = 0gtgt tienen por solucioacuten a ltltagtgt que es un nuacutemero natural Sin embargo
las ecuaciones ltltx + a = 0gtgt no tienen solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales
por lo que es necesario definir una serie de nuevos nuacutemeros que sean las soluciones de
estas ecuaciones a tales nuacutemeros se les denomina nuacutemeros negativos y se suelen denotar
por ltlt-1gtgt la solucioacuten de x + 1 = 0 ltlt-2gtgt la solucioacuten de x + 2 = 0 etc
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
15
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
16
T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
17
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
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105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
Referencias bibliograacuteficas
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125
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SEP 2006 Educacioacuten Baacutesica Secundaria Matemaacuteticas Programas de estudio 2006 Direccioacuten
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126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
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del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
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from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
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SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
8
INTRODUCCIOacuteN
En nuestra praacutectica docente hemos observado que los alumnos en muchos casos no
aceptan soluciones negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas
equivalentes utilizando el lenguaje natural Comenzamos el trabajo de investigacioacuten buscando
referencias respecto a nuestro tema como las siguientes Vergnaud (1982) Carpenter y Moser
(1984) Peled (1991) Janvier (1983) Bruno y Martinoacuten (1997 1999) Thompson y Dreyfus
(1998) Liebeck (1990) Gallardo (1995) Streefland (1996) Vlassis (2004) Gallardo y Basurto
(2009) Mejiacutea (2009) Alcaacutentara (2010) Bofferding y Richardson (2013) De todas estas
investigaciones elegimos solamente las que fundamentan nuestro estudio ver paacuteginas 12 y 13
del presenta documento
En la propuesta Institucional SEP (2006) se describen situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen algoritmos pero existe
una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal Debido a este vaciacuteo conceptual nos
hemos interesado en la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) como alternativa para que los
alumnos adviertan la presencia y uso de los negativos en la vida real
Nuestra investigacioacuten se sustenta fundamentalmente en el estudio realizado por Gallardo
y Basurto (2009) quienes han retomado la clasificacioacuten de once categoriacuteas de problemas
aditivos propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997) El resultado principal en Gallardo y Basurto
(2009) es la aparicioacuten de formas semaacutenticas equivalentes en la resolucioacuten de problemas
Nuestro intereacutes por los problemas aditivos es debido a que el enunciado verbal de los
mismos permite que los alumnos le den sentido a conceptos opuestos y los puedan simbolizar
con positivos y negativos de una manera natural e ir avanzando cada vez maacutes hacia
representaciones formales Pretendemos en esta investigacioacuten validar una ensentildeanza que advierta
la inevitable extensioacuten del dominio numeacuterico en la resolucioacuten de este tipo de problemas
Las dificultades mayores encontradas en el Estudio se refieren a la tendencia de los
estudiantes por el uso de nuacutemeros positivos exclusivamente en la resolucioacuten de problemas
aditivos
9
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO
11 Nuacutemero entero
Vargas et al (1990) sentildealan la existencia de distintas viacuteas de acceso a los enteros (Z)
Sintetizamos la informacioacuten del texto anterior relativo al concepto de nuacutemero entero y la
concepcioacuten de las operaciones de suma y resta en Z Uno de los primeros pasos en la ensentildeanza
del concepto de nuacutemero entero es la presentacioacuten de situaciones concretas en las que se
encuentran estos nuacutemeros La constitucioacuten de este conjunto de nuacutemeros implica mucho maacutes que
situaciones concretas No todas las operaciones con enteros tienen en cada contexto una
representacioacuten concreta e intuitiva Asiacute por ejemplo multiplicar temperaturas no tiene sentido
Tampoco es faacutecil encontrar una representacioacuten intuitiva en la reduccioacuten de deudas es auacuten maacutes
difiacutecil representar la multiplicacioacuten de enteros Los enteros son un contenido de ensentildeanza
donde se debe mostrar a traveacutes del planteamiento de situaciones problemaacuteticas que los nuacutemeros
naturales (N) resultan insuficientes y a partir de esta necesidad constituir los nuacutemeros enteros
Una de las dificultades para aceptar a estos nuacutemeros es la ausencia de significados concretos
Dentro de cada marco conceptual (aritmeacutetica aacutelgebra y geometriacutea) existen distintas viacuteas de
acceso a N En este apartado de tesis soacutelo explicaremos algunas viacuteas En aritmeacutetica la
insuficiencia en N para hacer vaacutelidas expresiones como 0-1 3-4 nos conduce a la necesidad de
usar otro tipo de nuacutemeros Es posible partir de situaciones concretas establecer los enteros y
definir las operaciones directamente pero expresiones como 8 ndash(-3) oacute (-2)(-4) no tienen una
representacioacuten concreta faacutecil de encontrar por lo que una alternativa es que despueacutes de haber
trabajado con las representaciones es necesario dejarlas a un lado definir la resta a partir de la
suma y considerar a la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros negativos como una resta reiterada En
aacutelgebra existen expresiones en que se hace necesario el uso de enteros
La ecuacioacuten x+ a= b tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales siempre que
ltltagtgt sea menor o igual que ltltbgtgt Estas ecuaciones de primer grado se pueden reducir
a los tipos x + a = 0 o x ndash a = 0 donde ltltagtgt es un nuacutemero natural Las ecuaciones del
tipo ltltx ndash a = 0gtgt tienen por solucioacuten a ltltagtgt que es un nuacutemero natural Sin embargo
las ecuaciones ltltx + a = 0gtgt no tienen solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales
por lo que es necesario definir una serie de nuevos nuacutemeros que sean las soluciones de
estas ecuaciones a tales nuacutemeros se les denomina nuacutemeros negativos y se suelen denotar
por ltlt-1gtgt la solucioacuten de x + 1 = 0 ltlt-2gtgt la solucioacuten de x + 2 = 0 etc
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
15
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
16
T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
17
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
Referencias bibliograacuteficas
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Tesis de maestriacutea DME Cinvestav del IPN Meacutexico
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125
SEP 1994 Plan y programas de estudio 1993 Educacioacuten Secundaria Subsecretariacutea de
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Meacutexico SEP
SEP 2006 Educacioacuten Baacutesica Secundaria Matemaacuteticas Programas de estudio 2006 Direccioacuten
General de Desarrollo Curricular Subsecretariacutea de Educacioacuten Baacutesica de la Secretariacutea de
Educacioacuten Puacuteblica
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126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
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del aacutelgebra educativa Meacutexico Grupo Editorial Iberoameacuterica
Gallardo A y Basurto E (2009) Formas semaacutenticas equivalentes en problemas
del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
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from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
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SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
9
CAPIacuteTULO 1 EL ESTUDIO
11 Nuacutemero entero
Vargas et al (1990) sentildealan la existencia de distintas viacuteas de acceso a los enteros (Z)
Sintetizamos la informacioacuten del texto anterior relativo al concepto de nuacutemero entero y la
concepcioacuten de las operaciones de suma y resta en Z Uno de los primeros pasos en la ensentildeanza
del concepto de nuacutemero entero es la presentacioacuten de situaciones concretas en las que se
encuentran estos nuacutemeros La constitucioacuten de este conjunto de nuacutemeros implica mucho maacutes que
situaciones concretas No todas las operaciones con enteros tienen en cada contexto una
representacioacuten concreta e intuitiva Asiacute por ejemplo multiplicar temperaturas no tiene sentido
Tampoco es faacutecil encontrar una representacioacuten intuitiva en la reduccioacuten de deudas es auacuten maacutes
difiacutecil representar la multiplicacioacuten de enteros Los enteros son un contenido de ensentildeanza
donde se debe mostrar a traveacutes del planteamiento de situaciones problemaacuteticas que los nuacutemeros
naturales (N) resultan insuficientes y a partir de esta necesidad constituir los nuacutemeros enteros
Una de las dificultades para aceptar a estos nuacutemeros es la ausencia de significados concretos
Dentro de cada marco conceptual (aritmeacutetica aacutelgebra y geometriacutea) existen distintas viacuteas de
acceso a N En este apartado de tesis soacutelo explicaremos algunas viacuteas En aritmeacutetica la
insuficiencia en N para hacer vaacutelidas expresiones como 0-1 3-4 nos conduce a la necesidad de
usar otro tipo de nuacutemeros Es posible partir de situaciones concretas establecer los enteros y
definir las operaciones directamente pero expresiones como 8 ndash(-3) oacute (-2)(-4) no tienen una
representacioacuten concreta faacutecil de encontrar por lo que una alternativa es que despueacutes de haber
trabajado con las representaciones es necesario dejarlas a un lado definir la resta a partir de la
suma y considerar a la multiplicacioacuten de dos nuacutemeros negativos como una resta reiterada En
aacutelgebra existen expresiones en que se hace necesario el uso de enteros
La ecuacioacuten x+ a= b tiene solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales siempre que
ltltagtgt sea menor o igual que ltltbgtgt Estas ecuaciones de primer grado se pueden reducir
a los tipos x + a = 0 o x ndash a = 0 donde ltltagtgt es un nuacutemero natural Las ecuaciones del
tipo ltltx ndash a = 0gtgt tienen por solucioacuten a ltltagtgt que es un nuacutemero natural Sin embargo
las ecuaciones ltltx + a = 0gtgt no tienen solucioacuten en el conjunto de los nuacutemeros naturales
por lo que es necesario definir una serie de nuevos nuacutemeros que sean las soluciones de
estas ecuaciones a tales nuacutemeros se les denomina nuacutemeros negativos y se suelen denotar
por ltlt-1gtgt la solucioacuten de x + 1 = 0 ltlt-2gtgt la solucioacuten de x + 2 = 0 etc
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
15
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
16
T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
17
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
Referencias bibliograacuteficas
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125
SEP 1994 Plan y programas de estudio 1993 Educacioacuten Secundaria Subsecretariacutea de
Educacioacuten Baacutesica y Normal Direccioacuten General de Materiales y Meacutetodos Educativos
Meacutexico SEP
SEP 2006 Educacioacuten Baacutesica Secundaria Matemaacuteticas Programas de estudio 2006 Direccioacuten
General de Desarrollo Curricular Subsecretariacutea de Educacioacuten Baacutesica de la Secretariacutea de
Educacioacuten Puacuteblica
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Additions and Subtraction A cognitive Perspective (35-59) New Jersey Lawrance
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126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
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Gallardo A y Basurto E (2009) Formas semaacutenticas equivalentes en problemas
del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
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Gallardo A (2002) The extension of the natural-number domain to the integers in the transition
from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
Publishers The Netherlands Vol 49 pp 171-192
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
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323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
10
En otros teacuterminos ltlt-1gtgt es el nuacutemero que sumado a ltlt1gtgt da cero ltlt-2gtgt el que
sumado a ltlt2gtgt da cero etc Por tanto para cualquier valor numeacuterico de ltltagtgt se
verifica que ltlt(-a) + a = 0gtgt denominaacutendose a ltltagtgt t ltlt-agtgt nuacutemeros opuestos
Hemos establecido asiacute a un nuevo conjunto numeacuterico que incluye a los nuacutemeros
naturales (nuacutemeros positivos) que se denomina conjunto de los nuacutemeros enteros y se
simboliza por Z Una vez establecido este conjunto deberaacute definirse una suma un
producto y una relacioacuten de orden que sean coherentes con las definiciones de N y
conserven los resultados y propiedades anteriores (Vargas et al 1990 p 92)
En la recta numeacuterica la suma se representa con una traslacioacuten a la derecha de acuerdo al
nuacutemero de unidades que indique la expresioacuten si es positivo a la derecha y si es negativo a la
izquierda Sumar cero significa la falta de movimiento La resta se define de forma anaacuteloga a la
suma traslacioacuten a la izquierda si es un nuacutemero positivo y a la derecha si se resta un nuacutemero
negativo
12 Revisioacuten de libros de la SEP sobre el tema de nuacutemeros con signo
Examinamos el libro para el maestro de la propuesta SEP (1994) reproducimos la
informacioacuten referente a la introduccioacuten del tema con los alumnos y la posterior aplicacioacuten de
ejercicios con sumas y restas de negativos Se advierte que la localizacioacuten de valores con
respecto a otros no es difiacutecil para los alumnos pero realizar operaciones con enteros y en
especial con negativos resulta menos accesible Es posible explicar algunos aspectos
relacionados con los enteros a partir de situaciones concretas pero no existe un modelo intuitivo
con el que se puedan representar las distintas situaciones que surge al operar con ellos La
buacutesqueda de modelos intuitivos a veces conduce a presentar en el saloacuten de clases modelos
artificiales y con escaso valor para el aprendizaje Se recomienda dar tiempo para que los
estudiantes maduren las ideas y despueacutes vean la necesidad del uso de enteros al operar con ellos
en distintas situaciones sobre todo en aacutelgebra En los primeros acercamientos puede proponerse
la localizacioacuten de nuacutemeros con signos en la recta numeacuterica en la representacioacuten de peacuterdidas y
ganancias temperaturas bajo cero y sobre cero y otros ejemplos similares Desde el principio
deben proponerse actividades en las que localicen nuacutemeros con signo en la recta numeacuterica y en
los cuatro cuadrantes del plano cartesiano Los alumnos no deben perder de vista que los
nuacutemeros con signo pueden ser enteros decimales o fraccionarios Deberaacuten aprender que la suma
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
15
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
16
T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
17
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
Referencias bibliograacuteficas
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Tesis de maestriacutea DME Cinvestav del IPN Meacutexico
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125
SEP 1994 Plan y programas de estudio 1993 Educacioacuten Secundaria Subsecretariacutea de
Educacioacuten Baacutesica y Normal Direccioacuten General de Materiales y Meacutetodos Educativos
Meacutexico SEP
SEP 2006 Educacioacuten Baacutesica Secundaria Matemaacuteticas Programas de estudio 2006 Direccioacuten
General de Desarrollo Curricular Subsecretariacutea de Educacioacuten Baacutesica de la Secretariacutea de
Educacioacuten Puacuteblica
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126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
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Gallardo A y Basurto E (2009) Formas semaacutenticas equivalentes en problemas
del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
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from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
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SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
11
y comparar con los positivos es diferente a la suma y comprar con los enteros No debe causar
desconcierto el hecho que por ejemplo el -9 es menor que el -2 o que la operacioacuten 5 +(-2) sea
una suma y no una resta La representacioacuten de peacuterdidas y ganancias en un termoacutemetro y el
desplazamiento en la recta numeacuterica le daraacuten sentido a la comparacioacuten y suma de nuacutemeros con
signo
Por consiguiente si nos situamos en el cero y nos desplazamos cinco unidades hacia la
derecha y luego dos a la izquierda llegaremos al positivo 3 Estos desplazamientos corresponden
a la expresioacuten 5+(-2)=3 La resta de nuacutemeros con signos se facilitaraacute si los alumnos comprenden
que la suma es la operacioacuten inversa a la resta La buacutesqueda de patrones como los que a
continuacioacuten se presentan haraacuten ver a los negativos como una extensioacuten natural de los positivos
Se recomienda la localizacioacuten de los resultados en la recta numeacuterica
a) b)
2+2=4 3-6=-3
2+1=3 3-5=-2
2+0=2 3-4=
2+(-1)= 3-3=
2+(-2)= 3-2=
2+(-4)= 3-1=
2+(-5)= 3-0=
2+(-6)= 3- (-1)=
2+(-7)= 3-(-2)=
En la propuesta Institucional SEP (2006) hemos encontrado que se presentan situaciones
de temperatura ganancias peacuterdidas deportes elevador plano cartesiano recta numeacuterica y
localizacioacuten de fechas para darle sentido a los negativos Posteriormente se introducen
algoritmos pero existe una ausencia de problemas aditivos de enunciado verbal
12
13 Algunos reportes de investigacioacuten que fundamentan el Estudio
En los siguientes paacuterrafos se mencionan los trabajos que se revisaron sobre el tema
Alcaacutentara (2010) en un Estudio de Caso de un grupo de segundo grado de educacioacuten
secundaria observoacute que el sujeto evitoacute el uso de negativos recurriendo a equivalencias
sintaacutecticas con positivos en la resolucioacuten de problemas aditivos de la clasificacioacuten de Bruno y
Martinoacuten (1997) Posteriormente este profesor ensentildeoacute al alumno cuatro modelos de ensentildeanza
recta numeacuterica modelo chino modelo hiacutebrido y reglas matemaacuteticas El estudiante dominoacute los
cuatro modelos los problemas maacutes faacuteciles fueron los de las categoriacuteas variacioacuten de un estado
comparacioacuten de estados variacioacuten de variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes
combinacioacuten de comparaciones Asimismo los problemas maacutes difiacuteciles no resueltos por el
alumno fueron los relacionados a las categoriacuteas variacioacuten de un estado comparacioacuten de
estados variacioacuten de una comparacioacuten y comparacioacuten de comparaciones
Mejiacutea (2009) reportoacute en una investigacioacuten de nuacutemeros negativos con un grupo de tercer
grado de educacioacuten secundaria lo siguiente son pocos los estudiantes que resuelven de manera
formal sustracciones de enteros En problemas de enunciado verbal recurren a nuacutemeros
naturales existiendo un predominio de la sintaxis sobre la semaacutentica No usan alguacuten modelo en
la resolucioacuten de adiciones y sustracciones con negativos ni al resolver problemas de enunciado
verbal
Bruno (1997) explica que en la ensentildeanza de los nuacutemeros negativos con la recta numeacuterica
son necesarias tres dimensiones el modelo el contexto y la parte abstracta la recta numeacuterica
contribuye a que no se pierda el contexto en las representaciones abstractas de los negativos En
la ensentildeanza de los positivos se da eacutenfasis al paso de lo concreto a lo abstracto pero se ha
descuidado el paso de lo abstracto a lo concreto esto ha provocado dificultades en la ensentildeanza
de los negativos
Gallardo y Basurto (2009) en su estudio con alumnos de Educacioacuten Secundaria de edades
entre 12 y 13 antildeos aplicaron la Clasificacioacuten Funcional y Semaacutentica de Problemas Aditivos de
Bruno y Martinoacuten (1997) hallaron lo siguiente los alumnos se dan cuenta de que la adicioacuten y
sustraccioacuten se convierten en operaciones sintaacutecticas equivalentes al trabajar con enteros
accediendo a traveacutes de equivalencias semaacutenticas Los estudiantes muestran los diferentes
13
sentidos de la negatividad (nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado) haciendo un uso
constante del lenguaje verbal Las equivalencias semaacutenticas permiten acceder al aacutelgebra abstracta
que da cabida a los nuacutemeros enteros Existe un avance desigual en el concepto de nuacutemero en un
mismo alumno dependiendo de la complejidad de la semaacutentica del problema a resolver Los
autores recomiendan posponer la ensentildeanza de la regla de los signos de la multiplicacioacuten hasta
que los estudiantes hayan comprendido las adiciones y sustracciones con enteros tambieacuten
sugieren mostrar variedad de contextos en problemas aditivos lo que contribuiriacutea la extensioacuten de
los naturales a los enteros
Peled (1991) propone una clasificacioacuten con cuatro categoriacuteas conforme el nivel de
conocimiento de nuacutemeros negativos asociado a dos dimensiones la recta numeacuterica y la cantidad
la categorizacioacuten no surge de un estudio empiacuterico sino de la literatura posteriormente la
categorizacioacuten constituye la base para indicar en investigaciones posteriores el nivel que tienen
los alumnos en el conocimiento de los negativos
Vergnaud (1982) observoacute que de dos problemas resueltos con una misma operacioacuten uno
de eacutestos resultoacute maacutes difiacutecil que el otro Se dio cuenta entonces que los problemas teniacutean distintas
estructuras En la aritmeacutetica distinguioacute el caacutelculo numeacuterico y el caacutelculo relacional Eacuteste uacuteltimo se
refiere a las operaciones de pensamiento surgidas en situaciones aditivas Para este autor las
categoriacuteas fundamentales de las relaciones aditivas son composicioacuten de medidas una
transformacioacuten que une dos medidas una relacioacuten que une dos medidas la composicioacuten de dos
transformaciones una transformacioacuten al unir dos relaciones estaacuteticas y composicioacuten de dos
relaciones estaacuteticas Estas relaciones presentan dos conceptos claves los conceptos de tiempo y
dimensioacuten que son manifestados por los nintildeos y que son indispensables para entender las
acciones al resolver problemas aditivos
14
1 4 Preguntas de investigacioacuten
Los hechos sentildealados anteriormente nos condujeron a nuestras preguntas de
investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y resolucioacuten de
problemas aditivos
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
En el capiacutetulo 1 nos referimos al concepto formal de nuacutemero entero Hemos revisado los
libros de la SEP sobre el tema descrito reportes de investigacioacuten que fundamentan el proyecto
Estos hechos nos permitieron plantear las preguntas de investigacioacuten En el capiacutetulo 2
fundamentaremos el Estudio a partir de una perspectiva semioacutetica y abordaremos viacutea una
clasificacioacuten de problemas aditivos nuestro estudio empiacuterico
15
CAPIacuteTULO 2 FUNDAMENTACIOacuteN TEOacuteRICA
21 Perspectiva semioacutetica
Parafraseando a Rojano (2011) quien explica que el anaacutelisis de la lectura e interpretacioacuten
de lenguaje matemaacutetico y algebraico fue el centro de atencioacuten de muchas investigaciones en la
deacutecada de los ochentas Debido a las dificultades de los alumnos en estas tareas se haciacutea un
anaacutelisis comparativo del lenguaje natural aritmeacutetico y algebraico el marco analiacutetico era
generalmente de corte piagetiano y fenomenoloacutegico Filloy (1999) concibe una forma propia de
abordar esta problemaacutetica A traveacutes de un anaacutelisis histoacuterico criacutetico logra hacer conjeturas sobre
el pensamiento algebraico de estudiantes que estaacuten en la etapa inicial del aprendizaje del aacutelgebra
Conforma un meacutetodo propio con aportaciones a la investigacioacuten en Matemaacutetica Educativa El
disentildeo del meacutetodo en donde se cambia el protocolo ortodoxo de la entrevista sin intervencioacuten
(ensentildeanza) por una entrevista con intervencioacuten en momentos criacuteticos donde el estudiante ha
puesto al liacutemite sus conocimientos y es necesario producir nuevo conocimiento
La produccioacuten de textos era un elemento ausente en otras metodologiacuteas en eacutesta se da
eacutenfasis a estas producciones Filloy advierte la necesidad de tomar prestados teacuterminos de otras
ramas como la semioacutetica ya que del anaacutelisis de entrevistas surge un fenoacutemeno que eacutel ha
denominado ldquola polisemia de la xrdquo En la expresioacuten x+x4=6+x4 los alumnos interpretan que la
primera x tiene un valor de 6 y la segunda y tercera x pueden tener cualquier valor y tienen que
ser iguales Hay dos nociones una tan algebraica como la otra pero que estaacuten coexistiendo en una
misma lectura Otro elemento que es introducido es el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) definido como la secuencia de textos en donde el caraacutecter matemaacutetico estaacute en el
sistema y no en los signos matemaacuteticos aislados ya que los SMS dan cabida a lenguajes verbales
y corporales incluso los SMS pueden ser del entrevistador En el desarrollo de la entrevista el
alumno produce nuevos textos a partir de los que se le presentaron e introduciendo los suyos que
pueden ser procedimientos propios representaciones intuitivas y lenguaje formal para darle
sentido a los siacutembolos El teacutermino Modelo de Ensentildeanza es introducido y se define como la
secuencia de textos Del anaacutelisis de textos producidos por los estudiantes Filloy es capaz de
identificar tendencias cognitivas ya que ante una situacioacuten los estudiantes presentan formas de
proceder a veces polarizadas En consecuencia la investigacioacuten presentada en esta tesis toma
como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico la perspectiva semioacutetica de Filloy y colaboradores Rojano
16
T y Puig L Rubio G (1999) Ademaacutes nos basamos en los trabajos de Gallardo A (1994
2002) que advierten de la existencia en estudiantes de sentidos de uso de los nuacutemeros negativos
antes de llegar a comprenderlos como nuacutemeros enteros
Estos son los siguientes
Nuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la
resta de dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros
naturales es decir el signo menos tiene el caraacutecter binario a nivel de operacioacuten
sustraccioacuten
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Surge la dualidad del signo binario signo de la operacioacuten de adicioacuten o sustraccioacuten) y
unario (signo asociado al nuacutemero natural)
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea opuesta en
situaciones discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacuten (Gallardo 2002 p 179)
En este trabajo el entrevistador presenta al estudiante textos escritos pertenecientes a
iacutetems del disentildeo experimental del cuestionario y la entrevista El estudiante produce entonces un
nuevo texto escrito Ademaacutes existe intercambio de lenguajes verbales donde el entrevistador
recurre a modelos de ensentildeanza para provocar fenoacutemenos de abstraccioacuten que el estudiante
exhibe viacutea sus producciones verbales y escritas Durante el intercambio de mensajes estos
modelos de ensentildeanza asiacute como el proceso de verificacioacuten de las tareas planteadas surgen en
ocasiones espontaacuteneamente en el estudiante y otras veces son sugeridas ex profeso por el
entrevistador
17
22 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos1
Analizamos cinco de las 11 categoriacuteas (Variacioacuten de un estado Combinacioacuten de estados
Comparacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes) de Bruno y Martinoacuten (1997) Los autores definen entre otros los conceptos
siguientes
Estado
Un estado tiene un sujeto una magnitud (algo que puede ser medido) y una unidad de
medida en un instante determinado Por ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este
instante es de 20deg C El sujeto es la Ciudad de Meacutexico la magnitud es la temperatura y la unidad
de medida es 1deg C
Comparacioacuten
Diferencia que hay entre dos estados aquiacute el tiempo carece de importancia Por ejemplo
Juan tiene cinco pesos maacutes que Luis
Variacioacuten de un estado
Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes por ejemplo en el transcurso del
diacutea (un periodo constante de tiempo) Ejemplificando Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que
por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones
En una variacioacuten de variaciones hay cuatro instantes Se habla de dos periodos constantes
de tiempo (por ejemplo la variacioacuten de un estado en un diacutea luego se hace referencia a una
variacioacuten de un estado del diacutea posterior que parte de lo que pasoacute en la variacioacuten del diacutea anterior)
Al final un dato se puede obtener a partir de comparar las dos variaciones Ejemplificando Ayer
en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer es decir si se habla de
lo que pasoacute en los dos diacuteas quiere decir que ha perdido dos pesos Para llegar a la conclusioacuten de
lo que pasoacute en los dos diacuteas se podriacutea utilizar una equivalencia semaacutentica ya que perdioacute un peso
menos que ayer equivale a decir hoy ganoacute un peso
1 (Bruno 1997) El texto original se presenta en el anexo nuacutemero cuatro
18
La estructura funcional y la forma semaacutentica
La estructura funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y
comparaciones) y la forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas Las
formas semaacutenticas equivalentes son formas verbales que tienen el mismo significado
Combinacioacuten de estados
En esta categoriacutea hay tres funcione estado Hay dos estados parciales y resulta un estado
total Por ejemplo Miguel tiene un saldo en el banco (debe o tiene) en casa tiene otro saldo la
suma de estos dos saldos es el saldo total
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En el ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes
que Pedro los estados son independientes los podemos comparar y asiacute indicar cuantos pesos
tiene Joseacute en comparacioacuten a Francisco
Dos funciones estado
Supongamos que Juan tiene un saldo y Rauacutel tiene otro saldo en cierto tiempo
Comparacioacuten de estados
La comparacioacuten puede estar expresada en forma de diferencia si es asiacute se le nombra
comparacioacuten y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas Y si estaacute expresada en forma de
cambio se le nombra igualacioacuten antildeadiendo o igualacioacuten quitando
Ejemplo
Juan debe 2 pesos
Si Juan gana 5 pesos entonces iguala a Rauacutel
Rauacutel tiene 3 pesos
19
23 Instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
El Estudio es descriptivo pues se recurre al anaacutelisis de las producciones de los alumnos
en el cuestionario final y en la entrevista La investigacioacuten es cualitativa se recaban evidencias
empiacutericas que nos permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se aplican en el cuestionario y la entrevista La investigacioacuten se realiza
con 104 estudiantes de tres grupos de tercer grado en una secundaria puacuteblica finalmente se
retoman a 35 estudiantes A partir del pilotaje se conformoacute el cuestionario final de un banco de
reactivos se obtuvieron preguntas para cinco entrevistas individuales video grabadas los
alumnos fueron seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios tres de estrato alto y
dos de estrato medio Para la validacioacuten de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de
triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L (1990) Con la triangulacioacuten de meacutetodos de recogida de
datos se explica la riqueza y complejidad del sujeto estudiaacutendolo desde maacutes de un punto de vista
por lo que se utilizan datos cualitativos y cuantitativos Esto con el fin de conocer a profundidad
lo que pasa en la resolucioacuten de problemas y asiacute tener confianza en los resultados del estudio
2 3 1 Pilotaje
Se conformoacute un cuestionario de 29 preguntas compuesto esencialmente ejercicios de
sintaxis aritmeacutetica y problemas aditivos similares a los de las categoriacutea de Bruno y Martinoacuten
(1997) y se consideraron otros tomados de la propuesta SEP plan 1993 y 2006 Las
situaciones presentadas fueron localizacioacuten en la recta numeacuterica de acontecimientos
histoacutericos situaciones cotidianas y uso del termoacutemetro Se aplicoacute este instrumento en un grupo
de 35 alumnos de tercer grado de secundaria se hizo una revisioacuten de las respuestas y nos dimos
cuenta que los estudiantes mostraban procedimientos de resolucioacuten que nos ayudariacutean a
contestar las preguntas de investigacioacuten
20
2 3 2 Cuestionario final
Debido a que en la resolucioacuten del cuestionario piloto la mayoriacutea de alumnos fueron
expliacutecitos en sus respuestas escogimos 20 preguntas del cuestionario piloto y con eacutestas quedoacute
conformado el cuestionario final Nueve de las 20 preguntas abordaron cinco categoriacuteas de
Bruno y Martinoacuten (1997) dos estados variacioacuten de un estado (dos problemas) combinacioacuten de
estados comparacioacuten de un estado variacioacuten de un estado (dos problemas) variacioacuten de
variaciones combinacioacuten de comparaciones adyacentes tres preguntas se relacionaron con
situaciones cotidianas por medio de diagramas tres problemas eran ajenos a las categoriacuteas
(problemas de descenso problema de edades y problema de igualacioacuten de puntaje en un record)
y se incluyeron cinco ejercicios de adicioacuten y sustraccioacuten de enteros (tres adiciones y dos
sustracciones) Se aplicoacute el instrumento a 104 alumnos de tercer grado de secundaria de la
misma escuela en la que se aplicoacute el cuestionario piloto se dispuso de dos sesiones de 50
minutos para la resolucioacuten
Este capiacutetulo comienza mostrando la perspectiva semioacutetica de Filloy (1999) destacando
los sentidos de uso de los nuacutemeros negativos descritos por Gallardo (2002) A continuacioacuten se
presenta la clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten
(1997) Se finaliza explicando los instrumentos metodoloacutegicos del Estudio
21
CAPIacuteTULO 3 RESULTADOS DEL CUESTIONARIO
31 Producciones escritas de los estudiantes Identificacioacuten de formas semaacutenticas
equivalentes y sentidos de uso de los negativos
Los problemas de variacioacuten de variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de
comparaciones adyacentes (problema 14) tuvieron el mayor nuacutemero respuestas diferentes Se
presentan las producciones maacutes expliacutecitas de 16 estudiantes
Los alumnos se denotaraacuten como E y el nuacutemero de lista
Categoriacutea Variacioacuten de variaciones
El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy
se le escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
La respuesta es (-3)-(-5)=(+2)
A continuacioacuten se reportan seis producciones de estudiantes que llegaron a la respuesta
correcta tres casos con solucioacuten incorrecta
Estudiante E 1
Se advierte la presencia del cero al escribir ayer no atrapoacute nada utiliza el nuacutemero
signado (-3) sustituye la frase se le escaparon 5 moscas menos que ayer por la equivalente
semaacutenticamente atrapoacute 5 En la recta numeacuterica reconocioacute el nuacutemero relativo
22
Estudiante E 15
Muestra la necesidad de nombrar un estado inicial teniacuteahellip Surge el cero pasa del
lenguaje natural se escaparon 3 a lo sintaacutectico -3 Sin embargo la frase se le escaparon 5 la
representa como positivo 5 Noacutetese que debioacute haber escrito se le escaparon 5 moscas menos lo
cual puede escribirse como ndash(-5) o (+5) Reconoce el nuacutemero signado
Estudiante E 9
Tiene la necesidad de establecer una cantidad x como un estado inicial Utiliza sintaxis
algebraica La introduccioacuten de una cantidad inicial desconocida lo conduce a una equivalencia
sintaacutectica de expresiones x-3 ndash (-5)=x+2 Surgen los nuacutemeros signados -3 y (-5) y el nuacutemero
sustractivo ya que se indica una resta en la expresioacuten x-3 ndash (-5)
Estudiante E 3
Responde con la expresioacuten numeacuterica propuesta por Bruno y Martinoacuten (1997)
reconociendo los nuacutemeros signados
23
Estudiante E 20
Necesita el estado inicial manifestaacutendose al utilizar x Resuelve el problema de manera
sintaacutectica viacutea los nuacutemeros sustractivo y signado Utiliza el lenguaje natural se le escaparon 5
moscas menos que ayer para justificar el paso de ndash(-5) a la expresioacuten sintaacutectica equivalente +5
Reconoce los nuacutemeros signados
Estudiante E 19
Escribe una expresioacuten sintaacutectica y el -3 indica una resta el +5 lo obtiene a partir de la
equivalencia semaacutentica sumas 5 moscas con la frase que no se le escaparon menos Reconoce
los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 26
Escribe en lenguaje natural tratando de dar significado al problema La respuesta de 8
hace referencia a las moscas que atrapoacute en los dos diacuteas No considera los opuestos
atrapar-escapar tampoco compara lo que pasoacute en los dos eventos
24
Estudiante E 27
Utiliza una representacioacuten graacutefica Al escribir 8 moscas se refiere a lo que atrapoacute durante
los dos diacuteas independientemente si se le escaparon o no Compara dos cantidades ya que escribe
el signo menos entre 3a y 5a Reconoce los nuacutemeros sustractivo y signado
Estudiante E 34
Recurre al lenguaje natural omitiendo el signo menos en el segundo evento que conduce a
sumar el 3 maacutes el 5
Estudiante E 2
Necesita establecer un estado de 6 moscas para el diacutea de ayer e indica que se le escaparon
3 quedando 3 moscas Establece una equivalencia semaacutentica de las frases atrapoacute 5 moscas y se
le escaparon 5 menos por lo que suma 6 maacutes cinco 5 resultando 11 resta las 3 que se escaparon
y el resultado es 8 La respuesta se centra en las que atrapoacute los dos diacuteas es decir 11
25
Estudiante E 8
Escribe en lenguaje natural la equivalencia semaacutentica fueron 5 menos es lo mismo que
atrapoacute 5 moscas
Estudiante E 23
Recurre al lenguaje natural Se apoya en la palabra escapar y establece formas semaacutenticas
equivalentes se le escaparon menos no se escaparon La comparacioacuten que llevoacute a cabo en el
proceso de resolucioacuten no la considera en la parte final y escribe 5 que es lo que se atrapoacute en el
segundo evento
Categoriacutea Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
ldquoAlejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutectorrdquo tomado de Alcaacutentara (2010)
La respuesta es (-3)+(+7)=(+4)
Se reportan ocho producciones correctas y una incorrecta
26
Estudiante E 22
Justifica con una sustraccioacuten y con la recta numeacuterica en la que el cero corresponde a lo
que tiene Alejandro Tambieacuten indica lo que tiene Heacutector y Simoacuten El signo menos y la palabra
diferencia le dan un sentido sustractivo a la negatividad
Estudiante E 32
Utiliza nuacutemeros positivos y una sustraccioacuten Recurre a suponer un valor inicial Existe
una interpretacioacuten no algebraica de las letras H A S ya que representan las iniciales de los
nombres que aparecen en el problema
Estudiante E 25
En la representacioacuten intuitivas (marcas) le asigna un nuacutemero arbitrario de canicas a cada
uno de las tres personas Posteriormente esa misma idea la registra pero con un menor nuacutemero
de marcas Surge el nuacutemero signado
27
Estudiante E 34
Resuelve el problema con sintaxis algebraica suponiendo un estado inicial designado
como x-3 Da una explicacioacuten en la que al menos tres de Alejandro le suma los 3 de los siete
de Simoacuten Ha igualado con esto lo que tienen Alejandro y Heacutector y sobran 4 que es lo que tiene
de maacutes Simoacuten que Heacutector El nuacutemero relativo se presenta al sumar el menos 3 de Alejandro con
los 3 de los 7 que tiene Simoacuten Tambieacuten aparece el nuacutemero sustractivo en la expresioacuten x-3
Estudiante E 23
Las expresiones algebraicas incluyen la suposicioacuten de un valor inicial (Alejandro x-3
Heacutector x Simoacuten x+7) Obtiene la diferencia entre x+7 y x-3 restando de manera vertical La
respuesta seriacutea 11 pero eacutel indica que es -4 en la diferencia tambieacuten dice ldquoSimoacuten tiene 4 canicas
maacutes que Heacutectorrdquo Surgen el nuacutemero sustractivo y el nuacutemero signado
28
Estudiante E 15
Aparece el nuacutemero signado -3 Hace referencia al nuacutemero sustractivo al escribir la
diferencia seriacutea
Estudiante E 20
Utiliza lenguaje natural y sintaxis algebraica Su respuesta es equivalente a la correcta
Estudiante E 26
Necesita la suposicioacuten de un estado inicial indicado por x que es lo que tiene Heacutector
luego resta 3 de lo que tiene Heacutector correspondieacutendole a Alejandro x-3 Simoacuten tiene lo mismo
que Alejandro maacutes 7 x-3+7 resulta x+4 No explica coacutemo ha eliminado x en la parte final
escribe -3+7=+4 lo que coincide con la respuesta sintaacutectica
29
Estudiante E 28
Propone dos respuestas recurriendo a un estado inicial expresado aritmeacuteticamente con
una sustraccioacuten erroacutenea Utiliza ademaacutes una representacioacuten concreta donde Alejandro tiene 3
canicas y Simoacuten 10 entonces Heacutector deberiacutea tener 6 para que se cumpla lo que indica el
problema
Del anaacutelisis de las producciones de 16 estudiantes en los problemas de variacioacuten de
variaciones (problema 13) y de combinacioacuten de comparaciones adyacentes (problema 14)
podemos afirmar lo siguiente
Hemos observado la interpretacioacuten de los textos en forma distinta a la esperada es decir
existe una comprensioacuten parcial del problema (E 8 y E 9 problema 13 variacioacuten de variaciones)
Concluimos ademaacutes que las representaciones intuitivas realizadas en el proceso de
resolucioacuten auacuten las correctas por siacute mismas no permiten arribar a la expresioacuten sintaacutectica Es
necesario proporcionar ensentildeanza a los estudiantes para lograr la transicioacuten a la sintaxis De
hecho soacutelo tres estudiantes finalizan con la expresioacuten sintaacutectica correcta del problema (E 3
problema 13 variacioacuten de variaciones E 15 y E 26 problema 14 combinacioacuten de
comparaciones adyacentes)
Observamos que la suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado
del problema reduce la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo
(E 22 y E 32 problema 14 combinacioacuten de comparaciones adyacentes) Un estudiante reconoce
la negatividad por medio de nuacutemeros signado y relativo (E 1 problema 13 variacioacuten de
variaciones) Otros estudiantes tambieacuten reconocen la negatividad por medio del nuacutemero signado
(E 3 E 9 E 15 E 19 y E 20 problema 13 variacioacuten de variaciones E15 y E 26 problema
comparacioacuten de comparaciones adyacentes)
30
32 Tablas sobre el desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final
En seguida se presentan ocho tablas que muestran los nexos entre los resultados obtenidos
por los estudiantes en los problemas 5 6 8 9 10 11 13 y 14
Las columnas en las tablas se describen a continuacioacuten
Columna 1 Indica el nuacutemero de alumnos que contestan del mismo modo aunque tambieacuten puede
ser un uacutenico alumno
Columna 2 Estudiantes
Columna 3 Resultado dado por el estudiante
Columna 4 Proceso de resolucioacuten
En el inicio de la tabla se presenta el texto del problema y la posible respuesta
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus
respuestas
Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg 2deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
5 - 2 = 3
1 3deg 3 Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Es una resta si Andreacutes le regresa lo pedido prestado
al compantildeero se queda con 3 pesos lo cual ya son de
eacutel
1 4deg 3 Resta aritmeacutetica vertical
Andreacutes= pide $2 Su mamaacute le da $5 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal Justificacioacuten Puede gastar 3 pesos
de los 5 que le dio su mamaacute ya que debe 2 pesos
31
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 3 Resta aritmeacutetica horizontal
dinero que se tiene) 5 (deuda) -2 = (sobrante) 3
Lenguaje verbal
Si tiene $ 500 y debe $ 200 se resta 5-2 y se obtiene
3 que es la cantidad que puede gastar una vez
pagada su deuda
1 6deg 3 Expresioacuten algebraica
x - 2
-2 + 5 = 3
1 7deg 8deg 9deg 3 pesos Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
1 10deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal Justificacioacuten
5 - 2 = 3
1 11deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
Con los cinco pesos que le dio su mamaacute paga los dos
y se queda con 3 pesos los cuales puede gastar
1 12deg 3 pesos Resta aritmeacutetica horizontal 5 - 2 = 3
Lenguaje verbal
3 pesos ya que debe regresar 2 pesos y le dieron 5
1 13deg 3 pesos Suma aritmeacutetica igualada a restas
2 = Prestados
5 = de Andreacutes
2 + 5 = 7 - 2 = 5 - 2 = 3
1 14deg 3 pesos Lenguaje verbal
Pidioacute 2 pesos y despueacutes le dieron 5 pero debe pagar
los 2 pesos que habiacutea pedido prestados
Resta con sustraendo negativo y procedimiento
incorrecto Entonces restas
2 - 5 y queda 3 pesos 2-5=3
1 15deg 3 pesos Recta numeacuterica con explicacioacuten
32
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 16deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica -2+5=3
Lenguaje verbal
Puede pagar los $ 2 y gastar los otros 3 pesos
1 17deg 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 18deg $ 3 pesos Expresioacuten sintaacutectica - 2 + 5 = 3
1 19deg $ 300
(pesos)
Lenguaje verbal
Pues pidioacute prestado 2 y los tiene que pagar y para no
endrogarse de nuevo para pagar esta deuda solo goza
de 3 pesos para gastar y los otros dos pesos para
pagar
Resta aritmeacutetica vertical 5-2 = 3
1 20deg $ 300
(pesos)
Expresioacuten sintaacutectica
Justificacioacuten -2 + 5 = +3
Lenguaje verbal
Soacutelo puede gastar $ 300 para emplear los otros dos
en pagar lo que debiacutea y asiacute no tener deudas
Justificacioacuten -2+5=+3
1 21deg $ 300 Resta aritmeacutetica horizontal
5 - 2 que debe = 3 solo puede gastar $ 300 ya que
debe $ 200
1 22deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical $ 5 - $ 2 = $ 3
1 23deg $ 3
Resta aritmeacutetica vertical
1 24deg $ 3 Resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5 - 2 = 3 2 + 3 = 5
Lenguaje verbal
Andreacutes se puede gastar solamente $ 3 ya que si no
seguiriacutea debiendo
1 25deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal
$ 5 - $2 = $ 3
Lenguaje verbal Paga lo que pidioacute y le sobran 3
1 26deg $ 3 Resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3
1 27deg $ 3 Expresioacuten sintaacutectica (-2) + (+5) = 3
1 28deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical 5 - 2 = 3
33
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 29deg Puede
gastar 3
pesos
Resta aritmeacutetica vertical Nuacutemero sustractivo
5 - 2 = 3
Expresioacuten sintaacutectica Nuacutemero signado
(-2) + 5 = 3
1 30deg Puede
gastar 3
pesos
Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica en la que parte
del cero
Puede gastar 3 pesos porque
0 - 2 = -2 y -2 + 5 = 3
1 31deg $ 3 puede
gastar
Juan
Tabla
$ 2 $ 5 $2
Gastado Gastado Sobran $ 3
1 32deg $ 300
para
pagarle a
quieacuten le
prestoacute
Lenguaje verbal
Es confuso ya que podriacutea ser que su mamaacute le dio
dinero antes pero no le alcanzoacute
1 33deg 5 pesos Suma y resta aritmeacutetica
5 + 2 - 2 = 5
1 34deg
0 oacute 7
Lenguaje verbal
Porque tiene 2 opciones si su mamaacute le regalo el $ o
no
Si le tuviera que pagar a su mamaacute no podriacutea gastar
nada Ya que tiene $ 7 pesos y debe pagar $ 5 a
mamaacute y $ 2 a su amigo
Si no le tuviera que pagar a su mamaacute podriacutea gastar $
5 pesos y solo le pagariacutea $ 2 a su amigo total $7
1 35deg 7 Suma aritmeacutetica vertical 2 + 5 = 7
Anaacutelisis de la Tabla 5 Variacioacuten de un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos
iquestcuaacutel es la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta
con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
Del primero al sexto estudiante escriben como respuesta 3 el primero y el segundo usan
una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El tercero y el cuarto usan una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
y el lenguaje verbal explicando el contexto del problema El quinto resuelve de forma similar al
34
tercero y cuarto soacutelo que la resta aritmeacutetica 5-2=3 es horizontal El sexto escribe la expresioacuten
algebraica x-2 -2+5=3 Del seacuteptimo al 17deg escriben como respuesta 3 pesos El seacuteptimo octavo y
noveno usan la resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El deacutecimo resuelve con una resta aritmeacutetica
horizontal 5-2=3 El 11deg y 12deg usan una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 y lenguaje verbal
explicando el contexto del problema El 13deg usa una suma aritmeacutetica igualada a restas El 14deg
escribe el resultado correcto pero el procedimiento en la resta con sustraendo negativo no es
correcto Explica el contexto del problema con lenguaje verbal introduce la expresioacuten ldquo2-5 y
queda 3 pesosrdquo
El 15deg resuelve con una recta numeacuterica anulando 2 negativos con 2 positivos marcando
los 3 positivos sobrantes como los que puede gastar El 16deg llega a la sintaxis -2+5=3 y usa el
lenguaje verbal explicando el resultado El 17deg escribe la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 18deg
escribe como respuesta $3 pesos y resuelve con la expresioacuten sintaacutectica -2+5=3 El 19deg escribe
$ 300 (pesos) usa el lenguaje verbal y una resta aritmeacutetica vertical El 20deg y 21deg escriben $300
el 20deg llega a la expresioacuten sintaacutectica -2+5=+3 y usa el lenguaje verbal explicando el contexto del
problema El 21deg usa la resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 Del 22deg al 27deg escriben como
respuesta $ 3 El 22deg usa una resta aritmeacutetica vertical con los signos de pesos $5-$2=$3 El 23deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 24deg usa una resta aritmeacutetica vertical con comprobacioacuten
5-2=3 2+3=5
El 25deg usa una resta aritmeacutetica horizontal 5-2=3 El 26deg resuelve de forma similar al 25deg
pero introduce signos de pesos $ 5 - $ 2= $ 3 y el lenguaje verbal El 27deg llega a la expresioacuten
sintaacutectica (-2)+(+5)=3 El 28deg 29deg y 30deg proponen como respuesta Pueden gastar 3 pesos El 28deg
usa una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3 El 29deg resuelve con una resta aritmeacutetica vertical 5-2=3
(nuacutemero sustractivo) y con la expresioacuten sintaacutectica (-2)+5=3 (nuacutemero signado) El 30deg parte del
cero y llega a la expresioacuten sintaacutectica 0-2=-2 -2+5=3 usa tambieacuten el lenguaje verbal El 31deg
contesta $ 3 puede gastar Juan La tabla que propone resultoacute difiacutecil de interpretar El 32 contesta
$ 300 para pagarle a quien le prestoacute explica con lenguaje verbal ldquoEs confuso ya que podriacutea ser
que su mamaacute le dio dinero antes pero no le alcanzoacuterdquo El 33deg escribe 5 como respuesta justifica
con la suma aritmeacutetica 5+2-2=5 la cual es correcta pero no resuelve el problema El 35deg
contesta con el nuacutemero 7 usando la suma aritmeacutetica vertical 2+5=7
35
En siacutentesis Considerando (-2)+(+5)=(+3) como la respuesta correcta 8 alumnos
resuelven el problema
Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
18 Del 1deg al
18deg
8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del -4 y despueacutes yendo hacia la derecha
2 19deg y 20deg 8 Recta numeacuterica con positivos y negativos partiendo
del 4 y despueacutes yendo hacia la derecha Expresioacuten
sintaacutectica Adicioacuten con un sumando negativos
-4 + 12 = 8
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12-4 = 8
1 22deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
12 - 4 = 8
Lenguaje verbal explicando que a los antildeos despueacutes
de Cristo se le restan los antildeos antes de Cristo
3 23deg 24deg y
25deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -4 + 12 = 8
3 26deg 27 y
28deg
8 No justifica respuesta
1 29deg 16 Recta numeacuterica con positivos partiendo del 4 y
despueacutes yendo hacia la derecha
1 30deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16
1 31deg 16 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con dos sumandos
positivos 4 + 12 = 16 Recta numeacuterica con positivos
partiendo del 4 y despueacutes yendo a la derecha
1 32deg 16 Tabla con positivos comenzando con el 5 y
finalizando en el 6
3 33deg 34deg y
35deg
16 No justifica respuesta
36
Anaacutelisis de la Tabla 6 Combinacioacuten de estados
6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
Veintiocho estudiantes escribieron el 8 como respuesta del 1deg al 18deg utilizaron la recta
numeacuterica con negativos y positivos partiendo del -4 y yendo a la derecha hasta llegar al +8 Los
alumnos 19deg y 20deg ademaacutes de la recta numeacuterica resolvieron con la expresioacuten sintaacutectica -4+12=8
usando un sumando negativo El sujeto 21deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con
positivos 12 - 4 = 8 El 22deg utilizoacute la expresioacuten sintaacutectica con positivos 12 - 4 = 8 y lenguaje
verbal La expresioacuten sintaacutectica con un sumando negativo -4 + 12 = 8 como uacutenica justificacioacuten
aparecioacute en 3 casos (23deg a 25deg) Aparecen otros tres casos que no justifican su respuesta (26deg a
28deg)
Siete estudiantes (del 29deg al 35deg) escribieron 16 como resultado El 29deg utilizoacute la recta
numeacuterica con negativos y positivos el 30deg resolvioacute con la sintaxis de adicioacuten con positivos
4+12=16 El 31deg ademaacutes de una expresioacuten sintaacutectica con positivos 4 + 12 = 16 resolvioacute en la
recta con positivos El 32deg resolvioacute con una tabla de nuacutemeros positivos Tres sujetos (33dega 35deg)
no justifican su respuesta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos no contestaron correctamente
37
Tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg -7degC Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 2deg -7degC Recta numeacuterica horizontal con el cero y negativos
Operacioacuten con negativos no convencional y
vertical
1 3deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7degC
Recta numeacuterica horizontal con el cero y los
negativos a la derecha
1 4deg -7degC Lenguaje verbal
Si tenemos -4 y le aumentamos otro -3 da -7
1 5deg -7degC Representaciones alternativas
Lenguaje verbal
Noche -4 descendioacute -3degC mantildeana -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Serie numeacuterica
1 6deg -7degC Lenguaje verbal Sumamos los 4 grados que habiacutea
por la noche maacutes los 3 grados maacutes que descendioacute
por lo cual da 7 pero como la temperatura era bajo 0
pues es negativo y pasa a -7degC
38
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 7deg y 8deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
1 9deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos
y horizontal incluye degC
-4degC-3degC=-7degC
2 10deg y 11deg -7degC Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos
(-4)+(-3)=-7
2 12deg y 13deg -7degC No justifica
1 14deg Marca -7degC Recta numeacuterica horizontal con negativos hasta el -7
y el cero
Lenguaje verbal
De -4deg C bajoacute 3 grados maacutes
Operacioacuten no convencional con negativos y
vertical
1 15deg Marca -7degC Lenguaje verbal
Marca -7 deg C porque era -4 y bajoacute 3degC o sea -3
sumados es -7deg C
Expresioacuten sintaacutectica con resta incorrecta
(-3)-(-4)=-7
1 16deg El
termoacutemetro
marca -7degC
Expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7
Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
descrita correctamente
1 17deg -7 grados
centiacutegrados
Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 18deg -7 grados
centiacutegrados
Lenguaje verbal con signo igual
Porque -4 grados -3 grados=-7 grados
2 19deg y 20deg -7 grados
centiacutegrados
No justifica
1 21deg 7 grados
centiacutegra-
dos bajo
cero
Suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 Respuesta correcta
que no coincide con la operacioacuten realizada
39
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 22deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
Recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente
2 23deg y 24deg 7 grados
centiacutegrados
bajo cero
No justifica
1 25deg 7deg C bajo 0 Dos formas de representacioacuten numeacuterica de la
solucioacuten
7deg C bajo 0 oacute 7 grados centiacutegrados bajo cero de
igual manera -7degC
1 26deg 7g bajo
cero
Operacioacuten no convencional con negativos y
en forma vertical
1 27deg -7degC bajo
cero o -7degC
Expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin pareacutentesis
-4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida
-4( )-3( )=-7( )
Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
1 28deg -7 Recta numeacuterica vertical con el cero y negativos
hasta el -7
1 29deg Respuesta
indicada en
un dibujo
del
termoacutemetro
(-7)
Dibujos de dos termoacutemetros indicando dos
momentos
1 30deg No hay
respuesta
Dibujo de un termoacutemetro con el cero positivo 4
hasta el negativo 4
1 31deg -1deg C Termoacutemetro vertical con positivos y negativos
1 32deg -1degC Lenguaje verbal
-1degC se restan los grados sigue siendo recta
numeacuterica
Recta numeacuterica horizontal en la que marca el cero
el -1 y el -4
40
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg -1degC Recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos y
positivos incluye degC -
4degC+3degC=-1degC
1 34deg 1deg Termoacutemetro en forma vertical con el cero en medio
1 35deg 1 grado Lenguaje verbal
Porque la resta de 4-3 da 1 grado centiacutegrado
Anaacutelisis de la tabla 8 Variacioacuten de un estado
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
Trece alumnos escriben -7degC como respuesta El alumno uno justifica con una operacioacuten
de negativos no convencional y vertical El alumno dos usa una recta descrita correctamente
y una operacioacuten con negativos no convencional y vertical en la que escribe el cero en la parte
superior El tres escribe una expresioacuten sintaacutectica con suma de negativos (-4)+(-3)=-7 y usa
una recta numeacuterica horizontal con el cero y los negativos a la derecha El cuarto usa el lenguaje
verbal correctamente indicando la adicioacuten de negativos El quinto indica representaciones
alternativas lenguaje verbal en el que muestra los tres momentos correctamente Usa la expresioacuten
sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 escribe una serie numeacuterica en la que parte del 10 pasa por el
cero y llega al -7 El sexto usa el lenguaje verbal indicando una adicioacuten de positivos y finalmente
sentildeala como la temperatura era bajo 0 pues es negativo y pasa a -7degC
El siete y el ocho usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 El
nueve justifica con la expresioacuten sintaacutectica no convencional con negativos y horizontal
41
-4degC-3degC=-7degC El diez y el 11 usan exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica con suma de
negativos (-4)+(-3)=-7 El 12 y 13 no justifican El 14 y 15 escriben como respuesta Marca -7degC
El 14 usa una recta numeacuterica desde el -7 hasta el 0 usa lenguaje verbal de -4degC bajoacute tres grados
maacutes indica dos momentos y omite el tercer momento Tambieacuten escribe una operacioacuten no
convencional con negativos y vertical El 15 explica con lenguaje verbal correctamente hace
una suma de negativos pasa de los positivos bajoacute 3degC a negativos o sea -3 la expresioacuten
sintaacutectica (-3)-(-4)=-7 no es correcta El 16 escribe El termoacutemetro marca -7degC justifica con una
expresioacuten sintaacutectica sin pareacutentesis -4-3=-7 Ademaacutes usa una recta numeacuterica descrita
correctamente
Del 17 al 20 escriben -7 grados centiacutegrados como respuesta El 17 justifica con un
termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 18 con lenguaje verbal se refiere a un
sustraendo positivo Porque -4 grados -3 grados =-7 grados Si se da la interpretacioacuten de que
quitar 3 positivos es igual a -3 para que resulte -7 Usa el signo igual = El 19 y 20 no justifican
su respuesta Del 21 al 24 escriben 7 grados centiacutegrados bajo cero como respuesta El 21 recurre
a una suma aritmeacutetica vertical 4+3=7 pasa del 7 a la negatividad en lenguaje verbal 7 grados
centiacutegrados bajo cero El 22 justifica con una recta numeacuterica horizontal con positivos y negativos
descrita correctamente El 23 y 24 no justifican El 25 escribe 7degC bajo 0 con lenguaje verbal
Propone dos formas de representacioacuten de la solucioacuten 7degC bajo 0 equivale a -7degC
El 26 escribe como respuesta 7g bajo cero Usa una operacioacuten no convencional con
negativos y en forma vertical El 27 escribe -7degC bajo cero oacute -7degC La primera respuesta
resulta redundante (-7degC bajo cero) Propone una expresioacuten sintaacutectica con negativos y sin
pareacutentesis -4-3=-7 aunada a la representacioacuten hiacutebrida -4( )-3( )=-7( ) Tambieacuten
emplea una recta numeacuterica vertical con el cero y negativos El 28 escribe -7 y usa una recta
aritmeacutetica vertical con el cero y negativos hasta el -7 El 29 indica su respuesta en un dibujo de
un termoacutemetro (-7) justifica con dibujos de termoacutemetros indicando dos momentos El 30 no da
respuesta Dibuja un termoacutemetro con el cero positivo 4 hasta el negativo 4 El 31 32 y 33
escriben -1degC como respuesta El 31 usa un termoacutemetro vertical con positivos y negativos El 32
justifica con lenguaje verbal indicando que se restan los grados y la recta numeacuterica en la que
42
marca el cero el -1 y el -4 El 33 usa una recta numeacuterica vertical con positivos y negativos
Tambieacuten justifica con la expresioacuten sintaacutectica de suma con negativos y positivos en la que incluye
degC -4degC+3degC=-1degC El 34 escribe 1deg como respuesta justifica con un termoacutemetro en forma
vertical con el cero en el punto medio El 35 escribe 1 grado usa el lenguaje verbal ldquoporque la
resta de 4-3 da 1 grado centiacutegradordquo
En siacutentesis si consideramos correcta la respuesta (-4)-(+3)=(-7) y su equivalente
(-4)+(-3)=(-7) tres alumnos resuelven el problema
Tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
2 3deg y 4deg 29 deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
3 5deg 6deg y 7deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 8deg 29 g Recta numeacuterica con positivos y negativos
Suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29
1 9deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC Completacioacuten por conteo
1 10deg 29deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos
Lenguaje verbal Estaba -3 y 26 lo uacutenico que hago es
contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Completacioacuten por conteo
1 11deg 29 grados Lenguaje verbal Porque 3 grados para 26 grados da
29deg centiacutegrados Completacioacuten por conteo
1 12deg 29 grados Lenguaje verbal Porque son tres deg en lo que llega al
0deg y maacutes los 26deg que faltan Completacioacuten por
conteo en dos pasos
43
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 29deg C Lenguaje verbal Porque son los 26deg que tiene para el
cero y luego los -3 grados que suman 29deg C
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 14deg 29deg C Lenguaje verbal Porque como son los -3 deg C son
negativos entonces a los positivos se le aumentan
Completacioacuten por conteo en dos pasos
1 15deg 29deg C Lenguaje Verbal Debido a que como es un nuacutemero
negativo el 3 en lugar de restar se suma al 26
2 16deg y 17deg 26 grados Representaciones intuitivas Dibuja dos termoacutemetros
de las situaciones
1 18deg 23 Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 19deg 29deg C Suma aritmeacutetica vertical 26+3=29
1 20deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado de grado
sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo
26degC-(-3degC)=29degC
1 21deg 29deg C Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el
sustraendo negativo 26-(-3)=29
2 22deg y 23deg 29deg C No justifica
1 24deg 29deg
centiacutegrados
No justifica
1 25deg 29 grados No justifica
1 26deg +29 Recta numeacuterica con positivos y negativos
Completacioacuten por conteo
1 27deg 23deg C Expresioacuten sintaacutectica con el significado grados
adicioacuten con un sumando negativo
-3degC+26degC=23deg C
1 28deg 23 grados
centiacutegrados
Recta numeacuterica con positivos y negativos
Coacutedigo personal
1 29deg 23 grados
centiacutegrados
No justifica
44
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 30deg 23 grados Sustraccioacuten aritmeacutetica 26-3=23
Lenguaje verbal Puesto que a la miacutenima fue de -3
grados y la maacutexima 26 La diferencia nada maacutes la
sacamos restando Asociacioacuten de la palabra
diferencia con la sustraccioacuten
1 31deg 23deg C Representacioacuten concreta Dibujo del termoacutemetro
Sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23
1 32deg 22 grados
centiacutegrados
Suma no correcta con un sumando negativo
-3+26=22
1 33deg 30 Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 34deg 30deg C Recta numeacuterica con positivos y negativos Error
aritmeacutetico
1 35deg No la
registra
Lenguaje verbal Que al principio era una
temperatura bajo cero y despueacutes va ascendiendo
Representacioacuten concreta Dibujo de un termoacutemetro
Sentido de la diferencia
Anaacutelisis de la tabla 9 Comparacioacuten de un estado
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El primero y segundo escriben la respuesta 29deg C usan la recta numeacuterica con positivos y
negativos El tercero y cuarto alumno tambieacuten escriben 29deg C usan la recta y hacen una suma
aritmeacutetica vertical 26+3=29 El quinto sexto y seacuteptimo siguen el mismo procedimiento que el
tercero y el cuarto la diferencia es que la suma aritmeacutetica es en forma horizontal El octavo
escribe 29deg g usa la recta y una suma aritmeacutetica horizontal 26+3=29 El noveno hace una
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa el lenguaje verbal simplemente se ve cuaacutento hace
falta del -3 para el 26degC y la recta numeacuterica con positivos y negativos El deacutecimo hace una
45
completacioacuten por conteo escribe 29deg C usa la recta numeacuterica y el lenguaje verbal estaba -3 y
26 lo uacutenico que hago es contar de -3 a 26 en la tabla y sale el resultado
Del onceavo al quinceavo usan exclusivamente el lenguaje verbal el onceavo hace una
completacioacuten por conteo escribioacute 29 grados y la frase porque 3 grados para 26 grados da 29deg
centiacutegrados La completacioacuten por conteo del doceavo es en dos pasos escribe 29 grados
justifica escribiendo porque son tres deg en lo que llega al 0deg y maacutes los 26deg que faltan El treceavo
tambieacuten hace una completacioacuten por conteo en dos pasos escribe 29deg C y registra la frase
porque son los 26deg que tiene para el cero y luego los -3 grados que suman 29degC El catorceavo
hace una completacioacuten por conteo en dos pasos propone la respuesta 29deg C y tambieacuten escribe
porque como son los -3deg C son negativos entonces a los positivos se le aumentan El quinceavo
registra 29deg C en su respuesta y escribe debido a que como es un nuacutemero negativo el 3 en lugar
de restar se suma al 26
El dieciseisavo y diecisieteavo escriben 26 grados dibujan dos termoacutemetros con las
situaciones que plantea el problema El dieciochoavo escribe 23 hace una sustraccioacuten aritmeacutetica
vertical 26-3=23 El diecinueveavo escribe 29degC usa una suma aritmeacutetica vertical 26+3=29 El
veinteavo escribe 29deg C usa la expresioacuten sintaacutectica con significado de grados y una sustraccioacuten
horizontal con sustraendo negativo 26degC-(-3degC)=29degC El veintiunavo escribe 29deg C usa la
expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten horizontal con el sustraendo negativo 26-(-3)=29 El
veintidosavo y veintitresavo escriben 29deg C y no justifican El veinticuatroavo escribe 29deg
centiacutegrados y no justifica El veinticincoavo escribe 29 grados y tampoco justifica El
veintiseisavo escribe +29 usa la recta numeacuterica con positivos y negativos El veintisieteavo
escribe 23deg C justifica con la expresioacuten sintaacutectica con el significado de grados usa una adicioacuten
con un sumando negativo -3degC+26degC=23degC
El veintiochoavo escribe 23 grados centiacutegrados usa la recta numeacuterica con positivos y
negativos ademaacutes una expresioacuten con un coacutedigo personal El veintinueveavo escribe 23 grados
centiacutegrados y no justifica El treintavo escribe 23 grados justifica con una sustraccioacuten aritmeacutetica
26-3=23 con la expresioacuten puesto que a la miacutenima fue de -3 grados y la maacutexima 26 la diferencia
nada maacutes la sacamos restando asocioacute la palabra diferencia con la sustraccioacuten
El treintaiunavo escribe 23deg C justifica con una representacioacuten concreta dibujo del
termoacutemetro y una sustraccioacuten aritmeacutetica vertical 26-3=23 El treintaidosavo responde 22 grados
centiacutegrados usa una suma no correcta con un sumando negativo -3+26=22 El treintaitresavo
46
escribe 30 usa una recta numeacuterica con positivos y negativos se presenta un error aritmeacutetico El
treintaicuatroavo escribe 30deg C usa una recta numeacuterica con positivos y negativos tiene un error
aritmeacutetico El treintaicincoavo no registra la respuesta soacutelo justifica con el dibujo de un
termoacutemetro y lenguaje verbal que al principio era una temperatura bajo cero y despueacutes va
ascendiendo le da sentido a la palabra diferencia
En siacutentesis y considerando (26)-(-3)=(+29) como respuesta correcta dos estudiantes
resuelven el problema
Tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 1deg 7 es igual
al nuacutemero
de ciruelas
que ya no
se pueden
comer
4 que ya fueron comidas y 3 podridas (las que se
comen y las que no se comen) 4+3=7
Suma aritmeacutetica horizontal con explicacioacuten en
lenguaje verbal
1 2deg Ya no se
pueden
comer 7
ciruelas
T=Total de ciruelas
T-3-7=ciruelas que se pueden comer
3+4=Ciruelas que no se pueden comer
Asigna a T el significado de total usa negativos -3 y
-7
Suma aritmeacutetica horizontal sin indicar el resultado en
la operacioacuten sino el significado de estos nuacutemeros en
el contexto del problema en lenguaje verbal
1 3deg -7x
ciruelas
x cantidad de ciruelas
x(-3-4)=-7 ciruelas
-7x ciruelas
Expresioacuten algebraica no convencional
47
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 7
3 se pudrieron 4 se comioacute al sumarlos dan 7 y no
queda ni una
Lenguaje verbal
Dibujos
1 5deg 7 3+4=7
Suma aritmeacutetica vertical
1 6deg x-7
(x-3)+(x-4)=x-7
Dibujos
Expresioacuten algebraica
1 7deg x-7 7 ciruelas no se pueden comer ya que se pudrieron 3
y se comieron 4
Lenguaje verbal
Operacioacuten no convencional de expresiones
algebraicas en forma vertical
1 8deg x-7 Diacutea 1 Diacutea 3
x x-3
x=Cantidad de ciruelas recieacuten compradas
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
Introduce el tiempo
2 9deg y 10deg x-7 x-3-4=x-7
Expresioacuten algebraica no convencional
1 11deg -7 Recta numeacuterica descrita correctamente
Operacioacuten no convencional con negativos y vertical
Reminiscencia de las operaciones aritmeacuteticas
48
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 12deg -7 (-3)+(-4)=-7 x-7
Expresioacuten sintaacutectica correcta
Expresioacuten algebraica
3 13deg 14deg y
15deg
Respuesta
no
indicada
Dibujo de 4 manzanas y 3 podridas
1 16deg Respuesta
no
indicada
x -7
Representacioacuten hiacutebrida
1 17deg Respuesta
no
indicada
Suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Resta aritmeacutetica vertical 7-3=4
1 18deg Respuesta
no
indicada
(x-3)-4=
Expresioacuten algebraica no convencional
1 19deg Respuesta
no
indicada
P3 GC4
Letras y nuacutemeros que corresponden al contexto del
problema
1 20deg x-3 Pasaron 2 diacuteas ya no estaban recieacuten compradas asiacute
que son 3 ciruelas menos x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 21deg x-3 Comproacute x pasaron 2 diacuteas pudrieron 3
comioacute 4 x-3
Lenguaje verbal
Expresioacuten algebraica
1 22deg x-3 2d=-3c g=4
Expresiones propias con letras y nuacutemeros
Expresioacuten algebraica
2 23deg y 24deg x-3 No muestra procedimiento
1 25deg c-3 Si se comproacute ldquocrdquo cantidad de ciruelas ese seriacutea
nuestro total y al pudrirse 3 se tendriacutea que expresar
como ldquo-3rdquo por lo que da c-3
Lenguaje verbal Expresioacuten algebraica
49
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg 3 ciruelas
ya no se
pueden
comer
porque se
pudrieron
Resta aritmeacutetica vertical
Lenguaje verbal
1 27deg 3 7-4=3
Soacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que
estaban mal
Resta aritmeacutetica vertical Lenguaje verbal
1 28deg x-3=4 x-3=4
x=la cantidad de ciruelas en un principio
3=ciruelas podridas
4=ciruelas comidas por Gabriel
Expresioacuten algebraica Lenguaje verbal
1 29deg x-4 n=nuacutemero de ciruelas podridas
n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3
x=3+4 x=7
Expresiones algebraicas
1 30deg x-2 Recieacuten compradas todas se podiacutean comer despueacutes de
2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelas
Lenguaje verbal con expresioacuten algebraica
1 31deg x c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas
-4=ciruelas comidas
x=resultado
Expresioacuten algebraica
Lenguaje verbal
4 32deg 33deg
34deg y 35deg
12 14 25
y 31
No contestoacute
50
Anaacutelisis de la tabla 10 Variacioacuten de un estado
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente
pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la
cantidad de ciruelas que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten
compradas Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
El primer alumno escribe la respuesta 7 es igual al nuacutemero de ciruelas que ya no se
pueden comer usa la suma aritmeacutetica horizontal 4+3=7 explica el contexto del problema con
lenguaje verbal El segundo escribe como respuesta Ya no se pueden comer 7 ciruelas Justifica
con negativos asigna un valor a T tambieacuten usa una suma aritmeacutetica horizontal 3+4= En lugar
de escribir el resultado explica con lenguaje verbal que la suma de esos nuacutemeros es la respuesta
del problema El tercero escribe -7x ciruelas usa una expresioacuten algebraica no convencional x es
la cantidad de ciruelas luego suma -3 con -7 escribe x(-3-4)=-7 Al final agrega x a -7
resulta 7x ciruelas El cuarto y quinto alumnos escriben 7 como respuesta El cuarto dibuja 4
ciruelas y 3 ciruelas podridas explica el significado en lenguaje verbal El quinto alumno
justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7
Del sexto al deacutecimo escriben la respuesta x-7 El sexto dibuja 3 manzanas obscuras y 4
claras escribe la expresioacuten algebraica (x-3)-(x-4)=x-7 que no es correcta porque el resultado debe
ser 2x-7 El seacuteptimo escribe la operacioacuten no convencional de expresiones algebraicas en forma
vertical explica con lenguaje verbal el significado de las expresiones El octavo
explica que hay dos momentos el diacutea 1 que le corresponde x que es la cantidad de ciruelas recieacuten
compradas y el diacutea 3 x-3 Sin embargo registra la respuesta x-7 El noveno y deacutecimo justifican
con la expresioacuten algebraica no convencional x-3-4=x-7 El 11deg y 12deg registran la respuesta -7 El
11deg usa una recta descrita correctamente ademaacutes la operacioacuten no convencional con negativos y
vertical El 12deg resuelve correctamente con la expresioacuten sintaacutectica (-3)+(-4)=-7 tambieacuten
escribe x-7
51
Del 13degal 19deg no indican la respuesta El 13deg 14deg y 15deg resuelven de manera similar
justifican con dibujos de 4 manzanas y 3 manzanas podridas El 16deg registra la representacioacuten
hiacutebrida x -7 El 17deg justifica con la suma aritmeacutetica vertical 3+4=7 y la resta
aritmeacutetica vertical 7-3=4 El 18deg usa la expresioacuten algebraica no convencional (x-3)-4= en la que
no indica el resultado El 19deg usa el lenguaje verbal y nuacutemeros que corresponde al contexto del
problema pudrieron P3 Gabriel comioacute GC4 Del 20deg al 24deg escriben como respuesta x-3 El 20deg
usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas explica ldquoal pasar dos diacuteas ya no estaacuten recieacuten
compradas las ciruelas por lo que su respuesta es x-3rdquo El 21deg justifica con expresiones
algebraicas explica que pasaron dos diacuteas y se pudrieron 3 manzanas Tambieacuten indica que Gabriel
se comioacute 4 sin embargo su respuesta es x-3
El 22deg usa expresiones propias con letras y nuacutemeros 2d=-3c g=4 Da como respuesta la
expresioacuten algebraica x-3 El 23deg y 24deg no registran alguacuten procedimiento El 25deg escribe la
respuesta c-3 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas Indica que ldquocrdquo es el total de
ciruelas y como se pudrieron tres se expresa ldquo-3rdquo por lo que resulta c-3 El 26deg escribe como
respuesta 3 ciruelas ya no se pueden comer porque se pudrieron Usa una resta aritmeacutetica vertical
con lenguaje verbal El 27deg escribe el 3 como respuesta justifica con la resta aritmeacutetica horizontal
7-4=3 usa el lenguaje verbal su explicacioacuten ldquoSoacutelo sumeacute la cantidad de ciruelas podridas con las
que se comieron y luego resteacute otra vez las 3 que estaban malrdquo no corresponde con la resta El 28deg
registra la respuesta x-3=4 usa el lenguaje verbal y expresiones algebraicas x-3=4 explica los
datos del problema x=la cantidad de ciruelas en un principio 3=ciruelas podridas 4=ciruelas
comidas por Gabriel Sin embargo la respuesta no es correcta El 29deg escribe como respuesta x-4
usa expresiones algebraicas que son loacutegicas n=nuacutemero de ciruelas podridas n+4=x n=x-4 n=3
x-4=3 x=3+4 x=7 pero no logra relacionarlas para dar una correcta justificacioacuten
El 30deg registra la respuesta x-2 usa lenguaje verbal con expresiones algebraicas ldquoRecieacuten
compradas todas se podiacutean comer despueacutes de 2 diacuteas quedoacute= x-4-2=y que no se pueden comer es
x-2 la cantidad de ciruelasrdquo El 2 de la expresioacuten x-4-2 no corresponde con los datos del
problema esto lo lleva a la expresioacuten x-2 tampoco es correcta El 31deg propone como respuesta x
usa expresiones algebraicas y lenguaje verbal Estas expresiones c-3-4=x donde c= ciruelas
-3=ciruelas podridas -4=ciruelas comidas x=resultado son loacutegicas pero no llega a establecer una
relacioacuten que lo lleve a la respuesta correcta
52
En siacutentesis y considerando la expresioacuten (-3)+(-4)=(-7) como correcta Solamente un
alumno resuelve el problema
Tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
19 Del 1deg al
19deg
8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8
1 20deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal equivalencia semaacutentica
disminuir la deuda con pagar
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
14 - 6 = 8 Lenguaje verbal Palabra deuda Uso de
tabla
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado de la forma
a + x = b
3 23deg 24deg y
25deg
8 No justifica
1 26deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 16 - 6 = 8 Expresioacuten
sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos Lenguaje
verbal contrarios deber 8 tener -8
2 27deg y 28deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con un sumando
negativo -14 + 6 = -8 Lenguaje verbal deber 8 es
igual a -8 (alumno 27deg) El alumno 28deg escribioacute Es
una suma porque como es deuda se tiene que agregar
dinero
2 29deg y 30deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con sumando negativo
-14 + 6 = -8
53
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 31deg 6 Sustraccioacuten con positivos 14 - 8 = 6
Representaciones intuitivas billetes y monedas
representa las tres partes de la sustraccioacuten
1 32deg 6 Lenguaje verbal equivalencia entre disminuir su
deuda con pagando Sustraccioacuten vertical con
positivos sentildeala que es igual a
1 33deg 6 Lenguaje verbal si quiere disminuir a 6 pesos tiene
que pagar primero 8
1 34deg 6 No justifica
1 35deg -6 Recta numeacuterica con negativos parte del -14 y llega al
-6
Anaacutelisis de la tabla 11 Variacioacuten de un estado
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
Veintiseacuteis alumnos (1deg a 25deg) escriben 8 como respuesta de los cuales 19 (1deg a 19deg)
registran una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos El 20deg estudiante ademaacutes
de la sustraccioacuten con positivos utilizan el lenguaje verbal un alumno (21deg) recurre a la expresioacuten
sintaacutectica de sustraccioacuten con positivos lenguaje verbal y uso de tabla Un alumno (22deg) justifica
con una ecuacioacuten de primer grado Tres estudiantes (23deg a 25deg) no justifican su respuesta
Cinco estudiantes (26deg a 30deg) sentildealan que la respuesta es -8 uno de ellos (26deg) registra
una expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo recurre a los positivos
en una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten y tambieacuten se apoya del lenguaje verbal
sentildealando la equivalencia de deber 8 con tener -8 Otros dos sujetos (27deg y 28deg) utilizan una
expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo tambieacuten el lenguaje verbal deber 8 es
54
igual a -8 y como es deuda se tiene que agregar dinero Dos estudiantes (29deg y 30deg) utilizan
exclusivamente la expresioacuten sintaacutectica de adicioacuten con un sumando negativo
De los 4 alumnos que escriben el 6 como respuesta el 31deg hace uso de los positivos con
una sustraccioacuten y representaciones intuitivas el 32deg recurre al lenguaje verbal
disminuir su deuda es lo mismo que pagar el 33deg recurre al lenguaje verbal interpreta que Elvira
quiere disminuir su deuda a 6 pesos El 34deg no justifica
El 35deg propone la respuesta -6 apoyaacutendose de la recta numeacuterica Hizo un conteo
equivocado en la recta
En siacutentesis
Cinco alumnos contestaron correctamente
Treinta alumnos contestaron de una forma incorrecta
Tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
2 1deg y 2deg
2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos
(-3)-(-5) = 2
1 3deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = 2
1 4deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
- 3
5
2
55
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 5deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos 5
- 3 = -2 Representacioacuten intuitiva telarantildeas y
moscas
1 6deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos -3 + 5 = 2
1 7deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
positivos -3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de las palabras escapar con resta y
sumar con frase las que no se escaparon menos
1 8deg 2 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos y
positivos - 3 + 5 = 2 Lenguaje verbal
equivalencia de escapar 3 con tener -3 partiendo
del cero
1 9deg 2 Expresioacuten algebraica de sustraccioacuten con negativos
x-3-(-5) = 2
1 10deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha Lenguaje
verbal equivalencia de los nuacutemeros 0 -3 + 5 con
las frases no atrapoacute nada se le escaparon y hoy
atrapoacute 5 maacutes que ayer respectivamente
1 11deg 2 Recta numeacuterica partiendo del cero yendo a la
izquierda y desde ahiacute hacia la derecha
1 12deg 2 Repeticioacuten de las frases del enunciado del
problema
1 13deg +2 Expresioacuten sintaacutectica sustraccioacuten con negativos y
positivos (-3)-(+5) = +2
1 14deg x + 2 Expresioacuten algebraica con positivos y negativos
(x-3) - (-5) = (x-3) + 5 = x +2 Lenguaje verbal
equivalencia de las expresiones x - 3 y -(-5) con las
frases se le escaparon 3 y se le escaparon cinco
menos al diacutea anterior respectivamente
1 15deg x +2 Expresioacuten algebraica x - 3 x + 5 x + 2
1 16deg (x - 3) +2 Expresioacuten algebraica (x - 3) (x - 3) + 2
1 17deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon
cinco menos con atrapoacute
1 18deg 5 Lenguaje verbal equivalencia de se le escaparon 5
menos con no se escaparon 5
56
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 19deg 5 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos
10 -(-5) = 5
1 20deg 8 Expresioacuten algebraica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3a - 5a = 2a Representaciones intuitivas
dibujo de telarantildeas y moscas
1 21deg 8 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con positivos
3 + 5
1 22deg 8 Ecuacioacuten de primer grado x + a = b (incorrecta)
3 - 5 = x x = 5 + 3 x = 8
1 23deg 8 Lenguaje verbal explicando la dificultad de
interpretar el problema
1 24deg 8 Lenguaje verbal explica que se suman las 3 que se
le escaparon ayer maacutes las 5 de hoy
1 25deg -8 Expresioacuten sintaacutectica Sustraccioacuten con positivos y
negativos 3 - 5 = -8 Representacioacuten intuitiva
dibujo de telarantildea y moscas
1 26deg Las que no
escaparon
Lenguaje verbal explica que no se sentildeala el nuacutemero
de moscas que atrapoacute
1 27deg 8 oacute 10 Lenguaje verbal sentildeala que el diacutea anterior se le
escaparon 3 pero teniacutea 5 Representaciones
intuitivas dibujos de telarantildea y moscas
1 28deg 11 Expresioacuten sintaacutectica Adicioacuten con negativos
adicioacuten con positivos -3-5 = -8 (vertical)
5 + 3 = 8 8 + 3 = 11
1 29deg 11 Lenguaje verbal 6 que atrapoacute ayer hoy atrapoacute 5
moscas maacutes que ayer en otras palabras se le
escaparon 5 menos por lo que al parecer escribe 11
como respuesta
1 30deg 7 No justifica
1 31deg y Expresioacuten algebraica x - 3 - 5 = y
1 32deg x Expresioacuten algebraica Ayer x - 3 Hoy x
Lenguaje verbal en el que afirma que hoy no se le
escaparon moscas
1 33deg Ninguna Representacioacuten intuitiva dibujoacute 8 moscas y sentildeala
que ninguna se escapoacute
1 34deg Ninguna Lenguaje verbal repite por escrito el problema
1 35deg Ninguna Lenguaje verbal sentildeala que no es posible que hoy
se escapen 5 menos que ayer porque ayer soacutelo se le
escaparon 3
57
Anaacutelisis de la tabla 13 Variacioacuten de variaciones
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
Doce estudiantes escribieron como respuesta 2 el 1deg y 2deg primero utilizan la sintaxis en
una sustraccioacuten de negativos (-3)-(-5)=2 omitiendo el + en el 2 el tercero responde con el
nuacutemero dos pero la expresioacuten (-3)-(+5)=2 no es correcta La expresioacuten sintaacutectica con positivos
del cuarto
3-52 no es correcta El quinto escribe una sustraccioacuten con positivos 5-3=2 y dibuja la
telarantildea y las moscas El sexto utiliza la sintaxis con una adicioacuten de negativos y positivos -3+5=2
la cual consideramos correcta aunque omitioacute el + en el 2 El seacuteptimo y el octavo utilizan la misma
expresioacuten que el sexto Se apoyan en el lenguaje verbal El octavo escribe una equivalencia
semaacutentica escapar 3 con -3 partiendo del cero El noveno sujeto utiliza la expresioacuten algebraica
x-3-(-5) = 2 El 10deg estudiante usa dos recursos que incluyen a negativos recta numeacuterica y
lenguaje verbal El 11deg soacutelo utiliza la recta numeacuterica El 12deg repite por escrito el enunciado del
problema El 13deg propone una expresioacuten sintaacutectica de sustraccioacuten con negativos y positivos no
correcta (-3)-(+5) = +2
El 14deg estudiante escribe (x -3)-(-5)=(x+2) pasa del lenguaje verbal a expresiones con
negativos En la respuesta x+2 del 15deg estudiante aparece el sentido sustractivo de la negatividad
porque resta 5-3 de las expresiones x-3 x+5 que inventa para resolver el problema
El 16deg alumno escribe expresiones algebraicas
El 17deg y 18deg utilizan expresiones semaacutenticas equivalente no resuelven correctamente el
problema
Seis alumnos (del 19deg al 24deg) escribieron como respuesta el 8 Se observa que operaron
con los nuacutemeros 3 y 5 y realizaron distintos procedimientos que no los llevoacute a contestar
correctamente
El 25deg contesta -8 con una sintaxis incorrecta y sus dibujos no muestran una representacioacuten clara
de la situacioacuten del problema
El 26deg no realizoacute una comprensioacuten correcta del problema El 27deg tampoco interpretoacute
correctamente el problema
58
Los alumno 28deg y 29deg escriben como respuesta el 11 soacutelo en el caso del 29deg se encontroacute
una explicacioacuten que nos permitioacute interpretar el porqueacute de su respuesta indica que son 6 moscas
de ayer y luego con una expresioacuten semaacutentica equivalente sentildeala que a las 6 se le suman las 5 El
procedimiento del 28deg no es claro para nosotros
El 30deg no justifica El 31deg escribe una expresioacuten algebraica El 32deg ademaacutes de usar
literales sentildeala una equivalencia semaacutentica de una parte del problema
La representacioacuten concreta del 33deg no representa claramente la informacioacuten del enunciado y no
lleva al alumno a resolver el problema correctamente
La explicacioacuten escrita del alumno 34deg es una copia del problema
La justificacioacuten del 35deg sugiere que este problema es difiacutecil de interpretar para algunos
estudiantes
Consideramos el 2 y no soacutelo al +2 como respuesta correcta a pesar de estar trabajando
con enteros ya que desde la ensentildeanza se omite el +
8 alumnos resolvieron correctamente el problema
Tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1
1deg 4 canicas Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
explicando la relacioacuten entre las tres cantidades
dadas Alejandro = x-3
Heacutector = x Simoacuten= x-3+7
1 2deg 4 canicas Expresiones algebraicas y uso del lenguaje verbal
x x-3 x-3+7 x+4 -3+7=+4
1 3deg 4 canicas Expresiones algebraicas
Alejandro Simoacuten Heacutector
(x-3) (x-3)+7 (x+3)
59
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 4deg 4 canicas Sustraccioacuten de expresiones algebraicas
Alejandro=x Heacutector=x+3 Simoacuten=x+7
(x+7)-(x+3)=4
1 5deg 4 canicas Asigna a Alejandro y Simoacuten valores enteros Ninguacuten
nuacutemero asocia con Heacutector Agrega una sustraccioacuten
de naturales Heacutector Alejandro -3 Simoacuten +7
7-3=4
1 6deg 4 canicas Lenguaje verbal y expresioacuten sintaacutectica con un
sumando negativo -3+7=4
1 7deg 4 canicas Expresiones algebraicas sustitucioacuten de A en S
A=H-3 S=A+7 S=(H-3)+7
S=H+4
1 8deg 4 canicas Expresiones algebraicas igualacioacuten de los valores de
A
A=H-3 A=S+7 S+7=H-3 S-H=7-3 S-H=4
1 9deg 4 canicas Recta numeacuterica con el cero y positivos
Sentildeala que existe una diferencia
7-3=4
1 10deg 4 canicas Expresiones algebraicas y representaciones
intuitivas palitos
Alejandro (-3)-(x) Simoacuten (7)+(-3) +4
1 11deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 12deg 4 canicas Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector 11 canicas Simoacuten 15 canicas
Alejandro 8 canicas
60
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 13deg 4 canicas Ecuacioacuten de primer grado x+a=b incorrecta
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
A=10 H=13 S=17
1 14deg 4 canicas Expresiones algebraicas distintas para el valor de A
A=3x A=7x
1 15deg 4 canicas Explica los datos del problema y concluye se hace
una resta 7 canicas (Simoacuten) menos 3 canicas
(Alejandro) es igual a 4
1 16deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresioacuten algebraica con un sumando negativo
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+7
x-3+7=x+4
1 17deg Tiene 4
canicas
maacutes
Coacutedigos personales adicioacuten con positivos y
negativos introduciendo x A-3 Heacutector
S+7 Alejandro
Heacutector x-3=x-3+7=x-4
1 18deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas Sustraccioacuten en forma
vertical
1 19deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Expresiones algebraicas lenguaje verbal explicando
sus significados Asignacioacuten de un nuacutemero de
canicas a cada persona
A S Ale Hec Sim
H-3 7+A 7 10 14
Si Alejandro tiene 3-H (7) Simoacuten 7+A (14) y
Heacutector 3+H (10) se toma como referencia a Heacutector
con un nuacutemero x y se da valor a los demaacutes
61
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 20deg 4 canicas
tiene
Simoacuten
maacutes que
Heacutector
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Heacutector Alejandro Simoacuten
8 5 12
1 21deg Simoacuten
tiene 4
canicas
maacutes que
Heacutector
Sustraccioacuten con positivos S=14 Alejandro
tiene 7 Simoacuten tiene 14 porque tiene 7 maacutes que
Heacutector
1 22deg 4 canicas
maacutes que
Heacutector
No justifica
1 23deg 4 Asignacioacuten de dos nuacutemeros y una incoacutegnita
=x
Expresiones algebraicas A H S
-3 +7
x-3
x-3+7
1 24deg x=4 Expresiones algebraicas adicioacuten con positivos y
negativos
Lenguaje verbal Concluye es como si a 7 le restas 3
y da 4 que son las canicas que tiene de maacutes Simoacuten
que Heacutector
Heacutector x Alejandro x-3 Simoacuten x-3+(+7)
1 25deg 4 Sustraccioacuten con sustraendo negativo y
representaciones concretas canicas
3-7=4
62
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 26deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Introduce x
No De canicas Heacutector Alejandro Simoacuten
x x-3 (x-3)+7
1 27deg No lo
indica
Asignacioacuten de un nuacutemero de canicas a cada persona
Representacioacuten no usual de una recta numeacuterica
A H S
-3 1 4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
1 28deg Heacutector
3-x
Alejandro
7+x
Expresiones algebraicas Dibujos de canicas donde
aparece x
1 29deg 10 canicas
maacutes
Expresiones algebraicas y lenguaje verbal
estableciendo relacioacuten entre dos cantidades
10 canicas maacutes esto como resultado de que
tomamos como base a Alejandro y observamos que
tiene 3 menos + los 7 que tiene Simoacuten de maacutes dan
10 canicas
1 30deg 10 canicas
maacutes Adicioacuten con positivos
1 31deg 10 Escribe soacutelo se suma las canicas que Heacutector tiene
maacutes que Alejandro y Simoacuten 10 canicas
1 32deg Ecuacioacuten de primer grado escribe una variable al
cuadrado A=3-qrsquo H S=7+qrsquoA 3-x=7+x
x-x=7+3
63
Cantidad
de
alumnos
Estudiantes
Resultado
Proceso de resolucioacuten
1 33deg 21
canicas
Lenguaje verbal a=-3h s=+7a y h=a
3
1 34deg 3 canicas Resolucioacuten de una ecuacioacuten de primer grado
4+3=7+x +4-3=7+x 1=7+x -6=x +4-3=7-6
+1=+1
1 35deg x-3+7 Asignacioacuten de expresiones algebraicas a cada
persona Alejandro Heacutector Simoacuten
x-3 x x-3+7
Anaacutelisis de la tabla 14 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
Quince alumnos escriben como respuesta 4 canicas El primero de ellos le asigna la
incoacutegnita a Heacutector de ahiacute resta para destinarle a Alejandro x-3 Finalmente escribe Simoacuten
x-3+7 que es lo que le corresponde a Alejandro (x-3) maacutes 7 de Simoacuten El segundo alumno
escribe el mismo procedimiento que el primero Explica con lenguaje verbal llegando a la
expresioacuten -3+7=4 en la que ya no escribe x El tercero tambieacuten utiliza expresiones algebraicas
Aparecen los nuacutemeros relativos x-3 que le corresponde a Alejandro y x+3 a Heacutector La expresioacuten
(x-3)+7 es equivalente a x-3+7 aparecida en el primer y segundo caso El alumno no opera esta
expresioacuten El cuarto alumno parte del valores de Alejandro (x) es por eso que a Heacutector le asigna
x+3 luego saca la diferencia de (x+3) de Heacutector con (x+7) de Alejandro y llega a 4 La expresioacuten
del quinto alumno contiene una idea parecida a la de los alumnos primero a tercero soacutelo que este
alumno no utiliza x y a Heacutector no le asigna un nuacutemero
64
Eacutel resuelve correctamente el problema considerando a la expresioacuten sintaacutectica
(-3)+(+7)=(+4) como la correcta
El sexto estudiante expresa con sus propias palabras la misma informacioacuten del enunciado
y llega a la sintaxis correcta -3+7=A El seacuteptimo alumno sustituye A en S El octavo iguala los
valores de A se equivoca en el proceso de resolucioacuten del problema dos veces conducieacutendolo al
resultado correcto El noveno utiliza la recta numeacuterica y sentildeala la diferencia con una flecha hacia
la izquierda El deacutecimo alumno se apoya del aacutelgebra y de las representaciones concretas para
justificar Los alumnos 11deg y 12deg asignan un nuacutemero a cada persona no utilizan los mismos
nuacutemeros para cada una El 13deg tambieacuten asigna un nuacutemero a cada persona y justifica con una
ecuacioacuten que no lo lleva a la respuesta El 14deg utiliza expresiones algebraicas pero no resuelve el
problema La respuesta del 15deg no muestra los datos suficientes para hacer una interpretacioacuten de
coacutemo comprendioacute el problema
Siete alumnos escriben como respuesta que Simoacuten tiene 4 canicas maacutes que Heacutector La
respuesta del alumno 16deg contiene un procedimiento similar a la de los alumnos 1deg 2deg 17deg 23deg
y 24deg La expresioacuten que registra el 17deg estudiante es similar a la de los alumnos primero a tercero
y a la del 16deg pero los pasos muestran un camino diferente El 18deg trata de resolver el problema
con una sustraccioacuten no la resuelve ya que escribe -4 como resultado de la operacioacuten Debioacute ser
10 Noacutetese que el cuarto alumno utiliza una sustraccioacuten con las mismas expresiones pero el 18deg
alumno coloca a x-3 en el minuendo Como se indicoacute anteriormente la respuesta debioacute ser 10 eacutel
escribe 4 no llega a la respuesta con un procedimiento correcto El alumno 19 combina el
lenguaje verbal con expresiones algebraicas explica que a cada persona le corresponde un
nuacutemero y que tambieacuten puede expresarse estableciendo relaciones con abreviaturas El 20deg
alumno sigue un camino parecido al 11deg y 12deg El 21deg resuelve con una sustraccioacuten de positivos
e1 22deg no justifica
El 23deg asigna x a Heacutector sentildeala que Alejandro tiene -3 y Simoacuten +7 Esto lo
interpretamos como tiene 7 maacutes que Alejandro ademaacutes utiliza la expresioacuten x-3+7 como los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg 24deg y 35deg
El 24deg alumno utiliza la expresioacuten x-3+(+7) que es equivalente a la usada por los
alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y 35deg (x-3+7) La sustraccioacuten que resuelve el alumno 25 no es
65
correcta debioacute resultar -4 en lugar de 4 El procedimiento del 26deg alumno es parecido al de los
alumnos 1deg y 16deg El 27deg alumno asigna un nuacutemero a cada persona aunque se equivoca al contar
por lo que sus representaciones en la recta no coinciden con los datos del problema Las
representaciones concretas del alumno 28 no lo llevan a establecer expresiones algebraicas
correctas El alumno 29 utiliza expresiones algebraicas pero eacutestas son incorrectas Los alumnos
30 y 31 operan con los nuacutemeros del enunciado pero no establecen una relacioacuten correcta de estos
El alumno 32 establece una ecuacioacuten erroacutenea El alumno 33 sentildeala que hay que sacar la
diferencia entre la segunda y tercera expresioacuten (s=+7a y h=a3) El planteamiento y resolucioacuten de
la ecuacioacuten propuesta por el alumno 34 no son correctos La respuesta que registra el alumno 35
(x-3+7) es similar a las expresiones en los procedimientos de los alumnos 1deg 2deg 16deg 17deg 23deg y
24deg
En siacutentesis
Dos estudiantes resuelven correctamente el problema
Treinta y tres estudiantes no lo resuelven
66
3 2 1 Anaacutelisis de resultados de las Tablas
En este apartado se muestra el nuacutemero de respuestas correctas aparecidas en las tablas 5 6 8 9
10 11 13 y 14 del cuestionario Se indica a queacute categoriacutea pertenecen
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Nuacutem de la
tabla
Problema o ejercicio Respuesta Categoriacutea Respuestas
correctas
Tabla 5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la
salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es la cantidad que
puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(5)=(+3)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
8 respuestas
correctas
Tabla 6 Delia nacioacuten en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos
iquestCuaacutendo murioacute
Resultado
(-4) + (+12) = 8
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE ESTADOS
5 respuestas
correctas
Tabla 8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche
era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y horas despueacutes por
la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
3 respuestas
correctas
Tabla 9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3
grados centiacutegrados bajo cero y la maacutexima fue de 26
grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos
temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
CATEGORIacuteA COMPARACIOacuteN DE UN ESTADO
2 respuestas
correctas
Tabla 10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron
colocadas en un recipiente pasaron dos diacuteas y se
pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se
expresa la cantidad de ciruelas que ya no forman parte de
las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-3)+(-4)=(-7)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
1 respuesta correcta
67
Tabla 11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su
deuda para deber 6 pesos menos iquestCuaacutel seraacute la deuda
actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE UN ESTADO
5 respuestas
correctas
Tabla 13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que
habiacutean caiacutedo en su red hoy se le escaparon 5 moscas
menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5)=(+2)
CATEGORIacuteA VARIACIOacuteN DE VARIACIONES
8 respuestas
correctas
Tabla 14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene
7 canicas maacutes que Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene
Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
CATEGORIacuteA COMBINACIOacuteN DE
COMPARACIONES ADYACENTES
2 respuestas
correctas
68
33 El meacutetodo cliacutenico Estudio de Caso
Lo que define al meacutetodo cliacutenico en una primera aproximacioacuten es el estudio en
profundidad y en extensioacuten de un caso El ldquocaso cliacutenicordquo en todas sus variables evoca la
situacioacuten inversa de la del meacutetodo experimental donde se intenta explorar las
modificaciones de una sola variable en multitud de casos que constituyen ya sea la
totalidad de un inverso o una muestra representativa del mismo El meacutetodo cliacutenico en
cambio trata de registrar la observacioacuten del mayor nuacutemero posible de variables en un
solo individuo Se caracteriza entonces por centrar la investigacioacuten sobre
comportamientos relatados por el sujeto reacciones observables en el curso de la relacioacuten
establecida con eacutel y otras especiacuteficamente provocadas en condiciones sistemaacuteticas
constantes con el fin de comprenderlas y explicarlas en sus particularidades Psicologiacutea
ideologiacutea y ciencia Pasternac (como se citoacute en Gallardo 1994)
Por lo que respecta al experimentador se puede afirmar lo siguiente el arte del
cliacutenico consiste no en hacer contestar sino en hacer hablar libremente y en descubrir las
tendencias espontaacuteneas en vez de canalizarlas y ponerles diques
Consiste en situar todo siacutentoma en un contexto mental en lugar de hacer abstraccioacuten
de ese contexto Asiacute el buen experimentador debe en efecto reunir dos cualidades con
frecuencia incompatibles saber observar es decir dejar hablar al nintildeo no agotar nada no
desviar nada y al mismo tiempo saber buscar algo preciso tener en todo instante alguna
hipoacutetesis de trabajo alguna teoriacutea justa o falsa que comprobar Piaget J Lecturas de
psicologiacutea del nintildeo (como se citoacute en Gallardo 1994)
Una estudiante de mediano desempentildeo capaz de explicar detalladamente los procesos en
la resolucioacuten de problemas Utiliza en forma correcta el lenguaje verbal para explicar los sentidos
opuestos del nuacutemero en los problemas aditivos Establece un equilibrio entre el uso de semaacutentica
y la sintaxis en sus diaacutelogos Representa graacuteficamente la situacioacuten del problema mostrando gran
intuicioacuten de la situacioacuten real que eacuteste describe Transita adecuadamente entre diversos SMS Por
todo lo anterior podemos afirmar que es un caso uacutenico de la situacioacuten elegida
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
331 Conclusiones del Estudio de Caso
En este apartado exponemos las conclusiones de la entrevista de C problema a problema
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
Se observa el surgimiento de los sentidos de uso de los nuacutemeros sustractivo y relativo
Para justificar el problema se apoya ademaacutes en una representacioacuten tabular La respuesta es
correcta La estudiante describe un enunciado donde parte de una cantidad (dinero que le pidioacute a
su mamaacute) es decir recurre a un estado
5 Andreacutes pidioacute prestado dos pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio cinco
pesos iquestcuaacutel es la cantidad que puede que eacutel puede gastar sin endrogarse nuevamente
Justifica tu respuesta con una operacioacuten
Resultado
(-2)+(+5)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Plantea una sustraccioacuten (2-5=3) cuyo resultado debiera haber sido un nuacutemero negativo lo
que consideramos como un retroceso a la positividad Se le sugiere una respuesta concreta y
cambia al contexto paacutejaros Utiliza valores opuestos semilla y semilla tachada Surgen los
nuacutemeros relativos en contexto y llega a la respuesta correcta
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan ganoacute tres tazos
116
b) a) c)
Perdioacute 2 No ganoacute
ni perdioacute
Ganoacute 3
-2 0 +3
Posible respuesta representada en la recta numeacuterica y en una tabla
Utiliza tres representaciones tabular recta numeacuterica y una ilustracioacuten del contexto del
problema En la situacioacuten a) interpreta el cero como punto muerto o como la nada introduce el
negativo en una tabla Resuelve correctamente el problema En las situaciones 2 y 3 utiliza
nuacutemeros signados
7 Una gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una
tortuga pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la
distancia recorrida por la presa Justifica tu respuesta
Resultado
(-13)+(-1)=(-14)
El enunciado del problema no pertenece a las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
Utiliza una representacioacuten graacutefica de la situacioacuten en contexto (gaviota y tortuga) En el
dibujo estaacuten presentes los opuestos por medio de flechas correspondientes a los sentidos de uso
de los nuacutemeros signado y relativo Sin embargo arriba a un lenguaje redundante ldquomenos 14
metros cayoacuterdquo No llega a la expresioacuten correcta hubiera bastado decir 14 metros cayoacute o bien decir
menos 14 No resuelve correctamente
8 En la Ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados
bajo cero y horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados
iquestcuaacutento marca el termoacutemetro por la mantildeana
Resultado
(-4)-(+3)=(-7)
117
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Respuesta correcta descendioacute menos 3 o sea tres grados maacutes abajo Se le sugirioacute la recta
numeacuterica y la hizo propia Le asocioacute un contexto al considerar el valor -4 con la luna noche y el
diacutea con los positivos es decir mostroacute el sentido de uso de los relativos
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y
la maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
Resultado
(26)-(-3)=(+29)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de un estado
La respuesta es incorrecta por la viacutea de la representacioacuten sintaacutectica y correcta en la recta
numeacuterica Considera el elemento neutro es decir el cero como positivo identifica en la recta la
posicioacuten hacia la izquierda con el sentido de nuacutemero relativo
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos
menos iquestCuaacutel seraacute la deuda actual
Resultado
(-14) -(-6) = (-8)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
Utiliza el lado positivo de la recta porque la palabra deuda absorbe el signo menos (deuda
de 14) Utiliza los nuacutemeros relativos 8- y 8 No registra la respuesta sintaacutectica pero da el
resultado correcto verbalmente
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se
le escaparon 5 menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
Resultado
(-3)-(-5) = (+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
118
Lo resuelve con la recta y apoyaacutendose en el lenguaje natural Hace una interpretacioacuten
correcta del problema Utiliza nuacutemeros signados
14 Alejandro tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Resultado
(-3)+(+7)=(+4)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de comparaciones
adyacentes
La utilizacioacuten de representaciones concretas resultoacute ambigua Resolvioacute correctamente el
problema de forma algebraica considerando nuacutemeros signados y relativos
I En un partido el Cruz Azul anotoacute 5 goles y le anotaron 3 iquestcuaacutentos goles a favor obtuvo
en este partido
Resultado
(+5)+(-3)=(+2)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea de Combinacioacuten de estados
Resuelve correctamente el problema en la recta numeacuterica No registra una respuesta
sintaacutectica Aparece el sentido de nuacutemero sustractivo
II Enrique perdioacute en un juego 4 tazos si gana 15 tazos iguala a Daniel iquestcuaacutentos tazos
tiene Daniel
Resultado
(-4)+(15)=(+11)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Comparacioacuten de estados
119
Primero resuelve el problema en la recta Partir del cero hacia los negativos favorecioacute que
la alumna lo hiciera correctamente de forma sintaacutectica Estaacuten presentes los nuacutemeros relativos
III Por la mantildeana una persona perdioacute 3 pesos y durante la tarde esta persona ganoacute 9 pesos
iquestDurante el diacutea cuaacutento ha ganado
Resultado
(-3)+(+9)=(+6)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de un estado
El comenzar del cero hacia los negativos en la recta numeacuterica le permitioacute a la alumna
llegar a la respuesta sintaacutectica correcta
IV En un diacutea muy friacuteo (lunes) el sentildeor de las nieves de la cooperativa perdioacute 5 pesos por las
ventas el diacutea martes perdioacute 8 pesos menos que el lunes
iquestCuaacutento ganoacute o perdioacute
Resultado
(-5)-(-8)=(+3)
El enunciado del problema corresponde a la categoriacutea Variacioacuten de variaciones
Primero utiliza una representacioacuten tabular Luego en una recta numeacuterica lleva a cabo la
operacioacuten -5+8=3 Despueacutes la cambia a forma vertical Luego transforma esta sustraccioacuten en
forma horizontal 8-5=3 Decide convertirla a la expresioacuten -5-8= A continuacioacuten la escribe
como -5+8= y finalmente llega a la respuesta correcta (-5)-(-8)=+3
Invencioacuten de problemas
Problema V Enunciado Puedes inventar un problema que se resuelva con esta operacioacuten
(+6)+(-4)=(+2)
Le atribuye al -4 una expresioacuten verbal equivalente ldquomenos lo que cuesta el refrescordquo Respuesta
correcta
120
Problema VI Enunciado Un problema que se resuelva esta expresioacuten
(-5)+(+12)=(+7)
Propone un contexto de llantas la expresioacuten verbal no corresponde a la sintaxis solicitada
Problema VII Enunciado Uno que se resuelva con esta
(-20)+(+15)=(-5)
Su respuesta es incompleta ya que interpreta al -20 como menos veinte grados
centiacutegrados y luego dice aumentaron aumentoacutehellip es aquiacute donde se detiene por lo que pasamos a
otro problema Respuesta incorrecta
Problema VIII Enunciado Un problema que tenga como respuesta este nuacutemero
(-3)
La expresioacuten iquestcuaacutento se quedoacute debieacutendoles es adecuada para dar sentido -3 en el
problema Respuesta correcta
Problema IX Enunciado Uno que se resuelva con este nuacutemero
(-5)
La expresioacuten iquestcuaacutento le falta equivale a -5 en el contexto del enunciado Escribe lo
siguiente Unas papas costaban diez pesos y Roberto llevaba cinco pesos y hace la pregunta
iquestcuaacutento le falta Respuesta correcta
Resuelve correctamente 14 de 18 problemas
En este capiacutetulo una vez presentadas las producciones escritas identificando las formas
semaacutenticas equivalentes y el sentido de uso de los negativos continuamos con tablas sobre el
desempentildeo de los estudiantes en el cuestionario final y concluimos con un anaacutelisis sobre los
resultados correctos En el capiacutetulo 3 tambieacuten analizamos un estudio de Caso a fin de describir
los procesos a mayor profundidad
121
CAPIacuteTULO 4 CONCLUSIONES
41 Conclusiones Finales
En general la estudiante representa los problemas en lenguaje verbal tabla dibujos en
contexto aacutelgebra recta numeacuterica nuacutemeros positivos nuacutemeros enteros con una sintaxis erroacutenea
en un principio la cual cambia por la recta conforme avanza en la entrevista arribando a
respuestas correctas En los problemas considera los sentidos de uso de negatividad nuacutemero
sustractivo nuacutemero signado nuacutemero relativo nuacutemero aislado Sin embargo en la invencioacuten que
implica lo contrario partir de la sintaxis y llegar a un contexto no utilizoacute distintos modelos en
un mismo problema
Los estudiantes al resolver problemas aditivos usan distintos Sistemas Matemaacuteticos de
Signos Filloy (1999) que van desde los intuitivos hasta los formales lenguaje verbal recursos
graacuteficos procedimientos propios aritmeacutetica y aacutelgebra Utilizan los distintos sentidos de la
negatividad reconociendo el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado En ocasiones estaacuten
presentes los cuatros sentidos en un mismo problema
El anaacutelisis de los distintos Sistemas Matemaacuteticos de Signos permite identificar los
adecuados para acceder a una resolucioacuten formal con negativos y por el contrario sentildealar las
resoluciones que obstaculizaron el arribo al uso de negativos Es necesaria la ensentildeanza para
ayudarles a que lleguen a la sintaxis correcta
Se muestra que las equivalencias semaacutenticas contribuyen a darle sentido al uso de
negativos en problemas aditivos En ocasiones estas equivalencias las usaron para llegar a una
resolucioacuten formal En otros casos las equivalencias se usaron en sentido correcto pero no
arribaron a la respuesta Asimismo consideramos la importancia de las expresiones sintaacutecticas
aunque tambieacuten se puso de manifiesto la ambiguumledad que causaban algunos enunciados de los
problemas Como los alumnos lo muestran estos problemas pueden abordarse desde la aritmeacutetica
o el aacutelgebra Consideramos que se les debe dar un enfoque en el que esteacute presente la idea de que
los negativos permiten la resolucioacuten correcta Es necesario reforzar la comprensioacuten lectora con
algunos estudiantes ya que ellos trataron de resolver los problemas pero no hicieron una
interpretacioacuten que los llevara a la respuesta final
122
En la resolucioacuten de problemas de variacioacuten de variaciones surgieron formas semaacutenticas
equivalentes En el problema de combinacioacuten de comparaciones adyacentes surgieron
resoluciones que obstaculizaron el arribo a la sintaxis porque partieron de un estado
42 Respuesta a las preguntas de investigacioacuten
iquestQueacute dominio numeacuterico consideran los estudiantes de secundaria al resolver problemas
aditivos
La mayoriacutea2 de los alumnos no contestan de manera formal los problemas de las
categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) Recurren a los positivos
Los alumnos tuvieron un mejor desempentildeo en los problemas 5 y 13 (Variacioacuten de un
estado y Variacioacuten de variaciones) de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997)
El problema de las categoriacuteas de Bruno y Martinoacuten (1997) que resultoacute maacutes difiacutecil fue el
reactivo 10 (Variacioacuten de un estado) lo que sugiere que la redaccioacuten influyoacute en el resultado ya
que los reactivos 5 8 y 11 de la misma categoriacutea tuvieron 8 3 y 5 respuestas correctas
respectivamente
iquestQueacute tipo de Sistemas Matemaacuteticos de Signos utilizan en el planteamiento y
resolucioacuten de problemas aditivos
Los SMS que usan en la resolucioacuten de negativos son sumas y restas con positivos
expresiones algebraicas recta numeacuterica ilustraciones lenguaje verbal equivalencias semaacutenticas
procedimientos propios tablas series numeacutericas representaciones hiacutebridas dibujos y expresiones
numeacutericas recurriendo a estados
2 El teacutermino ldquomayoriacuteardquo no se puede precisar porque variacutea seguacuten el problema
123
En ocasiones las respuestas eran correctas pero las justificaciones no De ahiacute la
importancia de conocer sus procesos
Surgieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar algunas respuestas aunque no
siempre las expresiones semaacutenticas equivalentes llevaron a los alumnos a resolver los problemas
Aparecieron expresiones semaacutenticas equivalentes al justificar la sintaxis correcta
Un estudiante reconocioacute el nuacutemero sustractivo signado relativo y aislado en el problema
11 (Variacioacuten de un estado) Es notable que sea el uacutenico alumno que utiliza los cuatro sentidos de
uso definidos por Gallardo (2002)
Al pedirle la invencioacuten de problemas que involucren nuacutemeros negativos iquestCuaacuteles son los
contextos a los que la entrevistada maacutes recurre
La alumna entrevistada recurrioacute a los contextos compra-venta temperatura recorrido de un
moacutevil y peacuterdida-ganancia
Al concluir el Estudio surge una interrogante iquestcoacutemo hacer que la informacioacuten recabada
tenga impacto en las aulas Hemos dado los primeros pasos al exponer nuestras ideas con
profesores de Matemaacuteticas de Secundaria Nos planteamos continuar la difusioacuten de estas ideas
con los profesores de otras asignaturas del Nivel Baacutesico como Espantildeol Educacioacuten Artiacutestica y
Educacioacuten Fiacutesica En estas asignaturas se presentariacutea el contenido de mi proyecto a la manera de
obras de teatro Los estudiantes analizan los enunciados de los problemas y sugieren diversas
modificaciones al llevar a cabo las representaciones teatrales en el aula El autor de esta Tesis
actuacutea como director
124
Referencias bibliograacuteficas
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125
SEP 1994 Plan y programas de estudio 1993 Educacioacuten Secundaria Subsecretariacutea de
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Meacutexico SEP
SEP 2006 Educacioacuten Baacutesica Secundaria Matemaacuteticas Programas de estudio 2006 Direccioacuten
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126
Apeacutendices
1 Ponencia del XXIV Congreso Asociacioacuten Nacional de Profesores de Matemaacuteticas A C
Universidad de Colima Facultad de Ciencias de la Educacioacuten (2011)
Tiacutetulo Resolucioacuten de problemas aditivos por profesores de secundaria
Eje temaacutetico Reportes y proyectos de investigacioacuten en la ensentildeanza de las
matemaacuteticas
Modalidad Comunicacioacuten breve
Introduccioacuten
Este trabajo es un reporte de resultados preliminares de la primera etapa de una
investigacioacuten maacutes amplia sobre ldquoResolucioacuten e invencioacuten de problemas aditivos
por estudiantes de secundariardquo En esta primera etapa se trabajoacute con
profesores de educacioacuten baacutesica que resolvieron problemas aditivos con el
propoacutesito de indagar la pertinencia del planteamiento de estos problemas a los
alumnos de secundaria Otro objetivo a perseguir es constatar el nivel de
dificultad que conllevan los problemas aditivos que involucran nuacutemeros con
signo Los profesores resolvieron los problemas por escrito y posteriormente se les
entrevistoacute en forma individual A continuacioacuten se describe la investigacioacuten
completa aunque uacutenicamente reportamos resultados de la primera etapa
Justificacioacuten del problema
El lenguaje verbal es la parte esencial de un problema aditivo aunque no se le
ha dado el eacutenfasis suficiente Retomamos como problemas aditivos los definidos
por Bruno A amp Martinoacuten A (1997) descritos en el marco teoacuterico de este
documento Los libros de texto tienen muchos ejercicios sobre algoritmos
inclusive se presentan situaciones en contexto de temperatura ganancias
peacuterdidas deportes caiacuteda libre localizacioacuten de puntos en el plano cartesiano y
ubicacioacuten de fechas con el fin de darle sentido a los nuacutemeros signados pero no
surgen problemas en que sea necesario involucrar estos nuacutemeros para su
planteamiento y auacuten menos problemas que conduzcan a soluciones negativas
La primera etapa de este estudio propone a profesores la resolucioacuten de
problemas aditivos para analizar sus registros y conocer coacutemo interpretan los
nuacutemeros signados y al mismo tiempo conocer su opinioacuten acerca de la
aplicacioacuten de estos problemas con alumnos
Con el desarrollo de la investigacioacuten se quiere contribuir a superar algunas
dificultades que se presentan en la ensentildeanza de los nuacutemeros con signo se
busca que el reporte tenga un impacto en las aulas es decir que la propuesta
127
de Bruno A amp Martinoacuten A (1997) sea incluida en el curriacuteculo de secundaria SEP
(2006)
Fundamentacioacuten Teoacuterica
Esta investigacioacuten toma como Marco Teoacuterico Metodoloacutegico el llamado Modelo
Teoacuterico Local (MTL) creado por Filloy y colaboradores Rojano T y Puig L Rubio
G (1999) que constituye una herramienta para describir observaciones en el
proceso de ensentildeanza-aprendizaje en Matemaacutetica Educativa El investigador
hace precisiones en cuanto a la utilizacioacuten del MTL indicando que tiene un
caraacutecter local ya que se utiliza en la investigacioacuten de un tema en particular con
sujetos especiacuteficos y soacutelo es adecuado para el fenoacutemeno observado En
consecuencia el MTL no es una teoriacutea general Se reconoce la posibilidad de
describir este mismo fenoacutemeno desde otro marco teoacuterico lo cual podriacutea llevar a
resultados distintos Filloy introduce el concepto de Sistema Matemaacutetico de
Signos (SMS) para interpretar las producciones de los alumnos durante la
ensentildeanza y aprendizaje Las producciones de los alumnos y de los textos
matemaacuteticos histoacutericos pueden expresarse viacutea distintos estratos de SMS Los
sistemas matemaacuteticos de signos creados por los alumnos son importantes ya
que dan sentido a lo que se les muestra en la ensentildeanza incluso cuando estos
SMS no estaacuten socialmente establecidos sino que constituyen solamente parte
de las ideas de cada alumno
El MTL estaacute constituido por los cuatro siguientes componentes
Componente de Competencia Formal Considera la existencia de un sujeto
ideal que domina el conocimiento de su tiempo aquel establecido
socialmente Ahora bien los conocimientos que tiene el profesor son suficientes
para explicar coacutemo son las producciones de los alumnos Para el investigador es
conveniente poseer un sistema formal abstracto desde el cual interpretar las
distintas producciones que realizan los alumnos
Componente de los Procesos Cognitivos Existen tendencias cognitivas de los
estudiantes que se manifiestan en las distintas maneras de afrontar los
problemas codificar y descodificar los Sistemas Matemaacuteticos de Signos (SMS) al
pasar de lo concreto a lo abstracto
Componente de ensentildeanza Un modelo de ensentildeanza en esta perspectiva se
define como una secuencia de textos El elaborarla y descodificarla le permite
al alumno interpretar estos textos en un SMS abstracto Existe una etapa en la
que los estudiantes utilizan distintos signos que provienen del lenguaje natural y
de sistemas de signos personales que desapareceraacuten al hacer abstracciones
que los llevan a un SMS socialmente establecido
128
Componente de comunicacioacuten Se refiere a la interaccioacuten a traveacutes de mensajes
de alumnos con el profesor En este proyecto la comunicacioacuten se realiza
durante entrevistas realizadas a los alumnos El entrevistador respeta el
desempentildeo del estudiante pero en ocasiones puede mostrar un modelo de
ensentildeanza para provocar en el alumno una abstraccioacuten y asiacute realizar una
produccioacuten tanto verbal como escrita Los modelos a veces surgen
espontaacuteneamente en los alumnos y otras veces son mostradas por el
entrevistador
Dos son las investigaciones tomadas como antecedente de esta propuesta
Una de eacutestas es el trabajo de Gallardo A y Basurto E (2009) en el que se
reporta que los estudiantes de secundaria que han recibido una ensentildeanza en
el tema de los nuacutemeros con signo al proponerle la resolucioacuten de problemas
aditivos cuyas respuestas se espera que esteacuten en el campo de los nuacutemeros
signados no lo hacen asiacute sino que recurren a una equivalencia sintaacutectica en
la que utilizan los nuacutemeros naturales dando respuestas correctas
El presente estudio retoma los problemas aditivos clasificados en 11 categoriacuteas
en un trabajo de Bruno A y Martinoacuten A (1997) los cuales pueden ser aplicados
y posibilitar asiacute que los alumnos encuentren contextos en los que se haga
necesario el uso de los nuacutemeros signados en la resolucioacuten de problemas aditivos
Preguntas de investigacioacuten
iquestLos estudiantes de tercer grado de secundaria recurren al dominio de los
nuacutemeros signados al resolver problemas aditivos Si es asiacute iquestcoacutemo los
interpretan
Al pedirles la invencioacuten de problemas que se planteen con nuacutemeros
signados iquestCuaacuteles son los contextos a los que ellos maacutes recurren
iquestQueacute meacutetodos intuitivos utilizan los alumnos de tercer grado de
secundaria al resolver problemas aditivos
Meacutetodo
El estudio es descriptivo para comprender el problema de investigacioacuten se
recurre al anaacutelisis de las respuestas de los alumnos en el cuestionario y en las
entrevistas
La investigacioacuten es cualitativa se van a recabar evidencias empiacutericas que nos
permitan interpretar lo que estaacute pasando en el proceso de resolucioacuten de los
problemas verbales que se apliquen en el cuestionario y las entrevistas
La investigacioacuten se realizaraacute con estudiantes de un grupo de tercer grado en
una secundaria puacuteblica y se fundamentaraacute en la perspectiva semioacutetica de los
MTL descrita anteriormente
129
Instrumentos Metodoloacutegicos (Meacutetodos de recuperacioacuten de datos)
Inicialmente se aplicaraacute un cuestionario piloto de 12 preguntas En base a su
anaacutelisis se aplicaraacute un cuestionario definitivo en el tercer semestre
Se cuenta con un banco de reactivos de 40 preguntas de donde se obtendraacuten
las preguntas para entrevistas individuales videograbadas a los alumnos
seleccionados a partir de su desempentildeo en los cuestionarios Para la validacioacuten
de los instrumentos se utilizaraacute el meacutetodo de triangulacioacuten Cohen L y Manioacuten L
(1990)
Resultados preliminares de la primera etapa de investigacioacuten
Los profesores no recurren a los nuacutemeros con signo al resolver problemas
aditivos llegan a plantear la resolucioacuten con negativos soacutelo si se les solicita que
busquen otras alternativas En este caso ellos agotan distintos recursos como son
el uso de tablas diagramas de conjuntos expresiones algebraicas dibujos la
recta numeacuterica combinacioacuten de ilustraciones con expresiones aritmeacuteticas o
algebraicas Estos caminos seguidos por los profesores al resolver los problemas
pone de manifiesto seguacuten sus opiniones que hay distintas situaciones con las
que se puede abordar un mismo problema y que hay algunas que son idoacuteneas
para explicar estos temas de negativos por ejemplo introduciendo el uso de
tablas o conjuntos
Se presenta un problema aditivo retomado de Bruno A amp Martinoacuten A (1997)
donde los profesores acuden a sus representaciones personales
Problema
Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que
Alejandro iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
Primera resolucioacuten de un profesor
A H S
-7 -4 0
-1 2 6
0 3 7
2 5 9
3 6 10
x x+3 x+7
x-3 x x+4
Segunda resolucioacuten de este mismo profesor
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
130
A H S
Respuesta de otro profesor
Hay 3 cajas
Otros profesores indicaron que este problema es adecuado para la clase de
aacutelgebra y dieron una respuesta correcta
La respuesta con nuacutemeros negativos que proponen Bruno A amp Martinoacuten A
(1997) es la siguiente (- 3 ) + ( + 7 ) = ( + 4 )
Bibliografiacutea
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del pasado y el presente Educacioacuten Matemaacutetica Vol 2 Nuacutem 3 pp 67-
93
SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
Respuesta Simoacuten tiene 4
canicas maacutes que Heacutector
ldquoLa caja de Heacutector y la de Alejandro tienen
una misma cantidad de canicas (no se sabe
cuaacutentas) le quitas 3 canicas a la caja de
Alejandro y como el problema dice que Simoacuten
tiene 7 canicas maacutes que Alejandro echas las 7
canicas de Simoacuten a la caja de Alejandro y
ahora puedes comparar y decir que Simoacuten
tiene 4 canicas maacutes que Heacutectorrdquo Simoacuten
Alejandro
Heacutector
131
2 Reporte de investigacioacuten Vigeacutesima Seacuteptima Reunioacuten Latinoamericana de Matemaacutetica
Educativa (RELME 27) en la Ciudad de Buenos Aires Argentina (2013)
RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS ADITIVOS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA
Hernaacutendez M Gallardo A
Cinvestav Meacutexico
mhernandezpcinvestavmx agallardocinvestavmx
Lenguaje matemaacutetico Medio baacutesico Empiacuterico
MARCO TEOacuteRICO
Hemos observado que los alumnos de secundaria en muchos casos no aceptan soluciones
negativas en problemas de enunciado verbal aunque llegan a respuestas equivalentes utilizando
positivos En la propuesta Institucional SEP (2006) se presentan situaciones de temperatura
deportes ganancias peacuterdidas elevador recta numeacuterica plano cartesiano y localizacioacuten de
fechas para darle sentido a los negativos
De estas uacuteltimas aseveraciones intentamos responder las siguientes interrogantes
iquestQueacute niveles conceptuales de la negatividad consideran los estudiantes de secundaria al
resolver problemas aditivos
iquestQueacute tipo de estructura funcional y forma semaacutentica de enunciados verbales son maacutes difiacuteciles
para los alumnos
Recurrimos a Bruno y Martinoacuten (1997) quienes hacen una clasificacioacuten de problemas aditivos
distinguiendo entre la estructura funcional como el tipo de situaciones numeacutericas (estados
variaciones y comparaciones) y la forma semaacutentica definida como la expresioacuten en lenguaje
verbal de dichas situaciones numeacutericas Bruno y Martinoacuten (1994) definen problemas aditivos
simples de enunciado verbal como los traducidos en sumas y restas de dos nuacutemeros enteros Y
advierten la existencia de formas semaacutenticas equivalentes para representar una misma situacioacuten
numeacuterica Por ejemplo en el caso de las variaciones Bruno y Martinoacuten (1997) plantean que las
expresiones ldquoErnesto tiene 3 pesos menos por la mantildeana que por la noche Ernesto tiene 3
pesos maacutes por la noche que por la mantildeanardquo (p 34) son equivalentes
Ademaacutes de la clasificacioacuten de Bruno y Martinoacuten (1997) nos basamos en Gallardo (1994) que
advierte de la existencia de los siguientes niveles conceptuales de negatividad
132
ldquoNuacutemero sustractivo Donde la nocioacuten de nuacutemero estaacute subordinada a la magnitud En la resta de
dos cantidades a-b siempre que b seraacute menor que a donde a b son nuacutemeros naturales
Nuacutemero signado Es el nuacutemero natural al que se le asigna un signo maacutes o un signo menos
Nuacutemero relativo Se hace presente cuando se puede concebir la idea de opuestos en situaciones
discretas asiacute como la idea de simetriacutea en situaciones continuas
Nuacutemero aislado Surge al aceptar un nuacutemero negativo como solucioacuten de una operacioacuten o
ecuacioacutenrdquo (Gallardo 2002 p 179)
MEacuteTODO
La poblacioacuten estudiantil fue de 35 alumnos de un grupo de tercero de secundaria de edades de 14
a 16 antildeos de una escuela puacuteblica urbana de la Ciudad de Meacutexico
Los instrumentos metodoloacutegicos fueron un cuestionario diagnoacutestico un cuestionario exploratorio
y entrevistas individuales video grabadas en situacioacuten de aula que permitieron el anaacutelisis de 5 de
las 11 categoriacuteas de la clasificacioacuten de problemas de Bruno y Martinoacuten (1997) Estas son las
siguientes Variacioacuten de un estado Variacioacuten de variaciones Comparacioacuten de estados
Combinacioacuten de estados Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
En este artiacuteculo se definen y ejemplifican tres de las 5 categoriacuteas anteriores donde se introducen
los conceptos previos siguientes estado y comparacioacuten
Estado Tiene un sujeto una magnitud y una unidad de medida en un instante determinado Por
ejemplo en la Ciudad de Meacutexico la temperatura en este instante es de 20ordm C
Comparacioacuten Es la diferencia entre dos estados aquiacute el tiempo no estaacute involucrado Por
ejemplo Juan tiene cinco pesos menos que Luis
Variacioacuten de un estado Comparacioacuten de un estado en dos momentos diferentes Por ejemplo
Daniel tiene seis pesos maacutes en la tarde que por la mantildeana
Variacioacuten de variaciones Hay cuatro instantes se habla de dos periodos constantes de tiempo
Ejemplificando ayer en el recreo Joseacute perdioacute tres pesos hoy perdioacute un peso menos que ayer
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes Existen tres funciones estado independientes
Ejemplo Pedro tiene cuatro pesos menos que Francisco y Joseacute tiene seis pesos maacutes que Pedro
Podemos comparar los estados y asiacute indicar cuaacutentos pesos tiene Joseacute en comparacioacuten a
Francisco
Los autores advierten ldquoel esbozo que presentamos aquiacute exigiriacutea para su plena utilidad una
investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya conclusioacuten
no es inmediatardquo (Bruno y Martinoacuten 1997 p 34)
133
REFLEXIONES FINALES
Del anaacutelisis de los problemas aditivos podemos afirmar lo siguiente
El estudiante expresa viacutea el lenguaje natural respuestas con formas semaacutenticas equivalentes
El nivel de negatividad alcanzado depende de la categoriacutea del problema aditivo
Existe una relacioacuten entre el contenido de los problemas su forma semaacutentica y los niveles
conceptuales de negatividad
La suposicioacuten de un valor arbitrario para el estado inicial en el enunciado del problema reduce
la negatividad a ser representada solamente como un nuacutemero sustractivo Otros estudiantes
reconocen la negatividad por medio de nuacutemeros signados relativos y aislados Utilizan
espontaacuteneamente el lenguaje algebraico y la recta numeacuterica para la resolucioacuten de problemas
La mayoriacutea de los sujetos logra comparar correctamente los tiempos descritos en el enunciado
Los problemas correspondientes a las categoriacuteas Variacioacuten de variaciones y Combinacioacuten de
comparaciones adyacentes resultaron ser las maacutes difiacuteciles para los estudiantes
REFERENCIAS
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Meacutexico
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from arithmetic to algebra Educational Studies in Mathematics Kluwer Academic
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SEP 2006 Plan y programas de estudio Educacioacuten Secundaria SEP
134
3 Cuestionario final
Centro de Investigacioacuten y de Estudios Avanzados del Instituto
Politeacutecnico Nacional
Departamento de Matemaacutetica Educativa
Cuestionario final
Lee con atencioacuten los ejercicios y problemas contesta y resuelve justifica tus respuestas
1 Representa con un diagrama que alguien debe 8 pesos
2 En una canasta se han podrido 2 manzanas representa con un diagrama esta situacioacuten
3 El termoacutemetro marca 5 grados centiacutegrados bajo cero
Ahora el termoacutemetro marca 10 grados centiacutegrados
Registra ambas temperatura en el termoacutemetro
135
4 Representa con un solo esquema las siguientes situaciones
a) Juan no ganoacute ni perdioacute tazos
b) Juan perdioacute dos tazos
c) Juan gano tres tazos
5 Andreacutes pidioacute prestado 2 pesos durante el recreo y en la salida su mamaacute le dio 5 pesos iquestcuaacutel es
la cantidad que puede eacutel gastar sin endrogarse nuevamente Justifica tu respuesta con una
operacioacuten
6 Delia nacioacute en el antildeo 4 antes de Cristo y vivioacute 12 antildeos iquestCuaacutendo murioacute
136
7 Un gaviota vuela a 13 metros de altura sobre el nivel del mar en su pico lleva una tortuga
pequentildea como presa la cual cae y se sumerge 1 metro debajo del mar iquestCuaacutel es la distancia
recorrida por la presa Justifica tu respuesta
8 En la ciudad de Chihuahua la temperatura por la noche era de 4 grados centiacutegrados bajo cero y
horas despueacutes por la mantildeana la temperatura descendioacute 3 grados centiacutegrados iquestcuaacutento marca el
termoacutemetro por la mantildeana
9 En la Ciudad de Meacutexico la temperatura miacutenima fue de 3 grados centiacutegrados bajo cero y la
maacutexima fue de 26 grados centiacutegrados iquestcuaacutel es la diferencia entre las dos temperaturas
137
10 La mamaacute de Gabriel comproacute ciruelas las cuales fueron colocadas en un recipiente pasaron 2
diacuteas y se pudrieron 3 ciruelas Y Gabriel se comioacute 4 iquestCoacutemo se expresa la cantidad de ciruelas
que ya no forman parte de las que se podiacutean comer al estar recieacuten compradas Justifica tu
respuesta con una operacioacuten
11 Elvira tiene una deuda de 14 pesos y decide disminuir su deuda para deber 6 pesos menos
iquestcuaacutel seraacute la deuda actual
12 Luis tiene 22 antildeos y su papaacute 40 iquestcuaacutentos antildeos tienen que transcurrir para que el papaacute tenga el
doble de antildeos que su hijo
13 El diacutea de ayer a una arantildea se le escaparon 3 moscas que habiacutean caiacutedo en su red hoy se le
escaparon 5 moscas menos que ayer iquestCuaacutentas moscas atrapoacute
14 Alejandro Tiene 3 canicas menos que Heacutector Simoacuten tiene 7 canicas maacutes que Alejandro
iquestCuaacutentas canicas maacutes tiene Simoacuten que Heacutector
138
15 El record mundial de natacioacuten en los 50 metros libres varonil es de 20 segundos con 91
centeacutesimas de segundo (20rdquo91) y fue implantado por el nadador Cesar Cielo (Brasil) en Roma
Italia el 18 de diciembre de 2009 En la final de esta competencia en Beijing China 2008 este
nadador hizo un tiempo de 21 segundos con 30 centeacutesimas de segundo (21rdquo 30) iquestCuaacutentas
centeacutesimas de segundo le hicieron falta en China 2008 para tener un puntaje igual al del record
mundial
16 + 6 = 2
17 + (-4) = -7
18- (+9) ndash (-4) =
19 (-6) ndash (+8) =
20 (-17)-(-4)=
139
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos de Bruno y Martinoacuten (1997)
Resumen
En este trabajo se presenta una clasificacioacuten de problemas aditivos simples El fundamento de
esta clasificacioacuten es la distincioacuten entre la estructura funcional y la forma semaacutentica La estructura
funcional se refiere al tipo de situaciones numeacutericas (estados variaciones y comparaciones) y la
forma semaacutentica al modo de expresar dichas situaciones numeacutericas
1 Introduccioacuten
La resolucioacuten de problemas aditivos ocupa un lugar destacado en la investigacioacuten en educacioacuten
matemaacutetica Esta relevancia estaacute justificada por el importante papel que los problemas aditivos
pueden desempentildear en el logro de los aprendizaje numeacuterico lleno de significados Los distintos
autores que se han ocupado de estos problemas han dado varias clasificaciones En los trabajos de
Nesher y otros (1983) Castro y otros (1992) y Fuson (1992) se da una panoraacutemica de las distintas
clasificaciones que han surgido
En este trabajo ofrecemos una clasificacioacuten de problemas aditivos simples de enunciado verbal
con nuacutemeros reales aunque habitualmente se les proponen a los alumnos con nuacutemeros enteros a
lo sumo racionales dados los niveles en los que estos problemas se trabajan en el aula Con la
expresioacuten ldquoaditivo simplerdquo nos referimos a problemas de ldquosumardquo o ldquorestardquo de dos nuacutemeros En el
estudio de este tipo de problemas los investigadores han tenido en cuenta entre otros los
aspectos que ahora comentamos brevemente Con el fin de ilustrar las ideas que expondremos
consideramos el siguiente ejemplo de situacioacuten numeacuterica ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3
luego tiene 1 doacutelarrdquo
(1) estructura en la situacioacuten numeacuterica del ejemplo se produce una ldquovariacioacutenrdquo v = 3 en el
nuacutemero de doacutelares que tiene Ernesto pasando de un ldquoestado inicialrdquo e(i)=-2 a un ldquoestado finalrdquo
e(f) = 1 La situacioacuten puede esquematizarse con la foacutermula e(i) + v = e(f)
(2) posicioacuten de la incoacutegnita cabe plantear tres problemas en relacioacuten con la situacioacuten
numeacuterica del ejemplo seguacuten cuaacuteles sean los datos conocidos y la incoacutegnita Asiacute por ejemplo un
tipo de problema se corresponde con los datos e(i) y v siendo la incoacutegnita e(f) ldquoErnesto debiacutea 2
doacutelares y le dan tres iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
(3) tipos de nuacutemeros los valores concretos que toman e(i) e(f) y v tienen influencia en la
resolucioacuten de los correspondientes problemas La situacioacuten descrita en el ejemplo (e(i) = -2
v = 3 e(f) = 1) es maacutes difiacutecil que la que se corresponde con el ejemplo ltltErnesto teniacutea 2
doacutelares y le dan 3 luego tiene 5 doacutelaresgtgt en el que es e(i) = 2 v = 3 e(f) = 5
(4) contexto el problema ldquoErnesto debiacutea 2 doacutelares y le dan 3 iquestCuaacutentos doacutelares tiene ahorardquo
es maacutes sencillo que ldquoErnesto nacioacute el antildeo 2 antes de Cristo y vivioacute 3 antildeos iquestCuaacutendo murioacuterdquo
Ambos tienen la misma estructura la misma posicioacuten de la incoacutegnita y los mismos nuacutemeros pero
el primero se plantea en el contexto deber-tener mientras que el segundo se formula en el
contexto tiempo el cual suele presentar maacutes dificultades que el primero
(5) forma semaacutentica hay diversas formas equivalentes desde el punto de vista semaacutentico
para expresar una variacioacuten ldquole dan 3 doacutelares a Ernestordquo ldquoErnesto teniacutea 3 doacutelares menos por la
mantildeana que por la nocherdquo ldquoErnesto tiene 3 doacutelares maacutes por la noche que por la mantildeanardquo
Nuestra clasificacioacuten atiende a los aspectos de la estructura y la forma semaacutentica No
tendremos en cuenta la posicioacuten de la incoacutegnita ni el tipo de nuacutemeros ni el contexto aunque
como ya hemos dicho juegan un papel importante desde el punto de vista didaacutectico Con el fin de
140
enfatizar los dos aspectos a los que prestamos atencioacuten todas las situaciones numeacutericas se
refieren al contexto deber-tener y se corresponden con la suma -2 + 5 = 3 Sin duda otros
contextos exigiraacuten expresiones verbales diferentes de las que usamos para el contexto
deber-tener pero tampoco prestamos atencioacuten en este trabajo a esas variantes
En este artiacuteculo describimos once clases de problemas atendiendo a la estructura funcional
Algunas de estas clases no las hemos encontrado descritas en la literatura sobre el tema
variacioacuten de variaciones variacioacuten de una comparacioacuten combinacioacuten de variaciones
comparacioacuten de comparaciones y combinacioacuten de comparaciones
Por otro lado resaltamos la conveniencia de distinguir con nitidez entre estructura funcional y
forma semaacutentica diferencia que tampoco hemos hallado en los trabajos de otros autores y en
ocasiones aparecen confundidas
Finalmente debemos mencionar que el esbozo que presentamos aquiacute exigiraacute para su plena
utilidad una investigacioacuten didaacutectica que por nuestra parte soacutelo estaacute recientemente iniciada y cuya
conclusioacuten no es inmediata
2 Estados comparaciones y variaciones
En esta seccioacuten precisamos las ideas de estado comparacioacuten y variacioacuten las cuales resultan
baacutesicas en la clasificacioacuten que proponemos en los problemas aditivos
21 Estados
Los nuacutemeros se usan para expresar estados (Ernesto tiene 2 doacutelares la temperatura en Madrid es
de 103degC hellip) Resulta conveniente para la clasificacioacuten funcional que discutimos en este
trabajo formalizar un poco esta idea En los ejemplos de estado siempre hay un sujeto (Ernesto
Madrid hellip) una magnitud (saldo dinerario temperatura hellip) y una unidad de medida (1 doacutelar
1deg C hellip) Tambieacuten estaacute presente el tiempo aunque a veces sea de manera imprecisa Hemos de
suponer que Ernesto tiene 2 doacutelares o que la temperatura de Madrid es de 103degC en este
momento en el que escribimos
Hablaremos de funcioacuten estado o simplemente estado y escribiremos e(t) para referirnos al
estado en el momento t Precisemos algo maacutes el significado de este siacutembolo e es la funcioacuten
estado y estaacute asociada como ya hemos dicho a un sujeto a una magnitud y una unidad de
medida e(t) es el estado en el instante t Hay situaciones en la que la funcioacuten estado se considera
constante independiente del tiempo (altura de El Teide es de 3 717 metros sobre el nivel del
mar)
22 Comparaciones
Los nuacutemeros tambieacuten se usan para comparar estados La comparacioacuten absoluta entre los estados
e(t) y d(s) en este orden es la diferencia
ced (ts) d(s) ndash e(t)
Claramente las dos funciones estado e y d deben referirse a una misma magnitud para que la
diferencia tenga sentido Ejemplos Ernesto tiene hoy 2 doacutelares maacutes de los que Francisco teniacutea
ayer la temperatura de Madrid es de 103degC maacutes que en Londres
141
Aunque en este trabajo soacutelo nos fijaremos en las comparaciones absolutas que son las que
aparecen en los dos problemas aditivos mencionamos que la comparacioacuten relativa entre los
estados e(t) y d(s) en este orden es el cociente
red (ts) = d(s)e(t)
Ejemplos Ernesto tiene doble nuacutemero de doacutelares que Andreacutes la velocidad media del automoacutevil
ha sido 5040 kiloacutemetros por hora
Establecemos dos tipos de comparaciones absolutas las cuaacuteles denominamos comparaciones y
variaciones Llamaremos comparacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos funciones estado diferentes e y d
Usaremos la siguiente notacioacuten para la comparacioacuten entre los estados e(t) y d(s)
c = ced = ced(ts) = d(s) - e(t)
Escribiremos solo c si se sobreentienden las funciones e y d y ced si el tiempo no tiene un papel
relevante como es muy frecuente que ocurra en los problemas en los que aparece una
comparacioacuten En general las comparaciones se refieren a una situacioacuten estaacutetica incluso en el
caso de ser t y s diferentes Si t = s entonces hablaremos de comparacioacuten simultaacutenea Ejemplo
Ernesto tiene 2 doacutelares maacutes que Andreacutes
23 Variaciones
Llamaremos variacioacuten a la comparacioacuten absoluta de dos estados de una misma funcioacuten estado
e en los dos momentos diferentes Escribiremos
v = ve =v(ts) = ve(ts) = e (s) ndash e (t)
seguacuten el eacutenfasis que deseemos poner en los instantes t y s o en la funcioacuten e Las variaciones
necesariamente se refieren a una situacioacuten dinaacutemica es decir transcurre el tiempo Ejemplo
Ernesto tiene por la noche 2 doacutelares maacutes que en la mantildeana
Insistimos en que en las comparaciones hay dos funciones estado y el tiempo carece de
importancia mientras que en las variaciones hay una uacutenica funcioacuten estado y en el transcurso del
tiempo juegan un papel fundamental
24 Otras variaciones y comparaciones
Podemos considerar y asiacute lo haremos maacutes adelante variacioacuten de comparaciones comparacioacuten de
variaciones hellip Ya que las ideas baacutesicas son las ya expuestas no entramos en maacutes detalles ahora
3 Formas semaacutenticas equivalentes
Hay diferentes formas de expresar un estado una comparacioacuten una variacioacuten Nos referimos a
formas que resultan ser equivalentes desde un punto de vista semaacutentico es decir son formas
verbales que tienen el mismo significado Desde luego no todas tienen el mismo uso en el
lenguaje ordinario ya que algunas de ellas son muy artificiales y soacutelo tienen intereacutes desde una
perspectiva teoacuterica aunque las exponemos aquiacute para presentar una panoraacutemica completa
Estas distintas maneras de expresioacuten tienen gran importancia didaacutectica pues no resultan
indiferentes a la hora de la resolucioacuten de problemas por parte de los alumnos y pueden utilizarse
para justificar la identificacioacuten de la suma y de la resta en el aprendizaje de los nuacutemeros
negativos (Bruno y Martinoacuten 1994 1996)
En los apartados de esta seccioacuten analizamos las diferentes maneras de expresar un estado una
variacioacuten y una comparacioacuten Los ejemplos con los que ilustramos nuestras ideas se situacutean todos
en el contextos deber-tener Todas las cantidades se refieren a doacutelares por ejemplo si decimos
ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo se entenderaacute ldquoErnesto tiene 2 doacutelaresrdquo
142
31 Formas de expresar un estado
Hay una uacutenica forma de expresar un estado Por ejemplo
Ernesto tiene 2
o bien
Ernesto debe 2
Haciendo uso de los nuacutemeros negativos los estados pueden expresarse de otra forma diferente
equivalente a la anterior desde el punto de vista semaacutentico Por ejemplo
ldquoErnesto tiene 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto debe -2rdquo
ldquoErnesto debe 2rdquo es equivalente a ldquoErnesto tiene -2rdquo
En el lenguaje ordinario lo natural es expresar un estado de nuacutemeros positivos y no con nuacutemeros
negativos No obstante este lenguaje doble tiene utilidad didaacutectica (Bruno y Martinoacuten 1996)
32 Formas de expresar variacioacuten
Consideremos el ejemplo Ernesto (e) debe 2 por la mantildeana (estado inicial) y tiene 3 por la
noche (estado final) La variacioacuten que produce puede expresarse de diversas formas
semaacutenticamente equivalentes que podemos agrupar en dos baacutesicas Las denominaremos cambio
y diferencia
321 Cambio
Se trata es decir lo que gana o pierde a lo largo del diacutea teniendo en cuenta
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que tienerdquo
ldquoganarrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquoaumentar lo que deberdquo
ldquoperderrdquo es equivalente a ldquodisminuir lo que tienerdquo
Cambio simple Se expresa directamente lo que se gana o pierde
En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
Cambio aumento Se dice que aumenta (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que tiene en 5
Cambio disminucioacuten Se dice que lo disminuye (lo que tiene o lo que debe)
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que debe en 5
322 Diferencia
Se expresa la diferencia entre lo que tiene o debe por la noche y por la mantildeana
Diferencia directa Se emplean en la expresioacuten maacutes que
Por la noche E tiene 5 maacutes que por la mantildeana
Por la mantildeana E debe 5 maacutes que por la noche
Diferencia directa Se usa la expresioacuten menos que
Por la noche E debe 5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 menos que por la noche
143
323 Lenguaje natural
La expresioacuten natural de una variacioacuten depende de la forma en la que se expresan los estados Por
ejemplo en lugar de decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo parece
preferible decir ldquoE tiene 2 por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo en lugar de decir ldquoE
debe dos por la mantildeana y aumentoacute lo que tiene en 5rdquo resulta maacutes claro decir ldquoE debe 2 por la
mantildeana y disminuyoacute lo que debe en 5rdquo
324 Con nuacutemeros negativos
Si se usan nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar variacioacuten ldquoEn el transcurso del
diacutea E ganoacute 5rdquo
En el transcurso del diacutea E perdioacute -5
En el transcurso del diacutea E aumentoacute lo que debe en -5
En el transcurso del diacutea E disminuyoacute lo que tiene en -5
Por la noche E debe -5 maacutes que por la mantildeana
Por la noche E tiene -5 menos que por la mantildeana
Por la mantildeana E tiene 5 maacutes que por la noche
Por la mantildeana E debe -5 menos que por la noche
Ninguna de ellas se usa en el lenguaje ordinario
33 Formas de expresar una comparacioacuten
Distinguimos baacutesicamente dos formas semaacutenticamente equivalentes de expresar la comparacioacuten
a las cuales llamaremos diferencia y cambio Consideremos el siguiente ejemplo Ernesto (E)
debe 2 y Daniel (D) tiene 3
331 Diferencia
Se expresa cuaacutento tiene o (debe) uno maacutes que (o menos que) el otro
Diferencia directa Se utiliza la expresioacuten maacutes que
D tiene 5 maacutes que E
E debe 5 maacutes que D
Diferencia indirecta Se emplea la expresioacuten menos que
D debe 5 menos que E
E tiene 5 menos que D
332 Cambio
Se expresa en forma de cambio la variacioacuten que debe experimentar uno (ganar o perder) para
igualar al otro Seguacuten la forma de cambio de expresar esa variacioacuten se obtienen diferentes formas
de expresar la comparacioacuten
Cambio progresivo
Si E gana 5 iguala a D
Si E aumenta lo que tiene en 5 iguala a D
Si D aumenta lo que debe en 5 igualaraacute a E
Cambio regresivo
Si D pierde 5 iguala a E
Si D disminuye lo que tiene en 5 igualaraacute a E
Si E disminuye lo que debe en 5 iguala a D
144
333 Lenguaje natural
La forma de expresioacuten natural de una comparacioacuten depende de la forma en la que se expresen los
estados Por ejemplo en vez de decir ldquoE debe 2 y D tiene 5 maacutes que Erdquo es preferible decir ldquoE
debe 2 y D debe 5 menos que Erdquo
334 Con nuacutemeros negativos
Usando nuacutemeros negativos hay otras tantas formas de expresar ldquoD tiene 5 maacutes que Erdquo
D debe -5 maacutes que E
E tiene -5 maacutes que D
D tiene -5 menos que E
E debe -5 menos que D
Si E pierde -5 iguala a D
Si D gana -5 iguala a E
Si E disminuye lo que tiene en -5 iguala a D
Si D disminuye lo que debe en -5 iguala a E
Si E aumenta lo que debe en -5 iguala a D
Si D aumenta lo que tiene en -5 iguala a E
Como ya hemos sentildealado para los estados y las variaciones no usan las expresiones con nuacutemeros
negativos en el lenguaje ordinario aunque si tienen utilidad en ciertas situaciones didaacutecticas
durante el aprendizaje de dichos nuacutemeros
4 Clasificacioacuten funcional y semaacutentica de problemas aditivos
En esta seccioacuten analizamos los distintos tipos de problemas aditivos simples que son aquellos
que corresponden con igualdades aritmeacuteticas de tipo x + y = z
Consideraremos 11 clases de problemas cada una de las cuales se corresponde con una
estructura funcional Los problemas de estado se corresponden con las siguientes 3 clases
Combinacioacuten de estados a(t) + b(t) = e(t)
Variacioacuten de un estado e(i) + v = e(f)
Comparacioacuten de estados e + c = d
Los problemas de variaciones son las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de variaciones sucesivas v (im) + v(mf) = v(if)
Combinacioacuten de variaciones va (if) + vb(if) = ve(if)
Comparacioacuten de variaciones ve (if) + c = va(iacutefacute)
Variacioacuten de variaciones v (if) + v = ve (iacutefacute)
Los problemas de comparaciones agrupan las siguientes 4 clases
Combinacioacuten de comparaciones adyacentes ced = cdg = ceg
Combinacioacuten de comparaciones cag + cbh = ced
Variacioacuten de una comparacioacuten c(i) + v = c(f)
Comparacioacuten de comparaciones ced + c = cgh
145
Seguacuten la forma de expresar las variaciones y las comparaciones de un problema hablamos de
formas semaacutenticas Teniendo en cuenta la estructura funcional y la forma semaacutentica
obtenemos el tipo funcional-semaacutentico de un problema
Iniciamos el estudio con los problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten estado luego
continuamos con aquellos en los que hay dos y asiacute sucesivamente
41 Problemas con una funcioacuten estado
Consideramos ahora las distintas clases de problemas en los que aparece una uacutenica funcioacuten
estado e En los ejemplos que ponemos e(t) significa el saldo (lo que tienen o lo que debe)
Ernesto (E) medido en doacutelares en el instante t
411 Variacioacuten de un estado
Consideremos dos instantes distintos i (inicial) y f (final) siendo i lt f Asociados a esos instantes
se tienen el estado inicial e(i) y el estado final e(f) ademaacutes de la variacioacuten v = e(f) - e(i) En esta
clase de problemas se tiene la siguiente estructura funcional
e(i) + v = e(f)
Ejemplo e(i) Por la mantildeana E debiacutea 2
v En el transcurso del diacutea E ganoacute 5
e(f) Por la noche E teniacutea 3
Estos problemas expresados en su forma semaacutentica de cambio han sido denominados problemas
de cambio (Riley y otros 1983) unioacuten y separacioacuten (Carpenter y Moser 1982) una
transformacioacuten que une dos medidas (Vernaud 1982) y dinaacutemico (Nesher 1982)
412 Combinacioacuten de variaciones sucesivas
Ahora hay tres instantes diferentes inicial i (inicial) m (medio) f (final)
En estos instantes el estado toma otros tantos valores inicial e(i) medio e(m) y final e(f)
Aparecen asiacute diferentes variaciones
v(im) = e(m) - e(i) v(mf) = e(f) - e(m) v(if) = e(f) - e(i)
Los problemas de esta clase tienen la estructura funcional
v(im) + v(mf) = v(if)
Ejemplo v(im) En el transcurso de la mantildeana E perdioacute 2
v(mf) En el transcurso de la tarde E ganoacute 5
v(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3
Esta clase de problemas ha sido considerada por Vergnaud (1982) en su forma semaacutentica de
cambio y la llamoacute composicioacuten de dos transformaciones
413 Variacioacuten de variaciones
En esta clase se problemas hay cuatro instantes i lt f 7 iacute lt facute Podemos entonces considerar las
variaciones del estado e
v(if) = e(f) - e(i) v(iacutefacute) = e(facute) - e(iacute)
146
Lo habitual es que esas variaciones se refieran a periodos constantes de tiempo es decir
f ndash i = facute - iacute Por ejemplo esas variaciones pueden representar las ganancias o peacuterdidas que se
producen en un diacutea Aparece asiacute una nueva funcioacuten estado v(if) que se define en intervalos
temporales (if) En la expresioacuten de la estructura funcional de esta clase de problemas v
representa la variacioacuten de la funcioacuten v(if) y no de la funcioacuten e
v(if) + v = v(iacutefacute)
Ejemplo v(if) Ayer E perdioacute 2
v Hoy E perdioacute 5 menos que ayer
v(ifacute) Hoy E ganoacute 3
Esta estructura funcional tiene gran similitud con la comparacioacuten de variaciones con la
diferencia en esta uacuteltima se consideran dos funciones estados
ve(if) + c = vid(iacutefacute)
42 Dos funciones estado
Las dos funciones seraacuten denotadas por e y d Supondremos que e(t) es el saldo de Ernesto (E) y
f (t) el saldo de Daniel (D) en un cierto momento t
421 Comparacioacuten de estados
La estructura funcional es
e + c = d
Ejemplo e E desde 2
c Si E gana 5 entonces iguala a D
d D tiene 3
Esta clase de problemas cuando la comparacioacuten se expresa en forma de diferencia ha sido
denominada en la literatura de las siguientes formar comparacioacuten (Riley y otros 1983
Carpenter y Moser 1982 Nesher 1982) y una relacioacuten estaacutetica que une dos medidas
(Vergnaud 1982) Si la comparacioacuten se expresa en forma de cambio se han denominado
igualacioacuten-antildeadiendo o igualacioacuten-quitando (Carpenter y Moser 1982)
422 Comparacioacuten de variaciones
Consideramos la variacioacuten ve(if) entre los dos instantes i lt f y tambieacuten la variacioacuten vd(iacutefacute) entre
los instantes iacutelt facutede la funcioacuten estado d aunque lo habitual es que sea i = irsquo y f = facute En esta
clase de problemas se comparan ambas variaciones y tienen la siguiente estructura funcional
ve(if) + c = vd(iacutefacute)
Ejemplo ve(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2
C D perdioacute 5 menos que E
vd(iacutefacute) En el transcurso del diacutea D ganoacute 3
423 Variacioacuten de una comparacioacuten
Al variar con el tiempo los dos estados e y d tambieacuten variacutea la comparacioacuten entre ellos
c(t) = d(t) - e(t)
Entre los dos instantes i lt f se produce una variacioacuten v de la funcioacuten comparacioacuten c(t) La
estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
c (i) + v = c(f)
147
Ejemplo c(i) Ayer D teniacutea 2 maacutes que E
v Hoy E ganoacute 5 maacutes que D
c(f) Hoy E tiene 3 maacutes que D
Esta estructura es muy similar a la anterior cuando i = iacutey f = facute
V = c(f) - c(i) = d(f) - e(f) - d(i) + e(i) = vd(if) - ve(if) = c
43 Tres funciones estado
Consideramos en este apartado problemas en los que aparecen tres funciones estado
431 Combinacioacuten de estado
En ciertas situaciones una funcioacuten estado e es suma de dos estados parciales a y b y diremos que
e es el estado total Por ejemplo a representa el saldo de Ernesto (E) (lo que tiene o debe) en el
banco b el saldo en casa y e el saldo total suma de a y b La estructura funcional de esta clase
de problemas es
a(t) + b(t) = e(t)
Ejemplo a(t) En el banco E debe 2
b(t) En casa E tiene 5
e(t) En total E tiene 3
Esta clase de problemas ha recibido diferentes denominaciones en la literatura combinacioacuten
(Ryley y otros 1983) parte-parte-todo (Carpenter y Moser 1982) una transformacioacuten que
une dos medidas (Vergnaud 1982) y estaacutetico (Nesher 1982)
432 Combinacioacuten de variaciones
Suponemos que a y b son estados principales del estado total e
e(t) = a(t) + b(t)
Con el transcurso del tiempo los tres estados variacutean
va(if) = a(f) - (i) vb(if) = b(f) - b(i) ve (if) = e(f) - e(i)
De igual forma que en 431 podemos suponer que a y b representan los saldos de Ernesto (E) en
el banco y en su casa y e es el saldo total La estructura funcional es
va(if) + vb(if) = ve(if)
Ejemplo va(if) En el transcurso del diacutea E perdioacute 2 en el banco
vb(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 5 en su casa
ve(if) En el transcurso del diacutea E ganoacute 3 en total
433 Combinacioacuten de comparaciones adyacentes
A diferencia de las dos clases de problemas anteriores (431 y 432) ahora las tres funciones
estados son ldquoindependienterdquo Por ejemplo e representa el saldo de Ernesto (E) d el de Daniel (D)
y g el de Gabriel (G) Podemos considerar las tres comparaciones
ced = d ndash e cdg= g - d ceg= g - e
Decimos que las comparaciones ced y cdg son adyacentes y que ceg es la combinacioacuten de ambas
La estructura funcional de esta clase de problemas es la siguiente
ced + cdg = ceg
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
cdgG tiene 5 maacutes que D
cegG tiene 3 maacutes que E
148
Estos problemas en su forma de expresioacuten de diferencia han sido denominados composicioacuten de
dos relaciones estaacuteticas por Vergnaud (1982)
44 Problemas de cuatro funciones estado
441 Comparacioacuten de comparaciones
Supongamos que tenemos cuatro funciones estado e d g y h Por ejemplo representan los saldos
de Ernesto (E) Daniel (D) Gabriel (G) y Heacutector (H) respectivamente Si consideramos las
comparaciones
ced= d - e cgh= h - g
obtenemos la comparacioacuten de comparaciones cuya estructura funcional es la siguiente
ced + c = cgh
Ejemplo ced D tiene 2 menos que E
c Lo que H tiene maacutes que G es 5 maacutes de lo que E tiene maacutes que D
cgh H tiene 3 maacutes que G
45 Problemas con seis funciones estado
451 Combinacioacuten de comparaciones
Consideramos el estado e que es combinacioacuten de los estados parciales a y b e = a + b Por
ejemplo e es el salto total de Ernesto (E) mientras que a y b representan los saldos en el banco y
en su casa respectivamente Consideramos tambieacuten el estado d = g+h combinacioacuten de los
estados parciales g y h saldo total de Daniel (D) saldos en el banco y en su casa
respectivamente Las comparaciones de los estados parciales y totales son
cag = g ndash a (comparacioacuten de los saldos en el banco)
cbh= h ndash b (comparacioacuten de saldos en su casa)
ced= d ndash e (comparacioacuten de saldos totales)
Entonces resulta que ced es combinacioacuten de cag y cbh siendo la estructura funcional de esta clase
de problemas la siguiente
cag + cbh = ced
Ejemplo cag En el banco D tiene 2 menos que E
cbh En casa D tiene 5 maacutes que E
ced En total D tiene 3 maacutes que E
Consideraciones finales
Hemos presentado una clasificacioacuten general de los problemas aditivos verbales que permite
considerar nuevas situaciones no contempladas en las investigaciones sobre este tema Esta
clasificacioacuten puede ser utilizada con todo tipo de nuacutemeros (positivos y negativos enteros y no
enteros)
No pensamos que todos estos tipos de problemas deban ser tratados en la educacioacuten primaria o
secundaria lo cual no soacutelo seriacutea imposible sino innecesario Aunque algunos de los problemas
que citamos pueden introducirse no tienen por queacute ser tratados de forma sistemaacutetica La
clasificacioacuten que damos y la distincioacuten entre los aspectos funcionales y semaacutenticos pueden servir
de reflexioacuten a parte del profesorado de estos niveles sobre el tipo de situaciones que pueden
surgir en los problemas aditivos y los conceptos que estaacuten en juego (estados comparaciones
variaciones y las relaciones entre ellos)
149
Por otro lado la clasificacioacuten puede ser parte del soporte teoacuterico en investigaciones sobre el tema
ya que a partir de ella surgen interesantes preguntas de investigacioacuten iquestcuaacuteles son los problemas
que presentan mayor dificultad influye la forma semaacutentica de expresar las distintas
situaciones iquestlos alumnos comprenden de la misma forma las variaciones expresadas como
diferencias que las comparaciones expresadas como diferencias por lo tanto iquestEs relevante el
tiempo Otro tipo de cuestiones que cabe plantearse tiene que ver con las representaciones en
distintos modelos como puede ser la recta de estas situaciones
En la medida en que las respuestas a estas preguntas ayuden a conocer mejor la comprensioacuten de
los alumnos en este tema la clasificacioacuten que presentamos cobraraacute maacutes o menos utilidad
