conceptos de algebra

2 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

266

Ejem

plos

EJEMPLOS

Álgebra

Rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general.

Expresiones algebraicas

Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etcétera.

Ejemplos3a + 2b − 5, en esta expresión son constantes 3, 2, − 5 y las variables son a y b.(z2 + 8)(5z4 − 7), en esta expresión son constantes 8, 5 y − 7, variable “z” y 2, 4 exponentes.

Término algebraico. Es un sumando de una expresión algebraica y representa una cantidad. A todo término algebraico se le denomina monomio y consta de: coefi ciente, base(s) y exponente(s).

Ejemplos

Término Coefi ciente Base(s) Exponente(s)

−8 3y − 8 y 3

1

3mnx 1

3m, n 1, x

− +( )−3

42 1

2x − 3

42x + 1 − 2

Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases.

EjemplosLos siguientes términos tienen las mismas bases con sus respectivos exponentes iguales, por lo consiguiente son semejantes.

− 7b con 4b − 8x2y3 con 7x2y3 1

6 abc2 con abc2

Reducción de términos semejantes

Para simplifi car expresiones que involucren términos semejantes, se suman o restan los coefi cientes.

1 Simplifi ca la expresión − 7a + 3a.

Solución

Se agrupan los coefi cientes y se realiza la operación que da como resultado:

− 7a + 3a = (− 7 + 3)a = − 4a

2 ¿Cuál es el resultado de simplifi car la expresión − 6xy2 + 9xy2 − xy2?

Solución

Se agrupan los coefi cientes y se realiza la operación para obtener el resultado:

− 6xy2 + 9xy2 − xy2 = (− 6 + 9 − 1)xy2 = 2xy2

Por consiguiente, el resultado de la simplifi cación es: 2xy2

CAPÍTULO 2 ÁLGEBRA • Conceptos básicos de álgebra

267

3 Reduce la expresión −10x 2a y b + 5x 2a y b − 6x 2a y b + 11x 2a y b.

Solución

Se efectúa el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores y se obtiene:

− + − + = − + − +( )10 5 6 11 10 5 6 112 2 2 2x y x y x y x ya b a b a b a b xx y x ya b a b2 20 0= =

El resultado es igual a 0

4 Simplifi ca la expresión 7x − 3y + 4z − 12x + 5y + 2z − 8y − 3z.

Solución

Se agrupan los términos semejantes:

7x − 3y + 4z − 12x + 5y + 2z − 8y − 3z = 7x − 12x − 3y + 5y − 8y + 4z + 2z − 3z

Se realiza la reducción:

= (7 − 12)x + (− 3 + 5 − 8)y + (4 + 2 − 3)z = − 5x − 6y + 3z

Por tanto, el resultado es: − 5x − 6y + 3z

5 Simplifi ca 0 5 3 5 0 75

2

33 3 3 3 3. .a b ab a b ab a b− − + − .

Solución

Se expresan los decimales en fracciones, se agrupan y simplifi can los términos semejantes.

0 5 3 5 0 752

3

1

23 53 3 3 3 3 3 3. .a b ab a b ab a b a b ab− − + − = − − aa b ab a b3 3 33

4

2

3+ −

= − − − +1

25

2

33

3

43 3 3 3 3a b a b a b ab ab

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

25

2

33

3

43 3a b ab

= − −31

6

9

43 3a b ab

Entonces, el resultado es: − −31

6

9

43 3a b ab

EJERCICIO 20Simplifi ca:

1. 3x − 8x

2. 6a2b + 7a2b

3. − 6xy2 − xy2 − 3xy2

4. 4xy4z3 − 4xy4z3

5. − 2a2b + 12a2b

6. − 3a + 5a − 10a

7. 4x − 3x − 2x

8. 7ab + 4ab − 3ab


268

Ejem

plos

EJEMPLOS

9. 5a2 − 7a2 + 3a2 − 2a2

10. − m + n + m + n

11. 1

4

3

5

1

63 3 3a b a b a b− +

12. − 3ax+1 + 2ax+1 − ax+1 + 2ax+1

13. 0.25b − 0.4b + 0.2b

14. 1

2

3

23 3 3ab c ab c ab c− −

15. 4mx−2 − 10mx−2 + 3mx−2

16. 8x − 3y − 9x + 5y − 2x + y

17. 10a − 7b + 4a + 5b − 14a + 3b

18. − 12m + 3n − 4m − 10n + 5m − n

19. 12a2b + 3ab2 − 8a2b −10ab2 − 3a2b + 6ab2

20. 9a3b2c − 5a2bc2 − 12a3b2c + 3a2bc2 + 4a3b2c

21. − 3x2 + 2y2 −7 + 10x2 − 12y2 + 15

22. − 81m2 − 17mn + 15n2 + 20m2 + 3mn − 17n2 + 53m2 +18mn + 7n2

23. x2a+1 − 3x3a − 2 − 7x2a +1 − 4x3a−2 + 8x2a + 1 + 12x3a−2

24. − 3am+5 + 10xm+2 + 2am+5 − 3xm+2 − 8am+5

25. − − + + − −5

4

3

2

1

25 3

1

22 2 2a ab a ab a ab

26. 2

3

1

10

1

2

3

441 2 1 2 1x b x b xm m m m m− − − − −− + − −

27. 0.5x − 2.5y + 0.4x − 1

2

2

5y x−

⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

Valor numérico

El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene al sustituir a las literales o letras con sus respectivos valores numéricos y entonces se realizan las operaciones indicadas.

1 Determina el valor numérico de la expresión: x4y2z3; si x = 4, y = 3, z =

1

2.

Solución

Se sustituyen los respectivos valores de x, y, z y se efectúan las operaciones indicadas para obtener el valor numérico de la expresión:

x y z4 2 3 4 23

4 31

2256 9

1

8

2= ( ) ( ) ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = ( )( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

3304

8288=

Entonces, el resultado es: 288


269

2 ¿Cuál es el valor numérico de

5

3

2

5 32

1

4

2x xy y

xx y− + = =; , ?

Solución

Al seguir los pasos del ejemplo anterior, se obtiene:

5

3

2

5 3

5 2

3

2 21

45

1

43 2

2 2x xy y

x− + =

( )−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ( )

( ) =

5 4

3

4

45

1

46

( ) − +

= 20

3

1

5

1

24− +

= 800 24 5

120

781

120

− + =

Por tanto, el valor numérico de la expresión es igual a: 781

120

3 Encuentra el valor numérico de 3m2 − 2mn + n2p; si m = − 3, n = 4, p = − 5.

Solución

Se sustituyen los respectivos valores en la expresión y se realizan las operaciones:

3m2 − 2mn + n2p = 3(− 3)2 − 2(− 3)(4) + (4)2(− 5) = 3(9) − 2(− 3)(4) + (16)(− 5) = 27 + 24 − 80

= − 29

Por consiguiente, el valor numérico es: −29

EJERCICIO 21Encuentra el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones si:

m = − 2, n = 3, p x y z= = = =1

4

1

310

1

2, , ,

1. 2m + n 10. z x

m n

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

2

18. m p

n

n x

m

− − +

2. m − n + y 11. p2 + 2px + x2 19.

8

2

12 2p z

n

x m

z x

− − − + 3. 8p + 3x

12. m2 − 3mn + n2 20. m

p zn

n n

32− + 4.

2 6z x

n

+

13. p

x

y

z− + 3 21. (m − n)( p − x) 5. 5m − 2n + 3y

14. m n y2 2 2

2 3 4− + 22. (6x − 2p)(3m2 − z3) 6. x + z − p

15. mn

z

mp

x

np

m+ − 23.

2 2 2p x

z

m n

p

−( )÷ + 7.

3 4 9x z

n

+ −

16. 9

3

8

23

2 2x z− + 24. 3( p − x)m 8. m

n

ym

26+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

17. 23 24

5p

xxy− + 25.

5

2

3 6

43

2 2m n yp+

+− 9.

m n

p x

2 2 1+ ++



270

Lenguaje algebraico

Expresa oraciones de lenguaje común en términos algebraicos.

EjemplosExpresa las siguientes oraciones del lenguaje común al lenguaje algebraico.

Lenguaje común Lenguaje algebraico

1. Un número cualquiera. m

2. Un número cualquiera aumentado en siete. j + 7

3. La diferencia de dos números cualesquiera. f − q

4. El doble de un número excedido en cinco. 2x + 5

5. La división de un número entero entre su antecesor.x

x −1

6. La mitad de un número.d

2

7. El cuadrado de un número. y2

8. La semisuma de dos números.b c+

2

9. Las dos terceras partes de un número disminuido en cinco es igual a 12.2

35 12( )x − =

10. Tres números naturales consecutivos. x, x +1, x +2

11. La parte mayor de 1 200, si la menor es w. 1 200 − w

12. El cuadrado de un número aumentado en siete. b2 + 7

13. Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a 3.3

5

1

21 3p p+ +( ) =

14. La raíz cuadrada de la diferencia de dos cantidades. a b−

15. El producto de un número positivo con su antecesor equivale a 30. x x −( ) =1 30

16. El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número. x x3 23+

EJERCICIO 22Expresa en lenguaje algebraico las siguientes oraciones:

1. Un número disminuido en tres.

2. El triple de un número excedido en ocho.

3. El cociente de dos números cualesquiera.

4. La parte mayor de 100 si la parte menor es x.

5. Dos números enteros consecutivos.

6. Tres números enteros pares consecutivos.

7. El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera.

8. La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera.

9. El recíproco de un número.

10. La raíz cúbica de la diferencia de dos números cualesquiera.

11. La suma de las raíces cuadradas de dos números cualesquiera.


271

Ejem

plos

EJEMPLOS

12. Diez unidades menos que cinco veces un número.

13. La sexta parte de la suma de dos números.

14. La suma de tres números pares consecutivos es igual al triple del menor, más las tres cuartas partes del mayor.

15. Un número de dos cifras, cuyo dígito de las decenas es el doble del de las unidades.

16. La cuarta parte del producto de tres números cualesquiera menos 4.

17. El cuadrado de la suma de dos números es igual a 49.

18. El área de un cuadrado de lado x unidades.

19. El perímetro de un rectángulo, si se sabe que el largo es tres veces su ancho.

20. El perímetro de un triángulo rectángulo, si se sabe que el cateto mayor mide tres unidades más que el cateto menor y que la hipotenusa es dos unidades mayor que el cateto mayor.

21. El precio de un artículo disminuido en su 15%.

22. El exceso de 50 sobre el doble de un número.

23. Dos números cuya suma sea 80.

24. Tres números impares consecutivos.

25. El área de un rectángulo, si se sabe que su largo mide tres unidades menos que el triple de su ancho.

26. La edad de una persona hace 10 años.

27. El exceso del cubo de un número sobre la mitad del mismo.

28. Los ángulos de un triángulo, si el primero es el doble del segundo.

29. La cantidad de alcohol en un recipiente de x litros de una mezcla si la concentración de alcohol es 30%.

30. La edad de Alberto si tiene cuatro años más que el doble de la edad de Patricia.

31. Las dos terceras partes de un número, más el triple de su consecutivo, menos su recíproco equivale a 10.

32. El doble de un número equivale al triple de su antecesor excedido en siete.


Dada una expresión algebraica, se representa en lenguaje común de la siguiente manera:

1 Representa en lenguaje común la expresión: 3x − 8.

Solución

Primero se expresa la multiplicación y posteriormente la diferencia.

3x − 8 = el triple de un número disminuido en ocho

2 Expresa 2x + x2 en lenguaje común.

Solución

La expresión queda de la siguiente manera:

2x + x2 = la suma del doble de un número y su cuadrado

Otra forma de representar en lenguaje común la misma expresión es:

2x + x2 = doble de un número aumentado en su cuadrado.


272

Ejem

plos

EJEMPLOS

3 Expresa en lenguaje común

2

91

4

3x − = .

Solución

Una manera de la expresión en lenguaje común es:

Dos novenos de un número disminuido en la unidad equivalen a cuatro tercios.

EJERCICIO 23Cambia las siguientes expresiones algebraicas a lenguaje común:

1. x + 3 10. 3y − 2 = 25

2. 2a − 11 11. 3

42z z+ =

3. 3x2 12. 1

63x y x y−( ) + = +

4. 5

6a 13.

x

yx y= −( )1

5

5. 1

x 14. x y2 2−

6. a b+( )2 15. x x2 2−

7. x y3 3+ 16. a b+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2

2

8. c

c +1 17. a b

a b

+−

9. 5x = 30 18. x2 + (x + 1)2


Polinomios

Expresión algebraica que consta de varios términos algebraicos.

Suma

En la suma los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes.

1 Suma los siguientes polinomios: 5x3 − 3x2 − 6x − 4; − 8x3 + 2x2 − 3; 7x2 − 9x +1.

Solución

Los polinomios se escriben de la siguiente forma y se realiza la reducción de términos semejantes:

(5x3 − 3x2 − 6x − 4) + (− 8x3 + 2x2 − 3) + (7x2 − 9x + 1) = − 3x3 + 6x2 − 15x − 6

Por tanto, el resultado es: − 3x3 + 6x2 − 15x − 6


273

2 Efectúa la siguiente operación: (2x − 7y − 3z + 6) + (− 9x + 4z) + (− x + 4y + z − 8).

Solución

Con un fi n más práctico, se ordenan los polinomios haciendo coincidir los términos semejantes en columnas; asimismo, se reducen los coefi cientes término a término.

2x − 7y − 3z + 6+ − 9x + 4z

− x + 4y + z − 8

− 8x − 3y + 2z − 2

El resultado de la suma es: − 8x − 3y + 2z − 2

3 Realiza la siguiente operación:

1

2

3

4

1

6

3

2

1

3

1

41 1 1 1x y x ya b a b+ − + −− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎠⎟ .

Solución

Se acomodan en forma vertical los términos semejantes y se realiza la operación columna por columna:

+

1

2

3

4

1

61 1x ya b+ −− −

3

2

1

3

1

41 1x ya b+ −+ + ⎞

⎠⎠

2

5

12

1

121 1x ya b+ −− +

Por consiguiente, el resultado es: 25

12

1

121 1x ya b+ −− +

EJERCICIO 24Realiza lo siguiente:

1. Suma los polinomios 3x − 8y − 2z; 7x + 3y + z

2. ¿Cuál es la suma de − 5m − 3n + 6 con 2m + 2n − 8?

3. Realiza (11a − b + c) + (− 8a − c)

4. Efectúa (3p − 5q − 6r) + (2p + 3q − 2r) + (− 12p + 4q + r)

5. Suma 6x2 + 3x − 2 con − x2 + 7x + 4

6. (8a2 − 6a3 + 4a) + (4a3 + a2 − 4a − 5)

7. (5x4 − 3x2 + 6x − 3) + (− 3x4 + x3 + 5x2 − 7x + 3)

8. Realiza (5x2 − 5x + 6) + (2x2 − 7x + 4) + (− 6x2 + 10x − 10)

9. Suma y3 − y; 2y2 − 5y + 7; 4y3 − 5y2 + 3y − 8

10. ¿Cuál es el resultado de sumar 8z3 − 9; − 4z3 + 2z2 + 6; 5z2 − 2z3 − 7z + 2?

11. Efectúa la suma de 4x2 − 10xy − 12y2; 3y2 − 10x2 + 5xy; 8xy − 3x2 − 2y2

12. Realiza (x5 − 3x) + (x4 + 6x2) + (− x3 − 2)

13. ¿Cuál es el resultado de la suma de − 15x3y − 3x2y2 − 6xy3; − 8x3y + 2x2y2 − 4xy3?

14. Suma x4 − y4; − x3y + x2y2 − xy3; 3x4 + 5x3y − 4x2y2; − 4x3y + 3x2y2 − 3y4

15. Realiza (3a6 − 4a7) + (7a4 + 6a2) + (− 3a2 + 7a) + (− a4− 4a2)


274

Ejem

plos

EJEMPLOS

16. Suma los polinomios 5

25

2

3

1

3

3

2

1

42

1

2

32 2 2 2 2x xy y x xy y x xy− + − + − − + −; ; 44

2y

17. Efectúa − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − + +⎛

⎝⎜⎞⎠

1

6

1

8

1

2

1

3

1

4

5

62 2 2 2a b ab a b ab ⎟⎟ + − + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

3

3

4

5

62 2b ab a

18. Suma los polinomios 1

6

3

5

1

8

1

2

2

3

1

42 3 2 3 2 3 3 2x y y xy x x y y x xy− + − − − −; ;

22

53y

19. Efectúa x y x y x y2 31

22

1

3−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

3

5

2

20. Suma x5 − y5; 1

10

3

4

1

6

3

5

5

6

1

93 2 4 5 4 2 3 5x y xy y x y x y y y− − − −; 2 4; x −− −2

5

1

33 2 5x y y

21. 1

2

3

42

1

6

1

2

3

4

1

34 3 2 4 3x x x x x x− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + + −− − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟x x x x2 4 23

41

2

3

1

2

22. ¿Cuál es el resultado de sumar (5a3x − 2a2x + 7ax) + (− 2a3x + 4a2x − 6ax)?

23. Suma 3x2a − 5x2a − 1 + 4x2a − 2; x2a + 4x2a −1 + x2a − 2; −3x2a − 7x2a − 2; x2a − 1 + 3x2a − 2

24. ¿Cuál es el resultado de sumar 3

8

5

62b b bx x− + , − + −1

4

2

32b b bx x y − +b bx2 2 ?

25. 1

3

5

4

1

6

2

31 1 2 1 3 1 1 3x x x x xy y y y y− − − − −− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + − + + xx x xy y y1 2 1 1 21

2

1

3− − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟


Resta

En esta operación es importante identifi car el minuendo y el sustraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes.

1 Realiza la siguiente operación: 4 2 5 3 5 7a b c a b c− −( ) − − −( ).Solución

En este ejemplo 4 2 5a b c− − representa al minuendo y 3 5 7a b c− − al sustraendo. Se suprimen los paréntesis y se procede a efectuar la reducción de términos semejantes.

4 2 5 3 5 7 4 3 2 5 5 7a b c a b c a a b b c c− −( ) − − −( ) = − − + − +

= + +a b c3 2

Por consiguiente, el resultado de la resta es: + +a b c3 2

2 De 16x2 − 7x − 8 restar 6x2 − 3x + 6.

Solución

El minuendo es 16x2 − 7x − 8 y el sustraendo es 6x2 + 3x − 6, entonces al sustraendo se le cambia el signo − (6x2 − 3x + 6) =− 6x2 + 3x − 6 y se acomodan los polinomios en forma vertical para realizar las operaciones entre los términos seme-jantes:

16x2 − 7x − 8− 6x2 + 3x − 6

10x2 − 4x − 14

Por tanto, el resultado es: 10x2 − 4x − 14


275

3 Resta − − + −3

46 2

1

22 3 3 2a b b a ab de

1

3a b a b ab3 3 2 22

1

3− + − .

Solución

En este caso el minuendo es 1

3a b a b ab3 3 2 22

1

3− + − y el polinomio sustraendo al cual se cambia el signo y se ordena

con respecto a los exponentes es: − − + −3

46 2

1

22 3 3 2a b b a ab

− − − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

46 2

1

22 3 3 2a b b a ab = − + + +2

3

4

1

263 2 2 3a a b ab b

Se acomodan los polinomios y se reducen los términos semejantes:

1

3

1

323 2 2 3a a b ab b+ − −

− + + +23

4

1

263 2 2 3a a b ab b

− + − +5

3

13

12

1

243 2 2 3a a b ab b

Finalmente, el resultado es: − + − +5

3

13

12

1

243 2 2 3a a b ab b

EJERCICIO 25Realiza las siguientes operaciones:

1. De 5a2 − 3a + 2 resta 8a2 − 5a + 7

2. ¿Cuál es el resultado de (3x3 − 5x2 − 6x + 3) − (2x3 + 4x − 8)?

3. De 4a4 − 10a3 + 2a2 − 3a − 4 resta 5a5 − 3a3 + 6a − 3

4. Efectúa (4x3y2 − 5x2y3 + 6x4y − 8xy4) − (12x2y3 − 3xy4 + 4x3y2 − 9x4y)

5. De 7 − 8a5b + 3a3b3 − 6a4b2 + 2ab5 resta 5a3b3 − 3ab5 + 8 − 7a5b − 2a4b2

6. Realiza (3x a+2 − 7x a+1 − 8x a + 3x a−1) − (4x a+2 + 6x a+1 − 7x a − 9x a−1)

7. De 5a2m − 1 + 6a2m − 8am + 1 − 3am − 3 resta 12a2m − 5a2m − 1 − 3am + 1 − 4am − 3

8. ¿Cuál es el resultado de 3

2

1

46

2

3

5

2

2

313 2 3 2x x x x x x− − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

2??

9. De 1

66

2

5

3

22 3 4 4 3 2 4 2 3m n mn m n m n m n m n+ + − + resta

1

3++ −8 4 3 2mn m n

10. De 2

53 4

1

6

1

5

1

22 2 3 4 4 4 3x y x y x y x x y y+ − + − + + resta

3

244 2 22

3+ x y

11. Resta 8x − 3y − 6 de 5x + 4y − 1

12. Realiza (a2 + a − 1) − (a2 − a + 1)

13. Resta − 8x3 + 6x2 − 3x − 2 de 10x3 − 12x2 + 2x − 1

14. ¿Cuál es el resultado de restar 12a4 − 3a2 + a − 8 de 14a4 − 5a2 − 3?

15. Resta 16x6y4 − 3x3y2 + 8x7y5 de 4x7y5 + 9x3y2 + 10x6y4

16. Resta 3mx−6 −7mx−5 + 8mx−9 − 12mx+1 de 4mx−9 − 6mx−5 + 2mx−2 − 8mx+1

17. Resta 15an+10 − 3an+1 − 8an−3 + 10an de 4an+9 − 5an+2 − 3an−3 + 2an


276

Ejem

plos

EJEMPLOS

18. Resta 1

3

4

5

3

2

1

6m n p m n p− − − − de

5

6

19. Resta 3

4

1

2

5

6

2

3

1

2

1

32 3 2 3 3 2 2x y x xy y x x y xy− − + − − de

1

3++ 1

43y

20. Resta 1

2

3

46 8

1

4

15 3 3 4 2 5 4 2a b a b a b a b a b− − − − + de 3 3 3a b22

2 4a b


Signos de agrupación

Los signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades en su interior se deben considerar como una sola. Los signos son:

a) Corchetes [ ] b) Paréntesis ( ) c) Llaves { } d ) Vínculo ____

Reglas para suprimir los signos de agrupación

Si el signo de agrupación está precedido por el signo “+”, éste se suprime y las cantidades que están dentro de él conservan su signo.

+ (− a + b − c) = − a + b − c

Si el signo de agrupación está precedido por el signo “−”, éste se suprime y cambia el signo de cada una de las cantidades que se encuentren dentro de él.

− (x − 2y + 3z) = − x + 2y − 3z

− − = − −( ) = − +2 3 2 3 2 3x y x y x y

Si en una expresión existen varios signos de agrupación se suprimen aquellos que no contengan otros. Este proceso se repite hasta llegar a una expresión que carezca de signos de agrupación.

1 Simplifi ca 2x + {− [5y + (3x − z) + 2 − (− x + y − z + 4 )] − (− x + y)}.

Solución

Se suprime el vínculo:

2x + {− [5y + (3x − z) + 2 − (− x + y − z + 4 )] − (− x + y)}= 2x + {− [5y + (3x − z) + 2 − (− x + y − z − 4)] − (−x + y)}

Se suprimen los paréntesis:

= 2x + {− [5y + 3x − z + 2 + x − y + z + 4] + x − y}

Se suprimen los corchetes:

= 2x + {− 5y − 3x + z − 2 − x + y − z − 4 + x − y}

Se suprimen las llaves:

= 2x − 5y − 3x + z − 2 − x + y − z − 4 + x − y

Se agrupan y reducen los términos semejantes:

= 2x − 3x − x + x − 5y + y − y + z − z − 2 − 4 = − x − 5y − 6

Por tanto, el resultado es: − x − 5y − 6


277

2 Simplifi ca:

1

2

3

42 2

2

3

1

4x x y x y x y x y− − + − − − + − −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎫⎬⎭

.

Solución

Se sigue el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior:

1

2

3

42 2

2

3

1

4x x y x y x y x y− − + − − − + − −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎫⎬⎭

=

= 1

2

3

42 2

2

3

1

4x x y x y x y x y− − + − − − + − +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎫⎬⎭

= 1

2

3

42 2

2

3

1

4x x y x y x y x y− − + − + − + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= 1

2

3

42 2

2

3

1

4x x y x y x y x y− − + − + − + −⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

= 1

2

3

42 2

2

3

1

4x x y x y x y x y− + − + − + − +

= − +17

4

47

12x y

Por tanto, el resultado es: − +17

4

47

12x y

EJERCICIO 26Simplifi ca:

1. 3x − {2y − (5x + 3y)}

2. − (6a − 3b) − {5a − 9b − (2c − 9b)}

3. − 10x − (8x − 4y + 2z) + (5x − 4y − 2z) − (10x − 3y − 4z)

4. 4m + {(6m − 3n) − (9n − 5m) + (8m − 2n)}

5. 2a − {7a − (3a − 7b) + (10a − 9b)}

6. − (x + y) + [3x − 2y + {− 8x − 5y − (6x − 8y − 7y)} − 6x]

7. 8x2 − {3x2 − 6y − 2 3x y− − [9x2 − 6y − 4x] − (2x2 − 9y + 6x) − 3x2}

8. − {− 6x + 3y − (8x − [2y − 4x − 2 6x y− + 10x] − 9y) + 12x}

9. − 9y + 3z − {5x − 10y − 8z − (2x − 6y +7z − [2x − 3y])}

10. − 6x + {8y − (2x − [4x − 9y − 6z] − 7x) − 6y} − (8x − [3y − 2z] −9y)

11. 2

3

1

52

3

5

2

3

1

2a b a b a b− − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

−

12. 42

53

1

2

1

5

1

6

1

3x x x y x y x y− − −( ) + − − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭



278

Ejem

plos

EJEMPLOS

Multiplicación

Para realizar esta operación es conveniente recordar las reglas de los signos.

Regla de los signos(+)(+) = + (+)(−) = − (−)(+) = − (−)(−) = +

Ley de los exponentes para la multiplicación. En la multiplicación de términos con la misma base los exponentes se suman.

a a am n m n⋅ = +

Monomio por monomioAl multiplicar monomios, primero se multiplican los coefi cientes y después las bases.

1 ¿Cuál es el resultado de (− 5x4y5z)(3x2y6z)?

Solución

Se multiplican los coefi cientes y las bases:

(− 5x4y5z)(3x2y6z) = (− 5)(3) x4 x2 y5 y6 z z

Se aplican las leyes de los signos y de los exponentes:

= − 15x4+2y5+6z1+1

= − 15x6y11z2

Por tanto, el resultado es: − 15x6y11z2

2 Realiza la siguiente operación: −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

5

4

2

36 5 5 2 4a b c a bc .

Solución

Se efectúa el producto de las fracciones y se aplica la ley de los exponentes para las bases.

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛5

4

2

3

5

4

2

36 5 5 2 4a b c a bc ⎝⎝⎜

⎞⎠⎟ = =+ + +a b c a b c a b c6 2 5 1 5 4 8 6 9 8 6 910

12

5

6

Por consiguiente, el resultado es: 5

68 6 9a b c

3 Realiza (− abc)(3ac).

Solución

En este ejemplo, la base b no se repite en ambos factores, por tanto, se pasa igual en el resultado.

(− abc)(3ac) = − 3a1+1bc1+1 = − 3a2bc2

El resultado de la multiplicación es: − 3a2bc2

4 Realiza 3 22 1 3 4 3 2x y x ya a a a− −( ) −( ).Solución

Se aplica el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores, no importa que los exponentes de las bases sean expresiones algebraicas.

3 2 62 1 3 4 3 2 2 1 4 3 3x y x y x ya a a a a a a− − −( )+ −( )( ) −( ) = − ++ −= −2 6 4 56a a ax y

Por tanto, el resultado es: − −6 6 4 5x ya a


279

Ejem

plos

EJEMPLOS

5 Efectúa −( )( ) −( )3 2 54 2 5 3 2a bc a c ab c .

Solución−( )( ) −( ) = −( )( ) −( ) + +3 2 5 3 2 54 2 5 3 2 4 2 1a bc a c ab c a b11 3 1 5 2 7 4 830+ + + =c a b c

El resultado del producto es: 30 7 4 8a b c

EJERCICIO 27Resuelve las siguientes operaciones:

1. (5x)(− 3x) 16. (6m2x+8n4x)(− 7mx − 6n5)

2. (4x3y5z)(6x5y4z) 17. (− 9x3my2n−1)(4x5y6)

3. (−7a5c2)(2a4bc6) 18. (− 3x2a−3y5a+1)(− 2x3a+1y4a−6)

4. 3

4

2

54xyz z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 19. −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− +7

6

3

144 3 2 4 1a b c a bcx x x x

5. −( ) −( )10 56 2 3m p m p 20. −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ( )− − −1

244 1 2 2 3 1 2x y x ya a a a

6. 91

35 9 2 6c m p c m( ) −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 21. (5ab)(− 3a2b)(2a3bc)

7. (− xyz)(xyz) 22. (− 7x2y5z)(− 2x6y2)(− 4xyz)

8. ac a b( ) −( )4 3 23. (− 5x)(3y)(− 2z)

9. −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

3

5

5

34mn m np 24. (4x4y)(− 2xy2)(3x6y)(− 2y4)

10. 7

4

2

36 8 2 2 5a b c a b c

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 25.

1

3

2

56

10

33 2 4 2 4 2a b c a bc ac a b

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⎟

11. −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

5

3

72 3xyz x yz 26. −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −( )3

4

2

3

1

226 2 2 2a b a bc ac b c

12. 9

5152 6mp m p

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −( ) 27. (4a5b3c)(− 5a2xbxc)(− 2a4x−1b2xcx)

13. 0 5 0 26 5 2. .m p m n( )( ) 28. 1

4

2

3

1

23 1 4 2 1 2x y x y xya a a a a− + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎠⎟

14. (0.4abc)(0.12xyz) 29. (3x3a−1y)(− 4x2ay4a)(− 2x4a−1y2a)

15. (5a mb n c)(− 2a2 b3 c) 30. (2a8xb6)(−2m2xn3)(− 5a2m3n5x)


Polinomio por monomioSe multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio o viceversa, como lo ilustran los siguientes ejemplos:

1 Resuelve (5x5y4 − 3x4y3z + 4xz4)(− 3x4y).

Solución

Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio:

(5x5y4 − 3x4y3z + 4xz4)(− 3x4y) = (5x5y4)(− 3x4y) + (− 3x4y3z)(− 3x4y) + (4xz4)(− 3x4y) = − 15x9y5 + 9x8y4z − 12x5yz4

Por tanto, el resultado es: −15x9y5 + 9x8y4z − 12x5yz4


280

2 Realiza el siguiente producto: (− 7ax+3b1 − 2x)(4a3x − 1b2x − 5a3x − 2b2x+1 + 3a3x − 3b2x+ 2).

Solución

Se realiza el producto del monomio por cada uno de los elementos del polinomio:

(− 7ax+3b1 − 2x)(4a3x − 1b2x − 5a3x − 2b2x+1 + 3a3x − 3b2x+ 2) = (− 7ax + 3b1 − 2x)(4a3x − 1b2x) + (− 7ax + 3b1 − 2x)(− 5a3x − 2b2x + 1) + (− 7ax + 3b1 − 2x)(3a3x − 3b2x + 2) = − 28a4x + 2b + 35a4x + 1b2 − 21a4xb3

Luego, el resultado es: − 28a4x + 2b + 35a4x + 1b2 − 21a4xb3

3 Resuelve el siguiente producto:

4

5

2

3

3

4

2

31 2 3 1x x x xm m m m− − − +− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ .

Solución

Se multiplica el monomio por cada uno de los elementos del polinomio:

4

5

2

3

3

4

2

31 2 3 1x x x xm m m m− − − +− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −− + −4

5

2

3

2

3

2

31 1 2x x xm m m xx x xm m m+ − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 3 13

4

2

3

= − + −− −8

15

4

9

1

22 2 1 2 2x x xm m m

Por consiguiente, el resultado es: − + −− −8

15

4

9

1

22 2 1 2 2x x xm m m

EJERCICIO 28Realiza los siguientes productos:

1. (4a2 − 7ab)(2a3b)

2. (− 3m)(5m4 − 3m3 + 6m − 3)

3. (3x3 −7x2 − 2x)(xy)

4. (− 3ab)(2a2 − 7ab + 8b2)

5. (6a3b2 − 7a2b3 + 4ab5)(4a5b2)

6. (− 5xy2z) (7x6y2z −3x5y − 4xz)

7. (5m3n − 3m4p + 6m2)(8mp3)

8. (4a3c −7a2b − 2c)(− 3ac4)

9. (5m6n − 3mn4 + 2mn)(3mx+1n2x)

10. (− 2xa − 2)(7x5 − 8x2 + 6x3 − 9x + 2)

11. (3a2x+1b4x − 7a2xb4x+1 − 4axb3x+1)(− 3ax+1b1−x)

12. (− 5x2myn+1)(5x3my2n − 2x3m+1y2n+1 − 4x3m+2 y2n+2)

13. (3ax+2bycm − 3ax+1by+1c2 + 2ax−3by−1c)(− 4a3b2c5)

14. 1

2

3

5

3

4

2

32 2 2a b ab ab− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


281

Ejem

plos

EJEMPLOS

15. 4

3

3

4

1

363 2 2x y x y xy

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

16. 2

5

7

2

8

5

1

16

4

56 4 2 2 4 2a a b a b b ab c− + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

17. 4

5

7

256 1 2 3 3 4a b a c a cm m m m+ +−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −( )

18. 1

2

1

6

1

463 2 1x x x xm m m m− − −− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −( )

19. 47

3

4

53 1 3 2ab a b c a bm n m n( ) +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− +

20. −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −+ + −4

5

4

3

5

4

7

24 2 3 3 2 2 3 1 2m n m n m n m nx x a x a x⎛⎛

⎝⎜⎞⎠⎟


Polinomio por polinomioPara multiplicar polinomios por polinomios, se siguen los pasos indicados en los siguientes ejemplos:

1 Efectúa la siguiente operación: (5x2 − 3x − 2)(4x − 3x2 − 6).

Solución

Se escriben los factores de la multiplicación en forma escalonada (como en las multiplicaciones aritméticas), y se ordenan los polinomios con respecto a los exponentes en forma ascendente o descendente, según se quiera.

5x2 − 3x − 2

− 3x2 + 4x − 6

Se multiplica el primer término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba.

5x2 − 3x − 2 (− 3x2)(5x2) = − 15x4

× − 3x2 + 4x − 6 (− 3x2)(− 3x) = + 9x3

− 15x4 + 9x3 + 6x2 (− 3x2)(− 2) = + 6x2

A continuación se multiplica el segundo término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba y los resultados se colocan debajo de sus respectivos términos semejantes del primer resultado.

5x2 − 3x − 2 (4x)(5x2) = 20x3

× − 3x2 + 4x − 6 (4x)(− 3x) = − 12x2

− 15x4 + 9x3 + 6x2 (4x)(− 2) = − 8x + 20x3 − 12x2 − 8x

Se repite el paso anterior para cada uno de los términos siguientes (si es que existe).

5x2 − 3x − 2 × − 3x2 + 4x − 6 (− 6)(5x2) = − 30x2

− 15x4 + 9x3 + 6x2 (− 6)(− 3x) = 18x + 20x3 − 12x2 − 8x (− 6)(− 2) = 12 − 30x2 + 18x + 12

×

(continúa)


282

(continuación)Por último, se realiza la suma.

5x2 − 3x − 2 × − 3x2 + 4x − 6

− 15x4 + 9x3 + 6x2

+ 20x3 − 12x2 − 8x − 30x2 + 18x + 12

− 15x4 + 29x3 − 36x2 + 10x + 12

Por consiguiente, el resultado es: −15x4 + 29x3 −36x2 +10x + 12

2 Efectúa la siguiente operación: (5x4y − 3x2y3 − 6xy)(3x4y − 4x2y3 + 3xy).

Solución

Se acomodan los polinomios de manera vertical y se realiza el procedimiento descrito en el ejemplo anterior.

5x4y − 3x2y3 − 6xy 3x4y − 4x2y3 + 3xy

15x8y2 − 9x6y4 − 18x5y2

− 20x6y4 + 12x4y6 + 24x3y4

+ 15x5y2 − 9x3y4 − 18x2y2

15x8y2 − 29x6y4 − 3x5y2 + 12x4y6 + 15x3y4 − 18x2y2

Por tanto, el resultado es: 15x8y2 − 29x6y4 − 3x5y2 + 12x4y6 + 15x3y4 − 18x2y2

3 ¿Cuál es el resultado de

5

23

1

3

2

3

1

22 2m mn n m n− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ?

Solución

Este es un producto de un polinomio por un binomio, los resultados de los productos se acomodan de manera horizontal y se realizan las reducciones de términos semejantes.

5

23

1

3

2

3

1

2

5

322 2 3 2m mn n m n m m n− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = − + 22

9

3

2

1

62 2 2 3mn m n mn n− + −5

4

= − + −5

3

13

4

31

18

1

63 2 2 3m m n mn n

El resultado de la operación es: − + −5

3

13

4

31

18

1

63 2 2 3m m n mn n

4 Obtén el resultado de 2 5 23 2 1 2 1 1x x x x x x xa a a a a a a+ + + − + −+ − +( ) + −( ).

Solución

Se acomodan los polinomios verticalmente y en orden decreciente y se obtiene como resultado:

2 53 2 1 2x x x xa a a a+ + + −+ − + × x x xa a a+ −+ −1 12

2 52 4 2 3 2 2x x xa a a+ + ++ − 2 1x a−+ + + + −+ + +4 10 22 3 2 2 2 1x x xa a a + −2 2 2x a

− − ++ +2 52 2 2 1 2x x xa a a − −2 3x a

2 9 7 7 22 4 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2x x x x x x xa a a a a a a+ + + + − −+ + − + + + 22 2 3− −x a

×

+


283

EJERCICIO 29Efectúa los siguientes productos:

1. (x − 7)(x + 2) 23. 2

3

1

4

3

52

3

22 2x y xy y x− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2. (m + 9)(m − 8) 24. (mx−1 − na−1)(m − n)

3. (− x + 2)(3 − x) 25. (bm − bm+1 + bm+2)(b + 1)

4. (3x + 7)(x + 4) 26. (2xm+1 + xm+2 − xm)(xm+3 − 2xm+1)

5. (2x − 5)(3x + 2) 27. (xa+2 − 2xa + 3xa+1)(xa + xa+1)

6. (5x − 4y)(5x + 4y) 28. (3x2 − 5x − 2)(2x2 − 7x + 4)

7. (3x +2y)(3x − y) 29. (4x − 6x2 − 9)(3x2 + 2x + 1)

8. (n2 + 4)(n2 − 7) 30. (4x3 − 2x2y + 6xy2)(x2y − xy2 − 2y3)

9. 1

23

4

3x x−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

31. (m + n − p)(m − p − n)

10. 5

3

1

2

2

33x y x y−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 32. (2m − 3n + 5p)(n + 2p − m)

11. 3

2

1

3

4

5

1

2y x x y−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

33. (a + b − c)(a − b + c)

12. (x2 − 2xy + y2)(x − y) 34. (x2 − 2x + 1)(x4 − 2x2 + 2)

13. (x2 + 2xy + y2)(x + y) 35. 1

2

3

2

5

22x x− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ (6x2 − 4x − 2)

14. (m2 − mn + n2)(m + n) 36. (xm + xm+1 − xm+2)(xm − xm+1 + xm+2)

15. (m2 + mn + n2)(m − n) 37. (2x2m+1 + 3x2m − x2m−1)(x2 + 2x + 1)

16. (5x2 − 7y2 − 4xy)(3x − 2y) 38. (a2b2 − a3b + a4 − 3ab3 + b4)(a2 − 2b2 + ab)

17. (4b2 − 9a2 − 4ab)(3a − 7b) 39. (3ma−2 − 2ma−1 + ma)(m2 + 2m − 1)

18. (2a3 − 3a + 4)(2a − 1) 40. (3x2a + x2a+1 − 5x2a+2)(x3a−3 − 8x3a−2 − 6x3a−1)

19. (5x4 − 3x2 − 6)(3x − 4) 41. (m3 − m + m2 +1)(m2 + m3 − 2m − 1)

20. (x2 − 3x + 1)(x2 − 1) 42. 1

2

3

4

1

3

2

3

1

32

1

42 3 2x x x x x− + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

21. 1

53

1

3

2

3

7

22 2a ab b a b− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 43. (ax+1 − 2ax+2 − ax+3 + ax+4)(ax−3 − ax−1 + ax−2)

22. 5

2

1

5

3

44

1

32 2x y xy x y+ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 44. (ax+3 + 4ax+1 − 5ax−1)(ax+1 + ax+2 + ax+3)


División

A continuación se muestra la regla de los signos de esta operación:

Regla de los signos

(+) ÷ (+) = + (+) ÷ (−) = − (−) ÷ (+) = − (−) ÷ (−) = +


284

Ejem

plos

EJEMPLOS

Ley de los exponentes para la división

En la división los exponentes de las bases iguales se restan.

a

aa

m

nm n= −

Monomio entre monomioCuando se dividen monomios, primero se realiza la división de los coefi cientes y después se aplica la ley de los expo-nentes para las bases. Si la división de los coefi cientes no es exacta, entonces se deja especifi cada; si las bases no son iguales, entonces se deja expresado el cociente.

1 Realiza la siguiente operación:

−16

8

5 4 6

2 3

a b c

a b c.

SoluciónSe dividen los coefi cientes y las bases para obtener:

− = − = −− − −16

8

16

82

5 4 6

2 35 2 4 3 6 1 3 5a b c

a b ca b c a bc

Finalmente, el resultado es: − 2a3bc5

2 ¿Cuál es el resultado de

−−10

6

7 6

2 2

x y c

x y c?

Solución

La división de los coefi cientes no es exacta, por tanto, se deja expresada como fracción, la cual se simplifi ca y se efectúa la división de las bases.

−−

= = =− − −10

6

10

6

5

3

5

3

7 6

2 27 2 6 2 1 1 5 4 0x y c

x y cx y c x y c xx y5 4

Por tanto, el resultado es: 5

35 4x y

3 Realiza

−−

xyz

xyz.

Solución

Se aplica la ley de los signos para la división y se dividen las bases.

−−

= = = ( )( )( ) =− − −xyz

xyzx y z x y z1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1

El resultado es: 1

4 ¿Cuál es el resultado de 8 23 1 5 4 2 3 3 1x y x ya a a a− − + −÷ ?

Solución

Se dividen los coefi cientes y se restan los exponentes para obtener como resultado:

8

24

3 1 5 4

2 3 3 13 1 2 3 5x y

x yx y

a a

a aa a a

− −

+ −−( )− +( ) −= 44 3 1 3 1 2 3 5 4 3 14( )− −( ) − − − − − +=a a a a ax y = − −4 4 2 3x ya a


285

Ejem

plos

EJEMPLOS

EJERCICIO 30Realiza las siguientes divisiones de monomios:

1. 9

3

6 10

2 5

a b

a b 9.

12

18

3 2 4

2 3

x y z

xy z17. − ÷ −3

5

4

53 2a b a b

2. 42

7

9 2

5 2

x y

x y−10.

2

8

4 5

3 2

x y z

x y18.

2

3

1

65 3 3xy z z÷ −

3. −

−26

13

5 6

3

a b

b11.

12

6

10 4 5 2

3 2 2 1

x y

x y

a b

a b

− −

+ +−19. − ÷ −7

8

3

42a b abm n

4. 32

8

5 6

3 2

p q

p q− 12. −−

− +

+ −

10

2

5 5 4 2

4 1 2 5

a b

a b

n n

n n20. − ÷ −2

924 5x y

5. 36

12

10 8

2 7

a b

a b−13.

48

16

2 3 3 2

1 2 5 3

a b c

a b c

x x x

x x

+ −

+ −−21. 3

1

34 5 6 4 5m n p m np÷ −

6. −−25

5

12 9

6 3

a b

a b14.

−−

−20

6

5 2 9 2

3 5 2

x y z

x y z

m n m

22. − ÷3

8

3

43 5c d d x

7. −6

18

8 9

4 7

x y

x y15.

x y z

x y z

a a

a a

2 1 3 4 5

2 1 3 4 5

− −

− − 23. 3

2

3

42 5 5 7a b a bm n m n− − − −÷

8. −44

66

5 8

3 2

a b

a b16. − ÷ −7

8

5

22 5 8 5 6a b c ab c 24.

3

4

2

31 2 2 3 4a b a bm n m n+ + − −÷


Polinomio entre monomioSe divide cada término del polinomio entre el monomio, como se muestra en los siguientes ejemplos.

1 Efectúa

2 54 3 2

2

x x x

x

− +−

.

Solución

Se divide cada término del polinomio entre el monomio.

2 5 2 52 5

4 3 2

2

4

2

3

2

2

24 2x x x

x

x

x

x

x

x

xx x

− +−

=−

−−

+−

= − +− 33 2 2 2− −− x

= − + − = − + −2 5 2 5 12 0 2x x x x x

2 Determina el cociente de:

16 12 6

4

6 5 4 6 2 3 9

2

x y z x y z x y

x y

− +−

.

Solución

Al aplicar los pasos del ejemplo anterior se obtiene:

16

4

12

4

6

44

6 5

2

4 6 2

2

3 9

26x y z

x y

x y z

x y

x y

x yx

−−

−+

−= − −22 5 1 4 2 6 1 2 3 2 9 13

3

2y z x y z x y− − − − −+ −

= − + −4 33

24 4 2 5 2 8x y z x y z xy

El resultado es: − + −4 33

24 4 2 5 2 8x y z x y z xy


286

3 ¿Cuál es el cociente de

4 8 12

6

2 1 3 2 3

2

x x x

x

m m m

m

+ − +

−

+ −?

Solución

El monomio divide a cada uno de los términos que conforman el polinomio.

4

6

8

6

12

6

4

6

2 1

2

3 2

2

3

22 1x

x

x

x

x

xx

m

m

m

m

m

mm

+

−

−

−

+

−++ − = (( )− −( ) −( )− −( ) +( )− −( )+ −m m m m mx x2 3 2 2 3 28

6

12

6

= + −+ − + − − + + − +2

3

4

322 1 2 3 2 2 3 2x x xm m m m m m

= + −+2

3

4

323 2 5x x xm m

Por consiguiente, el resultado es: + −+2

3

4

323 2 5x x xm m

EJERCICIO 31Realiza las siguientes divisiones:

1. x x

x

2 2+11.

1

5

1

465 7 4 5 3 4 3 2a b a b a b a b− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷

2. 4 2

2

3 2

2

x x

x

+12.

1

4

3

2

1

6

3

48 7 6 6 4 3 2a b a b a b ab− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷ −

3. 8 20

4

2 3

2

x y x

x

−13.

3

5

2

3

4

3

4

157 9 8 7 4 5 5x y x y x y xy− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷

4. 2 3 2x x x

x

− +14.

1

6

4

3

1

3

6

58 7 6 5 5 10 4 3x y x y x y x y− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷ −

5. 2 6 8

2

4 3 2

2

x x x

x

+ −15.

1

2

2

3

1

8

5

210 8 8 7 5 6 3 5 2 3x y x y x y x y x y− + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷ −

6. 8 10 12

4

6 4 3

2

x x x

x

− −−

16. a b c a b c a b c

a b c

x y z x y z x y z

x y z

2 3 4 3 4 5 4 5 6

2 3 4

6 81

2

+ −

7. 27 15 3

3

4 6 3 6 2

2

m n m n mn

mn

− +17.

x y x y

x y

a a a a

a a

2 1 3 5 6 2 6

2 3 7

12

6

− + + −

+ −

−

8. 32 48

8

7 5 6 4 4 3

3

a b a b a b

ab

+ −18.

16 12 8

4

5 3 7 1 4 2 6 5 3 4 5

2 5

a b a b a b

a b

m m m m m m

m

− + + − −

−

− +− 44 1m+

9. 28 49 7

7

9 6 7 3 2

2

x y x y x y

x y

− −19.

20 50 8

10

6 4 3 10 7 2 3 1 5 5

2 2 2

a b a b a b

a b

m n m n m

m

− + − −

+

− +− nn

10. 1

4

5

2

1

22a a a−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷

20.

3

4

1

6

1

31

12

2 3 4 1 2 3 4

2

x y z x y z x y z

x

a b c a b a b− − − − − − −+ −

−− − −3 3 2 1a b cy z



287

Ejem

plos

EJEMPLOS

Polinomio entre otro polinomioA continuación se enlistan los pasos a seguir para realizar esta operación:

1 Efectúa la siguiente operación:

3 5 2

3 2

2x x

x

− +−

.

Solución

1. Se colocan los polinomios como en la división con números reales, y se ordenan según convenga con respecto a los exponentes:

3 2 3 5 22x x x− − +

2. Se toma el primer término del dividendo, se divide entre el primer término del divisor y el resultado se coloca en

la parte de arriba: 3

3

2x

xx= .

3 2 3 5 22xxx x− − +

3. Se multiplica el resultado de la división por cada uno de los términos del divisor; a cada resultado se le cambia el signo y se acomoda debajo del dividendo con su término semejante: (x)(3x) = 3x2; (x)(− 2) = − 2x.

3 2 3 5 23 2

2

2x

xx xx x

− − +− +

4. Se reducen los términos semejantes y se baja el siguiente término del dividendo, a la expresión resultante se le llama primer residuo.

3 2 3 5 23 2

3 2

2

2x

xx xx x

x

− − +− +

− +

5. Se repite el primer paso, es decir, se divide el primer término del primer residuo que resultó de la reducción anterior

entre el primer término del divisor y se escribe el resultado arriba: −3

3

x

x = −1.

3 2 315 2

3 23 2

2

2x x

xx

x xx

− −−

+− +

− +

6. Se multiplica el resultado de la división anterior por cada uno de los términos del divisor y se escribe el resultado deba-jo de cada término semejante del residuo anterior (no olvides cambiar el signo): (−1)(3x) = − 3x; (−1)(− 2) = 2.

3 2 315 2

3 23 23 2

2

2x x

xx

x xxx

− −−

+− +

− +−

7. Se realiza la suma y si el residuo es cero como en el ejemplo, la división terminó; en caso contrario, se siguen los pasos anteriores hasta obtener cero como residuo o algún polinomio de grado menor al del divisor.

3 2 315 2

3 23 23 2

0

2

2x x

xx

x xxx

− −−

+− +

− +−

Por tanto, el resultado del cociente es: x − 1


288

2 Efectúa la siguiente operación:

5 21 8

3

2 2a b ab

a b

− ++

.

Solución

Al emplear los pasos del ejemplo anterior:

5a − 7ba + 3b 5a2 + 8ab − 21b2

− 5a2 − 15ab− 7ab − 21b2

7ab + 21b2

0

55 5 3 5 15

22a

aa a a b a ab= → ( ) +( ) = +

− = − → −( ) +( ) = − −77 7 3 7 21 2ab

ab b a b ab b

Por consiguiente, el cociente es: 5a − 7b

En una división de polinomios, si al dividendo le falta uno de sus términos, se deja indicado el espacio que ocupa dicho término o se escribe con coefi ciente 0.

Ejemplo

¿Cuál es el resultado de − + − −+ +

2 1

1

4 2

2

a a a

a a?

Solución

Se ordena tanto el dividendo como el divisor en orden decreciente con respecto a los exponentes y, en el caso del dividendo, se deja el espacio correspondiente al término de exponente 3:

a2 + a + 1 a4 + 0a3 − a2 − 2a − 1

Se realiza la división como en los ejemplos anteriores:

a2 − a − 1 a2 + a + 1 a4 + 0a3 − a2 − 2a − 1 − a4 − a3 − a2

− a3 − 2a2 − 2a a3 + a2 + a − a2 − a − 1 a2 + a + 1 0

a

aa a a a a a a

a

aa a a

4

22 2 2 4 3 2

3

2

1= → ( ) + +( ) = + +

− = − → −( ) 22 3 2

2

22 2

1

1 1 1

+ +( ) = − − −

− = − → −( ) + +( ) = − −

a a a a

a

aa a a aa −1

El resultado de la división es: a2 − a − 1

EJERCICIO 32Determina el cociente de las siguientes divisiones:

1. x x

x

2 3 2

1

+ ++

4. x x

x

2 7 12

4

+ ++

2. x x

x

2 4 3

3

+ ++

5. x x

x

2 4 12

2

− −+

3. x xy y

x y

2 25 6

2

+ ++

6. x x

x

2 3 18

3

+ −−


289

7. m mn n

m n

2 211 28

7

− +−

25. 12 13 59 30

4 5

3 2x x x

x

+ − +−

8. x xy y

x y

2 29 10− −+

26. 8 44 44 42

4 8 6

3 2

2

a a a

a a

− + +− −

9. n n

n

4 2

2

2 48

8

+ −+

27. x y x y3 3−( ) ÷ −( )

10. m m

m

6 3

3

20

5

− −−

28. 8 27 3 23 3x y y x+( ) ÷ +( )

11. x x

x

8 4

4

11 18

9

+ ++

29. x y x y6 6 2 28 2−( ) ÷ −( )

12. x x

x

12 6

6

9 14

2

− +−

30. a a a4 1−( ) ÷ −( )

13. 9 6 35

3 5

2x x

x

− −+

31. x x x

x x

3 2

2

48 64 12

16 8

+ − −+ −

14. 16 4 6

4 2

2m m

m

− −+ 32.

4 5 6

2 2

4 2 2 3 4

2 2

x x y xy y

x xy y

+ − −− −

15. 15 28

3 4

2a a

a

− −+

33. 6 8 2

2 1

4 2 3

2

x x x x

x x

− − + +− −

16. 8 6 27

4 9

2 2a ab b

a b

− −−

34. 3 2 3 6 2

2

4 3 2

2

x x x x

x x

+ + − −+ −

17. 49 56 15

7 5

2m m

m

− +−

35. 4 4 13 11 4

2 4

4 3 2

2

x x x x

x x

− − + +− +

18. 15 28

5 7

2 2a ab b

a b

− −−

36. 6 19 12 43 30

3 5 6

4 3 2

2

x x x x

x x

− − + +− −

19. 7 31 12

4

2 2m mn n

m n

− +−

37. 4 26 79 20 42

8 6

4 3 2

2

a a a a

a a

+ − − ++ −

20. 12 5 2

4

2 2x xy y

x y

− −+

38. 12 36 29 38 24

2 5 6

4 3 2

2

x x x x

x x

− − + +− −

21. 18 21 15

6 3

4 2 2 4

2 2

m m n n

m n

− −+

39. 28 17 18 23 24

4 3 6

4 3 2

2

x x x x

x x

− + + −− +

22. 9 9 40

3 8

4 2

2

m m

m

− −−

40. 5 9 23 36 12

4

4 3 2

2

x x x x

x

− − + +−

23. 20 9 18

4 3

6 3

3

m m

m

− −+

41. 12 9 11 6 2

3 2

4 3 2

2

x x x x

x

+ − − +−

24. 15 34 9 10

3 5

3 2m m m

m

− + +−

42. 10 41 9 38 14

2 7

4 3 2 2 3 4a a b a b ab b

a b

− + + +−


290

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN

43. 8 32 16 19 34 19 10

2 5

6 5 4 3 2x x x x x x

x

− + + + + −−

49. a ab a b b

a b

m y m y− − +−

− −1 1

44. 513

18

2

33

4

32 2a ab b a b− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 50.

m m m

m m

a a a+ −− ++ +

2 2

2

2

2 1

45. 4

5

203

75

2

15

1

5

2

32 2x xy y x y− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 51.

m m m m

m m

x x x x

x x

2 3 2 2 2 1 2

1

4 2+ + +

+

+ + −+

46. 63

2

1

12

3

2

1

42 2m mn n m n− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 52.

m m m m m

m m

x x x x x

x x

2 5 2 4 2 3 2 2 2 1

3 1

2 3 4 2

2

+ + + + +

+ +

+ − − +−

47.

5

8

3

2

17

18

4

35

2

2

32

3 2

2

a a a

a a

+ − −

− −

53. − + + − +

−

+ − − −

−

30 46 5 23 3

8

5 1 5 5 1 5 2 5 3

3 3

m m m m m

m

x x x x x

x mm mx x3 2 3 16− −+

48. x x xa a+ +( ) ÷ +( )3 1 54. − + + − − +

−

+ + + − −

−

x x x x x x

x x

m m m m m m

m

2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2

3

2 2 4mm mx− −+1 2


1 Una empresa construye estructuras prediseñadas para casas y edifi cios. Si x representa el número de estructuras y los costos de producción son: x 2 + 12x − 1 200 para las casas y 3x 2 + x + 2 000 para los edifi cios, ¿cuál es el costo total de producción de la compañía?

Solución

El costo total se obtiene al sumar el precio de las casas y el de los edifi cios.

x x2 12 1200+ − 3 20002x x+ +

4 x2 + 13x + 800

Por tanto, la empresa gasta: 4 13 8002x x+ +

2 El largo de un terreno en metros lo determina la expresión 2 3 22a a+ + y su ancho lo representa 2a − 1, ¿cuál es la superfi cie del terreno en metros cuadrados?

Solución

Para obtener la superfi cie del terreno se multiplica su largo por su ancho.

2 3 22a a+ + 2 1a −

4 6 43 2a a a+ + − − −2 3 22a a

4 4 23 2a a a+ + −

Entonces, la superfi cie del terreno es de: 4 4 23 2a a a+ + − metros cuadrados.

×

+

+


291

3 Al adquirir 2x + 3 artículos se paga un importe de 10x2 + 29x + 21 pesos, ¿cuál es el precio unitario de los artículos?

Solución

Para obtener el precio unitario, se divide el importe total entre el número de artículos.

5x + 7

2x + 3 10x2 + 29x + 21

− 10x2 − 15x

14x + 21

− 14x − 21

0

El costo de cada artículo es: 5x + 7 pesos.

4 Observa el siguiente plano de distribución de una casa, la cual se proyecta en un terreno rectangular.

De acuerdo con él, calcula la superfi cie que abarca la construcción, excepto el corredor.

Solución

Se calcula el largo y ancho del rectángulo que abarca la construcción:

Largo = (6x + 1) + (2x − 1) + (5x + 3) = 13x + 3

Ancho = (3x + 2) + x + (5x − 3) + (2x − 1) = 11x − 2

Se obtiene el área del rectángulo que ocupa la casa y la del corredor:

Área del rectánguloÁrea = (Largo)(Ancho) = (13x + 3)(11x − 2) = 143x2 − 26x + 33x − 6 = 143x2 + 7x − 6

Área del corredorÁrea = (Largo)(Ancho) = ((6x + 1) + (2x − 1))(2x − 1) = (8x)(2x − 1) = 16x2 − 8x

5x + 2 3x − 1

3x + 2

5x + 2

5x − 3

x

2x − 1

6x + 1 5x + 32x − 1

3x − 1

4x − 3

x + 1

3x + 1Recámara Recámara

ComedorSala Estancia

Baño

CocinaCorredor


292

Para saber cuál es la superfi cie, se resta al área del rectángulo el área del corredor:

A = (143x2 + 7x − 6) − (16x2 − 8x)

= 143x2 + 7x − 6 − 16x2 + 8x

= 127x2 + 15x − 6

Por tanto, la superfi cie es: 127x2 + 15x − 6

EJERCICIO 33Resuelve los siguientes problemas.

1. Una partícula recorre 5 4 72t t+ + metros, después recorre t 2 4− y, fi nalmente, − +5 3t metros. ¿Cuál es la distancia total de su recorrido?

2. Una empresa obtiene con la venta de un artículo un ingreso de 3 7 6 4002x x− + y sus costos de producción son de 2 9 20002x x− + . ¿Cuál es la utilidad que obtiene dicha compañía?

3. Un obrero pinta una barda, cuya superfi cie es de 8 6 92 2x xy y+ + metros cuadrados, si le faltan por pintar 3 82 2x y+ metros cuadrados, ¿qué superfi cie lleva pintada?

4. Un producto tiene un precio en el mercado de 5y + 3 pesos, si se venden 3y + 1 productos. ¿Cuál es el ingreso que se obtuvo?

5. Si un terreno rectangular mide 4x − 3y metros de largo y 5x + 2y metros de ancho, ¿cuál es su superfi cie?

6. Las dimensiones de una caja en decímetros son: 2w − 3 de largo, 3w + 1 de ancho y 2w + 1 de altura. ¿Cuál es su volumen?

7. Se tienen 12 5 22 2x xy y− − litros de aceite y se van a envasar en botellas de 3x − 2y litros de capacidad, ¿cuántas botellas se van a emplear?

8. Un móvil se mueve a razón de 3 4 23 2t t t− + − metros por segundo, calcula la distancia que recorre en un tiempo de 2t + 1 segundos (distancia = (velocidad)(tiempo)).

Utiliza el plano del ejemplo 4 de la página anterior, para calcular lo siguiente:

9. La superfi cie de las recámaras.

10. El área del baño.

11. La superfi cie de la cocina.

12. El área del comedor.


conceptos de algebra

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