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Matemática I. Ciclo técnico profesional. ITSA Atlántico Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 2.0

22

Unidad 2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA

Competencias a desarrollar:

Describir situaciones del lenguaje común, mediante el lenguaje del Algebra.

Realizar operaciones entre polinomios.

Factorizar un polinomio dado.

Realizar operaciones entre fracciones algebraicas.


23

Unidad 2 Conceptos fundamentales del Algebra

Expresiones algebraicas: están formadas por variables, constantes y por operaciones de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias o raíces. Por ejemplo:

254 2 xx 3332 64 yxyx yxxyz 223

253 sr yx

yx

22

Una expresión algebraica, que contiene solamente las operaciones: suma, resta y multiplicación, sobre las constantes o variables, como por ejemplo

152 23 xxx , se denomina polinomio. Definición de polinomio: Un polinomio en x es una suma algebraica de la

forma 0

2

2

1

1 ... axaxaxa n

n

n

n

n

n

, donde los coeficientes naaa ,...,, 10 , son

números reales y n es un entero no negativo. El grado del polinomio es el valor de la potencia más alta de la variable. En un polinomio, cada una de las partes separadas por un “signo más” o por un “signo menos” se denomina términos del polinomio; en un término se aprecian tres elementos fundamentales: el signo, el coeficiente y la parte variable.

Ejemplo Coeficientes Grado

4753 34 xxx 4,7,5,3 4

xxx 29 28 2,9,1 8

15 2 x 1,5 2

27 x 2,7 1

8 8 0 Términos semejantes Se dice que dos o más términos son semejantes si difieren únicamente en su

coeficiente. Por ejemplo 324 yx y 326 yx son términos semejantes pero 23xy y

yx27 no son términos semejantes ya que yxxy 22 ;

Reducción de términos semejantes Reducir significa reunir en uno solo varios términos. Para reducir términos semejantes se suman algebraicamente los coeficientes y se coloca la misma parte variable. Ejemplo Reducir:


24

a. yxyxyxyx 2222 923584

En este caso 92 es el resultado de sumar 84 + 5 + 3.

b. 22222 235143 ababababab En este caso 23 es el resultado de sumar 3 + 14 + 1 + 5. El signo menos (-) proviene del signo menos (-) de cada uno de los términos.

c. yxyxyxyxyx 22222 248413

yxyx 22 3218

yx214

En este caso, 18 es el resultado de sumar 13 + 4 + 1 y 32 es el resultado de sumar 8 + 24; el signo menos por la misma razón del ejemplo anterior. 14 es el resultado de 32 – 18. El signo menos (-) aparece por ser el signo del coeficiente mayor.

Operaciones con Polinomios: Adición: Para sumar o restar polinomios se puede proceder de la siguiente manera:

i). Se suprimen los signos de agrupación. ii). Se reducen los términos semejantes.

Ejemplo: Ejecutar las operaciones indicadas.

a. abaccaba 22 4323

= abaccaba 22 4323

= ccababaa 3243 22

= caba 42

b. 22253532 151064343 rssrrssrsrsr

= 22253532 151064343 rssrrssrsrsr

= 2532 98213 rssrsr

c. 22222 1065734 babababba

= 22222 1065734 babababba

= abba 136 22

Multiplicación Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada término del primero por cada uno de los términos del segundo y luego se procede a reducir términos semejantes, si los hay. En la multiplicación lo que se hace realmente, es aplicar repetidas veces la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Ejemplo: Efectuar los siguientes productos.


25

a.

32

3

2yx

yxa 42

5

3

i).

ii). 5

2

5

3

3

2

iii). 32 yx 4621342242 yxayxayxa

Luego

32

3

2yx

46242

5

2

5

3yxayxa

b. ba23

84

4

1 34223 cbabca

Aplicando la ley distributiva, se tiene:

= ba23 babca 223 34

1

bacba 2342 34 8

Y siguiendo el procedimiento para multiplicar, se obtiene

= bacbacba 2354225 24124

3

c. ba 22 .143 2 ba La ley distributiva nos permite escribir

1432143 222 babbaa

Una nueva aplicación de la ley distributiva nos da

bbbaabaa 28643 22224

= bbabaa 28103 2224

Productos Notables Existen algunos productos cuyos resultados se pueden determinar fácilmente siguiendo ciertas reglas. Estudiaremos los siguientes:

a) Cuadrado de la suma de dos términos

2222 bababa

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Ejemplo:


26

Calcule 243 83 ba

244323243 8832383 bbaaba

= 8436 64489 bbaa

b) Cuadrado de la diferencia de dos términos

2222 bababa

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Ejemplo:

Calcule 2nm yx

2222 nnmmnm yyxxyx

nnmm yyxx 22 2

Los dos productos anteriores se pueden resumir así:

2222 bababa

c) Cubo de una suma o una diferencia de dos términos:

3223333 babbaaba

El cubo de una suma (o diferencia) de dos términos es igual al cubo del primero más (o menos) el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más (o menos) el cubo del segundo.

Las potencias nba , se obtienen aplicando el teorema del binomio o

el triángulo de Pascal.

(Investiga los métodos Binomio de Newton y Triángulo de Pascal, para el

desarrollo de potencias de un binomio, nba


27

d) Producto de una suma por una diferencia:

22 bababa

El producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término (o sea una diferencia de cuadrados).

Ejemplo:

yxyx 55 22 = 222 5yx 24 25yx

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

1. )3523()1127( 2323 xxxxxx 2. )28()226( 223 xxxxx

3. )73)(52( xx 4. )5)(34( yxyx

5. )2(4)4)(32( uuuu 6. )1(7)2)(13( uuuu

7. )592)(53( 2 xxx 8.

xyxy

5

237

3

1

9. 2

42233

3

396

ab

abbaba 10.

23

2222543 )(23

vu

vuvuvu

11. xyz

zxyyzx 2326 12.

yx

yxyx2

332

2

108

Ejercicios 13 al 22. Resuelve directamente:

13. )45)(45( yxyx 14. )3)(3( 33 yxyx

15. 24y)-(5x 16. 222 )52( yx

17. ))(( yxyx 18. 3)2( yx

19. 33y)(2x 20. ))((31

31 xx

21. 34y)(3x 22. 5yx


28

División de Polinomios: a) División de un monomio entre un monomio Para resolver esta operación se deben realizar los siguientes pasos:

i. Cociente de los signos, como en el producto.

ii. Coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.

iii. Cociente de las partes variables, que se efectúa aplicando la ley de los exponentes para la división, que dice: Para dividir dos potencias que tengan la misma base, se escribe la misma base y se restan el exponente del dividendo y el exponente del divisor.

426

2

626 aa

a

aaa

Ejemplos:

Divida 52812 zyx entre 3554 zyx =

233355258

355

528

334

12zyxzyx

zyx

zyx

20312

23

2

2

5

2

5

pnm

pmn

nm kk

23

2

5 pmnk

Observe que knm25 es equivalente a 025 pnm k

b) División de un polinomio entre un monomio Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, siguiendo el procedimiento anterior así: Ejemplo:

241233

32

2

32

2

32

5

32

225

32225

2

3

2

15

8

9

3

2

3

2

5

3

24

3

3

2

54

3

3

25

4

3

mxmxmx

mx

mx

mx

m

mx

x

mx

mxmx

mxmxmx


29

c) División de polinomios:

Para dividir dos polinomios, se deben realizar los siguientes pasos:

i. Se ordenan en forma decreciente, con respecto al exponente, ambos polinomios.

ii. Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término

del divisor y obtenemos el primer término del cociente.

iii. Se multiplica este primer término del cociente por todos los términos del divisor. El producto así obtenido se resta adecuadamente del dividendo.

iv. La diferencia obtenida se considera como el nuevo dividendo y se

continúa con el procedimiento como en los pasos anteriores, hasta que el grado del dividendo sea estrictamente menor que el grado del divisor.

Al proceso anterior se le conoce como división larga de polinomios. Ejemplo:

a) Divida: 1101276 234 xxxx entre 42 2 xx

1101276 234 xxxx 42 2 xx

234 1236 xxx 123 2 xx

11004 23 xxx

xxx 824 23

122 2 xx

42 2 xx 53 x

Tenemos como cociente 123 2 xx y como residuo 53 x

b) Divida: 163 x entre 422 xx

1600 23 xxx 422 xx

xxx 42 23 2x

1642 2 xx

842 2 xx 88 x

Tenemos como cociente 2x y como residuo 88 x


30


Encuentra el cociente y residuo si xf se divide entre xp .

1. 12732 234 xxxxxf ; 3)( 2 xxp

2. 623 34 xxxxf ; 1)( 2 xxp

3. 423 3 xxxf ; 12)( 2 xxp

4. 8453 23 xxxxf ; xxxp 22)(

5. 49 xxf ; 52)( xxp

6. 1037 2 xxxf ; 102 xxxp

d) División Sintética: La División sintética es un método resumido de la división larga de polinomio

pero sólo es aplicable, cuando se trata de dividir un polinomio xP entre rx ,

siendo r un número real cualquiera

1. Escriba xP en la forma 01

2

2

1

1 ... axaxaxaxa n

n

n

n

n

n

y si falta

algún término anótelo con coeficiente cero,

2. Escriba los coeficientes xP ordenados en una fila horizontal.

3. Baje el primer coeficiente de na de xP a la última fila.

4. Multiplique na por r , y escriba el producto en la segunda línea debajo del

coeficiente 1na ; sume el producto a 1na , y escriba la suma en la fila

inferior. 5. Multiplique esta suma por r y escriba el producto en la segunda línea

debajo del coeficiente 2na ; sume el producto a 2na , y escriba la suma

en la última fila. 6. Repita el proceso de los pasos 4 y 5 hasta que sea posible. 7. El último número del renglón inferior es el residuo, y los números

precedentes son los coeficientes de los términos sucesivos del cociente,

el cual es un polinomio cuyo grado es menor que el de xP en 1.


31

Ejemplo: Emplea la división sintética para dividir 573 23 xxx entre .1x Los coeficientes del dividendo son 3, -7,1 y 5, y 1r Las flechas indican el orden en el cual los números son determinados. 3 -7 1 5 1 3 -4 -3 3 -4 -3 2 Debido a que el último renglón está formado por los números 3, -4, -3 y 2, el

cociente es 343 2 xx , y el residuo es 2. Por tanto,

23431573 223 xxxxxx

Ejemplo: Emplea la división sintética para dividir 763 25 xx entre .2x

Los coeficientes de )(xP son: 3, 0, 0, 6, 0, 7 y además como el divisor es 2x ,

entonces 2r , luego: 3 0 0 6 0 7 -2 -6 12 -24 36 -72 3 -6 12 -18 36 -65 Debido a que el último renglón está formado por 3, -6, 12, -18, 36 y -65, el

Cociente es 36181263 234 xxxx y el residuo es -65.


Encuentra el cociente y residuo si xf se divide entre xp , empleando la

división sintética

1. 4432 23 xxxxf ; 3)( xxp

2. xxxxf 23 4 ; 2)( xxp

3. 738 25 xxxf ; 21)( xxp

4. 410283 234 xxxxxf ; 2)( xxp

5. 3894 23 xxxxf ; 3)( xxp

6. xf = 163927 234 xxxx ; 31)( xxp


32

Factorización: Factorizar una expresión algebraica significa escribirla como un producto de dos o más factores.

La expresión 523 xx está factorizada porque se encuentra expresada

como un producto, en este caso de dos factores; por el contrario la expresión

2614 xyx no está factorizada ya que, aunque aparece un

producto, la expresión se encuentra escrita como una suma. Descomponer en factores, o factorizar, es particularmente importante cuando tengamos que simplificar fracciones algebraicas o resolver ciertas clases de ecuaciones. A continuación se muestran ciertos métodos de factorización elementales y directos.

a) Factor común: cbaacab

a es el factor común de los términos ab y ac . (Esto es como si aplicáramos la ley distributiva “hacia atrás”)

Ejemplos:

a. 5321062 2323 xxxx

b. 12224 xxxx

c. 2224222 32123624 xyaxyyxxya

d. bdadbcacbdadbcac

dcbabadbac

e. xaaxxxaxax 222222

2

2

1

11

axx

xaxx

b) Trinomio cuadrado perfecto Una expresión algebraica es un cuadrado perfecto cuando es el cuadrado otra expresión; esto es, cuando es el producto de dos factores iguales. Ejemplos:

a. 29x es un cuadrado perfecto

22 39 xx

xx 33


33

b. 84 3610881 aa es un cuadrado perfecto

2484 693610881 aaa

c. 22 816 yxyx es un cuadrado perfecto

222 4816 yxyxyx

Observe lo siguiente:

22 816 yxyx

24x 2

y

yx42

Luego para reconocer cuándo una expresión es un trinomio cuadrado perfecto, debemos verificar que en dicha expresión dos de los términos sean cuadrados perfectos (ambos positivos o ambos negativos) y el otro término sea el doble producto de las raíces de los dos anteriores. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se escribe dicho trinomio como el cuadrado de la suma o diferencia de las raíces de sus cuadrados perfectos.

Ejemplo:

a. 422 25309 baba

23a 225b

2532 ba

Luego 22422 5325309 bababa

b. 4

224 yyxx

2

2

2

222

2222

yx

yyxx

c. 421236 mm

22

42

6

1236

m

mm


34

c) Diferencia de dos cuadrados

Consideremos expresiones de la forma 22 ax Por un producto notable visto anteriormente (producto de una suma por una diferencia) podemos afirmar lo siguiente:

axaxax 22

Ejemplos:

a. 3392 xxx

b. 222244 yxyxyx

yxyxyx 22 Factorizado totalmente

c. 12531253125322

xxxxxx

645 xx

d. 2222 xxx

d) Complementación del cuadrado perfecto No todos los trinomios son cuadrados perfectos, por ejemplo:

4224 bbaa no es un cuadrado perfecto, ya que, aunque existen dos

cuadrados perfectos ( 4a y 4b ) , el tercer término no corresponde al doble producto de las raíces de los cuadrados. Para transformar la expresión inicial en cuadrado perfecto, completamos con el término que hace falta, así:

422222244224 bbababaabbaa

224224 2 babbaa

Observe que la expresión dentro del paréntesis es ahora un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto

2242244224 2 babbaabbaa

abbaabba

baba

2222

22222

y luego, por diferencia de cuadrados


35

Ejemplo; Factorice

4248 92516 yyxx

244x 223y

24

24

24

342

yx

yx

Luego 4248 92516 yyxx

yxyxyxyx

yxyx

yxyyxx

224224

24224

244248

3434

34

92416

No siempre al completar un cuadrado perfecto obtenemos una diferencia de cuadrados y por consiguiente no se puede hacer la factorización; sin embargo, el completar el cuadrado es una metodología de muchas utilidades en matemáticas

e) Factorización de una expresión de la forma nmxx 2

Algunas expresiones de esta forma son:

158

813

65

2

2

2

zz

yy

xx

Si las expresiones anteriores se pueden escribir de alguna de las siguientes formas:

baxbax

baxbax

baxbax

baxbax

2

2

2

2

4

3

2

1

Se factorizan así, respectivamente:

bxax

bxax

bxax

bxax


36

Ejemplo:

Factorice:

a. 1272 xx Como la expresión anterior se puede escribir de la forma (1),

34342 xx

Entonces:

3434127 22 xxxx

34 xx

b. 2525103 22 xxxx

25 xx

c. 4646242 22 xxxx

46 xx

d. 2727149 22 xxxx

27 xx

Observe que 8132 yy no se puede escribir de ninguna de las cuatro

formas anteriores; por tanto, no es factorizable utilizando este método.

f) Suma o diferencia de Cubos:

Suma de cubos: ))(( 2233 babababa

Diferencia de Cubos: ))(( 2233 babababa

Las dos igualdades anteriores son fácilmente verificables si desarrollamos los productos indicados: Ejemplos:

Factorizar 827 3 x

327x y 8 son cubos perfectos, sus raíces cúbicas son: x3 y 2, luego su factorización es :

)469)(23(827 23 xxxx


37


23. strs 4 24. baa 22 63

25. 2332 93 yxyx 26. 462453 102515 yxyxyx

27. 344253 5577121 srsrsr 28. byaybxax 362

29. 22 362 xxyaxyay 30. 272733 23 xxx

31. 4020105 23 xxx 32. 22 34 xxx

33. 432 xx 34. 6652 xx

35. 652 xx 36. 652 xx

37. xxx 633 23 38. )2()2(3 bba

39. 21538 2 xx 40. 25204 2 xx

41. 21527 2 xx 42. 8107 2 xx

43. 93025 2 zz 44. 104121 2 xx

45. 24 64wz 46. 24 4xx

47. 252 x 48. 24 1219 xy

49. xx 253 50. 116 x

51. 168 x 52. 22 4875 yx

53. 6364 yx 54. 18 3x


38

FRACCIONES ALGEBRAICAS El cociente de dos expresiones algebraicas se llama expresión fraccionaria o fracción algebraica. Un tipo especial de fracción algebraica es el cociente de dos polinomios, al que se le denomina expresión racional. Dado que no está definida la división entre cero, el dominio de la expresión racional, estará formado por todos los números reales, excepto los que hacen que el denominador sea cero. Ejemplos: Expresión Racional Dominio

16

5272

3

x

xx Toda 4x

2

52

x

x Toda 2x

3

32 2

yx

yxyx

Todas x e y tales que 3yx

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES: Puesto que las variables de expresiones racionales representan números reales, podemos usar sus propiedades, en particular utilizaremos con

frecuencia la siguiente propiedad de los cocientes bc

ac=

b

a (si )0, cb

Se dice que una expresión racional está simplificada si el numerador y el denominador no tienen ningún factor en común. Para simplificar una expresión racional, se factorizan numerador y denominador y entonces, suponiendo que los factores del denominador no son cero, se cancelan los factores comunes como en los siguientes ejemplos.

1.

777

7

49

72

2

x

x

xx

xx

x

xx


39

2.

4

2

4

24

168

8622

2

x

x

x

xx

xx

xx

3.

3

3

335

53

95

5962

22

2

xx

x

xxxx

xx

xxx

xxx

4.

2

3

932

933

1862

272

2

2

3

x

xx

xxx

xx

x

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Se suman (o restan) expresiones racionales escribiéndolas de manera que tengan el mismo denominador y después se suman (o restan) los nuevos numeradores. Supóngase que se busca sumar

1

23

xx

El común denominador apropiado es .1xx Recuérdese que se puede

multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por una misma cosa. De acuerdo con esto

1

35

1

233

1

2

1

13

1

23

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

El mismo procedimiento se utiliza en la resta.

1

332

1

23

1

2

xx

xx

xx

x

xx

1

3

1

332

xx

x

xx

xx

Otro ejemplo:

Sumar

12

12

1

322 xx

x

x

x


40

222

1

12

11

3

12

12

1

3

x

x

xx

x

xx

x

x

x Se factorizan denominadores y

se deduce que el común denominador apropiado es 112

xx , entonces

11

112

11

1322

xx

xx

xx

xx

11

132332

22

xx

xxxx

11

132332

22

xx

xxxx

11

162

2

xx

xx

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Se multiplican expresiones racionales de la misma manera que se hace con números racionales; esto es, se multiplican los numeradores y se multiplican los denominadores. Por ejemplo,

20

63

45

23

4

2

5

32

xx

x

xx

x

x

x

x

Algunas veces es necesario reducir el producto, si desea la respuesta más sencilla posible. Se ilustra esto a continuación.

yxyx

xx

yxy

x

x

x

965

2532

96

25

5

32 22

3235

5532

xyx

xxx

y

x

3

5

Este ejemplo muestra que es una buena idea factorizar primero todo lo que pueda. Esto hace posible la cancelación.


41

DIVISION DE FRACCIONES La división de fracciones se puede considerar un caso especial de la multiplicación, si se nos pide, por ejemplo, hacer la siguiente operación:

22

2

2 aaxx

xx

ax

x

, lo haremos cambiando a multiplicación, así:

1)1(

)(

)(

2

2

2

2

22

22

2

x

ax

xx

ax

ax

x

xx

aaxx

ax

x

aaxx

xx

ax

x

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Simplifica las siguientes fracciones:

1. 55

2

y

yy 2.

44

12

x

x 3. 2

33

)( ax

ax

4. 36

62

2

x

xx 5.

)4(

)2(2

3

x

x 6.

h

xhx )13(1)(3

7. 124

672

2

xx

xx 8.

2793

272

3

xx

x 9. 22

22

23

44

yxyx

zyxyzzx

10. 2234

23

484

22

yxyxx

xyx

11.

253

32

9124

37622

2

xx

x

xx

xx

12. 62

1284

43

86 234

23

2

x

xxx

xxx

xx 13. )469(

49

827 2

2

3

xx

x

x

Realiza las operaciones indicadas y simplifica al máximo las siguientes expresiones racionales:

14.

33

23

22

22

ba

baa

abba

baba 15.

3

22

1

962

2

x

x

x

xx

16. xx

x

x

x

32

4

)32(

22

2

17.

aa

aa

a

aa

2

42025

16

41252

2

4

2


42

18.

h

xhx

55

19. 22

32

y

yx

xyxy

20. y

x

yx

x

21.

x

xx1

11

2

22.

2

4

2

5

xx 23.

103

4

44

122

xxxx

x

24. xxxx 3

1

3

232

25. x

x

xx

x 1

12

2

26. 3

64

3

182

xxxx

27. 3

1

996

5222

xx

x

xx

x

28. 2

3

4

52

xx

x 29.

x

x

x

x

4

23

4

105

30.

32

2

3

1

3x

x

x

x

x

31.

2

1

1

3

1

xx

32.

2

2

)2(

12

2

x

x

x

x 33.

3

5

1

534

2

3

52

xx

xxx

unidad 2 conceptos fundamentales del algebra · matemática i. ciclo técnico profesional. itsa...

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