conceptos básicos de algebra

MATEMTICAS BIOANLISIS ULA 1

ESCUELA DE FARMACIA DEPARTAMENTO DE ANLISIS Y CONTROL

CATEDRA DE MATEMATICAS

GUIA 1. ALGEBRA (REPASO DE CONCEPTOS ELEMENTALES)

Prof. Enoch Vsquez


Nota Previa

Estos apuntes son un resumen de algunos de los conceptos bsicos

necesarios para seguir la asignatura de Matemticas en la Carrera de Bioanlisis.

En particular, se revisan conceptos de Algebra elemental, que han sido tratados en

los niveles de bachillerato segn los programas vigentes.

Este material no pretende reemplazar la lectura imprescindible de los

textos de matemticas, sino ofrecer una revisin rpida de conocimientos previos

para refrescar y facilitar el seguimiento del resto de la asignatura.


ndice

1. lgebra Smbolos matemticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2. Teora de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Correspondencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Nmeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. La recta real. Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Algunas propiedades de los nmeros reales

4. Potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Propiedades de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Propiedades de los radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Expresiones Algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Trminos Semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Tipos de Expresiones Algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Caractersticas de un polinomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Reglas de los Signos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Productos Notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Notacin Cientfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Descripcin Verbal y Lenguaje Matemtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Sistema de Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Distancia entre dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Punto medio de un segmento de recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Resolucin de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.1 Resolucin de ecuaciones cuadrticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Sistemas de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 4 5 6 8 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 15 16 17 18 18 19 21


1. lgebra y Smbolos matemticos

El lgebra clsica se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza smbolos en vez de nmeros especficos y operaciones aritmticas para determinar cmo usar dichos smbolos. El lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebra clsica al poner ms atencin en las estructuras matemticas y se considera al lgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Por ello, en su forma ms general se dice que el lgebra es el idioma de las matemticas.

En matemticas es preciso utilizar una buena nomenclatura para que los conceptos puedan ser manejados de forma clara, precisa y concisa. Aqu adquiere gran importancia los signos o smbolos matemticos, que estn constituidos por figuras, seales y abreviaturas utilizados en matemticas para denotar entidades, relaciones y operaciones.

En la siguiente tabla se proporcionan los smbolos matemticos ms utilizados:

= igual distinto

, mayor, mayor o igual , incluido o contenido , que contiene o incluye pertenece no pertenece equivalente aproximadamente igual a para todo, para cualquier, para cada existe no existe /, : tal(es) que

AB si ocurre A entonces ocurre B AB si ocurre B entonces ocurre A AB sucede A si y solo si (siempre y cuando) suceda B conjunto de nmeros naturales conjunto de nmeros enteros conjunto de nmeros racionales conjunto de nmeros reales

2. Teora de conjuntos

Un conjunto es un grupo de elementos que poseen una cierta propiedad. Si el conjunto no contiene elementos es llamado conjunto vaco y se denota por , se tiene que el conjunto vaco est incluido en cualquier conjunto.

Los conjuntos se denotan con letras maysculas y sus elementos se escriben en minsculas, se incluyen entre llaves y separados por comas:

A = {a, b, c}, B = {x}, C = {6, 30}.

Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es un subconjunto de A o que B est incluido en A si todos los elementos de B pertenecen a A. Se escribe


B A x A, x B

Ejemplo 2.1 Sea el conjunto A = {x, y, z, w}, que est constituido por cuatro elementos: x, y, z, w. Entonces se tiene que:

1. x A, y A, z A, w A. 2. a A. 3. B = {y, z} B A.

Se dice que dos conjuntos, A y B, son iguales si ambos estn formados por los mismos elementos:

A = B [x A x B]

Tambin se tiene que el conjunto vaco est incluido en cualquier conjunto.

Entre conjuntos se pueden realizar operaciones como la unin (), la interseccin () y la diferencia (). As, si A y B son dos conjuntos cualesquiera tendremos que: A B: es el conjunto constituido por los elementos de A y de B:

A B = {x : x A, y/o x B}.

A B : es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B:

A B = {x : x A, x B}.

Diremos que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando A B = .

A B: es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B:

A B = {x A : x / B}.

Si B A, se define el conjunto complementario de B en A como Bc = {x A : x / B}.

Ejemplo 2.2. Sea los conjuntos A = {a, b, c, d, f } y B = {x, y, s}, como se muestra en la figura 1.

Entonces, se tiene que: A B = {a, b, c, s, t, u, w, z} ; A B = {s, t, u}, A B = {a, b, c}; B A = {w, z}.

Ahora, dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de A y B

como el conjunto de pares ordenados

A B = {(a, b) : a A, b B} .

Ejemplo 2.3. Si A = {a, b, c} y B = {1, 2}, el producto cartesiano de ambos conjuntos

Figura 1.

a

b

c

s

t

u

w

z

A B


ser:

A B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} .

2.1 Correspondencias.

Dados dos conjuntos cualesquiera, A y B, se pueden establecer relaciones entre los elementos del conjunto A con los del conjunto B. As, se llama correspondencia de A en B a cualquier criterio que asigne elementos de B a elementos de A. Una correspondencia f de A en B se denota por

f : A B, Donde A es el conjunto inicial y B el conjunto final, la imagen de un elemento de A es el elemento o elementos de B que se le asignan, y la antiimagen de un elemento de B es el elemento o elementos de A a los que es asignado. De este modo, si b B es imagen de a A, se escribir:

f (a) = b.

Ejemplo 2.1.1. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}. Entre ambos puede establecerse una correspondencia f mediante la figura que sigue: Donde:

1. La imagen de 1 es a y b, 2. El elemento 2 no tiene imagen, 3. La antiimagen de c es 3, 4. El elemento e no tiene antiimagen.

Una aplicacin o funcin es una correspondencia que asigna a cada elemento

del conjunto inicial un nico elemento del conjunto final. Se tiene que f : A B es una aplicacin: Inyectiva si elementos distintos de A tienen imgenes distintas, es decir, si

a1, a2 A, a1 a2 f (a1) f (a2),

1

2

3

b c

d

A B

a

f

Figura 2.

e

a

y

b

c

d

A B

x

f

Figura 3. Funcin

w


o equivalentemente: a1, a2 A, f (a1) = f (a2) a1 = a2;

Sobreyectiva o suprayectiva si todo elemento de B tiene antiimagen, esto es, si b B, a A : f (a) = b,

o lo que es lo mismo, si f (A) = B; Biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, o sea, si

b B, !a A : f (a) = b

Si A, B y C son tres conjuntos, y f: A B y g: B C son dos aplicaciones, podemos definir una aplicacin de A en C haciendo uso de f y g, la composicin de f con g, que se denota por g o f:

g o f A B

C

y f( ) g( ) g(f( ))

3. Nmeros Reales

Los nmeros 1,2,3 son usados para contar. Normalmente se los conoce como el conjunto de los nmeros naturales, dicho conjunto se lo denota normalmente con la letra N, as:

N {1,2,3 }

Al sumar dos nmeros naturales el resultado es otro natural, pero al restar el resultado no necesariamente ser un nmero natural.

El conjunto de los nmeros enteros se define como:

Z {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

a

b

c

d

1

2

3

4

5

A f B

Aplicacin Inyectiva

a

b

c

d

1

2

3

A f B

Aplicacin Sobreyectiva

a

b

c

d

1

2

3

4

A f B

Aplicacin biyectiva

Figura 4. Tipos de Aplicaciones


Al realizar las operaciones de suma, resta y multiplicacin entre dos nmeros enteros el resultado es un nmero entero. Pero si dividimos dos nmeros enteros el resultado no necesariamente es un nmero entero.

Los nmeros racionales, Q, son el conjunto de nmeros fraccionarios y

nmeros enteros representados por medio de fracciones, de la forma

, donde m, n

son nmeros enteros con n distinto de cero. Asimismo existe una clasificacin de los nmeros racionales dependiendo de su expresin decimal, estos son:

Los nmeros racionales limitados, cuya representacin decimal tiene un nmero determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.

Los nmeros racionales peridicos, de los cuales sus decimales tienen un nmero ilimitado de cifras, pero de esas cifras se puede descubrir un patrn definido. Por ejemplo 0,6363636363 y 5,48176363636363

En las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin entre dos nmeros racionales se obtiene como resultado un nmero racional. Sin embargo no todos los nmeros decimales pueden ser representados como una fraccin, a estos se les denomina irracionales y tienen como definicin que son nmeros que poseen infinitas cifras decimales no peridicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Ejemplo, Pi es un nmero irracional y su valor es:

3,1415926535897932384626433832795 ...

Existen otros nmeros irracionales famosos como el nmero e llamado tambin nmero de Euler, y de l tambin se han calculado infinidad de decimales sin llegar a encontrar una repeticin peridica. Sus primeros decimales son 2,718281828459

Otro nmero irracional conocido es el ureo o razn de oro, representado con la letra griega o phi tambin es muy utilizado por muchos artistas, en especial se lo conoce por las proporciones corporales usadas por Leonardo da Vinci, cuya aproximacin es 1,618033988749

En matemticas, los nmeros reales (designados por ) incluyen tanto a los nmeros racionales (positivos, negativos y el cero) como a los nmeros irracionales.

3.1 La Recta Real y los Intervalos

Los nmeros reales pueden ser representados en la recta real, como se muestra en la figura 5. Para ello se traza una lnea recta y se escoge arbitrariamente un punto en ella, l cual representar el nmero 0. Se escoge una unidad de medida y a partir del 0 se hacen mediciones de una unidad tanto a la izquierda como a la derecha, los puntos medidos representan los nmeros enteros en el orden dado en la figura. Los puntos a la derecha del 0 representarn los nmeros positivos y a la izquierda estn representados los nmeros negativos.


Tambin es posible representar los denominados intervalos en la recta real; para ello, considrense dos nmeros cualesquiera a, b R tales que a < b. Se tienen los siguientes tipos de intervalos:

Intervalo abierto de extremos a y b: (a, b) = {x R : a < x < b}. Intervalo cerrado de extremos a y b: [a, b] = {x R : a x b}. Intervalos semiabiertos o semicerrados de extremos a y b:

(a, b] = {x R : a < x b} ; [a, b) = {x R : a x < b}

Intervalos infinitos:

(a, +) = {x R : x > a} ; (, a) = {x R : x < a} , [a, +) = {x R : x a} ; (, a] = {x R : x a}

En la figura 6 aparecen representados sobre la recta real los intervalos anteriores. Obsrvese que en dicha figura aparecen puntos representados como crculos huecos o crculos rellenos; esta es la notacin habitual para representar el extremo abierto del intervalo, en el primer caso, y el extremo cerrado del intervalo, en el segundo.

(a) Intervalos (a, b) y [a, b], respectivamente.

(b) Intervalos (a, b] y [a, b), respectivamente.

(c) Intervalos (a, +), [a, +), (, a) y (, a].

Figura 6. Intervalos en la recta real.

2.2. Algunas propiedades de los nmeros reales

A continuacin se enuncia las propiedades ms importantes de los nmeros reales, para ello se asumir en esta seccin que a, b, c y d son nmeros reales, entonces tenemos:

0 1 2 3 4 5 6 -5 -4 -3 -2 -1 -7 -6 -6

2 1,41421356 -0,5

Figura 5. Recta Real


Ejemplo

Propiedad conmutativa de la suma a + b = b + a 3 + 5 = 5 + 3

Propiedad conmutativa de la multiplicacin

a . b = b . a 4 . 5 5 4

Propiedad asociativa de la suma ( a + b) + c = a + ( b + c) (3 + 5)+2 = 3+(5+2)

Propiedad asociativa de la multiplicacin

a (b c) = ( a b) c

4 . (5 . 3)= (4 . 5) . 3

Elemento neutro de la suma a + 0 = a 5+0 = 5

Elemento neutro de la multiplicacin

a 1 a 5.1=5

Propiedad del inverso de la suma a + ( a) = 0 2 + (-2) = 0

Inverso de la multiplicacin .1

1 4.

1

4 1

Propiedad distributiva a (b + c) = a b + a b 3 (2 + 5) 3 2 + 3 5

Propiedad distributiva (b + c) a = b a + c a (2 + 5). 3 = 2. 3 + 5 . 3

a b = a + (- b ) 5 - 9 = 5 + (-9)

a ( 1). a -4 = (-1) . 4

( a) . b ( a b) = a(- b)

(-7).2 = -(7 . 2) = 7. (-2)

(-a).(-b) = a.b

-(a + b) = -a -b

Propiedades del cero a . 0 = 0 12 . 0 =0

Propiedades del cero a . b =0 entonces a=0 b=0

x . y =0 0 y 0

La divisin entre 0,

no est definida. La divisin

tampoco est definida.


En el siguiente recuadro se presenta las propiedades ms importantes de fracciones:

Propiedades Ejemplo Observaciones

2

3 2

3 2

3

El signo menos se puede colocar tanto el numerado como en el denominador.

+

2

3 4

3 2 4

3

Suma o diferencia con igual denominador

+

7

35

2 7.2 5.3

3.2 1

6

Suma o diferencia con diferente denominador usando el mtodo de suma en cruz.

.

.

.

2

3.4

5 2.4

3.5 8

15 Multiplicacin de fracciones

.

2

3.5

5 2

3

El factor c existe en el numerador y el denominador por lo que se pueden cancelar

.

1.

.

5.

3

2 5

1.3

2 15

2

Multiplicacin de un nmero entero por una fraccin

.

.

3.5

4 3

4. 5 3.

5

4

.

.1

2

3.5 2

3.1

5

.

.

2

3 5

4

2354

2.4

3.5 8

15

Divisin de fracciones aplicando la doble C

1

.

5

32

5132

5.2

3 10

3

Divisin de un nmero por una fraccin

1

.

235

2351

2

3.5 2

15

Divisin de una fraccin por un nmero

4. Potencias

La potenciacin con exponente natural es un caso particular del producto en R; en efecto, si a R y n N entonces:

. .

Se lee como elevado a la n, donde n es un entero positivo y a 0, es llamada la

n veces


base y n el exponente o potencia e indica el nmero de veces que se repite el factor . Por ejemplo:

24 2.2.2.2 8

1. Si es negativo entonces es positivo si n es par y negativo si n es impar. 2. En una expresin como , primero se ejecuta la potencia y luego la multiplicacin

por a.

3. - ( ) ( )

Observaciones: La potencia es la primera operacin que se ejecuta frente a multiplicaciones, divisiones, sumas, restas o cambios de signos.

4.1 Propiedades de los exponentes

En la siguiente tabla se presentan las propiedades ms importantes de los exponentes:

Propiedad Ejemplo

. .

( ) . ( ) .

( . ) .. ( . ) ..

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

5. Radicales

Se llama raz nsima de un nmero a R, a otro numero b R, si existe, que elevado a la potencia n sea igual al radicando, esto es:

El numero n es el ndice del radical, a es el radicando y el signo se denomina

signo radical. Cuando n = 2 se escribe y se llamar raz cuadrada de a, si n = 3 se denomina raz cubica de a.

En cuanto a la notacin, se puede escribir tambin:

Las propiedades de los radicales son las mismas que las de las potencias con


exponente entero. Si el radicando es positivo y el ndice n es un nmero par, entonces existen dos races de de ndice n, que se escriben +

y

, por ejemplo las races cuartas

de 1296 (1296

) son +6 y -6, porque 64 = 1296 y (-6)4 = 1296

5.1 Propiedades de los radicales

En la siguiente tabla se presentan las propiedades ms importantes de los radicales:

Propiedad Ejemplo

.

.

.

. . .

.

.

(

)

(

) (

)

6. Expresiones Algebraicas

Es la combinacin de constantes, variables y signos de operacin que, entre otras cosas, pueden definir una regla o principio general. Donde:

Variable: es aquella (letra) sobre la cual se define el trmino o expresin algebraica e indica que su valor va variando.

Exponente: Es el nmero que se encuentra en la parte superior derecha de la variable.

Signo: Precede al trmino, puede ser positivo (+) o negativo (-), si se omite el signo del trmino es positivo.

Coeficiente: Es el factor que acompaa a la parte variable, y su valor no cambia, es constante.

Una expresin algebraica est compuesta por trminos de la forma: , donde a es un coeficiente, x es una variable y n es el exponente de la variable.

6.1 Trminos Semejantes.

Son trminos cuya parte variable son iguales y adems tienen el mismo exponente. Observa los siguientes ejemplos:

1. 6

3 5 Son trminos semejantes ya que todos contienen

2. No son trminos semejantes ya que

3. 6

3 Son trminos semejantes ya que todos contienen


4.

+ 3 2 +

Son trminos semejantes ya que todos contienen

5. 5 + 1 75 + 1 Son trminos semejantes ya que todos contienen

75 + 1

6.2 Tipos de Expresiones Algebraicas

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.

1. Enteras o polinmicas. Se definen como toda expresin algebraica en donde las

potencias son nmeros enteros positivos. Ejemplo: 6 +

3 5

Las expresiones algebraicas enteras se clasifican en:

Monomios: cuando consta de un solo trmino, por ejemplo: 3

Polinomio: cuando consta de ms de un trmino, como: + 3: llamado tambin binomio. + 4 + 3: llamado tambin trinomio.

2. Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuacin. 3. Un caso particular de ecuacin es la identidad, en la que los dos lados de la

igualdad son equivalentes.

6.3 Caractersticas de un Polinomio.

1. Todo polinomio es una expresin algebraica. Tiene la forma:

+

+ +

2. El Grado de un Polinomio, se define como el mayor exponente que tiene la variable.

3. Los trminos de un polinomio se clasifican en: 4. Trmino Independiente, es aquel que no est acompaado de la variable. Por

ejemplo: 1; 6; 100. 5. Trmino Dependientes, son aquellos que estn acompaados de la variable.

Ejemplo: 6 2 .

7. Regla de los signos

En el producto y en el cociente de nmeros positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

+ . + . + + . + .+


8. Productos Notables.

( + )( + ) + ( + ) + ( + )( ) ( + ) + 2 + ( ) 2 + ( ) 3 + 3

9. Notacin Cientfica.

La notacin cientfica consiste en expresar nmeros decimales haciendo uso de potencias de 10, teniendo en cuenta que:

=

= ,

= ,

= ,

= ,

=

=

=

=

=

=

Un nmero escrito en notacin cientfica debe tener un nico nmero como parte entera y el resto debe ser decimal. As, para expresar un nmero cualquiera en notacin cientfica habr que tener en cuenta si el nmero, en valor absoluto, es mayor o menor que uno:

Si es mayor que uno, se correr la coma hacia la izquierda dejando una nica cifra entera no nula, y se multiplicar por una potencia positiva de 10 cuyo e ponente es el nmero de lugares que se ha corrido la coma.

Ejemplo: 621=621,0=6,21. 102 ; 2452,65 = 2,45265. 103 ; -31453= -3,1453 . 104

Si es menor que uno, se correr la coma hacia la derecha dejando una nica cifra entera no nula, y se multiplicar por una potencia negativa de 10 cuyo e ponente es el nmero de lugares que se ha corrido la coma.

Ejemplo: 0,00045 = 4,5 . 10-4; 0,06597 = 6.597 . 10-2

10. Descripcin Verbal y Lenguaje Matemtico

Las matemticas se expresan en un lenguaje especial, que es un dialecto o jerga del lenguaje natural y no es ms que una forma de traducir a smbolos y nmeros lo que normalmente conocemos como lenguaje natural. De manera que es posible manipular cantidades desconocidas con smbolos fciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cmo resolverlas.


En los siguientes ejemplos se dan expresiones verbales que son llevadas a una expresin matemtica. En este caso la expresin algebraica puede ser parte de una formula y la variable en esta situacin es lo que hay que determinar y que tambin recibe el nombre de incgnita.

Expresiones en Lenguaje Algebraico Smbolos Matemticos

Un nmero cualquiera x, y, z, m, n

El doble de un nmero 2x, 2y, 2m, 2n, 2t

El triple de un nmero 3r, 3u, 3z

La mitad de un nmero

;

;

El cuadrado de un nmero x2, y2

La diferencia entre dos nmeros c d; a b; x - y

El cociente entre dos nmeros a/b, c/d, e/f

Un nmero par 2n

Un nmero impar 2n - 1

El doble de m aumentado en n 2m + n

El sucesor de un nmero n + 1

El producto entre un nmero y su antecesor k(k 1)

La dosis se aumenta en 2 unidades. d+2

La dosis se aumenta un 25%. El aumento es

0,25 .

d+0,25d= 1,25d

Se venden una docena de artculos. 12 p

El doble de un nmero menos el triple de otro. 2x 3y

Las tres cuartas partes de un nmero 3x/4

El producto de dos nmeros xy

11. Sistema de Coordenadas Cartesianas

Un par ordenado de nmeros reales (x, y) se puede representar en el plano en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano xy. Este sistema est constituido por dos rectas perpendiculares orientadas, llamadas ejes coordenadas y la interseccin de ellas se llama origen. En la figura x, el eje horizontal es llamado eje x y el eje vertical es el eje y. Estos ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas primer (I), segundo (II) , tercer (III) y cuarto cuadrante (IV).


Un par ordenado de nmeros reales ( x, y) se puede representar mediante un

punto P en este plano. El nmero x se llama abscisa o coordenada x del punto y y se conoce como la ordenada o coordenada y del punto. Para graficar se procede como sigue. Se localiza el nmero x en el eje (real) x y se traza una perpendicular al eje, igual se procede con el nmero y en el eje y. La interseccin de estas dos rectas es un punto en el plano y es la representacin del par ( x, y) .

Recprocamente, podemos ver que cada punto P en el plano representa a un par de nmeros reales ordenados.

Ejemplo 11.1.- Representar en el plano cartesiano los puntos (-2,1); (-4,-2); (0,-1); (2,-3) y (5,0).

12. Distancia entre dos puntos

Para calcular la distancia entre dos puntos P1 (x1, y1 ) y P2 (x2 , y2 ) se usa el teorema de Pitgoras. En la figura 8 se puede ver como se forma un tringulo rectngulo, la longitud de la hipotenusa es el valor a calcular. Observe que los catetos se pueden calcular al conocer las coordenadas de los dos puntos.

P(x,y)

I x>0, y >0 II x0

III x


Usando el Teorema de Pitgoras se tiene que:

d(P P ) ( ) + (y y )

Ejemplo 12.1. Representar grficamente los puntos P1(-2,1) y 2(3,-4) y calcular la distancia entre estos dos puntos. Solucin: Por la frmula de distancia entre dos puntos tenemos:

( ) (3 (2)) + (4 1) 5 + (5) 50 25.2 52

13. Punto medio de un segmento de recta

En esta seccin se muestra la frmula para las coordenadas PM(xM,yM) del punto medio del segmento que une los puntos P1 (x1, y1 ) y P2 (x2 , y2 ) .

PM est en la mitad entre P1 y P2. De la figura 9 se puede apreciar que xM, tambin est en la mitad entre x1 y x2 . Este resultado es posible deducirlo a travs de la semejanza entre los tringulos P1AP2 y PMBP2.

Donde: ( )

;

( )

Ejemplo 13.1.- Calcular el punto medio del segmento de recta que une a P1(2,1) y P2(-2,-3). Solucin:

( , ) ((2 + (2))

2,(1 + (3))

2) (0,1)

14. Resolucin de ecuaciones

Una ecuacin es una igualdad en la que aparecen nmeros y letras ligadas mediante operaciones algebraicas. Las letras, cuyos valores son desconocidos, se llaman incgnitas. Dada una ecuacin, el lgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el concepto general de identidad. Mientras que se apliquen las mismas operaciones aritmticas o algebraicas en ambos lados de la ecuacin la igualdad se mantiene inalterada. La estrategia bsica es despejar la incgnita en un lado de la igualdad y la solucin ser el otro lado. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuacin lineal con una incgnita:

Figura 9. Punto medio del segmento P1 y P2.


2 + 7 4 + 11.

Los trminos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro. El trmino 2x se puede eliminar del lado izquierdo mediante sustraccin; se resta 2x en ambos lados:

2 + 7 2 4 + 11 2 7 2 + 11

Luego se resta el nmero 11 en ambos lados de la ecuacin:

7 11 2 + 11 11 4 2

Despus se dividen ambos lados de la ecuacin por el coeficiente de la variable:

4

2 2

2

Entonces la solucin es: x = -2.

Para validar o comprobar el resultado basta con sustituir el valor x = -2 en la ecuacin original:

2(2) + 7 4(2) + 11 4 + 7 8 + 11

3 3

14.1 Resolucin de ecuaciones cuadrticas

Dada una ecuacin de segundo grado o cuadrtica en su forma general:

+ + 0

Se tienen varias maneras para resolverla dependiendo de la naturaleza especfica de la ecuacin en cuestin. Si la ecuacin se puede factorizar, es decir que se pueda expresar la ecuacin como un producto de factores, la solucin es inmediata. Por ejemplo la ecuacin:

3 2

Se puede escribir en su forma general

3 + 2 0

Luego se puede factorizar como:

( 1). ( 2) 0

De acuerdo con la Propiedad Cero de la Multiplicacin si el producto de dos nmeros es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0, por lo que x = 1 o x = 2. stas son las soluciones de la ecuacin, que de nuevo se pueden verificar mediante sustitucin.

Si a primera vista no se encuentra un modo directo de factorizar la ecuacin, puede existir otra alternativa. Por ejemplo, para factorizar un trinomio de la forma:

+ + 0

1. Se eligen dos nmeros d y e que multiplicado s den como resultado a,

(d)(e)=a


2. Se eligen dos nmeros f y g que multiplicados den como resultado c,

(f)(g)=c

3. El coeficiente b es igual a la suma de los productos (e.f) y (d.g) como se indica:

+ + 0

4. La factorizacin del trinomio es:

+ + ( + )( + )

Como se puede observar d y e se multiplican por la variable a la primera potencia.

Ejemplo 14.1. Factorizar: 6 + 7 + 2 0 Solucin:

6 + 7 + 2 0

La factorizacin del trinomio es:

6 + 7 + 2 0 (2 + 1)(3 + 2)

Donde:

En general, cualquier ecuacin cuadrtica de la forma: + + 0

Se puede resolver utilizando la frmula cuadrtica. Para cualquier ecuacin de este tipo las dos soluciones de x estn dadas por la frmula:

4

2

Por ejemplo, para encontrar las races del ejemplo anterior: 6 + 7 + 2 0

Se tiene que, a = 6, b = 7 y c = 2. Estos valores se sustituyen en la frmula cuadrtica:

7 7 4.6.2

2.6

7 49 48

12 7 1

12

De donde:

d

e

f

g

ef+dg=b

2

3

1

2

3.1+2.2=7


15. Sistemas de ecuaciones

En lgebra, es posible tener que resolver varias ecuaciones al mismo tiempo. El problema es encontrar el conjunto de todas las soluciones que cumplen todas las ecuaciones simultneamente. El conjunto de ecuaciones que deben resolverse se denomina sistema de ecuaciones y para resolverlo se pueden usar tcnicas especficas del lgebra. Por ejemplo, dadas las dos ecuaciones lineales con dos incgnitas:

3

2 + 2 5

2 + 5

Eliminamos el trmino con fraccin en la primera ecuacin: 3 + 4 10 (1) 2 + 5 (2)

La variable y se despeja en la ecuacin (2) obteniendo y 5 2 ; luego este valor de y se sustituye en la ecuacin (1):

3 + 4(5 2 ) 10

Ahora el problema se reduce a una ecuacin lineal con una sola incgnita x y se obtiene:

3 + 20 8 10

5 10

2

Luego el valor de x se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales (1) o (2), se tiene:

1 Otro mtodo para resolver un sistema de ecuaciones a partir de las

ecuaciones (1) y (2) es multiplicar ambos lados de la ecuacin (2) por 4, luego se obtiene:

3 + 4 10 (3) 8 + 4 20 (4)

Restando la ecuacin (3) de la (4), entonces:

5 10 2

conceptos básicos de algebra

Documents