RESUMEN

Los autores proponen una metodología de diseño paracolumnas rectangulares de concreto reforzado sujetasa cargas excentricas. El método se basa en iteracionescon opción para reducir el tiempo de computadora y parausarse en una microcomputadora de 48 KB. Variosejemplos describen el procedimiento de diseño desarrollado.

COMPUTADORASEN EL DISEÑO DECOLUMNAS DECONCRETOREFORZADCf

David A. Ros y Jia-Yih Richard Yen

SUMMAR Y

A design methodologv for rectangular reinforced concretecolumns subjected to eccentric loads is proposed by theauthors lhe method is based on iteration with anacceleration option ami can be used on a 48-KBmicrocomputer. A number of examples depict thedesign procedure developed.

Los cálculos de resistencia para columnas de concre-to reforzado cargadas excéntricamente son comple-jos, pero se calculan mediante procedimientos comu-nes bien definidos.e.7 Debido a su complejidadmatemática, las ecuaciones para el cálculo de colum-nas de hecho rara vez se utilizan en el diseño real. Ensu lugar, los diseñadores con frecuencia empleanayudas de diseño en forma de tablas5 o gráficas.

Para una excentricidad dada, el procedimientocomún consiste en localizar un punto en el diagra-ma de interacción (figura 1) y despu& expresarla relación entre el momento flexionante y la capa-cidad de carga axial, para una sección de concretoreforzado en particular. Ya que existen numerosascombinaciones en la geometría de las secciones y enlas propiedades de los materiales para las columnas,el empleo de ayudas de diseño es tan tedioso comoa veces inadecuado para completar un diseño. Puestoque en general las curvas de interacción para el mo-mento flexionante y la carga axial se proporcionanpara columnas cuadradas, el usuario en algunas oca-siones tiene que disponer de factores de correcciónpara columnas rectangulares.2

Además el usuario debe predeterminar la relaciónde espaciamiento entre el acero de refuerzo en las

,“.---------

etu

Fig. 1. Curva tlpica de interacción para columnas de concreto reforzedo.

caras opuestas de la sección y la dimensión total dela sección, antes de poder aplicar las ayudas de dise-ño. Una metodologia de diseño, perfeccionada paracolumnas de concreto reforzado sujetas a cargasexcéntricas, podría disminuir estos problemas.

Con la creciente disponibilidad de mini y micro-computadoras en las oficinas de disefio, es conve-niente un procedimiento computarizado para eldiseño de vigas y columnas de concreto reforzado,sin emplear tablas o gráficas de diseño. El procedi-miento de diseño que aquí se presenta está escritoen estilo coloquial, de modo que el diseñador y lacomputadora puedan interactuar con facilidad.

El procedimiento de diseño que se propone estábasado en dos métodos opcionales: un métodoiterativo directo y un método iterativo acelerado,que se describen ambos con problemas demostrati-vos. Uno de los aspectos centrales del programa esel empleo de almacenamiento mínimo en la centralde memoria (v. g., el programa se adapta perfecta-mente a una microcomputadora con capacidad de48 KB). El método de diseño está, sin embargo,restringido a viga o columna rectangular reforzadacon anillos y fue escrito para cumplir con los requi-sitos del Reglamento de Construcción ACI 318-77.3

Método iterativo de diseño

Para una sección transversal dada (posición del acerolongitudinal y relación de acero), se puede generarun diagrama de interacción con la forma general dela figura 1. Los momentos y las excentricidadesestán referidos al eje de la sección. Cualquier puntode la curva, por ejemplo d, representa un par de va-lores P,, y M, que, de acuerdo con la teoría de resis-tencia última, representa la resistencia última delelemento de que se trate.

Cualquier línea inclinada que pasa por el origentiene un coeficiente angular cuyo recíproco repre-senta la excentricidad centroidal que correspondea una combinación dada de valores últimos deP, y M,, como se muestra en la figura 1; es decir,e es igual a M,/P,.

El punto b representa la condición balanceada yla excentricidad correspondiente se conoce comoexcentricidad balanceada eb. La parte ab representala’condición de control de compresión e < e,,, y laparte bc representa la condición de control de ten-sión e > eb. Antes de examinar el método de diseño,es útil revisar algunas de las características impor-tantes respecto de las curvas de interacción :

l Antes de poder construir las curvas de interac-ción, deben especificarse las dimensiones dela sección transversal de la columna, la ubica-ción y la cantidad de acero longitudinal em-pleado en la sección.

l En la misma gráfica puede trazarse una familiade curvas para una sección con dimensionesdadas y la misma ubicación, pero con diferentescantidades de acero longitudinal, como semuestra en la figura 2. Para una relación deacero dada, habrá una y sólo una curva conti-nua de interacción correspondiente a dicharelación de acero. Conforme se incrementa larelación de acero longitudinal, la curva se alejamás del origen del diagrama de interacción.

l Las curvas de interacción siempre son convexas.

La base del método de diseño iterativo es emplearvalores dados de momento flexionante M, y defuerza axial Pn, para encontrar la excentricidadasociada e = M,/P,. La excentricidad e puede repre-sentarse con una I ínea inclinada desde el origen.

El punto de intersección de esta I ínea y una curvade interacción indicando la relación mínima de ace-ro permisible constituyen la condición de diseño de-seada. Una razonable estimacibn inicial del punto enel diagrama de interacción se emplea como punto dereferencia para iniciar el procedimiento iterativo.

Fig. 2. Diagrama interactivo de una sección con diferentes relacionesde acero p.

Bajo condiciones ideales la capacidad resultante delelemento corresponder ía a M, y P,

Para poder encontrar cualquier punto en una cur-va de interacción, debe conocerse cierta información

sobre la sección: propiedades del material, posicióndel eje neutro, cantidad de acero longitudinal (o re-lación de acero), así como la posición de éste. Porlo general se conocen las propiedades del material ylos otros tres parámetros son incógnitas.

En este método de diseño se asigna primero laposición del acero longitudinal como una funcióndel peralte dado, h, de la columna. Con referenciaa la figura 3, 7 es el valor por asignarse. Con objeto

t--"*

0-T

I 0 b

--l

‘b

Fig. 3. Condición balanceada.

de determinar la variación de 7 con respecto ah, sellevan a cabo series de cálculos preliminares (locali-zando el acero longitudinal), cuyos resultados semuestran en la tabla 1.

En esta tabla puede observarse que el valor pro-medio del último renglón (específicamente: recubri-miento + diámetro de anillos + mitad del diámetrode varilla longitudinal) es de 7.1 cm aproximada-mente con un mínimo de 6.1 cm. La tabla está basa-da en un recubrimiento mInimo (ver el ReglamentoACI 318-77, sección 7.7.1) de 3.8 cm y refuerzo conanillos del núm. 4.

El valor tabulado correspondiente al ancho de lacolumna, h, se adopta para iniciar el procedimientode diseño. No obstante, después de elegir las varillaslongitudinales, el valor “exacto” se calcula y se em-plea en la verificación final de la sección.

La siguiente suposición que debe hacerse se refie-re al valor de la relación de acero. Como tanteo ini-cial para la relación de acero, se toma un valor de0.02, que es meramente preliminar. La relación deacero se incrementará o reducirá según se requieradurante las iteraciones de diseño. La otra propiedadde la sección que es necesario asignar es la posicióndel eje neutro, c.

En los casos de carga dados, el método distingueentre control de compresión y control de tensión,mediante la comparación de la excentricidad dada econ la excentricidad balanceada eb. Se asignan dife-rentes valores de c a los dos casos diferentes de con-trol. Por lo tanto, la condición balanceada para unasección en particular debe analizarse antes de buscarla condición de diseño requerida.

La excentricidad real e se compara con eb, paradecidir si al diseño lo rige el cofltrol de compresión(e < eb ) o el control de tensión (e > eb 1. De acuer-do con algunos cálculos tentativos de secciones t ípi-cas, el valor medio de c se encontró aproximadamen-

te igual a 0.7h para la condición de control decompresión y alrededor de 0.4h para el caso de con-trol de tensión. Estos valores iniciales de c se asignanen la debida forma para comenzar la iteracibn.

El método iterativo emplea las dimensionesdadas del elemento, la posición de las varillas longi-tudinales, la relación de acero y la ubicación tentati-va del eje neutro. Todo ello para calcular el momen-to M, y la capacidad de carga axial P,, correspon-dientes a un punto del diagrama de interacción. Laexcentricidad e, , asociada a dicho punto, puedeentonces calcularse (e, = M,/P,). A continuaciónla excentricidad requerida e se compara con la ex-centricidad calculada e, . Si e > e, , entonces el valorde c deberá reducirse. Pero, si e < e,, esto indicaque c requiere de un valor mayor al propuesto.

Después se emplea la nueva c para obtener otraseriedeM,,P, y e , , donde e, se compara de nuevocon la e requerida, hasta que e = el. Este procedi-miento es equivalente a moverse a lo largo de lacurva de interacción de la relacibn constante de acero.

Una vez que se ha encontrado que la posición enla curva corresponde a una excentricidad cercana ala requerida, la P, deducida debe compararse conla P, requerida, y la M, con la M, requerida. Cuan-do los resultados, es decir, P, y M,, han alcanzadoalgún I ímite de tolerancia tal que se haya logrado undiseño satisfactorio, entonces el diseño está completo.

De lo contrario, la relación de acero debe ajustar-se y deben repetirse los cálculos anteriores. Estocorresponde a “saltar” de una curva de interaccióna otra. Entonces se repite el procedimiento iterativodel diseño original asignando el valor de cde la últi-ma iteración que se haya llevado a cabo.

Para cada ajuste se hace una verificación contralas relaciones de acero restrictivas de acuerdo conla sección 10.9.1 del ACI 318-77. Cuando la relaciónde acero sea menor que la relación de acero minima,se dará un mensaje y se asignará como valor de dise-

TABLA 1 ReWmes entre y y h

h 30.5 a 40.6 cm 40.6 a 55.9 cm 55.8 a 71 .l cm > 71.1 cm

Y 0.60 0.70 0.78 0.83.

Th 18.3 a 24.4 cm 28.4 a 39.1 cm , 43.5 a 55.4 cm

(1 -Tl,, 6.1 a 8.1 cm 6.1 a 8.4 cm 6.1 a 7.9 cm > 6.1 cm2

ño la relación de acero mínima. Si la relación de acerorequerida excede del valor máximo permisible, en-tonces el método requiere la ayuda del usuario. Serepite el procedimiento iterativo hasta lograr un di-seño totalmente satisfactorio.

Cuando la ayuda del usuario es necesaria, el pro-grama provee cuatro opciones para aumentar la capa-cidad del elemento, que consisten en incrementar:

l La resistencia del acero.l La resistencia del concreto.l El peralte del elementol El ancho del elemento.

Como recordatorio para el usuario, el programatambién imprimirá el valor real de la variable quedeba eliminarse. Después de leer los nuevos datos,el programa repetirá el procedimiento de diseño.

El esquema de iteración también permite al usua-rio elegir el tamaño de las varillas longitudinales queserán empleadas. Para este fin, tanto los valores re-queridos como los permisibles de carga axial y mo-mento flexionante se exhiben sobre la pantalla y elusuario puede seleccionar un nuevo tamaño de vari-lla, si así lo desea. Después de elegir un nuevo tama-ño de varilla, es conveniente volver a verificar todaslas variables de diseño.

Cuando no se cumplen las restricciones para el es-paciamiento del acero (sección 7.6.3), el método noacepta el diseño y el usuario deberá tomar la deci-sión ya sea de cambiar el tamaño de la varilla o dealterar el ancho de la columna. También se tomandisposiciones para incluir acero longitudinal a lolargo de los lados de la columna, perpendicular aleje neutro. Todo esto se ilustra en los ejemplos.

Con un diseño aceptable del acero longitudinal,los anillos se colocan de acuerdo con las secciones7.10.5.1 y 7.10.5.2. Finalmente, todos los datospresentes de diseño se emplean para calcular lascapacidades exactas de fuerza axial y momento fle-xionante del elemento. El procedimiento se resumeen el diagrama de flujo de la figura 4.

Método de diseño iterativo acelerado

En este método se encuentra una condición válidade diseño y la solución se emplea como valor inicialpara el método iterativo que se acaba de describir.Al hacer esto, en la mayoría de los casos se puederecortar drásticamente el tiempo de comp.utadora.(El metodo iterativo es una covertura de seguridadpara evitar que las soluciones ilógicas, examinadasmás adelante, se conviertan en datos de diseño.)

Fig. 4. Diagrama de flujo para el método de iteración directa (conti-

núa en la figura 4al.

Fig. 4a. Continuación del diagrama de flujo para el metodo de iteración directa.

En este metodo, la relación de acero y la posicióndel eje neutro se manejan como incógnitas, quedeben encontrarse resolviendo ecuaciones de formacerrada. En este caso también, la condición de cargadada está categorizada como control de compresióno como control de tensión. Las ecuaciones puedenmostrarse de la siguiente manera:

1. Para el caso de control de compresión

SIC3 + s,c2 + s,c + s, = 0 Ecuación 3.1

s, = 0 A, (842 + A,’2

s, = PIAAd- - + A,A,d2

+ A,A,d - A,A,rh

s, = -(A,A,d’ + (A, + A,) M, - rhA,P,)

s, = A,dM,

2. Para el caso de control de tensión:

S,cJ + s,c + s,c + s, = 0 Ecuación 3.2

s, =

s, =

s, =

s, =

A, =

A, =

A, =

A, =

GA, IA4 + A,)

4 A,A,d’ - A,d (A4 - AJ

rhA, V’, - A,d’) + M, (A,

- A,A,dd’

M,A3d’ - A,d’P,yh

0.85 f’, fl1b

0.5 (fv - 0.85 f’c) bh

43.5 bh

(0.5 fv, bh

A,A,rh

A3’

Cuando la ecuación 3.1 o la ecuación 3.2 se re-suelve para c, una raíz positiva real será la soluciónpara la posición del eje neutro y la relación de acerorequerida podrá calcularse. En ambas condiciones,se debe determinar una raíz positiva real del polino-mio de tercer orden de coeficiente constante.

El método de Newton-Raphson se emplea en esteprocedimiento. Este metodo converge con la raízdeseada siemore aue se dé una orimera aoroximación

Para poder identificar de inmediato cualquiererror posible, los resultados no se utilizan inmediata-mente como datos válidos de diseño. Por lo contra-rio, siempre se emplean como valores iniciales parael método de diseño iterativo. Los datos de diseñofin& siempre se verifican para Mn y P,, y e.

En el esquema de soluciones, el control de com-. . presión es el primero que se presupone. Con esta

razonable.4 Como ya se indicó antes, para el controlde compresión, c = 0.7h es una primera aproxima-ción adecuada, en tanto que para el control de ten-sión, c =*0.4h es un buen punto de partida.

En muchos casos, las soluciones d’e las ecuacionesson exactas. En consecuencia, este metodo es máseficiente que los de iteración directa. No obstante,en algunos casos este método podría conducir asoluciones ilógicas. Las posibles razones de lo ante-rior son :

a. La sección es demasiado grande para la cargaaplicada.

b. No hay control sobre el área de compresióndel bloque de concreto cuando h es menor queP,C.

c. No hay control sobre la relación esfuerzo-defor-mación del acero cuando en o E’, es mayor que

eY.

El caso (a) se presenta algunas veces cuando el ta-maño de las dimensiones de la columna están deter-minadas por consideraciones estkticas, antes que poreficiencia de ingeniería. En este caso las ecuacionespueden producir una relación de acero irrazonable-mente pequeña (0 aun negativa).

El caso (b) puede presentarse cuando la fuerzaaxial aplicada es grande y el momento flexionantepequeño. En este caso, el eje neutro posiblementepodría encontrarse fuera de la sección transversalde manera tal que h< filc (ver figura 5). Esto impli-ca que el bloque de compresión del concreto esmayor que el área total de la columna, lo cual esimposible. El resultado en este caso es una fuerzasobrestimada de compresión del concreto y conse-cuentemente una relación de acero subestimada.

El caso (c) puede ocurrir tanto en casos de tensióncomo de compresión. Como resultado, el esfuerzoen el acero se sobrestima.

+d-Jp!h bd’I I I

Diegreme de f uefzas

Fig. 5. Bloque de compresión sobrestimado del concreto.

suposición, se calculan los coeficientes constantesde la ecuación de tercer orden. La raíz más conve-niente de la ecuación se encuentra después. Se haceuna verificación contra la suposición de que el acerode compresión ha fluido.

Cuando se satisface la suposición, entonces seaceptan la raíz y la relación de acero asociada y seemplean como valores iniciales para el esquema ite-rativo. De lo contrario, se considerará el control detensión para realizar los cálculos y verificaciones ne-cesarias. En ambos casos mencionados, se lleva acabo una verificación contra la relación de aceropara poder cumplir con las relaciones restrictivas delReglamento ACI-318.

Si se excede la relación máxima de acero, el pro-grama pasará el control al diseñador para que realicelas modificaciones necesarias (ver método de diseñoiterativo directo) y se volverán a introducir los pro-cedimientos de resolución de ecuaciones. Cuando larelación de acero es menor que la mínima, eI progra-ma determinará la relación mínima de acero quehabrá de emplearse. Los procedimientos se resumenen el diagrama de flujo de la figura 6.

si

Fig. 6. Diagrama de flujo para las subrutinas de aceleración.

Ejemplo

Se presenta un ejemplo para ilustrar el programa decomputadora que emplea el metodo de iteraciónacelerada. Tienen especial interés las característicasincorporadas, la conveniencia y la precisión en losresultados del programa.

Se trata de diseñar una columna rectangular. Cier-tas consideraciones arquitectónicas limitan el anchode la columna a 30.5 cm (12”).

Constantes delmaterial: esfuerzo de fluencia del acero

= 4 219 kg/cm2 (60 ksi)

esfuerzo de ruptura delconcreto = 352 kg/cm2(5 ksi)

Propiedades dela sección : ancho de la sección

= 30.5 cm (12”)

peralte de la secciónsin límite

Requisito decapacidadnominal:

M” = 41.48 ton-m (3 600” K)

P” = 163.3 ton (360 kips)

Hay tres partes en este ejemplo. En la primera seadvierte que una columna de 30.5 x 30.5 cm (12” x12”) es inadecuada porque excede la relación máxi-ma de acero. La sección se cambia a una de 30.5 x45.7 cm (12” x 18”) y el área de acero sugerida esde 28.52 cm2 (4.42 pulgadas cuadradas). Primero sehace un tanteo con varillas del núm. ll, pero nose cumplen los requisitos de espaciamiento.

La opción de “cambiar el diámetro de la varilla”se adopta para corregir el diseño y se observa que lasvarillas del núm. 10 son adecuadas. Ya que no haylimite en cuanto al peralte de la sección, se realizaun tanteo con secciones de 30.5 x 50.8 cm (12” x20”) y 30.5 x 55.9 cm (12” x 22”). Los resultadosindican, como era de esperarse, que se requieremenos acero para esta sección mayor. Estos resul-tados podrlan usarse para llevar a cabo automática-mente un análisis del costo de construcción y proce-der a tomar en cuenta limitaciones en el costo comola meta por alcanzar.

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Conclusiones

Se propone un nuevo enfoque para el diseño de co-lumnas de concreto reforzado. Se presta atenciónal modo interactivo y al uso limitado de almacena-miento en la computadora. Una microcomputadoracon capacidad de 48 KB y un disquete pueden con-vertir esta tediosa tarea diaria de diseño en unaempresa sencilla e interesante.

La precisión de los resultados de diseño es compa-rable con la obtenida mediante cualquiera de lasactuales ayudas de diseño, pero sin la necesi-dad de utilizar tablas y gráficas voluminosas.

Notación

AsA’sb

CC

cs

C

d

Es

4rea de refuerzo por tensión no presforzado, cm2

brea del refuerzo de compresión, cm2

ancho de la cara en compresión del elemento, cm

fuerza de compresión proporcionada por el concre-to, ton

fuerza de compresión proporcionada por el refuerzode compresi6n, ton

distancia desde la fibra extrema en compresión hastael eje neutro, cm

distancia desde la fibra extrema en compresión hastael cantroide del refuerzo de tensión, cm

m6dulo de elasticidad del acero de refuerzo, kg/cm2(ver la secci6n 8.5.2.)

e

eb

f’c

fs

fl.9

fv

h

Mb

M”

pb

P”

T

8,

%,ES

Y

P

= excentricidad de la fuerza aplicada, cm

= excentricidad en la condici6n balanceada, cm

=. resistencia especificada a la compres¡& del concreto,kg/cm2

esfuerzo calculado en el refuerzo de tensión, kg/cm2

esfuerzo calculado en el refuerzo de compresión,kg/cm2

resistencia especificada a la fluencia del refuerzo nopresforzado, kg/cm2

espesor total del elemento, cm

resistencia nominal a momento en condiciones dedeformación balanceada, ton-m

resistencia nominal a momento, ton-m

resistencia nominal a carga axial en condición dedeformación balanceada, ton

resistencia nominal a carga axial, ton

fuerza de tensi6n proporcionada por el acero de re-fuerzo de tensión, ton

factor definido en la sección 10.2.7.

deformación en el refuerzo de tensión

deformación en el refuerzo de compresi6n

relaci6n de la distancia entre el acero de tensión y elde compresión y h

relación entre el Brea del refuerzo longitudinal y elBrea total

REFERENCIAS1 .

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