Unidad 1Introducción a la física

Concepto de mecánica y su importancia

La física es el estudio de las propiedades de la materia y la energía. Trata de cuantificación de los fenómenos naturales.

Históricamente la física se divide en cuatro periodos

Física antigua o medieval (3000 Ac – 1500 Dc)El nuevo despertar de la física (1500 Dc a 1700 Dc)Física Clásica (1700 Dc a 1890 Dc)Física Moderna (1890 Dc al presente)

Ramas de la física

Acústica = Estudio del sonidoÓptica = Estudio de la radiaciones y la luzMecánica = Estudio del movimiento y sus causas

Cinemática = Estudio del movimiento en síDinámica = Estudio de las fuerzas que causan el movimiento Estática = Estudio de la ausencia del movimiento

Termodinámica = Estudio del calorElectromagnetismo = Estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos

Sistema internacional de unidades ( S I )

En 1960 un comité internacional estableció los estándares del sistema internacional, en 1973 fue adoptado por Costa Rica

Magnitud Unidad Símbolo longitud metro mtiempo segundo scantidad de sustancia mole molmasa Kilogramo kgtemperatura Kelvin KIntensidad luminosa candela cdcarga eléctrica Columbio Ccorriente eléctrica Ampere Afuerza Newton Nvelocidad Metros por segundo m/sárea Metros cuadrados m2

volumen Metros cúbicos m3

aceleración Metros entre segundo cuadrado

m/s2

densidad Kilogramos entre metro cúbico

kg/m3

presión Pascal PaEnergía Julio J

Definiciones modernas

Las definiciones de las unidades del sistema internacional han ido variando en el tiempo de tal forma que no lleguen a variar con el ambiente, por ejemplo el primer metro estaba hecho de oro, pero este era susceptible a encogerse y estirarse con las variaciones de temperatura del ambiente, así que se redefinió del la siguiente forma

Metro = Distancia que viaja la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos

Kilogramo = Masa de un cilindro prototipo de platino e iridio guardado en la oficina de pesas en Francia

Segundo = Duración de 9 192 631 770 ciclos ( periodos) de la radiación asociadas a la transición particular de isótopo de cesio- 133

Mas definiciones modernas en las páginas 4-5 del libro de texto

Análisis dimensional

La palabra dimensión denota la naturaleza física de una cantidad

Dimensión | metro (m)Longitud | pie (ft)

| Pulgada (in) | Yarda (yd)

todas denotan longitud

Ej

Muestre que las expresión V=aº t es dimensionalmente correcta. (Pag 9, Serway, Sétima edición )

Solución

V= m/s = L/T a = m/s2 = L/T2

t = s = T

V=aº t

Ej

Muestre que las expresiones son dimensionalmente equivalentes

P = F/A y P = ρ (densidad) º g (aceleración gravitacional) º h (altura)

SoluciónF = N = kgm/s2 = ML/T2

A = m2 = L2

ρ = kg/m3 = M/L3

g = m/s2 = L/T2

h = m = L

P = F P = ρ º g º h A

Conversiones de unidades

Aún no ha sido posible unificar los criterios de los sistemas de medición, por lo que ha sido necesario conocer las equivalencia del sistema ingles

Masa1 Tonelada (Ton) = 1000 kg1 libra (lb) = 453,6g1 libra (lb) = 16 onzas (oz)

Volumen1 cm3 = 1 ml1 galón = 3,785 litros

Longitud1 pie (ft) = 12 pulgadas (in)1 pulgada (in) = 2,54 cm1 milla = 5 280 pies = 1609m1 yarda (yd) = 3 pies (ft)

1 año luz = 9.5x10 12km

Tiempo1 día = 24 h1 h = 60 min = 3600 s1 año = 365 días1 siglo = 100 años

También es necesario conocer las equivalencia del sistema métrico

1g = 10dg1g = 100cg1g = 1000mg

1dag = 10g1 hg = 100g1kg = 1000g

1 litro = 10dl1 litro = 100cl1 litro = 1000ml

1dal = 10 litros1 hl = 100 litros1kl = 1000 litros

1m = 10dm1m = 100cm1m = 1000mm

1dam = 10m1 hm = 100m1km = 1000m

Ejemplos

Convierta 15 pulgadas (in) a pies (ft)

En este caso el factor de conversión se forma a partir de la primer equivalencia de nuestra tabla de longitud, se acomoda de tal forma que la unidad que se desea cancelar aparezca en el denominador, 15 es multiplicado por el numerador y dividido por el denominador, es posible cancelar la unidad pulgadas aplicando principios de álgebra.

Si no poseemos el factor de conversión directo, podemos relacionar varios

EjemploConvierta 16 años a segundos

Nuevamente se multiplica por los numeradores y se divide entre denominadores.

Convierta 80mm3 a m3

80mm3 x . (1m) 3 = 8x10-8m3

(1000mm)3

Convierta 380m/s a millas/hora

Prefijos

Son valores de uso común en notación científica

Prefijo símbolo significadoExa E 1018

Peta P 1015

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo k 103

hecto h 102

deca da 101

deci d 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3

micro μ 10-6

nano n 10-9

pico p 10-12

femto f 10-15

atto a 10-18

Es posible cambiar el valor de notación científica por el respectivo símbolo

Ejemplo: Exprese 3,56x106 g utilizando prefijos, indique el nombre de la magnitud a la que corresponde la unidad

Solución: Buscamos en la tabla, la base diez corresponde al prefijo mega por lo tanto la respuesta es 3,56 Mg ( megagramos), gramos es una magnitud de masa

Ejemplo 6,25x10-2m (m es la unidad metros)

6,25 cm (c = 10-2 y m la unidad metros que no cambia), longitud es la magnitud física

Ejemplo

Se tiene una balanza de platos, de un lado se coloca un cilindro de vidrio de radio 2in y altura 0,25ft. En el otro extremo se colocara un cubo de cobre. ¿Cuánto debe medir la arista del cubo en cm para tener ambos platos a igual altura?

Solución

ρvidrio= 2600kg/m3 ρcobre = 8,89g/cm3 Cilindro

2in 2,54cm = 5,08cm 1 in

0,25ft 12in 2,54cm = 7,62cm 1ft 1 in Vcilindro = π r3 h = π (5,08)2 º 7,62 = 617,77cm3

ρ = 2600kg 1000g 1m 3 = 2,6g/cm3

m3 1kg (100)3 cm3

ρºV=m

2,6 º 617,77 = m 1606,20g = m

El equilibrio se logra con igual masa asi que la masa de cobre es la misma

V = m/ ρ = 1606,20/8089 = 180,67 cm3

V = l3

180,67 = l3

5,65 = l

Problemas recomendados del capítulo 1 del Serway

10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 23

Problema 10Suponga que su cabello crece a una proporción de 1/32 pulgadas cada día. Encuentre la proporción a la que crece en nanómetros por segundo. Dado que la distancia entre átomos en una molécula es del orden de 0,1 nm, su respuesta sugiere cuan rápido se ensamblan las capas de átomos en esta síntesis de proteínas. (problema 10, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

(1/32)in/día a nm/s

Problema 11

Un lote rectangular mide 100ft por 150 ft. Determine el área de este lote en metros cuadrados. (problema 11, pag 15, serway, sétima edición)

Solución100 ft x 150 ft = 15000 ft2

Problema 12Un auditorio mide 40mx20mx12m. La densidad del aire es 1,2kg/m3. ¿Cuáles son a) el volumen de la habitación en pies cúbicos y b) el peso en libras del aire en la habitación? (problema 12, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

V = 40x20x12 = 9600m3

m= ρºV

m= 1,20 º 9600

m= 11520kg 1000g 1 lb = 25396,8 lb 1kg 453,6g

Problema 14Suponga que llenar un tanque de gasolina de 30 galones tarda 7 min a) calcule la rapidez a la cual es tanque se llena en metros cúbicos por segundo. b) Calcule la rapidez a la cual se llena el tanque en metros cúbicos por segundo. c) determine el intervalo, en horas que se requiere para llenar un volumen de 1m3 a la misma rapidez ( 1 gal = 231 pulg3 ) (problema 14, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

7min 60s = 420s 1 min

rapidez = 30gal = 0,071 gal/s 420s

0,071gal 231 in 3 (2,54) 3 cm 3 1m 3 = 2,70x10-4 m3/s 1 gal 1 in3 1003 cm3

1m3 = 1s 1h = 1,02h

2,70x10-4 m3 3600s

Problema 15Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23,94g y un volumen de 2,10 cm3. A partir de estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades del SI. (kg/m3 ) (problema 15, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

ρ = m = 23,94g 1kg ( 100cm)3 = 11400kg/m3

V 2,10cm3 1000g 1 m3

Problema 16Un cargador de mineral mueve 1200 ton/h de una mina a la superficie. Convierta esta relación a libras por segundo, 1ton=2000lb. (problema 16, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

1200ton 2000 lb 1h = 666,6 ton/s h 1 ton 3600s

Problema 18Una pirámide tiene una altura de 481 ft y su base cubre un área de 13 acres. El volumen de una pirámide está dado por la expresión V= 1/3Bh, donde B es el área de la base y h es la altura. Encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos ( 1 acre= 43560ft2) . (problema 18, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

h= 481ft V= 1/3BhAb=13 acre 43560 ft 2 = 566280 ft2

1 acre

V= 1/3 º 566280 º 481 = 90793560 ft3

Problema 19La pirámide descrita en el problema 18 contiene aproximadamente 2 millones de bloques de piedra que en promedio pesan 2,50 toneladas cada uno. Encuentre el peso de esta pirámide en libras. (problema 19, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

2x106 bloque 2,5 ton 1000kg 1000g 1 lb = 1,10x1010 lb 1 bloque 1 ton 1kg 453,6g

Problema 21Un galón de pintura ( volumen = 3,78x10-3 m3) cubre un área de 25m2 ¿Cuál es el grosor de la pintura fresca sobre la pared? (problema 21, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

1 gal = 3,78x10-3 m3

A= 25m2

V = Ab º h 3,78x10-3 = 25 º h0,0001512 = h

h= 151,2μm

Problema 22El radio medio de la Tierra es de 6,37x106 m y el de la luna es 1,74x108 cm. A partir de estos datos calcule a) la razón del área superficial de la Tierra con la de la Luna y b) la relación del volumen de la Tierra con la de la Luna. Recuerde que el área superficial de una esfera es de 4πr2 y el volumen de una esfera es 4/3πr3. (problema 22, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

AT = 4πr2 = 4π (6,37x106)2 =5,09x1014 m2

1,74x108 cm = 1m = 1,74x106 m 100cm

AL = 4πr2 = 4π (1,74x106)2 =3,80x1013 m2

Razón = 5,09x10 14 = 13,39 veces más el área de T que la L 3,80x1013

Problema 23Un metro cúbico (1,0m3) de aluminio tiene una masa 2,70x103 kg, y el mismo volumen de hierro tiene una masa de 7,86x103 kg. Encuentre el radio de una esfera de aluminio sólida que equilibraría una esfera de hierro sólida de 2cm de radio sobre una balanza de brazos iguales. (problema 23, pag 15, serway, sétima edición)

Solución

ρAl = 2,70x103 kg/m3 ρFe = 7,86x103 kg /m3

rFe= 2cm 1m 100cm

VFe = 4/3 π r3 = 4/3 π (2x10-2)3 = 33,51x10-6 m3

mfe = ρFe º VFe = 7,86x103 kg /m3 º 33,51x10-6 m3 = 0,263kg

mfe = mAl = 0,263kg

VAl = mAl / ρAl = 0,263/2,70x103 = 97,55x10-6m3

VAl = 4/3 π r3

97,55x10-6m3 = 4/3 π r3

r = 0,0028m o 2,85cm

Unidad 2 Vectores

Las cantidades físicas se dividen en dos grandes grupos, vectores y escalares

Ej Vectores

Velocidad = 3m/s EsteDesplazamiento = 4m izquierda

Ej Escalares

Rapidez = 3m/sDistancia = 4mTiempo = 30s

El vector posee magnitud y dirección, y el escalar solo magnitud.

Coordenadas polares y rectangulares

Los vectores pueden trabajarse distintos sistemas de coordenadas, los más usuales son las coordenadas polares (r, θ) y rectangulares ( x,y)

polar rectangular

Para convertir coordenadas polares a rectangulares se utiliza las funciones trigonométricas seno y coseno

Por trigonometría

El cateto adyacente al ángulo es el eje X

X= 50cos30 = 43;3N

Al estar al lado izquierdo del eje de coordenadas se aplica signo negativo

X=-43,3N

El cateto opuesto al ángulo es el eje Y

Y=50sen30 = 25N

Al estar sobre el eje de coordinas el signo es positivo

Respuesta( -43,3 N X + 25N Y )

Por ángulo total

En la posición donde se encuentra el ángulo, obtenemos el ángulo total como 180-θ180-30=150°

X = 50 cos 150°X = -43,30N

Y = 50 sen 150Y = 25N

Respuesta ( -43,3 N X + 25N Y )

Para convertir de coordenadas rectangulares a polares se utiliza pitágoras y tangente

EjemploConvierta ( -43,3 N î + 25 N ĵ ) a coordenadas polares

Magnitud

________|R| = √ (x2 + y2)

_____________|R| = √ (-43,3)2 +(25)2

|R| = 50N

Direccióntan-1 θ = Y X

tan-1 θ =( |25| ) |43,3|

θ = 30°

Respuesta: 50N, Oeste 30º Norte, pero también es valido 50 N,

Propiedades de los vectores

a) suma de vectores

La suma de dos vectores es la resultante de dos vectores consecutivos. La suma de vectores es conmutativa

→ → → →A + B = B + A

→ → → → → → A + (B + C) = ( A + B) + C

Ej

Encuentre la resultante de 3m E y 4m N30ºE

Por ley de cosenos y senosMagnitudd2 = a2 + b2 – 2abcosθ

d2 = 32 + 42 – 2°3°4°cos120

d2 = 9 + 16 – 24cos120 . .

√d2 = ٧37

d = 6,08m

Dirección senβ = senα

d a

sen120 = senα 6,08 4

4°sen120 = senα 6,08

0,569 = senα

Shif sen (0.569)

34,73° = α

El mismo problema resuelto por los componentes

3m Este

( 3m i + 0m j)

( 2 mi + 3,46 mj )

Resultante de ( 3m i + 0m j) + ( 2 mi + 3,46 mj ) = ( 5mi + 3,46mj)

h2 = a2+b2

h2= 52+3,462

√( 52 + 3,462) = 6,08m

tan-1(3,46/5)= 34,7º

Negativo de un vector

Un negativo delante de un vector invierte su dirección

Si A = 3m E entonces –A= 3m Oeste

Si B = 8m N40ºE entonces –B = S40ºO

Multiplicar un vector por un escalar

Al no tener dirección, el escalar unicamente varia el tamaño del vector y/o cambia su dirección

Vector unitario

Es un vector que tiene una magnitud de 1→ → →U= A / |A|

<X= cos-1 α<Y= cos-1 β<Z = cos-1 γ

Ej

→ A= 2i + 3j

→ B= 4i - 2j

→ C= 2j + 5k → → →Encuentre la magnitud de | 2 A – 3B + C |

2 (2i + 3j + 0k) -3 (4i - 2j + 0k) + 0i + 2j + 5k

4i + 6j + 0k -12i -6j + 0k + 0i + 2j + 5k

-8i + 14j + 5k

Magnitud = √( 82 + 142 +52) = 16,88

Determine el vector unitario

( -8i + 14j + 5k ) / 16,88 = -0,47i + 0,82j + 0,29k

Ejercicios recomendados capítulo 3

2,4,9,14,15,21,23,25,27,29,30,31,34,35,37,39,49,57.

Problema 2Dos puntos en un plano tiene coordenadas polares (2,5m, 30º) y ( 3,80m, 120º). Determine a) las coordenadas cartesianas de estos puntos y b) la distancia entre ellos.(problema 2, pag 65, serway, sétima edición)

Solución(2,5m, 30º)

x=2,5cos30=2,16mXy=2,5sen30=1,25Y

( 2,16mi + 1,25mj)

( 3,80m, 120º).x=3,8cos120=-1,9mXy=3,8sen120=3,29mY

(-1,9mi+3,29mj)

Δx=xf-xi=2,16-(-1,9)=4,06mXΔy=yf-yi=1,25-3,29=-2,04mY

d=√ (x2+y2) = √4,062+(-2,04)2 = 4,54m

Problema 4Las coordenadas rectangulares de un punto están dadas por (2,Y) y sus coordenadas polares son (r,30º) Determine Y y r.(problema 4, pag 65, serway, sétima edición)

Solución

cos 30 = 2/r

r=2/cos30 = 2,30 u.l. (unidades lineales)

tan 30 = y/2

2tan30 = y = 1,15m

Problema 9

Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de 5m de radio. Si realiza medio circulo, encuentre a) la magnitud del vector desplazamiento y b) que distancia ha patinado. C) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si patina alrededor de todo el círculo? problema 9, pag 65, serway, sétima edición)

Solución

a) despl. = 10m al ladob) despl. = 2π.5/2 =15,7mc) depl = 0m (vuelve al origen)

Problema 14Un comprador que empuja un carrito a lo largo de una tienda se mueve 40m por un pasillo, luego da una vuelta de 90º y se mueve 15m. Luego da otra vuelta de 90º y se mueve 20m ) ¿A qué distancia está el comprador de su posición original? B) ¿Qué ángulo forma su desplazamiento total con su dirección original? Advierta que no se especificó si el comprador da vuelta a la derecha o a la izquierda. Explique cuantas respuestas son posibles para los incisos a y b y dé las posibles respuestas.(problema 14, pag 66, serway, sétima edición)

Solución

d= 40+15+20 (independiente de donde doble)

un posible ángulo

tan θ= 15/20θ = 36,86º

otro posible ángulo

tan θ = 15/60θ = 14,03º

Problema 15Un vector tiene una componente X de -25 unidades y otra componente Y de 40 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector.(problema 15, pag 66, serway, sétima edición)

Solución

X=-25 y=40 r= √ (-25)2 + 402 = 47,16m

Tan θ = 40/25

θ = 57,99º pero estaba ubicado en el segundo cuadrante

La respuesta es 47,16m 122,01º

Problema 21Mientras explora una cueva, un espeleólogo comienza en la entrada y se mueve las siguientes distancias. Va 75m al norte, 250m al este, 125m a un ángulo de E30ºN y 150m sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva..(problema 21, pag 66, serway, sétima edición)

Solución

X=0 X=250 X= 125cos 30 X=0Y=75 Y = 0 Y= 125sen30 Y= -150

ΣX= 0+250+108,25+0=358,25mΣY=75+0+62,5+-150=-12,5m

R=√ ( 358,252+(-12,5)2 )= 358,46m

Tan θ = -12,5/358,25

θ = E1,99ºS pero estaba ubicado en el cuarto cuadrante

Problema 23Un hombre empuja una podadora por el suelo hace que experimente dos desplazamientos. El primero tiene una magnitud de 150cm y forma un ángulo de 120º con el eje X positivo. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140cm y se dirige a un ángulo de 35º con el eje X positivo. Encuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.(problema 23, pag 66, serway, sétima edición)

Solución

→ → → → r = A + B r = 140cm,. 35º

→ → → → r - B = A A= 150cm,120º

→ → → rx - Bx = Ax 140cos35-150cos120=189,68cm

→ → → ry - By = Ay 140sen35-150sen120=-49,60cm

| B | = √( 189,682 + (-49,6)2 )= 196,05cm

θ = tan -1 (-49,6/189,68) = -14,65º

pero estaba ubicado en el cuarto cuadrante

360 – 14,65º = 345º

→B = 196,05cm,345º

Problema 25 → →Considere los dos vectores A= 3i-2j y B –i-4j Calcule → → → → → → → →→ → → → →a) A+B, b) A - B, c) | A+B | d) | A - B | e) las direcciones de A+B y A - B(problema 25, pag 66, serway, sétima edición)

a) 3i-2j + –i-4j = 2i-6jb) 3i-2j – ( –i-4j ) = 4i+2jc) magnitud de la parte a =√ (22 + (-62)) = 6,32d) magnitud de la parte b =√ (42 + 22) = 4,47e) θ = tan -1 (-6/2) = -71,56º que en el cuarto cuadrante es 360-71,56=288ºf) θ = tan -1 (2/4) = 26,56º

Problema 27 Una partícula se somete a los siguientes desplazamiento consecutivos 3,5m al sur, 8,2m al noreste y 15m oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante? (problema 27, pag 66, serway, sétima edición)

Solución

X=0 X=8,2cos45=5,8 X=-15Y=-3,5 Y=8,2cos45=5,8 Y=0

ΣX= 0+5,8+-15 = -9,2mΣY= 4+1,41-0,86 = 4,55m

√ ( 0,912 + 4,552) = 4,64m

θ = tan -1 (4,55/0,91) = 78,69º

despla = 4,64m 78,69º

Problema 30 → El vector A tiene componentes X y Y de -8,7cm y 15cm respectivamente, el vector B → → → tiene componentes X y Y de 13,2cm y -6,6cm respectivamente. Si A - B +3C=0, cuales →son los componetes del vector C.

(problema 30, pag 67, serway, sétima edición)

Solución

Ax - Bx +3Cx=0 Ay - By +3Cy=0-8,7 – 13,2 + 3Cx =0 15-(-6,6)+3Cy=0Cx=7,3 → Cy= -7,2

C= 7,3cmx-7,2cmy

Problema 31 La vista aérea desde el helicóptero en la figura muestra a dos personas jalando una mula terca. Encuentre a) la fuerza única que es equivalente a las dos fuerzas que se muestran y b) la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza resultante igual a cero. (problema 31, pag 67, serway, sétima edición)

Solución

a) ΣFx= -80cos75 + 120 cos60 = 39,29N ΣFy= 80sen75 + 120 sen60 = 181,19N

√ ( 39,292+181,192) θ = tan-1 (181,19/39,29)

185,4N,78ºb) misma magnitude y dirección contraria

185,40N y dirección 180+78 = 258º o en coordenadas rectangulares (-39,28Nx-181,19Ny)

Problema 34 → → →Considere los tres vectores desplazamiento A=(3i-3j)m, B=(i-4j)m y C=(-2i+5j)m. Use el método de componentes para determinar a) magnitud y dirección del vector → → → → → → → →D = A +B + C y b) la magnitud y dirección del vector E = -A-B+C. (problema 34, pag 67, serway, sétima edición)

Solución

Dx=Ax+Bx+Cx = 3+1-2= 2 √ (22+(-2)2)=2,82Dy=Ay+By+Cy = -3+4+5= -2 (2,-2) θ= tan-1 (-2/2) = -45

θ=360-45 = 315º

Ex=-Ax-Bx+Cx = -3-1+-2= -7 √ ((-7)2+(12)2)=13,89Ey=-Ay-By+Cy = 3+4+5= 12 (-7,12) θ= tan-1 (12/-7) = -59,74

θ=180-59,74 = 120,26ºProblema 35 → → Dados los vectores desplazamiento A=(3i-4j+4k)m y B=(2i+3j-7k)m, encuentre las magnitudes de los vectores → → → → → → C = A +B y b) D = 2A-B. y también exprese cada uno en términos de sus componentes rectangulares (problema 35, pag 67, serway, sétima edición)

Solucióna) → → → C = A +B =(3i-4j+4k) + (2i+3j-7k) = 5i -1j-3k √(52 +(-1)2 +(-3)2) = 5,91mb)→ → → D = 2A-B. =2(3i-4j+4k) - (2i+3j-7k) = 4i-11j+15k√(42 +(-11)2 +(15)2) = 19,02m

Problema 37 → El vector A tiene componentes X, Y y Z de 8,12 y -4 unidades respectivamente. A) Escriba una expresión vectorial para A en notación de vector unitario. B) Obtenga una expresión en vectores unitarios para un vector B de un cuarto de la longitud de A . c) Obtenga una expresión en vectores unitarios para un vector C tres veces la longitud de A que apunte en dirección opuesta a la dirección de A. (problema 37, pag 67, serway, sétima edición)

Solución

a)8i+12j-4k√(82+122+(-4)2) = 14,96ul

(8x+12y-4z)/14,96 = 0,53i+0,8j-0,26k

b) 14,96*1/4*(0,53x+0,8y-0,26z) = 1,98i+2,99j-0,97k

c) 14,96*-3*(0,53x+0,8y-0,26z) = -23,78i-35,9j+11,66k

Problema 39 Una estación de radar ubica un barco hundiéndose en un intervalo de 17,3km y orientación de 136º en sentido de la manecillas del reloj desde el norte. Desde la misma estación, un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19,6km, 153º en sentido de la manecillas del reloj desde el norte, con una elevación de 2,2km a) Escriba el vector de posición para el barco en relación con el avión, con i que representa el este, j el norte y k hacia arriba. B) ¿qué tan separados están el avión y el barco? (problema 39, pag 67, serway, sétima edición)

Solución

12,01x-12,44y 8,89x-17,46y+2,2z

a)(12,01x-12,44y)-( 8,89x-17,46y+2,2z) 3,12x+5,02y-2,20z

b) √ (3,122+5,022+(-2,2)2) = 6,30km

Problema 49 Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la pantalla del radar. La primera está a una altitud de 800m, 19,2km de distancia horizontal y O25ºS. La segunda está a una altitud de 1100m, 17,6km de distancia horizontal y O20ºS ¿Cuál es la distancia entre las dos aeronaves? (Coloque el eje X al oeste, el eje Y al sur y el eje Z vertical (problema 49, pag 68, serway, sétima edición)

Solución

800m =z 1100m=z

-17401x+-8114y+800z -16538,59x-6019,55y+1100z

(-17401x+-8114y+800z) – ( -16538,59x-6019,55y+1100z)

-863x+-2094,45y-300z

√((-863)2 +(-2094,45)2+(-300)2 ) = 2285,05m

Problema 57 Una persona que sale a caminar sigue la trayectoria que se muestra en la figura. El viaje total consiste en cuatro trayectorias en línea recta. Al final de la caminata. ¿cuál es el desplazamiento de la persona medido desde el punto de partida? (problema 57, pag 69, serway, sétima edición)

Σx= 100+0-150cos30-200cos60=-129,9Σy=0-300-150sen30+200sen60=-201,79

√ ((-129,9)2 + (-201,79)2 ) = 240m θ=tan-1 (-201,79/-129,9) = 57 +180 = 237º

R/ 240m 237º