Unidad 3Movimiento en una dimensión

Es el movimiento de un objeto a lo largo de una línea recta, para fines prácticos se utilizará el modelo de partícula, el objeto se considera un punto.

ConceptosDistancia = Es la longitud de una trayectoria seguida por una partícula.Desplazamiento = Cambio de posición en un intervalo de tiempo. Distancia en

línea recta de la posición inicial a la final.Δx= xf-xiRapidez promedio= Distancia total recorrida entre el intervalo de tiempo total.

V = d/t

Velocidad promedio = Desplazamiento de la partícula entre el intervalo de tiempo

Vx prom = Δx/Δt

Velocidad o velocidad instantanea = Es el límite de la proporción Δx/Δt conforme Δt tiende a cero

Vx = lim Δx = dx Δt =0 Δt dt (derivada)

Rapidez instantanea = Es la magnitud de la velocidad instantanea

Ej

d= 4+6,92 = 10,92m Vm=10,92/6=1,82m/s V(1,5)=4/2=2m/s

→ → →d= 8m E60ºN Vm=8mE60ºN/6 V(3)=6,92/4=1,73m/sN

Ej

Una partícula se mueve de acuerdo a la expresión X=3t3-2t2+6 con X en metros y t en segundos.

1) ¿Cuál es la posición de la partícula a los 2s

X=3t3-2t2+6X=3*23-2*22+6=22m

2) ¿Cuál es el la magnitud del desplazamiento de los 2s a los 3s

X=3*23-2*22+6=22m X=3*33-2*32+6=69m

V=dx/dt= d(3t3-2t2+6)/dt

V= 9t2-4t+0

V= 9*22-4*2+0 = 28m/s

La derivada de X es V La derivada de V es a

¿Cuál es la magnitud de la velocidad media de 2 a 3?

Vm= d/t = 47/1 =47m/s

Aceleración promedia= Es el cambio de la velocidad instantánea en un intervalo de tiempo

ax prom = ΔVx/Δt

Aceleración instantánea= Limite de la velocidad promedio conforme Δt tiende a cero

ax = lim ΔVx/Δt = dV/dt t0

Si la velocidad y aceleración tienen la misma dirección el objeto aumenta su velocidad, si son contrarias frena.

Ej Una partícula se mueve de acuerdo a la expresión

X=2*t3+3*t2-5t + 2

a) Encuentre la expresión de la velocidad

V=dx/dt= d(2*t3+3*t2-5t + 2)/dt

V= 6*t2+6*t -5

b) Encuentre la expresión de la aceleración

a=dV/dt= d(6*t2+6*t -5)/dt

a= 12t+6

c) Encuentre la aceleración promedio de 2s a 5s

V(2) = 6*t2+6*t -5=6*22+6*2 -5=31m/s

V(5) = 6*t2+6*t -5=6*52+6*5 -5=175m/s

ax prom = ΔVx/Δt = (175-31)/(5-2) = 48m/s

Partículas bajo aceleración constante

Ej Un auto viaja a 20km/h y en 3km aumenta su velocidad a 40km/h. Determine la aceleración en km/h2

Vf2=Vi2+2 a d

602=202+2 a 3

3200=6 a

533,3 km/h2=a

La aceleración del auto es 533,3 km/h2

Un auto arranca y acelera a 3 m/s2 durante 4s. Luego viaja con velocidad constante 150m. Finalmente desacelera por 100m hasta detenerse. ¿Cuánto tiempo tarda el viaje? ¿Qué distancia viajó?

SoluciónEn este problema el comportamiento del móvil cambia tres, veces ( tres tramos o

intervalos), debemos representar la situación para comprender mejor el problema.

La velocidad inicial del punto a y final del punto d son datos que se obtienen partir de la interpretación del enunciado del problema ( arranca entonces Vi =0, se detiene entonces Vf = 0).

En el primer tramo desconocemos el valor de la velocidad final y la distancia que avanza, los datos que tenemos son

Vo = Om/s a = 3 m/s2 t= 4s Vf = ? d=?

Al aplicar fórmulas tenemos

Vf = Vi + aºt

Vf = 0 + 3º4

Vf = 12 m/s

d= (Vf + V0) º. t 2

d= (12+0)º 4 = 24m 2

Note que este valor final para el primer tramo es el valor inicial para el segundo tramo, como la velocidad se mantiene constante ahí, la velocidad del punto c también es 12 m/s.

El segundo intervalo es con velocidad constante.

V= 12m/s d= 150m t= ?

Siendo movimiento rectilíneo uniforme MRU,la fórmula a utilizar es

t= d/v

t= 150/12

t = 12,5s

En el tercer intervalo la rapidez inicial también es 12m/s, por ser el tramo anterior con velocidad constante, falta encontrar aceleración y tiempo

a = ? Vf = 0 m/s Vi = 12 m/s d=100m t=?

Vf2=Vi2+2 a d

02 = 122 + 2 a 100

0 = 144 + 200 a

-144/200 = a

-0,72m/s2 = a

d= Vi t + 1/2 a t2

100= 12 t + 1/2 -0,72 t2

0= 12 t + -0,36 t2-100

t=16,66s

Ya teniendo analizados todos los tramos podemos encontrar el tiempo total y la distancia total.

t total = 4s +12,5s + 16,66s = 33,16s

d total = 24m + 150m + 100m = 274m

Respuesta:. Recorre una distancia total de 274m en un tiempo de 33,16s

Ej

Dos autos separados 1000m salen a la vez a su encuentro, el auto A viaja con velocidad constante de 8m/s, el auto B parte del reposo y acelera a 5m/s2. En cuanto tiempo se encuentran? ¿Qué distancia viaja c/u? ¿Qué velocidad alcanza c/u?

a)d1=Vi*t d2=vi t + ½ a t2

d1= 8t d2=0t+ ½ 5 t2

d2=2,5 t2

d1+d2=1000m8t + 2,5 t2 = 10002,5 t2+8t-1000=0

t=18,46s t=-21,66s

R/ 18,46s

b) d1= 8t d2=0t+ ½ 5 t2

d1=8*18,46 d2=2,5 t2

d1=147,68m d2=2,5*18,472

d2=851,92m

c) V1 = constant = 8m/s Vf=Vi+a t

Vf=0+5*18,46Vf=92,3m/s

Ej

Es la recta final de una competencia, el auto A persigue al auto B que esta a 250m delante de él. El B viaja a 40m/s y acelera a 2m/s2, el A viaja a 20m/ y acelera a 3m/s2 ¿Qué distancia debe haber a la meta para que gane A?

250+d=20t+ ½ 3 t2 d=40t+ ½ 2 t2

250+(40t+ ½ 2 t2)=20t+ 1,5 t2

250+40t+ 1 t2-20t-1,5 t2=0- ½ t2+20t+ 250=0t=50 t=-10

t = 50s porque se descarta el valor negative

d=40*50+ ½*2*502=4500m

Para que gane A debe haber más de 4500m medidos desde B o mas de 4750m medidos desde A

Un auto viaja con rapidez constante de 45m/s, pasa al lado de un patrullero oculto que está detenido y sale en su persecución un segundo después de ver el auto pasar a su lado, acelerando a 3m/s2 ¿Cuánto tarda en alcanzarlo?

No salen a la vez, para que el tiempo de movimiento sea el mismo es necesario calcular la ventaja que le saca el auto en 1s a la moto

V=d/t45=d/145=d

d=vi t + ½ a t2 d=vi t 45+d= 0t+ ½ 3 t2 d=45 t

45+45t= 1,5 t2

0= 1,5 t2 - 45t -45tt=30,96 se descarta el valor negativo

El tiempo total es 1+30,96=31,96s

Caída libre

Un objeto en caída libre es aquel que se mueve libremente sólo bajo la influencia de la gravedad.

La aceleración en la tierra es 9,8m/s2 y siempre apunta hacia abajo.

A la misma altura el móvil posee la misma magnitud de la velocidad subiendo y bajando, pero la dirección es contraria, en el punto más alto la velocidad es cero el tiempo en subir es el mismo en bajar

Se lanza una piedra al aire verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio de 50m con una velocidad de 20m/s, la piedra libra el borde del edificio y cae

a) Altura máxima medida desde la base del edificio

Vi=20m/s Vf2=Vi2+2 a dVf=0m/s 02=202+2*-9,8*da=-9,8m/s -400=19,6*dd=? 20,40m=d

la altura máxima medida desde la base = 50+20,40=70,40m

b) Velocidad al llegar al suelo

Vi=20m/s Vf2=Vi2+2 a dVf=? Vf2=202+2*-9,8*-50a=-9,8m/s Vf=√1380 d=-50 Vf=+/- 37,14m/s

en este caso la respuesta es 37,14m/s hacia abajo interpretando el menos

c) Tiempo en llegar a la mitad de la altura del edificio

Vi=20m/s d=vi t + ½ a t2

t=? -25=20*t + ½ -9,8 t2

a=-9,8m/s 0=20*t + ½ -9,8 t2 +25d=-25m t=5,08s

El tiempo en caer es de 5,08s (se descarta el valor negative del tiempo)

Práctica

Desde 100m de altura se deja caer una bola y al mismo tiempo se lanza al aire otra verticalmente hacia arriba a 50m/s ¿Qué velocidad lleva cada una al cruzarse en el aire?

t1=t2

d=vi t + ½ a t2 d=vi t + ½ a t2

d1=0 t + ½ -9,8 t2 d2=50 t + ½ -9,8 t2

d1= -4,9 t2 d2=50 t + -4,9 t2

│d1│+d2=100 4,9 t2 +50 t + -4,9 t2 =100

50 t = 100t=100/50 = 2s

Vf=Vi+at Vf=Vi+atVf=0+-9,8*2 Vf=50+-9,8*2Vf=-19,6m/s Vf=30,4m/s

Ej

Desde un edificio de 100m se lanza hacia el suelo una piedra verticalmente hacia abajo a 3m/s, al mismo tiempo se lanza una segunda piedra verticalmente hacia arriba a 5m/s.

a) Cuando la primera llega al suelo ¿Cuál es la velocidad de la segunda?

d=vi t + ½ a t2 -100=-3 t + ½*-9,8 t2

0=-3t -4,9 t2 +100t=4,22s (t=-4,83s descartado)

Vf=Vi+atVf=5+-9,8*4,22Vf=-36,35m/s

b) A los 2s de estar en el aire ¿Cuál es la separación entre ambas?

d=vi t + ½ a t2 d=vi t + ½ a t2

d=-3*2 + ½*-9,8* t2 d=5*2 + ½*-9,8*t2

d=-25,6m d=-9,6m

d=-25,6-(-9,6) │d│= 16m

Ej

EjemploSe lanza una piedra al aire verticalmente hacia arriba a 10m/s desde un precipicio de 100m. Determine a) el tiempo en subir b) el tiempo en el aire c) altura máxima medida de la base del precipicio d) la velocidad al llegar al suelo e) la velocidad a los 4s de lanzado

a) tiempo en subir al punto más alto

Vf = Vi + aº t0 = 10 + -9,8 º t-10 = -9,8 º t-10/-9,8 = t1,02s = t

b) tiempo en el aire

No podemos decir que es el doble del tiempo en subir ya que las distancias subida y bajada por la piedra no son las mismas

d = V0º t + ½º aº t2

-100=10º t + ½º -9,8º t2 (ecuación cuadrática, pararesolverla 0=100 +10º t + -4,9º t2 igualamos a cero y ordenamos)

C B A

0 = -4,9t2 +10t + 100 A B Ct= -3,61s t=5,65s descartamos el valor negativo

c) altura máxima medida desde la base del precipicio

Vf2=Vi2+2 a d02=102+2*-9,8*d-100=-19,6d-100/-19,6=d5,1=dR/ 5,1 + 100 = 105,1m

d) Velocidad al llegar a 15m del suelo

Vf2 = Vi2 + 2ºaºdVf2 =(10)2 + 2º –9,8º -85Vf2 = √1766Vf = +/- 42,02m/s (tomamos la respuesta negativa, por moverse

hacia abajo)

R/ Llega al suelo con una velocidad de 42,02m/s hacia abajo

Ejercicios recomendados

3, 9,10, 13, 20, 23, 24, 25, 32, 38, 39, 41,51

Problema 3 Una persona camina, primero, con rapidez constante de 5m/s a lo largo de una línea recta desde el punto A al punto B y luego de regreso a lo largo de la línea B a A con una rapidez constante de 3m/s. a) ¿cuál es su rapidez promedio durante todo el viaje? b)¿Cuál es su velocidad promedio durante todo el viaje? (problema 3, pag 66, serway, sétima edición)

Solución

Veloc=5m/s Veloc=3m/s

AB BA

d=x d=xv=5 v=3t=d/v=x/5 t=d/v=x/3

a)v= distancia total = x+x = 2x = 3,75m/s tiempo total (x/5+x/3) (8x/15)

b) V = d = x+x = 0 = 0m/s t (x/5+x/3) (8x/15)

Problema 9

Una liebre y una Tortuga compiten en una carrera en una ruta de 1km de largo. La tortuga paso a paso continuo y de manera estable a su máxima rapidez de 0,2m/s se dirige hacia la línea de meta. La liebre corre a su máxima rapidez de 8m/s hacia la meta durante 0,8km y luego se detiene para fastidiar a la tortuga. ¿Cuán cerca de la meta la liebre puede dejar que se acerque la tortuga antes de reanudar la carrera, que gana la tortuga en un final de fotografía? Suponga que ambos animales, cuando se mueven, lo hacen de manera constante a su rapidez máxima. (problema 9, pag 46, serway, sétima edición)

Solución

Vtortuga =0,2m/sVliebre=8m/s

200-d=0,2t d=8t

200-8t=0,2t

200= 0,2t+8t

200=8,2t

200/8,2=t

24,39m/2

d=8td=8*24,39= 195,12m

dTortuga=200-195,12=4,87m

Problema 10

Una superbola de 50g que viaja a 25m/s bota en una pared de ladrillo y robota a 22m/s. Una cámara de alta rapidez registra este evento. Si la bola está en contacto con la pared durante 3,5ms ¿Cuál es la magnitud de la aceleración promedio de la bola durante este intervalo de tiempo? Nota: 1ms=10-3s(problema 10, pag 46, serway, sétima edición)

Solución

m=50g a=(Vf-Vi)/tvi=25m/s a=(-22-25)/3,5x10-3

vf=-22m/s (rebota) a= -12428,5m/s2

t=3,5ms = 3,5x10-3s

Problema 13

Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acedo con la ecuación x=2+3t-1t2, donde x está en metros y t en segundos. En t=3s, encuentre a) la posición de la partícula b) su velocidad y c) su aceleración (problema 13, pag 47, serway, sétima edición)

Solución

a)x=2+3t-1t2

x=2+3*3-1*32

x=2m

b) V=x’=3-2t V=3-2*3

V=-3m/s

c) a=V’=-2m/s2

Problema 20

Un camión cubre 40m en 8,5s mientras frena de manera uniforme a una rapidez de 2,8m/s a) Encuentre la rapidez original y la aceleración (problema 20, pag 47, serway, sétima edición)

Solución

Vi=? a=? d=40m a=-2m/s2 vf=2,8m/s t=8,5

d=(Vf+vi)t 2

40=(2,8+vi)*8,5 2

Vi=6,61m/s

Vf=vi+at2,8=6,61+a*8,5-0,44=a

Problema 23

Un jet se aproxima para aterrizar con una rapidez de 100m/s y una aceleración con una magnitud máxima de 5m/s2 conforme llega al reposo. a)Desde el instante cuando el avión toca la pista, ¿Cuál es el intervalo de tiempo mínimo necesario antes de que llegue al reposo? b) ¿Este avión puede aterrizar en el aeropuerto de una pequeña isla tropical donde la pista mide 0,8km de largo? (problema 23, pag 48, serway, sétima edición)

Solución

Vf=0m/s a=-5m/s2 vi=100m/s t=? d=?

Vf= vi + a t0=100+-5t-100/-5=t20s=t

d=(Vf+vi)t 2d=(0+100)*20 2d=1000m (no puede aterrizar porq la pista es menor)

Problema 24

En t=0,un carro de juguete se pone a rodar en una pista recta con posición inicial de 15cm, velocidad inicial de -3,5cm/s y aceleración constate de 2,4cm/s2.En el mismo momento, otro carro de juguete se pone a rodar en una pista adyacente con posición inicial de 10cm, una velocidad inicial de +5,5cm/s y aceleración constante cero.

a) En que tiempo, si alguno, los dos carros tienen iguales rapideces?b) ¿Cuáles son las rapideces en dicho tiempo?c) ¿En que tiempo(s), si alguno, los carros se rebasan mutuamente?d) ¿Cuáles son sus ubicaciones en dicho tiempo?

(problema 24, pag 48, serway, sétima edición)

Solución

vi = 3,5cm/s vi=5,5cm/sa=2,4cm/s2 a=0cm/s2

a) La aceleración y la velocidad tienen diferente signo, el movil desacelera, se detienen e inicia un movimiento hacia la derecha

vf=5,5cm/s vi =-3,5cm/s a=2,4cm/s2 t?

vf=vi+at5,5=-3,5+2,4*t t=3,75s

b) las rapideces son 5,5m//s ya que uno es constantec) d = V0º t + ½º aº t2 d=v*td+5=-3,5t+½º 2,4º t2 d=5,5t

d+5=-3,5t+½º 2,4º t2

5,5t+5=-3,5t+1,2º t2

0=-9t+1,2º t2-5t=8,02m

d)

d=v*td=5,5*8,02= 44,05 d=44,11+15=59,11m de Xo

y debe ser la misma para el otro pero se puede comprobar si el problema esta bien resuelto

d = V0º t + ½º aº t2 = d = -3,5*8,02 + ½º 2,4º 8,022=49,11+10=59,11m de Xo

Problema 25

El conductor de un automóvil aplica los frenos cuando ve un árbol que bloquea el camino. El automóvil frena uniformemente con una aceleración de -5,6m/s2 durante 4,2s y hace marcas de derrape rectas de 62,4m de largo que terminan en el árbol ¿Con que rapidez el automóvil golpea el árbol? (problema 25, pag 48, serway, sétima edición)

Solución

t=4,2s a=-5,6m/s2 d=62,4m vf= ? vi=?

62,4 = V0º 4,2 + ½º -5,6º 4,22

(62,4+49,39)/4,2=Vi26,61m/s=Vi

Vf=Vi+atVf=26,61+-5,6*4,2Vf=3,09m/s

Problema 32

Speedy Sue, que conduce a 30m/s, entra en un túnel de un carril. En seguida observa una camioneta lenta 155m adelante que se mueve a 5m/s. Sue aplica los frenos pero sólo puede acelerar a -2m/s2 porque el camino está húmedo. ¿Habrá una colisíón? Establezca cómo llega a su respuesta. Si es sí, determine cuán lejos en el túnel y en que tiempo ocurre la colisión. Si es no, determine la distancia de acercamiento más próxima entre el automóvil de sue y la camioneta (problema 32, pag 49, serway, sétima edición)

Solución

d = V0º t + ½º aº t2 d=v*t155+d = 30º t + ½º -2º t2 d=5t155+5t = 30t - 1t2

0=25t - 1t2-155t=11,38s y t= 13,61s

hay dos tiempo positivos porque hay dos tiempos en los que la posición es la misma

para que no choquen el auto debe igualar la velocidad del otro así que

vf =vi +at5=30+-2tt=12,5s

Si hay colisión porque ocupa más tiempo para reducir la velocidad del de encuentro

d=vtd=5*11,38d=56,9m + 155 = 211,9m desde la entrada del túnel al choque

Problema 38Una bola se lanza directamente hacia arriba, con una rapidez inicial de 8m/s, desde una altura de 30m ¿Después de qué intervalo de tiempo la bola golpea al suelo?(problema 38, pag 49, serway, sétima edición)

Solución:

d = V0º t + ½º aº t2

-30=8t+½º -9,8º t2

0=30+8t+½º -9,8º t2

t=3,42s

Problema 39Un estudiante lanza un conjunto de llaves verticalmente hacia arriba a su hermana de fraternidad, quien está en una ventana a 4m arriba. Las llaves las atrapa 1,5s después con la mano extendida. A) ¿Con qué velocidad inicial se lanzaron las llaves? b)¿Cuál fue la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas? (problema 39, pag 49, serway, sétima edición)

Solución

d = V0º t + ½º aº t2

4=Vi*1,5+½º -9,8º 1,52

(4+11,02)/1,5=10,01m/s=vi

Vf=vi+atVf=10,01+-9,8*1,5Vf=-4,69m/s (hacia abajo)

Problema 41Se golpea una pelota de beisbol de modo que viaja recto hacia arriba después de ser golpeada por el bat. Un aficionado observa que la bola le toma 3s llegar a su máxima altura. Encuentre a)la velocidad inicial de la bola y b)la altura que alcanza (problema 41, pag 49, serway, sétima edición)

Solución

Vf=vi+at0=vi+-9,8*3Vi=29,4m/s

d=(Vf+vi)t 2d=(29,4+0)*3 2d=44,1m

Problema 51 Un cohete de prueba se dispara verticalmente hacia arriba desde un pozo. Una catapulta le da una rapidez inicial de 80m/s a nivel del suelo. Después se encienden sus motores y acelera hacia arriba a 4m/s2 hasta que llega a una altitud de 1000m. En este punto sus motores fallan y el cohete entra en caída libre, con una aceleración de-9,8m/s2 a)¿Para que intervalo el cohete está en movimiento sobre el suelo? b)¿cuál es su altitud máxima? c)¿Cuál es la velocidad justo antes de tocar la tierra? (Necesitará considerar el movimiento mientras el motor funciona separado del movimiento en caída libre) (problema 51, pag 50, serway, sétima edición)

Solución

Mientras el motor funciona

d = V0º t + ½º aº t2

1000=80º t + ½º 4º t2

0= -1000+80º t + ½º 4º t2

t=10s (subida con el motor funcionando)

pero continua subiendo por el impulso, el valor de ese impulso es

vf=vi+atvf=80+4*10vf=120m/s

de este punto al suelo

d = V0º t + ½º aº t2

-1000 = 120º t + ½º -9,8º t2

0=1000 + 120º t + -4,9º t2

t=31,06s

t total= 10+31,06=41,06s

Vf2=Vi2+2ad02=1202+2*-9,8*dd=734

734+1000=1734m es la altura maxima

Vf2=Vi2+2adVf2=1202+2*-9,8*-1000Vf=√34000Vf=184,39m/s hacia abajo