(DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA)

La distancia del punto P(x1,y1) a la recta Ax + By + C = 0 es:

D = 2B

2A

C1By1Ax

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR LA INTERSECCI0N DE DOS CIRCUNFERENCIAS.

Sean las circunferencias:

M1: x2+y2+A1x+B1y+C1 = 0 ................... (1)

M2: x2+y2+A2x+B2y+C2 = 0 ................... (2)

Entonces la familia de las circunferencias que pasan por la intersección

de las circunferencias M1 y M2 se expresa por:

M: x2+y2+A1x+B1y+C1 +k(x2+y2+A2x+B2y+C2) ...... (3)

donde kℝ.

La ecuación (3) se puede expresar en la forma:

(1+k)x2+(1+k)y2+(A1+kA2)x+(B1+kB2)y+C1+C2k...... (4)

Si k=-1, entonces (4) representa una recta llamada eje radical de c1 y

c2

EJERCICIOS. 1. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (1,3) y que

es tangente a la recta y-5x-5=0.

2. Determine la ecuación de la circunferencia con radio 4, que es

tangente a la recta x=4, y=2, y que se localiza arriba y derecha de

dichas rectas.

3. Determine la ecuación de las circunferencias de radio 4 con centro sobre la recta 4x+3y+7=0 y que sea tangente a 3x+4y+34=0.

4. Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje Y y que pasa por los puntos P(1,4) y B(2,3).

Eje radical

5. Determine la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de lados 3x+4y-4=0; 3x-4y+12=0; y=0.

6. Determine la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y, pasa por (2,8) y de centro en x-2y+3=0.

7. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(1,1) y B(2,2) y sea tangente a la recta 2x-y+6=0.

8. Determine el ángulo que forman las tangentes que parten desde P(4,8) a la circunferencia x2+y2=4.

9. Encuentre una ecuación para la circunferencia que satisface las

condiciones dadas:

a) Centro C(2,6) , radio r= 4. b) Centro C(-3,4), y pasa por P(4,6). c) Los extremos de uno de sus diámetros son A(1,4) y B(6,6).

10. Determine el centro y el radio de la circunferencia que satisface

la ecuación dada:

a) x2+y2+4x-2y+2=0 b) x2+y2-8x+2y+1=0 c) 2x2+2y2-x+y-3=0

11. Hallar la ecuación de un círculo que pasa por los puntos A(2,-2) y

B(3,4) y su centro está en la recta x+y=2

12. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas

paralelas: x-2y-2=0 y x-2y+4=0, y a una de ellas en el punto P(4,1).

13. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en: 3x-6y+9=0

y pasa por el punto P(4,2) y es tangente a la recta: x+y-4=0.

14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

A(4,-1) y B(-2,-4) y cuyo centro está en: 2x-y+6=0.

15. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y que sea

tangente a la recta: 4x-y+12=0, en el punto P(-1,8).

16. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las tres

rectas: x+y+8=0; x-2y+2=0; 2x-y-4=0.

17. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por P(0,2) y que

es tangente a la curva y = x2 en el punto Q(1,1).

18. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia

x2+y2-2x+4y=0 que son perpendiculares a la recta x-2y+9=0.

19. Si la distancia de P(x,y) al punto (6,0) es el doble de su distancia

al punto (0,3). Muestre que P está sobre un círculo.

20. Hallar la ecuación del círculo que pasa por

A(2,3),B(3,2) y C(-4,3).

21. Encuentre el valor de K para que la circunferencia x2+y2-8x+10y+K=0

tenga radio igual a 7.