circunferencia completo

8/20/2019 Circunferencia Completo

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Circunferência

Matemática – 9.º ano

Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de umponto (centro)

Corda é um segmento derecta que une dois pontos dacircunferênciaDiâmetro é toda a corda quepassa peo centro dacircunferência

O diâmetro é a maior dascordas

O diâmetro divide acircunferência em duas semi-

Diâmetro

Corda

Raio

!aio é um segmento de rectaque une um ponto dacircunferência ao seu centro


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Circunferência


Ângulo ao Centro e Arco de Circunferência

"m ânguo formado por dois raios designa#se

ânguo ao centro (o $értice do ânguo

coincide com o centro da circunferência)

c

A

B

%uaquer por&'o da circunferência determinada

por dois dos seus pontos que s'o os etremos

do arco designa#se *rco de circunferência.

+ota – %uando faamos em arco sem nada

acrescentar referimo#nos ao arco menor

» AB


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Circunferência


*o ânguo ao centro *C, corresponde a

corda -*, e o arco -*, e $ice#$ersa.

+uma circunferência quaquer ânguo que

n'o seja ao centro di/#se ecêntrico.

0ág.12 – eerc3cio 1Observa a circunferência de centro O da figura:

a) Identifica quatro ânguos ao centro

b) Indica dois !ares de ânguos aocentro geometricamente iguais

c) Cassifica quanto aos "ados o triângu"o

#$OD% 4riânguo is5scees

µ µ µ µ; ; AOB BOC COD e EOD

µ µ

µ µ

BOC F OE

AOB EOD

≅

≅


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Circunferência


- a cada ângu"o ao centrocorres!onde um arco e vice-versa

&uma circunferência:

- A arcos iguais corres!ondem

cordas e ânguos ao centro iguais

- A ânguos ao centro iguaiscorres!ondem arcos e cordas iguais

- A cordas iguais corres!ondemarcos e ânguos ao centro iguais

- A am!"itude de um arco é igua" ' am!"itudedo ânguo ao centro corres!ondente

C

(

*

I

C

A

B$

D


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Circunferência


Observa a figura onde [MT] ⊥ [EA].

0ág.16 – eerc3cio 6

+rova que

Res!osta:

$sta afirma,o é verdadeira !orque se

trata dos com!rimentos dos "ados de um

quadrado. !ois como #/0% e #$A% so

diâmetros da circunferência. re!resentam

as diagonais de um quadrado. !or serem

iguais

MA AT TE EM = = =

MA AT TE EM = = =


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Circunferência


Na figura abaixo, [AD] é um diâmetro da circunferência de

centro O, é a bissectriz do ânguo !OD"

0ág.16 – eerc3cio 7

a) Ca"cu"a

b) 1ue !odemos conc"uir em re"a,o a

+orquê2

c) $ em re"a,o a +orquê2

d) 3u!ondo que . ca"cu"a o com!rimento do arco AB

A am!"itude dosarcos é 456 !orque a am!"itude dos ângu"os aocentro corres!ondentes também é 456

Os com!rimentos das cordas so iguais!orque a arcos e ângu"os ao centro iguaiscorres!ondem cordas iguais

µ 60º AOB e O C •

=

µ µ . BOC e COD

» » », , . AB BC CD

, . AB BC e CD

2 AO cm=

»2

2

4 22 , 2 4 log .

6 6 3

P Se AO cm r cm e d cm o AB cm

π π ÷

÷

= = = = = =e

µ µ60º ; 60º BOC COD= =

P d π = ×e


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Circunferência


Observa as figuras e determina, em cada caso, os vaores de x e y "

0ág.26 – eerc3cio 1 a) e c)

x y

a)

c)

x+30º 2x - 10º

7ngu"os vertica"mente o!ostos

30º 2 10º

2 10º 30º

1 40º

40º

x x

x x

x

x

+ = − ⇔

⇔ − = − − ⇔

⇔ − = − ⇔

⇔ =

30º 30º y e x= =


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Circunferência


Ângulo inscrito

8m ângu"o formado !or duas cordas designa-

se ânguo inscrito 9o vértice do

ângu"o coincide com um !onto da

circunferência)

$c

(

D

A am!"itude de um ânguo inscrito é igua"

a metade da am!"itude do arco

com!reendido entre os seus "ados

O ânguo ao centro tem de am!"itude 8º. "ogo aam!"itude do arco corres!ondente também é 8º. oque significa que a am!"itude do ânguo inscrito é

igua" a metade da do arco corres!ondente 98º:2;7º)

8º


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Circunferência


Observa a figura e indica#

0ág.1< – eerc3cio =

a) 8m ângu"o ao centro

b) 8m ângu"o inscrito

c) 8m arco de circunferência

d) 8m raio de circunferência

e) 8ma corda da circunferência

AOC S

ABC S

» AB

[ ]OC

[ ] AB


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Circunferência


$onsidera a circunferência de centro O"

0ág.1< – eerc3cio >

a) #AB% e #DC% so diâmetros +orquê2

b) 3e . ca"cu"a:

b;)b)

+orque so cordas que !assam !e"o centro

b?)

µ 34º ( )COB ângulos verticalmente opostos=

µ 34º AOD =

µCOB

µ ABD» DB

µ ADB

µ B AD

µ 34º 17º2

ABD = =

» 180º 34º 146º DB = − =

µ

µ

»

180º 34º 146º73º

2 2

( 1 )

146º73º

2

( 146º )

B AD

ângulos de isósceles

B AD

ângulo inscrito correspondente a BD ue !

−

= = =

= =

Vµ 360º 146º 34º 180º 90º

2 2 ADB

− −

= = =


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Circunferência


Abre agora o !rograma eogebra. no teucom!utador. e verifica o e@erccio anteriorcome,ando !or:

tra,ar uma recta 9com < !ontos) desenar uma circunferência 9centro sobre um !onto e raio

no outro)

marcar os !ontos A e Bmarcar o ângu"o AOD de =>6 e os !ontos D e C marcar a corda DBverificar todos os resu"tados

http://c/Users/Ana%20Lu%C3%ADsa/Desktop/GeoGebra.lnkhttp://c/Users/Ana%20Lu%C3%ADsa/Desktop/GeoGebra.lnk


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Circunferência


Ângulo inscrito

0ropriedades?

Os ângu"os inscritos no mesmo arco de

circunferência so geometricamente

iguais

1ua"quer ângu"o inscrito numa semi-

circunferência é recto


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Circunferência


O triânguo [MA%] re&resentado na figura é rectânguo em A e os seus

três vértices &ertencem ' circunferência"

0ág.1> – eerc3cio 12

3abendo que e que

ca"cu"a

» ¼ MA "M = µ 30º M #A =

µ" A#

» » ¼

µ

¼

µ¼ ¼

µ

µ µ

30º 2 60º log 60º

90º ( )

180º

180º 60º

2 2

12060º

2

MA MA o "M

M A# ângulo inscrito numa semi circun$er%ncia

ent&o M"#

M"# M""A# " A#

" A# " A#

= × ⇔ = =

= −

=

− −= ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ =


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Circunferência


Abre novamente o !rograma eogebra e verificao e@erccio anterior come,ando !or:

tra,ar uma recta com dois !ontos

desenar uma circunferência 9centro sobre um !onto e raio nooutro) marcar os !ontos / e R tra,ar o ângu"o /RA de =56

marcar o !onto A e a corda #/A% verificar que o ângu"o /AR é 56 tra,ar uma recta !er!endicu"ar a /R e marcar o !onto 1 verificar todos os resu"tados

http://c/Users/Ana%20Lu%C3%ADsa/Desktop/GeoGebra.lnkhttp://c/Users/Ana%20Lu%C3%ADsa/Desktop/GeoGebra.lnk


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Circunferência


@io de simetria de uma circunferência

Qualquer recta que passe pelo centro de uma

circunferência é eixo de simetria da circunferência.


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Circunferência


%uaquer recta que passe peo centro de uma circunferência

di$ide ao meio as cordas que Ae s'o perpendicuares assim

como os ânguos ao centro e os arcos correspondentes.

+uma circunferência arcos e

cordas compreendidos entre

cordas paraeas s'o

geometricamente iguais.


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Circunferência


* tangente a uma circunferência

é perpendicuar B recta que

passa peo centro e peo ponto

de tangência.

tangente

56

0ág. 21 e.1=

a) )

!onto detangência


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Circunferência


0ág. 21 e.1>

a) b) c)


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Circunferência


Polígono é o conjunto de pontos do plano limitado por uma linhafechada, formada por segmentos de recta unidos pelas extremidades.

+o"gono &o +o"gono

s po3gonos podem ser cEnca$os ou con$eos.Cncavo Conve@o

0o3gonos


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Circunferência


0o3gono reguar m polígono regular é todo o polígono con!exo com as seguintes

características"

todos os seus lados têm a mesma

medida (são congruentes);

todos os seus ângulos internos têm

a mesma amplitude (são congruentes).

Diagona de um 0o3gono#iagonal de um polígono é qualquer

segmento de recta cujos extremos s$o

!értices n$o consecuti!os do polígono.

0o3gonos


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Circunferência


0o3gonos !eguares

0o3gono +.º Fados Gnguo aoCentro

GnguoHnterno

4riânguoequiátero

6 12º =º

%uadrado 7 9º 9º

0entágono < >2º 18º

Ieágono = =º 12º

... ... ... ...

... + 6=º:+; 18 # Gnguoao centro


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Circunferência


* soma das ampitudes dos ânguos internos de um po3gono

(con$eo) de n ados é igua a (n#2) 18º.

triângu"o

Ji ; (6 # 2) 18º ;; 1 18º ;; 18º +entEgono

Ji ; (< # 2) 18º ;; 6 18º ;; 2º

0o3gonos

Concluímos que"


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Circunferência


0o3gonos

Concluímos que"+um po3gono con$eo quaquer que

seja o nKmero de ados a soma dos

ânguos eternos é sempre 6=º.


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Circunferência


+o"gonos inscritos numa circunferência

0o3gono +.º ados +.º triânguosJoma dos ânguosinternos

4riânguo 6 1 18º

%uadriátero 7 2 2 L 18º ; 6=º

0entágono < 6 6 L 18º ; 2º

Ieptágono >

ctagono 8


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Circunferência


0o3gonos

Concluímos que"

* ampitude do ânguo ao centro correspondente ao ado de um

po3gono reguar de n ados é

8m po3gono diF-se inscrito numa circunferência se esta contém todos os

seus vértices A circunferência diF-se circunscrita ao !o"gono

360º

n

µ 360º 72º5

DOC = =


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Circunferência


0o3gonos !eguares

0o3gono +.º Fados Gnguo aoCentro (*c)

GnguoHnterno (*i)

4riânguoequiátero

6 12º =º

%uadrado 7 9º 9º

0entágono < >2º 18º

Ieágono = =º 12º

... ... ... ...

... + *c ; 6=º:+ *i ; 18 # *c


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Circunferência


0ágina 61 – e. 2 a)

0o3gonos

0ágina 61 – e. 6

( 2) 180º 720º

180º 360º 720º

180º 720º 360º1080º

180º

6

: .

n

n

n

n

n

# O pol'gono ! um (ex)gono

− × = ⇔

⇔ − = ⇔

⇔ = + ⇔

⇔ = ⇔

⇔ =

(5 2) 180º

3 180º

540º

540ºint 108º

5

: int 108º .

5 360º

360º5

72º

: 72º .

Si

Si

Si

ângulo erno

# O ângulo erno !

n

n

n

# O ângulo externo !

= − × ⇔

⇔ = × ⇔

⇔ =

= =

= ⇔

⇔ = ⇔

⇔ =


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Circunferência


0ágina 61 – e. =

0o3gonos

0ágina 61 – e. >

( 2) 180º

(6 2) 180º

4 180º720º

Si n

Si

Si

Si

= − × ⇔

⇔ = − × ⇔

⇔ = × ⇔

⇔ =

720º

3 20º 30º 70º 720º

5 720º 20º 30º 70º600

120º5

: 120º .

Se Si ent&o

x x x

x

x x

# O valor de x !

=

+ + + + + = ⇔

⇔ = − − − ⇔

⇔ = ⇔ =

) 360º 60º 6

: .

a

# O pol'gono ! um (ex)gono regular

÷ =

) 360º 110º 3

: .

*

# O pol'gono ! um triângulo regular

÷ =

) 360º 36º 10

: .

c

# O pol'gono ! um dec)gono regular

÷ =

) 360º 90º 4

: .

d

# O pol'gono ! um uadrado

÷ =


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Circunferência


Como se pode determinar a área de um po3gono

reguar quaquer

Dividimos o !entEgono em cinco triângu"os

isGsce"es geometricamente iguais

Cama-se ap5tema de um po3gono reguarao segmento de recta que une o centro do!o"gono com o !onto médio de qua"quer um

dos "ados

#ABCD$% é um !entEgono regu"ar inscrito na circunferência

o a!Gtema do !entEgono coincide com a a"tura de cada triângu"oA

0o3gonos


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Circunferência


A Erea do !o"gono regu"ar #ABCD$% !ode ser obtida mu"ti!"icando !or ? a Ereade um dos triângu"os em que dividimos o !entEgono

a!

l "ado do !entEgono

0o3gonos

[ ] [ ] ABCDE AOB A 5 A = ×

V

[ ] AOB

ap A

2

×=

V

l

[ ] ABCDE

Logo,ap

A 52

×= ×

l

0 3


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Circunferência


re!resenta o !ermetro do !entEgono

De modo anE"ogo !rova-se que:

0 H !ermetro do !o"gono

ap H a!Gtema de um !o"gono

0o3gonos

[ ] ABCDE

P A ap

2= ×

poligono regular P A ap2

= ×

[ ] ABCDE

ap A 5

2

= ×l

[ ] ABCDE ap A P 2= ×

0 3


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Circunferência


0o3gonos0ágina 66

e. 2


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Circunferência


Cama-se HJM@4!H* a uma transforma,o geométrica em queso conservados os com!rimentos dos segmentos de recta e as

am!"itudes dos ângu"os

- 4ransa&'o

0ransforma uma figura ( noutra figura ( 9imagem de () tendo

como referência um vector - !efe'o

0ransforma uma figura ( noutra figura ( 9imagem de ()conecendo um ei@o 9recta) de simetria

- !ota&'o

0ransforma uma figura ( noutra figura ( 9imagem de () tendo umcentro de rota,o 9!onto) e a am!"itude 9ângu"o) da rota,o


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Circunferência


Intuitivamente. todos nGs sabemos o que é uma

rota,o. até !orque usamos esse termo no dia-a-dia.

quando nos referimos !or e@em!"o:

• uma roda dentada de uma mEquina• aos !onteiros de um re"Ggio

• ' roda de um vecu"o

• ' é"ice de um avio• ao movimento de rota,o que a 0erra faF em

torno de si mesmo

3imetria


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Circunferência


Associado ao conceito de rota,o estE o conceito deângu"o orientado

Deste modo. convencionou-se que o sentido contrErio

ao do movimento dos !onteiros de um re"Ggio é osentido !ositivo. enquanto que o sentido do movimento

dos !onteiros de um re"Ggio é o sentido negativo

3entido !ositivo

ângu"o orientado J56

3entido negativo

ângu"o orientado -56


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Circunferência


A figura #ABCD$% resu"tada rota,o de centro O e

am!"itude 56 da figura

#ABCD$%+or seu "ado. a figura

#ABCD$% resu"ta da rota,o

de centro O e am!"itude -56da figura #ABCD$%


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Circunferência


Uma Rotação d !nt"o # am$lit%d α &

R(#,α) ' a a$li!ação % ao $onto # a*

!o""+$ond" o $"$"io # a !ada $onto - daig%"a o"iginal a* !o""+$ond" %m $onto -,

tal %

que é uma !ota&'o

&o e@em!"o ao "ado aam!"itude do ângu"o é 456

α == // AO AeOAOA


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Circunferência



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Circunferência

circunferencia completo

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