ceba primero

7/21/2019 Ceba Primero

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CEBA APSTOL PABLO

Lideres en Educacin con Valores 1er Grado de Secundaria

1


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CEBA APSTOL PABLO


2

Veamos:Jeremy

76 kg.

Como te dars cuenta las joyas van agrupadas de3 en 3, de ahora en adelante lo representaremos:

= 2 2 1 (3)Me indica decuanto encuanto se

agrupanPero tambin existen muchas formas de agrupar,ahora bien intenta agrupar todos los rubes de 4en 4:

= 2 2 1 (3)= (4)

Meindica de cuantoen cuanto seagrupan, a este

nmero se lellama Base

Base Nombre delsistema

Cifra que se usan

2345678

9101112

BinarioTernarioCuaternarioQuinarioSenarioHeptanarioOctanario

NonarioDecimalUndecimalDuodecimal

0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, ...0, 1, 2, 3, ..

Por ejemplo:

1. Los meses del ao se agrupan en____________ meses, que es lo mismo que

usar el sistema ____________2. Los das de la semana se agrupan en________ 7 das, que equivale a usar elsistema ____________

3. Cuando compras pltanos los venden pormanos lo que equivale a usar el sistema__________

Menciona 3 ejemplos de otro sistema denumeracin:

1. _______________________________2. _______________________________3. _______________________________

Jotar y su alumno luego de tantas travesas sequedaron sin dinero y muy hambrientos vagando porel desierto a punto de morir, pero por suerte paraellos encontraron una lmpara mgica en la cual vivaun genio que les concedi el siguiente deseo: Podrspedir la cantidad de monedas de oro que desees peroten en cuenta que 3 monedas se convertirn en unajarra de agua ms pura, asimismo 3 jarras de agua seconvertirn en un suculento plato de exquisitos

manjares y por ltimo

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

2 2 1=

2 2 1

ASISTEMAS DE NUMERACIN


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CEBA APSTOL PABLO


3

3 platos de exquisitos manjares se convertirn encenizas, usa sabiamente tu deseo y diciendo

estas palabras desapareci. Cul es la mayorcantidad de jarras y platos de manjares quepodrn obtener Jotar y su alumno sin que seconviertan en cenizas?

Alumno Jotar

Qu base se ha utilizado? _____________Cul es la mayor cifra? _____________Y la menor cifra?

_____________

EENNGGEENNEERRAALL: Si la base es n: Mayor cifra a utilizar: ______ Menor cifra a utilizar:_____________

n tiene que ser un _____________

entero y mayor ______________ Las cifras son ______________ que labase.

Ejemplo:

- Si la base es 4:La mayor cifra ser: ____________La menor cifra ser: ____________El mayor nmero de 2 cifras es : _________El menor nmero de 2 cifras es : _________

- Si la base es 8:La mayor cifra ser: ____________La menor cifra ser: ____________

El mayor nmero de 3 cifras es : _________El menor nmero de 3 cifras es : _________

- Base 12:Mayor cifra: _____________Menor cifra: _____________Mayor nmero de 3 cifras:

_____________Menor nmero de 3 cifras: _____________

OOBBSSEERRVVAACCIINN

Todo nmero entre parntesis representauna sola cifra excepto la base:

4 (12) 8 (13)Tiene 3 cifras y no 4

1 cifra1 cifra

1 cifra

7 (16) (13) 6 (20)Tiene 4 cifras y no 6

1 cifra1 cifra

1 cifra1 cifra

Cuando se quiere representar un nmero yno se conocen las cifras se utilizan letras del

alfabeto y una barra encima de las cifras.Ejemplo:

Un nmero de 3 cifras: abc

Un nmero de 4 cifras en base 5 )5(abcd

abc abc

abc es un nmero de 3 cifrasabc = a x b x c

CCOONNVVEERRSSIINN DDEE UUNN NNMMEERROO EENNBBAASSEEnnAABBAASSEE1100

Nos encontramos nuevamente en la cueva delespritu avaro y Jotar ha logrado salir sano ysalvo con 2 rubes y 2 lingotes de oro que eralo mximo que poda cargar sin que muriera enla cueva. Tambin ingres a la cueva el alumnode Jotar y sali de la cueva cargando 2 rubes,2 estrellas y 2 lingotes que tambin era lomximo que poda cargar sin que muriera.Cuntos kg. de joyas carg Jotar y sualumno?


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CEBA APSTOL PABLO


4

Jotar

= 2 x 3 x 3 + 2 = 20 = 2 x 32+ 0 x 31+ 2 x 1

Alumno

= 2 x 3 x 3 + 2 x 3 + 2 = 26 = 2 x 3 2+ 2 x 31+ 2 x1

A este proceso se le llama Descomposicin

polinmica

Descomponer polinmicamente:

- 53(6)

= 5 x 61+ 6 x 1

- 123(4)

= 1 x 42+ 2 x 41+ 3

11212(4) = 1 x + 1 x + 2 x + 1 x + 2

)n(abc = a x n2+ b x n + c

)n(abcd = ____ + ____ + ____ + ____

AAPPLLIICCAACCIINN

Hallar a si )4(3a = 11

RREESSOOLLUUCCIINN

Se utiliza la descomposicin polinmica:

11 = )4(3a = a x 4 + 311 = a x 4 + 3

11 3 = 4 x a8 = 4a

4

8 = a a = 2

La descomposicin polinmica sirve parapasar un nmero en base n a la base 10.

OOTTRRAA FFOORRMMAA DDEE CCOONNVVEERRTTIIRR UUNNNNMMEERROOEENNBBAASSEEnnAABBAASSEE1100

123(4)

1 2 3

4 4 24

6 27

1

Mtodo de Ruffini

123(4) = 27

Este mtodo es ms prctico cuando elnmero tiene ms de 2 cifras.

La numeracin es una parte______________ que se encarga del estudiode la ___________ lectura y_______________ de los nmeros.

2 0 2 = 2 0 2(3)

2 2 2=

2 2 2(3)

5 3(6)

1 2 3(4)

x

x

+ +


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CEBA APSTOL PABLO


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1.Completar la siguiente oracin de manera

correcta:

La base de un sistema de numeracin es un

nmero __________________________ mayor

que __________

2. Cul es la mayor cifra que se puede utilizar en

un sistema de:

A.

Base 6? _________________

Base 13? _________________

Base M? _________________

Base (M - 2)? _________________

B.

Base 7? _________________

Base 16? _________________

Base (N + 1)? _________________

Base (6 - N)? _________________

3. Contesta las siguientes preguntas:

A.

El nmero 28(3) est mal escrito porque

_________________________________

__________________________________

El nmero 387(-4) est mal escrito

porque_______________________________

___________________________________B.

El nmero 4(-8)(12)est mal escrito porque

________________________

_____________________________

El nmero )1(abc est mal escrito porque

_________________________________

4. Escribir:

A. El mayor nmero de 3 cifras de labase 7: ________ El mayor nmero de 4 cifrasdiferentes de la base 8: _____________

B. El mayor nmero de 4 cifras de labase 8: _____________ El mayor nmero de 3 cifras de labase (N + 2): _____________

5. Escribir:

A. El menor nmero de 4 cifras de labase 6: _______________ El menor nmero de 3 cifrasdiferentes de la N _______________

B. El menor nmero de 3 cifras de labase 4: _______________ El menor nmero de 5 cifras de labase N: _______________

6. Indique que nmeros estn mal escritos:

A)I) 104(3) II) 806(9) III) )1b(aba (b > a > 0) (a, b enteros)

a) I b) II c) IIId) I y II e) I y III

B)

I) )6(34c II) 483(9) III) 12345(4)(c > 6)

a) I b) II c) III

d) I y II e) I y III

7. Cuntas cifras tienen los siguientes nmeros,si estn bien escritos?

A)

I) )8(2ab tiene: _____________II) (10) (11) 84(13) tiene: _____________III) )7(c)1a(a tiene: _____________

EJERCICIOS DE APLICACIN


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CEBA APSTOL PABLO


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1. Colocar > ; < = segn corresponda:

A)24(5) 23(6)30(9) 27

B)17(9) 18(9)13(4) 12(5)

2. Cunto suman todos los posibles valores dea en?

A)

I) )9(86a II) )4()2a)(1a(a

B)

I) )6(3a II) )6()1a)(3a(a

3. Cunto suman todos los posibles valores de aen?

A)

I) )6()a2(a2 II))6(3

a

2

a1

B)

I) )7()a3(a2 II) )a2(2

a8

4. Hallar los valores de a, b, c y d, si lossiguientes nmeros estn bien escritos. Darcomo respuesta la suma de cifras.

A) )5()c()d()b( 1c;3d2;1b;1a a) 3 b) 4 c) 8d) 10 e) 12

5. Hallar los valores de a y b si los siguientesnmeros estn bien escritos. Dar comorespuesta la suma de a + b

2

b

3

ba;8b )a(

a) 10 b) 12 c) 13d) 15 e) 18

6. Hallar el valor de a si:

)7(6a = 41

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

TALLER N 01


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CEBA APSTOL PABLO


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1. Cul es la mayor cifra que se puede utilizaren un sistema de:

Base (N + 3)? ____________ Base 14? ____________

2. Contesta las siguientes preguntas:

El nmero 2(13)(12) est malescrito porque ____________________ El nmero 13(-2)(3) est malescrito porque ____________________

3. Escribir: El mayor nmero de 3 cifrasdiferentes de la base 8. El mayor nmero de 3 cifrasdiferentes de la base 5.

4. Escribir: El menor nmero de 3 cifrasdiferentes de la base 7. El menor nmero de 4 cifrasdiferentes de la base 6.

5. Indicar que nmeros estn mal escritos:

I) 348(12) II) 776(7) III) )1(abc

a) I b) II c) IIId) I y II e) II y III

6. Cuntas cifras tienen los siguientes nmeros,si estn bien escritos?

I) )8(34ab II) )9(xy7 III) )11(ab)ab(12

a) 4; 3; 3 b) 4; 3; 4 c) 4; 3; 5d) 4; 4; 4 e) 4; 4; 5


231(6) 130(9)

396 1234(5)

8. Cunto suman los posibles valores de a en:? (a 0)

I) )a10(376 II) )a12(02a

a) 2 ; 10 b) 2 ; 15 c) 3 ; 15d) 3 ; 10 e) 4 ; 15

9. Cunto suman los posibles valores de a en?

)12(2

a)a2)(1a(

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

10. Hallar los valores de a y b, si los siguientesnmeros consecutivos estn ordenados demanera ascendente.Dar como respuesta (a + b)

)9(a2 ; 35(6) ; 30(b)

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

11. Hallar el valor de a; si: )9(7a3 = 286

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

12. Calcular el valor de a, si: )5(2a + 13(4)= 19

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

13. Calcular el valor de a, si: )7()8( 4a1a

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Ordenar de mayor a menor los siguientesnmeros:34(8) ; 45(6) ; 1101(2)

15. Hallar x si: 21(x)+ 35(x)= 36

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

TAREA DOMICILIARIA N 01


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CEBA APSTOL PABLO


8

Cmo se lleva un nmero en la base 10 a otrabase?

20 220 10 2

0 10 5 20 4 2 2

1 2 10

20 = 10100(2)

A este mtodo se le llama Mtodo de divisiones

sucesivas

En que consiste?Consiste en sucesivamente

hasta que el ltimo seamenor que el

IINNTTEENNTTEEMMOOSSLLOONNUUEEVVAAMMEENNTTEE:

Expresar 45 en base binaria.

45 244 22

22 11 20 10 2

1 4 2 22 1

0

45 = . (2)Pero tambin se puede expresar en otra baseexpresar 45 en base cuaternaria.

45 444 11 41 8 2

3

45 = (4) = (2)

TTUUTTUURRNNOO

Convierte:

1. 347 a base 62. 624 a base 73. 438 a base 54. 488 a base 125. 678 a base 14

Ahora convierte los siguientes nmeros a labase 10.

1. 288(9)=

2. 555(6) =

Exprsalos luego en la base 4.

288(9)= (10) = .. (4)

555(6)= ..(10)= .. (4)

Expresar:322(5) a base 7

Qu hago?

Mtodo:

322(5)

se lleva a base 10 y luego a base 7

EENNGGEENNEERRAALLConvertir )n(abc a base m (n m 10)

Mtodo:

)n(abc

Se lleva a base 10 y luego a base m(Descomposicin (Divisiones

Polinmica) Sucesivas)

(7)

(m)

CAMBIO DE BASE.


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CEBA APSTOL PABLO


9

1. El mtodo de divisiones sucesivas consiste en sucesivamente hasta

que el sea menorque el

2. Relacionar ambas columnas adecuadamente:

I) 23(5) ( ) 15II) 15(7) ( ) 13III) 33(4) ( ) 12

3. Convertir:

123 a base 6: ..254 a base 7:

4. Convertir:

432(5)a base 7: 202(3)a base 8:

5. Colocar V o F segn corresponda:

I. 27 = 102(5) ( )II. 57 = 321(6) ( )

III. 10 = 1010(2) ( )IV. 22 = 113(4) ( )


16(7) 15(8)

23(5) 23(6)

28(9) 121(4)

7. A. Cmo se expresa en base 5 el menornmero de 3 cifras de la base 6?

a) 122(5) b) 102(5) c) 121(5)d) 111(5) e) 100(5)

B. Cmo se expresa en base 4 el mayornmero de 2 cifras de la base 7?

a) 302(4) b) 330(4) c) 300(4)

d) 320(4) e) 303(4)

8. Cmo se expresa en base 6 el menor nmerode 3 cifras diferentes de la base 8?

a) 150(6) b) 151(6) c) 115(6)d) 125(6) e) 152(6)

9.A. Expresar el menor nmero de la base 10,

cuya suma de cifras es 23, en el sistemaheptal. Dar como respuesta la suma de suscifras.

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

B. Expresar el menor nmero, cuya suma decifras es 19, en el sistema senario. Darcomo respuesta la suma de sus cifras.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

10. Si: )8(mnp = 312(7)

Hallar: m + n + p

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

11. Si: )9(abc = 175Hallar: a + b + c

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

12. Hallar x si:xxx = 4210(5)

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

13. Convertir:A. 1023(5) a base 25

a) 513(25) b) 5(13)(25) c) 6(13)(25)d) 512(25) e) 5(12)(25)

B. 11102(3) a base 9

a) 442(9) b) 142(9) c) 332(9)d) 342(9) e) 742(9)



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CEBA APSTOL PABLO


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1. Relacionar ambas columnas adecuadamente

I) 21(6) ( ) 13

II) 32(4) ( ) 19

III) 201(3) ( ) 14

2. Convertir:

178 a base 9 :

125 a base 4 :

3. Convertir:

23(6) a base 8 :

17(9) a base 3 :

4. Colocar V o F segn corresponda:

I. 29 = 45(6) ( )

II. 35 = 50(7) ( )

III. 19 = 17(8) ( )

IV. 63 = 70(9) ( )


28(11) 43(9)

37(9) 41(8)

6. Expresar )9(abc en la base 10, si )9(abc es

el menor nmero posible.

a) 9 b) 81 c) 729

d) 18 e) 27

7. Expresar )6(abc a base 8, si )6(abc es el

mayor nmero posible.

a) 321(8) b) 323(8) c) 325(8)

d) 327(8) e) 329(8)

8. Expresar el menor nmero de la base 10,

cuya suma de cifras es 12, en el sistema

octal.

a) 36(8) b) 47(8) c) 43(8)d) 51(8) e) 56(8)

9. Si: a b c d

Sumar: )4(a1 ; )4(b1 ; )4(c1 ; )4(d1

en la base 10.

a) 18 b) 20 c) 22

d) 24 e) 26

10. Si: N = 7 x 123+ 8 x 122+ 9 x 12 + 18

Convertir N a base 12.

a) 789(15)12 d) 7996(12)

b) 7896(12) e) 789(10)(12)

c) 78(10)6(12)

11. Convertir:

23112(4) a base 16

12. Calcular a si:

)3(1a = 100(2)

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5



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CEBA APSTOL PABLO


11

1. Hallar a + b, si:

)9(ab = 143(5)

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

2. Hallar a si:)4(aaa = 132(5)

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 3

3. Hallar a si:)6(aa = 111(4)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Convertir:11102(3) a base 9

a) 442(9) b) 142(9) c) 332(9)d) 342(9) e) 742(9)

5. Si: N = 73x 5 + 72x 4 + 7 x 3 + 9Convertir N a base 7

a) 5439(7) b) 5432(7) c) 5442(7)d) 5437(7) e) 5449(7)

6. Si: N = 83x 7 + 82x 5 + 8x 4 + 20Convertir N a base 8.

a) 7542(8) b) 5472(8) c) 754(20)(8)d) 7564(8) e) 8564(8)

TALLER N 02.


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CEBA APSTOL PABLO


12

DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD

IINNTTRROODDUUCCCCIINNLa suma, diferencia y producto de dos

nmeros enteros resulta siempre enteros. Eslo que suele llamarse a veces Conjunto

cerrado de nmeros enteros, refirindose alas operaciones de adicin, sustraccin ymultiplicacin.

Pero referido a la operacin de divisin,este conjunto deja de ser cerrado: hablandoen general, el cociente de la divisin de un

entero por otro puede no ser entero. Alexpresar nmero vamos a entender siempre,si no se dice lo contrario, que es entero.

En la lectura La Herencia el nmero decamellos se poda dividir exactamente entre2?Rpta.: _____________

DDIIVVIISSIINN

Si un nmero A se puede dividir

exactamente entre otro B se dice que: A esdivisible por B. Ejemplo:

Entre qu nmeros se puede dividirexactamente 24 aparte del 1?

24 2 24 3 24 4 24 624 12 24 8 24 6 24 40 0 0 0

24 8 24 12 24 2424 3 24 3 24 10 0 0

24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24

24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24

Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24

Entre que nmeros es divisible 16?16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____

CCRRIITTEERRIIOOSSDDEEDDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADD

II.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDPPOORR22

DDiivviissiibbiilliiddaaddppoorr22== ((2211))Calcula el residuo de las siguientes divisiones:

47 2 = _______ resto ________24 2 = _______ resto ________320 2 = _______ resto ________

Un nmero es divisible por 2 si termina en_____________ o en nmero _____

Ejm:

46 es divisible por 246 es mltiplo de 2

46 =

2

87 no es divisible por 2 porque resta_______________87 se puede dividir entre 2 con resto_______________

87 es mltiplo de 2 con resto_______________

87 =

2 + resto_______ divisible por 2 porque resta___________

59 =

2 +

63 ________ divisible por 2 porque resta____________

63 =

2 +

DDiivviissiibbiilliiddaaddppoorr44== ((2222))

Un nmero es divisible por 4 si sus _____ltimas ________ son ___________ omltiplo de ___________.

Ejm:

844abc es divisible por 4?Si, porque: 84 es mltiplo de 4

DIVISIBILIDAD.


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13

4484abc

231 25 es divisible por 4?No, porque 25 no es mltiplo de 4

25 =

4 con resto _____

23125 =

4 con resto _____

23125 =

4 + _____


Es divisible por 8 cuando sus _________

ltimas cifras son ____________ o mltiplode _______________

128ab35ab48 es divisible por 8?Si, porque 128 8 = ________, residuo _______

36894 211 es divisible por 8?______, porque 211 8 = _____resto ________

36894211 =

8 + _______

IIII.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDPPOORR55nn


En qu cifra debe terminar un nmero paraque sea divisible por 5?

Veamos:120 5 resto ____________241 5 resto ____________

Para que un nmero sea divisible por 5 su ltima_________ debe ser _________ o ________

120 =

5

241 =

5 + 1

633 =

5 +

684 =

5 +

482 =

5 +

905 =

5 +


Un nmero es divisible por 25 cuando sus_______________ cifras son ________ omltiplos de ___________. Ejem:

00abc es divisible por 25 porque sus 2 ltimascifras son ___________

48575 es divisible por 25?

________ porque 75 ________ mltiplo de 25.

Cul es el resto en:

2528abc48 + resto?

Rpta.: _____________

Cundo un nmero ser divisible por 125 = 53?Rpta.: _____________

IIIIII.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDPPOORR33YY99

Un nmero es divisible por 3 si la ______ de sus________ es ___________ de 3.

Ejm:48651 es divisible por 3?

Solucin:4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 2424 es mltiplo de 3

48651 es divisible por 3

48651 =

3


3 + 5 + 2 + 1 + 6 + 4 =

______ mltiplo de 3

352164 __________ divisible por 3.

368851 es divisible por 3?No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31

=


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14

31 3 = ______ resto _____

31 =

3 +

368851 =

3 +

Un nmero es divisible por 9 si la __________de sus ________ es ________ de 9.

Ejm:4329918 es divisible por 9?Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36

36 9 = 4

4329918 =

9

72652 es divisible por 9?No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22

22 9 = ______ resto ______

22 =

9 +

72652 =

9 +

IIVV.. DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDPPOORR1111


Cmo saberlo?

PASO 1.-Empezando por la cifra de la derecha (6) sesuman de manera intercalada las cifras.

8 4 4 3 6

6 + 4 + 8

PASO 2.-A este resultado se le resta la suma de lascifras que quedaron.

8 4 4 3 6

= (6 + 4 + 8) (4 + 3)

= 18 7 = 11 =

11

84436 es divisible por 11Si el resultado fuera cero tambin ser divisible

por 11.


5 1 0 3 0 5 0 7

(7 + 5 + 3 + 1) (0 + 0 + 0 + 5)

16 5 = 11 =

11

51030507 es divisible por 11Cul es el valor de a?

Si: 548429 =

11 + a

5 4 8 4 2 9

(9 + 4 + 4) (2 + 8 + 5)

17 15 = 2

2 11 = ____ resto

548429 =

11 +a =

1. Completar en los espacios en blancoadecuadamente

Si un nmero termina en cero o cifra parentonces ser siempre divisible por_____

Si un nmero termina en cero o cifra 5entonces ser siempre divisible por

_____

2. Relacione ambas columnas:

I. 4125 ( )

2

II. 81423 ( )

3

III. 26132 ( )

5

3. Colocar verdadero (V) o falso (F) segncorresponda:

=

=

=



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15

El nmero 46ab es divisible por 4 ( ) El nmero abba es divisible por 11 ( ) El nmero 25ab es divisible por 25 ( )

4. Hallar a, si:825a483

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0

5. Hallar a, si:

29a36482a

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4


36a7 y

5bca4

a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


11a3b y

5b4

a) 7 b) 5 c) 9d) 8 e) 0

8. Si:

5b43b Calcular el residuo de dividir: b437 entre 9.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Si:

11a864 Calcular el residuo de dividir: 8dba entre 4.

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

10. Cuntos mltiplos de 8 hay en:1; 2; 3; 4; 5; ; 300?

a) 30 b) 33 c) 34d) 37 e) 38

11. Cuntos mltiplos de 7 hay en:1; 2; 3; 4; 5; ; 564?

a) 60 b) 70 c) 80d) 90 e) 100

1. Cuntos mltiplos de 9 hay en:21; 22; 23; ; 287?

a) 29 b) 28 c) 30d) 31 e) 32

2. Cuntos mltiplos de 11 hay en:4; 5; 6; 7; ; 787?

a) 70 b) 71 c) 72d) 73 e) 74

3. Cuntos mltiplos de 3 hay en:21

(4); 22

(4); 23

(4); ; 3020

(4)?

a) 66 b) 65 c) 64d) 63 e) 62

4. Cuntos mltiplos de 15 hay en:21(4); 22(4); 23(4); ; 3020(4)?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

5. Hallar a si:

9a8672a + 4

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Hallar a si:

93a8

255a78

a) 5 b) 2 c) 7d) 0 e) 6

7. Hallar el valor de b si:

9a2b

8a63aa a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 5

8. Si:

4a431 Cunto suman todos los posibles valores dea?a) 4 b) 2 c) 6d) 8 e) 10

9. Si:

117a64

Calcular el residuo de dividir: a8db entre 4.

a) 0 b) 1 c) 2



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16

d) 3 e) 4

1. Calcular b

86325 =

9 + b

a) 0 b) 2 c) 4d) 6 e) 8


a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) 34


a) 40 b) 39 c) 38d) 37 e) 36

4. Cuntos mltiplos de 11 hay en:32; 33; 34;; 1624?

a) 147 b) 146 c) 145d) 144 e) 143

5. Cuntos mltiplos de 5 hay en:12(4); 13(4); 20(4);; 313(4)?

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

6. Cuntos mltiplos de 13 hay en:12(4); 13(4); 20(4);; 313(4)?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

TALLER N 03.


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17

El lgebra, como toda ciencia, es un conjunto de conceptos y definiciones que se relacionan mutuamente.Para su mejor comprensin es necesario conocer los conceptos bsicos como: constante, variable y trminoalgebraico; de esta manera los temas que continan se harn mas entendibles y familiares.

1. CONSTANTEConcepto. Es todo aquello que no cambia de valor.

EEjjeemmpplloo::El ancho de esta hoja.El nmero de departamentos del Per.La cantidad de dedos de tu mano derecha.Las vocales.

Cada uno de los ejemplos anteriores se puede expresar con nmero. As:El ancho de esta hoja es.Los departamentos del Per son 24.La cantidad de dedos en tu mano derecha es 5.Las vocales son 5.

AAhhoorraattuu::Escribe cuatro ejemplos de constante y expresarlos con nmeros.El largo de ___________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. VARIABLEConcepto. Todo aquello que cambia de valor o que no es constante.

EEjjeemmpplloo::La edad de una persona en el transcurso de su vida.

El nmero de campanadas que da un reloj cada vez que indica una hora.La cantidad de personas en el Per.El nmero de peces en el mar.

Los ejemplos anteriores se pueden expresar mediante letras as:

RReepprreesseennttaacciinnLLiitteerraall

La edad de una persona xEl nmero de campanadas que da un yreloj en una hora cualquiera.La cantidad de personas en el Per. zEl nmero de peces en el mar. W

ELEMENTOS ALGE

RReeccuueerrddaaLas constantes serepresentan con

nmeros.

SSaabbaassqquuee??La vocal e en matemticas

representa a una constante suvalor es 2,7182

RReeccuueerrddaaLas variables serepresentan con

letras.

SSaabbaassqquuee??

Generalmente las variables serepresentan con las ltimas letras

del alfabeto.


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AAhhoorraattuu::Escribe cuatro ejemplos de variable con su respectiva representacin literal.________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________

3. TRMINO ALGEBRAICOEs una expresin matemtica que une a las constantes y a las variables mediante la operacin de

multiplicacin.

Multiplicamos

EEjjeemmpplloo::Observa como las constantes y variables se multiplicar para formar trminos algebraicos:

AAhhoorraattuu::En la siguiente tabla multiplica las constantes y las variables para formar trminos algebraicos.

CONSTANTES VARIABLES TRMINO ALGEBRAICO

3 x-2 Y

12 xw

-14 xyz

20 x2

32 X2z

-7 x3z2

9 x5w3z

7

x

7xTrmino

Algebraico

Constante

Variable

CONSTANTES VARIABLESTRMINO

ALGEBRAICO

2 x 2x

-13 xy -13xy

-4 x2y -4x

2y

21 x2y

3 21x

2y

3

7 x9y2z3 7x5y2z3

Exponente

OObbsseerrvvaaEl trmino algebraico:

7x1= 7x

y el trmino

1x2= x

2


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19

3.1 PARTES DE UNA TRMINO ALGEBRAICOConsta de 2 partes.

7 x2y3

EEjjeemmpplloo::En la siguiente tabla identificamos la parte constante y la parte variable:

AAhhoorraattuu::Completa la siguiente tabla:

ParteConstante

ParteVariable

TRMINO ALGEBRAICO PARTE CONSTANTE PARTE VARIABLE

2x 2 x

-3xy -3 xy

17xyzw 17 xyzw

-12x2y -12 x

2y

20x3y2 20 x3y

2

-10x8y

5z

4 -10 x

8y

5z

4

RReeccuueerrddaaLos exponentes de las

variables siempre debenser nmeros.

RReeccuueerrddaa

Los exponentes de lasvariables siempre deben ser

nmeros.

TRMINO ALGEBRAICO PARTE CONSTANTE PARTE VARIABLE

5x

-4wz

14ywz

-45x2w

34x3z

5

-16x12

y7w

10

12wz3yx

24


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1. Relaciona las siguientes proposiciones con su

respectiva constante:a) La cantidad de meses de un ao. ( ) 7b) Los colores del semforo. ( ) 5c) Das de la semana. ( ) 12d) Las vocales. ( ) 3

2. Cuntas variables existen en la siguienteoracin? Subryalas.Pedro y su hijo Mario caminaban a orillas delmar en una noche despejada de pronto Mariopregunto pap. Cul es el nmero de estrellas

en el universo? Es una cantidad mucho msgrande que el tiempo de tu vida en la Tierra.Quizs tan grande como la cantidad de granosde arena en la playa, contesto Pedro.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Se tiene las siguientes constantes y variables: -3, x, 7, y.Determina cuntos trminos algebraicos sepueden formar multiplicando solo uno de los dos

nmeros con solo una de las dos letras.Indcalos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Representa mediante trminos algebraicos lassiguientes proposiciones:

a) La edad de una persona.b) El doble del nmero de personas en el mundo.c) El triple del nmero de pasajeros que suben a un

autobs.

d) Menos el doble de la altura de un rbol.

5. Completa el siguiente cuadro:

TrminoAlgebraico

ParteConstante

ParteVariable

3x

x5x3

-2x2y

x3

yz2

6. Cuntas de las siguientes proposiciones son

verdaderas?I) Los nmeros son constantes.II) Las variables se representan con nmeros.III) 5 es una variable.

a) Slo I y III b) Slo II c) Slo Id) Slo III e) Ninguna

7. Luego de hallar el rea de las siguientes figurasindica cual de los resultados son constantes ycules son variables.

I) II)

III)

a) Constante: IIIVariable: I, II

b) Constante: I

Variable: II, IIIc) Constante: I, IIIVariable: II

d) Todas son constantese) Todas son variables

8. Utilizando trminos algebraicos representa lassiguientes proposiciones.

a) Dos veces el nmero de postulantes a launiversidad.

b) Cinco veces el dinero que gaste.

c) Menos tres veces el nmero de colegios del Per.d) Menos ocho veces el rea de un cuadrado.

9. Se quiere formar trminos algebraicosmultiplicando las siguientes constantes y variables:7, x2, w. Con la condicin que 7 siempre sea partede los trminos a formar. Determinar el nmeromximo de estos.

a) 2 b) 5 c) 6d) 4 e) 3

4

4

b

a

2

EJERCICIOS DE APLICACIN.


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1. Cul de las siguientes expresiones no es untrmino algebraico? Por qu?

a) 7x-2 b) xywabpq c) 24799x2y5d) 5 e) x-1

2. Completa la siguiente tabla:

TrminoAlgebraic

o

ParteConstant

e

ParteVariabl

e

Exponentes

5x-9y2

4x-1wz3-25x3y8w-4-14x-4w5z3

3. Indicar cules de las siguientes proposicionesson falsas:

I) -3 es un trmino algebraico.II) En un trmino algebraico las variablespueden tener exponentes negativos.III) Un trmino algebraico tiene tres partes:parte constante, parte variable y exponentes.

a) I y III b) Slo I c) Slo II

d) I y III e) Todas

4. Se busca un trmino algebraico donde la parteconstante sea el doble del exponente de su partevariable. De los siguientes cul cumple con lacondicin?

a) 4x3 b) 8w5 c) 10z4d) 12y8 e) 14m7

5. Con las siguientes constantes y variables: 4,x5, z3. Cuntos trminos algebraicos como

mximo se pueden obtener? Indicalos.a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

6. Cuntos trminos algebraicos con partevariable: x2w5 existen tal que su parteconstante sea un nmero par de una cifra. Darpor respuesta aquel trmino donde la suma desu parte constante con los exponentes de laparte variable sea mxima?

a) 15 b) 17 c) 16d) 14 e) 18

7. Relaciona las siguientes proposiciones con surespectiva constante:

a) El nmero de das del mes de Agosto.( ) 12b) El nmero de estaciones del ao. ( ) 5c) La cantidad de campanadas de un reloj al

medio da. ( ) 4d) La cantidad de sentidos en el ser humano.

( ) 318. En el siguiente texto subraya las variables que

puedas encontrar. Cuntas son?El nmero de das del mes febrero es unproblema pues yo siempre celebro el 29 defebrero el da de mi nacimiento y dependede esto la edad que tengo.

a) 3 b) 2 c) 1d) 0 e) 8

9. Toma solo uno de los siguientes nmeros: 2; 5;4 y solo una de las siguientes letras: w; z;multiplicalos. Cuntos trminos algebraicoscomo mximo se formaran?

a) 5 b) 4 c) 6d) 3 e) 7

10. Representa con ayuda de trminos algebraicoslas siguientes frases:

a) El dinero de una persona.b) El quintuple de la temperatura ambiental.c) Siete veces la distancia Tierra Sol.d) Menos cuatro veces el tiempo

transcurrido.

11. Completa el siguiente cuadro:

TrminoAlgebraico ParteConstante ParteVariable-4x-x

8x5y2z325x2wa

12. Cuntas de las siguientes proposiciones sonFalsas?

I) 3 es un trmino algebraico.II) 3x2ywes un trmino algebraico.III) x es un trmino algebraico.

TAREA DOMICILIARIA N 01.


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1. Halla el rea de las siguientes figuras:

I) II)

III)

Segn los resultados se puede afirmar que:

a) El rea de III es un trmino algebraico.b) Las reas de I y II son trminos

algebraicos.c) Slo el rea de II es un trmino

algebraico.d) Las reas de I y III son trminos

algebraicos.e) Todas las reas son trminos

algebraicos.

2. Utilizando trminos algebraicos representalas siguientes proposiciones.

a) Menos cuatro veces el rea de unrectngulo.

b) Menos el doble del rea de un tringulo.c) Menos tres veces el rea de un crculo.d) El cuadruple del rea de un cuadrado.

3. Se tiene los siguientes conjuntos:

Tomando un elemento del conjunto A y un

elemento del conjunto B. Cuntos trminosalgebraicos se pueden formar?

a) 2 b) 5 c) 6d) 4 e) 3

4. Cul de las siguientes expresiones es untrmino algebraico?I. -35 II. -2x-3 III.z2wx

a) Slo I b) II y III c) SloIId) I y III e) Todas

5. Completa la siguiente tabla:

TrminoAlgebraic

o

ParteConstant

e

ParteVariabl

e

Exponentes

4x5y-1-x-1

-3x-2

-xy2

5xy2z3w4

6. Seala cul o cuales de las siguientesproposiciones no son ciertas:I) Las nicas letras que se pueden utilizar

para representar a la variables son: x,y, z, w.

II) x es un trmino algebraico.III) El exponente de una variable en un

trmino algebraico puede ser.

a) I y III b) II y III c) I y IId) Ninguna e) Todas

x3

5

3

2

x2y

3

-4

Aw

2

xy3

z2y

5

B

TALLER N 01.


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23

1. Monomio:Cuando se refiere a un solo trmino.Ejemplo:

M(x, y, z)

4x3y4z5

a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variableen cuestin.Ejemplo:Sea:

M(x, y) = 135x4y3GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a xGR(x) = 4 (exponente de x)GR(y) = 3 (exponente de y)

b) Grado Absoluto (G.A.):Es la suma de los exponentes de las variables.Ejemplo:

M(x, y) 135x4y3GA = 4 + 3

GA = 7

MonomioM(x, y, z)

Parte Constante(Coeficiente) Parte Variable GA GR(x) GR(y) GR(z)

39x3y

-4zx3 4

5x2yz3

18z

-4x5y4

8

2. Polinomio:Es la agrupacin por adicin de monomiosno semejantes.Ejemplo:

P(x; y) 2xy3+ 4y43x + 2

Polinomio de 4 trminosP(x) = x4+ x3x2+ 2x + 3 Polinomio de ________________P(y) = ax2+ bx + c Polinomio de ________________P(x; y) = x + y Polinomio de ________________ ( )

a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestin de cada monomio y setoma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio.

P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2

Entonces: GR (x) = 5 GR(y) = 4

Parte Variable

Parte Constante

Exponente de Variable x

Exponente de Variable y

Trmino Independiente

GR(x) = 3 GR(x) = 5 GR(x) = 1

POLIONOMI


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AHORA TU:P(x, y) 3x3y + 2xy + 4x2y x5yGR(x) = GR(y) =

b) Grado Absoluto (G.A.):De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma almayor.

P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2

GA = 8AHORA!

P(x, y) 3x3y + 2xy + 4xy2x5yGA. =

Polinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z)

x6+ xy + x3y4z

x + y + z

zxy + x2y3+ 4

a + abx + bx2

3x3+ 4y4

-x3y4 + x5+ y8

4z3 + 4z 3

VALOR NUMRICOCuando mas variables adoptan un valor, losmonomios o polinomios arrojan un valor que sedenomina valor numrico.Ejemplo:P(x) = 4x + 14

P(1) = 4 . 1 + 14 = 18P(1) = 18P(2) = 4 . 2 + 14 = 22

P(2) = 22P(3) = 4 . 3 + 14 = 26P(3) = 26M(x; y) = 4x2y3

M(2, 1)

x = 2 y = 1M(2, 1) = 4(2)2(1)3M(2, 1) = 16P(x, y) = 4x + 5xy

P(2, 3)

x = 2 y = 3

P(2, 3) = 4(2) + 5(2)(3)

P(2, 3) = 3

AHORA TU!

P(x, y) = 4xy + 2x2y

P(2, 1) =

P(1, 2) =

P(1, 1) =

M(x) = 4x

M(2) =

M(3) =

M(4) =

GA = 7 GA = 8 GA = 3


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25

1. Dado el monomio:

M(x, y) = -3abxa+3

yb

De GR(x) = 7 y GA = 10Calcular: El coeficiente

a) -36 b) 36 c) 12d) -12 e) N.A.

2. Si el siguiente monomio:M(x, y, z) = -4xa+1yb+2z4

Es de GA = 14 y GR(y) = GR(z)Calcular: a .b

a) 15 b) 10 c) 5d) 3 e) 6

3. Si el monomio:M(a; b) = -4xyax+2by+5

Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7Calcular: El coeficiente

a) 24 b) -24 c) 25

d) 26 e) 12

4. Si en el monomio:M(w, t, ) = -2a2b3wa+3tb+2

6El GA = 17 y GR(w) = 5Calcular: El coeficiente

a) 512 b) 251 c) -512d) 251 e) 521

5. Si: GA = 15 23)y(GR

2

)z(GR

)x(GR

De: M(x, y, z) = -4xayb+2zc+3

Calcular:7

cbaA

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

6. Si: GA = 10; GR(x) = 5 del polinomio:P(x, y) = 4xa+1yb+ 5xa+2yb+1+ 3xayb+2

Calcular: A = a + b

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.7. Dado el polinomio:P(x, y) = xayb+2+ xa+1yb+4+ xa+5yb+ ab

Si: GR(x) = 7 GR(y) = 6Calcular el trmino independiente:

a) 5 b) 6 c) 7d) 12 e) N.A.

8. Si:P(x, y) = axa+byc+2+ bxa+b+1yc+3+ cxa+b+3yc+ abc

Es de GR(x) = 14 GR (y) = 6Calcular la suma de coeficientes:

a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) N.A.

9. Si:P(x, y, z) = xaybzc+ xa+1yb+1zc-1+ xa + 2yb - 2zcDonde: GA(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3

Calcular el grado absoluto.

Rpta.: __________________10.Dado el polinomio:

P(x) = xa+3+ xa+4+ xa+2+ 2aCalcular el trmino independiente si GA = 8.

Rpta.: __________________

11. Calcular ASi: M(x) = 2x4

Si: )1(M)2(M)0(M

A

Rpta.: __________________

12.Calcular: P(7)Si: P(x) = -x5+ 7x4+ 2x 10

Rpta.: __________________

13.Si: P(x) = 2x + 4

Calcular: M = P (P (P (P ( 3 ) ) ) )



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CEBA APSTOL PABLO


26

Rpta.: __________________

1. Dado el monomio:

M(x, y) = 4abxa

yb

Si: GR(x) = 2 GA = 7Calcular: El Coeficiente

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

2. En el siguiente monomio:M(x, y, z) = 3xm+1yp+2z2GA = 12 GR(x) = GR(y)Calcular: m . P

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

3. Si el monomio:M(,) = 2xyx+4y+2

Donde: GR() = 7 GR() = 5Calcular el coeficiente:

a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 24

4. Si el monomio:M(x, y, z) = 2a2b3c4xa+5yb+4zc+3Si: GA = 15 GR(x) = 6 GR(z) = 4Calcular el coeficiente:

5. Si: GA = 245

)x(GR)y(GR

M(x, y) = 2xa+bya-bCalcular: a . b

a) 96 b) 108 c) 64d) 25 e) 15

6. Si: P(x) = xa+4+ xa+3+ xa-4GA = 7

Calcular : a3 a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

7. Si : P(x, y) = 2xa+1yb-1+ xa+3yb-4+ xa+2yb-2GR(x) = 5 GR(y) = 3

Calcular el GA

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 3

8. Si:P(x) = axa+ (a + 1)xa+1+ (a + 2)xa-4

Es de GA = 5Calcular la suma de coeficientes:

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

9. P(x, y, z) = xaybzc+ xa+1yb+1zc-1+ xaybzcGR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3Calcular el grado absoluto.

a) 1 b) 14 c) 12d) 10 e) N.A.

10. Dado el polinomio:

P(x, y) = xa

yb

+ xa+1

yb+2

+ xa+3

yb-3

Si el GA = 7 Adems a b = 2Calcular: A = ab

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Calcular: ASi: M(x) = 4x

)4(M

)2(M)1(M

A

Rpta.: ___________

12. Si: P(x) = x2+ 3x + 4Calcular: P(2) + P(3)

Rpta.: ___________

13. P(x) = 2x + 4

A = P (P (P (P ( 2 ) ) ) )Rpta.: ___________



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CEBA APSTOL PABLO


27

1. Si: Q(x) = x + 5 P(x) = x + 3

Calcular: P ( Q ( x ) )

2. A(x) = 2x + 4 R(x) = 2x + 5Calcular: A (R (x) )

3. Si: P(x) = 2x 1 Q(x) = x + 3Calcular: P(Q(x))

4. Si: P(x) = x + 5 Q(x) = x + 2Calcular: P(Q(x))

5. Si: GA = 245

)x(GR)y(GR

M(x, y) = 2xa+bya-bCalcular: a . ba) 96 b) 108 c) 64d) 25 e) 15

6. Si: P(x) = x2+ 3x + 4Calcular: P(2) + P(3)

TALLER N 02.


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CEBA APSTOL PABLO


28

POLINOMIO COMPLETOEs aquel polinomio que presenta todos los trminos algebraicos, desde el mayor, hasta el menor.

Ejemplo:P(x)

5x3+ 2x 4x2+ 7 OjO:Presenta todos los trminos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7).P(x) = 2x + 3 . Es polinomio completo.P(x) = 2x54x2+ 5x42x + 7 x3 . Es polinomio completo.P(x) = x42x3+ 5x 4 . Es polinomio completo.

POLINOMIO ORDENADOEs aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos.

Ejemplo:P(x) = x2+ 2x3x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente)P(x) = x74x + 3(Polinomio ordenado en forma descendente)P(x) = x17x25+ x50 (Polinomio.. en forma..)P(x) = 14x 2 (Polinomio.. en forma..)

Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una.P(x, y) = 4x3y75x2y9+ 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a x)P(x, y) = -5x2y9+ 4x3y7+ 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a y)

POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADOEs aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores.

Ejemplo:P(x) = 5x43x3+ x2+ x + 3 (Observemos que es completo por que presenta todos los exponentesde x y adems estn ordenados en forma descendente)P(x) = 2 + 3x 4x2+ 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)

AHORA COMPLETA EL CUADRO

PolinomioOrdenado Completo Completo y Ordenado

Ascendente Descendente Ascendente Descendente

P(x) = 4x2+ 5 3x

P(x) = x7.x + 6

P(x) = 5x23x + 2

P(x) = x1000x10+ 1

P(x) = 1 + 2x + x x3

P(x) = 4x5x + 5

P(x) = x102x101- 2

POLINOMIOS ESPE


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CEBA APSTOL PABLO


29

I. Calcular el valor de a en los siguientespolinomios completos:

1. P(x) = 4xa+ 4x2+ 3 2x

2. Q(x) = 2x + xa+2+ x24

3. R(x) = 3xa+2+ xa+1+ 5xa+32x + 1

4. En el polinomio completo:P(x) = axa+3+ 3xa+1+ 5x32ax + a2Calcule la suma de coeficientes:

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

5. Dado el polinomio completo:P(x) = mxm+ nxn+ mnp + pxpCalcular: m + n + p

a) 1 b) 6 c) 5d) 4 e) 7

II. Ordenar en forma ascendente ydescendente los siguientes polinomios:

6. P(x) = 25x5+ 3x72x + 4

7. R(x) = 1 x + x3x7+ 2x2

8. Q(x) = ax + nx3bx2+ abc

III. Ordene en forma ascendente y descendentelos siguientes polinomios primero relativo ax y luego a y.

9. P(x, y) = x3y45xy2+ 2x7y32ab

10. P(x, y) = axm+1yn-2+ bxmyn+ cxm-2yn+1abc

11. Dado el polinomio completo y ordenado.P(x) = 2axa+3+ 5x37x2+ ax + 3Calcule la suma de coeficientes.

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 3

I. Calcular El valor de b en los siguientespolinomios completos:

1. P(x) = x2b-4+ x3+ 2x 4 + 3x2

2. P(x) = 3xb+1+ x38 + 5x + 7xb+3

3. Q(x) = 22b2b3 xx12x2x54

4. En el polinomio completo:P(x) = 2x + 4a - x3a+1+ 5x2x3Calcular el trmino independiente.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Dado el polinomio completo:P(x) = 5x + 2x23a + 4x2ax3Calcular la suma de coeficientes.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

II. Ordenar en forma ascendente ydescendente los siguientes polinomiosrespecto a x y luego con respecto a y.

6. P(x, y) = 5x4y2+ 3xy32x5y7

7. P(x, y) = 2xy 5x2y3+ 4x7y4

8. P(x, y) = 3 + 4x75x2+ 7x

9. P(x, y) = 3x3y4x8y2+ 2x2y3

10. P(x, y) = -7 + 2x3y4+ xy 2x8y14

11. Dado el polinomio completo y ordenado:P(x) = x3a2+ 3x32x2+ x + 4Calcular: aa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

12. Dado el polinomio completo y ordenado:P(x) = x43xa+2+ 2xbxc+ 5

Calcular: a + b + c

a) 1 b) 2 c) 4




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CEBA APSTOL PABLO


30

d) 5 e) 3

1. Dado el polinomio completo y ordenado:P(x) = 3x3axabxb+ abCalcular el trmino independiente

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Dado el polinomio completo y ordenado:P(x) = abxa+ bcxb+ caxc+ abcCalcular: a + b + c

a) 1 b) 4 c) 5d) 6 e) N.A.

3. Del problema anterior calcular el trminoindependiente.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) N.A.

4. Dado el polinomio completo y ordenado:P(x) = 3x2a-1+ 4x4+ 2xb+1+ 3x2x + abCalcule el trmino independiente.

a) 4 b) 6 c) 9d) 12 e) N.A.

5. Si el polinomio es completo y ordenado enforma ascendente.P(x) = axc-1+ bxb+ cxaCalcular la suma de coeficientes.

a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) N.A.

6. Dado el polinomio completo y ordenado:P(x) = 3x3axabxb+ ab

Calcular el trmino independiente

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

TALLER N


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CEBA APSTOL PABLO


31

A. PUNTOEs la idea geomtrica ms pequea. Se le representa con una letra mayscula.

B. RECTAEs la idea geomtrica formada por infinitos puntos sucesivos que se encuentran en una misma direccin. Se lerepresenta con una letra minscula.

Recta a: Recta b:

C. PLANOEs la idea geomtrica que puede contener completamente puntos y rectas. Se le representa con una letramayscula.

Plano P

11.Graficar un punto A y cuatro rectas que pasen

por dicho punto.

2. Graficar un punto M y ocho rectas que pasenpor dicho punto.

3. Graficar los puntos P y Q; adems la recta o

rectas que pasen por ambos puntos a la vez.

4. Graficar la recta vertical l y los puntos M;N y Q contenidos en ella.

5. Graficar la recta horizontal a y los puntos E;F y H contenidos en ella.

6. Graficar la recta m y los puntos P; Q y R

exteriores a dicha recta.

7. Graficar la recta horizontal b y los puntos M;N; P y Q exteriores a dicha recta.

8. Graficar un plano P y a los puntos A; B y C

contenidos en ella.

9. Graficar un plano Q y a una recta a contenidaen ella.

10. Graficar un plano R y a la recta l contenidaen ella. Luego a los puntos M y N que pertenecen

a .

AB C

D

aa

b

b

l

ELEMENTOS GEOMTRICOS.

PRACTIQUEMOS


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CEBA APSTOL PABLO


32

1. Graficar la recta vertical m y los puntos D, Ey F contenidos en ella.

2. Graficar la recta n y los puntos A y Bexterior a ella.

3. Graficar un plano R y una recta a contenida enl.

4. Graficar un plano Q y los puntos A, D y Fcontenidos en dicho plano.

5. Graficar un plano T; luego la recta L y lospuntos M y N contenidos en dicho plano.

6. Graficar la recta a horizontal y los puntos A,B y C contenidos en ella.

7. Graficar la recta c horizontal y los puntos M,N y K exterior a ella.

8. Grafica un punto E y tres rectas que contengana dicho punto.

TALLER N 01


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CEBA APSTOL PABLO


33

1. Grafica un punto M y cinco rectas que pasen pordicho punto.

2. Grafica dos puntos C y D y la recta o lasrectas que pasen por dichos puntos a la vez.

3. Graficar un plano Q ytres puntos no colinealesA, B, C. Luego unir A con B, B con C y

C con A. Qu figura resulta?

4. Del problema anterior, graficar una recta//AC, tal que las distancias de los puntos A yB son respectivamente 3. y 8.cm. Cul ser la

distancia del vrtice C a la recta ?

5. Graficar un plano P y cuatro puntos no colinealesA, B, C y D, de tal manera que las rectasque pasen por AB y CD, sean paralelas entre s.Adems las rectas que pasen por BC y ADtambin sean paralelas.

6. Del problema anterior, si unimos AC y BD tal quese corten en el punto P, qu puedes afirmar delos segmentos AP y PC?

7. Del problema 3, qu podemos afirmar de lossegmentos BP y PD?

A. Rectas paralelasDos o ms rectas son paralelas si no tienen ni un punto en comn.

es paralela a ( // ).B. Rectas secantes

Dos rectas son secantes si tienen un punto en comn, llamado punto de interseccin o punto de corte.

OBSERVACIONES:i) Rectas perpendiculares.- Son dos rectas que

forman 90.ii) Rectas concurrentes.- Son tres o ms rectas que

se intersectan en un mismo punto.

L

L

a

b

l1

2l

3l

4l

a b a b

Pm

m y n son secantes

n

a

b


POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS


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CEBA APSTOL PABLO


34

iii) Nmero de puntos de corte:

Tres rectas y tres puntos de corte

Cuatro rectas y seis puntos de corte

2 rectas se cortan en 1 punto Podemos escribirlo como 12

1x2

3 rectas se cortan en 3 puntos Podemos escribirlo como 32

2x3

4 rectas se cortan en 6 puntos Podemos escribirlo como 62

3x4

500 rectas 7501242

499x500

Qu cantidad tan grande! Exclamaron, contentos los alumnos por la acertada respuesta de su profesor,siguieron indagando ms casos. Veamos uno de ellos.

Si se tiene 3 rectas secantes y 4 rectas paralelas Cuntos puntos de corte como mximo se obtendrn?.

Sin mayores esfuerzos los alumnos dicen:

1 recta secante corta a las 4 paralelas en 4 puntos esto quiere decir que

A

1

1 2

4

65

3

1 2

3


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CEBA APSTOL PABLO


35

3 rectas secantes cortarn a las 4 paralelas en 3 x 4 = 12 puntos

Las 3 rectas secantes se cortarn entre si en: 32

2x3 puntos

El nmero de puntos de corte ser: 12 + 3 = 15

1. Graficar dos rectas paralelas y una recta secantea ambas. Contar los puntos de corte.

2. Graficar tres rectas paralelas y una rectasecante. Contar los puntos de corte.

3. Graficar cuatro rectas secantes y contar lospuntos de corte.

4. Graficar cinco rectas paralelas y una rectasecante. Contar los puntos de corte.

5. Graficar dos rectas secantes y dos rectas

paralelas. Contar los puntos de corte.

6. Graficar tres rectas paralelas y dos rectassecantes. Contar los puntos de corte.

7. Graficar tres rectas concurrentes y una secantea ellas. Contar los puntos de corte.

8. Graficar tres rectas concurrentes y dos rectas

secantes. Hallar el nmero de puntos de corte.

9. Graficar dos rectas paralelas y dos rectassecantes. Sealar el nmero mximo de puntos decorte.

10. Graficar cuatro rectas paralelas verticales yadems una recta secante.

11. Graficar tres rectas paralelas horizontales yadems dos rectas paralelas verticales queintersectan a las rectas anteriores.

12. Graficar seis rectas concurrentes y una rectasecante a ellas.

13. Graficar cinco rectas secantes no concurrentes.

14. Hallar, el nmero mximo de puntos de corte de3 rectas secantes.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

15. Hallar el nmero mximo de puntos de corte de4 rectas secantes.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 3

16. Hallar el nmero mximo de puntos de corte de5 rectas secantes.

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

17. Hallar el mximo nmero de puntos de corte de20 rectas secantes.

a) 170 b) 19 c) 190d) 17 e) 180

18. Hallar el mximo nmero de puntos de corte den rectas secantes.

a)2

n b)2

)1n(n c)

2

)1n(n

d)2

n2 e) N.A.

19. En cuntos puntos cortar una recta secante alas 3 paralelas mostradas.

L1

PRACTIQUEMOS


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CEBA APSTOL PABLO


36

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

20. En cuntos puntos cortarn dos rectassecantes a las 3 paralelas mostradas.

f) 2g) 4h) 6i)8j)10

1. En cuntos puntos cortarn 3 rectas secantes alas 3 paralelas mostradas.a) 3b) 6c) 8d) 12e) 15

2. En la figura, indique el nmero de puntos decorte.

a) 10b) 11c) 20d) 13e) N.A.

3. Cuntos puntos de corte hay?.

a) 8b) 10c) 12d) 13e) 15

4. Calcular el nmero mximo de puntos de corteentre 2 rectas paralelas y 3 rectas secantes.

a) 6 b) 7 c) 5d) 4 e) 3

5. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre 3 rectas secantes y dos rectas paralelas.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

6. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre 3 rectas secantes y 3 rectas paralelas.

a) 10 b) 12 c) 9d) 15 e) 18

7. En cuntos puntos cortar una secante a diezrectas paralelas?.

a) 8 b) 10 c) 11d) 12 e) N.A.

8. Hallar el mnimo nmero de puntos de corteentre seis rectas secantes.

a) 6 b) 5 c) 3d) 2 e) 1

9. Hallar el nmero mximo de puntos de corte deseis recta secantes.

a) 12 b) 13 c) 15d) 17 e) 6

10.Hallar el nmero mximo de puntos de corte desiete rectas secantes.

a) 19 b) 21 c) 23d) 25 e) 17

11. Halle el mximo nmero de puntos de 8 rectassecantes.

a) 4 b) 28 c) 82d) 27 e) 64

12.Indicar el nmero de puntos de corte.

a) 4b) 6c) 8d) 10e) 11

13.En cuntos puntos de corte cortar una recta

secante a las cuatro paralelas mostradas.

f) 3

L2

L3

L1

L2

L3


L1

L2

L3


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CEBA APSTOL PABLO


37

g) 4h) 5i) 6j) 1

14.En cuntos puntos de corte, cortarn dosrectas secantes a las cuatro paralelasmostradas.

k) 8l) 6m) 4n) 3o) 10

1. En cuntos puntos de corte cortarn cuatrorectas paralelas a tres rectas secantes.

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) N.A.

2. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre seis rectas secantes y dos paralelas.

a) 19 b) 21 c) 23d) 25 e) 27

3. Hallar el mximo nmero de puntos de corteentre 5 rectas secantes y 5 paralelas.

a) 35 b) 37 c) 33d) 39 e) 31

4. En cuntos puntos cortar una recta secante aP rectas paralelas.

a) p b) p 1 c) p + 1d) p/2 e) N.A.

5. Hallar el mnimo nmero de puntos de corteentre dos rectas secantes y tres rectas

paralelas.

a) 7 b) 8 c) 6d) 5 e) 4

TALLER N 02


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CEBA APSTOL PABLO


38

6. En cuntos puntos de corte cortar una rectasecante a las cuatro paralelas mostradas.

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 1

A. Distancia entre dos puntosLa distancia entre dos puntos es la medida del segmento de recta que une a dichos puntos.

La distancia entre A y B mide 4 cm La distancia entre P y Q mide 5 cm

B. Distancia entre un punto y una rectaEst representado por un segmento perpendicular trazado desde el punto hacia la recta.

La distancia entre A y mide 1,5 cm La distancia entre B y mide 3 cm

C. Distancia entre dos rectas paralelasEst representado por el segmento perpendicular a ambas rectas.

La distancia entre y mide 1 cm La distancia entre y mide 3 cm

Figura: Puente de San Francisco (EE.UU.)

A

B0

12

34

01

23

45

P

Q

A

m

1,5cm

B

n

3cm

m n

a

b1 cm

m n

3 cm

a b m n

DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS.


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CEBA APSTOL PABLO


39

1. Graficar la distancia entre A y B y medirlo.

AB

2. Graficar la distancia entre P y y medirlo.

3. Graficar la distancia entre a y b y medirlo.

4. Graficar la distancia entre y darsus medidas

5. Graficar la distancia de B a . Dar susmedidas.

A

B

l

lP

a

b

l1 l2; l3; l4y

l1

l2

l3

l4

l1 l2y

l1B l2

TALLER N 03


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40

6. Graficar las distancias de P a las rectasl1;

l2 y l3.

1. Graficar una lnea recta horizontal y dos puntosB y E contenidos en ella que disten 8 cm.

2. Graficar una recta vertical y dos puntos M yN contenidos en ella que disten 6 cm.

3. Graficar un punto A y una recta l horizontalque disten 7 cm.

4. Graficar un punto B y una recta m vertical quedisten 10 cm.

5. Graficar tres rectas horizontales a; b y cque disten 3 cm en forma consecutiva.

6. Graficar las rectas m y n oblicuas y paralelasque disten 4 cm.

7. Graficar una recta horizontal y los puntos P, Qy R respectivamente contenidos en ella, tal queP y Q disten 6 cm y Q y R disten 7 cm.

8. Graficar una recta oblicua y dos puntos A y Bcontenidos en ella que disten 5,5 cm.

9. Graficar cinco rectas oblicuas paralelas y tresrectas secantes a ellas. Calcular el mximo nmerode puntos de corte.

10. Trazar las distancias mnimas de Q a PR, de P aQR y de R a PQ. Luego medirlos.

1. Graficar una recta vertical y los puntos A yB tal que la distancia de A y B a las rectas

son de 3 y 6 cm respectivamente. Si la distanciade las perpendiculares perteneciente a la recta Les de 4 cm, calcular la distancia AB.

2. Trazar la distancia entre P y Q; Q y R y Py R. Luego medirlos.

Q

P R

3. Trazar la distancia entre A y luego calcularesta medida.

4. Ubicar un punto P a una distancia de 2 cm de L.

4. Ubicar los puntos A y B a una distancia de 3

cm de

l1

l2

P

l3

Q

RP

L

m,

m

A

l

n.

PRACTIQUEMOS



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CEBA APSTOL PABLO


41

5. Graficar dos rectas paralelas y horizontales quedisten 1,5 cm.

6. Ubicar los puntos A y C que pertenezcan a Ly disten 5 cm.

7. Graficar las distancias de A a las rectasLuego medirlas.

8. Trazar las distancias de los puntos mostrados a larecta L. Dar las medidas.

NGULO TRIGONOMTRICO Y SISTEMA DEMEDICIN ANGULARngulo trigonomtrico.- Es aquel ngulo que segenera por la rotacin de un rayo alrededor de suorigen: desde una posicin inicial hasta una posicinfinal. La amplitud de la rotacin es la medida delngulo trigonomtrico, la posicin inicial del rayo sellama lado inicial; la posicin final se llama ladoterminal y el origen del rayo es el vrtice del ngulo.

Elementos:O : vrtice del ngulo

: Lado inicial

: Lado terminalq : medida del ngulo trigonomtrico.

Caractersticas

1. Sentido.- De acuerdo al sentido de rotacin delrayo el ngulo trigonomtrico puede ser:

a. Positivo.- Cuando el sentido de rotacin escontrario al movimiento de las manecillas de unreloj (antihorario).

b. Negativo.- Cuando el sentido de rotacin eshorario.

2. Magnitud.- Un ngulo trigonomtrico puedeadoptar cualquier magnitud, depender de larotacin que se genere.

a: medida de un ngulo trigonomtrico.

OBSERVACIN

1. El ngulo generado al coincidir por primera vez allado inicial y el lado terminal se denomina ngulode una vuelta. Si bien la rotacin puede ser ensentido horario o antihorario: consideramos al

ngulo positivo cuando hablemos del ngulo de una vuelta.

n

l

a y b.

a

b

A

A

B

C

l

A

AO

OA

OA'

AO

A

AO

A

AO

A

SISTEMA DE MEDICIN ANGULAR I


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CEBA APSTOL PABLO


42

ngulo de una vuelta (1).

2. Para sumar o comparar ngulos trigonomtricos:estos deben tener el mismo sentido.

3. Al cambiarle de sentido a un ngulotrigonomtrico: este cambia el signo de su valor.

SISTEMA DE MEDICIN ANGULARLos ms conocidos son:

1. Sistema sexagesimal. Tambin llamado sistemaingls; su unidad es el grado sexagesimal que

representa al ngulo de una vuelta dividido en360 partes iguales.

Unidad:(1): grado sexagesimalSubunidades.(1) : minuto sexagesimal(1) : segundo sexagesimal

EQUIVALENCIAS:< > Equivale a:

Nota:Pero por comodidad en lugar del smbolo (< >) se suele

utilizar el smbolo (=), esto es lo que utiliza.

Ejm.:1. R = 4 + 6 = 102. C = x + 3 = (x+3)

3. M =

4. L =

5. F = 3217=15

Ejemplo (1) Convertir 3 a minutosRESOLUCIN:Recordar: 1=

Ejemplo (2) convertir a segundos

RESOLUCIN:Recordar:

NOTACIN:

Donde: B,C < 60

3. Sistema Radial.- Tambin llamado sistemacircular o internacional su unidad es el radian:que representa el ngulo de una vuelta divididoen 2 partes iguales:

Unidad:(rad) : radin;

CONVERSIN ENTRE SISTEMAS

Los sistemas sexagesimal y radial estnrelacionados mediante una frmula de conversin

Sea S la medida de un ngulo

en

sexagesimalesSea R la medida de un ngulo en radianes.

A

oA

36 0

pa rtes

iguales

1

1

m 1v1

360

m 1v 360

1 < > 60 1 < > 60

1 = 60 1 = 6 0

Grados Minutos Segundos

x 3600

Regla D e Conversin

60 60

x 60 x 60

3600

1 3600 ''

1 ' 60 '

3600''5 18000 ''

1

60' '30 ' 1800 ''

1 '

5 30 ' 18000 '' 1800 '' 19800 ''

A B'C'' A B ' C ''

m 1v1rad

2

m 1v 2 rad

3,1416

NOTA. - En este sistem a no existe

subunidades solo hay radiane s.

m 1 vuelta 360 2 r a d

42

2

63

2


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CEBA APSTOL PABLO


43

DONDE:S : Nmero de grados sexagesimalesR : Nmero de radianes

Cada uno de los nmeros anteriores es paraun mismo ngulo, conocido tambin como nmerosconvencionales.Mtodo Prctico:

1. Para convertir grados sexagesimales a radianes;multiplicamos por:

Ejemplo:Convertir 45 a radianes.

2. Para convertir radianes a grados sexagesimales,multiplicamos por ( )Ejemplo: Convertir:

1. Indique los ngulos que estn en el sistema

sexagesimal:

a) 20 b) 200 c) rad d) /2 rad

Rpta.: .......................................................


sexagesimal:

a) 10 rad b) c) 1000 d) 90

Rpta.: .......................................................


radial:

a) 10 b) /4 c) 250 d) 5 rad

Rpta.: .......................................................


radial.

a) 10 b)/2 c) 80 d)

Rpta.: .......................................................

5. Convertir a radianes

a) 30 b) 60 c) 90

Rpta.: .......................................................

6. Convertir a radianes

a) 100 b) 120 c) 150

Rpta.: .......................................................

7. Convertir a sexagesimales

a) /2 rad b) /3 rad c) /5 rad

Rpta.: .......................................................


a) rad. b)

rad. c)

rad.

Rpta.: .......................................................

S R S R

360 2 180

r ad180

45 . r ad r ad180 4

ra d a gr ados sexage simale s5

180

5 36

PRACTICANDO EN CLASE


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CEBA APSTOL PABLO


44

9. Convertir a radianes:

= 25 + 85

= 90 - 35

Rpta.: .......................................................

10.Convertir a sexagesimales:

Rpta.: .......................................................

11.Convertir a sexagesimales:

Rpta.: .......................................................

1. Calcular:

Rpta.: .......................................................

2. Calcular:

Rpta.: .......................................................

3. Calcular:

Rpta.: .......................................................

4. Calcular:

Rpta.: .......................................................

5. Calcular:

Rpta.: .......................................................

6. Del grfico. Calcula a en radianes:

Rpta.: .......................................................

7. Del grfico. Calcula a en sexagesimales:

Rpta.: .......................................................


Rpta.: .......................................................


rad rad rad2 3 4

rad rad rad5 6 10

rad rad

4 6

2 5rad rad

3 4

200B

5 rad3

135B

rad4

100

L

rad18

radT

360

5rad

18B300

40

60

3

5

18

rad.

86

54

5

18

TAREA DOMICILI


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CEBA APSTOL PABLO


45

Rpta.: .......................................................

10. Indique el ngulo que est en el sistema sexagesimal.

A) 15 B) 3rad C) D) 4

11. Convertir a radianes:

= 100 - 80 + 30


13. Calcular:

14. Del grfico. Calcula en radianes

MOTIVACINPITGORAS (569 - 470 A. j.c.)Naci en la Isla de Samos en el mar Egipto. Se hahecho conjetura en torno a su vida desde dos puntosde vista: El religioso y el filosfico.Fue discpul de Tales de Mileto, adquiriendo de ste,

el poder de los nmeros, lo que le permiti medir laaltura de los objetos de sus sombras y la distanciade un navi en el mar, Anaximando le muestra lafuncin de los nmeros en la elaboracin de losmapas. Al viajar a Egipto se convirti en depositariode la sabidura Egipcia. Una frase conocida de l es:La Sabidura est en los nmeros y la belleza en laarmonia esprituaL. Pitgoras

LA SIMPLICACIN DEL TEOREMA DEPITGORAS

Un interesante estudio matemtico ha sido hecho porun peruano. Consideramos que la simplificacinrestringida del famoso Teorema de Pitgoras se hacepor primera vez desde hace 2600 aos; en donde sedice que: En todo Tringulo Rectngulo Perfecto, el

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los 2 catetos.El proceso de clculo puede ser a veces engorroso,pero la simplificacin es simple y se enuncia as:Tratndose de tringulos rectngulos perfectos

expresados en nmeros enteros y positivos, la

hipotenusa es igual al cateto mayor ms 1 si es par; yms 2 si este es impar.

Por lo tanto de todos los tringulos Pitagricos slo 5son Tringulos Rectngulos Perfectos: 3, 4, 5; 5, 12,13, 7, 24, 25, 8, 15, 17 y 12, 35, 37 y sus mltiplos.De lo expuesto, el clculo de la Hipotenusa en estosTringulos Rectngulos Perfectos se simplificanotablemente con tan slo aadir 1 al cateto mayor siste es par, o 2 si este es impar. Esta simplificacinpuede tener gran importancia en Geodesia,Astronoma y Computacin.

Teorema de PitgorasInicialmente se mencionar los lados del tringulorectngulo.

Entonces el Teorema se define como:El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de los catetos.

Ejemplos:1. Calcular la hipotenusa del tringulo

5 6 9

180A

rad2

100

50

a

b

c

a y b : cateto

c : hipotenusa

2 2 2 c = a + b

APLICACIONES DEL TEORE


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CEBA APSTOL PABLO


46

RESOLUCIN:Aplicando el Teorema de Pitgoras

2. Calcular el cateto del tringulo

RESOLUCIN:Aplicando el Teorema de Pitgoras; tenemos:

12 = x

1. Del grfico. Indica las longitudes de lahipotenusa, cateto mayor y cateto menorrespectivamente.

Rpta.: .......................................................

2. Del grfico. Indica las longitudes de lahipotenusa, cateto mayor y cateto menorrespectivamente.

Rpta.: .......................................................

3. Escriba el Teorema de Pitgoras para eltringulo.

Rpta.: .......................................................4. Escriba el Teorema de Pitgoras para el

tringulo.

Rpta.: .......................................................

5. Calcula x en:

Rpta.: .......................................................

6. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

1

2

x

2 2 2x 1 2

2x 1 4

2x 5

x 5

x

16

20

2 2 2x 1 2

2400 x 256

2144 x

5

12

13

29

21 20

a

b

c

m n

p

x

24

10

1

3

x



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47

7. Calcula x en:

Rpta.: .......................................................

8. Calcula x en:

Rpta.: .......................................................

9. Calcula x en:

Rpta.: .......................................................

10. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

11. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

1. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

2. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

3. Calcular x en:

x

3

2

25

20

x

25

24

x

15 17

x

1

1

1

x

3

1

1

2

x

4

1

x

3

1

1

TAREA DOMICILIAR


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48

Rpta.: .......................................................

4. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

5. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

6. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

7. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

8. Calcular x en:

2x

4

1

1

45 17

8

x

2 1

x

1

10

x

13

5

61

17

10

x

6


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49

Rpta.: .......................................................

9. Calcular x en:

Rpta.: .......................................................

10. Calcula x en:

RAZN TRIGONOMTRICA (R.T.) DE UNNGULO AGUDO EN UN TRINGULORECTNGULO

Se define como el cociente que se obtiene aldividir las medidas de las longitudes de dos lados deun tringulo rectngulo, respecto a uno de susngulos agudos.

Dado el ngulo agudo a.

Se define las Razones Trigonomtricas (R.T.)

Ejemplos:

1. Calcula el sena y cosa

2. Calcul: E=sena.cos

Calculando el seny cos:

10

x

8 4

2

x2

10

2

x

7

6

Hipotenusa

Cateto

Opuesto

de

Cateto Adyacente de

se no de = sen = cateto opuesto de

Hipotenusa

coseno de = cos = cateto adyacente de

Hipotenusa

4

53

3sen

5

4cos

5

3

110

1sen

10


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50

Reemplazando:

Multiplicando

1. Del grfico. Calcula sen

2. Del grfico. Calcula cos.


4. Del grfico. Calcula cos


6. Del grfico. Calcula cos

Rpta.: .......................................................

7. Si: sen = 1/2 Calcula cos

Rpta.: .......................................................

8. Si:

. Calcula sen

Rpta.: .......................................................

9. Del grfico. Calcula x, si:

.

Rpta.: .......................................................

10. Del grfico. Calcula x, si:

.

Rpta.: .......................................................

11. Del grfico. Calcula x.

3cos

10

1 3E

10 10

3E

10

16

1220

20

1525

4

3

12

5

15

17

610

4cos

5

2cos

3

x

60

3sen

4

x20



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Rpta.: .......................................................12. Del grfico. Calcula x.

Rpta.: .......................................................

13.Del grfico. Calcula: N=sen+cos

Rpta.: .......................................................

14.Del grfico. Calcula: T=sen+cos

Rpta.: .......................................................

15.Del grfico. Calcula: T=sen+cos

Rpta.: .......................................................

16.Del grfico. Calcula: N=cossen

Rpta.: .......................................................

1. Del grfico. Calcula: B=sen+sen

2. Del grfico. Calcula: C=cos.cos

3. Del grfico. Calcula: M=sen+cos

4. Del grfico. Calcula: L=coscos

5. Del grfico. Calcula: V=2.sen

x

5

6

9

6

8

x 4

7

24

1

3

3x+ 1

x

8x+ 1

x-1

4

3

13

10

5

1

2a (4 - a )

10 5

n+ 5

n

10



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A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

6. Del grfico. Calcular:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

7. Si:

.

Calcula:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

8. Si:

.Calcula:

A=3sen

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

9. Del grfico. CalculaL=sen+cos

En el presente captulo vamos a analizar tres tiposde situaciones problemticas:

1. Situaciones con palitos de fsforo2. Transmisiones y engranajes

3. Divisin de figuras1. SITUACIONES CON PALITOS DE FSFORO

Esta parte de la matemtica recreativa trata deresolver situaciones en los cuales intervienen palitosde fsforo o cerillas.

Las situaciones problemticas se dividen en trestipos de anlisis:

a. Resolver las situaciones quitandopalitos.

b. Resolver las situaciones moviendopalitos.c. Resolver las situaciones agregandopalitos.

Estimado alumno para el anlisis de las situacionesanteriormente descritas debes de tener en cuentalas siguientes consideraciones:

No es vlido doblar o romper los palitos.

En las figuras conformadas por cerillas no esvlido dejar palitos libres (cabos sueltos); esdecir, es incorrecto dejar una figura de lasiguiente manera:

Veamos a continuacin unos ejemplos

* Ejemplo 1Quitar dos palitos de fsforo para que queden

solamente cuatro cuadrados iguales.

2

2

3

M 17 cos

1

4

3sen

3

A 6.cos

5cos

3

x-1

x+ 1

10

Palito libre ocabo suelto

Palito libre

MATEMTICA RECREATIVA I


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53

Resolucin

Al eliminar los palitos indicados, quedarn cuatrocuadrados iguales de la siguiente manera:

* Ejemplo 2En la siguiente igualdad incorrecta mover

solamente un palito de fsforo y transformarlo enuna igualdad correcta.

Resolucin

Todos nosotros sabemos que 3 - 1 es igual a 2 yno a 3 como aparece en la igualdad propuesta, por lotanto para lograr transformarla en una igualdadcorrecta hay que mover un palito de la siguientemanera:

2. TRANSMISIONES Y ENGRANAJES

En esta segunda parte analizaremos latransmisin del movimiento que van a adquirir losengranajes y las ruedas propuestas.

NOTA: No olvidar que existen dos tipos de giros:

Para una mejor comprensin del tema analizaremos ycompletaremos las siguientes situaciones:

a. Situacin 1

Si la rueda "A" gira en sentido horario entoncesla rueda "B" girar en sentido antihorario.

Conclusin: Dos ruedas en contacto girarn ensentidos opuestos.

b. Situacin 2

Si la rueda "A" gira en sentido horario entoncesla rueda "B" girar en sentido horario.

Conclusin: Dos ruedas unidas por una faja abiertagirarn en sentidos iguales.

c. Situacin 3

Si la rueda "A" gira en sentido horario entoncesla rueda "B" girar en sentido antihorario.

Conclusin: Dos ruedas unidas por una faja cruzadagirarn en sentidos opuestos.

d. Situacin 4

Si la rueda "A" gira en sentido horario entoncesla rueda "B" girar en sentido horario.

Conclusin: Dos ruedas unidas por el mismo ejegirarn en sentidos iguales.

A continuacin resolveremos dos ejercicios con loanteriormente deducido:

Ejercicio 1Girohorario

Giro

antihorario

A B

A B

A B

B

A


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Si la rueda "A" gira en el sentido que indica la flecha,en qu sentidos giran las ruedas "B" y "C"respectivamente?

B. ____________________

C. ____________________Ejercicio 2

Si la rueda "A" gira en sentido antihorario, en qusentido giran las ruedas "B" y "C" respectivamente?

B. ____________________

C. ____________________

3. DIVISIN DE FIGURAS

En esta ltima parte de matemtica recreativa

analizaremos la divisin de figuras en funcin dediversas situaciones razonadas. Para ello estimado

alumno Trilce tendrs que utilizar toda tu agudeza eingenio matemtico para sus respectivasresoluciones.Veamos a continuacin algunos ejemplos:

* Ejemplo 1

Trazar dos lneas rectas y lograr dividir la figuraadjunta en cuatro partes.

Resolucin

Realizamos los dos trazos de la siguiente forma:

1. A continuacin se muestra una operacinincorrecta formada por palitos de fsforo:

Se le pide a Ud. que mueva un palito de fsforo

para transformarla en una igualdad correcta.

2. Observe la siguiente figura conformada porpalitos de fsforo:

Se le pide a Ud. que quite dos palitos de fsforocon la finalidad de obtener tres cuadrados

iguales.

3. En la igualdad incorrecta que se propone acontinuacin, cuntos palitos hay que movercomo mnimo para lograr convertirla en unaigualdad correcta?

A B C

A B

C

TALLER N 01


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55

4. En la siguiente figura, cuntos palitos hay quequitar como mnimo para obtener tres tringulos

iguales?

5. En la figura adjunta, cuntos palitos hay queagregar como mnimo para lograr obtener dostringulos iguales y un rombo?

6. En los engranajes que se proponen a continuacin,la rueda "A" gira en sentido horario. Determinaren qu sentido gira las ruedas "B" y "C"respectivamente.

La rueda "B" gira en sentido: _______________

La rueda "C" gira en sentido: _______________

1. La siguiente figura representa un recogedor,dentro del cul se encuentra un papel. Cambiandode posicin dos palitos del recogedor, el papeldebe quedar afuera; qu palitos tendran quemoverse?

2. Cambiando la posicin de dos palitos de fsforohay que reducir de 5 a 4, el nmero de cuadrados.Cmo lo haras?

3. Cul ser la menor cantidad de palitos a moverpara que el perrito mire para el otro sentido?Observacin: el perrito debe estar siempre con la

cola hacia arriba.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

A B C

PRACTIQUEMOS.


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CEBA APSTOL PABLO


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4. Cuntos palitos de fsforo como mnimo debesagregar para formar ocho cuadrados?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

5. Cuntos palitos de fsforo debes retirar comomnimo para que quede uno?

a) 6 b) 7 c) 5d) 8 e) 4

6. En qu sentido giran "B" y "C", si el engranaje"A" gira en el sentido que indica la flecha?

B.__________ C. __________

7. Si el engranaje "1" se mueve como indica laflecha, decir cuntos se mueven en sentidohorario.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8. Dividir la figura en cuatro partes exactamenteiguales en forma y tamao.

9. Dividir la figura en cuatro partes exactamenteiguales en forma y tamao.

10. En qu sentido giran "B" y "C" respectivamente,si "A" gira en el sentido que indica la flecha?

En los problemas que se proponen a continuacin las igualdades son incorrectas, en cada uno de ellos mueva Ud.

solamente un palito de fsforo y logre transformarlas en igualdades correctas.

1.

2.

3.

B

A

C

1

A

B

C

TAREA DOMICILIARI


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CEBA APSTOL PABLO


57

4. Cambiando de posicin un palito de fsforo hacer que el animal representado mire al otro lado.

5. Se ha construido una casa utilizando diez palitos de fsforo. Cambiar en ella la posicin de dos palitos defsforo, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.

6. Se tienen doce palitos de fsforos dispuestos como muestra el grfico adjunto, usted debe retirar dos palitos

de fsforo y lograr que queden solo dos cuadrados.

7. Si la rueda "A" gira en sentido horario, en qu sentido giran las ruedas "B" y "C"?

"B" gira en sentido __________"C" gira en sentido __________

8. En qu sentido giran los engranajes "A" y "D", si "C" gira en el sentido que indica la flecha?

"A" gira en sentido __________"D" gira en sentido __________

9. Si el engranaje "A" se mueve como indica la flecha, indicar en qu sentidos giran "C", "D" y "E".

"C" gira en sentido __________"D" gira en sentido __________

C B A

C

BA

D

E

C

A

DE

B


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"E" gira en sentido __________

10. Si el engranaje "E" gira tal y como indica la flecha, mencione qu engranajes giran en sentido antihorario.

11.Indicar cuntos giran en sentido horario, si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha.

B

C

DA

E

A


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Cualquier cosa en cualquier parte deluniverso, desde la estrella ms lejanahasta la ms pequea partcula de polvo,est compuesta de materia en alguna desus increbles variedades.

OBJETIVOSEn este captulo aprenders acerca de:

1. La materia.2. La diferencia entre cuerpo y

sustancia.3. Formas en que se manifiesta laMateria.4. Propiedades de la MateriaCondensada: Generales y Particulares.5. Resolver diversas actividades,problemas y adems construiropiniones.

CONCEPTO

Podemos decir que la materia es

todo aquello que constituye el universo,se encuentra en constante movimiento y transformacin mediante fenmenos fsicos y qumicos, principalmente;adems, su existencia es independiente del hombre y de sus sentidos.

CUERPO Y SUSTANCIA

Todo aquello que ocupa un lugar en el espacio es, entonces, materia. Un cuerpo no es ms que una porcin demateria y a la clase particular de materia que conforma cada cuerpo se le denomina sustancia.

Por ejemplo, una mesa es un cuerpo. A su vez, el cuerpo mesa puede estar hecho de madera, de hierro o deplstico, stas son sustancias.

CUERPOSUSTANCIA

MADERA

VIDRIO

LA MATERIA Y SUS PROPIEDADES


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FORMAS EN QUE SE MANIFIESTA LA MATERIA

Materia es todo aquello que est a nuestro alrededor. Todo lo q

ceba primero

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