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CAPITULO I V
RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN
Evaluar la factibilidad de la Recuperación de Vapores de baja presión en
las estaciones de flujo que pudiera estimarse analítica o experimentalmente.
En este caso la opción matemática – analítica luce adecuada para
determinar las limitaciones y bondades que pudiera ofrecer el sistema de
control óptimo para la recuperación de vapores de baja presión en las
estaciones de flujo.
Generalmente, existen diferentes vías para recuperar los vapores, en
PDVSA la alternativa de recuperar los vapores con compresores comerciales
fue evaluada y resultó ser económicamente inviable por los elevados costos
de capacidad instalada con relación al valor energético de los fluidos a
recuperar, por lo que en la búsqueda de la optimización y rentabilidad del
recobro, surge la opción de la extracción de vapores utilizando el dispositivo
Eyector, éste brinda bajo costo de inversión e instalación (Urbina 2003).
La cantidad de crudo derivado a los tanques de almacenamiento, el
volumen de gas venteado, la eficiencia del sistema de separación serán
elementos que condicionarán el rango de operación del dispositivo. En
trabajos previos de publicación interna en PDVSA, se cuantificó un volumen
aproximado de gas emanado (perdido a la atmósfera) entre 90 Mscfd hasta
99
100
1,2 MMscfd que, de ser recuperado, pudiera ser utilizado en operaciones de
levantamiento artificial por gas, en nuevos pozos productores o existentes
que requieran de un cambio de método de levantamiento artificial.
A continuación se detallan los resultados obtenidos en la investigación, en
función de los objetivos específicos y mediante el desarrollo de cada una de
las fases señaladas en el marco metodológico.
1. Fase I: Evaluación del sistema de vapores de baja presión en las
estaciones de flujo.
Para el desarrollo de esta fase, se investigo sobre la recuperación de
vapores, sus antecedentes, y cómo puede estudiarse el fenómeno, para dar
lugar a correlacionar las ecuaciones que describen cada proceso de manera
de responder a las causas de los eventos físicos, para así explicar por qué
ocurre un fenómeno en qué condiciones se da éste, y cómo dos o más
variables están relacionadas entre sí.
1.1. Descripción del proceso
Las estaciones de flujo (Figura 13) son instalaciones necesarias para la
separación y tratamiento (en algunos casos) de los fluidos (gas, petróleo,
agua, sólidos y sedimentos) provenientes de los pozos petroleros. En estas
instalaciones se concentran equipos de bombeo monofásico (multifásico en
vías de desarrollo), separadores, depuradores, líneas y múltiples de
101
distribución y tanques de almacenamiento temporal para las fases líquidas
separadas.
Figura 13: Estación típica del lago de Maracaib
Figura 13.Las Estaciones de Flujo, Estación Típica del Lago de Maracaibo
Fuente: Terán (2012)
Dependiendo del campo productor, la separación de las fases se puede
realizar en una o en varias etapas identificadas por los niveles de presión de
operación: alta (2000-1000 Psi), media (1000-500 Psi) y baja (hasta
presiones inferiores a 40 Psi). El objetivo básico de cada etapa de
separación es extraer el mayor contenido posible de la fase gaseosa de la
corriente total, tanto libre como diluida en la fase líquida, véase en la Figura
14 el esquema genérico del proceso.
El dimensionamiento de los separadores es determinado dependiendo de
los niveles de presión, el espacio disponible y el aspecto de seguridad y
costo. Con este esquema, y dependiendo de la presión mínima del gas
separado (40 Psi) y del tipo de crudo, se mantiene gas disuelto en el mismo,
102
que finalmente es liberado a niveles atmosféricos durante la etapa de
almacenamiento en los tanques.
Figura 14: Esquema genérico del proceso de separación
Figura 14. Esquema Genérico del Proceso de Separación
Fuente: Terán (2012)
El arrastre de gas en la fase líquida trae como consecuencia errores en la
medición de líquido y se requiere de un tiempo de residencia a las
condiciones de almacenamiento para la liberación. Este tiempo depende del
tipo de crudo y de la eficiencia de los equipos instalados en la estación de
flujo.
En general, el gas diluido en el crudo proveniente del proceso de
separación, se libera en los tanques de almacenamiento temporal a presión
atmosférica produciendo un incremento de presión dentro del tanque como
consecuencia de su acumulación, aumentando el riesgo de la estación.
Aunque estos tanques son diseñados con válvulas de alivio o de liberación
brusca de presión, con descarga a líneas de venteo y/o mecheros, cuando el
103
gas es venteado a la atmósfera se generan problemas de contaminación en
el entorno de la estación y cuando se dirigen al mechero, se produce la
irremediable pérdida de su energía.
Dentro de las alternativas que existen para mejorar la problemática actual
del proceso se encuentran diferentes sistemas/métodos para la recuperación
de vapores, sin embargo, los trabajos previos del tema han demostrado que
el costo de instalación y mantenimiento, entre otros, resultan ser muy
elevados. Por esta razón y tomando en consideración los bajos costos de
inversión, en este trabajo se considera la Tecnología Eyector para recuperar
estas emisiones continuas de gas de baja.
En este estudio se realizara una simulación del sistema para representar
el proceso. Una vez caracterizado el proceso, se podrá concluir si la
implantación del sistema de control optimo para la recuperación de vapores
de baja presión en estaciones de flujo específicamente en los tanques de
almacenamiento de crudo es técnicamente factible.
En la Figura 15 se muestra una estación de flujo típica, con los equipos
mínimos requeridos para el transporte de crudo hacia los patios de tanque,
es decir, un circuito abierto representado por un grupo de pozos, integrados
por un múltiple de producción, donde se concentran los fluidos que se
enviarán al separador, posteriormente la corriente menos densa (gas) y las
mas pesadas (crudo – agua) se derivarán al depurador y al tanque de
almacenamiento respectivamente; continuando en ambos casos procesos
separados que finalmente llegaran hasta el sistema de compresión y patios
104
de tanque. Detállese en la Figura 15 que se ha representado de color verde
las tuberías que transportan el caudal de crudo, de color azul las tuberías del
caudal de gas y de color amarillo las líneas que representan el venteo de la
estación.
En la Figura 16 se muestra la propuesta de instalación del Eyector de
Superficie para la Aplicación en estaciones de flujo, donde el suministro del
fluido motriz se obtiene del tanque de almacenamiento, posteriormente se
presuriza utilizando un sistema de bombeo adicional, que trabajará a la
condición requerida por el Eyector y con la finalidad de succionar los vapores
emanados por los tanques. La configuración del circuito adicional se
presenta con líneas de color fucsia.
Figura 15: Esquema actual de proceso de separación
Fuente: Terán (2012)
Nótese que la descarga del equipo se envía nuevamente a la entrada del
separador para cerrar el ciclo de la mezcla bifásica, evitando la pérdida al
ambiente de este gas de baja presión.
105
Figura 16: Esquema de solución propuesto para una Estación de Flujo típica
Fuente: Terán (2012)
El dispositivo Eyector es un equipo sencillo, no posee partes móviles, su
geometría es adecuada para su fácil instalación. Dentro de las principales
partes del equipo se destacan básicamente tres secciones: tobera y boquilla,
garganta y difusor. La acción de bombeo y/o compresión (depende de la
aplicación) es obtenida cuando un fluido impulsor transfiere su energía al
fluido a succionar a la salida de la boquilla y la garganta del dispositivo.
Figura 17: Esquema dispositivo Eyector
Fuente: Terán (2010)
106
El éxito del estudio estará determinado básicamente por reproducir
fielmente las condiciones de operación que tendría el sistema en una
estación de flujo real. En este aspecto un acertado modelo matemático es de
gran importancia.
El dispositivo Eyector será el elemento principal que el modelo
matemático, pues éste representa el corazón del circuito.
1.2. Parámetros que definen el comportamiento del Eyector
1.2.1. Parámetros geométricos
Existen dos parámetros geométricos relevantes que definen el
comportamiento del Eyector. Relación de áreas “R” y Relación de longitud de
la zona de mezcla “L/D”:
- Relación de áreas: Se denomina “R” y se define como la relación entre el
área de la sección transversal del anular por donde atraviesa el fluido
impulsor y el área de la sección transversal de la garganta del dispositivo.
antag
anular
AA
Rarg
=
- Relación de la longitud de la zona de mezcla “? = L/D”: Se define como la
relación entre la longitud de la zona de mezcla y el diámetro de la garganta.
Es un parámetro que representa la efectividad de la transferencia de energía
entre el fluido motriz y el fluido bombeado. Según diversos autores la longitud
óptima es L/D = 5. Mientras este parámetro sea más pequeño, la
transferencia de energía entre ambos fluidos será más deficiente.
107
Para una relación de la longitud de la zona de mezcla mayor, la mezcla de
ambos fluidos mejorará y la transferencia de energía entre los mismos será
mayor. Sin embargo, existe un punto de equilibrio ó diseño óptimo, que
dependerá de las condiciones operacionales, ya que si la relación “L/D” es
muy grande y las velocidades en el dispositivo son muy elevadas, las fuerzas
de fricción serán mayores pudiéndose perder parte de la energía
desarrollada en el dispositivo.
DL
=l
1.2.2. Parámetros operacionales
Existen dos parámetros operacionales relevantes que definen el
comportamiento del Eyector: Relación de masas “M” y Recuperación de
presión “N”:
- Relación de flujo másico “M”: Se define como la relación entre el flujo
másico del flujo de baja presión y el flujo másico del flujo de alta presión.
Este parámetro adimensional indica la calidad de la selección realizada del
equipo. M representa la relación entre lo succionado versus lo inyectado.
Mientras mayor es esta relación mejor comportamiento tendrá el dispositivo.
inyección
succión
MM
M =
108
- Recuperación de presión “N”: Se define como la relación entre la diferencia
de presión entre la descarga y succión del equipo y la diferencia de presión
entre la succión del fluido motriz y la descarga del equipo.
dj
sd
PPPP
N−−
=
1.3. Características Fluidodinamicas
Las propiedades del crudo y del gas que se utilizaron en todas las
simulaciones, corresponden a valores típicos de producción, los mismos se
presentan en la Tabla 4.
Tabla 4 Propiedades del crudo y gas
Gravedad API 27.5
Viscocidad del Crudo 4 Centipoise @ 100 °F
Gravedad del Gas 0.707
Fuente: Terán (2012)
Considerando la geometría del equipo, el anular representa el área más
pequeña del dispositivo, en éste se desarrollan altísimas velocidades, que
tienen asociados números de Reynolds por encima de 2000. Por este motivo,
todas las simulaciones fueron realizadas considerando régimen de flujo
turbulento. Es importante mencionar que en la succión y en la descarga del
dispositivo, pueden existir velocidades que determinen un régimen de flujo
laminar (Re<2000). Sin embargo, el modelo de turbulencia adiciona a las
109
pérdidas laminares una componente dependiente del grado de turbulencia
del flujo.
Dependiendo de que tan cerca esté el flujo de un régimen u otro, el aporte
de cada componente en las pérdidas totales será de mayor o de menor
importancia.
Con el fin de determinar las propiedades del crudo y gas, tales como
composición, densidad, peso molecular, presión de vapor REID, se
consultaron análisis composicionales realizados previamente.
Una vez recolectados los datos de proceso se procedió a efectuar la
determinación de las emisiones generadas por la evaporación, para lo cual
se utilizó el Manual de Petróleo de Medidas estándar, API 2518, en su
capítulo número 19, el cual muestra la medición para las pérdidas por
evaporación, enfocado al cálculo de las pérdidas por evaporación en
tanques de techo fijo, donde se muestra un método mejorado para estimar
las pérdidas por evaporación total o su equivalente a las emisiones de
hidrocarburos a la atmósfera desde los tanques que almacenan crudo,
realizándose específicamente el cálculo de las pérdidas por respiración.
Las pérdidas por movimiento se destacan debido a que, por la función de
compensación que cumplen los tanques, no hay cambios significativos en el
nivel de líquido que provoquen desplazamientos de gas. Para ello se toman
como base las siguientes premisas:
- Tmáx= 100 ºF
- Tmín= 73 ºF
110
- El valor promedio de insolación total en la localidad de Maracaibo es igual
a 1296,67 Btu/ft2días. Ver anexo 1.
- Para la estimación del factor de absorción de la pintura del tanque se
consideró la siguiente condición:
- Pintura del Techo= Negro en buena condición, aR= 0,98
- Pintura de la carcaza= Aluminio Difuso en buena condición, aS= 0,60
- Para cálculos de flujo a condiciones estándar, la temperatura de operación
tomada es de 100 ºF.
- Los valores máximos y mínimos de nivel de líquido en el tanque fueron
tomados del Process Book, con base a la tendencia observada en los últimos
tres meses.
- Se tomó una presión de vapor Reid, densidades del crudo y gas en tanque,
de las simulaciones realizadas por INTEVEP. Ver memoria de cálculo, en el
anexo 2.
- Para los cálculos se utilizó el diámetro hidráulico del tanque, por ser el
mismo de tipo rectangular.
- La variable “h” se consideró cero debido a que el tipo de tanque no
aplica en la ecuación.
- La altura del tanque es igual a “Ht”.
Con la finalidad de determinar el flujo de emisiones que se liberan en los
tanques de las estaciones de flujo, sobre todo la observación del efecto de la
vaporización instantánea en la generación de las mismas se consulto
estudios realizados previamente simulados por INTEVEP. Cabe destacar que
111
dichos modelos utilizan la ecuación de estado de Peng Robinson, por ser la
que mejor se adapta a las condiciones de la industria petrolera. Los
parámetros y condiciones operacionales se presentan en la tabla 5:
Tabla 5: Parámetros y condiciones operacionales
Alineación
Producción de Crudo Gas Agua
Flujo
(Bl/dia)
Presión
(Psig)
Temperatura
(°F)
Flujo
(MPCED)
Presión
(Psig)
Temperatura
(°F)
Flujo
(Bl/dia)
Presión
(Psig)
Temperatura
(°F)
ALTA
1580 170 100 8441 170 100 667 170 100
1960 170 100 6951 170 100 754 170 100
1102 170 100 7262 170 100 1073 170 100
BAJA
1580 105 100 5906 105 100 667 105 100
1960 105 100 7921 105 100 754 105 100
1102 105 100 4464 105 100 1073 105 100
Fuente: Terán (2012)
Los datos tabulados están basados en la información de producción de
gas y crudo, así como también en la distribución de los distintos pozos que
llegan al (o los) múltiples de la respectiva estación.
La composición de las corrientes de gas y crudo está basada en la
cromatografía de gas y crudo que se muestra en el anexo 3. Las hojas de
especificación de las simulaciones realizadas por INTEVEP se presentan en
el anexo 4.
De la evaluación realizada con el objeto de determinar el grado de
pérdidas por evaporación que se producen en éstas, se pudo observar que el
efecto de evaporación en la generación de emisiones no es significativo, es
decir, el orden de magnitud de los flujos de gas calculados oscila entre los 60
y los 1500 PCND, valores que resultan despreciables si se comparan con el
112
volumen promedio de gas que alimenta a cada estación, el cual es
aproximadamente de 50 MMPCND.
El análisis de los resultados obtenidos en función de la situación actual de
las emisiones continúas en los tanques de las estaciones, conlleva a centrar
la atención en otros factores causantes de la problemática presentada, como
la evaporación instantánea que experimenta el crudo en la entrada del
tanque y la separación ineficiente que sufre el crudo en el separador de
producción.
A continuación en la tabla 6, se muestran los flujos de gas estimados por
el efecto de evaporación, detallando la distribución por tanque.
Tabla 6. Resultados de las Pérdidas por Evaporación
Descripción
Perdidas por respiración (PCSD)
Estacion de flujo
Tanque 1 Tanque 2
Perdidas por tanque 802.64 668.93
Total 1471.57
Fuente: Teran (2003)
Como resultado obtenido por la simulación realizada por INTEVEP se
determinó que a las condiciones de operación actual, se producen
emanaciones de gas en los tanques que varían entre 0,16-0,58 MMPCND.
Los resultados de la simulación son atribuibles a la caída de presión que
experimenta el crudo en la válvula de entrada del tanque, la cual es originada
por el cambio de la presión de operación que trae el crudo, 87 psig
aproximadamente, a la presión del tanque, el cual se encuentra a 0,325 psig.
113
Esta evaluación está encaminada a identificar únicamente el efecto de la
vaporización del crudo a presión atmosférica, ya que, a pesar que se modeló
el proceso completo de la estación, no fue posible considerar aspectos como
la eficiencia de separación en los separadores de producción a través de la
herramienta de simulación empleada. Por lo tanto, los resultados obtenidos
corresponden a un proceso cuya eficiencia de separación es del 100%.
Es importante resaltar que en la Ley Penal del Ambiente está establecida
la cantidad total máxima de emisión de compuestos orgánicos volátiles en
0,081 Kg/h. Del análisis de las estimaciones hidrocarburos emitidos a la
atmosfera, se verificó que los flujos pudieran sobrepasar dicha restricción,
sobre todo en las emisiones que se producen por efecto de vaporación
instantánea.
Adicionalmente, se observa que por parte de la evaporación instantánea,
se emiten vapores con un flujo máximo de 1100 Kg/h, resultando obvia la
necesidad de recuperación de las emisiones de los tanques para cumplir con
el límite fijado.
De la estimación realizada para determinar el flujo de gas máximo que se
emite en el sistema de venteo de los tanques se pudo observar que el flujo
varía entre 5-25 MMPCND.
En el anexo 5 se puede observar el esquema del proceso planteado en
este estudio.
114
2. Fase II: Desarrollo del modelo matemático
En esta fase se analiza las características del sistema para establecer el
modelo numérico del dispositivo basado en ecuaciones representativas de
los fenómenos físicos del sistema, dentro del concepto de uso del Eyector
como Recuperador de Vapores.
Para el desarrollo de las ecuaciones se utiliza el modelo presentado por
Granados (1992) quien propone el análisis incluyendo lo siguiente:
- Fluido de succión compresible (densidad variable)
- Comportamiento poli trópico del fluido succionado
- Los coeficientes de pérdidas en el Eyector, se estiman como pérdidas de
accesorios.
- Mezcla homogénea del gas en el líquido, a la salida de la garganta, por lo
que no existe deslizamiento entre las fases después del mezclado.
Las ecuaciones de balance de energía, conservación de momento y
continuidad para las distintas partes del Eyector son combinadas para
obtener el modelo solución.
El modelo matemático predice el funcionamiento del Eyector bajo distintas
condiciones de operación y se utiliza para el diseño del sistema de control a
implementar.
El eyector acelera (o decelera) una corriente de fluido produciendo una
depresión (o compresión). El fluido puede ser agua, vapor de agua, aire o
cualquier otro gas. Si se utiliza para producir una compresión se llama
115
inyector, si por el contrario es usado para producir una depresión o vacio se
denomina eyector. Este vacío puede utilizarse, para elevar otro fluido igual o
distinto que se mezcla con el que produce el vacio. La figura 18 representa el
ultimo caso, utilizado en el presente estudio.
Figura 18: Dispositivo Eyector
Fuente: Mataix (1986)
Por el tubo de diámetro D circula un fluido, cuya presión se controla con
una válvula de estrangulamiento no mostrada en la figura. Gracias a la
depresión que se crea en d el fluido sube por la tubería de diámetro D’, es
decir su comportamiento es una bomba, cuya gran ventaja consiste en
carecer de partes móviles.
Despreciando las perdidas, utilizando la ecuación de Bernoulli entre las
secciones 1 y 2: considerando los puntos 1 y 2 en el mismo plano horizontal
Z1 = Z2, entonces:
P1/pg + V21/2g = P2/pg + V22 /2g
116
aplicando la ecuación de continuidad:
donde Q = caudal de aire, y por tanto:
llevando estos valores a la ecuación tendremos:
2.1. Obtención de la función de transferencia de la planta con Matlab
La identificación de un sistema es la ciencia de construir los modelos
matemáticos de un proceso a partir de los datos de entrada - salida,
estimando modelos dentro de ciertas clases de estructuras, escogiendo el
modelo de mejor rendimiento de ajuste para los datos. Antes de encontrar el
modelo matemático de la planta, es importante conocer la ecuación del
sensor transductor.
Al analizar la dinámica de un proceso, la función de transferencia de un
sensor transmisor se puede representar mediante un retardo de primer
orden.
117
1)(
+=
SKt
sHτ
donde:
tt= constante de tiempo del transmisor
Kt = ganancia del transmisor
Definiéndose Kt como la relación de salida con respecto al rango de
entrada del sensor transmisor se puede decir que:
VP
Kt∆∆
=
donde:
?P= rango de salida del transmisor. De 4 a 20 m.A
?V= rango de la variable de proceso alimentando al instrumento.
Para el caso, se trata de un transmisor de presión el cual sensa la variable
del proceso, y proporciona los siguientes datos como se muestra en la Tabla
7:
Tabla 7. Variable del proceso Vs Salida del transmisor
Presión (psig) 20 30 40 50 60 Salida del transmisor (m.Amp)
4 8 12 16 20
Fuente: Terán (2012)
Realizando un análisis de interpolación de los datos anteriores, obtenemos
la ecuación característica del sensor como en la Figura 19; lo cual nos indica
que el sistema posee realimentación no unitaria, de donde las unidades de la
salida, son diferentes de la salida del sensor; de donde la ganancia del
transmisor es de 30.
118
Figura 19: Gráfica transmisor
Fuente: Terán (2012)
Normalmente se estiman varios modelos, y sus propiedades analizan
mediante una interfaz del usuario gráfica del Identification Toolboox de
Matlab® 7.0. El conjunto de datos generados por la planta, en reacción a la
señal de cambio o escalón que son almacenados en una hoja de Excel, los
mismos que son pasados al Workspace de Matlab, con la única y específica
finalidad de poder manipularlos a un nivel de cálculo más sofisticado. Una
vez que los datos se encuentran en Matlab, es necesario abrir la interfaz
gráfica del System Ident Toolbox, mediante el uso del comando >>ident,
apareciendo la herramienta de la Figura 20.
Grafica transmisor
0
10
20
30
40
50
60
70
4 8 12 16 20
Salida transmisor (m.Amp)
Pre
sio
n (
psi
g)
Serie1
119
Figura 20: Identification Toolboox de Matlab® 7.0
Fuente: Terán (2012)
Ya dentro de la herramienta, se debe ingresar las variables, que
representan a las matrices de datos, tanto de entrada como de salida, a una
nueva interfaz gráfica de importación de datos.
Después de haber importado los datos, la pantalla de interfaz gráfica
principal contendrá el nuevo proceso a identificar y con ello algunas
utilidades quedan disponibles, como la representación grafica en el tiempo
de los datos entrada-salida (Figura 21).
Figura 21: Cuadro de dialogo de datos importados y representación gráfica
Fuente: Terán (2012)
120
Para estimar el orden del posible modelo SISO, utilizamos el modelo
paramétrico lineal polinomial (ARX) con ecuaciones diferenciales lineales en
tiempo discreto (Figura 22). Seleccionando el orden y retardos que
correspondan al mejor ajuste del modelo para una iteración inicial; donde en
la estructura na es el numero de polos, nb es el número de ceros mas 1 y nk
es el retardo de tiempo dado por el número de muestras antes que la salida
responda a la entrada del sistema; con la condición que nb + nk debe
exceder a na + 1.
Figura 22: Cuadro de dialogo de modelo ARX
Fuente: Terán (2012)
Como se puede apreciar, para los valores de na=1, nb=1 y nk=9 se logra
un coeficiente de regresión mayor al 98%, por lo cual se puede considerar,
en teoría, este modelo como aceptable para el proceso como se muestra en
la Figura 23.
121
Figura 23: Curvas de ajuste con el modelo ARX
Fuente: Terán (2012)
Finalmente convertimos el modelo de tiempo discreto a tiempo continuo y
a un sistema LTI, obteniendo:
>> sys=d2c(arx119);
>> sys=zpk(sys);
>> sys=sys(1,1)
sessV
sP 1.3.04045.0
2172.1)()( −
+=
donde en esta función, P(s) representa la salida en psig de presion y V(s)
representa la salida del transmisor de presión. La función de transferencia
con incertidumbre del proceso de control de presion puede ser expresada de
la forma general como
sds es
esK
sVsP 1.3.
17219.240915.30
.1)(
)( −−
+=
+= τ
τ
donde:
122
K = ganancia en estado estacionario
t = constante de tiempo
td = tiempo de retardo
2.2. Selección de condiciones
Los parámetros característicos del proceso dependen de las propiedades
físicas y de operación del mismo, como el ingreso del flujo volumétrico de
gas. La selección de las condiciones de adquisición de datos es muy
importante, puesto que interesa conocer la variación del modelo matemático
a los cambios en la entrada de gas. Para ello se realizo las medidas para tres
condiciones de entradas de gas, como se indica en la Tabla 8, de donde una
aproximación del cálculo del tiempo muerto definido como:
qilAt
Atqil
d*
/==τ
donde:
l = longitud del eyector
qi = caudal de entrada
At = area transversal del eyector
nos dice que el tiempo de retardo es inversamente proporcional a la entrada
del caudal de gas, incrementándose a medida que variamos para las
diferentes posiciones hasta llegar a un valor de 5s.
123
Tabla 8: Condiciones iniciales
Ingreso de
Gas Representacion Modelo
1
sS e
sG 1.3
)(1 .04045.0
2172.1 −
+=
2
sS e
sG 4
)(2 .04182.0
2043.1 −
+=
3
sS e
sG 5.4
)(3 .04075.0
2130.1 −
+=
4
sS e
sG 5
)(4 .04129.0
2253.1 −
+=
Fuente: Terán (2012)
3. Fase III: Diseño del Controlador
El control optimo abarca todos aquellos problemas que se caractericen
por considerar incertidumbres y perturbaciones en el modelo que sean
tolerables por un controlador fijo lineal e invariante en el tiempo; donde para
explicar el procedimiento de diseño consideramos el sistema de control
realimentado más elemental puede verse representado en la Figura 24,
donde el objetivo de un sistema de control es hacer que la salida y se
comporte de una manera deseada manipulando la entrada de la planta u.
q1, (MPCED)
P1, (psig)
Q2, (MPCED)
P2, (psig)
q3, (MPCED)
P3, (psig)
q4, (MPCED)
P4, (psig)
124
El problema del controlador es manipular u para neutralizar el efecto de
una perturbación externa y mantener la salida cerca del punto de referencia.
Así, en ambos casos nosotros queremos que el error del control e=y-r sea
pequeño, con el algoritmo para ajustar u basado en la información disponible.
Para llegar a un buen diseño de K (controlador) necesitamos la información
previa sobre el ruido en el sensor, las entradas de referencia, el modelo de la
planta verdadera y la perturbación a la entrada de G; donde estos dos
últimos son la mayor fuente de dificultad porque son inexactas o pueden
cambiar con el tiempo.
Representando los modelos lineales, la entrada para el controlador K(s)
es r-ym donde ym = y+n es la salida medida de la salida y n es la medida del
ruido. Entonces, la entrada de la planta es u = K(s)(r-y-n). El objetivo del
control es manipular u (diseñar K) tal que el error permanezca pequeño a
pesar de perturbaciones. El error del control es definido como e = y-r. El
modelo de la planta es escrito como y = G(s)(u+d) o
,)()(
GKnGdGKryGKIGdnyrGKy
++=++−−=
Figura 24: Diagrama estructural de un sistema de control en lazo cerrado
Fuente: Santiago (2008)
125
Para caracterizar el comportamiento de un sistema de control resulta útil
definir una serie de operadores, o matrices de transferencia:
- Función de Lazo Abierto o Razón de Retorno:
L=KG
- Función Sensibilidad:
S = (I+GK)-1 = (I+L)-1
- Función Sensibilidad Complementaria:
T = (I+GK)-1GK = (I+L)-1L
de donde se obtiene la respuesta de lazo cerrado como:
TnSGdSrrye
GKnGKIGdGKIGKrGKIy
−+−=−=
+−+++= −−−
eserror el entonces)()()( 111
donde hemos usado el hecho el hecho de que S+T=I. La correspondiente
señal de entrada de la planta es u =KSr-KSGd-KSn.
Para el diseño del controlador se utilizo la tecnica Loop-shaping que es un
procedimiento de diseño que envuelve explícitamente el moldeo de la
magnitud de la función de transferencia en lazo abierto L=GK.
Esencialmente, para conseguir los beneficios de control de realimentación
queremos la ganancia del lazo, ¦ L(jw)¦ , para ser tan grande como posible
dentro de la región del ancho de banda.
Retomando
LnLIGdLIrLIe 111 )()()( −−− +−+++−=
para un “control perfecto”, queremos
126
e = y-r = 0, esto es; que nos gustaría
e ˜ 0.r+0.d+0.n
Los primeros dos requisitos en la ecuación anterior, es decir el rechazo de
perturbaciones y seguimiento de entrada, son obtenidas con ¦ S¦ ˜ 0, o de
forma equivalente, ¦ T¦ ˜ I; donde desde que S = (I+L)-1, implica que L debe
ser grande en magnitud. Por otro lado, los requerimientos para cero
transmisión del ruido implica que ¦ T¦ ˜ 0, o equivalentemente, ¦ S¦ ˜ I, lo cual
es obtenido con ¦ L¦ ˜ 0 .
Esto muestra la naturaleza fundamental del diseño de realimentación que
siempre involucra un intercambio entre objetivos contradictorios; debiéndose
llegar en cada problema de diseño a una solución de compromiso,
procurando que cada uno se cumpla en un rango de frecuencias de interés.
Afortunadamente, estos son generalmente en diferentes rangos de
frecuencia, esto es que d y n son típicamente significantes en rangos de
frecuencia diferentes; a la hora de plantearse el diseño, surgen una serie de
objetivos:
Estabilidad.- Las salidas retornen a su estado de equilibrio cuando el
sistema presente ruido.
Desempeño.- Señales de error pequeñas, en presencia de perturbaciones
y señal de referencia.
Robustez.- El sistema sea estable en presencia de incertidumbres en el
modelo nominal.
127
Nosotros debemos considerar también la velocidad de respuesta y esto
lleva a considerar el ancho de banda del sistema. En general, un ancho de
banda grande corresponde a un tiempo del levantamiento más rápido, donde
las señales de alta frecuencia pasan fácilmente hacia las salidas. Un ancho
de banda alto también indica un sistema que es sensible al ruido y a las
variaciones de parámetros. Recíprocamente, si el ancho de banda es
pequeño, la respuesta en tiempo generalmente será lenta, y el sistema
normalmente será más optimo. Además, debemos considerar las
seguridades directas como el margen de ganancia GM contra la ganancia de
error y el de fase PM contra la incertidumbre de ganancia de tiempo; donde
típicamente, nosotros requerimos, GM > 2 ̃ 6 dB y PM > 30°.
El sistema se vuelve inestable si nosotros agregamos un retardo de
tiempo de tdmax = PM/? c, con ? c como la frecuencia de cruce de ganancia
¦ L(jwc)¦ =1. Nótese que decreciendo el valor de ? c (reduciendo el ancho de
banda del lazo cerrado, resultando en una respuesta lenta) el sistema puede
tolerar errores de retardos de tiempos grandes. Así, considerando un retardo
de tiempo td, el cual produce una fase adicional de -td?, el cual a una
frecuencia de t? =1/td es –1 rad = -57°; entonces para un aceptable
desempeño de control necesitamos ? c < 1/td, aproximadamente.
Además la estabilidad del sistema ante una incertidumbre multiplicativa no
cambiará si
wjwKjwG
jw ∀+<∆ ,)()(
11)(
128
La ecuación anterior se llama criterio de estabilidad robusta, que es un
test de robustez.
3.1. Loop-shaping con norma H8
En esta sección, para especificaciones de diseño más complejas
conociendo caracteristicas de señales externas tales como referencia,
perturbaciones e incertidumbres en el dominio de la frecuencia es la de
formación de filtros apropiados. Estos son un filtro pasa-bajo W1 para
desempeño robusto y un filtro pasa-alto W2 para estabilidad robusta, en cuyo
trazado de su magnitud, refleja los límites H8 uniformes deseados;
estableciendo tres zonas de frecuencias considerando que estas señales
externas pueden ser representadas como una suma de sinusoidales en un
rango específico de frecuencias, de forma que dentro de cada una se trata
de conseguir unos objetivos primordiales (Figura 25):
- Zona de baja frecuencia: Alta ganancia en lazo abierto lleva a buenas
propiedades de rechazo a perturbaciones y seguimiento de referencia.
- Zona de frecuencia de cruce: A frecuencias cercanas a la frecuencia de
cruce de ganancia, en la que se requiere propiedades tales como márgenes
de estabilidad y velocidad de respuesta.
- Zona de alta frecuencia: Una pequeña ganancia en lazo abierto es
adecuada para que la respuesta debida al ruido en sensores sea
considerablemente baja, y para mantener la estabilidad del sistema frente a
incertidumbres en la planta.
129
Figura 25: Zona de frecuencias de la función en lazo abierto GK
Fuente: Espinoza (2003)
La selección de los filtros es un paso muy importante en cualquier diseño
de control. En control optimo, estos son los portadores de información sobre
el desempeño robusto y estabilidad robusta deseados en el diseño. La
selección de filtros para un problema de diseño específico no es un ejercicio
muy sencillo. Involucra a menudo muchas iteraciones y una sintonización
fina. Es muy difícil dar una fórmula general para los filtros que trabajarían en
cada caso y nosotros daremos sólo una fórmula general para una
aproximación, donde en algunos casos, para mejorar el desempeño,
nosotros podemos requerir de un filtro de orden superior siendo necesario
que estos sean estables y cuyos polos estén lo suficientemente lejos del eje
imaginario
130
Un grafico asintótico de un W1, se muestra en la Figura 26, donde el filtro
de orden n ilustrado puede representarse por
1,/
)( /111
1/1
11 ≥∀
+
+= n
MWcsWcs
sWn
n
nε
Figura 26: Filtro W1: exacto y asintótico
Fuente: Espinoza (2003)
Similarmente la aproximación asintótica del filtro W2 se muestra en la
Figura 27, con ? c1< ? c2, un filtro apropiado es
1,/
)(2
/12
/122
2 ≥∀
+
+= n
WcMsWcs
sWn
n
nε
Figura 27: Filtro W2: exacto y asintótico
Fuente: Espinoza (2003)
131
3.2. Loop-shaping multivariable con norma H8
La configuración del problema general de control se expresa de forma
equivalente como se muestra en la Figura 28 donde los filtros normalizan las
señales como el error, perturbaciones, ruido e incertidumbres y P la función
de transferencia de interconexión del sistema.
Figura 28: Estructura para problema de control optimo con H8
Fuente: Espinoza (2003)
Las rutinas en Matlab para la síntesis del controlador óptimo H8, asume el
problema en la forma general de la Figura 29; donde Paum(S) es la planta
aumentada obtenida añadiendo los filtros W1(S) y W2(S) que no son parte del
sistema físico. El diseño loop-shaping es encontrar un controlador K(s) el
cual minimize la norma H8 del sistema en lazo cerrado para ?>0, es decir,
||F2w ||8 <? con el valor normalizado de ?=1.
Figura 29: Equivalente del problema de control optimo con H8
Fuente: Espinoza (2003)
132
3.3. Herramientas De Desarrollo
Las funciones de LMI Control Toolbox de Matlab usadas en Loop-shaping
ofrecen una variedad de herramientas para facilitar la descripción y
manipulación de especificaciones de diseño y calculo del controlador. La
herramienta LMI Control Toolbox de MATLAB, ayuda de gran manera para
poder realizar la síntesis de la norma H8 usando tanto las aproximaciones
basadas en Riccati o en LMI, donde se sigue el siguiente procedimiento:
1. Expresar las funciones de transferencia lineales e invariantes en el tiempo
como una matriz del sistema o viceversa.
2. Especificar gráficamente las especificaciones de diseño como la
determinación en la ganancia de respuesta y frecuencia de las funciones de
transferencia de los filtros.
3. Especificar la estructura de control, es decir como se organiza la
realimentación de lazo y cual de las funciones de transferencia de
entrada/salida son relevantes para conseguir los objetivos de Loop-shaping.
4. Síntesis del desempeño de la norma H8 en el resultado de la estructura de
control para de esta manera, encontrar el controlador más adecuado.
5. Graficas de respuesta en frecuencia y tiempo con modelo de incertidumbre
y perturbación.
En el anexo 6 se hace una descripción de las funciones utilizadas para
alcanzar los objetivos anteriormente mencionados.
133
3.4. Especificaciones de Desempeño al Dominio de la Frecuencia
El modelo nominal de la función de transferencia del eyector, para la
entrada de gas en la posición 1 con el retardo máximo en la posición 4 es
ses
sG 5.17219.24
0915.30)( −
+=
Donde el retardo de transporte hace una contribución negativa al ángulo
que es lineal con la frecuencia a la curva de Nyquist de G(j? ) como se
muestra en la Figura 30 Esto demuestra que existe una circunvolucion
alrededor de (-1,j0), siendo inestable el sistema.
Además, otra forma de verificar la estabilidad es considerar el sistema
para K= 1, (Figura 31), donde se observa que no satisface el criterio
estabilidad robusta.
Figura 30: Sistema inestable con criterio de Nyquist
Fuente: Terán (2012)
134
Figura 31: Criterio de estabilidad robusta con K=1
Fuente: Terán (2012)
El diseño de un controlador optimo para el control de flujo de gas al
eyector con Loop-shaping mediante la ayuda del LMI Control Toolbox de
MATLAB, involucra los siguientes pasos, que son:
1. Mediante la formación de filtros encontrar W1(S) y W2(S), cuyas magnitudes
de respuesta cumplan con las especificaciones de diseño.
2. Especificar una estructura de control y determinar la planta aumentada
correspondiente.
3. Utilizar una de las funciones de optimización para H8, para calcular un
controlador adecuado K(s), para dicha planta.
A continuación se describe estos tres pasos.
- Especificaciones para la Formación de Filtros
En la determinación de las características de magnitud de los filtros de
desempeño y estabilidad robusta, nótese que existe una limitación en el
135
grado de estos filtros puesto que el emulador HIL solo soporta has grado
cuatro donde el grado del controlador optimo será igual a la suma de los
grados de los filtros y el grado de la planta nominal; limitando ciertas
características más detalladas en la formación de los mismos.
El objetivo ahora es controlar el proceso inestable, donde la estructura de
control óptimo necesita las siguientes especificaciones en frecuencia para la
formación de los filtros:
- Rechazo a las perturbaciones d con densidad espectral [0,0.1] rad/s.
- Robustez contra la dinámica de alta frecuencia omitida, representada por el
modelo multiplicativo de incertidumbre ?(s); con una magnitud aproximada
de 6.021 dB y con una frecuencia de corte aproximada de 0.2 rad/s ˜ 1/ td
La función de transferencia de estos filtros como se muestra en la Figura
32, obteniendo lo siguiente:
01.0
10.001.0)(1
+=SW y
15.035.00015.0
)(2 ++
=s
sW S
Figura 32: Formación de filtros de desempeño y estabilidad robusta W1(S) y W2(S) Fuente: Terán (2012)
136
- Especificación de la Estructura de Control
La función sconnect calcula las matrices del sistema de P(s) de la
estructura de control de la Figura 29.
Con esta función, las estructuras generales de control son descritas
enumerando la entrada y la salida, y especificando la entrada de cada
sistema dinámico; especificado por:
entradas='r';
salidas='e=r-G0 ; G0';
[P,r]=sconnect(entradas,salidas,'K:e','G0:K',G0);
Se puede dar nombres arbitrarios para G0 y K, con tal que se usen esos
nombres a lo largo de todo el proceso.
De igual manera, la planta aumentada correspondiente al lazo de la
Figura 28, la cual es especificada por:
Paum = sconnect('r','W1;W2','K:e = r-G0','G0:K',G0,'W1:e',w1,'W2:G0',w2)
donde w1 y w2 son las matrices del sistema de los filtros formados que se
determinó anteriormente. Sin embargo, el mismo resultado se obtiene
directamente añadiendo los filtros formados a P(s) con las funciones smult y
sdiag:
Paum = smult(P,sdiag(w1,w2,1))
- Síntesis y Validación del Controlador
El diseño de loop-shaping con un controlador K es factible si y solo si en
el desempeño de H8, ?=1 se puede lograr para Paum(S) mediante la función
137
hinflmi del diagrama de lazo cerrado que es formado por la función slft
obteniendo:
[gopt,K] = hinflmi(Paum,r,1);
Minimization of gamma:
Solver for linear objective minimization under LMI constraints
Iterations : Best objective value so far
1
2
3 5.713565
4 4.548521
5 1.493282
6 1.127456
7 1.127456
8 1.058813
9 1.058813
10 0.867588
Result: reached the target for the objective value
best objective value: 0.867588
Optimal Hinf performance: 8.676e-001
023.12747.32799.394.9592012
23
2
)(1 +++++
=SSS
SSK S
La respuesta en frecuencia del controlador optimo se puede ver en la
Figura 33 que es similar a un controlador de atraso-adelanto de fase.
138
Figura 33: Diagrama de Bode del controlador optimo
Fuente: Terán (2012)
La estabilidad del sistema con el nuevo controlador se muestra en la
Figura 34 donde la curva tiene no circunvala el punto (-1,j0), demostrandose
la estabilidad del controlador optimo.
Figura 34: Estabilidad del sistema según criterio de Nyquist con controlador optimo
Fuente: Terán (2012)
139
Así mismo las funciones sensibilidad y sensibilidad complementaria
cumplen con las características de estabilidad como se muestra en la Figura
35, donde obtenemos un valor sub-óptimo de gamma de 0.87 en lugar de 1
(Tabla 9), es debido a las restricciones de estabilidad en el algoritmo de
síntesis del controlador.
Figura 35: Valores singulares S y L con controlador optimo
Fuente: Terán (2012)
Tabla 9. Características del controlador óptimo
optγ ∞S ∞T
hinflmi 0.87 1.54 0.98
Fuente: Terán (2012)
140
En la Figura 36 si se utiliza el controlador optimo se satisface la
desigualdad y el sistema permanece estable para la máxima incertidumbre
multiplicativa
Figura 36: Criterio de estabilidad robusta con síntesis de K con hinflmi
Fuente: Terán (2012)
El sistema y para la respuesta al escalón y rechazo a perturbación en la
entrada de la planta en el tiempo (Figura 37), donde el sobre impulso es
menor al 1%. Es interesante ver la salida del controlador optimo en la Figura
38 que requiere una energía inicial muy alta y se reduce a medida que el
error disminuye.
Nótese que el valor inicial de energía se lo puede reducir con un valor de
gamma mayor a 1 pero la robustez del sistema no será la misma, llegando
asi a una saturación a la salida del controlador.
141
Figura 37: Respuesta escalón y rechazo a perturbación con síntesis hinflmi
Fuente: Terán (2012)
Figura 38: Variable controlada y del proceso para un punto de referencia con
síntesis hinflmi
Fuente: Terán (2012)
142
4. Fase IV: Evaluación y análisis de los resultados
Los controladores óptimos son sistemas complejos con funciones de
transferencia de alto orden siendo necesario estudiar los mismos usando
modelos de aproximación de orden reducido. Actualmente se dispone de
varios métodos para reducir el orden de una función de transferencia. Una
manera relativamente sencilla de eliminar cierto polo insignificante de una
función de transferencia es ver un polo que tenga parte real negativa que es
mucho mayor que la del resto de los polos, sin embargo, se debe conservar
la respuesta en estado estacionario del sistema por lo tanto la ganancia de la
misma se debe dividir para el valor absoluto del mismo.
Adicionalmente a esto, un método mas sofisticado intenta hacer coincidir
lo máximo posible la respuesta en frecuencia de la función de transferencia
de orden reducido con la respuesta en frecuencia de la función de
transferencia original. El método de aproximación asociado se basa
estrictamente en manipulaciones algebraicas. Para esto se supone que el
sistema de alto orden está descrito por la función de transferencia
1...1...
11
1
11
1)( ++++
++++= −
−
−−
sbsbsbsasasa
KH nn
nn
mm
mm
S
en el cual los polos están a la izquierda del plano s, y m = n. La función de
transferencia aproximada de orden reducido es
1...
1...
1
1)( +++
+++=
sdsd
scscKL g
g
pp
S
143
donde p = g = n Obsérvese que, con el objetivo de asegurar la misma
respuesta de estado estacionario, la constante de ganancia K es la misma
para el sistema original y el aproximado. El método expuesto se basa en la
selección de ci y di de forma que L(s) tenga respuesta de frecuencia casi
igual a la de H(s). Esto equivale a establecer que H(jw)/L(jw) se debe desviar
la mínima cantidad respecto de la unidad para varias frecuencias. Los
coeficientes c y d se obtienen utilizando la siguiente ecuación:
)()(
)()(
)(
)(
sdsd
s
y
sMdsd
sM
k
kk
k
kk
∆=∆
=
Polinomios del numerador y denominador de H(s)/L(s), respectivamente.
Para nuestro caso particular el método antes mencionado será útil para
obtener del controlador PID con una aproximación de la combinación de un
controlador de adelanto y retraso de fase, puesto que muchos controladores
comerciales funcionan con este algoritmo, al cual se le conoce como
regulador PID en serie definido como:
)1(1
)( +
+= TdS
Tis
sKp
PID S
Para esto expresamos la función del controlador optimo en la forma de
ganancia, ceros y polos como:
)00375.0)(8347.0)(8.326()04615.0)(4308.0(
5861.2011)(+++
++=
sssss
sK
de donde podemos despreciar el impacto del polo S=8.326, sin embargo, se
144
debe conservar la respuesta en estado estacionario del controlador; por lo
tanto el controlador se reduce a
)00375.0)(8347.0()04615.0)(4308.0(
)8.326/5861.2011()(++++
=ssss
sK
tomando la relación de K(s)/PID(s) = M(s)/D(s), con M(s) y D(s) como el
numerador y denominador de la razon, se determina que:
M(s) = 6.15540(s+0.4308)(s+0.04615)(TiS)
Y
D(s) = Kp(TiS+1)(TdS+)(s+0.8347)(s+0.00375)
para luego mediante Matlab obtener las derivadas de orden n y simplificar
para M(s) y D(s) mediante los comandos:
M1 = simplify(diff(M,s,1)), D1 = simplify(diff(D,s,1)),
. .. M6 = simplify(diff(M,s,6)), D6 = simplify(diff(D,s,6)),
Y evaluando para s = 0
m0 = subs(M) d0 = subs(D)
. . . m0 = subs(M6) d0 = subs(D6)
ahora igualando M2q = D2q
∑∑=
−+
=
−+
−−
=−
− q
K
kqkqkq
K
kqkqk
KqkDD
KqkMM 2
0
)2(2
0
)2(
)!2(!)0()0()1(
)!2(!)0()0()1(
Para q = 1,2 y 3;
145
donde M(k) y M(2q-K) es la derivada de orden k y 2q-k respectivamente,
resolviendo se tiene que Kp = 3.1763, Ti = 21.7360 seg y Td = 1.9846 seg,
concluyendo en la funcion de transferencia del controlador PID:
)19846.1(7360.2111763.3
)( +
+= S
is
sPID S
La respuesta en frecuencia del controlador PID se puede ver en la Figura
39 que es igual a un controlador PI y PD.
Figura 39: Diagrama de Bode del controlador PID
Fuente: Terán (2012)
Es interesante ver la respuesta de la planta con un controlador
equivalente, siendo esta técnica otra opción a la sintonización por el método
de Ziegler-Nichols en lazo abierto para controladores PID, como se muestra
en la Figura 40, donde la curva de Nyquist se aleja asintóticamente del punto
(-1,j0), existiendo nuevamente estabilidad en el sistema.
146
Figura 40: Estabilidad según criterio de Nyquist con PID
Fuente: Terán (2012)
Figura 41: Respuesta escalón y rechazo a perturbación con PID
Fuente: Terán (2012)
147
Figura 42: Variable controlada y del proceso para un punto de referencia con PID
Fuente: Terán (2012)
Como se puede observar el sistema y para la respuesta al escalón y
rechazo la perturbación en la entrada de la planta en el tiempo (Figura 37), el
sobre impulso es menor al 1%, la salida del controlador requiere una energía
inicial muy alta y se reduce a medida que el error disminuye. Nótese que el
valor inicial de energía se puede reducir con un valor de gamma mayor a 1
pero la eficiencia del sistema no será la misma, llegando asi a una saturación
a la salida del controlador.
Al comparar los resultados con el controlador PID, podemos ver que el
tiempo de establecimiento del PID es más lento en 10.1 segundos, pero con
un overshoot superior al 1% y una inestabilidad a una perturbación impulsiva
a la entrada de la planta como se muestra en la Figura 41.
Finalmente la energía requerida por el controlador PID es también grande,
esto es debido a que en el estado inicial se requiere toda esta energía para
alimentar la planta (Figura 42).
148
En conclusión se observa mediante las simulaciones anteriores que el
control optimo es más rápido al estabilizarse, con esto se comprueba y fianza
la teoría de control óptimo.