cap2 mediciones

CAPITULO II. TEORIA DE MEDICIÓN Y LOS ERRORES

2.1. TIPOS DE MEDICIONES

En topografía plana, se realizan cinco clases de mediciones: 1) ángulos horizontales, 2) distancias horizontales, 3) ángulos verticales, 4) distancias verticales y 5) distancias inclinadas.

2.2. UNIDADES DE MEDIDA

Las unidades más empleadas en topografía son las de longitud, superficie, volumen y ángulo.

2.2.1. Unidades de LongitudEn topografía se emplea de preferencia el metro (m) y fracciones decimales del mismo.Está materializado en reglas, cintas o winchas, cadenas, etc, de distintos materiales. Pero como las materializaciones del metro están expuestas a deformaciones por varias causas, inclusive la temperatura, no sirven para mediciones de alta precisión.

Múltiplos:Decámetro Dm 10 metrosHectómetro Hm 100 metrosKilómetro Km 1 000 metrosMiriámetro Mm 10 000 metros

Submúltiplos:Decímetro dm 0,1 metrosCentímetro cm 0,01 metrosMilímetro mm 0,001 metros

También se conocen otras unidades de medición lineal.Pulgada = 2,54 cm ó 0,0254 mPie (1’) = 30,48 cm = 0,3048 m = 12 pulgadas (12’’)Yarda = 3 pies = 36 pulgadas = 0,914mMilla Terrestre = 1760 yardas = 1609,33 mMilla marina = 1853 m

2.2.2. Unidades de SuperficieLa unidad superficial en topografía es la hectárea, superficie equivalente a la de un cuadrado de 100 m de lado.Las principales unidades de superficie son:

1 Centiárea = 1 m21 Area = 100 m21 Hectárea = 10 000 m21 Kilómetro cuadrado = 1 000 000 m2

Existen otras unidades como:Acre = 4046,8 m2 = 0,405 haFanegada = 6400 m2 = 0,64 ha

2.2.3. Unidades de VolumenCuando se trata de calcular volúmenes, la unidad es el metro cúbico (m3):1 metro cúbico = 1m x 1m x 1m

2.2.4. Unidades AngularesGraduación Sexagesimal. En la graduación sexagesimal, se supone la circunferencia dividida en 360 partes iguales denominada grados, distribuidos en cuatro cuadrantes de 90 grados; cada grado se considera dividido en 60 minutos y cada minuto, a su vez en 60 segundos.El símbolo de grado sexagesimal o la manera de indicarlo, es colocando en la parte superior derecha un pequeño cero (°), los minutos () `y los segundos ().

Curso: Topografía II Semestre 2010 Fac. de Ciencias Forestales-UNAP------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo: 45° 32’ 18’’

Operaciones Aritméticas con las unidades sexagesimales

Sumar:a) 42° 47’ 12’’+ b) 32° 43’ 52’’+

41° 10’ 12’’ 38° 23’ 12’’83° 57’ 24’’ 70° 66’ 64’’ ? Correcta 71° 07’ 04’’

En la operación “b”, la expresión es incorrecta ya que hay solamente 60’’en 1’ y 60’en 1°, entonces hacemos una reducción, comenzando por los segundos. En 64’’ al restar 60 tenemos 1’ y queda 4’’, el minuto pasa ha sumar a 66’y se obtiene 67’, donde al restar de 60’ se obtiene un grado y queda 7’, el grado pasa ha sumar a 70° o sea 71°, finalmente obtenemos: 71° 07’ 04’’.

Restar:a) 52° 42’ 25’’- b) 85° 23’ 09’’-

41° 20’ 17’’ 48° 35’ 12’’11° 22’ 08’’ ?° ?’ ?’’

En el segundo caso la operación no es directa, pues 35’ no es posible restar de 23’, del mismo modo 12’’ no es posible restar de 09’’.De los 85°, se presta 1° (60’) a los 23’ y se obtiene 83’, de esa cantidad se presta 1’ (60’’) a los 09’’ y se obtiene 69’’; finalmente el minuendo (85° 23’ 09’’) queda 84° 82’ 69’’

b) 84° 82’ 69’’-48° 35’ 12’’36° 47’ 57’’

Multiplicacióna) 65° 43’ 59’’ x 3 = 195° 69’ 177’’ = 196° 11’ 57’’

Divisióna) 180° 03’ 15’’ 3 = 60° 01’ 05’’b) 185° 07’ 19’’ 3 = 61.° 42’ 26.33’’c) 357° 5 = 71° quedan 2°

Entonces estos dos grados se convierten a minutos de la siguiente manera:2° x 60’ = 120’ 5 = 24’ La expresión queda 71° 24’

Graduación Centesimal. En topografía es la unidad angular de uso más cómodo y cálculo más sencillo que la sexagesimal. Se considera dividida la circunferencia en 400 grados, distribuidos en cuatro cuadrantes de 100 grados; cada grado comprende 100 minutos y cada minuto 100 segundos.Los grados, minutos y segundos centesimales se designan, para distinguirlos de los sexagesimales; por las letras g, m y s, respectivamente, colocadas en igual forma que en la graduación sexagesimal; por ejemplo:

24g 38m 59s o 24g, 3859

Este sistema es muy poco usado en nuestro medio, siendo más utilizados en países europeos donde existen aparatos y libros previstos para este sistema.

El Radián. Es el ángulo en el centro del círculo que subtiende un arco de circunferencia de longitud igual al radio:

Long de la circunferencia = C = 2 RComo R = 1C = 2 = 6,2832 radianes.

En la circunferencia de radio unidad, llamado R° al radián, se tendrá: / 180° = 1 / R°

De la proporción anterior resulta: R° = 57° 17’ 45’’Transformación de Graduaciones. Se construyen hoy indistintamente instrumentos topográficos sexagesimales, centesimales y en radianes; muchas


veces hay que relacionar trabajos realizados con instrumentos diferentes, lo que obliga con frecuencia a pasar de una a otra graduación.Esto se consigue mediante las proporciones siguientes:

Codificando: S° = Sexagesimal, Sg = Centesimal y R° = Radián

De la proporción (1) se obtiene:

EJEMPLOS

1. Convertir 726° a Cg Cg = 806,7 g

2. Convertir 240g a S° S° = 216°3. Convertir 430° a R° R° = 7,5049

4. Convertir 1250g a R° R° = 19,635

2.3. REDONDEO DE NÚMEROS

Redondear un número es el proceso de suprimir uno o más dígitos para que la respuesta sólo contenga aquéllos que sean significativos o necesarios en cálculos subsecuentes.Al redondear números a cualquier grado necesario de exactitud, se seguirá el procedimiento siguiente:

1. Cuando el dígito a despreciar sea menor que 5, se escribirá el número sin ese dígito. Así, 48,413 redondear al entero 48

48,413 redondear al decimal con un decimales 48,448,413 redondear al decimal con dos decimales 48,41

2. Cuando el dígito a despreciar sea mayor que 5, se escribirá el número con el dígito precedente aumentado en una unidad. Así,

248,687 redondear al entero 249248,678 redondear al decimal con un decimales 248,7248,678 redondear al decimal con dos decimales 248,68

3. Cuando el dígito a despreciar sea exactamente igual a 5:- El último dígito retenido no cambia si es par.- El último dígito retenido si cambia si es impar.

Sin Redondeo Redondeo Normal Redondeo con reglas10,85 10,9 10,8

8,65 8,7 8,67,75 7,8 7,8

13,55 13,6 13,69,75 9,8 9,85,45 5,5 5,4

3,05 3,1 3,0 59,05 59,4 59,08,44 8,49 8,43

2.4. ERRORES EN LAS MEDIDAS

10

Cg = S°9

R° = S°

180

200

Cg = R°

R° = Cg

200

9

S° = Cg

10

180S° = R°


Todas las operaciones topográficas se reducen, en ultimo, a medida de distancias y a medida de ángulos; cualquier medida que se obtenga, auxiliándose con la vista, no podrá ser sino aproximada.Puede establecerse incondicionalmente que:1. Ninguna medida es exacta.2. Toda medida contiene errores.3. Nunca se puede conocer el valor verdadero de una dimensión.4. El error exacto que hay en cualquier medida siempre será desconocido.

Los errores como todos los fenómenos naturales, obedecen a ciertas leyes que son indispensables conocer, para establecer los métodos topográficos y señalar las tolerancias.

Equivocaciones, conocido también como errores garrafales o groseros, son perfectamente evitables, tienen su origen en la mente del observador y se deben generalmente a la falta de atención, descuido o criterio deficiente. Ejm., confundir el 6 por el 9 ó 30,05 por 30,5.Errores, son siempre inevitables y generalmente son pequeños con relación a las equivocaciones.

No se deben confundir los errores con las equivocaciones, a pesar de que suele decirse que un trabajo es erróneo cuando no es sino un trabajo mal hecho. Los errores groseros suelen ser grandes en relación con la magnitud que se mide, mientras que los errores en general, son muy pequeños. Ejm., al medir una distancia nos podemos equivocar al contar el número de metros. En cambio, al terminar la medición de la distancia habrá que apreciar una fracción de metro, centímetros o milímetros, y al no poder precisar con exactitud esta fracción se comete un error.

2.5. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS

Los errores que aparecen en las mediciones son de tres clases: errores naturales, instrumentales y personales.

2.5.1. Errores Naturales. Son ocasionados por variaciones del viento, la temperatura, la humedad, la gravedad y la declinación magnética. Ejm., la longitud de una cinta de acero varía al haber cambios de temperatura.

2.5.2. Errores Instrumentales. Son las que resultan de cualquier imperfección que haya en la construcción o el ajuste de los instrumentos y del movimiento de sus partes. Ejm., las graduaciones pintadas en la mira de nivelación puede no estar muy bien espaciada. El efecto de la mayor parte de los errores instrumentales pueden reducirse adoptando procedimientos topográficos adecuados y aplicando correcciones calculadas.

2.5.3. Errores Humanos. Nace de las limitaciones de los sentidos humanos de la vista, del tacto y el oído. Ejm., Cuando la parte superior de una mira no esta a plomo al ser visada.

2.6. TIPOS DE ERRORES Los errores que contienen las medidas son de dos tipos: errores sistemáticos y accidentales.

2.6.1. Errores Sistemáticos. Son conocidos también como errores acumulativos. Es cuando procede de una causa permanente que obliga a cometerlo siempre según una ley determinada. Estos errores pueden ser constantes o variables, pero aun en este caso obedecen a una ley conocida. Pueden calcularse, y eliminarse sus efectos, aplicando correcciones.

2.6.2. Errores Accidentales. Cuando es debido a causas fortuitas que ocasionan errores ya en un sentido, como en otro. Generalmente son los errores que quedan después de haber eliminado las equivocaciones y los errores sistemáticos. Son ocasionados por factores que quedan fuera del control del


observador, obedecen las leyes de la probabilidad y reciben también el nombre de errores aleatorios. Estos errores están presentes en todas las mediciones topográficas.

2.7. MAGNITUD DE LOS ERRORES Discrepancia, es la diferencia entre dos valores medidos de la misma cantidad. Es también la diferencia entre el valor medido y el valor conocido de una cantidad. Una discrepancia pequeña entre dos valores medidos indica que probablemente no hay ninguna equivocación y que los errores aleatorios son pequeños.Precisión, es el grado de posibilidad de repetición entre varias medidas de la misma cantidad, y se basa en el refinamiento de las mediciones y el tamaño de las discrepancias. Exactitud, denota la absoluta cercanía a la realidad.En topografía no debe confundirse la precisión con la exactitud. Un levantamiento puede ser preciso sin ser exacto.

La concordancia entre dos valores medidos de la misma cantidad implica precisión pero no asegura exactitud. Así, dos medidas de una distancia hechas con una cinta que se supone tienen 30,00 m de longitud pero en realidad tiene 30,06 m, podría resultar ser 135,980 m y 135,982 m. estos dos valores son precisos pero no exactos.

2.8. MINIMIZACIÓN DE LOS ERRORES Todos los trabajos de campo y los cálculos de gabinete se rigen por la lucha constante de reducir los errores al mínimo.Las equivocaciones sólo pueden corregirse si se descubren. La comparación de varias medidas de la misma cantidad es una de las mejores maneras de aislar las equivocaciones.

Ejm., Se registran 5 medidas de una línea: 134,91 143,95 134,90 134,88134,93

Análisis: El segundo valor esta notoriamente diferente a los demás, aparentemente por transposición de cifras al leer o al registrar. Esta equivocación puede erradicarse: a) Repitiendo la medida. b) Eliminando el valor dudoso.

Los errores sistemáticos pueden calcularse y es posible aplicar las correcciones apropiadas a las medidas, o bien, usar un procedimiento de campo que elimine automáticamente los errores.

Ejm., El error debido a catenaria en una cinta suspendida de sus extremos, se puede calcular y restar de cada medida.

2.9. EL VALOR MÁS PROBABLE En las mediciones físicas nunca se conoce el valor verdadero de ninguna medida, y por tanto no es posible decir qué error existe en una medición dada. De acuerdo con una de las leyes de la probabilidad 1 podemos decir que el valor más probable de un grupo de mediciones repetidas es su promedio (media aritmética). El valor más probable se aproximará tanto más al verdadero cuanto mayor sea el número de medidas realizadas.

Si una cierta magnitud se ha medido n veces y se han obtenido las medidas m1, m2, ..., mn, se adoptará como valor probable:

2.10. ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE UNA OBSERVACIÓN

1. Los errores positivos y negativos de la misma magnitud ocurren con igual frecuencia; es decir, son igualmente probables.


Se trata de obtener para cada punto, el error medio de una observación y el error medio del promedio aplicando las fórmulas matemáticas conocidas:

Donde:m = error medio de la observación m’ = error medio del promedioV = diferencia entre el valor promedio y cada lectura n = número de lecturas

Error Relativo. Es la proporción que existe entre el error medio cuadrático de una observación y la media aritmética correspondiente.

Error Temible, Es el máximo error accidental que probablemente se pueda cometer en una medición, el error temible es 3 veces el error relativo.

Ejm., Se registran 5 medidas de una línea:

Observaciones Residuos (v) v2134,89 0,03 0,0009134,98 - 0,06 0,0036134,95 - 0,03 0,0009134,85 0,07 0,0049134,93 - 0,01 0,0001

Media Aritmética 134,92 0,0104

Error medio cuadrático = 0,051Error medio cuadrático de la media = 0,0228Error relativo = 1:2645Error temible = 1:882

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