APUNTES DE TEOR DE CONSUMO IAGonzalo Hernndez Jimnez a e Dana Marcela Chah Herrera n 29 de octubre de 2008

1.

Introduccin o

La econom es una ciencia social que estudia cmo los individuos y las a o sociedades eligen utilizar recursos escasos para producir bienes y servicios que satisfacen sus necesidades. En especial, lo concerniente a la satisfaccin de necesidades ser el punto o a de partida de estos apuntes sobre las teor del Consumo. Vamos a suponer as que buena parte de las necesidades de los individuos y las sociedades son satisfechas gracias al consumo de bienes y servicios. El consumo es el unico propsito nal de toda produccin: y el inters o o e del productor deber ser atendido solamente en tanto pueda ser necesario a para promover el del consumidor (Smith, 1776). Precisamente para hacer ms clara la importancia del consumo como a variable econmica y comprender sus determinantes, la primera parte del o actual curso de Macroeconom Avanzada I del Departamento de Econom a a de la Ponticia Universidad Javeriana se concentra en este tema de estudio. Adems de la motivacin derivada de la propia denicin de Econom el a o o a, Consumo, como variable macroeconmica, es interesante por dos razones o ms: a 1. El Consumo representa entre el 50 y el 70 por ciento del Producto Interno Bruto de los pa ses. En Colombia, por ejemplo, la participacin o del Consumo en el PIB oscila alrededor de 65 por ciento.

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Figura 1: El consumo como porcentaje del PIB

Las guras 1 y 2 nos muestran datos para Colombia y para otros grupos de pa ses. 2. Comprender los determinantes del Consumo signica comprender tambin los determinantes del Ahorro, variable clave en la determinacin e o del nivel de producto o la tasa de crecimiento del producto de largo plazo de acuerdo con varios modelos de crecimiento econmico. Suele o decirse que Consumo y Ahorro son dos caras de la misma moneda1 . Debido a su participacin en el PIB como componente de la Demanda o Agregada y a su estrecha relacin con el Ahorro, el Consumo es parte funo damental de los anlisis econmicos tanto de corto como de largo plazo. a oHasta lo que se, todo el mundo est de acuerdo en entender el ahorro como el exceso a de ingreso sobre lo que es gastado en consumo(Keynes, 1936, cap tulo 7, traduccin o libre).1

2

Figura 2: El consumo como porcentaje del PIB y el crecimiento del consumo y del PIB real en Colombia

En concordancia con el curso de Macroeconom Avanzada I, en estos a apuntes se discutirn fundamentalmente 4 aproximaciones para explicar el a comportamiento del Consumo como variable macroeconmica: la funcin keyo o nesiana de consumo y tres modelos basados en eleccin intertemporal: el o modelo de Fisher, la hiptesis de renta permanente y la hiptesis de ciclo de o o vida.

2.

Funcin Keynesiana de Consumo o

Para Keynes (1936), el objetivo nal era comprender qu determina el e volumen de empleo de una econom Keynes construy toda una teor ala. o a ternativa a la teor clsica en la que el Consumo, como elemento de la a a funcin de demanda agregada cobraba un protagonismo especial. o 3

En la Teor General, la siguiente ecuacin representa el comportamiento a o del Consumo: Cw = (Yw ) (2.1) donde C es el consumo y Y es el ingreso neto2 . Partiendo de esta ecuacin llegamos a especicaciones ms modernas coo a mo: C = C(Y T ) (2.2) donde (Y T ) es el ingreso disponible. Esta ecuacin en su versin lineal ser o o a: C = + (Y T ) > 0, 0 < < 1 (2.3)

donde y son coecientes que representan el consumo autnomo y la o propensin marginal a consumir respectivamente. o Esta ecuacin recoge los determinantes del consumo que Keynes se alaba o n y la forma que deb tener la funcin de consumo. La forma funcional debe a o tener en cuenta los siguientes aspectos: 1. El consumo depende principalmente del ingreso agregado. 2. De acuerdo con una ley sicolgica que l observaba, los hombres estn o e a dispuestos, como por una regla en promedio, a incrementar su consumo cuando el ingreso se incrementa, pero no tanto como se increment su o dCw ingreso ( dYw es positiva pero menor a 1). Para Keynes, las necesidades subjetivas asociadas al consumo incluyen caracter sticas sicolgicas de o la naturaleza humana, prcticas sociales e instituciones que improbaa blemente cambian en periodos cortos de tiempo, a menos que aparezcan circunstancias anormales o revolucionarias. Esto explica, por ejemplo, por qu en la funcin keynesiana de consumo la propensin marginal a e o o consumir es un parmetro y no una variable. aAmbas variables para Keynes estaban medidas en trmino de unidades salariales y el e ingreso neto consist en el ingreso que el consumidor ten en mente en el momento de a a decidir sobre su nivel de consumo.2

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3. Como regla, un nivel ms alto de ingreso tender a ampliar la brecha a a entre ingreso y consumo. Es decir, cuando el ingreso se incrementa, las personas destinan una proporcin ms alta de su ingreso hacia el o a ahorro. Para hacer evidente esta ultima conjetura, dividamos ambos lados de la ecuacin (2.3) por (Y T ) o C = + Y T Y T (2.4)

De esta manera tenemos al lado izquierdo la proporcin del ingreso disponible o destinado al consumo. Si le restamos 1 a esta proporcin, tenemos la proporcin del ingreso o o disponible destinado al ahorro, que claramente es creciente a medida que el ingreso disponible aumenta. Esta participacin tambin es conocida como la o e propensin media a ahorrar. o 1 C =1 Y T Y T (2.5)

Se propone desarrollar el ejercicio 1 de la seccin 9. o Emp ricamente, la funcin keynesiana de consumo suele predecir bastano te bien el comportamiento del consumo en series de tiempo para periodos cortos y en estudios de datos a nivel de hogares, sin embargo, falla en sus predicciones en series de tiempo para periodos largos. Esto se evidenci con o algunos trabajos en los que se utilizaron los datos estad sticos para Estados Unidos recopilados en Kuznets (1946). La gura 3 muestra la formacin de capital neto como porcentaje del o ingreso nacional en Estados Unidos desde 1869 hasta 1928. Esta variable que est muy correlacionada con la tasa de ahorro y permanece constante a lo a largo del tiempo sugiere que la tercera conjetura keynesiana no se cumple.

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Figura 3: Formacin de capital neto como porcentaje del ingreso nacional en o Estados Unidos

2.1.

Funcin keynesiana de consumo: caso colombiano o

Miremos las implicaciones de la funcin keynesiana en el caso colombiano. o La gura 4 muestra la relacin entre consumo e ingreso disponible para el o periodo 1950-2005 y la gura 5 la propensin media al ahorro para el mismo o periodo. Como podemos ver, las dos primeras conjeturas parecen ajustarse a los datos, sin embargo, la propensin media al ahorro es relativamente conso tante en el tiempo (con excepcin del periodo post apertura econmica que o o ha estado acompa ado de una marcada disminucin de la tasa de ahorro n o privada).

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Figura 4: Consumo e ingreso disponible en Colombia

3.

Algunos comentarios sobre la funcin keyo nesiana

Adems de los problemas emp a ricos al predecir la propensin media al o ahorro, suele atribuirse como un problema terico de la funcin keynesiana o o el que no se tenga en la cuenta que las decisiones de consumo y por lo tanto de ahorro pueden ser resultado de un problema intertemporal, en el que las personas deciden de acuerdo con expectativas sobre ingresos futuros y deciden el su consumo a lo largo del tiempo. Aunque ser muy interesante ver cmo los economistas pueden analizar a a o travs de modelos estos temas, vale la pena aclarar que Keynes no evadi en e o su Teor General la intertemporalidad del consumo por ingenuidad o descoa nocimiento. Para Keynes, los cambios en la tasa de descuento y los precios relativos entre bienes presentes y futuros eran parte de algunos factores obje7

Figura 5: Tasa de ahorro en Colombia

tivos que inu en la propensin a consumir3 , sin embargo, estos elementos an o intertemporales eran para Keynes irrelevantes en periodos cortos de tiempo4 . Otro factor objetivo que para Keynes explicaba la propensin a consumir o eran las expectativas sobre ingresos presentes y futuros. Keynes tambin e dej de lado este factor argumentando que aunque puede afectar la propeno sin a consumir de alg n individuo en particular, es poco probable que lo o uKeynes tambin hace referencia a factores subjetivos que motivan a las personas a cone sumir, como la b squeda de independencia, la avaricia o el placer derivado de incrementar u el gasto de consumo, entre muchos otros. Este tema es analizado en la actualidad por economistas y siclogos que trabajan conjuntamente en la explicacin de los determinantes o o del consumo de las personas. 4 No hay mucha gente que alterar su forma de vida debido a que la tasa de inters ha a e cado de 5 a 4 por ciento, si el ingreso agregado es el mismo que el de antes del cambio (Keynes, 1936, cap tulo 8).3

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haga con la comunidad como un todo. Adems, planteaba que era un tema a con demasiada incertidumbre para ejercer demasiada inuencia. Keynes alcanz, tal como lo pretend una funcin de consumo o a, o fairly stable en la que se tuvieran en la cuenta los elementos que para l eran los ms relevantes, dejando de lado aquellos, que e a siendo conocidos, introduc an demasiado ruido en circunstancias ordinarias. Las siguientes tres teor basadas en lo conocido como fundamentales, as, partirn del concepto de que las personas consumen porque de este consumo a derivan utilidad. Weil (2005) se pregunta en sus notas sobre consumo por qu las personas consumen? y responde: porque las hace felices. e

4.

Consumo y Felicidad

En la actualidad, se calcula para 95 pa un indicador subjetivo de feses licidad. Al responder la pregunta qu tanto disfruta su vida? las personas e reportan su nivel de felicidad en una escala de 1 a 10, donde 10 representa el valor ms alto nivel de satisfaccin. De acuerdo con Veenhoven (2006), a o los factores que parecen explicar las diferencias entre los ndices de felicidad de los pa son la disponibilidad de bienes y servicios, la igualdad social, ses la libertad pol tica, el acceso al conocimiento y algunas caracter sticas socioeconmicas como la prosperidad, el crecimiento econmico, la seguridad o o econmica y la igualdad del ingreso. o Aunque usualmente se muestra la correlacin entre ingreso y felicidad, o la gura 6 muestra la correlacin entre consumo per-cpita y felicidad para o a diferentes pa 5 en el periodo 1995-2005. Al igual que lo descrito por una ses funcin de utilidad convencional, los datos parecen describir concavidad. A o mayor consumo, mayor felicidad, pero a medida que aumenta el consumo, cambios en el consumo provocan cambios cada vez menores en la felicidad. Colombia reporta uno de los niveles ms altos de felicidad a nivel mundial a con un ndice de 8.1. Nos sentimos tan felices como los suizos que tienen unLa grca slo contiene datos para 83 pa a o ses, ya que los datos de consumo per-cpita a no estaban disponibles para los 12 pa ses restantes. Los pa ses que se excluyeron son: Angola, Bosnia, Cyprus, Irak, Ivory Coast, Malta, Montenegro, Nigeria, Singapur, Taiwan, Uzbekistan, South Korea5

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nivel de consumo per cpita 15 veces ms alto y ms felices que los peruanos a a a o los rumanos que tienen un nivel de consumo promedio parecido al nuestro. Tal vez lo que ocurre es que somos optimistas o felices por naturaleza. Sin embargo, s hay una tendencia: entre ms ingreso o consumo, ms felices en a a promedio.

Figura 6: Consumo y felicidad

Para modelar el supuesto de que el consumo hace felices a las personas, revisemos la funcin de utilidad. o

5.

Funcin de Utilidad o

Para poder representar la idea de que el consumo hace felices a las personas, describamos una funcin de utilidad que asigna valores a las diferentes o cestas de consumo, dependiendo del placer que stas le generan a un agente e 10

representativo. Es importante resaltar que esta funcin de utilidad es ordio nal y no cardinal, es decir, no nos interesa el valor que toma la funcin de o utilidad, sino el valor relativo cuando la comparamos con otras cestas de consumo. De esta manera, trabajaremos con una funcin de utilidad, tal que o U = U(C), cuya representacin grca ser la que se aprecia en la gura 7. o a a

Figura 7: Funcin de utilidad o Esta funcin de utilidad debe cumplir con algunas caracter o sticas importantes para nuestro anlisis: utilidad marginal positiva pero decreciente, a aditividad y aversin al riesgo. o

5.1.

Utilidad marginal decreciente

Como podemos apreciar en la gura 7, cuando el individuo aumenta su cantidad de consumo, su utilidad aumenta. Este aumento en la utilidad causado por una unidad adicional de consumo es lo que llamamos utilidad marginal. Nos damos cuenta tambin que el aumento que experimenta la utilidad e es cada vez menor a medida que aumenta el consumo. Decimos, por tanto, que la utilidad marginal es decreciente. Una unidad adicional de consumo para un individuo que consum poco, aumenta ms el nivel de utilidad que a a 11

en el caso de un individuo que ya ten un alto nivel de consumo. Por ello, a para valores mayores de C, la grca se ve cada vez ms plana. a a Matemticamente, debe cumplirse que U > 0 y a C utilidad marginal positiva pero decreciente.2U C 2

< 0 para garantizar

5.2.

Aditividad de la funcin de utilidad o

Otra caracter stica que deber tener la funcin de utilidad ser la de adia o a tividad. Es decir, que podamos sumar las funciones de utilidad instantneas. a Para la construccin de los modelos intertemporales que revisaremos ms o a adelante, es necesario que podamos contar con una funcin de utilidad que o represente la satisfaccin del individuo por el consumo realizado en diferentes o momentos de tiempo. V = U(C1 ) + U(C2 ) + + U(Ct ) (5.1)

En el caso de un individuo que debe decidir su senda de consumo para t periodos, la utilidad total ser la suma de las funciones de utilidad instantneas. a a

5.3.

Aversin al riesgo o

Todos los d nos enfrentamos a situaciones de incertidumbre. No saas bemos si vamos a ganar la loter si el precio de los alimentos va a subir, a, si va a haber un terremoto o si vamos a pasar macroeconom avanzada I6 . a Debido a que estos eventos afectan las decisiones de consumo, es importante que veamos qu implicaciones tiene nuestra funcin de utilidad cncava. e o o Para enfrentar la incertidumbre, las personas se crean expectativas acerca de lo que va a ocurrir en el futuro. Los economistas abordamos la forma como se construyen estas expectativas a travs del concepto de utilidad ese perada. Esta utilidad esperada parecer poder ser calculada de dos maneras a diferentes. Ahora veremos que slo una de esas formas es correcta. o Supongamos que el salario de un individuo depende del comportamiento del precio de las acciones. Por lo tanto, este individuo tiene incertidumbre acerca de la cantidad de dinero que puede ganar el siguiente mes. Supongamos6

Esto por supuesto puede ser ms controlado que el terremoto. a

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que con una probabilidad igual a 0.5, el individuo ganar un salario que le a permitir consumir 500 pesos y con una probabilidad igual a 0.5 el individuo a ganar un salario que le permitir consumir 1000 pesos. a a Podr amos calcular: Utilidad esperada del consumo EU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000) o la Utilidad del valor esperado del consumo UE(C) = U(0,5 500 + 0,5 1000) La primera forma es la que usaremos como nuestra funcin objetivo cuano do hay incertidumbre. Veamos por qu es sensato que aceptemos esta denie cin y descartemos la segunda. o En el ejemplo del individuo que enfrenta incertidumbre acerca de su consumo, podemos darnos cuenta claramente que los dos eventos que pueden ocurrir son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir al mismo tiempo. El individuo podr consumir 500 o podr consumir 1000, pero en a a ning n momento va a consumir una cantidad intermedia entre las dos. u Eso es precisamente lo que est mostrando la utilidad esperada del a consumo, ya que con una probabilidad de 0.5 el individuo va a obtener utilidad por consumir 500 y con una probabilidad de 0.5 el individuo va a obtener utilidad por consumir 1000. De esta manera se garantiza adems la independencia entre los posibles a resultados. Si uno de los dos eventos no ocurre, eso no debe perturbar en lo ms m a nimo al evento que s sucede. En el caso en que el evento que ocurra sea el segundo (que el individuo consuma 1000), el hecho de que el individuo no consuma 500 no inuir de ninguna forma. Esta funcin de a o utilidad esperada es com nmente conocida como Funcin de Utilidad Von u o Neumann-Mortgenstern. 13

Cuando las personas se enfrentan a estas situaciones de incertidumbre corren el riesgo de ganar o perder. Algunos individuos disfrutan ese riesgo, es decir son amantes al riesgo; otros son indiferentes, es decir son neutrales al riesgo; pero hay otros, la mayor que hacen lo posible por evitarlo, es decir, a, son adversos al riesgo7 . Si suponemos aversin al riesgo para los individuos, stos tendrn una o e a funcin de utilidad cncava que cumple con la desigualdad de Jensen, es o o decir, se cumple que la utilidad del valor esperado del consumo es mayor que la utilidad esperada del consumo. Esta desigualdad puede verse con la gura 8. La utilidad de 750 (valor esperado del consumo) es mayor a EU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000).

Figura 8: Aversin al riesgo o

De esta manera, vemos que la concavidad de la funcin de utilidad que o describe la propiedad de utilidad marginal decreciente describe simultneaa mente aversin al riesgo. oAlgunos estudiantes se consideran amantes al riesgo hasta el momento en que enfrentan la siguiente apuesta: si sale cara al lanzar una moneda usted obtendr dos puntos ms en a a su primer parcial (si sac 3, por ejemplo, ahora tendr 5), si sale sello se le restarn dos o a a puntos a su examen (si sac 3, por ejemplo, ahora tendr 1). Acepta la apuesta? o a7

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5.4.

La Funcin de Utilidad CRRA o

Una funcin de utilidad que cumple con las caracter o sticas que hemos considerado importantes hasta el momento es la Funcin de Utilidad de Avero sin Relativa al Riesgo Constante, CRRA. o Ct1 >0 1

U(Ct ) =

(5.2)

Es una funcin con utilidad marginal positiva pero decreciente y adems o a incorpora aversin al riesgo en las decisiones de consumo de los individuos. o Para probar que la CRRA tiene utilidad marginal positiva, miramos la primera derivada de la funcin: o 1 U(Ct ) = C Ct 1 t U(Ct ) = Ct > 0 Ct La utilidad marginal es positiva: si aumenta el consumo en una unidad adicional, la utilidad tambin aumenta. e La segunda derivada de la funcin respecto al consumo nos conrma que o la utilidad marginal es decreciente: 2 U(Ct ) (1+) = Ct 0) y la primera derivada positiva, entonces la utilidad marginal es positiva pero decreciente: si aumenta el consumo en una unidad adicional la utilidad va a aumentar, pero cada vez en una menor cuant a. El parmetro de importancia en nuestra funcin de utilidad CRRA es a o , el cual se conoce generalmente como el coeciente de aversin relativa al o

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riesgo8 . Como es un parmetro que mide aversin, asumimos que entre ms a o a grande sea su valor ms adverso al riesgo es el individuo. (Si = 0, se dice a que el individuo es neutral al riesgo9 ). Recordemos que una manera de medir la aversin al riesgo de los indio viduos es mirando la curvatura de la funcin de utilidad. Entre ms curva o a es esta ultima, ms adverso al riesgo es el individuo. es el parmetro que a a mide la curvatura de la funcin de utilidad. o Si gracamos la funcin de utilidad CRRA en tercera dimensin (por la o oPara la funcin CRRA podemos calcular dos o ndices de aversin al riesgo. El primero o de ellos es el ndice de aversin absoluta al riesgo de Arrow-Pratt, el cual est dado o a por lo cual es equivalente a dU 1 1 = C 1 = dC U C C C U U (5.3)8

=

(5.4)

El resultado de (5.4) muestra una propiedad interesante de la CRRA: a medida que el nivel de consumo es ms alto la aversin absoluta al riesgo es menor. Esto puede a o explicar por ejemplo por qu personas con niveles altos de consumo estn ms dispuestas e a a a enfrentar apuestas que personas con niveles bajos. El segundo ndice de aversin al riesgo es el o ndice de aversin relativa al riesgo o constante, el cual est dado por a C lo cual es equivalente a dU C C = C 1 = (5.6) dC U C Como podemos darnos cuenta, el ndice de aversin absoluta al riesgo de Arrow-Pratt deo pende del nivel de consumo, mientras que el ndice de aversin relativa al riesgo constante, o como su nombre lo dice, no depende del nivel de consumo. Desarrollar ejercicio 2 de la seccin 9. o 9 si = 0 la funcin CRRA se convierte en U (C) = C. Grcamente ser una l o a a nea recta de pendiente positiva igual a 1. En este caso, la gura 8 mostrar que no se satisface a la desigualdad de Jensen. U U (5.5)

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propiedad de aditividad), podemos apreciar que para valores mayores de , la funcin se hace cada vez ms curva. o a La gura 9 nos muestra la funcin de utilidad CRRA cuando =0.3 y la o gura 10 cuando =0.8.

Figura 9: Funcin de utilidad CRRA cuando =0.3 o Si giramos la funcin de utilidad gracada en la gura 10 hasta desapao recer el eje correspondiente a C2 vemos claramente la funcin de utilidad o cuando el consumo del periodo dos se mantiene constante. (Ver gura 11). Si gracamos la funcin de utilidad CRRA en dos dimensiones, la gura o 12 nos muestra que para valores mayores de , la concavidad de la funcin o de utilidad CRRA es ms marcada, haciendo ms evidente la desigualdad de a a Jensen10 . es la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo que est dada por a la siguiente ecuacin: o dU C U = C = (5.7) dC U U A medida que aumenta en valor absoluto, la utilidad marginal se hace cada vez ms a elstica al consumo. Es decir, a medida que aumenta sigma, un aumento del consumo en a 1 por ciento va a disminuir la utilidad marginal en ms de 1 por ciento. Por eso, entre a mayor es , mayor es la curvatura de la funcin de utilidad. o10

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Figura 10: Funcin de utilidad CRRA cuando =0.8 o

Figura 11: Funcin de utilidad CRRA o

Al mirar la ecuacin (5.2), tambin podemos darnos cuenta que cuando o e > 1, la CRRA se vuelve negativa. Sin embargo, gracias a que la CRRA describe utilidad marginal positiva, a medida que aumenta el consumo, la utilidad se hace cada vez menos negativa, es decir, aumenta. La gura 13 nos muestra esa situacin. o

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Figura 12: Funciones de utilidad CRRA

Como nos interesa la ordinalidad de la funcin de utilidad basta como o restriccin para que sea mayor a cero. o 5.4.1. CRRA con = 1

Un caso particular de la funcin de utilidad CRRA, se da cuando = 1. o La funcin CRRA queda convertida en una funcin logar o o tmica. Veamos paso a paso cmo llegamos a esa conclusin. o o Empecemos por replantear la funcin de utilidad CRRA: o U(Ct ) = Ct1 1 1 (5.8)

Esta transformacin simplemente afecta el nivel de la funcin. o o Si evaluamos el l mite cuando 1, nos queda una expresin de la o 0 forma 0 . En este caso, lo ms conveniente ser utilizar la regla de LHospital. a a Recordemos que sta consiste en derivar con respecto al parmetro de inters, e a e en este caso , tanto el numerador como el denominador. Sin embargo, derivar la ecuacin (5.8) con respecto a parece complicado. Facilitemos entonces o 19

Figura 13: Funcin de Utilidad CRRA con > 1 o

este procedimiento reexpresando la ecuacin (5.8). o U(Ct ) = que es igual a Ct Ct 1 1 (5.9)

Ct e ln Ct 1 (5.10) 1 Como nos interesa ver cul es el l a mite de la anterior expresin cuando 1: o U(Ct ) = Ct e ln Ct 1 1 1 l m utilicemos LHospital y tenemos: Ct e ln Ct ln Ct l m 1 11

(5.11)

(5.12) (5.13)

l Ct e ln Ct ln Ct m 20

Si evaluamos (5.13), tenemos nalmente que:1

l Ct e ln Ct ln Ct = ln Ct m

(5.14)

Hemos comprobado que la funcin de utilidad CRRA se convierte en la funo cin logar o timica cuando 1. La funcin de utilidad logar o tmica ser muy a conveniente en los modelos de consumo intertemporal que veremos a continuacin. o

6.

Modelo de Fisher

Presentado seis a os antes de la publicacin de la Teor General, el n o a modelo conocido como modelo de consumo de Fisher es el primero en formalizar el problema de eleccin intertemporal propuesto por Eugen von Bhmo o Bawerk11 . En el anlisis de von Bhm-Bawerk, las elecciones a travs del a o e tiempo pod abordarse como cualquier problema econmico en el que las an o personas deben decidir sobre la asignacin de dos bienes que son escasos. Deo cidir por ejemplo entre ca ones o mantequilla12 . En estas notas, la disyuntiva n ser Consumo Hoy vs. Consumo Ma ana. a n En su obra de 1930, The Theory of Interest, Irving Fisher mostr el fao miliar plano cartesiano en el que el eje de las abscisas representa el consumo presente y el eje de las ordenadas el consumo futuro. As las curvas de in, diferencia representan las preferencias del agente econmico representativo o sobre su consumo intertemporal y en la restriccin presupuestal las posibio lidades de consumo presente y futuro que este agente puede alcanzar dados sus ingresos. Revisemos la presentacin moderna de este modelo con sus diferentes o variantes.Economista austroh ngaro cuya obra ms importante fue Capital and Interest (1889) u a Este trade-o mencionado casi siempre en los cursos de Principios de Econom fue a resultado de un comentario de Joseph Goebbels, jefe de opinin del rgimen de Adolf o e Hitler.12 11

21

6.1.

Caso 1: Modelo de Fisher para dos periodos sin tasa de inters y sin tasa de descuento interteme poral

Supongamos inicialmente un agente que va a decidir cunto consumir a en el periodo 1 (hoy por ejemplo) y cunto va a consumir en el periodo a 2 (ma ana por ejemplo). Este agente no tiene activos iniciales y de igual n manera los activos son cero al culminar el periodo 2. Es decir no deja herencias (intencionales o no intencionales)13 ni deudas. Sin embargo, recibe ingresos W1 en el periodo 1 e ingresos W2 en el periodo 2. Esos ingresos limitados le permiten consumir. No va a ser relevante indagar sobre el origen de esos ingresos en este modelo. Para el caso ms sencillo, vamos a suponer que el precio relativo entre a el consumo del periodo 1 y el consumo del periodo 2 es igual a 1. La tasa de inters es entonces igual a cero. Este supuesto se traduce en que los ahoe rros hechos en el primer periodo no generan rentabilidad nanciera, de igual manera, endeudarse no cuesta nada. La funcin de utilidad para este agente es la suma de las funciones de o utilidad instantneas. Esto es posible gracias al supuesto de aditividad que a discutimos en la seccin 5.2. Adems, para esta versin del modelo de Fisher, o a o vamos a suponer que este agente no descuenta la utilidad del futuro. V = U(C1 ) + U(C2 ) (6.1)

Este agente representativo ahorra la parte del ingreso que no consume. Por supuesto, este ahorro podr ser negativo. En ese caso estar consumiendo a a ms que su ingreso del primer periodo. a S1 = W1 C1 (6.2)

En el periodo 2, debe consumir tanto el ingreso del periodo 2 como los ahorros realizados en el periodo anterior. Decimos debe porque de lo contrario violar amos el supuesto inicial de activos cero al nalizar los dos periodos.13 Es posible que las personas dejen herencias porque les importa la felicidad de sus hijos o nietos pero tambin es posible que las dejen porque simplemente la muerte los sorprende e con activos positivos que iban a ser destinados al consumo en un horizonte de vida que habr podido ser ms largo. a a

22

Si el ahorro fue negativo, deber por supuesto pagar su deuda. As como los a agentes no pueden dejar herencias tampoco dejan deudas. C2 = S1 + W2 (6.3)

Reemplazando la ecuacin (6.2) en (6.3) obtenemos (6.4) que nos dice simpleo mente que la suma de los ingresos debe ser igual a la suma de los consumos en ambos periodos. Esta igualdad nos conrma que la unica fuente de consumo son los ingresos de cada periodo y por lo tanto el supuesto de activos iguales a cero al iniciar y al terminar los dos periodos. W1 + W2 = C1 + C2 (6.4)

Teniendo presente que las funciones de utilidad instantneas cumplen las a caracter sticas de la seccin 5, entonces podemos solucionar matemticameno a te este problema escribiendo el lagrangiano que en realidad es la funcin de o utilidad restringida por la ecuacin (6.4). o L = U(C1 ) + U(C2 ) + [W1 + W2 C1 C2 ] Las condiciones de primer orden son: 1. 2. 3.L C1 L C2 L

= U (C1 ) = 0 = U (C1 ) = U (C2 ) = 0 = U (C2 ) = W1 + W2 C1 C2 = 0

De la primera y la segunda condicin de primer orden podemos deducir o que C1 = C2 . Si introducimos esta condicin en la restriccin presupuestaria, o o obtenemos que W1 + W2 (6.5) 2 El resultado de este problema es que el individuo suaviza completamente su consumo en ambos periodos. El consumo del periodo 1 es exactamente igual al consumo del periodo 2. La igualdad de las utilidades marginales tiene una explicacin intuitiva importante. Si el consumo del primer periodo o fuera mayor al consumo del segundo periodo, entonces, U (C1 ) < U (C2 ), caso en el cual valdr la pena reducir el consumo del periodo 1 y aumentar a el consumo del periodo 2 de tal manera que la utilidad total aumentar a. C1 = C2 = 23

Figura 14: Optimizacin del Consumo o

La suavizacin del consumo depende de la propiedad de utilidad marginal o decreciente de la funcin de utilidad que estamos utilizando. Esta propiedad, o como vimos en la seccin 5, est estrechamente ligada con que los agentes o a son adversos al riesgo (aunque por ahora no se ha incluido ning n elemento u de incertidumbre). Si el ingreso de alguno de los periodos aumenta, la restriccin presuo puestal se desplazar permitiendo que el individuo alcance una curva de a indiferencia ms alta. Independientemente de cul ingreso cambie, el indivia a duo distribuir el incremento de ingreso en el consumo de ambos periodos, a persistiendo as su preferencia por suavizar su consumo intertemporal. El ahorro ser el elemento clave para que el individuo pueda suavizar su a consumo. Si el consumo ptimo del primer periodo es mayor al ingreso del o primer periodo, el agente se endeudar (se convierte en prestatario) y luego a en el periodo 2 saldar sus deudas. Si el consumo ptimo del primer periodo a o es menor al ingreso del primer periodo, el agente, convertido en prestamista, utilizar sus ahorros para su consumo del segundo periodo. a

24

6.2.

Caso 2: ahora con tasa de inters e

El modelo presentado en el caso 1 puede complementarse incluyendo una tasa de inters como remuneracin a los activos nancieros de los prestae o mistas o un costo de nanciacin para los prestatarios. Las ecuaciones que o representan este modelo ser las siguientes: an V = U(C1 ) + U(C2 ) S1 = W1 C1 pero ahora el consumo del segundo periodo est dado por: a C2 = (1 + r)S1 + W2 (6.8) (6.6) (6.7)

Y al combinar las ultimas dos ecuaciones obtenemos la siguiente restriccin o presupuestal, que nos dice que el valor presente de los ingresos debe ser igual al valor presente de los consumos en ambos periodos: W1 + W2 C2 = C1 + 1+r 1+r (6.9)

La funcin de utilidad restringida ser ahora: o a L = U(C1 ) + U(C2 ) + [W1 +W2 1+r

C1

C2 ] 1+r

La solucin a este problema de optimizacin estar determinada por la o o a siguiente condicin: o U (C1 ) = U (C2 )(1 + r) (6.10) Esta condicin muy parecida a la condicin obtenida en el caso 1 reeja el o o efecto sustitucin que la tasa de inters tendr sobre las decisiones de cono e a sumo. Sin embargo, para conocer el efecto de un incremento o reduccin de o la tasa de inters sobre los niveles de consumo de ambos periodos, es impore tante recordar que adems del efecto sustitucin, los cambios en los precios a o relativos tambin generan un efecto ingreso. Mientras el efecto sustitucin es e o independiente de que el individuo sea prestamista o prestatario, la condicin o inicial ser esencial para determinar el efecto ingreso. a

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Figura 15: Optimizacin del consumo con tasa de inters o e

6.2.1.

Efecto sustitucin y efecto ingreso de un aumento en la tasa o de inters en el caso de un prestatario e

Empecemos por analizar el caso de un prestatario, es decir, de una persona cuyo ahorro en el primer periodo es negativo y por lo tanto pide prestado. Efecto sustitucin: Al aumentar la tasa de inters es preferible sustio e tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que los intereses que debe pagar sobre el dinero que pide prestado en el primer periodo son mayores con la subida de la tasa de inters. e Efecto ingreso: Al aumentar la tasa de inters, el individuo tendr que e a contar con una ca generalizada de su ingreso que lo hace menos da rico. Por lo tanto hay incentivos para disminuir el consumo en ambos periodos. Como podemos ver en la gura 16, el efecto sustitucin y el efecto ingreso o van en la misma direccin para el primer periodo, por lo que el efecto nal o en el periodo uno es una disminucin del consumo. En el periodo dos, el o efecto nal sobre el consumo depende de si el efecto sustitucin prima sobre o el efecto ingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitucin. Para o 26

conocer las magnitudes de estos efectos ser necesario contar con una funcin a o de utilidad expl cita.

Figura 16: efecto sustitucin y efecto ingreso para el caso de un prestatario o

La gura 17 muestra el caso de un prestatario que aumenta su consumo del periodo dos ya que el efecto sustitucin prima sobre el efecto ingreso. o La gura 18 muestra el caso de un prestatario que disminuye su consumo del periodo dos ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitucin. o

6.3.

Efecto sustitucin y efecto ingreso de un aumento o en la tasa de inters en el caso de un prestamista eEfecto sustitucin: Al aumentar la tasa de inters es preferible sustio e tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que los intereses que recibe por el dinero que presta en el primer periodo son mayores con la subida de la tasa de inters. e

27

Figura 17: El caso de un prestatario que aumenta su consumo del periodo dos cuando aumenta la tasa de inters e

Efecto ingreso: Al aumentar la tasa de inters, el individuo cone tar con un aumento generalizado de su ingreso que lo hace ms ria a co. Por lo tanto hay incentivos para aumentar el consumo en ambos periodos. Como podemos ver en la gura 19, el efecto sustitucin y el efecto ingreso van o en la misma direccin para el segundo periodo, por lo que el efecto nal en o el periodo dos es un aumento del consumo. En el periodo uno, el efecto nal sobre el consumo depende de si el efecto sustitucin prima sobre el efecto o ingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitucin. o La gura 20 muestra el caso de un prestamista que disminuye su consumo del periodo uno ya que el efecto sustitucin prima sobre el efecto ingreso. o La gura 21 muestra el caso de un prestamista que aumenta su consumo del periodo uno ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitucin. o 28

Figura 18: El caso de un prestatario que disminuye su consumo del periodo dos cuando aumenta la tasa de inters e

En el trabajo de Juan Nicols Hernndez (2006), en el que se hace una a a revisin de los determinantes macroeconmicos del consumo total de los hoo o gares en Colombia, se comprueba que la elasticidad del consumo a la tasa de inters real es negativa. En la revisin de la literatura del trabajo de e o Hernndez (2006) se referencia el trabajo de Leonardo Duarte (2003) quien a encuentra que cuando la tasa de inters disminuye en un punto porcentual, el e consumo aumenta en 0.13 puntos porcentuales. En otro trabajo, el realizado por Lpez, Gmez y Rodr o o guez (1996) se encuentra que ante una disminucin o de la tasa de inters en un punto porcentual, el consumo per cpita aumenta e a entre 0.6 y 1 punto porcentual.

29

Figura 19: efecto sustitucin y efecto ingreso para el caso de un prestamista o

6.4.

Caso 3: incluyendo una tasa de descuento intertemporal

Tanto en el caso 1 como en el caso 2 del modelo de Fisher que hemos presentado, la funcin de utilidad corresponde a una suma de las funciones o de utilidad instantneas en la que U(C1) y U(C2) tienen la misma impora tancia. Sin embargo, podemos modelar unos agentes econmicos que suelen o ser impacientes y descuentan la utilidad del consumo futuro. Si les preguntamos a los lectores de estos apuntes cundo preere tener a vacaciones? hoy o en dos meses? (manteniendo todo lo dems constante, a como tasa de inters, salarios, etctera, es decir, si nos interesa unicamente e e que nos revele su preferencia sobre el consumo presente vs el consumo futuro), en la mayor de los casos la respuesta ser que preere las vacaciones hoy. a a Esta impaciencia puede ser modelada incluyendo un factor que descuente la utilidad futura en relacin con la utilidad de consumir en el presente. o Los determinantes sicolgicos, neurolgicos, incluso loscos de esta imo o o 30

Figura 20: El caso de un prestamista que disminuye su consumo del periodo uno cuando aumenta la tasa de inters e

paciencia son tan variados como interesantes. El libro Time and Decision (2003) es una excelente referencia para quienes quieran profundizar en este tema. En este libro se citan diferentes trabajos, por ejemplo, el de algunos lsofos para los cuales descontar la utilidad futura es resultado de la dbil o e relacin que podemos establecer entre nuestro yo actual y nuestro yo futuro. o Pensar en nuestra utilidad futura puede ser como pensar en la utilidad de otra persona, por lo tanto se justica asignarle mayor importancia al presente, es decir, a lo que podemos sentir y no es tan dif de imaginar. cil De igual manera, neurlogos y siclogos se han preocupado siempre por o o explicar las diferencias en los niveles de paciencia. Entre las explicaciones est que las personas con da os en la corteza pre-frontal del cerebro no tiea n nen en la cuenta las consecuencias futuras de sus acciones y sus elecciones slo dependen de premios o remuneraciones inmediatas. As mismo, en expeo rimentos con animales, se ha identicado que algunos componentes qu micos, como el Prozac, pueden elevar el grado de paciencia. 31

Figura 21: El caso de un prestamista que aumenta su consumo del periodo uno cuando aumenta la tasa de inters e

Para nuestro modelo, no ser esencial conocer todos los posibles determia nantes del descuento intertemporal, sin embargo, vale la pena reconocer estos elementos como una fuente inagotable de estudio en la que la ciencia econmio ca y la sicolog pueden converger y trabajar juntas. Adems, estos aportes a a interdisciplinarios confrontan constantemente los supuestos que manejamos los economistas al describir el comportamiento y la toma de decisiones de nuestros agentes econmicos. o Matemticamente, por ahora, veamos cmo podemos incorporar el desa o cuento intertemporal en nuestro modelo de Fisher. Utilizando la tasa de descuento , vamos a decir que la utilidad total, para dos periodos, es igual a: U(C2 ) V = U(C1 ) + (6.11) 1+

32

Esta funcin para T periodos de tiempo ser igual a: o a V = U(C1 ) + U(C2 ) U(C3 ) U(CT ) + + ...+ 1+ (1 + )2 (1 + )T 1 (6.12)

Esta funcin de utilidad con descuento intertemporal fue presentada por o Paul Samuelson en 1937 en el art culo A note on Measurement of Utility y ha sido acogida en muchos trabajos por su sencillez. Podemos observar que si las preferencias de un agente son descritas por esta funcin, este individuo o valora menos la utilidad futura que la utilidad presente. Adems, el descuento a entre el periodo 1 y el periodo 2 es exactamente igual al descuento aplicado entre los periodos 2 y 3 o entre los periodos T 1 y T . Esta caracter stica es especialmente criticada por economistas y siclogos que de acuerdo con o sus estudios consideran que las personas pueden ser ms pacientes al tener a que decidir sobre su asignacin de consumo entre periodos lejanos de tiempo o que cuando tienen que decidir en periodos cercanos de tiempo. Si tenemos que elegir entre vacaciones hoy o el prximo a o, somos ms impacientes que o n a si tenemos que decidir hoy entre unas vacaciones en 10 a os o en 11 a os. n n El descuento exponencial utilizado en la funcin de Samuelson no puede o describir ese fenmeno mientras que una funcin con descuento hiperblico o o o s . Este caso, en el que los niveles de paciencia cambian en el tiempo, no es el unico problema de la funcin de utilidad con la que trabajaremos14 y o aunque en cursos ms avanzados se trabajar con funciones ms complejas, a a a por ahora, consideremos esta primera aproximacin para ser incluida en el o modelo de Fisher. Para el modelo de dos periodos, el lagrangiano quedar igual a: a L = U(C1 ) +U (C2 ) 1+

+ [W1 +

W2 1+r

C1

C2 ] 1+r

La restriccin presupuestal no cambia y las condiciones de primer orden o ser an: 1. 2.14

L C1 L C2

= U (C1 ) = 0 =U (C2 ) 1+

1+r

=0

Ver Time and Decision (cap. 1)

33

3.

L

= W1 +

W2 1+r

C1

C2 1+r

=0

Que al ser organizadas nos permiten llegar a la expresin: o 1+r U (C1 ) = (C ) U 2 1+ (6.13)

Esta ultima expresin que slo se diferencia de (6.10) en el factor de des o o cuento, describe los incentivos que tendr el individuo para sustituir consumo a presente o futuro de acuerdo con la interaccin entre la tasa de inters y la o e tasa de descuento intertemporal. La tasa de descuento intertemporal es la tasa a la que el individuo quiere descontar la utilidad futura y la tasa de inters es la tasa a la que puede. Si la tasa a la que puede (r) es mayor a la e tasa a la que quiere () entonces seguramente tendr incentivos para sustia tuir consumo presente por consumo futuro. A diferencia del caso 2 en el que la tasa de descuento intertemporal era igual a cero, ahora esta tasa podr a anular el efecto de la tasa de inters. e

6.5.

Restricciones crediticias

El modelo de Fisher puede considerar otras variantes que hacen ms reaa lista su descripcin. Por ejemplo, podemos incluir el que los agentes enfrenten o restricciones crediticias. Si los consumidores no tienen acceso al mercado de crdito, por asimetr de informacin o carencia de colaterales, no podrn e a o a nanciar un consumo presente que exceda el ingreso del primer periodo. Las personas que se enfrentan a restricciones crediticias son personas con bajos ingresos que no pueden acceder a un crdito en un banco o personas e que han dejado de pagar sus obligaciones en el pasado y son castigados con la negacin de nuevos crditos. o e Esta consideracin ser capturada en el modelo dependiendo de dos esceo a narios: 1. Cuando la restriccin crediticia no es relevante. o 2. Cuando la restriccin crediticia s es relevante. o El primer caso se da cuando la persona que enfrenta la restriccin creditio cia es un ahorrador. Esto signica que este individuo no estaba interesado en 34

Figura 22: Restriccin presupuestaria con restriccin crediticia relevante o o

pedir dinero prestado para nanciar sus necesidades, por lo que su decisin o de consumo no se va a ver afectada. El segundo caso, se da si la decisin ptima de consumo, sin restricciones, o o hace que el individuo sea un prestatario. En este caso, la restriccin crediticia o evita que el individuo pueda consumir ms que su ingreso del primer periodo, a por lo tanto, la restriccin crediticia s es relevante y le costar al individuo o a en trminos de utilidad. Podr como mximo consumir su ingreso del primer e a a periodo y no podr suavizar su consumo tanto como esperaba. La gura 22 a muestra las limitaciones en las posibilidades de consumo impuestas por la restriccin crediticia. o Cuando las restricciones crediticas son relevantes, un aumento del ingreso presente ser acompa ado seguramente por un incremento del consumo del a n primer periodo. En esta situacin el comportamiento del consumo ser baso a tante parecido al que predice la funcin keynesiana de consumo con excepcin o o de que la propensin marginal a consumir ser igual a 1. o a Claramente, las restricciones crediticias relevantes limitan las elecciones de un consumidor en un modelo intertemporal. 35

Para el caso colombiano, se ha encontrado evidencia emp rica que soporta la inuencia de las restricciones crediticias en las decisiones de consumo a largo plazo. Juan Nicols Hernndez comprueba en su trabajo del 2006 que a a en presencia de restricciones crediticias, la elasticidad del consumo al ingreso es mayor que en ausencia de dichas restricciones. Esto nos hace corroborar que para el caso colombiano, las restricciones crediticias hacen que los consumidores se comporten como lo predice la funcin keynesiana de consumo, o impidiendo as que los individuos suavicen su consumo completamente. En , ese trabajo, se toma como proxy de las restricciones crediticias las ventas y avances con tarjetas de crdito. e

6.6.

Tasa de colocacin vs. tasa de captacin o o

Aunque con frecuencia trabajamos con una sola tasa de inters r, si vamos e a un banco a pedir un prstamo seguramente la tasa de inters sobre la cual e e nos van a prestar el dinero (tasa de colocacin) es mucho ms alta que la tasa o a de inters sobre la cual nos pagar ese mismo banco si depositamos nuestro e a dinero en una cuenta de ahorros (tasa de captacin). o Recordemos que la pendiente de la restriccin presupuestal es igual a o (1 + r). Si la tasa de inters de pedir dinero prestado es mayor a la tasa e de inters de prestarlo, la restriccin presupuestal tomar la forma que se e o a muestra en la gura 23. Como nos muestra la grca, en el segmento donde el ingreso del indivia duo es menor a su consumo, es decir, cuando el individuo pide prestado, la pendiente de la restriccin presupuestal es mayor que cuando el individuo es o un ahorrador. La restriccin crediticia de la seccin anterior puede verse como un caso o o particular en el que la tasa de inters de pedir prestado es innita. e

6.7.

Modelo de Fisher para ms de dos periodos a

Luego de haber entendido el anlisis econmico del modelo de Fisher para a o dos periodos podemos extenderlo para T periodos conservando el anlisis a discreto de las secciones anteriores.

36

Figura 23: Restriccin presupuestaria con tasa de inters diferenciable o e

Consideremos una persona que desea planear su consumo para los periodos comprendidos entre 0 y T 1. Esta persona obtiene utilidad de acuerdo a la funcin de utilidad: o T 1 U(Ct ) (6.14) V = (1 + )t t=0 Conservando los supuestos del modelo para dos periodos, esta persona empieza y termina su vida con activos igual a cero. Es decir, A0 = 0 y AT = 0. Esto ultimo quiere decir que dicha persona gasta todos sus ingresos, incluidos sus activos acumulados, antes de morir. No deja herencias ni deudas. Para construir la restriccin presupuestal, miremos los activos en cada o periodo de tiempo. En el periodo 1 los activos sern iguales a: a A1 = (1 + r)(W0 C0 ) Los activos en el periodo 2 sern iguales a: a A2 = (1 + r)(W1 C1 ) + (1 + r)2 (W0 C0 ) (6.16) (6.15)

37

Si continuamos hasta el periodo T , los activos del individuo estar dados an por la siguiente ecuacin: o AT = (1 + r)(WT 1 CT 1 ) + (1 + r)2(WT 2 CT 2 ) + + (1 + r)T (W0 C0 ) (6.17) Donde AT debe ser igual a cero para satisfacer el supuesto de activos iguales a cero al nalizar la vida. Dividiendo ambos lados de la ecuacin (6.17) por (1 + r)T y teniendo en o cuenta que AT = 0 tenemos que: 0= WT 1 CT 1 WT 2 CT 2 + + + (W0 C0 ) (1 + r)T 1 (1 + r)T 2 (6.18)

Si expresamos la ecuacin (6.18) en sumatorias obtenemos que: oT 1

0=t=0

Wt Ct (1 + r)t

(6.19)

Podemos reorganizar los trminos de la sumatoria para nalmente llegar e a nuestra restriccin presupuestal, que muestra, como esperbamos, que el o a valor presente de los ingresos es igual al valor presente de los consumos.T 1 t=0

Wt = (1 + r)t

T 1 t=0

Ct (1 + r)t

(6.20)

Una vez tenemos la funcin de utilidad y la restriccin presupuestal proo o cedemos a calcular los consumos ptimos. oT 1

L=t=0

U(Ct ) + (1 + )t

T 1 t=0

Wt Ct (1 + r)t

Las condiciones de primer orden en este ejercicio de T periodos sern calcua ladas para dos periodos adyacentes: t y t + 1. 1. 2. 3.L Ct

=

U (Ct ) (1+)t

(1+r)t

=0 =0

L Ct+1 L

=

U (Ct+1 ) (1+)t+1

(1+r)t+1

=

T 1 Wt Ct t=0 (1+r)t

=0 38

Igualando encontramos la expresin que resume la condicin de optimalidad o o del consumo. (1 + r)t+1 U (Ct )(1 + )t+1 = (6.21) U (Ct+1 )(1 + )t (1 + r)t U (Ct ) (1 + ) = (1 + r) (6.22) U (Ct+1 ) 1+r U (Ct ) = (6.23) (C U t+1 ) 1+ La explicacin econmica de esta ecuacin es idntica a la utilizada para o o o e el modelo de Fisher de dos periodos. 6.7.1. Condicin de optimalidad con una funcin de utilidad CRRA o o

Si trabajamos con una funcin de utilidad de la forma U(Ct ) = ln Ct o (CRRA con = 1), podemos obtener la condicin de optimalidad, aplicando o la ecuacin (6.23). o 1 1+r Ct = (6.24) 1 1+ Ct+1 Reorganizando la ecuacin obtenemos que la condicin de optimalidad para o o este tipo de funcin de utilidad est dada por o a Ct+1 1+r = (6.25) Ct 1+ Para la funcin de utilidad CRRA con = 1 la ecuacin (6.23) ser igual a: o o a Ct 1+r = 1+ Ct Ct+1 Ct

(6.26) (6.27)

=

1+r 1+1

Ct+1 1+r = (6.28) Ct 1+ En este caso, funciona como un parmetro que matiza las diferencias a entre tasa de inters y tasa de descuento intertemporal. Este resultado no es e sorprendente cuando recordamos que mide la aversin al riesgo y explica la o tendencia a suavizar el consumo que tiene el individuo. As r sea muy grande frente a un valor muy alto de ser suciente para que Ct+1 sea muy a parecido a Ct . 39

6.8.

La restriccin presupuestal en tiempo continuo: o para generalizar el modelo de Fisher

La evolucin de los activos en el caso continuo est determinada por la o a ecuacin diferencial lineal de primer orden: o dA(t) = A = rA(t) + w(t) c(t) dt La forma general de este tipo de ecuaciones diferenciales es: x A(t)x = b(t) donde x = x(t). En el caso que estamos estudiando, a(t) es constante y corresponde a la tasa de inters. Aunque es posible tambin considerar la tasa de inters como e e e una variable que depende del tiempo, trabajaremos por ahora el caso ms a sencillo. La ecuacin puede ser re-escrita de la siguiente forma: o A rA(t) = w(t) c(t) (6.30) (6.29)

Para solucionar esta ecuacin, utilizaremos el factor de descuento ert que es o conocido como factor integrante. Aert rA(t)ert = [w(t) c(t)]ert (6.31)rt

Puede observarse que el lado izquierdo de la ecuacin corresponde a dA(t)e , o dt entonces, dA(t)ert = [w(t) c(t)]ert (6.32) dt Antes de integrar, vale la pena hacer un cambio de variable con el n de evitar ms adelante una confusin. Pensemos entonces que: a o F (s) = f (s). Podemos decir entonces que:t

F (s) = F (0) +0

f (t)dt

40

Integrando y evaluando la integral en el intervalo [0, s] llegamos a:s

A(s)ers = A(0) +0

[w(t) c(t)]ert dt

(6.33)

donde A(0) es la constante de integracin. o Despejando A(s) y haciendo uso del supuesto de que los activos en el periodo 0 son 0, A(0) = 0:s

A(s) =0

[w(t) c(t)]er(st) dt

(6.34)

Ahora, si s = T , donde T es el periodo nal:T

A(T ) =0

[w(t) c(t)]er(T t) dt

(6.35)

Pero adems, se sabe que A(T ) = 0, ya que otro supuesto del modelo es que a no se dejan activos (positivos o negativos) al nal del periodo 15T T

w(t)e0

r(T t)

dt =0

c(t)er(T t) dt

(6.36)

Si dividimos ambos lados de la ecuacin por erT (en el caso discreto, dividimos o T por (1 + r) llegamos a la expresin de la restriccin presupuestal para el o o caso continuo donde el valor presente de todos los ujos de ingreso es igual al valor presente de todos los ujos de consumo.T T

w(t)ert dt =0 0

c(t)ert dt

(6.37)

6.9.

Tasa de crecimiento del consumo usando la funcin de utilidad CRRA o

Una vez denida la restriccin presupuestal para el caso continuo reviseo mos ahora la tasa de crecimiento del consumo (caso continuo) si trabajamos con una funcin de utilidad CRRA. oEste supuesto es consistente con la funcin de utilidad utilizada en el modelo de o Fisher. No hay razones por la cuales un agente racional deje de consumir por completo sus activos. Las herencias, por ejemplo, no generan utilidad. Adems, debido a la restriccin a o presupuestaria, el agente (representativo) no puede consumir ms que el total de sus a activos, dejando as deudas. 15

41

Empecemos por denir la tasa de crecimiento del consumo C = l m C t0 C = l m C t0 donde Ct+t = Ct 1+r 1+t Ct+t Ct t

CCt+t Ct

(6.38) (6.39)1

1

t

(6.40)

Esta ultima expresin puede ser obtenida de la condicin de optimalidad del o o modelo de Fisher para ms de dos periodos cuando solucionamos el lagrana giano para los periodos adyacentes t y t + t. Teniendo en cuenta que para valores peque os de x, ln(1 + x) x o n x alternativamente 1+x e podemos reescribir la ecuacin (6.40) (asumiendo o valores peque os para r y ). n Ct+t = Ct e er t1

(6.41)

reorganizando los trminos tenemos que e(r)t Ct+t =e Ct

(6.42)

Si reemplazamos la anterior ecuacin en la ecuacin (6.39), obtenemos que o o(r)t C e 1 = l m C t0 t

(6.43)

Al pretender calcular el l mite nos encontramos con una expresin 0 . Aplio 0 cando la regla de LHospital, obtenemos: e r C = l m (6.44) C t0 1 Si evaluamos lo anterior cuando t 0 obtenemos nalmente la tasa de crecimiento del consumo dada por la siguiente ecuacin o 1 C = (r ) C 42 (6.45)(r)t

La tasa a la que el consumo crece o decrece depende de la diferencia entre r y . Por otra parte, , el parmetro que mide la curvatura de la funcin de utilia o dad, matiza la tasa de crecimiento del consumo. Ver ejercicios del 3 al 14 de la seccin 9. o

7.

Hiptesis del Ingreso Permanente o

Este modelo fue desarrollado por el premio nobel de econom Milton a Friedman. La clave es la descomposicin del ingreso en dos componentes: el o ingreso permanente y el ingreso transitorio. Y = YP + YT (7.1)

donde YP representa el ingreso permanente y YT representa el ingreso transitorio. El ingreso permanente, como su nombre lo indica, es la parte del ingreso que persiste a lo largo de toda la vida. El ingreso transitorio es un componente inesperado del ingreso. Un ejemplo del ingreso permanente es el salario que gana un empleado por su trabajo. Un ejemplo de ingreso transitorio es el ingreso que recibe una persona cuando gana la loter a. El argumento principal de Friedman es que el consumo es una funcin que o depende fundamentalmente del ingreso permanente y no del ingreso transitorio. Esto no signica que los individuos no consuman su ingreso transitorio, signica que cambios en el comportamiento del consumo sern fundamena talmente explicados por cambios en el ingreso permanente. Por lo tanto, se asume que el consumo no responde signicativamente ante cambios en el ingreso en el corto plazo. Dado este razonamiento, una funcin de consumo que logra expresar las o ideas de Friedman es C = YP (7.2) donde representa la proporcin del ingreso permanente que es dedicada al o consumo. Llevando al extremo la ecuacin (7.2) ( = 1) tenemos: o C = YP 43 (7.3)

Tal como se plantea en Romer (2001) miremos qu ocurre si especicamos e una regresin lineal en la que el consumo es la variable dependiente y el o ingreso corriente es la variable explicativa. Este ingreso corriente es el que puede ser descompuesto en transitorio y permanente. Ci = a + bYi + ei (7.4)

El ingreso transitorio ser denido como las desviaciones del ingreso permaa nente respecto a su media suponiendo que el valor esperado de estas desviaciones es igual a cero. As mismo, supongamos que el ingreso permanente y el ingreso transitorio no estn correlacionados. Este supuesto tambin es basa e tante intuitivo ya que por ejemplo, el hecho de ganarse la loter no depende a, en absoluto del salario recibido mensualmente. Volviendo a nuestra regresin del consumo, podemos darnos cuenta que la o regresin est hecha sobre una sola variable, en este caso, el ingreso corriente. o a Por lo tanto, el estimador de b, es decir, del coeciente de la variable independiente es igual al cociente entre la covarianza de las variables independiente y dependiente y la varianza de la variable independiente. = Cov(Y, C) b V ar(Y ) (7.5)

Como el ingreso corriente es igual al ingreso permanente ms el ingreso trana sitorio, reemplazamos esa condicin tanto en el numerador como en el denoo minador. = Cov(YP + YT , C) b (7.6) V ar(YP + YT ) Recordemos tambin que denimos el consumo como una funcin del ingree o so permanente, de tal forma que C = YP . Por lo tanto, al reemplazar esa expresin en (7.6) obtenemos: o = Cov(YP + YT , YP ) b V ar(YP + YT ) (7.7)

El numerador de (7.7) puede ser reescrito teniendo presente la denicin de o covarianza. Cov(YP + YT , YP ) = E[(YP + YT YP YT )(YP YP )] 44 (7.8)

Multiplicando y teniendo en cuenta el supuesto YT = 0 obtenemos lo siguiente:2 2 Cov(YP + YT , YP ) = E[YP 2YP YP + YP ]

(7.9)

que es igual a Cov(YP + YT , YP ) = E[(YP YP )2 ] = V ar[YP ] por lo tanto podemos reescribir la ecuacin (7.7) como: o = b V ar(YP ) V ar(YP ) + V ar(YT ) (7.11) (7.10)

Como nos damos cuenta, usando los supuestos de la teor de ingreso permaa nente, la pendiente de la funcin estimada de consumo, es decir, depende o b, de la variacin relativa del ingreso permanente y del transitorio. Intuitivao mente podemos interpretar este resultado de la siguiente manera: ya que b representa en cunto cambia el consumo cuando cambia el ingreso corriena te, un aumento en el ingreso corriente ir acompa ado de un aumento en a n el consumo unicamente cuando la variacin del ingreso permanente sea ms o a grande en relacin con la del ingreso transitorio. o As mismo, vemos que si la variacin del ingreso transitorio es bastante o alta en relacin con la variacin del ingreso permanente, el coeciente estio o mado de la pendiente se har ms peque o, es decir, cambios en la renta a a n corriente no cambiarn en gran medida el consumo, pues stos no fueron a e acompa ados de grandes cambios en el ingreso permanente. n Volviendo a nuestra regresin, tambin es importante que estimemos la conso e tante del modelo, la cual puede ser calculada de la siguiente manera: b a = C Y (7.12)

Dado que el consumo es igual al ingreso permanente, la media del consumo es igual a la media del ingreso permanente. De igual manera, dado que el ingreso corriente es igual al ingreso permanente ms el ingreso transitorio, la a media del ingreso corriente es igual a la media del ingreso permanente ms a la media del ingreso transitorio. a = YP YP + YT ) b( 45 (7.13)

Por ultimo, recordemos que la media del ingreso transitorio es igual a cero, por lo que la constante estimada de nuestra regresin es igual a: o a = (1 YP b) Analicemos algunos casos de acuerdo con la regresin (7.4). o Consideremos primero la econom de un hogar expuesta fuertemente a a un evento inesperado. El ingreso corriente de los hogares depende de muchos factores inesperados, por ejemplo, el desempleo. En este caso el componente transitorio puede ser relativamente ms importante que el componente pera manente. Entonces el coeciente estimado de la pendiente de la funcin de o consumo ser menor a 1, ya que las variaciones del ingreso transitorio son a mucho ms grandes en relacin con las variaciones del ingreso permanente. a o De esta manera, la constante estimada de nuestra regresin va a ser mayor o que cero y la grca de la funcin estimada de consumo se ver como lo a o a muestra la gura 24. (7.14)

Figura 24: Funcin estimada de consumo para econom domsticas o as e

Si analizamos ahora el caso de una econom nacional en el largo plazo, a es de esperarse que las variaciones del ingreso transitorio no tengan tanta importancia como en el caso de las econom domsticas en el corto plazo. as e En una econom nacional, los cambios en el ingreso corriente se deben susa tancialmente a cambios en el ingreso permanente, es decir, a cambios en la 46

cantidad de recursos, capital o capacidad productiva que posee la econom a. En el largo plazo, los cambios en el ingreso transitorio tienen relativamente poca importancia. Por lo tanto, nuestro coeciente estimado de la pendiente de la funcin de consumo va estar muy cercano a la unidad, ya que la o variacin del ingreso transitorio se aproximar a cero. De esta manera, la o a constante estimada de la regresin se aproximar a cero y la funcin de cono a o sumo estimada se ver como lo muestra la gura 25. a

Figura 25: Funcin estimada de consumo para econom nacionales o as

Emp ricamente si la regresin (7.4) est bien especicada el estimador o a nos permitir analizar si el consumo se encuentra ms determinado por b a a choques permanentes o choques transitorios. Adems, la constante a nos a permite encontrar diferencias en el nivel de consumo para distintos grupos poblacionales. El ejemplo de Romer (2001) sobre blancos y negros se reere precisamente a este coeciente. Aunque el valor de puede ser similar para b ambos grupos el valor de a para los blancos es usualmente ms alto. Esto a signica que la pendiente es la misma mientras que los niveles de consumo son diferentes. (Ver gura 26). Vale la pena aclarar que todas las posibilidades mostradas por la regresin o (7.4) no se reeren a la hiptesis de ingreso permanente. La hiptesis de o o ingreso permanente slo se cumple cuando es muy cercano a 1. o b 47

Figura 26: Funcin estimada de consumo para blancos y negros o

8.

Modelo del ciclo vital

El modelo basado en la Hiptesis de Ciclo Vital de Franco Modigliani, o premio Nobel en 1985, es el ultimo de los modelos que presentaremos en estos apuntes. Al igual que el modelo de Fisher y el de Ingreso Permanente, la Hiptesis de Ciclo Vital parte del supuesto de que los agentes deciden o intertemporalmente su consumo y adems que desean suavizarlo, supuesto a compatible con las funciones de utilidad que hemos considerado en nuestros anlisis previos. a Si suponemos, por sencillez, que la tasa de inters es igual a la tasa de e descuento intertemporal, entonces nuestro agente representativo suaviza perfectamente su consumo a lo largo del tiempo. La grca del consumo en el a tiempo ser como se describe en la gura 27. a Vamos a suponer que el ingreso crece de acuerdo con una funcin lineal o desde el momento en que el individuo nace hasta que se retira. (Figura 28). De esta manera, hay un momento de la vida en la que el ingreso es superior al consumo y por lo tanto el individuo ahorra y dos momentos en los que desahorra: al comenzar su vida y en su vejez. (Figura 29). La restriccin presupuestal, ecuacin (8.1), hace que los activos al nalizar o o 48

Figura 27: El consumo en el ciclo de vida

Figura 28: El ingreso en el ciclo de vida

la vida sean iguales a cero.T

t=0

Ct = (1 + r)t

T

t=0

Wt (1 + r)t

(8.1)

Nuevamente, como en los otros modelos presentados en estos apuntes, el ahorro es la clave para que el individuo pueda suavizar su consumo. Los 49

Figura 29: El ahorro en el ciclo de vida

niveles de ahorro sern iguales a los niveles de desahorro de este agente a econmico. o Aunque las conclusiones son similares a las de los otros modelos, la identicacin del ciclo de vida por parte de Modigliani, permite identicar cul o a es el nivel de ahorro de una persona de acuerdo con su edad o el momento del ciclo de vida en el que se encuentre. Por ejemplo, para un pa cuya poblacin s o es en promedio bastante joven, se esperar tasas de ahorro ms altas que an a para un pa cuya poblacin es relativamente ms vieja, ceteris paribus. s o a Sin embargo, para el caso colombiano, no se ha encontrado evidencia emp rica que soporte la hiptesis del ciclo de vida. En el trabajo realizao do por Melo, Zrate y Tllez (2006) se realiza un anlisis microeconmico a e a o de corto plazo, en el que se estudian los perles de ingreso, gasto total y ahorro para diferentes generaciones, simulando as el ciclo vital. Al nal, el trabajo sugiere que la hiptesis del ciclo de vida no se ajusta para el caso o colombiano. Seg n los autores, este resultado puede estar comprometido por u las diferentes preferencias y oportunidades que tienen los hogares, los cambios demogrcos y el desarrollo de los sistemas de seguridad social y de los a mercados de capitales. Adems del anlisis de corto plazo realizado en el trabajo citado anteriora a mente, se realiza un anlisis de largo plazo, que busca precisar cules son los a a 50

principales determinantes de la tasa de ahorro para el caso colombiano. La econometr practicada por Melo, Zrate y Tllez (2006) es otro ejemplo de a a e la utilizacin de los modelos bsicos con algunas adaptaciones que introducen o a el efecto de otras variables explicativas. En este trabajo los autores establecen como determinantes de la tasa de ahorro el PIB per cpita, los trminos a e de intercambio, los impuestos directos como porcentaje del PIB y M2 como porcentaje del PIB. De este grupo de variables son novedosas los trminos e de intercambio y M2 como porcentajes del PIB. Respecto a los trminos e de intercambio, los autores encuentran una relacin positiva que justican o haciendo uso del efecto Harberger-Laursen-Metzler, que plantea que un mejoramiento de los trminos de intercambio afectar positivamente el ahorro y e a 16 mejorar la cuenta corriente . En el caso de M2 como porcentaje del PIB, a proxy de profundizacin del sistema nanciero, el efecto de la regresin no fue o o el esperado. La relacin negativa entre M2 y la tasa de ahorro, sugiere seg n o u los autores que la mayor intermediacin ha favorecido el acceso al crdito o e de los hogares en lugar de estimular el ahorro. Los resultados economtricos e tambin estiman que la elasticidad de la tasa de ahorro al PIB per cpita e a oscila entre 0.40 por ciento y 1.83 por ciento. Ver ejercicio 15 de la seccin 9. o

9.

Ejercicios propuestos

En esta seccin, encontrarn ejercicios de repaso de cada uno de los temas o a que estudiamos en estas notas de clase. 1. Usted tiene la siguiente informacin de la familia Batman: o Ingreso disponible (dlares por ao) o n 0 10.000 20.000 30.000 40.000 Gasto en consumo (dlares por ao) o n 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000

16

MELO B, ZARATE S, and TELLEZ C (2006)

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a. Calcule la propensin marginal a consumir de los Batman. o b. Calcule la propensin promedio a consumir para cada nivel de o ingreso disponible c. Calcule cunto ahorra la familia Batman para cada nivel de ina greso. d. Calcule la propensin marginal a ahorrar. o e. Calcule la propensin promedio a ahorrar para cada nivel de ino greso disponible. f. Dibuje un diagrama de la funcin consumo. Calcule su pendiente. o g. En qu rango de ingreso la familia Batman desahorra? e 2. La medida de aversin absoluta al riesgo es denida como: o U (C) U (C)

y la medida de aversin relativa al riesgo se dene como: o U (C)C U (C)

donde U (C) y U (C) son la primera y la segunda derivada de la funcin o de utilidad. Considere las siguientes funciones de utilidad: 1 U(C) = eC U(C) = C 1 1

a. Halle el coeciente de aversin relativa al riesgo y el coeciente de o aversin absoluta al riesgo para la primera funcin de utilidad. o o b. Halle el coeciente de aversin relativa al riesgo y el coeciente de o aversin absoluta al riesgo para la segunda funcin de utilidad. o o c. En cul de los dos casos el coeciente de riesgo absoluto no var a a con el nivel de C?Cmo se les llama a este tipo de funciones de o utilidad? 52

d. En cul de los dos casos el coeciente de riesgo relativo no var a a con el nivel de C? Cmo se les llama a este tipo de funciones de o utilidad? 3. De acuerdo al modelo de Fisher, cul es el efecto de una reduccin a o en la tasa de inters sobre el consumo de un prestatario que vive dos e periodos? Represente en una grca su respuesta. Haga los supuestos a que considere necesarios. 4. Un individuo vive dos periodos. C1 y C2 son los consumo de los dos periodos de vida. En el primer periodo de la vida, el individuo recibe un ingreso Y1 y en el segundo periodo de la vida, el individuo recibe un ingreso Y2 . La tasa de inters para ahorrar y pedir prestado es r. e Suponga que Y1 > Y2 . a. Escriba la restriccin presupuestal del individuo. o b. Dibuje la restriccin presupuestal de la parte a. y dibuje un ejemo plo de una curva de utilidad tangente a la restriccin que muestre o que el individuo es un deudor. c. Un aumento en la tasa de inters, r incrementa o disminuye los e ahorros de esta persona? Usted debe responder esta pregunta teniendo en cuenta el efecto sustitucin y el efecto ingreso. (Pista: o acurdese que un deudor tiene ahorros negativos. Entonces en este e caso, una reduccin de la deuda es un incremento de los ahorros). o Ahora asuma que el gobierno decide gravar con un impuesto las operaciones nancieras. De esta manera la tasa de inters esta dae da por (1 )r, donde es la tasa de impuesto y r es la tasa de inters real antes de impuestos. Esta tasa aplica tanto para e el prestatario como para el prestamista. Suponga que el gobierno tira al mar la plata que recauda. d. Escriba la nueva restriccin presupuestal y haga una grca simio a lar a la del punto b. Cul es la nueva pendiente de la restriccin? a o e. De nuevo asuma que el individuo es un prestatario Cmo se o ver afectados los ahorros ante un aumento en la tasa de iman puestos? Tenga en cuenta el efecto sustitucin y el efecto ingreso. o

53

f. Ahora suponga que el individuo es un ahorrador Cmo se ver o an afectados los ahorros ante un aumento en la tasa de impuestos? 5. Considere el modelo de Fisher de dos periodos y suponga que la funcin o de utilidad instantnea viene dada por: a U(C) = C 1 1 1

la tasa de inters real y la tasa de descuento son ambas cero. Existen dos e individuos que no pueden pedir prestado (hay restricciones de liquidez). El individuo A recibe un ingreso de 100 en el primer periodo y un ingreso de 50 en el segundo periodo. El individuo B recibe un ingreso de 50 en el primer periodo y un ingreso de 100 en el segundo periodo. Ambos reciben 150 en total. a. Cul es el consumo del primer periodo del individuo A? a b. Cul es el consumo del primer periodo del individuo B? a c. Asuma que el ingreso del primer periodo de ambos individuos aumenta en 50 unidades. Cul es el nuevo consumo del primer a periodo del individuo B? d. Cul individuo tuvo un mayor incremento en el consumo del pria mer periodo como consecuencia del aumento en el ingreso? Por qu? e e. Qu individuo tiene un comportamiento similar a lo que predice e la funcin de consumo Keynesiana? Explique. o 6. Matilde vive dos periodos en un mundo Fisheriano. Su funcin de utio lidad por consumo puede ser escrita como0,45 0,55 U(C) = C0 C1

Su dotacin de recursos presentes y futuros es (100.000, 206.000) reso pectivamente. Ella puede pedir prestado o prestar en el mercado a una tasa de inters real de 3 e a. Cul es su riqueza? (Suma de ingresos en ambos periodos). a b. Escriba la ecuacin de la restriccin presupuestal o o 54

c. Encuentre la tasa marginal de sustitucin o d. Cul es el consumo ptimo de Matilde en el presente y en el a o futuro? e. Qu transaccin nanciera se requiere para que ella pueda alcane o zar su consumo ptimo? o 7. Andrea tiene que decidir acerca de cmo repartir su consumo en dos o periodos. Ella tiene una funcin de utilidad: o C U(C1 , C2 ) = + 2 1+ Ella puede pedir prestado y prestar a una tasa de inters r =1/20. e Recibe un ingreso salarial Y1 = 41 en el primer periodo y Y2 = 82 en el segundo.1/2 C1 1/2

a. Cunto consume en cada periodo? a b. Ahora suponga que ella puede prestar (por ejemplo, ahorrar) a la tasa r, pero no puede pedir prestado cunto consume en cada a periodo? 8. En un modelo de dos periodos, suponga un consumidor cuya funcin o de utilidad est dada por a U(Ct ) = 100 C1 C2 Si la tasa de inters es 0.5, cul es su combinacin ptima de consumo? e a o o 9. Usnavy es profesora del Departamento de Econom de la universidad a Javeriana. Su funcin de utilidad est descrita por o aT

U(Ct ) =t=1

ln Ct

donde Ct corresponde al consumo del periodo t. Adems recibe unos a ingresos W1 , W2 , . . . , Wt , que al igual que su horizonte de vida, conoce con certeza. La Universidad Javeriana de Bogot rma un convenio con la Unia versidad Catlica Andrs Bello de Caracas con el n de intercambiar o e 55

profesores y, para poder hacer el ejercicio, Usnavy es seleccionada. El rector , tratando de convencerla de que participe en el convenio, le ofrece a Usnavy unos salarios W1 , W2 , . . . , Wt tales que pueda adquirir las mismas combinaciones ptimas de consumo que elegir en Bogot . o a a Usnavy recuerda que la tasa de inters es ms alta en Venezuela que e a en Colombia y decide (luego de mantener lo dems constante : costos a de transporte , tasa de cambio nominal, preferencias por climas, por comidas etc.) aceptar el traslado de inmediato. a. Por qu acept? (conemos en que la decisin fue correcta por e o o que es profesora de econom de la Javeriana). Pistas: a a) Pinselo para el caso de dos periodos y haga una grca. e a b) El anlisis que debe hacer es completamente intuitivo. a b. Habr sido distinta la decisin si la tasa de inters fuera ms a o e a alta en Colombia que en Venezuela? Explique. c. Habr sido distinta la decisin dependiendo de si Usnavy es presa o tamista o prestataria en Bogot? Explique. a 10. Diana vive durante T periodos y tiene una un salario igual a 1 en el primer periodo. Su ingreso crece a una tasa , de tal manera que en el segundo periodo gana 1 + , en el tercer periodo (1 + )2 , etc. Ella puede pedir prestado o prestar a una tasa de inters 0 y descuenta su e utilidad futura a una tasa de 0. Su funcin de utilidad instantnea es o a una CRRA. Ella empieza y termina su vida con activos iguales a cero. Calcule los ahorros del primer periodo de su vida. Cul es el efecto de a un aumento en en sus ahorros del primer periodo? Explique. 11. Ana Mar Vivian y Gonzalo viven en dos periodos. Ellos pueden pea, dir prestado a una tasa de inters del 100 por ciento. Adems, pueden e a prestar dinero a una tasa del 0 por ciento. Sus preferencias son representadas por: U(C1 , C2 ) = ln C1 + ln C2

Suponga que los ingresos en los dos periodos son:

56

Ana Maria Vivian Gonzalo

W1 = 32 W2 = 32 W1 = 0 W2 = 64 W1 = 24 W2 = 40

Determine el nivel de consumo ptimo en el primer periodo de cada o uno. 12. Suponga un modelo de ciclo de vida de dos periodos. La funcin de o utilidad del individuo esta dada por U(C1 , C2 ) = ln C1 + ln C2 El individuo tiene una riqueza inicial de 20.000, un ingreso corriente de 90.000 y un ingreso futuro de 110.000. La tasa de inters real es 10 por e ciento, y la tasa de descuento, es igual 1/1,1. a. Encuentre el valor presente de los recursos del individuo. b. Cunto consumen y cunto ahorran en cada periodo? a a c. Dibuje el consumo ptimo y las decisiones de ahorro en una grca o a en donde el eje Y representa el consumo futuro y el eje X representa el consumo presente. Escriba los interceptos y la pendiente. d. Cmo cambian los ahorros y el consumo cuando el ingreso coo rriente aumenta a 11.000? e. Cmo van a cambiar los ahorros y el consumo ante un aumento o del ingreso futuro a 11.000? f. Cmo van a cambiar los ahorros y el consumo ante un aumento o de la riqueza a 11.000? 13. Un individuo vive dos periodos. Su ingreso en el primer periodo es W1 y su ingreso en el segundo periodo es cero. Con probabilidad pa , la tasa de inters real en el segundo periodo es ra y con probabilidad pa , la tasa e de inters real en el segundo periodo es rb . Note que como estos dos e son los unicos dos eventos posibles, pa + pb = 1. La tasa de descuento es cero y la funcin de utilidad instantnea viene dada por o a U(Ct ) = ln(Ct ) 57

a. Cul es el consumo del primer periodo? a b. Cul es el efecto de un aumento en la dispersin de las tasas de a o inters en el segundo periodo sobre el consumo del primer periodo? e Explique su respuesta. 14. Imagine que usted observa los ingresos y consumos en tres periodos de dos personas. (Una persona asociada al caso 1 y otra al caso 2). Caso 1 Y1 < Y2 < Y3 C 1 < C2 < C3 Caso 2 Y1 > Y2 > Y3 C 1 > C2 > C3

Si usted analiza estos patrones con un modelo intertemporal de consumo (con agentes adversos al riesgo) donde r = y no hay incertidumbre de ning n tipo. Quin no se est comportando racionalmente y por u e a qu? e 15. La hiptesis de ciclo de vida implica que las siguientes consideracioo nes demogrcas son importantes para el ahorro nacional. Comente el a efecto de los siguientes eventos en el ahorro nacional. a. Un incremento en el n mero de ancianos. u b. Un incremento en el n mero de inmigrantes (jvenes). u o

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