Aplicacin de las derivadas en la administracin e interpretacin

UNIVERSIDAD PERUANA UNIN

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

EAP: Contabilidad

MONOGRAFA

Aplicaciones de las derivadas

Monografa presentada en cumplimiento parcial del curso de matemtica II

Autor

Walter CigeasProfesor

Lic. Ana Ramos Morales, octubre de 2014Contenido

3INTRODUCCION

4APLICACIN DE LAS DERIVADAS

5Aplicaciones a la Economa:

5Oferta y Demanda

6Principio econmico de la oferta y la demanda

9Ejemplos prcticos en el rea.

13Funciones creciente y decreciente.

15Mximo y mnimos en todo su dominio y en un intervalo.

19COSTO MARGINAL.

22Ingreso Marginal.

22Beneficio Marginal

24CONCLUSIONES

25REFERENCIAS

26BIBLIOGRAFA

INTRODUCCION

La Matemtica como ciencia ha proporcionado al hombre las ms poderosas herramientas para enfrentar los ms dismiles problemas de la cotidianidad. La mayora de los campos del saber humano se valen de tcnicas matemticas para indagar en la explicacin de relaciones causales de los procesos y fenmenos que ocurren en cada especialidad.

Hoy en da resulta frecuente encontrarnos artculos de las ciencias mdicas, qumico-farmacuticas, ciencias sociales (o de cualquier rea general del saber), en que se haga referencia a algn concepto o ente matemtico. Especialmente en las ciencias econmicas son utilizados conceptos como la derivada, la integral, las ecuaciones diferenciales, las series temporales, entre otros. Los mtodos ms modernos de medicin de la eficiencia y la optimizacin econmica tienen como sustrato esencial algn modelo matemtico.

Probablemente uno de los conceptos ms tiles y aplicables en la Economa sea la derivada de una funcin. Cualquier curso de matemtica superior contiene, ineludiblemente, un tema dedicado especialmente a las aplicaciones de la derivada. Generalmente se acostumbra presentar el estudio, de acuerdo al rea especfica del conocimiento desde donde se aborde la temtica, en dos partes. De una, la utilizacin de la derivada en la obtencin de soluciones estrictamente matemticas; a saber: el clculo de lmites indeterminados y el trazado general de curvas. De otra, las aplicaciones especficas en la especialidad de que se trate.

El objetivo de este trabajo es ilustrar las aplicaciones generales de la derivada, con la intencin de que este escrito sea utilizado por estudiantes de ciencias Empresariales. Se estructura en tres apartados: el primero, dedicado a la resolucin de lmites indeterminados; el segundo, al trazado de curvas; y por ltimo, la resolucin de problemas econmicos de optimizacin.

MARCO TEORICOAPLICACIN DE LAS DERIVADAS En la actualidad toda aplicacin formalizada de la ciencia tiene su nacimiento en un problema de la prctica objetiva. Probablemente uno de los ms bonitos y tiles ejemplos de utilizacin de la optimizacin se puede encontrar en el siguiente suceso de la segunda mitad del siglo XX En febrero de 1953 se produjo en Holanda la inundacin ms importante de su historia. Los diques que protegan el pas fueron arrasados y murieron ms de 1800 personas. Los daos se cifraron en el 7 % del Producto Interno Bruto de aquel ao. Se cre una comisin de investigacin sobre los hechos y sobre cmo prevenir desastres semejantes en el futuro. La reconstruccin de los diques de tal forma que la seguridad fuera total, requera desembolsos astronmicos, y poda no ser factible. El problema real era, entonces, lograr una especie de equilibrio, entre costos y seguridad: diques ms altos eran ms costosos, pero reducan las posibilidades de futuras inundaciones. Por tanto, la comisin se enfrent al problema de seleccionar la altura ptima de los diques. Estos tipos de equilibrios son centrales en economa. Conducen a problemas de optimizacin de un tipo que el anlisis matemtico maneja de forma natural. En este captulo ilustraremos cmo resolver este tipo de problemas econmicos

La funcin de demanda Qd=f(P) con P como el precio del producto dQ/dP es la variacin de la demanda por cambios en el precio y la elasticidad precio de la demanda se define como E=dQ/dP*P/Q. Tambin se aplican las derivadas para calcular la Utilidad Marginal; Producto marginal; Beneficio marginal y todo caso que diga marginal utilizan el concepto de derivada monovariable.

Tambin se emplean derivadas de funciones multivariadas, generalmente parciales con respecto a alguna de las variables. Si tienes una funcin de mercado multivariada puedes aplicar las derivadas para analizarla.Si se tiene una funcin y se quiere encontrar su mximo o mnimo se hace la primera derivada = 0 y para determinar si es un mximo un mnimo se hace la evaluacin de la segunda derivada.

Aplicaciones a la Economa:En aos recientes ha habido un inters creciente por la aplicacin de las matemticas a la economa. Sin embargo, puesto que la economa involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicolgicas o polticas, la formulacin matemtica de sus problemas es difcil. Se debera hacer nfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniera, cualquier resultado obtenido tericamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Oferta y DemandaSuponga que tenemos un bien tal como trigo o petrleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petrleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una funcin de t as que p(t) es el precio en el tiempo t.

El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino tambin de la direccin en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p(t). Por ejemplo, si los precios estn altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En smbolos esta dependencia de D en p(t) y p(t) puede escribirse:

D = (p(t)),p(t)

Llamamos la funcin de demanda.

Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S tambin depende de p(t) y p(t). Por ejemplo, si los precios estn altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipndose a precios ms altos. En smbolo esta dependencia de S en p(t) y p(t) puede escribirse:

S = g(p(t), p(t)

Llamamos g a la funcin oferta.

Principio econmico de la oferta y la demandaEl precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condicin de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemtica esto quiere decir:

(p(t),p(t)) = g(p(t),p(t))

Las formas que debera tener y g son las siguientes:

D = (p(t),p(t)) = A1p(t) + A2p(t) + A3

S = g(p(t),p(t)) = B1p(t) + B2p(t) + B3

donde AS y BS son constantes, en ese caso la formula matemtica se transforma a la siguiente expresin:

A1p(t) + A2p(t) + A3 = B1p(t) +B2p(t) + B3

(A2 - B2)p(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3

Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podramos escribir la formula como:

p(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2

Resolviendo esta ecuacin lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado:

p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e

Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.

Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendra una estabilidad de precios.

Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2) (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflacin continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores econmicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuacin (A2 - B2)p(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3.

Ejemplo:La demanda y oferta de un cierto bien estn en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) + 3p(t), S = 30 + p(t) + 4p(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.

Solucin: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,

48 - 2p(t) + 3p(t) = 30 + p(t) + 4p(t) = p(t) + 3 p(t) = 18

Resolviendo la ecuacin del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e

De este resultado vemos que, s t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.

Inventarios:Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesin, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario.

Formulacin Matemtica:

Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entonces q(t + "t) = q(t) + "q es la cantidad disponible en tiempo t + "t. As tenemos que:

Cantidad acumulada en intervalo t a t + "t = "q = q(t + "t) - q(t).

S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t.D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t.

Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los consumidores entre t y t +"t estn dados aproximadamente por S"t y D"t respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por trminos que involucran ("t) y mayores.

As, cantidad acumulada en el intervalo t a t + "t es igual a:

S"t - D"t + trminos con ("t) o mayores.

As "q/"t = S - D + trminos con ("t) o mayores.

Tomando el limite cuando "t!0, dq/dt = S - D.

De esta ltima ecuacin podremos decir que servir de base para el posterior anlisis sobre precios. Como una ilustracin, supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que:

dp/dt = - dq/dt

Donde > 0 es la constante de proporcionalidad que se asume conocida, de modo que usando la ecuacin dp/dt = - (S - D). Puesto que S y D se pueden expresar en trminos de p, la ecuacin dp/dt = - (S - D) es una ecuacin diferencial para p.

Ejemplo: Suponga que la oferta y la demanda estn dadas en trminos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 - 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es = 4. Escriba la ecuacin diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0

Solucin: de la formula dp/dt = - dq/dt la ecuacin diferencial requerida para p es: dp/dt = -4(60 + 2P - 120 + 3p) o dp/dt + 20 p = 240

resolviendo esta ultima ecuacin diferencial tenemos que p = 12 + ce

usando p = 8 en t = 0 da c = - 4 y as p = 12 - 4eEjemplos prcticos en el rea.Derivada de una funcin 1. Una empresa hotelera tiene la funcin de costos totales:, donde x es el nmero de servicios vendidos de un ao. Calcule la razn de cambio promedio y diga cul es la interpretacin econmica de esta fraccin.Solucin

es el costo marginal (el costo adicional de producir una unidad ms).

2. Una empresario administra un estacionamiento en una zona turstica y va a decidir la tarifa que cobrar por hora. El nmero promedio de horas rentadas Q al da est expresado en funcin de la tarifa p por: Determine la tarifa ptima que permitir maximizar los ingresos diarios del estacionamiento y calcule el ingreso mximo.SolucinIngreso Y=PqDonde Q est dada por la funcin de demanda Sustituyendo Q en la frmula de ingreso.

Calculamos en seguida por lo tanto Y tiene su mximo en Cobrando una tarifa de $250 se lograra el ingreso mximo de:

3. El costo anual de hacer los pedidos, de la compra y mantenimiento del inventario de cierta empresa est dado por la funcin:

donde Q es el tamao del pedido y C es el costo anual.Calcule la segunda derivada del costo, determine el signo de y en base a ello diga si la curva de costo es cncava o convexa.SolucinConviene escribir la frmula del costo de la forma siguiente:

Por lo tanto la curva de costo es convexa.

4. Una empresa manufacturera tiene una funcin de beneficio (mensual):;donde x es el nmero de unidades producidas y vendidas al mes. Calcule la razn de cambio promedio y de una interpretacin econmica de esta fraccin. Evale numricamente la razn de cambio promedio en el punto x=160 con un incremento de una unidad adicional de produccin (dx=1) y diga qu significado econmico tiene el signo del resultado.Solucines el beneficio marginal promedio.

Cuando el nivel de produccin inicial es de 160 unidades y el incremento de produccin es de una unidad, el beneficio marginal es:El signo negativo del resultado indica que en el nivel de produccin inicial de 160 se puede aumentar el beneficio de la empresa reduciendo la produccin.

5. Una empresa produce harina de pescado y tiene una funcin de beneficio (mensual): , donde x es el nmero de toneladas producidas y vendidas al mes. Calcule la razn de cambio puntual y d una interpretacin econmica de esta derivada.Obtenga el nivel ptimo de produccin x en el cual se alcanza el beneficio mximo y calcule el beneficio mximo.SolucinAl simplificar la frmula del beneficio se obtiene:es el beneficio marginal de la empresa.

Para encontrar el nivel ptimo que maximice el beneficio igualamos a cero el beneficio marginal y despejamos

Adems, por lo tanto el beneficio tiene su valor mximo en .Sustituyendo en la frmula del beneficio: Beneficio mximo=61.25

6. La oferta de maz en cierta economa esta expresada en funcin del precio por: Calcule las derivadas primera y segunda de la oferta, determine sus signos e indique si la curva de oferta es creciente o decreciente, cncava o convexa.Solucin

por lo tanto la curva de oferta es creciente y cncava.

Funciones creciente y decreciente.Una funcin es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condicin x1 x2, se verifica que f( x1 ) < f( x2 ). Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Ejemplo:

La funcin f(x) = 2x + 4 es una funcin creciente en los nmeros reales.Una funcin es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 x2, entonces f(x1 ) f(x2 ). Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la funcin se dice estrictamente decreciente. Ejemplo:

La funcin g(x) = -x3 es una funcin decreciente en los nmeros realesFUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO Una funcin es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) f(a) si x pertenece a (a, a + e). Anlogamente, una funcin es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que f(x) f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) f(a) si x pertenece a (a, a + e). La definicin de funcin estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin ms que sustituir el smbolo por < y el por el >. Es preciso diferenciar el significado de funcin creciente o decreciente en un intervalo del de funcin creciente o decreciente en un punto. Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una funcin Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funcin y = x2 en los puntos

Resolucin: La funcin y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-, 0] ya que en este intervalo (al ser nmeros negativos), si x3 < x4 x32 > x42 (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0. Ntese cmo en x = 0 la funcin no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente. Como pone de manifiesto este ejemplo, toda funcin creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo. Recprocamente, toda funcin estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo. http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htmMximo y mnimos en todo su dominio y en un intervalo.

El hecho de que la interpretacin geomtrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la grfica de una funcin en un punto determinado es muy til para el trazado de las grficas de funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al ejex. Tambin, se pueden establecer los intervalos en los que la grfica est sobre o debajo de la tangente...

Valor mximo relativo:

En la figura de la derecha (fig.1) se puede observar un ejemplo de una funcin que tiene un valor mximo relativo en c. Dicho valor es d y ocurre en c.El valor mximo relativo de f en (a,b) es d. (fig.1)

Valor mnimo relativo:

En la figura de la derecha (fig.2) se puede observar un ejemplo de una funcin que tiene un valor mnimo relativo en c. Dicho valor es d y ocurre en c.El valor mnimo relativo de f en (a,b) es d. (fig.2)

Si una funcin tiene un valor mximo relativo o un valor mnimo relativo en c, se dice entonces que la funcin tiene un extremo relativo en c.

El teorema anterior establece que la recta tangente a la grfica de la f en el punto en donde ocurre un extremo relativo es paralela al eje x.

Si f es diferenciable, los nicos posibles valores de x para los cuales f tiene un extremo relativo son aquellos en los que f ' (x) = 0. No obstante, ocurre con muchas funciones que a pesar de que f ' (x) = 0, no hay un extremo relativo all. En la fig.3 se puede apreciar un ejemplo de esta situacin. Tambin puede suceder que alguna funcin f tenga un extremo relativo en un nmero dado y sin embargo no ser diferenciable en dicho nmero. La fig.4 ilustra este hecho.Por ltimo, para ciertas funciones f (c) existe y f '(c) no existe y sin embargo no hay un extremo relativo en c. En la fig.5 se muestra la grfica de una funcin donde ocurre esta situacin.Conclusin: si una funcin f est definida en un nmero c, una condicin necesaria para que f tenga un extremo relativo en c es que f '(x) = 0 o f '(c) no exista; pero esta condicin no es suficiente.

(fig.3)(fig.4)(fig.5)

(fig.6)

En la fig.6 se muestra la grfica de una funcin en donde el valor mnimo absoluto ocurre en a, el valor mximo absoluto ocurre en b. En e la funcin tiene un valor mximo relativo, y en d un valor mnimo relativo.

Cuando una funcin tiene un valor mximo o un valor mnimo absoluto en un intervalo, se dice que la funcin tiene un extremo absoluto en el intervalo.Una funcin dada puede tener o no tener un extremo absoluto en un intervalo.En la (fig.7) se puede observar que la funcin tiene un valor mximo absoluto en c (tambin es un valor mximo relativo), pero no tiene un valor mnimo absoluto. (fig.7)

COSTO MARGINAL.

El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio.

Ahora, supongamos que tenemos una funcin costo Q(x) que representa el costo por producir x unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es:

Q(x +h)- Q(x):

Al cociente

Q (x + h)- Q (x)

Se le conoce como el costo promedio por producir h unidades adicionales. Cuando existe el lmite del cociente anterior al tender h a cero,

Lmx-0 Q(x +h) -Q(x)

Se le llama costo marginal por producir h unidades adicionales, es decir,

Costo marginal = Q(x)

Como se analiz anteriormente, en la prctica solamente se conocen puntos aislados de la grfica de la funcin costo, por tanto no es posible, en general, conocer la funcin que corresponde a tales puntos de la grfica de la funcin costo, es por eso que se recurre a utilizar lo que se conoce como el anlisis marginal, que consiste en determinar el costo por producir la siguiente unidad por medio de los puntos que se conocen en la grfica, de la siguiente manera:

Al suponer que se tienen algunos puntos de cierta grfica y que no se conoce la funcin costo a la que corresponden no se puede calcular el costo marginal al producir h unidades adicionales pero, se puede calcular, por extrapolacin, el costo por producir la siguiente unidad, ya que se conoce el costo en el punto x+1 (adems de conocer el costo en el punto x); entonces, el costo adicional por producir 1 unidad ms es:

Q(x+ 1) Q(x):

Si se considera que en la prctica el dominio de la funcin Q es un subconjunto de los

Nmeros naturales y por tanto que x + h 2 N1, y que adems, el punto ms prximo a cero es 1, entonces, podemos considerar una aproximacin al costo marginal dada por la relacin anterior, de la siguiente manera,

Q(x+ h) Q(x) Q0 (x):

1. Observe que h se encuentra en los naturales.

Cabe mencionar que, para que sta aproximacin se ajuste a la realidad es necesario que la grfica de la funcin costo sea una curva suave, (dentro de determinado intervalo el comportamiento de la grfica no vara mucho) y se requiere considerar, adems, que se producen solamente unidades completas (ver ejemplo 3). En el ejemplo 4 se ilustra el caso en que la funcin costo no es una curva suave.

EJEMPLOS

1.- Un fabricante de autos tiene una produccin x y el costo total anual de la produccin se describe por medio de la funcin

Q(x) = 100; 000+ 1; 500x +0:2x2El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto ms y determinar si es conveniente producirlo.

Solucin:

Utilizando la definicin de costo marginal, se tiene que es:

Q0(x) = 1; 500 +0:4x;

y el costo por producir 1 auto ms es,

Q 0(100) = 1; 540 pesos;

Esto quiere decir, que si se produce 1 auto ms, el costo se incrementa en $1,540.

La funcin costo promedio es,

q(x) = 100,000 +1; 500+ 0:2x;

El costo promedio al producir 100 autos es,

q(100) = 2;520 pesos;

Como el costo promedio de la produccin de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto ms, conviene producir la siguiente unidad.

2.- Supngase que el costo de un artculo depende de la cantidad x producida de acuerdo con la funcin, Q(x) = x2 +2x +2: As, el costo por producir 300 artculos es de $90,602.

Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es conveniente producirla.

Solucin:

La funcin costo marginal es, en este caso,

Q0(x) = 2x +2;

el costo marginal por producir 1 artculo ms es de

Q0(300) = 602 pesos;

La funcin costo promedio es, en este caso,

q(x) = x+ 2+

y el costo promedio al producir 300 artculos es

q(300) = 302:01 pesos; es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, no conviene producir la siguiente unidad.

3.- Utilizando el anlisis marginal resolver el ejemplo anterior y comparar los resultados.

Solucin:

La funcin costo total es Q(x) = x2 +2x+ 2;

El costo por producir 300 artculos es Q(300) = 90;602 pesos;

El costo por producir 301 artculos es Q(301) = 91;205 pesos;

Y el costo marginal por producir 1 unidad ms, despus de las 300 unidades iniciales es

Q(301)- Q(300) = 603 pesos;

Esto quiere decir que el costo adicional al producir una unidad ms es de $603 y como es mayor que el costo promedio por producir 300 unidades, no conviene producir la siguiente unidad.

Comparando con el resultado anterior, Q(301) -Q(300) = 603 602 = Q0(300), se tiene que la aproximacin es buena ya que, la curva de la funcin costo es una curva suave

.

4.- La funcin costo total por producir un artculo es Q(x) = 5 : El costo por producir 50 artculos es Q(50) = 110; 132:33 pesos:

Determinar el costo marginal por producir la siguiente unidad, mediante el uso de la definicin y mediante el anlisis marginal.

Solucin:

Por definicin de la funcin costo marginal Q0(x) =

El costo adicional por producir 1 unidad ms es Q0(50) = 22;026:5 pesos:

Utilizando el anlisis marginal el costo por producir una unidad adicional es

Q(51) Q(50) = 24;383:6 pesos.

Al comparar resultados, se tiene que Q0 (50) 6= Q(51) - Q(50), as, se tiene que en contraposicin a lo obtenido en el ejemplo 3 esta aproximacin no es buena, es de esperarse este resultado pues la curva de la funcin no es una curva suave.

Ingreso Marginal.

De manera anloga a la definicin de costo marginal se puede definir el ingreso marginal, que es el ingreso adicional obtenido por la venta de una unidad ms de un producto o servicio.

Observemos que si cada una de las unidades de un producto se vende al mismo precio, entonces, el ingreso marginal siempre es igual al precio.

Beneficio MarginalLa ganancia o beneficio marginal es la diferencia que existe entre el ingreso marginal y el costo marginal.

La regla bsica que se utiliza para saber si se produce o no la siguiente unidad es:

a) Si el ingreso marginal es mayor que el costo marginal, entonces, se producir la siguiente unidad.

b) Si el ingreso marginal es menor que el costo marginal, entonces no se producir la siguiente unidad, ya que el producirla generara prdidas.

c) Si el ingreso marginal es igual al costo marginal, entonces tampoco se producir la siguiente unidad, debido a que el beneficio ya es mximo, (se demostrar en la pgina ( ) en la seccin sobre mximos y mnimos).

CONCLUSIONESLas derivadas en la contabilidad son una herramienta muy til puesto que por su misma naturaleza permiten realizar clculos marginales, es decir hallar la razn de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad econmica que se est considerando: costo, ingreso, beneficio o produccin. En otras palabras la idea es medir el cambio instantneo en la variable dependiente por accin de un pequeo cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable. De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o produccin marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, produccin total.Sirve para calcular los costos, la derivada permite calcular los costos marginales (de producir una unidad mas de produccin) a partir de la funcin de produccin de una empresa. Los administradores toman decisiones a base de eso, y los contadores elaboran presupuestos.Gracias a estas derivadas e integrales se puede ver cmo trabaja una curva de oferta y demanda observando las fluctuaciones y exigencias del mercado dependiendo de un punto de evaluacin.

Teniendo una funcin como por ejemplo de crecimiento (y=3x+2x-3)se pueden hallar los valores mximos y mnimos, sea los valores de (x) que hace que la funcin del resultado ms grande o ms chico.El concepto de marginalidad: es decir, la oferta marginal, demanda marginal, ingreso marginal, costo marginal, etc. corresponden a la derivada de la funcin de oferta, demanda, ingreso, costo, etc. Por lo tanto como se aplican las derivadas en lo siguiente: ingreso total, ingreso marginal, elasticidad de demanda.

El ingreso marginal es el ingreso que obtienes por cada unidad de producto vendido o servicio brindado, por lo tanto se puede decir que el ingreso marginal es la derivada del ingreso total. De la explicacin anterior se deduce que el ingreso total viene a ser entonces la anti derivada (integral) del ingreso marginal.REFERENCIAS

ARTIGUE, M. La enseanza de los principios del clculo: problemas epistemolgicos, cognitivos y didcticos. En: GMEZ, P. (Ed.).Ingeniera didctica en educacin matemtica: Un esquema para la investigacin y la innovacin en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas. Bogot: Grupo Editorial Iberoamericano, 1995. p. 97-140.

ASIALA, M.; BROWN, A.; DE VRIES, D.; DUBINSKY, E.; MATHEWS, D.; THOMAS, K. A framework for research and curriculum development in undergraduate mathematics education.CBMS Issues in Mathematics Education, Providence R.I, v. 6, p. 1-32, 1996. BARBOSA, K. La enseanza de las inecuaciones desde el punto de vista de la teora APOS.Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa, Ciudad de Mxico, v. 6, n. 3, p. 199-219, 2003 CLARK et al. Constructing a schema: The case of the chain rule.Journal of Mathematical Behavior, Amsterdam, v. 16, n. 4, p. 345-364, 1997. DUBINSKY, E. El aprendizaje de los conceptos abstractos de la matemtica avanzada: Memorias delaX REUNIN CENTROAMERICANA Y DEL CARIBE sobre formacin de profesores e investigacin en matemtica educativa. San Juan Bautista de Puerto Rico: Universidad de Puerto Rico, 1996. p. 1-9. SNCHEZ, G.; GARCA, M.; LLINARES, S. La comprensin de la derivada como objeto de investigacin en didctica de la matemtica.Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa, Ciudad de Mxico, v. 11, n. 2, p. 267-296, 2008. TRIGUEROS, M. La nocin de esquema en la investigacin matemtica educativa a nivel superior.Educacin Matemtica, Ciudad de Mxico, v. 17, n. 1, p. 5-36, 2005. BIBLIOGRAFA 1. Ayres JR., Frank. (1977): Clculo diferencial e integral. 2da. Edicin. Editorial Pueblo y Educacin. La Habana.2. Casas Pardo, Jos. (1987): Curso de Economa. Editorial de Economa Poltica. S.A. Barcelona.

3. Casass, T. y otros. (1991): Clculo integral. Ecuaciones diferenciales. Editorial NAV llibres. Valencia.

4. Chiang, Alpha C. (1987): Mtodos fundamentales de economa matemtica. Mc. Graw Hill. Mxico.

5. Manuel lvarez, Eugenio. (1973): Anlisis matemtico III. Funciones de varias variables. Editorial MIR Mosc.

6. Senz Quiroga, Eladio. (1987): Matemticas para Economistas. Fondo de cultura econmica. Mxico.

7. Samuelson, Paul A. (1983): Economa. Mc. Graw Hill. Mxico.

8. Sydsaeter, Knut. y Hammond, Peter. (1996): Matemticas para el Anlisis Econmico. Editorial Prentice - Hall. Espaa.

9. Varian, H. R. (1992): Anlisis microeconmico. 3ra. Edicin. Anthony Bosch Editor. Espaa.

10. Yamane, Taro. (1962): Mathematics for economists. Editorial Prentice Hall. Espaa.

24