calculo aplicaciones area salud ust

8/15/2019 Calculo Aplicaciones Area Salud UST

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Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de la salud© Universidad Santo TomásM. Abdala P. y A. Lizama M.

Registro de Propiedad Intelectual N° 204.124

Primera EdiciónSantiago de Chile Abril de 2011

ISBN 978-956-7946-09-9

Diseño de Portada e Interiores: Siujen Chiang

515 Abdala P., M. D. A116 Introducción al cálculo con aplicaciones en el área de la salud/

M. Abdala P., A. Lizama M.—

Santiago de Chile: Universidad Santo Tomás, 2010.315 p.: cuadros.


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Introducción al Cálculocon aplicaciones en el

área de la salud

ABDALA M.D. & LIZANA A.

2010

Editorial Universidad Santo Tomás


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UNIDAD I: Preparación para el Cálculo

Los números reales

Expresiones algebraicas

Términos semejantes

Potencias

Productos Notables

Factorización

Operaciones con fracciones algebraicas

Raíces

Logaritmos

Ecuaciones de 1° grado simples: Lineal, Fraccionaria y Literal

Razones y proporciones

Ecuaciones de 2° grado

Ecuaciones irracionales, exponenciales y logarítmicas


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LOS NÚMEROS REALES

1. Conjuntos Numéricos

1.1. Números Naturales

Los elementos de este conjunto son ,1,,1,,3,2,1 nnn IN .

Características:

a) Si un número natural esn

, el anterior a él que se le denominaantecesor que es 1n , y el siguiente se le denomina sucesor que es

1n .

b) El conjunto de los Números Naturales IN tiene un elemento

mínimo que es el 1, que también se le denomina Primer Elemento, dicho

número no posee antecesor.

c) Entre dos Números Naturales consecutivos no existe ningún

número natural intermedio.

d) Es un conjunto infinito, es decir no existe un número natural

máximo.

e) Cada Número Natural sólo puede ser par o impar . Se dice que un

número natural m es par , sí nm 2 para algún número natural n ; en otras

palabras, m es par si m es un múltiplo de 2. En cualquier otro caso se dice

que m es impar , que se obtiene por la expresión 1·2 nt

f) Si m es un múltiplo de n, se dice que n es un factor de m. por

ejemplo: 13 y 5 son factores de 65, ya que 51365 . Un número natural

que tenga otro factor aparte de sí mismo y al 1 se llama número

compuesto . Un número natural mayor que 1 y que no tenga más factores


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que él mismo y al 1 recibe el nombre de número primo. Todo número par

excepto del 2 es un número compuesto, ya que tiene el factor 2 además

de sí mismo y al 1, por ejemplo 6 es un número compuesto, pues 3·26 , o

bien 1·66

g) IN por tener primer elemento es un conjunto que sirve paracontar .

1.2. Números Enteros

Hay problemas que no tienen solución en IN . Por ejemplo, la ecuación 47 x

no tiene solución en IN pues no existe: IN n tal que 47 x . La necesidad de

resolver problemas de este tipo N baba x ,/ trajo como consecuencia la

ampliación del conjunto numérico natural al conjunto de los Números Enteros.

Definición IN es el conjunto de todos los números negativos (opuestos) de los

números naturales.

Definición IN IN Z 0 : es el conjunto de los Números Enteros

Nota Si consideramos IN Z , IN Z entonces:

Z Z Z 0 ,

Donde: ,,,3,2,1 n Z

Conjuntos de los números enteros pos itivos.

,3,2,1 Z ,

Conjuntos de los números enteros negativos.

Nota Como los conjuntos: Z y Z 0, son disjuntos, entonces para

cada elemento Za cumple, exactamente, una de las tres condiciones

-Za , 0a , o bien Za .


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1.3. Números Racionales

Son los reales con parte decimal periódica y que es posible escribirlos como

una razón o cuociente entre enteros.

0,,/ b Z b Z ab

aQ

A los números racionales se les llaman habitualmente fracciones. En todo

número racional (fracción) se distingue:

ador deno

numerador

b

a fracciónderaya

min

Dada una fracción (racional): ba

, se tiene:

1. Sí ba , entonces la fracción es propia y en consecuencia es menor que

la unidad

Por ejemplo: 15

2

2. Sí ba , entonces la fracción es impropia y en consecuencia es mayor

que la unidad

Por ejemplo: 15

12

3. Si ba , entonces la fracción es unitaria, y en consecuencia es igual a 1.

Por ejemplo: 121

21

Para expresar un número racional (fracción) a decimal, se divide el numerador

por el denominador. Se dan 3 casos, considerando fracciones propias:

1. Decimales exactos o fin itos. El resultado es un decimal exacto o

finito.


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Ejemplo: 75,0750,04

3 (decimal finito)

2. Decimales periód icos. El resultado no es exacto y se repite, una o varias

cifras después de la coma.

Ejemplo: 6,1666,135

(infinito periódico)

3. Decimales semi-periód icos. Después de la coma hay una o varias cifras

que no se repiten, seguidas de un período.

Ejemplo: 358,058333,0127

(infinito semi-periódico)

1.4. Números Irracionales

Son los números reales que no es posible escribir o expresar como cuociente

entre números enteros, por ejemplo 2 , 3 37 , ,, e etc. El conjunto de los

Números Irracionales es el conjunto Q IR II .

1.5. Números Reales

Definición:Entenderemos por número real a todo número que se pueda escribircomo un número de tipo decimal , sea éste periódico (Racional) o no

periódico (Irracional). A este conjunto lo anotaremos por IR .


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2. El Cuerpo ,, IR

Diremos que el sistema formado por el conjunto y las operaciones de adición

(+) y multiplicación (), que anotaremos por: ,, IR constituye una Estructura

Algebraica de Cuerpo por cuanto satisface los siguientes axiomas

(propiedades aceptadas como verdaderas sin demostración):

2.1. , IR es un Grupo Conmutativo, pues cumple:

a) Clausura: a , b s : a + b = s

b) Asoc iat iv idad: a , b , c ( a + b ) + c = a +( b + c )

c) Conmutatividad: a , b , se cumple: a + b = b + ad) Existe Neutro: 0 a , tal que a + 0 = a = 0 + a

e) Existe Inverso: a a , tal que

a + (-a) = (-a) + a = 0

" a " se lee: "inverso aditivo de a" u "opuesto de a".

2.2. , IR es Grupo Conmutativo, pues verifica que:

a) Clausura: a , b m tal que: a b = m

b) Asoc iat iv idad: a , b , c : ( a b ) c = a ( b c )

c) Conmutatividad: a , b , se verifica que: a b = b a

d) Existe Neutro: 1 , tal que: a 1 = 1 a = a

e) Existe Inverso: a , a 0 , 1a , tal que:

(a-1 ) a = a (a -1 ) = 1

" 1a " se lee: "recíproco de a" o "inverso multiplicativo

de a".


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2.3. ,, IR es doblemente distributiva, pues IRcba ,, (multiplicación sobre

adición):

cabacba ··)·(

cbcacba ··)·(

3. Propiedades de los Números Reales

3.1. Axiomas de la Igualdad IRcba ,, :

1. Todo real es igual a sí mismo: aa

2. Si ba entonces ab

3. Si ba y cb entonces ca

4. Si ba , entonces a se puede sustituir por b en cualquier enunciado

matemático.

Nota Los primeros tres axiomas no requieren de una explicación detallada. El último

demostrará ser muy útil al resolver ecuaciones como por ejemplo: Si x y 35 , y

si: 7 x determine el valor de y.

Solución Si se sabe qué x y 35 , y que 7 x , se puede sustituir x por 7 para

obtener 16215)7(35 y .

3.2. Leyes de la Cancelación en ,, IR

Una propiedad importante de las igualdades es que, si el mismo número su suma

a ambos lados de una igualdad, lo que se obtiene es otra igualdad. Una

proposición similar es válida para la multiplicación. Esto es consecuencia del

axioma de sustitución.


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IRcba ,, :

cbcaba

cbcaba

Esto es particularmente útil al resolver ecuaciones, si se utiliza en la forma

siguiente:

0,

cbacbca

bacbca

En la segunda de las leyes de la cancelación, es esencial que 0c ya que por ejemplo:

0·70·4 , pero 74

Propiedad IRd cba ,,, : Sí d cba , entonces:

d bca

d bca

3.3. La sustracción y la división, que son las otras dos operaciones fundamentales

de los números reales, se definen mediante los axiomas de los inversos.

Específicamente, la sustracción y la división se definen como sigue:

Definición Diferencia de números reales )( baba , es la resta "amenos b".

Definición La división 1: baba es la razón "a dividido por b.

Otras formas de expresar ba : pueden serb

a o bien

ba

1·

Nota 1 Tal como sucede con la adición y la multiplicación, la sustracción y la división

se definen sólo para dos números reales a la vez. Sin embargo, estas

operaciones no cumplen el axioma de Conmutatividad ni el de

Asoc iat iv idad.


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Nota 2 Existe un único x en , IR , tal que b xa . Se le llama "solución de la

ecuación aditiva" y resulta ser que x está expresado por abab x )( .

Nota 3 Existe un único x en ·, IR , tal que b xa , con a . A dicho elemento x se

le llama "solución de la ecuación multiplicativa" y resulta ser que x se designa

por: ba 1 . En particular: 1a se escribe también como a1 , es decir: 1a = a

1

Nota 4 0, bbcacb

a

3.4. Propiedades de la Adición en: , IR . IRba , , se verifica que:

1. El neutro aditivo: 0, y el opuesto de un número real a, o sea: )( a , son

únicos.2. aa )( .

3. bababa )()()( .

4. abbaba )()(

3.5. Propiedades de la Multiplicación en ·, IR . IRba , :

1. El neutro multiplicativo: 1 y el recíproco de a, o sea:

1

a , son únicos.2. aa 11)( , siempre que: 0a

3. 111)( baba

3.6. Propiedades de la Adición y Multiplicación en ·,, IR . IRba , .

1. 01

2. aa )1()(

3. abbababa )()()(

4. abbaba )()(


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Ejemplo ¿Que valor de x transforma a la expresión: 532 x en una proposición

verdadera?

Solución

353)32( x

83)3(2 x

802 x

8·2 x

4 x

El proceso descrito anteriormente constituye la resolución de la ecuación

dada. También se dice que x (la incógnita) ha sido despejada en la

ecuación.

El Cero Los resultados siguientes son propiedades importantes que el 0 (cero:

neutro aditivo) tiene con respecto a la multiplicación y la división:

1. 000 aa

2. Si 0ba entonces:

0

0

b

a.

3.00

0 1 bb , siempre que

0b.

4.0

a está definida para ningún a en IR .

Nota 5 00 ab

a

Nota 60: bexiste No

b

a

Nunca dividir por Cero


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Ejemplo Dada la fracción5

62

x

x

Solución:

¿Para qué valor de x, la fracción es nula?

La fracción es nula si 3

x ¿Para qué valor de x, la fracción no existe?

La fracción no existe si 5 x

Ejemplo ¿Qué valor de x transforma a la expresión: 0)5)(32( x x en una

proposición verdadera?

Solución:

El valor es 23 x , o bien 5 x , por la propiedad del 0 para el producto.

Nota 7 El axioma del inverso multiplicativo garantiza que hay inverso para todo

número real, con la excepción: el neutro aditivo 0 no tiene inverso

multiplicativo.


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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. Término Algebraico

Se llama término algebraico a una combinación de números (coeficiente) y letras

(factor literal) que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o la

división.

Ejemplo 1

a2 ; xy3 ; pa26 ;

3 6

5 y x ;

ba

xy4

3

3

2

De acuerdo a los ejemplos, en todo término algebraico podemos distinguir:

a) El Coeficiente o factor numérico, que es el número que acompaña a una o más

letras.

b) El Factor Literal que es (son) la(s) letra(s) de un término algebraico.

Observación Como los coeficientes pueden ser positivos o negativos (no olvidar que

estamos trabajando en

), luego los términos algebraicos pueden serpositivos (+) o negativos (-). Se llama grado del término algebraico a la

suma de los exponentes de las letras que aparecen en el término.

Ejemplo 2

En los términos525 y x y

2346 z y x , identifique coeficiente, factor

literal, y el grado.

Solución 525 y x 2346 z y x

Coeficiente : -5 6

Factor literal : 2 x5 y

234 z y x

Grado : 7 9


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Entonces:

1. Los términos del polinomio son x x x x x 4,7,6,2,2356 y 6

2. Los coeficientes de5432 ,,,,, x x x x x xo y 6 x son 6, -4, -7, 6, 0, -2, y 1

respectivamente.

3. El coeficiente principal del polinomio es 1.

4. El grado del polinomio es 6.

Ac tividad:

En base al ejemplo anterior, completar el cuadro siguiente:

Polinomio Términos Coeficientes CoeficientePrincipal

Grado

13682 235 x x x x

332 2 x x

x x x 423 23

234 392 x x x

6436 234 y y y y

24 2aa

La mayor parte de la terminología presentada en el caso de un polinomio de una

variable se aplica también en el análisis de polinomios en distintas variables. Pero el

grado de un término en un polinomio en diferentes variables se obtiene sumando las

potencias de todas las variables que aparecen en el término y el grado del polinomio

está dado por el término de grado máximo.

Ejemplo:

43832 2352 y xy xy y x , es un polinomio en dos variables, x e y . Tiene cinco términos

con grados 7, 4, 3, 1 y 0 respectivamente. Por lo tanto, el grado del polinomio es 7.


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III. Términos Semejantes

Dos o más términos son semejantes cuando poseen el mismo factor literal (en donde

cada letra tiene el mismo exponente), pero distinto factor numérico o coeficiente.

Ejemplo:

2 xz ; 23 xz ; 24

3 xz

Claramente se puede apreciar en el ejemplo que los términos anteriores son

semejantes entre sí, ya que, solamente difieren en el factor numérico.

IV. Reducción de Términos Semejantes

En una expresión algebraica entenderemos por Reducción de Términos Semejantes

efectuar la adición y/o sustracción de los términos semejantes que en ella estén

contemplados.

Ejemplos Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:

1. 2ab –3a2b – 4a2b – 6ab +8ab3 + 9a3b

Solución Marcando de manera distinta los términos semejantes que

aquí aparecen, tenemos:

2ab – 3a2b – 4a2b – 6ab + 8ab 3 + 9a 3b = – 4ab – 7a2b + 8ab3 + 9a3b.

2. – 21a + 3b – 5c + 2d

Solución Dado que no existen términos semejantes, el resultado es el

mismo polinomio, es decir: – 21a + 3b – 5c + 2d.


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22

Solución: 1º) Para a = 2; b = –1; c = 3.

–3ab + c = –3·2· (–1) + 3 = 6 + 9 = 9

2 –1 3

2º) Para a = –3; b = 0; c = –2.

–3ab + c = –3· (–3)·0 + (–2) = 0 – 2 = – 2

Un factor cero. Resultado de la multiplicación cero

–3 0 –2

3º) Para a = 0; b = 6; c = 7.

–3ab + c = –3·0·6 + 7 = 0 + 7 = 7

Un factor cero. Resultado de la multiplicación cero0 6 7

2. Evaluemos –x2, para: 1º) x = –2.

2º) x = 2.

Solución: 1º) Para x = –2.

–x2 = – (–2)2 Primero se ejecuta la potencia (–2)2 = (–2)

(–2) = 4

= – 4

–2

Luego, –x2 = – 4, cuando x = –2.

2º) Para x = 2.

–x2 = – 22 Primero se ejecuta la potencia 22 = 2

2 = 4

= – 4

2

Luego, –x2 = – 4, cuando x = 2.


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3. Evaluemos ( –x)2, para: 1º) x = –2.

2º) x = 2.

Solución: 1º) Para x = –2.

( –x)2 = (– (–2))2 Primero observamos que – (–2) = 2

= 22 = 4

–2

Luego, ( –x)2 = 4, cuando x = –2.

2º) Para x = 2.

( –x)2 = (–2)2

= 4

2Luego, ( –x)2 = 4, cuando x = 2.

Observación:

Note lo relevante que resulta el signo de agrupamiento, el paréntesis,

como se observa en los ejercicios anteriores (fijarse en el Ejercicio 2):

–x2, es lo mismo que, –(x)2. En la potencia, la base es “x” y su exponente

es “2”.

Pero, en (–x)2, la base es “ –x” y su exponente es “2”.

b) Adición de Expresiones Algebraicas o Suma de Polinomios

Para sumar polinomios, sean monomios o multinomios, bastará cumplir con dos

etapas:

1º) Eliminar los paréntesis según las reglas que vimos al operar números

enteros o racionales.

2º) Agrupar y reducir los términos semejantes cuando corresponda.


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Ejemplo Sumar las expresiones ‘ x2y + x – 4xy’ y ‘6x2y – 2x + 4xy + xy2’.

Solución: Queremos sumar las expresiones algebraicas, es decir,

queremos obtener una expresión que sea igual a:

P = (x2y + x – 4xy) + (6x2y – 2x + 4xy + xy2)

Primero recordemos que, si delante de un paréntesis hay un signo “más”, los signos de

los términos que están en su interior no cambian. Posteriormente agrupamos los

términos semejantes para finalmente reducirlos:

x2y + x – 4xy + 6x2y – 2x + 4xy + xy2 = x2y + 6x2y + x – 2x + –4xy +4xy + xy2

= (1 + 6)x2y + (1 – 2)x + ( –4 + 4)xy + xy2

Luego: P = 7x2y + (–1) · x + 0 · xy + xy2

P = 7x2y – x + 0 + xy2

P = 7x2y – x + xy2

Por lo tanto: (x2y + x – 4xy) + (6x2y – 2x + 4xy + xy2) = 7x2y – x + xy2

c) Sustracción de Expresiones Algebraicas o Resta de Polinomios.

Para restar expresiones algebraicas debemos recordar que, si delante de un

paréntesis hay un signo “menos”, deben cambiar los signos de los términos que seencuentran en su interior.

Ejemplo Al polinomio x2y + x – 4xy restarle el polinomio 6x2y – 2x + 4xy + xy2.

Solución: (x2y + x – 4xy) – (6x2y – 2x + 4xy + xy2)

= x2y + x – 4xy – 6x2y + 2x – 4xy – xy2

y se suma como en el ejemplo anterior:

= (1 – 6)·x2y + (1 + 2)·x + (– 4 – 4)xy – xy2

= – 5x2y + 3x – 8xy – xy2.


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d) Eliminar Paréntesis y Reducir Términos Semejantes

Aprovechando lo señalado en los puntos anteriores b) y c), veamos un ejemplo de

reducción de términos semejantes, eliminando paréntesis.

Ejemplo:

Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes.

x y y x y x x y x 4323

Solución: Iremos desde el interior al exterior:

x y y x y x x y x 4323 x y y x y x x y x 4323




y x 2

Actividad Resolver los ejercicios que a continuación se plantean:

1. Sumar las expresiones:

a) (5r + 6s – 2r 2s3) y (2s + 4r + 2r 2s3)

b) (2x2 –3

1x + 3) y (

5

2x2 +

3

7x – 3)

c) (5x2y – 9xy + 6xy2) y (6x2y + 9xy + 5xy2)

2. Restar las expresiones:

a) (5r + 6s – 2r 2s3) y (2s + 4r + 2r 2s3)

b) (2x2

– 3

1

x + 3) y ( 5

2

x2

+ 37

x – 3)

c) (5x2y – 9xy + 6xy2) y (6x2y + 9xy + 5xy2)


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3. Evaluar, para los valores dados, las siguientes expresiones:

a) 7x2y – 5xy + l si x = –1 e y = 1 b) 2a2b –3

1ab + 3a si a =

2

1 y b=

2

3

c) 27 r 3 – 9r 2 + 3r si r =3

1 d) 16x4 – 8x3 + 2x – 1 si x = –

2

1

4. Elimine paréntesis y reduzca términos semejantes:

a) (3a2 + 2ab + c) + (3c – 4a2 – ab)

b) (10x2y + 5xy2 –3xy + 2) – (–4xy – 2x2 +4y2)

c) (2x2y + 4xy2 + 6xy) – (8x3 + 16x2y + 4xy2) – (–xy2 + 4xy + 2)

d) [(8a2 – 6b2) – (14ab + 2b2)] – [5a2 + 6ab + 10b2]

e) [20x2 – 12xy + 15y2] – [(4x2 + 8y2) – (10xy – 5y2)]

f) (a2 + a) – [(2a2c + 6ac2 + 8ac) – (–3a2c + 6a2 + 9ac)]


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POTENCIAS EN IR

Potencias de Exponente Natural

La expresión an se llama potencia enésima de a, y es igual al producto de n factores a.

Es decir:

an = a·a· ……·a, n número natural

n factoresdonde:

a : se llama base de la potencia a n Exponente

n : se llama exponente de la potencia

an: se llama n-ésima potencia de a Base

Ejemplos:

a) 23 = 2·2·2 = 8

b) (

2)3 = (

2) · (

2) · (

2) =

8

c) (

3)2 = (

3) · (

3) = 9

d) y4 = y · y · y · y

e) a2 = a · a

f) x1 = x

Observaciones:

1. 0n = 0·0·.....·0 (n factores)

Luego: Para todo n

IN: 0n = 0


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2. 1n = 1·1·.....·1 (n factores)

Luego: Para todo n

IN: 1n = 1

3. (

a )2 = (

a)·(

a) base (

a), exponente 2

( a2 ) =

(a

a) base a, exponente 2. El exponente no alcanza al signo.

Usualmente escribiremos:

a2 en vez de

(a2), pues el exponente tiene alcance mínimo.

Para que afecte al signo será preciso usar paréntesis.

Luego: - ( an ) = - an

En general: (

a)n

an

Más aún: (

a)n =

an, sólo cuando n es impar.

Ejemplos

a)

52 =

(5·5) =

25

en cambio: (

5)2 = (

5) · (

5) = 25

b)

23 =

(2·2·2) =

8

por otro lado: (

2)3 = (

2) · (

2) · (

2) =

8

y, por último:

(

2)3 =

[(

2)·(

2)·(

2)] = 8

c) En particular, veamos las potencias de

‘

1’: (

1)1 =

1; (

1)2 = 1;

(

1)3 =

1; (

1)4 = 1; (

1)5 =

1; (

1)6 = 1; etc.

En general se cumple que:

1º. (

1) elevado a exponente impar es

1.

2º. (

1) elevado a un exponente par es 1.


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Es decir: 1º. (

1)2n 1 =

1 , con n

IN.

2º. (

1)2n = 1 , con n

IN.

4. En general toda potencia de exponente par es mayor o igual que cero:

a2

0, para cualquier número real a.

5. Observe que mnmn aa

Ejemplo:

(23)2 = (2 3) · (23) = (2·2·2)·(2·2·2) = 26; en cambio,2

32 = 23·3 = 29

Es decir:2

32322

6. Las Potencias de 10 con exponente natural se usan para anotar abreviadamente

números muy grandes.

101 = 10

102 = 10·10 = 100

103 = 10·10·10 = 1.000

104 = 10·10·10·10 = 10.000

10n = 10·10·......·10 = 10..........0

n factores n ceros

Ejemplos: a) La distancia aproximada de la tierra al sol es ciento cincuenta

y cinco millones de kilómetros. La notación abreviada por

potencias de 10 es:

155.000.000 km. = 155·1.000.000 km. = 155·106 km.

b) La distancia aproximada de la tierra a la luna es 384.000

kilómetros y la escribimos:

384.000 km. = 384·1.000 km. = 384·103 km.


32/317

30

O bien, usando decimales, se expresa en notación científica:

384.000 km. = 3,84·100.000 km. = 3,84·105 km

Actividad Resuelva

1) Calcular el valor de las siguientes potencias:

a) 25 b) 52 c) (

2)5 d) 117 e) 171

2) Diga qué número es mayor:

a) 232 ó (23)2 b) 323 ó (3

2)3 c) 333 ó (33)3

Soluciones

1. a) 32; b) 25; c)

32; d) 1; e) 17

2. a) 2 23

232 ; ya que

6922 ; b) ;33

3232

ya que 68 33 ;

c) ;)3(3 3333

ya que 927 33

7. Potencia de Exponente Cero

Definición: Para todo número real a distinto de cero, la potencia a0 vale 1.

Es decir: 1x0

; x

0

Ejemplos:

a) 20 = 1; (

2)0 = 1; (22)0 = 1.

b) 15

2 0

; 15

2 0

; 120

c)

20 =

1, recuerde

20 =

(20) =

(1) =

1

00 Expresión Algebraica No definida


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31

8. Potencia de Exponente Entero Negativo

Definición:

1. Se define la potencia de base a (número real distinto de cero) y exponente

‘

1’ como el inverso multiplicativo o recíproco de a.

Es decir:

a1 =a

1 ; con a

0,

2. Generalizando, se define la potencia de base real a (distinta de cero) y

exponente entero negativo ‘

n’ como el recíproco de la n-ésima potencia a

o, de otro modo, como la n-ésima potencia del recíproco de a.

Es decir:

n

n

n

aaa

11 ; con a

0, n

IN

Ejemplos

a) 21 =

2

1, pues a –1 =

a

1

b) 2 –3 = 32

1=

8

1

pero, (

2) –3 = 32

1

=8

1

=

8

1

c)1

2

1

=2

1

1

=2

1:1 =

1

21 = 2; luego:

1

2

1

= 2

d)1

2

3

=2

3

1

=2

3:1 =

3

21 =

3

2; luego:

1

2

3

=3

2


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32

Observación

a) x 0 =0

x

1 = 1; note que 0 =

0, luego x – 0 = x0 = 1

b) x ( 5) = 5-x

1= x5

c) Potencia de 10 (exponente negativo): Vimos que las potencias de base

diez con exponente entero positivo o natural, nos sirvieron para anotar

números grandes. Ahora veremos que con exponentes enteros negativos

podremos anotar números decimales pequeñísimos.

Las potencias de exponente entero negativo para el 10 son:

101 =101 = 0,1 102 = 2

101 =

1001 = 0,01

103 = 310

1 =

000.1

1 = 0,001 104 = 4

10

1 =

000.10

1 = 0,0001

Ejemplos:

a) El diámetro de una molécula de aire es 2,5

10-8

cms.b) Un átomo de hidrógeno pesa 1,6

10-24 gramos.

c) La masa de un electrón es 9,108

10-31 kg.


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33

ALGEBRA DE POTENCIAS EN IR

1. Propiedades. Para todo IRba , y Z mn , se tiene

1. mnmn aaa Se suman los exponentes

2. nnn baba )( Se multiplican las bases

3. mnmn aa )( Se multiplican los exponentes

4. mnm

n

aa

a Se restan los exponentes

5.n

n

n

ba

b

a

Se dividen las bases

Ejemplos: 73434 aaaa 555 )( baba 124·343 aaa

Ejemplos:5

5 1

aa 347

4

7

aaa

a

7

7

7

b

a

b

a

Nota 1 La expresión: mn ba (Suma de Potencias). Se calcula por separado, salvo

cuando a es igual a b y m es igual a n. Caso en el cual, se suman por ser

términos semejantes. Las operaciones: mn ba , mn ba carecen de una

propiedad operativa. Se calculan las potencias por separado y luego se

multiplican o dividen según corresponda.

Nota 2 Es totalmente incorrecto si se escribe bababa 1111111 )()()( . Para

2a y 4b se tiene3

4

4

3

4

1

2

1)42()(

11111111

ba , es claro

que 642 ba .


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34

2. Signos de una Potencia

a) Si la base es positiva, la potencia también es positiva.

b) Si la base es negativa y el exponente es par , entonces la potencia

es positiva.

c) Si la base es negativa y el exponente es impar , entonces la

potencia es negativa.

Es decir: Si 0a entonces 0na

Si 0a entonces 02 na

Si 0a entonces 012 na

En consecuencia, para 0a

nnaa

22)( 44 3)3(

)()( 1212 nn aa 33 5)5(

Importante 22 )()( x y y x 33 )()( x y y x

Ejemplo 322)2( 55 7293)3( 66

3. Productos Notables con Potencias

Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta

frecuencia que pueden manejarse como fórmulas estándar. Inicialmente,

consideremos los siguientes productos:

222 2)( bbaaba

222 2)( bbaaba


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35

El cuadrado de la suma (o de la diferencia) de dos números es igual al

cuadrado del primer término, más (o menos) el doble producto de los dos

términos, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo 491477··2)7( 2222 x x x x x 16844··2)4( 2222 x x x x x

Cubo de una suma o de una diferencia:

32233 ··3··3)( bbabaaba

32233 ··3··3)( bbabaaba

El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado

del primer término menos el cuadrado del segundo término.

22))(( bababa

Ejemplo 491477··2)7( 2222 x x x x x 16844··2)4( 2222 x x x x x

Producto de dos binomios con un término común:

nm xnm xn xm x ·)·())(( 2

Ejemplo 1075·2)·52()5)(2( 22 x x x x x x 12)4(3))4(3()4)(3( 22 x x x x x x

Nota 444)( y x y x , Si consideramos )( y x como un solo término será:

)·()()( 34 y x y x y x

Importante 6)3)·(2( 2 x x x 94)32( 22 x x


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36

4. Factorización

En la sección anterior multiplicamos expresiones algebraicas; en esta sección,

invertiremos el proceso para escribir una expresión algebraica como el producto de

quienes generaron dicha expresión. Es decir, factorizar una expresión algebraica (suma

y/o resta de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación, osea, es el proceso inverso de la multiplicación o desarrollo de un producto.

En la sección anterior:

El problema era:

Resolver un producto de expresiones algebraicas.

La solución era:

Una expresión algebraica con su reducción de términos

semejantes, si los había.

En esta sección:

El problema es:

Una expresión algebraica.

La solución será:

El producto que generó la expresión algebraica.

4.1. Factores Comunes

Si cada uno de los términos de un polinomio tiene como factor el mismo

término a éste se le llama factor común del polinomio. Según el axioma de

distributividad se tiene que:

xz xy z x y x z y x ··)(

Al utilizar esto en sentido contrario es posible factorizar un polinomio. Por

ejemplo:

)(··· d cbad acabaad acab


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37

Ejercicio 1: Factorizar : x x x 1248 23

Ejercicio 2: Factorizar 2223 18126 xy y x y x

4.2. Factores de un Binomio

Los productos especiales dados anteriormente se pueden utilizar como reglas

auxiliares para factorizar algunos tipos de polinomios.

4.3. Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados de dos números reales es igual al producto de la

suma por la diferencia de los dos números.

))·((22 y x y x y x

Ejemplo )114)·(114(1214 2 x x x )53)(53(259 2 x x x

4.4. Suma de cubos y diferencia de cubos

La suma de cubos 33 y x , así como la diferencia de cubos 33 y x , siempre se

pueden factorizar:

))(( 2233 y xy x y x y x

))(( 2233 y xy x y x y x

Ejemplo )1)·(1(1 23 x x x x )1)·(1(1 23 x x x x

Nota 1 Existe una gran diferencia entre los siguientes desarrollos:

))(( 2233 y xy x y x y x 32233 33)( y xy y x x y x


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38

5. Factores de trinomios

5.1. Trinomios que son cuadrados perfectos

Ciertos trinomios se pueden escribir como el cuadrado de un binomio empleando

las fórmulas siguientes:

222 2)( y xy x y x 222 2)( y xy x y x

Ejemplo 22 )32(9124 x x x 22 )43(16249 x x x

Nota 2 La siguiente suma de cuadrados perfectos 22 y x . NO es factorizable con

coeficientes reales.

6. Factorización de un Trinomio Cuadrático

Se denomina trinomio cuadrático a todo trinomio de la forma cbxax xt 2)( , y

donde a, b y c son números reales y 0a . En particular consideremos las

siguientes formas:

Forma 1 cbx x xt 2)( , donde 0, Z cb

Forma 2 cbxax xt 2)( , donde 0,, Z cba

La forma (1) es factorizable con coeficientes enteros sí existen m y n números

enteros no nulos tal que:

))(()( 2 n xm xcbx x xt

En este caso se debe de verificar que:

bnm cnm ·


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39

Ejemplo )6)(1(672 x x x x )13)(1(13122 x x x x

Ejercicio 1 Factorizar : 65)( 2 x x xt 65)( 2 x x xt

La forma (2) es factorizable con coeficientes enteros sí: acb 42 es un

cuadrado perfecto no negativo. La factorización de la forma (2) donde a,

b y c son números enteros no nulos, debe de ser expresada como:

)·)·(·( n xqm x p

Donde m, n, p y q son números enteros no nulos. Se deduce que para

lograr esto en forma eficiente, es útil escribir los factores de a por pares y

los factores de c por pares, ya que deberá cumplirse

,·,· cnmaq p bqmn p ··

Lo anterior lo podemos ver en el siguiente desarrollo al aplicar la

propiedad distributiva:

nm xmq pn xq pnmqxmn pxqx pxq pxnmx ·)(····))(( 2 )(2 xt cbxax

Ejemplo )53)(12(5136 2 x x x x )32)(45(12710 2 x x x x

Ejercicio 2 Factor izar : 456)( 2 x x xt 456)( 2 x x xt

Nota Se puede suponer que 0a , ya que siempre es posible, si se requiere,

factorizar por )1( .

)121115(121115)( 22 x x x x xt

Nota Si no existen valores que satisfagan, entonces el trinomio cuadrático es un

polinomio primo o irreductible, lo que se determina sí la expresión acb 42 ,


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40

obtenida de los coeficientes del trinomio cuadrático, representa a un número

real negativo.

Ejemplo 532)( 2 x x xt no es factorizable pues 031)5)(2(434 22 acb

Ejemplo 532)( 2 x x xt si es factorizable pues 049)5)(2(434 22 acb

Nota: Este método también se aplica a polinomios en dos variables de la forma

22 ····),( yc y xb xa y xP

Ejemplo 22 9124),( y xy x y xP es factorizable pues )32)(32(),( y x y x y xP

Como se ha podido apreciar, los Productos Notables vistos en la sección anterior son

muy importantes para efectuar Factorizaciones. Con el objetivo de internalizar y

visualizar de mejor forma una factorización de una expresión algebraica, por medio

especialmente, de su producto notable respectivo, presentaremos el siguiente cuadro:


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41

RESOLVER

Los Siguientes Productos

FACTORIZAR

Las Siguientes Expresiones Algebraicas

aa 2a

)( baa aba 2

2)( ba 22 2 baba

2)( ba 22 2 baba

))(( baba 22 ba

))(( b xa x ab xba x )(2

2)( cba bcacabcba 222222

3)( ba 3223 33 babbaa

3)( ba 3223 33 babbaa

))(( 22 bababa 33 ba

))(( 22 bababa 33 ba


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42

Actividad

1. Unir la expresión algebraica de la columna “A” con su correspondiente

factorización en la columna “B”.

COLUMNA “A” COLUMNA “B”

6524436 33 y y x y x y x 322 )( y y x

z y z x y x z y x 2323246 4424 )42)(2( 4222 y xy x y x

46225 y x x )12)(2( y x y x

2234 42849 y x y x x 22 )27( xy x

1242 x x )5)(5( 2323 y x x y x x

66 y x 223 )2( z y x

44 326 y x y x )4)(3( y x y x

32238126 y xy y x x )632(5 222222 y x xz yz z y x

63 8 y x 23 )2( y x

yz xz xy z y x 641294 222 3)2( y x

22 12 y xy x )2)(6( x x

y x y x 24 22 ))(( 422422 y y x x y x

234423432 301510 z y x z y x z y x 2)32( z y x


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43

FRACCIONES ALGEBRAICAS

1. Expresión Fraccionaria

Una expresión fraccionaria es un cuociente o división de expresiones

algebraicas.

Ejemplo a.1

53

x

x

b.52 x

x

c. 522 132

x x

x x

Nota La división por cero no está definida

1.1. Expresión racional

Tipo especial de expresión fraccionaria que es igual al cociente (o razón) de dos

polinomios.

Ejemplo a. 1

1342

2

x

x x

b. 54

15332

23

x x

x x x

c.1

233

2

x

x x


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44

1.2. Fracciones Equivalentes

Para todos los números reales a, b, c y d se tiene:

0,0, d bcbd ad

c

b

a

Nota La definición de fracciones equivalentes cambia la igualdad de dos

fracciones (igualdad de dos divisiones) por la igualdad de dos productos.

Ejercicio Indique para que valores de la variable las siguientes fracciones son

equivalentes: 5

54 x y

3

73 x.

1.3. Principio fundamental de las fracciones

0,0, bk b

a

bk

ak

Ejemplo: a.1

2

)1·(15

)2·(15

1515

1530

x

x

x

x

x

x

b. 32

)3·(4

2·4

124

8

x

x

x

x

x

x

1.4. Signo de las Fracciones

b

a

b

a

b

a

b

a

, b 0

b

a

b

a

b

a

b

a

, b 0


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45

1.5. Amplificación y Simplificación de una fracción

El principio fundamental de las fracciones, el cual es: ba

bk

ak , con 0b , si k es

distinto de cero, se puede utilizar en dos formas. Una fracción se puede

simplificar eliminando un factor común tanto del numerador como del

denominador. A esto se le llama cancelar, simplificar o reducir . Por otra parte,

en muchas situaciones es preferible introducir un factor común, mediante la

multiplicación, en el numerador y en el denominador. A esto se le llama

amplificar .

Simplificación:

Se dice que una fracción está en su expresión mínima, si el numerador y el

denominador no t ienen factores comunes (a excepción del 1 como factor). El

principio fundamental se puede utilizar para reducir una fracción a su expresión

mínima eliminando los factores comunes del numerador y del denominador.

Nota: Sólo se pueden eliminar los factores comunes, no los términos que se

sumen o resten. Los miembros de una fracción se deben factorizar de tal modo

que los factores comunes se identifiquen con claridad.

Amplif icación:

En muchas operaciones, una expresión debe tener cierta forma específica. Esto

último se puede lograr a menudo si ambos miembros de la fracción se

multiplican por una misma expresión. El efecto es multiplicar la fracción por 1,

pues:

0,0,1 k bbk

ak

k

k

b

a

b

a

b

a


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46

2. Multiplicación y División de Fracciones.

2.1. Producto de Fracciones

Si d c

b

a y son dos fracciones en la que b y d (sus denominadores) son

diferentes de cero, su producto es:

0·,·

·· d b

d b

ca

d

c

b

a

El producto de dos o más fracciones dadas es una fracción cuyo numerador es

igual al producto de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo

denominador es igual al producto de los denominadores de las fracciones dadas.

Ejemplo Calcular:)1·(7

)53(2

7

53

1

2

x

x x x

x

x, siempre que 1 x

Ejemplo Calcular:103

156

5

53

2

322

2

x x

x x

x

x

x

x, siempre que 2 x y 5 x

Ejemplo Calcular:12112

12

4

3

32

42

x x

x

x x

x, siempre que 2

3 x y 4 x

2.2. Producto de una Fracción por una expresión entera

0,·

bb

E a E

b

a

Demostración: 0,11

b

b

aE

b

E a E

b

a E

b

a

Ejemplo84

21

84

7·37·

84

3

x

x

x

x

x

x, siempre que 2 x


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47

Ejemplo x

x x

x

x x x

x

x

31

410

31

)25(2)25(

31

2 2

, siempre que 31 x

Nota Casi siempre es útil reescribir el producto en su expresión mínima. Para simplificar

el trabajo, los miembros de las fracciones se deberán factorizar, en caso de serposible, antes de formar o calcular el producto. En esa forma, los factores

comunes se pueden ver con facilidad y eliminarse por simplificación.

Ejemplo Opere y simplifique 2

12

13

12

2

x x

x

x

x

)2)(13(

)12)(1(

)2)(1)(13(

)12)(1)(1(

)2)(1(

12

13

)1)(1(

2

12

13

12

2

x x

x x

x x x

x x x

x x

x

x

x x

x x

x

x

x,

siempre que 1 x , 2 x y 31 x

2.3. División de Fracciones

Para dividir: d c

b

a por en donde b, c y d son diferentes de cero se escribe:

c

d

b

a

d

c

b

a:

Demostración:

bc

ad

c

d

b

ac

d

b

a

c

d

d

cc

d

b

a

d

cb

a

d

c

b

a

1

Nota El reciproco o inverso multiplicativo de d c

es cd

. Esto permite expresar la

división de fracciones verbalmente como sigue: Para hallar el cuociente de dos

fracciones, se multiplica por el recíproco del denominador.


50/317

48

Ejemplo: 105123

)2·(5

)4·(3

5

4

2

3

4

5:

2

3

x

x

x

x x

x x x , siempre que42 x y x

Ejemplo:152

93

)5)·(3(

)3·(3

5

3

3

3

3

5:

3

32

2

x x

x x

x x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x,

Siempre que 3 x , 3 x y 5 x

Ejemplo: x x

x

x x x

x x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

422)·2)·(2(

)2·(

2

2

)2)(2(2

2

42

2:

4

1

2

222

2

2

2

2

,

Siempre que 2 x , 2 x y 0 x

2.4. División de una Fracción por una expresión entera

0,: bn

nban

ba

Ejemplo 12

2

)3)(4(

2)3(:

4

22

x x

x

x x

x x

x

x, Siempre que 4 x y 3 x .

Ejemplo 1,,4531

)1)(45(

)1(31

)1)(45(

3131)1(:

45

313154

x x

x x x

x

x x

x x

x

x

2.5. División de una expresión entera por una fracción

0,0,: aba

nb

b

an

Ejemplo 4

1,0,

3

14

··3·2

)14·(2

6

14·2

14

6:2

2

2

x x

x

x

x x

x x

x

x x

x

x x

Ejemplo 5221315

52

)15)(23(

52

15·)23(15

52:)23(

2

x

x x

x

x x

x

x x x

x x


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49

3. Adición y Sustracción de Fracciones

3.1. Denominadores Iguales

Al sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo (igual) denominador,

simplemente sé reescribe el denominador y se suman o restan los numeradores,

según sea el caso.

0,

d cond

ba

d

b

d

a

0,

d cond

ba

d

b

d

a

Esto es válido debido a la ley distributiva, ya que:

d

baba

d b

d a

d d

b

d

a ·

1·

1·

1

Nota Para evitar errores al sumar o restar los numeradores, es recomendableencerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar las

operaciones. Después de combinar las dos fracciones en una sola se reducen

términos semejantes y se reduce la nueva fracción a su mínima expresión.

Ejemplo: )1(5

)1·(5

5

55

5

)72()23(

5

72

5

23

x

x x x x x x

Ejemplo: x x x

x

x x

x

x

x

x

3

12

3

)12()2(

3

12

3

2 222

, siempre que0 x

Ejemplo: 2

1

2

)21()22(

2

21

2

22 222

x

x

x

x x x

x

x

x

x x siempre que 2 x


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50

3.2. Denominadores distintos

Si los denominadores de las fracciones que se van a sumar o restar no son

iguales (son distintos), primero se cambian las fracciones originales por fracciones

equivalentes con el mismo denominador, y luego se suman o restan como ya se

ha indicado.

0,

bd conbd

bcad

d

c

b

a

0,

bd conbd

bcad

d

c

b

a

Nota Se hace que cada fracción tenga el mismo denominador multiplicando el

numerador y el denominador por un mismo factor (o por la misma expresión). Se

usa el principio fundamental, que nos permite la amplificación:

0,0, bk bk

ak

b

a

Ejemplo x x x x

x x

x

x x

x x

x

x

x

x

x

x

23

2)·2(

··3·2

5

32

3)·7(

3

2

6

5

2

72

26

2)·2()5(3)·7(

x

x x x x x

2

22

6

425321

x

x x x x x

2

2

6

5518

x

x x , siempre que 0 x

Ejemplo Dada la expresión x

x

x x

x

x

x x x E

1

21

21

1

1)(

22

2

.

Simplifíquela y evalúe para 1,0 x x :


53/317

51

Solución:

x

x

x x

x

x

x x x E

1

21

21

1

1)(

22

2

)1)(1(

)1)(21(

)1)(1(

1

)1)(1(

)1(

x x

x x

x x

x

x x

x x

)1)(1(

)1)(21()1()1(

x x

x x x x x

)1)(1(

211 22

x x

x x x x x

)1)(1(

32

x x

x x

)1)(1(

)3(

x x

x x

Al evaluarla para 1,0 x x , obtenemos:

01

0

)01)(01(

)30·(0)0(

x E

0

2

)11)·(11(

)31)·(1()1(

x E , la expresión no está definida

para 1 x

4. El mínimo común denominador m.c.d.

El mínimo común denominador de varias fracciones es igual al mínimo común

múltiplo de los denominadores de las fracciones Se abrevia m.c.d. (no confundir

con M.C.D. que significa máximo común divisor), y por lo general se escribe en

forma factorizada. El m.c.d. debe ser divisible por cada uno de los denominadores

y sólo debe de contener a aquellos factores necesarios para satisfacer este

requerimiento.

Para determinar el m.c.d, se comienza por factorizar cada uno de los

denominadores de las fracciones que se suman o restan en sus factores primos.


54/317

52

Luego se escribe el producto de los distintos factores primos de los

denominadores y se da a cada factor primo un exponente igual al máximo

exponente de ese factor primo en cualquiera de los denominadores dados.

Ejercicio Opere y simplifique la expresión 42

24

13)(

222

x x x x x E .

Solución:

)2)(2(

2

)2)(1(

4

)1)(1(

3)(

x x x x x x x E

)2)(2)(1)(1(

)1(2)2)(1(4)4(3 22

x x x x

x x x x...

Nota La suma o resta de fracciones algebraicas con denominadores distintos es, por

lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores de lasfracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común denominador

(m.c.d.). La fracción final debe reducirse a sus términos mínimos.

Nota Sólo es necesario hallar el mínimo común denominador (m.c.d.) cuando se

suman o se restan fracciones. No se requiere el m.c.d. al multiplicar o dividir

fracciones algebraicas.

5. Adición y Sustracción de Fracciones y expresiones enteras

0,

bb

bnan

b

a

0,

b

b

bnan

b

a

Ejemplo 0,3

23

3

3323

3

)1·(3)23()1(

3

23 2222

x

x

x

x

x x x

x

x x x x

x

x


55/317

53

Ejercicio: Opere y simplifique la expresión:h

x

x

h x

h x

h x E

2

53

)(2

5)(3

),(

Solución

h

x

x

h x

h x

h x E 2

53

)(2

5)(3

),(

h

x

x

h x

h x

2

53

2

533

h

xh x

xh x xh x

22

53225)(3

xh xh

xh x xh x

22

5322533

xh xhh

2211

xh x

22

11


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54

RAÍCES

Para los números naturales n y para el número real b se ha definido la enésima

potencia de b, la cual se denota por nb . Ahora se utilizará la ecuación nba para

definir la enésima raíz de a.

1. Raíces Cuadradas

En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue.

Definición Sean a y b números reales positivos: 2baba

Por lo tanto, sí: 0a entonces, 0a y además aa 2 . Si 0a ,

entonces 00

A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a.

Nota 1 Si: 0a , entonces ab 2 y además ab 2)( , es decir, siempre existen dos

números reales, uno positivo y el otro negativo, que tienen como cuadrado a a.

Nota 2Es muy importante hacer notar que a denota únicamente el número

positivo cuyo cuadrado es a.

Ejemplo Calcule el valor de cada una de las expresiones:

a) 13169 b) 13169 c) 169

No existe.


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55

2. Raíces Cúbicas

En el caso de las raíces cúbicas se pueden utilizar tanto números reales positivos,

negativos como el cero.

Definición Si a y b son números reales cualesquiera, se define: 33 baba

O sea, sí 0a , entonces 0b , mientras que si 0a , entonces 0b . Al número b se

le llama raíz cúbica principal de a o simplemente la raíz cúbica de a. Sí 0a ,

entonces003

Se ve claro que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces

cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas sólo para números reales positivos

y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real. Lo

mismo sucede con los números enteros positivos mayores n: la distinción

fundamental surge de si n es par o impar.

En resumen:

Si: ba , entonces: ab 2 ; esto es: aa 2

Si: ba 3 , entonces: ab 3 ; esto es: aa 33


a) 73433 , porque 34373 , b) 4643 ,

porque 64)4( 3


a) 3236 x x x b) 23 323 6 y y y


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56

3. Raíz Enésima Principal

La raíz enésima principal: n a de a se define como sigue:

Definición Si a y b son números reales no negativos y si n es un número entero

positivo (par o impar); o si a y b son números reales negativos y n es

número entero positivo impar, será:

nn baba

Nota 1 Si n a existe, es un número real único. Por brevedad, omitimos el adjetivo

"principal".

Nota 2 n a recibe el nombre de enésima raíz de a para recalcar que se define positivo

sí 0a .

Nota 3 Si n es cualquier número entero positivo, el símbolo n a se llama radical de

orden.

Nota 4 No hemos definidon

a para 0a y n número entero positivo par . La razón esque si n es número par, entonces 0nb para todo número real b.

Nota 5 Si 2n , podemos escribir: aa 2 .


a) 3814 pues 03,8134 , b)2

1

64

16

porque 02

1,

64

1

2

16


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57

Usaremos la terminología “ n a existe” Si existe un número real b tal que nba .

De ahora en adelante, siempre que usemos los símbolos pmn y xa ,, , etc.

Supondremos que esas raíces existen.

Para completar esta terminología, diremos que el símbolo n a se llama radical, el

número real "a " se llama radicando y n es el índice del radical. Al símbolo . se

la llama signo radical.

En general, si 0a y si n es cualquier número entero positivo será:

aa nn

También se tiene que si 0a o que si 0a y n es un número entero positivo

impar , las cosas funcionan perfectamente bien, ya que para todo número real a:

aan n .

En la tabla que sigue se da un resumen de la definición de raíz enésima de a:

n a

Índice n 0a 0a 0a

Par No definida 00 n 0n a

Impar 0n a 00 n 0n a


a) 33243 5 55 , b) 12128 8 x x

Adoptaremos la práctica siguiente que a este nivel es común: Se supondrá que

todas las expresiones variables dentro de los radicales son cantidades


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58

positivas. Con esta suposición y siendo n un número entero positivo

cualquiera, se tiene que:

n nnn aaa

4. Leyes de los Radicales

En las tres leyes siguientes, m y n denotan números enteros positivos y a y b

cualesquiera números reales; y supondremos que las raíces indicadas siempre

existen:

nnn baba

nnn baba ::

mnm n aa

Si a es un número real y na aparecen como factor en un radical de índice n,

entonces a puede escribirse fuera del radicando siempre y cuando se considere el

signo de a.

Ejemplo nnn nn n xa xa xa ,donde hemos supuesto que el signo de a es tal que:

aan n

Ejemplo Simplifique el siguiente radical: 444 44 44 444 5 22216 x x x x x x x


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59

5. Exponentes Racionales

Hasta aquí se ha definido r a sólo para cuando r es un número entero, ya sea

positivo, negativo o cero. En la que sigue sé extenderá la definición de r a para

incluir los exponentes racionales.

En: nmnm aa )( , sí nm1 entonces: 1 nm , luego: aaaaa n

nnnn

n

1·11 .

Además, por la definición de radical se tiene aa nn . Para que haya

consecuencia con lo expuesto anteriormente, se establece la definición que sigue:

Definición

Para todo número natural n y a es un número real, y si n a es un

número real, entonces nn aa 1

Nota 1 De ahora en adelante, siempre que usemos un símbolo de la forma na1

se

supondrá que a y n se escogen dé modo que exista. n a , Es decir. Sí 0a ,

el índice n de la raíz no puede ser par.

Nota 2 Si: nnm

m 1· es un exponente racional cualquiera, se desea que las leyes de

los exponentes sigan siendo válidas y por lo tanto se exige que:

mnm

mnn

m

aaaa n

11

. Puesto que: m

m nn aa

11

o lo que es lo

mismo: mnn m aa y son raíces enésimas de ma , y se puede demostrar

que tienen el mismo signo, tiene sentido la siguiente definición de

exponentes racionales:

Definición Para todos los números enteros positivos m y n, y todos los números

reales a distintos de cero para los cuales n a existe como número real,

definimos: n mmn aaa nm


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60

Es decir, la nm

-ésima potencia de a es igual a la n-ésima raíz de la m-ésima

potencia de a. La ecuación de la definición anterior proporciona la relación

básica entre los exponentes racionales y los radicales.

Nota 3 mmnm

nn aaa11

)(

Podemos generalizar el resultado siguiente

Nota 4n a

a n11

Esto se sigue dado que: n aaaa

n

nn 111

11 1

Ejemplo Calcule y exprese en forma de radical:

a)

6

1

3

1

9423 31

2

1

y x y x b) 3 424 23 y x y x

c) )43(2 21

21

21

x x x d) 273231 )8(32 y y y

Ejemplo Encuentre x de modo que x

327

93

Ejemplo Evalúe: a)2

1

225

641

b)

32

27

64 3

x

Ejemplo Simplifique:

2

22

1

11

x

x x

Ejemplo Simplifique xh xh

· xh x

h

xh x

xh x

xh x

xh xh )·(

h

xh xh )·(

xh x


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61

LOGARITMOS

1. Introducción

Ya hemos visto dos conceptos que surgen de la igualdad ban , cuando la

observamos como ecuación desde la perspectiva de una de sus componentes:

1º Cuando b fue la incógnita, a la ecuación xan se le llamó potencial y a su

solución, potencia n-ésima de a, anotándola na x . Ella originó el lenguaje

y el álgebra de potencias.

2º Cuando a fue la incógnita, a la ecuación b xn se le llamó radical y a su

solución, raíz n-ésima de b, anotándola n b= x . Ella originó el lenguaje y el

álgebra de raíces.

Ahora, definiremos un concepto que represente a la solución de la ecuación en

que la incógnita sea el exponente n, es decir, a la solución de la ecuación

exponencial ba x . A esta solución le llamaremos Logaritmo de b en la base a y

originará el lenguaje y álgebra de logaritmos.En todo lo que sigue se supondrá que a es un número real positivo diferente de

1, es decir: 1a . Esto hace que sea aceptable la siguiente proposición:

Proposición para todo número real positivo b existe un único número real x tal

que: ba x

Definición sea 1 IRa , y tomemos la ecuación ba x . A la solución real x

se le llamará el Logaritmo de b en la base a, y se le anotará por

)(log b x a . De otro modo se establece la siguiente equivalencia:

xba )(log ba x .


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62

Es importante saber cómo efectuar el cambio de la forma exponencial a la

logarítmica o a la inversa.

Ejemplo 1. 8238log 32

000.1103000.1log3

10

29532)295(log2

3 x x

)47(32)47(log 23 x== x

Consecuencias: Surgen directamente de la definición

bab

a log

xa x

a )(log .

))((log))((log xq x p aa )()( xq x p siempre que 1 IRa

Ejemplo 1. )12(3)12(

3log

x x

2. )35()4(log )35(4 x x

3. 27)27(log)(log 33 x x aa

4. 2)2(log)(log 222

2 x x x x

5. )75(log)103(log 52

5 x x 751032 x x

En particular, si hacemos 1 x en la ec. 2, vemos que se obtiene 1)(log 1 aa ,

es decir:

1)(log aa

Puesto que 10 a , se deduce de la definición de logaritmo que 0)(log 0 aa ,

por lo tanto

0)1(log a


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63

Nota Un logaritmo es un exponente.

0loga No está definido porque xa nunca puede ser igual a cero.

2. Leyes de los Logaritmos

Las siguientes son las leyes fundamentales para trabajar con logaritmos.

Suponemos que )( x p y )( xq son expresiones o números reales positivos, 0a y

1a , y que r es cualquier número real:

))((log))((log))()((log xq xq xq x p aaa

))((log))((log))(:)((log xq xq xq x p aaa

))((log)(log x pr x p ar

a

Es más fácil aplicar las leyes de los logaritmos si se recuerda verbalmente lo

mismo que con símbolos.

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

El logaritmo de un cuociente es la resta de los logaritmos.

El logaritmo de una potencia de un número es el producto del

exponente por el logaritmo del número o base de la potencia.

Ejemplo Exprese como una suma de logaritmos: )(log 22 x x :

Solución )1(loglog))1((log)(log 2222

2 x x x x x x


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64

Ejemplo Exprese en términos de los logaritmos de x , y y z: 2

46

log z

y xb

Solución Usando las tres leyes de los logaritmos es:

2

46

log

z

y xb

=2

46

loglog z y x bb

246 logloglog1

z y x bbb

z y x bbb log2·loglog6 41

Ejemplo Exprese en términos de un sólo logaritmo:

)1(log)1(log2)2(log32

555 x x x x

Solución:

)1(log)1(log)2(log)1(log)1(log2)2(log3 252

53

52

555 x x x x x x x x

)1(log)1()2(log 25235 x x x x

)1(

)1()2(log

2

23

5

x x

x x

3. Fórmula del Cambio de Base

Algunas veces es necesario cambiar la base de un logaritmo expresando ublog en

términos de ualog , para algún número real positivo a diferente de 1. Se puede

utilizar cualquier base b siempre que 0a y 1a . El teorema que sigue indica como

cambiar la base de un logaritmo mediante el simple hecho de dividir por una

constante.

Teorema: Si a, b y c son números reales positivos con 1a , 1c :

)(log

)(log)(log

a

bb

c

ca


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68/317

66

Ejemplo Exprese en otra base:2log

)65(log)65(

2log

22

x x x x .

Ejercicio Demostremos que 1)log)·(log)·(log( =cba acb

Demostración:

=cbaacb

)log)·(log)·(log(b

a

log

log·

c

b

log

log· 1

log

log

a

c

4. Otras Propiedades del Álgebra de Logaritmos

1. b-=b

aa log1

log

2. )(log·1

log bn

=ba

na

3. 1)(log)(log ab ba

4. a. cuando 1a : Si y x entonces y x aa loglog

(con base mayor que uno, el logaritmo respeta el orden).

b. cuando 10 a : Si y x entonces y x aa loglog

(con base positiva y menor que uno, el logaritmo invierte el orden).

5. Bases de Logaritmos

A los logaritmos en base 10, o base decimal, se les llama logaritmos comunes o

logaritmos de Briggs. En lo que resta, cuando se escriba xlog sin indicar la base se

querrá decir que se está empleando la base 10, y por tanto:

)(log)(log 10 x x

La otra base comúnmente utilizada es el número real e. Es un número irracional, y

una aproximación es:


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67

e = 2,7182818285

La definición formal del número e se obtiene en término del siguiente límite:

n

n n

Lime

11

Ello significa que el número real e se puede aproximar con tanta precisión como

se desee aumentando el valor de n en la expresión:

n

n

1

1

A los logaritmos en base e se les llama logaritmos naturales El número e tiene

tanta importancia que a los logaritmos con base natural se abrevia como sigue:

)(log)(ln x x e

Ejemplo 1. )54(log)54(log 2210 x x x x

2. )27ln()27(log 33 x x x xe

Si a es cualquier base y u es cualquier número real positivo, se sabe que ua ua )(log

partir de la definición de logaritmo. Tomando ea se obtiene: uee uue )ln()(log , y

elevando ambos lados a la potencia x se llega a la siguiente igualdad:

)ln()ln( u x xu x eeu

Esto permite que cualquier expresión exponencial se escriba en base e.

Ejemplo: 1. )5ln()2()2(5 x x e

2. )3ln()12()12(3 x x e

6. El Logaritmo Natural


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68

Correspondiendo a cada número positivo x hay una única potencia y tal que ye x .

Esta potencia y se le llama logaritmo natural de x y se representa por xln .

ye x x y )(ln

La relación entre xe y xln , esta dado por las siguientes ecuaciones

0,)ln( xsi xe x

xe x ln

Ejemplo Despeje la variable x en cada una de las siguientes igualdades:

a. ,35 xe b. 1·ln2 x

Las propiedades normales de los exponentes y los logaritmos siguen siendo válidas:

y x xy lnln)(ln y x y x eee

y x y

xlnlnln

y

x y x

e

ee

xr x

r

ln)(ln

xy y x

ee

Importante )ln()ln()(ln y x y x )ln()ln()(ln y x y x

Nota ¿Se necesitan realmente otras bases diferentes del número e? Las

fórmulas:

)(ln· a x x ea a

x xa

ln

lnlog

nos permiten convertir cualquier problema que involucre expresiones

exponenciales o expresiones logarítmicas con base a en expresiones

correspondientes con base e .


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69

Ejemplo: 1. )1ln()4ln()1)·(4(ln)45(ln 2 x x x x x x

2. )1ln()1ln(1

1ln 2

2

x x

x

x

3. )1·ln()1(ln1ln 22122 21 x x x


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70

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. Ecuación con una variable en IR

Definición Una ecuación con una variable en IR , es una igualdad de expresiones

algebraicas que contienen un valor incógnito real (normalmente x, y,

z), que para ciertos valores hace verdadera la igualdad

Ejemplos 1. 8

1133

2

4

8

37

x x

x x

2. xmx 4107

3. xm xm 222

4. x x

x

5

41

67

107

5. 0)32·(5)32( 2 x x

6. 49)223·(2

123

1

23

1

2

2

x

x x

x x

x

7. 35 x x

Al número que hace de una ecuación un enunciado verdadero se le llama solución

o raíz de la ecuación. Se dice que una raíz, o solución, satisface la ecuación. Al

conjunto de todas las soluciones de una ecuación se la llama conjunto solución.

Resolver una ecuación significa hallar todas sus soluciones. Es decir, resolver unaecuación significa determinar el valor o conjunto de todos los valores para x que

harán verdadera la igualdad. Para ello se debe "despejar" x usando los teoremas

visto.


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74/317

72

3.1. Resolución de la Ecuación de Primer Grado

Sumando el opuesto de b en ambos miembros y luego multiplicando por el

recíproco de a se obtiene ab

x , y concluiremos que siempre la solución de una

ecuación de primer grado (exponente mayor para la incógnita es uno), estará dadopor el conjunto ab xS .

Ejemplo 1 Resuelva la siguiente ecuación:

)2)(1()2)(2()3()3)(2( 2 x x x x x x x

Solución Por productos notables y reduciendo términos semejantes se obtiene:

)2(4)96(6 2222 x x x x x x x

2157 x x

0136 x

6

13 x

Ejemplo 2 Resuelva la siguiente ecuación: x x

x

5

41

67

107

Solución El dominio de definición es 76,0 IR Dom . Amplificando por: )67(5 x x se obtiene:

4)67()67(55)107( x x x x x

242830355035 22 x x x x x

3248 x x

Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones, indique el dominio de definición de laecuación cuando corresponda:

1.12

196

4

5

12

43

x x x


75/317

73

2.)52()6(

17

52

72

6

4

x x x

x

x

x

3. ctemm x

m x:,1

2

2

4. .:,222 ctem xm xm

5. .:),8·(4)6·( 22 ctemmm x xm

Ejercicios Propuestos

1. Indique la solución de las siguientes ecuaciones fraccionarias, indique el dominio

de definición cuando corresponda:

1. 5+2

6 -3x = x+

3

6 -2x

S1: 24 x

2.3

4+ x -2=

12

1+2x -

4

x-3

S2: 0 x

3. 4= 2- x

6 -

1- x

4x

S3: 1 x

4.2- x

2 =

3+ x

5 -

)2- x2(

3 S4:

11

17 = x

5.1+ x

7 +3x =

1-2x

2+6x

S5: 3 x

6.40+13x- x

56 =

5- x

7 -

8 - x

122

S6: 12 x

7. x

= x

x

)2(5

41

87

47

S7: 1 x

8. 3= x

x + x

3+ x1

)8(21

S8:3-4 = x

9 . 2+ x

3 =

4-5x

5 +

3-2x

4

S9: 1 x


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74

2. Determine la solución de las siguientes ecuaciones:

1.1+ x

1)-2(m =

1- x

m +

x

2-m m constante. Analice la solución.

2.2-t

1-2m +

1-t

1 =

t

2m Resuelva para t. Indique restricciones para m y t.

3.3

3

2

21

x

m

x

m

x Resuelva para x, analice para la constante m.

3.2 Uso de SW Maple

Las siguientes instrucciones muestran cómo utilizar SW Maple para resolver

ecuaciones, primero se llama la utilería que nos permite resolver ecuaciones, se

nombra la ecuación y con el comando solve se resuelve.

> with(student):

> EC1:=4/(2*x-3)+5/(5*x-4)=3/(x+2);

:= EC1 4

2 x 35

5 x 43

x 2

> r1:=solve(EC1);

:=r1 1

> EC2:=(x-2)/(x-4)+(2*x+11)/(2*x+9)=17/((x-4)*(2*x+9));

:= EC2 x 2

x 4 2 x 11 2 x 9

17

( ) x 4 ( )2 x 9

> r2:=solve(EC2);

:=r2 , 183

2 1

83

2

4. Planteamiento de Ecuaciones

Aprender a solucionar ecuaciones como las que hemos estudiado hasta ahora, tiene

sentido en la medida que se utilicen para resolver problemas prácticos de aplicación.


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No existe un método o regla general para resolver problemas de aplicación, sin

embargo, existen algunos pasos a seguir que con frecuencia son útiles para obtener la

solución:

1. Leer detenidamente el problema.

2. Hacer un esquema o dibujo, si tiene sentido hacerlo.

3. Hacer una lista de los datos conocidos y de los desconocidos o incógnitas.

4. Representar el(los) término(s) desconocido(s) por medio de una(s) variable(s).

5. Si es posible, representar todas las demás cantidades en términos de la o las

variables utilizadas.

6. Expresar la situación descrita en el problema en términos matemáticos, es decir,

plantear la(s) ecuación(es).

7. Solucionar la(s) ecuación(es).

8. Verificar que la respuesta concuerde con las condiciones planteadas en el

problema.

A continuación mostraremos algunos ejemplos sencillos, cómo pasar del lenguaje

verbal a la expresión matemática correspondiente.

Lenguaje Verbal Expresión Matemática

Dos números enteros consecutivos x , 1 x

x es la mitad de y , o y es el doble de x

2

y x o y x 2

Un número disminuido en2

1

2

1 x

El triple de un número x3

El doble de un número, aumentado en 5 52 x

El triple, de un número aumentado en3

2

3

23 x

El Kinesiólogo “A” tiene X pacientes, y “B” “B” = (X + 5) pacientes


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5 más que “A”

El Médico Veterinario “M” atiende Y

mascotas, y “N” tiene 3 menos que “M”

“N” = (Y – 3) mascotas

Una Enfermera Universitaria tiene X

años, y su padre tiene 4 años más que eldoble de la edad de ella

Padre = (2X + 4) años

La Nutricionista “P” atiende en forma

particular a Z pacientes diabéticos, y la

“Q” 5 menos que la tercera parte que “P”

“Q” =

5

3

1 Z pacientes

Ejemplo 1 Determinar dos enteros consecutivos, cuya suma es 19.

Solución

Paso 1. Como debemos encontrar dos enteros, llamaremos x al entero

más pequeño.

Paso 2. Luego, el segundo entero será x + 1, pues son consecutivos.

Paso 3. La expresión verbal “suma de dos enteros consecutivos”, se

cambia por la expresión algebraica “x + (x + 1)”. La afirmación de que la

suma es 19, equivale a la ecuación: x + (x + 1) = 19

Paso 4. Se resuelve la ecuación:

x + (x + 1) = 19

2x + 1 = 19

2x = 19 – 1

2x = 18

x =2

18

x = 9

Paso 5. Por lo tanto, el entero más pequeño es 9, y el mayor x + 1, es 10.


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Ejemplo 2 Un Kinesiólogo tiene 14 años más que su esposa, que es Nutricionista.

Hace 20 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene?

Solución

Sea x la edad actual del Kinesiólogo. Dado que su esposa es 14 años más

joven que él, la edad actual de la Nutricionista debe ser (x – 14) años.

Hace 20 años, la edad del Kinesiólogo era 20 años menos que la de

ahora.

De manera que su edad era entonces x – 20.

De modo similar, hace 20 años la edad de la Nutricionista era de 20 años

menos que la de ahora, es decir, (x – 14) – 20 o x – 34.

Al mismo tiempo el problema nos plantea que la edad del Kinesiólogo, x –

20, era el doble de la edad de su esposa, x – 34.

Por lo tanto, la ecuación que nos debemos plantear es:

x – 20 = 2(x – 34)

Resolvamos:

x – 20 = 2x – 68

x – 2x = - 68 + 20

- x = - 48 /(-1)

x = 48

Luego, la edad actual del Kinesiólogo es de 48 años. Su esposa

Nutricionista tiene 34. Hace 20 años tenían 28 y 14 respectivamente.


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Actividad

Resolver:

1. Si Marcelo tiene x pesos, ¿cuántos pesos tendrá Verónica en cada uno de los

casos que se plantean a continuación?

a. Ella tiene $8 más que Marcelo.

b. Ella tiene $3 menos del doble de lo que tiene Marcelo.

c. Ella tiene $2 más que la mitad de lo que tiene Marcelo.

2. Si Freddy tiene x años y Verónica es 4 años más joven, ¿qué edad tiene Francisco

en cada uno de los casos que a continuación se plantean?

a. Francisco tiene 3 años más que Verónica.

b. Francisco es 1 año mayor que la edad promedio de Freddy y Verónica.

c. Francisco es 10 años menor que la suma de las edades de Freddy y Verónica.

d.

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