NDICE3INTRODUCCIN

4APLICACIONES GEOMTRICAS

4Recta tangente a una funcin en un punto

4Pendiente de la recta normal

5Ecuacin de la recta normal

5SEGMENTOS

5Longitud de la tangente

5Longitud de la subtangente

5Longitud de la normal

6Longitud de la subnormal

6NGULO ENTRE CURVAS

6VARIACION DE LAS FUNCIONES.

6Funcin montona

6Derivada de una funcin montona

6La derivada del extremo.

8Teorema del extremo interior

9Extremos relativos

10Extremos de una funcin

11Extremos relativos o locales

12Puntos crticos de las funciones

12Mximos y Mnimos

17GRAFICACION DE FUNCIONES

17Aplicaciones de las herramientas del clculo a la graficacion aproximada de las funciones.

18RESOLUCIN APROXIMADAS DE ECUACIONES

18Mtodo de Newton Raphson (Newton-Fourier)

19Convergencia del Mtodo

20Implementacin en computadoras

20Algoritmo en Matlab

20TEOREMA DE VALOR Y MEDIO Y CONSECUENCIAS

21Enunciado para una variable

21Esteteoremalo formulLagrange.

21Demostracin

26Teorema de Rolle:

27BIBLIOGRAFA

INTRODUCCINElclculo diferenciales una parte delanlisis matemticoque consiste en el estudio de cmo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el clculo diferencial esla derivada. Una nocin estrechamente relacionada es la dediferencial de una funcin.

El estudio del cambio de una funcin es de especial inters para el clculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeo como se desee). Y es que el clculo diferencial se apoya constantemente en el concepto bsico dellmite. El paso al lmite es la principal herramienta que permite desarrollar la teora del clculo diferencial y la que lo diferencia claramente del lgebra.

Desde el punto de vista matemtico de lasfuncionesy la geometra, la derivada de una funcin en un ciertopuntoes una medida de la tasa en la cual una funcincambia conforme unargumentose modifica. Esto es, una derivada involucra, en trminos matemticos, unatasa de cambio. Una derivada es el clculo de las pendientes instantneas deen cada punto. Esto se corresponde a laspendientesde lastangentesde lagrficade dicha funcin en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer laconcavidadde una funcin, sus intervalos de crecimiento, sus mximos y mnimos.

Lainversade una derivada se llama primitiva,antiderivadaointegral indefinida

APLICACIONES GEOMTRICASRecta tangente a una funcin en un punto

La recta tangente a una funcinf(x) es como se ha visto el lmite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la funcin se hace tender hacia el otro punto de corte. Tambin puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximacin lineal a la funcin en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la funcin polinmica de primer grado que mejor aproxima a la funcin localmente en el punto de tangencia que consideremos.

Si conocemos la ecuacin de la recta tangenteTa(x) a la funcinf(x) en el puntoapodemos tomarTa(x) como una aproximacin razonablemente buena def(x) en las proximidades del puntoa. Esto quiere decir que si tomamos un puntoa+hy lo evaluamos tanto en la funcin como en la recta tangente, la diferenciaser despreciable frente ahen valor absoluto sihtiende a cero. Cuanto ms cerca estemos del puntoatanto ms precisa ser nuestra aproximacin def(x).

Para una funcinf(x) derivable localmente en el puntoa, la recta tangente af(x) por el puntoaes:

Ta(x)=f(a) +f'(a)(x-a).Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre s.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la funcin en dicho punto.

Ecuacin de la recta normal

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).

SEGMENTOS

Longitud de la tangente

Sea y = f(x) una funcin derivable, y sea y = m x + b una recta tangente a la grfica de la funcin en el punto P(x0, f(x0)). La longitud de la tangente se define como la distancia desde P(x0, f(x0)) hasta el punto donde la recta tangente corta al eje x. Es decir, si T es la longitud de la tangente,

Longitud de la subtangente

La longitud de la subtangente se define como la longitud de la proyeccin de la longitud de la tangente sobre el eje x. En este curso se denotar por Ts .

Longitud de la normal

Sea y = f(x) una funcin derivable, y sea y = m x + b una recta normal a la grfica de la funcin en el punto P(x0, f(x0)). La longitud de la normal N es igual a la longitud del segmento comprendido entre el punto de tangencia hasta el punto donde la normal corta al eje x.Longitud de la subnormal

La longitud de la subnormal se define como la longitud de la proyeccin de la longitud de la normal sobre el eje x. En este curso se denotar por Ns .

NGULO ENTRE CURVAS

El ngulo de interseccin de las grficas de las funciones y = f(x) y y = g(x) es el ngulo que forman las rectas tangentes a cada una en el punto de interseccin.VARIACION DE LAS FUNCIONES.

Funcin montona

En matemticas, una funcin entre conjuntos ordenados se dice montona (o istona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en clculo, y fueron luego generalizadas al entorno ms abstracto de la teora del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminologa ligeramente diferente; mientras en clculo se habla de funciones montonamente crecientes y montonamente decrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teora del orden se usan los trminos montona y anttona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

Derivada de una funcin montona

Definicin (derivadas unilaterales superiores e inferiores). Sea I un intervalo de R, f : I R una funcin, x I

La derivada del extremo.

Sea una funcinfcontinua en algn intervalo [a,b]. Por ser continua es derivable. Es intuitivo pensar que si la funcin esta definida en tal intervalo entonces tambin debe de haber un mximo para dicha funcin. Es decir

Para todoxen [a,b].

Podemos adems decir que sicno es nianib, es decir sicesta en el intervalo abierto (a,b), entonces el grfico ser el siguiente:

Resulta lgico entoncessuponer que la tangente al grfico en(c,f(c))es paralelo al ejex.

Sin embargo, si el mximo se encuentra en un punto terminal,aobentonces la derivada no tiene por que ser igual a cero.

Cuando el punto mximo o mnimo ocurre en un punto interior del intervalo podemos hacer referencia al siguiente teorema:

Teorema del extremo interiorSeafuna funcin definida al menos en un intervalo abierto (a,b). Siftoma un valor extremo en un puntocde ese intervalo y si existef(c)entonces

f(c) = 0Para construir el concepto de mximo o de mnimo es necesario construir la definicin de cuerda def.

Definicin de cuerda def. Un segmento que une dos puntos del grfico de una funcinfse le llama cuerda def.

Podemos observar, nuevamente de manera intuitiva que si existe al menos una tangente horizontal. Por ello presentamos el siguiente enunciado conocido como el teorema de Rollo (matemtico del siglo XVII)Extremos relativosSifes derivable ena,aes un extremo relativoo local si:

Si f'(a) = 0.

Si f''(a) 0.

Mximos relativos

Sifyf'son derivables ena,aes unmximo relativosi se cumple:

f'(a) = 0f''(a) < 0Mnimos relativos

Sifyf'son derivables ena,aes unmnimo relativosi se cumple:

f'(a) = 0f''(a) > 0Clculo de mximos y mnimos

Para hallar losextremos localesseguiremos los siguientes pasos:

1Hallamos la derivada primera y calculamos sus races.

2Realizamos la 2 derivada, y calculamos el signo que toman en ella las races de derivada primera y si:

f''(a) < 0es unmximorelativo

f''(a) > 0es unmnimorelativo

3Calculamos la imagen (en la funcin) de los extremos relativos.

Ejemplo

Calcular los mximos y mnimos de:

f(x) = x3 3x + 2

f'(x) = 3x2 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(1) = 6Mximo

f''(1) = 6Mnimo

f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 4

f(1) = (1)3 3(1) + 2 = 0

Mximo(1, 4)Mnimo(1, 0)

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una funcin habr:

1.Unmximoen el punto, de la funcin, en la que esta pasade creciente a decreciente.2.Unmnimoen el punto, de la funcin, en la que esta pasade decreciente a creciente.

Extremos de una funcin

Enmatemticas, losmximosymnimosde unafuncin, conocidos colectivamente comoextremos de una funcin, son los valores ms grandes (mximos) o ms pequeos (mnimos), que toma una funcin en un punto situado ya sea dentro de una regin en particular de la curva (extremo local) o en eldominiode la funcin en su totalidad (extremo global o absoluto).De manera ms general, los mximos y mnimos de unconjunto(como se define enteora de conjuntos) son loselementos mayor y menoren el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo bsico de laoptimizacinmatemtica.

Extremos relativos o locales

Sea, seay seaun punto perteneciente a la funcin.

Se dice quees unmximo localdesi existe unentorno reducidode centro, en smbolos, donde para todo elementodese cumple. Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse.

Anlogamente se dice que el puntoes unmnimo localdesi existe un entorno reducido de centro, en smbolos, donde para todo elementodese cumple.

Extremos absolutos

Sea, seay seaun punto perteneciente a lafuncin.

Se dice que P es unmximo absolutode f si, para todo x distinto deperteneciente alsubconjuntoA, su imagen es menor o igual que la de. Esto es:

Mximo absoluto de.

Anlogamente, P es unmnimo absolutode f si, para todo x distinto deperteneciente alsubconjuntoA, su imagen es mayor o igual que la de. Esto es:

Mnimo absoluto de.Puntos crticos de las funcionesMximos y Mnimos

Recordemos quefderivable, es estrictamente creciente (decreciente) enasi, y slo sif(a)>0(f(a)0,fposee enaun mnimo local.

b. Sif(a)=0yf(x)0esfcreciente en un entorno dea:a-h0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.

b. Sif(a)ase tiene que en un entorno dea:

Si nos fijamos en el primer trmino de la igualdad, se estudia el signo de la funcin comparndola con el signo de la recta tangente, por lo tanto:

Sila recta tangente est por encima de la grfica de la funcin y dicha funcin es cncava.

Sila recta tangente est por debajo de la grfica de la funcin y dicha funcin es convexa.

Por lo tanto:

1. Sines par:

a. Sib. Si2. Sines impar, el signo cambia segn estemos a la izquierda o a la derecha dea, por lo tanto habr un punto de inflexin.GRAFICACION DE FUNCIONESAplicaciones de las herramientas del clculo a la graficacion aproximada de las funciones.

Sabemos ahora que el clculo integral tiene diversas aplicaciones no solo en el campo de lasmatemticas, sino adems en otras ciencias que no precisamente son ciencias exactas.

Entre las aplicaciones ms conocidas tenemos la obtencin de reas delimitadas por curvas de cualquier forma, as mismo la obtencin del volumen de slidos derevolucin.

El trabajo de los computlogos en el rea de las matemticas se ha extendido hacia casi cualquier rea deconocimiento, actualmente la mayora de las micro, pequeas y medianasempresasbasan todos sus movimientos con la ayuda decomputadoras, y ah se centra la actividad principal de los Ingenieros y Licenciados en Ciencias de la Computacin.

stas actividades de las cuales hablamos que debe desarrollar un computlogo son entre otras las que se refieren a los siguientes puntos:

1. Generacin deSoftware.

2. Creacin desistemasque coadyuven al mejoramiento de lacomunicacinentre empresas einstituciones.

3. Comunicacin y transmisin deinformacin.

4. Generacin deHardwareque haga cada vez ms eficiente

5. Investigacin ydesarrollode los mecanismos computacionales que existen actualmente .

Estamos de acuerdo en que el mundo actual sera un caos sin la ayuda de las computadoras, artilugios que hacen que la informacin requerida poruna empresallegue en cuestin de segundos a su destinatario, pero todo esto tampoco se podra llevar a cabo sin la ayuda de lo que son precisamente las Ciencias de la Computacin, entre ellas, el Clculo, y en esta ocasin nos referimos especialmente al Clculo Integral.

Una de las aplicaciones menos conocidas del entorno de la Computacin es la creacin de software para la generacin de otros aparatos que facilitan la tarea de otras personas no dedicadas al rea de las matemticas; por ejemplo, que hara un fsico-matemtico si no contara con un software que tenga como tarea primordial el clculo de funciones matemticas, o la graficacin de stas mismas, la labor de este tipo de cientficos se volvera muy tediosa, es por ello que en la actualidad se genera software como el deMathemtica, Derive, Maple y Theorist, los cuales pueden crear hermosas figuras de objetosmatemticos, y adems realizar muchos tipos de clculos incluyendo integracin simblica.RESOLUCIN APROXIMADAS DE ECUACIONESMtodo de Newton Raphson (Newton-Fourier)

Cuando hablamos de mtodos numricos o anlisis numrico es imposible no nombrar el mtodo deNewton-Raphsontambin conocido como mtodo deNewton-Fourier, este mtodo es del tiempo abierto ya que su convergencia no est garantizada y depende de una buena estimacin inicial de la raz y de la naturaleza propia de la funcinf(x)sabiendo entonces que si la funcin presenta varios punto de inflexin o pendientes muy grandes cerca de la raz a encontrar entonces la probabilidades de que el mtodo finalmente diverja comienzan a aumentar.

El funcionamiento del mtodo es relativamente sencillo, obviamente el primer paso es definir la funcin F(x) que se quiere analizar y luego una estimacinXnde la raz que esperamos encontrar, con lo anterior se define entonces la coordenada del punto[Xn,F(Xn)]como se puede ver en la fingura 1, donde la pendiente (m) de la recta en cuestin viene dada por la derivada de la funcin evaluada en dicho punto es decirF'(Xn)entonces en este caso el mtodo se basa en que el corte entre la recta tangente y el eje X ofrece una nueva y mejor aproximacin a la raz que se desea encontrar, es decir que el cort con el eje X serX(n+1)y el procedimiento descrito se repetir en varias ocasiones hasta encontrar un buen aproximado de la raz.

Fig 1. Se traza una linea tangente a la curva en el punto [Xn,F(Xn)] con pendiente m=F'(Xn) y el corte con el eje X ser la nueva aproximacin a la raz.

Entonces seafuna funcin derivable que se encuentra definida en el intervalo real [a , b] ynel conjunto de nmeros naturales (1,2,3,4,5,6) entonces partimos con un estimado inicialXoentonces, la ecuacin propuesta en el mtodo para las aproximaciones sucesivas son:

Dondefrepresenta la derivada de la funcinf, y,Xn+1la aproximacin ms reciente a la raz buscada.Convergencia del Mtodo

Elorden de convergenciade este mtodo es, por lo menos, cuadrtico.

Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los mtodos de aceleracin de la convergencia tipo de Aitkeno elmtodo de Steffensen.

Evidentemente, este mtodo exige conocer de antemano la multiplicidad de la raz, lo cual no siempre es posible. Por ello tambin se puede modificar el algoritmo tomando una funcin auxiliarg(x) =f(x)/f'(x), resultando:

Su principal desventaja en este caso sera lo costoso que pudiera ser hallarg(x) yg'(x) sif(x) no es fcilmente derivable.

Por otro lado, la convergencia del mtodo se demuestra cuadrtica para el caso ms habitual en base a tratar el mtodo como uno de punto fijo: sig'(r)=0, yg''(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrtica. Sin embargo, est sujeto a las particularidades de estos mtodos.

Ntese de todas formas que el mtodo de Newton-Raphson es un mtodo abierto: la convergencia no est garantizada por un teorema de convergencia global como podra estarlo en los mtodos defalsa posicino debiseccin. As, es necesario partir de una aproximacin inicial prxima a la raz buscada para que el mtodo converja y cumpla el teorema de convergencia local.

Implementacin en computadoras.

Algoritmo en Matlab

Teniendo en cuenta todo lo anterior, y tomando como base la ultima ecuacin se puede implementar el cdigo en Matlab que finalmente nos permitir hallar las races que queremos encontrar en una computadora. Tambin puede ser usado para encontrar el mximo o mnimo de una funcin, encontrando los ceros de su primeraderivadaTEOREMA DE VALOR Y MEDIO Y CONSECUENCIAS

Enclculo diferencial, elteorema de valor medio (de Lagrange),teorema de los incrementos finitos,teorema de Bonnet-Lagrangeoteora del punto medioes una propiedad de las funciones derivables en un intervalo.

Algunosmatemticosconsideran que esteteoremaes el ms importante del clculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemticos; ms bien, se usa normalmente parademostrarotros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar elteorema de Taylorya que es un caso especial.

Enunciado para una variable

Para una funcin que cumpla lahiptesisde ser definida y continua [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) entonces existe al menos algn puntocen el intervalo (a,b) en que lapendientede la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a,b].

En esencia el teorema dice que dada cualquier funcinfcontinua en el intervalo [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b) entonces existe al menos algn puntocen el intervalo (a,b) tal que la tangente a la curva ences paralela a la recta secante que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)). Es decir:

Esteteoremalo formulLagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalizacin delteorema de Rolleque dice que si una funcin es definida y continua [a,b], diferenciable en el intervalo abierto (a,b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo en otras palabras,f(a) =f(b) entonces existe al menos algn puntocen el intervalo (a,b) tal que la tangente a la curva ences horizontal, es decirf'(c)=0.

Demostracin1) Primero se consideran dos puntosypertenecientes al grfico de la funcin. La ecuacin de la recta que pasa por estos dos puntos es:

Se define una funcin auxiliar:

Puesto quefes continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), lo mismo se puede decir deg. Ademsgsatisface las condiciones delTeorema de Rolleen [a,b] ya que:

Por el Teorema de Rolle, comoges derivable en (a,b) yg(a)=g(b), existe uncperteneciente (a,b) tal queg'(c)=0, y por tanto:

y as

que es lo que se quera demostrar.

2) Seala pendiente de la recta secante entre, se define la ecuacin punto-pendiente:

o tambin,

De acuerdo al enunciado la funcin es derivable en, por lo que se puede escoger algn valoren dicho intervalo tal queexiste y es la pendiente de la recta tangente en dicho punto y por ende la recta tangente tiene la forma (punto-pendiente):

o tambin,

Se observa que se llega a un sistema lineal de 2x2

La matriz del sistema es:

Y su determinante es:

Para que el sistema no tenga solucin se debe cumplir det(A)=0, por lo tanto las rectas son paraleas en x=c, es decir f'(c) = mabEntonces, existe al menos un punto que no da solucin al sistema y adems la recta tangente al mismo es paralela a la recta entre a y b, es decir:

o tambin,

Con ello queda demostrado el teorema del valor medio.

Forma integral del Teorema del valor medio[editar]Para una funcin continuaen el cerrado, existe un valoren dicho intervalo, tal que1

DemostracinDado que la funcines continua en el cerrado, posee un valor mximo en dicho intervalo para algn, que llamaremosy tambin un valor mnimo en el mismo intervalo:, para algn. Es deciry. Si consideramos las reas de los rectngulos con basey alturatendremos la siguiente desigualdad:

Lo que implica:

De donde se deduce que debe existir algnpara el cual la funcinalcanza el valor de la integral, es decir:

El teorema no especifca como determinar, pero resulta quecoincide con el valor medio (promedio) de la funcinen el intervalo.

Otra demostracin[editar]Aplicando la integracin de Riemann

{ecuacin|||left}}

La sumatoria aloja todos losdentro del intervalo, por lo que procederemos a escoger unfijo de dicho intervalo y que por ende hace queAl reemplazar, la integral queda de la siguiente manera:

Comoes constante para la , entonces:

Reemplazando

Simplificando

yno son afectados por el lmite ya que son constantes, por lo tanto

Despejando

Por lo tanto, queda verificado la existencia de unen donde la funcin evaluada en l, toma el valor de, es decir:

Y as, queda demostrado el teorema del valor medio para integrales

Enunciado para varias variables[editar]

Seaunconjunto abiertoyconvexoyuna funcin real diferenciable sobre ese conjunto abierto. Entonces se tiene que:2

Donde, es la aplicacin lineal que representa eljacobiano(gradiente),y.

Generalizaciones[editar]

No existe un anlogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones. En este caso, slo es posible establecer la siguiente desigualdad en trminos de lanorma:

Teorema de Rolle:Seafuna funcin sobre un intervalo cerrado [a,b], con derivadas en todoxdel intervalo abierto (a,b). Sif(a) = f(b),existe al menos un puntocen (a,b) tal que:

f(c)= 0

Ejemplo:

Verificar el teorema de Rolle paraf(x)=x2+1 en el intervalo cerrado [-1,1].

Primero sabemos que la funcin, con dominio todos los nmeros reales, y derivable en todo punto.

la derivada de esta funcin es:f(x)=2xlo que nos conduce a obtener la posicin en la quef(x)=0.f(x)=2x=0entoncesx=0lo cual indica que la funcin tiene un mximo o un mnimo en dicho intervalo.

El presente teorema permite realizar una generalizacin del teorema de Rolle. Como se haba mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la funcin tiene una derivada a paralela al eje de lasxs.BIBLIOGRAFA

Motor de Bsqueda:

www.google.com.veREFERENCIAS

http:// es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial/

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/diferencial.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_mediohttp://www.aprendematematicas.org.mx/notas/calcdiferencial/DGB5_2_4.pdfhttp://www.juangordillo.com/derivadas/derivadas5.htmlhttp://www.monografias.com/trabajos26/la-integral/la-integral.shtml#aplicac

Aplicaciones del Calculo Diferencial