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Aplicaciones a la Biología
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La derivada como intensidad de cambio
Si es una función definida por la ecuación:
Y una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta,tal que es el numero de unidades en la distanciadirigida de la partícula, desde un punto fijo en la recta, alas unidades de tiempo, entonces la velocidad
instantánea de la partícula, en el instantees unidades de velocidad, donde :
)(t f s
f
s
t
t )(t v
)()´( t f D
dt
dsvt f v at
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La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa,dependiendo si la partícula se desplaza a lo largo de larecta en sentido positivo o negativo. Cuando la velocidad instantánea es cero, la partícula esta enreposo.
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Una partícula se desplaza a lo largo de una rectahorizontal de acuerdo con la ecuación:
Hallar la velocidad instantánea de la partícula cuando y ¿Qué es lo que sucede?
Ejemplo 1
1242)( 23 t t t t f s
1t 3
1t
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Solución: Como la velocidad instantánea de la partícula
esta dada por:
Así para se tiene:
)()()´()( t f Ddt
dst vt f t v at
2861242 223 t t t t t D s D t t
1t
028621816)()1( 2
1 t f Dv t
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y para se tiene:
Lo que sucede es que en y la partícula esta enreposo.
3
1t
023
8
3
22
3
8
9
162
3
18
3
16)(
3
12
3
1
t f Dvt
1t 3
1t
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Aplicaciones a la Biología
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Gasto cardiacoLa sangre regresa por las venas entre la aurículaderecha del corazón y se bombea a los pulmones porlas arterias pulmonares para la oxigenación. A continuación, fluye de regreso hacia la aurículaizquierda por las venas pulmonares y después haciaafuera al resto del cuerpo por la aorta. El gasto cardiacoes el volumen de sangre bombeado por el corazón porunidad de tiempo, es decir es la razón del flujo hacia laaorta.
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El método de la dilución del colorante se aplica paramedir el gasto cardiaco. El colorante se inyecta en laaurícula derecha y fluye por el corazón hacia la aorta.Una sonda introducida en ésta mide la concentracióndel colorante que sale del corazón, en momentosigualmente espaciados, durante un periodo hastaque el tinte desaparece. Sea c(t) la concentración deltinte en el instante t. Si dividimos en subintervalosde igual longitud
T ,0
T ,0
t
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, entonces la cantidad de tinte fluye y pasa por el puntode medición durante el subintervalo de a esaproximadamente
donde F es el gasto que intentamos determinar. De
donde, la cantidad total de colorantes es de más omenos:
1 it t it t
t F t cVolumenionConcentrac i
n
i
i
n
i
i t t c F t F t c11
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Y si se hace que , encontramos que la cantidad de
tinte es:
Por lo tanto el gasto cardiaco es :
n
T
dt t c F A0
T
dt t c
A F
0
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Donde:
Llamada la regla de Simpson.
)]()(4)(2...)(4)(2)(4)([3
1232100
nnn
T
t ct ct ct ct ct ct ct
dt t c
n
abt n
y paresdonde
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Ejemplo 1
Un bolo de colorante de 5 mg seinyecta en la aurícula derecha.Se mide la concentración deltinte(en miligramos por litro)
en la aorta a intervalos de unsegundo como se muestra en latabla. Estime el gasto Cardiaco.
0 0
1 0.4
2 2.8
3 6.5
4 9.85 8.9
6 6.1
7 4.0
8 2.39 1.1
10 0
t )(t c
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Solución: en este caso . Aplicamos la
regla de Simpson para obtener una aproximación de laintegral de concentración:
y como el gasto cardiaco esta dado por:
10Ty1,5 t A
87.41]0)1.1(4)3.2(2)0.4(4)1.6(2
)9.8(4)8.9(2)5.6(4)8.2(2)4.0(40[3
110
0
dt t c
L/s12.87.41
5
0
T
dt t c
A
F
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Tarea1. El método de dilución de colorante se aplica
para medir gasto cardiaco con 8 mg de tinte. Lasconcentraciones del colorante en mg/L, semodelan:
Encuentre el gasto cardiaco.
segundosen
120donde124
1
mide set Donde
t t t t c
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2. Después de una
inyección de 6 mg decolorante, lecturas delas concentracionesde este a intervalos deun segundo son como
se muestran en latabla de la derecha.Estimar el gastocardiaco
0 3.31 0.2
2 2.5
3 6.3
4 7.65 4.5
6 2.2
7 3.2
8 1.4
9 2.1
10 2.0
t )(t c
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Solución: en este caso . Aplicamos laregla de Simpson para obtener una aproximación de laintegral de concentración:
10Ty1,6 t A