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ANÁLISIS NUMÉRICOS

PROBLEMARIO DE REACTIVOS

2015-2016

Profesor Titular:

María Alicia Ramírez Cruz. (tareaesimepuntual@gmail.com)

Departamento de Computación

"Todos sabemos algo, todos ignoramos algo, por eso siempre estamos aprendiendo".

(Paulo Freire)

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Índice

Introducción

UNIDAD I:

ANÁLISIS DE ERRORES Y GRAFICACIÓN

1.1 Tipos de errores. ………………………………………..…..………….

1.1.1 Series de Taylor y Mc Laurin………………………..………………...

1.1.2. Exactitud y Precisión.…………………………………..………...…….

1.1.3 Error Absoluto y Relativo……………………….……………………..

1.1.4 Números de punto flotante en 32 y 64 bits……………………………

1.2 Graficación………………………………………………………………

1.2.1. Graficador xy…….………………………………………………………

UNIDAD II: RAÍCES DE ECUACIONES

2.1. Introducción. ...................................................................................

2.1.1. Teorema fundamental del Álgebra. .................................................

2.1.2. Regla de los signos de Descartes....................................................

2.2. Métodos para encontrar raíces reales…………………………..……

2.2.1. Bisección………………………………………………………………...

2.2.2. Punto Fijo (Regla Falsa)……………………………………………….

2.2.3. Newton – Raphson (Secante)…………………………………………

2.3 Métodos para raíces complejas……...………………………..………

UNIDAD III: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1. Sistemas de ecuaciones lineales……………………………………...

3.1.1. Método de Gauss……………………………………………………….

3.1.2. Método de Gauss Jordan (Matriz Inversa)………….………………..

3.1.3. Método LU y Choleski ...……………………………………………….

3.1.4 Método de Gauss Seidel……………………………………………….

3.2. Sistemas de ecuaciones no lineales………………………………….

3.2.1. Método de Newton para 2 ecuaciones……………………………….

UNIDAD

IV.-

INTERPOLACIÓN.

4.1 Mínimos Cuadrados…………………………………………………….

4.2 Método de Lagrange……………………………….…………………..

4.3 Método de Interpolación de Newton………………………………….

UNIDAD V.- DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS

5.1 Diferenciación Numérica. ……………………………………………..

5.1.1 Método de diferencias hacia delante. …….………………………….

5.1.2 Método de diferencias hacia atrás. ………………………….……….

5.1.3 Método de diferencias central. ……….……………………………….

5.2. Integración Numérica. …………………………………………………

5.2.1 Método del Trapecio. ………………………………………………….

5.2.2 Método de Romberg……………………………………………………

5.2.3 Métodos de Simpson. ………………………………………………….

3

3

5.2.4. Cuadratura de Gauss. …………………………………………………

UNIDAD

VI.-

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

6.1. Método de Euler. ………………………………………………………

6.2. Método de Runge Kutta……………………………………………….

6.3. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de

primer orden…………………………………………………………….

Bibliografía

4

4

PROLOGO

El aprendizaje de Análisis Numéricos, contribuye una herramienta fundamental mediante

la cuales se resuelven problemas matemáticos ,que no tiene solución analítica

,frecuentemente en las ciencias aplicadas se realizaron este problemario ciclo escolar

2015-2016 que buscará alentar la reflexión de la comunidad educativa y contribuir a la mejora

de los procesos de enseñanza y aprendizaje. Esta “aproximaciones” a lo exacto incurrirán en

errores que deberán ser cuantificados para evitar que su presencia influya de forma negativa

en un resultado. Además los errores constituyen uno de los parámetros fundamentales para

identificar las fortalezas y debilidades de un método numérico y su análisis para mejorar su

rendimiento.

La unidad I trata de errores y traficación El unidad II revisa brevemente algunos métodos

numéricos del Álgebra Lineal, exclusivamente en la solución de sistemas de ecuaciones

lineales. estudia la solución de las ecuaciones no lineales, pues algoritmos numéricos en este

campo son indispensables dado que no existen soluciones analíticas exactas para la mayoría

de ecuaciones no lineales, excepto para muy pocas de ellas, y aún para ecuaciones

polinómicas sólo existen soluciones analíticas exactas para ecuaciones de cuarto grado o

inferior. La resolución de una ecuación lineal, por lo que este tema es de irrenunciable análisis

para los métodos numéricos.

La unidad III revisa brevemente algunos métodos numéricos del Álgebra Lineal,

exclusivamente en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Unidad IV la interpolación

polinómica, elemento indispensable en la predicción de resultados así como para la generación

de métodos numéricos para otros campos como la diferenciación e integración numérica.

Unidad V revisan los temas del cálculo numérico, dado que las derivadas e integrales

numéricas son de vital importancia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales, tema

este último que es uno de los puntos culminantes del Análisis Numérico y es revisado en el

unidad VI.

El contenido es suficiente para un curso de un semestre de Análisis Numéricos, pudiendo

quedar a discreción del profesor la elección del orden de los temas a tratarse de acuerdo a su

experiencia docente.

Prologo

5

5

UNIDAD I

ANÁLISIS DE ERRORES Y GRAFICACIÓN

Los métodos numéricos al consistir de aproximaciones bastante confiables, pero

aproximaciones, incurren en errores propios de lo no exacto. Tiene como objetivo analizar

estos errores pues, en base a ellos, se podrá escoger un método y no otro, así como cuantificar

la precisión de los resultados.

Ejercicio 1

Supóngase que se desea sumar los números 45.238 y 0.00000234 y obtener el resultado a cinco dígitos

significativos de precisión, entonces se procede de la siguiente forma…

0.45238 x10 2

+0.00000 x10 2

0.45238 x10 2

Ejercicio 2

A cinco dígitos de precisión el sumar 45.2389 a 0.00000234, resulta como sumar 45.2389 a 0, es decir

se pierden cifras decimales del segundo sumando, para evitar ello es necesario realizar la operación

al doble de precisión, es decir, diez dígitos significativos para obtener el valor correcto,

0.4523800000 x10 2

+0.0000000234 x10 2

0.4523800234 x10 2

Ejercicio 3

Se desea restar 3.456789 de 3.456723 y obtener el resultado con cinco cifras significativas de precisión.

0.34567 x10-1

-0.34567 x10-1

0.00000x10-1

Ejercicio 4

Resolver la ecuación 𝑥2 − 1357𝑥 + 1 = 0, con tres dígitos significativos de precisión. Se procede de la siguiente

forma:

𝑥1 =−(− 1357) + √(− 1357)2 − 4(1)(1)

2=

1357 + 1356.998526

2= 1356.999

𝑥2 =−(− 1357) − √(− 1357)2 − 4(1)(1)

2=

1357 − 1356.998526

2= 0.000

produce un error de redondeo que genera un valor erróneo. Este error se puede evitar de dos formas, en este

caso, aumentando la precisión o racionalizando la expresión para x2 y con ello eliminar la fuente de error (la resta

Procesos iterativos y errores en Métodos Numéricos

6

6

de números cercanos). Para este proceso numérico por ejemplo se podría cuantificar el error cometido, tomando

como valor exacto los resultados obtenidos con seis cifras decimales de precisión, es decir...

𝑥1 =−(− 1357) + √(− 1357)2 − 4(1)(1)

2=

1357 + 1356.998526

2= 1356.999263

𝑥2 =−(− 1357) − √(− 1357)2 − 4(1)(1)

2=

1357 − 1356.998526

2= 0.000737

por lo tanto, los errores relativos porcentuales para cada resultado son...

𝐸1 = |1356.999263 − 1356.999

1356.999263| 100 = 0.00001%

𝐸1 = |0.000737 − 0.000

0.000737| 100 = 100%

Ejercicio 5

Como resultados de un método numérico iterativo se obtienen los siguientes valores (redondeados a su

última cifra decimal)...

i 0 1 2 3 4 5 6

xi 3 2.5 2.4938315715 2.4759527368 2.4753677501 2.4753532325 2.4753532211

Determinar el número de cifras significativas que se obtienen para x4 – x5 y x5 – x6.

Para 𝑋4 y 𝑋5, se tiene 𝑋𝑖+1 = 𝑋5 = 2.4753532325 y 𝑋𝑖 = 𝑋4= 2.4753677501, entonces por la expresión

𝐸0 = |2.4753532211 − 2.4753532325

2.4753532211| 100 ≤ 0.5𝑥102−𝑘

0.5𝑥102−𝑘 ≥0.00000046054890831

Tomando logaritmos en base 10 en cada extremo de la desigualdad...

𝑙𝑜𝑔10(0.5𝑥102−𝑘) ≥ 𝑙𝑜𝑔10(0.00058648598475)

𝑙𝑜𝑔10(0.5 + 2 − 𝑘) ≥ 𝑙𝑜𝑔10(0.00058648598475)

𝑘 ≤ 𝑙𝑜𝑔10(0.5) + 2 − 𝑙𝑜𝑔10(0.00058648598475)

𝑘 ≤ 4.9307123660

Por lo tanto 𝑋4 tiene al menos k = 4 cifras significativas exactas con respecto a 𝑋5.

Por otro lado para 𝑋5 y 𝑋6, se tiene 𝑋𝑖+1 = 𝑋6 = 2.4753532211 y 𝑋1 y 𝑋5= 2.4753532325, entonces por la

expresión (0.12)...

𝐸0 = |2.4753532211 − 2.4753532325

2.4753532211| 100 ≤ 0.5𝑥102−𝑘

0.5𝑥102−𝑘 ≥0.00000046054890831

Tomando logaritmos en base 10 en cada extremo de la desigualdad

𝑙𝑜𝑔10(0.5𝑥102−𝑘) ≥ 𝑙𝑜𝑔10(0.00000046054890831)

7

7

𝑙𝑜𝑔10(0.5 + 2 − 𝑘) ≥ 𝑙𝑜𝑔10(0.00000046054890831)

𝑘 ≤ 𝑙𝑜𝑔10(0.5) + 2 − 𝑙𝑜𝑔10(0.00000046054890831)

𝑘 ≤ 8.0356942471

Por lo tanto 𝑋5 tiene al menos k=8 cifras significativas exactas con respecto a 𝑋6

Ejercicio 5

Graficar mediante la función y = sen(x) + e-cos(x), y descubrir un intervalo donde exista raíz.

Se escribe y resalta la ecuación... seguidamente se efectúa el proceso anteriormente indicado y se

obtiene...

8

8

UNIDAD 2

RAÍCES DE ECUACIONES

Las ecuaciones no lineales, no poseen métodos exactos de obtención de raíces, métodos de

solución de ecuaciones no lineales, que mediante una automatización por computadora,

resultan una alternativa muy eficaz.

Matemáticamente el problema lo establece el siguiente teorema...

Definición (Raíz de una ecuación). Sea y = f(x) una función dada, y sea xr un número real o

complejo, entonces si f(xr) = 0, entonces se dice que xr es una raíz o solución de f(x) = 0.

Ejercicio1

Hallar una raíz de la ecuación f(x) = x4 -3x3 + 3x – 1, utilizando el método de bisección con una

tolerancia de tol = 0.001. Emplear redondeo a 6 cifras decimales.

Como no se da en el problema un intervalo donde encontrar la raíz, se procede entonces a graficar

la función para aislar un intervalo de búsqueda de la raíz...

Se puede entonces tomar varias alternativas para intervalos de búsqueda, tomemos el intervalo [2, 3], y

en él se afinará el aislamiento de la posible raíz, mediante la siguiente tabla...

i xi f(xi)

1 2 – 3

2 2.2 – 2.918400

3 2.4 – 2.094400

4 2.6 – 0.230400

5 2.8 3.009600

1 0 1 2 3

2

2

f(x)

x

Solución de ecuaciones no lineales

9

9

6 3 8

por lo que la raíz se halla en el intervalo [2.6, 2.8]. La tabla de búsqueda de dicha raíz es...

i a b c f(a) f(b) f(c)

1 2.6 2.7 2.8 – 0.230400 1.195100 3.009600

2 2.6 2.65 2.7 – 0.230400 0.436631 1.195100

3 2.6 2.625 2.65 – 0.230400 0.092041 0.436631

4 2.6 2.6125 2.625 – 0.230400 – 0.071904 0.092041

5 2.6125 2.61875 2.625 – 0.071904 0.009382 0.092041

6 2.6125 2.615625 2.61875 – 0.071904 – 0.031432 0.009382

7 2.615625 2.617188 2.61875 – 0.031432 – 0.011062 0.009382

8 2.617188 2.617969 2.61875 – 0.011062 – 0.000851 0.009382

i 1 2 3 4 5 6 7 8

Error absoluto --

- 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125 0.001563 0.000781

Entonces la raíz para el intervalo [2.6, 2.8] es x = 2.617188 por error relativo y x = 2.617969

por error absoluto.

Ejercicio 2

Encontrar las raíces de la ecuación f(x) = sen(x2 - 2x) que se ubiquen en el intervalo [1, π],

utilizando el método de bisección con una tolerancia de tol = 0.001. Redondear los cálculos a 6

cifras decimales.

Se procede a generar una tabla para aislar las posibles raíces contenidas en el intervalo [1, π]...

i xi f(xi)

1 1 – 0.841471

2 1.5 – 0.681631

3 2 0

4 2.5 0.948985

5 3 0.141120

6 3.141593 – 0.430301

i a b c f(a) f(b) f(c)

1 3 3.070796 3.141593 0.141120 – 0.146079 – 0.430301

2 3 3.035398 3.070796 0.141120 – 0.001252 – 0.146079

3 3 3.017699 3.035398 0.141120 0.070421 – 0.001252

4 3.017699 3.026549 3.035398 0.070421 0.034685 – 0.001252

5 3.026549 3.030974 3.035398 0.034685 0.016736 – 0.001252

10

10

De la tabla se puede observar que una raíz se encuentra en x = 2 y la otra en el intervalo [3, π],en el se

produce un cambio en f(x) de positivo a negativo. Entonces se procederá a la búsqueda de esta última

raíz...

i 1 2 3 4 5 6 7 8

Error absoluto --- 0.035398 0.017699 0.008850 0.004425 0.002212 0.001106 0.000553

Por lo tanto, la raíz para el intervalo [3,π] es x = 3.033186 por error relativo y x = 3.034845 por

error absoluto.

Ejercicio 3

Determinar las raíces de la ecuación f(x) e x3 cos(x) que se ubiquen en el intervalo [0,2],

utilizando el método de la falsa posición con una tolerancia de 0.001.

Se procede a generar una tabla para aislar las posibles raíces contenidas en el intervalo...

i xi f(xi)

1 0 0

2 0.2 0.0119652

3 0.4 0.0169439

4 0.6 – 0.0196003

5 0.8 – 0.0974110

6 1 – 0.172422

7 1.2 – 0.184718

8 1.4 – 0.105654

9 1.6 0.0458384

10 1.8 0.230134

11 2 0.416482

De la tabla se puede observar que una raíz se encuentra en x = 0 y otras dos posibles raíces se

hallan en los intervalos [0.4, 0.6] y [1.4, 1.6]

Búsqueda de la raíz en el primer intervalo...

i a b c f(a) f(b) f(c)

1 0.4 0.492731 0.6 0.0169439 0.00620691 – 0.0196003

2 0.492731 0.518530 0.6 0.00620691 0.00131492 – 0.0196003

3 0.518530 0.523651 0.6 0.00131492 0.000243068 – 0.0196003

4 0.523651 0.524586 0.6 0.000243068 0.0000438128 – 0.0196003

i 1 2 3 4

Error absoluto --- 0.092569 0.005121 0.000935

6 3.030974 3.033186 3.035398 0.016736 0.007747 – 0.001252

7 3.033186 3.034292 3.035398 0.007747 0.003249 – 0.001252

8 3.034292 3.034845 3.035398 0.003249 0.000998 – 0.001252

11

11

Ahora la raíz en el segundo intervalo...

i a b c f(a) f(b) f(c)

1 1.4 1.53948 1.6 – 0.105654 – 0.00528296 0.0458384

2 1.53948 1.54573 1.6 – 0.00528296 – 0.000171186 0.0458384

3 1.54573 1.54593 1.6 – 0.000171186 – 0.00000673644 0.0458384

i 1 2 3

Error absoluto --- 0.00625 0.0002

Las raíces son entonces x = 0.524586 y x = 1.54593.

Ejercicio 4

Encuentre la raíz de f(x) = sen(x) – x + 1 que se sabe está en 1 < x < 3, mediante el método de falsa

posición. Utilice una tolerancia de 0.0001.

Se procede a generar una tabla para aislar la raíz contenidas en el intervalo dado...

i xi f(xi)

1 1 0.841470

2 1.2 0.732039

3 1.4 0.585449

4 1.6 0.399573

5 1.8 0.173847

6 2 – 0.0907025

7 2.2 – 0.391503

8 2.4 – 0.724536

9 2.6 – 1.08449

10 2.8 – 1.46501

11 3 – 1.85887

Entonces la raíz buscada se encuentra en el intervalo [1.8, 2], hallémosla...

i a b c f(a) f(b) f(c)

1 1.8 1.93142 2 0.173847 0.00425689 – 0.0907025

2 1.93142 1.93449 2 0.00425689 0.0000991965 – 0.0907025

3 1.93449 1.93456 2 0.0000991965 0.00000452348 – 0.0907025

i 1 2 3

Error absoluto --- 0.00307 0.00007

La raíz es x = 1.93456.

Ejercicio 5

Mediante el método de falsa posición encuentre una raíz de f(x)= x3 - x +1, con hasta 3 cifras decimales

de precisión.

12

12

Del gráfico es fácil observar que la raíz se halla en el intervalo [1, 1.5].

i a b c f(a) f(b) f(c)

1 1 1.266667 1.5 – 1 – 0.234369 0.875

2 1.266667 1.315962 1.5 – 0.234369 – 0.037037 0.875

3 1.315962 1.323436 1.5 – 0.037037 – 0.005461 0.875

4 1.323436 1.324531 1.5 – 0.005461 – 0.000797 0.875

5 1.324531 1.324691 1.5 – 0.000797 – 0.000115 0.875

i 1 2 3 4 5

Error absoluto --- 0.049295 0.007474 0.001095 0.000160

La raíz pedida es 1.324691.

Ejercicio 6

Determinar las raíces de la ecuación f(x) = x5 - sen(x) que se ubiquen en el intervalo [–1,1],

utilizando el método de las tangentes con una tolerancia de 0.00001.

Graficando f(x)...

Es muy fácil notar que posee una raíz en x = 0, y que las dos restantes se hallan en los intervalos

[–1,0] y [0,1]. La fórmula iterativa que se aplicará para este problema es

𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 −𝑓(𝑋𝑖)

𝑓 ´(𝑋𝑖)= 𝑋𝑖 −

𝑋𝑖5 − 𝑠𝑒𝑛 (𝑋𝑖)

5𝑋𝑖4 − 𝑐𝑜𝑠 (𝑋𝑖)

1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

2

2

4

f(x)

1 2

x

1 0 1

5

5

f(x)

x

13

13

La primera raíz se halla muy cerca de –1, por lo que esta puede ser una buena aproximación a la primera

raíz, entonces el proceso iterativo es...

i xi f(xi) f’(xi)

0 – 1 – 0.1585290151 4.459697694

1 – 0.9644529683 – 0.01272220908 3.756210276

2 – 0.9610659883 – 0.0001072614342 3.692980193

3 – 0.9610369436 – 0.000000007766774559 3.692440754

4 – 0.9610369414 – 0.0000000003571252802 3.692440713

i 1 2 3 4 5

Error absoluto --- 0.0355470 0.00338697 0.0000290447 0.00000000219958

La segunda raíz se encuentra en cambio cerca de 1, por lo que este valor será una buena aproximación

a dicha raíz, así entonces...

i xi f(xi) f’(xi)

0 1 0.1585290151 4.459697694

1 0.9644529683 0.01272220908 3.756210276

2 0.9610659883 0.0001072614342 3.692980193

3 0.9610369436 0.000000007766774559 3.692440754

4 0.9610369414 0.0000000003571252802 3.692440713

i 1 2 3 4 5

Error absoluto --- 0.0355470 0.00338697 0.0000290447 0.00000000219958

Las raíces son entonces x = – 0.9610369414 y x = 0.9610369414.

Ejercicio 7

Hallar una raíz de la ecuación f(x) = cot(x) + 3x, en el intervalo [0,4] utilizando el método de las

tangentes con una tolerancia de 0.00001.

Graficando la función…

0 2 4

10

10

f(x)

3

x

as ínt o t a

a p roximación inicial

14

14

Se observa una raíz en el intervalo [2,4]. Se tomará un punto muy cercano a la raíz, x = 3,

como aproximación inicial. La fórmula iterativa que se aplica a este problema es :

𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 −𝑓(𝑋𝑖)

𝑓 ´(𝑋𝑖)= 𝑋𝑖 −

cot (𝑋𝑖) − 3𝑋𝑖

3 −1

𝑠𝑒𝑛2(𝑥𝑖)

Por lo tanto...

i xi f(xi) f’(xi)

0 3 1.984747448 – 47.21376835

1 3.042037471 – 0.8853610661 – 98.22960122

2 3.033024291 – 0.07549562518 – 82.17270712

3 3.032105547 – 0.0006539986341 – 80.75487484

4 3.032097448 – 0.00000001634703654 –

80.74253467

i 1 2 3 4 5

Error absoluto --- 0.0420374 0.00901318 0.000918744 0.000008099

entonces la raíz pedida es x = 3.032097448.

Ejerciucio 8

Encuentre la raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥−1 − 5𝑥3con hasta 4 cifras decimales de precisión. ¿Cuántas iteraciones

requerirá el método de bisección para lograr la misma precisión?

El punto más adecuado para empezar el procedimiento es x = 1, así…

i xi f(xi) f’(xi)

0 1 – 4 – 14

1 0.7142857142 – 1.070680141 – 6.901583931

2 0.5591502914 – 0.2305996222 – 4.046246315

3 0.5021592917 – 0.02529061192 – 3.174617562

15

15

4 0.4941927850 – 0.0004562793948 – 3.060379018

5 0.4940436925 – 0.0000001578965366 – 3.058258837

6 0.4940436408 0.0000000002120244336 – 3.058258102

i 0 1 2 3 4

Error absoluto --- 0.285714286 0.155135423 0.056991000 0.007966507

i 5 6

Error

absoluto 0.000149093 0.000000672

La raíz exacta a cuatro cifras decimales es 0.4940

Ejercicio 9

Determinar las raíces de la ecuación 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 𝑒𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛(𝑥) que se ubiquen en el

intervalo [0, 3], utilizando el método de las secantes con una tolerancia de 0.0001.De una

exploración gráfica...

se observa que en el intervalo pedido existen dos raíces ubicadas en [0, 1] y

[2, 3]. La fórmula iterativa que se aplicará para este problema es...

𝑋𝑛+2 =

𝑋𝑛 ( √𝑋𝑛+1

2+𝑒𝑋𝑛+1−𝑠𝑒𝑛(𝑋𝑛+1))− 𝑋

𝑛+1 ( √𝑋𝑛2+𝑒𝑋𝑛−𝑠𝑒𝑛(𝑋𝑛))

(√𝑋𝑛+12 + 𝑒𝑋𝑛+1) − 𝑠𝑒𝑛(𝑋𝑛+1)) − (√𝑋𝑛

2 + 𝑒𝑋𝑛) − 𝑠𝑒𝑛(𝑋𝑛))

Tomándose como aproximaciones iniciales x0 = 0 y x1 = 0.1, se genera la siguiente tabla...

i xi f(xi)

0 0 1

1 0.1 0.5568494498

2 0.2256569465 0.02322391412

3 0.2311256618 0.0006856431217

4 0.2312920271 0.0000009698230056

1 0 1 2 3

5

5

f(x)

x

16

16

5 0.2312922627 0.0000000002522049249

i 1 2 3 4 5 6

Error

absoluto

--

- 0.1 0.125656 0.00563508 0.000166365 0.000000235600

En el intervalo [2, 3], para las aproximaciones iniciales x0 = 2 y x1 = 2.1, la tabla para el proceso

iterativo es...

i xi f(xi)

0 2 – 1.171719571

1 2.1 – 0.7697572352

2 2.291499840 0.1344009559

3 2.263033846 – 0.01067115809

4 2.265127736 – 0.0001228361095

5 2.265152119 0.0000001128807819

i 1 2 3 4 5 6

Error absoluto --

- 0.1 0.191499 0.0284659 0.00209389 0.0000243829

Entonces las raíces buscadas son x = 0.2312922627 y x = 2.265152119.

Ejercicio 10

Determinar la raíz de la ecuación f(x) = x2 - sen(x +1) que se ubica en el intervalo [0, 1], utilizando

el método de sustituciones sucesivas con una tolerancia de 0.0001.

Primeramente se escribe la ecuación en la forma 𝑥 = 𝑔(𝑥) , así 𝑥 = √𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 1);a continuación

se obtiene la primera derivada de g(x) y se grafica g´(x) para ver si cumple la condición |𝑔(𝑥)̇ <|1

de la gráfica se observa que la condición se cumple. Esto se puede verificar realizando

el gráfico de

1 0 1

1

1 1

x g(x) d

d

x |𝑔(𝑥)̇ <|1

17

17

raíz entonces es...

i xi g(xi)

0 1 0.9535708819

1 0.9535708819 0.9631365028

2 0.9631365028 0.9612579363

3 0.9612579363 0.9616306269

4 0.9616306269 0.9615568349

5 0.9615568349 0.9615714513

i 1 2 3 4 5 6

Error

absoluto

--

- 0.0464291 0.0095656 0.00187856 0.000372690 0.000073792

por lo que la raíz pedida es x = 0.9615568349.

17 Álgebra Lineal Numérica

18

18

UNIDAD III

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Los procedimientos estudiados en el Álgebra Lineal como la resolución de sistemas de ecuaciones

lineales pueden ser tratados desde el punto de vista del análisis numérico, desarrollando métodos que

facilitan el cálculo especialmente cuando la presencia de números en punto flotante involucran al error

por redondeo.

En el presente capítulo se desarrollarán únicamente métodos numéricos para solución de sistemas de

ecuaciones lineales.

Ejercicio 1

Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el Método de Jacobi, para un a = 5% :

17 X1– 2 X2 – 3 X3= 500

-5 X1 + 21 X2– 2 X3= 200

-5 X1 – 5 X2+ 22 X3= 30

Las siguientes fórmulas las utilizamos para encontrar X1, X2 y X3 en cada una de las iteraciones

Iteración x1 x2 x3 a x1 a x2 a x3

0 0,00000 0,00000 0,00000

1 29,41176 9,52381 1,36364

2 30,77285 16,65648 10,21263 4,423% 42,822% 86,648%

3 33,17358 17,82331 12,14303 7,237% 6,547% 15,897%

4 33,65151 18,57876 12,95384 1,420% 4,066% 6,259%

5 33,88347 18,76977 13,23415 0,685% 1,018% 2,118%

Ejercicio 2

Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el Método de Gauss Seidel, para un a = 5% :

17 X1– 2 X2 – 3 X3= 500

-5 X1 + 21 X2– 2 X3= 200

-5 X1 – 5 X2+ 22 X3= 30

Las siguientes fórmulas las utilizamos para encontrar X1, X2 y X3 en cada una de las iteraciones

Iteración x1 x2 x3 a x1 a x2 a x3

0 0,00000

1 29,41176 16,52661 11,80418

2 33,43916 18,60972 13,19293 12,044% 11,194% 10,526%

3 33,92931 18,85869 13,36091 1,445% 1,320% 1,257%

19

19

Ejercicio 3

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, para un error a 5 %, con los tres métodos analizados.

14

4

124

21

121

12

3

2

1

x

x

x

Incógnita Valores

verdaderos Iteracio-nes

Valores aproximados Errores verdaderos

Jacobi Seidel C/Relaj Jacobi Seidel C/Relaj

X1 98,5 10 96,281 96,000 97,783 2,25% 2,54% 0,73%

X2 73,0 5 70,719 70,500 72,637 3,13% 3,42% 0,50%

X3 43,5 4 41,281 42,250 43,452 5,10% 2,87% 0,11%

19 Interpolación Polinómica

20

20

UNIDAD IV

ÍNTERPOLACION

El problema de la interpolación polinómica, que consiste en hallar una dependencia funcional

de tipo polinómico, entre dos conjuntos de igual número de datos, uno especifica el argumento

y el otro su correspondiente función. El objetivo es encontrar cualquier valor de la función

dentro del intervalo en que se hallan los valores del argumento, aunque también la

interpolación polinómica es básica

Ejercicio 1

Para el conjunto de datos...

i 0 1 2 3 4 5

x x0 x1 x2 X3 x4 x5

f f0 f1 f2 f3 f4 f5

Determinar el polinomio de interpolación de Lagrange.

Los polinomios básicos de Lagrange o funciones de forma se escriben como...

𝐿0(𝑥) =(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥0 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥2)(𝑥0 − 𝑥3)(𝑥0 − 𝑥4)(𝑥0 − 𝑥5)

𝐿1(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4)(𝑥1 − 𝑥5)

𝐿2(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)(𝑥2 − 𝑥4)(𝑥2 − 𝑥5)

𝐿3(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥4)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥3 − 𝑥0)(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥3 − 𝑥4)(𝑥3 − 𝑥5)

𝐿4(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥4 − 𝑥0)(𝑥4 − 𝑥1)(𝑥4 − 𝑥2)(𝑥4 − 𝑥3)(𝑥4 − 𝑥5)

𝐿5(𝑥) =(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)

(𝑥5 − 𝑥0)(𝑥5 − 𝑥1)(𝑥5 − 𝑥2)(𝑥5 − 𝑥3)(𝑥5 − 𝑥4)

y el polinomio de interpolación de Lagrange es...

21

21

𝑃(𝑥) =(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥0 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥2)(𝑥0 − 𝑥3)(𝑥0 − 𝑥4)(𝑥0 − 𝑥5)𝑓0 +

(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥1 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)(𝑥1 − 𝑥4)(𝑥1 − 𝑥5)𝑓1

+(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥2 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)(𝑥2 − 𝑥4)(𝑥2 − 𝑥5)𝑓2

+(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥4)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥3 − 𝑥0)(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)(𝑥3 − 𝑥4)(𝑥3 − 𝑥5)𝑓3

+(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥5)

(𝑥4 − 𝑥0)(𝑥4 − 𝑥1)(𝑥4 − 𝑥2)(𝑥4 − 𝑥3)(𝑥4 − 𝑥5)𝑓4

+(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4)

(𝑥5 − 𝑥0)(𝑥5 − 𝑥1)(𝑥5 − 𝑥2)(𝑥5 − 𝑥3)(𝑥5 − 𝑥4)𝑓5

es fácil notar que el orden del polinomio es n = 5.

Ejercicio 2

Encontrar el polinomio de interpolación mediante el método de Lagrange, para el siguiente conjunto de

datos:

x 0 1 3 7 9

y – 2 – 1 0 5 – 3

𝐿0(𝑥) =(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

(0 − 1)(0 − 3)(0 − 7)(0 − 9)=

(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

189

𝐿1(𝑥) =(𝑥 − 0)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

(1 − 0)(1 − 3)(1 − 7)(1 − 9)=

(𝑥 − 0)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

96

𝐿2(𝑥) =(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

(3 − 0)(3 − 1)(3 − 7)(3 − 9)=

(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

144

𝐿3(𝑥) =(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 9)

(7 − 1)(7 − 3)(7 − 3)(7 − 9)=

(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 9)

336

𝐿4(𝑥) =(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)

(9 − 0)(9 − 1)(9 − 3)(9 − 7)=

(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)

864

Entonces

𝑃(𝑥) =(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

144(−2) −

(𝑥 − 0)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

96(−1)

+(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

144(0) +

(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 9)

336(5)

+(𝑥 − 0)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)

864(−3)

22

22

𝑃(𝑥) = −2(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

189+

𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

96−

5𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)(𝑥 − 9)

336

−3𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)

864

Ejercicio 3

Escribir mediante notación indicial todas las diferencias divididas para el conjunto de puntos (x0,

f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)) y (x4, f(x4)).

Nodo / Orden 0 1 2 3 4

x0 f0 = f(x0) f0,1 f0,1,2 f0,1,2,3 f0,1,2,3,4

x1 f1 = f(x1) f1,2 f1,2,3 f1,2,3,4

x2 f2 = f(x2) f2,3 f2,3,4

x3 f3 = f(x3) f3,4

x4 f4 = f(x4)

Ejercicio 4

Determinar todas las diferencias divididas para el siguiente conjunto de datos…

i 0 1 2 3

x 0 1 2 3

f 10 8 2 - 8

La correspondiente tabla de diferencias divididas es...

i xi fi fi, i+1 fi, i+1, i+2 fi, i+1, i+2, i+3

0 0 10 8 − 10

1 − 0= −2

−6 − (−2)

2 − 0= −2

−2 − (−2)

3 − 0= −0

1 1 8 2 − 8

2 − 1= −6

−10 − (−6)

3 − 1= −2

2 2 2 −8 − 2

3 − 2= −10

3 3 -8

Ejercicio 5

Para el siguiente conjunto de datos...

i 0 1 2 3 4 5

x x0 x1 x2 x3 x4 x5

23

23

f f0 f1 f2 f3 f4 f5

generar los polinomios de interpolación de Newton para: a) i = 0,1,2,3,4 ; b) i =1,2.3,4,5 ; c) i = 2,3,4 ;

d) i = 3,4,5 ; e) i = 4,5

Ejercicio 6

Para la siguiente tabla de datos:

x – 0.2 0 0.1 0.5 0.7

f(x) 0.7028 0.13534 – 0.14943 – 1.1518 – 1.4845

Ejercicio 7

Halle un polinomio de interpolación de segundo y otro de tercer grado que permitan obtener de forma

aproximada f(0.2). Utilice diferencias divididas.

La tabla de diferencias divididas es…

xi fi fi[1] fi[2] fi[3] fi[4]

– 0.2 0.7028 – 2.8373 – 0.0347 1.0260 0.0036

0 0.13534 – 2.8477 0.6836 1.0293

0.1 – 0.14943 – 2.5059 1.4040

0.5 – 1.1518 – 1.6635

0.7 – 1.4845

Un polinomio de segundo grado que interpole a x = 0.2 es…

P(x)= -0.14943 2.5059(x 0.1) 1.4040( x 0.1)(x 0.5)

y uno de tercer grado es… P(x) 0.13534 2.8477x 0.6836x(x 0.1)

1.0293x( x 0.1)(x 0.5)

la expresión para el polinomio de interpolación de Newton con nodos exclusivamente equiespaciados, de

Ejercicio 8

Añada el punto (1, 0) a los puntos anteriores encuentre el polinomio de interpolación

xi f [xi] f [xi−1, xi] f [xi−2, xi−1, xi] f [xi−3, xi−2, xi−1, xi]

0 1

2 2 2 − 1

2 − 0= 1 2⁄

3 4 4 − 2

3 − 2= 2

2 − 1 2⁄

3 − 0= 1 2⁄

1 0 0 − 4

1 − 3= 2

2 − 2

1 − 2= 0

0 − 1 2⁄

1 − 0= 1 2⁄

𝑝3(𝑥) = 𝑝

2(𝑥) − (1 2⁄ )(𝑥 − 0)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = − 𝑥3 2⁄ + 3𝑥2 − 2 − (7 2)𝑥 + 1⁄

24

24

Ejercicio 9

El polinomio de grado ≤ 2 que pasa por (0, 1),(1, 3),(2, 0) es:

P2(x) = y0 L2, 0(x) + y1 L2, 1(x) + y2 L2, 1(x)= 1 · L2, 0(x) + 3 · L2, 1(x) + 0 · L2, 2(x)

= 1 = −(x − 1)(x − 2)/(0 − 1)(0 − 2)25x2(x − 0)(x − 2)+ 3 ·(1 − 0)(1 − 2)

25

25

UNIDAD V

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS

Las ecuaciones no lineales, en su mayoría, no poseen métodos exactos de obtención de raíces

y en caso de que éstos existan, es exponer los principales métodos de solución de ecuaciones

no lineales, que mediante una automatización por computadora, resultan una alternativa muy

eficaz.

Matemáticamente el problema lo establece el siguiente teorema...

Definición (Raíz de una ecuación). Sea y = f(x) una función dada, y sea xr un número real o

complejo, entonces si f(xr) = 0, entonces se dice que xr es una raíz o solución de f(x) = 0.

Ejercicio 1

Calcular ∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥1

0 mediante el método de los trapecios con n = 10. Utilizar 10 cifras

significativas.

La longitud h de la base de los trapecios es ℎ =1−0

10= 0. = 0.1

i Xextremos xintermedios f(xextremos) f(xintermedios)

0 0 ----- esen(0) =1 -----

1 ----- 0.1 ----- esen(0.1) =1.104986830

2 ----- 0.2 ----- esen(0.2) =1.219778556

3 ----- 0.3 ----- esen(0.3) =1.343825243

4 ----- 0.4 ----- esen(0.4) ]=1.476121946

5 ----- 0.5 ----- esen(0.5) =1.615146296

6 ----- 0.6 ----- esen(0.6) =1.758818845

7 ----- 0.7 ----- esen(0.7) =1.904496534

8 ----- 0.8 ----- esen(0.8) = 2.049008650

9 ----- 0.9 ----- esen(0.9) = 2.188741912

10 1 ----- esen(1) =2.319776824 -----

∑ 𝑓(𝑋) 3.319776824 14.66092481

1.632081322=T10

El valor exacto de esta integral a 10 cifras significativas es 1.631869608, por lo que el error

es…

Integración numérica

26

26

Ejercicio 2

Calcular ∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥1

0 mediante el regla de 1/3 de Simpson con n = 10 intervalos. Utilizar

10 cifras significativas. La longitud h de los intervalos es ℎ =1−0

10= 0. = 0.1

i xi f(xextremos)

f(xpares) f(xno pares)

0 0 esen(0) =1 ----- -----

1 0.1 ----- ----- esen(0.1) =1.104986830

2 0.2 ----- esen(0.2) =1.219778556 -----

3 0.3 ----- ----- esen(0.3) =1.343825243

4 0.4 ----- esen(0.4) =1.476121946 -----

5 0.5 ----- ----- esen(0.5) =1.615146296

6 0.6 ----- esen(0.6) =1.758818845 -----

7 0.7 ----- ----- esen(0.7) =1.904496534

8 0.8 ----- esen(0.8) =2.049008650 -----

9 0.9 ----- ----- esen(0.9) =2.188741912

10 1 esen(1) = 2.319776824 ----- -----

∑f(x) 3.319776824 6.503727998 8.157196817

∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =1

0 esen(x)dx = 0.1[3.319776824+4(8.157196817)+2(6.503727998) ]=1.631867336=S110/3

El valor exacto de esta integral a 10 cifras significativas es 1.631869608, por lo que el error es…

e = 1.631869608-1.631867336 = 0.000002272

la precisión es casi el doble que el método de los trapecios, con el mismo número de intervalos.

Un método de aceleración para la regla de 1/3 de Simpson es también posible, y su

demostración se deja al lector.

e 1.631869608-1.6320813222 =0.0002117142 =

27

27

Ejercicio 3

Calcular ∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥0.9

0 mediante el regla de 3/8 de Simpson con n = 9 intervalos. Utilizar

i xi f(xextremos) f(xmúltiplos de 3) f(xno múltiplos de 3)

0 0 esen(0) =1 ----- -----

1 0.1 ----- ----- esen(0.1) =1.104986830

2 0.2 ----- ----- esen(0.2) =1.219778556

3 0.3 ----- esen(0.3) =1.343825243 -----

4 0.4 ----- ----- esen(0.4) =1.476121946

5 0.5 ----- ----- esen(0.5) =1.615146296

6 0.6 ----- esen(0.6) =1.758818845 -----

7 0.7 ----- ----- esen(0.7) =1.904496534

8 0.8 ----- ----- esen(0.8) = 2.049008650

9 0.9 esen(0.9) = 2.188741912 ----- -----

∑f(x) 3.188741912 3.102644088 9.369538812

∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥0.9

0= 3(0.1)

8 3.319776824 + 2(3.102644088) + 3(9.369538812)] = 1.406349244

1.406349244=S93/8

El valor exacto de esta integral a 10 cifras significativas es 1.406354371, por lo que el error

es…

Ejercico 4

Mejorar la precisión de ∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥1

0 mediante el método de integración de Romberg a partir de

h1 = 0.1, hasta lograr 10 cifras significativas de precisión.

k h1 n1 h2 n2

O(hk,22k 2 ) Cifras significativas de

precisión

(aprox.)

1 h1,1 = 0.1 10 0.1

h1,2 = 2 = 0.05 20 O(h1,24 ) (0.05)4 =0 0000.0625

2 h2,1 = h1,2 = 0.05 20 0.05

h2,2 = 2 = 0.025

40 O(h2,26) (0.025)6 = 0 0000. 00000244

10 cifras significativas

de precisión

entonces la integral de Romberg, para k = 2, es…

e=

==

1.406354371-1.406349244 =0.000005127

28

28

T10 = 1.632081322 T20 = 1.631922431 T40 = 1.631882807

R(0.025)1 =1.631869608

Ejercicio 6

Encuentre la solución aproximada para y(1.3) en la ecuación diferencial…

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥2

si y(1) = 0, utilizando el método de Euler hacia adelante con h = 0.05 y h = 0.025. Mejore las

anteriores estimaciones. El valor de y(1.3) a siete cifras decimales es 0.4592940

i xi yi (h = 0.05) yi (h = 0.025)

0 1 0 0

1 1.025 --- 0.025

2 1.05 0.05 0.051890625

3 1.075 --- 0.08075039062

4 1.1 0.107625 0.1116597753

5 1.125 --- 0.1447012697

6 1.15 0.17350625 0.1799594265

7 1.175 --- 0.2175209121

8 1.2 0.2483065625 0.2574745599

9 1.225 --- 0.2999114239

10 1.25 0.3327218906 0.3449248345

11 1.275 --- 0.3926104554

12 1.3 0.4274829851 0.4430663418

Ambos resultados tienen como mínimo una cifra decimal exacta, lo cual es fácilmente

corroborable en base al valor exacto.

Por la relación (5.4), se tiene que… y1.3 =y1.3aprox(h 0.05) = ch (A)

para h = 0.05, y y1.3 = y1.3aprox(h 0.025) =ch2

2y1.3 = 2y1.3aprox(h 0.025) = ch (B)

para h = 0.025. Restando (B) – (A) se tiene…

y1.3 =2y

1.3aprox(h 0.025) -y1.3aprox(h 0.05)

que da una estimación más exacta que las anteriores, así…

y1.3 = 2(0.4430663418) (0.4274829851)= 0.4586496985

ésta última estimación es exacta a 3 cifras decimales.

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BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS

BIBLIOGRAFÍA.

1. Métodos Numéricos para Ingenieros, Chapra S. / Canale R., Ed. Mc. Graw–Hill.

2. Métodos Numéricos aplicados con software, Nakamura S., Ed. Prentice–Hall.

3. Análisis Numérico con Aplicaciones, Gerald C. / Wheatley P., Ed. Prentice–Hall.

4. Métodos Numéricos aplicados a la Ingeniería, Nieves A. / Domínguez F., Ed. C.E.C.S.A.

5. Análisis Numérico y visualización gráfica con MATLAB, Nakamura S., Ed. Prentice–Hall.

6. Análisis Numérico, Un enfoque práctico, Maron M. / López R., Ed. C.E.C.S.A.

7. Análisis Numérico, Scheid F., Ed. Mc.Graw–Hill.

8. Introducción a los Métodos Numéricos, Samarski A., Ed. Mir.

9. Métodos Numéricos, Volkov E., Ed. Mir.

10. Learning Diferential Equations through DERIVE, Lowe B. / Berry J., Ed. Chartwell–Bratt

11. Learning Mathematics through DERIVE, Graham E. /Watkins A.J.P / Berry J., Ed.

Chartwell–Bratt

12. Gráficas por computadora ,Luthe – Olivera ScDonald Eran, M.P. Barrer ,Prentice Hall

Hispanoamericana S. A.

13. Métodos numéricos, Hultz ,Limusa

14. Teoría de ecuaciones ,Unspensky. Limusa