problemario control1

El objetivo de esta guía es proporcionar ejercicios y ejemplos resueltos que

permitan obtener las habilidades necesarias para tener un buen desempeño en

el curso de control I.

La guía está diseñada para poder resolver un ejercicio por separado o todos los

ejercicios de un tema, al inicio de cada tema se muestran referencias

bibliográficas (como en la imagen de abajo) donde se puede encontrar más

información, se da el nombre del libro, autores y el capítulo correspondiente.

Dicha información junto con el conocimiento obtenido en clase es suficiente

para poder resolver cualquier ejercicio propuesto.

Toda la guía tiene los marcadores

correspondientes, como se puede

observar en la imagen de la izquierda,

esto le permitirá cambiar de tema sin

buscar página por página o ir

directamente a los ejercicios.

Para finalizar es importante mencionar

que los ejercicios van aumentando de

dificultad según se avance en la guía, así

como la ayuda para resolverlos

disminuye, esto para que se pueda

desarrollar las habilidades necesarias

para dar un buen desempeño en el

examen correspondiente.

SOBRE ESTA GUIA

- 1.1 Conceptos Generales. - 1.2 Diseño de sistemas de Control.

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DINÁMICOS 1

Puede referenciarse a:

Sistemas de control en Ingeniería (Norman Nise)

Capítulo 1

Sistemas de Control Moderno (Richard Dorf)

Capítulo 1

El control es necesario desde la perspectiva de la ingeniería por dos razones importantes, que son:

Respuesta: Se dice que una planta produce una respuesta satisfactoria si su salida sigue o hace un seguimiento de una entrada de referencia especificada. El proceso de mantener la salida de la planta cerca de la entrada de referencia se conoce como regulación.

Robustez: Se dice que un sistema de control es robusto si exhibe una buena regulación, a pesar de la presencia de perturbaciones externas (por ejemplo, la turbulencia que afecta el vuelo de un avión) y ante cambios en los parámetros de la planta debidos a la variación de condiciones ambientales.

Un buen sistema de control debe proporcionar esas dos características.

Otros conceptos importantes a tener en cuenta son:

Proceso: Es la secuencia de operaciones naturales o artificiales desarrolladas progresivamente en forma continua artificiales, desarrolladas progresivamente, en forma continua o discreta, caracterizada por una serie de cambios graduales que se suceden en forma fija, o con una cierta estructura estadística y que lleva con una cierta probabilidad a un fin o resultado determinado. Las acciones que se realizan dentro de un sistema constituyen un proceso. Algunos ejemplos son los procesos químicos, económicos y biológicos.

Sistema: Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Un sistema no necesariamente es físico. El concepto de sistema se aplica a fenómenos abstractos y dinámicos. Como ejemplo tenemos los sistemas políticos, sistemas eléctricos, un automóvil, un televisor, etc.

Variable Controlada: La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla. Por lo general, la variable controlada es la salida (el resultado) del sistema.

Variable Manipulada: La variable manipulada es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada.

Controlar: Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir o limitar una desviación del valor medido a partir de un valor deseado.

Planta: Es el sistema a ser controlado, generalmente se considera inalterable, es decir no se puede modificar internamente, por ejemplo un dispositivo mecánico, un horno de calefacción, un reactor químico o una nave espacial, un motor, un generador, una caldera.

CONCEPTOS GENERALES 1.1

Perturbaciones: Una perturbación es una señal que tiende a afectar negativamente el valor dela salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, en tanto que una perturbación externase produce fuera del sistema y es una entrada.

Control retroalimentado: El control realimentado se refiere a una operación que, en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo continúa haciendo con base en esta diferencia.

La forma cualitativa básica de un sistema de control es la siguiente:

Para diseñar un sistema de control se deben identificar como mínimo los elementos cualitativos básicos. El objetivo de este capítulo es poder identificarlos en sistemas comunes de la ingeniería.

Un sistema de control de temperatura opera al detectar la diferencia entre el ajuste de termostato y la temperatura real, y luego abre una válvula de combustible en una cantidad proporcional a esta diferencia. Trace un diagrama de bloques funcional en lazo cerrado semejante a la forma cualitativa básica del sistema de control.

Como podemos identificar tenemos que la planta es el calentador, el actuador es la válvula, el controlador es el termostato y la entrada es la temperatura desea, que se compara con la temperatura actual (la salida) para poder tener una diferencia de temperatura sobre la cual se tomaran decisiones.

DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL 1.2

Temperatura

deseada

Dif. De

Temp. Termostato

Dif. De

VoltajeVálvula Calentador

Temperatura

Actual

La altitud de un avión varia con el alabeo, cabeceo y guiñada, como se define en la imagen inferior, trace un diagrama de bloques para un sistema en lazo cerrado que estabilice el alabeo como sigue: el sistema mide el ángulo real de alabeo con un giro y compara su ángulo real con el ángulo deseado. Los alerones responden al error de ángulo de alabeo al experimentar una desviación angular. La nave responde a esta deflexión angular, produciendo un porcentaje de ángulo de alabeo.

En este ejemplo es muy recomendable verificar la definición de lo que es un transductor. En estos casos tanto los controles del piloto como el sensor de giro funcionan como tales.

También es importante mencionar que en los sistemas digitales se contara en con un micro-controlador o computadora de control que es la que recibirá toda la información y tomara las decisiones en base a ello.

Ángulo de

balanceo

deseado Controles del

Piloto

Voltaje de

Ent.

Dif. De

voltaje

Voltaje del

Sensor

Sensor de

giro

Control de

posición de alerón

Posición del

alerón Dinámica del

Avión

Velocidad de

balanceo Micro‐

controlador

Angulo de

balanceo

Numerosos procesos operan sobre material laminado que se desplaza de un carrete alimentador a un carrete receptor. Típicamente, estos sistemas, llamados devanadores, controlan el material de manera que se desplace a velocidad constante. Además de la velocidad, los devanadores complejos también controlan la tensión, compensan la inercia de un carrete, mientras aceleran o desaceleran y regulan la aceleración debida a cambios repentinos. En la figura inferior se ilustra un devanador. El transductor de fuerza mide la tensión; el devanador ejerce tracción contra los rodillos de presión, que producen una fuerza opositora; y el freno origina el deslizamiento del material. Para compensar cambios en velocidad el material se enrolla alrededor de un rodillo flotante. El lazo evita que cambios rápidos causen excesivo juego del material o la dañen. Si la posición del rodillo flotante es detectada por un potenciómetro u otro aparato, las variaciones de velocidad debido a la acumulación en el carrete alimentador u otras causas se pueden controlar su se compara el voltaje del potenciómetro con la velocidad indicada. El sistema entonces corrige la velocidad y restablece el rodillo flotante a la posición deseada. Trace un diagrama de bloques funcional para el sistema de control de velocidad.

En este ejemplo es importante observar como en su mayoría los sensores son parte fundamental en la retroalimentación, y siempre lo que se compara es una diferencia de voltajes.

Velocidad

deseada Transductor

Voltaje de

Ent.

Diferencia

de Volt.

Amplificador

Motor y

sistema de

movimiento

Velocidad

actual

Dinámica del

rodillo flotante

Sensor de posición

del rodillo

Voltaje

proporcional dado

por el sensor

Una universidad desea establecer un modelo de sistema de control que represente la población estudiantil como salida, con la población estudiantil deseada como entrada. La administracion determina el porcentaje de admisiones al comparar la población estudiantil actual y la deseada. La oficina de admisiones utiliza entonces este porcentaje para admitir estudiantes. Trace un diagrama de bloques funcional que muestre la administración y la oficina de admisiones como bloques del sistema. Tambien que muestre las siguientes señales: la población estudiantil deseada, la población estudiantil real, el porcentaje deseado de estudiantes determinado por la administración, el porcentaje real de estudiantes generado por la oficina de admiciones, el porcentaje de deserciones y el porcentaje neto de influjo.

Población

estudiantil

deseada

Diferencia de

población Administración

Porcentaje de

admisiones

deseado

Admisiones

Porcentaje

Real de

admisiones

Graduados y

deserciones

Tasa neta de

afluencia Integrar

Población

estudiantil

Actual

Es posible construir un sistema de control que en forma automatica ajuste el volumen del radio de una motocicleta cuando cambie el ruido generado por la motocicleta. El ruido generado por la motocilceta aumenta con la velocidad. A medida que aumente el ruido, el sistema aumenta el volumen del radio. Supongase que la cantidad de ruido puede representarse por un voltaje generado por el chicote del velocimetro, y el volumen del radio es controlado por el voltaje de cd. Si el voltaje de cd representa el volumen deseado alterado por el ruido de la motocicleta, dibuje un diagrama de bloques funcional del sistema de control automatico de volumen, mostrando el transductor de entrada, el circuito de control de volumen y el transductor de velocidad como bloques, use las señales que crea necesarias.

En este ejemplo es importante analizar por que se compara la velocidad actual con la velocidad porporcional por el volumen, ¿En que beneficia esto al sistema?.

Volumen

deseado Transductor

Voltaje

proporcional al

volumen Diferencia de

Voltaje

Volumen

Efectivo

Circuito de

control de

volumen

Voltaje del

Volumen

Actual

Radio

Volumen

Real

Voltaje

proporcional

de velocidad

Velocidad

Transductor

Durante una operación medica, un anestesista controla la profundidad de inconsciencia al controlar la concentracion de isoflurano en una mezcla vaporizada con oxigeno y oxido nitroso. La profundidad de anestesia es medida por la presion sanguinea del paciente. El anestesista tambien regula la ventilacion, equilibrio de fluido y la administracion de otras medicamentos. Para liberar al anestesista de dedicar mas tiempo a estas ultimas tareas, y en el interes de la seguridad del paciente, deseamos automatizar la profundidad de anestesia al automatizar el control de la concentracion de isoflurano. Dibuje un diagrama de bloques funcional, mostranto las señales y subsistemas pertinentes.

En este ejemplo ya no se proporciono cuales serian los bloques, cuando lo resuelva, segurece de haber seleccionado los correctos.

Presión

Arterial

deseada Vaporizador

Concentración

de isoflurano

Paciente

Presión

Arterial

Actual

- 2.1 Conceptos Generales. - 2.2 Transformada de Laplace. - 2.3 Transformada inversa de Laplace. - 2.4 Sistemas Eléctricos. - 2.5 Sistemas mecánicos. - 2.6 Motores. - 2.7 Sistemas de Nivel de Liquido. - 2.8 Linealizaciòn. - 2.9 Diagramas de bloques.

MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS Y FUNCIONES DE

TRANSFERENCIA 2


Fundamentos de Circuitos Eléctricos (Alexander y Sadiku)

Capítulo 15 y 16


Capítulo 2 y 5


Capítulo 2

TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

TEOREMA DESCRIPCIÓN

Definición

Linealidad

Linealidad

Corrimiento de frecuencia

Corrimiento de tiempo

Cambio de escala 1

Diferenciación 0

Diferenciación 0 0

Diferenciación 0

Integración

Valor final ∞ lim→

Valor inicial 0 lim→


TRANSFORMADAS BÁSICAS DE LAPLACE

1

1

1

!

1

!

Utiliza las transformadas de Laplace básicas y sus propiedades para obtener la transformada unilateral de Laplace de la siguiente señal.

Primero identificamos el teorema que nos podría servir, en este caso será el de diferenciación:

0

El teorema nos pide obtener F(s), que es la transformada de Laplace de nuestra f(t), por lo que pasamos a identificar nuestra f(t), en este caso es:

Buscamos su transformada básica, que sería:

→ !

Al realizarla tendríamos

11

La otra forma que nos falta es f(0-), que sería:

0 0 0

Sustituyendo en la forma inicial tendríamos que:

0 ∙11

0 1

Siendo la respuesta final:

1

TRANSFORMADA DE LAPLACE 2.2


∗ 2 El signo * en la señal nos indica que desea que hagamos una Convolución, sin embargo, si hacemos la transformada de Laplace de las partes, la Convolución se limita a un simple producto, es decir:

∗ ∙ Separando las partes y encontramos su transformada básica, tenemos:

→ 1

2 → 4

Si volvemos a la forma original y sustituimos las partes, podemos obtener la transformada final.

∙ 1 ∙

4

4

1 4


Usamos la forma básica:

!

→3! 3!

3!


1 ∗ 1

El signo * en la señal nos indica que desea que hagamos una Convolución, sin embargo, si hacemos la transformada de Laplace de las partes, la Convolución se limita a un simple producto, es decir:

∗ ∙ Separando las partes y encontramos su transformada básica, que en este caso usaremos también el teorema del corrimiento en el tiempo:

1 Podemos separar la forma general en dos partes, tenemos

Para la señal dada T = 1 y F(s) la obtenemos de la f(t) , sin corrimiento

→ → 1

Haciendo el producto para obtener la forma final:

∙1

1

En este caso usaremos un corrimiento en la frecuencia, con un corrimiento en el tiempo, es decir, los siguientes teoremas:

Vemos que el corrimiento en frecuencia nos pide que calculemos la F(s) y añadamos el valor de a con signo contrario, para el cálculo correcto de F(s) debemos usar el teorema del corrimiento en el tiempo, por lo que empezaremos por ahí.

→ 1 →

Una vez obtenido F(s) pasamos a sustituir el valor de s por s+ a:

Tenemos ahora

Y dado que:

∗ ∙ → ∙

∙


2

Es evidente que se usara el teorema de integración, pero además necesitaremos del teorema de corrimiento en frecuencia, es decir:

Vemos que el corrimiento en frecuencia nos pide que calculemos la F(s) y añadamos el valor de a con signo contrario, para el cálculo correcto de F(s) debemos usar el teorema de integración, por lo que empezaremos por ahí.

1

Para encontrar F(s), necesitamos la forma básica de la transformada de Laplace del coseno.

cos →

De nuestra señal vemos que f(t) corresponde a:

2 → 4

Completamos la forma de la integración:

1

1∙

414

Para aplicar el teorema de corrimiento en frecuencia añadimos el valor de a, es este caso -3, con signo contrario, es decir:

→13 4

Esa sería la transformada total:

13 4


Esta forma corresponde a la siguiente transformada básica:

→

Esta forma nos pide que calculemos F(s), que se obtiene de f(t), y que derivemos respecto a s anteponiendo un signo -, empezamos calculado F(s):

Para encontrar esta F(s) tendremos que usar el teorema del corrimiento en frecuencia y del teorema de diferenciación.

0

Vemos que el corrimiento en frecuencia nos pide que calculemos la F(s) y añadamos el valor de “a” con signo contrario, para el cálculo correcto de F(s) debemos usar el teorema de diferenciación, por lo que empezaremos por ahí.

→ 0

Necesitamos calcular primero la F(s) correspondiente a esta parte, que sería la transformada de Cos(t), multiplicarla por “s” y restar el valor inicial de f(t).

→1

→ 1

0 0 1

La forma completa quedaría como:

1

1

Una vez obtenido esta forma añadimos el valor de “a”, en este caso -1, con signo contrario, es decir:

→1

1 11

Completamos nuestra forma inicial

→

→ 1

1 1

Esta sería nuestra transformada final:

11 1

Se tiene la siguiente representación en Laplace:

610 23 14

Primero debemos obtener el denominador en factores, si es que no nos lo dan de esa manera, en este caso el denominador no está en factores, por lo cual procedemos a sacar las raíces.

10 23 14 → 1, 2, 7

Teniendo las raíces pasamos a representar nuestra función en factores, de la siguiente manera:

61 2 7

a) Una vez hecho esto, debemos identificar a que caso corresponde este ejemplo, vemos que las raíces son reales y no se repiten, por lo cual concluimos que pertenecen al CASO 1, que se puede resolver de 2 maneras, una es la algebraica y otros por residuo, se mostraran las 2 manetas a continuación.

Método del residuo

Tomamos la expresión previa Ec. 1.1 y la separamos en fracciones parciales de la siguiente manera.

61 2 7 1 2 7

Para encontrar el valor de A:

Recordamos primero la raíz del denominador de la expresión de A, en este caso -1, se iguala la expresión de F(s) con la expresión de A:

61 2 7 1

Se multiplican ambos extremos por el denominador de A, y se escribe el resultado:

6

2 7

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 2.3

Ec. 1.1

Ec. 1.0

Se encuentra el valor de A, sustituyendo s por el valor de la raíz del denominador de la expresión inicial que contiene A, es decir el -1.

6

2 7, 1

1 61 2 1 7

51 6

56

0.8333

Para encontrar el valor de B:

Recordamos primero la raíz del denominador de la expresión de B, en este caso -2, se iguala la expresión de F(s) Ec. 1.1 con la expresión de B:

61 2 7 2

Se multiplican ambos extremos por el denominador de B, y se escribe el resultado:

6

1 7

Se encuentra el valor de B, sustituyendo s por el valor de la raíz del denominador de la expresión inicial que contiene B, es decir el -2.

6

1 7, 2

2 62 1 2 7

41 5

45

0.8

Para encontrar el valor de C:

Recordamos primero la raíz del denominador de la expresión de C, en este caso -7, se iguala la expresión de F(s) Ec. 1.1 con la expresión de C:

61 2 7 7

Se multiplican ambos extremos por el denominador de C, y se escribe el resultado:

6

1 2

Se encuentra el valor de C, sustituyendo s por el valor de la raíz del denominador de la expresión inicial que contiene C, es decir el -7.

6

1 2, 7

7 67 1 7 2

16 5

130

0.0333

Método Algebraico


61 2 7 1 2 7

Multiplicamos ambos lados por el denominador de la expresión F(s), y escribimos el resultado:

6 2 7 1 7 1 2

Ahora multiplicamos todas las expresiones y simplificamos lo más que podamos.

6 9 14 8 7 3 2

Procedemos a separar los términos de ambos lados según su grado en relación a “s” e igualamos ambos lados, es decir, los términos independientes de la derecha, con lo términos independientes de la izquierda, los términos de primer grado de la derecha con los términos de primer grado de la izquierda y así sucesivamente, escribimos el resultado:

6 14 7 2 →

1 9 8 3 →

0 →

Resolvemos el sistema de ecuaciones, por cualquier método y obtenemos:

0.83333, 0.8 0.03333

b) Una vez que se obtiene los valores de A, B y C por el método que sea, se procede a acomodar en las fracciones parciales los valores.

1 2 70.8333

10.82

0.03337

Ec. 1.2

Hasta este punto los procedimientos realizados tienen la única finalidad de representar la función F(s) de una forma más sencilla, de tal manera que sus componentes tengan una transformada inversa básica, para poder realizar dicha transforma inversa utilizaremos el teorema básico de linealidad y una transformada básica:

→1

Del teorema de linealidad notamos que si se multiplica una función por un escalar, la transformada final será la transformada de la función multiplicada por ese mismo escalar, por lo tanto, podemos representar nuestras funciones de “s” como multiplicaciones por un escalar, de la siguiente manera

0.83331

0.82

0.03337

0.833311

0.812

0.033317

Notamos ahora que nuestras expresiones tienen la forma , por lo que solo nos falta realizar esa transformada básica sustituyendo el valor de “a” según corresponda.

0.833311→ 0.8333

0.812→ 0.8

0.033317→ 0.0333

Terminaos escribiendo todo en una solo expresión:

0.8333 0.8 0.0333

Ec. 1.3


312


2 → 0, 1,2


311 2

a) Una vez hecho esto, debemos identificar a que caso corresponde este ejemplo, vemos que las raíces son reales y no se repiten, por lo cual concluimos que pertenecen al CASO 1, que se puede resolver de 2 maneras, una es la algebraica y otros por residuo, se mostraran las 2 maneras a continuación.

Método del residuo

Tomamos la expresión previa y la separamos en fracciones parciales de la siguiente manera.

311 2 1 2


Recordamos primero la raíz del denominador de la expresión de A, en este caso 0, se iguala la expresión de F(s) Ec. 2.1 con la expresión de A:

311 2


311 2

Se encuentra el valor de A, sustituyendo s por el valor de la raíz del denominador de la expresión inicial que contiene A, es decir el 0.

311 2

, 0

310 1 0 2

31

1 2312

15.5

Ec. 2.0

Ec. 2.1

Para encontrar el valor de B:

Recordamos primero la raíz del denominador de la expresión de B, en este caso -1, se iguala la expresión de F(s) Ec. 2.1 con la expresión de B:

311 2 1

Se multiplican ambos extremos por el denominador de B, y se escribe el resultado:

31

2

Se encuentra el valor de B, sustituyendo s por el valor de la raíz del denominador de la expresión inicial que contiene B, es decir el -1.

31

2, 1

311 1 2

,311 3

313

10.3333

Para encontrar el valor de C:

Recordamos primero la raíz del denominador de la expresión de C, en este caso 2, se iguala la expresión de F(s) Ec. 2.1 con la expresión de C:

311 2 2

Se multiplican ambos extremos por el denominador de C, y se escribe el resultado:

31

1

Se encuentra el valor de C, sustituyendo s por el valor de la raíz del denominador de la expresión inicial que contiene C, es decir el 2.

31

1, 2

312 2 1

312 3

316

5.16667

Método Algebraico


311 2 1 2


31 1 2 2 1


31 2 2


31 2 0 0 →

0 2 →

0 →


15.5, 10.3333 5.16667


1 2

15.5 10.3331

5.16672

Hasta este punto los procedimientos realizados tienen la única finalidad de representar la función F(s) de una forma más sencilla, de tal manera que sus componentes tengan una transformada inversa básica, para poder realizar dicha transforma inversa utilizaremos el teorema básico de linealidad y una transformada básica:

Ec. 2.2

→1

Del teorema de linealidad notamos que si se multiplica una función por un escalar, la transformada final será la transformada de la función multiplicada por ese mismo escalar, por lo tanto, podemos representar nuestras funciones de “s”, Ec 2.2 como multiplicaciones por un escalar, de la siguiente manera

15.5 10.3331

5.16672

15.51

10.33311

5.166712

Notamos ahora que nuestras expresiones tienen la forma o de la

forma , por lo que solo nos falta realizar esa transformada básica sustituyendo el valor de “a” según corresponda.

15.51→ 15.5

10.33311→ 10.333

5.166712→ 5.1667


15.5 10.333 5.1667

Ec. 2.3


117 91 147


17 91 147 → 3, 7, 7


13 7 7

13 7

a) Una vez hecho esto, debemos identificar a que caso corresponde este ejemplo, vemos que las raíces son reales y se repiten, por lo cual concluimos que pertenecen al CASO 2, que se puede resolver de 2 maneras, una es la algebraica y otros por residuo, se mostraran las 2 manetas a continuación.

Método del residuo

Tomamos la expresión previa y la separamos en fracciones parciales, las raíces repetidas se escriben desde el grado más alto hasta el grado 1, de la siguiente manera.

13 7 3 7 7


Como A pertenece a la expresión de una raíz no repetida, podemos hacer el procedimiento normal, recordamos primero la raíz del denominador de la expresión de A, en este caso -3, se iguala la expresión de F(s) Ec. 2.1 con la expresión de A:

13 7 3


17

Se encuentra el valor de A, sustituyendo s por el valor de la raíz del denominador de la expresión inicial que contiene A, es decir el -3.

17

, 3

Ec. 3.0

Ec. 3.1

3 13 7

24

18

0.125

Para encontrar los valores de B (los elementos de las raíces repetidas):

Como B es parte de las raíces repetidas, debemos tener en cuenta la siguiente ecuación:

11 !

, , 1,2…

Iniciemos con definir la función , la cual se obtiene igualando F(s) Ec. 2.1 a la expresión de B con mayor grado:

13 7 7

Multiplicamos ambos lados por el denominador de B, y lo que se obtenga será

13

Ahora, recordemos el valor de la raíz repetida, en esta casi -7, y si volvemos a la ecuación general EG. 1.0 para encontrar valores de K, vemos que nos pide sustituir “i”, por el valor del subíndice de la incógnita a encontrar, empezando con , la ecuación quedaría como:

11 1 !

, 7

Simplificamos:

10!

, 7

11

, 7

, 7

Sustituimos la ecuación

13, 7

7 17 3

64

1.5

Para encontrar B2, sustituimos “i” por el subíndice 2

EG. 1.0

12 1 !

, 7

Simplificamos

11 !

, 7

11

, 7

, 7

Sustituimos

13, 7

Realizamos la derivada y sustituimos

23

, 7

27 3

18

0.125

Método Algebraico

Tomamos la primera expresión Ec. 3.1 y la separamos en fracciones parciales, las raíces repetidas se escriben desde el grado más alto hasta el grado 1, de la siguiente manera.

13 7 3 7 7


1 7 3 3 7


1 14 49 3 10 21

Procedemos a separar los términos de ambos lados según su grado en relación a “s” e igualamos ambos lados, es decir, los términos independientes de la derecha, con lo términos independientes de la izquierda, los términos de primer grado de la derecha con los términos

de primer grado de la izquierda y así sucesivamente, escribimos el resultado:

1 49 3 21 →

1 14 10 →

0 →


0.125, 1.5 0.125


13 7

0.1253

1.57

0.1257

Hasta este punto los procedimientos realizados tienen la única finalidad de representar la función F(s) Ec. 3.0 de una forma más sencilla, de tal manera que sus componentes tengan una transformada inversa básica, para poder realizar dicha transforma inversa utilizaremos el teorema básico de linealidad y dos transformada básicas:

→1

→!

Del teorema de linealidad notamos que si se multiplica una función por un escalar, la transformada final será la transformada de la función multiplicada por ese mismo escalar, por lo tanto, podemos representar nuestras funciones de “s”, Ec. 3.2 como multiplicaciones por un escalar, de la siguiente manera

0.1253

1.57

0.1257

0.12513

1.517

0.12517

Notamos ahora que nuestras expresiones tienen la forma o la

forma ! , por lo que solo nos falta realizar esa transformada

básica sustituyendo el valor de “a” según corresponda.

Ec. 3.2

0.12513→ 0.125

1.517

→ 1.5

0.12517→ 0.125


0.125 1.5 0.125

Ec. 3.3


43 3 3

43

Primero debemos obtener el denominador en factores, si es que no nos lo dan de esa manera, en este caso el denominador ya está en factores.

c) Una vez hecho esto, debemos identificar a que caso corresponde este ejemplo, vemos que las raíces son reales y se repiten, por lo cual concluimos que pertenecen al CASO 2, que se puede resolver de 2 maneras, una es la algebraica y otros por residuo, se mostraran las 2 manetas a continuación.

Método del residuo

Tomamos la expresión previa Ec. 4.0 y la separamos en fracciones parciales, las raíces repetidas se escriben desde el grado más alto hasta el grado 1, de la siguiente manera.

43 3 3

43 3 3 3

Para encontrar los valores de A (los elementos de las raíces repetidas):

Como A es parte de las raíces repetidas, debemos tener en cuenta la siguiente ecuación:

11 !

, , 1,2…

Iniciemos con definir la función , la cual se obtiene igualando F(s) Ec. 4.0 a la expresión de A con mayor grado:

43 3

Multiplicamos ambos lados por el denominador de A, y lo que se obtenga será

4

Ahora, recordemos el valor de la raíz repetida, en esta caso -3, y si volvemos a la ecuación general EG. 1.0 para encontrar valores de K, vemos que nos pide sustituir “i”, por el valor del subíndice de la incógnita a encontrar, empezando con , la ecuación quedaría como:

Ec. 4.0

EG. 1.0

11 1 !

, 3

Simplificamos:

10!

, 3

11

, 3

, 3

Sustituimos la ecuación

4, 3

3 4 13

Para encontrar A2 sustituimos i en la EG. 1.0 por 2.

12 1 !

, 3

Simplificamos

11 !

, 3

11

, 3

, 3

Sustituimos

4, 3


2 , 3

2 ∗ 3 6

Para encontrar A3 seguimos el mismo procedimiento

13 1 !

, 3

Simplificamos

12 !

, 3

12

, 3

Sustituimos

12

4, 3


12∗ 2, 3

12∗ 2 1

Método Algebraico

Tomamos la primera expresión Ec. 4.0 y la separamos en fracciones parciales, las raíces repetidas se escriben desde el grado más alto hasta el grado 1, de la siguiente manera.

43 3 3 3


4 3 3


4 3 6 9


4 3 9 →

0 6 →

1 →


13, 6 1

d) Una vez que se obtiene los valores de A, B y C por el método que sea, se procede a acomodar en las fracciones parciales los valores.

43

133

63

13

Hasta este punto los procedimientos realizados tienen la única finalidad de representar la función F(s) Ec. 4.0 de una forma más sencilla, de tal manera que sus componentes tengan una transformada inversa básica, para poder realizar dicha transforma inversa utilizaremos el teorema básico de linealidad y dos transformada básicas:

→1

→!

Del teorema de linealidad notamos que si se multiplica una función por un escalar, la transformada final será la transformada de la función multiplicada por ese mismo escalar, por lo tanto, podemos representar nuestras funciones de “s” como multiplicaciones por un escalar, de la siguiente manera

133

63

13

6.523

613

13

Notamos ahora que nuestras expresiones tienen la forma o la

forma ! , por lo que solo nos falta realizar esa transformada

básica sustituyendo el valor de “a” según corresponda.

6.523

→ 6.5

613

→ 6

13→


6.5 6

Ec. 4.1

Ec. 4.2


203 8 25


a) Una vez hecho esto, debemos identificar a que caso corresponde este ejemplo, vemos que tiene una raíz real, y una raíz compleja conjugada, por lo cual pertenece al caso 3, la manera de resolver esta es una combinación de residuo, método algebraico y la técnica de completar el cuadrado

Método de solución

Tomamos la expresión previa Ec. 5.0 y la separamos en fracciones parciales, la parte que tiene raíces complejas conjugadas se representa de la siguiente manera:

203 8 25 3 8 25

Encontramos primero los valores de los numeradores de las raíces reales, utilizamos el método del residuo:

203 8 25 3

Multiplicamos por el denominador de A y escribimos

208 25

, 3

20

3 8 3 252

Para encontrar los valores de B pasamos a utilizar el método algebraico, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador de F(s) Ec. 2.0 y escribimos:

203 8 25 3 8 25

Ec. 5.0


20 8 25 3

20 8 25 3 3

Procedemos a separar los términos de ambos lados según su grado en relación a “s” e igualamos ambos lados, es decir, los términos independientes de la derecha, con los términos independientes de la izquierda, los términos de primer grado de la derecha con los términos de primer grado de la izquierda y así sucesivamente, escribimos el resultado:

20 25 3 →

0 8 3 →

0 →

Se puede aplicar cualquier procedimiento para resolver el sistema de ecuaciones o podemos simplemente despejar tomando que ya tenemos el valor de A. Finalizamos escribiendo el resultado.

2, 2 10

b) Una vez que se obtiene los valores por el método que sea, se procede a acomodar en las fracciones parciales los valores.

203 8 25

23

2 108 25

Ya que tenemos las expresiones con valores, vamos a trabajar la parte de las raíces complejas conjugadas por un método que se conoce como “completa el cuadrado”, esto para expresar la parte de las raíces complejas conjugadas en una forma sencilla de anti transformar.

Para completar el cuadrado hay que saber que la forma general

0

Se puede representar de la forma

0

Donde

Ec. 5.1

2

4

Teniendo en cuenta esto, tomamos el denominador de las raíces complejas conjugadas y completamos el cuadrado de esa expresión:

8 25

82 ∗ 1

4

2584 ∗ 1

25 16 9

8 25 → 4 9

Ahora pasamos a separar en 2 partes la expresión original Ec. 5.1 y sustituir por el cuadrado completo Ec. 5.1, el numerador de esas 2 partes se escribe como se muestra a continuación:

4 9

23

2 108 25

23

2 44 9

24 9

Ahora usando las siguientes transformadas básicas podemos hacer la transformada inversa de manera sencilla.

→1

→

cos →

Del teorema de linealidad notamos que si se multiplica una función por un escalar, la transformada final será la transformada de la función multiplicada por ese mismo escalar, por lo tanto, podemos representar nuestras funciones de “s” como multiplicaciones por un escalar y procurando que tengan la forma necesario de la anti transformada básica, de la siguiente manera

23

2 44 9

24 9

213

24

4 923

34 9

2 ∗ 4 8

10 8 2

Ec. 5.2

Solo nos falta realizar esa transformada básica

213→ 2

24

4 9→ 2 cos 3

23

34 9

→ 23

3


2 2 cos 323

3

Ec. 5.3


34 1


a) Una vez hecho esto, debemos identificar a que caso corresponde este ejemplo, vemos que tiene una raíz real, y una raíz compleja conjugada, por lo que pertenece al CASO 3, la manera de resolver esta es una combinación de residuo, método algebraico y la técnica de completar el cuadrado

Método de solución

Tomamos la expresión previa Ec. 6.0 y la separamos en fracciones parciales, la parte que tiene raíces complejas conjugadas se representa de la siguiente manera:

34 1 4 1

Encontramos primero los valores de los numeradores de las raíces reales, utilizamos el método del residuo:

34 1 4

Multiplicamos por el denominador de A y escribimos

31, 4

3

4 4 1313

Para encontrar los valores de B pasamos a utilizar el método algebraico, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador de F(s) Ec. 6.0 y escribimos:

34 1 4 1


3 1 4

Ec. 6.0

3 4 4

Procedemos a separar los términos de ambos lados según su grado en relación a “s” e igualamos ambos lados, es decir, los términos independientes de la derecha, con los términos independientes de la izquierda, los términos de primer grado de la derecha con los términos de primer grado de la izquierda y así sucesivamente, escribimos el resultado:

3 4 →

0 4 →

0 →

Se puede aplicar cualquier procedimiento para resolver el sistema de ecuaciones o podemos simplemente despejar tomando que ya tenemos el valor de A. Finalizamos escribiendo el resultado.

313

,313

913

b) Una vez que se obtiene los valores por el método que sea, se procede a acomodar en las fracciones parciales los valores.

34 1

313

14

313

9131

Ya que tenemos las expresiones con valores, vamos a trabajar la parte de las raíces complejas conjugadas por un método que se conoce como “completa el cuadrado”, esto para expresar la parte de las raíces complejas conjugadas en una forma sencilla de anti transformar.

Para completar el cuadrado hay que saber que la forma general

0

Se puede representar de la forma

0

Donde

2

4

Teniendo en cuenta esto, tomamos el denominador de las raíces complejas conjugadas y completamos el cuadrado de esa expresión:

1

Ec. 6.1

12 ∗ 1

12

114 ∗ 1

114

34

1 →12

34

Ahora pasamos a separar en 2 partes la expresión original Ec. 6.1 y sustituir por el cuadrado completo Ec. 6.2, el numerador de esas 2 partes se escribe como se muestra a continuación:

12

34

313

14

313

9131

313

14

313

12

12

34

2116

1

12

34

Ahora usando las siguientes transformadas básicas podemos hacer la transformada inversa de manera sencilla.

→1

→

cos →

Del teorema de linealidad notamos que si se multiplica una función por un escalar, la transformada final será la transformada de la función multiplicada por ese mismo escalar, por lo tanto, podemos representar nuestras funciones de “s” como multiplicaciones por un escalar y procurando que tengan la forma necesario de la anti transformada básica, de la siguiente manera

313

∗12

326

913

326

2126

313

14

313

12

12

34

1516

1

12

34

313

14

313

12

12

34

1516

∗2

√3

√3212

34

Solo nos falta realizar esa transformada básica

313

14→

313

313

12

12

34

→ 313

cos√32

1516

∗2

√3

√3212

34

→ 1516

∗2

√3√32


313

313

cos√32

1516

∗2

√3√32

Ec. 6.3

Encuentra las funciones de transferencia del circuito que se muestra

Sistemas Eléctricos

Componente Voltaje Corriente Impedancia Admitancia

1

1

1

1

1

1

SISTEMAS ELÉCTRICOS 2.4

2 3

1Ω 12

1 2

Podemos ver que tenemos dos mallas, y que dada la imagen, la función de transferencia que nos piden es , pasamos ahora a

escribir las ecuaciones de cada malla.

Malla 1:

2 0

Malla 2:

3 2 0

Pasamos a Laplace con ayuda de nuestra tabla:

Malla 1:

2 0

Malla 2:

32

0

Despejamos respecto al voltaje y sacamos factor común en relación a las corrientes:

Malla 1:

2 1

Malla 2:

0 32

1

Es recomendable usar la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones, procedemos a representarlo en una matriz.

2 1 1

1 32

1 0

Calculamos primeramente el determinante:

|∆| 2 1 32

1 1

Ahora debemos ver de cual corriente vamos a encontrar la expresión, para esto debemos expresar el Laplace el voltaje del elemento señalado en la imagen.

3 → 3

Notamos que esta respecto a , por lo que es más conveniente encontrar esa expresión.

2 11 0

Δ

Sabemos que:

Δ|∆|

Sustituimos:

Δ|∆|

2 1 3

21 1

2 1 3

21 1

Despejamos de la ecuación de voltaje de salida:

3 → 3

Sustituimos:

32 1 3

21 1

32 1 3

21 1

Despejaos para obtener la expresión solicitada por el ejercicio:

3

2 1 32

1 1

Encuentra las funciones de transferencia del circuito que se muestra

1

1 1

1Ω 1Ω

Podemos ver que tenemos tres mallas, y que dada la imagen, la función de transferencia que nos piden es , en este caso es más

recomendable hacer un análisis nodal, llamaremos a los nodos marcados de izquierda a derecha como a, b y c, recordemos que corriente es igual a voltaje entre impedancia, las expresiones serán más fáciles si escribimos en Laplace desde el principio.

Nodo A:

El voltaje en el nodo A es por lo tanto:

→

Nodo B:

Suponemos todas las corrientes saliendo del nodo

0

0

1

1

Nodo C:

Suponemos todas las corrientes saliendo del nodo

0

0

1

Trabajamos las expresiones del nodo B y C para despejar y dejar en factor común de los demás voltajes:

Nodo B:

21

Nodo C:

2

Sustituimos por

Nodo B:

21

Nodo C:

2


21

1

2


|∆|5 2

Vemos que el voltaje de interés es igual a sabemos que:

∆|∆|

Calculamos:

21

∆ 21

Sustituimos:

∆|∆|

21

5 2

21

5 2

Sustituimos por :

21

5 2

Despejamos para obtener la forma requerida por el ejercicio:

21

5 2

Simplificamos:

2 15 2

Sistemas Mecánicos

Componente Fuerza - Velocidad

Fuerza - Desplazamiento Impedancia

NOTA: Puede escribirse como B, para evitar confusiones con

SISTEMAS MECÁNICOS 2.5

Encuentra las siguientes funciones de transferencia:

Veremos el movimiento desde la masa 1, pasamos a escribir las ecuaciones de ambas masas, tomando en cuenta que la distancia de compresión del resorte y el amortiguador es igual de la diferencia de Y1 menos Y2.

Masa 1:

Masa 2:

Con ayuda de nuestra tabla, transformamos a Laplace:

Masa 1:

Masa 2:

Expandimos las ecuaciones:

Masa 1:

Masa 2:

Despejamos igualando a F(s) y vamos agrupando en relaciones a las distancias:

Masa 1:

Masa 2:

0

Sacamos factor común respecto a las distancias:

Masa 1:

Masa 2:

0


0


|∆|

Sabemos que:

∆|∆|

∆|∆|

Calculamos ∆ usando la regla de Cramer:

0

∆

∆|∆|

Pasamos F(s) del otro lado de la igualdad para obtener la forma de la función de transferencia deseada.


0

∆

∆|∆|


Veremos el movimiento desde la masa, pasamos a escribir las ecuaciones de la masa y del punto de interes, tomando en cuenta que la distancia de compresión del amortiguador es igual de la diferencia de Y1 menos Y2.

Masa:

Punto de interés:

0

Con ayuda de nuestra tabla, transformamos a Laplace:

Masa:

Punto de interés:

0

Despejamos igualando a F(s) y vamos agrupando en relaciones a las distancias:

Masa:

Punto de interés:

0

Sacamos factor común respecto a las distancias:

Masa:

Punto de interés:

0


0


|∆|

Sabemos que:

∆|∆|

∆|∆|


0

∆

∆|∆|



0

∆

∆|∆|


Veremos la rotación desde J, pasamos a escribir la ecuación, tomando en cuenta que solo tenemos un ángulo de giro.

J:

Con ayuda de nuestra tabla pasamos a Laplace:

Despejamos respecto T(s):

Sacamos factor común respecto del ángulo.

Despejamos para obtener la función de transferencia deseada.

→

→1

1


Veremos la rotación desde J, pasamos a escribir las ecuaciones de los 2 puntos de interés, tomando en cuenta que el ángulo de giro del eje flexible con una K, será igual a la diferencia de

menos .

Punto de interés 1:


0




0

Reagrupamos y sacamos factor común respecto a los ángulos:



0


0


|∆|

Sabemos que:

∆|∆|

∆|∆|


0

∆

∆|∆|

Pasamos T(s) del otro lado de la igualdad para obtener la forma de la función de transferencia deseada.


0

∆

∆|∆|


Encuentra las siguientes funciones de transferencia

Veremos la rotación desde J1, pasamos a escribir las ecuaciones de los 2 puntos de interés, tomando en cuenta que el ángulo de giro del eje flexible con una K, será igual a la diferencia de

menos .









0


0


|∆|

Sabemos que:

∆|∆|

∆|∆|


0

∆

∆|∆|



0

∆

∆|∆|


Veremos la rotación desde Jm, pasamos a escribir las ecuaciones de los 3 puntos de interés, tomando en cuenta que el ángulo de giro del eje flexible con una K1, será igual a la diferencia de

menos y que el ángulo de giro del eje flexible con una K2, será igual a la diferencia de

menos











0


0


0

0

0

0


Sabemos que:

∆|∆|

∆|∆|


0 0

0

∆

∆|∆|

|∆|

|∆|


|∆|


0

0 0

|∆|

∆

∆|∆|

|∆|

|∆|


|∆|


1

1 1

1 /

1 /

1 /

1 /

1 /

1

1

1

Veremos el movimiento desde la masa 1, pasamos a escribir las ecuaciones de las 3 masas, tomando en cuenta que las diferencias de distancias.

Masa 1:

1 1 1

Masa 2:

1 1 1

Masa 3:

1 1


Masa 1:

Masa 2:

Masa 3:

Despejamos respecto a F(s) y sacamos factor común en relación a las distancias:

Masa 1:

0 1

Masa 2:

2

Masa 3:

0 1


1 1 01 20 1

0

0


Sabemos que:

∆|∆|


1 0 010 0 1

∆ 1

∆|∆|

1

|∆|

1

|∆|


1

|∆|

|∆| 1 2 1 1 1


Dada la imagen y la función de transferencia solicitada vemos que necesitamos encontrar , y . Pasemos primero a escribir las ecuaciones de cada línea:

Primeria línea:

Segunda línea:

Tercera línea:

Pasamos a Laplace:

Primeria línea:

Segunda línea:

Tercera línea:

2

1

16

4

12

4

16

1 ⁄

2 ⁄

32 ⁄

64 ⁄

Buscamos las relaciones entre ángulos, engranes y torque y despejamos recordando que necesitamos dejar todo en términos de

y :

→

→

→

→

Sustituimos en las ecuaciones iniciales:

Primeria línea:

Segunda línea:

Tercera línea:

Sacamos factor común en relación a los ángulos y despejamos :

Primeria línea:

Segunda línea:

Tercera línea:

Sabemos que:

1

Por lo que solo falta determinar los valores de , y :

Sustituimos los valores:

2124

1412

16416

412

203

1124

2412

36416

412

5312

64416

412

43

Sustituimos para obtener la ecuación final:

203

5312

43

1203

5312

43

Ecuaciones

MOTORES 2.6

Encuentre la siguiente función de transferencia:

En este caso vemos que nuestro sistema de motor esta acoplado a uno rotacional, por lo que el valor de y se calcularan buscando el y del sistema. Iniciemos entonces encontrando estos valores.

Primeria línea:

Segunda línea:

Pasamos a Laplace:

2 /

5

100

700

800 / 1000

Primeria línea:

Segunda línea:

Buscamos las relaciones entre ángulos, engranes y torque:

Despejamos respecto a y :

Sustituimos en las ecuaciones iniciales:

Primeria línea:

Segunda línea:

Despejamos y unimos las ecuaciones sacando como factor común.

Primeria línea:

Segunda línea:

Calculamos y :

100, 1000, 5, 700, 2, 800

5 7001001000

12

2 8001001000

10

Sustituimos por y :

12

10

Ahora analizamos la gráfica de torque-velocidad:

500100

5

10050

2

Ahora sustituimos en la ecuación principal:

1

512

112 10 5 2

0.04171.667

Donde:

ñ ñ ñ

Ecuaciones:

SISTEMAS DEL NIVEL DE LÍQUIDO 2.7


En este caso es un sistema de nivel de líquido con interacción, por lo cual tendremos más de una ecuación, a continuación escribimos las ecuaciones para el tanque 1 y el tanque 2:

Tanque 1:

Tanque 2:

Pasamos a Laplace:

Tanque 1:

Tanque 2:

Para estos sistemas es preferible hacer una sustitución para encontrar la función de transferencia deseada, empezamos con :

→

→

Sustituimos :

→

Sacamos como factor común:

→ 1

Despejamos :

→

Sustituimos

→ 1

Sustituimos :

1 →1

Sacamos como factor común:

1 → 1

Sustituimos en una ecuación que contenga los elementos que tenemos despejados:

Despejamos :

1 1

→ 1 1

1 1

Despejamos para obtener la forma requerida y simplificamos:

11 1

11

Para podemos aprovechar ecuaciones que ya despejamos del

ejemplo anterior, empecemos con:

1

1

1 1

Tomamos la ecuación:

Sustituimos y

1 1 11

Despejamos

11

1 1

Dejamos de la forma requerida por el ejercicio:

1

11

1 1


En este caso es un sistema de nivel de líquido con interacción, por lo cual tendremos más de una ecuación, a continuación escribimos las ecuaciones para el tanque 1 y el tanque 2:

Tanque 1:

Tanque 2:

Pasamos a Laplace:

Tanque 1:

Tanque 2:

Para estos sistemas es preferible hacer una sustitución para encontrar la función de transferencia deseada, empezamos con :

Despejamos :

→

Despejamos :

→

Tomamos la siguiente ecuación, despejamos y sustituimos y :

→

→

Despejamos :

1

Despejamos :

11

Tomamos la siguiente ecuación y sustituimos y :

11

Despejamos :

11

Sacamos como factor común y acomodamos de la forma requerida por el ejercicio:

11 1

11

1 1

Para podemos aprovechar ecuaciones que ya despejamos del

ejemplo anterior, empecemos con:

11

Teniendo estas dos, sustituimos la primera en la segunda:

11

1

Despejamos y sacamos como factor común:

11

1

Despejamos para obtener la forma requerida por el ejercicio:

1

11

1

Encuentre la función de transferencia:

/

De la siguiente red eléctrica, que contiene un resistor no lineal, cuya relación voltaje-corriente está definida por:

2 .

Vamos a utilizar la ley de voltajes de Kirchhoff para sumar los voltajes de la malla, vamos a despejar el voltaje de la ecuación de la resistencia:

2 .

2.

LINEALIZACIÒN DE MODELOS MATEMÁTICOS NO

LINEALES

2.8

1

20

1012

Ahora podemos pasar a escribir la ecuación:

1012

20

A continuación pasamos a analizar la corriente en estado estacionario, es decir, hacemos 0, haciéndolo cero, el circuito solo estaría formado por el batería de 20V, el inductor y el resistor no lineal, en estado inicial el voltaje de la batería es 20V, ya que es una constante, el voltaje en el inductor es cero, ya que:

0 0

Tomando en cuenta la batería, voltaje entre los extremos del resistor no lineal es de 20V, con su ecuación de comportamiento tenemos que:

2 .

2 . ∗

14.7781

Esta es la corriente en estado estacionario de la red, por lo tanto la nombraremos

14.7781

Sustituimos por lo tanto de la red por:

Sustituimos en la ecuación de la red y tendríamos:

1012

20

Usamos la ecuación para Linealizaciòn:

12

12

12 1 1

Es decir:

12 2

1

Reincorporamos a la ecuación de la red:

102

120

Sabemos que 1 y que 14.78, la función quedaría como:

1014.782

101

14.7820

20 0.676 20

0.676

Pasamos a realizar la transformada de Laplace en estado inicial cero, y despejamos .

0.676

0.676

0.676

Recordemos que el voltaje entre los terminales del inductor en el estado estacionario es:

Hacemos su transformada de Laplace, recordando que 1.

Sabemos que:

0.676

Sustituimos:

0.676

Despejamos para obtener la forma de nuestra función requerida:

0.676

0.676

Retroalimentación:

1

Movimiento a la izquierda de un punto de adición:

DIAGRAMAS DE BLOQUES 2.9

∓

∓

Movimiento a la derecha de un punto de adición:

Para solucionar casos que no se parezcan a los anteriores, o que se vean más complicados, recomiendo solucionarlos haciendo ecuaciones y viendo que el resultado sea igual.

∓

∓

∓

1/

Dado el siguiente sistema, busca su equivalencia para tener un sistema con retroalimentación unitaria.

Una manera rápida de agregar una retroalimentación unitaria es agregando junto con ella una retro con un -1, de esta manera se conserve la igualdad.

Puede pensar en esto como el mismo que tiene sumar un cero a una expresión, no la afectamos en nada, sin embargo ahora podemos trabajar con ella para tener una retroalimentación unitaria, lo cual simplificara futuros cálculos.

1

Unimos las dos retroalimentaciones no unitarias en una sola:

Cerramos la retroalimentación que no es unitaria y al final tenemos el sistema deseado:

1 1

1

1

1

Reduce el siguiente sistema:

Lo primero sería combinar con y y podemos ver que tiene una retroalimentación unitaria que podemos simplificar.

Ahora pasamos a después de , para que no se afecte lo que llega al segundo punto de suma simplemente dividimos por

, así nos quedara un sistema con retroalimentaciones que podemos simplificar.

1⁄

Podemos agrupas con realizando la retroalimentación y agrupar el segundo punto de suma.

Ahora solo unimos los elementos, y hacemos la retro con :

1

1 1

1


Paramos al lado izquierdo del segundo punto de suma:

Ahora el segundo y tercer punto de suma se pueden colapsar.

Pasamos ahora del lado derecho del segundo punto de suma:

Unimos los 2 puntos de suma:

Hacemos la retroalimentación y simplificamos:

1

1


Primero unimos y , colapsamos los puntos de suma entre ,

y y pasamos a la izquierda de la bifurcación de .

/

Ahora pasamos del lado derecho del último punto de suma.

Hacemos la pequeña retroalimentación del último punto de suma:

3 4

3 4

1 6 7

Pasamos 3 4

1 6 7 del otro lado de la bifurcación de :

Pasamos del otro lado del tercer punto de suma, y unimos el primer y tercer punto de suma:

Ahora solo unimos los puntos de suma y hacemos la retroalimentación, quedaría de la siguiente manera:

1 1

3 4

1 6 7

1 6 7

3 4

1 6 7

3 4

3 4

1 6 7


Primero pasamos a del lado izquierdo de la bifurcación hacia y .

Pasamos la bifurcación de , después de y .

Pasamos del lado derecho del segundo punto de suma:

⁄

Ahora podemos colapsar los 2 puntos de suma y nos quedaría una retro como la siguiente:

1

Realizamos la retroalimentación con :

1

- 3.1 Conceptos Básicos. - 3.2 Análisis de la respuesta transitoria para sistemas de

primer orden. - 3.3 Análisis de la respuesta transitoria para sistemas de

segundo orden.

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DINÁMICA 3



Capítulo 4


Capítulo 5

Forma general de un sistema de primer Orden:

Para una entrada escalón tendríamos:

∗1∗

Si hacemos la transformada inversa tendremos su forma general en el tiempo:

1

Descripción de un sistema de primer orden:

- Constante de tiempo:

1

- Tiempo de levantamiento:

2.2

- Tiempo de asentamiento:

4


Forma general de un sistema de Segundo Orden:

2

Frecuencia natural, :

La frecuencia natural de un sistema de segundo orden es la frecuencia de oscilación de un sistema sin amortiguación.

2

1

Factor de amortiguamiento relativo, :

Una definición viable para esta cantidad es aquella que compara la frecuencia de decaimiento exponencial de la envolvente con la frecuencia natural.

ln % /100

ln % /100

Tiempo pico, :

Tiempo necesario para alcanzar el primer pico.

1

Sobrepaso en porcentaje, % :

Cantidad que la forma de onda sobrepasa al valor en estado estable, o final, en el tiempo pico, expresada como porcentaje del valor en estado estable.

% ∗ 100

Tiempo de asentamiento, :

Tiempo para las oscilaciones amortiguadas permanezcan no más de 2%

4

Encuentra la función de transferencia con los métodos vistos en clase y compara el resultado con Matlab

Método 1:

∆∆

3.61

3.6

Por inspección deducimos el valor de tau.

2.5

Organizando el valor de la función de transferencia obtenemos:

3.62.5 1

Método 2:

∆∆

3.61

3.6

Por inspección en la intersección del 63.2% calculamos el valor de tau.

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA PARA

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

3.2

63.2%

28.3%

2.4 0.55

2.4


3.62.4 1

Método 3:

∆∆

3.61

3.6

Calculando tau:

32

322.4 0.55 2.775


3.62.775 1

GRAFICA:


Método 1:

∆∆

0.91

0.9


0.48


0.90.48 1

Método 2:

∆∆

0.91

0.9


0.47

63.2%

28.3%

0.470.15


0.90.47 1

Método 3:

∆∆

0.91

0.9

Calculando tau:

32

320.47 0.15 0.48


0.90.48 1

GRAFICA:


Método 1:

∆∆

1.61

1.6

0.35


0.74 0.35 0.39


1.6 .

0.39 1

Método 2:

∆∆

1.61

1.6

0.35


0.71 0.35 0.36

63.2%

28.3%

0.730.48 0.35


1.6 .

0.36 1

Método 3:

∆∆

1.61

1.6

Calculando tau:

32

320.38 0.13 0.375

Calcular teta

0.71 0.375 0.335


1.6 .

0.375 1

Grafica:

Un sistema tiene una función de transferencia:

5050

Encuentra la constante de tiempo , el tiempo de asentamiento , y el tiempo de levantamiento . Compara con Matlab Esta función esta de la forma:

1 150

0.02

40.08

2.20.044

Para el siguiente sistema encuentre las ecuaciones que relacionen el tiempo de asentamiento y el tiempo de levantamiento con la velocidad de la masa.

Primero debemos buscar la función de transferencia del sistema, poniendo en práctica lo aprendido en el capítulo de modelado sabemos que la función seria:

6

6

16

Esta función de transferencia esta en relación a la distancia, si deseamos la función en relación a la velocidad podríamos derivar en el tiempo y volver a calcular la función de transferencia, o simplemente multiplicar por ‘s’.

1 6

Normalizamos respecto a s para obtener una ecuación más parecida a la forma general.

1

6

Comparamos con la forma general de los sistemas de primer orden:

6 /

Y por inspección hacemos las relaciones necesarias, en este caso:

6

Teniendo este valor, podemos describir las ecuaciones del tiempo de asentamiento y el tiempo de levantamiento:

4 4

6/23

2.2 2.2

6/0.3666

Dada la función de transferencia encuentra y .

364.2 36

Comparando con la forma general de los sistemas de segundo orden que es:

2

Sacamos por inspección las correspondencias, es decir:

36

2 4.2 Despejamos para obtener :

√36

6 Teniendo este valor ahora podemos despejar para obtener el valor de :

2 4.2

2 ∗ 6 4.2

∗ 12 4.2

4.212

0.35

ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA PARA

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

3.3

Dada la función de transferencia encuentra , % , y .

10015 100

Primero calculamos y :

100

2 15 Despejamos para obtener :

√100

10 Teniendo este valor ahora podemos despejar para obtener el valor de :

2 15

2 ∗ 10 15

∗ 20 15

1520

0.75

Calculamos el tiempo pico:

1

10√1 0.750.4749

Calculamos el sobrepaso en porcentaje:

% ∗ 100

%. ∗

√ . ∗ 100 2.8375%

Calculamos el tiempo de asentamiento:

4

40.75 ∗ 10

0.5333

Para el cálculo del tiempo de levantamiento es recomendable usar la siguiente tabla:

Donde vamos la relación entre y , por inspección vemos que para el valor de:

0.75

El valor de se aproxima a:

2.3

Despejamos :

∗ 10 2.3

2.310

0.23

Dado el siguiente sistema básico, encuentre el valor de J y D para obtener el 20% de sobrepaso y un tiempo de asentamiento de 2s, suponiendo una entrada escalón.

Poniendo en práctica lo aprendido en el capítulo de modelado podemos encontrar la función de transferencia del sistema, que sería:

1

1

Para tener una idea más clara podemos normalizar , quedaría como:

1/

Comparando con la forma general de una función de transferencia de segundo grado:

2

Buscamos por inspección las relaciones:

2

5 /

Nos piden un sobrepaso de 20%, buscamos la para ese valor:

ln 0.2

ln 0.20.4559

El problema nos pide que el tiempo de asentamiento sea de 2s, por lo tanto:

42

Despejando para :

40.4559 ∗

2

4

0.9119

4

0.91194.3864

Despejamos para encontrar J

4.3864 5

4.3864 5

19.2409 5

5

19.24090.2598

Despejamos para encontrar D

2

2

2 ∗ 0.2598 ∗ 0.4559 ∗ 4.3864 1.0393

Para el siguiente sistema de segundo orden, encuentra: la función de transferencia, , % , y .

Poniendo en práctica lo aprendido en el capítulo de modelado, sabemos que la función de transferencia seria:

5 5 28

5 5 28

15 5 28

1

5 5 28

Normalizamos para tener una función más parecida a ala general:

1/528/5

Comparando con la forma general de una función de transferencia de segundo grado:

2

5 /

28 /

5


285

2 1

Resolvemos para obtener y :

2.3664

2 ∗ 2.3664 1

14.7328

0.2112


% ∗ 100

%.

√ . ∗ 100

% 0.5072 ∗ 100 50.72%


1

2.3664√1 0.21121.35822


4

40.2112 ∗ 2.3664

8.0034

Para el cálculo del tiempo de levantamiento es recomendable usar la siguiente tabla:

Donde vamos la relación entre y , por inspección vemos que para el valor de:

0.2112

El valor de se aproxima a:

1.21

Despejamos :

∗ 2.3664 1.21

1.212.3664

0.511

Para el siguiente sistema de segundo orden, encuentra: la función de transferencia respecto a , , % y . Compara con Matlab

Poniendo en práctica lo aprendido en el capítulo de modelado, sabemos que la función de transferencia seria:

1

11

En este caso nuestra función ya se asemeja mucho a la forma general de las funciones de segundo orden, por lo tal solo pasamos a comparar:

2


√1

2 1

Resolvemos para obtener y :

1

2 ∗ 1 1

12

0.5

1

1 /

1 /


% ∗ 100

%.

√ . ∗ 100

% 0.163034 ∗ 100 16.3034%


1

1√1 0.53.627


4

40.5 ∗ 1

8

Dado el siguiente sistema, encuentra una D, para obtener un sobre paso de un 30% para una respuesta al escalón unitario.

De lo aprendido en el tema del modelado sabemos que la función de transferencia seria:

51410

25 25

1

25 25

Teniendo esta función, podemos compararla con la ecuación de forma general, es importante notar que el requerimiento de diseño es un %OS de 30%, por lo tanto lo primero sería encontrar y luego comparar.

ln % /100

ln % /100

25

10 5

5

14

/

1

Sustituyendo:

ln 0.3

ln 0.30.3578

Ahora comparamos con la función general:

2

Procedemos a encontrar :

25

√25 5 Comprando de nuevo con la ecuación general y nuestra ecuación del sistema tenemos que:

2 25

2 ∗ 0.3578 ∗ 5 25

3.578 25

0.1431 Teniendo este valor podemos reescribir nuestra función del sistema:

125 ∗ 0.1431 25

1

3.5775 25

Ahora con esta función de transferencia podemos comparar en Matlab si se cumple con los parámetros de diseño:

Verificamos si el OS es un 30% mayor que el valor en estado estable, tenemos que:

0.0398

0.0519

%0.0519 0.0398

0.0398∗ 100 30.40%

Dado el siguiente sistema, Encuentra la relación / , para un tiempo de asentamiento de 16 segundos.

Poniendo en práctica lo aprendido en el capítulo de modelado sabemos que la función de transferencia seria:

1

Para simplificar podemos hacer:

Escribiendo la ecuación general:

1

1

1

1

1

1 /

1 /

Ahora normalizamos para tener una función de transferencia más parecida a la general.

11

1 1

Ahora hacemos la relación con la función de forma general:

2

Notamos que:

21

2 1

Sabemos que:

4

El diseño nos pide un de 16s, por lo tanto:

164

2 1

Y despejamos para encontrar n:

2 1 416

0.25 ∗ 2 1

0.5 0.5

0.5 0.5

0.5 0.5

0.50.5

1 → 1

Sustituimos:

0.50.5 0.5

Verificamos con Matlab:

Dada la siguiente grafica encuentra a función de transferencia que la satisfaga.

Lo más sencillo de calcular teniendo la gráfica es el %OS:

% ∗ 100

% 1.4 1

1∗ 100 40%

También es importante el tiempo pico, que pos inspección podemos aproximar a:

4 Ahora calculamos :

ln 0.4

ln 0.40.2799

Calculamos

1

1

4 1 0.27990.8180

Ahora sustituimos en la función general:

0.6691

0.4579 0.6691

Comprobamos con Matlab:

- 4.1 Conceptos Generales. - 4.2 Criterio de estabilidad de Routh. - 4.3 Error en estado estable.

ESTABILIDAD Y ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO 4



Capítulo 6 y 7


Capítulo 6

Este criterio nos permite determinar la estabilidad, sabiendo cuantos polos del sistema en lazo cerrado están en el semiplano izquierdo y cuantos en el semiplano derecho y cuantos en el eje imaginario, Nótese que decimos cuantos, no donde, podemos hallar el número de polos pero no su ubicación.

Para aplicar este criterio se debe general un arreglo de Ruth, a continuación se muestra la forma general para un sistema de grado 4.

Distribución inicial:

0

Se nota que la primero de colocan las potencias, de la mayor a la menor, cada una tendrá una fila, la primera dila tendrá los coeficientes de las potencias pares si la potencia mayor es par o los coeficientes impares, si la potencia mayor es impar, la segunda fila tendrá los coeficientes de las potencias impares, si la segunda potencia mayor es impar, o pares, si la segunda potencia es par, de quedar un espacio vacío en estas filas, se coloca un cero.

Nótese que en estos momentos solo conocemos los valores de las 2 primeras filas, los demás espacios se acostumbran llenar con incógnitas, que van desde b hasta la letra necesaria, pero no conocemos estos valores.


CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

A continuación se muestra como encontrar los valores faltantes:

0

0

00

00

00

0

00

00

Nótese que pide el determinante con signo contrario, y se divide por el primer elemento de la fila superior.

La interpretación de la tabla generada y sus casos especiales se expresan en los siguientes ejercicios.

La ecuación general para encontrar el error en estado estable con retroalimentación unitaria es:

∞ lim→

∗1

Donde:

Para un escalón unitario:

1

∞ ∞ lim→

∗1

1lim→

11

∞ lim→

11

Para una rampa unitaria:

1

∞ ∞ lim→

∗1

1lim→

1

1lim

→

1

∞ lim →

1

Para una parábola:

1

∞ ∞ lim→

∗1

1lim→

1

1lim

→

1

∞ lim →

1

ERROR EN ESTADO ESTABLE

Teniendo las tres ecuaciones anteriores, simplificadas, tenemos:

∞ 1

1 lim→

∞1

lim→

∞1

lim→

Como vemos el error en estado estable está definido por los tres términos del denominador que se llevan al límite, estos límites se llaman: “constantes de error estático”, se manera individual sus nombre son los siguientes:

Constante de posición:

lim→

Constante de velocidad:

lim→

Constante de aceleración:

lim→

Según la reacción a una estrada, los sistemas pueden ser de 3 tipos, en la siguiente tabla se simplifica la relación:

Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2

Entrada Ecuació

n de error

Constante Error Constant

e Erro

r Constant

e Erro

r

Escalón 1

1

11

∞ 0 ∞ 0

Rampa 1

0 ∞ 1

∞ 0

Parábola

1 0 ∞ 0 ∞

1

Determina el cuantos polos están en el semiplano derecho y cuantos en el semiplano izquierdo.

1

3 9 6 4 7 8 2 6

Acomodamos en nuestra tabla básica:

9 4 8 6

Y empezamos a calcular los valores necesarios:

3 69 49

4.6667

3 79 89

4.3333

3 29 69

0

3 09 09

0

9 4

4.6667 4.33334.6667

4.3670

9 8

4.6667 04.6667

8

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH 4.2

9 64.6667 04.6667

6

9 0

4.6667 04.6667

0

4.6667 4.33334.3670 8

4.367012.8823

4.6667 04.3670 64.3670

6.4117

4.6667 04.3670 04.3670

0

4.6667 04.3670 04.3670

0

4.3670 8

12.8823 6.411712.8823

10.1735

4.3670 6

12.8823 012.8823

6

4.3670 0

12.8823 012.8823

0

4.3670 0

12.8823 012.8823

0

12.8823 6.411710.1735 6

10.17351.1858

12.8823 010.1735 010.1735

0 12.8823 010.1735 010.1735

0

12.8823 010.1735 010.1735

0

10.1736 61.1858 01.1858

6

10.1736 01.1858 01.1858

0

10.1736 01.1858 01.1858

0

10.1736 01.1858 01.1858

0

Completamos la tabla:

9 4 8 6 4.6667 4.3333 0 0 4.3670 8 6 0 12.8823 6.4117 0 0 10.1735 6 0 0 1.1858 0 0 0 6 0 0 0

Para analizar la tabla debemos observar la primera columna y contar los cambios de signo:

9 4 8 6 4.6667 4.3333 0 0 4.3670 8 6 0 12.8823 6.4117 0 0 10.1735 6 0 0 1.1858 0 0 0 6 0 0 0

Vemos que hay 4 cambios de signos, esto significa que hay 4 polos en el semiplano derecho, de esto podemos concluir que: - Si no hay cambios de signo, el sistema es estable - El número de cambios de signo es el número de polos en el

semiplano derecho. - El resto de los polos estará en el semiplano izquierdo.

Ahora comprobamos con Matlab:

Como vemos, efectivamente hay 4 polos en el semiplano derecho y el resto (3 polos) está en el semiplano izquierdo. El sistema es inestable.

Determina el número de polos en el semiplano derecho de la siguiente función en lazo cerrado.

1

2 3 6 5 3


2 6 3

Y empezamos a calcular los valores necesarios, esta vez escribiremos los valores después de cada fila calculada:

1 32 62

0

1 52 32

3.5

1 02 02

0

Ponemos los valores en nuestra tabla:

2 6 3 0 3.5 0

Ahora, si observamos, vamos a tener un problema calculando la siguiente fila si lo dejamos así, ya que se nos requerirá dividir entre cero, lo cual sabemos no es posible. Para evitar esto, sustituimos el cero de la primera columna , por un número, que se denominara , su valor será positivo y muy cercano a cero, pero no cero. Ahora sustituimos por ese número el cero de la primera columna en nuestra tabla.

2 6 3 3.5 0

Y seguimos calculando las filas faltantes:

2 63.5 6 7

2 3

0 3

2 0

0 0

2 6 3 3.5 0

6 7 3 0

3.56 7

3

6 742 49 6

12 14

0

6 70

6 7 0

0

6 70

6 7 0

2 6 3 3.5 0

6 7 3 0

42 49 612 14

0 0

6 73

42 49 612 14 0

42 49 612 14

3

6 70

42 49 612 14 0

42 49 612 14

0

6 70

42 49 612 14 0

42 49 612 14

0

2 6 3 3.5 0

6 7 3 0

42 49 612 14

0 0

3 0 0

Ahora analizamos los cambios se signó:

/ 2 3 Lo describimos como un numero positivo

Cercano a cero

6 7

Si es cercano a cero, podemos decir que 6 es cero y al dividir -7 entre (un número

cercano a cero) tendremos un numero grande pero negativo (recordemos que describimos a

Como positivo).

42 49 612 14

Si es cercano a cero, podemos describir a todos Los que están multiplicados por el cómo cero, al

Final tendríamos una división entre números negativos Por lo tanto el resultado es positivo

3 /

Vemos que hay 2 cambios de signo, por lo tanto 2 polos de los 5 están en el semiplano derecho, lo podemos comprobar con Matlab:

Determina el número de polos en el semiplano derecho de la siguiente función en lazo cerrado.

1

7 6 42 8 56


7 42 56

Y empezamos a calcular los valores necesarios, esta vez escribiremos los valores después de cada fila calculada:

1 67 427

0

1 87 567

0

1 07 07

0

Ponemos los valores en nuestra tabla:

7 42 56 0 0 0

Ahora vemos que tenemos una FILA de ceros, este caso es diferente al anterior, y se resuelve de la siguiente manera: 1. Tomamos los valores de la fila superior a la fila de ceros. 2. Con esos valores formamos un polinomio, el primer elemento trandra

la potencia de la fila seleccionada y los demás bajaran en potencias de 2 de la siguiente manera:

Fila superior a fila de ceros:

Formamos el polinomio:

7 45 56 Derivamos el polinomio:

28 90

Y ahora sustituimos nuestra fila de ceros pos los coeficientes del polinomio derivado, nuestra tabla quedaría de la siguiente manera:

7 42 56 28 90 0

Y seguimos calculando las filas faltantes:

7 4228 9028

19.5

7 5628 028

56

7 028 028

0

28 9019.5 5619.5

9.5897

28 9019.5 5619.5

0

28 9019.5 5619.5

0

19.5 569.5897 09.5691

56

19.5 09.5897 09.5691

0

19.5 09.5897 09.5691

0

Terminamos de llenar nuestra tabla:

7 42 56 28 90 0 19.5 56 0 9.5897 0 0 56 0 0

Podemos ver que no hay cambios de signo, por lo cual el sistema es estable, sin embargo, para estos casos, aún hay algo que analizar, cuando tenemos una fila completa de ceros, significa que un número de polos igual a la potencia de la fila superior a la fila de ceros están sobre el eje imaginario, comprobemos con Matlab:

Determina si el siguiente sistema en lazo abierto es estable:

240

1 2 3 4

Primero expandimos:

240

10 35 50 24

Cerramos el lazo:

240

10 35 50 264

Acomodamos en nuestra tabla básica, los valores que sabemos que son cero los ponemos de una vez, también sabemos que el único valor de

es igual al último valor de la fila :

10 50 0 0 0 0 0

Calculamos los valores faltantes:

1 3510 5010

30

1 26410 010

264

10 5030 26430

38

10 030 030

0

Completamos nuestra tabla:

10 50 0 30 264 0 38 0 0 264 0 0

Observamos que hay 2 cambios de signo, por lo tanto 2 de los polos están en el semiplano derecho y 2 en el semiplano izquierdo, comprobamos con Matlab:

Determina el rango de K para que el sistema sea estable, el sistema está en lazo abierto:

6

1 4

Primero expandimos:

6

5 4

Cerramos el lazo:

65 4 6

6

5 4 6



5 6 0 6 0

1 45 6

5205


5 6

205

0

6 0 Sabemos que si queremos que el sistema sea estable debemos conservar el signo en la primera columna, en este caso positivo, por lo tanto el valor de K debe ser tal que la elementos que lo contienen sean positivo, analizamos los elementos que contienen K:

205

Si igualamos a cero y buscamos K:

205

0

20 0

20

Por lo tanto para que permanezca positivo K no puede ser mayor que 20. Analizamos el otro elemento que contiene K:

6 Para que este permanezca positivo el único requisito es que K sea positivo, para conservar el signo en la multiplicación. Por lo tanto nuestro rango de estabilidad es que K sea positivo y menor a 20, es decir:

0 20

Determina el rango de K para que el sistema sea estable, el sistema está en lazo abierto:

3 52 4

Primero expandimos:

8 156 8

Cerramos el lazo:

8 156 8 8 15

8 15

1 8 6 8 15



8 6 0 0

Para los casos en que varios elementos contienen la K es recomendable hacer una tabla con el valor de K que conserva el signo positivo:

Para que el signo sea positivo:

8 6

Para que el signo sea positivo resolvemos igualando a cero 8 6 0

68

0.75 0.75

Para que el signo sea positivo resolvemos igualando a cero 8 15 0

815

0.5333 0.5333

Analizando los valores de la tabla, concluimos, que para que la primera columna conserva su signo, en este caso positivo, K debe ser mayor a -1, mayor a 0.75 y mayor a -0.5333, vemos que si cumple con ser mayor a 0.75 cumple con los otros dos casos, por lo tanto el rango es:

0.75

Determina el valor de K para que el siguiente sistema sea estable, para que oscile o sea críticamente estable y la frecuencia de oscilación:

4

1.2 2

Primero expandimos:

4

3.2 2.4

Multiplicamos por 5/5 para eliminar los decimales:

5 20

5 16 12

Cerramos el lazo:

5 205 16 12 5 20

5 20

5 16 12 5 20



16 20 0 20 0

5 12 516 20

16192 20

16


16 20 192 20

16 0

20 0

Analizamos la tabla para encontrar el valor de K que hace el sistema estable, en este caso buscaremos que sean todos positivos:

16

192 20

16

Para que el signo sea positivo resolvemos igualando a cero 192 20

160

192 20 0 19220

9.6 9.6

20 Nos basta con que K sea positivo, es decir: 0

Deducimos entonces que para mantener el sistema estable K debe ser mayor a cero pero menos que 9.6, es decir:

0 9.6

Para hacer que un sistema oscile o sea críticamente estable debemos asegurarnos que una fila de la tabla sea cero, revisando la tabla:

16 20 192 20

16 0

20 0

Siempre se recomienda hacer cero la fila de , para que esa fila sea cero y el sistema sea críticamente estable K debe ser:

9.6

La tabla quedaría:

16 192 0 0 192 0

Ahora, nos piden la frecuencia de oscilación, está la obtenemos conociendo la posición de los polos que quedan sobre el eje imaginario y por lo tanto los que hacen que el sistema sea críticamente estable.

Para obtener este valor, tomamos la fila superior a la fila de ceros, y formamos un polinomio:

El grado más alto del polinomio seria el indicado en la columna de s y descendería de 2 en 2:

16 16 0

Resolvemos para encontrar las raíces:

√12

Solo debemos tener raíces imaginarias, de otra manera hicimos algo mal en el análisis, ahora sabiendo que w es la frecuencia de oscilación, tendríamos que:

√12

Comprobamos con Matlab:

Vemos que efectivamente este valor de K = 9.6, hace que el sistema oscile, y también obtenemos la posición de estos polos, este método será de mucha utilidad para futuros temas.

Busca el rango del controlador que haga el sistema estable:

Primero reducimos el sistema, sin cerrar el lazo:

63 10

30 140 2.5

Expandimos:

63 10

172.5 4625 10500

Cerramos el lazo:

63 10

172.5 4625 10500 63 10



172.5 10500 63 10 0 10500 63 10 0

1172.5 10500 63 10

172.54564.13 365217.39


172.5 10500 63 10 4564.13 365217.39 0 10500 63 10 0

Analizamos:

172.5

4564.13 365217.39

Para que el signo sea positivo resolvemos igualando a cero

4564.13 365217.39 0 0.012497

0.012497

10500 63 10


10500 63 10 0 0.000167 0.000167

Vemos que para que sea estable debe cumplir ambas condiciones, es decir:

0.012497 0.000167

Busca el rango del controlador que haga el sistema estable:

Donde:

520 10.3844

2.6817 0.11 0.0126

Hacemos:

∗ 520 10.3844

2.6817 0.11 0.0126

Y cerramos el lazo:

520 10.3844

2.6817 0.11 0.0126 520 10.3844

520 10.3844

2.6817 0.11 520 0.0126 10.3844



. 2.6817 0.0126 10.3844 0 0.0126 10.3844 0

1 0.11 5202.6817 0.0126 10.3844

2.68170.2824 1384.1

2.6817


. 2.6817 0.0126 10.3844 0.2824 1384.1

2.6817 0

0.0126 10.3844 0

Y analizamos:

2.6817

0.2824 1384.12.6817


0.2824 1384.12.6817

0 0.2824 1384.1 0

0.000204 0.000204

0.0126 10.3844


0.0126 10.3844 0 0.001213

0.001213

Para que el sistema sea estable se deben cumplir ambas condiciones, la que nos permite cumplir con ambas es:

0.000204

Ese es nuestro rango de estabilidad.

Determina el tipo de sistema, tiene retroalimentación unitaria:

1000 87 9

Calculamos para un escalón:

∞ 1

1 lim→

11

lim→

lim→1000 8

7 9

lim→1000 8

7 91000 0 80 7 0 9

1000 87 9

129.98

∞1

11

1 129.980.007813

Calculamos para una rampa:

∞1

lim→

1

lim→

lim→

1000 87 9

lim→

1000 87 9

01000 0 80 7 0 9

0

Consideramos ese 0 como un número muy muy pequeño

∞ 1 1

∞

ERROR EN ESTADO ESTABLE 4.3

Calculamos para una parábola:

∞1

lim→

1

lim→

lim→

1000 87 9

lim→

1000 87 9

01000 0 80 7 0 9

0

Consideramos ese 0 como un número muy muy pequeño

∞1 1

∞

Al comparar estor resultados, determinamos que la función pertenece el tipo 0.

Encuentra el error en estado estable para una entrada escalón del siguiente sistema:

Donde:

10010

15

Del capítulo de reducción de bloques recordamos que para hacer un sistema equivalente con retroalimentación unitaria, podemos usar la siguiente ecuación:

1

100

10

1100

10 ∗15

10010

100

10100

5 100

100

10100

5 100

100 5

10 5 100 100 5

100 515 50 100 100 500

100 515 50 400

Para una entrada escalón:

∞ 1

1 lim→

11

lim→

lim→

100 515 50 400

lim→

100 515 50 400

100 0 50 15 ∗ 0 50 ∗ 0 400

500400

1.25

∞1

1 1.254

Para el siguiente sistema con retroalimentación unitaria:

60 3 4 86 17

Encuentra el error en estado estable para la siguiente entrada:

80 Primero pasamos a Laplace la entrada:

80 →160

De la ecuación general para el error en estado estable tenemos que:

∞ lim→

∗1

Donde:

Sustituimos:

∞ lim→

∗160

160 3 4 8

6 17

∞ lim→

160

160 3 4 8

6 17

∞ lim→

6 17 ∗160

6 17 60 3 4 8

∞ lim→

6 17 ∗ 1606 17 60 3 4 8

∞ lim→

0 6 0 17 ∗ 1600 0 6 0 17 60 0 3 0 4 0 8

∞ lim→

6 ∗ 17 ∗ 16060 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 8

2.833

Para el siguiente sistema:

Encuentra el error en estado estable para las siguientes entradas:

15

15

15 Del capítulo de reducción de sistemas tenemos que:

2 117

Para la primera entrada, pasamos a Laplace:

15 →15


∞ lim→

∗1

Donde:

Sustituimos:

∞ lim→

∗15

12 1

17

∞ lim→

15 1717 2 1

∞ 15 ∗ 0 0 17

0 0 17 2 0 1

∞02

0

Para la segunda entrada, pasamos a Laplace:

15 →15


∞ lim→

∗1

Donde:

Sustituimos:

∞ lim→

∗15

12 1

17

∞ lim→

15

12 1

17

∞ lim→

17 1517 2 1

∞0 17 15

0 0 17 2 0 115 ∗ 17

2127.5

Para la tercera entrada, pasamos a Laplace:

15 →15


∞ lim→

∗1

Donde:

Sustituimos:

∞ lim→

∗15

12 1

17

∞ lim→

15

12 1

17

∞ lim→

17 15

17 2 1

∞ lim→

17 1517 2 1

∞0 17 15

0 0 0 17 2 0 115 ∗ 17

∞

Para el siguiente sistema con retroalimentación unitaria, encuentra el valor de para una constante 25000

100500 5 14 2327 33

Sabemos que:

lim→

Sustituimos en esa ecuación:

lim→ ∗

100500 5 14 2327 33

lim→100500 5 14 23

27 33

100500 0 5 0 14 0 23

0 27 0 0 33

100500 ∗ 5 ∗ 14 ∗ 23

27 ∗ ∗ 33

161805000

891

Nos piden 25000:

25000161805000

891

89116180500025000

6472.2891

7.2639

Para el siguiente sistema, encuentra un valor de K, que produzca un error en estado estable de 0.01 para una entrada 100 .

Primero reducimos el sistema para dejarlo con una retroalimentación unitaria:

11

Pasamos la entrada a Laplace:

100100


∞ lim→

∗1

Donde:

Sustituimos:

∞ lim→

∗100

1 11

∞ lim→

11 10011

∞ 0 11 100

0 0 11

∞ 1100

Nos piden un error en estado estable de 0.01:

0.01 1100

11000.01

110000

Para el siguiente sistema, encuentra el error en estado estable para una entrada escalón:

13

42

Dado que no tenemos retroalimentación unitaria, pasamos a calcular una equivalencia, con la siguiente ecuación:

13

113 ∗

42

13

1

3 1 ∗42 1

2 13 2 1 4 1 2

Para una entrada escalón:

∞ 1

1 lim→

11

lim→

lim→

2 13 2 1 4 1 2

0 2 0 10 0 3 0 2 0 1 0 4 0 1 0 2

24 2

1

∞1

1 112

Para el siguiente sistema, encuentra el error en estado estable para una entrada escalón, rampa y parábola:

Primero debemos reducir el sistema:

0.01

0.01

Calculamos para un escalón:

∞ 1

1 lim→

11

lim→

lim→

0.01

0.01

lim→

0.01

0.01

0 0.01

0 0 0 0.01

0.0001∞

∞1

1 ∞1∞

0

Calculamos para una rampa:

∞1

lim→

1

lim→

lim→

0.01

0.01

lim→

0.01

0.01

0 0.01

0 0 0 0.01

0.0001∞

∞1 1

∞0

Calculamos para una parábola:

∞1

lim→

1

lim→

lim→

0.01

0.01

0 0.01

0 0 0.01

0 0.01

0.010.01

∞1

0.01100

- 5.1 Conceptos Generales. - 5.2 Gráfica y diseño por el lugar de las raíces.

TÉCNICAS DE DISEÑO EN EL LUGAR DE LAS RAÍCES 5


Sistemas de control Automático (Benjamín Kuo)

Capítulo 8


Capítulo 8 y9


Capítulo 7

Paso Ecuación relacionada o Regla

1. Preparación del dibujo del lugar de las raíces. Escribir la ecuación característica en

forma de polos-ceros de manera que el parámetro de interés K aparezca como el multiplicador.

Factor P(s) en términos de n polos y M ceros.

Localizar los polos y los ceros de laza

abierto de P(s) en el plano s con símbolos seleccionados

Determinar el número de lugares de las raíces separado, SL.

El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje horizontal.

1 0

1∏

∏0

, Ο .

El lugar de las raíces comienza en un polo y termina en un cero.

, N es el numero finito de polos y m el numero finito de ceros.

2. Localizar los segmentos del eje real en los cuales están los lugares de las raíces.

El lugar de las raíces se encuentra a las izquierda de un número impar de polos y cero

3. El lugar de las raíces continúa a los ceros del infinito a lo largo de las asíntotas centradas en y con ángulo .

∑ ∑

2 1180°

0,1,2, … 1

4. Determinar el punto en que el lugar de las raíces cruza el eje imaginario (si lo hace).

Utilizar el criterio de Routh-Hutwitz para poder encontrar el punto en el cual pase de estable a inestable y así determinar el cruce de del eje imaginario.

5. Determinar el punto de salida en el eje real (si existe alguno)

a) Supóngase b) Obténgase 0


c) Determine las raíces de resultado anterior.

También se puede hacer el método de simplificación y derivación

6. Calcular el ángulo de la salida del lugar geométrico desde los polos complejos y el de llegada en los ceros complejos

∠ 18° 360° A

7. Complétese el dibujo del lugar de las raíces.

Se puede comprobar la similitud con Matlab.

Bosqueje el lugar de las raíces para la siguiente función de transferencia:

31 2 4

a) Identificamos los polos y los ceros:

0,1,2 4 3

b) Marcamos en nuestro bosquejo estos lugares con los símbolos

convenidos, y marcamos el lado a las izquierdas de cada polo o cero impar como lugar de las raíces:

c) Buscamos el punto de salida de las asíntotas y su ángulo:

∑ ∑1 2 4 3

4 11.3333

2 1

180°2 0 14 1

180°13180° 60°

2 1

180°2 1 14 1

180°33180° 180°

2 1

180°2 2 14 1

180°53180° 300°

GRÁFICA Y DISEÑO POR EL LUGAR DE LAS RAÍCES 5.2

d) Bosquejamos las asíntotas encontradas:

e) Calculamos el punto de salida: Tomamos la ecuación característica y la expandimos:

1 2 4 → 7 14 8 Derivamos:

4 21 28 8 Buscamos las raíces:

3.32625, 1.53091 0.392748 Vemos que la raíz que coincide con el lugar de las raíces es , por lo que ese punto es el de salida.

f) Observando las asíntotas es evidente que cruzan el eje imaginario, por lo tanto hay que calcular ese punto de salida: Tomamos la ecuación característica en lazo cerrado:

1 2 4 3 → 7 14 8 3

Acomodamos el resultado y calculamos los valores faltantes:

17??3

148?00

30000

?7 ∗ 14 8

7907

?7 ∗ 3 1 ∗ 0

73

?

907 ∗ 8 7 ∗ 3

907

65 72090

Ahora debemos encontrar el valor de K que hará ? 0, que también permita que los demás elementos de la primera columna sean positivos, para esto tomamos la expresión de ? y encontramos los valores de K.

65 72090

0

65 720 0

74.6456 9.6455

La raíz que cumple con lo solicitado es 9.6455 Ahora solo falta encontrar el punto de cruce, para hacer esto, sustituimos el valor de K seleccionado en la fila anterior a la que se calculó, es decir, en este caso K se calculó en relación a las fila , por tanto la fila anterior es , debemos recordad que las filas van en potencias pares o impares. Tomando en cuenta esto el primer elemento tendrá la potencia 2 y el segundo elemento la potencia Cero. Fila de :

? ? 0

907

3 0

Sustituimos por el valor de K seleccionado, en este caso 9.6455:

90 9.64557

3 ∗ 9.6455 0

11.4792 28.9366 0


11.4792 28.9366 0

, 1.5877 Vemos que el resultado resulto un numero imaginario, lo cual nos dice que el valor que encontramos esta únicamente sobre el eje imaginario, esto significa que nuestra respuesta es muy probablemente la correcta, de obtener un valor distinto sabremos que hemos cometido un error. Ahora marcamos este valor en nuestro bosquejo y trazamos una línea suave desde el punto de salida hasta el punto de cruce:

g) Para finalizar podemos comparar nuestro bosquejo con Matlab:


12 64 128


4 4 4 4 4

0,4, 4 4 4 4

/

b) Marcamos en nuestro bosquejo estos lugares con los símbolos convenidos, y marcamos el lado a las izquierdas de cada polo o cero impar como lugar de las raíces:


∑ ∑4 4 4 4 4

4124

3

2 1

180°2 0 1

4180°

14180° 45°

2 1

180°2 1 1

4180°

34180° 135°

2 1

180°2 2 1

4180°

53180° 225°

2 1

180°2 3 1

4180°

73180° 315°


e) Calculamos el punto de salida: Tomamos la ecuación característica expandida:

12 64 128 Derivamos:

4 36 128 128 Buscamos las raíces:

3.71 2.55 , 3.71 2.55 1.5766 Vemos que la raíz que coincide con el lugar de las raíces es , por lo que ese punto es el de salida.


12 64 128


112??

64128?00

0000

?12 ∗ 64 128

12768 128

121603

?12 ∗ 1 ∗ 0

12

?

1603 ∗ 128 12 ∗

1603

5120 940


5120 940

0

5120 9 0

568.889

Vemos que la raíz cumple con lo solicitado, toamos 568.889 Ahora solo falta encontrar el punto de cruce, para hacer esto, sustituimos el valor de K seleccionado en la fila anterior a la que se calculó, es decir, en este caso K se calculó en relación a las fila , por tanto la fila anterior es , debemos recordad que las filas van en potencias pares o impares. Tomando en cuenta esto el primer elemento tendrá la potencia 2 y el segundo elemento la potencia Cero. Fila de :

? ? 0

1603

0

Sustituimos por el valor de K seleccionado, en este caso 568.889:

1603

568.889 0


1603

568.889 0

, 3.26599

Vemos que el resultado resulto un numero imaginario, lo cual nos dice que el valor que encontramos esta únicamente sobre el eje imaginario, esto significa que nuestra respuesta es muy probablemente la correcta, de obtener un valor distinto sabremos que hemos cometido un error. Ahora marcamos este valor en nuestro bosquejo y trazamos una línea suave desde el punto de salida hasta el punto de cruce:

g) Vemos que aún nos falta determinar con que ángulo los polos complejos conjugados van al infinito, para esto podemos ayudarnos trazando líneas desde cada polo y cero hasta uno de los polos del que queremos conocer el ángulo de salida:

180°

90° 90° 135° 180°

180° 315

495 Este ángulo esta medio respecto a la misma horizontal que los demás, y vemos que da más de una vuelta, quitando una vuelta seria:

135 Visto desde el sentido positivo esto equivale a:

225 Ahora podemos bosquejar esa salida y compara con Matlab

h) Para finalizar podemos comparar nuestro bosquejo con Matlab:


3 51 2


1 2 3 5



c) Buscar las asíntotas y ángulos será imposible, verifiquemos por qué:

∑ ∑1 2 3 5

2 2110

2 1

180°2 0 12 2

180°10180°

d) Vemos que no podemos encontrar asíntotas o ángulos de asíntotas, sin embargo si observamos veremos que hay igual número de polos y ceros, y recordando que los polos siguen a los ceros, es evidente que tienen que cruzar el eje imaginario y luego entrar al eje real para poder llegar a los ceros

e) Calculamos el punto de salida y punto de entrada: Para estos casos donde hay un punto de entrada y salida es recomendable usar el método de igualación, que consiste primeramente en igualas los inversos de los polos y ceros con signo inverso:

13

15

11

12

Simplificamos por métodos algebraicos o por software:

11 26 615 3 1 2

Tomamos el numerador y sacamos sus raíces:

11 26 61 0

1.4529 3.81661 Por inspección sabemos que el primero será el punto se salida y el segundo el puntos de entrada. Podemos marcarlos en nuestro bosquejo:

f) Como se mencionó, dado que sabemos que los polos saldrán del eje

real para ir hacia los ceros, es necesario que crucen el eje imaginario, solo falta conocer en que punto lo cruzarán.

Tomamos la ecuación característica en lazo cerrado:

3 2 8 15 → 1 3 8 2 15


13 8?

2 1500

?3 8 2 15 1 0

3 82 15

Ahora debemos encontrar el valor de K que hará la expresión en igual a cero (escogemos esa expresión porque es la primera fila donde solo un elementos es diferente de cero) y que también permita que los demás elementos de la primera columna sean positivos, para esto tomamos la expresión de y encontramos los valores de K.

3 8 0

8 3

38

Vemos que la raíz cumple con lo solicitado, toamos Ahora solo falta encontrar el punto de cruce, para hacer esto, sustituimos el valor de K seleccionado en la fila anterior a la que se calculó, es decir, en este caso K se calculó en relación a las fila , por tanto la fila anterior es , debemos recordad que las filas van en potencias pares o impares. Tomando en cuenta esto el primer elemento tendrá la potencia 2 y el segundo elemento la potencia Cero. Fila de :

1 2 15 0 Sustituimos por el valor de K seleccionado, en este caso :

138

2 15 ∗38

0

118

618

0


118

618

0

, 2.3548

Vemos que el resultado resulto un numero imaginario, lo cual nos dice que el valor que encontramos esta únicamente sobre el eje imaginario, esto significa que nuestra respuesta es muy probablemente la correcta, de obtener un valor distinto sabremos que hemos cometido un error. Ahora marcamos este valor en nuestro bosquejo y trazamos una línea suave desde el punto de salida hasta el punto de cruce:

g) Para finalizar podemos comparar nuestro bosquejo con Matlab:

225°


4 202 4

Y encuentre el valor de K para 0.45


2 4 2 4 2 4



c) Buscar las asíntotas y ángulos es imposible, verifiquemos porque:

∑ ∑2 4 2 4 2 4

2 220

2 1

180°2 0 12 2

180°10180°

d) Vemos que no podemos encontrar asíntotas o ángulos de asíntotas, sin embargo si observamos veremos que hay igual número de polos y ceros, y recordando que los polos siguen a los ceros, es evidente que tienen que cruzar el eje imaginario para poder llegar a los ceros

e) Calculamos el punto de salida: Para estos casos donde es recomendable usar el método de igualación, que consiste primeramente en igualas los inversos de los polos y ceros con signo inverso:

12

14

12 4

12 4


10 24 76

2 4 2 1 2 2 1 2


10 24 76

2.92795 5.3297 Por inspección sabemos que el primero será el punto se salida. Podemos marcarlos en nuestro bosquejo:

f) Como se mencionó, dado que sabemos que los polos saldrán del eje real para ir hacia los ceros, es necesario que crucen el eje imaginario, solo falta conocer en qué punto lo cruzarán. Tomamos la ecuación característica en lazo cerrado:

2 4 4 20 → 1 6 4 8 20


16 4?

8 2000

?6 4 8 20 1 0

6 48 20


6 4 0

4 6

64

1.5

Vemos que la raíz cumple con lo solicitado, toamos 1.5 Ahora solo falta encontrar el punto de cruce, para hacer esto, sustituimos el valor de K seleccionado en la fila anterior a la que se calculó, es decir, en este caso K se calculó en relación a las fila , por tanto la fila anterior es , debemos recordad que las filas van en potencias pares o impares. Tomando en cuenta esto el primer elemento tendrá la potencia 2 y el segundo elemento la potencia Cero. Fila de :

1 8 20 0 Sustituimos por el valor de K seleccionado, en este caso 1.5:

1 1.5 8 20 ∗ 1.5 0

2.5 38 0


2.5 38 0

, 3.8987 Vemos que el resultado resulto un numero imaginario, lo cual nos dice que el valor que encontramos esta únicamente sobre el eje imaginario, esto significa que nuestra respuesta es muy probablemente la correcta, de obtener un valor distinto sabremos que hemos cometido un error. Podemos marcar estos puntos en nuestro bosquejo:

g) Vemos que aún nos falta determinar con que ángulo los polos llegan a los ceros complejos conjugados, para esto podemos ayudarnos trazando líneas desde cada polo y cero hasta uno de los ceros del que queremos conocer el ángulo de entrada:

En este caso para obtener el valor de los ángulos se puede hacer por medición directa u obteniendo el ángulo del vector que forma cada línea, por ejemplo: Para : La recta que forma el ángulo contiene 6 unidades reales y 4 unidades imaginarias, el signo se tomaría siguiendo la recta desde el eje real, en este caso la recta se dirigiría hacia arriba y el lado derecho. El vector seria:

6 4 → 2√12∠33.69° Para : La recta que forma el ángulo contiene 4 unidades reales y 4 unidades imaginarias, el signo se tomaría siguiendo la recta desde el eje real, en este caso la recta se dirigiría hacia arriba y el lado derecho. El vector seria:

4 4 → 4√2∠45° Sustituimos en nuestra ecuación:

180°

90 33.69 45 180°

180 11.31

168.69°

Este ángulo esta medio respecto a la misma horizontal que los demás, y vemos es positivo y lo podemos tomar tal cual:

168.69° Ahora podemos terminar nuestro bosquejo del lugar de las raíces:

h) Ahora debemos encontrar la K para 0.45 Debemos primeramente encontrar el ángulo correspondiente a esta , sabemos que:

∠

0.45 63.2563°

Marcamos con una línea este ángulo, recordando que esta medido de manera horaria, marcamos la intersección con nuestro modelo de root locus y proyectamos dicha intersección hacia los ejes:

168.69°

63.2563°

3

Tomamos los valores de las proyecciones para obtener un vector que utilizaremos en el criterio de magnitud:

1.4 3 Aplicando el criterio de magnitud:

| |2 44 20 .

| |1.4 3 2 1.4 3 41.4 3 4 1.4 3 20

0.4403

Por cálculo hemos encontrado la K para 0.45, pero es importante mencionar que el resultado dependerá de cómo se dibujó el lugar de las raíces y de la perspectiva que la persona toma de la proyección de la intersección en los ejes.

i) Ahora podemos comparar nuestros resultados con Matlab:

63.2563°1.4

3


2 46 25

Y encuentre el valor de K para el punto de cruce del eje imaginario y el valor de K para 0.5. a) Identificamos los polos y los ceros:

3 4 3 4

2 4

b) Marcamos en nuestro bosquejo estos lugares con los símbolos convenidos, y marcamos el lado a las izquierdas de cada polo o cero impar como lugar de las raíces:

c) Buscar las asíntotas y ángulos es imposible, verifiquemos porque:

∑ ∑2 4 2 4 2 4

2 220

2 1

180°2 0 12 2

180°10180°

d) Vemos que no podemos encontrar asíntotas o ángulos de asíntotas, sin embargo si observamos veremos que hay igual número de polos y ceros, y recordando que los polos siguen a los ceros, es evidente que tienen que cruzar el eje imaginario para poder llegar a los ceros

e) Calculamos el punto de entrada: Para estos casos donde es recomendable usar el método de igualación, que consiste primeramente en igualas los inversos de los polos y ceros con signo inverso:

12

14

13 4

13 4


12 34 198

2 4 3 4 3 4


12 34 198 5.7186 2.8853

Por inspección sabemos que el segundo será el punto de entrada. Podemos marcarlos en nuestro bosquejo:

f) Como se mencionó, dado que sabemos que los polos saldrán para ir hacia los ceros, es necesario que crucen el eje imaginario, solo falta conocer en qué punto lo cruzarán. Tomamos la ecuación característica en lazo cerrado:

6 25 2 4 → 1 6 6 25 8


16 6?

25 800

?6 6 25 8 1 0

6 625 8


6 6 0

6 6

1 Vemos que la raíz cumple con lo solicitado, tomamos 1 Ahora solo falta encontrar el punto de cruce, para hacer esto, sustituimos el valor de K seleccionado en la fila anterior a la que se calculó, es decir, en este caso K se calculó en relación a las fila , por tanto la fila anterior es , debemos recordad que las filas van en potencias pares o impares. Tomando en cuenta esto el primer elemento tendrá la potencia 2 y el segundo elemento la potencia Cero.

Fila de :

1 25 8 0 Sustituimos por el valor de K seleccionado, en este caso 1:

1 1 25 8 1 0

2 33 0 Resolvemos para encontrar las raíces:

2 33 0

, 4.06202 Vemos que el resultado resulto un numero imaginario, lo cual nos dice que el valor que encontramos esta únicamente sobre el eje imaginario, esto significa que nuestra respuesta es muy probablemente la correcta, de obtener un valor distinto sabremos que hemos cometido un error. Podemos marcar estos puntos en nuestro bosquejo:

g) Vemos que aún nos falta determinar con que ángulo los polos complejos conjugados salen hacia los ceros, para esto podemos ayudarnos trazando líneas desde cada polo y cero hasta uno de los polos del que queremos conocer el ángulo de salida:

En este caso para obtener el valor de los ángulos se puede hacer por medición directa u obteniendo el ángulo del vector que forma cada línea, por ejemplo: Para : La recta que forma el ángulo contiene 5 unidades reales y 4 unidades imaginarias, el signo se tomaría siguiendo la recta desde el eje real, en este caso la recta se dirigiría hacia arriba y el lado izquierdo. El vector seria:

5 4 → √41∠141.34 Para : La recta que forma el ángulo contiene 7 unidades reales y 4 unidades imaginarias, el signo se tomaría siguiendo la recta desde el eje real, en este caso la recta se dirigiría hacia arriba y el lado izquierdo. El vector seria:

7 4 → √65∠150.255°

Sustituimos en nuestra ecuación:

180°

90° 141.34° 150.255° 180°

180° 201.595°

21.595° Este ángulo esta medio respecto a la misma horizontal que los demás, y vemos es positivo y lo podemos tomar tal cual:

21.595° Ahora podemos terminar nuestro bosquejo del lugar de las raíces:

h) Ahora debemos encontrar la K para el punto de cruce del eje

imaginario: Conocemos el valor del lugar de las raíces en ese punto, por lo cual solo necesitamos aplicar el criterio de magnitud:

: 4.06202 Aplicando el criterio de magnitud:

168.69°

| |6 252 4

.

| |4.06202 6 4.06202 254.06202 2 4.06202 4

1

1,

j) Ahora debemos encontrar la K para 0.5 Debemos primeramente encontrar el ángulo correspondiente a esta , sabemos que:

∠

0.5 60°


63.2563°

1.4

3

60° 2.4

4.1


2.4 4.1 Aplicando el criterio de magnitud:

| |6 252 4

. .

| |2.4 4.1 6 2.4 4.1 252.4 4.1 2 2.4 4.1 4

0.107255

Por cálculo hemos encontrado la K para 0.5, pero es importante mencionar que el resultado dependerá de cómo se dibujó el lugar de las raíces y de la perspectiva que la persona toma de la proyección de la intersección en los ejes.

K) Ahora podemos comparar nuestro resultado con Matlab:

2.4

4.1

60°


2 4 6

Y encuentre: - El valor de K para un sobrepaso de 10% para una entrada escalón

unitaria. - Tiempo de asentamiento, tiempo pico, tiempo de levantamiento y

error en estado estable para el valor de K encontrada anteriormente.


2, 4 6




∑ ∑2 4 6

34

2 1

180°2 0 14 1

180°13180° 60°

2 1

180°2 1 14 1

180°33180° 180°

2 1

180°2 2 14 1

180°53180° 300°


e) Calculamos el punto de salida: Tomamos la ecuación característica y la expandimos:

2 4 6 → 12 44 48 Derivamos:

3 24 44 Buscamos las raíces:

5.1547 2.8453 Vemos que la raíz que coincide con el lugar de las raíces es , por lo que ese punto es el de salida.


2 4 6 → 12 44 48


112??

444800

?12 ∗ 44 1 ∗ 48

1248012

?

48012 ∗ 48 12 ∗ 0

48012

480


48012

0

480 0

480

La raíz cumple con lo solicitado por lo que tomamos 480 Ahora solo falta encontrar el punto de cruce, para hacer esto, sustituimos el valor de K seleccionado en la fila anterior a la que se calculó, es decir, en este caso K se calculó en relación a las fila , por tanto la fila anterior es , debemos recordad que las filas van en potencias pares o impares. Tomando en cuenta esto el primer elemento tendrá la potencia 2 y el segundo elemento la potencia Cero. Fila de :

12 48 0

Sustituimos por el valor de K seleccionado, en este caso 480:

12 48 480 0

12 528 0 Resolvemos para encontrar las raíces:

12 528 0

, 6.63325 Vemos que el resultado resulto un numero imaginario, lo cual nos dice que el valor que encontramos esta únicamente sobre el eje imaginario, esto significa que nuestra respuesta es muy probablemente la correcta, de obtener un valor distinto sabremos que hemos cometido un error. Ahora marcamos este valor en nuestro bosquejo y trazamos una línea suave desde el punto de salida hasta el punto de cruce:

g) Encontrar K para un MP de 10%: Tenemos la siguiente ecuación:

ln %100

ln %100

Buscamos el valor de sustituyendo:

ln 10100

ln 10100

ln 0.10

ln 0.10

0.591155

h) Encontrar ángulo correspondiente a la encontrada:

∠

0.591155 53.761°


53.761° 2.1

2.8

2.4


2.1 2.8 Aplicando el criterio de magnitud:

| | | 2 4 6 | . .

| | | 2.1 2.8 2 2.1 2.8 4 2.1 2.8 6 | 45.51

45.51

i) Para encontrar los tiempos recordemos que:

1 Esta corresponde al vector que hemos encontrado con la K.

2.1 2.8 1 Separamos la parte real y la parte imaginaria:

2.1 2.8 1

Sabemos que:

4

1

Sustituimos:

4 42.1

1.9047

1 2.81.122

j) Para encontrar el error es estado estable para una entrada escalón recordamos:

11

lim→

45.512 4 6

0.935833

1

1 0.9358331

1.9358330.516573

k) Ahora podemos comparar nuestros resultados con Matlab:

Para el siguiente diagrama de bloques, con una K = 64,510. Encuentre:

- Factor de amortiguamiento relativo. - Sobrepaso en porcentaje. - Frecuencia natural no amortiguada. - Tiempo de asentamiento. - Tiempo Pico.

a) Simplificamos primeramente el diagrama de bloques:

- Simplificamos las retro:

1 0.020.00076

0.06

0.06 0.06 0.02 0.00076

0.06

0.06 0.02 0.0012 0.000760.06

0.00076 26.31 1317.37 78.940.06

- Hallamos la ecuación para poder bosquejar el lugar de las raíces:

0.00076 26.31 1317.37 78.940.06 7 1220

0.00076 26.31 1317.37 78.940.06 7 1220

0.00076 26.31 1317.37 78.940.06 7 1220

b) Teniendo la ecuación, podemos encontrar los polos y ceros.

0.00076 26.31 1317.37 78.94

0.06 7 1220

0, 0.06, 3.5 34.75 3.5 34.75

0.06, 13.12 33.81 13.12 33.81 Podemos observar que hay un polo y un cero en la misma posición, por lo cual podemos eliminarlos, la lista de polo y ceros quedaría:

0, 3.5 34.75 3.5 34.75

13.12 33.81 13.12 33.81

c) Marcamos en nuestro bosquejo estos lugares con los símbolos convenidos, y marcamos el lado a las izquierdas de cada polo o cero impar como lugar de las raíces:

d) Tomando en cuenta que los polos seguirán a los ceros, y que los polos nunca chocan entre sí, es evidente que no cruzaran el eje imaginario, por lo tanto calcular asíntotas y ángulos de las mismas no es necesario.

e) Tenemos polos complejos conjugados y ceros complejos conjugados, lo que debemos calcular son los ángulos de salida y entrada:

Iniciamos calculando el ángulo de salida:

Para :

La recta que forma el ángulo contiene 9.62 unidades reales y 0.94 unidades imaginarias, el signo se tomaría siguiendo la recta desde el eje real, en este caso la recta se dirigiría hacia arriba y el lado derecho. El vector seria:

9.62 0.94 → 9.66∠5.580°

Para :

La recta que forma el ángulo contiene 9.62 unidades reales y 68.56 unidades imaginarias, el signo se tomaría siguiendo la recta desde el eje real, en este caso la recta se dirigiría hacia arriba y el lado derecho. El vector seria:

9.62 68.56 → 69.23∠82.0127°

Para :

La recta que forma el ángulo contiene 3.5 unidades reales y 34.75 unidades imaginarias, el signo se tomaría siguiendo la recta desde el eje real, en este caso la recta se dirigiría hacia arriba y el lado izquierdo. El vector seria:

3.5 34.75 → 34.92∠95.7514°


180°

5.580° 82.01° 90° 95.7514° 180°

180° 98.16°

278.161°

81.83

Calculamos ahora el ángulo de entrada:

Para :


9.62 68.56 → 69.2316∠97.98°

Para :

La recta que forma el ángulo contiene 9.62 unidades reales y 0.94 unidades imaginarias, el signo se tomaría siguiendo la recta desde el eje real, en este caso la recta se dirigiría hacia abajo y el lado izquierdo. El vector seria:

9.62 0.94 → 9.665∠185.59

Para :


13.12 33.81 → 36.26∠111.209°


180°

90° 97.98° 185.59° 111.209° 180°

180° 304.779°

484.779°

127.779

Con estos datos podemos proceder a dibujar el Root Locus completo:

Para una K = 64,510 tenemos una aproximación en el punto -9.95 +41.1j, trazamos ese punto y buscamos su ángulo.

41.1

9.95

Podemos calcular el ángulo con trigonometría:

tan 41.19.95

tan41.19.95

76.391°

Con esto ya podemos calcular :

76.391°

0.2352

Para el sobrepaso en porcentaje tenemos que:

% ∗ 100.

√ . ∗ 100

% 0.467559 ∗ 100

% 46.7559%

Para la frecuencia natural no amortiguada podemos calcularla por trigonometría, sabemos que:

9.95 41.1

42.28 /

Para el tiempo de asentamiento:

4

4

0.2352 ∗ 42.280.4022

Para el tiempo de pico:

1

42.28√1 0.23520.076449

Podemos usar Matlab para verificar nuestro bosquejo:

- 6.1 Compensadores en atraso y adelanto y controladores PID.

DISEÑO DE CONTROLADORES PID 6



Capítulo 9


Capítulo 7

El siguiente sistema con retroalimentación unitaria opera a un sobrepaso de 10%.

3 7

Encuentra el valor para Kv y un compensador en atraso para un Kv de 4. Dibujamos el Root Locus de lo aprendido en el capítulo correspondiente:

Ahora buscamos el punto de operación con los datos proporcionados, calculando primero .

ln % /100

ln % /100

ln 10/100

ln 10/1000.591155

cos

cos 0.591155 53.761°

COMPENSADORES EN ATRASO Y ADELANTO Y

CONTROLADORES PID6.1

Trazamos una línea a ese ángulo y copiamos los puntos en los que cruza el lugar de las raíces.

El punto encontrado será nuestro punto de operación, en este caso:

1.1 1.53 Calculamos el valor de K para ese punto de operación:

| 3 7 | . .

28.0185 Nuestra función de transferencia seria:

28.01853 7

Calculamos Kv

lim→

lim→

28.01853 7

lim→

28.01853 7

28.01853 ∗ 7

1.3342

53.761°

1.53

1.1

Este sería el valor de nuestro Kv no compensado, el ejercicio nos pide un Kv compensada de 4, por lo tanto:

1.3342

4 Sacamos la relación:

41.3342

2.9980

Sabemos que la misma relación se cumple para:

2.9980

Proponemos un valor para el polo, y despejamos para el Zero:

0.12.9980

0.2998

Nuestro compensador seria:

0.29980.1

El siguiente sistema con retroalimentación unitaria opera a un sobrepaso de 10%.

3 5 7

Diseña un compensado para un Kp de 20. Dibujamos el Root Locus de lo aprendido en el capítulo correspondiente:

Ahora buscamos el punto de operación con los datos proporcionados, calculando primero y luego .

ln % /100

ln % /100

ln 10/100

ln 10/1000.591155

cos

cos 0.591155 53.761° Trazamos una línea a ese ángulo y copiamos los puntos en los que cruza el lugar de las raíces.

El punto encontrado será nuestro punto de operación, en este caso:

2.61 3.62 Calculamos el valor de K para ese punto de operación:

| 3 5 7 | . .

88.069 Nuestra función de transferencia seria:

88.0693 5 7

Calculamos Kp

lim→

lim→

88.0693 5 7

88.069

0 3 0 5 0 7

88.0693 ∗ 5 ∗ 7

0.8287

53.761°

3.70

2.61

Este sería el valor de nuestro Kp no compensado, el ejercicio nos pide un Kp compensada de 20, por lo tanto:

0.8287

20 Sacamos la relación:

200.8287

24.1342

Sabemos que la misma relación se cumple para:

24.1342

Proponemos un valor para el polo (cercano a cero), y despejamos para el Zero:

0.0124.1342

0.24134


0.241340.01

El siguiente sistema con retroalimentación unitaria opera a una de 0.707, diseñe un PD que reduzca el Ts en un factor de 2.

62 3 5

Dibujamos el Root Locus de lo aprendido en el capítulo correspondiente, en este caso ponemos especial atención en marcar el lugar de los polos y zeros:

Ahora buscamos el punto de operación con los datos proporcionados, calculando con la de 0.707.

cos

cos 0.707 45° Trazamos una línea a ese ángulo y copiamos los puntos en los que cruza el lugar de las raíces.

Ahora calculamos Ts

4

2.32 2.32

3.2809

4

0.707 ∗ 3.28091.7244

Ese sería nuestro Ts no compensado, el problema nos pide un Ts compensado a la mitad del original, es decir:

1.7244

0.8622 Buscamos con el Tsc:

40.8622

40.8622

45°

2.32

2.32

40.8622

4.6392

Teniendo en cuenta que trabajamos en un ángulo de 45°, nuestro punto de interés seria:

4.64 4.64 Para lograr que nuestro lugar de las raíces pase por esa posición debemos encontrar la posición de un nuevo Zero, para esto, dibujamos nuestro punto de interés, junto con la posición de nuestros polos y zeros originales y agregamos un Zero en una posición desconocida pero sobre el eje real, después trazamos líneas desde cada polo y Zero al punto de interés:

Buscamos el valor de Cada Teta, menos de 1, que es desconocida, esto lo hacemos conociendo el los valores de cada vector trazado: Para :

1.36 4.64 → → 73.664° Para :

0.36 4.64 → → 85.5635° Para :

2 3 5 6?

4.64 4.64

1.64 4.64 → → 109.466°

Para :

2.64 4.64 → → 119.638° La suma de estos ángulos, junto con debe ser de 180°, recordemos que los Zeros tienen símbolo positivo y lo polos negativo, la ecuación seria:

73.664° 85.5635° 109.466° 119.638° 180° Despejamos :

180° 73.664° 85.5635° 109.466° 119.638°

421.004° 61.0038° Sabemos la distancia del Zero propuesto al punto propuesto en el eje imaginario, con el valor del ángulo podemos buscar la distancia en el eje real:

Calculamos la parte faltante:

61.00384.64

2.5715

61.0038°

4.64

La posición completa seria:

El Zero para compensar seria:

7.2115 Ese sería nuestro PD.

2.5715 4.64

Diseñe un PID para un tiempo pico de 1.047s, trabajando con una de 0.8 y para un error en estado estable de cero.

1 4

Dibujamos el lugar de las raíces:

Para un tiempo pico de 1.047, sabemos que:

1.047

1.0473

El valor en el eje imaginario de nuestro punto de interés es:

3 Si es de 0.8

cos 0.8 36.8699

Buscamos la parte real del punto de interés:

Calculamos la parte real de nuestro punto de interés:

36.8699°3

4

El punto de interés seria:

4 3 Para lograr que nuestro lugar de las raíces pase por esa posición debemos encontrar la posición de un nuevo Zero, para esto, dibujamos nuestro punto de interés, junto con la posición de nuestros polos y zeros originales y agregamos un Zero en una posición desconocida pero sobre el eje real, después trazamos líneas desde cada polo y Zero al punto de

interés: Buscamos el valor de Cada Teta, menos de 1, que es desconocida, esto lo hacemos conociendo el los valores de cada vector trazado:

36.8699°

3

4 3

Para :

3 → → 90° Para :

3 3 → → 45° La suma de estos ángulos, junto con debe ser de 180°, recordemos que los Zeros tienen símbolo positivo y lo polos negativo, la ecuación seria:

45° 90° 180°

45° Como el ángulo es de 45° sabemos que la parte imaginaria es igual a la real, por lo tanto:

El PD seria:

7 El PI seria:

0.1

El controlador PID seria:

7 0.1

Nuestra función seria:

45°

3 4

7 0.11 4

Calculamos la K para nuestro punto de interés:

1 47 0.1

3.0485

3.0485 7 0.1

1 4


5 11

Encuentre la K con una operación de 30% de sobrepaso. El valor de Kv sin compensar. Diseñe un compensador en atraso-adelanto que baje el tiempo pico en un factor de 2, baje el porcentaje de sobrepaso en un factor de 2 y mejore el error en estado estable en un factor de 30. Para encontrar el valor de K, dibujamos primero el lugar de las raíces:

Para un sobrepaso de 30%, calculamos y :

ln % /100

ln % /100

ln 30/100

ln 30/1000.3578

cos

cos 0.3578 69.0313° Trazamos una línea a ese ángulo y copiamos los puntos en los que cruza el lugar de las raíces.

Nuestro punto de operación es:

1.45 3.9 Calculamos K:

| 5 11 | . .

245.496 Calculamos Kv sin compensar:

lim→

lim→ 5 11

lim→

245.4965 11

245.4960 5 0 11

4.4635

Calculamos el error en estado estable sin compensar:

1 14.4635

0.2240

69.0313°

3.9

1.45

Calculamos el Tp no compensado:

3.90.8055

Calculamos el Error en estado estable compensado:

0.224030

0.007468

Calculamos el Tp compensado:

0.80552

0.4027

Calculamos el sobrepaso compensado:

30%2

15%

Encontramos nuestro punto de interés:

0.4027

0.40277.8

ln % /100

ln % /100

ln 15/100

ln 15/1000.5169

cos

cos 0.5169 58.8734° Con esta información trazamos un triángulo y encontramos nuestro punto de interés:

7 8

58.87347.8

4.7102 El punto de interés es:

4.7102 7.8 Para nuestro compensador en adelanto debemos proponer un Zero y calcular un nuevo Polo en relación a nuestro punto de interés, es conveniente agregar el Zero del compensador sobre un polo existente, pongámoslo esta ocasión en -5.

58.8734°

7.8

Dado que y son iguales y con signo contrario podemos omitirlos en la ecuación. Para :

6.2898 7.8 → → 51.1178° Para :

4.7102 7.8 → → 121.127°

180

51.1178° 121.127° 180

7.7555 Ahora que tenemos el ángulo calculamos la posición de nuestro Polo

7.75557.8

57.2699

El polo estaría ubicado en:

61.9801

Nuestro compensador en adelanto junto nuestra función inicial quedaría:

55 11 61.9801

Buscamos la K para nuestro punto de interés:

5 11 61.98015 . .

5277.09

5277.09 55 11 61.9801

Para el compensador en atraso, recordemos que nos piden un error compensado de:

7.7555

7.8

4.71

0.224030

0.007468

Que seria:

10.007468

Por lo tanto nuestra Kv compensada seria:

10.007468

113.908

Nuestra Kv no compensada la calculamos:

lim→

lim→

5277.09 55 11 61.9801

lim→

5277.0911 61.9801

5277.09

0 11 0 61.98017.74016

Por lo tanto:

113.908

7.74016

La relación seria:

113.9087.74016

14.7165

Que seria la misma que:

14.7165

Proponemos un polo muy cercano a cero y buscamos el valor de nuestro Zero:

0.00114.7165

0.014716

El compensador en atraso seria:

0.0147160.001

La función con ambos compensadores finalmente quedaría como:

5 0.0147165 11 61.9801 0.001

0.01471611 61.9801 0.001


Suponiendo que:

0.04 0.0187 1

0.227 Diseñe un compensador en atraso para para obtener un error en estado estable, de una entrada escalón unitario de 10%. Tenemos que la función seria:

0.01870.267 0.00908

Calculamos nuestra constante sin compensar:

lim→

lim→

0.01870.267 0.00908

0.0187

0 0 0.009082.0594

Nos pide un error en estado estable de 10% en relación a una entrada escalón unitario, por lo tanto:

0.11

1

110.1

10 1 9

En resumen, tenemos que:

9

2.0594 La relación seria:

92.0594

4.37

Que es la misma relación que se mantiene en:

4.37

Proponemos un polo cercano a cero y despejamos para la ubicación de nuestro Zero:

0.0014.37

0.00437


0.004370.001

- 7.1 Respuesta en Frecuencia. - 7.2 Diagramas de Bode.

RESPUESTA EN FRECUENCIA 7


Sistemas de control Automático (Benjamin Kuo)

Capítulo 9


Capítulo 10


Capítulo 8

Encuentra expresiones analíticas para la respuesta de magnitud y fase para:

12 4

Tenemos que:

16 8

Para la magnitud:

1

8 6

Para la Fase:

86

RESPUESTA EN FRECUENCIA 7.1


5

2 4

Tenemos que:

40 2220 64

Para la magnitud:

40 2220 64

Para la Fase:

arctan2240


3 54 2

Tenemos que:

2 13 25 12020 64

Para la magnitud:

2 13 25 12020 64

Para la Fase:

arctan25 120

2 13

Para el siguiente sistema dibuja la gráfica de magnitud y de fase:

12 4

DIAGRAMAS DE BODE 7.2

0.1 1 10 100

10

20

50

80

110

140

0.1 1 10 100

90

120

150

180

210

240

270


5

2 4

0.1 1 10 100

4

8

12

16

20

24

28

32

36 40

0.1 1 10 100

0 9

18

27

36

45

54

63

72

81

90


3 54 2

0.1 1 10 100

30

23

16

9

2

5

12

19

26

33

40

0.1 1 10 100

90

92

94

96

98

100

102

104

106

108

Para el siguiente sistema dibuja los diagramas de bode de magnitud y de fase:

12 4

0.1 1 10 100

10

0

10

20

30

40

50

0.1 1 10 100

0

45

90

135

180

225

270

deg


5

2 4

0.1 1 10 100

10

0

10

20

30

40

50

0.1 1 10 100

0

45

90

135

deg


3 54 2

0.1 1 10 100 30

20

10

0

10

20

30

0.1 1 10 100

90

100

110

120

130

140

150

deg


999.128.94 44.7

20.7 34.858 60.7

1 10 100 1000

30

26

22

18

14

10

6

2

2

1 10 100 1000

20

20

40

60

80

100

0

deg


102 10

0.01 0.1 1 10

40

31

22

13

4

5

14

23

32

41

50

0.01 0.1 1 10

90

120

150

180

210

240

deg


22.54 0.9 9

0.1 1 10 100

10

1

12

23

34

45

56

67

78

89

100

0.1 1 10 100

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

deg

problemario control1

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