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1 UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA SISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR PROBLEMARIO PARA LA XXI OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS

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Problemario XXI Olimpiada Universitaria de Matemáticas

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Page 1: PROBLEMARIO FINAL

1

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA SISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

PROBLEMARIO PARA LA

XXI OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS

Page 2: PROBLEMARIO FINAL

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Directorio

Dr. Marco Antonio Cortés Guardado Rector General de la Universidad de Guadalajara Dr. Miguel Ángel Navarro Navarro Vicerrector Ejecutivo de la Universidad de Guadalajara Lic. José Alfredo Peña Ramos Secretario General de la Universidad de Guadalajara Dra. Ruth Padilla Muñoz Directora General del Sistema de Educación Media Superior Mtro. Albert Héctor Medel Ruíz Secretario Académico del Sistema de Educación Media Superior Lic. José Jesús Ramírez Flores Coordinador de Apoyos Académicos Lic. José Eduardo Castañeda Mendoza Director de La Escuela Preparatoria No. 2 Mtra. María Del Pilar Morfín Heras Coordinadora del Comité Organizador de la XXI Olimpiada Universitaria de Matemáticas Mtro. Arturo Fernando Rico Coordinador Académico de la Escuela Preparatoria No. 2

Page 3: PROBLEMARIO FINAL

3

LA UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA

EL SISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

CONVOCA

A los alumnos del Sistema de Educación Media Superior a participar en la

XXI OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS

BASES

1. Podrán participar los alumnos de escuelas preparatorias, politécnicas, módulos e incorporadas a la Universidad de Guadalajara.

2. Para su realización, la Olimpiada será dividida en dos niveles

Nivel I: Alumnos de primer, segundo o tercer semestre.

Nivel II: Alumnos de cuarto, quinto o sexto semestre.

3. Cada plantel puede inscribir un máximo de cuatro alumnos en el nivel I y dos alumnos en el nivel II.

INSCRIPCIONES

Se podrán realizar a través del correo electrónico: [email protected], proporcionando los siguientes datos:

Nombres completos de los alumnos de su selección

Plantel a que pertenecen

Semestre que cursa

Nivel en el que participarán, y

Nombre completo del profesor que los acompañará

Nombre completo del profesor asesor

Las inscripciones se cerrarán el miércoles 27 de octubre de 2010.

Page 4: PROBLEMARIO FINAL

4

ORGANIZACIÓN Y APOYOS

Se propone que el coordinador de la Olimpiada de Matemáticas de cada plantel organice un concurso interno para seleccionar a los estudiantes que representarán a su escuela.

Los alumnos deberán ser acompañados el día del concurso por un profesor, el cual deberá participar en el buen desarrollo de la Olimpiada, el cual tendrá la oportunidad de incorporarse a un taller dirigido a docentes, donde además se resolverá el examen aplicado a los alumnos participantes.

CONCURSO

1. La Olimpiada se llevará a cabo el día 30 de Octubre de 2010 a las 9:00 horas, en las instalaciones de la Escuela Preparatoria 2, ubicada en la calle Emilio Rabaza y Alvarez del Castillo No. 760 S.L., C.P. 44370.

2. El examen del concurso consta de cinco problemas sobre matemáticas que se deberán resolver en un tiempo máximo de 4 horas y media.

3. La participación es individual.

4. Los participantes deberán presentarse con lápices, colores y estuche de geometría.

5. No se permitirá el uso de calculadoras ni tablas matemáticas

PREMIACIÓN

Se premiarán alrededor de 10 estudiantes con primer lugar, 15 con segundo lugar y 20 con tercer lugar en el nivel I, y en el nivel II alrededor de 5 estudiantes con primer lugar, 10 con segundo y 15 con tercer lugar.

Los resultados se publicarán el miércoles 3 de Noviembre a través de la Coordinación de Apoyos Académicos del Sistema de Educación Media Superior.

La ceremonia de premiación se dará a conocer junto con los resultados del certamen.

INFORMES

Área de Olimpiadas

Coordinación de Apoyos Académicos

Sistema de Educación Media Superior

Tel. 39 42 41 00 Ext. 4140

Page 5: PROBLEMARIO FINAL

5

Correo electrónico: [email protected]

Coordinación Académica

Escuela Preparatoria 2

Teléfono: 36.49. 21.85, 36.43. 73.58

Correo(s) electrónicos: [email protected] , [email protected]

Page 6: PROBLEMARIO FINAL

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RESULTADOS XX OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS OCTUBRE DE 2009

PRIMEROS LUGARES NIVEL I

Lemus Machuca, José de Jesús Esc. Preparatoria Reg. de la Barca

Carbajal Gutiérrez, José Julio Escuela Preparatoria 11

Valdéz Cruz, José Alfonso Escuela Preparatoria 2

Huerta Guzmán, Andrea Georgina Escuela Vocacional

Macías Partida, Carlos Escuela Preparatoria 3

Arias Andrade, Erick Gustavo Esc. Preparatoria Reg. de Arandas

Pimienta Hernández, Edgar Reynaldo Esc. Preparatoria Reg. de El Grullo

Nieves Peredo, Blanca Estela Escuela Preparatoria 10

Orozco Rolón Kerim Josué Escuela Preparatoria 13

Peña Romero, Carlos Alberto Esc. Preparatoria Reg. de Ameca

Meixueiro Valdivia, Laura Margarita Escuela Preparatoria 5

Navarro Martínez, Laura Alicia Escuela Preparatoria 5

SEGUNDOS LUGARES NIVEL I

González Quezada Marlene Escuela Preparatoria 13

Zepeda Zúñiga, Nancy Esc. Preparatoria Reg. de Zacoalco

Rodríguez Bustos, Christian Ramón Esc. Preparatoria Reg. de Arandas

García Baldovinos, Luís Armando Esc. Preparatoria Reg. de Zapotiltic

Oropeza González, Andrea Edith Escuela Preparatoria 11

Hernández Grajeda, Juan Francisco Esc. Prep. Reg. de San Martín Hidalgo

Alatorre Calderón, Gabriel Esc. Preparatoria Reg. de Tala

Flores Aguilar, María Teresa Escuela Preparatoria 10

Cervantes Contreras, Jaime Israel EREMSO

Valdivia Loza, Rubén Esc. Prep. Reg. de San Juan de Los Lagos

Figueroa Mesa, Luis Fernando Esc. Preparatoria Reg. de Autlán

Mendoza Rojas, Andrés Esc. Preparatoria Reg. de Ciudad Guzmán

García Castro, Angélica Lizeth Esc. Preparatoria Reg. de Tala

Delgado Parra, Jessica Jaqueline Escuela Preparatoria 2

Quiñonez Mejía, Edgar Omar Esc. Preparatoria Reg. de Zacoalco

Sánchez Cobián, Refugio Esc. Preparatoria Reg. de Ahualulco

Gallardo Becerra Luigui Michel Escuela Preparatoria de Jalisco

Olmedo Ortiz, Daniela Escuela Preparatoria 11

Delgadillo Alcaráz, Virginia Escuela Preparatoria de Tonalá

Rivera Jiménez Gerardo Escuela Preparatoria 13

García Santibañez Diana Karen Escuela Preparatoria 7

Page 7: PROBLEMARIO FINAL

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TERCEROS LUGARES NIVEL I

Espinosa Sánchez, Alfonso Esc. Preparatoria Reg. de La Barca

Sánchez Carlos, Josias Abisai Esc. Preparatoria Reg. de La Barca

Chitala Márquez, Miguel Esc. Preparatoria Reg. de Tlajomulco

Archila López, Carlos Noel Escuela Preparatoria 3

Hernández Paz, Laura María Eremso

López López Noé Alejandro Escuela Preparatoria 7

Rodríguez Orozco, Miriam Esc. Preparatoria Reg. de Ahualulco

Lua Hobbs, Juan José Esc. Preparatoria Reg. de Chapala

Ramírez Aguayo, José Carlos Esc. Preparatoria Reg. de Tala

Álvarez Corona, Silvia Araceli Escuela Preparatoria de Jalisco

Flores Ríos, Oscar Escuela Preparatoria 2

López Correa, Ángel Emanuel Escuela Preparatoria 8

Zepeda Mora, Alejandro Escuela Preparatoria 8

Aranda, Adrián Rodrigo Escuela Preparatoria 16

González Huerta, Leslie Escuela Vocacional

Romo López Carolina Escuela Preparatoria 7

Urrutia Islas Angélica Gisel Centro Educacional Tlaquepaque III

Rico Aldana, Manuel Alejandro Esc. Preparatoria Reg. de Atotonilco

Castro Ramírez, Gabriel Esc. Preparatoria Reg. de Ameca

Arias Quiñones, Gustavo Ervet Esc. Preparatoria Reg. de La Barca

Esparza Alba, Saraí Evangelina Esc. Preparatoria Reg. de Tlajomulco

Díaz Pérez, Ana Lilia Escuela Preparatoria 12

Vidrio Sahagún, Cuauhtemoc Tonatiuh Escuela Preparatoria 12

Cuevas Gómez, Guadalupe Adriana Esc. Prep. Reg. de San Juan de Los Lagos

Huerta Torres, Jaime Osvaldo Esc. Preparatoria Reg. de Arandas

Pelayo Ambríz, Lorena Jael Esc. Preparatoria Reg. de Autlán

Huerta Ruíz, Josué Marco Antonio Esc. Preparatoria Reg. de Tequila

Rivera Venegas, César Alberto Escuela Preparatoria 10

Íñiguez Ochoa, Andrea del Rocío EREMSO

Barrera Anduaga Sthepania Escuela Preparatoria 7

Page 8: PROBLEMARIO FINAL

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PRIMEROS LUGARES NIVEL II

Rangel Villanueva, Sabás Antonio Escuela Preparatoria 10

Pérez Lomelí, Eduardo Eremso

Torres Torres, Víctor Escuela Preparatoria 2

Soto Rubio, Diego Tonatiuh Esc. Preparatoria Reg. de Autlán

Valdivia Contreras, Antonio de Jesús Escuela Preparatoria de Tonalá

SEGUNDOS LUGARES NIVEL II

Torres Chavarín, Juan Daniel Escuela Preparatoria 5

González Quintero, Francisco Escuela Preparatoria 8

Juárez Flores, Erick David Escuela Preparatoria 11

Camarena Díaz, Mónica Alejandra Escuela Preparatoria 11

Torres Rodríguez, Admin Enrique Escuela Vocacional

Bravo García, Rodolfo Esc. Preparatoria Reg. de Atotonilco

Zepeda García Víctor Hugo Esc. Preparatoria Reg. de Ameca

Aguirre Basulto, César Alonso Escuela Preparatoria de Tonalá

TERCEROS LUGARES NIVEL II

Cobián Medina, Eduardo Esc. Preparatoria Reg. de El Grullo

Chavarría Navarrete, Jesús Esc. Preparatoria Reg. de La Barca

Ortíz Zepeda, Jorge Escuela Preparatoria 2

Aguilar Cortina, Abraham Esc. Preparatoria Reg. de Ameca

Barajas Ochoa, Jorge Aldo Esc. Preparatoria Reg. de La Barca

Alcalá Vargas, Nayeli Esc. Preparatoria Reg. de Tala

Mata Guerrero, Miguel Alejandro Escuela Preparatoria 3

Martín del Campo Godínez, Reynaldo Escuela Preparatoria 8

Orozco García, Abraham de Jesús Eremso

Márquez Muñoz, Antonio de Jesús Esc. Prep. Reg. de San Juan de Los Lagos

Villaseñor Ochoa, Gabriel Alejandro Esc. Preparatoria Reg. de Ciudad Guzmán

Vázquez Pelayo, Hugo César Esc. Preparatoria Reg. de El Grullo

Castillo Orozco, Alejandra Larissa Esc. Preparatoria Reg. de San Martin Hidalgo

Vázquez González, Omar Esc. Preparatoria Reg. de Arandas

Montes López, Manuel Alfonso Esc. Preparatoria Reg. de Chapala

Sánchez Agredano, Guillermo Ramiro Esc. Preparatoria Reg. de Chapala

Delgadillo Grajeda, Arnoldo Esc. Preparatoria Reg. de Sayula

Page 9: PROBLEMARIO FINAL

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PROBLEMAS

EXAMEN DE LA VIII OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE

MATEMÁTICAS NIVEL I

Problema 1

¿Cuántos enteros mayores que 53 000 tienen las siguientes propiedades:

i) todos sus dígitos son diferentes, y

ii) los dígitos 0 y 8 no aparecen en el entero

Problema 2

Si N es un número de cinco dígitos que cuando le ponemos un 1 al final resulta que es tres veces

más grande que el número que obtenemos cuando le ponemos un 1 al principio; encuentra N.

Problema 3

Determina el valor de x

Problema 4

En una fábrica de juguetes se van a pintar tetraedros regulares todos del mismo tamaño (un

tetraedro regular es una figura sólida formada con cuatro triángulos equiláteros). Si se pinta cada

cara con alguno de los cuatro colores que se tienen en la fábrica. ¿De cuántas maneras distintas

se pueden pintar, si en cada cara pueden usar cualquiera de los colores y estos pueden repetirse?

(Decimos que dos coloraciones son iguales si los tetraedros pueden girarse a alguna posición de

modo que todas las caras correspondientes tengan colores iguales).

Problema 5

Si ABCD tiene área igual a un centímetro cuadrado y M y N son los puntos medios de los lados

AB y BC respectivamente. ¿Qué área tiene la región sombreada?

Page 10: PROBLEMARIO FINAL

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EXAMEN DE LA X OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS

NIVEL I Problema 6

Mi bisabuela Rosa Elena dice que cumplió n años en el año 2n . Si a n le sumo el número de

mes en que nació, tengo como resultado el cuadrado del número del día en que nació. ¿Cuál es

la fecha de nacimiento de mi bisabuela Rosa Elena?

Problema 7

Juan está escribiendo números de tres dígitos en tarjetas, pero al escribir el 161 se dio cuenta que

le sirve para el 191 cuando pone la tarjeta de cabeza. Encuentra el mínimo número de tarjetas

que necesita Juan para escribir todos los números de tres dígitos, tomando en cuenta que los

dígitos 0, 1 y 8 quedan igual al poner la tarjeta de cabeza y que con el 6 se convierte en 9 y

viceversa.

Problema 8

Si el paralelogramo ABCD tiene área 21m y los puntos M y N son los puntos medios de los

lados AB y CD respectivamente. ¿Qué área tiene la región sombreada?

Problema 9

Encuentra el número entero más pequeño formado solamente con los dígitos 3 y 7, de tal manera

que tanto el entero como la suma de sus dígitos sea divisible entre 3 y 7.

Problema 10 Dado el paralelogramo ABCD y M la intersección de sus diagonales, encuentra una línea que

pase por M y divida el paralelogramo en dos piezas con las que se pueda armar un rombo

Page 11: PROBLEMARIO FINAL

11

EXAMEN DE LA VIII OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE

MATEMÁTICAS NIVEL II

Problema 11

Encuentra los enteros c y d con los cuales dc 22 es igual al número de cuatro dígitos 2c9d, es

decir, dcdc 9222 ¿Es única la solución? (Justifica tu respuesta).

Problema 12

¿Cuántos elementos hay entre 1000 y 9999, con la propiedad de que la suma de sus dígitos sea

exactamente 9?

Problema 13

Si el rectángulo ABCD tiene área 1 2cm y M es el punto medio del lado AB. ¿Qué área tiene la

figura sombreada?

Problema 14

Sea N un número entero tal que !1997

!19973N encuentra la mayor potencia de 3 que divida a

N.

NOTA: Recuerda que n!=(1)(2)(3)...(n-1)(n)

Problema 15

Dado un círculo C y dos puntos P y Q en su interior; Construye un triángulo rectángulo inscrito

en C; de tal manera que uno de sus catetos pase por P y el otro por Q, ¿para qué posición de los

puntos P y Q es imposible hacer la construcción?

EXAMEN DE LA X OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS

NIVEL II

Problema 16

Considere un conjunto C formado por veinte puntos del espacio tridimensional. Encuentra el

número de planos distintos que contengan al menos tres puntos de C, si sabemos que C contiene

un subconjunto S con ocho puntos pertenecientes a un mismo plano y que si cuatro puntos de C

están en un mismo plano, entonces esos cuatro puntos están en S.

Page 12: PROBLEMARIO FINAL

12

Problema 17

Dos triángulos isósceles se unen como se muestra en la siguiente figura

Pruebe que los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD que se formó, son los

vértices de un cuadrado.

Problema 18

Corresponde al problema 9

Problema 19

Diremos que un número natural es travieso si su desarrollo binario tiene una cantidad impar de

dígitos 1. El 6 no es travieso porque su desarrollo binario, 110, tiene una cantidad par de dígitos

1. Determinar la cantidad de números traviesos que son menores o iguales a 1999.

Problema 20

Demuestre que el área del paralelogramo ABCE es la misma que el área de la figura curvilínea

encerrada por la semicircunferencia AB y los arcos AD y DB. Observe que los centros de los

arcos AD y DB son los puntos E y C respectivamente y D es el punto medio del lado CD.

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EXAMEN DE LA XIV OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE

MATEMÁTICAS NIVEL I

Problema 21

Encuentra el valor entero positivo de n, para que se cumpla la siguiente igualdad

101/11

102/11

103/11

. . . 10n/11

= 100 000

Problema 22

En el cuadrilátero ABCD el ángulo en A mide 42o. Se traza la diagonal BD y resulta que el ángulo

ABD es el doble del ángulo exterior a B y el ángulo BDA es el doble del ángulo exterior a D.

¿Cuánto mide el ángulo en C?

Problema 23

Encuentra todos los números de 3 cifras, abc, con a, b y c diferentes a cero, que cumplan la

siguiente propiedad

abc = a! + b! + c!

Aclaración: Si n es un entero n! = 1·2· . . .·n. Por ejemplo, 5! = 1·2·3·4·

Problema 24

En el triángulo isósceles ABC, AB = BC = 12.

P es el punto del lado AB, tal que PB = 8 y

Q es el punto del lado BC, tal que BQ =8.

Los segmentos AQ y CP se cortan en el punto X.

Si el área del cuadrilátero PBQX es 8, encuentra el área del triángulo ABC

Problema 25

¿Cuántos enteros entre 1 y 1 000 000 no son cuadrados perfectos, ni cubos perfectos?

Aclaración: n es cuadrado perfecto si n = k2 para algún entero k

m es cubo perfecto si m = p3 para algún entero p

EXAMEN DE LA XIV OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE

MATEMÁTICAS NIVEL II

Problema 26

Encuentra todos los pares de enteros (x,y) tales que 22x

– 32y

= 55

Problema 27

En el triángulo isósceles ABC, AB = BC = 12.

P es un punto del lado AB, tal que PB = (2/3)AB y

Page 14: PROBLEMARIO FINAL

14

Q es un punto del lado BC, tal que BQ = (2/3)AB.

Los segmentos AQ y CP se cortan en el punto X.

Si el área del cuadrilátero PBQX es 8, encuentra el área del triángulo ABC

Problema 28

Hay que escribir una fila de 20 dígitos de manera que la suma de tres dígitos consecutivos de la

fila sea siempre múltiplo de 5.

¿Cuál es la máxima cantidad de dígitos distintos que puede haber en la fila?

Aclaración: los dígitos son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Problema 29

Sea A1A2A3A4A5A6A7A8 un octágono regular y sea P el punto de intersección de las rectas A1A2 y

A6A8.

Sabiendo que la diagonal A1A5 mide 6, calcular la medida del segmento PA8

Problema 30

Los números enteros comprendidos entre 100 000 y 999 999 fueron clasificados de la siguiente

manera: “ dos números pertenecen a la misma clase si están formados por los mismos dígitos y

sólo difieren en el orden”.

Por ejemplo: los enteros 552 221 y 125 252 pertenecen a la misma clase.

¿Cuántas clases se formaron?

PROBLEMAS VARIOS

Problema 31 Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de

las cuales solo una es correcta, a. ¿en cuántas formas diferentes puede un estudiante escoger una

respuesta para cada pregunta?, b. ¿en cuántas formas puede un estudiante escoger una alternativa

para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas?

Problema 32

Un testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó, le indica al policía que el

número de matrícula del automóvil tenía las letras DUH seguidas por tres dígitos, el primero de

los cuales era un cinco. Sí el testigo no puede recordar los otros dos dígitos, pero está seguro de

que los tres eran diferentes, encuentre el número máximo de registros de automóvil que debe

verificar la policía.

Problema 33 a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobús?, b) Si tres de ellas

insisten en seguirse una a la otra, ¿en cuántas formas es esto posible?

c) Si dos personas se rehúsan a seguirse una a la otra?

Page 15: PROBLEMARIO FINAL

15

Problema 34

a) ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6, si cada

uno solo puede usarse solo una vez?, b) ¿cuántos de estos números son nones?, c) ¿cuántos son

mayores que 330?

¿En cuántas formas pueden sentarse en una línea 4 niños y 5 niñas, si deben colocarse

alternadamente?

Problema 35

Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. ¿En cuántas formas diferentes

pueden sentarse a. sin restricciones?, b. ¿si se sientan por parejas?, c. ¿si todos los hombres se

sientan juntos a la izquierda de todas las mujeres?.

¿En cuántas formas pueden llenarse las 5 posiciones iniciales de un equipo de baloncesto con 8

jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas?

Problema 36

¿Cuántos caminos distintos se pueden seguir para llegar del punto A al punto B en la figura de la

“torre petrolera” si solo está permitido moverse hacia abajo y hacia los lados, pero no hacia

arriba?

Problema 37

Dados seis puntos en un plano, ¿cuál es mayor número de cuadriláteros que se pueden formar con

cuatro de ellos?

Problema 38

En la figura, B es el punto medio de AC, y ED || AC. Demuéstrese que ΔABE = ΔBCD.

Page 16: PROBLEMARIO FINAL

16

Problema 39

En la siguiente figura los lados grandes y chicos son todos iguales entre sí. Los lados chicos

miden la mitad de los grandes. Todos los ángulos son rectos y el área es 200 cm2. ¿Cuál es el

perímetro de la figura?

Problema 40

En la siguiente figura ABCD es un cuadrado. AB = 12. S A’, B’, C’ y D’ son puntos medios de

AO, BO, CO y DO respectivamente, encontrar el área de la región sombreada.

Problema 41

En la figura los puntos P, Q, R y S dividen cada lado del rectángulo en razón 1:2. ¿Cuál es el

cociente entre el área del paralelogramo PQRS y el área de ABCD?

Problema 42

Hallar el área de un triángulo equilátero de lado 2, y también el área de un triángulo equilátero de

lado k.

Problema 43

Un cubo se encuentra inscrito en una esfera cuyo radio mide 1 cm. ¿Cuál es la longitud del lado

del cubo?

Page 17: PROBLEMARIO FINAL

17

Problema 44

En un triángulo equilátero de papel se doblan las tres esquinas hacia adentro de tal manera que

los tres vértices queden justo en el centro del triángulo. Describir el contorno de la figura

obtenida.

Problema 45

Cinco triángulos equiláteros, cada uno de lado 2, son arreglados de tal manera que todos ellos

están del mismo lado de una línea que contiene un lado de cada uno. Sobre la línea, el punto

medio de la base de un triángulo es un vértice del siguiente. ¿Cuál es el área de la región del

plano que es cubierta por la unión de los triángulos?

Problema 46

Un cuadrado y un rectángulo tienen áreas iguales. Si el rectángulo mide 25 cm, por 16 cm. ¿Cuál

es la longitud de un lado del cuadrado?

Problema 47

La altura de un triángulo equilátero es 12. Determinar la longitud de un lado y el área del

triángulo.

Problema 48

Un trapecio tiene lados paralelos de 13 cm y 21 cm de longitud. El lado más largo de los lados no

paralelos mide 17 cm y el más corto es perpendicular a los lados paralelos. Calcúlese el área del

trapecio

Problema 49

Sea ABCD un cuadrilátero cíclico, una circunferencia C1 que pasa por A y D corta a la recta AB

en E, y otra circunferencia C2 que pasa por C y D corta a la recta BC en F. Sea G el segundo

punto de intersección de C1 y C2. Muestre que E, F y G son colineales.

Page 18: PROBLEMARIO FINAL

18

Problema 50

Si AB y CD son dos diámetros de una circunferencia, entonces AC = BD y AC || BD.

Problema 51

Demostrar que las tangentes a una circunferencia en los extremos de un diámetro son paralelas.

Problema 52

En la figura, cada una de las circunferencias con centros A, B y C es tangente a las otras dos. Si

AB = 10, AC = 14 y BC = 18, determínese el radio de cada circunferencia.

Problema 53

AB es un diámetro de una circunferencia y C y D son puntos de la misma a lados opuestos de AB

tales que BC = BD. Demuéstrese que ΔABC ≅ ΔABD.

Problema 54

Si dos tangentes a una circunferencia se intersecan, forman un triángulo isósceles con la cuerda

que une los puntos de tangencia.

Page 19: PROBLEMARIO FINAL

19

Problema 55

En la figura de la derecha, si RP = 8, MP = 6 y PQ = 3, calcular KQ

Problema 56

Se da la circunferencia con centro P y, además, CB || PQ. Si BCP = 55°, determínense los

ángulos BPQ y APD.

Problema 57

En dos caras no opuestas de un cubo se trazan diagonales a partir de uno de los vértices. Encuentra

la medida del ángulo formado entre ellas. Nota: Un cubo es una figura solida formada por seis caras

cuadradas, se puede pensar en un dado.

Page 20: PROBLEMARIO FINAL

20

Problema 58

El lado del cuadrado grande mide 10 metros. Si se unen los puntos medios de los lados con los

vértices, ¿Cuál es el área del cuadro central?

Problema 59

Encuentre el mayor número cuyas cifras suman 31.

Problema 60

¿Cuántos números enteros entre 2 y 2002 son divisibles por 3?

Problema 61

Hallar los números de la forma 1b1cbc divisibles por 63.

Problema 62

Hallar la menor fracción que, dividida por ¾, 7/8 y 11/12 dé cocientes enteros.

Problema 63

Encuentra la suma de todos los números impares menores a 1000000.

Problema 64

El primer examen selectivo para la olimpiada de matemáticas en Jalisco tiene 20 preguntas. Cada

pregunta tiene un valor de 3 puntos si es contestada correctamente, 0 puntos si es contestada

equivocadamente y 1 punto si se deja sin contestar. La calificación de los participantes es la suma

de los puntos obtenidos en los 20 problemas. ¿Cuántas calificaciones distintas se pueden obtener

en el examen?

Si el examen es de opción múltiple y cada problema tiene 4 opciones ¿Qué conviene más?

Adivinar las respuestas o dejar el examen sin contestar.

Problema 65

Supongamos que desea resolverse el problema 1 (la suma de todos los impares menores a

1000000) haciendo toda la operación:

“1+3+5+7+9+11+........+999997+999999= ” en una calculadora. Si tardamos 1 minuto en

presionar 100 teclas de la calculadora, .cuanto tiempo tardaremos en obtener el resultado de la

suma?

Page 21: PROBLEMARIO FINAL

21

Problema 66

El precio de los dulces en una tienda es menor a $2.00, pero mayor a $1.03. En la tienda se

vendieron todos los dulces a un total de $31.45. Si todos los dulces valen lo mismo .cuantos

dulces se vendieron?

Problema 67

Encuentra todos los valores de x que sean solución de la ecuación: 8x+2=4x+2x+1.

Problema 68

Los números de dos cifras 96 y 46 tienen la curiosa propiedad de que al multiplicarlos el

resultado es igual al obtenido si cambiamos la posición de las cifras de cada uno. Es decir

96x46=69x64.

Determina si que existe otro numero de dos cifras; distinto a 46, que tiene la misma propiedad al

multiplicarlo por 96 ¿Cuántos números diferentes hay con esa propiedad?

Problema 69

Un lógico (L) y un matemático (M) son amigos y cumplen años el mismo día. En una de sus

fiestas de cumpleaños platican sobre sus respectivas edades. Aquí dialogo:

L: Estoy pensando en tres números enteros que multiplicados dan 2450 y sumados dan tu edad.

M: Después de pensarlo mucho, no puedo saber con seguridad en cuales números estás pensando.

L: Cada uno de los números es menor a mi edad.

M: Ahora ya sé cuáles son los números en los que estás pensando.

Encuentra las edades de ambos amigos.

Problema 70

Un grupo de pintores deben pintar 279 puertas. 186 puertas deben ser pintadas de blanco y el

resto deben ser pintadas de negro. Durante la primera mitad del día todos los pintores se dedican a

pintar puertas blancas. En la segunda mitad del día, la mitad de los pintores pintan puertas blancas y la

otra mitad pintan puertas negras. Las puertas blancas quedan terminadas justo al terminar el primer

día, pero no todas las negras. El siguiente día es dedicado por un solo pintor para terminar de pintar el

resto de las puertas negras. .Cuantos pintores había?

Problema 71

En un baile había 28 personas, N de ellas eran mujeres. La mujer 1 bailo con 5 hombres, la mujer 2

bailo con 6 hombres, la mujer 3 bailo con 7 hombres y así sucesivamente hasta la mujer N que bailo

con todos los hombres. .Cuantos hombres y cuantas mujeres había en el baile?

Problema 72

Cuando se divide el número 1999 2000

por 5, el residuo es

Page 22: PROBLEMARIO FINAL

22

Problema 73

Andrés, Benito, Carlos y Daniel tienen sus oficinas en el mismo edificio. Uno de ellos es abogado,

otro es banquero, otro es contador y otro es dentista. Si tenemos la siguiente información:

- Daniel es cliente del abogado.

- El contador es amigo de Benito, pero ninguno es cliente del otro.

- El dentista tiene como cliente a Daniel.

- Ni Andrés ni el dentista conocen a Carlos.

¿Cómo se llama el abogado?

Problema 74

Alberto, Bernardo, Carlos y Diego fueron a cenar en compañía de sus esposas.

En el restaurante se sentaron alrededor de una mesa redonda de forma que:

I. Ningún marido se sentó al lado de su esposa.

II. Al frente de Alberto se sentó Carlos.

III. A la derecha de la esposa de Alberto se sentó Bernardo.

IV. No había dos nombres juntos.

Entonces la persona que se sentó entre Alberto y Diego, es la esposa de

Page 23: PROBLEMARIO FINAL

23

SOLUCIONES

EXAMEN DE LA VIII OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS,

NIVEL I

Problema 1

Tenemos que 53000 ocupa cinco lugares, y disponemos solo de ocho dígitos; 1,2,3,4,5,6,7 y 9.

Para encontrar los de cinco cifras del 53000 al 60000, debemos de cuidar que cumplan con la

primer condición (mayores que 53000): 600!31005 3

6

3 PC

Para los de 60000 al 89999 serán: 2520!41053 4

7

4 PC

Para los de seis cifras serán: 20160!6286

8

6 PC

Para los de siete cifras serán: 40320!787

8

7 PC

Para los de ocho cifras serán: 40320!818

8

8 PC

Y son todos. Así la cantidad total es: 600+2520+20160+40320+40320=103920

Problema 2

Tenemos que si N lo escribimos con todas sus cifras de la manera abcde , donde cada letra

representa un dígito, así: 3(1abcde=(abcde1)

Para que un número multiplicado por 3 resulta con 1 en las unidades, tal número debe tener un 7

en la cifra de las unidades. Entonces c=7.

Siguiendo con la multiplicación (3)(d)+2debe tener un 7 en la cifra de las unidades, entonces

(3)(d) tiene un 5 en las unidades y entonces d=5

Ahora (3)(a) tiene un 2 en las unidades, por lo que a=4

Así, N=42857, es decir, (142857)(3)=428571

Problema 3

Dado el gráfico, los triángulos RSU y WTU son semejantes. De ahí que los segmentos WT=x y

RS=450 están en la misma razón que TU y SU. Análogamente para los triángulos VUS y WTS

por los lados WT y VU están en la misma razón que ST y SU.

SU

STx

SU

TUx

270;

450

1270450 SU

SU

SU

TUST

SU

ST

SU

TUxx

xx

1

270

1

450

1;1

270

1

450

1

75.168720

121500;

1

121500

720x

x

Page 24: PROBLEMARIO FINAL

24

Problema 4

Si nosotros pintamos los tetraedros usando solo un color en cada uno de ellos, sólo hay una

manera por cada uno de los colores que podemos escoger; con 1 color hay 4 formas.

Si usamos solo dos colores en cada uno de ellos, hay dos casos:

-Si pintamos tres caras de un color y una de otro color, hay dos maneras de hacer esto para cada

par de colores que tomemos;

-Si pintamos dos caras de cada color, hay una forma para cada par;

Entonces hay tres formas de pintar un tetraedro por cada par de colores que escogemos, de entre

los cuatro hay para escoger:

Con 2 colores hay formasC 18633 4

2

Si usamos tres colores de los cuatro colores para cada tetraedro tendremos que pintar a fuerzas

dos caras del mismo color, y las otras dos de los dos colores que quedan.

Entonces, por cada color que escogemos para la pareja de lados iguales, tendremos que escoger

un par de colores de entre los otros tres que quedan:

Con 3 colores hay formasC 12344 3

2

Si usamos los cuatro colores a la vez en cada tetraedro, hay dos formas de hacerlo

Con 4 colores hay 2 formas

Por lo que en total hay: 4+18+12+2=36 formas

Problema 5 En la figura original trazamos P y Q, puntos medios de los lados CD y Da respectivamente. Se

trazan las líneas CQ y PB y denotamos como H, I, J y K a las intersecciones de AN y DM; AN y

PB; CQ y PB; y DM y CQ respectivamente. Sean S y T las intersecciones de la diagonal BD con

las líneas CA y AN , respectivamente.

De una manera sencilla se puede observar que ABCDHIJK5

1

Además, ST es una línea que pasa por el centro de ese cuadrado, y que lo divide por la mitas, por

lo que: ABCDKHTS10

1

Page 25: PROBLEMARIO FINAL

25

Tomando en cuenta el paralelismo de las líneas CQ y AN, y que Q sea punto medio de DA,

entonces, por el Teorema de Tales: HTKSKHDK 2;

Entonces, haciendo los cálculos precisos, se determina que: KHTSDKS3

1

Teniendo en cuenta la simetría de la figura sombreada con respecto a la diagonal BD se tiene que:

Área sombreada =2(DHT)=((DKS)+(KHTS))

ABCDKHTS10

1

3

42

3

42 por lo tanto, el área sombreada es

2

15

4cm

EXAMEN DE LA X OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS,

NIVEL I

Problema 6

Hay que encontrar un número cuadrado perfecto en este siglo, es decir, que n cumpla la

desigualdad 20001900 2n , lo cual podemos estimarlo porque 1600402 y 2500502

entonces 40<n<50. Probamos con esos números 1849432 , 1936442 y 2025452 ; así que

n=44 es el buscado.

Además 2dmn

244 dm luego

2749544

28642044 , pero no hay mes 20, así que sirve el primero, es decir, nació el mes 5,

en el día 7 de 1936-44

Nació el 7 de mayo de 1892

Problema 7

Hay 900 números de tres dígitos del 100 al 999. Al enlistar los números en orden creciente

tenemos

106 606 806 966

108 608 816

109 616 866

116 618 868

118 666 886

119 668 896

161 669

166 686

168 688

169 696

186 698

188

189

Page 26: PROBLEMARIO FINAL

26

196

198

199

Si al reflejar al número resulta uno menor o igual lo elimino, porque ya está su tarjeta, entonces

hay que hacer 866 tarjetas.

Problema 8

Es suficiente analizar la parte AMND

O es el punto medio de MN

ADON2

1

DPAaONPa4

1

NMADaDPAa3

1

ABCDaNMADaDPAaONPaDPAa2

1

12

5

3

1

4

5

4

5

Por lo tanto el área sombreada es 12

5

Problema 9

Como la suma de los dígitos del entero debe ser divisible entre 7 y entre 3, el dígito 3 debe

aparecer un múltiplo de 7, veces y el dígito 7 un múltiplo de 3, veces. Entonces el número

buscado al menos deberá tener 10 dígitos, 3 son sietes y 7 son 3’s. La suma de esos dígitos es

3(7)+7(3)=42, que es divisible entre 7 y 3, además el entero es divisible entre 3.

Solo falta encontrar alguna manera de acomodar los tres y sietes, para que sea divisible entre 7.

Page 27: PROBLEMARIO FINAL

27

Vamos a analizar el número 3 333 333 333 y a través de los residuos de 089 103...103,103

para luego acomodar los 3 7’s para que su suma sea divisible entre 7.

Número residuo

0103 3 1103 2 2103 6 3103 4 4103 5 5103 1 6103 3 7103 2 8103 6 9103 4

La suma de los residuos es 36, que al dividirlo entre 7 deja residuo 1, así que los tres “7” los

debemos poner en lugares suya suma de residuos sea 1, 8, 15 etc. Para que al quitarlos quede un

múltiplo de 7, (36-1=35, 36-8=28, 36-15=21, 36-22=14, etc.)

Exponentes residuos suma

0,1,6 3,2,3 8

0,2,8 3,6,6 15

0,3,5 3,4,1 8

1,3,7 2,4,2 8

1,4,5 2,5,1 8

2,3,4 6,4,5 15

En la columna “exponentes" el tercer dígito, indica la máxima potencia, así que la más chica es 4

en 2,3,4 eso quiere decir que 3 333 377 733 es el menor de esos números que lo divide el 7.

Problema 10

Por el punto M, donde se intersecan las diagonales, lo usamos como centro y con radio igual a

AB2

1, localizamos a P y Q en DC y BA, los cuales son los extremos de un diámetro.

Ahora si recortamos por PQ, y armamos las piezas AQPD y QBCP, uniéndolas por los lados AD

y BC, así queda un rombo de lados igual a AB.

Page 28: PROBLEMARIO FINAL

28

EXAMEN DE LA VIII OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS,

NIVEL II

Problema 11

Como tenemos que: dcdc 9292 entonces el 9 y el 2 dividen a 2c9d, por lo cual el número d

debe ser par de un dígito, o sea 2, 4, 6 u 8.

Probemos con d=2, entonces c=5 y: 2592813292 25, con lo cual ya encontramos los

números buscados.

Además, es la única solución, porque para d=4, tenemos que: 942656194 c

Problema 12

Como la suma de los cuatro dígitos debe ser 9, voy a considerar casos donde use

(1,2,3,4,5,,,6,7,8,9).

Caso 1: Usando un dígito (4 formas)

-con el 3 hay tres posibilidades 3330, 3203, 3033,

-con el 9 solo hay una posibilidad 9000

Caso 2: Usando dos dígitos diferentes (59 formas)

-si no repetimos dígitos: sólo las parejas (8,1), (7,2), (6,3) y (5,4) suman 9, así que basta con

contar cuantos números de cuatro dígitos generan una de las parejas, lo cual es equivalente a los

lugares donde podemos poner los ceros, que son 3; en total son (3)(2)(4)=24

-Si repetimos uno de los dígitos usando solo un cero; esto se puede con las parejas (1,4), (1,7) y

(2,5); por ejemplo, con la pareja (1,4) hay 9 formas diferentes.

Entonces son (9)(3)=27 posibilidades.

-Si repetimos uno de los dígitos y no usamos el cero: esto solo se puede hacer con las parejas

(1,6) o (2,3), por ejemplo 1161, de manera que son cuatro formas, según donde se encuentre el 6,

y de manera análoga para 2223 , así que de este sub-caso hay 8 posibilidades.

Caso 3: Usando 3 dígitos diferentes (102 formas)

-Usando 3 dígitos diferentes, sin repetir ninguno tenemos las ternas: (1,2,6), (1,3,5) y (2,3,4) y

para cada uno hay 18 posibilidades, que corresponden a (3)(3!), el 3 por los lugares donde

ponemos el cero y el 3! A las permutaciones de los 3 dígitos diferentes. En total son 54

posibilidades,

-Usando 3 dígitos diferentes, pero repitiendo uno de ellos, esto se logra con las ternas (1,2,3),

(1,2,4), (1,3,4) y (1,2,5).

Por ejemplo 1233 usando la primera terna son (4!)/2=12 posibilidades. Considerando las cuatro

ternas serán (12)(4)=48 posibilidades.

En total serán 4+(24+27+8)+(54+48)=165

Problema 13

Page 29: PROBLEMARIO FINAL

29

Dada la figura original (sólo invertida) llamemos E el punto de intersección de la diagonal AC

con el segmento MD.

Observemos que el triángulo EMA es semejante con el EDC y además la razón de semejanza es

1:2

Entonces, la altura de EMA es la mitad de la altura de EDC y las dos juntas forman la altura del

rectángulo ABCD.

Con lo cual, tenemos que: (EDC)=4(EMA)

Haciendo el cálculo correcto, tenemos que:

ABCDABCDEMAEDC3

1

6

24

ABCDEMAEDC12

1

3

1

Además ABCDBCM4

1

Entonces, el área de la figura sombreada será:

EMABCMABCCEM

6

1

12

1

4

1

2

1

12

1

4

1

2

1ABCDABCDABCDCEM

Problema 14

5991321!19973 de estos 5991 números, los que son múltiplos de 3 son:

599119973;623;313 , entonces

K19973332313!19973 donde K es primo relativo con 3.

Luego, 19973)1997)...(3)(2)(1(

))(1997)(3)....(3)(2)(3)(1)(3(

!1997

!19973 K

Problema 15

Page 30: PROBLEMARIO FINAL

30

Dados P y Q dos puntos en el plano, el lugar geométrico de los puntos R que son vértices de

ángulo recto, cuyos lados pasen por los puntos P y ¡, es la circunferencia de la cual el segmento

PQ es diámetro.

Entonces, nuestro problema tendrá solución en los casos en que la circunferencia de al cual PQ es

diámetro, toque a la circunferencia del problema original. Por lo tanto tendremos los siguientes

casos:

Caso 1:

La circunferencia de PQ corta a la circunferencia original en dos puntos. Entonces tomamos

cualquiera de los puntos de intersección y trazamos las líneas que pasan por ese punto y por P y

Q respectivamente. Así tendremos los catetos del triángulo buscado.

Caso 2:

Page 31: PROBLEMARIO FINAL

31

Cuando la circunferencia de PQ es tangente interiormente a la circunferencia original. Entonces,

solo hay una solución, la cual es tomar el punto de tangencia y trazar desde él, líneas que pasen

por los puntos P y Q. Así tendremos los catetos del triángulo buscado.

Caso 3

Dado que, en este caso la circunferencia de PQ no toca a la circunferencia original, entonces no

hay solución, ya que como mencionábamos anteriormente, el único lugar donde puede haber un

ángulo recto en el cual P y Q estén sobre sus lados es el círculo del cual PQ es un diámetro.

EXAMEN DE LA X OLIMPIADA UNIVERSITARIA DE MATEMÁTICAS,

NIVEL II

Problema 16

Como 3 puntos determinan un plano, de los 12 puntos que no están en S, cada 3 puntos definen

un plano, en total son 220!3

101112 planos. Si seleccionamos 2 puntos de los 12 y uno de S,

serán 5288!2

1112 planos, si seleccionamos 1 punto de los 12 y los otros de S, serán

336!2

7812 . El número total de planos diferentes es: 220+528+336=1084, más el plano que

contiene a S. 1085 planos diferentes.

Page 32: PROBLEMARIO FINAL

32

Problema 17

AC y DB son las diagonales del cuadrilátero. KN y ML son líneas medias en los triángulos ABD

y BCD, así que son paralelas a BD y tienen la mitad de la longitud que BD.

De manera análoga KL y NM son paralelas a AC y sus longitudes son iguales a la mitad de la de

AC.

Una rotación de 90º alrededor del punto O lleva A en D y C en B, es decir lleva AC en DB. Esto

significa que las diagonales son iguales y perpendiculares, de lo cual se deduce que NK y NM

son iguales y perpendiculares.

Por lo tanto KLMN es un cuadrado.

Problema 19

Diremos que un número natural es travieso si su desarrollo binario tiene una cantidad impar de

dígitos 1. El 6 no es travieso porque su desarrollo binario, 110, tiene una cantidad par de dígitos

1. Determinar la cantidad de números traviesos que son menores o iguales a 1999.

1999=1+2+3+4+8+64+128+256+512+1024

=11111001111 ES TRAVIESO

1 es travieso, 102 2 es travieso ...

100 y 111 son 12

2

0

2 22CC

1000, 1011, 1101, 1110 22

3

0

3 24CC

10000, 10011, ..., 11111 34

4

2

4

0

4 28161CCC

100000, ... ,111110 44

5

2

5

0

5 2165101CCC

. . .

. . .

1000000000, -.., 1111111110

88

8

2

8

1

8

0

8

8

9

6

9

4

9

2

9

0

9 2... CCCCCCCCC

son 982 22...2211 menores que 102 y

1111100_ _ _ _ 34

4

2

4

0

4 2CCC

11110_ _ _ _ _ _ 55

6

3

6

1

6 2CCC

1110_ _ _ _ _ _ _ 56

7

4

7

2

7

0

7 2CCCC

Page 33: PROBLEMARIO FINAL

33

110_ _ _ _ __ _ _ _ _ 77

8

3

8

0

8 2... CCC

10 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 88

9

2

9

0

9 2... CCC

de esta parte 87653 22222 en total hay

10083264128256512222222 356789

números traviesos

Problema 20 El sector CBD tiene la misma área que el sector EAF. LA región FADE tiene la misma área que

la región sombreada menos GBD y el sector sobre FE corresponde al de AG. La región GBD la

comparten. -+

LA SOLUCIÓN DE LOS DEMÁS PROBLEMAS SE DEJAN AL LECTOR.

Page 34: PROBLEMARIO FINAL

34

BIBLIOGRAFIA

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/

Flores. Solución de problemas y temas iniciales para la olimpiada de matemáticas.

M. L. Pérez. Combinatoria (Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas). Instituto de Matemáticas

de la UNAM 2008.

M. L. Pérez. Teoría de Números (Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas). Instituto de

Matemáticas de la UNAM 2008.

CREDITOS:

MARÍA DEL PILAR MORFÍN HERAS IRMA OLIVIA ESTRADA SÁNCHEZ ARTURO FERNANDO RICO JOSÉ JAVIER GUTIERREZ PINEDA ÁNGEL ERNESTO JIMÉNEZ BERNARDINO