8.1.- Un automóvil que transita por una carretera escabrosa, cuya superficie es senoidal, se moldea como un sistema de resorte-masa, como se muestra en la figura 8.40. la superficie senoidal tiene una longitud de onda de 5m y una amplitud de y = 1mm. Si la masa del automóvil, incluidos los pasajeros, es de 1500 kg y la rigidez del sistema de suspensión (k) es de 400 kN/m, determine el rango de velocidad (v) del automóvil en el cual los pasajeros perciben la vibración. Sugiera posibles métodos de mejorar el diseño para un viaje más confortable de los pasajeros

8.1 paso 1. Dibuje el diagrama de cuerpo libre

8.1 paso 2. Dado que la superficie sigue una función sinusoidal con una amplitud de 1mm y una longitud de onda de 5m podemos escribir la función de desplazamiento de la altura del automóvil a nivel de la rueda como:

h=Y 1∗sin (2∗π∗xL )

¿1∗sin( 2∗π∗x5 )

Cuando x es la distancia recorrida hasta el momento por el automóvil.

Dado que el automóvil se está moviendo con una velocidad constante de ukm /h, ahora u sigue la función:

u= xtm / s

Página 1

Como resultado de la combinación de las ecuaciones anteriores:

h=Y 1∗sin (2∗π∗x∗u∗tL )

¿1∗sin( 2∗π∗u∗t5 )

De la fórmula original de una ecuación sinusoidal y=A∗sin (ω∗t)ahora se puede calcular la frecuencia del movimiento armónico como:

ω=( 2∗π∗u5 )

¿1.257∗uras /s

¿0.2∗uHz

8.1 paso 3.0.Al modelar el automóvil como un sistema no amortiguado de un solo grado de libertad, podemos calcular los siguientes parámetros de nuestro sistema.

Frecuencianatural:

ωn=√ km

=√ 4000N /m1500kg

=16.33 rad /s=2.60Hz

Relación de frecuencia:

r= ωωn

¿ 0.2∗u2.60

¿ u13

8.1 paso 3.1.Dado que el automóvil está sujeto a una excitación armónica de base (sinusoidal) y ζ=0, la amplitud de las vibraciones que sienten los pasajeros está dada por la siguiente ecuación:

X= Y

1−r2

Página 2

¿ 1

1−( u13 )

2mm

8.1 paso 4. Las amplitudes de velocidad y aceleración que sienten los pasajeros están dados por:

U=ω∙ X

U=2∙ π ∙ f ∙ X

U=2∙ π ∙0.2 ∙u ∙1

1−( u13 )

2mm/s

A=¿

A=ω∙ X

A=2∙ π ∙ f ∙ X

A=(2∙ π ∙0.2 ∙u )2 ∙ 1

1−( u13 )

2mm/s2

8.1 paso 5 .De acuerdo con el nomograma de vibración (figura 9.1) el umbral de percepción de la vibración por los pasajeros es un valor de aceleración más pequeño que el de α=0.01m /s2

A1000

≤0.01

(2∙ π ∙0.2 ∙u )2 ∙ 1

1−( u13 )

2

1000≤0.01

157.75 (132 ∙ u2 )132−u2

≤1000

157.75 (132 ∙ u2 )1000

≤132−u2

u2≤6.1099

u≤2.47m /s

Página 3

u=8.89km /h

8.1 paso 6. Una mejor comprensión de la solución se puede lograr a través de la

trama de la aceleración vertical (ms2 ) a la velocidad horizontal (ms ) del automóvil.

8.1 paso 7.La gama de velocidad en la que los pasajeros van a percibir la vibración es entre 0 y 8,89 km/h.

Un viaje más cómodo se puede lograr para el pasajero si podemos mover el punto de resonancia a una velocidad horizontal mayor no aplicable a los movimientos normales de automóviles.

Así que para una U gmucho mayor que nuestra velocidad máxima del automóvil se puede calcular la frecuencia del movimiento en esta velocidad horizontal particular como:

ω=2∙ π ∙ u5

ω=0.2 ∙U g

Página 4

El punto de una vibración de resonancia es, por definición, el punto donde la frecuencia del movimiento aplicado es igual a la frecuencia natural del sistema, Así:

ω=ωn

ω=0.2 ∙U g

ω=√ km

k=(0.2∙U g)2 ∙1500kN /m

Así que una solución de este tipo se puede aplicar mediante el aumento de la rigidez de la suspensión en el valor adecuado calculado anteriormente.

8.3.- Dos discos idénticos se conectan por medio de cuatro birlos de diferentes tamaños y se montan en una flecha, como se muestra en la figura 8.41. Las masas y ubicación de los tres birlos son como sigue: m1 = 35 gramos, r1 = 110 mm

yθ3 = 40; m2 = 15 gramos, r2 = 90mm y θ2= 220; y m3= 25 gramos, r3 = 130 mm, θ3

= 280. Encuentre la masa y ubicación del cuarto birlo (mcr cθc ¿, el cual produce el balanceo estático de los discos.

8.3 paso 1. Dos discos idénticos están conectados por cuatro pernos de diferentes tamaños y estos están montados en un soporte como se muestra en la figura. Las masas y localizaciones de los pernos son las siguientes

m1=35 grams , r1=110mm,θ1=40 °

m2=15 grams , r2=90mm,θ2=220 °

m3=25 grams , r1=130mm,θ3=290 °

8.3 paso 2Encontrar la masa y la localización del cuarto perno (m4 , r4 y θ4 )el cual

provoca un balance estático en los discos.

Página 5

8.3 paso 3

8.3 paso 4. Para calcular el punto de balance debemos calcular primero las fuerzas de desbalance producidas por la masa adicional de los otros 3 pernos. De manera que se calcularan las respectivas fuerzas y ángulos de estos pernos.

F1=r1 ∙m1 ∙ω2

¿110 ∙35 ∙ω2 k

θ1=40 °

F2=r2 ∙m2 ∙ω2

¿90 ∙15∙ω2k

θ2=220°

F3=r3 ∙m3 ∙ω2

¿4 ∙5 ∙ω2 k

θ3=290°

F c=rc ∙mc ∙ω2

θc

Página 6

8.3 paso 5. Para que durante el movimiento el soporte se encuentre en balance estático, la suma vectorial de las fuerzas de cada perno debe de ser igual a cero en cualquier dirección:

F x=0

F x 1+F x2+Fx 3+Fxc=0

F1∙cos (θ1 )+F2∙cos (θ2 )+F3 ∙cos (θ3 )+Fc ∙cos (θc )=0

3850 ∙ω2 ∙0.766−1350 ∙ω2 ∙0.766+3250∙ω2 ∙0.342+rc ∙mc ∙ω2 ∙cos (θc)=0

rc ∙mc ∙cos (θc )=−3026.5 k……. (1 )

5.-Se colocan tres masas, que pesan 0.5lb, 0.7lb y 1.2 lb alrededor de un volante de 30 pulg. De diámetro en las ubicaciones angulares θ=10 ,100 y 190 , respectivamente. Encuentre el peso y la ubicación angular de la cuarta masa que se colocara en el borde que conduce al balanceo dinámico del volante.

8.3 paso 6

FY=0

FY .1+FY .2+FY .3+FY . C=0

F1· sin (Ø 1)+F2 ·sin (Ø2 )+F3 · sin (Ø 3 )+Fc · sin (Ø c)=0

3850·w2·0.643-1350· w2·0.643- 3250·w2·0.94+rc·mc·w2·cos(Ø c¿=0

rc·mc·sin(Ø c¿=1447.032k…………(2)

Combinando ecuaciones (1) y (2)

rc ·mc · sin(Ø c )rc ·mc ·cos (Ø c)

=−3026.51447.032

Tan(Ø s ¿=-5.196

Ø s=154.45 °

Página 7

rc ·mc=1447.032sin (Ø c)

=3355.05

Como conclusión, el cuarto perno puede estar localizado 154.45 grados de x en cualquiera rc con valor menor o igual al radio del disco tan largo como

mc=3355.05

rc

8.5 paso 1. Con el fin de calcularse las propiedades de la masa de equilibrado debemos primero calcular la fuerza producida a partir de la resta masas. Por lo que para cada masa, respectivamente, la fuerza producida y el ángulo se calcula por debajo de donde Fi es la fuerza de desequilibrio creado por la masa adicional Ri, es la distancia de la masa desde el centro de gravedad de la millas cilindro es la masa añadida y es la frecuencia de la excitación:

Determine la fuerza de desequilibrio para la primera masa adjunta, F1 usando la siguiente ecuación

F1=r1 ·m1 ·w2

Sustituyendo 30 pulgadas para r1 y .5 libras para m1

F1=(30)(0.5) ·w2

= 15w2

Por lo tanto la fuerza de desequilibrio en la primer masa adjunta está dada por

F1=15w2

8.5 paso 2. Determine la fuerza de desequilibrio de la segunda masa adjunta, F2 usando la siguiente ecuación

F2=r2 ·m2 ·w2

Sustituyendo 30 pulgadas para r2 y 0.7 lb para m2

F2=(30)(0.7)w2

=21w2

Página 8

Por lo tanto la segunda masa de desequilibrio adjunta está dada por F2=21w2

8.5 paso 3. Determine la fuerza de desequilibrio de la tercera masa adjunta, F3 usando la siguiente ecuación:

F3=r3 ·m3 ·w2

Sustituyendo 30 pulgadas para r3 y 1.2 lb para m2

F2=(30)(1.2)w2

=36w2

Por lo tanto la tercer masa de desequilibrio adjunta está dada por F2=36w2

8.5 paso 4. Determine la fuerza de desequilibrio de la cuarta masa adjunta, F4 usando la siguiente ecuación:

F4=r4 ·m4 ·w2

Sustituyendo 30 pulgadas para r3

F4=r4 ·m4 ·w2

=30·m4· w2

Por lo tanto la cuarta fuerza de desequilibrio adjunta está dada por la masa F4=30·m4· w

2

8.5 paso 5

Página 9

8.5 paso 5.1. Por la dirección horizontal de la fuerza de equilibrio calculada atreves de la ecuación siguiente donde Fxi es la fuerza desbalanceada creada por la masa adicional en "i" en dirección de X:

F x=Fx 1+Fx 2+F x3+Fx 4=0

F1∙cosθ1+F2 ∙cosθ2+F3∙cosθ3+F4 ∙cosθ4=0

Donde 4 es el ángulo donde esta adherida la masa, sustituyendo 15ω2 por F1, 21ω2 por F2, 36ω2 por F3 y 30·m4·ω2 por F4Y sustituyendo también 10° por 1, 100°por 2 , 190° por 3, quedaría:

15 ∙ω2 ∙0.985+21∙ω2 ∙ (−0.174 )+36 ∙ω2 ∙ (−0.985 )+30 ∙m5 ∙ω2 ∙cos (θ4¿)=0¿

14.775 ∙ω2−3.654ω2−35.46ω2+30 ∙m5 ∙ω2∙cos (θ4)=0

(−24.339+m5 cos (θ4 ))ω2=0

Dividido entre ω2 :

30 ∙m4 ∙cos (θ4)=24.339

Página 10

8.5 paso 6.Para la dirección vertical, la fuerza de equilibrio es calculada atreves de la ecuación siguiente, donde Fy es la fuerza desbalanceada creada por la masa adicional "i" en la dirección de Y:

F y=0≠F y1+F y 2+F y 3+F y 4=0

F1∙ sin (θ1 )+F2 ∙ sin (θ2 )+F3 ∙ sin (θ3 )+F4 ∙ sin (θ4)=0

Sustituyendo 15ω2 para F1, 21ω2 para F2, 36ω2 para F3 y 30·m4·ω2 para F4Sustituyendo también 10° por 1, 100° por 2, y 190° por 3, quedaría:

15 ∙ω2 ∙0.174+21∙ω2∙0.984−36 ∙ω2 ∙0.1744+30 ∙m3 ∙ω2 ∙ sin (θ4)=0

30 ∙m4∙ sin (θ4 )=−17.031

8.5 paso 6. Combinando la ecuación 1 y 2, se obtiene:

30 ∙m4∙ sin (θ4)

30∙m4 ∙cos(θ4¿)=−17.03124.339

¿

tan (θ4 )=−0.6997

θ4=325 ° o−35°

Para calcular la masa del 4to:

m4=−17.03130 ∙ sin (θ4)

m4=0.991lb

8.15 paso 1. Un volante, de 100 lb de peso y excentricidad 0.5 pulg, está montado en el centro de una flecha de acero. La longitud de la flecha entre los rodamientos es de 30 pulg y la velocidad de rotación del volante es de 1200 rpm. La configuración de la flecha y el volante se muestra a continuación:

Página 11

8.15 paso 2. Se determina el módulo de Young del acero, E=207×109 N /m2 y lo convertimos en psi

E=(207×109 Nm2 )( 14.504×10

−5 psi

1Nm2 )E=30.023×106 psi

8.15 paso 3. Convertimos la velocidad angular, ω:

ω=1200 rpm×2π rad×1minute60 seconds

ω=125.664 rad /s

8.15 paso 4. Convertimos la velocidad angular, ω:

ω=1200 rpm×2π rad×1minute60 seconds

ω=125.664 rad /s

8.15 paso 5. Asumimos que la flecha actúa como un simple soporte. La rigidez de la flecha se puede calcular por la siguiente relación:

k t=48 EI

l3

Página 12

Con I como el momento de inercia y l la longitud de la flecha. El momento de inercia se determina como:

I=π D 4

64

Sustituyendo I en la primera ecuación nos da:

k t=48 El3

π D4

64

¿ 3Eπ D4

4 l3

Aplicando los valores iniciales y E=30.023×106 psi

k t=3×30.023×106 ¿¿

k t=2620.025 lbf /¿

8.15 paso 6. Calculamos la frecuencia natural con la siguiente ecuación:

ωn=√ k t

m

Convertimos las lbf a lbm

1 lbf=386.4 lbm

ωn=√ 2620.025 (386.4)100

ωn=100.616 rad / s

8.15 paso 7. Calcular la amplitud de movimiento circular por la siguiente relacion:

A= mw2 e

[ k t−mw2+w2c2 ]12

Cuando e es excéntrico

Página 13

Sustituir m con 100 lb, w con 125.664 rad/s, e con 0.5 in y k t con 2620.025 lbf / in

A=100 (125.664 )2 (0.5 )

(386.4 ) [ (2620.025−100 (125.664 )2 )2+(125.664 )2 (0 )2 ]12

A=1.382∈¿

8.15 paso 8.Calcular la desviacion del centro de masa, R por la siguiente ecuacion:

R=√A2+A2

Sustituir A con 1.382 in

R=√(1.382 )2+(1.382 )2

R=1.9544∈¿

8.15 paso 9. Calcular la reaccion de rodamiento utilizando la siguiente ecuacion:

Rb=12mω2R

Sustituir m con 100 lb, ω con 125.664 rad/s y R con 0.501 in

Rb=12 ( 100386.4 )(125.664 )2 (0.501 )

Rb=3993.6325 lbf

8.17.- una flecha de acero de 2.5cm de diámetro y 1 m de longitud esta soportada por sus dos extremos en rodamientos. Lleva un disco de turbina, de 20kg de masa y 0.005 m de excentricidad, a la mitad y funciona a 6000 rpm. El amortiguamiento en el sistema equivale a amortiguamiento viscoso con ζ=0.01 . determine la amplitud de remolineo del disco a (a) la velocidad de operación, (b) la velocidad crítica y (c) 1.5 veces la velocidad critica.

8.17 paso 1

Un eje de acero opera a 6000 rpm. Se lleva un disco de turbine de 20 de masa y 0.005m de excentricidad.

Página 14

Se muestra el eje de la configuracion y el rotor por debajo

8.17 paso 2. Convertir el diametro del eje en unidades del SI

Diametro del eje: d=2.5cm=0.025m

determinar el modulo de Young de acero, Ecomo207 x 109N /m2

convertir la velocidad de rotacion, ω=6000 rpmx2 πradx1min60 seg

ω=628.319 radseg

8.17 paso 3 .la velocidad de rotacion del eje ωes628.319 rad /seg

8.17 paso 4. El eje se supone que está actuando como una viga simplemente apoyada. La rigidez del eje se puede calcular mediante el uso de relación siguiente:

k t=48 EI

l3

Con I como el segundo momento de inercia y l es la longitud del eje. El segundo momento de inercia del eje rígido se determina como:

Página 15

I=π D 4

64

Con D, diámetro del eje.

Mediante la aplicación de la ecuación (2) a la ecuación (1), la rigidez del eje se puede reescribir como:

k t=48 El3

π D4

64

k t=3 Eπ D 4

4 l3

L Sustituya 1m, D con 0.025 m, y E con valor determinado de

k t=3×207×109π (0.025)4

4 (1)3

¿190520.4N /m

El eje tiene rigidez, k t de 190520.4N /m.

8.17 paso 5. Calcular la frecuencia natural por el siguiente ecuación:

ωn=√ k t

m

Con m igual a la masa del rotor.

Sustituir m con 20 kg y k t con 190520.4N /m

ωn=√ (190520.4)(9.814 )20

¿305.758 rad / s

El sistema de vibración tiene una frecuencia natural, ωn de 305.758 rad / s.

8.17 paso 6.Calcular la amplitud de giro del disco a la velocidad de funcionamiento mediante el uso de la siguiente ecuación.

Página 16

A= e r2

[ (1−r2 )2+(2 ζr )2 ]12

Con e es la excentricidad y ζ es la relación de amortiguamiento.

Y r es relación de frecuencias, el calculado por:

r= ωωn

Sustituir de ω con 628.319 rad / s y ωn con 305.758 rad / s .

r=628.319305.758

¿2.0549

Dado que la relación de frecuencia se determina, la amplitud de giro se puede calcular mediante la sustitución de e con 0.005m, r con 2.0549, y ζ con 0.01 en la ecuación (3).

A=0.005 (2.0549 )2

[ (1−(2.0549 )2)2+ (2×0.01× (2.0549 ) )2 ]12

¿0.00653m

La amplitud de giro del disco a la velocidad de operación, A es 6.53mm .

8.17 paso 7. Si el eje funciona a velocidad crítica, la velocidad de funcionamiento a la velocidad crítica se determina por:

ωcr=ωn

√1−2 ζ 2

Sustituir ωn con 305.758 rad / s y ζ con 0.01.

ωcr=ωn

√1−2 ζ 2

ωcr=305.758

√1−2 (0.01 )2

¿306.370 rad / s

Página 17

La velocidad crítica del sistema,ωcr es306.370 rad / s.

8.17 paso 8. La frecuencia del radio se determina de:

r=wcr

wn

Sustituyendo valores tenemos que:

r=306.370305.758

¿1.002

La frecuencia del radio en velocidad crítica es, r es 1.002.

8.17 paso 9. La amplitud se determina:

A= e r2

¿¿¿

Sustituyendo e = 0.005m, r= 1.002 y ζ=0.01

A=(0.005)(1.002)2

¿¿¿

¿0.250013m

8.17 paso 10. La frecuencia de radio puede ser calculada usando la siguiente expresion:

r=1.5 ratcr

Sustituyendo ratcr = 1.0001

r=1.5 (1.001 )

¿1.50015

La frecuencia del radio a 1.5 de tiempo de velocidad critica, r = 1.50015

8.17 paso 11. La amplitud es determinada de

A= e r2

¿¿¿

Sustituyendo e con 0.005m, r = 1.50015 y ζ=0.01

Página 18

Tenemos que

A=(0.005)(1.50015)2

¿¿¿

¿0.008996m

¿8.996mm

La amplitud a la velocidad critica es 8.996mm

8.23.- la masa reciprocante, el radio del cigüeñal y la longitud de cada uno de los cilindros en un motor en línea de dos cilindros m, r y l , respectivamente. Los ángulos de los cigüeñales de los dos cilindros están separados por 180. Determine las fuerzas desbalanceadas y momentos en el motor.

8.23 paso 1

Página 19

8.23 paso 2. Con la ecuación de la fuerza no balanceada y sus respectivas variables como masa, radio, angulo de velocidad se definine por:

(Fx ) total=(m p+mc ) r ω2∑i=¿¿

N cos (∝i)+mpr2ω2

l∑i=1

N

cos (2∝i)

donde∝i es la orientación de cada cilindro y los angulos de separación entre los

dos cilindros son de 180° podemos decir que la orientación del cilindro seria ∝1 como 1. La orientación angular del cilindro se dira que es:

2 (∝2 )=∝1+180°

Analizando las variables siguientes en la ecuación 1

∑i=1

N

cos(∝i)y∑i=1

N

cos(2∝i)

∑i=1

N

cos (∝i )=cos (∝1 )+cos (∝2)

¿cos (∝1 )+cos (∝1+180 ° )

¿cos (∝1 )−cos (∝1)

¿0

Y

∑i=1

N

cos (2∝i )=cos (2∝1 )+cos (2∝2)

¿cos (2∝1 )+cos (2∝1+360 ° )

¿cos (2∝1 )+cos (2∝1)

¿2cos(2∝1)

8.23 paso 3. Usando los valores de las siguientes ecuaciones

∑i=¿¿

N cos (∝i )

Y

∑i=1

N

cos(2∝1)

Página 20

Las equaciones de fuerzas no balanceadas son:

( Fx ) total=(mp+mc ) r ω2 (0 )+m pr 2ω2

l[2cos (2∝1) ]

¿2m pr2ω2

lcos (2∝1)

Sustitullendom p con m la ecuación final quedara como:

(Fx ) total=2m r2ω2

lcos (2∝1)

8.23 paso 4. Analizando la ecuación para el total de la fuerza desequilibrada

horizontal (F y )total con valor constante de masa reciprocantem, radio de manivela r,

velocidad angular ω, y la longitud de bielal.

(F y )total=−(mc) r ω2∑i=1

N

sin (α1 )

Aquí α 1 es la orientación angular de cada cilindro. Dado que los ángulos de cigüeñal de los dos cilindros están separados por 180 °, que puede denotar la orientación angular del cilindro 1 como α 1. Y la orientación angular del cilindro 2 (α 2 )=α 1+180°

Analizar la variable de ∑i=1

N

sin (α1 ) en la ecuación 2.

∑i=1

N

sin (α1 )=sin (α 1 )+sin (α 2)

¿ sin (α 1 )+sin (α 1+180° )

¿ sin (α 1 )−sin (α1 )

¿0

Por lo tanto, las ecuaciones del total de la fuerza desequilibrada horizontales pueden ser escritos por:

(F y )total=−(mc) r ω2 (0 )

¿0

Página 21

8.23 paso 4.1.El momento no balanceado puede ser determinado por las siguientes ecuaciones :

En el eje de las x

Mx=¿∑

i=1

N

(F y)i lci¿

¿∑i=1

N

[−(mc)¿r ω2sin (ωt+∝i)]×lci¿

¿−(mc ) r ω2∑i=1

N

l ci× sin(∝i)

Con:

∑i=1

N

lci ∙ sin (∝i )=lc 1∙ sin (∝1 )+ lc2 ∙sin (∝2 )

¿ lc 1 ∙ sin (∝1)+l c2 ∙sin (∝1+180 ° )

¿0 ∙ sin (∝1 )−lc 2 ∙ sin (∝1 )

¿−lc2 ∙ sin (∝1 )

Los momentos del eje de las x pueden ser expresados por:

M x= (mc) r ω2∙ lc2 ∙ sin (∝1 )

8.23 paso 5. Los momentos alrededor del eje z

M z=∑i=1

N

(F ¿¿ x )i lci¿

¿∑i=1

N [(mp+mc) r ω2 cos (α 1)+m pr2ω2

lcos (2α1 )]∗lci

¿ (m p+mc ) r ω2∑i=1

N

lci∗cos (α 1)+m pr2ω2

l∑i=1

N

lci∗cos (2α 1 )

Con,

Página 22

∑i=1

N

lci∗cos (α1 )=lci∗cos (α 1 )+ lc2∗cos (α 2 )

¿0∗cos (α1 )+lc 2∗cos (α1+180 ° )

¿−lc2∗cos (α1 )

∑i=1

N

lci∗cos (2α1 )=lci∗cos (2α1 )+lc 2∗cos (2α 2 )

¿0∗cos (2α 1 )+lc2∗cos (2α 1+360° )

¿−lc2∗cos (2α 1 )

Los momentos sobre el eje z se pueden expresar por:

M z=−(m p+mc ) r ω2∗lc 2∗cos (α 1 )+m pr2ω2

llc 2∗cos (2α1 )

8.23 paso 5.1. Las fuerzas desequilibradas del motor de 2 cilindros en línea son

(Fx )total=2mr 2ω2

lcos (2α 1)

(F y )total=0

Y en el momento sobre el eje X y Z, respectivamente

M x= (mc) r ω2∗lc 2∗sin (α 1 )

M z=−(m+mc ) r ω2∗lc 2∗cos (α 1 )+mr2ω2

llc 2∗cos (2α1 )

8.25- en la figura 8.47 se muestra la disposición de los cigüeñales en un motor de seis cilindros en línea. Los cilindros están separados por una distancia a en la dirección axial, y las posiciones angulares de los cigüeñales son α 1=α 6=0 , α 2¿ α5=120 y α 3=α 4=240. Si la longitud del cigüeñal, la longitud de las

bielas y la masa reciprocante de cada cilindro son r, l y m, respectivamente, encuentre las fuerzas desbalanceadas primaria y secundaria y los momentos con respecto al plano de referencia indicado en la figura 8.47

8.25 paso 1. La disposición de las manivelas en un motor de seis cilindros en línea se muestra en la siguiente figura mencionada. El cilindro están separados por una distancia a en la dirección axial. Las posiciones angulares de las manivelas están dadas por α 1=α 6=0 ° ,α2=α5=120° ,α 3=α 4=240° como se muestra a continuación.

Página 23

El motor tiene una longitud de manivela de r, la longitud de varilla de conexión de la I, y de movimiento alternativo de masa de m, para cada uno de cilindro.

8.25 paso 2. El desplazamiento axial de cada cilindro se analiza de la siguiente manera, usando la línea central del cilindro uno como hace referencia en plano.

El desplazamiento axial del cilindro 1, I c1

I c1=Om

El desplazamiento axial del cilindro 2, I c2

I c2=I c1+a¿0+a¿am

El desplazamiento axial del cilindro 3, I c3

I c3=I c2+a¿a+a¿2am

8.25 paso 3. El desplazamiento axial del cilindro 4, I c4

I c4=I c3+a¿2a+a¿3am

El desplazamiento axial del cilindro 5, I c5

I c5=I c4+a¿3a+a¿4 am

El desplazamiento axial del cilindro 6, I c6

I c6=I c5+a¿4 a+a¿5am

La posición angular del cigüeñal está dada por:

Página 24

∝1=∝6=0 °∝2=∝5=120 °∝3=∝4=240 °

8.25 paso 4. La primera y la segunda fuerza desbalanceadas son obtenidas por la dirección de ‘’x’’ y ‘’y’’ usando las siguientes ecuaciones:

(FX )Total=∑i=1

N

(F X)i

Con (FX )i es determinada:

(FX )i=(m p+mc ) ir ω2 cos (ωt+a1 )+m pir2ω2

Icos (2ωt+2ai)

Y combinando las 2 últimas ecuaciones tenemos:

(FX )i=∑i=1

N

[(mp+mc ) ir ω2cos (ωt+a1 )+mpir2ω2

Icos (2ωt+2ai )]

8.25 paso 4.1. Usando las constantes y variables (radio del cigüeñal r, longitud de la biela I, masa m y masa rotativa mc el (FX )Total puede ser expresado:

(FX )Total=(m+mc )r ω2∑i=1

N

cos (ωt+a1)+mr2ω2

I∑i=1

N

(2ωt+2ai ) .

8.25 paso 5. La fuerza desbalanceada primaria y secundaria acerca de y=axis componente.

(F y)Total=∑i=1

N

(F y)i

Con (F y)i es determinada:

(F y)i=−(mc )r ω2 sen (ωt+a1)

Combinando las ecuaciones tenemos:

(F y)Total=∑i=1

N

¿¿

Usando las constantes y variables (radio del cigüeñal r, longitud de la biela I, masa m y masa rotativa mc el (F y)Total puede ser expresado:

Página 25

(F y)i=−(mc )r ω2∑i=1

N

¿¿

8.25 paso 6

calcular∑i=1

N

cos (est+∝1 )ecuacion

∑i=1

N

cos(est+∝1=∑i=1

N

cos (w0+∝1)=∑i=1

N

cos (∝1 )=cos (∝1 )+cos (∝2 )+cos (∝3 )+cos (∝4 )+cos (∝5 )+cos (∝6 ))

Sustituyendo ∝1con 0° .∝2 con120

° .∝3240° .∝4 con240

° .∝5120° . y∝6 con0

° .

∑i=1

N

cos (est+∝1 )= cos (0¿¿¿°+cos (120° )+cos (240° )+cos (240° )+cos (120° )+cos (0° ))=1+(−0.5 )+(−0.5 )+(−0.5 )+(−0.5 )+1=0

calcule∑i=1

N

cos (2est+2∝1)ecuacion .

8.25 paso 6.1

∑i=1

N

cos (2est+2∝1 )=∑i=0

N

cos (es0+2∝1 )=∑i=0

N

cos (2∝1 )= [cos (2∝1)+cos (2∝2)+cos (2∝3 )+cos (2∝4 )+cos (2∝5 )+cos (2∝6 ) ]

sustituyendo∝1 con0° .∝2con120

° .∝3con240° .∝4 con240

° .∝5120° y∝6 con0

° .

∑i=1

N

cos (2est+2∝1 )=¿

8.25 paso 6.1.1. Aplicando las ecuaciones trigonométricas en la ecuación.

(F y )total=−(mc ) r w2∑i=1

N

sin (wt+∝i)

Sustituyendo ∑i=1

n

sin (wt+∝i ) con 0.

Página 26

(FY ) total=− (mc) r w2 (0 )=0

la fuerza desequilibrada sobre x y el eje y es cero.

(Fx ) total=0

(FY ) total=0

8.25 paso 7. Los momentos de desequilibrio primarios y secundarios se obtienen a partir de su z y la dirección x mediante el uso de las ecuaciones siguientes:

Los momentos de desequilibrio primario y secundario sobre el eje z

M z=∑i=1

N

¿¿

Mediante la aplicación de la ecuación (2), el momento de desequilibrio puede ser reescrita como:

M z=∑i=1

N

[(m p+mc¿)r ω2 cos (α i )+m p

r2ω2

Icos (2α i) ]x I ci¿

M z=(m p+mc ) r ω2∑i=1

N

I cicos (αi )+mpr2ω2

I∑i=1

N

I cicos (2α i )…………..7

Momento de desequilibrio primario sobre el eje x

M x=∑i=1

N

¿¿

Mediante la aplicación de la ecuación (5), el momento de desequilibrio puede ser reescrita como:

M x=∑i=1

N

[−(mc ) r ω2 sin (ωt+αi¿)] x I ci………… .. 8¿

M x=−(mc )r ω2∑i=1

N

I ci x sin (α i)

Página 27

8.25 paso 8. evaluación de las variables de trigonometría hte de la ecuación (7) y equaction (8)

∑i=1

N

I cicos (αi )=¿[Ic 1 .cos (2α1 )+ I c 2 .cos (2α 2 )+ I c3 .cos (2α3 )

+ I c 4 .cos (2α4 )+ I c 5 .cos (2α5 )+ I c 6 .cos (2α6 )]¿

Sustituyendo α 1por 0 °,α 2por120 ° ,α3 por 240 ° ,α4 por 240° ,α 5 por120 ° ,α6por 0 °

I c1 porOm , I c 2 por am, I c3 por2am , I c 4 por3 am, y I c 5 por 4 am

∑i=1

N

I cicos (αi )=¿[ 0.cos (0 )+a .cos (120 ° )+2a .cos (240 ° )+3a .cos (240 ° )+4 a .cos (120 ° )+5 a .cos (0 ° )

]¿

¿0+(−0.5a )+(−a )+ (−1.5a )+(−2a )+5 a

¿0

Calcular la ecuación ∑i=1

N

I ci .cos (2α i )

∑i=1

N

I ci .cos (2α i )=¿¿¿

8.25 paso 8.1. Sustituyendo α 1por 0 °,α 2por120 ° ,α3 por 240 ° ,α4 por 240° ,α 5 por120 ° ,α6por 0 °

I c1 porOm , I c 2 por am, I c3 por2am , I c 4 por3 am, y I c 5 por 4 am

∑i=1

N

I cicos (αi )=¿[ 0.cos (0 )+a .cos (120 ° )+2a .cos (240 ° )+3a .cos (240 ° )+4 a .cos (120 ° )+5 a .cos (0 ° )

]¿

¿0+(−0.5a )+(−a )+ (−1.5a )+(−2a )+5 a

¿0

Calcular la ecuación ∑i=1

N

I ci sin (α i )

∑i=1

N

I ci sin (α i )=¿[I c 1 .sin (α1 )+ I c 2 . sin (α 2 )+ I c 3 .sin (α3 )+ I c 4 . sin (α 4 )+ I c 5. sin (α 5 )+ I c6 . s¿ (α6 )

]¿

Sustituyendo α 1por 0 °,α 2por120 ° ,α3 por 240 ° ,α4 por 240° ,α 5 por120 ° ,α6por 0 °

Página 28

I c1 porOm , I c 2 por am, I c3 por2am , I c 4 por3 am, y I c 5 por 4 am

∑i=1

N

I ci sin (α i )=¿ [ o .sin (0 ° )+a . sin (120 ° )+2a .sin (240 ° )+3a .sin (240 ° )+4a . sin (120° )+5a . s¿ (0 ° )]¿

¿0+( 12 √3a)+ (−√3a )+(−32 √3 a)+ (2√3a )+0

¿0

8.25 paso 9. la aplicación de la ecuación de la trigonometría en la ecuación (7)

M z=(mp+mc )r ω2∑i=1

N

I cicos (αi )+m pr 2ω2

I∑i=1

N

I cicos (2αi )

Sustituyendo ∑i=1

N

I cicos (αi ) con 0 y ∑i=1

N

I cicos (2α i ) con 0

M z=(m p+mc ) r ω2(O)+mpr2ω2

I(0)

aplicación de la ecuación de la trigonometría en la ecuación (8)

M x=−(mc )r ω2∑i=1

N

I ci x sin (α i)

Sustituyendo ∑i=1

N

I ci x sin (α i)por 0

M x=−(mc )r ω2(0)

¿0

el motor de seis cilindros en línea que está en estado de equilibrio, ya que tiene momento de desequilibrio de cero alrededor del eje y el eje x

M z=0

M x=0

Página 29

8.27.- se tiene que aislar un instrumento electrónico de un tablero que vibra a frecuencias que oscilan de 25 Hz a 35 Hz. Se estima que almenos se debe lograr 80 por ciento del aislamiento de vibración para que no se dañe el instrumento. Si el instrumento pesa 85 N, determine la deflexión estática necesaria del aislador.

8.27 paso 1. Calcular la frecuencia natural inicial (w1) del sistema de la siguiente

w1= 2πf1

Aquí la frecuencia de vibración inicial es f1.

Sustituye 25 Hz para f1 en la ecuación anterior para obtener el valor de w1.

w1= 2π(25)= 157.08 rad/s.

Calcular la frecuencia natural final (w2) del sistema de la siguiente manera:

w2= 2πf2

Aquí la frecuencia de vibración final es f2.

Sustituye 35 Hz para f2en la ecuación anterior para obtener el valor de w2.

w2= 2π(35)= 219.91 rad/s.

8.27 paso 2.Calcular la fuerza de permisibilidad Tf de la siguiente manera:

Tf= 1 - R

Aquí el aislamiento de las vibraciones es R.

Sustituye 0.8 para R en la ecuación anterior para obtener el valor Tf de la siguiente manera:

Tf= 1- 0.8= 0.2

Calcular la proporción de la frecuencia (r) de la siguiente manera:

r=√ 1+T f

T f

Página 30

Sustituye 0.2 para Tf en la ecuación anterior para obtener el valor (r) de la siguiente manera:

r= √ 1+0.20.2 = √6 = 2.449

8.27 paso 3. calcular la deflexión estática (δst1) a la frecuencia inicial de la siguiente manera:

δst1= gr ²

w12

Sustituye 2.449 para r y 157.08 rad/s para w1en la ecuación anterior para obtener el valor (δst1) de la siguiente manera:

δst1= 9 .81(6)

(157 .08) ²= 0.002385m= 2.385 mm

8.27 paso 4

Calcular la deflexión estática (δ st1) a la frecuencia inicial de la siguiente manera:

δst2= gr ²

w22

Sustituye 2.449 para r y 219.912 rad/s para w2en la ecuación anterior para obtener el valor (δ st2) de la siguiente manera:

δst2= 9 .81(6)

(219 .912)²= 0.001217m= 1.217 mm

Desde δst1¿δst2a continuación, la mayor es la deflexión estática requerida del sistema. La deflexión estática necesaria del aislador es 2.385 mm.

8.29.- un compresor de aire de 500kg de masa tiene una excentricidad de 50 kg-cm y funciona a una velocidad de 300 rpm. El compresor se tiene que montar

Página 31

sobre uno de los siguientes soportes de montaje: (a) un aislador compuesto de un resorte con amortiguamiento insignificante, y (b) un amortiguador con relación de amortiguamiento de 0.1 y rigidez insignificante. Seleccione un soporte de montaje adecuado y especifique los detalles de diseño considerando la deflexión estática del compresor, la relación de transmisión y la amplitud de vibración del compresor.

8.29 paso 1. Convertir la fuerza desbalanceada, me a kg m

me=50kgcm

me=50kgcm( 1kg m100kgcm )

me=0.5kgm

Convertir la velocidad 𝜔 a unidades de rad/s

ω=300 rpm

ω=300 rpm( 2 π rad1 rotación)( 1minuto

60 segundos )ω=31.416 rad / s

8.29 paso 2. Calcular la frecuencia de radio, r mediante la siguiente relación:

T f= 1+(2 ζr )2

(1−r2 )2+ (2ζr )2 T f= 1+0

(1−r2 )2+0 T f= 1

(1−r2 )2 8.29 paso 3. Buscar la frecuencia usando la siguiente relación:

r2=T f+1T f

Sustituir 0.1 en T f :

Página 32

r2=0.1+10.1

r2=11

r=√11

r=3.317

El sistema tiene una frecuencia radio de 3.317

8.29 paso 4. Calcular la rigidez mediante la relación:

k=ω2Mr2

M es la masa del compresor de aire

Sustituir M con 500 kg, 𝜔 con 31.416 rad/s y 11 para r2

k=(31.416 )2500

11

k=44862 Nm

El isolador tiene una rigidez de: 44862Nm

8.29 paso 5. Calcular la amplitud mediante la siguiente ecuación:

X=F0

k= 1

√(1−r2 )2+(2 ζr )2

Siendo F0 la fuerza de excitación determinada por meω2

Aplicar F0 a la ecuación y sustituir ζ por 0

Página 33

X=meω2

k= 1

√(1−r2 )2+0

X=meω2

k ( 1r 2−1 )

Sustituir 0.5 kg m en me, 31.416 rad/s en 𝜔, 44862 N/m en k y 11 por r2

X=0.5 (31.416 )2

44862 ( 111−1 )

X=0.0011m

8.29 paso 6. Calcula la deflección estática usando la siguiente ecuación

δ xt=F0

k

Con F0es la fuerza que se detemrina por meω2

δ xt=meω2

k

Con me es la fuerza desequilibrada ω es la velocidad y k es una constante de rigidez

Se sustituye 0.5 kg.m por me , 31.416 rad/s por ω y 44862 N/m por k

δ xt=0.5(31.416 )2

44862

δ xt=0.011m(Deflexiónestática)

8.29 paso 7. El compresor está montado en la primavera con rigidez insignificante y coeficiente de amortiguamiento de 0,1

Calcule la frecuencia del coeficiente de amortiguamiento con la siguiente relación

Página 34

T f= 1+(2 rℶ )2

(1−r2)2+(2 rℶ )2 1 /2

Se sustituye 0.1 por T fy 0.1 porℶ

T f= 1+(2(0.1)r )2

(1−r2)2+(2 (0.1 )r )2 1 /2

La escuación anterior se puede reescribir como: 0.01r 4-0.059r2-0.99=0

Y se despejan las reices:

r2=13.366r=√13.3665r=3.656 (Que es la frecienciadel coeficiente deamortiguamiento )

8.29 paso 8. Calcula la rigidez usando la relación:

k=ω2Mr2

Donde M es la masa del aire compresor

Se sustituye 500 kg por M, 31.416 rad/s por ω y 13.3665 por r2

k=(31.416 )250013.3665

k=36919N /m

8.29 paso 9. Calcula la amplitud usando la ecuación:

X=F0

k1

√(1−r2)2+(2 rℶ )2

Donde Fo es la fuerza exitada que se determina por meω2. Y la ecuación se puede reescribir como:

X=meω2

k1

√(1−r 2)2+(2 rℶ )2

Página 35

Se sustituye 0.5 kg.m por me, 31.416 rad/s por ω , 0.1 por ℶ , 36919 N/m por k y 3.656 por r

X=0.5 (31.416 )2

369191

√(1−(3.656 )2 )2+(2 (0.1 )3.656 )2X=0.001079(Suamplitudad deVibración)

8.29 paso 10.Calcular la deflexión estática usando:

δ st=F0

k

Donde F0 es la fuerza de excitación determinada por meω2.

δ st=meω2

k

Con me siendo la fuerza de desbalance, ω la velocidad de operación, y k la rigidez de amortiguamiento.

Sustituyendo 0.5 kg*m por me, 31.416 rad/seg para ω, y 36919 N/m para k :

δ st=0.5 (31.416)2

36919=0.013367m

La deflexión estática es 0.013367m.

El caso del montaje-resorte tiene mayor amplitud que el caso de montaje-amortiguador. Pero la deflexión estática del caso montaje-resorte es menor que la del caso montaje-amortiguador.

Por lo tanto, seleccionamos el montaje-amortiguador para reducir la amplitud de la vibración. Por relación de transmisión de 0,1, el amortiguador puede controlar la amplitud de la vibración a 0,001079 m y tiene una deflexión estática de 0,013367 m

8.63.- un compresor de aire con masa de 200 kg y desbalance de 0.01 kg-m experimenta una gran amplitud de vibración mientras funciona a 1200 rpm. Determine la masa y la constante de resorte del absorbedor que se tiene que

Página 36

agregar si las frecuencias naturales del sistema son de al menos 20 por ciento de la frecuencia impartida.

8.63 paso 1. Calcular el valor de la frecuencia de excitación en rad/seg:

ω=1200 rpm=(1200 )( 2 π60 )rad /seg

ω=125.6 rad / seg

Con el fin de lograr los resultados óptimos, se toma la frecuencia del sistema con amortiguador de igual a la frecuencia de excitación.

ω2=ω=125.6 rad / seg

8.63 paso 2. Escribe la expresión para la frecuencia natural (Ω1 ¿ .

Ω12

ω22=(1+ μ

2 )−√(1− μ2 )

2

−1

Ω12=ω2

2[(1+ μ2 )−√(1− μ

2 )2

−1]Donde, μ es la relación de la masa del absorbedor a la masa del sistema inicial.

Dado que los valores de la frecuencia natural debe ser al menos 20% más arriba que los de la frecuencia de excitación, tenemos:

Ω12<(0.8ω )2

ω22[(1+ μ

2 )−√(1−μ2 )

2

−1]< (0.8ω)2….(1)

8.63 paso 3. En este caso las ecuaciones de frecuencia natural del sistema tomaran esta forma, donde μ es la relación de la masa del absorbedor con la masa del sistema inicial, mientras Ω1 y Ω2 son las frecuencias naturales del sistema combinado.

Para la primera frecuencia natural:

Escribimos la expresión para la segunda frecuencia natural (Ω2 ¿ .

Página 37

Ω22

ω22=(1+ μ

2 )+√(1−μ2 )

2

−1

Ω22=ω2

2[(1+ μ2 )+√(1−μ

2 )2

−1]Dado que los valores de la frecuencia natural debe ser al menos 20% más arriba que los de la frecuencia de excitación, tenemos:

Ω22<(1.2ω )2

ω22[(1+ μ

2 )+√(1−μ2 )

2

−1]<(1.2ω)2….(2)

8.63 paso 4. Añadimos las desigualdades 1 y 2 para obtener la siguiente relación:

ω22[(1+ μ

2 )−√(1+ μ2)2

−1]+¿

2ω22√(1+ μ

2)2

−1> 0.4

µ= 0.154

8.63 paso 5. Use la siguiente expresión para obtener la masa de absorción (m2¿ requerido para satisfacer la condición dada:

m2=m1μ

Aquí m1 es la masa inicial del sistema, sustituimos 200 kg por m1y 0.154 por µ

m2=(200kg ) (0.154 )

m2=30.8kg

Use la siguiente expresión para obtener K

k=(30.8 kg)¿

k=485,881N /m

Página 38

Por lo tanto la masa de absorción es 30.8 KG y la constante es 485,881N/m

8.65.- el tubo de alimentación de agua a una caldera en una planta termoeléctrica vibra violentamente cuando la velocidad de la bomba es de 800 rpm. Para reducir las vibraciones se instala en el tubo absorbedor compuesto de un resorte de rigidez k 2 y masa de prueba m '2 de 1 kg. Esta configuración produce las frecuencias naturales del sistema de 750 rpm y 1000 rpm. Se desea mantener las frecuencias naturales del sistema fuera del rango de operación de la bomba, el cual es de 700 rpm a 1040 rpm. Determine los valores k 2 y m2 que satisfagan este requerimiento.

8.65 paso 1 .Inicialmente la frecuencia de excitación debe ser cambiada a la unidad requerida:

ω=800 rpm

¿800

rpm∗2πrad1 rotacion

∗1min

60 s

=83.733 rad/S

8.65 paso 2. En este caso la ecuación del sistema natural de frecuencia toma la siguiente forma:

Ω12

ω22=(1+ μ

2 )−√(1+ μ2)2

−1

La primer frecuencia natural se puede calcular utilizando la ecuación anterior donde µ es la relación entre la masa de absorción de la masa inicial del sistema y ω2 es la frecuencia natural de absorción

Ω12

ω22=(1+ μ

2 )−√(1+ μ2)2

−1

Ω12=ω2

2∗[(1+ μ2 )−√(1+

μ2)2

−1]La segunda frecuencia natural se puede calcular utilizando la ecuación anterior.

Ω12

ω22=(1+ μ

2 )+√(1+ μ2)2

−1

Página 39

Ω12=ω2

2∗[(1+ μ2 )+√(1+

μ2)2

−1]8.65 paso 3.Las frecuencias naturales de Ω1 y Ω2de todo el sistemainicialque figura enlas instrucciones quese transformana las unidadesapropiadasdividiendoconsegundosporminutoy multiplicandoa 2π rad.

La primera frecuencia natural del sistema trial es:

Ω1=750 rpm

Ω1=750 rpm( 2π rad1 rotación )( 1minuto

60 segundos )Ω1=78.5 rad /s

La segunda frecuencia natural del sistema trial es:

Ω2=1000 rpm

Ω2=1000 rpm( 2π rad1 rotación )( 1minuto

60 segundos )Ω2=105 rad /s

8.65 paso 4. Reemplazamos los valoresdelas frecuenciasnaturales del sistematotalparalassiguientes ecuaciones:

(78.5 rad / s)2=ω2[(1+ μ2 )−√(1+ μ

2 )2

−1](105 rad / s)2=ω2[(1+ μ

2 )+√(1+ μ2 )

2

−1]Dividiendo las ecuaciones anteriores:

Página 40

0.752=ω2[(1+ μ

2 )−√(1+ μ2 )

2

−1]ω2[(1+ μ

2 )+√(1+ μ2 )

2

−1]0.5625(1+ μ

2 )+0.5625√(1+ μ2 )

2

−1=(1+ μ2 )−√(1+ μ

2 )2

−1

1.5625√(1+ μ2 )

2

−1−0.4375(1+ μ2 )=0

(1+ μ2 )=1.042

μ=0.084

8.65 paso 5. Calcula la masa del tubo usando la siguiente ecuación:

μ=m´2m1

m1=m´ 2μ

La masa del tubo es m1 , y la masa del trial es m´2

Se sustituye 0.084 para μ y 1 kg para m´2

m1=1kg0.084

m1=11.90 kg

8.65 paso 5. Necesitamoslas frecuencias naturales para tener una distancia del rango de la frecuencia de excitación y paraobtener estascondicionestenemos quediseñarlas frecuenciasnaturales del sistemapara estar fueradel rango

defrecuencia de operaciónsituado entre ω1 , y ω2 , ¿¿ ¿ . Determine las frecuencias

operacionales.

Página 41

Frecuencia operacional mínima

ω1 , ¿ 700r pm¿

ω1 , ¿ 700rpm( 2π rad

1 rotación)( 1minuto60 segundos )¿

ω1 , ¿ 73.5 rad/ s¿

Frecuencia operacional máxima

ω2 , ¿ 1040rpm ¿

ω2 , ¿ 1040rpm( 2πrad

1 rotación)( 1minuto60 segundos )¿

ω2 , ¿ 109.2rad / s¿

8.65 paso 6

La siguiente condición se aplica para la primera frecuencia natural requerida

Ω12<ω

1 ,2

¿¿

Sustituyendo ω22((1+ μ

2 )−√(1+ μ2 )

2

−1) para Ω1∧75.35 rad /secfor ω1 , ¿¿

ω22((1+ μ

2 )−√(1+ μ2 )

2

−1)<75.52……(1)

La siguiente condición se aplica para la segunda frecuencia natural requerida

Ω22<ω

2 ,2

¿¿

Sustituyendo ω22((1+ μ

2 )−√(1+ μ2 )

2

−1) paraΩ2∧109.2/secfor ω2 , ¿ ¿

ω22((1+ μ

2 )−√(1+ μ2 )

2

−1)<109.22…. (2)

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8.65 paso 7. Dado que no es sólo una solución al problema, un valor lógico de cualquiera k 2 y m2 puede ser seleccionado y el otro se puede calcular a través de las ecuaciones. En nuestro caso vamos a tomar el caso de μ=0.3 Sustituir 0.3 para μ en la ecuación (1).

ω22((1+ 0.32 )−√(1+ 0.32 )

2

−1)<75.52ω22.0 .53<75.52ω2.<100.96

Y sustituir 0.3 para μen la ecuación (2)

ω22((1+ 0.32 )−√(1+ 0.32 )

2

−1)>109.22ω22.1 .71>109.22ω2.>83.81

8.65 paso 7.1. Puesto que el rango aceptable de la frecuencia de amortiguamiento se ha determinado como 83.81<ω2<100.96 rad / s , podemos elegir un valor dentro de este rango

ω2=90 rad / sec

Calculando la masa de amortiguación usando la siguiente relación:

m2=m1 . μ

Sustituyendo 0.3 paraμ y 11.9 kg para m1

m2=(11.9 kg ) (0.3 )m2=3.57kg

Calculando la rigidez del amortiguador utilizando la siguiente relación

k 2=(m2)(ω2)2

Sustituyendo 90 rad/s para ω2 y 3.57 kg para m2

k 2=(90 ) (3.57 )2k 2=28,917N /mPor lo tanto las propiedades del amortiguador son 90

rad/sec, 3.57 kg y 28,917 N/m

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