aprendiendo a graficar

Ingeniera Margarita E. Patiño Jaramillo

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANOINSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANONÚCLEO DE FUNDAMENTACIÓN EN CIENCIA BÁSICANÚCLEO DE FUNDAMENTACIÓN EN CIENCIA BÁSICA

APRENDIENDO A GRAFICAR Y ANOTAR MEDIDASAPRENDIENDO A GRAFICAR Y ANOTAR MEDIDAS

I.I. COMPETENCIACOMPETENCIA

Representar una tabla de valores mediante un gráfico. • Ajustar puntos experimentales a una línea recta con ecuación y = ax +b y determinación de a (su pendiente) y b (su intercepto con el eje y). • Graficar datos experimentales con ejes lineales, semi-log y log-log. • Aplicar el método de los mínimos cuadrados. Emplear los conceptos de cifras significativas, criterios de aproximación y forma

de expresar el resultado de una medición.

Al terminar la sesión el estudiante:

debe ser capaz de representar gráficamente los datos obtenidos experimentalmente, usar en forma adecuada el método de rectificación de la curva para obtener la relación funcional entre las variables y saber aplicar el método gráfico, de promedios y eventualmente el método de mínimos cuadrados, para la determinación de la pendiente de la recta y para la ordenada del origen.

II. Introducción

La física en su intento de describir ordenadamente los hechos que acontecen en la naturaleza, utiliza la matemática como lenguaje. Fundamentalmente la teoría de funciones es la que da un aporte más rico a las pretensiones de la Física, puesto que ella es la que contiene la idea de conexión, relación o dependencia entre elementos de distintos conjuntos.

III. Fundamentos teóricos

FUNCIONES

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Llamaremos "x" a los elementos de A e "y" a los elementos de B.

DEFINICIÓN

Función de A en B es una regla o ley "f" tal que a cada elemento x (de A) le hace corresponder un único elemento de y (de B); "y" se llama el valor de la función f en

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X. Por este motivo, en adelante, lo designaremos por f(x). También se dice f(x) es la imagen de x.

A recibe el nombre de dominio o conjunto objeto de la función f. B recibe el nombre de codominio o conjunto imagen de la función f.

Este concepto se puede dibujar o representar de diversas maneras tales como los ilustrados en la figura (1), (2), (3) y (4).

En física se usan con frecuencia las formas (3) y (4) pues con frecuencia los datos de un experimento se presentan tabulados (3) de modo que a cada valor de "x" de una variable independiente le corresponda un valor "y" de la variable dependiente, entendiéndose por variable independiente a la que se le atribuye valor arbitrario y por variable dependiente a aquella cuyo valor depende de la variable independiente. Los valores de x e y se representan en un “gráfico" el cual será una forma visual de estudiar una función (4).

La determinación de la función algebraica o relación funcional asociada al gráfico constituye uno de los objetivos importantes del laboratorio.

IV. INSTRUCCIONES PARA LA CONFECCIÓN DE UN GRÁFICO

Los gráficos se confeccionan sobre un papel especial, puede ser milimetrado, logarítmico o semilogarítmico. En general es conveniente primero graficar los datos en papel milimetrado, donde las unidades de ambos ejes están espaciadas uniformemente. Si el gráfico resulta aproximadamente una línea recta, entonces la relación entre las variables "x" e "y" es lineal, o sea de la forma:

y= mx+ b

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Si la representación de los datos en papel milimetrado es una curva, es posible intentar cambiar a nuevas variables que estén relacionadas linealmente. Este proceso se llama “rectificación de los datos”. Existen dos casos en que la solución es simple.

1) Si se sospecha por la inspección del gráfico en papel milimetrado que la relación entre las variables es de “exponencial”, es decir de la forma:

y= ae b x

Entonces su gráfico en papel “semilogarítmico”, uniforme en "x" y logarítmico en base 10 para "y" será una línea recta, puesto que:

Log y = log a + bx

Del gráfico lineal se pueden entonces obtener las constantes a y b.

2) Si se sospecha por la inspección del gráfico en papel milimetrado que la relación entre las variables es de tipo “potencia”, es decir de la forma:

y =ax b

Entonces su gráfico en papel “log-log”, logarítmico en "x" y logarítmico en base 10 para "y" será una línea recta, puesto que:

Log y = log a + b.log x

Del gráfico lineal se pueden entonces obtener las constantes a y b.

Se deben cumplir además las siguientes indicaciones:

1) El gráfico debe llevar un título que indique el fenómeno que representa y sirva de guía a quién haga uso de él.

2) Se elige un sistema de coordenadas; muy a menudo usaremos el sistema de coordenadas ortogonal.

3) Sobre los ejes se indican las magnitudes físicas que en ellos se representan con sus correspondientes unidades y la escala adecuada.

4) Generalmente la variable independiente se representa en el eje de la abscisa y la variable dependiente en el eje de la ordenada, aunque pueden intercambiarse.

5) Cuando se selecciona una escala en la representación gráfica (con papel milimetrado o logarítmico) de cualquier curva se recomienda.

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a) Tratar que los puntos experimentales no queden muy juntos. Para una mejor información los puntos deben estar separados; para lograr esto se amplían las escalas como se indica en la figura.

b) Hay que evitar que las escalas elegidas sean

complicadas.

c) No deben unirse los puntos experimentales por medio de segmentos rectos; el gráfico tiene que construirse con una curva suave y continua que pase lo más cerca posible de los puntos obtenidos (curva de aproximación).

d) Si es necesario graficar con errores, generalmente el error de la variable independiente se desprecia y el error de la variable dependiente se puede representar por una “barra de error”. La curva que se dibuje debe pasar por el interior de las barras de errores.

En la figura se muestran dos casos para una relación lineal y otra no lineal.

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V. Análisis de un gráfico

Analizaremos a continuación como determinar la relación funcional entre variables experimentales.

Los pasos son los siguientes:1) Obtener tabla de datos.2) Graficar los datos. La gráfica puede ser: a. Una relación lineal (línea recta). b. Una relación no lineal (línea curva).3) Para el caso (b), se intenta modificar las variables hasta que su gráfico sea una línea4) Se escribe la ecuación de la recta, determinando el valor de las constantes 5) Interpretación física de la relación lineal obtenida.

Una vez lograda la relación lineal entre las originales o nuevas variables se debe determinar las constantes o parámetros de la recta.

La ley física entre las variables puede expresarse como:

y = f (x, m, b) = mx+ b

y: variable dependientex: variable independientem y b: constantes por determinar; m pendiente de larecta y b, ordenada del origen.

AJUSTE LINEAL

De acuerdo a lo recién explicado, si las variables originales o las nuevas variables que seguiremos llamando x, y, muestran una relación aproximadamente lineal, la tarea de encontrar una recta que pase por todos los puntos es normalmente una tarea imposible, puesto que en general se tienen varios puntos (xi, yi), con i =1, 2,3,..n y una recta queda determinada por dos puntos. La tarea que podemos resolver es la de encontrar la “mejor” recta que ajuste los datos. La ecuación general de una recta es:

y = mx+ b

Para determinar la pendiente m y la ordenada en el origen b para la recta que se aproxime a los datos, explicaremos dos métodos:

1. Método Gráfico se utiliza para un conjunto de puntos de moderada precisión. Simplemente grafique sus puntos de datos, dibuje la mejor recta que usted estime

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se aproxima mejor a los puntos. El intercepto con el eje Y nos da el valor de “b” y la pendiente será:

2. Método de promedios

Se define el residuo como la diferencia entre el valor experimental y el valor dado por la expresión mx + b, esto es

ri = yi - (mxi +b)

Valores que no son nulos porque los puntos no caen exactamente sobre la recta.

Si los datos los dividimos en dos grupos (I) y (II) de parecido tamaño, el método se basa en que la suma de los residuos en ambos grupos es cero, en otras palabras

y con estas dos ecuaciones se determinan m y b.

Estas se pueden escribir en términos de promedios sobre cada grupo en la forma:

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Y de estas ecuaciones se debe despejar m y b.

Método de mínimos cuadrados

El método de los mínimos cuadrados se basa en el siguiente criterio. “La mejor recta de ajuste de a una serie de datos puntuales es la que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones Di de los puntos con la recta.

La desviación Di es la diferencia entre el valor de la ordenada yi de un punto dato y el correspondiente valor yc dado por la recta, en otras palabras debe minimizarse

Existe un método de minimización basado en propiedades de las derivaciones parciales, cuestión que usted aún no conoce. Por ello se seguirá otra estrategia.

Recuerde que una función cuadrática de la forma: au2+ bu+ c tiene un mínimo (o máximo) justo en el punto medio entre las dos raíces, es decir en el punto

Si desarrollamos S, tenemos una función cuadrática tanto en m como en b. En efecto se tiene:

Y no podemos olvidar el primer término que depende de m y b.

Entonces usando el criterio para minimizar funciones cuadráticas, obtendremos:

Y

Que pueden ser reordenadas como:

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De donde se pueden despejar los valores de m y b resultando:

En estas expresiones representa ; no se escribieron los subíndices i de x

e y.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL r

Si se realiza un ajuste de mínimos cuadrados, una medida de la “calidad” del ajuste le da el coeficiente de correlación lineal r. Si r tiene un valor absoluto cercano a 1, el ajuste es “bueno”.

El coeficiente r se calcula según la expresión:

Y usando la notación de promedios <x> se escribe como:

EJEMPLO:

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Se tiene un carrito que desliza en un riel de aire horizontal y un dispositivo conectado a un computador que nos entrega una tabla de valores y el gráfico con puntos que están a continuación, donde x(t) indica el desplazamiento y t el tiempo transcurrido.

Se desea encontrar la ecuación itinerario del móvil que ha ocupado las siguientes posiciones en función del tiempo:

MÉTODO GRÁFICO

Se ha dibujado con una regla la mejor recta estimada en el gráfico. Tomamos dos puntos de fácil lectura (t1, x1), (t2 , x2 ) y calculemos su pendiente m.

Para el valor de b leemos donde la recta corta al eje x.

Figura 1

Así resulta:

-

t (s) 1.2 1.7 2.5 3.3 4.4 4.9 5.4 6.2 7.4x (cm) 12.5 16.2 22.1 28.0 36.2 39.9 44.6 49.5 58.4

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de manera que la relación funcional es :

x(t) = 3 + 7,5t cm

MÉTODO DE LOS PROMEDIOS

De la tabla de valores se tomaron los cuatro primeros y los cinco últimos para formar los dos grupos de manera que resulta un sistema de dos ecuaciones:

Y de allí se obtiene la relación lineal:

Ejercicios

En las siguientes tablas de valores realice los gráficos y encuentre la ecuación de la mejor recta mediante los métodos anteriores.

T (s) V (m/s) a (m/s2) F (N)

0.033 0.90 0.31 2.000.067 1.20 0.76 2.300.100 1.60 1.16 2.500.130 2.00 1.50 2.800.160 2.40 1.93 3.000.200 2.60 2.35 3.300.230 3.00 2.75 3.500.260 3.20 3.35 3.800.300 3.30 3.54 4.000.330 3.80 3.95 4.300.380 4.28 4.30 4.50

(rad s-2) ( N m)1.55 0.0112,25 0,0173,19 0,0234,00 0,0284,96 0,0345,85 0,0406,55 0,0457,25 0,0497,93 0,0568,35 0,0609,44 0,066

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MÉTODOS DE RECTIFICACIÓN

Representados los puntos en papel milimetrado, la curva obtenida podría ser una función polinomial, exponencial o logarítmica complicada y aún así, presentar aproximadamente la misma apariencia ala vista. Con frecuencia puede estimarse la relación funcional entre las variables si el experimentador tiene idea del tipo de función que representarán los datos, basándose en consideraciones teóricas y el resultado de experimentos previos similares.

ALGUNOS MÉTODOS

Para determinar la relación funcional entre dos variables x e y, en algunos casos se rectifica la curva mediante una adecuada transformación de las variables, tanto de la variable independiente y/o de la variable dependiente.

Las transformaciones se intentan hasta obtener una relación lineal en las nuevas variables X e Y, a partir de las cuales se deben calcular los parámetros M y N de la relación lineal Y = MX + N; luego desde esa última relación se podrá obtener la relación funcional entre las variables originales y = f(x).

Los siguientes son algunos ejemplos de gráficos de funciones y del respectivo cambio de variables que conviene efectuar:

a) Potencia y = ax2; Y = y; X = x2; Y = aX

Por ejemplo si la función es

y = 2x2 y = 2x

Entonces, al cambiar variables tenemos que Y = 2X

Sin embargo, para lograr esta transformación es necesario adivinar que la función es cuadrática en x. Por ello es preferible, suponer que la función es de tipo potencia y hacer lo que sigue:

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Potencia

De manera que al hacer el cambio de variables

se obtiene una relación lineal entre X e Y

Y los coeficiente pueden obtenerse de

Su representación es conveniente hacerla en papel log - log y no es necesario adivinar el exponente. Sin embargo, si la representación en papel log-log no resulta lineal entonces el modelo no es de potencia.

Por ejemplo, si los datos son:

X Y1.0 1.52.0 4.273.0 23.384.0 48.005.0 83.556.0 132.27

Su gráfico en papel milimetrado será como se indica en la figura (a).

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Log x

Y vs Xlog Y vs log X

Log (X)

Fig. b


Para utilizar papel log-log (b), necesitamos papel con dos periodos en el eje y, un periodo en el eje x.

Esto es el eje x tiene rango de 1 a 10 y el eje y rango de 1 a 1000.

El resultado para los mismos datos es una línea recta, pues es un ejemplo y los datos corresponden a modelo potencia

Del gráfico se deduce que:

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Fig. a


de modo que se obtiene 2,5 y 1.5X2.5

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

El número limitado de puntos obtenidos en un experimento no permite dibujar una curva continua, sin embargo, tratamos de hacerlo como si fuera con lo cual suponemos que se trata de una función continua, sin variaciones bruscas, entre los puntos vecinos. Dibujada la curva se puede obtener de ella el valor de una ordenada correspondiente a una denominada abscisa que aunque no haya sido determinada por el experimento mismo se encuentra comprendida entre dos valores experimentales, en tal caso el valor de la ordenada se ha obtenido por “interpolación”. Cuando este valor se obtiene usando las prolongaciones de la mejor curva trazada entre los valores experimentales, se dice que se ha hecho una “extrapolación”.

Cuando este valor se obtiene usando las prolongaciones de la mejor curva trazada entre los valores experimentales, se dice que se ha hecho una “extrapolación”. Ambas operaciones suelen estar limitadas por las condiciones de la experiencia.

Algunas aplicaciones

Siempre debe recordar:

Es mas común en física experimental el medir dos o más cantidades físicas que están relacionadas entre si. Esta relación puede ser desconocida o bien puede ser obtenida mediante alguna teoría o modelo matemático. Por ejemplo en la segunda Ley de Newton, F = ma, es interesante ver como al variar la fuerza F aplicada a un móvil de masa m, cambia su aceleración a. En este caso se harían una serie de medidas donde se varía F y se mide la aceleración resultante. La tabla de datos sería a= f(F) = , es decir a (la variable dependiente) como función de F (la variable independiente). La relación matemática es aquí: (1/m) F = a, es decir que existe una relación lineal entre a y F, o también se dice que a es proporcional a F y la constante de proporcionalidad es 1/m. A partir de los resultados experimentales sería posible encontrar el valor de la masa m.

Sea o no conocida la relación entre la variables, es conveniente representar visualmente las cantidades físicas que se están midiendo mediante un gráfico. De esta manera podemos comprobar si el modelo matemático que se asume relaciona a las cantidades es correcto o, en caso de ser la relación desconocida, se facilita la escogencia de un modelo matemático que relacione las cantidades

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medidas. En el caso de la segunda Ley de Newton, un gráfico de aceleración en función de la fuerza aplicada (a vs. F) nos daría una línea recta de pendiente 1/m.

En esta práctica nos concentraremos en el caso de gráficos en dos dimensiones, es decir sólo se representan dos cantidades físicas. Una de ellas será la variable independiente y la otra la dependiente. Utilizaremos así mismo un sistema de ejes cartesiano con un eje horizontal y un eje vertical. La variable independiente se representará en el eje horizontal, también conocido como eje de las abscisas. La variable dependiente se representará en el eje vertical, o eje de las ordenadas, como ya se mencionó.

Como ejemplo, vamos a graficar la aceleración en unidades de metros por segundo al cuadrado (m/s2) en función de la fuerza en unidades de newton (N), de un experimento para comprobar la segunda Ley de Newton cuyos datos se muestran en la siguiente tabla:

F (N) A (m/s2)1.0 ± 0.2 0.42±0.022.0 ± 0.2 0.70±0.043.0 ± 0.2 1.28±0.064.0 ± 0.2 1.80±0.095.0 ± 0.2 2.2±0.16.0 ± 0.2 2.5±0.17.0 ± 0.2 3.0±0.18.0 ± 0.2 3.4±0.29.0 ± 0.2 3.8±0.2

Tabla I: Resultados de un experimento para comprobar la segunda Ley de Newton. El error relativo en la medida de la aceleración es de 5% para todos los puntos.

Cada línea de la tabla corresponde a un punto experimental y le corresponderá una posición en el plano cartesiano definido por nuestros ejes. En esa posición se coloca un símbolo para representar ese punto experimental, como se observa en la siguiente figura. Los símbolos pueden ser círculos, cruces, cuadrados, triángulos, etc., pueden estar vacíos, rellenos o medio rellenos, pueden ser en colores o en blanco y negro. El uso de varios símbolos es útil cuando se grafican varias curvas experimentales sobre un mismo gráfico. En nuestro ejemplo cada punto experimental está representado con un rombo relleno azul.

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Figura 2. Gráfico para comprobar la segunda Ley de Newton. Los símbolos (•) corresponden a los datos experimentales de la tabla

Como podemos observar en la figura anterior, cada eje viene identificado con la variable correspondiente. En este caso la variable independiente, la fuerza, se asocia al eje horizontal y se identifica con su abreviatura acostumbrada, F, y al lado se coloca entre paréntesis las unidades utilizadas. Análogamente, el eje vertical de la izquierda con la variable dependiente, en este caso la aceleración medida para un objeto de masa m al aplicar una fuerza, y se identifica al eje con la abreviatura acostumbrada, a, señalando las unidades correspondientes.

REGRESIÓN LINEAL. Ajustar una recta a un conjunto de puntos experimentales.

En muchas situaciones la relación entre dos cantidades físicas, por ejemplo F = f(a) = ma para la segunda ley de Newton. E= f(h) = mgh, para la energía potencial gravitatoria cerca de la superficie de la tierra que es una función de la altura h, etc.

En estos casos se dice que la variable dependiente es proporcional a la variable independiente con una constante de proporcionalidad dada. Así entonces, en los ejemplos antes mencionados, la fuerza es proporcional a la aceleración, y la constante de proporcionalidad es la masa, la energía potencial es proporcional a la altura y la constante de proporcionalidad es el producto de la masa por la aceleración de gravedad, etc.

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En muchos casos es posible mediante transformaciones adecuadas “linearizar” la relación. Esta situación se discutirá con mas detalle en la sección siguiente de gráficos semi-log y log-log.

Si x es la variable independiente e y la variable dependiente la ecuación de la recta sería: y = ax + b ( Ecuación 1)

Donde a es la pendiente de la recta y b es el valor de la interceptación del eje Y con la recta, es decir el valor de y para x = 0. El objetivo en esta sección es determinar el valor de los parámetros a y b, para el mejor ajuste de unos datos experimentales. Lo primero que vamos a realizar es graficar los puntos experimentales con sus correspondientes barras de error y verificar que efectivamente la relación entre las dos variables es aparentemente lineal.

Tomemos como ejemplo los siguientes datos correspondientes a mediciones de la longitud l de un resorte colgado verticalmente al que se le cuelga en el extremo de abajo una masa m para 8 valores distintos de la masa. Con esta información es posible determinar si la Ley de Hooke,

F = mg = f(l) = k ( l – l0) para la fuerza de un resorte que es función de la elongación de ese resorte, l, menos el largo del resorte sin masa colgada, l0, se cumple y de ser así determinar la constante k del resorte:

l = l0

m (Kg) 1 2 3 4 5 6 7 8m (Kg) 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2

l (m) 0.32 0.40 0.46 0-53 0.61 0.68 0.75 0.82

l (m) 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02

Tabla 2. Resultados de un experimento para comprobar la Ley de Hooke.

Estos puntos están graficados en la figura 3.

El segundo paso es dibujar la mejor recta. Para ello es conveniente utilizar una regla transparente de manera de ver todos los puntos a la vez. Con la regla transparente muévala hasta que obtenga la mejor recta que pase lo mas cerca de todos los puntos experimentales. Una forma de realizar esto es la siguiente:

a) Coloque la regla horizontalmente de manera que pase aproximadamente por el centro de gravedad de los puntos (este punto puede ser determinado a ojo o calculándolo).

b) Rote la regla alrededor de ese punto de manera que aproximadamente tenga igual número de puntos por arriba y por abajo de la recta y que la distancia de la recta a cada punto sea mínima.

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Figura 3. Elongación de un resorte colgado verticalmente en función de la masa que cuelga de él. Los símbolos (•) corresponden a los datos experimentales, la línea sólida gruesa corresponde a la mejor recta trazada a ojo. Las líneas

sólidas delgadas corresponden a las rectas de mayor y menor pendiente que se pueden trazar para estos datos experimentales dentro de los límites de las barras de error.

Una vez dibujada la mejor recta se procede al tercer paso: determinar los valores de la pendiente y del término independiente, a y b respectivamente en la ecuación (1). Para ello se toman dos puntos alejados de la recta dibujada que no tienen que corresponder a puntos experimentales y cuyas coordenadas (x1, x2) y (y1,y2), se miden cuidadosamente. Se calcula la pendiente mediante la expresión:

Una vez determinada la pendiente un simple cálculo nos permite hallar el punto de intersección con el eje Y: b= y2 – ax2= y1 – ax1.

Finalmente se debe estimar de alguna manera el error cometido en la determinación de la pendiente, a, y en el término independiente, b, que van a estar relacionados con los errores en x y en y. Para ello se dibujan las rectas de pendiente máxima y mínima que aún cortan las barras de error. Esto se hace de manera similar a la determinación de la mejor recta pero esta vez lo importante es que corte las barras de error y que una de ellas tenga la mayor pendiente posible y la otra la mínima posible. Las pendientes máximas y mínimas y los correspondientes términos independientes se determinan de manera similar que

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para la mejor recta y si las llamamos amáx y amin, bmáx y bmin, entonces los errores asociados a los parámetros a y b serán:

Nótese que bmax es el término independiente asociado a la recta de mayor pendiente y no es necesariamente mayor que bmin, por lo que se toma el valor absoluto de la diferencia entre bmax y bmin. Para el caso de nuestro ejemplo del resorte, la mejor recta y las rectas de pendiente máxima y mínima se muestran en la figura 3 y los resultados son los siguientes:

a = 0.07 m/kg, b = 0.25 m, = 0.065 m/kg, = 0.275 m , = 0.077 m/kg, = 0.223 m de donde obtenemos .a = 0.006 m/kg y .b = 0.026 m, por lo que los parámetros de la recta se pueden escribir, si aplicamos lo que hemos aprendido anteriormente acerca de cifras significativas y redondeo como: a = (0.070 ± 0.006) m/kg y b = (0.25 ± 0.03) m. El valor de la constante k del resorte es entonces igual a g/a, es decir k14010=± N/m. ¿Podría Ud. calcular l0?

El método gráfico para determinar los parámetros de una recta presenta la singular ventaja de que uno está viendo lo que hace. Uno por simple inspección se puede dar cuenta si de hecho existe una relación lineal entre las variables, si existe un punto que obviamente no sigue la tendencia de los otros puntos (por ejemplo resultado de una mala medida) que se pudiera eliminar del análisis, si uno necesita mas puntos experimentales en alguna zona, etc., El método de mínimos cuadrados que discutiremos más adelante es más preciso que el gráfico que acabamos de describir, pero es un proceso “ciego” que no permite detectar los problemas mencionados. Por esto, es siempre conveniente graficar los datos aunque se utilice un cálculo computarizado para determinar los parámetros de la recta.

GRAFICOS SEMI-LOGARITMICOS Y LOG-LOG.

Como ya se ha indicado, es posible en muchos casos linealizar la relación entre dos variables físicas aplicando alguna transformación a los datos experimentales. De esta manera se obtiene una relación lineal en los datos transformados y se puede aplicar el método de la sección anterior para determinar los parámetros de esta recta (o también el método analítico que veremos en la siguiente sección). Por ejemplo si medimos la energía cinética 122 = mvK, en función de la velocidad v, obtendremos una relación lineal si graficamos K vs. v2, ya que K es proporcional a v2 con constante de proporcionalidad m/2. De este gráfico se puede obtener el valor de la pendiente de la recta, es decir m/2.

El caso más común es cuando existe una dependencia exponencial entre las

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variables, por ejemplo en el caso del voltaje V de un capacitor durante su descarga en función del tiempo t que viene dado por la expresión:

Donde V0 es el voltaje inicial y τ es una constante llamada la constante de tiempo.

Supongamos que hemos realizado mediciones de V vs. t para la descarga de un capacitor y queremos hallar los valores de V0 y de τ. Si tomamos el logaritmo decimal a ambos lados de la expresión anterior obtendremos:

Vemos como al graficar Log (V) en función de t, se obtendrá una relación lineal. Al obtener los parámetros de esta recta, obtenemos luego de uno cálculos sencillos los valores de V y de

Para realizar esta operación gráficamente hay dos alternativas: transformar con una calculadora los valores de V a Log(v) y graficarlos en papel milimetrado normal, o utilizar un tipo especial de papel conocido como papel semi-Log el cual permite el uso de una escala lineal en un eje y una escala logarítmica en el otro.

Recordemos que la función logaritmo representa los múltiplos y submúltiplos de 10 a enteros. Es decir lo que sería en escala lineal 0.01, 0.1, 1, 10 y 100 sería en escala logarítmica –2, -1, 0, 1 y 2. Los números comprendidos entre 10n y 10 n+1

corresponden a un orden de magnitud o década y son transformados por la función logaritmo a valores entre n y n +1

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Papel semi-log de dos décadas. La escala adicional de la izquierda corresponde al valor del logaritmo decimal de los valores de la escala logarítmica

La escala logarítmica en el papel semi-Log esta diseñada de manera tal que uno grafica directamente el valor del punto y en el papel directamente queda graficado su logaritmo. La figura anterior, muestra como luce y como funciona un papel semi-Log de 2 décadas. Para entender mejor el papel semi-Log se ha añadido una escala lineal adicional en la parte izquierda de la gráfica, que corresponde al valor del logaritmo decimal de los valores de la escala logarítmica. Como se puede comprobar, un valor de x = 2 corresponde en realidad a graficar el valor 0.30103, y graficar x = 20 corresponde a graficar 1.30103. En general, al igual que con el papel milimetrado, el papel semi-Log no trae números como los mostrados en la figura , y corresponde al estudiante colocar los valores correspondientes de acuerdo a sus necesidades. Así mismo el estudiante debe determinar cuantas décadas necesita para cubrir el rango de valores experimentales que desea graficar. Si la variable que deseamos representar en forma logarítmica varía entre 1 y 10000, se deberá escoger un papel de 4 décadas; si varía entre 0.1 y 10, dos décadas serán suficientes.

Aun y cuando no se conozca si la relación entre las variables físicas es de tipo exponencial, si una de ellas cubre varios ordenes de magnitud, es conveniente graficarlas en papel semi-Log ya que en papel milimetrado sería poco práctico. Además al graficar los datos en papel semi-Log uno ve directamente si existe esta relación lineal entre una variable y el logaritmo decimal de la otra.

VENTAJAS DEL APPEL semi-Log

Una de las ventajas del papel semi-Log es que es muy sencillo multiplicar o dividir la variable por un factor f. Dadas las propiedades de los logaritmos, una multiplicación o división corresponde a una traslación en el eje semi-logarítmico de Log (f). Es decir que cambiar la línea de base en papel semi-Log no afecta ni la forma ni la pendiente (en caso de ser lineal) de la curva graficada. Por otro lado como el “tamaño” de cada década es igual, como se observa en la figura, es posible pegando varias hojas de papel semi-Log obtener el número de décadas que uno quiera a partir del que tengamos disponible. Hay que tener cuidado al dibujar las barras de error en papel semi-Log para la variable logarítmica. Si el error es simétrico linealmente, será asimétrico en el papel semi-Log. Un ejemplo de un gráfico semi-Log lo tenemos en la figura anterior, correspondiente a los datos de la tabla III, en donde se tabulan las medidas del decaimiento del voltaje de un capacitor cuando se descarga, en función del tiempo.

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V(voltios)


En la tabla 3 se observa que el error en el voltaje depende de la escala del voltímetro utilizado (se ha exagerado este error para poder observar las barras de error claramente en el gráfico de la figura 5, ya que cualquier voltímetro digital moderno daría ± 0.1 cuentas en cada escala). Obsérvese así mismo que las barras de error en el voltaje son distintas para cada punto experimental y de hecho se observa claramente la asimetría de las barras de error verticales así como su disminución en tamaño en cada década a medida que el valor del voltaje aumenta, esto debido al efecto transformador del papel semi-Log.

Tabla 3. Resultados de un experimento de descarga de un capacitor. El error en el tiempo es .t = 0.01 s para todas las medidas.

La recta dibujada corresponde a la mejor recta calculada por mínimos cuadrados y que corresponde a:

Log (V) = - 4.36t + 0.994

t (s) V (voltios)0.50 (6.1 0.5) x10-20.55 (3.9 0.5) x 10-20.60 (2.2 0.5) x 10-20.65 (1.5 0.5) x10-20.70 (9.1 0.5) x10-30.75 (5.5 0.5) x10-30.80 (3.4 0.5) x10-30.85 (2.0 0.5) x10-30.90 (1.2 0.5) x10-30.95 (7.5 0.5) x10-41.00 (4.5 0.5) x10-4

t (s) V (voltios) 0.00 10.0 0.50.05 6.1 0.50.10 3.7 0.50.15 2.2 0.50.20 1.4 0.50.25 (8.2 0.5)x10-1

0.30 (5.0 0.5) x10-1

0.35 (3.0 0.5) x10-1

0.40 (1.8 0.5) x10-1 0.45 (1.1 0.5) x10-1

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t (S)

batLogVtτ

)e(Log)V(Log 0

_ +=+=


y comparando esta recta con la ecuación

Podemos calcular que V0 = 9.86 V y la constante de tiempo t = 9.96 x 10-2 s

BIBLIOGRAFÍA

Rosas Lucía, Riveros Héctor G., Iniciación al método científico experimental”, Ed. Trillas, México (1990).

Lichten William “Data and Error Analysis”, , Ed. Prentice Hall (1999).

Bevington Philip R. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences”, Ed. McGraw-Hill.

Laredo Estrella, Puma Marcelo, Sánchez Alfredo. Errores, Gráficos y estadística” Guía del Laboratorio de Física.

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aprendiendo a graficar

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