circunferencia ok

Se conoce como circunferencia de los nueve puntos a la circunferencia asociada a cada

triángulo. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que

el triángulo sea obtusángulo). Estos son:el punto medio de cada lado del triángulo,

los pies de las alturas, ylos puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.Al círculo de los nueve puntos se le conoce

también entre otros como círculo de Feuerbach, círculo de Euler, círculo de los seis puntos o

círculo medio inscrito

Circunferencia de las 9 puntas

MOTIVACION :

Historia de la

circunferencia de los

nueve puntos

Generalmente,[1] se adjudica a Karl Wilhelm Feuerbach el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que Feuerbach descubrió fue la circunferencia

de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas del triángulo (en la figura, los puntos: M N P y E

G J).Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelethabían demostrado su existencia. Poco tiempo después de

Feuerbach, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los

segmentos determinados por los vértices del triángulo y el ortocentro, también están contenidos en la circunferencia

(en la figura, los puntos: D F H).

LECTURA :

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico

de un conjunto de infinitos puntos que

equidistan de un punto situado en el centro.

Elementos

Puntos y rectas en una circunferencia

Posiciones relativas a

dos circunferencias

El número PI

Longitud de la circunferencia

Elementos de la circunferencia

centro

ELEMENTOS DE LA

CIRCUNFERENCIA

1:Centro.- el punto interior equidistante

de todos los puntos

de la

circunferencia;

2:Radio.- el segmento que une

el centro con un

punto cualquiera de

la circunferencia;

3:Diámetro.-, el mayor segmento

que une dos puntos

de la circunferencia

(necesariamente

pasa por el centro);

7:Cuerda.-segmento que

une dos puntos

de la

circunferencia; (

cuerda máxima

el diámetro)

6:Recta

secante.- la que corta a la

circunferencia

en dos puntos;

5.Punto de

tangencia, el de contacto de la

recta tangente

con la

circunferencia;

4:Recta tangente.-, la que toca a la

circunferencia en

un sólo punto

8:Fecha o sagita: segmento

perpendicular

entre la cuerda y

su arco

10:

Semicircunferencia, cada uno de los

dos arcos

delimitados por los

extremos de un diámetro

9:Arco.-, el segmento

curvilíneo de

puntos

pertenecientes a

la circunferencia

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

A B

Recta

tangente

Recta

secante

Flecha o

sagita

Diámetro

AB( )

Centro

T

Punto de tangencia

Q

P

Radio

Arco BQ

Cuerda PQ

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.-Radio trazado al punto de tangencia es

perpendicular a la recta tangente.

LR

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda

la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

P

Q

MQ PM PQ R

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes

entre las paralelas.

A B

C D

mBDmAC CD // AB :Si

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia

les corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentesArcos congruentes

Las cuerdas

equidistan del

centro

mCD mAB CD AB:Si

POSICIONES RELATIVAS DE DOS

CIRCUNFERENCIAS

01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.

r

d = Cero ; d : distancia

Distancia entre

los centros (d)

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.

d > R + r

R r

d = R + r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un

punto común que es la de tangencia.

R r

Punto de tangencia

Distancia entre

los centros (d)

d

d = R - r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un

punto en común que es la de tangencia.

d: Distancia entre los centros

R

r

Punto de

tangencia

05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes

que son las intersecciones.

( R – r ) < d < ( R + r )

Distancia entre

los centros (d)

06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son

perpendiculares en el punto de intersección.

d2 = R2 + r2

Distancia entre

los centros (d)

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.

d

d < R - r d: Distancia entre los centros

1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede

trazar dos rayos tangentes que determinan dos

segmentos congruentes.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

AP = PB

A

B

P

R

R

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

AB = CD

A

B

R

R

r

r P

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.

AB = CD

A

B

C

D

M

TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma

de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa

mas el doble del inradio.

a + b = c + 2r

a

b

c

r

Inradio

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una

circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados

opuestos son iguales.

a + c = b + d

d

a

b

c

Cuadrilátero circunscrito

El Teorema de Steiner :

En todo cuadrilátero ex-inscrito la diferencia de dos lados opuestos

es igual a la diferencia de los otros dos.

a - c = b - d

Regresar

a

bc

d

r

a - c = b - d

El círculo

SemicírculoCírculo

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la

medida del arco que se opone.

A

B

C

r

r

= mAB

A

C

B

D

2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la

semisuma de las medidas de los arcos

opuestos

2

mCDmAB

A

B

C

3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida

del arco opuesto.

2

mAB

4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida

del arco opuesto.

A

B

C

2

mAB

A

BC

2

mABC

1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de

la medida del arco ABC.

A

B

C O

6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es

igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos

opuestos.

+ mAB = 180°

2

mAB - mACB

A

B

C

O

D

b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la

semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

2

mCD-mAB

A

B

C

O

c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra

secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los

arcos opuestos.

2

mBC - mAB

50°70º+x

XR

S

Q

140°

2X

X + (X+70) + 50° = 180°

X = 30°

Por ángulo semi-inscrito PQS

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

P

xº702

x2º140PQSm

Reemplazando:

En el triángulo PQS:

Resolviendo la ecuación:

PSQ = x

Se traza la cuerda SQ 2

mQRSPQSm

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se

trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS

mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la

medida del ángulo PSQ.

20°

70°

X

X = 40°R

Q

En el triángulo rectángulo RHS

140° Es propiedad, que:

140° + X = 180°

Por ángulo inscrito

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

P

S

m S = 70º

Resolviendo:

PSQ = x

2

mQRº70 mQR = 140°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se

trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco

QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular

a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR.

x

130°

A

C

B

DX = 40°

2

50 130X50°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

PResolviendo:

APD = xMedida del ángulo interior

Medida del ángulo exterior

902

mBC130mBC = 50°

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se

trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC

y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida

del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

x

X = 18°

2

X 54X

M

N

54°

xx

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

PAB

APN = xSe traza el radio OM:

o

Dato: OM(radio) = PM

Luego triángulo PMO es isósceles

Ángulo central igual al arco

Medida del ángulo exterior

Resolviendo:

En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga

hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo

secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al

radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m APN.

x

70°

Medida del ángulo inscrito:

X = 55°

2

110X

A

B

C

PQ

R

110°

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

PRQ = x

Por la propiedad del ángulo exterior

formado por dos tangentes:

Resolviendo:

70° + mPQ = 180° mPQ = 110°

En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia

tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,

“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide

70º. Calcule la m PRQ.

Calcule la medida del ángulo “X”.

Problema Nº 06

70°

B

A

X P

Resolución

RESOLUCIÓN

Por la propiedad del ángulo exterior

formado por dos tangentes:

Medida del ángulo inscrito:

70°

B

A

X P

C140º

140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º

2

mABº70 mAB=140º

Calcular la medida del ángulo “x”

Problema Nº 07

B

A

X P130º

Resolución

RESOLUCIÓN

B

A

X P130º C

Medida del ángulo inscrito:

En la circunferencia:

260º

Por la propiedad del ángulo exterior

formado por dos tangentes:X = 80º

2

mABº130 mAB = 260º

mACB = 100º

mACB + x = 100º

260º + mACB = 360º

X

PLANTEAMIENTO

Q

R

S

80º Pa

a

Problema Nº 08

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m QPR .

Resolución

2a + 80º = 360º

a = 140º

Medida del ángulo exterior:

Xa 80

2

140 80

2

º º ºX = 30º

En la circunferencia:

RESOLUCIÓN

X

Q

R

S

80º Pa

a

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

Problema Nº 09

2

5 5

A

B

C

Resolución

Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)

Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10

(2p) = 24

RESOLUCIÓN

2

5 5A

B

C

a b

a + b = 14 (1)

(2)

Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10

P

Q

R

S

2

3

PLANTEAMIENTO

Problema Nº 10

En un cuadrilátero ABCD m Q = m S = 90º se traza

la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y

PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el

perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la

longitud de PR

Resolución

Teorema de Poncelet:

a b

c

d

PQR a + b = PR+2(3) +

a +b + c + d = 2PR + 10

PR = 6cm

Dato:

a + b + c + d = 22cm

PSR c + d = PR+2(2)

22 = 2PR + 10

RESOLUCIÓN

P

Q

R

S

2

3