POLINOMIOSEXPRESIONES ALGEBRAICASUna expresin algebraica es una combinacin de variables y/o constantes en cantidades finitas, en el que intervienen las operaciones fundamentales de: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin, sin variables en los exponentes. Ejemplo:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALESSon aquellas expresiones algebraicas cuyas variables no estn afectadas de radicales. Ejemplo:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONAL ENTERAUna expresin algebraica, es racional entera, cuando sus exponentes de sus variables son nmeros enteros mayores o iguales que cero o que las variables no estn en el denominador. Ejemplo:

POLINOMIODefinicin: Un polinomio es una expresin algebraica racional entera, con una o ms variables. Ejemplos:1. Es un monomio de una variable.2. Es un monomio de tres variables.3. Es un trinomio de dos variables.El polinomio en la variable esta representado por: , Este polinomio tambin se conoce como polinomio entero que tiene trminos

Donde: Es el grado del polinomio. : Coeficiente principal del polinomio. : Trmino independiente del polinomio. : Coeficientes.Nota: Si , es un polinomio mnico.Ejemplo: Es un polinomio de grado 7, cuyo coeficiente principal es y el trmino independiente es 2.Observaciones:1. Se llama polinomio nulo, cuyo grado no esta definido.2. , Se llama polinomio constante, cuyo grado es cero.3. Se llama polinomio lineal o de primer grado.GRADO DE UN POLINOMIODefinicin: El grado es una caracterstica en relacin a los exponentes de las variables, el cual es un nmero entero mayor o igual que ceroCLASES DE GRADOS:GRADO RELATIVO a) De un Monomio: El grado relativo en un monomio, es el exponente de la variable indicada. Ejemplo: En el monomio ; ; b) De un Polinomio: El grado relativo en un polinomio es el mayor exponente de la variable indica que se presenta en cualquier trmino. Ejemplo: En el polinomio ;

GRADO ABSOLUTO a) De un Monomio: El grado absoluto de un monomio, es la suma de exponentes de las variables. Ejemplo: En el monomio

b) 1397De Un Polinomio: El grado absoluto de un polinomio, es la mayor suma de los exponentes de las variables que se presenta en cualquier termino del polinomio. Ejemplo: En el polinomio

Propiedades:Si son polinomios de grado respectivamente, con entonces:1. Es de grado 2. Es de grado 3. con Es de grado , siempre que sea un polinomio.4. Es de grado 5. Es de grado , siempre que sea un polinomioEjemplo: Dado El grado de El grado de El grado de Q5 (x) VALOR NUMRICO DEL POLINOMIOEl valor numrico de un polinomio, es el valor que adquiere cuando se le asigna valores a sus variables. Ejemplo 1: Dado Hallar Solucin: Ejemplo 2: Dado Hallar Solucin: Propiedades:a) Si es un polinomio con una variable entonces:1. Suma de coeficientes 2. Termino independiente b) Si es un polinomio de dos variables entonces:1. Suma de coeficientes 2. Termino independiente Ejemplos1. Si Suma de coeficientes Termino independiente 2. Si Suma de coeficientes Termino independiente

OPERACIONES CON POLINOMIOSADICIN DE POLINOMIOSDados dos polinomios reales: , , El polinomio suma, esta definido por:

SUSTRACCIN DE POLINOMIOSDados dos polinomios reales: , , El polinomio diferencia, esta definido por:

MULTIPLICACION DE POLINOMIOSDados dos polinomios reales: , , El polinomio producto, esta definido por:

Ejemplo: Dado los polinomios: Si el grado del producto de los tres polinomios es 25, el valor de n es:Solucin:

; ; Entonces:

PRODUCTOS NOTABLESSon casos especiales de la multiplicacin de polinomios, con los cuales se obtiene el polinomio producto en forma directa sin efectuar la operacin de la multiplicacin.Sean expresiones algebraicas, entonces:1. Binomio al cuadrado

2. Diferencia de cuadrados

3. Diferencia de cubos

4. Suma de cubos

5. Binomio al cubo

6. Trinomio al cuadrado

7. Trinomio al cubo

8. Identidad de Argand

9. Identidad de Legendre

10. Identidad de Lagrange

Ejemplo: Simplificar la expresin

Ejemplo: Simplificar la expresin

DIVISIN DE POLINOMIOSALGORITMO DE LA DIVISIN Dados dos polinomios reales de grado y de grado , con ; existen dos polinomios nicos y , tales que:

Observacin:1. Grado del dividendo grado del divisor2. Grado del divisor grado del resto 3. Grado del cociente = grado del dividendo grado del divisor4. Grado mximo del resto = grado del divisor 15. Grado mnimo del resto = 0MTODOS DE LA DIVISIN DE POLINOMIOSA. MTODO DE HORNEREste mtodo se utiliza para dividir polinomios, cuyo divisor sea de grado mayor o igual que dos. En este mtodo primero se ordenan y completan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable, luego se utilizan slo coeficientes y el esquema siguiente:

divisor CON SU MISMO SIGNORESIDUO D I V I D E N D OC O C I E N T ECON SU MISMO SIGNOCON SIGNOCAMBIADORECTA MOVIL (INDICA GRADO DEL RESIDUO)

Ejemplo: En la divisin entre deja un residuo de el valor de Solucin:

Igualando los coeficientes se tiene: ; ; Luego B. MTODO DE RUFFINIEste mtodo se utiliza para dividir polinomios cuyo divisor sea de la forma O cualquier expresin transformable a esta. En este mtodo primero se ordenan y completan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable, luego se utilizan slo coeficientes y el esquema siguiente:

D I V I D E N D ORESIDUO

Ejemplo: En la divisin entre se obtiene un cociente entero donde la suma de coeficientes del cociente es igual a dos veces el residuo. Hallar.

Solucin:

Como: FACTORIZACINFACTORIZACIN DE POLINOMIOS.La factorizacin es la transformacin de un polinomio en productos indicados de dos o ms polinomios primos.Sea: a) El nmero de factores del polinomiob) El nmero de factores primos del polinomio , estos son: c) El nmero de factores algebraicos del polinomio

Ejemplo: Sea Cuntos factores, factores primos y factores algebraicos tiene el polinomio?Solucin:

Factores algebraicos

MTODOS DE FACTORIZACIN.1. MTODO DEL FACTOR COMN.Este mtodo consiste en extraer un factor comn monomio o un factor comn polinomio a todos los trminos del polinomio. Ejemplos:a) Factorizar Solucin: Factorizando b) Factorizar Solucin: Agrupando Factorizando

2. MTODO DE LAS IDENTIDADES.Recibe el nombre de las identidades, porque se utiliza las identidades algebraicas o productos notables en forma inversa. Tenemos las siguientes:1. Diferencia de cuadrados2. Diferencia de cubos3. Suma de cubos4. Trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo: Determinar el nmero de factores primos del polinomio Solucin: Agrupando y sacando factor comn a

Numero de factores primos

3. ASPA SIMPLE.Tiene la forma general: ; ; O cualquier otra expresin transformable a esta.Ejemplo: Determinar el nmero de factores del polinomio Solucin: Numero de factores

4. ASPA DOBLE.Tiene la forma general: ; O cualquier otra expresin transformable a esta.Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasosa) Se ordena el polinomio a la forma general, en caso falte uno o mas trminos se completa con ceros. b) Se forma el primer trinomio con los tres primeros trminos y se aplica aspa simple, para comprobar el segundo termino.c) Luego se forma otro trinomio con los trminos (3,5 y 6) y se aplica aspa simple, para comprobar el quinto termino.d) Finalmente se aplica un aspa simple con los trminos (1,4 y 6) para comprobar el cuarto termino.e) Los factores sern las sumas horizontales.

Ejemplo: Factorizar Solucin: Comprobando: Aspa simple con los trminos (1,4 y 6) Los factores son: 5. ASPA DOBLE ESPECIALTiene la forma general: ; ; O cualquier otra expresin transformable a esta.Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasosa) Se ordena el polinomio a la forma general, en caso falte uno o mas trminos se completa con ceros. b) Se descompone convenientemente los extremos, se efecta el producto en aspa y se suman los resultados.c) Se compara el resultado anterior con el trmino central del polinomio y lo que sobre o falte para que sea igual a ste, ser la expresin que se tenga que descomponer en las partes centrales de los futuros nuevos dos factores.d) Los factores sern las sumas horizontales.

Ejemplo: Factorizar Solucin: Multiplicando los extremos se tiene para falta

Los factores son:

6. MTODO DE EVALUACIN DE DIVISORES BINOMIOSEse mtodo se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado y que admitan factores de primer grado de la forma general Los ceros de un polinomio son el conjunto de valores que puede tomar la variable de un polinomio y hacer que su valor numrico sea cero.Para determinar los posibles ceros de un polinomio se considera:a) Si el polinomio tiene como coeficiente principal a la unidad, en este caso los posibles ceros racionales estarn dados por los divisores del trmino independiente con su doble signo . Por ejemplo:

Los posibles ceros estarn determinados por los divisores de

b) Si el coeficiente principal del polinomio es diferente a la unidad, en este caso se toman los valores fraccionarios que resultan de dividir los divisores del trmino independiente entre los divisores del primer coeficiente.

Por ejemplo:

Los posibles ceros son: Para factorizar el polinomio se considera los siguientes pasosa) Se ordena el polinomio, en caso falte uno o mas trminos se completa con ceros.b) Determinar los ceros del polinomio. (el numero de ceros debe estar de acuerdo con el grado del polinomio)c) Deducir el factor que da lugar al cero del polinomio; si un polinomio se anula para , entonces ser un factor primo del polinomio. a. Es decir: d) Los factores se determinan utilizando el mtodo de Ruffini, el cual se emplea tantas veces como ceros tenga el polinomio.Ejemplo: Factorizar Solucin:Los posibles ceros son Donde

Entonces RADICACINDefinicin: una radicacin es una operacin tal que Donde: : Radical : ndice del radical ( : Radicando : Raz n- sima de Propiedades:1. con ( siempre que exista en 2. y n es impar 3. ; siempre que y exista en 4. ; , siempre que y exista en 5. ; siempre que las rices indicadas existan en TRANSFORMACIN DE RADICALES DOBLES A RADICALES SIMPLESAnalizaremos los casos ms simples. Cabe notar que no todo radical doble admite transformacin en radicales simples.

Caso I: Radical de la forma: Donde A y B son expresiones racionales positivas y

Donde: , siendo necesariamente una expresin racional

Ejemplo: transformar a radical simple Solucin: , entonces

Forma practica de transformacin de Para transformar un radical de la forma con sus respectivas restricciones en una adicin o sustraccin de radicales simples, se procede de la siguiente manera:El radical doble debe ser posible escribir en la forma

Si ; entonces

Caso II: a) Radical de la forma: Donde son expresiones racionales positivas, para realizar la transformacin se establece la siguiente igualdad.

Donde son expresiones racionales positivas.Para hallar elevamos al cuadrado ambos miembros, obteniendo:

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

(1) (2)(3)Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones hallamos los valores de . Las partes irracionales se pueden igualar en cualquier orden.

Ejemplo: Transformar a radical simple

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin: Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

De donde Entonces: Forma practica de transformacin de Para transformar un radical de la forma con sus respectivas restricciones en una adicin de radicales simples, se procede de la siguiente manera:El radical doble debe ser posible escribir en la forma.

Si , entonces:

Donde son expresiones racionales positivas.

b) Radical de la forma: Donde son expresiones racionales positivas con para realizar la transformacin se establece la siguiente igualdad.

Donde son expresiones racionales positivas.Para hallar elevamos al cuadrado ambos miembros, obteniendo:

Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

(1) (2)(3)Resolviendo el sistema de 3 ecuaciones hallamos los valores de .

Ejemplo: transformar a radical simple

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin: Igualando las partes racionales e irracionales respectivamente tenemos:

De donde Analizando Entonces:

Forma practica de transformacin de Para transformar un radical de la forma con sus respectivas restricciones en radicales simples, se procede de la siguiente manera:El radical doble se transforma.

Si , Entonces:

Donde: son expresiones racionales positivas.

RACIONALIZACIN La racionalizacin es el proceso que consiste en transformar el denominador (o numerador) irracional en otra expresin racional a travs de un factor denominado factor racionalizador.Factor Racionalizador (FR): Es una expresin irracional tal que al multiplicar a otra expresin, la transforma en una expresin racional.

CASOS DE RACIONALIZACINCaso I: Cuando el denominador irracional es un Monomio de cualquier orden.El FR es un radical que tenga el mismo ndice, pero cuyos exponentes del radicando estarn expresados por la diferencia existente entre el ndice original de la raz y los exponentes que afectan a sus variables.

Ejemplo: Racionalizar.1.

2.

3.

Caso II: Cuando el denominador irracional es un binomio (o transformable a binomio) cuyos radicales son de de segundo orden (o ndice par)El FR es la conjugada del denominador que se emplear tantas veces hasta que el denominador quede transformado en una expresin racional.

Ejemplo: Racionalizar1. 2.

Caso III: Cuando el denominador irracional son radicales de tercer orden de las formas.

Para este caso debe tenerse en cuenta las siguientes equivalencias algebraicas

Ejemplo: 1. 2. ECUACIONESDefinicin.- Una ecuacin es una igualdad de dos expresiones matemticas que contiene una o ms variables.Ejemplo: slo se verifica para Se llama solucin de una ecuacin al valor o conjunto de valores que sustituidos en lugar de las incgnitas transforman a las ecuaciones en identidades.ECUACIONES EQUIVALENTESReciben este nombre las ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Ejemplo: slo se verifica para Slo se verifica para Las ecuaciones: y Son equivalentes, puesto que para ambas:

CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONESSEGN LA NATURALEZA DE SUS RAICESI) Ecuacin Compatible.- Es aquella ecuacin que tiene al menos una solucin y esta a su vez pueden ser:a) Ecuacin Compatible Determinada.- Es cuando la ecuacin admite un nmero finito de soluciones.Ejemplo: La ecuacin Por lo tanto el conjunto solucin es:

b) Ecuacin Compatible Indeterminada.- Es cuando la ecuacin admite un nmero infinito de soluciones.Ejemplo: La ecuacin

Por lo tanto el conjunto solucin es: (Infinitas soluciones)

II) Ecuacin Incompatible.- Es aquella ecuacin que no admite ninguna solucin.Ejemplo: La ecuacin , AbsurdoPor lo tanto, la ecuacin no admite solucin alguna,

ECUACIN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REALEs una ecuacin que se reduce a la forma:

Siendo la variable o incgnita que pertenece a los reales, la ecuacin se llama forma general de la ecuacin de primer grado con una variable real.Siendo la solucin de la ecuacin es decir, el conjunto solucin es:Anlisis de las races. Dada la ecuacin: 1. Si La ecuacin es compatible determinada y tiene solucin nica.2. Si La ecuacin es compatible indeterminada y tiene infinitas solucin, entonces 3. Si La ecuacin es incompatible y no tiene solucione, entonces

ECUACIN DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REALLlamada tambin ecuaciones polinmicas de segundo grado. La forma general de una ecuacin cuadrtica con una variable real x, es:

La forma normal de la ecuacin cuadrtica es:

ANALISIS DE LA ECUACIN CUADRATICADada la ecuacin: 1) Si entonces la ecuacin es compatible determinada.2) Si entonces la ecuacin es compatible indeterminada.3) Si entonces la ecuacin es incompatible.SOLUCIN DE LA ECUACIN CUADRTICALa ecuacin cuadrtica se puede resolver mediante una factorizacin o utilizando la frmula de baskara.

1. MTODO DE FACTORIZACINEn la ecuacin debemos aplicar aspa simple al primer miembro, es decir:

Se cumple slo cuando de donde el conjunto solucin es:

Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin:

Se cumple slo cuando de donde Luego el conjunto solucin es:

2. FRMULA DE BASKARASe utiliza cuando el trinomio de la ecuacin cuadrtica no es factorizable en . As las races (soluciones) de la ecuacin esta dado por la frmula:

De donde se obtienen las races:

De donde el nmero real es el DISCRIMINANTE de la ecuacin cuadrtica

Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin: identificando , reemplazando en la frmula cuadrtica

De donde las rices son:

NATURALEZA DE SUS RAICESEn la ecuacin de coeficientes reales, con races se cumple:1) Si , entonces las races son races reales y diferentes.Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin:

Se cumple cuando De donde Luego el conjunto solucin es: 2) Si , entonces las races son races reales e iguales.Observacin: la ecuacin cuadrtica tiene dos races reales e iguales o solucin nica, si el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin:

, Se cumple cuando De donde Luego el conjunto solucin es: es una nica solucin.3) Si , entonces las races son races complejas y diferentes.Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin: identificando , reemplazando en la frmula cuadrtica

De donde las rices complejas son: Donde: nmero imaginarioPROPIEDADESEn toda ecuacin de coeficientes reales, con races se cumple:1. Suma de races: 2. Producto de races: 3. Diferencia de races: 4. La ecuacin que dio origen a las races es:

Ejemplo: Sean races de Hallar , si

Nos pide:

RAICES ESPECIALESSean races de la ecuacin cuadrtica 1. Si una de las races es el inverso aditivo de la otra entonces las races son simtricas. Es decir: Si es una de las races, entonces la otra raz ser talque

2. Si una de las races es el inverso multiplicativo de la otra entonces las races son recprocas.Es decir: Si es una de las races, entonces la otra raz ser talque Ejemplo: calcular la suma de los cuadrados de las races de la ecuacin Sabiendo que las races son reciprocas.Solucin:

Identificando y como las races son reciprocas, entonces se cumple: , luego la ecuacin cuadrtica queda:

Observacin:Si las ecuaciones Tienen las mismas races (son equivalentes), entonces:

Ejemplo: Dada las ecuaciones equivalentes y Hallar Solucin: Por se equivalentes se cumple: ( I ) ( II ) ( III )

De ( I ) y ( II ) De ( II ) y ( III )

Luego

INECUACIONES INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL.Es una desigualdad que tiene la forma general.

Conjunto SolucinEn el conjunto solucin, esta dado por los valores reales de la variable , que satisface la inecuacin dada.

Ejemplo: Hallar el conjunto solucin de la inecuacin Solucin:

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REALLa inecuacin cuadrtica o de segundo grado en una variable real presenta la siguiente forma general.

SOLUCIN GENERALPara resolver una inecuacin de segundo grado es recomendable que en caso contrario multiplicar por y la desigualdad se invierte. Luego teniendo en cuenta el discriminante se presentan los casos.1. Si se cumple: 2. Si se cumple: 3. Si La inecuacin se resuelve por puntos crticos, pues el trinomio siempre es factorizable (ya sea por factorizacin o utilizando la formula de baskara) en el campo de los nmeros reales. El procedimiento es: Pasar todas expresiones a un solo miembro dejando cero en el otro. Se factoriza la expresin, luego se iguala cada factor a cero para obtener los puntos crticos. Estos puntos crticos se ubican sobre la recta real. Luego se asignan los signos y en forma alternada empezando de derecha a izquierda. La solucin de la inecuacin estar expresada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad original es mayor que o mayor o igual o por las zonas negativas si es que el sentido de la desigualdad original es menor que o menor o igual que

Ejemplo: Resolver Solucin: multiplicando por se tiene (la desigualdad se invierte)Hallando los puntos crticos: Ubicando los puntos crticos en la recta real y asignando los signos y

-+310+-+

Teorema: Si el trinomio tiene discriminante , entonces Ejemplo: Resolver

Solucin: El trinomio tiene discriminante Entonces luego la ecuacin original es equivalente e resolver

-+-45++-

VALOR ABSOLUTODEFINICIN: El valor absoluto de un nmero real a esta definido por:

Propiedades:1. 2. 3. 4. 5. 6. ; 7. ; ;8. 9. ; (Desigualdad triangular)ECUACINES CON VALOR ABSOLUTOPara resolver ecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades.1. 2. Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin:

Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin:

INECUACINES CON VALOR ABSOLUTOPara resolver inecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades.1. 2. 3. 4. 5. 6. Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin: .. Propiedad 1

Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de . Propiedad 2Solucin:

Interceptando)

Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin: .. Propiedad 3

Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin: .. Propiedad 6

MATRICES Una matriz de orden es un arreglo rectangular de nmeros reales expresados en filas y columnas

Abreviadamente la matriz se escribe como ORDEN O DIMENSIN DE UNA MATRIZDefinicin. Es el producto indicado de filas por columnas.Ejemplo: IGUALDAD DE MATRICESDos matrices y son iguales si son del mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales, es decir:

Ejemplo: Las matrices y son iguales

TIPOS DE MATRICES1. Matriz fila. Es una matriz que solo tiene una sola fila, es decir, es de orden Ejemplo: 2. Matriz columna. Es una matriz que solo tiene una sola columna, es decir, es de orden Ejemplo: 3. Matriz rectangular. Es una matriz donde el numero de filas es diferente al numero de columnas, es decir; es de orden Ejemplo: 4. Matriz cuadrada. Es una matriz donde el numero de filas es igual al numero de columnas, es decir; es de orden se denota como Ejemplo:

DIAGONAL PRINCIPAL Y TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADAa) La diagonal principal de una matriz cuadrada es una lnea formada por los elementos: La otra diagonal se llama diagonal secundaria.b) La traza de una matriz cuadrada denotado por es la suma de los elementos de su diagonal principal, es decir:

Ejemplo: Diagonal principal: Diagonal secundaria: Traza: PROPIEDADES DE LA TRAZA 1. 2. 3.

5. Matriz nula. Es una matriz donde sus elementos son ceros y se denota por Ejemplo: MATRICES CUADRADAS ESPECIALES1. Matriz diagonal. Es aquella matriz cuadrada donde todos sus elementos son nulos a excepcin de por lo menos un elemento de su diagonal principal, es decir:

Ejemplo: 2. Matriz escalar. Es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales a un numero real , es decir:

Ejemplo: 3. Matriz identidad.- Es una matriz escalar cuyos elementos de su diagonal principal son iguales a la unidad, se denota por es decir:

Ejemplo: 4. Matriz triangular superior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal son cero. Es decir:

Ejemplo: 5. Matriz triangular inferior.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal son ceros: Es decir:

Ejemplo:

MATRIZ TRANSPUESTA

Definicin: Dada la matriz de orden , se llama matriz transpuesta de A, a la matriz de orden cuyos elementos se obtienen intercambiando filas por columnas

Ejemplo: Si entonces PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA1. 2. 3. 4. 5.

MATRIZ SIMTRICA. Una matriz cuadrada es simtrica si . Es decir:

Ejemplo: MATRIZ ANTISIMTRICA. Una matriz cuadrada es antisimtrica si . Es decir:

Ejemplo: PROPIEDADES DE LA MATRIZ SIMTRICA y ANTISIMTRICA1. La suma de dos matrices simtricas (antisimtricas), es una matriz simtrica (antisimtrica)2. El producto de dos matrices simtricas, no es una matriz simtrica.3. Si es una matriz cuadrada cualquiera, entonces: es una matriz simtrica. es una matriz antisimtrica.4. Toda matriz cuadrada es la suma de una matriz simtrica y otra antisimtrica.

5. Si es una matriz cualquiera, entonces tanto como , son matrices simtricas.6. La traza de una matriz antisimtrica es cero.MATRIZ IDEMPOTENTE. Una matriz cuadrada es idempotente si Ejemplo: MATRIZ INVOLUTIVA. Una matriz cuadrada es involutiva si Ejemplo: MATRIZ NILPOTENTE. Una matriz cuadrada es nilpotente si donde , se llama matriz nilpotente de ndice Ejemplo:

OPERACIONES CON MATRICES

I. ADICIN DE MATRICES:Dadas las matrices del mismo orden y , la matriz suma es otra matriz, definida por:

Ejemplo: Si y , entonces

II. SUSTRACCIN DE MATRICES:Dadas las matrices del mismo orden y , la matriz diferencia es otra matriz, definida por:

Ejemplo: Si y , entonces

PROPIEDADES:Sean y (matriz nula). Matrices del mismo orden, entonces:1. 2. 3. 4. 5. 6.

III. MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALARDada la matriz entonces Ejemplo: Si encontrar

IV. MULTIPLICACIN DE MATRICES:Dadas las matrices y , tales que el nmero de columnas de la primera matriz y el nmero de filas de la segunda matriz son iguales, entonces el producto , es otra matriz de orden , la cual se define por: Donde:

En el producto de orden sus elementos se obtienen como la suma parcial del producto de filas por columnas.Ejemplo: Si una matriz de orden y una matriz de orden entonces el producto de las dos matrices es otra matriz es de orden Donde:

..Por lo tanto:

PROPIEDADES:Sean , (matriz nula) e (matriz identidad); matrices de rdenes compatibles con respecto a la adicin y multiplicacin, entonces:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Si no implica que 8. Si no implica que 9. Si 10. Si entonces son matrices conmutativas11. Si entonces son matrices no conmutativas12. Si entonces son matrices anticonmutativas13. ; ; .14. ; .15. ; .

DETERMINANTES

Definicin: El determinante es una funcin que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en un escalar. Se denota por

DETERMIANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN Si entonces Ejemplo: Si entonces

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN .REGLA DE SARRUS. Se utiliza slo para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden, utilizando la regla de Sarrus se sigue los siguientes pasos: Se escriben las dos primeras filas a continuacin de la tercera. Se trazan tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha Se multiplican las diagonales, las diagonales de izquierda a derecha cambian de signo. Luego la suma algbrica es el valor del determinante.Si entonces

Ejemplo:

Si entonces

PROPIEDADES: Sean matrices cuadradas, entonces:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Si una fila o una columna de la matriz cuadrada A son todos ceros, entonces |A| = 0 Entonces Entonces 8. Si dos filas o dos columnas de la matriz cuadrada A son respectivamente proporcionales, entonces |A| = 0. Entonces La primera columna es proporcional con la tercera columna. Entonces La segunda fila es proporcional con la tercera fila.

9. Si es una matriz triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar o identidad, entonces Entonces Entonces 10. 2f1 + f2Si es la matriz que se obtiene al sumar un mltiplo de una de las filas de a otra, entonces Entonces 11. Si es la matriz que se obtiene al intercambiar dos filas o dos columnas de , entonces 12. Si a todos los elementos de una fila o una columna de la matriz cuadrada A se multiplica por una constante k entonces el |A| queda multiplicado por k13. Si entonces es una matriz singular.14. Si entonces es una matriz no singular.

MATRIZ DE COFACTORESS A es una matriz cuadrada de orden el cofactor del elemento se denota por y se define como: Donde es el determinante que resulta de eliminar la fila con la columna de la matriz Ejemplo: Si El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: El cofactor de es: Luego:

MATRIZ ADJUNTASi es una matriz cuadrada de orden , se define la matriz adjunta de y se denota por a la transpuesta de la matriz de cofactores de la matriz A. Es decir:

Del ejemplo anterior: MATRIZ INVERSASea una matriz cuadrada no singular, entonces la matriz inversa de existe y se denota por

INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEN Dada la matriz no singular, entonces la matriz inversa de esta dado por: Donde (matriz identidad)Ejemplo: Dada la matriz Encontrar la matriz inversa de El determinante de A es: Entonces:

INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEN Dada la matriz no singular, entonces la matriz inversa de esta dado por:

Donde: (matriz identidad)Ejemplo: Dada la matriz Encontrar la matriz inversa de El determinante de A es:

Entonces:

El elemento de la matriz inversa de A es La traza de la matriz inversa de A es: PROPIEDADES1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.SISTEMA DE ECUACIONESUn sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con dos o ms incgnitas (variables) que se verifican para los mismos valores de las incgnitas.CONJUNTO SOLUCION:Se denomina conjunto solucin a los valores numricos reales de las incgnitas (variables) que satisfacen al sistema. CLASES DE SISTEMAS:I. SISTEMA COMPATIBLECuando el sistema tiene (admite) soluciones. Estos a su vez pueden ser: Sistemas compatibles determinados. Cuando el sistema tiene un nmero finito de soluciones. Estos sistemas se caracterizan por tener el nmero de ecuaciones igual al nmero de incgnitas. Sistemas compatibles indeterminados. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones. Estos sistemas se caracterizan por tener el nmero de ecuaciones menor al nmero de incgnitas.

II. SISTEMA INCOMPATIBLE (ABSURDA O INCONSISTENTE)Cuando el sistema no tiene (no admite) solucin. Esto ocurre cuando el nmero de ecuaciones es mayor al nmero de incgnitas.SISTEMAS EQUIVALENTESDos o ms sistemas distintos son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solucin.SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLESEst dado por:(I) Si ; entonces el sistema es homogneo.

MTODOS DE SOLUCION Para encontrar el conjunto solucin a un sistema de ecuaciones de dos variables existen varios mtodos como: Mtodo de sustitucin, Mtodo de reduccin, Mtodo de igualdad de variables, Mtodo de determinantes (regla de Cramer)

SOLUCIN A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE DOS VARIABLES POR EL MTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)Dado el sistema ; Determinante con respecto al sistema. ; Determinante con respecto a x. Determinante con respecto a y.El conjunto solucin est dado por: donde:

Ejemplo: Dado el sistema: determinar el conjunto solucin.Solucin: los determinantes con respecto al sistema, a la variable x y y, son: ; ; . Donde: Por lo tanto el conjunto solucin ser:

ANLISIS DE L SISTEMA:1. Si , entonces el sistema (I) es Compatible Determinado. En este caso las rectas se interceptan en un solo punto.

Ejemplo: es un sistema compatible determinado.2. Si entonces el sistema (I) es Compatible Indeterminado. En este caso las rectas son coincidentes (rectas paralelas e iguales).

Ejemplo: es un sistema compatible indeterminado.3. Si entonces sistema (I) es Incompatible. En este caso las rectas no son coincidentes (rectas paralelas y diferentes).

Ejemplo: es un sistema inconsistente.SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES VARIABLES:Est dado por:(II) Si ; entonces el sistema es homogneo.

MTODOS DE SOLUCION Para encontrar el conjunto solucin a un sistema de ecuaciones de tres variables existen varios mtodos como: Mtodo de sustitucin, Mtodo de reduccin, Mtodo de igualdad de variables, Mtodo de determinantes (regla de Cramer)

SOLUCIN A UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES VARIABLES POR EL MTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)Dado el sistema ; ; Determinante con respecto al sistema.; Determinante con respecto a la variable x. ; Determinante con respecto a la variable y. ; Determinante con respecto a la variable z.El conjunto solucin est dado por: donde: Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones , determinar el conjunto solucin.Solucin: los determinantes con respecto al sistema, y a las variables x, y y z estn dados por:

Donde: Por lo tanto el conjunto solucin ser:

ANLISIS DE L SISTEMA:1. Si , entonces el sistema (II) es Compatible Determinado. 2. Si entonces el sistema (II) es Compatible Indeterminado.3. Si , entonces el sistema (II) es Incompatible.RELACIONES1. PAR ORDENADODefinicin. Un par ordenado es un ente matemtico que consiste de dos elementos a y b a los cuales se les denomina primera componente y segunda componente respectivamente y se les denota por Por ejemplo

Definicin. Un par ordenado se define en trminos de conjuntos:

2. IGUALDAD DE PARES ORDENADOSDos pares ordenados son iguales si y slo si sus primeras componentes son iguales , as como tambin sus segundas componentes , en forma simultanea. Es decir:

Ejemplo: determinar el valor de de tal manera que Solucin: De en

3. PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos no vacios, se llama producto cartesiano de en ese orden al conjunto formado por todos los pares ordenados tal que , se denota por esto es:

Ejemplo: Sean los conjuntos y , entonces:

Observacin: cuando los conjuntos finitos y tienen y elementos respectivamente, entonces el producto cartesiano tiene elementos. Es decir: Ejemplo: y Entonces: Pares ordenados.PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO1. Si entonces 2. 3. 4. 5. 6. 7. Si entonces

RELACIONES BINARIASDEFINICIN: Sean dos conjuntos no vacios. Un conjunto de pares ordenados, se llama relacin de , si es un subconjunto cualquiera de , es decir: Es una relacin de si y solo si

Ejemplo: Sean los conjuntos y entonces los siguientes son relaciones de por ser subconjuntos del producto cartesiano

Observacin:En general, si tiene elementos (pares ordenados), entonces tiene subconjuntos, por lo tanto existen relaciones de

Del ejemplo:

Por lo tanto existen relaciones de

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN Dada la relacin entonces:

Conjunto de PartidaPre imagenConjunto de llegada Imagen

Ejemplo: Sea la relacin Entonces:

RELACIONES REALESDEFINICIN: Si , se obtienen relaciones reales. En general una relacin real se expresa como: Donde: es una funcin proposional que puede tener la forma de o cualquier inecuacin de dos variables.Ejemplo:

CALCULO DEL DOMINIO DE UNA RELACIN REALPara determinar el dominio de una relacin real expresada como una ecuacin , se despeja la variable en trminos de , luego se analiza los valores reales que toma la variable para que la variable sea real.

Ejemplo: Calcular el dominio de la relacin

Solucin:

CALCULO DEL RANGO DE UNA RELACIN REALPara determinar el dominio de una relacin real expresada como una ecuacin , se despeja la variable en trminos de , luego se analiza los valores reales que toma la variable para que la variable sea real.

Ejemplo: Calcular el rango de la relacin

Solucin:

RELACIONES REALES ESPECIALESDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos y est dada por: ABdXYPROPIEDADES1. 2. 3. 4.

PUNTO MEDIO

Punto medioBAEl punto medio de un segmento de recta cuyos extremos son los puntos y , esta dado por:

Ejemplo: Hallar el punto medio entre los puntos y Solucin:

ECUACIONES DE LA RECTA1. ECUACIN GENERALEsta dada por: Donde: Pendiente de una recta: se define como la relacin entre el cabio en con respecto a

2. ECUACIN PUNTO PENDIENTEEsta dada por:

Donde: Punto de paso de la recta Pendiente de la recta Angulo de inclinacin de la recta respecto al eje positivo

P

3. ECUACIN PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN Est dado por:

Donde: Pendiente de la recta Punto de interseccin de L y el eje Y4. ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOSLa ecuacin de la recta que pasa por los puntos y esta dado por:

AB

Donde: = Punto de paso de la recta

5. ECUACIN SIMTRICA DE LA RECTA

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS1. RECTAS PARALELASDos rectas no verticales son paralelas, si sus pendientes son iguales. Es decir:

2. RECTAS PERPENDICULARESDos rectas no verticales son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es igual a . Es decir:

Observaciones:1. La ecuacin de la recta paralela a la recta es 2. la ecuacin de la recta perpendicular a la recta es

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTALa distancia de un punto a la recta esta dado por:

PROPIEDADES:1. 2. 3.

Ejemplo: La distancia del punto a la recta es:

DISTANCIA ENTRE DOS RECTASSean dos rectas paralelas y La distancia entre estas dos rectas esta dado por:

CIRCUNFERENCIASDEFINICIN: una circunferencia es el lugar geomtrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro . La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio

ELEMENTOSCentro: Radio:Dimetro: Cuerda: BK+ rK - rh - rh + rNMAC0Nota: rea de la circunferencia Longitud de la circunferenciaECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA1. ECUACION CARTESIANA U ORDINARIAPor definicin de distancia entre dos puntos se tiene:

Elevando al cuadrado.. (1)

Ejemplo: Encontrar la ecuacin de una circunferencia cuyo centro es Solucin: entonces:

2. ECUACIN CANNICASi el centro est en el origen de coordenadas, entonces La ecuacin de la circunferencia se reduce a:.. (2)

Ejemplo: Encontrar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro est en el origen de coordenadas y radio r =5 Solucin: entonces

3. ECUACIN GENERALResolviendo la ecuacin cartesiana se obtiene la ecuacin general.

Donde: (3)A partir de la ecuacin (3), se tiene la ecuacin cartesiana en trminos de D, E y F.Completando cuadrados para se tiene.

Comparando con la ecuacin cartesiana, se tiene:

Analizando el radicando 1. Si La ecuacin (3) representa una circunferencia de centro y radio en los Reales2. Si La ecuacin (3) representa slo un punto que es ; puesto que

3. Si La ecuacin (3) no representa una circunferencia en los nmeros reales porque su radio .

Ejemplo 1. Analizar si la siguiente ecuacin representa una circunferencia.

Solucin: Simplificando la ecuacin:

Ejemplo 2. Analizar si la siguiente ecuacin representa una circunferencia.

Solucin: Simplificando la ecuacin:

DOMINIO Y RANGO DE UNA CIRCUNFERENCIA:1. Si el centro de la circunferencia esta en el origen de coordenadas

0Ejemplo: Sea la circunferencia , determinar el domino y el rangoSolucin:

2. Si el centro de la circunferencia es

K+ rK - rh - rh + rC0Ejemplo: Sea la circunferencia Determinar el domino y el rango.Solucin: y r = 3

RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIASea una recta tangente a la circunferencia, entonces:

Es la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia; en un punto de tangencia Una recta recibe al nombre de recta normal a la recta si es que: Ejemplo: Hallar la recta tangente a la circunferencia , en el punto de tangencia Solucin:

Resolviendo: la ecuacin de la recta tangente es: CASOS PARTICULARES:1. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE X

CEjemplo: Hallar la ecuacin de la recta tangente al eje si el Solucin: Cuando la circunferencia es tangente al eje se cumple La ecuacin de la circunferencia es:

2. CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL EJE Y

CEjemplo: Hallar la ecuacin de la circunferencia tangente al eje si su centro Solucin: Cuando la circunferencia es tangente al eje Y se cumple La ecuacin de la circunferencia es 3. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A LOS EJES COORDENADOS Cr = = Ejemplo: Hallar la circunferencia tangente a los ejes de coordenadas con centro Solucin: Cuando la circunferencia es tangente a los ejes de coordenadas se cumple = La ecuacin de la circunferencia es:

PARABOLASDEFINICIN: Una parbola es el lugar geomtrico del conjunto de puntos , tal que las distancias desde cada uno de ellos a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz . Son iguales. Es decir:

ECUACIONES DE LA PARABOLAI. ECUACION DE LA PARBOLA CON VERTICE EN Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X1. ECUACIN CARTESIANA U ORDINARIA

Donde: la parbola se abre a la derecha la parbola se abre a la izquierdaY0XEje focal LQDirectriz

ELEMENTOS:1. Vrtice: 2. Foco: 3. Recta Directriz 4. Eje focal: 5. Longitud del lado recto(ancho focal): 6. Extremos del lado recto:7. Excentricidad de una parbola: La excentricidad de la parbola viene dada por el cociente entre las distancias del foco a un punto y la que hay desde ese punto a la directriz. Dado que ambas distancias son iguales, decimos que la excentricidad de una parbola vale 1.

2. ECUACIN CANNICASi el vrtice esta en el origen de coordenadas entonces: 3. ECUACIN GENERALResolviendo la ecuacin cartesiana se obtiene la ecuacin general.

Con ; La parbola se abre hacia la derecha. La parbola se abre hacia la izquierda.DOMINIO Y RANGO DE LA PARBOLA:

Ejemplo: Determinar la ecuacin general de la parbola con vrtice en y foco en Solucin: Cuando las ordenadas del vrtice y el foco son iguales entonces la parbola es paralela al eje.Vrtice Foco: (Se abre hacia la derecha)Entonces la ecuacin de la parbola es:

II. ECUACION DE LA PARBOLA CON VERTICE EN Y EJ E FOCAL PARALELO AL EJE Y

1. ECUACIN CARTESIANA U ORDINARIA

Donde: la parbola se abre hacia arriba la parbola se abre hacia abajoEje focalDirectrizYLXQL L0RELEMENTOS:1. Vrtice: 2. Foco: 3. Recta Directriz 4. Eje focal: 5. Longitud del lado recto(ancho focal): 6. Extremos del lado recto:

7. Excentricidad de una parbola: 12. ECUACIN CANNICA Si el vrtice esta en el origen de coordenadas entonces:

3. ECUACIN GENERALResolviendo la ecuacin cartesiana se obtiene la ecuacin general.

Con ; La parbola se abre hacia arriba. La parbola se abre hacia abajo.DOMINIO Y RANGO DE LA PARBOLA: Ejemplo: Determinar la ecuacin general de la parbola con vrtice en y foco en Solucin: Cuando las abscisas del vrtice y el foco son iguales entonces la parbola es paralela al eje.Vrtice Foco: (Se abre hacia abajo)Entonces la ecuacin de la parbola es:

ELIPSE DEFINICIN: Una elipse es el lugar geomtrico del conjunto de puntos tal que la suma de las distancias del punto a los puntos fijos llamados focos, es igual a una constante . Es decir:

Notaciones: Longitud del eje mayor: Longitud del eje menor: Distancia focal: Donde:

ECUACIONES DE LA ELIPSE ECUACION DE LA ELIPSE CON VERTICE EN y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X1. ECUACIN CARTESIANA U ORDINARIA

Ccab

ELEMENTOS:1. : Centro de la elipse2. Vrtices o extremos del eje menor: 3. Focos4. Extremos del eje menor: 5. Longitud de cada lado recto: 6. Excentricidad: 7. Eje focal: 8. Directrices: ECUACIN CANNICA DE LA ELIPSESi el centro esta en el origen de coordenadas entonces:

ECUACIN GENERAL:

DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse

Solucin:

Vrtices: Focos Extremos del eje menor: Longitud de cada lado recto: Excentricidad: Eje focal: Directrices: Dominio y rango de la elipse

ECUACIN CARTESIANA CON CENTRO EN y EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

Ccab

ELEMENTOS:1. : Centro de la elipse2. Vrtices: 3. Focos4. Extremos del eje menor: 5. Longitud de cada lado recto: 6. Excentricidad: 7. Eje focal: 8. Directrices:

ECUACIN CANNICA DE LA ELIPSESi el centro esta en el origen de coordenadas entonces:

ECUACIN GENERAL:

DOMINIO Y RANGO DE LA ELIPSE

Ejemplo: Determinar lo elementos de la elipse

Solucin:

Vrtices: Focos Extremos del eje menor: Longitud de cada lado recto: Excentricidad: Eje focal: Directrices: Dominio y rango de la elipse

FUNCIONESFUNCIONES BINARIASUna funcin binaria o discreta es una relacin binaria que hace corresponder a un elemento , un nico elemento , es decir:

Notacin:

3 4 5123 ABSe lee: f es una funcin de A en B.Ejemplo:

1-101 AB0Ejemplo:

Es una relacin pero no es una funcin.

Nota:a) Toda funcin es una relacin. Pero no toda relacin es funcin.b) es una aplicacin, si c) En una funcin, dos pares ordenados distintos no deben tener la misma primera componente.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIN Dada la funcin es una funcin binaria, entonces:

FUNCINES REALES DE VARIABLE REALUna funcin real de una variable real es una relacin real , que hace corresponder a un elemento del conjunto de partida , un nico elemento del conjunto de llegada, es decir:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIN Dada la funcin es una funcin real de una variable real, entonces:

GRFICA DE UNA FUNCIN Si es una funcin real de variable real, la grfica de es la representacin geomtrica de todos los pares ordenados que pertenecen a.

Nota Sea : , Si toda recta paralela al eje corta a la grfica de en a lo ms un punto, dicha grfica ser la representacin de una funcin.

No es funcinEs funcin

FUNCIONES ESPECIALES1. FUNCIN IDENTIDAD

Es aquella funcin cuya regla de correspondencia es:

2. FUNCIN CONSTANTE:Es aquella funcin cuya regla de correspondencia es:

3. FUNCIN LINEAL Es aquella funcin cuya regla de correspondencia es:

4. FUNCIN CUADRTICAEs aquella funcin cuya regla de correspondencia es: la funcion cuadratica es una parabola con eje focal paralelo al eje Y Si , la grafica se abre hacia arriba. a>0a