algebra lineal y teoria matricial.pdf

7/21/2019 ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL.pdf

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F A C U L T A D D E C I E N C I A S Y T E C N O L O G I A

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A

1

RED NACIONAL UNIVERSITARIA

SYLLABUS

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

Carrera Ingeniera de Sistemas, Telecomunicaciones y Gas y Petrleo

ALGEBRA LINEAL TEORIA MATRICIAL

SEGUNDO SEMESTRE

Ing. Kasandra Julie Vargas Rocha

Gestin Acadmica I/2012


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UDABOLUNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISION DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad lder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educacin Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de la sociedad.

Estimado(a) estudiante:

El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes hanpuesto sus mejores empeos en la planificacin de los procesos de enseanza para brindarte unaeducacin de la ms alta calidad. Este documento te servir de gua para que organices mejor tus procesosde aprendizaje y los hagas mucho ms productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.


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SYLLABUS

Asignatura: lgebra LinealCdigo: MAT 103Requisito: MAT 100Carga Horaria: 80Crditos: 8

I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Conocer e inferir soluciones a travs de la aplicacin de las ciencias exactas, especficamente en el rea de

conocimiento relacionado con el clculo matricial y su uso en el estudio de los espacios vectoriales, aplicacioneslineales, formas cuadrticas y la geometra afn.

El lgebra Lineal se constituye en uno de los pilares fundamentales del desarrollo del pensamiento y razonamientoabstracto, la bsqueda de soluciones a problemas de carcter profesional a travs de las diferencias tcnicas, quepermitirn el desarrollo del pensamiento alternativo, reflexivo e interpretativo del objeto de estudio que en particularaborda cada especialidad.

II. PROGRAMA ANALTICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD 1: MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES.

Tema 1. MATRICES

1.1 Definiciones bsicas.1.2 Operaciones algebraicas y propiedades de matrices.1.3 Matrices especiales: Matriz nula, matriz transpuesta, matriz identidad, matriz diagonal, matriz escalar,

matriz triangular superior e inferior, matriz simtrica y antisimtrica, matriz idempotente,matriz involutiva, matriz nilpotente, matriz permutable, matriz ortogonal, matriz peridica.1.4 Operaciones elementales de fila y columna.1.4.1 Eliminacin de Gauss.1.4.2 Eliminacin de Gauss - Jordn.1.4.3 Rango o caracterstica de una matriz.1.4.4 Matriz inversa.1.5 Matrices elementales: Matriz regular, matriz singular.1.6 Ecuaciones matriciales.

Tema 2. DETERMINANTES

2.1 Definiciones2.2 Propiedades2.3 Determinante del producto de dos matrices2.4 Mtodos de solucin.


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2.4.1 Desarrollo de cofactores.2.4.2 Mtodo de lnea.2.4.3 Desarrollo de La Place.

2.4.4 Regla de Chio2.5 Regla de Cramer. Matriz adjunta e inversin de matrices

Tema 3. SISTEMAS LINEALES.

3.1 Definiciones3.2 Sistemas compatibles e incompatibles3.3 Representacin matricial3.4 Mtodos de solucin3.5 Sistemas homogneos

UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES, TRANSFORMACIONES LINEALES.

Tema 4. ESPACIOS VECTORIALES

4.1 Vectores en el plano y en el espacio, operaciones con vectores.4.2 Espacio Euclidiano. Definicin y propiedades bsicas.4.3 Sub-espacios.4.4 Combinacin lineal y espacio generado.4.5 Dependencia e Independencia lineal.4.6 Bases y dimensin.

Tema 5. TRANSFORMACIONES LINEALES5.1 Definiciones. Propiedades5.2 Ncleo e imagen.5.3 Dimensin del ncleo y de la imagen.5.4 Transformaciones lineales inversas.5.5 Representacin matricial de una T.L.

UNIDAD 3: VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS. FORMAS CANONICAS. FORMAS CUADRATICAS

Tema 6. VALORES Y VECTORES PROPIOS.

6.1 Valores, vectores y espacios propios.6.2 Polinomio caracterstico de una matriz.6.3 Matrices semejantes: diagonalizacin de matrices.6.4 Matrices simtricas: diagonalizacin de matrices.

Tema 7. FORMAS CANONICAS.

7.1 Formas Triangulares7.2 Invariancia Descomposiciones en suma directa invariante7.3 Descomposicin primaria

7.4 Operadores nilpotentes


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7.5 Formas cannicas de Jordn Subespacios cclicos7.6 Forma cannica racional Espacio cociente

Tema 8. FORMAS CUADRATICAS.8.1 Formas bilineales Formas bilineales y matrices8.2 Formas bilineales alternadas Formas bilineales simtricas Formas cuadrticas8.3 Formas bilineales simtricas reales. Ley de inercia Formas hermticas

III. BIBLIOGRAFIA

ROJO, J. Y MARTN, I. McGraw-Hill, Ejercicios y Problemas de lgebra Lineal, ROJO ARMANDO, lgebra I, 10ma Ed. Editorial El Ateneo 398 p, Buenos Aires, 1986

LISPCHUTZ, SEYMOUR, "Algebra lineal, 10ma. Ed., Edit. McGraw Hill, (Serie Schaum),Mxico,1988

VEGA B. F. CHUNGARA C. V., lgebra Lineal, 5ta. Ed., Editorial, U.M.S.A., La Paz Bolivia, 2001. MC. GRAW-HILL Algebra Lineal 2da Edicion, Ejercicios y Problemas


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IV. PLAN CALENDARIO

SEMANA DEL AL ACTIVIDADES OBSERVACIONES

1ra. 05-mar 10-marAvance de

materia

2da. 12-mar 17-marAvance de

materia

3ra. 19-mar 24-marAvance de

materia

4ta. 26-mar 31-marAvance de

materia

5ta. 02-abr 07-abrAvance de

materia

6ta. 09-abr 14-abr

Avance de

materia Inicio Primera Evaluacin Parcial Presentacin de Notas

7ma. 16-abr 21-abrAvance de

materiaConclusin Primera Evaluacin Parcial Presentacin de Notas

8va. 23-abr 28-abrAvance de

materia

9na. 30-abr 05-mayAvance de

materia

10ma. 07-may 12-mayAvance de

materia

11ra. 14-may 19-mayAvance de

materia

12da. 21-may 26-mayAvance de

materia Inicio Segunda Evaluacin Parcial Presentacin de Notas

13ra. 28-may 02-junAvance de

materiaConclusin Segunda Evaluacin Parcial Presentacin de Notas

14ta. 04-jun 09-junAvance de

materia


materia


materia

17ma. 25-jun 30-junAvance de

materia

18va. 02-jul 07-jul Inicio Evaluacin Final Presentacin de Notas19na. 09-jul 14-jul Conclusin Evaluacin Final Transcripcin de Notas

20va. 16-jul 21-jul Evaluacin del segundo turno/Cierre de Gestin Transcripcin de Notas

21ra. 23-jul 25-jul Cierre de gestin

FERIADOS

6 de abril Viernes Santo

1 demayo

Da del Trabajo

7 de junio Corpus Christi


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PLAN CALENDARIO

PLANIFICACIN DE ACTIVIDADES

ALGEBRA I INGENIERIA COMERCIALCONTENIDO MNIMO CONTENIDO

ANALTICOACTIVIDAD PERIODOS

ACADMICOSRECURSOSDIDCTICOS

1. MATRICES 1.1 Definicionesbsicas.1.2 Operacionesalgebraicas y

propiedades dematrices.1.3 Matricesespeciales: Matriznula, matriztranspuesta, matrizidentidad, matrizdiagonal, matrizescalar, matriztriangular superiore inferior, matriz

simtrica yantisimtrica,matriz idempotente,matriz involutiva,matriz nilpotente,matriz permutable,matriz ortogonal,matriz peridica.1.4 Operacioneselementales de filay columna.

1.4.1 Eliminacinde Gauss.1.4.2 Eliminacinde Gauss - Jordn.1.4.3 Rango ocaracterstica deuna matriz.1.4.4 Matrizinversa.1.5 Matriceselementales: Matriz

regular, matriz

Exp.TericaProblemasy ejercicios

(conpreferencia)

05-03-12 al 17-03-12

(incluye prcticasen clase)

Resolver problemas yejercicios en aula,participacin delestudiante.

Trabajos deinvestigacin, tomandobibliografa existenteen otras bibliotecas ydiferentes autores.


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singular.1.6 Ecuacionesmatriciales.

2. DETERMINANTES 2.1 Definiciones2.2 Propiedades2.3 Determinantedel producto de dosmatrices2.4 Mtodos desolucin.2.4.1 Desarrollode cofactores.

2.4.2 Mtodo delnea.2.4.3 Desarrollo deLa Place.2.4.4 Regla de Chio2.5 Regla deCramer. Matrizadjunta e inversinde matrices

Repasoclaseanterior.

Exp.TericaProblemasy ejercicios(con

preferencia)

Problemaspara lacasa

19-03-12 al 31-04-12

(incluyeprcticas)

Resolver problemas yejercicios en aula,participacin delestudiante.

.

3. SISTEMASLINEALES.

3.1 Definiciones3.2 Sistemas

compatibles eincompatibles3.3Representacinmatricial3.4 Mtodos desolucin3.5 Sistemashomogneos

Exp.Terica

Problemasy ejercicios(conpreferencia)

02-04-12 al 14-04-12

(incluyeprcticas)

Trabajos para resolverproblemas y ejercicios

en aula y para la casa.

Uso de calculadoras,escuadras,

Pizarrn,

4. ESPACIOSVECTORIALES

4.1 Vectores en elplano y en el

espacio,operaciones convectores.4.2 EspacioEuclidiano.Definicin ypropiedadesbsicas.4.3 Subespacios.4.4 Combinacinlineal y espacio

generado.

Exp.Terica


16-04-12 al 28-04-12

(incluyeprcticas)

Resolver problemas yejercicios en aula,

participacin delestudiante.


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4.5 Dependencia eIndependencialineal.

4.6 Bases ydimensin.

5.

TRANSFORMACIONES

LINEALES

.

5.1 Definiciones.Propiedades5.2 Ncleo eimagen.5.3 Dimensin delncleo y de laimagen.5.4Transformaciones

lineales inversas.5.5 Representacinmatricial de unaT.L.


Exp.TericaProblemasy ejercicios(con

preferencia)


Practicasparaexamen.

30-04-12 al 12-05-12

(incluyeprcticas)

Trabajos para resolverproblemas y ejerciciosen aula y para la casa.

Trabajos Word paper,parte de investigacin.


Pizarrn,

6. VALORES YVECTORES

PROPIOS.

6.1 Valores,vectores y espacios

propios.6.2 Polinomiocaracterstico deuna matriz.6.3 Matricessemejantes:diagonalizacin dematrices.6.4 Matricessimtricas:diagonalizacin de

matrices.

Exp.Terica



14-05-12 al 02-06-12

(incluyeprcticas)

Trabajos para resolverproblemas y ejercicios

en aula y para la casa.


Pizarrn,


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7. FORMASCANONICAS.

7.1 FormasTriangulares7.2 Invariancia

Descomposicionesen suma directainvariante7.3Descomposicinprimaria7.4 Operadoresnilpotentes7.5 Formascannicas deJordn

Subespacioscclicos7.6 Formacannica racional Espacio cociente


Exp.TericaProblemasy ejercicios(conpreferencia)



04-06 -12 al 16-06 -12

(incluyeprcticas)

Trabajos pararesolver problemas yejercicios en aula y

para la casa.

Trabajos Word paper,parte deinvestigacin.


Pizarrn,

8. FORMASCUADRATICAS.

8.1 Formasbilineales Formasbilineales ymatrices8.2 Formas

bilinealesalternadas Formas bilinealessimtricas Formascuadrticas8.3 Formasbilinealessimtricas reales.Ley de inercia Formas hermticas

Exp.TericaProblemas

y ejercicios(conpreferencia)



18-06 -12 al 30-06 -12

(incluyeprcticas)

Trabajos pararesolver problemas yejercicios en aula ypara la casa.

Trabajos Word paper,parte deinvestigacin.


Pizarrn,

VI. CONTROL DE EVALUACIONES

1 evaluacin parcialFecha:Nota

2 evaluacin parcialFechaNota

Examen final


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FechaNota

APUNTES


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WORK PAPER # 1

PROGRAMA ALGEBRA LINEAL

No. DE PROCEDIMIENTO: APRO 07 No. DE HOJAS: 2

ELABOR: Ing. Kasandra J. Vargas Rocha CDIGO: MAT 111

TTULO DEL WORK PAPER:Matrices

DPTO.: Facultad de Ciencias y Tecnologia

DESTINADO A:

DOCENTES ALUMNOS X ADMINIST. OTROS

OBSERVACIONES: Carrera Ingeniera de Sistemas. Asignatura:Algebra Lineal - UNIADAD 1

FECHA DE DIFUSIN: Marzo 2012

FECHA DE ENTREGA: Marzo 2012


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En el presente trabajo se detalla un resumen general de la materia lgebra Lineal , en el cual se tratara de

enlazar las relaciones de todos los temas vistos en l transcurso del semestre.

Por ejemplo, dimensin y espacio vectorial, combinacin lineal y matrices n x m, y otros temas estn ampliamente

relacionados igual que otros temas que veremos en el transcurso del sylabos.

Tratar de enlazar los temas de la presente asignatura fue satisfactorio ya que as nos damos cuenta de que tanto

necesitamos aprender los temas anteriores para poder resolver los nuevos problemas, sin tener una buena base de

los temas estudiados en el transcurso del trabajo no podramos realizar los problemas de otros temas.

Matrices

1. Definiciones:

Matriz Es una tabla de elementos, donde stos se agrupan en filas y columnas adoptando una forma

rectangular. En ella es vlido el elemento nulo (cero). Se nombra a los elementos por su posicin, con dos

subndices, el primero para la fila, y el segundo para la columna. Elemento genrico: aij.

Diagonal principal de una matrizes la diagonal formada por los elementos en los que se cumple i=j.

Diagonal secundariaes la diagonal formada por los elementos donde se cumple i+j=n de columnas + 1.

Matriz filaEs la matriz con una sola fila.

Matriz columnaEs la matriz con una sola columna.

Matriz cuadradaEs la matriz con el mismo nmero de filas y columnas.

Matriz triangularEs la matriz que tiene por encima o por debajo de la diagonal principal todos los elementos

nulos. Si stos estn por debajo, es una matriz triangular superior. Si estn por encima, es una matriz triangular

inferior.


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Matriz diagonalEs la matriz que slo tiene elementos no nulos en la diagonal principal.

Matriz escalarEs la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz unidadEs la matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal igual a uno. Se designa por I n,

donde n es el n de filas y columnas.

Matrices equidimensionalesson las que tienen iguales sus nmeros de filas y columnas.

Matrices iguales

son las que son iguales en su forma y tambin miembro a miembro.PREGUNTAS:

1.-Enuncie las operaciones con Matrices ?

..

..........................................................................

2.- Enuncie y explique las matrices especiales ?.

..

............................................................................

3.- Enuncie las propiedades de matrices?

..............................................................................

4.- Explique que entiende por matriz transpuesta y dar un ejemplo?

..

............................................................................

5.- Explique que es matriz escalar y dar un ejemplo?


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..............................................................................

6.- Explique que algoritmos del lgebra lineal existen para determinar las soluciones de un sistema de

ecuaciones lineales?


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WORK PAPER # 2



ELABOR: Ing. Kasandra J. Vargas Rocha CDIGO: MAT 111

TTULO DEL WORK PAPER:

Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales


DESTINADO A:

DOCENT ALUMNOS X ADMINIST. OTROS

OBSERVACIONES: Carrera Ingeniera de Sistemas. Asignatura:Algebra Lineal - UNIDAD 1

FECHA DE DIFUSIN: ABRIL 2012

FECHA DE ENTREGA: ABRIL 2012


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DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DETERMINANTES: Se define como un cuadro ordenado de N Reales dispuestos en filas y columnas. Sonconsecuencia interna de las Matrices, la diferencia radica en que un determinante admite un valor numrico.

Cuando el determinantes es de igual filas que de columnas se dice que es cuadrada, de rden n.

Es de la Forma jia

Para determinar el valor de un Determinante de rden 2 (2x2):

).().( 122122112221

1211aaaa

aa

aa=

Regla de los signos: Cada elemento, de acuerdo al lugar que ocupa, cuenta con un signo.

( ) ji

jia

+

1

++

+

++

=D

Menor Complementario o Cofactor o Adjunto de un Determinante: Cada elemento de un Determinante cuenta con

su menor complementario. El signo de este producto lo determina siempre el elemento, teniendo en cuenta su

ubicacin.

Desarrollo de un determinante por medio de este sistema: Se consideran todos los elementos de una fila o columna

y se efecta la sumatoria de los productos de stos elementos por los correspondientes Menores Complementarios.Segn el desarrollo de la 1 fila:

Resultado...3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

333231

232221

131211

=+==

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

D

Ejemplo numrico: Segn el desarrollo de la 2 fila:

49553

31.1

543

010

321

===

=D

Regla de Sarrus: Slo tiene aplicacin en Determinantes de 3 orden: Se le agregan las dos ltimas filas (o

columnas) y se efecta la sumatoria de los productos de las diagonales positivas (de izquierda a derecha y de arriba

abajo) restndole la sumatoria de los productos de las diagonales negativas (de izquierda a derecha y de abajo a

arriba).


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( )cegfhaibdfbgchdiea

fed

cbaihg

fed

cba

D ............ ++++==

Sistema de Ecuaciones Lineales

Comprender el concepto de ecuacin como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la incgnita que la hace

verdadera. Identificar la transposicin de trminos en una ecuacin como mtodo para transformar una ecuacin en otra

equivalente ms sencilla. Reconocer un sistema de ecuaciones como dos ecuaciones con dos incgnitas relacionadas entre s.

Conocer los distintos mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales.

Quedando as la clasificacin:

Sistemas compatibles e incompatibles.-

Sistema incompatiblesi no tiene ninguna solucin.

Sistema compatiblesi t iene alguna solucin, en este caso adems puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinadocuando tiene un nmero finito de soluciones.

Sistema compatible indeterminadocuando admite un conjunto infinito de soluciones.

PREGUNTAS:

1.- Enuncie las propiedades de los determinantes ?..

2.- Dados los siguientes Determinantes:

A= B=


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Efectuar las siguientes operaciones:a) A.B

b) B.Ac) Atd) Bt.Ae) At.Bt

3.-Resuelve por Cramer y por Gauss el siguiente sistemax + 6y + 4z = 34x + 5y + 3z = 22x + y + 5z = 5

..4.- Explique que mtodos hay para resolver un sistema de ecuaciones lineales con un ejemplo ?..


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WORK PAPER # 3



ELABOR: Ing. Kasandra J.Vargas Rocha CDIGO: MAT 111

TTULO DEL WORK PAPER:

ESPACIOS VECTORIALES, TRANSFORMACIONES LINEALES


DESTINADO A:



FECHA DE DIFUSIN: MAYO 2011

FECHA DE ENTREGA: MAYO 2011


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Espacios Vectoriales

Para introducirnos en el tema de los espacios vectoriales, es necesario previamente estudiar los vectores, desde lapercepcin de la geometra. Cosa que se ve muchas aplicaciones en la fsica, donde aparecen ciertas cantidades,

como la representacin de la temperatura, rapidez (modulo de velocidad), que posee solo magnitud. Estas pueden

representarse por nmeros reales llamados escalares.

Como parte de la geometra el estudiante deber estar familiarizado con la representacin de puntos en el plano

como en el espacio, eligiendo el origen del vector en el origen del par de coordenadas rectangulares como

referencia o punto O. Donde todo vector queda unvocamente determinado por las coordenadas de su extremo,

existen relaciones, propiedades y operaciones entre vectores.

Matemticamente identificamos a un vector con sus extremos, presumimos que el estudiante debe estar

familiarizado con las propiedades ms elementales del cuerpo de los nmeros reales que denotamos por, por su

nmero de elementos que componen el extremo del vector si esta en el plano o en el espacio u otra dimensin, as

R2para el plano, R3para el espacio, en general Rnen un espacio finito, con la norma de un vector podemos definir

su magnitud.

Conociendo el concepto mismo que es un vector, podemos entrar y comprender sin dificultades los espacios

vectoriales de dimensin finita. Por definicin un espacio vectorial involucra u cuerpo arbitrario cuyos elementos se

denomina escalares.

En este capitulo no se abarca conceptos de longitud y ortogonalidad, puesto que no se consideran parte de la

estructura fundamental de un espacio vectorial. Se concluir como estructura adicional en captulos posteriores.

Se tomaran ejemplos de espacios vectoriales considerando cuerpo elemento, espacio matriz, espacio polinomio,espacio de funciones, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, bases ydimensiones etc.

Vectores en el plano .-

El conjunto e n-tuplas de nmeros reales , denotado por , recibe el nombre de n-espacio .Una n- tupla en

es por ejemplo:

u=( u1,u2,u3,..,un)

se denomina punto o vector ; los nmeros reales ui son los componentes (o coordenadas ) del vector u.

Dos vectores son iguales. u=v , si tienen el mismo nmero de componentes, es decir, pertenecen al mismo

espacio , y si las componentes son iguales .


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Ejemplo 1.-(1,2,3) y (2,3,1) no son iguales , puesto que no lo son las componentes correspondientes.

Vectores en el espacio .-Los vectores en R3, denominado vectores espaciales , se utiliza la siguiente notacin para tales vectores :

i=(1,0,0) denota el vector unitario en la direccin x

j= (0,1,0) denota el vector unitario en la direccin y

k= ( 0,0,1) denota el vector unitario en la direccin z.Cualquier vector u= (a,b,c) en R 3puede expresarse :

U=(a,b,c) = ai + bj +ck

Espacio Euclidiano. Definicin

Un espacio euclidiano es el conjunto de nadas ordenadas, tambien conocido por espacio ndimencional y denota

por Rn este es una sucesin de n nmeros reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn se

clasifican as:R1 = espacio unidimensional, lnea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas........

Rn = espacio ndimencional, nadas ordenadas.

Se utilizara la siguiente notacin:

K el cuerpo de escalares

a,b,c o k los elementos de K

V el espacio vectorial dado

u,v,w los elementos de V

Subespacios.-

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo k.W se denomia un subespacio de V si es a

su vez un espacio vectorial sobre k con respecto a las operaciones de V , suma vectorial y producto por un

escalar.

Combinacin lineal y espacio generado.


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Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y v1,v2,v3.,vn pertenece a V. Cualquier vector en V de laforma

a1 v1+ a2v2+,a3v3++amvm

Donde los ai pertenece K,recibe el nombre de combinacin lineal de v,v,.v. El conjunto de todas las

combinaciones lineales semejantes, denotado por

Lin(v1,v2,.vm)

Se denomina envolvente lineal de v1,v2,.vm

En general , para cualquier subconjunto S de V, lin S ={0} si S es vacio y lin S consiste en todas las

combinaciones lineales de vectores de S

TRANSFORMACIONES LINEALES:

Notacin standard de la transformada lineal es: V se denomina de T. Si v pertenece a V y w esta en W, T(v) = w

donde w ser la imagen de v bajo T, el conjunto de todas las imgenes se llama contradominio de T y el

conjunto de v de V tales que T(v) = w se llama preimagen de w.

La definicin de transformacin lineal es que todo espacio vectorial en V y W se puede hacer transformacin

lineal si cumplen con los axiomas de la distribucin bajo la suma ( T(U + V) = T( U ) + T ( v )) y la multiplicacin

por un escalar (T(cU)= cT(u)). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus propiedades que son :

1) T(0) = 0

2) T(-v) = - T(v)

3) T(v-u) = T(v)-T(u)

4) S v = c1v1+ c2v2+ ... + cnvn entonces v = c1 T(v1)+ c2 T(v2)+ ... + cn T(vn).

PREGUNTAS:

1.- Explique que es dependencia e independencia lineal y da un ejemplo?

.


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2.- Enuncie las propiedades del Espacio Euclidiano?

.

3.- Explique que entiende por Bases y Dimensiones ?

. . .

4.- De un concepto de Isomorfismos?

.. .

5.- Qu entiende por nucleo e imagen de una aplicacin lineal?

.

..


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WORK PAPER # 4



ELABOR: Ing. Kasandra Vargas Rocha CDIGO: MATA 111 A

TTULO DEL WORK PAPER:Formas cuadrticas


DESTINADO A:



FECHA DE DIFUSIN: JUNIO 2012

FECHA DE ENTREGA: JUNIO 2012


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FORMAS CUADRATICAS

Dentro del estudio del algebra lineal encontramos el estudio de las Formas Cuadrticas, conocido como: lgebra booleana,estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un rea de las matemticas que ha pasado a ocupar un lugar

prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseo de circuitos de distribucin y

computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras reas.

En el nivel de lgica digital de una computadora, lo que comnmente se llama hardware, y que est formado por los componentes

electrnicos de la mquina, se trabaja con diferencias de tensin, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos

que forman el nivel. stas funciones, en la etapa de disea del hardware, son interpretadas como funciones de boole.

En el este tema se intenta dar una definicin de lo que es un lgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,

haciendo una correlacin con las frmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas cannicas de las funciones

booleanas, que son tiles para varios propsitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma

funcin.

Particularmente, cuando estamos construyendo los circuitos electrnicos con que implementar funciones booleanas, el problema

de determinar una expresin mnima para una funcin es a menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo,

principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo.

Como solucin a este problema, se plantea un mtodo de simplificacin, que hace uso de unos diagramas especiales llamados

mapas o diagramas y el cual tiene la limitacin de poder trabajar adecuadamente slo con pocas variables. Se realizan estaspresentaciones con el fin de demostrar la afinidad existente entre el lgebra de boole y la lgica proposicional, y con el objeto de

cimentar el procedimiento de simplificacin presentado en la lgica de proposiciones.

Resea Histrica

Es necesario realizar una pequea reseas como y porque se ha logrado aplicar en las matemticas este tema. En libros:

publicados entre los aos 1847 y 1854, se encuentra el desarroll la idea de que las proposiciones lgicas podan ser tratadas

mediante herramientas matemticas. Las proposiciones lgicas son aquellas que nicamente pueden tomar valores Verdadero o

Falso, o preguntas cuyas nicas respuestas posibles sean S/No. Segn Boole, estas proposiciones pueden ser representadasmediante smbolos y la teora que permite trabajar con estos smbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la

Lgica Simblica desarrollada por l. Dicha lgica simblica cuenta con operaciones lgicas que siguen el comportamiento de

reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lgica Simblica se le denomina LGEBRA DE BOOLE.

Fue en el siglo XX el lgebra Booleana result de una gran importancia prctica, importancia que se ha ido incrementando hasta

nuestros das, especialmente en el manejo de informacin digital.


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Todas las operaciones (representadas por smbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos fsicos de

diferentes tipos (mecnicos, elctricos, neumticos o electrnicos) que admiten entradas binarias o lgicas y que devuelven una

respuesta (salida) tambin binaria o lgica.

lgebra Booleana

Es necesario realizar y darle la importancia al lgebra booleana como un sistema matemtico deductivo centrado en los valores

cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario, definido en ste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo

valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para

cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales que desarrollaremos en clases, de aqu se pueden deducir

reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el lgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores

booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo. Se dice que un operador binario es conmutativo si A B = B A para todos los posibles valores de Ay B.

Asociativo. Se dice que un operador binario es asociativo si (A B) C = A (B C) para todos los valores

booleanos A, B, y C.

Distributivo. Dos operadores binarios son distributivos si A (B % C) = (A B) % (A C) para todos los valores

booleanos A, B, y C.

Identidad. Un valor booleano se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario si A I = A.Inverso. Un valor booleano es un elemento inverso con respecto a un operador booleano si A I = B, y B esdiferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Para nuestros propsitos basaremos el lgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores:

Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a stos valores respectivamente

como falso y verdadero. Adems de la utilizacin de algunos postulados que regiran el tema.

PREGUNTAS:

1.- Podemos describir la importancia y su relacin con los temas anteriores estudiados en el presente curso?......

2.- Dnde y como podriamos aplicar este tema, dentro del contexto de las matemticas?...


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