fundamentos de algebra matricial ccesa007

Matrices

Tema 1

MATRICES

Pág. 1

Matrices1.- Matrices. Definición y primeros ejemplos

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ).

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

Filas de la matriz A

Columnas de la matriz A

Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices:- El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento,- y el segundo, “j”, la columna.

Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3.

Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas (A, B, C, …).

Pág. 2

MatricesObservación:

Los ijason llamados componentes o elementos de la Matriz. Pág. 3

Matrices

El conjunto de todas las matrices de orden mxn y con elementos en K se suele denotar por:

( ){ }( ) /m nm n i j i jmxn

M K K A a a K×× = = = ∈

Pág. 4

Matrices

Son ejemplos de matrices los siguientes:

A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su dimensión 2 x 2. ¿Qué elemento es a21?

= 43

12A

−= 121

046B

−−=

001251042013

C

B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es b23?

C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su dimensión 4 x 3. ¿Qué elemento es c32?

EJEMPLOS

1.- Matrices. Definición y primeros ejemplosPág. 5

Matrices

En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.

Igualdad

Dos matrices A y B son iguales cuando contienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugares:

A = B ⇔ aij = bij ∀ i, j

Lógicamente, para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensión.

1.- Matrices. Definición y primeros ejemplosPág. 6

Matrices2.- Tipos de matrices

Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1 x n.

es una matriz fila de dimensión 1 x 4.

Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1.

es una matriz columna de dimensión 3 x 1.

( )9401 −=B

−=

801

C

Por ejemplo,

• Según su dimensión:

Por ejemplo,

Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n.

matriz cuadrada de orden 3.

−−=

043456321

D

4312 es una matriz cuadrada

de dimensión 2 x 2 o simplemente de orden 2.

Pág. 7

Matrices Matriz cuadrada de orden n:

forman la diagonal principal

Mismo número de filas que de columnas

8

Matrices

Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:

En la matriz D, la diagonal principal está formada por 1, 5, 0.

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

Diagonal principal

La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.En la matriz D está formada por 3, 5, -3.

−−=

043456321

D

2.- Tipos de matricesPág. 9

Matrices

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.

Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal.Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.Un ejemplo de matriz diagonal es:

−=

00000300004500001

G

−

−=

781631054300400001

E

Triangular inferiorTriangular superior

−=300590

341F

• Según sus elementos:


Matrices

Matriz triangular superior

Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:

Matriz triangular inferior

Ceros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principal

11

Matrices Matriz diagonal

Matriz unidad

Ceros fuera de la diagonal principal

Ceros fuera de la diagonal principal,unos en la diagonal principal

Matriz escalar

Delta de Kronecker

12

Matrices

Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:

=

1000010000100001

4I

=

100010001

3I

= 10

012I

Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

es una matriz nula de tamaño 2x5.

= 00000

00000APor ejemplo,


Matrices

Matrices escalonadas

Fíjate en las siguientes matrices:

De ellas se dice que son matrices escalonadas.

En ellas se cumple que:

• Si hay filas nulas, están situadas en la parte inferior de la matriz.• En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero es uno.• En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero de una fila está situado más a la derecha que el primer elemento diferente de cero de la fila inmediatamente superior.

1 1 10 1 6

A−

=

1 5 00 1 20 0 1

B =

1 60 00 00 0

C

=

1 5 00 1 20 0 0

D =


Matrices3.-Transformaciones elementales

Existen una serie de operaciones que se pueden hacer con las filas de una matriz y que permiten convertirla en una matriz escalonada: las transformaciones elementales.

En general, si llamamos Fi a la fila i-ésima y Fj a la fila j-ésima, las transformaciones elementales son:

• Intercambiar dos filas. Fi ↔ Fj.

• Sumar a una fila los elementos correspondientes de otra fila multiplicada por un nº real k.

Fi → Fi + kFj

• Multiplicar todos los elementos de una fila por un número real no nulo.

Fi → kFi

−

−

351124

202

−

−

124351202F2 ↔ F3

−

−

351124

202

−351124

8100F1 → F1 + 2F3

−

−

351124

202 F2 → 2F2

−−

−

351248202

Ejemplo

Pág. 15

Matrices

Estas transformaciones permiten definir una equivalencia entre las matrices de igual dimensión.

Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de la otra mediante transformaciones elementales.

EJEMPLO

−−=

134122111312

A

−− 134122111312

−− 134113122211

−−−15503110

2211

−−−−140003110

2211

F1 ↔ F2

F2 → F2 – 2F1F3 → F3 + F1

F3 → F3 + 5F2

Reducir a forma escalonada la matriz

Para facilitar los cálculos posteriores, hacemos que el elemento a11 sea 1:

Hacemos que el elemento a32 sea 0:

Hacemos que los demás elementos de la primera fila sean 0:

Que está en forma escalonada

3.-Transformaciones elementalesPág. 16

Matrices

EJERCICIO

3.-Transformaciones elementales

Reduce a forma escalonada las matrices:

−=

021310149432

B

−

−=

131110315432181512

D

−

−=

288046215131

C

=

1063752321

A

Pág. 17

Matrices4.- Operaciones con matrices

Dadas dos matrices A y B de la misma dimensión m × n, la matriz suma, A + B, es la que se obtiene sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posición.

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.

323232641714

523402

124312

×××

−

=

+

−EJEMPLO

De forma abreviada: (aij) + (bij) = (aij + bij)

++

++=

+

=+

mnmnmm

nn

mnm

n

mnm

n

baba

baba

bb

bb

aa

aaBA

............

...

............

...

............

...

11

111111

1

111

1

111

4. 1. Suma y diferencia

Pág. 18

Matrices

Propiedades de la suma de matrices:

323232407110

523402

124312

×××

−−−=

−

−EJEMPLO

La existencia de elemento opuesto permite definir la matriz diferencia(resta), A – B. Es la que se obtiene al sumar A con – B:

A – B = A + (– B)

a) Conmutativa: A + B = B + A

b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.

d) Elemento opuesto de A: La matriz –A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

A + 0 = 0 + A

A + (– A) = (– A) + A = 0

4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia

Pág. 19

Matrices

( ) ( ) ( ) , , ( ) m nMA a B b C KC ×= = = ∈ij ij ij

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

A B C a b c a b c

a b c a b c A B C

+ + = + + = + +

= + + = + + = + +

ij ij ij ij ij ij

ij ij ij ij ij ij

( ) ( ) A B a b b a B A+ = + = + = +ij ij ij ij

( ) ( ) ( ) 0 0A A a a + − = + − = =ij ij

Demostración: Pongamos

.

.

.Entonces:

( ) ( ) ( )0 0 0A a a A+ = + = + =ij ij

Pág. 20

Matrices

Si

porque:

232323000000

932410

932410

×××

=

−+

−−−−

EJEMPLO


⇒

−−−−

=932410

A

3 × 2

−=−

932410

A

3 × 2

Opuesta de una matriz

Pág. 21

Matrices

2. Calcula x, y, z en la suma:

3. Calcula a, b, cpara que se cumpla la igualdad:

−=

−

++

+−−−

60221

02142

61423 a

cba

cba

−

−−=

−−+

−

−−

142440311

3232

0

201

21

xz

zy

zxy

yx

1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:

Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años.¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total?Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001.

EJERCICIOS


=

3,42,0212,31,117,15

173,132001A

X Y ZABC

=

3,22,39,202,1105,145,07,611

2000AABC

X Y Z

Pág. 22

Matrices

Dada una matriz cualquiera A de dimensión m × n y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual dimensión. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real).

Propiedades:a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·Bb) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·Ac) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·Ad) Elemento neutro, el número 1: 1·A=A

323251020

155101243125

××

−−−−−=

−

⋅−EJEMPLO

⋅⋅

⋅⋅=

⋅=⋅

mnm

n

mnm

n

akak

akak

aa

aakAk

............

...

............

...

1

111

1

111

4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un nº real

Pág. 23

Matrices

1.[ ] [ ]( ) ([ ] ) ([ ] [ ])( ) ( ) .

2. ( ) ( ) ( [ ]) ([ ] [ ])( ) ( ) .

3.( ) ([ ] ) ( [ ]) ( ) ( ).4.1 (1 ) ( ) .

ij ij ij ij

ij ij

ij ij ij ij ij ij

ij ij

ij ij ij

ij ij

A a a a aa a A A

A B a b a b a ba b A B

A a a a AA a a A

α β α β α β α β

α β α β

α α α α α

α α α α

αβ αβ α β α β α β

+ = + = + = +

= + = +

+ = + = + = +

= + = +

= = = =

= = =

, ,( ) , ( ) . :ij i j ij i jA a B b Entonces= =DEMOSTRACION.

Pongamos

Pág. 24

Matrices

1. Si

halla una matriz X que verifique la ecuación: 2·X – 4·A = B

2. Determina las matrices X e Y sabiendo que:

−=

= 20

01y 1011 BA

−=− 18

2153 YX

=+− 03

423YX

EJERCICIOS

4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un nº real

Pág. 25

Matrices

Producto de una matriz fila por una matriz columna.

Sea A una matriz fila y B una matriz columna:

( )132 −=A

=

521

B

Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden):

( ) =

⋅−=⋅

521

132BA 2·1 + (−3)·2 + 1·5 = 2 − 6 + 5 = 1

1 x 3 3 x 1

Observa que el resultado es un número

1 x 3 3 x 1

Hemos emparejado cada elemento de A con un elemento de B, luego el número de estos elementos (nº de columnas de A y nº de filas de B) debe coincidir para poder realizar este producto.

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices

Pág. 26

Matrices

Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:

Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observa que el nº de columnas de A = n= nº de filas de B), entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo:

“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C = A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”

“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B , es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B”

Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación.


Pág. 27

Matrices

A · B = A·Bm × n n × p m × p

Es posible el producto

Columnas

Filas

La matriz producto, A·B, si existe, es la que se obtiene de la forma siguiente:

El elemento de esta matriz que ocupa la fila i-ésima y la columna j-ésima es el que se obtiene de multiplicar la fila Fi por la columna Cj.

⋅⋅

⋅⋅=

⋅

=⋅

nmm

n

knk

n

mkm

k

CFCF

CFCF

bb

bb

aa

aaBA

............

...

............

...

............

...

1

111

1

111

1

111F1

C1


Pág. 28

Matrices

1º.- Comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y el nº de filas de B también es 4.

3º.- Sólo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:

−−= 2352

4123A

−−

=

123202121140

B

EJEMPLO Para multiplicar las matrices:

2º.- El resultado, según lo dicho será una matriz de dimensión 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:

2 × 44 × 3

−−

123202121140

2 × 4 4 × 3 2 × 3


⋅

−−

23524123

=

Pág. 29

Matrices4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices

=

−−

123202121140

2 × 4 4 × 3 2 × 3

El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:

F1 · C1 = (–3 2 1 4) ·

0123

= (−3)·0 + 2·1 + 1·2 + 4·3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16

16F1

C1

⋅

−−

23524123

Pág. 30

Matrices4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices

=

−−

123202121140

2 × 4 4 × 3 2 × 3

F1·C2 = (–3 2 1 4) ·

−4−202

16F1

C2

El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:

16

= (−3)·(−4) + 2·(−2) + 1·0 + 4·2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16

⋅

−−

23524123

Pág. 31

Matrices

−−

123202121140

2 × 4 4 × 3 2 × 3

F1·C3 = (–3 2 1 4) ·

1121

16F1

C3

16

= (−3)·1 + 2·1 + 1·2 + 4·1 = − 3 + 2 + 2 + 4 = 5

El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:

5


⋅

−−

23524123

=

Pág. 32

Matrices

Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:

−−

123202121140

2 × 4 2 × 3

16 16 5F2

C1

5

4 × 3


⋅

−−

23524123

=

Pág. 33

Matrices


−−

123202121140

2 × 4 2 × 3

16 16 5F2

C2

5 –22

4 × 3


⋅

−−

23524123

=

Pág. 34

Matrices

−=⋅ 11225

51616BA


−−

123202121140

2 × 4 2 × 3

16 16

11F2

C3

5

5 –22

Así la matriz producto es:

B · A4 × 3 2 × 4

Observa que el producto B·A no se puede hacer:

4 × 3

≠


⋅

−−

23524123

=

Pág. 35

Matrices

1. Si calcula, si es posible, A·B y B·A.¿Coinciden?

2. Lo mismo si

Además, calcula A2 y A3.

−= 511

203B,142011

−−

=A

= 543

012C

=

121

B

−=

120111321

A

EJERCICIOS


−

−= 6231A

−= 12

53B

3. Calcula todos los productos posibles entre las matrices:

Pág. 36

Matrices

Propiedades del producto de matrices

c) Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente. Si A es m x n:

d) En general el producto de matrices no es conmutativoPueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Ten cuidado con esta propiedad.

e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:

Se dice que el conjunto de las matrices con la operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.

CABACBA ⋅+⋅=+⋅ )(ACABACB ⋅+⋅=⋅+ )(

AIA n =⋅AAIm =⋅

ABBA ⋅≠⋅

1213

3200

425

120312

××

×

=

−⋅

a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·Cb) Distributiva respecto de la suma:


Pág. 37

Matrices

( ), ,

( )( ) ( [ ]) ( )( [ ]) ( ) ( )

ik l kl lj k ik l kl lj kl ik kl lj

l k ik kl i j k ik kl i l

a b c a b c a b ca b a

Ab

CC

BAB

∑ = ∑ ∑ = ∑=

= ∑ ∑ = ∑ =

( ) ( )( ) ( [ ])( [ ])

ik kj kj k ik kj kj

k ik kj ik kj

A B C a b c a b ca b a c

+ = + = ∑ +

= ∑ +

([ ] [ ]) ( ) ( )k ik kj k ik kj k ik kj k ik kja b a c a b a cAB AC

= ∑ + ∑ = ∑ + ∑

= +

Pág. 38

Matrices

1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes, que son ciertas para las operaciones con números reales?:

a) (A + B)2 = A2 + B2 + 2 · A · Bb) (A − B)2 = A2 + B2 − 2 · A · Bc) (A + B) · (A − B) = A2 − B2

2. Determina los valores de a y b de la matriz

para que A2 = A.

3. ¿Qué matrices conmutan con la matriz ?

−= baA 12

1021

EJERCICIOS


Pág. 39

MatricesPropiedades del producto de matrices (II)

I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una delas dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto enun orden distinto al dado.

II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.

III. Si A . C = B . C y C ≠ 0, entonces no necesariamente A = B.

IV. (A + B)2 ≠ A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

V. (A – B)2 ≠ A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

VI. A2 – B2 ≠ (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.

Ejemplo: Aunque

÷÷0 2

0 0.

÷÷0 –3

0 0 =

÷÷0 0

0 0 ninguno de los factores que forman el producto es la matriz nula.

Matrices

POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS

Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferencialeslineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales dematrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuacionesdiferenciales.Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversasaplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida.

Si y : -PROPIEDADES.-

1.-

2.-

41

Matrices

Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.

Si

entonces la matriz traspuesta de A es:

Si A es una matriz de dimensión m x n, su traspuesta At tendrá dimensión n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.

Propiedades:a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.b) (A + B)t = At + Bt

c) (k ・ A)t = k ・ At

d) (A · B)t = Bt · At

−

= 12437012A

−

=

17204132

tA

EJEMPLO2 × 4

4 × 2

Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá la misma dimensión.

4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposición de matrices

Pág. 42

Matrices

La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij ). entonces At = (aji ). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Pág. 43

Matrices

En base a esta nueva operación, podemos definir otras dos clases de matrices:

Matriz simétrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta; es decir, una matriz cuadrada es simétrica si se cumple que At = A.

En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal.

Matriz antisimétrica: matriz cuadrada cuya opuesta coincide con su traspuesta; es decir, si cumple que At = −A.Por ejemplo:

En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por qué?), y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.

−−=723201

312A

−−−=023201

310B

es simétrica

es antisimétrica (comprueba).


Pág. 44

Matrices

Sólo para matrices cuadradas

A simétrica si y sólo si , es decir:

A antisimétrica si y sólo si , es decir:

¿Cómo son los elementos de la diagonal principalde una matriz antisimétrica?

Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizarutilizando la relación que tienen con sus traspuestas.

45

Matrices

Sólo para matrices cuadradas

A periódica si . Si p es el menornúmero natural que satisface , entoncesdecimos que A es una matriz periódica de período p.

A idempotente si .

A nilpotente si . Si p es elmenor número natural que satisface ,decimos que A es una matriz nilpotente de índice p.

A involutiva si .

A continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad alcomportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo,desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría.

46

Matrices

1. Dadas las matrices

calcula 3At − Bt .

2. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:

=

431341331

A

−−=

016102211

B

=− 24

5132 YX

−=− 63

01YX

a)

=+ 03

12YX

=− 10

26YX

b)

−=+ 20

132 YX

−

=+ 42012YX

c)

EJERCICIOS


Pág. 47

Matrices Pág. 48

Matrices Pág. 49

Matrices5.- La matriz inversa

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

El inverso del número 2 para el producto es un número real x tal que

2·x = 1,el producto de 2 por x es igual al elemento neutro, el 1.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In.

Recordemos que ocurría con los números reales:

En el caso de los números reales es bien fácil despejar x:

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

x = 12

El inverso de un número real es otro número que multiplicado por él da el elemento neutro, el 1.

Esto nos permite resolver ecuaciones del tipo:

a·x = b

2·x = 6

·2·x = ·612

12

x = 31

Pág. 50

Matrices

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que

es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.

Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

nIXA =⋅

5.- La matriz inversa

1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In/A, porque no hemos definido la división de matrices.2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).

Pág. 51

Matrices

Si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular).

y

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

nIAA =⋅ −1nIAA =⋅−1

Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A siA·B = B·A = I,

siendo I la matriz unidad o identidad.La matriz inversa de A se representa por A–1.

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una). Para calcular dicha matriz inversa, podemos utilizar varios métodos. A continuación veremos dos métodos. En el tema 3 veremos otro.

Por tanto, si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa, A−1 , se cumple que:

5.- La matriz inversaPág. 52

Matrices

lo que buscamos es otra matriz de igual tamaño (orden 2)

=−

tzyxA 1

⇒=⋅ −2

1 IAA ⇒

=

⋅

− 10

011121

tzyx

=

+−+−++

100122

tyzxtyzx

Consiste en determinar A−1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos determinar la inversa de la matriz

−

= 1121A

que debe cumplir A · A−1 = I2 y A−1 · A = I2,

x + 2z = 1y + 2t = 0–x + z = 0–y + t = 0

Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque en realidad son 2 sistemas de dos incógnitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).

5.- La matriz inversa 5. 1. Método directo

Pág. 53

Matrices

Se puede comprobar que también se cumple que A−1 · A = I2, luego A es invertible, tiene inversa.

Resolviendo el sistema se obtiene que

por lo que la matriz inversa es:

−⋅= 11

2131

x + 2z = 1y + 2t = 0–x + z = 0–y + t = 0


x = 13

y = –23

z = 13

t = 13

1 3 –2 3

1 3 1 3

A−1 =

Pág. 54

Matrices

Por ejemplo, si

Y por ejemplo de 2x + 2z = 0 se obtiene x = –z, si se sustituye en la primera ecuación es –z + z = 1, es decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene solución.

= 22

11A

⇒=⋅ −2

1 IAA ⇒

=

⋅

1001

2211

tzyx

=

++++

1001

2222 tyzxtyzx

Si el sistema no tiene solución, la matriz no tiene inversa.

x + z = 1y + t = 02x + 2z = 02y + 2t = 0

Por tanto A no es invertible, es singular.

Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño 2, puesto que para las de tamaño 3 obtenemos un sistemas de !9 ecuaciones con 9 incógnitas! que realmente es difícil de resolver.


No todas las matrices tienen inversa.

Pág. 55

Matrices

Sea A = (aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad. Se parte del siguiente esquema:

Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A (en la parte izquierda) alguna fila nula, la matriz no tiene inversa.

Aplicar transformaciones elementales hasta llegar a

la forma:

Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A−1.

5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan

(A | I3)

(I3 | A–1)

100010001

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

100010001

bbbbbbbbb

Pág. 56

Matrices

Calcula por el método de Gauss-Jordan la inversa de la matriz

i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente:

ii) Se hace la matriz A triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal) usando transformaciones elementales en filas.

−

= 1121A

EJEMPLO


1 2 1 0–1 1 0 1 (A | I2) =

En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:

1 2 1 0–1 1 0 1 (A | I2) =

1 2 1 00 3 1 1

F2 → F2 + F1

Pág. 57

Matrices

iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:


iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo único que falta es dividir a cada fila entre el número adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la parte izquierda:

v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa, es decir, llegamos a:

matriz que habíamos obtenido antes por el método directo.

−⋅= 11

2131

1 2 1 00 3 1 1

3 0 1 –20 3 1 1

F1 → 3F1 – 2F2

3 0 1 –20 3 1 1

(F1)/3 , (F2)/3 1 0 1/3 –2/3

0 1 1/3 1/3

(I2 | A–1) = 1 0 1/3 –2/3

0 1 1/3 1/3A–1 =

1/3 –2/31/3 1/3

Pág. 58

Matrices

Si al realizar el método de Gauss-Jordan en algún momento alguna fila es de ceros, la matriz no tiene inversa.


Si calculamos por este método la inversa de resulta:

Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.

= 22

11A

1 1 1 02 2 0 1 (A | I2) =

1 1 1 00 0 – 2 1

F2 → F2 – 2F1

Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este método frente al directo.

Condición para que una matriz tenga inversa(según el método de Gauss)

EJEMPLO

Pág. 59

Matrices

Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz

Siguiendo los pasos anteriores:

−=

101211011

B

EJEMPLO


(B | I3) =F2 → F2 + F1

F3 → F3 – F1

F3 → 2F3 + F2 F2 → 2F2 – F3

F1 → 4F1 – F2

1 1 0 1 0 0–1 1 2 0 1 01 0 1 0 0 1

1 1 0 1 0 00 2 2 1 1 00 0 4 –1 1 2

1 1 0 1 0 00 2 2 1 1 00 – 1 1 –1 0 1

1 1 0 1 0 00 4 0 3 1 –20 0 4 –1 1 2

4 0 0 1 –1 20 4 0 3 1 –20 0 4 –1 1 2

Pág. 60

Matrices

También se puede expresar, sacando factor común:


= (I3 | B–1)1 0 0 1/4 –1/4 2/40 1 0 3/4 1/4 –2/40 0 1 –1/4 1/4 2/4 1/4 –1/4 1/2

B–1 = 3/4 1/4 –1/2–1/4 1/4 1/2

1 –1 2B–1 = · 3 1 –2

–1 1 2

14

F1

4F2

4F3

44 0 0 1 –1 20 4 0 3 1 –20 0 4 –1 1 2

Pág. 61

Matrices

1. Calcular por el método de Gauss-Jordan la inversa de las matrices:

2. Dada la matriz diagonal

calcula su inversa. ¿Cómo calcularías de forma rápida la inversa de una matriz diagonal cualquiera?

−−−

=012423321

B

−

−=

101210412

C

−=

500020003

D

EJERCICIOS

5.- La matriz inversa

−= 13

12A

Pág. 62

Matrices6.- Rango de una matriz

El concepto de rango se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se introducirá de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.

Baste saber que se define el rango de una matriz como el número máximo de filas o columnas linealmente independientes.

Sin embargo, el cálculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando el método de Gauss.

Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el método de Gauss con el fin de simplificarla lo más posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor número de ceros posible, que esté en forma escalonada), realizando operaciones elementales en filas.

Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rang(A) al número de filas no nulas de la matriz tras aplicarle el método de Gauss.

A continuación veremos cómo asignar a una matriz un parámetro llamado rango.

Pág. 63

Matrices

Rango de una matriz escalonada

El rango de una matriz escalonada A es el número de filas no nulasde A. Lo denotamos por rang(A)

−= 620

113A

−=

200230051

B

=

00000064

C

−=

000230051

D

EJEMPLOS

rang(A) = 2

rang(B) = 3

rang(C) = 1

rang(D) = 2

6.- Rango de una matrizPág. 64

Matrices

Rango de una matriz cualquiera

Nos preguntamos ahora cómo podemos definir el rango de una matriz cualquiera.

Vimos que mediante transformaciones elementales podemos transformar cualquier matriz en otra equivalente que sea escalonada.

El rango de una matriz A es el rango de una matriz escalonada equivalente a A.

Así que para obtener el rango de una matriz la transformamos en una matriz escalonada mediante transformaciones elementales (Las transformaciones elementales no modifican el rango).El rango de la matriz será el número de filas no nulas de la matriz escalonada.


Matrices

Calcular el rango de las siguientes matrices:

Rg(A)=1 ,sólo una fila distinta de cero.

Rg(B)=2 hay 2 filas no nulas.

Rg(C)=2 hay 2 filasno nulas.

Rg(D)=1, sólo una filano nula.

= 22

11A

= 11

30B

−−=

211112011

C

−−−= 321

642D

a)

b)

c)

d)

−−

220110011

−

000110011

EJEMPLOS

6.- Rango de una matriz

000642F2 → 2F2 + F1

F2 → F2 – 2·F1F3 → F3 + F1 F3 → F3 + 2·F2

F2 → F2 – 2·F1

0011

F2 ↔ F1

3011

Pág. 66

Matrices

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que el número de filas de la matriz.

Propiedad: Si A es una matriz de tamaño m x n no nula se cumple que:

1 ≤ rang(A) ≤ min{m, n}


De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su número de filas y de columnas, pues el proceso para hacer el método de Gauss se puede hacer indistintamente mediante operaciones elementales en filas o en columnas.Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qué valores va a estar ese rango.

Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango sólo puede ser 0, 1, 2 o 3, no hay otras posibilidades.En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango sólo puede ser 0,1 o 2. (De hecho, podemos reducir esto algo más , pues una matriz sólo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo:

Pág. 67

Matrices

Calcular en función de k el rango de la matriz:

Aplicando Gauss,

Ahora es evidente que si k – 6 = 0, la última fila es nula. Por tanto, si k = 6, la última fila es nula y el rango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k - 6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2 filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2. Resumiendo:

La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa visto anteriormente:

Propiedad:Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇔ Rg(A) es máximo.

= kA 33

211

= kA 33

211

Si k ≠ 6, entonces Rg(A) = 2Si k = 6, entonces Rg(A) = 1

EJEMPLO


F2 → F2 – 3·F1

− 600211

k

Pág. 68

Matrices

1. Calcula el rango de A según los valores de k:

¿Para qué valores de k tiene A inversa?

2. Calcula el rango de las matrices:

−

−=

kA

15311121

= 012

101A

−=240101

120B

−

=

1000111201001112

C

−

−=

131110315432181512

D

EJERCICIOS


Matrices7.- Aplicaciones de las matrices

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

2 unid. 5 unid. 10 unid.Color N 0,04 0,08 0,12Color F 0,03 0,05 0,08

Color N Color F2 unid. 700000 500005 unid. 600000 4000010 unid. 500000 500000

EJEMPLO Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Pág. 70

Matrices

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación se expresa con un 0.Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente.

7.- Aplicaciones de las matrices

2 unid 5 unid 10 unid

NF

= 5000004000050000

500000600000700000A2 unid5 unid10 unid

N F

=

08,012,005,008,003,004,0

B

Pág. 71

Matrices

En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas.

Grafo Grafo simple Grafo dirigido.


Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos.* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha.

Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:

Pág. 72

Matrices

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:


0000000101001010

A B C D

ABCD

* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila ihasta el punto de la columna j mediante una línea que los una directamente.

* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una línea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior será:

Pág. 73

Matrices

1. Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:

2. Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:

EJERCICIOS


0110000110001110

A B C D

ABCD

000101010

A B C

ABC

Pág. 74

Matrices

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

2211

22222121

11212111

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

21

222221

111211

Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:75

Matrices2x1 + 6x2 + x3 = 7x1 + 2x2 – x3 = –1 5x1 + 7x2 – 4x3 = 9

−

−−

−−− ⇒

947571621121

947511217162

12R

−

−−

−

−−

⇒⇒+−+−

1413010

1121

1413093201121

29

23

52

221

3121

RRRRR

−−

−−

⇒⇒+

510010

1121

0010

1121

29

23

255

211

29

23

3 3112

32 RRR

529

23

12

3

32

321

=

=+

−=−+

x

xx

xxx

x3 = 5, x2 = –3, x1 = 10

76

MatricesResolver mediante el método de Gauss-Jordanx1 + 3x2 – 2x3 = – 74x1 + x2 + 3x3 = 52x1 – 5x2 + 7x3 = 19

−−

−−−−−−

−−

−−

−

−−

⇒⇒

⇒

+−+−

−−

+−+−

000031102101

311031107231

331111033111107231

1975253147231

3212

3111

2111

3121

3

24

RRRR

RR

RRRR

Entonces: x2 – x3 = –3 x1 + x3 = 2

Haciendo x3 = t, tenemos x2 = –3 + t, x1 = 2 – t.

77

Matrices

Resolver:x1 + x2 = 14x1 − x2 = −62x1 – 3x2 = 8

−

−−− ⇒

1600210101

832614111

0 + 0 = 16 !! ⇒ No tiene soluciones.

78

Matrices

Vectores fila:

u1 = (a11 a12 … a1n), u2 = (a21 a22, … a2n),…, um = (am1 am2 … amn)

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A

=

=

=

mn

n

n

n

mm a

aa

a

aa

a

aa

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1 ,,, vvv

Vectores columna: El rango de una matriz A m × n, es el máximo número de vectores fila linealmente independientes.

−−

−

−−−

−

−−

−= ⇒⇒

−+

+−+−

0000210

3111

142028403111

875386223111

21

32

241

3221

3121

RRR

RRRR

A

⇒rang A = 2.

79

Matrices

AX = 0

Siempre hay soluciones(consistente)

Solución única X = 0(solución trivial)

rang(A) = n

Infinitas solucionesRang(A) < n

n – r parámetros

80

Matrices

AX = B, B≠0

Inconsistenterang(A) < rang(A│B)

Consistenterang(A) = rang(A│B)

Solución únicarang(A) = n

Infinitas solucionesrang(A) < n

n – r parámetros

81

Matrices

211222112221

1211det aaaaaaaa

−==A

.

det

332112322311

312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

−−

−++=

=A

Determinantes

3231

222113

3331

232112

3332

232211det

aaaa

aaaaa

aaaaa

a +

−+=A

Expansión por cofactores a lo largo de la primera fila.

82

Matrices

3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaC

aaaa

Caaaa

C =−==

333231

232221

131211

detaaaaaaaaa

=A

det A = a11C11 + a12C12 + a13C13

El cofactor de aij es Cij = (–1)i+ j Mijdonde Mij se llama menor.

... O por la tercera fila: det A = a31C31 + a32C32 + a33C33

Podemos expandir por filas o columnas.

83

Matrices

=

351306742

A 131211 742351306742

det CCC ++==A

3530

)1(351306742

)1( 111111

++ −=−=C

3136

)1(351306742

)1( 212112

++ −=−=C

5106

)1(351306742

)1( 313113

++ −=−=C

84

Matrices

120)6(3)23(65142

)1(33574

)1(6

306det

3221

232221

=−−−=

−+−=

++=

++

CCCA

120)]1(0)5(6[7)]1(3)3(6[4)]5(3)3(0[25106

)1(73136

)1(43530

)1(2det 312111

=−+−−−=

−+−+−= +++A

131211 742351306742

det CCC ++==A

Más corto desarrollando por la segunda fila...

85

Matrices

238)]2(5)4(6[7

4256

)1)(7(042781056

)1)(7(

0)7(0042781056

det

3232

332313

=−−=

−−−=

−−−=

+−+=−

−−=

++

CCCA

−−−=042781

056A

86

Matrices

det AT = det A

414375

det −=−

=A 414735

det −=−

=TA

Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × nson idénticas, entonces det A = 0.

=

229224226

A 0229224226

det ==A

87

Matrices

Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0.

Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n,entonces:

det B = −det A

AB det312706914

914706312

det −=−

−=−

=

88

Matrices

Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces:

det B = k det A

AB

A

det)(det

fila ésima- la de largo lo a cofactorespor det deexpansión

2211

2211

kCaCaCakCkaCkaCka

i

ininiiii

ininiiii

=+++=+++=

80)21(801211

285

2411

85164

815

162085

−=−==

==

．．

．

89

MatricesSi A y B son matrices n × n, entonces

det AB = det A ⋅ det B.

−

−=

−

=5343

,1162

BA

−

−=

962212

AB

det AB = −24, det A = −8, det B = 3, det AB = det A ⋅ det B.

90

Matrices

det A = 45 = det B = 45.

BA =

−−−

−= ⇒

+−

2411703215

414703215

313 RR

Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:

det B = det A

91

Matrices

=

333231

2221

11

000

aaaaa

aA

33221132332211

3332

2211

)．0(

0det

aaaaaaaaa

aa

=−

==A

−−

=

2427049500620003

A

144)2(．)4(．6．32427049500620003

det

=−−

=

−−

=A

−=

400060003

A 7246)3(400060003

det −=−=−

= ．．A

matriz diagonal

matriz triangular inferior

92

MatricesSupongamos que A es una matriz n × n. Si ai1, ai2, …, ain son los elementos de la i-ésima fila y Ck1, Ck2, …, Ckn son los cofactores de la k-ésimafila, entonces:

ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + …+ ain Ckn = 0, para i ≠ k

Igualmente, si a1j, a2j, …, anj son los elementos de la j-ésima columna y C1k, C2k, …, Cnk son los cofactores de la k-ésima columna, entonces:

a1j C1k + a2j C2k + …+ anj Cnk = 0, para j ≠ k

93

MatricesDemostraciónSea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i-ésima fila por los de su k-ésima fila:

bi1 = ak1, bi2 = ak2, …, bin = akn

B tendrá entonces dos filas idénticas de modo que det B = 0, y:

kninkiki

knknkkkk

CaCaCaCaCaCa

+++=+++==

2211

2211det0 B

94

Matrices

−−=

842234726

A

0)10(7)40(2)25(63426

72476

22372

6

331332123111

=−+−+=

−−+

−

−+−

=

++ CaCaCa

95

MatricesInversa de un matriz

Sea A una matriz n × n. Si existe una matriz n × n B tal que

AB = BA = Idonde I es la matriz identidad n × n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A.Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular.

Sean A, B matrices no singulares. (i) (A-1)-1 = A(ii) (AB)-1 = B-1A-1

(iii) (AT)-1 = (A-1)T

96

Matrices

Sea A una matriz n × n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A:

se llama adjunta de A y se denota por adj A.

=

nnnn

n

nT

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

CCC

CCCCCC

21

22212

12111

21

22221

11211

Matriz adjunta97

Matrices

AA

A adjdet

11

=−

=

=

AA

A

AA

det000det000det

)adj(

332313

322212

312111

333231

232221

131211

CCCCCCCCC

aaaaaaaaa

Encontrar la matriz inversa:Sea A una matriz n × n. Si det A ≠ 0, entonces:

Para n =3:

98

Matrices

=

10241

A

−

−=

−

−=−

21

1

125

12410

21A

=

+−−+−−

=

−

−

=−

1001

5410102245

125

10241

21

1AA

=

+−+−−−

=

−

−=−

1001

5411202045

10241

125

21

1AA

99

Matrices

−=

103112022

A

61222

21202

21102

60322

21302

21002

30312

51312

11011

333231

232221

131211

=−

=−=−

−===

=−===−=−=

−=−

−==−

−===

CCC

CCC

CCC

−−

−=

−−

−=−

21

21

41

61

61

125

61

61

121

1

663225221

121A

100

Matrices

−−=

655432102

A

−−

−−

++

⇒

⇒

10500115300001

1006550104320001

100655010432001102

25

217

21

21

52

21

21

3121

121

RRRR

R

=

100

010001

)|(

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

IA

101

Matrices

−

−

⇒

⇒

⇒

+−

61051000100001

000100001

0100100001

31

31

35

21

21

30

51

31

61

301

31

31

35

21

21

51

21

1017

31

31

35

21

21

3

32

351

231

R

RR

RR

−−−−−+−

+−

⇒6105100

10178010352001233

5132

1

RRRR

−−−−−

=−

610510178

3521A

102

Matrices

−

−−=

306542211

A

−−

−−

−

−−

+−

⇒100306012960001211

100306010542001211

212 RR

−−−

−−

−−

−−

+−

+−

⇒

⇒

114000012960001211106960012960001211

32

316

RR

RR

Singular

103

Matrices

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

2211

22222121

11212111

,

21

22221

11211

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A ,2

1

=

nx

xx

X

=

mb

bb

2

1

B

AX = B

Si m = n, y A es no singular, entonces: X = A-1B

104

Matrices

16631592

21

21

=+=−

xxxx

=

−1615

6392

2

1

xx

0396392

≠=−

−

=

− −

2396

391

6392 1

−=

−

=

−

=

316

13234

391

1615

2396

391

2

1

xx

3/1,6 21 −== xx

105

Matrices

44321655

22

321

321

31

=++−−=++

=+

xxxxxxxx

−−=

655432102

A

−=

−

−−−−−

=

−

−−=

−

366219

142

610510178

352142

655432102 1

3

2

1

xxx

36,62,19 321 −=== xxx

106

Matrices

+++

++++++

=

==

nnnnn

nn

nn

nnnnn

n

n

cbCbCb

cbCbCbcbCbCb

b

bb

CCC

CCCCCC

2211

2222121

1212111

2

1

21

22212

12111

det1

det1

A

ABAX 1-

AA

A

detdet

det2211

k

nknkkk

CbCbCbx

=

+++=

Regla de

Cramer

107

Matrices

0

00

2211

2222121

1212111

=+++

=+++=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solución trivial (ceros) si y solo si A es no singular.

Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.

108

Matrices Pág. 109

fundamentos de algebra matricial ccesa007

Education