libro 2 jcdelacruz algebra lineal

POLINOMIOSLa teorıa de ecuaciones esta basada en el Algebra de Polinomios y, de lo que hemosvisto sobre algebra elemental, el estudiante ya posee cierta familiaridad con los pro-cesos de sumar, restar, multiplicar y factorizar polinomios sobre R. Todas las reglasoperacionales mencionadas en secciones anteriores son utilizadas para manipular estospolinomios. En esta seccion queremos formalizar un poco mas estas nociones, estu-diar el algoritmo de la division para polinomios y luego volver a estudiar la resolucionde ecuaciones e inecuaciones a traves de un estudio elemental sobre ceros de polinomios.

DEFINICION 1: Un polinomio (o funcion polinomial) en una variable sobre R, es unaexpresion de la forma

a0 + a1x + a2x2 + . . . + anx

n, n ∈ N (1)

donde a0, a1, a2, . . . , an son constantes reales y la variable x toma valores en R.

OBSERVACIONES

1) Para 0 ≤ i ≤ n, las expresiones aixi las llamaremos los terminos del polinomio

y los elementos ai los coeficientes de los correspondientes xi

2) Para representar polinomios utilizaremos expresiones tales como:

a(x), b(x), . . . , p(x), q(x), r(x), etc..

DEFINICION 2: Sea p(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+anxn un polinomio sobre R. Entonces:

i) si an �= 0, diremos que p(x) es un polinomio de grado n(∈ N) y lo escribiremos:

gr(p(x)) = n,

al numero an lo llamaremos el coeficiente principal de p(x) y, en particular, sian = 1 diremos que p(x) es monico;

ii) Si ai = 0 para cualquier i = 0, 1, . . . , n , entonces diremos que p(x) es el poli-nomio cero (o polinomio nulo) y lo denotaremos tambien por 0(x).

OBSERVACIONES:

1) En general, cualquier numero real puede ser considerado como un polinommiode grado cero y, en tal caso, los llamaremos polinomios constantes. Ademas, altermino a0 en (1) lo llamaremos el termino constante de p(x).

2) Usaremos la notacion:R[x] : = {p(x)/p(x) es un polinomio en x sobre R}Pn : = {p(x) ∈ R[x] | gr(p(x)) ≤ n}

DEFINICION 3: Dados dos polinomios

p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn,

q(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm,

diremos que p(x) y q(x) son iguales ssi:

i) m = n (igual numero de terminos).

1

jcdelacruz_______________________________________________________________________unsch

Capítulo 01

Ecuaciones polinómicas

19

jcdelacruz-------------------------------------------------------------------------------------------------------------unsch

capítulo 02

Departamento de Matematica MAT-021 afg/mev/mjm

ii) ai = bi ∀i = 0, 1, . . . , n (iguales coeficientes).

NOTA: Dos polinomios cualesquiera pueden escribirse con el mismo numero de termi-nos. Por ejemplo, si en Def. 3 se tuviera que m < n, entonces

q(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm = b0 + b1x + . . . + bmxm + 0xm+1 + . . . + 0xn.

Ası, la siguiente definicion es completamente general.

DEFINICION 4: Sean

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anx

n, yq(x) = b0 + b1x + b2x

2 + . . . + bnxn,

dos polinomios en x sobre R. Entonces:

i) La suma de p(x) y q(x) es el polinomio:

p(x) + q(x) = a0 + b0 + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + . . . + (an + bn)xn

ii) El negativo de q(x) es el polinomio:

−q(x) = (−b0) + (−b1)x + (−b2)x2 + . . . + (−bn)xn

= −b0 − b1x − b2x2 − . . . − bnx

n.

iii) La resta p(x) − q(x) es el polinomio: p(x) + (−q(x))

DEFINICION 5: Sean:

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anx

n

q(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . . + bmxm

dos polinomios en x sobre R. El producto de p(x) y q(x) es el polinomio:

p(x) · q(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + . . . +

+(anbm)xm+n.

Es decir, el coeficiente de xi en p(x) · q(x) es el numero:

a0bi + a1bi−1 + . . . + ai−1b1 + aib0.

NOTA: Para efectuar la multiplicacion de dos polinomios resulta util el arreglo si-guiente que aplicamos a la multiplicacion de p(x) = 1+2x−x2+x3 por q(x) = 1−2x+x2 :

p(x) · q(x) =

1 + 2x - x2 + x3

1 - 2x + x2

1 + 2x - x2 + x3

- 2x - 4x2 + 2x3 - 2x4

x2 + 2x3 - x4 + x5

1 - 4x2 + 5x3 - 3x4 + x5

[Mult. por 1[Mult. por −2x[Mult. por x2

[Suma

OBSERVACIONES: Proponemos al estudiante verificar que (R[x], +, ·) satisface los axio-mas 1 al 5 que dimos para (R, +, ·) y donde los elementos neutros para la suma y elproducto son los mismos (0 y 1).

2


20

TEOREMA 1: (Algoritmo de la division) Sean a(x), b(x) ∈ R[x] con b(x) �= 0. Entoncesexisten dos unicos polinomios q(x), r(x) ∈ R[x] tales que: a(x) = q(x) ·b(x)+r(x) donder(x) = 0 o gr(r(x)) > gr(b(x)).Ejemplo: Consideremos los polinomios a(x) = x3 + 2x + 3 , b(x) = 2x2 − 3x + 1.El estudiante debe estar familiarizado con el proceso de division para encontrar q(x) yr(x) que mostramos a continuacion:

(x3 + 2x + 3) : (2x2 − 3x + 1) = 12x + 3

4x3 − 3

2x2 + 1

2x

32x2 + 3

2x + 3

32x2 − 9

4x + 3

4

154x + 9

4

Entonces:

x3 + 2x + 3 =

(1

2x +

3

4

)· (2x2 − 3x + 1) +

(15

4x +

9

4

)

con gr(r(x)) = gr(

154x + 9

4

)= 1 < gr(2x2 − 3x + 1) = 2.

Al polinomio q(x) lo llamaremos el cuociente y al polinomio r(x) el resto en la divisionde a(x) por b(x).

COROLARIO: (Teorema del resto) El resto de la division de un polinomio p(x) por x−aes p(a).

DEFINICION 6: Sean a(x), b(x) ∈ R[x]. Diremos que el polonomio a(x) es divisiblepor el polinomio b(x) (o bien que b(x) es un factor de a(x)) y escribiremos: b(x) | a(x),ssi existe c(x) ∈ R[x] tal que a(x) = c(x) · b(x).

COROLARIO: (Teorema del factor) Un polinomio p(x) es divisible por x−a ssi p(a) = 0.

DIVISION SINTETICA: Para facilitar la busqueda del cuociente q(x) y el resto r(x)cuando un polinomio sobre R es dividido por x−c, introduciremos el metodo de divisionsintetica que escribiremos a continuacion:Sean

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + an−1x

n−1 + anxn (1)

q(x) = b0 + b1x + · · · + bn−1xn−1

Entonces

p(x) = (x − c)q(x) + r(x) == (r − cb0) + (b0 − cb1)x + (b1 − cb2)x

2 + . . . +. . . + (bn−2 − cbn−1)x

n−1 + bn−1xn. (2)

( Aqui r(x) ≡ r)

Igualando los coeficientes de p(x) en (1) y (2) se tiene que

3


21

an = bn−1

an−1 = bn−2 − cbn−1, . . . ,a1 = b0 − cb1,a0 = r − cb0

Para la computacion el trabajo puede ordenarse como sigue:

an an−1 . . . a1 a0

c cbn−1 . . . cb1 cb0

bn−1 = an bn−2 = an−1 + cbn−1 . . . b0 = a1 + cb1 r = a0 + cb0

Ası solamente listando los coeficientes y realizando simples multiplicaciones y sumas,podemos leer el polinomio cuociente y el resto, de la ultima lınea.

DEFINICION 7: Sea p(x) ∈ R[x] con gr(p(x)) > 0. Diremos que p(x) es un polinomioirreducible en R[x] ssi los unicos factores de p(x) son polinomios constantes o multiplosconstantes de p(x). En caso contrario, diremos que p(x) es reducible sobre R[x].

TEOREMA 2: Todo polinomio p(x) ∈ R(x) con gr(p(x)) > 0 puede escribirse comoproducto de un numero real distinto de cero y polinomios monicos irreducibles sobreR[x]. Ademas, salvo el orden de los factores, esta expresion es unica.

Ejemplo:Sea p(x) = 2x5 − 4x4 + 14x2 − 8x − 12. Entonces p(x) = 2(x2 + x + 1)(x2 + 2)(x − 3)donde 2 ∈ R y x2 + x + 1, x2 + 2 y x− 3 son polinomios monicos irreducibles en R[x].

NOTAS:

1) Sea b(x) ∈ R[x], gr(p(x)) > 0. Si p(c) = 0 para algun c ∈ R, entonces p(x) esreducible en R[x] pues, por el Teor. del Factor, x − c es un factor de p(x).

2) El estudiante puede comprobar facilmente que los polinomios irreducibles enR[x] son polinomios lineales (de primer grado) y los polinomios cuadraticos:d(x) = ax2 + bx + c, con b2 − 4ac < 0.Luego, dado p(x) ∈ R[x], este polinomio puede escribirse (Teor.2) en la forma:p(x) = a(x − r1)(x − r2) . . . (x − rk)d1(x) · d2(x) . . . dm(x)donde a, r1, . . . , rk ∈ R y para i = 1, 2, . . . , m,di(x) = aix

2 + bix + ci con ai �= 0 yb2i − 4aici < 0.

4


22

CEROS DE POLINOMIOS (Raıces de ecuaciones polinomicas).

DEFINICION 8: Sea p(x) ∈ R[x]. Un numero real c se llama un cero de p(x) en R (raızde la ecuacion p(x) = 0 en R) ssi p(c) = 0.

OBSERVACIONES:

1) Por el Teor. del Factor, si c es un cero de p(x), entonces x − c es un factor dep(x); es decir existe q(x) tal que p(x) = q(x) · (x − c).

2) Un cero c ∈ R del polinomio p(x) ∈ R[x] se dice que tiene multiplicidad m si(x−c)m divide a p(x), pero (x−c)m+1 no divide a p(x) en R[x]. Luego, si c tienemultiplicidad m entonces: p(x) = b(x)(x − c)m, donde b(x) ∈ R[x] es tal queb(c) �= 0. Los ceros de multiplicidad uno son llamados, usualmente ceros simples.

3) Al estudiar la ecuacion de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, establecimos larelacion entre sus raıces (ceros del trinomio de segundo grado) y los coeficientesdel trinomio de segundo grado ax2+bx+c. Se r1 y r2 son dichas raıces, entonces:r1 + r2 = −b/a

r1r2 = c/a

El teorema siguiente generaliza este resultado para un polinomio p(x) ∈ R[x]cualquiera.

TEOREMA 3: Si r1, r2, . . . , rn son los ceros del polinomiop(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · · + anxn , entonces

S1 = r1 + r2 + · · · + rn = −an−1/an

S2 = r1r2 + · · · + rjrk + · · · + rn−1rn = an−2/an

S3 = r1r2r3 + · · · + rirjrk + · · · + rn−2rn−1rn = −an−3/an

. . .Sn = r1r2 · · · · · rn = (−1)na0/an

Es decir la suma Sk de todos los productos de k ceros distintos, k = 1, 2, . . . , n, es iguala (−1)kan−k/an.

TEOREMA 4: Sea p(x) ∈ R[x]. y sean a, b ∈ R, cona < b, tales que p(a) · p(b) < 0.Entonces existe c ∈ (a, b) tal que p(c) = 0.

TEOREMA 5: Sea p(x) ∈ R[x]. Entonces si el gr(p(x) es impar ⇒ p(x) tiene, al menos,un cero en R.

TEOREMA 6: Si p/q (fraccion reducida a sus menores terminos) es raız de la ecuacion(cero del polinomio): anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a0 = 0, con coeficientes enteros, entonces

q es divisor de an y p es divisor de a0.

TEOREMA 7: Si la ecuacion anxn +an−1xn−1 + · · ·+a0 = 0, con coeficientes racionales,

tiene una raız p +√

q, conp y q racionales, entonces p −√q tambien es raız de ella.

5


23


TEOREMA 8: (Regla de los signos de Descartes) Sea p(x) ∈ R[x].Entonces, en la ecuacion p(x) = 0 :

i) el numero de raıces positivas es menor o igual que el numero de cambios designo en los coeficientes de p(x), y

ii) el numero de raıces negativas es menor o igual que el numero de cambios designo en p(−x).

OBSERVACIONES:

i) Consideremos la ecuacion:

p (x) = 2x8 + 3x7 − x3 + 6x + 1 = 0

Entre los coeficientes de p(x) hay dos cambios de signo; luego p(x) = 0 tienecuando mas, dos raıces positivas. Por otro lado, en la ecuacion:

p (−x) = 2x8 − 3x7 + x3 − 6x + 1 = 0,

hay cuatro cambios de signo, de donde p(x) = 0 tiene, cuando mas, cuatro raıcesnegativas y, por lo tanto, al menos, dos raıces complejas conjugadas.

ii) La Regla de los Signos permite, ademas, obtener informacion sobre la natu-raleza de las raıces de una ecuacion polinomica y, en muchos casos, por simpleinspeccion. Por ejemplo:

i) la ecuacion: 2x5 + 3x3 + 2x2 + 1 = 0, no puede tener ninguna raız positiva;ii) la ecuacion x9 + 2x7 + x5 − 2x4 + x3 − 4x2 + 6x − 5 = 0 no tiene ninguna

raız negativa, pues p(−x) no tiene cambios de signos en sus coeficientes;iii) la ecuacion x8 + 3x6 + x4 + 7 = 0 no tiene raıces reales, pues ni p(x) ni

p(−x) tienen cambios de signos en sus coeficientes.iv) la ecuacion x7 + 2x5 + 4x3 + x = 0 no tiene raıces reales, excepto x = 0,

pues ni p(x) ni p(−x) tienen cambios de signos en sus coeficientes; etc.

6


24



PROBLEMAS RESUELTOS:

1. Dados los polinomios en x sobre R:p(x) = 2x3 + 5x2 − 3x + 8q(x) = 4x2 + 7x − 3.

Encontrar:a) p(x) + q(x),b) p(x) · q(x)c) p(x) − q(x)

Solucion:

a)p(x) + q(x) = (2 + 0)x3 + (5 + 4)x2 + (−3 + 7)x + 8 − 3

= 2x3 + 9x2 + 4x + 5

b)

8 − 3x + 5x2 + 2x3

−3 + 7x + 4x2

−24 + 9x − 15x2 − 6x3

56x − 21x2 + 35x3 + 14x4

32x2 − 12x3 + 20x4 + 8x5

−24 + 65x − 4x2 + 17x3 + 34x4 + 8x5 = p(x) · q(x)

c)p(x) − q(x) = p(x) + (−q(x)) =

= (2 − 0)x3 + (5 − 4)x2 + (−3 − 7)x + 8 + 3= 2x3 + x2 − 10x + 11

2. Determinar las constantes reales A,B, y C, para que se cumpla:

Ax2 + Bx + C

(x − 1)(x − 2)(x − 3)=

2

x − 1− 9

x − 2+

8

x − 3,

donde x ∈ R − {1, 2, 3}

Solucion: La identidad dada se puede escribir:

Ax2 + Bx + C

(x − 1)(x − 2)(x − 3)=

2(x − 2)(x − 3) − 9(x − 1)(x − 3) + 8(x − 1)(x − 2)

(x − 1)(x − 2)(x − 3)⇔

Ax2 + Bx + C = 2(x − 2)(x − 3) − 9(x − 1)(x − 3) + 8(x − 1)(x − 2) == x2 + 2x + 1

Por comparacion de coeficientes: A = 1, B = 2, C = 1.

7


25



3. Encontrar el cuociente y el resto cuando el polinomio 3x3 − 4x + 2 es divididopor x + 3.

Solucion: Usando division sintetica, tenemos:

3 0 -4 2-3 -9 27 -69

3 -9 23 -67

lo que nos da: 3x2 − 9x + 23 como cuociente y −67 como resto.

NOTA: Recordemos que esto tamben se acostumbra realizar en la forma:

(3x3 − 4x + 2) : (x + 3) = 3x2 − 9x + 23−(3x3) + 9x2

−9x2 − 4x−(−9x2 − 27x)

23x + 2−(23x + 69)

−67

4. ¿Para que valores de a y b el polinomio 3x2 + bx− b2 − a es divisible por x + 2,pero al dividirlo por x − 1 da resto 1?.

Solucion:a) Sea p(x) = 3x2 + bx − b2 − a.

Aplicando el teorema del resto: p(−2) = 0 p(1) = 1

12 − 2b − b2 − a = 03 + b − b2 − a = 1

Restando la primera ecuacion de la segunda:

−9 + 3b = 13b = 10b = 10

3

,

y de la segunda ecuacion:

a = 3 + b − b2 − 1 = 3 +10

3− 100

9− 1 =

52

9

8


26



b) Por division sintetica:

3 b −b2 − a−2 −6 (12 − 2b)

3 (−6 + b) (12 − 2b − b2 − a)1 3 3 + b

3 (3 + b 3 + b − b2 − a)

De aquı12 − 2b − b2 − a = 03 + b − b2 − a = 1

Sistema para a, b identico al obtenido en a).

5. Sea p(x) = x4 + bx3 − 13x2 − 14x + 24

a) Determinar b ∈ R, de modo que −2 sea raız de p(x).b) Determinar las raıces restantes.

Solucion:a) Si −2 es raız de p(x), entonces p(−2) = 0, pero

p(−2) = 16 − 8b ⇒ 16 − 8b = 0 ⇒ b = 2

b) x1 = −2 :1 2 -13 -14 24

-2 -2 0 26 -241 0 -13 12 0

Polinomio residual: p1(x) = x3 − 13x + 12Como la suma de los coeficientes es cero, 1 es raız de p1(x) y, por lo tanto, de p(x)

1 0 -13 121 1 1 -12

1 1 -12 0

Nuevo polinomio residual: p2(x) = x2 + x − 12, que por simple inspeccion sepuede escribir: p2(x) = (x − 3(x + 4)).Es decir, las raıces de p(x) son: −4,−2, 1, 3.

6. Resolver la ecuacion 3x3 − 2x2 − 6x + 4 = 0

Solucion: Los factores de 4 son±1, ±2, ±4; los factores de 3 son ±1, ±3. Porlo tanto, las posibles raıces racionales son ±1, ±2, ±4, ±1/3, ±2/3, ±4/3.

Investigando cada una de ellas (por ejm. por division sintetica) se obtienex1 = 2/3 como unica raız racional y polinomio residual 3x2 − 6. Luego

9


27



x1 = 2/3, x2 =√

2 x3 = −√2 son las raıces de la ecuacion dada.

7. De la ecuacion x4 − x3 − 15x2 + 19x − 4 = 0 se conoce la raız x1 = 2 − √3;

determinar las otras raıces reales.

Solucion: Si x1 = 2 − √3 es raız, x2 = 2 +

√3 tambien debe serlo. Por lo

tanto, el polinomio del primer miembro debe ser divisible por

(x − x1)(x − x2) = x2 − 4x + 1

(x4 − x3 − 15x2 + 19x − 4) : (x2 − 4x + 1) = x2 + 3x − 4−(x4 − 4x3 + x2)

3x3 − 16x2 + 19x−(3x3 − 12x2 + 3x)

−4x2 + 16x − 4−(−4x2 + 16x − 4)

0

x2 + 3x − 4 = 0 tiene raıces x3 = −4, x4 = 1.Luego, −4, 2 −√

3, 1 y 2 +√

3 son las raıces de la ecuacion dada.

8. Demostrar que si p(x) y q(x) son polinomios tales que q(x)es divisible por p(x)y p(x) es divisible por q(x), entonces existe una constante c tal que p(x) = cq(x).

Demostracion: Como q(x) es divisible por p(x), existe un polinomio q1(x)tal que:

q(x) = p(x) q1(x) (1)

Analogamente, existe un polinomio q2(x) tal que

p(x) = q(x) q2(x) (2)

Reemplazando (2) en (1)

q(x) = q(x) q2(x) q1(x)

Luego q(x) [1 − q2 (x)q1 (x)] = 0, de donde

(i) q(x) = 0 o (ii) q2(x) q1(x) = 1

Si q(x) = 0, entonces, por (1) se tiene p(x) = 0, de donde resulta quep(x) = c · q(x) para cualquier c ∈ R.

10


28



Si q2(x) · q1(x) = 1, entonces gr(q2(x)q1(x)) = 0;Es decir: gr q1(x) = gr q2(x) = 0

De aquı nos resulta que q2(x) = c ∈ R, lo que, reemplazado en (2) nos da:p(x) = cq(x)

9. Sean p(x), q(x), r(x) polinomios tales que q(x) es divisible por p(x) y r(x) lo espor q(x). Demostrar que r(x) es divisible por p(x).

Demostracion: Existen polinomios q1(x), q2(x), tales que

q(x) = p(x) q1(x) (1)

r(x) = q(x) q2(x) (2)

Reemplazando (1) en (2):

r(x) = p(x)q1(1)q2(x) = p(x)q3(x),

donde q3(x) = q1(x)q2(x)

Luego, r(x) es divisible por p(x)

10. Si p(x) es un polinomio y a, b ∈ R, obtenga una expresion para el resto que seobtiene al dividir p(x) por (x − a)(x − b)

Solucion: Primero supondremos que a = b.

Tenemos, del algoritmo de la division, que:

p(x) = (x − a) q(x) + r (1)

q(x) = (x − a) q1(x) + r′ (2)

donde q(x), q1(x) son ciertos polinomios y r, r′ ∈ R.

De (1) r = p(a), con lo cual resulta que

q(x) = [ p (x) − p (a) ]/(x − a)] (3)

De (2) r′ = q(a)

Ademas, si reemplazamos (2) en (1) nos queda

11


29


p(x) = (x − a)2 q1(x) + r′ · (x − a) + r

Luego, el resto, en cuestion es

r(x) = r′ · (x − a) + r = q(a)(x − a) + p(a),

siendo q(x) el polinomio definido en (3).

Supongamos ahora que a �= b, entonces

p(x) = (x − a)(x − b)q(x) + r(x) con gr r(x) < gr(x − a)(x − b) .

Por lo tanto: p(x) = (x − a)(x − b)q(x) + cx + d

p(a) = ca + d y p(b) = cb + d

De aquı: c =p(a) − p(b)

a − b, d =

a p(b) − b p(a)

a − b

finalmente r(x) =p(a) − p(b)

a − bx +

a p(b) − b p(a)

a − b

11. Sean p(x) = ax3 + 3bx2 + 3cx + d, q(x) = ax2 + 2bx + c, cona > 0, talesque p(x) es divisible por q(x). Demostrar que p(x) es el cubo de un binomio yq(x) es el cuadrado de un binomio.

Demostracion: Por hipotesis, existe k ∈ R tal que p(x) = q(x) · (x + k).

Reemplazando p(x) y q(x) nos queda

ax3 + 3bx2 + 3cx + d = ax3 + 2bx2 + cx + kax2 + 2kbx + kc.

Esto es: ax3 + 3bx2 + 3cx + d = ax3 + (2b + ka)x2 + (2kb + c)x + kc

Igualando coeficientes

3b = 2b + ka3c = 2kb + cd = kc

De aquı: b = ka, c = kb, d = kc = k3a

Luego p(x) = a(x3 + 3kx2 + 3k2x + k3) = a(x + k)3

= a(x + b/a)3

12


30

q(x) = a(x2 + 2kx + k2) = a(x + k)2 = a(x + b/a)2

12. Sean p(x) = x2 + 1, q(x) = x2 − 2x − 3. Encontrar, a(x), b(x) tales quea(x), p(x) + b(x) q(x) = 1.

Solucion: x2 + 1 = (x2 − 2x − 3) · 1 + 2x + 4x2 − 2x − 3 = (2x + 4) · 1/2 · (x − 4) + 5

Luego: 5 = (x2 − 2x − 3) − 1/2 (2x + 4) (x − 4)= (x2 − 2x − 3) − 1/2 [ (x2 + 1) − (x2 − 2x − 3) ] (x − 4)

= −1/2 (x2 + 1) (x − 4) + (x2 − 2x − 3)

(1 +

x − 4

2

)

Ası: 1 = +1/10 (4 − x) (x2 + 1) 1/10 (x − 2) (x2 − 2x − 3),

con lo cual: a (x) = 1/10 (4 − x), b (x) = 1/10 (x − 2).

13. Demostrar el Teorema 1.Demostracion: Sean

a(x) = a0 + a1x + . . . + anxn

b(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm,con bm �= 0

i) Si a(x) es el polinomio nulo o si gr (a (x)) < m = gr(b (x)),entonces se tiene la representacion:

a(x) = b(x) · 0 + a(x)

ii) Supongamos que n = gr (a (x)) ≥ gr (b (x)) = m.Por induccion en n se tiene que:

a) Para n = 1. Si gr (b (x)) = 1, entonces

a(x) = a0 + a1x = (b0 + b1x)a1

b1

+ a0 − a1 b0

b1= b (x)q (x) + r(x)

Con gr (r (x)) = gr

(a0 − a1 b0

b1

)= 0 < 1

Si gr(b (x)) = 0, entonces:

a(x) = a0 + a1x = (b0 ·(

a1

b0

x +a0

b0

)+ 0

= b (x) · q (x) + 0con r(x) ≡ 0

b) Supongamos que ∀p(x) ∈ Pn−1 se tiene el Algoritmo.

13


31

Sea a(x) = a0 + a1x + . . . + anxn, con an �= 0.

Entonces:

f(x) − an

bm

xn−m b(x) := a1(x) ∈ Pn−1

Por lo tanto a1(x) = b(x) · q1(x) + r(x) donde

r(x) ≡ 0 ∨ gr(r (x)) < m.

Por lo tanto a(x) =an

bm

xn−m b(x) + a1(x)

=

[an

bm

xn−m + q1(x)

]b(x) + r(x)

= q(x) · b(x) + r(x)donde gr(r (x)) < m.

14


32


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Sean p1(x) = 3x5 + 5x3 − 2x2 + 2x − 1

p2(x) = 6x6 − 3x4 − 2x3 + 6x2 − 7

Calcular:a) (3x − 2) p1(x) + 3p2(x)

b) p1(x) · p2(x)

c) (p1(x) − p2(x))(x − 1)

2. Determinar las constantes reales a, b, c, tales que:

7x − 1

(5x + 1)(x + 2)=

a

5x + 1+

b

x + 2+

c

x, x ∈ R − {−2, −1

5, 0}

3. Determinar las constantes reales p, q, r, tales que:

5x2 − 8x − 17

(x − 3) (x + 1) (x − 5)=

p

3 (x − 3)+

q

x + 1+

r

x − 5

4. Determinar las constantes reales K, L, M, N, tales que:

1

x4 − x=

K

x+

L

x − 1+

Mx + N

x2 + x + 1,

con x ∈ R − {0; 1}

5. En cada una de las siguientes ecuaciones compruebe, por division sintetica, que el va-lor indicado para x1 es raız de la ecuacion y determine las otras raıces reales (si existen).

a) 4x3 + 3x2 − 5x − 2 = 0, x1 = 1

b) x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0, x1 = −2

c) 2x3 − 11x2 + 17x − 6 = 0, x1 = 2

d) x3 − 7x2 + 13x − 3 = 0 x1 = 3

e) x3 + 3x2 − 2x − 4 = 0, x1 = −1

15


33


f) x3 − 7x2 + 12x − 10 = 0, x1 = 5

g) x3 + 3x2 − 4 = 0, x1 = −2

6. Sea p(x) = 12x4 + 4x3 − 23x2 + x + 6. Determine los ceros de p(x) :

a) en Z, b) en Q, c) en R

7. Se desea fabricar un envase de forma de paralelepıpedo recto, tal que el ancho mida2[cm] mas que el alto y el largo mida 3[cm] mas que el ancho y que tenga 1,040 [litros]de capacidad. Determine las dimensiones del envase.

8*. Sabiendo que x1 =1

2y x2 = −1

2son raıces de la ecuacion:

4x4 + ax3 + bx2 + 5x − 4 = 0, determinar sus otras raıces.

9*. Sea p(x) = 2x5 + 10x4 − 14x3 − bx2 + ax. Si p(1) = p(−5) = 0, escribir p(x) comoproducto de factores de primer grado.

10*. Comprobar que 3 es raız multiple del polinomio

q(x) = 3x4 − 37x3 + 147x2 − 207x + 54.

11*. Del polinomio p(x) = 2x3 + ax2 + bx −8 se sabe que es divisible por x − 1, en cambio,al dividirlo por x − 2, da resto 4. Determine los valores de a y b.

12*. Compruebe que si a ∈ R, existe λ ∈ R tal que

x4 + a4 = (x2 + λx + a2) (x2 − λx + a2), y determine λ.

13*. Aplicando el teorema del resto, compruebe que si n ∈ N y a ∈ R, entonces nix − a, ni x + a son factores de p1(x) = x2n + a2n. En cambio, x − a es factor dep2 = x2n + 1 − a2n− 1 y x + a es factor de p3 = x2n + 1 + a2n +1. Determine para p2(x)y p3(x) el otro factor.

14**. ¿Para que valores de a y n el polinomio xn−axn− 1 + ax − 1 es divisible por (x − 1)2?.

15**. Si p(x) = anxn + an− 1x

n− 1 + ... + a0 es un polinomio de grado n par, con an > 0 ya0 < 0, compruebe que la ecuacion p(x) = 0 tiene, a lo menos, una raız real positivay una raız real negativa.

16


34

16. Determine las raıces racionales de las siguientes ecuaciones.

a) 5x3 − 3x2 − 55x + 33 = 0

b) 3x3 + 7x2 − 10x + 4 = 0

c) x4 + 2x3 + 11x2 − 2x − 3 = 0

17*. Resuelva la ecuacion (9x2 + 3 + 12x)2 + 1 = −18x2 − 24x − 6.

18**. Obtenga un polinomio p(x) con coeficientes enteros, del menor grado posible, tal quep(√

5 − √3) = 0 y p(1 − √

2) = 0.

19*. Resuelva las siguientes inecuaciones:

a) 8x3 − 12x2 − 2x + 3 ≤ 0

b) 3x3 − 2x2 − 6x + 4 ≥ 0

c)* x4 + 4x3 + 3x2 − 4x − 4 ≤ 0

d)*2x − 3

x3 − 2x2 − x + 2< 0

20. Demuestre el Teorema del Resto y el Teorema del Factor.

21. Demuestre que los unicos polinomios irreducibles sobre R[x] son los polinomios linealesy los polinomios cuadraticos con discriminante negativo.

22. Determine los valores de λ para los cuales las ecuaciones:

λx3 − x2 − x (λ + 1) = 0

λx2 − x − (λ + 1) = 0

tienen una raız comun y encuentre esta raız.

23. Hallar el valor de x para el cual la fraccion

x3 − ax2 + 19 − a − 4

x3 − (a + 1) x2 + 23x − a − 7

17


35


admite simplificacion y obtenga el cuociente.

24. Hallar a y b de modo que p(x) = x3 + ax2 + 11x + 6;q(x) = x3 + bx2 + 14x + 8 tengan un factor comun de la forma x2 + px + q.

25. Sea p(x) = 2x3 + bx2 + cx + d. Determine las constantes b, c, d ∈ R de modo que:

i) el resto al dividir p(x) por x sea igual a 2 + b

ii) el resto al dividir p(x) por x + 1 sea igual a b + d

y iii) x = 1 sea un cero de p(x)

26. Al dividir cierto polinomio p(x) ∈ R [x] por x − 1, el resto es a y al dividirlo por x − 2el resto es b. Encuentre el resto al dividir p(x) por (x − 1) (x − 2).

27. Determine los valores de k ∈ R para los cuales el polinomiop(x) = 2k2x3 + 3kx2 − 2 es divisible por x − 1 y tiene solo ceros reales.

28. Demuestre Teorema 6 y Teorema 7.

29. Si p(x) es un polinomio irreducible sobre R[x] y si p(x) es divisor del producto a(x) · b(x)de dos polinomios sobre R, demuestre que p(x) es divisor de a(x) o p(x) es divisor deb(x).

30. Dadas las raıces r1, r2 y r3 de la ecuacion:

x3 − px + q = 0,

construya una ecuacion cubica cuyas raıces sean

r21, r2

2, r23

18


36



SOLUCIONES

1. a) 27x6 − 6x5 + 6x4 − 22x3 + 28x2 − 7x − 19

b) 18x11 + 21x9 − 18x8 + 15x7 − 10x6 + 7x5 − 13x4 − 21x3 + 8x2 −−14x + 7

c) −6x7 + 9x6 + 4x4 − 15x3 + 10x2 + 4x − 6

2. a =−4

3, b =

5

3, c = 0

3. p = −3

2, q = −1

6, r =

17

3

4. K = −1, L =1

3, M =

2

3, N =

1

3

5. a)−7 ± √

17

8, b) 1 y 3, c) 1/2 y 3

d) 2 ± √3 e) −1 ± √

5 f) no existen

g) −2 y 1

6. a) x = 1

b) x1 = −3

2x2 = −1

2x3 =

2

3x4 = 1

c) x1 = −3

2x2 = −1

2x3 =

2

3x4 = 1

7. Alto = 8[cm] ancho = 10[cm], largo = 13[cm]

8. x3 = 1 x4 = 4

9. p (x) = 2x (x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 5)

10. 3 es raız doble de q (x),donde q (x) = (x − 3)2 (3x2 − 19x + 6)

11. a = −8 b = 4

19


37



12. λ = a√

2

13. x2n + x2n− 1a + x2n− 2a2 + . . . + a2n,

x2n − x2n− 1a + x2n− 2a2 − . . . + a2n

14. n ∈ N − {1, 2}, a =n

n − 2

16. a)3

5b) no tiene, c) no tiene

17. x = −2

3es raız de multiplicidad 4.

18. p (x) = x6 − 2x5 − 15x4 + 32x3 − 12x2 − 8x + 4

19. a) x ∈ (−∞, −1/2] ∪ [1/2, 3/2]

b) x ∈ [−√2, 2/3] ∪ [

√2, +∞)

c) x ∈ [−1, +1]

d) x ∈ (−1, +1) ∪ (3/2, 2)

22. λ �= 0 y x0 estan dados por x0 =λ + 1

λ

23. a = 8;x − 4

x − 5

24. a = 6 b = 7

25. b = −1 c = −2 d = 1

26. r (x) = (b − a)x + 2a − b.

27. k = 1/2

28. x3 + 2px2 + p2x − q2 = 0

20


38


Álgebra 47

Observación 13 Nótese que, teniendo en cuenta el resultado obtenido en

el teorema 1.2.27, al ser

−1 −1 02 1 02 1 1

invertible, el sistema homogéneo

−x− y = 02x + y = 02x + y + z = 0

sólo tiene la solución trivial.

1.3 Estructuras algebraicasEl álgebra moderna está caracterizada por el estudio de ciertas estructurasabstractas que tienen en común una gran variedad de objetos matemáticos,entendiendo por abstracción �el proceso de separar la forma del contenido�.Lo importante del estudio de estas estructuras es que, una vez establecidaslas propiedades que satisfacen, dichas propiedades son satisfechas por todoslos objetos que comparten dicha estructura. En este apartado estudiaremosalgunas de estas estructuras, en particular las de grupo, anillo y cuerpo, comopaso previo al estudio de la principal estructura sobre la que trabajaremoseste curso, la estructura de espacio vectorial, y echaremos una breve miradahacia las algebras multigénero o tipos abstractos de datos. Este tipo de álge-bras serán objeto de estudio con mayor nivel de profundidad en la asignaturade segundo curso �Estructuras de datos y de la información�.

1.3.1 El concepto de operaciónHablando de manera aproximada, se puede decir que el origen del álgebrase encuentra en el arte de sumar, multiplicar y elevar a potencias númerosenteros.

La sustitución de números por letras y de las operaciones aritméticas porel concepto más general de �operación� permite operar con reglas análogasa las vistas para los números enteros en el contexto de objetos matemáticosmás generales, como por ejemplo las matrices.

Bajo la envoltura abstracta de la mayoría de las teorías axiomáticas del ál-gebra (grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, módulos, ...) se ocultanproblemas concretos cuya resolución dió lugar a dichas de�niciones abstrac-tas, y algunas generalizaciones de gran aplicación. Entre estas aplicaciones seencuentran dos de los pilares básicos de la ingeniería de software: las técnicas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICASGRUPOS, ANILLOS

jcdelacruz------------------------------------------------------------------------------------unsch

48 Álgebra

de especi�cación formal y de veri�cación de programas.

De�nición 1.3.1 Siendo A un conjunto no vacío, llamaremos operación oley de composición interna sobre A a cualquier función

∗ : A× A −→ A(x, y) ; ∗(x, y)

.

La imagen ∗(a, b) representa el �resultado de operar a con b” en ese orden.Nótese, pues, que lo que es fundamental en la de�nición anterior es que a cadapar de objetos de A se le asigna un unico elemento de A : dicho elemento esel resultado que se obtiene al operar dichos objetos.

Observación 14 Para denotar operaciones normalmente se emplean símbo-los no alfabéticos del estilo de +, ·, ∗,±,⊕,⊗,¯,2,÷,etc..., y se utiliza conellos notación in�ja, es decir:

notacion funcional notacion infija+(a, b) a + b·(a, b) a · b∗(a, b) a ∗ b

Así, en lugar de escribir, por ejemplo, +(a, +(a, b)) escribiremos a+(a+b).

Es importante insistir de nuevo en que para poder realizar el productode matrices A ·B, el número de columnas de A debe coincidir con el númerode �las de B. Por consiguiente, para poder realizar los dos productos A · By B · A, donde A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mq×p(K), el número de columnas deA debe coincidir con el de �las de B y recíprocamente, esto es, para poderrealizar el producto A · B, n = q, y para poder realizar el producto B · A,p = m, es decir, A ∈ Mm×n(K) y B ∈ Mn×m(K). Si queremos además queel producto sea una operación en el sentido de la de�nición anterior, sólotendrá sentido hablar del producto de matrices como operación cuandoconsideramos matrices en Mn×n(K).

De�nición 1.3.2 Siendo ∗ : A× A → A una operación, diremos que:

• ∗ es asociativa si ∀x, y, z ∈ A x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z


Álgebra 49

• ∗ es conmutativa si ∀x, y ∈ A x ∗ y = y ∗ x

• e ∈ A es un elemento neutro de la operación ∗ si

∀x ∈ A x ∗ e = x ∧ e ∗ x = x

• a ∈ A es un elemento idempotente de la operación ∗ si a ∗ a = a

Es evidente que si e, e′ ∈ A son elementos neutros de A para la operación∗, entonces e = e′ (es decir, si una operación tiene elemento neutro,éste es único), pues: e ∗ e′ = e, por ser e′ elemento neutro y e ∗ e′ = e′ porser e un elemento neutro, de donde e = e′.

Por otra parte también es evidente que si e es el elemento neutro de unaoperación ∗, e es idempotente, puesto que e∗e = e por ser e elemento neutrode ∗.

De�nición 1.3.3 Si ∗ : A × A → A es una operación con elemento neutroe, diremos que a′ es un elemento simétrico de a si

a ∗ a′ = e ∧ a′ ∗ a = e

Proposición 1.3.4 Siendo ∗ : A×A → A una operación asociativa y conelemento neutro e, si a, a′, a′′ ∈ A son tales que a′ y a′′ son simétricos de aentonces a′ = a′′.

Demostración Si a′ y a′′ son elementos simétricos de a, entonces se veri�caque a′ = e ∗ a′ = (a′′ ∗ a) ∗ a′ = a′′ ∗ (a ∗ a′) = a′′ ∗ e = a′′ 2

Ejemplo 1.3.5 Si X es un conjunto, y P (X) es el conjunto de las partesde X, es decir, el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de X,las operaciones

∪ : P (X)× P (X) −→ P (X)(A,B) ; A ∪B

y∩ : P (X)× P (X) −→ P (X)

(A,B) ; A ∩B


50 Álgebra

satisfacen las propiedades asociativa y conmutativa. El conjunto vacìo ∅es el elemento neutro de la operación ∪ , y X es el elemento neutro de laoperación ∩ . Obsérvese que para ninguna de estas dos operaciones existe elelemento simétrico de un elemento dado.

1.3.2 GruposDe�nición 1.3.6 Sea G 6= ∅ y ∗ : G × G −→ G una operación. Diremosque G tiene estructura de grupo respecto de ∗, o también que el par (G, ∗) esun grupo, si se veri�ca que:

1. ∗ es asociativa

2. ∃e ∈ G que es elemento neutro para ∗3. Todo elemento a ∈ G tiene simétrico respecto de la operación ∗.Si además ∗ satisface la propiedad conmutativa, entonces se dice que

(G, ∗) es un grupo abeliano.De G se dice que es el conjunto subyacente del grupo (G, ∗).

Ejemplo 1.3.7 Si consideramos la suma y producto habituales sobre cadauno de estos conjuntos, los siguientes pares son grupos abelianos:(R, +), (R−{0}, ·), (C, +), (C−{0}, ·), (R+, ·), (Z, +), (Q−{0}, ·) y (Q, +) donde R+ ={x ∈ R |x > 0}, Z es el conjunto de los números enteros y Q es el conjuntode los números racionales.

Ejemplo 1.3.8 Otro ejemplo de interés especial para nosotros es el grupo(Z2, +), donde Z2 = {0, 1} y la operación + se de�ne mediante la tabla:

+ 0 10 0 11 1 0

es decir, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0. Es obvio que el elementoneutro es el 0, y que el opuesto de 1 es el propio 1, y que el grupo es abeliano,pues 1 + 0 = 1 = 0 + 1.

Ejemplo 1.3.9 El conjunto de matrices invertibles de orden �n� con coe�-cientes en K tiene estructura de grupo (no abeliano en general) respecto delproducto usual de matrices. A dicho grupo se le denomina grupo lineal deorden �n� con coe�cientes en K.


Álgebra 51

Ejemplo 1.3.10 Los conjuntos (R, ·),(C, ·),(Q, ·), (Z− {0}, ·),(N, +), y(Mn(K)− {0}, ·) no son grupos.

Propiedades de los grupos.Si (G, ∗) es un grupo se veri�ca que:

1. Se puede simpli�car a derecha e izquierda, es decir:∀a, x, y ∈ G (x ∗ a = y ∗ a) ⇒ x = y

∀a, x, y ∈ G (a ∗ x = a ∗ y) ⇒ x = y

2. Las ecuaciones de la forma x ∗ a = b y a ∗ x = b tienen solución única.Concretamente:∀a, b ∈ G ∃!x ∈ G..a ∗ x = b

∀a, b ∈ G ∃!x ∈ G..x ∗ a = b

3. El único elemento idempotente de (G, ∗) es el elemento neutro e :

∀a ∈ G(a ∗ a = a ⇔ a = e)

4. ∀a, b ∈ G(a ∗ b = e ⇒ b = a

′) donde a′ es el elemento simétrico de a

5. ∀a ∈ G(a′)′

= a

6. ∀a, b ∈ G (a ∗ b)′= b′ ∗ a′

Demostración

1. Siendo a, x, y ∈ G, si x∗a = y∗a, necesariamente (x∗a)∗a′ = (y∗a)∗a′,esdecir, x∗(a∗a′) = y∗(a∗a′) , o lo que es lo mismo, x∗e = y∗e, con lo queconcluimos que x = y. La otra propiedad se demuestra análogamente.

2. Siendo a, b, x ∈ G, a∗x = b ⇔ a′ ∗ (a ∗ x) = a′ ∗ b, es decir, (a′ ∗a)∗x =a′ ∗ b , y esto es equivalente a que e ∗ x = a′ ∗ b, o lo que es lo mismo,a que x = a′ ∗ b.La otra propiedad se demuestra análogamente.


52 Álgebra

3. Esta equivalencia la probaremos demostrando que la dos implicacionesson V, es decir, probando que para cualquier elemento a ∈ G,

((a ∗ a = a ⇒ a = e) ∧ (a = e ⇒ a ∗ a = a)) . Sea a ∈ G tal que a∗a =a. En ese caso a′ ∗ (a ∗ a) = a′ ∗ a, es decir, (a′ ∗ a) ∗ a = e con lo quee ∗ a = e, es decir, a = e. La implicación recíproca es evidente, pues sia = e, entonces a ∗ a = e ∗ e = e.

4. Siendo a, b ∈ G tales que a ∗ b = e, necesariamente a′ ∗ (a ∗ b) = a′ ∗ e,es decir, (a′ ∗ a) ∗ b = a′ con lo que e ∗ b = a′, o lo que es lo mismo,b = a′.

5. Siendo a ∈ G, de a ∗ a′ = e ∧ a′ ∗ a = e se sigue que(a′)′

= a.

6. Siendo a, b ∈ G, (a ∗ b)∗(b′ ∗ a′) = ((a ∗ b) ∗ b′)∗a′ = (a ∗ (b ∗ b′))∗a′ =a ∗ a′ = e, por lo que, teniendo en cuenta la propiedad 4 que acabamosde ver, b′ ∗ a′ = (a ∗ b)

′. 2

Observación 15 Nótese que, como caso particular de los resultados ante-riores, para el caso en que las operaciones + y · sean las operaciones de ungrupo, se tendrá que, siendo x e y dos elementos genéricos:

(x + x = x) ⇔ x = 0(x · y = 1) ⇔ y = x−1

(x−1)−1

= x(x · y)−1 = y−1 · x−1

es decir,

((∗ = +) ⇒ e = 0 ∧ x′ = (−x))

((∗ = ·) ⇒ e = 1 ∧ x′ = (x−1)).

1.3.3 Anillos y cuerposDe�nición 1.3.11 Se dice que un conjunto A 6= ∅ tiene estructura de anillorespecto de las operaciones + y ·, o también que la 3-tupla (A, +, ·) es unanillo si se veri�ca que:


Álgebra 53

1. (A, +) es un grupo abeliano

2. “ · ” satisface la propiedad asociativa

3. “ · ” es distributiva respecto de “ + ”, es decir:∀x, y, z ∈ A ((x · (y + z) = x · y + x · z) ∧ ((y + z) · x = y · x + z · x))

Si además “ · ” satisface la propiedad conmutativa, se dice que el anillo(A, +, ·). es un anillo conmutativo. Finalmente, si “ · ” tiene elementoneutro 1 ∈ A, y 1 6= 0, se dice que el anillo (A, +, ·) es un anillounitario.

Ejemplo 1.3.12 (Z, +, ·) es un anillo conmutativo y unitario, donde + y ·son la suma y producto habituales de los números enteros.

Ejemplo 1.3.13 Si denotamos por C[x] al conjunto de polinomios con coe�-cientes en C, es decir, al conjunto formado por todas las funciones p : C→ Ctales que ∃n ∈ N∪{0} y ∃(a0, ..., an) ∈ Cn+1 de manera que ∀x ∈ C se veri�caque

p(x) = anxn + ... + a1x + a0

con la suma + y el producto · de polinomios habituales, resulta que (C[x], +, ·)es un anillo conmutativo y unitario. Con vistas a recordar las operaciones,si por ejemplo consideramos los polinomios p, q ∈ C[x] ,tales que ∀x ∈ Cp(x) = 2x2 + x− 5 y q(x) = 3x− 4, tendremos que

(p + q)(x) = p(x) + q(x) =(2x2 + x− 5

)+ (3x− 4) = 2x2 + 4x− 9

y

(p · q)(x) = p(x) · q(x) =(2x2 + x− 5

) · (3x− 4) = 6x3 − 5x2 − 19x + 20.

Ejemplo 1.3.14 Según hemos visto, (Mn(K), +, ·) es un anillo no conmu-tativo y con elemento unidad In, siendo + y · la suma y producto de matriceshabituales.

De�nición 1.3.15 Siendo (A, +, ·) un anillo, se dice que a ∈ A−{0} es undivisor de cero si ∃b ∈ A− {0} tal que a · b = 0 ∨ b · a = 0.


54 Álgebra

Ejemplo 1.3.16 Es fácil comprobar que (Mn(K), +, ·) tiene divisores de ce-ro. Así por ejemplo

(1 11 1

)·(

1 1−1 −1

)=

(0 00 0

)

De�nición 1.3.17 Siendo (A, +, ·) un anillo unitario, se dice que a ∈ A esinvertible (o inversible) si existe un elemento b ∈ A tal que (a · b = 1∧ b · a =1). En tal caso, es obvio que b es el elemento inverso de a, y por tantoescribiremos b = a−1.

Propiedades de los anillosSi (A, +, ·) es un anillo se veri�ca que:

1. ∀a ∈ A (a · 0 = 0 ∧ 0 · a = 0)

2. ∀a, b ∈ A (a · (−b) = −(a · b) ∧ (−a) · b = −(a · b))Si además (A, +, ·) es unitario, también se veri�ca que:

3. Si a,b ∈ A son inversibles, entonces a·b es inversible y (a · b)−1 = b−1·a−1

4. Si a ∈ A es inversible, entonces (−a) es inversible y (−a)−1 = −(a−1)

5. Si a ∈ A es un divisor de cero, entonces a no es inversible.

Demostración

1. Demostramos la primera de las dos propiedades: dado a ∈ A, a · 0 =a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, y puesto que al ser (A, +) un grupo, el únicoelemento idempotente es el 0, concluímos que a · 0 = 0

2. Demostramos la primera de las dos propiedades: siendo a, b ∈ A,

0 = a · 0 = a · (b + (−b)) = a · b + a · (−b)

y en consecuencia a·(−b) = −(a ·b) por la propiedad 4 de los grupos,aplicada a la operaciòn de suma.


Álgebra 55

3.(a · b) · (b−1 · a−1) = ((a · b) · b−1) · a−1 =

= a · (b · b−1) · a−1 = a · a−1 = 1 y(b−1 · a−1) · (a · b) = ((b−1 · a−1) · a) · b =

= b−1 · (a−1 · a) · b = b−1 · b = 1

4. Por la propiedad 2,

(−a) · (−(a−1)) = −((−a) · (a−1)) = −(−(a · a−1)) = −(−1) = 1

−(a−1) · (−a) = −((−(a−1)) · a) = −(−(a−1 · a)) = −(−1) = 1

5. Razonamos por reducción al absurdo: si a ∈ A es un divisor de ce-ro, existirá un elemento b 6= 0 tal que a · b = 0 o tal que b · a = 0.Pero puesto que a tiene inverso, si a · b = 0, entonces por una partea−1 · (a · b) = a−1 · 0 = 0, pero también a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = b, esdecir, b = 0 (contradicción). Si b · a = 0 se razona análogamente. 2

Observación 16 Las matrices invertibles son los elementos invertibles delanillo Mn(K). Así pues, todas las propiedades vistas para los elementos in-vertibles de un anillo genérico, son válidas para el anillo considerado(Mn(K), +, ·). En particular, si A,B ∈ Mn(K) son invertibles, entonces A·Bes invertible y (A ·B)−1 = B−1 ·A−1, y si A ∈ Mn(K) es invertible, entonces(−A) ∈ Mn(K) es invertible y (−A)−1 = −(A−1).

Ejercicio 1.3.1 Probar que si (A, +, ·) es un anillo unitario, y a, b, c ∈ Ason tales que a ·b = 1 y c ·a = 1, entonces necesariamente b = c. (Indicación:desarróllese la igualdad b = 1 · b = ...)

Proposición 1.3.18 Si (A, +, ·) es un anillo sin divisores de cero se veri�caque

∀a, b, c ∈ A ((a · b = a · c ∧ a 6= 0) ⇒ (b = c))

y

∀a, b, c ∈ A ((b · a = c · a ∧ a 6= 0) ⇒ (b = c))


56 Álgebra

Demostración Si a, b, c ∈ A son tales que a ·b = a ·c con a 6= 0, tendremosque a · b + (−(a · c)) = 0, o lo que es lo mismo, a · b + (a · (−c)) = 0, con loque, por la propiedad distributiva, a · (b + (−c)) = 0, y puesto que a 6= 0,necesariamente (b + (−c)) = 0, es decir, b = c. 2

De�nición 1.3.19 Se dice que una terna (K, +, ·) es un cuerpo, o tambiénque K tiene estructura de cuerpo respecto de las operaciones + y · si (K, +, ·)es un anillo conmutativo y unitario y además todos los elementos de K−{0}son inversibles.

Ejemplo 1.3.20 (R, +, ·), (C, +, ·) y (Q, +, ·) son cuerpos, siendo en cadacaso las operaciones + y · la suma y el producto habituales considerados sobrecada uno de esos conjuntos.

Ejemplo 1.3.21 Otro ejemplo de interés especial para nosotros es el cuerpo(Z2, +, ·), donde Z2 = {0, 1}, y las operaciones + y · se de�nen mediante lassiguientes tablas.

+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

Es decir, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0, y 0 · 1 = 1 · 0 = 0,1 · 1 = 1.

Proposición 1.3.22 Si (K, +, ·) es un cuerpo, y a, b ∈ K son tales quea · b = 0, necesariamente a = 0 ∨ b = 0 (un cuerpo no tiene divisores de locero).

Demostración Si a · b = 0 y a 6= 0, entonces, puesto que a ∈ K − {0}, atiene inverso por lo que, por una parte a−1 · (a · b) = a−1 · 0 = 0, y por otraa−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = 1 · b = b, con lo que b = 0 2

Observación 17 Como consecuencia de la proposición anterior, si (K, +, ·)es un cuerpo, entonces (K, +, ·) no tiene divisores de cero. El recíproco ob-viamente no es cierto. (Z, +, ·) es un ejemplo de anillo sin divisores de ceroque no es cuerpo.


Álgebra 57

1.3.4 Introducción a los Tipos Abstractos de DatosLas estructuras de datos y los tipos de datos son conceptos fundamentalesen el mundo de la programación y de la especi�cación de sistemas de soft-ware. El concepto de estructura de datos se usa comúnmente para referirsea un conjunto de datos organizados de un cierto modo, como por ejemplo,colocados en una secuencia o en una tabla.

Junto con el conjunto de datos hay que considerar de�nidas una serie deoperaciones necesarias para obtener la información y actualizarla. Pero estasoperaciones no están necesariamente de�nidas sobre objetos de la mismanaturaleza; por ejemplo, entendiendo por pila un dispositivo que almacenadatos, caracterizado por el hecho de que el primer dato que se puede extraeres el último que se ha almacenado, resulta que la operación �almacenar unelemento en una pila� está de�nida del siguiente modo

push : Pila×Dato → Pilas

en el sentido de que el par formado por una pila y un dato (P, d) nos da comoresultado de aplicarle la operación push una nueva pila obtenida añadiendoel dato d a la pila p.

De forma análoga, la operación �extraer el último elemento almacenadode una pila� (operación que habitualmente se denota por pop) es la función

pop : Pila → Pila

tal que pop(P ) es la pila obtenida a partir de P eliminando el último datoalmacenado en P.

En esta sección el concepto de operación no será, pues, equivalente alde �ley de composición interna�, pues en principio nos podemos referir aoperaciones entre objetos de distinta naturaleza. Así pues, las operacionesa las que nos referimos en este apartado serán operaciones �generalizadas,�entendidas como funciones de un producto cartesiano de conjuntos a otroconjunto.

En ciertas ocasiones, por ejemplo, para diseñar un algoritmo o un sistemade software, resulta más cómodo e interesante trabajar con una representa-ción abstracta de los datos que sea independiente de la forma en la que están,o van a ser, implementados en el ordenador.

Una forma de representar las propiedades abstractas de un conjunto dedatos consiste en utilizar ecuaciones a modo de axiomas, de manera que dos


58 Álgebra

tipos de datos diferentes son considerados como iguales (o si se pre�ere, conla misma estructura) si ambos satisfacen las mismas ecuaciones. Desde esepunto de vista abstracto, �ambos tipos de datos se diferenciarían únicamenteen el nombre de los datos básicos y de las operaciones�. La búsqueda de unarepresentación abstracta común para tipos de datos �similares� nos lleva a lade�nición del concepto de tipo abstracto de datos :

De�nición 1.3.23 Un tipo abstracto de datos (TAD) es una cuádrupla

(Tip, Cons, Op, Ec)

en la que Tip es el conjunto de tipos de datos del TAD, Cons es el conjuntode constantes o datos básicos del TAD, Op es el conjunto de operaciones(generalizadas) y Ec el conjunto de las ecuaciones.

A los tipos abstractos de datos también se les conoce en la literatura comoálgebras multigénero o álgebras multitipo.

Observación 18 La mayoría de los lenguajes de programación tratan lasvariables y las constantes de un programa como instancias de un tipo dedato.

Ejemplo 1.3.24 Como ya hemos dicho, una pila, en el ámbito de la infor-mática o las ciencias de la computación es un dispositivo en el que los datosson almacenados en secuencia, de manera que en cada paso únicamente esposible acceder al último dato almacenado (top) (este modo de acceso a losdatos que caracteriza al dispositivo de almacenamiento �pila� es conocido co-mo �lifo�, abreviatura de �last in-�rst out�). Este tipo de dispositivo apareceen muchas ocasiones, por ejemplo, en el almacenamiento de información envariables que aparecen en programas con bucles anidados, en la evaluación deexpresiones e incluso en la ejecución de procedimientos recursivos. Las ope-raciones consideradas sobre una pila son la de almacenamiento (push), quecoloca un nuevo dato encima de la �pila�, la extracción del último dato alma-cenado (pop) y la �visualización� del elemento situado en la parte superior dela pila (top). La constante �newstack� representa la pila vacía y que es deltipo PILA, y la constante �error� del tipo ERROR, nos permitirá representarla situación (mensaje de error) que se produce cuando miramos cual es elelemento situado en la parte superior de la pila vacía. Por consiguiente, el


Álgebra 59

modelo �PILA� queda especi�cado como tipo abstracto de datos del siguientemodo:PILA =

1. Tipos : PILA, DATO, ERROR

2. Constantes :

{error ∈ ERROR,newstack ∈ PILA

3. Operaciones :

push : PILA×DATO → PILApop : PILA → PILAtop : PILA → DATO ∪ ERROR

4. Ecuaciones:

∀p ∈ PILA, ∀a ∈ DATOpop(push(p, a)) = ppop(newstack) = newstacktop(push(p, a)) = atop(newstack) = error

Así por ejemplo, la pilaa3

a3

a1

se representaría en este modelo por:push(push(push(newstack, a1), a3), a3).

Ejemplo 1.3.25 Teniendo en cuenta que un semigrupo es un conjunto do-tado de una ley de composición interna asociativa, y que un monoide es unsemigrupo con elemento neutro, sus especi�caciones como tipos abstractos dedatos serían las siguientes:

SEMIGRUPO =1. Tipos: ELEM2. Constantes:3. Operaciones: ∗ : ELEM × ELEM → ELEM

4. Ecuaciones:{ ∀x, y, z ∈ ELEM

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

MONOIDE = SEMIGRUPO +Constantes: e ∈ ELEM

Ecuaciones:

∀x ∈ ELEMx ∗ e = xe ∗ x = x


Capítulo 2

Espacios vectoriales

En este capítulo vamos a estudiar el concepto de espacio vectorial. Esta es laestructura algebraica sobre la que se desarrolla la parte de las matemáticasconocida como Algebra Lineal.

Veamos un primer ejemplo en el que aparece la estructura de espaciovectorial.

Al estudiar el método de Gauss-Jordan para la resolución de un siste-ma de ecuaciones lineales, establecimos ciertas operaciones sobre las �las dela matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones a las que llamamostransformaciones elementales. Para de�nirlas tuvimos que considerar las si-guientes operaciones sobre las �las de dicha matriz:

1. Sumar dos �las Fi = Fi + Fj

2. Multiplicar una �la por un número: Fi = λFi,

de manera que si (ai1 · · · ain bi) y (ak1 · · · akn bk) son dos �las de dichamatriz, su suma era

(ai1 · · · ain bi) + (ak1 · · · akn bk) = (ai1 + ak1 · · · ain + akn bi + bk)

y el producto de una �la (ai1 · · · ain bi) por un número complejo λ eraλ(ai1 · · · ain bi) = (λai1 · · ·λain λbi).

En general, si (a1 · · · an) y (b1 · · · bn) son matrices �la y λ es un númerocomplejo,

(a1 · · · an) + (b1 · · · bn) = (a1 + b1 · · · an + bn)

y

λ(a1 · · · an) = (λa1 · · ·λan).

71

72 Álgebra

Siendo a,b y c matrices �la, y λ, µ ∈ C, no es difícil veri�car que se satisfacenlas siguientes propiedades:

1. a + b = b + a.2. (a + b) + c = a + (b + c).3. a + (0) = (0) + a = (0).4. a + (−a) = (0) y (−a) + a = (0), siendo además −a = (−1)a.5. (λµ)a =λ(µa).6. λ(a + b) =λa+λb.7. (λ + µ)a =λa + µa.8. 1 · a = a.Estas propiedades, como ahora veremos, servirán para establecer los axio-

mas de la de�nición de espacio vectorial.La noción de espacio vectorial también está estrechamente relacionada

con la siguiente idea: si alguien quiere comprar 3 Kg. de peras y 2 Kg. demanzanas, no le pide al tendero 5 Kg. de peras y manzanas, ya que en esecaso podrían darle, por ejemplo, 1 Kg. de peras y 4 Kg. de manzanas. Porotra parte, si esa compra representa el postre de la semana de una familia,y la persona que va a realizarla recibe el encargo de su cuñada de comprar 4Kg. de peras y 2 Kg. de manzanas, y de su vecina de comprar la mitad delo que él mismo vaya a comprar, nuestro amigo deberá comprar(

3 Kg. de peras

2 Kg. de manzanas

)+

(4 Kg. de peras

2 Kg. de manzanas

)+ 1

2

(3 Kg. de peras

2 Kg. de manzanas

)=

(8.5 Kg. de peras

5 Kg. de manzanas

).

Estas listas (o matrices columna) de números que sabemos sumar y �multi-plicar por números� constituyen un primer ejemplo de lo que denominaremos�vectores�.

El concepto de vector también se emplea en Física para representar mag-nitudes que no quedan completamente determinadas por un número, y estradicional asociar una ��echa� a dichas magnitudes y representarlas por un�segmento orientado�. Sin embargo, el asociar el concepto de vector a unobjeto �geométrico� tiene una limitación importante, pues si trabajamos conlistas de más de tres números, no contamos con su�cientes dimensiones en elespacio físico para situar tal �echa.

La descripción axiomática de vector sobre la que vamos a trabajar, esabstracta por lo que no requiere el uso de objetos geométricos. Además,

Álgebra 73

dicha abstracción conlleva otra ventaja adicional: no requiere la introducciónde nociones como �sistema de coordenadas� o �sistema de direcciones�.

Esta visión axiomática permite englobar como ejemplos de vectores aobjetos matemáticos aparentemente tan distintos como los polinomios, lasmatrices, las funciones reales de variable real, las sucesiones de númerosreales y un largo etcétera.

2.1 Vectores en el plano y en el espacioSi queremos representar objetos de la Física elemental como fuerza, despla-zamiento y velocidad, tenemos que utilizar vectores geométricos en el planoR2 o en el espacio tridimensional R3. En efecto los vectores geométricosnos permiten especi�car magnitud, dirección y sentido para estas cantidadesfísicas. Aquí sólo recordaremos las de�niciones básicas.

Dados tres segmentos orientados AB, CD y EF, en el espacio bidimensio-nal o tridimensional como en la �gura 2.1 a), para cada uno de ellos estándeterminados un punto de aplicación (respectivamente A, C y E), un ex-tremo o a�jo (respectivamente B, D y F), una magnitud representada porla longitud del segmento, y una dirección, que es la dirección de la rectaque lo contiene. Si ahora �jamos un punto O en nuestro espacio y dibuja-mos nuestras tres ��echas� a partir del punto O (es decir, si A=C=E=O),obtenemos la �gura 2.1 b), donde CD y EF coinciden y se pueden considerarequivalentes. Esta sencilla consideración está en la base de la de�nición devector geométrico.

Sobre el conjunto de todos los segmentos orientados del plano (o delespacio tridimensional) de�nimos la siguiente relación de equivalencia:

AB ∼ CD ⇔ AB y CD tienen igual magnitud, dirección y sentido.

Ejercicio 2.1.1 Veri�car que � ∼� es una relación de equivalencia.

De�nición 2.1.1 Si dos segmentos orientados pertenecen a la misma cla-se de equivalencia de las obtenidas al considerar la relación de equivalenciaanterior, se dice que son equivalentes.

Ahora el conjunto de todos los segmentos orientados se puede pensarcomo la unión disjunta de estas clases de equivalencia:

74 Álgebra

A

B

C

D E

F©©©©©©©©*

@@

@@R

@@

@@R

a)

O

B

D=F

©©©©©©©©*

@@

@@R

b)

Figura 2.1: Vectores geométricos

De�nición 2.1.2 Un vector geométrico v en R2 o en R3 es una clase deequivalencia de segmentos orientados respecto de la relación de equivalenciaanterior.

Como cada clase está formada por todos los segmentos orientados (en R2

o en R3) que tienen igual magnitud, dirección y sentido (es decir, por todoslos segmentos orientados que coinciden una vez que sean aplicados en unpunto pre�jado O), estos valores comunes de magnitud, dirección y sentidose llaman magnitud, dirección y sentido del vector v.

Se sigue de esta de�nición que dos vectores v1 y v2 son iguales si y solo sitienen igual magnitud, dirección y sentido.

Podemos, por tanto, representar un vector geométrico por cualquiera de

Álgebra 75

v

w

v+w

¢¢¢¢¢¢¢¢

½½

½½

½½

½½

½½

½½

½½½>

³³³³³³³³³³³1

A

B

C

a)

v

w

v-w

¢¢¢¢¢¢¢¢

³³³³³³³³³³³1HHHHHHHHY

b)

Figura 2.2: Operaciones con vectores geométricos

los segmentos orientados del conjunto que lo de�ne. En la �gura 2.1 a), CDy EF representan el mismo vector geométrico v porque di�eren solo en suspuntos de aplicación.

Nota: Abusando de la notación, se escribirá AB = v para denotar queel segmento orientado AB es un representante del vector v.

De�nición 2.1.3 Sean v y w dos vectores geométricos, la suma v+w esel vector de�nido por la regla del paralelogramo en la �gura 2.2 a). Si AB yBC representan los vectores v y w, respectivamente, el segmento orientadoAC representa el vector v + w.

Observación 19 Esta de�nición de suma de vectores no depende de los seg-mentos orientados elegidos para representar los vectores v y w.

76 Álgebra

Ejercicio 2.1.2 Veri�car, realizando el correspondiente dibujo, que para to-do par de vectores geométricos v y w, v + w = w + v.

El vector de magnitud cero es el vector cero y se denota por 0; paratodo vector v, v + 0 = 0 + v.

El opuesto de un vector v es el vector de igual dirección, magnitud quev, pero de sentido opuesto.

La sustracción de dos vectores está de�nida por v−w = v + (−w) y sepuede representar geométricamente como en �gura 2.2 b).

El producto de un vector por un escalar k ∈ R es el vector w = kvque tiene misma dirección que v, magnitud igual a k veces la magnitud de vy mismo sentido que v si k > 0 o opuesto si k < 0. Si k = 0, kv = 0.

Si ahora introducimos un sistema de coordenadas ortogonales en elplano (o en el espacio tridimensional), es decir si seleccionamos un puntoO, dos rectas orientadas mutuamente perpendiculares (o tres si se trata delespacio tridimensional) y una magnitud unitaria, cada punto P admitirá unarepresentación analítica en términos de coordenadas o componentes (x,y)en el caso del plano o (x,y,z) en el caso del espacio tridimensional. Comoel segmento orientado OP representará un vector v, diremos también queel vector v tiene componentes (x,y) (o (x,y,z)). Por tanto, dos segmentosorientados OP y OQ son equivalentes (es decir, representan el mismo vectorgeométrico v) si y sólo si los puntos P y Q tienen iguales coordenadas.

Las operaciones de�nidas sobre vectores geométricos se pueden ahora re-escribir en términos de coordenadas: sean v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3)dos vectores en R3 y k ∈ R, entonces

v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

kv = (kv1, kv2, kv3)

v − w = (v1 − w1, v2 − w2, v3 − w3)

En le caso de vectores v y w en R2 estas operaciones están de�nidas de formaanáloga.

Ejercicio 2.1.3 En R3, sean k = 2, v1 = (−1, 2, 0), v2 = (4,−3, 2) y v3 =(−1,−1,−1). Hallar v1 − k(v1 + v2) + v3.

Álgebra 77

Nota: Todos los sistemas de coordenadas que consideraremos a lo largodel capítulo serán ortogonales.

Si P = (x1, x2, x3) y Q = (y1, y2, y3) son dos puntos en R3, el segmentoorientado PQ representa un vector v en R3 de coordenadas:

PQ = v = (y1 − x1, y2 − x2, y3 − x3) = Q− P.

De forma similar, dos puntos P = (x1, x2) y Q = (y1, y2) en R2 determinanun vector v = (y1 − x1, y2 − x2), que se puede representar por el segmentoorientado PQ.

Ejercicio 2.1.4 Sean P = (3,−2, 4) y Q = (−1, 4,−5), determinar las coor-denadas del vector v = PQ.

A veces la elección de un sistema de coordenadas adecuado puede sim-pli�car la solución de un problema. Las ecuaciones de traslación de losejes nos permiten de pasar de un sistema S a otro sistema S ′, cuyos ejes sonparalelos a los ejes de S.

En R2, sea O′, x′, y′ el origen y los ejes del nuevo sistema de coordenadasS ′. Un punto P en el plano tiene coordenadas (x, y) respecto del sistemaS y coordenadas (x′, y′) respecto del sistema S ′. Si las coordenadas de O′

respecto de S son O′ = (a, b), se veri�ca que

(x, y) = OP = OO′ + O′P = (a, b) + (x′, y′),

y, por tanto,x′ = x− a, y′ = y − b.

En el espacio tridimensional, si O′ = (a, b, c) respecto de S, las ecuaciones detraslación son

x′ = x− a, y′ = y − b, z′ = z − c.

Ejercicio 2.1.5 En R3, sean S y S ′ dos sistemas de coordenadas, dondeO′ = (−1, 2, 3) respecto de S. Encontrar las coordenadas en el sistema S ′

del punto P de coordenadas (−1, 0, 1) en S y las coordenadas en el sistemaS del punto Q de coordenadas (3,−1, 4) en S ′.

Las siguientes propiedades son de fácil demostración:

78 Álgebra

Teorema 2.1.4 Si x e y son vectores en R2 o en R3, y λ, µ son dos escalares,entonces

1. x + y = y + x2. (x + y) + z = x + (y + z)3. x + (0) = (0) + x = x4. x + (−x) = (0) y (−x) + x = (0)5. (λµ)x =λ(µx)6. λ(x + y) = λx+λy7. (λ + µ)x = λx + µx8. 1 · x = x

Utilizando el Teorema de Pitágoras, la magnitud o norma de un vectoren el plano o en el espacio tridimensional se puede determinar como sigue:para v = (x, y), ‖ v ‖≡

√x2 + y2

para v = (x, y, z), ‖ v ‖≡√

x2 + y2 + z2.Un vector de norma 1 se llama unitario .La distancia euclídea entre dos vectores v = (x1, x2) y w = (y1, y2) en

R2 es el número real

d(v, w) ≡‖ v − w ‖=√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2.

La distancia euclídea entre dos vectores v = (x1, x2, x3) y w = (y1, y2, y3) enR3 es el número real

d(v, w) ≡‖ v − w ‖=√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 − x3)2.

Si k es un escalar, ‖ kv ‖= |k| ‖ v ‖ .

Ejercicio 2.1.6 Sean v = (0, 2, 3), w = (2, 0,−4). Hallar ‖ v ‖, ‖ w ‖ yd(v, w).

Sean v y w dos vectores de R2 o de R3 representados por dos segmentosorientados AB y AC (estos dos segmentos tienen el mismo punto de aplica-ción). Si v 6= 0 y w 6= 0, en el plano que los contiene, AB y AC determinandos ángulos θ1 y θ2 = 2π − θ1.

Observación 20 Los dos ángulos determinados por v y w no dependen delos segmentos orientados elegidos para representar los vectores v y w.

Álgebra 79

Si v 6= 0 y w 6= 0, el ángulo entre v y w es el ángulo θ determinadopor AB y AC, que satisface la condición: 0 ≤ θ ≤ π.

De�nición 2.1.5 Si v 6= 0 y w 6= 0 son dos vectores del plano o del espaciotridimensional y θ es el ángulo entre v y w, el producto escalar euclídeo(o producto interior euclídeo) de v y w es el número real:

v · w =‖ v ‖‖ w ‖ cos(θ). (2.1)Si v = 0 o si w = 0, v · w = 0.

Ejercicio 2.1.7 En R3, sean v = (2, 0, 0) y w = (3, 3, 0). Hallar v · w.

Proposición 2.1.6 Sean v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3) dos vectores deR3, entonces

v · w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Sean v = (v1, v2) y w = (w1, w2) dos vectores de R2, entoncesv · w = v1w1 + v2w2

La demostración de esta proposición se sigue de la ley de los cosenos:‖w − v‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2 − 2‖v‖‖w‖ cos(θ) = ‖v‖2 + ‖w‖2 − 2v · w.

Si v y w son dos vectores no cero, de la ecuación 2.1 se deriva fácilmentela siguiente fórmula:

cos(θ) =v · w

‖ v ‖‖ w ‖ (2.2)

Ejercicio 2.1.8 Encontrar el ángulo entre una diagonal de un cubo y unode sus lados. (arccos( 1√

3) ≈ 54◦44′)

Teorema 2.1.7 Sean v y w dos vectores en el plano o en el espacio tridi-mensional. Entonces

a) ‖ v ‖=√

(v · v)

b) Si v 6= 0 y w 6= 0, el ángulo θ entre v y w

es agudo⇔ v · w > 0

es obtuso⇔ v · w < 0

θ =π

2⇔ v · w = 0

80 Álgebra

La demostración de este teorema es una aplicación de la fórmula 2.2.

Ejercicio 2.1.9 Dados v = (√

3, 0,−2) y w = (4, π, 37), veri�car que elángulo entre v y w es obtuso.

Hemos visto que si v 6= 0 y w 6= 0 son perpendiculares (es decir, si θ = π2),

el producto interior de v y w es cero. Si se admite que v y w puedan ser cero,la de�nición de vectores perpendiculares es la siguiente:

De�nición 2.1.8 Dos vectores v y w son ortogonales si v · w = 0.

Las siguientes propiedades son de fácil demostración:

Teorema 2.1.9 Sean u, v y w tres vectores en el plano o en el espaciotridimensional y sea k un número real:

1. u · v = v · u2. u · (v + w) = u · v + u · w3. k(u · v) = (ku) · v = u · (kv)4. v · v ≥ 0 y v · v = 0 ⇔ v = 0

Demostración Ejercicio.

Sea ahora v 6= 0 un vector bidimensional o tridimensional representadopor el segmento orientado OA y sea w 6= 0 otro vector del mismo espacio.Utilizando el producto interior es posible de�nir la proyección ortogonal delvector w sobre v como sigue. Representamos el vector w por un segmentoorientado OP como en la �gura 2.3. El segmento orientado OP1 representaun vector w1 y los segmentos P1P y OP2 el vector w2 = w − w1.

Entonces, w = w1 + w2, donde el vector w1 = pv(w) es la proyecciónortogonal de w sobre v o componente vectorial de w a lo largo de vy el vector w2 = w − pv(w) es la componente vectorial de w ortogonala v.

Teorema 2.1.10 Si v 6= 0 y w son dos vectores de R2 o de R3,

pv(w) = w1 =

(w · v‖ v ‖2

)v

w2 = w − w1 = w −(

w · v‖ v ‖2

)v

Álgebra 81

θ

O A

P

P1

P2

w

vw1

w2 w − w1

Á

- -

66

Figura 2.3: Proyección ortogonal de w sobre v

Demostración Existe un escalar k tal que pv(w) = kv (ya que pv(w) esparalelo a v). Entonces w = w1 +w2 = kv +w2 y w · v = w1 · v +w2 · v =kv · v + w2 · v = k ‖ v ‖2 . 2

Se sigue fácilmente del último teorema y de las propiedades de la normaque la magnitud del vector pv(w) es:

‖ pv(w) ‖= |w · v|‖ v ‖ =‖ w ‖ | cos(θ)|

Es importante observar que la norma de pv(w) depende de la direcciónde v y no depende de su magnitud.Ejercicio 2.1.10 Sean v = (1,−4, 8) y w = (−2, 0,−1). Determinar elvector pv(w) y su magnitud.

2.1.1 Producto vectorial y producto mixtoDe�nición 2.1.11 Sean u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3)tres vectores en R3, donde hemos �jado el sistema de coordenadas ortogonales

82 Álgebra

usual (O = (0, 0, 0), (e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1))).

• El producto vectorial es una operación en R3, que a cada par devectores (u, v) asocia el vector

u× v = (u2v3 − u3v2)e1 + (u3v1 − u1v3)e2 + (u1v2 − u2v1)e3 =

= det

(u2 u3

v2 v3

)e1 − det

(u1 u3

v1 v3

)e2 + det

(u1 u2

v1 v2

)e3.

• El producto mixto es una función del producto cartesiano R3×R3×R3

en R, que a cada terna de vectores (u, v, w) asocia el número realque se obtiene calculando el producto escalar del vector u con el vectorv × w :

u · (v × w) = u1(v2w3 − v3w2)− u2(v1w3 − v3w1) + u3(v1w2 − v2w1) =

= det

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

.

Ejemplo 2.1.12 1) El producto vectorial de u = (1, 0, 1) y v = (−1, 2, 0) es

u× v = det

(0 12 0

)e1 − det

(1 1−1 0

)e2 + det

(1 0−1 2

)e3 =

= −2e1 − e2 + 2e3 = (−2,−1, 2).

2) El producto mixto de a = (1, 1, 0), u = (1, 0, 1) y v = (−1, 2, 0) es

a · (u× v) = det

1 1 01 0 1−1 2 0

= −2− 1 = −3.

Interpretación geométrica y propiedades del producto vectorial ydel producto mixto

• El vector u×v es ortogonal a u y a v y, por tanto, es ortogonal al planoque contiene a u y v.

• u× v = −v × u y u× v = 0 si y sólo si u y v son paralelos.

Álgebra 83

• ‖u × v‖ = ‖u‖‖v‖sin(θ), donde θ es el ángulo que forman u y v. Es-ta norma coincide con el área del paralelogramo determinado por losvectores u y v. (Para comprobarlo se puede utilizar la identidad deLagrange: ‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2.)

• u× (v + w) = u× v + u× w y (v + w)× u = v × u + w × u.

• El producto mixto u · (v×w) representa, en valor absoluto, el volumendel paralelepípedo individuado por los tres vectores u, v y w.

• u · (v × w) = 0 si y sólo si los tres vectores u, v y w pertenenecen almismo plano.

2.1.2 Rectas en le planoSean P0 = (x0, y0) y P1 = (x1, y1) dos puntos en el plano R2. El vectorP0P1 = (x1− x0, y1− y0) individua la dirección de la recta l que pasa por P0

y P1 y, por tanto, tiene pendiente igual a m =y1 − y0

x1 − x0

= tg(α), siendo α elángulo que la recta l forma con el eje de las x. Sea n = (a, b), un vector cuyadirección es perpendicular a la dirección de la recta l .

Utilizando los elementos que acabamos de de�nir, es posible representaruna recta l en el plano por medio de distinta ecuaciones:

• Ecuación vectorialSean P0 = (x0, y0) un punto �jado y P = (x, y) un punto genérico deuna recta l . Siendo n = (a, b) un vector ortogonal a l , se obtiene queel producto escalar n · PP0 = 0 (esta ecuación se puede llamar formapunto-normal).Utilizando los vectores v = OP y v0 = OP0, se obtiene la formavectorial de la ecuación de l :

n · (v − v0) = 0.

• Ecuación general implícitaSi desarrollamos la ecuación punto-normal anterior como

0 = n·PP0 = n·(x−x0, y−y0) = a(x−x0)+b(y−y0) = ax+by−(ax0+by0),

84 Álgebra

y llamamos −(ax0 +by0) = c, lo que se obtiene el la ecuación generalimplícita:

ax + by + c = 0.

• Ecuaciones paramétricasSean P0 = (x0, y0) un punto de la recta l , v = (v1, v2) un vectorparalelo a l y P = (x, y) el punto genérico de l . Entonces el vector P0Pes paralelo a v, es decir, existe un número real k tal que P0P = kv.Esta última ecuación, escrita en términos de coordenadas, de�ne lasecuaciones paramétricas de la recta l :

{x = x0 + kv1

y = y0 + kv2.k ∈ R

• Ecuación pendiente-ordenada en el origenEsta ecuación tiene la forma

y = mx + q,

donde m es al pendiente de la recta l y q es la ordenada del punto decorte con el eje de las y, (0, q).

Ejercicio 2.1.11 Sea P0 = (x0, y0) un punto del espacio bidimensional. De-mostrar que la fórmula para calcular la distancia entre el punto P0 y unarecta r de ecuación ax + by + c = 0 es

d(P0, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2

Utilizar el hecho de que en R2 el vector n = (a, b) 6= (0, 0) es ortogonal a larecta de ecuación ax + by + c = 0.

Ejemplo 2.1.13 La distancia entre el punto P0 = (2,−1) y la recta r deecuación x− y + 3 = 0 es igual a d(P0, r) = |2+1+3|√

1+1= 6√

2.

Álgebra 85

2.1.3 Planos en el espacio tridimensionalPara determinar la ecuación de una recta r : ax + by + c = 0 en el espaciobidimensional es su�ciente conocer las componentes de un punto P = (x, y)de r y su coe�ciente angular. De forma análoga, en el espacio tridimensionalse puede determinar un plano π (y su ecuación) por uno de sus puntos P0 =(x0, y0, z0) y un vector n = (a, b, c) ortogonal a π mismo: todo punto P =(x, y, z) del plano π y distinto de P0 es tal que el segmento orientado P0P =(x − x0, y − y0, z − z0) sea perpendicular al vector n. Esta caracterizaciónde los puntos de π se puede expresar por la forma punto-normal de laecuación del plano π :

n · PP0 = a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 (2.3)

Utilizando los vectores OP = v = (x, y, z) y OP0 = v0 = (x0, y0, z0), laecuación 2.3 se puede reescribir en la forma vectorial:

n · (v − v0) = 0. (2.4)

Ejemplo 2.1.14 Según la fórmula 2.3, la ecuación del plano π que pasapor el punto P0 = (2, 0,−1) y es perpendicular a la dirección del vectorn = (1,−1, 4) es

(x− 2)− y + 4(z + 1) = x− y + 4z + 2 = 0.

La misma ecuación se obtiene utilizando la fórmula 2.4:n · (v − v0) = (1,−1, 4) · (x− 2, y, z + 1) = x− y + 4z + 2 = 0.

Teorema 2.1.15 Si n = (a, b, c) 6= (0, 0, 0), la forma implícita de la ecua-ción de un plano π ortogonal al vector n es:

ax + by + cz + d = 0 (2.5)

Demostración Si b 6= 0, ax+ by + cz +d = 0 ⇔ ax+ b(y + db)+ cz = 0. La

última ecuación es la forma punto-normal de la ecuación de un plano por elpunto P0 = (0,−d

b, 0) y ortogonal al vector n = (a, b, c). Si a 6= 0 o si c 6= 0,

se obtienen ecuaciones similares. 2

86 Álgebra

Ejercicio 2.1.12 Considerar un sistema de tres ecuaciones lineales en R3

a11x + a12y + a13z = b1

a21x + a22y + a23z = b2

a31x + a32y + a33z = b3

Ilustrar con ejemplos geométricos los casos en los cuales el sistema dado seaincompatible, compatible determinado y compatible.

El siguiente ejemplo muestra como se puede determinar la ecuación deun plano a partir de las componentes de tres de sus puntos:

Ejemplo 2.1.16 Sean P1 = (1, 0,−1), P2 = (2, 1, 0) y P3 = (−2, 3, 1) trespuntos de R3. Encontrar la ecuación del plano que los contiene.

Solución: A partir de la ecuación de un plano en forma general 2.5 y susti-tuyendo los valores de las variables (x, y, z) por las componentes de los trespuntos dados, se obtiene un sistema en las variables (a, b, c, d) de la forma

a− c + d = 02a + b + d = 0

−2a + 3b + c + d = 0

El conjunto solución de este sistema es {(−t,−5t, 6t, 7t) : t ∈ R}.Sustituyendo los valores encontrados para los coe�cientes a, b, c y d en la

ecuación 2.5, se obtiene el plano

−tx− 5ty + 6tz + 7t = 0, es decir, x + 5y − 6z + 7 = 0.

Teorema 2.1.17 Sean P0 = (x0, y0, z0) y π : ax+by+cz+d = 0 un punto yun plano en el espacio tridimensional, respectivamente. La siguiente fórmulanos da el valor de la distancia entre P0 y π:

d(P0, π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2(2.6)

Álgebra 87

Demostración Ejercicio.(Sugerencia: Sean n = (a, b, c) el vector normal y Q = (x, y, z) un punto

del plano π. Entonces ‖pn(P0Q)‖ =‖P0Q · n‖‖n‖ .) 2

Ejercicio 2.1.13 a)Encontrar la distancia entre el punto P0 = (1,−2, 3) yel plano π : x− 2y + z = 1.

b)Encontrar la distancia entre los planos paralelos π : x − 2y + z = 1 yπ′ : 2x− 4y + 2z = 3.

2.1.4 Rectas en el espacio tridimensionalSea l una recta en el espacio tridimensional que pasa por el punto P0 =(x0, y0, z0) y es paralela al vector u = (a, b, c) 6= (0, 0, 0).

Si P = (x, y, z) es un punto de l distinto de P0, se veri�ca que P0P =(x − x0, y − y0, z − z0) = ku = (ka, kb, kc) para un escalar k ∈ R. Entoncesla recta l estará determinada por las ecuaciones paramétricas:

x = x0 + kay = y0 + kbz = z0 + kc

, donde k ∈ R. (2.7)

Sean P0 y P dos puntos de una recta l y sean OP0 = v0 y OP = v losvectores del espacio tridimensional correspondientes. Entonces se veri�ca laidentidad P0P = (x − x0, y − y0, z − z0) = v − v0. Si además u es un vectorparalelo a la recta l, se sigue que v − v0 = ku por un escalar k ∈ R.

Llamaremos forma vectorial de la ecuación de una recta en el es-pacio tridimensional a la ecuación:

v = v0 + ku (k ∈ R) (2.8)

Si para de�nir una recta l en el espacio tridimensional utilizamos unsistema de dos ecuaciones de dos planos cuya intersección es l , lo que seobtiene son las ecuaciones implícitas de l :

{a1x + b1y + c1z + d1 = 0

a2x + b2y + c2z + d2 = 0

88 Álgebra

Ejercicio 2.1.14 a)Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta l quepasa por los puntos P0 = (3,−2, 0) y P = (−5, 13, 4).

b)Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta l intersección de losplanos 3x + 2y − 4z − 6 = 0 y 2x− 6y − 4z − 8 = 0.

c)Encontrar la forma vectorial de la ecuación de la recta l de ecuacionesparamétricas:

x = 2 + 3ky = −5− k

z = 7k, donde k ∈ R. (2.9)

Álgebra 89

2.2 Espacios vectoriales sobre un cuerpo KSegún hemos visto, en los espacios R2 y R3 se satisfacen las propiedades1) a 8) recogidas en el teorema 2.1.4 respecto de la suma y del productopor escalares (las propiedades 1 a 4 son las que indican que R2 y R3 tienenestructura de grupo abeliano respecto de la suma). Veremos que, en general,si (K, +, ·) es un cuerpo, (Kn, +, ·) también satisface dichas propiedades.Estas propiedades son las que dan lugar a la de�nición de espacio vectorialsobre un cuerpo (K, +, ·).

De�nición 2.2.1 Sea (K, +, ·) un cuerpo. Llamaremos espacio vectorialsobre el cuerpo (K, +, ·) a cualquier 3-tupla (E,⊕, ◦) formada por un con-junto no vacío E, una operación ⊕ : E × E → E, y una función (productopor escalares) ◦ : K×E → E de manera que se satisfagan las siguientespropiedades:

1. (E,⊕) es un grupo abeliano;

2. ∀u, v ∈ E ∀α ∈ K (α ◦ (u⊕ v) = α ◦ u ⊕ α ◦ v),

3. ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α + β) ◦ u = α ◦ u ⊕ β ◦ u),

4. ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α · β) ◦ u = α ◦ (β ◦ u)),

5. siendo 1 ∈ K el elemento neutro de �·�, ∀u ∈ E (1 ◦ u = u).

A los elementos de K, que habitualmente representaremos por letras delalfabeto griego, se les denomina escalares y a los elementos de E, que habi-tualmente representaremos por letras del alfabeto latino (y en ocasiones ennegrita), vectores.

En este contexto, el término vector servirá para designar en lo sucesi-vo a un elemento del espacio vectorial sobre el que se esté trabajando, yno necesariamente a un �vector geométrico� determinado por un segmentoorientado.

Es usual, dada la sobrecarga de notación derivada del uso de tres ope-raciones y un producto por escalares, el adoptar el siguiente convenio denotación universalmente aceptado.

90 Álgebra

Operacion Nombre de la operación Notación+ : K×K→ K suma de escalares +· : K×K→ K producto de escalares ·⊕ : E× E → E suma de vectores +◦ : K×E → E producto de vectores por escalares ·

Con esta nueva notación los axiomas de espacio vectorial se escribirán:

1. (E, +) es un grupo abeliano;

2. ∀u, v ∈ E ∀α ∈ K (α · (u + v) = α · u + α · v),

3. ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α + β) · u = α · u + β · u),

4. ∀u ∈ E ∀α, β ∈ K ((α · β) · u = α · (β · u)),

5. siendo 1 ∈ K el elemento neutro de � ·,� ∀u ∈ E (1 · u = u),

donde en cada caso la naturaleza de la operación (es decir, si se trata de lasuma enK o en E y lo mismo con el producto de un escalar por un elemento deE y el producto en K) quedará normalmente determinada por la naturalezade los operandos. Así por ejemplo, si E =Mm×n(R), A, B ∈ Mm×n(R), yα, β ∈ R, en la expresión

(α + β) · Aes obvio que la suma considerada es la suma de los números reales α y β,mientras que en la expresión

α · (A + B)

la suma considerada es la de�nida en Mm×n(R).

También señalaremos que es usual omitir el � ·�, escribiendo por ejemploα(βu) en lugar de α · (β · u), por lo que habitualmente lo haremos así.

Ejemplos de espacios vectoriales con los que ya hemos trabajado son:

• Las matrices �la con coe�cientes reales ó complejos M1×n(K) con res-pecto de la suma de �las y producto de una �la por un número.

Álgebra 91

• Los vectores geométricos del plano y del espacio respecto de la sumade vectores y producto por escalares de�nidos en la primera parte delcapítulo.

• Las propiedades que satisfacen las matrices de orden m× n con coe�-cientes en un cuerpo K respecto de la suma y producto por escalaresde�nidos hacen que Mm×n(K) tenga estructura de espacio vectorial res-pecto de dichas operaciones.

Observación 21 Si (E, +, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo (K, +, ·),y las operaciones + y · son las usuales del cuerpo K, diremos simplementeque (E, +, ·) es un K-espacio vectorial (abreviadamente: “(E, +, ·) es un K−e.v.)�, o simplemente, que E tiene estructura de espacio vectorial con respectoa las operaciones + : E×E → E y · : K×E → E, y si la suma y el productopor escalares considerados están prede�nidos o se sobrentiende cuales son,diremos de forma abreviada que “E es un K− e.v.′′.

Ejemplo 2.2.2 Sea (K, +, ·) un cuerpo. La terna (K, +, ·) es un (K, +, ·)−espacio vectorial, puesto que, como consecuencia de la de�nición de cuerpo,y en particular, de la propiedad distributiva del producto del cuerpo respectode la suma, de la asociatividad del producto y de la existencia de elementoneutro para el producto, tendremos

1. (K, +) es un grupo abeliano;

2. ∀u, v ∈ K ∀α ∈ K α · (u + v) = α · u + α · v,

3. ∀u ∈ K ∀α, β ∈ K (α + β) · u = α · u + β · u,

4. ∀u ∈ K ∀α, β ∈ K (α · β) · u = α · (β · u),

5. Siendo 1 ∈ K el elemento neutro de �·′′, ∀u ∈ K (1 · u = u).

Así pues, el cuerpo (R, +, ·) es un R−e.v., el cuerpo (C, +, ·) es un C−e.v.y el cuerpo (Z2, +, ·) es un Z2 − e.v.

92 Álgebra

2.2.1 Propiedades de vectoresLa siguiente proposición recoge una serie de propiedades que se satisfacen entodo espacio vectorial, donde, para mayor claridad, a los vectores los hemosdestacado en negrita.

Proposición 2.2.3 Si E es un K− e.v. se veri�can las siguientes propieda-des:

1. ∀u ∈ E, 0 · u = 0;2. ∀α ∈ K, α · 0 = 0;3. ∀α ∈ K, ∀u ∈ E, ((α · u = 0) ⇒ (α=0 ∨ u = 0)) ;4. ∀u ∈ E, (−1) · u = −u;5. ∀α ∈ K− {0},∀u,v ∈ E, ((α · u =α · v) ⇒ (u = v)) ;6. ∀α, β ∈ K,∀u ∈ E− {0}, ((α · u =β · u) ⇒(α = β)) .

Demostración 1. Dado u ∈ E,

0 · u = (0 + 0) · u =0 · u+0 · u,

y puesto que el único elemento idempotente del grupo (E, +) es el elemento0 ∈ E, concluímos que

0 · u = 0.

2. Dado α ∈ K,

α · 0 =α · (0 + 0) = α · 0 + α · 0,

por lo que, razonando análogamente a la propiedad anterior, concluímos queα · 0 = 0.

3. Sean α ∈ K y u ∈ E, y supongamos que α · u = 0. Caben dos posibi-lidades.

a) Si α = 0, entonces no hay nada que demostrar, puesto que en ese casola sentencia (α=0 ∨ u = 0) es verdadera.

b) Si α 6= 0, consideramos el elemento α−1 ∈ K. Multiplicando a amboslados de la igualdad por α−1 obtenemos

α−1 · (α · u) = α−1 · 0 = 0;

pero por los axiomas de espacio vectorial

α−1 · (α · u) =(α−1 · α) · u =1 · u = u,

Álgebra 93

es decir , u = 0.4. Sea u ∈ E. Puesto que −1 ∈ K es opuesto de 1 en el grupo (K, +),

tendremos

(− 1) · u + u = (− 1) · u+1 · u = (− 1 + 1) · u = 0,

y puesto que (E, +) es un grupo (abeliano), tendremos también

u + (− 1) · u = 0,

es decir, (− 1) ·u es el elemento opuesto de u en el grupo (E, +), o lo que eslo mismo, (− 1) · u = −u.

5. Sean α ∈ K− {0},u,v ∈ E, y supongamos que α · u =α · v. Multipli-cando ambos miembros de esta igualdad por α−1 obtenemos

α−1 · (α · u) =α−1 · (α · v) ,

o lo que es lo mismo,(α−1 · α) · u =

(α−1 · α) · v,

de donde u = v.6. Sean α, β ∈ K y u ∈ E− {0}, y supongamos que α · u =β · u. En ese

caso necesariamenteα · u + (−(β · u)) = 0.

Pero de los axiomas de espacio vectorial y de las propiedades anteriores sesigue que

α · u + (−(β · u)) =α · u + (−β) · u = (α + (−β)) · u;

es decir,(α + (−β)) · u = 0

siendo u 6= 0, con lo que (α + (−β)) = 0, o lo que es lo mismo, α = β. 2

2.2.2 Producto cartesiano de espacios vectorialesVamos ahora a comprobar que el producto cartesiano de espacios vectorialeses un espacio vectorial, resultado que recogemos en la siguiente proposición:

94 Álgebra

Proposición 2.2.4 Si (E1, +1, ·1), · · · , (En, +n, ·n) son n K− e.v. entoncesel conjunto E = E1 × · · · × En tiene estructura de espacio vectorial respectode las operaciones

+ : E× E −→ E((u1, · · · , un), (v1, · · · , vn)) ; (u1 +1 v1, · · · , un +n vn)

y· : K×E −→ E

(α, (u1, · · · , un)) ; (α ·1 u1, · · · , α ·n un)

Para realizar dicha comprobación resulta natural utilizar el símbolo �+�tanto para referirnos a cualquiera de las sumas +1, · · · , +n como para desig-nar la suma de�nida en E1 × · · · × En, y lo mismo haremos con el símbolo�· � (que incluso se omite por convenio de notación), de manera que, en ca-da caso, la operación considerada queda determinada por la naturaleza delos operandos; en otras palabras, para cada i ∈ {1, · · · , n}, si ui, vi ∈ Ei,entonces

ui + vi = ui +i vi y αui = α ·i (ui) .

Así por ejemplo, puesto que E1, · · · ,En son �n� K− e.v., en particular

(E1, +), · · · , (En, +)

son grupos abelianos y, en esas condiciones no es difícil veri�car que

(E1 × · · · × En, +)

es también un grupo abeliano.Por otra parte veamos que ∀u, v ∈ E y ∀α ∈ K

α · (u + v) = α · u + α · v :

Si u, v ∈ E, u = (u1, · · · , un) y v = (v1, · · · , vn), por de�nición

(u + v) = (u1 + v1, · · · , un + vn)

y, en consecuencia, según se ha de�nido la ley de composición externa en E,

α · (u1 + v1, · · · , un + vn) = (α (u1 + v1) , · · · , α(un + vn)),

Álgebra 95

y por la propiedad distributiva que satisface el producto por escalares respec-to de la suma de vectores en cada uno de los espacios vectoriales (Ei, +i, ·i)tendremos que, en de�nitiva,

α · (u + v) = α · (u1 + v1, · · · , un + vn) =

= (α (u1 + v1) , · · · , α(un + vn)) =

= (αu1 + αv1, · · · , αun + αvn) =

= (αu1, · · · , αun) + (αv1, · · · , αvn) =

= α(u1, · · · , un) + α(v1, · · · , vn) =

= α · u + α · v

La demostración de que se satisfacen el resto de las propiedades necesariaspara que E1×· · ·×En tenga estructura de K−e.v. respecto de las operacionesconsideradas se propone como ejercicio.

En particular, como consecuencia de la proposición anterior tenemos quesi (K, +, ·) es un cuerpo, entonces ∀n ∈ N (Kn, +, ·) es un K − e.v., siendolas operaciones de�nidas sobre Kn las de�nidas en la proposición anterior.Estas son las operaciones que se deben dar por sobreentendidas siempre quehagamos alusión al K− e.v. Kn.

Ejemplo 2.2.5 Casos particulares del apartado anterior:

1. (R3, +, ·) es un R− e.v., donde si (x, y, z), (x′, y′, z′) ∈ R3 y α ∈ R,

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′)

α(x, y, z) = (αx, αy, αz)

siendo x + x′, y + y′ y z + z′ la suma habitual de estos números reales, yαx, αy y αz el producto habitual de estos números reales.

2. Del mismo modo que en el ejemplo anterior, (C2, +, ·) es un C− e.v.,sobrentendiéndose cuáles son las operaciones de�nidas sobre C2.

3. Análogamente, (Z322 , +, ·) es un Z2 − e.v..

4. El espacio Mm,n(R)× C[x] es un R−espacio vectorial.

96 Álgebra

2.2.3 Funciones con codominio en un espacio vectorialSi E es un K−e.v., y denotamos por F(X,E) al conjunto formado por todaslas funciones de�nidas sobre un conjunto cualquiera X 6= ∅ y tales que suimagen está contenida en E,

F(X,E) = {f : X −→ E : f es una función} ,

resulta que este conjunto tiene estructura de K− e.v., según se recoge en lasiguiente proposición.

Proposición 2.2.6 Si X 6= ∅ y E es un K − e.v., entonces (F(X,E), +, ·)es un K−e.v., donde ∀f, g ∈ F(X,E) f +g ∈ F(X,E) es la función de�nida∀x ∈ X por la siguiente expresión (f + g)(x) = f(x) + g(x) (nótese que lasuma del lado izquierdo de la igualdad es la suma de funciones, y que la dellado derecho es la suma de E) y ∀f ∈ F(X,E), ∀α ∈ K , (αf) ∈ F(X,E) esla función determinada ∀x ∈ X por la siguiente expresión (αf)(x) = αf(x).

Demostración Siendo f + g la función de�nida por la condición

∀x ∈ X (f + g)(x) = f(x) + g(x)

resulta que tenemos de�nida una operación sobre F(X,E):

+ : F(X,E)×F(X,E) −→ F(X,E)(f, g) ; f + g

Además, se veri�ca que:1. + es asociativa, pues si f, g, h ∈ F(X,E), y x ∈ X

((f + g) + h) (x) = (f + g)(x) + h(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) =

= f(x) + (g(x) + h(x)) = f(x) + (g + h)(x) =

= (f + (g + h)) (x)

con lo que (f + g) + h = f + (g + h).2. + es conmutativa, pues si f, g ∈ F(X,E), y x ∈ X,

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)

con lo que (f + g) = (g + f).

Álgebra 97

3. Es inmediato comprobar (verifíquese) que la función constante

0 : X −→ Ex ; 0

es el elemento neutro de (F(X,E), +).4. Del mismo modo, es inmediato comprobar (verifíquese) que ∀f ∈

F(X,E) el elemento simétrico de f respecto de + es la función

(−f): X −→ Ex ; −(f(x))

,

es decir, ∀x ∈ X (−f)(x) = −(f(x)) donde −(f(x)) es el elemento opuestode f(x) en (G, +). Al ser (E, +) un grupo abeliano, (F(X,E), +) también loes, donde

f + g : X → Ex ; f(x) + g(x)

.

Veamos ahora que la operación

· : K×F(X,E) −→ F(X,E)(α, f) ; αf

dondeαf : X → E

x ; αf(x)

satisface el resto de propiedades:5. Sean f, g ∈ F(X,E). Hay que demostrar que ∀α ∈ K

α(f + g) = αf + αg.

Sea α ∈ K. Puesto que(α(f + g)) : X → E

y(αf + αg) : X → E,

para demostrar que dichas aplicaciones son iguales es su�ciente con probarque

∀x ∈ E, (α(f + g))(x) = (αf + αg)(x).

98 Álgebra

Sea x ∈ E. Por de�nición

(α(f + g))(x) = α ((f + g)(x)) = α (f(x) + g(x)) =

(por la distributividad en E del producto porescalares respecto de la suma de vectores)

= αf(x) + αg(x) = (αf)(x) + (αg)(x) = ((αf) + (αg)) (x).

6. Hay que probar que ∀f ∈ F(X,E) ∀α, β ∈ K

(α + β)f = αf + βf.

Se demuestra de forma análoga a la propiedad que acabamos de ver, por loque se propone como ejercicio.

7. Sean f ∈ F(X,E) y α, β ∈ K . Hay que demostrar que

(αβ)f = α(βf).

Puesto que((αβ)f) : X → E

y(α(βf)) : X → E,

para demostrar que dichas aplicaciones son iguales es su�ciente probar que∀x ∈ E

((αβ)f)(x) = (α(βf))(x).

Sea x ∈ E. Por de�nición

((αβ)f)(x) = (αβ)f(x) = (puesto que α,β ∈ K, f(x) ∈ E

y E es un K-e.v.)= α(βf(x)) = α((βf)(x)) = (α(βf))(x).

8. Finalmente, dado 1 ∈ K, ∀f ∈ F(X,E)

(1 · f) = f,

pues si f ∈ F(X,E) es una función cualquiera de ese conjunto, dado que

(1 · f) : X → E y f : X → E,

Álgebra 99

y teniendo en cuenta que ∀x ∈ E,

(1 · f)(x) = 1 · f(x) = f(x),

concluímos que (1 · f) = f. 2

Ejemplos. Como consecuencia de la proposición anterior, los siguientesconjuntos tienen estructura de espacio vectorial respecto de las operacionesconsideradas en la misma.

1. Si (K, +, ·) es un cuerpo, el conjunto F(K,K). En particular, el con-junto F(R,R) de las funciones reales de variable real y el conjunto F(C,C)de las funciones complejas de variable compleja.

2. El conjunto F(R,C) de las funciones complejas de variable real es unC− e.v.

3. El conjunto F(N,E) de las sucesiones de elementos de un K − e.v.E. En particular F(N,R), F(N,C), F(N,R3) tienen estructura de espaciovectorial respecto de las operaciones consideradas en la proposición anterior.(Como ejercicio, escríbase cual es la expresión explícita de dichas operacionesparticularizadas en cada uno de los subespacios de este ejemplo).

4. El conjunto Mm×n(K) = F({1, · · · ,m}×{1, · · · , n},K) de las matricesde m �las y n columnas con coe�cientes en un cuerpo K y, en particular, elconjunto de las matrices cuadradas de n �las, al que denotamos por Mn(K).

5. Combinando los ejemplos anteriores también son espacios vectoriales,respecto de la suma y producto por escalares introducidos, el conjunto

F(N,F(R,R))

de las sucesiones de F(R,R), el conjunto

F(N,M2(C))

de las sucesiones de matrices de M2(C), el conjunto

F(M3(C),M3(C)),

el conjuntoF(N,F(R,R)×F(R,R)),

el conjuntoF(C,C×M5(C)),

y un largo etcétera.

100 Álgebra

2.3 Subespacios vectorialesSiendo E un K − e.v. y H ⊂ E, se dice que H es un subespacio vectorialde E si H tiene estructura de espacio vectorial respecto de las operacionesinducidas por las de E. Por consiguiente, teniendo en cuenta que si + y· satisfacen las propiedades necesarias para que E sea un K − e.v. (+ esasociativa, conmutativa,· · · ), dichas propiedades también se satisfacen en elcaso particular de que los vectores sean de H, y que siendo 0 ∈ K y u ∈ H,0 · u = 0, lo único que necesitamos para que H sea un subespacio vectorialde E es que el resultado obtenido al hacer actuar dichas operaciones sobreelementos de H sea un elemento de H, es decir:

De�nición 2.3.1 Si E es un K − e.v. y H ⊂ E, se dice que H es un sub-espacio vectorial de E si:

1. H 6= ∅.2. ∀u, v ∈ H u + v ∈ H.3. ∀α ∈ K, ∀u ∈ H αu ∈ H.

En lo sucesivo utilizaremos la notación H ≺ E para indicar que H es unsubespacio vectorial de E.

Proposición 2.3.2 Sean E un K− e.v. y H ⊂ E. Se veri�ca que H ≺ E siy sólo si

a) 0 ∈ H

b) ∀u, v ∈ H, ∀α, β ∈ K se veri�ca que (αu + βv) ∈ H.

Demostración Ejercicio. Indicación: veri�car que las condiciones 1, 2 y3 de la de�nición equivalen a las condiciones a) y b). 2

Observación 22 De la de�nición de subespacio vectorial se sigue que, sien-do E un K− e.v. se veri�ca que E ≺ E y que {0} ≺ E.

Álgebra 101

Observación 23 No es difícil demostrar, razonando por inducción sobre n,que si E es un K− e.v. y H ≺ E , entonces se veri�ca que

∀(u1, · · · , un) ∈ Hn,∀(α1, · · · , αn) ∈ Kn,

(n∑

i=1

αiui

)∈ H.

(De manera informal: si H ≺ E, u1, · · · , un son vectores de H, y α1, · · · , αn

son escalares, necesariamente α1u1 + · · ·+ αnun ∈ H.)

EJEMPLOS:1. Puesto que si H ≺ E, necesariamente 0 ∈ H, no es difícil comprobar

que cualquier plano de R3 que pase por el punto (0, 0, 0) es un subespaciovectorial de R3. Igualmente, cualquier recta de R3 que pase por el punto(0, 0, 0) es un subespacio vectorial de R3. Cuando introduzcamos el concep-to de dimensión veremos que los únicos subespacios vectoriales de R3 son:{0},R3, las rectas que pasan por 0 =(0, 0, 0) y los planos que pasan por 0.(De forma análoga, los únicos subespacios de R2 son: {0},R2 y las rectasque pasan por 0).

2. El conjunto formado por todas las soluciones de un sistema homogéneode m ecuaciones lineales con n incógnitas y con coe�cientes en un cuerpoK es un subespacio vectorial de Kn

a11x1 + · · ·+ a1nxn = 0...

am1x1 + · · ·+ amnxn = 0

.

Para comprobarlo, sólo hay que veri�car que si (α1, · · · , αn), (β1, · · · , βn) ∈Kn son soluciones del sistema anterior y α ∈ K, entonces (α1+β1, · · · , αn+βn)también es solución del sistema, y lo mismo sucede con (αα1, · · · , ααn).

3. C[x] ≺ F(C,C), puesa) 0 ∈ C[x];

b) si f, g ∈ C[x] y α, β ∈ K , de la de�nición de C[x] se sigue que∃n,m ∈ N ∪ {0}, ∃(a0, · · · , an) ∈ Cn+1, ∃(b0, · · · , bm) ∈ Cm+1 tales que∀x ∈ C se veri�ca que

f(x) = anxn + · · ·+ a0 ∧ g(x) = bmxm + · · ·+ b0;

102 Álgebra

evidentemente, si n ≥ m, poniendo ∀i ∈ {m + 1, · · · , n} bi = 0, tendremosque

∀x ∈ C (αf + βg)(x) =

= α

(n∑

i=0

aixi

)+ β

(n∑

i=0

bixi

)=

=n∑

i=0

(αai + βbi) xi,

es decir, (αf + βg) ∈ C[x].4. Siendo Pn(C) el conjunto de polinomios con coe�cientes en C de grado

≤ n, se veri�ca que Pn(C) ≺ C[x] puesi) 0 ∈ Pn(C), con lo que Pn(C) 6= ∅.ii) Dados f, g ∈ Pn(C), teniendo en cuenta que

gr(f + g) ≤ max{gr(f), gr(g)} ≤ n,

resulta que f + g ∈ Pn(C)iii) Dados f ∈ Pn(C) y α ∈ K, hay que distinguir dos posibilidades: si

α = 0, entonces αf = 0 ∈ Pn(C); por otra parte si α 6= 0, teniendo en cuentaque gr(αf) = gr(f), se sigue que en cualquier caso αf ∈ Pn(C).

5. Si denotamos por C(R,R) al conjunto de funciones reales de variablereal que son continuas en todos los puntos de R, teniendo en cuenta quecualquier función constante es continua (con lo que C(R,R) 6= ∅), que sif, g ∈ C(R,R), entonces f + g ∈ C(R,R), y que si α ∈ R y f ∈ C(R,R),entonces αf ∈ C(R,R), resulta que

C(R,R) ≺ F(R,R).

Por el mismo motivo, el conjunto de las funciones reales de�nidas en el con-junto

[a, b] = {x ∈ R |a ≤ x ≤ b}y continuas en todos los puntos de este intervalo, conjunto al que denotamospor C([a, b],R), constituye un subespacio vectorial de F([a, b],R).

Observación 24 Puesto que todo subespacio vectorial de un espacio vecto-rial dado es a su vez un espacio vectorial, es posible referirnos a cada uno de

Álgebra 103

los ejemplos anteriores como espacios vectoriales; de este modo, hablaremosdel espacio vectorial de las funciones continuas C(R,R), del espacio vectorialde los polinomios de grado ≤ n, etc..

Ejercicio 2.3.1 Se dice que A ∈ Mn(K) es simétrica si tA = A. Si denota-mos por Sn(K) al conjunto de las matrices simétricas de orden n, demostrarque Sn(K) ≺ Mn(K).

Proposición 2.3.3 Si X 6= ∅, E es un K− e.v. y S ⊂ X, el conjunto

H = {f ∈ F(X,E) |f(S) = {0}}

es un subespacio vectorial de F(X,E).


Corolario 2.3.4 Las matrices triangulares superiormente, T n(K), inferior-mente Tn(K) y diagonales Dn(K) son subespacios vectoriales de Mn(K).

Demostración Es su�ciente con aplicar la proposición anterior teniendoen cuenta que, siendo

ST = {(i, j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n} |i > j },

ST = {(i, j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n} |i < j }y

SD = {(i, j) ∈ {1, · · · , n} × {1, · · · , n} |i 6= j },se veri�ca

T n(K) ={A ∈ Mn(K)

∣∣A(ST ) = {0}},

Tn(K) = {A ∈ Mn(K) |A(ST ) = {0}}y

Dn(K) = {A ∈ Mn(K) |A(SD) = {0}} .

2

104 Álgebra

2.4 Dependencia e independencia linealDe�nición 2.4.1 Si E es un K − e.v., un sistema de vectores de E escualquier secuencia �nita de vectores de E. Así, si u1, · · · , un ∈ E, la secuen-cia u1, · · · , un es un sistema de n vectores de E.

Observación 25 Para mayor claridad, en ocasiones escribiremos {u1, · · · , un}para referirnos al sistema u1, · · · , un.

De�nición 2.4.2 Si {u1, · · · , un} es un sistema de vectores de E, diremosque v ∈ E es combinación lineal de u1, · · · , un si ∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn talque v =

n∑i=1

αiui.

Observación 26 Si v ∈ E es combinación lineal de u1, · · · , un también di-remos que v ∈ E depende linealmente de u1, · · · , un.

Ejemplo 2.4.3 Si consideramos en el R−e.v. R2 con su estructura de espa-cio vectorial habitual, resulta que (11, 7) depende linealmente de (2, 1), (1, 0),y (3, 2), puesto que

(11, 7) = (2, 1) + 3 · (3, 2).

Por el mismo motivo, (−3, 0) depende linealmente de (1, 1), (1, 4), pues

(−3, 0) = (−4) · (1, 1) + 1 · (1, 4).

Si E es un K− e.v. y A ⊂ E denotaremos por

L(A) = {v ∈ E |v es combinación lineal de un sistema de vectores de A}.

La siguiente proposición establece que si E es un K− e.v. y A ⊂ E, L(A)es el subespacio vectorial �más pequeño� que contiene a A.

Proposición 2.4.4 Sean E un K−e.v. y A ⊂ E. Se veri�ca que: 1) L(A) ≺E, 2)A ⊂ L(A) y 3)∀H ′ ≺ E (A ⊂ H ′ ⇒ L(A) ⊂ H ′).

Álgebra 105

Demostración Sea H = L(A).1. Es obvio que 0 ∈ H y, por otra parte, dados α, β ∈ K, y u, v ∈ H, de

la de�nición de H se sigue que existen u1, · · · , un y v1, · · · , vm sistemas devectores de A y ∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn,∃(β1, · · · , βm) ∈ Km de manera que

u =n∑

i=1

αiui y v =m∑

i=1

βivi,

por lo que

αu + βv = α

(n∑

i=1

αiui

)+ β

(m∑

i=1

βivi

)=

=n∑

i=1

(ααi) ui +m∑

i=1

(ββi)vi =

=n+m∑i=1

γiwi,

donde hemos puesto ∀i ∈ {1, · · · , n + m},

(i ≤ n ⇒ γi = (ααi) ∧ wi = ui)

∧

(n < i ≤ n + m ⇒ γi = (ββi) ∧ wi = vi) ,

y en consecuencia, puesto que w1, · · · , wn+m es un sistema de n+m vectoresde A, concluímos que

αu + βv ∈ H.

2. Si v ∈ A, podemos poner, por ejemplo, que v = 1 · v, siendo 1 ∈ K y{v} el sistema de vectores de A considerado, con lo que v ∈ H.

3. Finalmente, si H ′ ≺ E es tal que A ⊂ H ′, según vimos en su momento,cualquier combinación lineal de elementos de H ′ (en particular de elementosde A ⊂ H ′) es un elemento de H ′, con lo que H ⊂ H ′. 2

De�nición 2.4.5 Si E es un K− e.v. y u1, · · · , un es un sistema de vecto-res de E, al subespacio vectorial L({u1, · · · , un}) se le denomina subespacio

106 Álgebra

vectorial generado por el sistema u1, · · · , un, y del sistema u1, · · · , un sedice que es un sistema generador de H = L({u1, · · · , un}). A este subes-pacio también lo denotaremos por L(u1, · · · , un).

Observación 27 Nótese que si todo vector de E se puede expresar como unacombinación lineal de u1, · · · , un, resulta que el subespacio vectorial generadopor u1, · · · , un es H = L({u1, · · · , un}) = E, que obviamente es un subespaciovectorial de E.

Ejemplos:1. Los vectores (1, 0) y (0, 1) constituyen un sistema generador de R2, pues

cualquier vector de R2 se puede expresar como combinación lineal del sistema(1, 0), (0, 1), ya que si (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1). Análogamente

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

es un sistema generador de R3 y, en general, el sistema de n vectores de Kn

(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), (0, 0, · · · , 0, 1)

es un sistema generador de Kn.

2. Los polinomios 1, x, x2, · · · , xn constituyen un sistema generador dePn(C), pues si f ∈ Pn(C), f es de la forma f = a0 + · · · + anx

n (ya que∀z ∈ C, f(z) = (a0 + · · ·+ anx

n)(z) = a0 + · · ·+ anzn).3. Como hemos visto, los vectores (1, 0) y (0, 1) constituyen un sistema

generador de R2. Pero el sistema (1, 0), (0, 1), (3, 1) también es un sistemagenerador de R2, pues si (a, b) ∈ R2,

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) + 0(3, 1).

De hecho, cualquier sistema de vectores de R2 que contenga a (1, 0) y(0, 1) será un sistema generador de R2.

Nos interesa caracterizar los sistemas generadores con el menor númeroposible de elementos. Estos sistemas de vectores serán los sistemas de vectoresque, constituyendo un sistema generador, son linealmente independientes.De�nición 2.4.6 Siendo E un K−e.v., se dice que el sistema u1, · · · , un devectores de E es libre (o también que los vectores u1, · · · , un son linealmenteindependientes) si se veri�ca que ∀(α1, · · · , αn) ∈ Kn

(n∑

i=1

αiui = 0 ⇒(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0)

)

Álgebra 107

Si el sistema de vectores u1, · · · , un no es libre, se dice que es ligado (otambién que los vectores u1, · · · , un son linealmente dependientes). Asípues,

u1, · · · , un es ligado⇔(∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn − {(0, · · · , 0)} tales que

n∑i=1

αiui = 0

).

Ejemplo 2.4.7 En el R − e.v. R2 con su estructura de espacio vectorialhabitual el sistema (1, 0), (0, 1) es libre, pues si α(1, 0) + β(0, 1) = (0, 0),tendremos que (α, β) = (0, 0), de donde α = 0 = β. Un argumento similar sepuede emplear para demostrar que el sistema de n vectores de Kn

(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), (0, 0, · · · , 0, 1)

es un sistema libre.

Ejemplo 2.4.8 En el R− e.v. R3 con su estructura de espacio vectorial ha-bitual el sistema {(2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} es libre, puesto que si (α, β, γ) ∈R3 es tal que α(2, 1, 1) + β(1, 1, 0) + γ(1, 0, 0) = (0, 0, 0), resulta que (2α +

β + γ, α + β, α) = (0, 0, 0), de donde

2α + β + γ = 0α + β = 0

α = 0y, en de�nitiva,

(α, β, γ) = (0, 0, 0).

Ejemplo 2.4.9 En el R − e.v. R2 con su estructura de espacio vectorialhabitual el sistema {(2, 1), (1, 0), (3, 2), (11, 7)} es ligado, pues

0(1, 0) + (−1)(2, 1) + (−3)(3, 2) + (11, 7) = (0, 0),

y sin embargo(0,−1,−3, 1) 6= (0, 0, 0, 0).

Proposición 2.4.10 Si u1, · · · , un es un sistema de vectores del K− e.v. E,se veri�ca que u1, · · · , un es libre si y sólo si ∀v ∈ E

((v =

n∑i=1

αiui ∧ v =n∑

i=1

βiui

)⇒ (α1, · · · , αn) = (β1, · · · , βn)

).

108 Álgebra

Demostración �⇒� Si (α1, · · · , αn), (β1, · · · , βn) ∈ Kn son tales que v =n∑

i=1

αiui ∧ v =n∑

i=1

βiui, resulta quen∑

i=1

αiui =n∑

i=1

βiui, es decir,n∑

i=1

(αi−βi)ui =

0, y como por hipótesis u1, · · · , un es libre, concluímos que (α1−β1, · · · , αn−βn) = (0, · · · , 0), es decir,

∀i ∈ {1, · · · , n} (αi − βi) = 0,

y por consiguiente ∀i ∈ {1, · · · , n} αi = βi, o lo que es lo mismo,

(α1, · · · , αn) = (β1, · · · , βn).

�⇐� Supongamos quen∑

i=1

αiui = 0. Como también se veri�ca que 0u1 +

· · ·+ 0un = 0, aplicando la hipótesis resulta que

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0).

2

Ejercicio 2.4.1 En el anillo de polinomios Pn(C), veri�car que el sistema{1, x, x2, · · · , xn} es libre. (Indicación: utilizar inducción sobre �n� y lacontinuidad de los polinomios.)

La siguiente proposición recoge una caracterización de los sistemas liga-dos.

Proposición 2.4.11 Si u1, · · · , un es un sistema de vectores del K−e.v. E,se veri�ca que u1, · · · , un es ligado si y sólo si ∃i ∈ {1, · · · , n} tal que ui escombinación lineal de u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un.

Demostración �⇒� Si u1, · · · , un es un sistema ligado tendremos que∃(α1, · · · , αn) ∈ Kn − {(0, · · · , 0)} tal que

n∑j=1

αjuj = 0. Ahora bien, puesto

que (α1, · · · , αn) 6= (0, · · · , 0), existe i ∈ {1, · · · , n} tal que αi 6= 0, y puestoque αi ∈ K, necesariamente αi tiene inverso α−1

i ∈ K, con lo que

α−1i ·

(n∑

j=1

αjuj

)= α−1

i · 0 = 0.

Álgebra 109

Pero

α−1i ·

(n∑

j=1

αjuj

)=

n∑j=1

(α−1

i αj

)uj,

de donden∑

j=1

(α−1

i αj

)uj= 0, con lo que, teniendo en cuenta que α−1

i αi = 1,

resulta que

ui =n∑

j=1,j 6=i

(−α−1i αj

)uj,

es decir, ui es combinación lineal de u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un.�⇐� Supongamos que

ui =n∑

j=1,j 6=i

αjuj.

En ese caso, pasando ui al segundo miembro y tomando αi = −1, resulta que

(α1, · · · , αn) 6= (0, · · · , 0)

yn∑

j=1

αjuj = 0, con lo que u1, · · · , un es un sistema ligado. 2

Ejemplo: Como consecuencia de la proposición anterior, dos vectores uy v son linealmente dependientes si y solamente si uno de ellos se obtienemultiplicando un escalar por el otro. Por consiguiente, en el caso particularde R2 y R3, dos vectores serán linealmente dependientes si y sólo si estánsobre la misma recta que pasa por 0.

Asimismo, si u, v y w son vectores de R3, u, v y w son linealmente depen-dientes (o lo que es lo mismo, el sistema {u, v, w} es ligado) si y sólo si almenos uno de los vectores es una combinación lineal de los restantes. Peroel subespacio vectorial generado por dos vectores cualesquiera de R3 es unarecta que pasa por el origen, un plano que pasa por el origen, o el propioorigen; en cualquier caso, si u, v y w son linealmente dependientes existe unplano que, pasando por 0, contiene a los tres vectores. De manera general:

Proposición 2.4.12 Si E es un K− e.v. y n, r,m ∈ N, se veri�ca que

1. (u ∈ E ∧ u 6= 0) ⇒ u es libre;

110 Álgebra

2. si u1, · · · , un es libre y r ≤ n, entonces u1, · · · , ur es libre;

3. si u1, · · · , un es tal que ∃i ∈ {1, · · · , n} de manera que ui = 0, entoncesel sistema u1, · · · , un es ligado;

4. si u1, · · · , un es ligado entonces ∀v1, · · · , vm ∈ E el sistema{u1, · · · , un, v1, · · · , vm} es ligado.

Demostración 1. Si u ∈ E− {0} y αu = 0, necesariamente α = 0, con loque u es libre.

2. Supongamos que u1, · · · , un ∈ En es libre, que r ≤ n y que (α1, · · · , αr) ∈Kr es tal que

r∑j=1

αjuj = 0. En ese caso, de�niendo ∀j ∈ {r + 1, · · · , n}

αj = 0, tendremos quen∑

j=1

αjuj = 0 y, puesto que u1, · · · , un es libre,

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0) y en particular (α1, · · · , αr) = (0, · · · , 0).3. Si u1, · · · , un ∈ En es tal que ui = 0, considerando la n-tupla (α1, · · · , αn)

∈ Kn de�nida por la condición

αi = 1 ∧ ∀j ∈ {1, · · · , n}(j 6= i ⇒ αj = 0),

resulta que (α1, · · · , αn) 6= (0, · · · , 0) y

n∑j=1

αjuj = 0u1 + · · ·+ 0ui−1 + 1 · 0 + 0ui+1 + · · ·+ 0un = 0.

4. Si u1, · · · , un es ligado, ∃(α1, · · · , αn) 6= (0, · · · , 0) tal quen∑

j=1

αjuj = 0.

Dado entonces el sistema v1, · · · , vm de m vectores de E, de�niendo ∀j ∈{1, · · · ,m} βj = 0, tendremos que

n∑j=1

αjuj +m∑

j=1

βjvj = 0, y puesto que

(α1, · · · , αn) 6= (0, · · · , 0), resulta que

(α1, · · · , αn, β1, · · · , βm) 6= (0, · · · , 0),

Álgebra 111

con lo que u1, · · · , un, v1, · · · , vm es ligado. 2

Las propiedades 2 y 4 de la proposición anterior podrían enunciarse demanera poco rigurosa del siguiente modo: �todo subsistema de un sistemalibre es libre� y �todo supersistema de un sistema ligado es ligado�.

Proposición 2.4.13 Si u1, · · · , un es un sistema de vectores del K− e.v. Elibre y v ∈ E no es combinación lineal de u1, · · · , un, entonces el sistemau1, · · · , un, v es libre.

Demostración Supongamos quen∑

j=1

αjuj + βv = 0. En ese caso necesa-

riamente β = 0, puesto que si β 6= 0, tendríamos que

v =n∑

j=1

(−β−1 · αj

)uj

en contradicción con la hipótesis. Pero si β = 0, entoncesn∑

j=1

αjuj = 0,

y puesto que u1, · · · , un es libre, resulta que

(α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0),

con lo que, en de�nitiva,

(α1, · · · , αn, β) = (0, · · · , 0, 0).

2

Corolario 2.4.14 Si u1, · · · , un es un sistema de vectores del K− e.v. E yv ∈ E son tales que u1, · · · , un es libre y u1, · · · , un, v es ligado, entonces ves combinación lineal de u1, · · · , un.

112 Álgebra

2.5 Bases y dimensión2.5.1 Sistemas generadores y basesSegún vimos, si un vector se expresa como combinación lineal de un siste-ma libre, la expresión del vector como combinación lineal de ese sistema esúnica. Además, si un sistema libre es a la vez generador de un cierto subes-pacio, entonces no hay un sistema generador de dicho subespacio que tengamenos vectores que el sistema libre considerado. Las razones anteriores sonsu�cientes para estudiar los sistemas de vectores que son a la vez sistemasgeneradores y libres. Una vez concluido el estudio de la sección, habremos re-suelto un problema adicional: sabremos cuál es el número máximo de vectoreslinealmente independientes que podemos encontrar en un espacio vectorialdado. (Según sabemos, el número máximo de vectores linealmente indepen-dientes que podemos encontrar en R2 es 2, y el número máximo de vectoreslinealmente independientes que podemos encontrar en R3 es 3. Veremos porejemplo, que el número máximo de vectores linealmente independientes quepodemos encontrar en Rn es n).

De�nición 2.5.1 Dados un K − e.v. E y H ≺ E, se dice que un sistemau1, · · · , un de vectores de H es una base de H si u1, · · · , un es libre y ∀v ∈ Hse veri�ca que v es combinación lineal de u1, · · · , un.

En otras palabras, una base de un K − e.v. E es un sistema de vectoresde E que es simultáneamente libre y generador.

En particular, como E ≺ E, una base de E es un sistema de vectores deE que es libre y tal que todo vector de E se expresa como combinación linealde dicho sistema.

Nota: Si u1, · · · , un es una base de un K − e.v. E, es usual escribirB = {u1, · · · , un} para denotarla. Todo vector v ∈ E se escribe en la formav =

∑ni=1 aiui, donde los coe�cientes (a1, · · · , an) ∈ Kn están unívocamente

determinados, por la proposición 2.4.10, pero dependen en el orden dado alos vectores u1, · · · , un. Un cambio en el orden de los vectores u1, · · · , un dapor resultado un cambio correspondiente en el orden de los coe�cientes delvector v. Esta situación justi�ca la de�nición de base ordenada: una baseordenada B = (u1, · · · , un) de un K− e.v. E es un sistema de vectores libre,generador y ordenado.

Álgebra 113

Ejemplos1. El sistema {(1, 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1)} de vectores de Kn que he-

mos visto que es un sistema generador de Kn también es libre, puesto que si(α1, · · · , αn) ∈ Kn es tal que

α1(1, 0, · · · , 0) + · · ·+ αn(0, · · · , 0, 1) = (0, · · · , 0),

tendremos que (α1, · · · , αn) = (0, · · · , 0). Por consiguiente,

Bn = ((1, 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1))

es una base ordenada de Kn. A esta base se la conoce con el nombre de basecanónica de Kn y se la denota como Bn. Como caso particular, resulta queB1 = (1) es una base del K− e.v. K.

2. Como un subcaso del ejemplo anterior, resulta que ((1, 0), (0, 1)) es unabase ordenada de R2 (es la base canónica de R2). Por otra parte el sistema{(2, 1), (−1, 1)} también es una base de R2, puesto que

a) {(2, 1), (−1, 1)} es libre, ya que si α(2, 1) + β(−1, 1) = (0, 0), resultaque (2α− β, α + β) = (0, 0), de donde, resolviendo el sistema

{2α− β = 0α + β = 0

obtenemos que α = β = 0, es decir, (α, β) = (0, 0).b) Todo vector de R2 se puede expresar como combinación lineal de

{(2, 1), (−1, 1)}, puesto que dado (x, y) ∈ R2, poniendo

(x, y) = α(2, 1) + β(−1, 1),

resulta que(x, y) = (2α− β, α + β),

es decir, {x = 2α− βy = α + β

,

de donde x + y = 3α, i.e., α = 13(x + y) y β = y − 1

3(x + y) , es decir,

β = 23y − 1

3x; en otras palabras, el sistema de ecuaciones

{x = 2α− βy = α + β

114 Álgebra

tiene solución ∀(x, y) ∈ R2 y podemos escribir

(x, y) =

(1

3x +

1

3y

)(2, 1) +

(2

3y − 1

3x

)(−1, 1),

y en consecuencia {(2, 1), (−1, 1)} es un sistema generador de R2.

3. Siendo Pn(C) el conjunto de polinomios con coe�cientes en C de grado≤ n, se veri�ca que 1, x, · · · , xn es una base de Pn(C) pues

a) {1, x, · · · , xn} es libre (compruébese) yb) si f ∈ Pn(C), ∃(a0, a1, · · · , an) ∈ Kn+1 tal que ∀x ∈ Cf = a0+a1x+· · ·+anxn, con lo que f es combinación lineal de {1, x, · · · , xn}.4. En el K − e.v. de las matrices columna de n �las, Mn×1(K), siendo

∀i ∈ {1, · · · , n}ei : {1, · · · , n} × {1} → Mn×1(K)

(j, 1) ;

{1 si j = i0 si j 6= i

,

es fácil comprobar que {e1, · · · , en} una base de Mn×1(K). A esta basetambién la denominaremos base canonica de Mn×1(K) y la denotaremos porBc. Es decir, utilizando la notación matricial usual,

Bc = {e1, · · · , en} = {

10...0

,

01...0

, · · · ,

00...1

}.

Ejercicio 2.5.1 En el espacio vectorial de la matrices Mm×n(K),∀i ∈ {1, · · · ,m} y ∀j ∈ {1, · · · , n}, sea Eij la matriz que tiene un únicocoe�ciente no nulo: Eij(i, j) = 1. Veri�car que las mn matrices Eij formanuna base de Mm×n(K).

De�nición 2.5.2 Si B = (u1, · · · , un) es una base ordenada del K− e.v. E

y v =n∑

i=1

αiui, a la matriz

α1...

αn

∈ Mn×1(K)

Álgebra 115

la denominaremos matriz de coordenadas del vector v respecto de la base B, osimplemente coordenadas del vector v respecto de B, y la denotaremospor (v)B.

Ejemplo 2.5.3 En el espacio vectorial R3, siendoB3 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)),

resulta que

((3,−2, 1))B3=

3−21

puesto que(3,−2, 1) = 3(1, 0, 0) + (−2)(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1).

Ejemplo 2.5.4 En el espacio vectorial P3(C) de los polinomios de grado≤ 3, siendo B = (1, x, x2, x3), resulta que

(2x3 + x− 5

)B

=

−5102

,

puesto que 2x3 + x− 5 = (−5) · 1 + x + 0 · x2 + 2x3.

Ejemplo 2.5.5 En el espacio vectorial R2, siendo B2 = ((1, 0), (0, 1)) y B =((2, 1), (−1, 1)), resulta que ∀(x, y) ∈ R2,

((x, y))B2=

(xy

)

mientras que

((x, y))B =

13x + 1

3y

23y − 1

3x

.

En particular,((1, 0))B2

=

(10

)

mientras que((1, 0))B =

(13

−13

).

116 Álgebra

De�nición 2.5.6 Se dice que un K − e.v. E es de dimensión �nita si∃n ∈ N, y ∃u1, · · · , un sistema de vectores de E tal que {u1, · · · , un} es unabase de E.

Ejemplo 2.5.7 ∀n ∈ N se veri�ca que Kn es un K− e.v. �nitamente gene-rado, puesto que ∀(x1, · · · , xn) ∈ Kn

(x1, · · · , xn) = x1(1, 0, · · · , 0) + · · ·+ xn(0, · · · , 0, 1),

con lo que el sistema de n elementos ((1, 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, 1)) es unsistema generador de Kn y, puesto que es libre, es una base de Kn.

Ejemplo 2.5.8 El C − e.v. de los polinomios C[x] no es de dimensión �-nita, puesto que, razonando por reducción al absurdo, si suponemos que{p1, · · · , pn} es una base de C[x], siendo

r = max{gr(pi) |i ∈ {1, · · · , n}},es obvio que el polinomio xr+1 ∈ C[x] no se puede expresar como combinaciónlineal del sistema {p1, · · · , pn}.

2.5.2 Equipotencia de basesObservación 28 Si {u1, · · · , un} es un sistema de vectores de un K − e.v.E, y ∃i ∈ {1, · · · , n} tal que ui es combinación lineal del sistema

{u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un},entonces cualquier vector que sea combinación lineal de {u1, · · · , un} es tam-bién combinación lineal de

{u1, · · · , ui−1, ui+1, · · · , un},

puesto que si ui =n∑

j=1,j 6=i

αjuj y v =n∑

j=1

βjuj, tendremos que

v = β1u1 + · · ·+ βi−1ui−1 + βi

(n∑

j=1,j 6=i

αjuj

)+ βi+1ui+1 + · · ·+ βnun =

=n∑

j=1,j 6=i

γjuj,

Álgebra 117

donde ∀j ∈ {1, · · · , n} − {i}

γj = (βj + βiαj) .

Proposición 2.5.9 Sean E un K − e.v., {u1, · · · , un} una base de E y{v1, · · · , vm} un sistema de vectores de E con m > n. En estas condicio-nes el sistema {v1, · · · , vm} es ligado.

Demostración Supondremos que ∀i ∈ {1, · · · , m} vi 6= 0, puesto que encaso contrario, automáticamente el sistema {v1, · · · , vm} es ligado. Veamosque aún siendo ∀i ∈ {1, · · · ,m} vi 6= 0, el sistema (v1, · · · , vm) es ligado.Puesto que {u1, · · · , un} es una base de E, ∀j ∈ {1, · · · ,m}

vj =n∑

i=1

aijui.

Por consiguiente, suponiendo quem∑

j=1

βjvj = 0.

tendremos quem∑

j=1

βj(n∑

i=1

aijui) = 0.

es decir,n∑

i=1

(m∑

j=1

aijβj )ui = 0.

(en este punto es importante que el alumno utilice una notación no contra idadel sumatorio para �entender� el paso anterior) con lo que, teniendo en cuentaque {u1, · · · , un} es una base de E, obtenemos que todos los coe�cientes de lacombinación lineal anterior deben ser iguales a cero, es decir, ∀i ∈ {1, · · · , n},

m∑j=1

aijβj = 0.

118 Álgebra

y, puesto que el sistema de ecuaciones homogéneo

a11β1 + · · ·+ a1nβm = 0...

an1β1 + · · ·+ anmβm = 0

tiene más incógnitas que ecuaciones (m > n), dicho sistema tiene solucionesdiferentes de la trivial, por lo que {v1, · · · , vm} es ligado. 2

Observación 29 Cualquier sistema de 4 o más vectores de R3 es ligado.

Corolario 2.5.10 (Equipotencia de bases en un K−e.v. de dimensión �nita)Si E es un K− e.v. �nitamente generado y

B = {u1, · · · , un} y B′ = {v1, · · · , vm} (2.10)

son bases de E, se veri�ca necesariamente que n = m.

Demostración Por la proposición anterior, como todo vector del sistema{v1, · · · , vm} es combinación lineal de {u1, · · · , un} (puesto que {u1, · · · , un}es base de E) concluímos que m ≤ n (ya que en caso contrario {v1, · · · , vm}sería ligado, en contradicción con que sea base).Por el mismo motivo, como {v1, · · · , vm} todo vector del sistema {u1, · · · , un}es combinación lineal de {v1, · · · , vm} concluímos que n ≤ m (ya que en casocontrario {u1, · · · , un} sería ligado, en contradicción con que sea base), y ende�nitiva obtenemos que n = m. 2

Una vez demostrado que si E es un K − e.v. de dimensión �nita todaslas bases de E tienen el mismo número de elementos, podemos establecer lasiguiente de�nición:

De�nición 2.5.11 Si E es un K− e.v. de dimensión �nita y

(u1, · · · , un) ∈ En

es una base de E, diremos que la dimensión de E es n y escribiremos

dim(E) = n.

Álgebra 119

Ejemplos:1. Cómo 1 ∈ K es una base del K− e.v. K, resulta que

dim(K) = 1.

2. Teniendo en cuenta que la base canónica de Kn tiene �n� elementos,resulta que

dim(Kn) = n.

3. Puesto que (1, x, · · · , xn) ∈ (Pn(C))n+1 es una base de Pn(C), tendre-mos que

dim(Pn(C)) = n + 1.

A esta base la denominaremos base usual de Pn(C).

Además del teorema de equipotencia de bases en un K − e.v. de dimen-sión �nita, de la proposición (2.5.9) también se pueden obtener de manerainmediata los siguientes resultados.Proposición 2.5.12 Si E es un K− e.v. y {u1, · · · , un} es una base de E,entonces se veri�ca que:

1. ({v1, · · · , vm} sistema de vectores de E ∧ (m > n)) ⇒ {v1, · · · , vm} li-gado;

2. {v1, · · · , vn} sistema libre de vectores de E ⇒ {v1, · · · , vn} base;

3. {v1, · · · , vn} sistema generador de E ⇒ {v1, · · · , vn} base.

Demostración 1. Evidente a partir de la proposición (2.5.9).2. Evidente a partir de la proposición (2.4.13) y 1.3. Si {v1, · · · , vn} es un sistema generador de E y {v1, · · · , vn} es li-

gado, entonces (aplicando la proposición (2.4.11) hasta reducir el sistema{v1, · · · , vn} a un sistema libre,) existirán r ∈ N, r ≤ n y una base B ={w1, · · · , wr} de E, tales que ∀i ∈ {1, · · · r} ∃j ∈ {1, · · · , n} de manera quewi = vj. Pero puesto que {w1, · · · , wr} es una base de E, r = n y pues-to que {w1, · · · , wn} es libre y la n − tupla {v1, · · · , vn} no es más que unareordenación de la n−tupla {w1, · · · , wn}, resulta que {v1, · · · , vn} es libre.2

Ejercicio 2.5.2 Veri�car que el sistema {1, 1+x, x2} es una base de P2(C).

120 Álgebra

2.6 Subespacios vectoriales y dimensiónObservación 30 Si E es un K−e.v. de dimensión �nita y H ≺ E, entoncesH también es de dimensión �nita y dim(H) ≤ dim(E), puesto que cualquiersistema libre de vectores de H también es un sistema libre de vectores de E.Nótese además que si H es un subespacio vectorial de E tal que dim(H) =dim(E), se veri�ca necesariamente que H = E, puesto que si (u1, · · · , un) ∈Hn es una base de H, entonces (u1, · · · , un) también es una base de E, puestoque es un sistema libre de n vectores de E, y en consecuencia al poder expresartodo vector de E como combinación lineal de (u1, · · · , un), todo vector de Eserá también un vector de H, con lo que H = E.

Proposición 2.6.1 (Teorema de extensión de una base) Si E es un K−e.v.�nitamente generado con dim(E) = n, H ≺ E y (u1, · · · , um) ∈ Hm es unabase de H con m < n entonces existe

(um+1, · · · , un) ∈ En−m

tal que (u1, · · · , um, um+1, · · · , un) es una base de E.

Demostración Razonamos por inducción sobre n−m :Base de inducción. Si n−m = 1, entonces m = n−1 y (u1, · · · , um) =

(u1, · · · , un−1). Ahora bien, como (u1, · · · , un−1) es una base de H,(u1, · · · , un−1) es un sistema libre, y por otra parte, teniendo en cuenta quedim(E) = n, resulta que (u1, · · · , un−1) no es una base de E, y por consi-guiente ∃v ∈ E tal que v no es combinación lineal de (u1, · · · , un−1); pero,en ese caso, tendremos que (u1, · · · , un−1, v) ∈ En es un sistema libre, con loque obtenemos que (u1, · · · , un−1, v) es una base de E.

Paso de inducción. Supongamos cierto el resultado para n −m = k,y sea E un K − e.v. tal que dim(E) = n, H ≺ E y (u1, · · · , um) ∈ Hm unabase de H tal que n − m = k + 1. En ese caso (u1, · · · , um) es un sistemalibre de E y, puesto que m < n, (u1, · · · , um) no es base de E, por lo que∃v ∈ E tal que v no es combinación lineal de (u1, · · · , um). Por consiguien-te (u1, · · · , um, v) es libre. Pero en ese caso, si consideramos el subespaciovectorial H ′ = L({ui |i ∈ {1, · · · ,m}} ∪ {v}), resulta que todo vector de H ′

se expresa como combinación lineal de (u1, · · · , um, v) y que además estesistema es libre, con lo que (u1, · · · , um, v) es una base de H ′. Ahora bien,dim(H ′) = m + 1, y por lo tanto, teniendo en cuenta que n − m = k + 1,

Álgebra 121

resulta que n− (m + 1) = k, con lo que aplicando la hipótesis de inducción,∃(um+2, · · · , un) ∈ En−(m+1) tal que (u1, · · · , um, v, um+2, · · · , un) es una ba-se de E; es decir, la demostración está completa. 2

Observación 31 Nótese que el resultado anterior tiene como consecuenciaque si (u1, · · · , um) es un sistema libre de vectores de E y

dim(E) = n > m,

entonces ∃(um+1, · · · , un) ∈ En−m tal que(u1, · · · , um, um+1, · · · , un)

es una base de E, puesto que si es libre, (u1, · · · , um) es un sistema generadordel subespacio vectorial

H = L({ui |i ∈ {1, · · · ,m}}).

Nota. Dados un K − e.v. E, y H ≺ E, si dim(H) = 1 se dice que Hes una recta de E, si dim(H) = 2, se dice que H es un plano de E, y sidim(E) = n y dim(H) = n− 1, se dice que H es un hiperplano de E.

Así por ejemplo, en el C− e.v. P4(C) = {f ∈ C[x] |gr(f) ≤ 4}, podemosa�rmar que

L((1)) = {f ∈ P4(C) |∃α ∈ C..∀z ∈ C f(z) = (α · 1) (z) = α}es una recta de P4(C), que L((x, x2)), es decir, el conjunto{f ∈ P4(C)

∣∣∃(α, β) ∈ C2..∀z ∈ C f(z) =(αx + βx2

)(z) = αz + βz2}

es un plano de P4(C) y que L((1, x, x2, x3)) es un hiperplano de P4(C).

Observación 32 Puesto que dim(R3) = 3, si H ≺ R3, H 6= R3, resultaque dim(H) = 0, 1 ó 2. Si dim(H) = 0, H = {(0, 0, 0)}. Si dim(H) = 1,y u = (x, y, z) ∈ H, u 6= (0, 0, 0), tendremos que H = L({u}) = {v ∈R3 |∃α ∈ R tal que v = αu}, y es fácil ver que la representación grá�ca deH es la recta que pasa por el punto (0, 0, 0) (puesto que 0 = (0, 0, 0) ∈ H alser H ≺ R3) y el punto (x, y, z). Finalmente, si dim(H) = 2, y (u, v) es unabase de H, resulta que H = {w ∈ R3 |∃(α, β) ∈ R2 tal que w = αu + βv} yes fácil ver que la representación grá�ca de H es el plano de R3 que pasa por(0, 0, 0) y por u y v.

122 Álgebra

2.7 Rango de un sistema de vectores y de unamatriz

De�nición 2.7.1 Sean E un K-e.v. y {u1, · · · , um} un sistema de vecto-res E. Se denomina rango del sistema {u1, · · · , um} a la dimensión delsubespacio vectorial L(u1, · · · , um). Para indicar que el rango del sistema{u1, · · · , um} es r escribiremos

rg(u1, · · · , um) = r.

Ejemplo 2.7.2 En el espacio vectorial R3, rg((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) = 3.Por otra parte, rg((1, 0, 0), (0, 1, 0)) = 2, puesto que al ser {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}un sistema libre, constituyen una base del subespacio vectorial que generan.

Ejemplo 2.7.3 En el espacio vectorial P2(C), rg(1, x2, 1 + x2) = 2.

A tenor de los resultados vistos hasta ahora, resulta evidente que

rg(u1, · · · , um, v) = rg(u1, · · · , um) ⇔ v ∈ L(u1, · · · , um).

De�nición 2.7.4 Sea A ∈ Mm×n(K). Si {A1, · · · , An} es el sistema de vec-tores de Mm×1(K) formado por las columnas de A, se denomina rango de Aal rango de dicho sistema de vectores, es decir,

rg(A) = rg(A1, · · · , An).

Ejemplo 2.7.5 Dada la matriz A =

1 1 11 1 01 0 0

∈ M3(R), se veri�ca que

rg(A) = rg(

111

110

100

).

Ahora bien, si

α

111

+ β

110

+ γ

100

=

000

,

Álgebra 123

tendremos que

α + β + γ = 0α + β = 0α = 0

de donde α = 0 = β = γ, es decir, el sistema es libre, de donde

rg(

111

110

100

) = 3

y, en consecuencia, rg(A) = 3.

De�nición 2.7.6 Si A ∈ Mm×n(K), al subespacio de Mm×1(K) generado porlas columnas de A, L(A1, · · · , An), se le denomina espacio columna de A.

Tras el estudio de la siguiente sección, veremos un método sistemático ysencillo para determinar el rango de un sistema de vectores, que obviamenteservirá también para determinar el rango de una matriz.

2.8 El teorema de Rouché-FröbeniusEs importante observar que dado un sistema de m ecuaciones lineales con nincógnitas y con coe�cientes en K de la forma

a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1,...

am1x1 + · · ·+ amnxn = bm,

determinar el conjunto solución de dicho sistema (i.e., resolver dicho sistemacuando es compatible) signi�ca determinar si existen x1, · · · , xn de maneraque se satisfaga la siguiente expresión:

x1 ·

a11...

am1

+ · · ·+ xn ·

a1n...

amn

=

b1...

bm

,

que, de forma reducida, expresaremos:

x1A1 + · · ·+ xnA

n = b,

124 Álgebra

donde

∀j ∈ {1, · · · , n} Aj = ·

a1j...

amj

∧ b =

b1...

bm

.

(Nótese que la expresión anterior es una ecuación lineal de Mm×1(K)).

Es decir, el sistema será compatible si

b1...

bm

∈ Mm×1(K) se puede

expresar como combinación lineal de los vectores columna de Mm×1(K)

a11...

am1

, · · · ,

a1n...

amn

.

Los resultados vistos sobre dependencia e independencia lineal aplicadosa este caso concreto nos llevan al siguiente resultado:

Proposición 2.8.1 Dado el sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1,...

am1x1 + · · ·+ amnxn = bm,

o, lo que es lo mismo,AX = b

con A ∈ Mm×n(K) y b ∈ Mm×1(K) y siendo S el conjunto formado por lassoluciones del mismo, las siguientes a�rmaciones son equivalentes:

1. El sistema de ecuaciones es compatible (es decir, S 6= ∅);2. b ∈ L(A1, · · · , An);

3. L(A1, · · · , An) = L(A1, · · · , An, b).

4. rg(A) = rg(A |b) , donde (A |b) es la matriz ampliada asociada al sis-tema de ecuaciones considerado.

Álgebra 125

Por otra parte, teniendo en cuenta que si un vector se escribe como com-binación lineal de un sistema libre, dicha expresión es única, resulta que:

Proposición 2.8.2 Si el sistema de ecuaciones lineales

AX = b

con A ∈ Mn(K) y b ∈ Mn×1(K) es compatible, son equivalentes las a�rma-ciones siguientes:

1. El sistema es compatible determinado.

2. (A1, · · · , An) es un sistema libre de Mn×1(K).

3. (A1, · · · , An) es una base de Mn×1(K).

4. rg(A1, · · · , An) = n.

5. rg(A) = rg(A |b) = n.

Al resultado sobre la existencia y unicidad de soluciones de un sistema deecuaciones lineales que aparece desglosado en las dos últimas proposicionesse le conoce con el nombre de Teorema de Rouché-Fröbenius.

Así por ejemplo, el sistema de ecuaciones con coe�cientes en R{

x + y = 2,2x + 2y = 4,

da lugar a la siguiente combinación lineal de M2×1(R)

x ·(

12

)+ y ·

(12

)=

(24

).

Así pues el sistema es compatible, puesto que(

24

)∈ L(

(12

),

(12

))

e indeterminado, ya que

(

(12

),

(12

)) ∈ (M2×1(R))2

126 Álgebra

es un sistema ligado.Nota importante. Obsérvese que si E es un K− e.v. de dimensión n y

B es una base ordenada de E, siendo v1, · · · , vm, u ∈ E, resulta que, al estarcaracterizado un vector por sus coordenadas respecto de una base ordenada,

m∑i=1

αivi = u ⇔m∑

i=1

αi(vi)B = (u)B.

La expresión situada a la derecha del símbolo �⇔� es una ecuación lineal deMn×1(K), de modo que puede ser considerada como un sistema de ecuacioneslineales. Así pues, determinar si un vector u ∈ E depende linealmente o no deun sistema de vectores dado v1, · · · , vm y hallar, en su caso, α1, · · · , αm ∈ Ktales que

m∑i=1

αivi = u,

consistirá en �jar una base B del espacio vectorial E para estudiar (y, en sucaso, resolver) la ecuación lineal de Mn×1(K)

m∑i=1

αi(vi)B = (u)B

o, si se pre�ere, el sistema de ecuaciones lineales equivalente.Ejemplos.1. En el espacio vectorial P2(C) de los polinomios de grado ≤ 2, para

determinar si el vector 3 − 2x + x2 pertenece o no al subespacio vectorialL(−x2 + x, x− 3), debemos estudiar si existen α, β ∈ C tales que

α(−x2 + x) + β(x− 3) = 3− 2x + x2;

siendo B = (1, x, x2), el problema anterior es equivalente a

α(−x2 + x)B + β(x− 3)B = (3− 2x + x2)B;

es decir,

α

01−1

+ β

−310

=

3−21

,

Álgebra 127

o, lo que es lo mismo, a resolver el sistema de ecuaciones:

−3β = 3,α + β = −2,−α = 1,

que tiene como solución α = β = −1.

2. Resolver el sistema de ecuaciones lineales{x− y = 2

3x + y = 0,

es equivalente a ver si es posible expresar el vector(

20

)como combinación

lineal de los vectores(

13

)y

( −11

)de la forma:

x

(13

)+ y

( −11

)=

(20

).

Este sistema de ecuaciones es compatible determinado, puesto que el sistema(

(13

),( −1

1

)) es un sistema libre de M2×1(R) y, puesto que la dimensión

de M2×1(R) es 2, constituye una base y cualquier vector (en particular(

20

))

se puede expresar como combinación lineal suya.

Teorema 2.8.3 Dado el sistema de ecuaciones lineales

a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1,...

am1x1 + · · ·+ amnxn = bm,

o, lo que es lo mismo,AX = b

con A ∈ Mm×n(K) y b ∈ Mm×1(K) y siendo S el conjunto formado por lassoluciones del mismo, se veri�ca que:

1. El conjunto SH solución de la ecuación homogénea

x1A1 + · · ·+ xnA

n = (0),

es un subespacio vectorial de Kn.

128 Álgebra

2. Si la ecuación lineal (o, si se pre�ere, el sistema de ecuaciones lineales)

x1A1 + · · ·+ xnA

n = b,

es compatible, S es su conjunto solución, y (α1, · · · , αn) ∈ S, entonces∀(β1, · · · , βn) ∈ Kn

((β1, · · · , βn) ∈ S ⇔ ((β1, · · · , βn)− (α1, · · · , αn)) ∈ SH)

Demostración Ejercicio. 2

Observación 33 Como consecuencia del teorema anterior, el conjunto solu-ción de un sistema de ecuaciones lineales se obtiene sumando a una solucióncualquiera de dicho sistema todas las soluciones del sistema homogéneo aso-ciado. Es decir, si (α1, · · · , αn) es una solución cualquiera del sistema deecuaciones lineales,

x1A1 + · · ·+ xnA

n = b,

siendo S su conjunto solución y SH el conjunto solución del sistema homo-géneo asociado, se veri�ca que:

S =

{(γ1, · · · , γn) ∈ Kn

∣∣∣∣∃(β1, · · · , βn) ∈ SH ..

(γ1, · · · , γn) = (α1, · · · , αn) + (β1, · · · , βn)

}

Es usual recalcar esta circunstancia escribiendo

S = (α1, · · · , αn) + SH .

Por otra parte, si (α1, · · · , αn) es una solución cualquiera de la ecuaciónlineal

x1A1 + · · ·+ xnA

n = b,

y (β1, · · · , βn) es una solución de la ecuación lineal

x1A1 + · · ·+ xnA

n = c,

resulta que (α1 + β1, · · · , αn + βn) es solución de la ecuación lineal

x1A1 + · · ·+ xnAn = b + c.

Este hecho se conoce con el nombre de principio de superposición desoluciones.

Álgebra 129

De�nición 2.8.4 Dado el sistema de ecuaciones lineales,

x1A1 + · · ·+ xnA

n = b,

con A ∈ Mm×n(K) y b ∈ Mm×1(K), denominaremos sistema fundamentalde soluciones de dicho sistema a cualquier base del espacio vectorial SH desoluciones de su ecuación homogénea asociada.

Observación 34 Nótese que si (w1, · · · , wr) es un sistema fundamental desoluciones del sistema de ecuaciones lineales

x1A1 + · · ·+ xnA

n = b,

siendo S su conjunto solución y s ∈ S una solución particular de dichaecuación, se veri�ca que

u ∈ S ⇔ ∃λ1, · · · , λr ∈ K tal que u = s + λ1w1 + · · ·+ λrwr.

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones lineales{

x + y + z = 2,2x + 2y + 2z = 4,

la ecuación lineal de M2×1(R) correspondiente es

x

(12

)+ y

(12

)+ z

(12

)=

(24

).

El sistema es compatible e indeterminado de hecho (

(12

),

(12

),

(12

))

es un sistema ligado y(

24

)∈ L(

(12

),

(12

),

(12

)) = L(

(12

)).

El conjunto solución se puede expresar mediante la suma de una soluciónparticular del sistema a todas las del homogéneo. Resolviendo el sistemahomogéneo asociado por el método de Gauss-Jordan tenemos que la soluciónes

x = −s− t,y = s,z = t,

130 Álgebra

es decir,

xyz

= s

−110

+ t

−101

o, si se pre�ere,(x, y, z) = s(−1, 1, 0) + t(−1, 0, 1).

Los vectores (1, 0,−1) y (1,−1, 0) constituyen una base de SH . Por consi-guiente

((1, 0,−1), (1,−1, 0))

es un sistema fundamental de soluciones del sistema dado. Como (0, 0, 2) esuna solución particular de dicha ecuación, resulta que:

S = {(x, y, z) ∈ R3

∣∣∣∣∃α, β ∈ R .. (x, y, z) =

= (0, 0, 2) + α(−1, 1, 0) + β(−1, 0, 1)}.

2.9 Método de Gauss y rangoEn esta sección vamos a ver un método sistemático que servirá para deter-minar el rango de una matriz y de un sistema de vectores.

2.9.1 Transformaciones elementales por columnas y ma-trices elementales

Al estudiar un método para hallar la inversa de una matriz, vimos en elcapítulo 1 que las transformaciones elementales por �las son invertibles, y quela inversa de una transformación elemental es una transformación elemental,según el cuadro

TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN INVERSAFi = Fi + λFj Fi = Fi − λFj

Fi = λFi (λ 6= 0) Fi =1

λFi

Fi ↔ Fj Fi ↔ Fj

Álgebra 131

Por el mismo motivo, las correspondientes transformaciones elementales porcolumnas son invertibles, y la tabla correspondiente será la siguiente:

TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN INVERSACi = Ci + λCj Ci = Ci − λCj

Ci = λCi (λ 6= 0) Ci =1

λCi

Ci ↔ Cj Ci ↔ Cj

Denotamos por Sij(λ) a la matriz elemental asociada a la transformaciónCi = Ci + λCj, por P i(λ) a la matriz elemental asociada a la transformaciónCi = λCi (λ 6= 0) y por Eij a la matriz elemental asociada a la transformaciónCi ↔ Cj.No es difícil veri�car (y lo comprobaremos también al realizar la práctica 2en el aula informática) que valen las siguientes identidades:

Sij(λ) = Sji(λ)

P i(λ) = Pi(λ)

Eij = Eij

Además vale el siguiente teorema:

Teorema 2.9.1 Si A ∈ Mm×n(K) y E es la matriz elemental de orden nque se obtiene al realizar la transformación elemental t sobre las columnasde In, según el esquema

In

t−→ E,

entonces si A′ es la matriz resultante de realizar la transformación t sobrelas columnas de A según el esquema

At−→ A′,

resulta queA′ = A · E

132 Álgebra

Es decir, en este caso hay que multiplicar por la matriz elemental corres-pondiente pero por la derecha en lugar de por la izquierda.

Ejercicio 2.9.1 Verifíquese el resultado anterior para t ≡ C2 = C2 + 3C1

sobre la matriz

A =

1 0 23 1 10 1 4

,

es decir, comprobar que si A′ es la matriz resultante de hacer actuar t sobreA, entonces

A′ = A · S21(3) = A · S12(3).

2.9.2 Método de Gauss para calcular el rango de unamatriz

Buscamos un método que nos permita determinar de un modo sencillo elrango de una matriz A ∈ Mm×n(K). Para ello, vamos a comprobar en pri-mer lugar que al realizar transformaciones elementales sobre las columnasde una matriz A no se altera su rango. El siguiente lema se aplicará en lademostración del teorema principal:

Lema 2.9.2 Si E es un K− e.v. y (u1, · · · , un) y (v1, · · · , vm) son sistemasde vectores de E, se veri�ca que

L(u1, · · · , un) = L(v1, · · · , vm) ⇔

u1, · · · , un ∈ L(v1, · · · , vm)∧

v1, · · · , vm ∈ L(u1, · · · , un)

Demostración Se deja como ejercicio. 2

Teorema 2.9.3 Si A ∈ Mm×n(K), y B ∈ Mm×n(K) es la matriz resultadode realizar una transformación elemental por columnas t sobre A, se veri�caque

rg(A) = rg(B)

Álgebra 133

Demostración Para demostrar el resultado, comprobaremos que si

At−→ B,

entonces L(A1, · · · , An) = L(B1, · · · , Bn), con lo que rg(A) = rg(B). Dis-tingamos tres posibilidades:

a) t ≡ Ci = Ci + λCj. En ese caso todos los vectores columna de A yB coinciden, salvo el i − esimo; pero Bi = Ai + λAj y Ai = Bi − λAj =Bi − λBj, con lo que, teniendo en cuenta el lema anterior, concluimos queL(A1, · · · , An) = L(B1, · · · , Bn).

b) t ≡ Ci = λCi (λ 6= 0). En ese caso todos los vectores columna de Ay B coinciden, salvo el i − esimo; pero Bi = λAi y Ai = (λ−1)Bi, con loque, teniendo en cuenta el lema anterior, concluimos que L(A1, · · · , An) =L(B1, · · · , Bn).

c) Finalmente si t ≡ Ci ↔ Cj, es obvio que L(A1, · · · , An) = L(B1, · · · , Bn).2

Es obvio, a partir de la proposición anterior, que si en lugar de realizar unatransformación elemental, realizamos un número �nito de ellas t1, · · · , tr elrango se conserva. Es decir, si

At1−→, · · ·

tr,−→ B,

necesariamente rg(A) = rg(B).Vamos a considerar ahora un tipo de matrices cuyo rango se calcula de

un modo sencillo:

De�nición 2.9.4 Se dice A ∈ Mm×n(K) es una matriz gaussiana si ∀j ∈{1, · · · , n} la columna Aj de A veri�ca una de las dos siguientes condiciones:

G.1 Aj = (0) ∈ Mm×1(K),

G.2 ∃i ∈ {1, · · · ,m} tal que

Aj(i, 1) = A(i, j) 6= 0 ∧ (∀k ∈ {j + 1, · · · , n} A(i, k) = 0) .

134 Álgebra

Ejemplo 2.9.5 Las siguientes matrices son gaussianas

3 0 11 0 12 0 10 0 11 0 0

,

0 11 00 10 10 0

,

(0 11 0

),

0 1 1 20 1 0 00 1 1 00 1 0 0

,

1 0 00 1 00 0 1

.

Sin embargo la matriz

2 0 11 0 12 0 10 0 10 0 0

no es gaussiana, pues el primer vector columna no satisface ni la condiciónG.1 ni la condición G.2.

Proposición 2.9.6 Si A ∈ Mm×n(K) es una matriz gaussiana, entonces elrango de A coincide con el número de vectores columna no nulos de A. Enparticular, los vectores columna no nulos de la matriz gaussiana A constitu-yen una base del espacio columna de dicha matriz,

L(A1, · · · ,An).

Demostración Sea

I = {i ∈ {1, · · · , n}∣∣Ai 6= (0)},

y supongamos que el número de elementos de I es k.Por el teorema 2.9.3 podemos aplicar transformaciones elementales por

columna y suponer que la columnas nulas de A sean las últimas. Entonces

I = {1, · · · , k} k ≤ n.

Consideremos el sistema

(A1, · · · ,Ak).

Si demostramos que el sistema (A1, · · · ,Ak) es libre, habremos concluidola demostración, pues

∀i ∈ {k + 1, · · · , n}, Ai = (0).

Álgebra 135

Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que

∃(α1, · · · , αk) ∈ Kk, (α1, · · · , αk) 6= (0, · · · , 0),

tal queα1A

1 + · · ·+ αkAk = (0).

En ese caso, siendot = min{i ∈ I |αi 6= 0},

resulta que At 6= (0) y, como A es una matriz gaussiana, existirá

h ∈ {1, · · · ,m} tal que A(h, t) = γ 6= 0

y tal que ∀s ∈ {t + 1, · · · , n}A(h, s) = 0,

o lo que es lo mismo,At(h, 1) = γ

y ∀s ∈ {t + 1, · · · , n},As(h, 1) = 0.

Pero en ese caso tendremos que

0 = (0)(h, 1) =(αtA

t + · · ·+ αkAk)(h, 1) =

= αtAt(h, 1) + · · ·+ αkA

k(h, 1) = αtγ,

de donde αt = 0, lo que contradice que t = min{i ∈ I |αi 6= 0}. 2

A partir de la proposición anterior, está claro en qué consiste el métodode Gauss para determinar el rango de una matriz: se trata de realizartransformaciones elementales por columna sobre dicha matriz hasta obteneruna matriz gaussiana, cuyo rango se determina de manera inmediata. Esto essiempre posible aplicando la siguiente estrategia sobre la matriz consideradaA de n columnas:

1. Consideramos la primera columna de A : j = 1.2. Si Aj = (0) ir al paso 4.3. Si Aj 6= (0) seleccionar un coe�ciente no nulo de dicha columna y

hacer ceros (utilizando transformaciones elementales por columnas) todoslos coe�cientes situados en su misma �la a su derecha.

136 Álgebra

4. Hacemos j = j + 1.5. Si j = n. FIN.6. Si j < n ir al paso 2.La nueva matriz obtenida tras el proceso anterior es una matriz gaussiana.

Ejercicio 2.9.2 Determinar el rango de las siguientes matrices:

1 2 11 1 12 0 10 1 1

,

( −1 32 5

),

1 1 1 20 1 0 11 −1 1 12 1 0 1

,

1 2 10 1 12 0 2

.

Observación 35 Si el problema que se intenta resolver consiste en deter-minar el rango de un sistema de vectores {v1, · · · , vm} de un K − e.v. E dedimensión �nita, �jada una base ordenada B de E, consideraremos la matrizC ∈ Mn×m(K) tal que ∀i ∈ {1, · · · , m}

C i = (vi)B

y realizaremos transformaciones elementales por columnas sobre C hasta ob-tener una matriz gaussiana.

Ejemplo 2.9.7 En el R − e.v. R3 con su estructura de espacio vectorialhabitual, para determinar el rango del sistema

{(2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)},consideramos la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectoresdel sistema anterior respecto de la base canónica B3 de R3

C =

2 1 11 1 01 0 0

y observamos que es una matriz gaussiana, por lo que rg(C) = 3, i.e.,

rg((2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) = rg((2, 1, 1)B3 , (1, 1, 0)B3 , (1, 0, 0)B3) =

= rg(C) = 3

es decir {(2, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} es libre, y puesto que dim(R3) = 3, resultaque es una base de R3.

Álgebra 137

Ejemplo 2.9.8 Para hallar el rango del sistema de vectores{1 + x− 2x2, 2− 2x3, x− 2x2 + x3}

del C−e.v. P3(C) consideramos la base B = (1, x, x2, x3), y la matriz A cuyascolumnas son las coordenadas de los vectores del sistemas dado respecto deB, es decir,

A =

1 2 01 0 1−2 0 −20 −2 1

.

El rango del sistema de vectores es el rango de A.

1 2 01 0 1−2 0 −20 −2 1

c3 = c3− c1−→

1 2 −11 0 0−2 0 00 −2 1

c3 = c3− 12c2

−→

1 2 01 0 0−2 0 00 −2 0

con lo querg(1 + x− 2x2, 2− 2x3, x− 2x2 + x3) = rg(A) = 2.

Además hemos obtenido que

L(

11−20

200−2

01−21

) = L(

11−20

200−2

0000

) =

= L(

11−20

200−2

)

con lo que los vectores cuyas coordenadas corresponden a estas dos últimasmatrices columna son linealmente independientes y constituyen una base delsubespacio considerado, es decir, (1 + x− 2x2, 2− 2x3) es una base de

L(1 + x− 2x2, 2− 2x3, x− 2x2 + x3).

138 Álgebra

Una vez obtenido un método sistemático para determinar el rango deun sistema de vectores, podemos aplicar dicho método de forma análoga alejemplo anterior para:

• determinar si un vector u pertenece o no a la variedad lineal generadapor un sistema dado de vectores (v1, · · · , vm), estudiando si

rg(v1, · · · , vm, u) = rg(v1, · · · , vm),

• obtener una base de un subespacio vectorial a partir de un sistemagenerador del mismo.

2.9.3 Algoritmo de extensión de una baseSea H un subespacio de dimensión k de un espacio vectorial E de dimensión�nita n. Dada una base BH = {u1, · · · , uk} de H, queremos determinar unalgoritmo para extender la base BH hasta obtener una base BE delespacio vectorial E, en el que H está sumergido.

Sea B una base pre-�jada del espacio total E. Es su�ciente con considerarla matriz U cuyas columnas son las coordenadas de los vectores {u1, · · · , uk}(que constituyen la base BH del subespacio vectorial H) respecto de la baseB, añadir a esa matriz los vectores columna de la matriz identidad de ordenla dimensión del espacio total E (el rango de la nueva matriz (U |In) es n)y aplicar el método de Gauss por columnas sin intercambiar el orden delas columnas. Las n columnas no nulas de la matriz gaussiana G obtenidason las coordenadas, respecto de la base B, de los n vectores de una basedel espacio total E (rango(G) = rango(U |In)). Ahora, las columnas de lamatriz original (U |In) correspondientes a las columnas no nulas de G dan lascoordenadas, respecto de la base B, de n vectores que son una extensión dela base BH .Ejemplo 2.9.9 Sean E = R4 y B = B4 la base canónica de R4. Sea H =L(u1, u2), donde, respecto de la base canónica, u1 = (1,−1, 2, 0) y u2 =(1, 1, 1, 1).

El sistema libre BH = {u1, u2} es una base de H. Aplicando el método deGauss a la matriz (U |I4) se obtiene:

1 1 1 0 0 0−1 1 0 1 0 02 1 0 0 1 00 1 0 0 0 1

c2 = c2 − c1

c3 = c3 − c1

→

1 0 0 0 0 0−1 2 1 1 0 02 −1 −2 0 1 00 1 0 0 0 1

Álgebra 139

c6 = c6 − c2

→

1 0 0 0 0 0−1 2 1 1 0 −22 −1 −2 0 1 10 1 0 0 0 0

c4 = c4 − c3

c6 = c6 + 2c3

→

1 0 0 0 0 0−1 2 1 0 0 02 −1 −2 2 1 −30 1 0 0 0 0

c5 = c5 − 12c4

c6 = c6 + 32c4

→

1 0 0 0 0 0−1 2 1 0 0 02 −1 −2 2 0 00 1 0 0 0 0

.

Entonces los vectores de coordenadas canónicas{(1,−1, 2, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} forman una extensión de BH

a una base de R4.

2.9.4 Rango y espacio �la de una matrizDe�nición 2.9.10 Si A ∈ Mm×n(K) al subespacio de M1×n(K) generadopor las �las de A, L(A1, · · · , Am), se le denomina espacio �la de A.

Vamos a demostrar que la dimensión del espacio �la de una matriz coin-cide con la dimensión de su espacio columna:

Teorema 2.9.11 Si A ∈ Mm×n(K) entonces

rg(A) = dim(L(A1, · · · , Am)) = dim(L(A1, · · · , An)).

Demostración Dada A ∈ Mm×n(K), supongamos que (b1, · · · ,bk) es unabase de L(A1, · · · , Am), donde ∀i ∈ {1, · · · , k} bi = (bi1, · · · , bin). En esecaso

A1 = c11b1 + · · ·+ c1kbk...Am = cm1b1 + · · ·+ cmkbk.

Ahora bien, esta últimas son igualdades entre vectores de M1×n(K), por loque los coe�cientes correspondientes de las matrices �la situadas a amboslados de la igualdad deberán coincidir, es decir, ∀j ∈ {1, · · · , n}

a1j = c11b1j + · · ·+ c1kbkj...amj = cm1b1j + · · ·+ cmkbkj.

140 Álgebra

Las igualdades anteriores se pueden expresar matricialmente ∀j ∈ {1, · · · , n}del siguiente modo:

a1j...

amj

= b1j

c11...

cm1

+ · · ·+ bkj

c1k...

cmk

Pero de estas igualdades se sigue que

A1, · · · , An ∈ L(

c11...

cm1

, · · · ,

c1k...

cmk

)

con lo quedim(L(A1, · · · , An)) ≤ k.

Pero k = dim(L(A1, · · · , Am)), con lo que hemos probado quedim(L(A1, · · · , An)) ≤ dim(L(A1, · · · , Am)).

Por otra parte, teniendo en cuenta que la matriz considerada A era unamatriz arbitraria, podemos aplicar el razonamiento anterior a la matriz tAobteniendo:

dim(espacio columna de tA) ≤ dim(espacio �la de tA),

pero esta desigualdad es equivalente a la siguiente:dim(espacio �la de A) ≤ dim(espacio columna de A),

con lo que, en de�nitiva, obtenemos quedim(L(A1, · · · , Am)) = dim(L(A1, · · · , An)).

2

Observación 36 De forma análoga a como se ha visto con las columnas,se puede demostrar que las operaciones elementales por �las no cambian elrango de una matriz. Como consecuencia del teorema anterior, el rangode una matriz se puede obtener también operando por �las en lugar de porcolumnas. De hecho, no es difícil convencerse de que los vectores �la distintosde cero de una matriz en forma escalonada constituyen una base del espacio�la de A, por lo que el método de eliminación gaussiana por �las es un métodoalternativo al método de Gauss visto para determinar el rango de una matriz.

Álgebra 141

Como colofón, y para �nalizar esta parte del capítulo, vamos a recogeren un teorema varios resultados equivalentes como consecuencia de todo lovisto:

Teorema 2.9.12 Si A ∈ Mn(K) son equivalentes:1. A es invertible.2. El sistema de ecuaciones lineales AX = (0) sólo tiene la solución

trivial.3. A es equivalente por �las a In.

4. El sistema AX = b es compatible determinado para toda matriz co-lumnas b ∈ Mn×1(K).

5. rg(A) = n.

6. Los vectores �la de A son linealmente independientes.7. Los vectores columna de A son linealmente independiente.8. det(A) 6= 0. (Esta última condición quedará establecida más claramen-

te después de realizar la práctica 2 en el aula informática).

2.10 Ejercicios2.10.1 Ejercicios resueltos1. Encontrar un vector u diferente de cero cuyo punto inicial es P =(−1, 3,−5) tal que

a) u tiene la misma dirección que v = (6, 7,−3).

b) u tiene dirección opuesta a la de v = (6, 7,−3).

2. Sean u = (−3, 1, 2), v = (4, 0,−8),y w = (6,−1,−4). Encontrar losescalares c1, c2, c3 tales que c1u + c2v + c3w = (2, 0, 4).

3. Demostrar que no existen los escalares c1, c2, c3 tales que c1(−2, 9, 6)+c2(−3, 2, 1) + c3(1, 7, 5) = (0, 5, 4).

4. Sean P el punto (2, 3,−2) y Q el punto (7,−4, 1).

a) Encontrar el punto medio del segmento de recta que une a P y Q.

b) Encontrar el punto sobre el segmento de recta que une a P y Q y estáa 3

4de la distancia de P a Q.

142 Álgebra

5. Suponer que la traslación de un sistema de coordenadas xy se hace paraobtener un sistema de coordenadas x′y′ cuyo origen O′ tiene las coordenadas(2,−3).

a) Encontrar las coordenadas x′y′ del punto P cuyas coordenadas xy son(7, 5).

b) Encontrar las coordenadas xy del punto Q cuyas coordenadas x′y′ son(−3, 6).

c) Trazar los ejes de coordenadas xy y x′y′ y localizar los puntos P yQ.

6. Demostrar geométricamente que si u y v son vectores en el espaciobidimensional o en el espacio tridimensional, entonces

‖ u + v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖ .

7. a) Demostrar que v = (a, b) y w = (−b, a) son vectores ortogonales.b) Usar el resultado del inciso a) para encontrar dos vectores que sean

ortogonales a v = (2,−3).c) Encontrar dos vectores unitarios que sean ortogonales a (−3, 4).

8. Explicar por qué cada una de las siguientes expresiones carece desentido.

Si u, v, w son vectores en el plano o en el espacio tridimensional y k es unnúmero real,

a) u · (v · w).b) (u · v) + w.c) ‖ u · v ‖ .d) k · (u + v).

9. Sean vectores i, j y k unitarios a lo largo de los ejes positivos x, y y zde un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio tridimensional. Siv = (a, b, c) es un vector diferente de cero, entonces los ángulos α, β,y γ entrev y los vectores i, j y k, respectivamente, se denominan ángulos directores dev, y los números cos(α), cos(β) y cos(γ) se denominan cosenos directores dev.

a) Demostrar que cos(α) = a‖v‖ .

b) Encontrar cos(β) y cos(γ).c) Demostrar que v

‖v‖ = (cos(α), cos(β),cos(γ)).

Álgebra 143

d) Demostrar que cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1.

10. Demostrar que si v es ortogonal tanto a w1 como a w2, entonces v esortogonal a k1w1 + k2w2 para todos los escalares k1 y k2.

11. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por lospuntos dados.

a) P = (5,−2, 4) y Q = (7, 2,−4).b) P = (0, 0, 0) y Q = (2,−1,−3).

12. Demostrar que la recta r :

x = 0y = tz = t

∞ < t < ∞

a) pertenece al plano π1 : 6x + 4y − 4z = 0,b) es paralela al plano π2 : 5x− 3y + 3z = 1 y está por abajo de éste,

c) es paralela al plano π3 : 6x + 2y − 2z = 1 y está por arriba de éste.

13. Encontrar la ecuación del plano π1 que pasa por el punto P =(3,−6, 7) y es paralelo al plano π2 : 5x− 2y + z − 5 = 0.

14. Demostrar que las rectas

r1 :

x− 3 = 4ty − 4 = tz − 1 = 0

∞ < t < ∞ y r2 :

x + 1 = 12sy − 7 = 6sz − 5 = 3s

, ∞ < s < ∞

se cortan y encontrar el punto de intersección.

15. Hallar la ecuación del plano π que contiene las rectas del ejercicio15.

16. Demostrar que si v es un vector diferente de cero en Rn, entonces v‖v‖

tiene la norma euclídea 1.

17. ¾Para qué valores de k se cumple que u y v son ortogonales?

a) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k).b) u = (k, k, 1), v = (k, 5, 6).

144 Álgebra

18. Demostrar la identidad ‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2 paravectores en Rn. Interpretar geométricamente este resultado en R2.

19. Demostrar que si u y v son vectores ortogonales en Rn tales que‖u‖ = 1 y ‖v‖ = 1, entonces d(u, v) =

√2. Interpretar geométricamente este

resultado en R2.

20. Sea (F(R,R), +, ◦) el espacio vectorial de las funciones de R en R.Determinar si los siguientes conjuntos son o no subespacios vectoriales deF(R,R) :

a) {f ∈ F(R,R) |∀x ∈ R f(x) = f(−x)} .b) {f ∈ F(R,R) | f(1) = 0} .c) {f ∈ F(R,R) | f(2) = f(3)} .

21. Demostrar que el subconjunto H formado por todas las n − tuplasde números reales tales que los elementos de cada n − tupla forman unaprogresión aritmética, es un subespacio vectorial de Rn.

22. Se dice que A ∈ Mn(K) es simétrica si tA = A. Si denotamos porSn(K) al conjunto de las matrices simétricas de orden n, demostrar que Sn(K)es un subespacio vectorial de Mn(K).

Recordemos que una matriz A ∈ Mn(K) es antisimétrica si tA = −A.¾Constituyen las matrices antisimétricas un subespacio vectorial de Mn(K)?

Justifíquese la respuesta.

23. En R4 se considera el subespacio vectorial H = L(A) generado por elconjunto A de vectores A = {(1,−1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (2,−1, 1, 0), (3,−3, 0, 0).

¾Pertenece el vector (1, 1, 1, 0) al subespacio vectorial H?

24. En el R − e.v. R3 con su estructura de espacio vectorial habitualdeterminar si los sistemas de vectores

(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) y (1, 2, 3), (2, 0, 1), (−1, 2, 2)

son libres o ligados.

25. Consideramos el Z2−espacio vectorial de los �bytes� (Z82, +, ·) con la

suma y producto por escalares ya de�nidos. Se pide determinar si el sistemade vectores

(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)

Álgebra 145

es libre o ligado y hallar el subespacio vectorial generado por el conjunto deesos dos vectores.

26. En el espacio vectorial P4(C) de los polinomios de grado menor oigual que 4 con coe�cientes en C se considera el polinomio p(x) = x4−x2 +2.Demostrar que el sistema p(x), p′(x), p′′(x), p′′′(x) formado por el polinomiop(x) y sus sucesivas derivadas (hasta la tercera) es un sistema libre.

27. En el espacio vectorial F(N,R) de las sucesiones de números reales,con la suma y producto habituales, consideramos el conjunto

H = {(xn) ∈ F(N,R) |∀n ∈ N xn+2 = xn+1 + xn}

a) Demostrar que H es un subespacio vectorial de F(N,R).b) Comprobar que dim(H) = 2.

28. Hallar el rango de las siguientes matrices:

A =

1 3 22 1 10 2 0

, B =

1 3 0 2−1 1 2 12 2 3 01 6 2 25 1 1 0

, C =

1 0 1 7 1 12 1 2 1 3 41 2 1 1 3 1

.

29. Encontrar una base y hallar la dimensión del espacio de matricestriangulares superiormente T n(K).

T n(K) = { A= (aij)∈ Mn(K) | aij = 0 si j < i }.

30. En el espacio vectorial Z52, hallar una base del subespacio vectorial

H = L({( 0 1 0 1 1),(

0 1 0 0 1),

(0 0 0 1 0

),(

0 1 1 1 1)}).

31. En el espacio vectorial R3, hallar una base del subespacio vectorial

H = L({(3, 2,−1), (1, 1, 1), (4, 3, 0)}).

146 Álgebra

2.10.2 Ejercicios propuestos1. Sea S2 = (O, (e1, e2)) el sistema de coordenadas ortogonales canónico

de R2 :O = (0, 0), e1 = (1, 0), e2 = (0, 1).

a) Dado el vector v = (2, 3), hallar las coordenadas de los vectores

v + e1, v − e1,1

2v.

b) Comprobar geométricamente los resultados obtenidos en el apartadoa).

2. Sea S2 = (O, (e1, e2)) el sistema de coordenadas ortogonales canónicode R2 y sean OP = (1, 2) y OQ = (2, 1) dos vectores de R2.

a) Determinar las coordenadas del vector PQ en S2.

b) Determinar las coordenadas del vector PQ en el sistema ortogonalS ′2 obtenidos por traslación de O al punto O′ = (−2, 1).

c) Calcular las normas del vector PQ utilizando sus coordenadas en S2

y S ′2. ¾Son iguales las distancias entre OP y OQ y entre O′P y O′Q?

3. En R3, con el sistema de coordenadas ortogonales canónico S3 =(O, (e1, e2, e3)) :

O = (0, 0, 0), e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1),

sean v = (−1, 0, 1), w = (1,−1, 2) y θ el ángulo entre v y w (0 ≤ θ ≤π).

a) Calcular cos(θ) utilizando la ley de los cosenos:

‖w − v‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2 − 2‖v‖‖w‖cos(θ).

b) Usando las coordenadas de v y w, hallar el producto escalar v · w yveri�car la identidad

v · w = ‖v‖‖w‖cos(θ).

c) ¾Qué tipo de ángulo forman v y w?

Álgebra 147

4. Demostrar que en R2 el vector n = (a, b) 6= (0, 0) es ortogonal a todaslas rectas de ecuación

ax + by + c = 0, (c ∈ R).

5. Sean v = (−1, 0, 1) y w = (1,−1, 2) los vectores del problema anterior.a) Calcular la proyección ortogonal de w sobre v, pv(w), y la compo-nente vectorial de w ortogonal a v.

b) Hallar ‖pv(w)‖ y ‖p2v(w)‖.6. En este problemas trabajamos en R3 con el sistema de coordenadas S3.

a) Hallar los vectores

e1 × e2, e2 × e3, e3 × e1.

b) Demostrar la identidad de Lagrange:‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2

y, usando la identidad

u · v = ‖u‖‖v‖cos(θ) ∀u, v ∈ R3,

deducir que‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sen(θ).

c) Sean u = (1,−1, 2) y v = (0, 3, 1). Calcular el área del paralelogramodeterminado por los vectores u y v.

d) Veri�car que para todo par de vectores u y v en R3\{(0, 0, 0)}, u×ves ortogonal a u y a v.

7. En este problemas seguimos trabajando en R3 con el sistema de coor-denadas S3.

a) Sean u, v y w tres vectores en R3. Veri�car que el número real|u · (v × w)| es el volumen del paralelepípedo P de�nido por u, v y w.(Se utilize el hecho de que la altura h del paralelepípedo P se puedeescribir como h = ‖p(v×w)(u)‖.)b) Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores

u = (1, 0, 2), v = (0, 1, 2), w = (1, 1, 1).

148 Álgebra

8. Sean P0 = (1, 2) y P1 = (−1, 1) dos puntos en R2.

Hallar las ecuaciones vectorial, general implícita, paramétricas y pendiente-ordenada en el origen de la recta l que pasa por P0 y P1.

9. Sean P0 = (x0, y0) ∈ R2 y r la recta de ecuación ax + by + c = 0.

a) Demostrar que la distancia entre P0 y r es

d(P0, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

b) Calcular la distancia entre P0 = (0, 1) y r : 2x− y + 3 = 0.

10. En R3, encontrar la ecuación del plano π que pasa por el punto P0 =(1, 0,−1) y es ortogonal al vector n = (2,−1, 5).

11. En R3, usando la fórmula de la distancia entre un punto P0 = (x0, y0, z0)y un plano π : ax + by + cz + d = 0 :

d(P0, π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2,

a) calcular la distancia entre el punto P0 de intersección de las rectasde ecuaciones

r :

x = −3 + 2k

y = 3k

z =2

3− k

y s :

x = −1 + t

y = 2− 3t

z = t

(k, t ∈ R)

y el plano π : 2x− y + z = 0.

b) Calcular el coseno del ángulo que forman las rectas r y s.

12. Determinar si existen valores de los parámetros reales s y t tales quela recta l en R3 de ecuaciones implícitas

{sx + 3y + z = 0

−x + ty + 2z + 1 = 0,

Álgebra 149

tenga ecuaciones paramétricas

x = 2k

y = −1

2+ k

z =3

2− 3k

(k ∈ R).

13. Describir todos los subespacios vectoriales de R3 que contienen al puntoP = (1, 1, 1).

14. Sea Mm,n(R) el R−espacio vectorial respecto de las operaciones de su-ma de matrices y multiplicación de una matriz por un escalar usuales.Sea C[x] el C−espacio vectorial de los polinomios con coe�cientes nú-meros complejos y con las operaciones de suma de funciones y multi-plicación por un escalar usuales.Escribir explícitamente las operaciones que hacen del producto carte-siano Mm,n(R)× C[x] un R−espacio vectorial.

15. Sea M el subconjunto de Mm,n(Z2) de�nido por

M = {(

0 x yz 0 u

): x, y, z, u ∈ Z2}.

a) Escribir M como un conjunto de funciones de N2 ×N3 en Z2 que seanulan sobre un subconjunto S de N2 × N3.

b) Veri�car que M es un Z2−espacio vectorial respecto de las opera-ciones usuales de suma de matrices y producto de una matriz por unescalar.

16. Determinar los valores reales del parámetro λ tales que los siguientesvectores sean un sistema libre en R3 :

v1 = (λ,−1

2,−1

2), v2 = (−1

2, λ,−1

2), v3 = (−1

2,−1

2, λ).

Interpretar geométricamente los resultados obtenidos.

150 Álgebra

17. Veri�car si los siguientes subconjuntos del espacio de todas las funcionesreales, F(R,R), son linealmente independientes:

S = {1, sen(x), sen(2x)},

T = {(3− x)2, x2 − 6x, 5}.

18. Sean u = (1, 1, 1), v = (1, 1, x) y w = (x, 1, 1) tres vectores en R3,siendo x un parámetro real.Sea H = L(u, v, w) el subespacio de R3 generado por u, v y w.

Determinar para qué valores de x el subespacio H es una recta, unplano o todo R3.

19. a) Veri�car que para todo n ∈ N, el sistema Bn = (1, x, x2, · · · , xn) esuna base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igualque n, Pn(R).

(Utilizar inducción sobre n y la continuidad de los polinomios)b) Determinar si el sistema B = (1, x−1, (x−1)2, (x−1)3) es una basede P3(R).

c) Escribir las coordenadas del vector p(x) = 3x3 − 3 en términos delas bases B3 y B.

20. SeaH = {

(a bc −(a + b + c)

): a, b, c ∈ R}.

a) Veri�car que H es un subespacio vectorial de M2(R).

b) Hallar una base B de H.

c) Completar B a una base de M2(R).

21. En el R−espacio vectorial F(N,R) de las sucesiones reales sea

H = {(xn)n∈N : ∀n ≥ 2, xn+1 = 2xn − 3xn−1}.

a) Demostrar que H es un subespacio vectorial de F(N,R).

b) Comprobar que la dimensión de H es 2.

Álgebra 151

22. Aplicar el teorema de Rouché-Fröbeniusa) para veri�car si el vector p(x) = x3− 2x + 1 pertenece al subespacioL(x3 − 1, x + 2) de P3(R),

b) para determinar si el sistema (x3− 1, x+2, x2, x− 1) es una base deP3(R).

23. Calcular el rango de las matrices

A =

1 1 1 02 1 2 01 0 0 1

∈ M3,4(Z3) B =

2 −1 50 4 16 1 16

∈ M3(R).

24. Utilizar el método de Gauss para hallar una base del C−subespacio deC3 :

L((1, 0, i), (i, 0, 0), (0,−i, 4), (1, 1, 1)).

Álgebra 307

denotamos por λ) y para n ≥ 1 los elementos a1, ..., an pertenecen al mis-mo conjunto o alfabeto A. El ejercicio consiste en construir un modelo detipo abstracto de datos al que denominaremos cadena o � string�, teniendoen cuenta que hay que considerar los datos y las cadenas de datos de unconjunto A = {a1, ..., ak}, que las cadenas son elementos del conjunto A∗

(conjunto de todas las cadenas o palabras de�nidas sobre el alfabeto A olenguaje universal sobre A), que hay que considerar la palabra vacía comouna constante, y que como operaciones sobre las cadenas consideramos lassiguientes: construye, que a partir de un elemento de A construye una lis-ta de longitud 1, la operación concat, de�nida sobre pares de palabras porconcat(a1...an, b1...bm) = a1...anb1...bm, y las operaciones iañade (iadd) y da-ñade (dadd) que añaden, respectívamente, un elemento a la izquierda o a laderecha de una cadena dada.(Nota: Son su�cientes 5 ecuaciones).

CADENA =1. Tipos : CADENA, ALFABETO

2. Constantes :

{a1, ..., an ∈ ALFABETO,vacía ∈ CADENA

3. Operaciones :

concat : CADENA× CADENA → CADENAconstruye : ALFABETO → CADENAiadd : ALFABETO × CADENA → CADENAdadd : CADENA× ALFABETO → CADENA

4. Ecuaciones:

∀c, c′, c” ∈ CADENA, ∀a ∈ ALFABETOconcat(c, vacía) = cconcat(vacía, c) = cconcat(concat(c, c′), c”) = concat(c, concat(c′, c”))iadd(a, c) = concat(construye(a), c)dadd(c, a) = concat(c, construye(a))

7.2 Soluciones de los ejerciciosdel capítulo 2

1. Encontrar un vector u diferente de cero cuyo punto inicial es P =(−1, 3,−5) tal que

a) u tiene la misma dirección que v = (6, 7,−3).

308 Álgebra

b) u tiene dirección opuesta a la de v = (6, 7,−3).

Sea u = PQ, donde Q = (x, y, z). Entonces u = (x + 1, y − 3, z + 5).Si u tiene la misma dirección que v, u = kv ⇔ (x + 1, y − 3, z + 5) =

(6k, 7k,−3k)a) Sea k > 0 y Q = (6k − 1, 7k + 3,−3k − 5).b) Sea k < 0 y Q = (6k − 1, 7k + 3,−3k − 5).

2. Sean u = (−3, 1, 2), v = (4, 0,−8), y w = (6,−1,−4). Encontrar losescalares c1, c2, c3 tales que c1u+c2v+c3w = (2, 0, 4).

(2, 0, 4) = c1u + c2v + c3w = c1(−3, 1, 2) + c2(4, 0,−8) + c3(6,−1,−4) =

= (−3c1, c1, 2c1) + (4c2, 0,−8c2) + (6c3,−c3,−4c3) == (−3c1 + 4c2 + 6c3, c1 − c3, 2c1 − 8c2 − 4c3).

Entonces, tenemos que resolver el sistema−3c1 + 4c2 + 6c3 = 2

c1 − c3 = 02c1 − 8c2 − 4c3 = 4

La solución del sistema por el método de Gauss-Jordan sería la siguiente:aplicando la transformaciones elementales F1 ←→ F2, F3 = 1

2F3, F3 = F3 −

F1, F2 = F2 + 3F1, F3 = F3 + F2, F2 = 14F2, F3 = 1

2F3,

F1 = F1 + F3, F2 = F2 − 34F3 a la matriz

−3 4 6 21 0 −1 02 −8 −4 4

, se obtiene la matriz

1 0 0 20 1 0 −10 0 1 2

.

La solución del sistema es {c1 = 2, c2 = −1, c3 = 2} .

3. Demostrar que no existen los escalares c1, c2, c3 tales que c1(−2, 9, 6)+c2(−3, 2, 1) + c3(1, 7, 5) = (0, 5, 4).

Como en el ejercicio anterior, tenemos que resolver el sistema−2c1 − 3c2 + c3 = 09c1 + 2c2 + 7c3 = 56c1 + c2 + 5c3 = 4

Aplicando la transformaciones elementales F3 = F3+3F1, F1 = −12F1, F3 =

−18F3, F2 ←→ F3, F3 = F3 − 9F1, F1 = F1 − 3

2F2,

Álgebra 309

F3 = − 223

F3, F3 = F3 − F2

a la matriz−2 −3 1 09 2 7 56 1 5 4

, se obtiene la matriz

1 0 1 34

0 1 −1 −12

0 0 0 346

.

El sistema es incompatible.

4. Sean P el punto (2, 3,−2) y Q el punto (7,−4, 1).a) Encontrar el punto medio del segmento de recta que une a P y Q.b) Encontrar el punto sobre el segmento de recta que une a P y Q y está

a 34de la distancia de P a Q.

a) Sean v = OP = (2, 3,−2) y w = OQ = (7,−4, 1) y v + w = OR =(9,−1,−1). El segmento OR corta el segmento PQ en un punto M , quees el punto de intersección entre las diagonales del paralelogramo OPRQ.Entonces M es el punto medio de PQ y M = v+w

2= (9

2, −1

2, −1

2).

b) El punto sobre el segmento de recta que une a P y Q y que está a 34

de la distancia de P a Q será dado por el punto medio entre M y Q, es decirpor N = 1

2(v+w

2+ w) = (23

4, −9

4, 1

4).

5. Suponer que la traslación de un sistema de coordenadas xy se hace paraobtener un sistema de coordenadas x′y′ cuyo origen O′ tiene las coordenadas(2,−3).

a) Encontrar las coordenadas x′y′ del punto P cuyas coordenadas xy son(7, 5).

b) Encontrar las coordenadas xy del punto Q cuyas coordenadas x′y′ son(−3, 6).

c) Trazar los ejes de coordenadas xy y x′y′ y localizar los puntos P yQ.

Las ecuaciones de traslación de S = (O, x, y) a S′ = (O′, x′, y′) y de S′ =(O′, x′, y′) a S = (O, x, y) son:

{x′ = x− 2y′ = y + 3

y{

x = x′+ 2y = y′ − 3

.

a) P = (5, 8) en S′ = (O′, x′, y′).b) Q = (−1, 3) en S = (O, x, y).

6. Demostrar geométricamente que si u y v son vectores en el espaciobidimensional o en el espacio tridimensional, entonces

‖ u + v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖ .

310 Álgebra

Utilizando la regla del paralelogramo para de�nir u + v, la desigualdad‖ u+ v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖ se sigue de que la longitud de uno de los lados de untriángulo es siempre menor o igual a la suma de las longitudes de los otrosdos lados.

7. a) Demostrar que v = (a, b) y w = (−b, a) son vectores ortogonales.v · w = −ab + ba = 0.b) Usar el resultado del inciso a) para encontrar dos vectores que sean

ortogonales a v = (2,−3).Sea v = (2,−3) = (a, b). Entonces, se sigue de la parte a) que los vectoresw1 = (−b, a) = (3, 2) y w2 = −w1 = (b,−a) = (−3,−2) son ortogonales

a v.c) Encontrar dos vectores unitarios que sean ortogonales a (−3, 4).Sea v = (a, b) = (−3, 4). Como en la parte b), los vectores w1 = (−b, a) =

(−4,−3) y w2 = −w1 = (b,−a) = (4, 3) son ortogonales a v. Entonces losvectores

u1 = w1

‖w1‖ = (−45

, 35) y u2 = w2

‖w2‖ = (45, −3

5) son unitarios y ortogonales a

v.

8. Explicar por qué cada una de las siguientes expresiones carece desentido.

Si u, v, w son vectores en el plano o en el espacio tridimensional y k es unnúmero real,

a) u · (v · w) : el producto escalar está de�nido entre vectores y (v · w) esun escalar.

b) (u·v)+w : la suma está de�nida entre dos vectores o entre dos escalares,no entre un escalar y un vector.

c) ‖ u · v ‖: la norma es una función de�nida sobre un vector, no unescalar.

d) k · (u + v) : el producto escalar está de�nido entre vectores y k es unescalar.

9. Sean vectores i, j y k unitarios a lo largo de los ejes positivos x, y y zde un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio tridimensional. Siv = (a, b, c) es un vector diferente de cero, entonces los ángulos α, β,y γ entrev y los vectores i, j y k, respectivamente, se denominan ángulos directores dev, y los números cos(α), cos(β) y cos(γ) se denominan cosenos directores dev.

Álgebra 311

a) Demostrar que cos(α) = a‖v‖ .

cos(α) = i·v‖i‖‖v‖ = a

‖v‖ . (Ya que ‖ i ‖= 1)b) Encontrar cos(β) y cos(γ).

cos(β) = j·v‖j‖‖v‖ = b

‖v‖ . (Ya que ‖ j ‖= 1)

cos(γ) = k·v‖k‖‖v‖ = c

‖v‖ . (Ya que ‖ k ‖= 1)

c) Demostrar que v‖v‖ = (cos(α), cos(β),cos(γ)).

v‖v‖ = (a,b,c)

‖v‖ = ( a‖v‖ ,

b‖v‖ ,

c‖v‖) = (cos(α), cos(β),cos(γ)).

d) Demostrar que cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1.

cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) =‖ v‖v‖ ‖2= (‖v‖‖v‖)

2 = 1.

10. Demostrar que si v es ortogonal tanto a w1 como a w2, entonces v esortogonal a k1w1 + k2w2 para todos los escalares k1 y k2.

Utilizando las propiedades del producto escalar y que v·w1 = 0 y v·w2 = 0,se obtiene que v · (k1w1 + k2w2) = k1(v · w1) + k2(v · w2) = k10 + k20 = 0.

11. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por lospuntos dados.

a) Sean P = (5,−2, 4) y Q = (7, 2,−4).

La recta que pasa por P y Q es paralela al vector determinado por elsegmento

PQ = (2, 4,−8) y sus ecuaciones paramétricas son:

x = 5 + 2ky = −2 + 4kz = 4− 8k

∞ < k < ∞

b) Sean P = (0, 0, 0) y Q = (2,−1,−3).

La recta que pasa por P y Q es paralela al vector determinado por elsegmento

PQ = (2,−1,−3) y sus ecuaciones paramétricas son:

x = 2ky = −kz = −3k

∞ < k < ∞

312 Álgebra

12. Demostrar que la recta r :

x = 0y = tz = t

∞ < t < ∞

a) pertenece al plano π1 : 6x + 4y − 4z = 0 :∀t 6 · 0 + 4t− 4t = 0 ⇒ r ⊂ π1.

b) es paralela al plano π2 : 5x− 3y + 3z = 1 y está por abajo de éste:

π2 ∩ r = ∅ por qué ∀t 5 · 0− 3t + 3t = 0 6= 1, entonces r es paralela aπ2.

Además O = (0, 0, 0) ∈ r y el punto de intersección de π2 con el eje z es(0, 0, 1

3).

c) es paralela al plano π3 : 6x + 2y − 2z = 1 y está por arriba de éste:

π3 ∩ r = ∅ por qué ∀t 6 · 0 + 2t− 2t = 0 6= 1, entonces r es paralela a π3.Además O = (0, 0, 0) ∈ r y el punto de intersección de π3 con el eje z es

(0, 0, −12

).

13. Encontrar la ecuación del plano π1 que pasa por el punto P =(3,−6, 7) y es paralelo al plano π2 : 5x− 2y + z − 5 = 0.

La dirección normal (ortogonal) al plano π1 está dada por el vector n1 =(5,−2, 1).

La ecuación del plano π2 en forma punto-normal es: 5(x− 3)− 2(y +6)+(z − 7) y en forma general: 5x− 2y + z − 34 = 0.

14. Demostrar que las rectas

r1 :

x− 3 = 4ty − 4 = tz − 1 = 0

∞ < t < ∞ y r2 :

x + 1 = 12sy − 7 = 6sz − 5 = 3s

, ∞ < s < ∞

se cortan y encontrar el punto de intersección.

r1 :

x = 3 + 4ty = 4 + t

z = 1∞ < t < ∞ y r2 :

x = −1 + 12sy = 7 + 6sz = 5 + 3s

, ∞ < s < ∞

Tenemos que encontrar dos valores de t y s tales que

3 + 4t = −1 + 12s4 + t = 7 + 6s

1 = 5 + 3s.

Estos valores son s = −43

y t = −5. El punto de intersección es P =(−17,−1, 1).

Álgebra 313

15. Hallar la ecuación del plano π que contiene las rectas del ejercicio15.

El plano π tiene que pasar por el punto P = (−17,−1, 1) y ser paraleloa r1 y a r2.

Si n = (a, b, c) es la dirección ortogonal al plano π, se obtiene queπ : a(x+17)+b(y+1)+c(z−1) = 0, donde n · (4, 1, 0) = n · (12, 6, 3) = 0,

siendo (4, 1, 0) y (12, 6, 3) dos vectores paralelos a las rectas r1 y r2, respec-tivamente.

La relaciones n · (4, 1, 0) = n · (12, 6, 3) = 0 implican que 4a + b = 0 y12a+6b+3c = 0. Todos los vectores n = (a,−4a, 4a),∞ < a < ∞, a 6= 0,

serán ortogonales a las dos rectas dadas. Entonces, π : (x + 17)− 4(y + 1) +4(z − 1) = x− 4y + 4z + 9 = 0.

16. Demostrar que si v es un vector diferente de cero en Rn, entonces v‖v‖

tiene la norma euclídea 1.

Utilizando una de las propiedades de la norma euclídea:

‖ v

‖ v ‖‖ = | 1

‖ v ‖| ‖ v ‖= ‖ v ‖‖ v ‖ = 1.

17. ¾Para qué valores de k se cumple que u y v son ortogonales?

a) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k).u · v = 2 + 7 + 3k = 9 + 3k = 0 ⇐⇒ k = −3.b) u = (k, k, 1), v = (k, 5, 6).u · v = k2 + 5k + 6 = 0 ⇐⇒ k = −2 o k = −3.

18. Demostrar la identidad ‖u + v‖2 + ‖u − v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2 paravectores en Rn. Interpretar geométricamente este resultado en R2.

El resultado es una consecuencia inmediata de las siguientes relaciones:‖u + v‖2 = (u + v) · (u + v) = u · u + u · v + v · u + v · v = ‖u‖2 + ‖v‖2

‖u− v‖2 = (u− v) · (u− v) = u · u− u · v − v · u + v · v = ‖u‖2 + ‖v‖2

En R2, utilizando la regla del paralelogramo para determinar el vectoru + v, la identidad ‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2 se puede interpretarcomo: la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un

314 Álgebra

paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de suslados.

19. Demostrar que si u y v son vectores ortogonales en Rn tales que‖u‖ = 1 y ‖v‖ = 1, entonces d(u, v) =

√2. Interpretar geométricamente este

resultado en R2.d2(u, v) = ‖u− v‖2 = (u− v) · (u− v) = u · u− u · v − v · u + v · v == ‖u‖2 + ‖v‖2 = 2 =⇒ d(u, v) =

√2.

En R2 este resultado es una aplicación del teorema de Pitágoras al trián-gulo rectángulo de lados unitarios u y v.

20. Sea (F(R,R), +, ◦) el espacio vectorial de las funciones de R en R.Determinar si los siguientes conjuntos son o no subespacios vectoriales deF(R,R) :

a) {f ∈ F(R,R) |∀x ∈ R f(x) = f(−x)} .b) {f ∈ F(R,R) | f(1) = 0} .c) {f ∈ F(R,R) | f(2) = f(3)} .

a) H = {f ∈ F(R,R) |∀x ∈ R f(x) = f(−x)} . Sí es subespacio vectorial,pues obviamente la función nula 0 ∈ H, pues ∀x ∈ R 0(x) = 0 = 0(−x) , ysi f, g∈H y α, β ∈ R, (αf + βg)(x) = αf(x) + βg(x) = (puesto que f, g∈H)= αf(−x) + βg(−x) = (αf + βg)(−x).

b) H = {f ∈ F(R,R) | f(1) = 0} .Sí es subespacio vectorial, pues ob-viamente la función nula 0 ∈ H, pues 0(1) = 0 , y si f, g∈H y α, β ∈R, (αf + βg)(1) = αf(1) + βg(1) = (puesto que f, g∈H) = α0 + β0 = 0.

c) H = {f ∈ F(R,R) | f(2) = f(3)} . Sí es subespacio vectorial, pues ob-viamente la función nula 0 ∈ H, pues 0(2) = 0 = 0(3) , y si f, g∈H yα, β ∈ R, (αf + βg)(2) = αf(2) + βg(2) = (puesto que f, g∈H) = αf(3) +βg(3) = (αf + βg)(3).

21. Demostrar que el subconjunto H formado por todas las n − tuplasde números reales tales que los elementos de cada n − tupla forman unaprogresión aritmética, es un subespacio vectorial de Rn.

Si (a1, ...., an) ∈ H, los elementos a1, ...., an están en progresión aritmética.Por consiguiente, siendo d la razón de la progresión,

(a1, a2, ...., an) = (a1, a1 + d, ...., a1 + (n− 1)d)

Obviamente (0, 0, ..., 0) ∈ H (progresión aritmética de razón d = 0, ycuyo primer elemento es el 0).

Álgebra 315

Sean (a1, a1 + d, ...., a1 + (n − 1)d), (b1, b1 + d′, ...., b1 + (n − 1)d′) ∈ H yα, β ∈ R. En ese caso

α(a1, a1 + d, ...., a1 + (n− 1)d) + β(b1, b1 + d′, ...., b1 + (n− 1)d′) =

= (αa1 + βb1, (αa1 + βb1) + αd + βd′, ...., (αa1 + βb1) + α(n− 1)d +

+ β(n− 1)d′).

Es decir, es un elemento de H, puesto que es una progresión aritmética derazón αd + βd′ y cuyo primer elemento es αa1 + βb1.

22. Se dice que A ∈ Mn(K) es simétrica si tA = A. Si denotamos porSn(K) al conjunto de las matrices simétricas de orden n, demostrar que Sn(K)es un subespacio vectorial de Mn(K).

Veámoslo usando la otra caracterización de los subespacios vectoriales:Obviamente la matriz (0) es simétrica, pues t(0) = (0), luego (0) ∈ Sn(K).Por otra parte, si A,B ∈ Sn(K), se veri�ca que t(A) = A y t(B) = B.Pero t(A+B) =t (A)+t (B) = A+B y, en consecuencia, A+B ∈ Sn(K),

y si A ∈ Sn(K) y α ∈ K, t(αA) = αt(A) = αA.

Recordemos que una matriz A ∈ Mn(K) es antisimétrica si tA = −A.¾Constituyen las matrices antisimétricas un subespacio vectorialde Mn(K)?

Justifíquese la respuesta.

Veamos que si: (0) es antisimétrica, pues t(0) = (0) = −(0). Si A,Bson antisimétricas t(A) = −A y t(B) = −B, con lo que t(A + B) =t (A) +t

(B) = −A + (−B) = −(A + B), y si A es antisimétrica y α ∈ K, entoncest(αA) = αt(A) = α(−A) = −(αA).

23. En R4 se considera el subespacio vectorial H = L(A) generado por elconjunto A de vectores A = {(1,−1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (2,−1, 1, 0), (3,−3, 0, 0)}.

¾Pertenece el vector (1, 1, 1, 0) al subespacio vectorial H?

Como hemos visto, existen varias formas de resolver este problema. Lamás directa es utilizar el método de Gauss:

consideremos la matriz de coordenadas de los 5 vectores anteriores respec-to de la base canónica, y mediante transformaciones por columna obtenemosuna matriz gaussiana:

1 0 2 3 1−1 1 −1 −3 10 1 1 0 10 0 0 0 0

c3 = c3− 2c1c4 = c4− 3c1c5 = c5− c1

→

1 0 0 0 0−1 1 1 0 20 1 1 0 10 0 0 0 0

316 Álgebra

c3 = c3− c2c5 = c5− 2c1

→

1 0 0 0 0−1 1 0 0 00 1 0 0 −10 0 0 0 0

Como puede observarse, la matriz es gaussiana, con lo que su rango es 3.Sin embargo, el rango correspondiente a la matriz formada por las 4 primeras�las es 2 , con lo que los vectores columna c1, c2 y c5 constituyen un sistemalibre. El vector (1, 1, 1, 0) no pertenece al subespacio H.

24. En el R − e.v. R3 con su estructura de espacio vectorial habitualdeterminar si los sistemas de vectores

(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) y (1, 2, 3), (2, 0, 1), (−1, 2, 2)

son libres o ligados.Como en el problema anterior, hay varias formas de resolverlo. La más

sencilla es utilizar el método de Gauss, pero lo vamos a hacer de dos formasdistintas:

a) Modo 1): Sean α, β, γ ∈ R tales que

α(1, 1, 1) + β(1, 1, 0) + γ(1, 0, 0) = (0, 0, 0).

En ese caso(α + β + γ, α + β, α) = (0, 0, 0),

de donde, resolviendo el sistema de ecuaciones, α = 0, β = 0, γ = 0. Es decir,el sistema {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} es libre.

Modo 2): Consideramos la matriz cuyas columnas son las coordenadasde los vectores respecto de una base del espacio vectorial considerado (eneste caso la base canónica de R3) y hallamos el rango de esa matriz. Si elrango de la matríz coincide con el número de vectores, el sistema es libre. Sial hacer transformaciones elementales por columnas obtenemos una columnade ceros, el vector correspondiente a esa columna se puede expresar comocombinación lineal de los anteriores y el sistema es ligado. En nuestro caso:

1 1 11 1 01 0 0

es la matriz. Está claro que es una matriz gaussiana. Por

consiguiente el rango es 3, y el sistema de vectores es libre.b) Lo hacemos del segundo modo:

Álgebra 317

1 2 −12 0 23 1 2

; puesto que no es gaussiana, la convertimos en gaussiana

realizando transformaciones elementales por columnas:

1 2 −12 0 23 1 2

c3 = c3− c1 →

1 2 −22 0 03 1 −1

c3 = c3 + c2 →

1 2 02 0 03 1 0

Está claro que el rango del sistema de vectores es 2, y que el corres-pondiente a la última columna se expresa como combinación lineal de loscorrespondientes a las dos primeras. Por consiguiente el sistema es ligado.

25. Consideramos el Z2−espacio vectorial de los �bytes� (Z82, +, ·) con la

suma y producto por escalares ya de�nidos. Se pide determinar si el sistemade vectores

(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)

es libre o ligado y hallar el subespacio vectorial generado por el conjunto deesos dos vectores.

Es obvio que el sistema es libre, pues ninguno de los dos vectores que cons-tituyen el sistema se puede expresar en función del otro (como combinaciónlineal del mismo). De otro modo, si α, β ∈ Z2 son tales que

α(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0) + β(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),

tendremos que

(α, 0, 0, 0, α, α, α, 0) + (0, β, β, β, β, β, β, 0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

de donde α = β = 0.El subespacio vectorial generado por estos vectores es

H = {(x1, ..., x8) ∈ Z82 |

∃α, β ∈ Z2..(x1, ..., x8) = α(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0) + β(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)}.

26. En el espacio vectorial P4(C) de los polinomios de grado menor oigual que 4 con coe�cientes en C se considera el polinomio p(x) = x4−x2 +2.

318 Álgebra

Demostrar que el sistema p(x), p′(x), p′′(x), p′′′(x) formado por el polinomiop(x) y sus sucesivas derivadas (hasta la tercera) es un sistema libre.

Lo hacemos por el método de Gauss:p′(x) = 4x3 − 2x, p′′(x) = 12x2 − 2, p′′′(x) = 24xSiendo B = {1, x, x2, x3, x4}, la matriz de coordenadas de los vectores del

sistema considerado es

2 0 −2 00 −2 0 24−1 0 12 00 4 0 01 0 0 0

; la matriz es gaussiana, y por consiguiente su

rango es igual al número de vectores columna no nulos, es decir, 4. Por tantouna base del subespacio H = L{p(x), p′(x), p′′(x), p′′′(x)} es

{p(x), p′(x), p′′(x), p′′′(x)},

con lo que el sistema {p(x), p′(x), p′′(x), p′′′(x)} es libre.

27. En el espacio vectorial F(N,R) de las sucesiones de números reales,con la suma y producto habituales, consideramos el conjunto

H = {(xn) ∈ F(N,R) |∀n ∈ N xn+2 = xn+1 + xn}

a) Demostrar que H es un subespacio vectorial de F(N,R).b) Comprobar que dim(H) = 2.a) i) Evidentemente la sucesión nula (0) ∈ H, pues la relación xn+2 =

xn+1 + xn se traduciría en este caso en que 0 = 0 + 0, lo cual es cierto.ii) Si (xn), (yn) ∈ H, tendremos que

{xn+2 = xn+1 + xn

yn+2 = yn+1 + yn

con lo que xn+2 + yn+2 = (xn+1 + yn+1) + (xn + yn), es decir, la sucesión(xn) + (yn) ∈ H.

iii) Finalmente, si (xn) ∈ H y α ∈ R, vamos a ver que α(xn) ∈ H :puesto que (xn) ∈ H, xn+2 = xn+1 + xn y en consecuencia, multiplicando

los dos miembros de la igualdad por α, αxn+2 = αxn+1 + αxn, es decir, lasucesión (αxn) = α(xn) ∈ H.

b) Para resolver este apartado lo que hay que tener en cuenta es : si lasucesión (xn) ∈ H, ¾cuántos parámetros me determinan la sucesión?. Esobvio que si ∀n ∈ N xn+2 = xn+1 +xn, conocidos x1 y x2, la sucesión quedacompletamente determinada, pues x3 = x1 + x2, ....

Álgebra 319

Luego si consideramos las sucesiones de (xn), (yn) ∈ H que satisfacen lascondiciones

{x1 = 1x2 = 0

, y{

y1 = 0y2 = 1

, dada cualquier sucesión (zn) ∈ H , si{

z1 = αz2 = β

, resulta que{

z1 = αx1 + βy1

z2 = αx2 + βy2, y, teniendo en cuenta que esos

dos valores determinan la sucesión (zn) ∈ H, resulta que (zn) = α(xn) +β(yn). Por tanto {(xn), (yn)} es un sistema generador de H. Por otra parte,es inmediato que es libre, pues si α(xn) + β(yn) = (0) (sucesión nula), enparticular

{αx1 + βy1 = 0αx2 + βy2 = 0

, de donde{

α · 1 + β · 0 = 0α · 0 + β · 1 = 0

, es decir, α =

β = 0. Por tanto, dim(H) = 2.


A =

1 3 22 1 10 2 0

, B =

1 3 0 2−1 1 2 12 2 3 01 6 2 25 1 1 0

, C =

1 0 1 7 1 12 1 2 1 3 41 2 1 1 3 1

.

A =

1 3 22 1 10 2 0

c2 = c2 − 3c1

c3 = c3 − 2c1

1 0 02 −5 −30 2 0

El rango de A es

3.

B =

1 3 0 2−1 1 2 12 2 3 01 6 2 25 1 1 0

c2 = c2 + c1

c3 = c3 + 2c1

c4 = c4 + c1

1 4 2 3−1 0 0 02 4 7 21 7 4 35 6 11 5

c3 = c3 − 12c2

c4 = c4 − 34c2

1 4 0 0−1 0 0 02 4 5 −11 7 1

2−94

5 6 8 12

c4 = c4 + 15c3

1 4 0 0−1 0 0 02 4 5 01 7 1

2−4320

5 6 8 2110

El rango de B

es 4.

C =

1 0 1 7 1 12 1 2 1 3 41 2 1 1 3 1

F2 = F2 − 2F1

F3 = F3 − F1

1 0 1 7 1 10 1 0 −13 1 20 2 0 −6 2 0

320 Álgebra

F3 = F3 − 2F1

1 0 1 7 1 10 1 0 −13 1 20 0 0 20 0 −4

El rango de C es 3.

29. Encontrar una base y hallar la dimensión del espacio de matricestriangulares superiormente T n(K).

T n(K) = { A= (aij)∈ Mn(K) | aij = 0 si j < i }.Para todos s =1,...,n y t =i,...,n, sea Est ∈ Mn(K) la matriz

de�nida porEst =

{0 si (i, j) 6= (s, t)1 si (i, j) = (s, t)

.Sea B = {Est : s = 1, ..., n, t = s, ..., n} . Queremos veri�car que B es

una base de T n(K).B es libre ya que si

∑s=1,...,n

∑t=s,...,n astEst = (0) ∈ Mn(K), entonces,

para todo i=1,...,n y j=i,...,n, se veri�ca que∑

s=1,...,n

∑t=s,...,n astEst(i, j) =

aijEij(i, j) = aij = 0.B es generador ya que si A= (ast)∈ Mn(K), A=

∑s=1,...,n

∑t=s,...,n astEst.

Para todo s=1,...,n, el número de matrices Est con t=s,...,n es (n-s+1),se sigue que

el número de elementos de B es n+(n-1)+(n-2)+...+2+1=n(n+1)/2.

30. En el espacio vectorial Z52, hallar una base del subespacio vectorial

H = L({( 0 1 0 1 1),(

0 1 0 0 1),

(0 0 0 1 0

),(

0 1 1 1 1)}).

0 0 0 01 1 0 10 0 0 11 0 1 11 1 0 1

c2 = c2 + c1

c4 = c4 + c1

0 0 0 01 0 0 00 0 0 11 1 1 01 0 0 0

c3 = c3 + c2

0 0 0 01 0 0 00 0 0 11 1 0 01 0 0 0

Álgebra 321

La dimensión de H es 3 y una base es

B = {( 0 1 0 1 1),(

0 1 0 0 1),(

0 1 1 1 1)}

31. En el espacio vectorial R3, hallar una base del subespacio vectorial

H = L({(3, 2,−1), (1, 1, 1), (4, 3, 0)}).

3 1 42 1 3−1 1 0

c3 = c3 − c1

3 1 12 1 1−1 1 1

c3 = c3 − c2

3 1 02 1 0−1 1 0

c2 = c2 + c1

3 4 02 3 0−1 0 0

.

Entonces la dimensión de H es 2 y una base es B={(3, 2,−1), (1, 1, 1)}.

7.3 Soluciones de los ejerciciosdel capítulo 3

1. Razonar si las siguientes funciones son o no lineales (en cada uno delos conjuntos considerados se considera su estructura habitual de espaciovectorial):

a) f : R3 → R(x, y, z) Ã x + 2y − 3z

b) f : R3 → R(x, y, z) Ã xyz

c) f : R2 → R(x, y) Ã x2 + y

Unicamente es lineal la del apartado a). La del apartado b) no puestoque, por ejemplo, f((1, 1, 1) + (1, 1, 1)) = f(2, 2, 2) = 2 · 2 · 2 = 8, mientrasque f(1, 1, 1) + f(1, 1, 1) = 1 · 1 · 1 + 1 · 1 · 1 = 2.

La del apartado c) no es lineal pues por ejemplo, f(2·(1, 1, 1)) = f(2, 2, 2) =6, mientras que 2 · f(1, 1, 1) = 2(12 + 1) = 4.

Capítulo 4

Espacios vectoriales euclídeos

En el capítulo 2 hemos recordado la de�nición de producto escalar de vectoresen R2 y R3 y hemos de�nido el producto escalar de vectores de Rn. Lalongitud de un vector y la distancia entre dos vectores quedaban de�nidaspor las expresiones ‖u‖ =

√u · u y d(u, v) = ‖u− v‖ =

√(u− v) · (u− v).

Hay situaciones en las que es necesario utilizar otras distancias entre ob-jetos, por ejemplo, cuando se pretende obtener la mejor aproximación deuna función por medio de funciones que pertenecen a un subespacio vec-torial determinado. Esto puede conseguirse de�niendo un producto escalaradecuado.

A lo largo del capítulo consideraremos sólo espacios vectoriales sobre R.La teoría para espacios vectoriales euclídeos complejos es una generalizaciónde la aquí presentada para espacios reales.

4.1 Producto escalarDe�nición 4.1.1 Si E es un R− e.v. se dice que una función

<,>: E × E −→ R(u, v) Ã < u, v >

es un producto escalar real (o producto interior real) si:(p.e. 1) ∀u, v, w ∈ E =< u, w > + < v, w > .(p.e. 2) ∀u, v ∈ E ∀α ∈ R < αu, v >= α < u, v > .(p.e. 3) ∀u, v ∈ E < u, v >=< v, u > .(p.e. 4) ∀u ∈ E < u, u >≥ 0 y < u, u >= 0 ⇔ u = 0.

197

198 Álgebra

Si <, >: E × E −→ R es un producto escalar, al par (E, <, >) ledenominaremos espacio vectorial euclídeo (e.v.e.).

Ejemplo 4.1.2 En R2 la función

<,>: R2 × R2 −→ R

de�nida para cada par de vectores (x, y),(x′, y′) ∈ R2 mediante la expresión

〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 + x2y2

es un producto escalar. Como vimos, este producto escalar es el productoescalar usual de R2.

Ejemplo 4.1.3 En general en el R− e.v. Rn la función

<,>: Rn × Rn −→ R

de�nida para cada par de vectores

(x1, ..., xn), (y1, ..., yn) ∈ Rn

mediante la expresión

〈(x1, ..., xn), (y1, ..., yn)〉 = x1y1 + ... + xnyn =n∑

i=1

xiyi

es un producto escalar (verifíquese). Este producto escalar es el productoescalar usual de Rn.

Ejemplo 4.1.4 En el R− e.v. de los polinomios con coe�cientes reales R[x]consideraremos los productos escalares siguientes (verifíquese):

<,>1: R[x]× R[x] −→ R

(p(x), q(x)) Ã1∫−1

p(x) · q(x)dx,

<,>0: R[x]× R[x] −→ R

(p(x), q(x)) Ãmin{n,m}∑

i=0

aibi,

donde p(x) = anxn + ... + a1x + a0 y q(x) = bmxm + ... + b1x + b0.

Álgebra 199

Es importante señalar que en el ejemplo anterior, los espacios vectorialeseuclídeos (R[x], <, >0) y (R[x], <, >1), aún teniendo el mismo conjunto base,son distintos. Por ejemplo,

< 3, x2 >1=

1∫

−1

3x2dx = 2 y < 3, x2 >0= 3 · 0 = 0.

Observación 46 Nótese que si (E, <, >) es un e.v.e., a partir de las pro-piedades del producto escalar se veri�ca que

∀u, v, w ∈ E < u, w + v >=< w + v, u >==< w, u > + < w, v >=< u, w > + < v,w >

y∀u, v ∈ E ∀α ∈ R < u, αv >=< αv, u >= α < v, u >= α < u, v > .

Además, si α1, ..., αn ∈ R y u1, ..., un, v ∈ E,

〈α1u1 + ... + αnun, v〉 = α1 < u1, v > +... + αn < un, v >=n∑

i=1

αi < ui, v > .

Ejercicio 4.1.1 Demostrar que si (E,<, >) es un e.v.e., α1, ..., αn, β1, ..., βm ∈R y u1, ..., un, v1, ..., vm ∈ E, entonces

〈α1u1 + ... + αnun, β1v1 + ... + βmvm〉 =

= α1β1 < u1, v1 > +... + α1βm < u1, vm > +

+α2β1 < u2, v1 > +... + αnβm < un, vm >=

=n∑

i=1

m∑j=1

αiβj < ui, vj > .

Se sigue que un producto escalar es lineal en la primera y segunda va-riables, es decir, es una función bilineal. Además, por valer las propiedades(p.e. 3) y (p.e. 4), se dice que <,> es una función bilineal, simétrica yde�nida positiva.

Ejercicio 4.1.2 Sea E un R − e.v.e. con producto escalar (·, ·) y sea v0

cualquier vector �jo de E. Sea f : E → R la función de�nida por f(u) =(u, v0) ∀u ∈ E. Veri�car que f es lineal.

200 Álgebra

4.2 Longitud o norma euclídea de un vectorSiguiendo la línea directriz marcada en la introducción, tomando el conceptode producto escalar como un concepto primario, vamos a de�nir a partir deél las nociones de norma, distancia y ángulo en espacios euclídeos.

De�nición 4.2.1 Si (E, <, >) es un e.v. y u ∈ E, una norma (o módulo)es número real, ‖u‖, tal que

(n. 1) ∀u ∈ E ‖u‖ ≥ 0 y ‖u‖ = 0 ⇔ u = 0,(n. 2) ∀u ∈ E ∀k ∈ R ‖ku‖ = |k|‖u‖,(n. 3) ∀u, v ∈ E ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ (desigualdad triangular).

De�nición 4.2.2 Si (E, <,>) es un e.v.e. y u ∈ E, llamaremos normaeuclídea (o módulo) de u al número real

‖u‖ =√

< u, u >.

Antes de poder veri�car que una norma euclídea veri�ca la de�nicióngeneral de norma, necesitamos estudiar algunas de sus propiedades.

4.2.1 Propiedades de la norma euclídeaA partir de las propiedades que debe satisfacer la función <,> por ser unproducto escalar, es fácil obtener las propiedades:

(n. 1)∀u ∈ E ‖u‖ ≥ 0 y ‖u‖ = 0 ⇔< u, u >= 0 ⇔ u = 0.(n. 2)∀u ∈ E ∀k ∈ R

‖ku‖ =√

< ku, ku > =√

k2 < u, u > = |k| · ‖u‖ .

Otras propiedades de la norma euclídea que se pueden obtener fácilmentea partir de las propiedades del producto escalar son las que aparecen enun-ciadas en el ejercicio siguiente.

Ejercicio 4.2.1 Sea (E, <,>) un e.v.e.. Demostrar que ∀u, v ∈ E, se veri-�ca que:

1. ‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2) (ley del paralelogramo)

2. < u, v >= 12

(‖u + v‖2 − ‖u‖2 − ‖v‖2)3. < u, v >= 1

4

(‖u + v‖2 − ‖u− v‖2)

A las propiedades 2 y 3 se las conoce como identidades de polarización.

Álgebra 201

Además de las propiedades anteriores, vamos a obtener otras propiedadesde la norma que derivan básicamente del siguiente resultado conocido comodesigualdad de Cauchy-Schwarz.

Teorema 4.2.3 Si (E, <,>) es un e.v.e., ∀u, v ∈ E se veri�ca que

|< u, v >| ≤ ‖u‖ · ‖v‖ .

Además|< u, v >| = ‖u‖ · ‖v‖ ⇔ {u, v} es ligado.

Demostración ∀λ ∈ R consideramos el vector u+λv. Por las propiedadesdel producto escalar,

∀λ ∈ R ≥ 0

pero

=< u, u > +2λ < u, v > +λ2 < v, v > .

Si de�nimos a =< v, v >, b =< u, v > y c =< u, u > y consideramos lafunción

f : R → Rλ Ã f(λ) = aλ2 + 2bλ + c

según es sabido, el grafo de f es una parábola de R2 y, puesto que si {u, v}es libre, u + λv 6= 0, ∀λ ∈ R y

∀λ ∈ R = aλ2 + 2bλ + c > 0,

tendremos que eso sólo es posible si ∀λ ∈ R la ecuación de segundo gradoanterior no tiene raíces reales, es decir, si su discriminante es negativo:

∆ = 4b2 − 4ac < 0

o, lo que es lo mismo,b2 − ac < 0,

con lo que (< u, v >2 − < u, u >< v, v >

)< 0,

202 Álgebra

es decir,|< u, v >| < √

< u, u > · √< v, v > = ‖u‖ · ‖v‖ .

Además

|< u, v >| = ‖u‖ · ‖v‖ ⇔ b2 − ac = 0 ⇔⇔ ∃λ ∈ R tal que < u, u > +2λ < u, v > +λ2 < v, v >= 0

⇔ ∃λ ∈ R tal que = 0

⇔ ∃λ ∈ R tal que ‖u + λv‖ = 0

⇔ ∃λ ∈ R tal que u + λv = 0

⇔ {u, v} es ligado.

2

A partir del resultado anterior se obtiene la propiedad (n. 3), la desigual-dad triangular o desigualdad del triángulo, para norma euclídeas. Por tanto,una norma euclídea es una norma.

Proposición 4.2.4 Si (E, <,>) es un e.v.e., ∀u, v ∈ E se veri�ca que

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ .

Demostración

‖u + v‖2 = =< u, u > +2 < u, v > + < v, v >=

= ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2 < u, v >≤ ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2 |< u, v >| ≤≤ ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2 ‖u‖ · ‖v‖ = (‖u‖+ ‖v‖)2 ,

de donde, extrayendo raíces cuadradas

‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ .

2

Ejercicio 4.2.2 Determinar las normas euclídeas asociadas a los productosescalares de�nidos en los ejemplos anteriores.

Álgebra 203

Ángulo entre dos vectores

A partir del producto escalar, también podemos recuperar el concepto deángulo. Si (E,<, >) es un e.v.e. y u, v ∈ E, u 6= 0, v 6= 0, como consecuenciade la desigualdad de Cauchy-Schwarz y de las propiedades que satisface elvalor absoluto resulta que

−1 ≤ < u, v >

‖u‖ · ‖v‖ ≤ 1.

De�nición 4.2.5 Si (E, <, >) es un e.v.e. y u, v ∈ E, u 6= 0, v 6= 0, sedenomina ángulo entre los vectores u y v al número real uv ∈ [0, π] tal que

cos(uv) =< u, v >

‖u‖ · ‖v‖ .

De�nición 4.2.6 Si (E,<, >) es un e.v.e., y u, v ∈ E, se dice que u y v sonortogonales (o perpendiculares) si

< u, v >= 0.

Ejercicio 4.2.3 Compruébese que si u, v ∈ (E, <,>), u 6= 0, v 6= 0, entonces

uv =π

2⇔ u y v son ortogonales.

y{u, v} es ligado⇔ uv = 0 ó uv = π.

Para probar esta última parte, téngase en cuenta que, si por ejemplo uv = 0,entonces |< u, v >| = ‖u‖ · ‖v‖ y que, en tal caso, valen las conclusiones delteorema (4.2.3).

Ejercicio 4.2.4 En el e.v.e. (R3, <, >), donde <,> es el producto escalarusual, determinar el ángulo formado por los vectores (1, 0, 1) y (0, 0, 1).

Ejercicio 4.2.5 Determinar el ángulo que forman los vectores 1 + x, x2 ∈R[x] en los e.v.e. (R[x], <, >1) y (R[x], <, >0).

204 Álgebra

Distancia euclídeaFinalmente, a partir del producto escalar, también podemos de�nir la dis-tancia entre vectores.De�nición 4.2.7 Si (E, <,>) es un e.v.e. y u, v ∈ E se denomina distan-cia euclídea de u a v y se denota por d(u, v) al número real

d(u, v) = ‖u− v‖ =√

< u− v, u− v >.

A partir de las propiedades vistas de la norma euclídea, es fácil ver quese satisfacen las propiedades que debe veri�car cualquier función distancia,a saber:

1. ∀x, y ∈ E d(x, y) ≥ 0.

2. ∀x, y ∈ E d(x, y) = 0 ⇔ x = y

3. ∀x, y, z ∈ E d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Ejercicio 4.2.6 En el e.v.e (R3, <, >), donde <,> es el producto escalarusual, determinar la distancia entre los vectores (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

Ejercicio 4.2.7 En el e.v.e (R[x], <, >1) determinar d(1 + x, x2).

Ejercicio 4.2.8 En el e.v.e (R[x], <, >0) determinar d(1+x, x2). Compáreseel resultado obtenido con el del ejercicio anterior.

4.3 Método de ortogonalización de Gram-SchmidtDe�nición 4.3.1 Sean (E,<, >) un e.v.e. y {u1, ..., ur} un sistema de vec-tores de E. Se dice que el sistema {u1, ..., ur} es ortogonal si se veri�ca:

1. ∀i ∈ {1, ..., r} ui 6= 02. ∀i, j ∈ {1, ..., r} (i 6= j ⇒< ui, uj >= 0)

Si además de ser un sistema ortogonal, el sistema {u1, ..., ur} satisface3. ∀i ∈ {1, ..., r} ‖ui‖ = 1

se dice que el sistema {u1, ..., ur} es ortonormal.Proposición 4.3.2 Sean (E, <, >) un e.v.e. y {u1, ..., ur} un sistema devectores de E \ {0}. Se veri�ca que

{u1, ..., ur} ortogonal ⇒ {u1, ..., ur} libre.

Álgebra 205

Demostración Supongamos que

α1u1 + ... + αrur = 0.

En ese caso

∀i ∈ {1, ..., r} 〈α1u1 + ... + αrur, ui〉 =< 0, ui >= 0.

Pero por otra parte, ∀i ∈ {1, ..., r},〈α1u1 + ... + αrur, ui〉 =

= α1 < u1, ui > +... + αi < ui, ui > +... + αr < ur, ui >=

= αi‖ui‖2,

puesto que si j 6= i < uj, ui >= 0. En de�nitiva,

∀i ∈ {1, ..., r} αi = 0

y en consecuencia {u1, ..., ur} es libre. 2

Observación 47 Es importante notar que existen sistemas libres que no sonortogonales, por ejemplo dos vectores que no son ni paralelos, ni perpendicu-lares.

De�nición 4.3.3 Sean (E, <, >) un e.v.e y B = {u1, ..., un} una base de E.Se dice que B es una base ortogonal si el sistema {u1, ..., un} es ortogonal y,obviamente, se dice que B es una base ortonormal si el sistema {u1, ..., un}es ortonormal.

Obviamente si (E, <, >) un e.v.e. tal que dim(E) = n y {u1, ..., un} es unsistema ortogonal, necesariamente {u1, ..., un} es una base ortogonal, siendolibre como consecuencia de la proposición anterior.

En el siguiente teorema expondremos un método, conocido como métodode ortogonalización de Gram-Schmidt, que nos va a permitir construir un sis-tema ortogonal a partir de un sistema dado (en particular una base ortogonala partir de una base dada).

La idea consiste en, partiendo del primer vector del sistema dado, quecoincidirá con el primer vector del sistema ortogonal obtenido, ir construyen-do el sistema de manera que cada vector que añadimos sea ortogonal a losvectores ya construidos.

206 Álgebra

Teorema 4.3.4 Sean (E, <,>) un e.v.e. y {u1, ..., ur} un sistema libre deE. En estas condiciones existe un sistema ortogonal {v1, ..., vr} tal que

∀i ∈ {1, ..., r} L({v1, ..., vi}) = L({u1, ..., ui}).

Demostración Razonamos por inducción sobre r : .Base de inducción: Si r = 1 no hay nada que probar, puesto que si {u1}

es libre, u1 6= 0 y obviamente (según la de�nición) {u1} es ortogonal.Paso de inducción: Supongamos cierto el resultado para todo sistema

libre de r vectores. Sea {u1, ..., ur+1} un sistema libre. En ese caso, puestoque {u1, ..., ur} es un sistema de r vectores, podemos aplicar la hipótesis deinducción, es decir, existe un sistema ortogonal {v1, ..., vr} tal que

∀i ∈ {1, ..., r} L({v1, ..., vi}) = L({u1, ..., ui}).

Veamos cómo construir vr+1 de manera que satisfaga las condiciones reque-ridas. Puesto que

L({v1, ..., vr}) = L({u1, ..., ur}),buscamos vr+1 ∈ E de manera que

L({v1, ..., vr, vr+1}) = L({u1, ..., ur, ur+1}).

Resulta que debe suceder que

vr+1 ∈ L({v1, ..., vr, vr+1}) = L({u1, ..., ur, ur+1}) = L({v1, ..., vr, ur+1}).

Pongamosvr+1 = ur+1 + λ1v1 + ... + λrvr

y veamos cómo deben ser los coe�cientes λ1, ..., λr ∈ R para que se satisfagala condición de ortogonalidad, es decir, que

∀i ∈ {1, ..., r} < vr+1, vi >= 0.

Dado i ∈ {1, ..., r},

< vr+1, vi >=< ur+1 + λ1v1 + ... + λrvr, vi >=

= < ur+1, vi > +λ1 < v1, vi > +... + λr < vr, vi >=

= < ur+1, vi > +λi < vi, vi >

Álgebra 207

puesto que el resto de los términos son nulos, al ser ortogonal el sistema{v1, ..., vr} .

Imponiendo entonces la condición

< vr+1, vi >= 0 =< ur+1, vi > +λi < vi, vi >

resulta queλi = −< ur+1, vi >

< vi, vi >.

qed

Método de ortogonalización de Gram-SchmidtDe la demostración anterior se deduce que, en de�nitiva, dado el sistemalibre {u1, ..., ur} , el método de ortogonalización de Gram-Schmidt consisteen de�nir el sistema de vectores

v1 = u1

v2 = u2 − < u2, v1 >

< v1, v1 >· v1

v3 = u3 − < u3, v1 >

< v1, v1 >· v1 − < u3, v2 >

< v2, v2 >· v2

...vr = ur − < ur, v1 >

< v1, v1 >· v1 − ...− < ur, vr−1 >

< vr−1, vr−1 >· vr−1,

que es un sistema ortogonal y además satisface la condición

∀i ∈ {1, ...r − 1} L({v1, ..., vi}) = L({u1, ..., ui}).

Observación 48 Nótese que si {v1, ..., vr} es ortogonal, de�niendo

∀i ∈ {1, ..., r} wi =vi

‖vi‖

el sistema {v1, ..., vr} es ortonormal, puesto que

∀i ∈ {1, ..., r} ‖wi‖ =

∥∥∥∥vi

‖vi‖

∥∥∥∥ =1

|‖vi‖| · ‖vi‖ = 1.

208 Álgebra

Observación 49 Nótese que como consecuencia del teorema y de la ob-servación anterior, si (E, <,>) es un e.v.e., con E de dimensión �nita, y{u1, ..., un} es una base de E, utilizando el método de Gram-Schmidt podemosobtener, a partir de ella, una base ortogonal y, posteriormente, dividiendo ca-da vector por su norma, obtendremos una base ortonormal de (E, <, >). Enconsecuencia, podemos a�rmar que todo e.v.e. de dimensión �nita tiene unabase ortonormal.

Ejercicio 4.3.1 A partir de la base

{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)},obtener por el método de Gram-Schmidt una base ortonormal de (R3, <,>),donde <,> es el producto escalar habitual.

Coordenadas ortonormalesLa pregunta que es natural hacerse es ¾porqué nos interesa trabajar con basesortonormales? Aunque más adelante veremos otras propiedades que tienenque ver con la mejor aproximación o aproximación óptima de un vector porvectores de un subespacio, la primera ventaja, que resulta evidente, es lasiguiente.

Si B = {w1, ..., wn} es una base ortonormal de (E, <,>), las coordena-das de cualquier vector u ∈ E respecto de dicha base se pueden obtener enfunción del producto escalar de u por los vectores de B, pues si

u = α1w1 + ... + αnwn

resulta que ∀i ∈ {1, ..., n}< u, wi > = < α1w1 + ... + αnwn, wi >=

= α1 < w1, wi > +... + αn < wn, wi >=

= αi < wi, wi >= αi ‖wi‖2 = αi,

con lo que

u =< u,w1 > w1 + ...+ < u,wn > wn =n∑

i=1

< u, wi > wi.

El resultado de la siguiente proposición se conoce como identidad deParseval y es una generalización del teorema de Pitágoras.

Álgebra 209

Proposición 4.3.5 Si B = {w1, ..., wn} es una base ortonormal del e.v.e.(E, <, >), entonces ∀u ∈ E se veri�ca que

‖u‖2 =n∑

i=1

< u, wi >2 .

Demostración Sea B = {w1, ..., wn} una base ortonormal de (E, <, >).En ese caso

u =n∑

i=1

< u, wi > wi,

con lo que

‖u‖2 = < u, u >=<

n∑i=1

< u, wi > wi,

n∑j=1

< u, wj > wj >=

=n∑

i=1

< u,wi >< wi,

n∑j=1

< u, wj > wj >=

=n∑

i=1

< u,wi >

(n∑

j=1

< u, wj >< wi, wj >

)=

(teniendo en cuenta que la base es ortonormal)

=n∑

i=1

< u,wi > (< u, wi >< wi, wi >) =

=n∑

i=1

< u,wi >2 ‖wi‖2 =n∑

i=1

< u, wi >2 .

2

4.3.1 Descomposición QR de una matrizSi A ∈ Mm×n(R) tiene vectores columna (A1, A2, · · · , An) = (u1, u2, · · · , un)linealmente independientes, es decir, si rango(A) = n, el método de ortogona-lización de Gram-Schmidt nos proporciona una manera de determinar, a par-tir del sistema libre (u1, u2, · · · , un), un sistema ortonormal (q1, q2, · · · , qn).

Si ahora denotamos con Q ∈ Mm×n(R) a la matriz cuyos vectores columnason los vectores obtenidos (q1, q2, · · · , qn), ¾cuál es la relación entre A y Q?

210 Álgebra

Siendo (q1, q2, · · · , qn) una base ortonormal del espacio columna de A,L(u1, u2, · · · , un), se sigue que

∀j ∈ {1, · · · , n} uj =n∑

i=1

< uj, qi > qi.

Sea R = (< qi, uj >) ∈ Mn(R) la matriz cuyas columnas son las coor-denadas de los vectores (u1, u2, · · · , un) respecto de la base (q1, q2, · · · , qn).Entonces

R =

< u1, q1 > < u2, q1 > · · · < un, q1 >< u1, q2 > < u2, q2 > · · · < un, q2 >

... ... ... ...< u1, qn > < u2, qn > · · · < un, qn >

,

∀j ∈ {1, · · · , n} Aj = (QR)j y A=QR .

Además, siendo qi ortogonal a u1, u2, · · · , ui−1 para todo i ≥ 2, la matrizR es triangular superiormente:

R =

< u1, q1 > < u2, q1 > · · · < un, q1 >0 < u2, q2 > · · · < un, q2 >... ... ... ...0 0 · · · < un, qn >

e invertible, ya que < ui, qi >6= 0, para todo i ∈ {1, · · · , n}.Hemos así obtenido la descomposición QR de la matriz A en el pro-

ducto de una matriz Q con vectores columna ortogonales por una matriz Rinvertible y triangular superiormente.

La descomposición QR se utiliza en varios algoritmos numéricos y, enparticular, en el cálculo numérico de autovalores de matrices grandes.

Ejemplo 4.3.6 Sea A ∈ M3×2(R) de�nida por

A =

1 10 11 1

.

Entonces u1 =

101

y u2 =

111

.

Álgebra 211

Aplicando el método de Gram-Schmidt se obtiene la base ortogonal

v1 = u1, v2 = u2 − < u2, v1 >

< v1, v1 >· v1 =

111

− 2

2

101

=

010

.

Una base ortonormal del espacio columna de A es

q1 =v1

‖v1‖ =

1√2

01√2

, q2 =

v2

‖v2‖ =

010

.

Por tanto,

Q =

1√2

0

0 11√2

0

, R =

(< u1, q1 > < u2, q1 >

0 < u2, q2 >

)=

(√2√

20 1

)

y A = QR.

4.4 Proyecciones ortogonalesDe�nición 4.4.1 Sean (E, <, >) un e.v.e. y A ⊆ E. Diremos que v ∈ E esun vector ortogonal a A si ∀u ∈ A, < v, u >= 0.

Ejemplo 4.4.2 En (R3, <, >), donde <,> es el producto escalar usual deR3, cualquier vector de la recta L((0, 0, 1)) es ortogonal al conjunto A ={(1, 1, 0), (0, 1, 0)}.Observación 50 Nótese que el vector 0 ∈ E es ortogonal a cualquier sub-conjunto A ⊆ E. Pues, siendo A cualquier subconjunto de E, ∀u ∈ A severi�ca que

< u,0 >=< u, u− u >=< u, u > − < u, u >= 0

o, si se pre�ere,< u,0 >=< u, 0 · 0 >= 0· < u,0 >= 0.

Proposición 4.4.3 Sean (E, <, >) un e.v.e. y A ⊆ E. Se veri�ca que elconjunto

A⊥ = {v ∈ E |∀u ∈ A < v, u >= 0}es un subespacio vectorial de E. A este subespacio se le denomina subespacioortogonal de A.

212 Álgebra


Observación 51 En el caso particular de que (E, <, >) sea un e.v.e. dedimensión �nita y H ≺ E, al subespacio ortogonal de H se le denominacomplemento ortogonal de H.

Proposición 4.4.4 Sean (E, <, >) un e.v.e. con dim(E) = n y H ≺ E. Enestas condiciones se veri�ca que

dim(H⊥) = n− dim(H).

Demostración Si H = {0} el resultado es evidente. Supongamos, pues,que dim(H) = r > 0. En ese caso, siendo {u1, ..., ur} una base de H, porel teorema de extensión de una base, existen ur+1, ..., un tales que el sistema{u1, ..., ur, ur+1, ..., un} es una base de E. Utilizando el método de Gram-Schmidt y posteriormente dividiendo cada vector por su norma, obtenemosuna base ortonormal {w1, ..., wr, wr+1, ..., wn} de (E, <,>) tal que

L(w1, ..., wr) = L(u1, ..., ur) = H.

La proposición estará demostrada si comprobamos que

{wr+1, ..., wn}

es una base de H⊥.Evidentemente {wr+1, ..., wn} es un sistema libre, puesto que es un sub-

sistema de un sistema libre. Veamos que es también un sistema generadorde H⊥ :

si v ∈ H⊥, como H⊥ ⊂ E y {w1, ..., wr, wr+1, ..., wn} es una base de E,existirán α1, ..., αr, αr+1, ..., αn ∈ R tales que

v = α1w1 + ... + αrwr + αr+1wr+1 + ... + αnwn.

Ahora bien, como ∀u ∈ H < v, u >= 0, en particular

∀i ∈ {1, ..., r} < v, wi >= 0,

y puesto que {w1, ..., wr, wr+1, ..., wn} es ortonormal, resulta que

∀i ∈ {1, ..., n} < v, wi >= αi,

Álgebra 213

con lo que obtenemos que α1 = α2 = · · · = αr = 0 y

v = αr+1wr+1 + ... + αnwn ∈ L({wr+1, ..., wn}).

2

Observación 52 Si {w1, ..., wr} es una base ortonormal de un subespaciovectorial H y {w1, ..., wr, wr+1, ..., wn} es una base ortonormal del espacio E,por la proposición anterior {wr+1, ..., wn} es una base de H⊥, con lo que

∀u ∈ E ∃!(α1, ..., αr, αr+1, ..., αn) ∈ Rn tales queu = α1w1 + ... + αrwr + αr+1wr+1 + ... + αnwn.

Si denotamos porh = α1w1 + ... + αrwr ∈ H

y porh⊥ = αr+1wr+1 + ... + αnwn ∈ H⊥

resulta que

∀u ∈ E ∃!h ∈ H y ∃!h⊥ ∈ H⊥ tales que u = h + h⊥.

De�nición 4.4.5 Siendo (E, <, >) un e.v.e. de dimensión �nita, H ≺ E yu ∈ E, si

u = h + h⊥

con h ∈ H y h⊥ ∈ H⊥, al vector h se le denomina proyección ortogonalde u sobre el subespacio H y se le denota por p⊥H(u).

Ejercicio 4.4.1 Sea E un R − e.v.e. con producto escalar < ·, · > y H unsubespacio de dimensión �nita r de E. Si B = (w1, w2, · · · , wr) es una baseortonormal de H, sea p⊥H : E → H la función proyección ortogonal de Esobre H, de�nida por

p⊥H(u) =< u, w1 > w1+ < u, w2 > w2 + · · ·+ < u, wr > wr ∀u ∈ E.

Veri�car que p⊥H es lineal.

214 Álgebra

4.4.1 Método para hallar una proyección ortogonalPara calcular la proyección ortogonal de un vector u sobre un subespacio Hprocederemos como sigue: a partir de una base del subespacio H obtenemos(por el método de Gram-Schmidt) una base ortonormal {w1, ..., wr} de H.La proyección de u sobre H será entonces el vector

p⊥H(u) = h = α1w1 + ... + αrwr =< u,w1 > w1 + ...+ < u, wr > wr.

En el caso particular de que H = L({v}), puesto que

{ v

‖v‖}

es una base ortonormal de H, la proyección ortogonal de u sobre H será elvector

h =< u,v

‖v‖ > · v

‖v‖ =< u, v >

‖v‖2 · v.

Ejemplo 4.4.6 En (R[x], <, >1) donde<, >1: R[x]× R[x] −→ R

(p, q) Ã < p, q >1=1∫−1

p(x) · q(x)dx,

obtener la proyección ortogonal del vector x2 sobre el subespacio H = L({x, 1+x}). Siendo {x, 1+x} un sistema libre, es también una base de H. Aplicandoel método de Gram-Schmidt, se obtiene la base ortogonal

u1 = x, u2 = 1 + x− < 1 + x, x >1

< x, x >1

x = 1 + x−2323

x = 1.

Una base ortonormal es

w1 =u1

‖u1‖1

=x√

23

=

√3

2x, w2 =

u2

‖u2‖1

=1√2.

Entonces

p⊥H(x2) =< x2, w1 >1 w1+ < x2, w2 >1 w2 =1

31 =

√2

3w2.

Ejercicio 4.4.2 En (R3, <, >) donde <,> es el producto escalar usual deR3, obtener la proyección ortogonal del vector (1, 2, 1) sobre los subespaciosH = L((1, 0, 1)) y H ′ = L((1, 0, 1), (1, 0, 0)).

Álgebra 215

4.4.2 Aproximación óptima de un vector.Siendo (E, <, >) un e.v.e. (de dimensión �nita o no), u ∈ E y H ≺ E,H = L({u1, ..., um}), buscamos el vector de H que �mejor aproxima� al vectoru o, lo que es lo mismo, buscamos el vector de H que está a la �menor distanciaposible� de u. Como veremos, dicho vector es la proyección ortogonal de usobre H y, según hemos visto, la forma de obtener dicha proyección ortogonales a través de una base ortonormal de H.

Antes de obtener el resultado central de esta sección, veamos un lemaprevio.Lema 4.4.7 Si {w1, ..., wr} es un sistema ortonormal del e.v.e. (E,<, >) yu ∈ E, se veri�ca que ∀i ∈ {1, ..., r} el vector

u−(

r∑j=1

< u, wj > wj

)

es ortogonal al vector wi.

Demostración Sea i ∈ {1, ..., r}. En ese caso

< u−(

r∑j=1

< u, wj > wj

), wi >=

= < u, wi > −(

r∑j=1

< u, wj >< wj, wi >

)=

(puesto que el sistema es ortonormal)= < u, wi > − < u, wi >< wi, wi >=

= < u, wi > − < u, wi >= 0.

2

Teorema 4.4.8 Sean {w1, ..., wr} un sistema ortonormal del (E, <, >) yH = L(w1, ..., wr). Entonces, para todo u ∈ E, se veri�ca que

d(u, p⊥H(u)) ≤ d(u,w) ∀w ∈ H.

En otras palabras, p⊥H(u) =r∑

i=1

< u, wi > wi es el vector de H = L({w1, ..., wr})que está a menor distancia de u (i.e., el que mejor lo aproxima).

216 Álgebra

Demostración Por de�nición

d(u, p⊥H(u)) = d(u,

r∑i=1

< u, wi > wi) =

∥∥∥∥∥u−(

r∑i=1

< u, wi > wi

)∥∥∥∥∥ .

Según hemos visto en el lema anterior, el vector

u−(

r∑i=1

< u, wi > wi

)

es ortogonal a cada uno de los vectores w1, ..., wr y, en consecuencia, tambiénserá ortogonal a cualquier combinación lineal de dichos vectores. Por otraparte, si w =

r∑i=1

αiwi es un vector de H,

d(u,w)2 =

∥∥∥∥∥u−(

r∑i=1

αiwi

)∥∥∥∥∥

2

=

=

∥∥∥∥∥u−(

r∑i=1

αiwi

)− p⊥H(u) + p⊥H(u)

∥∥∥∥∥

2

=

=

∥∥∥∥∥(u− p⊥H(u)) +

(r∑

i=1

(< u, wi > −αi)wi

)∥∥∥∥∥

2

=

por la identidad de Parseval,

ya que u− p⊥H(u) ∈ H⊥ yr∑

i=1

(< u,wi > −αi)wi ∈ H,

=∥∥u− p⊥H(u)

∥∥2+

∥∥∥∥∥

(r∑

i=1

(< u, wi > −αi)wi

)∥∥∥∥∥

2

con lo que ∥∥u− p⊥H(u)∥∥2 ≤ d(u,w)2.

2

Ejercicio 4.4.3 En (R3, <, >), donde <,> es el producto escalar usual deR3, hallar la mejor aproximación del vector (1, 0, 1) por vectores del subespa-cio H = L((1, 2, 1), (1, 0, 0)).

Álgebra 217

Ejercicio 4.4.4 En (R[x], <,>1) donde

<, >1: R[x]× R[x] −→ R

(p, q) Ã < p, q >1=1∫−1

p(x) · q(x)dx,

Hallar la mejor aproximación del vector x por vectores del subespacio H =L({1 + x}).

A lo largo de la práctica 4 veremos como la propiedad de aproximaciónde la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio se puede utilizarpara determinar, por mínimos cuadrados, soluciones aproximadas óptimas deproblemas que utilizan datos experimentales y, por tanto, datos que contienenun error (ruido).

4.5 Ejercicios4.5.1 Ejercicios resueltos1. En el espacio vectorial euclídeo R3 con el producto escalar usual se consi-dera el sistema de vectores

{(1, 2,−1), (0, 1, 1)}.Se pide obtener, mediante el método de Gram-Schmidt, una base ortonormaldel subespacio

L({(1, 2,−1), (0, 1, 1)})y la proyección ortogonal del vector (1, 1, 1) sobre dicho subespacio.

4.5.2 Ejercicios propuestos1. Calcula, mediante el metodo de Gram-Schmidt, una base ortonormal

del subespacio de R3

V = L({(1, 2,−2), (0,−4, 3)})Completa dicha base a una base ortonormal B de R3 y calcula la pro-yección ortogonal del vector (2, 1, 3) sobre V . Calcula también las coor-denadas de los vectores de la base canónica de R3 respecto de B.

218 Álgebra

2. Considera la función proyección ortogonal p⊥V de R3 sobre el subespacioV del ejercicio anterior como aplicación de R3 a R3. Calcula:

MBB (p⊥V ) y MB3

B3(p⊥V )

siendo B3 la base canónica de R3.

3. Calcula la descomposición QR de la matriz−1 0 32 −1 02 −2 1

4. Calcula las ecuaciones implícitas y paramétricas del complemento or-togonal de los siguientes subespacios:

V = L({(1,−1, 1, 0), (0, 1, 0, 3)}) ≺ R4, W = L({1, 2,−3)}) ≺ R3

5. Considera el espacio vectorial P2(R) de polinomios de grado menor oigual que dos como espacio vectorial euclídeo con el producto escalarde�nido por:

〈p(x), q(x)〉1 =

∫ 1

−1

p(x) · q(x)dx

• Obtén, mediante el método de Gram-Schmidt, una base ortonor-mal de (P2(R), 〈, 〉1) a partir de la base B3 = {1, x, x2}.

• Calcula las normas de los vectores de B3 y los ángulos que formandos a dos.

Capıtulo 4

Espacios Vectoriales

4.1. Determine si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales

(a) D[0, 1] = {f : [0, 1] → R : f es diferenciable} con las operaciones:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (αf)(x) = α[f(x)]

(b) Q(√

2) = {a+b√

2 : a, b ∈ Q} bajo la suma de numeros reales usualy la multiplicacion por escalar solo para escalares racionales.

(c) {f ∈ C[0, 1] : f(0) = f(1) = 0} bajo las operaciones de (a).

(d) R2 con las operaciones:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1)

α(x, y) = (α + αx − 1, α + αy − 1)

(e)

{(1 αβ 1

)

: α, β ∈ R

}

con las operaciones de matrices de suma y

multiplicacion por escalar.

(f) V = {p ∈ Pn(R) : a0 = 0} donde p(x) = anxn + an−1xn−1 + ... +

a1x + a0 con las operaciones de Pn(R)

(g) {A ∈ Mnn(R) : At = A} bajo la suma y multiplicacion por escalarusuales

(h) {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 0} con la suma de vectores y multiplicacion porescalar usuales.

Solucion: Debemos verificar los siguientes axiomas de un espacio vec-torial:

49

EJERCICIOS RESUELTOS DE ESPACIOS VECTORIALES

jcdelacruz----------------------------------------------------------------------unsch

50 Capıtulo 4. Espacios Vectoriales

i. Si x, y ∈ V entonces x + y ∈ Vii. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ Viii. x + y = y + x ∀x, y ∈ Viv. Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈ V , x + 0 = 0 + x = xv. Si x ∈ V , existe un vector −x ∈ V tal que x + (−x) = 0vi. Si x ∈ V y α es un escalar, entonces αx ∈ Vvii. Si x, y ∈ V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αyviii. Si x ∈ V y α, β son escalres, entonces (α + β)x = αx + βxix. Si x ∈ V y α, β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)xx. Para cada vector x ∈ V , 1x = x

(a) D[0, 1] es un espacio vectorial, como la suma de funciones difer-enciables es diferenciable, el axioma (i) se cumple y los otros axiomasse verifican facilmente con 0 = la funcion cero (la cual es diferenciable)y (−f)(x) = −f(x).

(b) Q(√

2) es un espacio vectorial con 0 = 0 + 0√

2 y −(a + b√

2) =−a − b

√2 los demas axiomas se verifican con facilidad.

(c) Si f, g ∈ C = {f ∈ C[0, 1] : f(0) = f(1) = 0} como la sumade funciones continuas es continua se tiene que f + g ∈ C[0, 1] y

(f + g)(0) = f(0) + g(0) = 0 = f(1) + g(1) = (f + g)(1)

luego, f + g ∈ C. Ademas, 0 = la funcion identicamente cero. Las otrosaxiomas se verifican sin dificultad.

(d) R2 con las operaciones

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1)

α(x, y) = (α + αx − 1, α + αy − 1)

es un espacio vectorial.iv. existe 0 = (−1,−1) ∈ R2 tal que (x, y) + 0 = (x, y) + (−1,−1) =(x−1+1, y−1+1) = (x, y) = (−1+x+1,−1+y+1) = (−1,−1)+(x, y)v. existe −(x, y) = (−x − 2,−y − 2) ∈ R2 tal que (x, y) + (−(x, y)) =(x, y)+ (−x−2,−y−2) = (x−x−2+1, y − y−2+1) = (−1,−1) = 0vii.

α((x, y) + (a, b)) = α(x + a + 1, y + b + 1)

= (α + α(x + a + 1) − 1, α + α(y + b + 1) − 1)


Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 51

= (2α + αx + αa − 1, 2α + αy + αb − 1)

= ((α + αx − 1) + (α + αa − 1) + 1, (α + αy − 1) + (α + αb − 1) + 1)

= (α + αx− 1, α + αy − 1) + (α + αa− 1, α + αb− 1)

= α(x, y) + α(a, b)

viii.

(α + β)(x, y) = ((α + β) + (α + β)x − 1, (α + β) + (α + β)y − 1)

= ((α + αx − 1) + (β + βx − 1) + 1, (α + αy − 1) + (β + βy − 1) + 1)

= (α + αx − 1, α + αy − 1) + ((β + βx − 1, β + βy − 1)

= α(x, y) + β(x, y)

ix.

α(β(x, y)) = α(β + βx − 1, β + βy − 1)

= (α + α(β + βx − 1) − 1, α + α(β + βy − 1) − 1)

= (α + αβ + αβx − α − 1, α + αβ + αβy − α − 1)

= (αβ + αβx − 1, αβy − 1)

= (αβ)(x, y)

x. Si α = 1 entonces 1 · (x, y) = (1 + x − 1, 1 + y − 1) = (x, y)

(e) No es espacio vectorial, pues no se verifican los axiomas (i), (iv),(v) y (vi), por ejemplo

(1 αβ 1

)

+

(1 δγ 1

)

=

(2 α + δ

β + γ 2

)

la ultima matriz no pertenece al conjunto dado.

(f) V es un espacio vectorial. Es claro que la suma de dos polinomios degrado menor o igual a n es otro polinomio de grado menor o igual a ny la suma de los terminos constantes es igual a cero si ambos son cero,por lo que se cumple el axioma (i). Sea 0 = 0xn + 0xn−1 + ... + 0x + 0entonces claramente 0 ∈ V y el axioma (iv) se cumple. Por ultimo sea−p(x) = −anxn − an−1x

n−1 − ... − a1x − 0, se ve que el axioma (v) secumple, las demas propiedades son faciles de obtener.

(g) {A ∈ Mnn(R) : At = A} es un espacio vectorial. Si A y B son


simetricas entonces (A+B)t = At +Bt = A+B y se cumple el axioma(i), con 0 la matriz cero de n × n la cual es simetrica. Si A = (aij) essimetrica entonces −A = (−aij) tambien es simetrica.

(h) No es un espacio vectorial, ya que no se verifican los axiomas (v) y(vi), por ejemplo, si α < 0 y (x, y) ∈ R2 tal que y ≤ 0, entonces

α(x, y) = (αx, αy) con αy ≥ 0

y no se verifica (vi).

4.2. Sea C = {p(t) ∈ P3(R) : p′(−1) = p(0) + p′′(1) = 0}. Demuestre que Ces subespacio de P3(R). Encuentre una base y su dimension.

Solucion: Sean p(t), q(t) ∈ P3(R) y α ∈ R, entonces basta probarque (P + q)(t) ∈ P3(R) y (αp)(t) ∈ P3(R). En efecto,

(p + q)′(−1) = p′(−1) + q′(−1) = 0 + 0 = 0 ,

(p + q)(0) + (p + q)′′(1) = p(0) + p′′(1) + q(0) + q′′(1) = 0 + 0 = 0 .

Analogamente, se tiene que (αp)′(−1) = αp′(−1) = 0 y ademas (αp)(0)+(αp)′′(1) = α(p(0) + p′′(−1)) = 0. Luego, C es subespacio.Ahora, sea p(t) = a3t

3 + a2t2 + a1t + a0 ∈ P3(R) entonces p(t) ∈ C si y

solo si p′(−1) = p(0) + p′′(1) = 0, esto es,

p′(t)|t=−1 = (3a3t2 + 2a2t + a1)

∣∣t=−1

= 3a3 − 2a2 + a1 = 0

y como p(0) = a0 y p′′(t)|t=1 = (6a3t + 2a2)|t=1 = 6a3 + 2a2, es decir

6a3 + 2a2 + a0 = 0 .

Entonces, las variables basicas son a0 y a1 y las libres a2 y a3.

a0 = −2a2 − 6a3

a1 = 2a2 − 3a3

reemplazando a0 y a1 se obtiene

p(t) = a3t3 + a2t

2 + a1t + a0

= a3t3 + a2t

2 + (2a2 − 3a3)t − 2a2 − 6a3

= a3(t3 − 3t − 6) + a2(t

2 + 2t − 2) .

Luego, la base de U es {t2 + 2t − 2, t3 − 3t − 6} y dim U = 2.


4.3. Determine una base del subespacio

L = 〈1 + 3x − 2x2 + x3, 3 + 10x − 4x2 + 4x3, 2 + 8x + 4x3〉de P3(R) y su dimension.

Solucion: Las coordenadas de los vectores generadores son (1, 3,−2, 1),(3, 10,−4, 4), (2, 8, 0, 4) y formamos la matriz cuyas filas son los vectorescoordenados y calculamos su forma escalonada reducida

A =

1 3 −2 13 10 −4 42 8 0 4

∼

1 3 −2 10 1 2 10 2 4 2

∼

1 3 −2 10 1 2 10 0 0 0

.

Las filas no nulas de la forma escalonada reducida son las coordenadasde una base de L

B = {1 + 3x − 2x2 + x3, x + 2x2 + x3} .

Otro metodo alternativo es escalonar la matriz cuyas columnas son losvectores coordenadas

B =

1 3 23 10 8

−2 −4 01 4 4

∼

1 3 20 1 20 2 40 1 2

∼

1 3 20 1 20 0 00 0 0

.

Las columnas pivotes son la 1 y 2. Por lo tanto, las columnas 1 y 3 deB son base de L

B = {1 + 3x − 2x2 + x3, 3 + 10x − 4x2 + 4x3} .

4.4. Pruebe que {1 + x − x2 + 3x3, 2 + 2x − x3} es un conjunto linealmenteindependiente, extiendalo a una base de P3(R).

Solucion: El conjunto es linealmente independiente si los vectores co-ordenados (1, 1,−1, 3) y (2, 2, 0,−1) son linealmente independientes, si

α(1, 1,−1, 3) + β(2, 2, 0,−1) = 0 ⇒α + 2β = 0−α = 0

3α − β = 0

⇒ α = β = 0 .

Entonces, {1 + x − x2 + 3x3, 2 + 2x − x3} es un conjunto linealmenteindependiente. Ahora, llevamos la matriz A a su forma escalonada re-ducida

A =

(1 1 −1 32 2 0 −1

)

∼(

1 1 −1 30 0 2 −7

)

.



Las filas(

0 1 γ δ0 0 0 1

)

completan a una base de R4 a las filas de la matriz escalonda. Por lotanto, los polinomios x + γx2 + δx3 y x3 extiende una base para P3(R).

4.5. Sean B1 = {(1, 1, 1), (2, 0, 1), (1, 2, 1)} y B2 = {(1, 1, 2), (0,−1, 1), (1, 1, 1)},determine la matriz cambio de base.

Solucion: Expresamos cada vetor de B1 en termino de los vectoresde B2. Sean B1 = {(1, 1, 1), (2, 0, 1), (1, 2, 1)} = {u1, u2, u3} y B2 ={(1, 1, 2), (0,−1, 1), (1, 1, 1)} = {v1, v2, v3}, luego

v1 =

112

= α11u1 + α21u2 + α31u3

= α11

111

+ α21

201

+ α31

121

=

1 2 11 0 21 1 1

α11

α21

α31

.

Similarmente, tenemos que

v2 =

0−1

1

=

1 2 11 0 21 1 1

α12

α22

α32

,

v3 =

111

=

1 2 11 0 21 1 1

α13

α23

α33

.

Entonces, los tres sistemas de ecuaciones se pueden escribir como

[v1v2v3] =

1 0 11 −1 12 1 1

=

1 2 11 0 21 1 1

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

=

1 2 11 0 21 1 1

P .



Entonces

P =

1 2 11 0 21 1 1

−1

1 0 11 −1 12 1 1

=

−2 −1 41 0 −11 1 −2

1 0 11 −1 12 1 1

=

5 5 1−1 −1 0−2 −3 0

.

4.6. Sea B1 = {1 + t − t2, t2 − t, 2 + t − 2t2} una base de P2(R). Si B0 es labase canonica de P2(R), encuentre cambio de base de B1 a B0.

Solucion: Sean u1 = 1 + t − t2, u2 = t2 − t y u3 = 2 + t − 2t2 y expre-samos los vectores coordenadas, de cada vector ui, en la base canonicade P2(R).

[u1]B0 =

11

−1

, [u2]B0 =

0−1

1

, [u3]B0 =

21

−2

.

Entonces

S = [ [u1]B0 [u2]B0 [u3]B0 ] =

1 0 21 −1 1

−1 1 −2

luego la matriz de cambio de base de B1 a B0 es

P 01 = S−1 =

1 2 21 0 10 −1 −1

4.7. Sea W es subespacio de P3 generado por {x2 − 2, x3 + x, x3 + 2x2 + 1}.Determine si los siguientes vectores pertenecen o no a W .

(a) x2 − x + 3 ,

(b) 4x3 − 3x + 5 ,

(c) x2 − 2x + 1 ,



(d) −12x3 + 5

2x2 − x − 1 .

Solucion: Determinamos el sistema homogeneo asociado al generador.

−2 0 1 a0

0 1 0 a1

1 0 2 a2

0 1 1 a3

=

1 0 −12

−a0

2

0 1 0 a1

1 0 2 a2

0 1 1 a3

=

1 0 −12

−a0

2

0 1 0 a1

0 0 52

a2 + a2

2

0 0 1 a3 − a1

=

1 0 −12

−a0

2

0 1 0 a1

0 0 52

a2 + a2

2

0 0 0 a3 − a1 − 25a2 − 1

5a0

.

Entonces, a3 − 25a2 − a1 − 1

5a0 = 0.

(a) 0 − 25· 1 − (−1) − 1

5· 3 = −5

5+ 1 = 0 ⇒ x2 − x + 3 ∈ 〈W 〉 ,

(b) 4− 25(0)− (−3)− 1

5(5) = 4 + 3− 1 6= 0 ⇒ 4x3 − 3x + 5 no pertence

a 〈W 〉 ,

(c) 0− 25(1)− (−2)− 1

5(1) = 7

56= 0 ⇒ x2 − 2x + 1 no pertenece a 〈W 〉 ,

(d) −12− 2

552− (−1) − 1

5(−1) = − 3

106= 0 ⇒ −1

2x3 + 5

2x2 − x − 1 no

pertenece a 〈W 〉 .

4.8. Considere los siguientes subespacios de P3(R)

U1 = 〈3 − 2x + x2 + x3,−1 + x2 − x3, 2 − x + x3〉 ,

U2 = 〈2 − x + 2x2 + x3,−x − x3, 3 − 2x + 3x2 + x3〉 .

(a) Encuentre una base y la dimension de U1, U2, U1 + U2 y U1 ∩ U2.

(b) Encuentre una base y la dimension de U3 tal que (U1 ∩ U2) ⊕ U3 =P3(R) .

Solucion: Tomando los vectores coordenados en la base 1, x, x2, x3 deP3(R), para encontrar una base y la dimension de U1 observamos lasiguiente matriz

3 −1 2−2 0 −1

1 1 01 −1 1

∼

1 1 0−2 0 −1

3 −1 21 −1 1

∼

1 1 00 2 −10 −4 20 −2 1

∼

1 1 00 2 −10 0 00 0 0



luego, una base de U1 es {3−2x+x2 +x3,−1+x2 −x3} con dimension2. Analogamente para U2 se tiene

2 0 3−1 −1 −2

2 0 31 −1 1

∼

1 −1 10 2 10 0 00 0 0

y U2 tiene base {2 − x + 2x2 + x3,−x − x3} y tiene dimension 2. Paraencontrar una base de U1 + U2 se analiza la matriz cuyas columnas sonlos vectores coordenados de los vectores generadores de U1 y U2

3 −1 2 0−2 0 −1 −1

1 1 2 01 −1 1 −1

∼

1 0 0 10 1 0 10 0 1 −10 0 0 0

entonces una base de U1 + U2 es {3 − 2x + x2 + x3,−1 + x2 − x3, 2 −x + 2x2 + x3} la cual tiene dimension 3. Ahora, como dim(U1 + U2) =dim U1 + dim U2 − dim(U1 ∩U2) se deduce que dim(U1∩U2) = 1. Paraencontrar una base de U1∩U2 debemos notar que un vector (x, y, z, w) ∈(U1 ∩ U2) debera tener la forma: α1(3,−2, 1, 1) + α2(−1, 0, 1,−1), porpertenecer a U1 y β1(2,−1, 2, 1) + β2(0,−1, 0,−1), por pertenecer a U2

luego α1(3,−2, 1, 1)+α2(−1, 0, 1,−1) = β1(2,−1, 2, 1)+β2(0,−1, 0,−1)de esto,

3α1 − α2 − 2β1 = 0−2α1 + β1 + β2 = 0

α1 + α2 − 2β1 = 0α1 − α2 − β1 + β2 = 0

⇒

3 −1 −2 0−2 0 1 1

1 1 −2 01 −1 −1 1

luego debemos encontrar el Ker de la ultima matriz que esta genera-do por el vector (1, 1, 1, 1), con lo que (x, y, z, w) = (3,−2, 1, 1) +(−1, 0, 1,−1) = 2(1,−1, 1, 0) implica que la base de U1 ∩ U2 es {1 −x + x2}. Para encontrar U3 consideramos la matriz

1 1 0 0 0−1 0 1 0 0

1 0 0 1 00 0 0 0 1

∼

1 0 0 1 00 1 0 1 00 0 1 1 00 0 0 0 1

.

Luego {1−x+x2, 1, x, x3} es una base de P3, por lo que U3 = 〈1, x, x3〉y tiene dimension 3.



4.9. Sea W1 y W2 subespacios de Rn de dimension n − 1 con n > 2, de-muestre que W1 ∩ W2 6= 0.

Solucion: Basta probar que dim(W1 ∩W2) > 0, para esto supongamoslo contrario, es decir, W1 ∩ W2 = 0 como

dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2)

obtenemos que dim(W1 + W2) = n − 1 + n − 1 = 2(n − 1) y comoW1 +W2 ⊆ Rn y dim Rn = n entonces dim(W1 +W2) > dim Rn, lo cuales absurdo si n > 2. Por lo tanto,

dim(W1 ∩ W2) > 0 ⇒ W1 ∩ W2 6= {0} .

4.10. Dados los espacios vectoriales

U = {A = (aij) ∈ M3×3(R) : At = A, aii = 0, i = 1, 2, 3}V = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 0}

(a) Encuentre una base para U(b) Decida si U y V son isomorfos.

Solucion:

(a) Notemos que

U =

0 a ba 0 cb c 0

: a, b, c ∈ R

=

0 a 0a 0 00 0 0

+

0 0 b0 0 0b 0 0

+

0 0 00 0 c0 c 0

: a, b, c ∈ R

=

a

0 1 01 0 00 0 0

+ b

0 0 10 0 01 0 0

+ c

0 0 00 0 10 1 0

: a, b, c ∈ R

.

El conjunto B =

0 1 01 0 00 0 0

,

0 0 10 0 01 0 0

,

0 0 00 0 10 1 0

es

linealmente independiente, ya que

α

0 1 01 0 00 0 0

+β

0 0 10 0 01 0 0

+γ

0 0 00 0 10 1 0

=

0 0 00 0 00 0 0



⇒

0 α βα 0 γβ γ 0

=

0 0 00 0 00 0 0

⇒ α = β = γ = 0 . Por lo tanto,

B es l.i. y genera a U , luego B es una base de U .

(b) Notemos que

V = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x2 + x3 + x4 = 0}= {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 = −x2 − x3 − x4}= {(−x2 − x3 − x4, x2, x3, x4) : x2, x3, x4 ∈ R}= {(−x2, x2, 0, 0) + (−x3, 0, x3, 0) + (−x4, 0, 0, x4) : x2, x3, x4 ∈ R}= {x2(−1, 1, 0, 0) + x3(−1, 0, 1, 0) + x4(−1, 0, 0, 1) : x2, x3, x4 ∈ R} .

El conjunto {(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)} genera a V y esl.i. (verificar!). Por parte (a) sabemos que dim U = 3 = dim V, porlo tanto son isomorfos.


Capıtulo 5

Transformaciones Lineales,

Teorema de la Dimension y

Cambio de Base

5.1. Determine el nucleo de las siguientes transformaciones lineales

(a) T : P3 → P2 dada por T (p(x)) = p′(x) ,

(b) T : P1 → R dada por T (p(x)) =

∫ 1

−1

p(x)dx .

Solucion:

(a) De inmediato tenemos que

KerT = {p(x) ∈ P3 : T (p(x)) = 0} .

Si p(x) = ax3+bx2+cx+d ∈ P3 entonces T (p(x)) = 3ax2+2bx+c =0 implica que a = b = c = 0 entonces p(x) ∈ KerT ⇔ p(x) = d =constante.

(b) Del mismo modo, si p(x) = ax + b ∈ P1 entonces

T (p(x)) =

∫ 1

−1

p(x)dx =

[

ax2

2+ bx

]1

−1

= 2b

entonces p(x) ∈ KerT ⇔ p(x) = ax, a ∈ R.

5.2. Sea T : P2 → P3, definida por T (p(x)) = x2p′(x) determine una base ysu dimension para KerT y una para ImT .

61


62 Capıtulo 5. Transformaciones Lienales, Teorema de la dimension

Solucion: Notemos que si p(x) = ax2 + bx + c ∈ P2 ⇒ p′(x) = 2ax + b,luego T (p(x)) = x2p′(x) = 2ax3 + bx2 = 0 implica que a = b = 0entonces KerT = {p(x) ∈ P2 : p(x) = c, c ∈ R} y tomando el vectorcoordenada en la base {1, x, x2} de P2 obtenemos [p(x)] = (c, 0, 0) =c(1, 0, 0) entonces la base es KerT = {(1, 0, 0)} y dim KerT = 1. Ahora,como dim KerT + dim ImT = dim P2 = 3 ⇒ dim ImT = 2. Sabemosque

ImT = {q(x) ∈ P3 : q(x) = T (p(x)), ∀p(x) ∈ P2}

luego, q(x) ∈ ImT ⇔ q(x) = T (p(x)) = 2ax3 + bx2, tomando el vec-tor coordenada en la base {1, x, x2, x3} de P3 se tiene que [p(x)] =(2a, b, 0, 0) = a(2, 0, 0, 0) + b(0, 1, 0, 0). Ası, {2x3, x2} es una base de laImT .

5.3. Hallar una transformacion lineal T : R3 → R3, tal que

(a) S = {(3,−1, 2), (0, 1,−1)} sea una base para ImT ,

(b) S ′ = {(1, 0, 2), (0, 1, 1)} sea una base para el nucleo de T .

Solucion:

(a) Nosotros necesitamos que

T (1, 0, 0) = (1, 0, 2)T (0, 1, 0) = (0, 1, 1)T (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

y la eleccion del ultimo vector es arbitraria, ahora si (x, y, x) ∈ R3

entonces

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

⇒ T (x, y, z) = xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1)

= x(1, 0, 2) + y(0, 1, 1)

⇒ T (x, y, z) = (x, y, 2x + y) .

(b) Del mismo modo queremos que

T (1, 0, 2) = (0, 0, 0)T (0, 1, 1) = (0, 0, 0)T (0, 1, 0) = (a, b, c)



Notemos que

∣∣∣∣∣∣

1 0 20 1 10 1 0

∣∣∣∣∣∣

= −1 6= 0 luego {(1, 0, 2), (0, 1, 1), (0, 1, 0)}

es una base de R3 entonces (x, y, z) = α1(1, 0, 2) + α2(0, 1, 1) +α3(0, 1, 0)

x = α1

y = α2 + α3

z = 2α1 + α2

⇒

α1 = xα2 = z − 2x

α3 = 2x + y − z

Entonces,

T (x, y, z) = α1T (1, 0, 2)+α2T (0, 1, 1)+α3T (0, 1, 0) = (2x+y−z)(a, b, c).

5.4. Sea T : P2 → P3 una transformacion lineal, definida por T (1) = 1;T (x) = 1 + x2; T (x2) = 1 + x3. Hallar T (x2 + 5x + 6).

Solucion: Notemos que

T (ax2 + bx + c) = aT (x2) + bT (x) + cT (1)

= a(1 + x3) + b(1 + x2) + c

= a + b + c + bx2 + ax3 .

Por lo que

T (x2 + 5x + 6) = T (x2) + 5T (x) + 6T (1)

= 1 + x3 + 5(1 + x2) + 6

= 12 + 5x2 + x3 .

5.5. Sea T : V → W una trasformacion lineal. Demuestre que

(a) Si T es inyectiva entonces dimV ≤ dimW

(b) Si T es sobre entonces dimW ≤ dimV

Solucion:

(a) Por el teorema de la dimension:

dim ker T + dim Im T = dim V

como T es inyectiva entonces Ker T = {0}, luego dim Ker T = 0,entonces dim Im T = dim V . Ahora, como Im T ≤ W , entoncesdim Im T ≤ dim W , por lo tanto, dimV ≤ dimW .



(b) Ahora si T es sobreyectiva entonces Im T = W , por el teorema dela dimension tenemos que

dim Ker T + dim W = dim V

luego, dimW ≤ dimV .

5.6. (a) Si T : R2 → R3 una transformacion lineal tal que

Im T = 〈{(1, 1, 0), (0, 1, 2), (3,−1,−8)}〉

entonces T es inyectiva.

(b) Supongamos que dim V > dim W . Sea L : V → W una aplicacionlineal. ¿Que puede decir del nucleo de L?

Solucion:

(a) Notemos que

1 0 31 1 −10 2 −8

∼

1 0 30 1 −40 0 0

⇒ dim T = 2, por

el teorema de la dimension obtenemos que dim Ker T = 0, luego Tes inyectiva.

(b) Afirmamos que el KerL 6= {0}. En efecto, si KerL = {0} entoncesdimKerL = 0 y por el teorema de la dimension: dimImL = dimV ,como ImL ≤ W ⇒ dimV = dimImL ≤ dimW , lo cual contradicela hipotesis de dim V > dim W .

5.7. Sea T : P2(R) → P4(R) definida por: T (p(x)) = x2p(x). Determine [T ]ef ,donde e = {1+x2, 1+2x+3x2, 4+5x+x2} y f = {1, x, x3, x3 +x2, x4}.

Solucion: Sea f = {1, x, x3, x3 + x2, x4} = {w1, w2, w3, w4} entonces:

T (1 + x2) = x2 + x4 = w4 + w3 − w2

T (1 + 2x + 3x2) = x2 + 23 + 34 = 3w4 + w3 + w2

T (4 + 5x + x2) = 4x2 + 5x3 + x4 = w4 + 4w3 + w2

⇒ [T ]ef =

0 0 00 0 0−1 1 11 1 41 3 1

.



5.8. Sea T : V → W una transformacion lineal. Sea B1 = {v1, v2, v3, v4} unabase de V y B2 = {w1, w2, w3} una base de W tal que

[T ]12 =

1 0 0 10 1 0 10 0 1 1

.

Encuentre una base B3 de W tal que [T ]13 =

1 −1 0 00 1 −1 00 0 1 1

.

Solucion: Tenemos que:

T (v1) = w1, T (v2) = w2, T (v3) = w3, T (v4) = w1 + w2 + w3 .

Queremos encontrar una base B3 = {s1, s2, s3} tal que

T (v1) = s1, T (v2) = s2 − s1, T (v3) = s3 − s2, T (v4) = s3

esto es,

s1 = w1

s2 − s1 = w2

s3 − s2 = w3

s3 = w1 + w2 + w3

⇒s1 = w1

s2 = w1 + w2

s3 = w1 + w2 + w3

Los vectores {s1, s2, s3} son linealmente independientes, pues los vec-

tores coordenados en la base B2 forma la matriz

1 1 10 1 10 0 1

no es

singular, ya que su determinante es 1 6= 0 y B3 es un base pues son 3vectores L.I. en un espacio vectorial de dimension 3.

5.9. Considere T : P2(R) → R3 una transformacion lineal. Determine lamatriz de T con respecto a las bases canonicas B = {1, t, t2} y la basecanonica de R3 a saber {e1, e2, e3}, suponiendo que

T (1 + t − t2) = e1 + e3 ,

T (t2 − t) = e1 + e2 − e3 ,

T (2 + t − 2t2) = −e1 + e2 − 2e3 .

Solucion: Sea A la matriz que representa a T con respecto a las bases



canonicas, entonces

T (1 + t − t2) = e1 + e3 ⇔ A

11

−1

=

001

,

T (t2 − t) = e1 + e2 − e3 ⇔ A

0−1

1

=

11

−1

,

T (2 + t − 2t2) = −e1 + e2 − 2e3 ⇔ A

21

−2

=

−11

−2

.

Luego, tenemos que A

1 0 21 −1 1

−1 1 −2

=

1 1 −10 1 11 −1 −2

⇒ A =

1 1 −10 1 11 −1 −2

1 0 21 −1 1

−1 1 −2

−1

=

1 1 −10 1 11 −1 −2

1 2 21 0 10 −1 −1

=

2 3 41 −1 00 4 3

.

5.10. Determine α ∈ R de modo que la transformacion lineal T : R3 → R3

definida por: T (x, y, z) = (x+y−z, αx, x+y−αz) sea un isomorfismo.

Solucion:

i. Primeros T debe ser inyectiva si solo si el sistema tiene unica solu-cion

x + y − z = 0αx = 0

x + y − α = 0

⇒

1 1 −1α 0 01 1 −α

∼

1 1 −10 −α α0 0 1 − α

.

Por lo tanto, tiene unica solucion si y solo si α 6= 0 y α 6= 1, encuyo caso T es inyectiva.



ii. T debe ser sobreyectiva. Para α 6= 0 y α 6= 1 por el teorema de ladimension, como Im T ≤ R3 y dim Im T = dim R3 = 3 entoncesIm T = R3 luego T es sobreyectiva.

Por lo tanto, T es isomorfismo si y solo si α 6= 0 y α 6= 1.

5.11. Sea T : R3 → R3 dada por

T (a, b, c) = (a + b + c, a − b + 2c, 3b − c) .

(a) Demuestre que T es una transformacion lineal biyectiva.

(b) Encuentre [T ]fe donde e es la base canonica y f = {(1, 1, 0), (1,−1, 1), (2, 1, 0)}.(c) Encuentre T−1, usando T .

(d) Encuentre T−1, usando [T−1]ef .

Solucion:

(a) Sean (a, b, c), (x, y, z) ∈ R3, entonces

T ((a, b, c) + (x, y, z)) = T (a + x, b + y, c + z)

= (a + x + b + y + c + z, a + x − (b + y) + 2(c + z), 3(b + y) − (c + z))

= (a + b + c, a − b + 2c, 3b − c) + (x + y + z, x − y + 2z, 3y − z)

= T (a, b, c) + T (x, y, z) .

Si α ∈ R entonces

T (α(a, b, c)) = T (αa, αb, αc)

= (αa + αb + αc, αa − αb + 2αc, 3αb− αc)

= (α(a + b + c), α(a − b + 2c), α(3b− c))

= α(a + b + c.a − b + 2c, 3b− c)

= αT (a, b, c) .

Luego, T es una transformacion lineal.Ahora, T (a, b, c) = 0 ⇔ (a + b + c, a − b + 2c, 3b − c) = (0, 0, 0) esdecir,

a + b + c = 0a − b + 2c = 0

3b − c = 0

⇒ a = b = c = 0

entonces Ker T = {0} ⇔ T es inyectiva. Por otro lado, por el teo-rema de la dimension tenemos que dim Im T = dimR3 = 3 y comoIm T ≤ R3 esto implica que Im T = R3 y luego T es sobreyectiva.



(b) Tenemos que

T (1, 1, 0) = (2, 0, 3) = 2e1 + 3e3 ,

T (1,−1, 1) = (1, 4,−4) = e1 + 4e2 − 4e3 ,

T (2, 1, 0) = (3, 1, 3) = 3e1 + e2 + 3e3 .

Entonces

[T ]fe =

2 1 30 4 13 −4 3

.

(c) Si (x, y, z) = T (a, b, c) = (a+b+c, a−b+2c, 3b−c) ⇒

a + b + c = xa − b + 2c = y

3b − c = z

1 1 1 x1 −1 2 y0 3 −1 z

∼

1 1 1 x0 −2 1 y − x0 3 −1 z

∼

1 1 1 x0 1 −1

2x−y

2

0 0 1 −3(x − y) + 2z

⇒

a = 5x − 4y − 3zb = −x + y + zc = −3x + 3y + 2z

⇒ T−1(x, y, z) = (5x − 4y − 3z,−x + y + z,−3x + 3y + 2z) .

(d) Notemos que

[T−1]ef = ([T ]fe )−1 =

2 1 30 4 13 −4 3

−1

=

−16 15 11−3 3 212 −11 −8

como [T−1]ef [(x, y, z)]e = [T−1(x, y, z)]f ⇒ [(x, y, z)]e =

xyz

se

obtiene que

[T−1]e =

−16 15 11−3 3 212 −11 −8

xyz

=

−16x + 15y + 11z−3x + 3y + 2z12x − 11y − 8z



⇒ T−1(x, y, z) = (−16x + 15y + 11z)(1, 1, 0) + (−3x + 3y + 2z)(1,−1, 1)

+(12x − 11y − 8z)(2, 1, 0)

⇒ T−1(x, y, z) = (5x − 4y − 3z,−x + y + z,−3x + 3y + 2z) .

5.12. Si S : R2 → R3 y T : R3 → M2×2(R) donde

A = [S]ef =

1 −11 −11 1

y B = [T ]fg =

1 1 0−1 2 −1

1 1 10 0 0

para las bases e = {(1, 1), (1,−1)} f = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} g ={(

1 00 0

)

,

(1 10 0

)

,

(1 11 0

)

,

(1 11 1

)}

.

(a) Encuentre S y T usando A y B.

(b) Encuentre T ◦ S usando A y B.

Solucion:

(a) Tenemos que [S]ef [(x, y)]e = [S(x, y)]f y como

(x, y) =x + y

2(1, 1) +

x − y

2(1,−1) ⇒ [(x, y)]e =

[x+y

2x−y

2

]

⇒ [S(x, y)]f =

1 −11 −11 1

[x+y

2x−y

2

]

=

yyx

⇒ S(x, y) = y(1, 1, 1) + y(1, 1, 0) + x(1, 0, 0) = (x + 2y, 2y, y) .

Analogamente, [T ]fg [(x, y, z)]f = [T (x, y, z)]g y como

(x, y, z) = z(1, 1, 1)+(y−z)(1, 1, 0)+(x−y)(1, 0, 0) ⇒ [(x, y, z)]f =

zy − zx − y

⇒ [T (x, y, z)]g =

1 1 0−1 2 −1

1 1 10 0 0

zy − zx − y

=

y−x + 3y − 3z

x0

⇒ T (x, y, z) = y

(1 00 0

)

+ (−x + 3y − 3z)

(1 10 0

)

+ x

(1 11 0

)

=

(4y − 3z 3y − 3z

x 0

)

.



(b) Observemos que

[T ◦ S]eg = [T ]fg [S]ef =

1 1 0−1 2 −1

1 1 10 0 0

1 −11 −11 1

=

2 −20 −23 −10 0

.

Luego, procediendo de manera similar que en (a) se tine que

[T ◦ S]eg[(x, y)]e = [(T ◦ S)(x, y)]g

de (a) ya teniamos que [(x, y)]e =

[x+y

2x−y

2

]

entonces

[(T ◦ S)(x, y)]g =

2 −20 −23 −10 0

[x+y

2x−y

2

]

=

yy − xx + 2y

0

⇒ (T ◦ S)(x, y) = y

(1 00 0

)

+ (y − x)

(1 10 0

)

+ (x + 2y)

(1 11 0

)

=

(4y 3y

x + 2y 0

)

.

5.13. Sean T : R2 → R3 y R : R2 → R2 dos transformaciones lineales y seanB1 y B2 bases de R2 y B3 base de R3 si

[T ◦ R]B1B3

=

2 10 1

−1 1

y [R]B1B2

=

(1 11 2

)

Suponiendo que R es invertible, determine [T ]B2B3

.

Solucion: Notemos que T = T ◦ R ◦ R−1, entonces

[T ]B2B3

= [T ◦ R ◦ R−1]B2B3

= [(T ◦ R) ◦ R−1]B2B3

= [T ◦ R]B1B3

[R−1]B2B1

= [T ◦ R]B1B3

([R]B1B2

)−1


como ([R]B1B2

)−1 =

(2 −1

−1 1

)

, entonces

[T ]B3B2

=

2 10 1

−1 1

(2 −1

−1 1

)

=

3 −1−1 1−3 2

.

5.14. Sea T : Mn×3(R) → Rn lineal dada por T (A) = Au, u =

111

.

Encuentre el Ker(T ) y su dimension.

Solucion:

Ker T = {A = [v1 v2 v3] ∈ Mn×3(R) : v1 + v2 + v3 = ~0}= {A = [v1 v2 − v1 − v2] ∈ Mn×3(R) : v1, v2 ∈ Rn} .

Entonces KerT = 〈Ai,j = [ei ej −ei−ej ]〉 donde los ei y ej son vectorescanonicos de Rn.Notemos que la transformacion es sobreyectiva, pues dado u ∈ Rn bastatomar la matriz A = [u ~0 ~0] y luego T ([u ~0 ~0]) = u, por el teorema dela dimension tenemos que

dim (Ker T ) = dim (Mn×3(R)) − dim (Im T )

= dim (Mn×3(R)) − dim (Rn)

= 3n − n = 2n .

5.15. Sea V , W espacios vectoriales de dimension 3 y 4 respectivamente talque V =< v1, v2, v3 > y W =< w1, w2, w3, w4 >. Sea T : V → W linealtal que

T (v1 − v3) = w1 + w2 ,

T (v1 − v2 − v3) = w1 + w3 ,

T (v1 − v2 − 2v3) = w1 + w4 .

(a) ¿Es T 1-1? ¿Es T sobre? Justifique.

(b) Encuentre bases en V y W tal que la matriz de la transformacionlineal sea

1 0 01 1 01 −1 1

−1 0 −1

.

Solucion: Sean B1 = {v1, v2, v3} y B2 = {w1, w2, w3, w4}, dado quedim(V ) = 3 y dim(W ) = 4, entonces B1 y B2 son bases de V y Wrespectivamente. Consideremos B3 = {v1−v3, v1−v2−v3, v1−v2−2v3}es tambien una base de V , pues la matriz cambio de base es invertible

P 31 =

1 1 10 −1 −1

−1 −1 −2

, P 13 =

1 1 01 −1 1

−1 0 −1

.

La matriz de T con respecto a esas bases es

[T ]32 =

1 1 11 0 00 1 00 0 1

∼

1 0 00 1 00 0 10 0 0

.

Como al escalonar se obtiene una matriz 1− 1, entonces la transforma-cion lineal es 1− 1. Por otro lado, la transformacion no puede ser sobrepues dim V < dim W .

Para la matriz T sea

1 0 01 1 01 −1 1

−1 0 −1

se busca en V una base

{a1v1 +a2v2 +a3v3, b1v1 + b2v2 + b3v3, c1v1 + c2v2 + c3v3} y consideramosa W con la base B2 tal que

T (a1v1 + a2v2 + a3v3) = w1 + w2 + w3 + w4 ,

T (b1v1 + b2v2 + b3v3) = w2 − w3 ,

T (c1v1 + c2v2 + c3v3) = w3 − w4 .

Entonces matricialmente debe ocurrir que

[[T (v1)]2[T (v2)]2[T (v3)]3]

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

=

1 0 01 1 01 −1 1

−1 0 −1


y como [T ]12 = [T ]32P13 luego

1 0 01 1 01 −1 1

−1 0 −1

= [T ]32P13

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

=

1 1 11 0 00 1 00 0 1

1 1 01 −1 1

−1 0 −1

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

=

1 0 01 1 01 −1 1

−1 0 −1

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

.

Se concluye que

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

= I. Luego las bases buscadas son

{v1, v2, v3} en V y {w1, w2, w3, w4} en W .

5.16. Sea T : P2(R) → M2(R) una transformacion lineal definida por

T (a + bx + cx2) =

(a + b a + b + c

c 0

)

.

(a) Si B1 = {1 − x, 1 + x, x2} es una base de P2(R) y C es la basecanonica de M2(R) determine [T ]B1

C .

(b) Determine todos los polinomios p ∈ P2(R) tal que [T (p)]C1 =(1, 2, 1, 0)t, donde C1 es la base de M2(R) dada por

C1 =

{[1 00 0

]

,

[0 10 0

]

,

[0 01 0

]

,

[0 01 1

]}

.

(c) Determine una base para Ker T y para Im T .

Solucion:



(a)

T (1 − x) =

[0 00 0

]

T (1 + x) =

[2 20 0

]

T (x2) =

[0 11 0

]

⇒ [T ]B1C =

0 2 00 2 10 0 10 0 0

.

(b) Sabemos que

[T (p)]c1 = [T ]B1C1

[p]B1 y [T ]B1C1

= [I]CC1[T ]B1

C

donde [I]CC1=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 −10 0 0 1

⇒ [T ]B1C1

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 −10 0 0 1

0 2 00 2 10 0 10 0 0

=

0 2 00 2 10 0 10 0 0

.

Si [p] =

abc

entonces

[T (p)]C1 =

0 2 00 2 10 0 10 0 0

abc

=

2b2b + c

c0

=

1210

⇒ c = 1, 2b = 1 ⇒ [p] =

a12

1

⇒ p(x) = a(1 − x) +1

2(1 + x) + x2

⇒ p(x) = a +1

2+

(1

2− a

)

x + x2 .



(c)

Ker T =

{

a + bx + cx2 ∈ P2(R) : T (a + bx + cx2) =

[0 00 0

]}

=

{

a + bx + cx2 ∈ P2(R) :

[a + b a + b + c

c 0

]

=

[0 00 0

]}

= {a + bx + cx2 ∈ P2(R) : a + b = 0 ∧ c = 0}= {a(1 − x) ∈ P2(R) : a ∈ R} .

Luego una base para Ker T es {(1 − x)}.Para Im T , basta observar que

T (1) =

[1 10 0

]

, T (x) =

[1 10 0

]

, T (x2) =

[0 11 0

]

.

Luego una base para Im T es B =

{[1 10 0

]

,

[0 11 0

]}

pues es

linealmente independiente y genera.

5.17. Considere V un espacio vectorial con B1 = {b1, b2, b3, b4} una base. SeaT : V → V una transformacion lineal definida por

T (b1) = b1 , T (b2) = b1 + b2 , T (b3) = b1 + b2 + b3 ,t(b4) = b1 + b2 + b3 + b4 , T (b5) = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 .

(a) Determine [T ]B2B2

donde B2 es otra base de V y [I]B1B2

es la matrizcambio de base dada por

[I]B1B2

=

1 1 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 5

.

(b) Sea v en V dado por v = b1 + 2b2 + 3b3 + 4b4 + 5b5. Determine wcomo combinacion lineal de la base B1, de tal manera que Tw = v.

Solucion:

a) Claramente

[T ]B1B1

=

1 1 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 1

.



Notemos que

[T ]B2B2

= [I]B1B2

[T ]B1B1

[I]B2B1

= [I]B1B2

[T ]B1B1

([I]B1B2

)−1

donde

([I]B1B2

)−1 =

1 1 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 5

−1

=

1 −1 0 0 00 1 −1 0 00 0 1 −1 00 0 0 1 −1/50 0 0 0 1/5

.

Luego

[T ]B2B2

=

1 1 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 5

1 1 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 1

1 −1 0 0 00 1 −1 0 00 0 1 −1 00 0 0 1 −1/50 0 0 0 1/5

⇒ [T ]B2B2

=

1 1 1 1 1/50 1 1 1 1/50 0 1 1 1/50 0 0 1 1/50 0 0 0 1

.

b) Tenemos que v = b1 +2b2 +3b3 +4b4 +5b5 ⇒ [v]B1 = (1, 2, 3, 4, 5)t

y sabemos que [T ]B1B1

[w]B1 = [v]B1 si [w]B1 = (w1, w2, w3, w4, w5)t

entonces

w1 + w2 + w3 + w4 + w5 = 1w2 + w3 + w4 + w5 = 2

w3 + w4 + w5 = 3w4 + w5 = 4

w5 = 5

⇒ w5 = 5; w4 = w3 = w2 = w1 = −1

⇒ [w]B1 =

−1−1−1−1

5

⇒ w = −b1 − b2 − b3 − b4 + 5b5 .



5.18. Sea L : R → R una transformacion lineal tal que L 6= 0 pero L2 =L◦L = 0. Demuestre que existe una base {u, v} de R2 tal que L(u) = vy L(v) = 0.

Solucion: Sabemos que L 6= 0, entonces existe u ∈ R2 tal que L(u) =v 6= 0 y ademas L(v) = L(L(u)) = L ◦ L(u) = 0. Falta probar que{u, v} es una base de R2, es decir, que {u, v} es linealmente indepen-diente. Notemos que

0 = αu + βv = αu + βL(u) .

Aplicando la aplicacion L a ambos lados de la igualdad.

0 = L(0) = αL(u) + βLL(u) = αv

entonces α = 0 y reemplazando esto en la primera ecuacion, se obtiene0 = αu + βv = βv entonces β = 0.

5.19. Sea T : U → V una transformacion lineal y b 6= 0 un vector de V . ¿Porque no es subespacio de U el conjunto T−1(b) = {u ∈ u/T (u) = b}?

Solucion: Si u, v ∈ T−1(b) y α ∈ R, entonces

T (u + v) = T (u) + T (v) = b + b = 2b ⇒ u + v no esta en T−1(b)

T (αu) = αT (u) = αb ⇒ αu no esta en T−1(b) .

Luego, T−1(b) = {u ∈ u/T (u) = b} (b 6= 0) no es subespacio de U .


Capıtulo 6

Bases Ortonormales y

Proyecciones

6.1. Contruir una base ortonormal para el subespacio W del espacio R3 gen-erado por {(1, 2, 3), (3, 4, 5), (1,−1, 0)}.

Solucion: Sea {(1, 2, 3), (3, 4, 5), (1,−1, 0)} = {α1, α2, α3} entonces porel proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt, tenemos que unabase ortogonal es {β1, β2, β3} y una base ortonormal es { β1

‖β1‖ ,β2

‖β2‖ ,β3

‖β3‖}donde

β1 = α1 ,

β2 = α2 −< α2, β1 >

< β1, β1 >β1 ,

β3 = α3 −< α3, β1 >

< β1, β1 >β1 −

< α3, β2 >

< β2, β2 >β2 ,

es decir,

β1 = (1, 2, 3)β2 = 1

7(8, 2,−4)

β3 = 12(1,−2, 1)

⇒

‖β1‖ =√

14

‖β1‖ =√

127

‖β1‖ =√

23

.

Por lo tanto, la base ortonormal es{

1√14

(1, 2, 3),

√

7

12

(8

7,2

7,−4

7

)

,

√

3

8(1,−2, 1)

}

.

6.2. Sea W el subespacio de R3 con bae S = {(1, 1, 0), (−2, 0, 1)}. Sea α =(−1, 2,−3) un elemento de W .

79jcdelacruz----------------------------------------------------------------------unsch

80 Capıtulo 6. Bases Ortonormales y Proyecciones

(a) Hallar la longitud de α directamente.

(b) Usar Gram-Schmidt para transformar S en una base ortonormal Tde W .

(c) Hallar la longitud de α usando el vector coordenada de α respectoa T .

Solucion:

(a) ‖ α‖ =√

< α, α > =√

(−1)2 + 22 + (−3)2 =√

14.

(b) Tenemos que: β1 = (1, 1, 0)

β2 = (−2, 0, 1) − < (−2, 0, 1), (1, 1, 0) >

< (1, 1, 0), (1, 1, 0) >(1, 1, 0)

⇒ β2 = (−1, 1, 1)

con ‖β1‖ =√

2 y ‖β2‖ =√

3 entonces la base ortonormal es

T =

{√2

2(1, 1, 0),

√3

3(−1, 1, 1)

}

.

(c) Tenemos que ‖[α]T‖ =√

14.

6.3. Proyecte b al espacio columna de A resolviendo AtAx = Atb y luegop = Ax.

(a) A =

1 10 10 0

, b =

234

.

(b) A =

1 11 10 1

, b =

446

.

Para cada caso calcule e = b−p y verifique que e es perpendicular a lascolumnas de A. (i,e: Ate = 0).

Solucion:

(a)

AtA =

[1 0 01 1 0

]

1 10 10 0

=

[1 11 2

]


entonces

AtAx = Atb

⇒[

1 11 2

]

x =

[1 0 01 1 0

]

234

=

[25

]

⇒ x =

[1 11 2

]−1 [25

]

=

[2 −1

−1 1

] [25

]

⇒ x =

[−13

]

⇒ p = Atx =

1 10 10 0

[−1

3

]

=

230

.

Luego, e = b − p = (0, 0, 4)t y Ate =

[1 0 01 1 0

]

004

= (0, 0)t.

(b) Analogamente tenemos que

AtA =

[1 1 01 1 1

]

1 11 10 1

=

[2 22 3

]

entonces

AtAx = Atb

⇒[

2 22 3

]

x =

[1 1 01 1 1

]

446

=

[814

]

⇒ x =

[2 22 3

]−1 [814

]

=1

2

[3 −2

−2 2

] [814

]

⇒ x =

[−26

]

⇒ p = Atx =

1 11 10 1

[−2

6

]

=

446

.



Luego, e = b − p = (0, 0, 0)t y Ate = (0, 0)t.

6.4. Calcule las matrices de proyeccion P1 y P2 para las proyecciones delproblema anterior. Verifique que Pb = p = Ax, para cada matriz P .Verifique tambien que P 2

1 = P1.

Solucion:

(a) Note que ya hemos calculado (AtA)−1 entonces:

P1 = A(AtA)−1At

=

1 10 10 0

[2 −1

−1 1

] [1 0 01 1 0

]

=

1 10 10 0

[1 0 01 1 0

]

⇒ P1 =

1 0 00 1 00 0 0

.

Ademas

P1b =

1 0 00 1 00 0 0

234

=

230

= p =

1 10 10 0

[−13

]

= Ax .

(b) Analogamente

P2 = A(AtA)−1At

=

1 11 10 1

1

2

[3 −2

−2 2

] [1 1 01 1 1

]

=1

2

1 01 0−2 2

[1 1 01 1 1

]

⇒ P1 =1

2

1 1 01 1 00 0 2

.

Ademas

P2b =1

2

1 1 01 1 00 0 2

446

=

446

= p =

1 11 10 1

[−26

]

= Ax.



Finalmente P 21 = P1 se verifica triavialmente.

6.5. Plantee el siguiente problema de minimizacion como un problema demınimos cuadrados. Indique el vector b a proyectar, el subespacio alque se proyecta y resuelva el problema

mınx, y∈R

(1 − x + y)2 + 2(2 − x + 2y)2 +1

2(−1 + 2x + y)2 .

Solucion: Puesto que

(1 − x + y)2 + 2(2 − x + 2y)2 +1

2(−1 + 2x + y)2 = ‖Ax − b‖2

donde

A =

1 −1√2 −2

√2

−√

2 −√

2/2

y b =

1

2√

2

−√

2/2

.

Luego, el problema de minimizacion planteado es equivalente a unproblema de solucion de un sistema de ecuaciones por mınimos cuadra-dos. Las ecuaciones normales AtAx = Atb son

AtAx = Atb[

5 −4−4 11/2

]

x =

[6

−9/2

]

⇒ x =

[5 −4

−4 11/2

]−1 [6

−9/2

]

=2

39

[11/2 4

4 5

] [6

−9/2

]

cuya solucion es x = 113

[101

]

, de aquı se tiene

Ax − b =1

13(−17,−18,−3

√2)t

con lo que el mınimo de la funcion corresponde a ‖Ax − b‖2 = 631169

.


Capıtulo 7

Vectores y Valores Propios,

Diagonalizacion

7.1. Determine los valores propios de la matriz

A =

0 −3 20 2 02 3 4

.

Determine la multiplicidad algebraica y geometrica de los valores pro-pios. Diga si A es diagonalizable.

Solucion: Hallamos los valores propios resolviendo det(A − λI) = 0.∣∣∣∣∣∣

−λ −3 20 2 − λ 02 3 4 − λ

∣∣∣∣∣∣

= (2 − λ)(−λ(4 − λ) − 4)

= (2 − λ)(λ2 − 4λ − 4)

= (2 − λ)(λ − (2 + 2√

2))(λ − (2 − 2√

2))

debido a que

λ =4 ±

√

16 − 4(−4)

2=

4 ± 4√

2

2= 2 ± 2

√2 .

Entonces, los valores propios son

λ1 = 2, λ2 = 2 + 2√

2, λ3 = 2 − 2√

2

con

λ1 = 2 con multiplicidad algebraica s1 = 1 ,

λ2 = 2 + 2√

2 con multiplicidad algebraica s2 = 1 ,

λ3 = 2 − 2√

2 con multiplicidad algebraica s3 = 1 .

85


86 Capıtulo 7. Vectores y Valores Propios

Notemos que los valores propios son todos distintos luego A es diago-nalizable. Calculemos ahora los vectores propios asociados a los valorespropios λi.Para λ1 = 2 tenemos que resolver (A − 2I)x = 0.

−2 −3 20 0 02 3 2

x1

x2

x3

=

000

.

Como

−2 −3 20 0 02 3 2

∼

−2 −3 20 0 00 0 4

⇒ x3 = 0, −2x1 = 3x3 .

Luego,

Wλ1 = Ker(A − 2I) =

⟨

010

⟩

y la multiplicidad geometrica de λ1 = 2 es g1 = dim(Wλ1) = 1.Para λ2 = 2 + 2

√2 tenemos que resolver (A − (2 + 2

√2)I)x = 0

−2(1 +√

2) −3 2

0 −2√

2 0

2 3 2 − 2√

2

x1

x2

x3

=

000

.

Notemos que x2 = 0, basta escalonar

(−2(1 +

√2) 2

2 2 − 2√

2

)

∼(

1 1 −√

20 0

) }

⇒ x1 = x3(√

2− 1) .

Luego,

Wλ2 = Ker(A − (2 + 2√

2)I) =

⟨

√2 − 101

⟩

y la multiplicidad geometrica de λ2 = 2 + 2√

2 es g2 = dim(Wλ2) = 1.Para λ3 = 2 − 2

√2 tenemos que resolver (A − (2 − 2

√2)I)x = 0

−2 + 2√

2 −3 2

0 2√

2 0

2 3 2 + 2√

2

x1

x2

x3

=

000

.



Notemos que x2 = 0, basta escalonar

(−2 + 2

√2) 2

2 2 + 2√

2

)

∼(

1 1 +√

20 0

) }

⇒ x1 = −x3(1+√

2).

Luego,

Wλ2 = Ker(A − (2 − 2√

2)I) =

⟨

1 +√

20−1

⟩

y la multiplicidad geometrica de λ2 = 2 + 2√

2 es g2 = dim(Wλ2) = 1.

7.2. Sea L : M2×2 → M2×2, L(X) = AXB donde

A =

(1 −10 2

)

, B =

(1 12 0

)

.

Determine la matriz que representa a L con respecto a la base canonicade M2×2 y su polinomio caracteristico. ¿Cuales son los valores y vectorespropios de L? Si la matriz es diagonalizable indique su forma diagonal.

Solucion: Notemos que:

L

(1 00 0

)

=

(1 10 0

)

L

(0 10 0

)

=

(2 00 0

)

L

(0 01 0

)

=

(−1 −1

2 2

)

L

(0 00 1

)

=

(0 04 0

)

⇒ [L]ee =

1 2 −1 01 0 −1 00 0 2 40 0 2 0

= C .

El polinomio caracteristico de la matriz C es

PC(λ) = |C − λI|

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 − λ 2 −1 −21 −λ −1 00 0 2 − λ 40 0 2 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣

= λ4 − 3λ3 − 8λ2 + 12λ + 16

= (λ2 − 2λ − 8)(λ2 − λ − 2)

= (λ − 4)(λ + 2)(λ + 1)(λ − 2) .


Entonces, los vectores propios son λ1 = 4, λ2 = −2, λ3 = −1, λ4 = 4.Para λ1 = 4 tenemos que resolver (C − 4I)x = 0 y como

C − 4I =

−3 2 −1 −21 −4 −1 00 0 −2 40 0 2 −4

∼

−3 2 −1 −20 −10/3 −4/3 −2/30 0 −2 40 0 0 0

entonces x3 = 2x4. x2 = −x4 y x1 = −3x4

⇒ Wλ1 = Ker(C − 4I) =< (−3,−1, 2, 1)t) > .

Para λ2 = −2 tenemos que resolver (C + 2I)x = 0 y como

C + 2I =

3 2 −1 −21 2 −1 00 0 4 40 0 2 2

∼

3 2 −1 −20 4/3 −2/3 2/30 0 4 40 0 0 0

entonces x3 = −x4. x2 = −x4 y x1 = x4

⇒ Wλ2 = Ker(C + 2I) =< (1,−1,−1, 1)t) > .

Para λ3 = −1 tenemos que resolver (C + I)x = 0 y como

C + I =

2 2 −1 −21 1 −1 00 0 3 40 0 2 1

∼

1 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

⇒ Wλ3 = Ker(C + I) =< (0, 1, 0, 0)t) > .

Para λ4 = 2 tenemos que resolver (C − 2I)x = 0 y como

C − 2I =

−1 2 −1 −21 −2 −1 00 0 0 40 0 2 −2

∼

−1 2 −1 −20 0 −2 −20 0 0 40 0 0 0

⇒ Wλ4 = Ker(C − 2I) =< (−2, 1, 0, 0)t) > .

Como A es diagonalizable tenemos que

A = V DV −1

=

−3 1 0 −2−1 −1 1 12 −1 0 01 1 0 0

4 0 0 00 −2 0 00 0 −1 00 0 0 2

−3 1 0 −2−1 −1 1 12 −1 0 01 1 0 0

−1

7.3. Suponga que el numero siguiente es el promedio de los dos anterioresgk+2 = (gk+1 + gk)/2.

(a) Determine A tal que

[gk+2

gk+1

]

= A

[gk+1

gk

]

.

(b) Determine lımn→∞ An.

(c) Si g0 = a y g1 = b determine lımn→∞ gn.

Solucion:

(a) Basta considerar A =

(12

12

1 0

)

(b) Tenemos que

|A − λI| =

∣∣∣∣

12− λ 1

2

1 −λ

∣∣∣∣= λ2 − λ

2− 1

2⇒ λ =

1 ± 3

4.

Los valores propios son distintos, entonces A es diagonalizable.Para λ1 = 1 tenemos que resolver (A − I)x = 0

A − λ1I =

(−1

212

1 −1

)

∼(

1 −10 0

)

.

Entonces,Wλ1 = Ker(A − I) =< ((1, 1)t > .

Para λ2 = −12

tenemos que resolver(A + 1

2I)x = 0

A − λ2I =

(1 1

2

1 12

)

∼(

1 12

0 0

)

.

Entonces,

Wλ2 = Ker

(

A +1

2I

)

=< (−1/2, 1)t > .

Luego,

D =

(1 00 −1

2

)

, V =

(1 −1

2

1 1

)

An = V DnV −1

=

(1 −1

2

1 1

)(1n 00 (−1)n(1

2)n

)2

3

(1 1

2

−1 1

)

.


Como (−1)n es acotado y lımn→∞(12)n = 0, entonces

lımn→∞

Dn =

(1 00 0

)

.

Por lo tanto,

lımn→∞

An = lımn→∞

(V DnV −1)

= V ( lımn→∞

Dn)V −1

=

(1 −1

2

1 1

)(1 00 0

)2

3

(1 1

2

−1 1

)

=2

3

(1 1/21 1/2

)

.

(c) Notemos que

[gk+2

gk+1

]

= A

[gk+1

gk

]

= AA

[gk

gk−1

]

= . . . = Ak

[ba

]

entonces

lımk→∞

[gk+2

gk+1

]

= lımk→∞

Ak

[ba

]

=2

3

(1 1/21 1/2

)[ba

]

=

[13(2b + a)

13(2b + a)

]

⇒ lımn→∞

gn =1

3(2b + a) .

7.4. Demuestre que si λ es un valor propio de una matriz A ortogonal en-tonces λ 6= 0 y λ−1 es valor propio de A.

Solucion: Sabemos que A es ortogonal ssi A−1 = At, entonces ex-iste la inversa de A. Sea v el vector propio asociado al valor propio λ,entonces

Av = λv ⇔ Inv = λA−1v

⇔ (In − λA−1)v = 0 .

Como v 6= 0 entonces |In − λA−1| = 0.Supongamos que λ = 0 entonces |In| = 0, lo cual es contradiccion.Luego λ 6= 0 y observemos que

Av = λv ⇔ Inv = λA−1v

⇔ λ−1v = Atv


y como A y At tiene los mismos valores propios debido a que

det(A − λI) = det

a11 − λ a12 · · · a1n

a21 a22 − λ · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann − λ

(detA = detAt) = det

a11 − λ a12 · · · an1

a12 a22 − λ · · · an2...

.... . .

...a1n a2n · · · ann − λ

= det(At − λI) .

Se concluye que λ−1 es valor propio de A.

7.5. Sea

A =

2 1 02 3 06 7 9

.

(a) Encuentre una matriz X tal que X2 = A.

(b) Encuentre una matriz B tal que B6 = A.

(c) Calcule eA.

(d) Calcule eAt, donde t es una variable real.

Solucion: Primeros buscaremos los valores y vectores propios

det(A − λI) =

∣∣∣∣∣∣

2 − λ 1 02 3 − λ 06 7 9 − λ

∣∣∣∣∣∣

= (9 − λ)

∣∣∣∣

2 − λ 12 3 − λ

∣∣∣∣

= (9 − λ)(λ2 − 5λ + 4)

= (9 − λ)(λ − 4)(λ − 1) .

Los valores propios son λ1 = 9, λ2 = 4 λ3 = 1 todos distintos luegoA es diagonolizable.Para λ1 = 9 debemos resolver (A − 9I)x = 0 un simple calculo nos da

Wλ1 = Ker(A − 9I) =< {(0, 0, 1)t} > .

Para λ2 = 4 debemos resolver (A − 9I)x = 0

Wλ2 = Ker(A − 4I) =< {(1/2, 1,−2)t} > .

Para λ3 = 1 debemos resolver (A − 9I)x = 0

Wλ3 = Ker(A − I) =< {(−1, 1,−1/8)t} > .

Por lo tanto,

V =

0 1/2 −10 1 11 −2 −1/8

, D =

9 0 00 4 00 0 1

.

(a) Sea X = V DXV −1 ⇒ X2 = V D2XV −1 = A = V DV −1 luego

D = D2X por lo tanto

X =

0 1/2 −10 1 11 −2 −1/8

3 0 00 2 00 0 1

(2

3

)

15/8 33/16 3/21 1 0

−1 1/2 0

=

(2

3

)

0 1/2 −10 1 11 −2 −1/8

45/8 99/16 9/22 2 0

−1 1/2 0

=

(2

3

)

2 1/2 01 5/2 0

7/4 17/8 9/2

=

(1

3

)

4 1 02 5 0

7/2 17/4 9

.

(b) Similarmente a letra (a), sea B = V DBV −1 ⇒ B6 = V D6BV −1 =

A = V DV −1 luego D = D6B por lo tanto

X =

0 1/2 −10 1 11 −2 −1/8

6√

9 0 0

0 6√

4 00 0 1

(2

3

)

15/8 33/16 3/21 1 0

−1 1/2 0

=

(2

3

)

0 1/2 −10 1 11 −2 −1/8

158

6√

9 3316

6√

9 32

6√

96√

4 6√

4 0−1 1

20

=

(2

3

)

12

6√

4 + 1 12( 6√

4 − 1) 06√

4 − 1 6√

4 + 12

0158

6√

9 − 2 6√

4 + 18

3316

6√

9 − 2 6√

4 − 116

32

6√

9

.


(c) Notemos que

eA = I + A +A2

2!+

A3

3!+ ...

= lımn→∞

(

I + A +A2

2!+

A3

3!+ ... +

An

n!

)

= lımn→∞

(

V IV −1 + V DV −1 +V D2V −1

2!+

V D3V −1

3!+ ... +

V DnV −1

n!

)

= lımn→∞

V

(

I + D +D2

2!+

D3

3!+ ... +

Dn

n!

)

V −1

= V lımn→∞

(

I + D +D2

2!+

D3

3!+ ... +

Dn

n!

)

V −1

= V eDV −1

=

0 1/2 −10 1 11 −2 −1/8

e9 0 00 e4 00 0 e

(2

3

)

15/8 33/16 3/21 1 0

−1 1/2 0

=

(1

3

)

e4 + 2e e4 − e 02e4 − 2e 2e4 + e 0

154e9 − 4e4 − 1

4e 33

8e9 − 4e4 + 1

8e 3e9

.

(d) Similarmente a lo anterior obtenemos tenemos que

eAt =

(1

3

)

e4t + 2et e4t − et 02e4t − 2et 2e4t + et 0

154e9t − 4e4t − 1

4et 33

8e9t − 4e4t + 1

8et 3e9t

.

7.6. Sea A de 3×3 simetrica con valores propios λ, λ+1 y λ+2 con λ ∈ R.Demuestre que existe a ∈ R tal que la matriz A+aI es positiva definida.

Solucion: Si los valores propios de A son λ, λ + 1 y λ + 2, entonces losvalores propios de A+aI son λ+a, λ+1+a y λ+2+a. Ademas, A espositiva definida si tiene todos sus valores propios positivos. Entoncesdebemos tener que λ + a > 0 lo cual es equivalente a a > −λ.


Capıtulo 7

Espacios vectoriales

1. Determinar si los vectores:

~a = (1, 2, 1),~b = (−3, 8, 1),~c = (3,−1, 1)

son linealmente dependientes. En caso de serlo, hallese la relacion de dependencia.

Solucion: Son dependientes; 3~a −~b = 2~c

2. Estudiar la dependencia o independencia de los vectores:

~a = (1, 0, 0),~b = (0, 1, 1),~c = (0, 0, 1)

Solucion: Son independientes.

3. Determinar si los vectores:

~a = (1, 1, 1),~b = (2, 3, 4),~c = (0, 1, 2)

son linealmente dependientes. En caso de serlo, hallese la relacion de dependencia.

Solucion: Son dependientes; −2~a +~b = ~c.

4. Determinar m para que los vectores:

~a = (−1, 1, 3),~b = (5,−2, 9),~c = (2,−m, 2m)

sean dependientes. Hallese la relacion de dependencia.

Solucion: m = 1; ~a + 3~c = ~b

5. Determinar λ para que los vectores:

~a = (−1, 4, 2),~b = (3, λ,−2),~c = (2, 5, 6)

esten en un mismo plano.

Solucion: λ = −34/5

84

CAPITULO 7. ESPACIOS VECTORIALES 85

6. Se sabe que ~a,~b,~c son linealmente dependientes:

i) ¿Se puede asegurar que ~a es combinacion de los otros dos?.

ii) ¿Se puede asegurar que ~b es combinacion de los otros dos?.

iii) ¿Y el ~c?.

iv) ¿Se puede asegurar que uno de los tres es combinacion lineal de los otros dos?.

Solucion: No,No,No,Sı.

7. En R6 se dan los vectores:

~u1 = (0, 1,−1, 2, 0, 1), ~u2 = (0, 1,−1, 2, 1, 5)~u3 = (1, 4, 0, 3, 6,−1), ~u4 = (2, 0, 3,−2, 1, 1)

Averiguar si tales vectores forman un sistema libre.

Solucion: Sı.

8. En R3 se dan los vectores:

~u1 = (2, 1, 0), ~u2 = (0, 2, 1), ~u3 = (2,−1,−1), ~u4 = (4, 0,−1)

Hay una razon por la que son dependientes. ¿Cual es?. Averiguar tambien cuantos de loscuatro son independientes y que relaciones de dependencia se dan entre ellos. ¿Que sub-espacio de R3 generan?.

Solucion: ~u3 = ~u1 − ~u2; ~u4 = 2 ~u1 − ~u2; un subespacio vectorial de dimension 2.

9. Sea M = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0}, N = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 1}. Uno deestos dos subconjuntos de R3 es subespacio vectorial y el otro no lo es. Compruebese estoultimo.

Solucion: El primero Sı, el segundo No.

10. En los siguientes casos comprobar que los sistemas de vectores son linealmente depen-dientes. Hallese una relacion de dependencia y el rango del mismo.

S = {(1, 0, 5, 3), (3, 1,−1,−1), (0, 1, 2, 1), (7, 1, 1, 0)}S = {(1, 0, 3, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 3, 0, 1), (7, 2, 4, 1), (1, 1, 1, 1)}S = {(5, 2,−3, 1), (4, 1,−2, 3), (1, 1,−1,−2)}

Solucion: ~u4 = ~u1 + 2 ~u2 − ~u3, r = 3; −~u1 + 18 ~u2 + 7 ~u3 + 3 ~u4 = 27 ~u5, r = 4; ~u1 − ~u2 = ~u3,r = 2


11. Probar que los vectores ~u1 = (1, 2, 3), ~u2 = (−1, 5, 0), ~u3 = (3, 2, 1) forman una base deR3 y hallense las componentes en esa base del vector ~x = (7, 19,−2).

Solucion: ~x = −2 ~u1 + 3 ~u2 + 4 ~u3

12. Sea H = 〈 ~u1 = (−2, 1, 1), ~u2 = (1,−4, 5), ~u3 = (−4,−5, 13)〉.

a) Hallar una base de H y su dimension.

b) Averiguar si alguno de los vectores ~x = (2, 0, 4) , ~y = (1,−11, 16) pertenece a H .

Solucion: B = { ~u1, ~u2}, dim H = 2; ~x 6∈ H , ~y ∈ H ya que ~y = ~u1 + 3 ~u2.

13. Sean:

F = 〈 ~u1 = (−1, 2, 3), ~u2 = (2, 0, 1)〉G = 〈~v1 = (0, 4, 7), ~v2 = (−1, 10, 17)〉

Probar que F = G.

14. Hallese la dimension y una base del subespacio de R4 generado por los vectores:

(1, 0, 0,−1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3)

Solucion: dimension = 3, B = {(1, 0, 0,−1), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)}.

15. Hallar x e y para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes:

(−1, 2, 0, x), (3,−2, x, y), (1, 2, 2, 1)

Solucion: x = 2, y = −3.

16. De los siguientes subconjuntos de R3 averiguar cuales son subespacios vectoriales:

H = { (x, y, z) ∈ R3 | x · y · z = 1}H = { (x, y, z) ∈ R3 | x = 0}H = { (x, y, z) ∈ R3 | x − y = 0}H = { (x, y, z) ∈ R3 | x · y = 0}H = { (x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + z = 0}H = { (x, y, z) ∈ R3 | x + y = 10}H = { (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 0}H = { (x, y, z) ∈ R3 | x = z = 0}

Solucion: No, Sı, Sı, No, Sı, No, Sı, Sı.


17. De los siguientes subconjuntos de R3 averiguar cuales son bases:

B = { (−2, 3, 0), (3,−1, 2), (−1, 5, 2) }B = { (−1, 2, 1), (2, 4, 0), (5, 1, 1) }

Solucion: No, Sı.

18. Dados los vectores ~v1 = (1, 1, 0, a), ~v2 = (3,−1, b,−1), ~v3 = (−3, 5, a,−4) de R4, deter-minar los valores de a y b para que sean linealmente dependientes. Hallar la relacion dedependencia.

Solucion: a = −2, b = 1; ~v3 = 3~v1 − 2~v2.

19. Dados los vectores { (4,−5, 7), (3,−3, 4), (1, 1,−2), (2,−1, 1) }, determinar un sistema mıni-mo de generadores del subespacio al que pertenecen y comprobar si dicho subespacio esidentico al engendrado por { (1,−2, 3), (3, 0,−1) }.Solucion: { (4,−5, 7), (3,−3, 4) }. Sı.

20. Dados los vectores { (m,−1, 0, 1), (0, m,−1, 1), (1, 0,−1, 2) }, determinar los valores de mpara que dichos vectores sean linealmente independientes.

Solucion: m 6= 1.

21. Dados los vectores ~a = (a, 8, 4), ~b = (−1, 2, 0) y ~c = (0, 1, 2), hallar a para que ~a se pueda

expresar como una combinacion lineal de ~b y ~c.

Solucion: a = −3.

22. Determinar los valores de a y b para que el vector (1, 4, a, b) este en el subespacio engen-drado por los vectores:

(1, 2,−1, 2) ; (0, 1, 2, 1)

Solucion: a = 3, b = 4.

23. Hallar el rango de los siguientes sistemas de vectores:

(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 4, 5), (2, 4, 6)

(1, 2), (2, 3), (0, 1)

Solucion: r = 3; r = 2.

24. Determinar el valor de t para que el vector (3, 8, t) este en el subespacio engendrado porlos vectores:

(1, 2, 3) ; (1, 3,−1)

Solucion: t = 1.


25. Escribir el vector ~b como combinacion lineal de los vectores ~u, ~v y ~w, siendo:

~u =

1−12

, ~v =

026

, ~w =

−1−13

, ~b =

−1−77

Solucion: ~b = 2~u − ~v + 3~w.

26. Selectividad septiembre 2007. Considerar los vectores ~u = (1, 1, m), ~v = (0, m,−1) y~w = (1, 2m, 0).

a) Determinar el valor de m para que los vectores ~u, ~v y ~w sean linealmente dependien-tes.

b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresar el vector ~w comocombinacion lineal de los vectores ~u y ~v.

Solucion: m = 1, ~w = ~u + ~v.

Capıtulo 8

Matrices

1. Determinar dos matrices A y B tales que:

3A − 5B =

(

1 −28 1

)

; − A + 3B =

(

2 43 0

)

Solucion: A = 14

(

13 1439 3

)

, B = 14

(

7 1017 1

)

2. Dadas las matrices:

A =

(

1 23 −2

)

; B =

(

0 31 2

)

; C =

(

−1 −30 2

)

Calcular:A + B − C ; A − B + C ; A − B − C2A − 3B ; 3B − 5A ; A − (B − 2C)

3. Hallar la matriz M que satisface la igualdad:

2

(

1 0 1 −10 1 1 3

)

=

(

1 0 1 −20 1 0 5

)

+ M

Solucion: M =

(

1 0 1 00 1 2 1

)


A =

3 5 21 3 46 0 1

; B =

−1 0 23 1 56 1 4

; C =

4 6 73 5 00 0 2

Calcular A(B + C), ABτ , BτA, A(3B − 2C), A2

89

CAPITULO 8. MATRICES 90

Solucion:

51 50 6445 28 4824 37 60

1 24 317 26 25−4 23 40

36 4 167 3 535 25 28

18 −65 6770 −21 69−48 −69 −40

26 30 2830 14 1824 30 13


A =

(

2 0−4 15

)

; B =

(

1 −1−2 9

)

Resolver el sistema matricial:5X + 3Y = A

3X + 2Y = B

y calcular X2 + Y 2.

Solucion:

X =

(

1 3−2 3

)

; Y =

(

−1 −52 0

)

; X2 + Y 2 =

(

−14 17−10 −7

)

6. Dada la matriz A =

(

a bc d

)

de coeficientes reales, hallar x e y para que se verifique:

A2 = xA + yI

siendo I la matriz unidad de orden 2, es decir: I =

(

1 00 1

)

Solucion: Si b 6= 0 o c 6= 0, entonces x = a + d, y = bc − ad. Si b = c = 0 entonces a = d,x = cualquier numero real, y = a(a − x).

7. Demostrar que las matrices A =

(

x yy x

)

y B =

(

u vv u

)

conmutan.

8. Probar que para cualquier matriz cuadrada A, la matriz A · Aτ es simetrica.

9. ¿Por que hay que premultiplicar a la matriz

(

1 02 1

)

para que resulte

(

5 26 3

)

,

Solucion:

(

1 20 3

)

.

10. Escribir como producto de matrices la matriz

(

ax bycx dy

)

.



(

1 23 λ

)

, determinar todas las matrices B de dimension 2 × 2 tales

que A · B =

(

0 00 0

)

, obteniendo el valor de λ para que exista solucion.

Solucion: Sea B =

(

a bc d

)

. Si a = b = c = d = 0, entonces λ puede ser cualquiera. En

caso contrario, es λ = 6 y B =

(

−2c −2dc d

)

.

12. Sea A una matriz cuadrada idempotente (A2 = A). Demostrar que si B = 2A − I, esB2 = I.

13. Dada la matriz:

M =

0 z −y−z 0 xy −x 0

en la que se verifica x2 + y2 + z2 = 1, calcular M2, P = M2 + I, PM y comprobar que Pes idempotente.

14. Obtener todas las matrices cuadradas de segundo orden A tales que A2 = I.

Solucion:(

1 0c −1

)

;

(

a b1−a2

b−a

)

;

(

1 00 1

)

;

(

−1 00 −1

)

siendo a, b, c cualesquiera numeros reales.

15. Calcular las potencias sucesivas de la matriz:

A =

1 1 11 1 11 1 1

Solucion:

An =

3n−1 3n−1 3n−1

3n−1 3n−1 3n−1

3n−1 3n−1 3n−1


4 6 8 01 2 3 03 4 5 0

;

3 4 4 01 3 2 −22 1 2 2

;

1 2 3 t2 4 6 83 6 9 12

segun t

Solucion: r = 2; r = 2; r =

{

1, si t = 4

2, si t 6= 4


17. Discutir el rango de la matriz:

1 1 −1 2a 1 1 11 −1 3 −34 2 0 a

segun los valores de a.

Solucion: r =

{

2, si a = 3

4, si a 6= 3

18. Calcular el rango de la matriz:

A =

t 0 t 04 −6 8 −2−2 3 −4 1

segun los valores de t.

Solucion: r(A) =

{

1, si t = 0

2, si t 6= 0

19. Una matriz cuadrada M es ortogonal si cumple M τ ·M = I donde I es la matriz identidady M τ es la traspuesta de M . Determinar si la siguiente matriz es ortogonal:

A =

1 1 01 −1 11 0 −1

Solucion: No

20. Hallar el rango de la matriz:

5 5 5a b c

b + c a + c a + b

segun los valores de a, b, c.

Solucion: r =

{

1, si a = b = c

2, en caso contrario

21. Resolver la ecuacion matricial:(

1 −13 2

)

·(

xy

)

=

(

1 xy −1

)

·(

32

)

Solucion: x = −54, y = −7

4


22. Calcular el rango de la matriz:

2 1 5 −1 8−1 2 3 4 53 −1 4 5 11 3 10 13 11

Solucion: r = 3

23. Sean:

A =

(

1 11 1

)

; B =

1 1 10 1 10 0 1

Calcular An y Bn por induccion respecto a n.

Solucion: An =

(

2n−1 2n−1

2n−1 2n−1

)

; Bn =

1 n n(n+1)2

0 1 n0 0 1

24. ¿Es posible que para dos matrices A y B no cuadradas, puedan existir A · B y B · A?.

Solucion: Sı.

25. Hallar todas las matrices simetricas de orden 2 tales que A2 = A.

Solucion:(

0 00 0

)

;

(

1 00 1

)

;

(

a√

a − a2√a − a2 1 − a

)

;

(

a −√

a − a2

−√

a − a2 1 − a

)

para todo a ∈ [0, 1].

26. Siendo A =

(

1 10 1

)

, hallar todas las matrices B de segundo orden tales que A·B = B ·A

Solucion: B =

(

a b0 a

)

, siendo a, b cualquier par de numeros reales.

27. Hallar el rango de las matrices:

1 2 0 13 0 1 21 2 3 06 0 −1 5

;

1 6 11 162 7 12 173 8 13 184 9 14 195 10 15 20

1 −1 2 30 2 −1 43 1 4 1−1 1 0 2

;

2 1 −12 3 14 −2 a

segun los valores de a


Solucion: 3, 2, 4, r =

{

2, si a = −6

3, si a 6= −6, leıdos de izquierda a derecha, arriba y abajo.

28. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿es cierta en general la relacion(A + B)2 = A2 + 2AB + B2?. Justificar la respuesta.

Solucion: No.

29. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden que tienen inversa. Razonar si elproducto A · B tambien tiene inversa.

Solucion: Sı, pues (A · B)−1 = B−1 · A−1.

30. Selectividad Junio 2001. Consideramos la matriz

A =

0 3 41 −4 −5−1 3 4

a) Siendo I la matriz identidad 3× 3 y O la matriz nula 3× 3, probar que A3 + I = O.

b) Calcular A10.

Solucion: A10 = −A =

0 −3 −4−1 4 51 −3 −4

Capıtulo 9

Determinantes y Matrices Inversas

9.1. Determinantes

1. Calcular:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 1 1−1 0 1 1−1 −1 0 1−1 −1 −1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3 62 3 5 103 7 2 124 5 6 15

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Solucion: 1, 0, 0

2. Calcular:∣

∣

∣

∣

∣

∣

a a a−a a x−a −a x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Solucion: 2a2(x + a)

3. Calcular:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 1 13 3 1 23 1 1 33 1 1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

14 0 0 013 7 9 817 5 6 43 11 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b 0 00 a b 00 0 a bb 0 0 a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Solucion: −6, −1848, a4 − b4

4. Calcular y simplificar al maximo:∣

∣

∣

∣

∣

∣

a − b − c 2a 2a2b b − c − a 2b2c 2c c − a − b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x − 1 x2 − 1 x3 − 12x − 4 x2 − 4 x3 − 83x − 9 x2 − 9 x3 − 27

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Solucion: (a + b + c)3 ; −2x(x − 3)(x − 2)(x − 1)

95

CAPITULO 9. DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS 96

5. Calcular:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a a a aa b b ba b c ca b c d

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Solucion: a(b − a)(c − b)(d − c).

6. Los numeros 1573, 3263, 5369 y 2613 son divisibles por 13. Demostrar que tambien lo esel determinante:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 5 7 33 2 6 35 3 6 92 6 1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

7. Resolver las siguientes ecuaciones:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

15 + 2x 11 x11 + 3x 17 −2x7 + x 14 −3x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 ;

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 2 2−x 3 −1x2 −1 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a − x x 1a + x −x

2−3

x x3

0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 ;

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a + x x xx b + x xx x c + x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

Solucion:

x = 0,101

56; x =

−1 ±√

21

4

x = 0,8a

19; x = − abc

ab + ac + bc

8. Dada la ecuacion:∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 11 x 11 1 x2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

se pide:

a) Teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes, hallar una solucion de laecuacion dada sin desarrollar el determinante del primer miembro.

b) Hallar las restantes soluciones de dicha ecuacion.

Solucion: 1, −1


9. Demostrar las dos igualdades que siguen:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 11 a + 1 1 11 1 b + 1 11 1 1 c + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= abc ;

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a + 1 a a aa a + 1 a aa a a + 1 aa a a a + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 4a + 1

10. Determinantes de Vandermonde. Demostrar las siguientes igualdades:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1a b ca2 b2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (b − a)(c − a)(c − b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c)

11. Calcular:∣

∣

∣

∣

∣

∣

7 7 710 a 10 b 10 c3a2 3b2 3c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Solucion: 210(b− a)(c − a)(c − b)

12. Calcular por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificandolos pasos, el determinante:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 b c + a1 a b + c1 c a + b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Solucion: 0


A =

1 3 1−1 0 23 1 −2

; B =

0 1 3−1 2 13 1 2

Comprobar que |A · B| = |A| · |B|.

14. SL. Sabiendo que∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b cd e fg h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2


calcular los siguientes determinantes y enunciar las propiedades que se utilicen:∣

∣

∣

∣

∣

∣

3a 3b 15cd e 5fg h 5i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

;

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a + 2b c bd + 2e f eg + 2h i h

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Solucion: 30, −2

15. Selectividad Junio 2003. Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera,respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular,indicando las propiedades utilizadas:

a) El determinante de A3.

b) El determinante de A−1.

c) El determinante de 2A.

d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercerason, respectivamente, 3C1 − C3, 2C3 y C2.

Solucion: |A3| = 125; |A−1| = 15; |2A| = 40; |3C1 − C3, 2C3, C2| = −30.

9.2. Matrices inversas

1. Hallar las matrices inversas de:

A =

(

3 18 3

)

; B =

2 1 20 3 14 −2 1

; C =

1 1 22 0 −1−6 −1 0

Solucion:

A−1 =

(

3 −1−8 3

)

; B−1 =

−12

12

12

−25

35

15

65

−45

−35

; C−1 =

−1 −2 −16 12 5−2 −5 −2

2. Verificar que todas las matrices A =

(

a bc d

)

tales que a + d = −1 y |A| = 1, cumplen

A3 = I. ¿Hay alguna otra matriz que tenga esta propiedad?.


(

2 32 1

)

, se llaman valores propios de dicha matriz a los valores de

λ, tales que el determinante de la matriz A − λI sea nulo. Hallar los valores propios deA. (I representa la matriz identidad o unidad).

Solucion: λ = 4,−1.


4. Hallar la inversa de la matriz:

3 −2 −3−4 1 −12 0 1

Solucion:

15

25

1

25

95

3

−25

−45

−1

5. Resolver la ecuacion A · X = B, siendo:

A =

(

2 31 2

)

; B =

(

3 12 −5

)

Solucion: X =

(

0 171 −11

)

6. Hallar una matriz X tal que:

0 1 2−1 1 34 −1 −5

· X =

1 0 2 0−1 3 1 0−5 −1 4 0

Solucion: X =

−10 8 3 025 −22 −2 0−12 11 2 0

7. Dada la matriz:

A =

1 1 00 1 11 0 1

Estudiar si tiene inversa y en caso afirmativo, calcularla. ¿Forman una base de R3 losvectores ~v1 = (1, 1, 0), ~v2 = (0, 1, 1), ~v3 = (1, 0, 1)?.

Solucion: A−1 =

12

−12

12

12

12

−12

−12

12

12

; Sı.

8. Dada la matriz:

A =

(

1 10 1

)

Demostrar que la inversa de An es

(

1 −n0 1

)

.


9. Hallar los valores de x para los cuales, la matriz:

A =

(

|x| 1|x − 2| 2

)

no tiene inversa.

Solucion: x = −2, 23

10. Resolver la ecuacion matricial A · X · B = C, siendo:

A =

(

−1 00 1

)

; B =

(

2 51 3

)

; C =

(

1 00 1

)

Solucion: X =

(

−3 5−1 2

)

11. Resolver la ecuacion matricial M · X + N = P , siendo:

M =

(

−1 00 −1

)

; N =

(

1 23 4

)

; P =

(

4 32 1

)

Solucion: X =

(

−3 −11 3

)

12. Calcular la matriz X en la ecuacion A3 · X = B, siendo:

A =

(

a bc d

)

; a + d = 1 ; |A| = 1 ; B =

(

1 −20 3

)

Solucion: X =

(

−1 20 −3

)

13. Encontrar una matriz X que verifique A · X + B = C, siendo:

A =

1 0 01 2 01 2 4

; B =

1 0 00 1 00 0 1

; C =

3 0 02 5 20 1 3

Solucion: X =

2 0 00 2 1−1

2−3

40


14. Resolver la ecuacion matricial:

5 2 00 0 13 1 0

· X =

0 1 11 0 01 1 0

Solucion: X =

2 1 −1−5 −2 31 0 0

15. Hallar los valores de λ para los que la matriz:

A =

1 1 λλ 2 −13 1 1

tiene inversa. Calcular su inversa cuando λ = 1.

Solucion: ∃A−1 ⇐⇒ λ 6= 0 y λ 6= 7. Para λ = 1 resulta: A−1 = 16

−3 0 34 2 −25 −2 −1

16. Hallar el rango de la matriz A segun los diferentes valores de t ∈ R, siendo:

A =

t t 02 t + 1 t − 1

−2t − 1 0 t + 3

¿Para que valores de t existe A−1?.

Solucion: r(A) = 2 si t = 0, 1, 2 y r(A) = 3 en los demas casos.

17. Sea la matriz:

A =

x − 2 0 20 x − 2 00 0 x

a) Hallar los valores de x para los que A tiene inversa.

b) Hallar la matriz Y cuadrada de orden 3 que es solucion de la ecuacion matricialA · Y + B = I, siendo A la matriz anterior para x = 3, I es la matriz identidad deorden 3 y B es la matriz:

B =

1 0 −12 0 03 1 0

Solucion:


a) x 6= 0 ∧ x 6= 2

b) Y =

2 23

13

−2 1 0

−1 −13

13


A =

0 −1 −2−1 0 −21 1 3

; I =

1 0 00 1 00 0 1

Determinar si es posible un valor de λ para el cual la matriz (A−λI)2 sea la matriz nula.

Solucion: λ = 1

19. Discutir, en funcion del valor de a el rango de la matriz:

A =

a 1 00 1 3a 1 1

Para a = 2, ¿tiene A matriz inversa?. En caso afirmativo, calcularla.

Solucion: r(A) = 2 si a = 0 y r(A) = 3 en los demas casos. Para a = 2, resulta:

A−1 =

−1 −12

32

3 1 −3

−1 0 1

20. Dadas las matrices

C =

(

1 0 20 1 1

)

, D =

1 01 11 −1

determinar si C · D tiene inversa, y en ese caso, hallarla.

Solucion: Sı. (C · D)−1 =

(

0 12

−12

34

)

.

21. La matriz cuadrada X de orden 3 verifica la relacion:

X3 + X =

2 4 70 2 40 0 2

a) Determinar, si es posible, el rango de X.


b) ¿Verifica alguna de las matrices A y B siguientes la relacion del enunciado?

A =

1 1 10 0 10 0 1

, B =

1 1 10 1 10 0 1

Solucion: r(X) = 3. Sı, la B.

22. Se dice que una matriz cuadrada A de orden n es ortogonal si su inversa A−1 y sutraspuesta At coinciden. Dado un numero real x, sea B la matriz

B =

cos x sen x 0− sen x cos x 0

0 0 −1

a) ¿Es ortogonal la matriz B?.

b) ¿Es B2 ortogonal?.

Solucion: Sı. Sı.

23. Considerar las matrices:

A =

1 1 01 0 1−1 1 1

, B =

1 1 10 1 10 0 0

a) Determinar si A y B son invertibles y, en su caso, calcula la matriz inversa.

b) Resolver la ecuacion matricial BA − A2 = AB − X.

Solucion: B no tiene inversa, y

A−1 =1

3

1 1 −12 −1 1−1 2 1

, X =

2 1 11 2 0−2 0 2

24. El determinante∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 a 54 a2 138 a3 35

∣

∣

∣

∣

∣

∣

vale cero para a = 3. Comprobar esta afirmacion sin desarrollarlo e indicando las propie-dades de los determinantes que se apliquen. Determinar todos los valores de a para losque las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente depen-dientes. Justificar la respuesta.

Solucion: a = 0, 2, 3.


25. Sea C la matriz, que depende de un parametro m, dada por

C =

2 −1 m1 0 −1−2 1 1

a) ¿Para que valores del parametro m no tiene inversa la matriz C?.

b) Calcular la matriz inversa de C para m = 2.

Solucion: m = −1. C−1 = 13

1 3 11 6 41 0 1

26. Selectividad Junio 2000. Considerar la matriz

A =

1 2 1λ 1 00 1 λ

a) Hallar los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa.

b) Tomando λ = 1, resolver el sistema escrito en forma matricial

A

xyz

=

000

Solucion: λ = 0, 1; x = t, y = −t, z = t, para todo t ∈ R.

27. Selectividad Junio 2000. Dada la matriz

A =

(

1 23 4

)

calcular (AtA−1)2A.

Solucion:

(

32

112

2 6

)

.

28. Selectividad Septiembre 2000. Se considera la matriz

A =

1 0 −10 b 34 1 −b

a) Determinar para que valores del parametro b existe A−1.


b) Calcular A−1 para b = 2.

Solucion: b 6= 1 y b 6= 3; A−1 =

−7 −1 212 2 −3−8 −1 2

.

29. Selectividad Junio 2001. Sea

A =

sen x − cos x 0cos x sen x 0

sen x + cos x sen x − cos x 1

¿Para que valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcular dicha matriz inversa.

Solucion: la matriz inversa A−1 existe para todo valor de x; A−1 =

sen x cos x 0− cos x sen x 0−1 −1 1

.

30. SL. Consideremos las matrices

A =

(

3 24 3

)

, X =

(

xy

)

, U =

(

79

)

a) Hallar los valores de x e y tales que AX = U .

b) Calcular la matriz A−1 y determinar A−1U .

c) Encontrar los posibles valores de m para los que los vectores

A ·(

1m

)

y

(

1m

)

son linealmente dependientes.

Solucion: x = 3, y = −1; A−1 =

(

3 −2−4 3

)

, A−1U =

(

3−1

)

; m = ±√

2.

31. SL. Resolver la ecuacion matricial A2 · X = 2B, siendo

A =

(

1 −12 −3

)

y B =

(

1 −1 40 −3 1

)

,

Solucion: X =

(

14 −2 528 −2 30

)


32. SL. De las matrices

A =

(

1 23 4

)

, B =

(

1 2 34 5 6

)

, C =

(

1 13 3

)

, D =

1 2 30 1 20 0 1

determina cuales tienen inversa y en los casos que exista, calcula el determinante dedichas inversas.

Solucion: A y D tienen inversa, B y C no; |A−1| = −12, |D−1| = 1

33. SL. Se sabe que la matriz A =

a 0 −a0 −1 0b 0 b

verifica que det(A) = 1 y sus columnas

son vectores perpendiculares dos a dos.

a) Calcular los valores de a y b.

b) Comprobar que para dichos valores se verifica que A−1 = At, donde At denota lamatriz traspuesta de A.

Solucion: Dos soluciones: a =√

22

, b = −√

22

; a = −√

22

, b =√

22

.

34. SL. Determinar la matriz X tal que AX − 3B = 0, siendo

A =

1 0 −12 3 −70 1 −2

y B =

1 2−1 0−2 1

Solucion: X =

12 −1512 −399 −21

35. SL. Consideremos la matriz A =

1 0 −21 1 11 1 0

a) Calcular el determinante de las matrices 2A, A31 y (A31)−1.

b) Hallar la matriz A−1.

Solucion: −8, −1, −1; A−1 =

1 2 −2−1 −2 30 1 −1

36. SL. Consideremos la matriz A =

1 λ 1λ 1 λ0 λ 1


a) Determinar para que valores del parametro λ la matriz A no tiene inversa.

b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de A para λ = −2.

Solucion: λ = 1,−1. Para λ = −2, es A−1 =

1 0 −1−2

3−1

30

−43

−23

1

37. Selectividad Junio 2002. Determinar la matriz X que verifica la ecuacion AX = X−Bsiendo

A =

0 0 10 0 0−1 0 0

y B =

1 0 10 1 10 −1 −1

Solucion: X =

12

−12

00 1 1−1

2−1

2−1

38. Selectividad Septiembre 2003. Considerar las matrices

A =

1 0 01 m 01 1 1

, B =

0 1 11 0 00 0 0

y C =

1 0 00 1 01 0 1

a) ¿Para que valores de m tiene solucion la ecuacion matricial A · X + 2B = 3C?.

b) Resuelve la ecuacion matricial dada para m = 1.

Solucion: m 6= 0; X =

3 −2 −2−5 5 25 −3 3

39. Selectividad junio 2004. Considerar las matrices

A =

(

1 0 10 1 2

)

, B =

1 00 10 0

y C =

1 00 21 0

a) Calcular A ·B, A ·C, At ·Bt, Ct ·At siendo At, Bt y Ct las matrices traspuestas deA, B y C respectivamente.

b) Razonar cuales de las matrices A, B, C y A ·B tienen inversa y en los casos en quela respuesta sea afirmativa, hallarla.

Solucion:

(

1 00 1

)

,

(

2 02 2

)

,

1 0 00 1 01 2 0

,

(

2 20 2

)

.

La matriz A · B tiene inversa y (A · B)−1 =

(

1 00 1

)


40. Selectividad junio 2005. Sean las matrices

A =

(

2 13 −2

)

, B =

(

0 1 03 −1 2

)

, C =

(

1 2 0−1 1 4

)

a) ¿Tiene A inversa?. En caso afirmativo, calcularla.

b) Determinar la matriz X que cumple que A ·X +C ·Bt = B ·Bt, siendo Bt la matriztranspuesta de B.

Solucion: Sı, A−1 = 17A. X = 1

7

(

−4 61 −26

)

41. Selectividad septiembre 2005. Sabiendo que:

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b cd e fg h i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2

calcular, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) | − 3A| y |A−1|.

b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

c b af e d2i 2h 2g

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

c)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b a − cd e d − fg h g − i

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Solucion: | − 3A| = −54, |A−1| = 12; -4; -2.

42. Selectividad Junio 2006. Consideremos la matriz:

A =

(

a 10 −a

)

siendo a un numero real.

a) Calcular el valor de a para que

A2 − A =

(

12 −10 20

)

b) Calcular, en funcion de a, los determinantes de las matrices 2A, At, siendo At latraspuesta de A.


c) ¿Existe algun valor de a para el cual la matriz A es simetrica?. Razona la respuesta.

Solucion: a = 4; |2A| = −4a2, |At| = −a2; No.

43. Selectividad septiembre 2006. Resolver ABtX = −2C siendo Bt la traspuesta de lamatriz B y

A =

(

1 0 32 −1 0

)

, B =

(

−1 3 00 2 −2

)

, C =

(

1 40 −1

)

Solucion: X =1

14

(

−2 −145 21

)

44. Selectividad Junio 2007. Consideremos la matriz:

A =

(

1 −11 λ

)

a) Determinar la matriz B = A2 − 2A.

b) Determinar los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa.

c) Calcular B−1 para λ = 1.

Solucion:

a) B =

(

−2 1 − λλ − 1 λ2 − 2λ − 1

)

.

b) Existe B−1 cuando λ 6= −1 y λ 6= 3.

c) B−1 =

(

−12

00 −1

2

)

.

45. Selectividad septiembre 2007. Sea I la matriz identidad de orden 2, y sea:

A =

(

1 m1 1

)

a) Encontrar los valores de m para los cuales se cumple que (A− I)2 = O, donde O esla matriz nula de orden 2.

b) Para m = 2, hallar la matriz X tal que AX − 2At = 0, donde At denota la matriztraspuesta de A.

Solucion: m = 0; X = 2

(

3 1−1 0

)

.


46. Selectividad junio 2009. Sean F1, F2 y F3 las filas primera, segunda y tercera, respec-tivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale −2. Calcular, indicandolas propiedades utilizadas:

a) El determinante de B−1.

b) El determinante de (Bt)4 (Bt es la matriz traspuesta de B).

c) El determinante de 2B.

d) El determinante de una matriz cuadrada C cuyas filas primera, segunda y tercerason, respectivamente, 5F1 − F3, 3F3, F2.

Solucion: |B−1| = −12, |(Bt)4| = 16, |2B| = −16, |C| = 30.

47. Selectividad septiembre 2009. Sean las matrices

A =

1 −2 1−2 −1 11 0 −1

, B =

(

3 1 0−1 2 1

)

, C =

−2 11 −20 3

Determinar la matriz X que verifica AX − Bt = 2C (Bt es la matriz traspuesta de B).

Solucion: X = −1

4

7 25 187 30

Capıtulo 10

Sistemas de ecuaciones lineales

1. Considerar el sistema de ecuaciones:

2x − 2y − z = 4

x + 2y − 2z = −1

x − z = 1

a) ¿Existe una solucion del mismo en la que y = 0?.

b) Resolver el sistema homogeneo asociado al sistema dado.

c) Hacer una interpretacion geometrica tanto del sistema dado como de sus soluciones.

Solucion: Sı, x = 3, y = 0, z = 2. Para el segundo apartado x = 2t, y = t, z = 2t, t ∈ R.

2. Del sistema de dos ecuaciones con dos incognitas

ax + by + 1 = 0

a′x + b′y + c = 0

se sabe que x = 1, y = 2 es una solucion y que x = 7, y = 3 es otra solucion. ¿Que puedeafirmarse respecto de las soluciones del sistema?, ¿cuantas tiene?, ¿cuales son?.

Solucion: El sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de 1 parametro.Las soluciones son x = −11 + 6t, y = t.

3. Considerar el sistemax − y + z = 1

3x − 4y − 2z = −3

a) Anadir una ecuacion lineal al sistema anterior de modo que el sistema resultante seaincompatible.

111

CAPITULO 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 112

b) Si anadimos al sistema dado la ecuacion mx+y−z = −1, determinar para que valoresdel parametro m el sistema resultante es compatible indeterminado y resolverlo.

Solucion: Para el segundo apartado es m = −1, y entonces x = 1+6t, y = 1+5t, z = 1−t.

4. En un supermercado se ofrecen dos lotes formados por distintas cantidades de los mismosproductos.

El primer lote esta compuesto por una botella de cerveza, tres bolsas de cacahuetesy siete vasos y su precio es de 565 pts.

El segundo lote esta compuesto por una botella de cerveza, cuatro bolsas de cacahue-tes y diez vasos y su precio es de 740 pts.

Con estos datos, ¿se podrıa averiguar cuanto deberıa valer un lote formado por una botellade cerveza, una bolsa de cacahuetes y un vaso. Justifica la respuesta.

Solucion: Sı, y su precio serıa 215 pts.

5. Una tienda vende una clase de calcetines a 1 200 pts. el par. Al llegar las rebajas, duranteel primer mes realiza un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mesun 40% tambien sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares decalcetines por 597 600 pts. y que en las rebajas ha vendido la mitad de dicho total (decalcetines), ¿a cuantos pares de calcetines se les ha aplicado un descuento del 40%?.

Solucion: 120 pares.

6. Determinar segun los valores del parametro α cuando tiene solucion el sistema

αx + y + z = α2

αx + (1 − α)y + (α − 1)z = α2

αx + y + αz = 2α2

Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.

Solucion: Para α = 0 el sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de unparametro y su solucion es x = t, y = z = 0, t ∈ R. Si α 6= 0 y α 6= 1 es un sistema deCramer (solucion unica). En los demas casos es incompatible.

7. Por la abertura A del mecanismo de tubos de la figura se introducen 50 bolas que sedeslizan hasta salir por B. Sabemos que por el tubo W han pasado 10 bolas.


A

W Y Z

X

B

a) Justificar si es posible hallar el numero de bolas que pasan exactamente por cadauno de los tubos X, Y y Z.

b) Supongamos que podemos controlar el numero de bolas que pasan por el tubo Y .Escribir las expresiones que determinan el numero de bolas que pasan por los tubosX y Z en funcion de las que pasan por Y .

c) Se sabe un dato nuevo: por Y circulan 3 veces mas bolas que por Z. ¿cuantas circulanpor X, Y y Z?.

Solucion: No. Si x, y, z son el numero de bolas que pasan por X, Y, Z respectivamente,entonces x = 10 + y, z = 40 − y. Para el tercer apartado x = 40, y = 30, z = 10.

8. Sea el sistema de ecuaciones:

x + y = 1

my + z = 0

x + (1 + m)y + mz = 1 + m

a) Estudiar su comportamiento segun los valores del parametro m.

b) Resolverlo para m = 2.

Solucion:

m = 1, incompatible.

m = 0, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro: x = t, y =1 − t, z = 0.

m 6= 0 y m 6= 1, sistema de Cramer.

Para m = 2, resulta x = 2, y = −1, z = 2.


9. Discutir el siguiente sistema segun los valores del parametro b

x + y + bz = b2

−x + y + z = −3

bx + y + z = 3b

y resolverlo cuando sea compatible indeterminado.

Solucion:

b = 1, incompatible.

b = −1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro: x =2 + t, y = −1, z = t.

b 6= 1 y b 6= −1, sistema de Cramer (solucion unica).

10. Una persona trata de adivinar, mediante ciertas pistas, el coste de tres productos A, B yC que un amigo suyo ha comprado:

Pista 1: Si compro una unidad de A, dos de B y una de C me gasto 900 pts.

Pista 2: Si compro m unidades de A, m + 3 unidades de B y 3 de C me gasto 2 950 pts.

a) ¿Hay algun valor de m para el cual estas dos pistas no son compatibles?.

b) Si en la Pista 2 se toma m = 4, ¿es posible saber el coste de cada uno de losproductos?.

c) El amigo le dice finalmente que el producto C vale 5 veces lo que vale el productoA y que en la Pista 2 se tiene m = 4. ¿Cuanto valen A, B y C?.

Solucion: Sı, cuando m = 3. No. Si es x, y, z el precio de los productos A, B, C respecti-vamente, entonces x = 100, y = 150, z = 500.

11. Se considera el sistemax + 2y + 3z = −1

2x + 5y + 4z = −2

x + 3y + m2z = m

a) Discutir el sistema segun los valores del parametro m.

b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.

c) Razonar para que valores de m tiene inversa la matriz de los coeficientes del sistema.

Solucion:

m = 1, incompatible.


m = −1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro: x =−1 − 7t, y = 2t, z = t.

m 6= 1 y m 6= −1.

12. Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe una matriz invertible Ptal que AP = PB.

a) Probar que las matrices A =

(

1 21 0

)

y B =

(

2 00 −1

)

son semejantes.

b) Resolver los sistemas(

1 21 0

)(

xy

)

= 2

(

xy

)

y

(

1 21 0

)(

xy

)

= −(

xy

)

Solucion:

a) En efecto, basta tomar P =

(

2 11 −1

)

.

b) La solucion del primer sistema es x = 2t, y = t, t ∈ R y la del segundo es x = t, y =−t, t ∈ R.

13. Estudiar el siguiente sistema segun los valores del parametro k e interpreta geometrica-mente los resultados

2x + 2y + (k + 2)z = −5

x + y − 2z = 5

3x + ky − 6z = 5k

k = −6, sistema incompatible. Los tres planos no tienen ningun punto comun.

k = 3, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro. Los tresplanos contienen la recta

r ≡

x = t

y =5

3− t

z = −5

3

k 6= −6 y k 6= 3, sistema de Cramer. Los tres planos tienen un punto comun.

14. Discutir y resolver en caso de compatibilidad los siguientes sistemas segun los valores delparametro a:

a)

{

ax − y = 1

−2x + (a − 1)y = 2; b)

2x − y = 2

ax − 2y = 1

2x + ay = 2

x + 5y = a


Solucion:

Problema a)

• a = 2, incompatible

• a = −1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro:x = −1 − t, y = t.

• a 6= 2 ∧ a 6= −1, sistema de Cramer: x = 1a−2

, y = 2a−2

Problema b)

• a 6= 1, incompatible

• a = 1, sistema de Cramer: x = 1, y = 0


a)

{

ax + y = a2

x + a2y = 1; b)

ax + y + 3z = 3

x − y − z = 0

5x − 3y − 2z = 6

Solucion:

Problema a)

• a = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro: x =1 − t, y = t.

• a 6= 1, sistema de Cramer: x = a3+a2+a+1a2+a+1

, y = − aa2+a+1

Problema b)


• a 6= 3, sistema de Cramer: x = − 9a−3

, y = −6a+9a−3

, z = 6aa−3


a)

ax + y − z = 1

x + 2y + z = 2

x + 3y − z = 0

; b)

2x + y − z = 0

ax − y − z = a − 1

3x − 2az = a − 1

Solucion:

Problema a)


• a 6= 15, sistema de Cramer: x = 9

5a−1, y = 2a−4

5a−1, z = 6a−3

5a−1

Problema b)


• a = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro: x =2t, y = −t, z = 3t.

• a = −3, incompatible

• a 6= 1 ∧ a 6= −3, sistema de Cramer: x = a−1a+3

, y = −5(a−1)2(a+3)

, z = −a−1a+3


a)

2x + 3y − 4z = 1

4x + 6y − az = 2

x + y + az = 10

; b)

ax + y + z = 0

(a + 1)x + y − az = a

x + (a + 1)y = 2a

Solucion:

Problema a)

• a = 8, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro: x =29 − 28t, y = −19 + 20t, z = t.

• a 6= 8, sistema de Cramer: x = 29, y = −19, z = 0

Problema b)

• a = 0, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro: x =t, y = −t, z = t.


• a 6= 0 ∧ a 6= −1, sistema de Cramer: x = − 1a+1

, y = 2a2+2a+1(a+1)2

, z = −a2+a+1(a+1)2


a)

5x + 2y − z = 9

2x − 4y + 8z = a

x − 2y + 4z = 2

; b)

ax + y + z = 1

x + ay + z = a

x + y + az = a2

Solucion:

Problema a)

• a = 4, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro: x =11−3t

6, y = 21t−1

12, z = t.


Problema b)

• a = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de dos parametros: x =1 − s − t, y = s, z = t.



• a 6= 1 ∧ a 6= −2, sistema de Cramer: x = −a+1a+2

, y = 1a+2

, z = (a+1)2

a+2


a)

x + ay + z = a + 1

(a + 1)x + y − az = 0

2x + y − z = 1 − a

; b)

x − 2z = 3

4x + y = 5

2x + z = a

2x − 3z = a

Solucion:

Problema a)

• a = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro: x =2(t − 1), y = 4 − 3t, z = t.


• a 6= 1 ∧ a 6= 2, sistema de Cramer: x = −a2+a+2a−2

, y = 3a+2a−2

, z = −a(a+2)a−2

Problema b)


• a = 6, sistema de Cramer: x = 3, y = −7, z = 0


a)

3x − ay + 3z = 4

ax + y − z = 2

x − y + z = 1

ax + 4y − z = 5

; b)

x + y − z = 3

3x + 4y − z = 5

x + y − az = 3

ax + 2y + (a + 2)z = a2 − 2

Solucion:

Problema a)

• a = 2, sistema de Cramer: x = y = z = 1


• a 6= 2 ∧ a 6= −1, incompatible

Problema b)




• a 6= 6 ∧ a 6= 1, incompatible

21. Discutir y resolver en caso de compatibilidad el siguiente sistema segun el valor delparametro a:

x + y + z = 2

x + 2y − 3z = 8

ax − y − z = 1

x − y + z = −2

Solucion:

a = 2, sistema de Cramer: x = 1, y = 2, z = −1

a 6= 2, incompatible

22. Sea el sistema:x + 2y = 10

x − my = 5

a) Hallar para que valor de m es x = 0.

b) Hallar para que valor de m es incompatible el sistema.

Solucion: m = −1 ; m = −2

23. Sea el sistema:x + y + z = a + 1

x + y + (a − 1)z = a

x + ay + z = 1

a) ¿Para que valores de a es compatible y determinado?. Resolverlo para dichos valores.

b) ¿Para que valores de a es indeterminado?. Resolverlo para dichos valores.

c) ¿Es incompatible para algun valor de a?.

Solucion:

a) a 6= 1 ∧ a 6= 2. Las soluciones son:

x =a3 − a2 − 2a + 1

(a − 1)(a − 2), y = − a

a − 1, z = − 1

a − 2

b) Para ningun valor de a.

c) Para a = 1 y a = 2.


24. La suma de las tres cifras de un numero es 16, y la suma de la primera y la tercera es iguala la segunda. Permutando entre sı dichas cifras (primera y tercera) resulta un numeroque supera en 198 unidades al numero dado. ¿Cual es dicho numero?.

Solucion: 385

25. Varios amigos pagan en un bar 755 pts. por 5 cervezas, 3 bocadillos y 2 cafes. Al dıasiguiente consumen 3 cervezas, 2 bocadillos y 4 cafes por lo que pagan 645 pts.

a) Si al tercer dıa consumen 7 cervezas y 4 bocadillos, ¿que precio deberıan pagar porello?.

b) ¿Puede saberse de los datos anteriores el precio de una cerveza, o un bocadillo o uncafe?. Si ademas sabemos que un cafe vale 60 pts., ¿Puede saberse el precio de unacerveza o un bocadillo?.

Solucion:

a) 865 ptas.

b) No; Sı, 55 y 120 pts. la cerveza y el bocadillo respectivamente.

26. Selectividad Septiembre 2000. Se considera el sistema de ecuaciones

3x + 2y − 5z = 1

4x + y − 2z = 3

2x − 3y + az = b

a) Determinar a y b sabiendo que el sistema tiene infinitas soluciones.

b) Resolver el sistema resultante.

Solucion: a = 445, b = 5; x = 1 − t, y = −1 + 14t, z = 5t.

27. SL. Consideremos el sistema de ecuaciones:

λx + 2y = 3

−x + 2λz = −1

3x − y − 7z = λ + 1

a) Hallar todos los valores del parametro λ para los que el sistema correspondiente tieneinfinitas soluciones.

b) Resolver el sistema para los valores de λ obtenidos en el apartado anterior.

c) Discutir el sistema para los restantes valores de λ.


Solucion: λ = 1; para λ = 1 es x = 1 + 2t, y = 1 − t, z = t. Para λ = −7 el sistema esincompatible y si λ 6= 1,−7 el sistema es de Cramer.

28. SL. Consideremos la matriz

A =

1 2 1λ 1 00 1 λ

a) Hallar los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa.

b) Tomando λ = 1, resolver el sistema escrito en forma matricial

A ·

xyz

=

000

Solucion: λ = 0, 1; para λ = 1 es x = t, y = −t, z = t.

29. SL. Consideremos el sistema de ecuaciones:

x + λy + (λ − 1)z = 1

y + z = 1

2x + y − z = −3

a) Hallar todos los posibles valores del parametro λ para los que el sistema correspon-diente tiene al menos dos soluciones distintas.

b) Resolver el sistema para los valores de λ obtenidos en el apartado anterior.

c) Discutir el sistema para los restantes valores de λ.

Solucion: solamente λ = 3; para λ = 3 es x = −2 + t, y = 1 − t, z = t. Para λ 6= 3 elsistema es incompatible.

30. SL. Discutir y resolver el siguiente sistema segun los valores del parametro λ:

x + λy + z = 0

λx + y + z = 0

x + y + λz = 0

Solucion:

λ = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de 2 parametros: x = −s −t, y = s, z = t, para todos s, t ∈ R.

λ = −2, compatible con infinitas soluciones dependientes de 1 parametro: x = t, y =t, z = t, para todo t ∈ R.


λ 6= 1 y λ 6= −2, sistema de Cramer cuya solucion es la trivial x = y = z = 0.

31. SL. Consideremos el sistema escrito en forma matricial:

b 1 b0 b 11 b 1

xyz

=

−20−2

Discutir el sistema segun los valores del parametro b y resolverlo cuando sea compatibleindeterminado.

Solucion:

b = 1, compatible con infinitas soluciones dependientes de 1 parametro: x = −2, y =t, z = −t, para todo t ∈ R.

b = −1, incompatible.

b 6= 1,−1, sistema de Cramer.

32. SL. Sean A =

1 −2 −30 a 2a −1 a − 2

, B =

101

, X =

xyz

a) Determinar el rango de A en funcion del parametro a.

b) Discutir en funcion de a el sistema, dado en forma matricial, AX = B

c) Resolver AX = B en los casos que sea compatible indeterminado.

Solucion: r(A) =

{

2, si a = 1, 12

3, en otro caso. Para a = 1, el sistema es compatible con infinitas

soluciones dependientes de 1 parametro: x = 1 − t, y = −2t, z = t, para todo t ∈ R.Para a = 1

2es incompatible y si a 6= 1, 1

2es un sistema de Cramer.

33. SL. Consideremos el sistema:mx + y − z = 1

x − my + z = 4

x + y + mz = m

Discutirlo segun los valores de m. ¿Cual es, segun los valores de m, la posicion relativade los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?.

Solucion: Si m = 0, el sistema es incompatible: los tres planos no tienen ningun punto encomun. Si m 6= 0, el sistema es de Cramer: los tres planos se cortan en un unico punto.


34. SL. Resolver el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial: AX = −AX + B, siendo

A =

1 0 2−1 1 13 1 4

, B =

141

, X =

xyz

Solucion: x = − 910

, y = 25, z = 7

10

35. SL. Determinar a, b y c sabiendo que la matriz

A =

−3 1 11 a 2−1 b c

, verifica: A

123

=

294

y rango(A) = 2

Solucion: a = 1, b = 2329

, c = 3329

36. SL. Clasificar el siguiente sistema segun los valores del parametro m

2x + my = 0

x + mz = m

x + y + 3z = 1

Resolver el sistema anterior para m = 6.

Solucion: Para m = 0, sistema compatible con infinitas soluciones dependientes de 1parametro. Para m = 5, incompatible. Para m 6= 0, 5, sistema de Cramer. Cuando m = 6es x = −12, y = 4, z = 3.

37. SL. Un mayorista de cafe dispone de tres tipos base: Moka, Brasil y Colombia, parapreparar tres tipos de mezcla: A, B y C, que envasa en sacos de 60 Kg., con los siguientescontenidos en kilos y precios del kilo en euros:

Mezcla A Mezcla B Mezcla CMoka 15 30 12Brasil 30 10 18

Colombia 15 20 30Precio (cada Kg.) 4 4′5 4′7

Suponiendo que el preparado de las mezclas no supone coste alguno, ¿cual es el precio decada uno de los tipos base de cafe?.

Solucion: Precio Moka = 4 euros, Precio Brasil = 3 euros, Precio Colombia = 6 euros.


38. Selectividad Junio 2002. Determinar una matriz A simetrica (A coincide con su tras-puesta) sabiendo que

det(A) = −7 y A

(

2 6−1 −3

)

=

(

−4 −121 3

)

Solucion: A =

(

−1 22 3

)

39. Selectividad Septiembre 2003. Considerar las matrices

A =

−2 −2 1−2 1 −21 −2 −2

y X =

xyz

a) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcular los valores de λ para los que lamatriz A + λI no tiene inversa.

b) Resolver el sistema A · X = 3X e interpreta geometricamente el conjunto de todassus soluciones.

Solucion: λ = −3, 3; x = t, y = −2t, z = t, para todo t ∈ R, es decir, una recta.

40. Selectividad junio 2004. Considerar el sistema de ecuaciones

mx − y = 1

x − my = 2m − 1

a) Clasificar el sistema segun los valores de m.

b) Calcular los valores de m para los que el sistema tiene una solucion en la que x = 3.

Solucion: si m = 1 el sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de1 parametro; si m = −1 el sistema es incompatible. En los demas casos, es decir, sim 6= −1, 1 el sistema es de Cramer; m = 1,−4

3.

41. Selectividad septiembre 2004. Determinar a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

x + 3y + z = 1

−x + y + 2z = −1

ax + by + z = 4

tiene al menos dos soluciones distintas.

Solucion: si a = 4, b = 8.


42. Selectividad septiembre 2004.

a) Sabiendo que la matriz A =

3 −2 11 −4 −2−1 a − 1 a

tiene rango 2, ¿cual es el valor de

a?.

b) Resolver el sistema de ecuaciones:

3 −2 11 −4 −2−1 −6 −5

xyz

=

10−1

Solucion: a = −5;

x = −2 − 8t

y = −2 − 7t

z = 3 + 10t

43. Selectividad junio 2005. Considera el sistema de ecuaciones:

x + y + z = −2

−lx + 3y + z = −7

x + 2y + (l + 2)z = −5

a) Clasificar el sistema segun los valores del parametro l.

b) Resolver el sistema cuando sea compatible indeterminado.

Solucion: Para l = −1 el sistema es incompatible. Para l = −2, el sistema es compatiblecon infinitas soluciones dependientes de un parametro (compatible indeterminado) y su

solucion es

x = 1 − 2t

y = −3 + t

z = t

. Para l 6= −1,−2 el sistema es de Cramer (solucion unica).

44. Selectividad septiembre 2005. En una excavacion arqueologica se han encontradosortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjunta-mente 30 gramos. Ademas, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina siel mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetosque son del mismo tipo pesan lo mismo.

Solucion: moneda.


45. Selectividad junio 2006. Resolver el sistema:

2 0 51 1 −2−1 1 1

xyz

+

223

=

502

Solucion: x = 14, y = −5

4, z = 1

2.

46. Selectividad septiembre 2006. Considera el sistema de ecuaciones lineales:

lx − y − z = −1

x + ly + z = 4

x + y + z = l + 2

a) Clasificar el sistema segun los valores del parametro l.

b) Resolver el sistema para l = 2.

Solucion: Para l = 1 el sistema es incompatible. Para l = −1, el sistema es compatiblecon infinitas soluciones dependientes de un parametro (compatible indeterminado). Paral 6= ±1 el sistema es de Cramer (solucion unica). Cuando l = 2, es x = 1, y = 0, z = 3.

47. Selectividad junio 2007.

a) Calcular la matriz inversa de:

A =

1 1 00 1 11 0 1

b) Escribir en forma matricial el siguiente sistema y resolverlo usando la matriz A−1

hallada en el apartado anterior.

x + y = 1

y + z = −2

x + z = 3

Solucion: A−1 = 12

1 −1 11 1 −1−1 1 1

; x = 3, y = −2, z = 0.

48. Selectividad septiembre 2007. Considerar el sistema de ecuaciones:

ax + y + z = 4

x − ay + z = 1

x + y + z = a + 2


a) Resolverlo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado.

b) Resolver el sistema que se obtiene para a = −2.

Solucion: Para a = −1 el sistema es compatible indeterminado, en concreto, compatiblecon infinitas soluciones dependientes de un parametro, x = −3

2, y = 5

2− t, z = t, para

todo t ∈ R. Para a = −2, el sistema es de Cramer (solucion unica), x = −43, y = 1, z = 1

3.

49. Selectividad junio 2008. Un cajero automatico contiene solo billetes de 10, 20 y 50euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.

a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple numero de billetes de 10 que de 50?

b) Suponiendo que el numero de billetes de 10 es el doble que el numero de billetes de50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.

Solucion: No; 80, 10 y 40 billetes de 10, 20 y 50 euros respectivamente.

50. Selectividad junio 2008. Sea la matriz

A =

1 1 0m m2 m2

m m m2

a) Hallar los valores del parametro m para los que el rango de A es menor que 3.

b) Estudiar si el sistema

A ·

xyz

=

111

tiene solucion para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.

Solucion: m = 0, 1; para m = 0 el sistema es incompatible (no tiene solucion); param = 1, el sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de dos parametros(compatible indeterminado).

51. Selectividad septiembre 2008. Considerar el sistema de ecuaciones:

x + y + z = a − 1

2x + y + az = a

x + ay + z = 1

a) Discutirlo segun los valores del parametro a.

b) Resolverlo para a = 2.


Solucion: para a = 1 el sistema es incompatible; para a = 2 el sistema es compatible inde-terminado, en concreto, compatible con infinitas soluciones dependientes de un parametro,x = 1 − t, y = 0, z = t, para todo t ∈ R. Por ultimo, para a 6= 1, 2, el sistema es deCramer (solucion unica).

52. Selectividad septiembre 2008. Sabemos que el sistema de ecuaciones:

2x − y + 3z = 1

x + 2y − z = 2

tiene las mismas soluciones que el que resulta de anadirle la ecuacion ax + y + 7z = 7.

a) Determinar el valor de a.

b) Calcular la solucion del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma delos valores de las incognitas sea igual a la unidad.

Solucion: a = 8; x = 65, y = 1

5, z = −2

5.

53. Selectividad junio 2009. Una empresa embasadora ha comprado un total de 1 500cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 eurosrespectivamente. El coste total de la operacion ha sido de 40 500 euros. Calcular cuantoha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos ha compradoel 30% de las cajas.

Solucion: 13 500 euros en el primer mercado, 15 000 en el segundo y 12 000 en el tercero.

54. Selectividad septiembre 2009. Discutir segun los valores del parametro λ el siguientesistema:

3x + λy = 0

x + λz = λ

x + y + 3z = 1

y resolverlo para λ = 0.

Solucion: para λ = 0 el sistema es compatible con infinitas soluciones dependientes de unparametro, x = 0, y = 1 − 3t, z = t, para todo t ∈ R. Para λ = 6 es incompatible. Porultimo, para λ 6= 0, 6, el sistema es de Cramer (solucion unica).

libro 2 jcdelacruz algebra lineal

Documents