algebra lineal 2
TRANSCRIPT
PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR
Sean y vectores en tal que y
El producto escalar denotado es el escalar obtenido multiplicando las componentes correspondientes de los vectores y sumando los productos resultantes.
Ejemplo: Dado los vectores y Determina
Solución:
PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO
1.-
2.-
3.-
Definición (vectores ortogonales) : Dos vectores y se dicen ortogonales o perpendiculares si el producto escalar es cero, es decir .
Ejemplo: y
Ejercicios:
1.- Determina si los vectores son ortogonales
2.- Encuentra el valor de “k” para que los vectores u =(1,k,-2) y v =(2,-3,4) sean ortogonales.
NORMA DE UN VECTOR
Sea un vector en . La norma o longitud del vector ,
escrita se define como la raíz cuadrada no negativa de .
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 1
En resumen:
Ejemplo: Sea la norma de es
Ejercicio: Determina el valor de “k” tal que si
Definición ( vector unitario) Un vector es unitario si
Ejemplos:
OBSERVACIÓN:
En existen dos vectores unitarios especiales
vector en la dirección del eje X
vector en la dirección del eje Y
De tal forma que todo vector se puede representar de manera equivalente en la forma Además los vectores y son ortogonales
En existen tres vectores unitarios especiales
vector unitario en la dirección del eje X
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 2
vector en la dirección del eje Y
vector en la dirección del eje Z
De tal forma que todo vector se puede representar de manera equivalente en la forma
Los vectores , y son mutuamente ortogonales
Ejercicios :
1.- Consideremos los vectores . Determina cada uno de los siguientes valores a) b) c) d) f) g)
2.- Realiza las operaciones entre los vectores a) b) c) d) e) f)
3.- Encuentra el valor de para que el vector sea unitario
4.- El trabajo es un concepto físico que se define como el producto escalar entre los vectores fuerza aplicada y desplazamiento efectuado . Si en un periodo de tiempo una fuerza del espacio tridimensional dada por Newton permite que un cuerpo se desplace metros. Determina el trabajo realizado en esta acción. (Respuesta: 389 joule)
NORMALIZACION DE UN VECTOR
Normalizar un vector es el procedimiento para conseguir otro vector con la misma dirección y sentido que el vector original, pero de magnitud o módulo igual a 1.Para ello basta multiplicar el vector dado por el inverso de su norma, es decir:
Ejemplos: Normalizar los vectores y
Solución luego
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 3
luego
Ejercicios :
1.- Normalice los siguientes vectores a) b) c) d) e)
f)
2.- Si A = x donde a) Halla b) Normaliza A
DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES
Sea y vectores en
La distancia entre y denotada por se define como:
Ejemplo: Dado los vectores y .
Encuentra la distancia entre ambos vectores. Respuesta:
ANGULO ENTRE DOS VECTORES
Consideremos los vectores “ ” y “ ” y el ángulo formado por ellos . Se define
Ejemplo: Determina el ángulo formado por los vectores y
Solución: ; ;
Luego
Ejercicios
1.- Encuentra el ángulo determinado por los siguientes vectores
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 4
a) b) c)
d)
2.- Determina si los vectores forman un ángulo agudo, recto o obtuso.
3.- Indica el valor del coseno del ángulo entre y Respuesta: 0
4.- Dados y . Determina el coseno del ángulo entre
y si
y
Respuesta:
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Existe una operación especial para vectores y en llamada producto vectorial y denotada por .
Consideremos En notación de determinante el producto vectorial puede expresarse como sigue
Observación: da origen a un nuevo vector, cuya particularidad es tener una
dirección perpendicular a los vectores y , siempre y cuando estos últimos no estén
orientados en la misma dirección , ya que al ser y paralelos el producto vectorial es cero.
Ejemplo: Sea y . Calcula
Solución
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 5
Ejercicio: Calcula (Respuesta:
-
OBSERVACIÓN: Los productos vectoriales de son los siguientes
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
Sean , , vectores y escalar
1.-
2.-
3.-
Ejercicios
1) Efectúa las siguientes operaciones si: y
a) ;
b) ;
c) ;
d)
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 6
Respuestas: a) (4,-3,-5) ; (-4,3,5) b) (-10,20,-20); (-80,-40,0) c) (6,-12,-10) ; (-14,-23,-25)
2) Encuentra el vector en que es perpendicular a los vectores
.
Respuesta: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO CRUZ
Definición El área de un paralelogramo formado a partir de dos vectores y en R está dada por .
El módulo del producto vectorial de dos vectores equivale al área del paralelogramo definido por ambos.
Ejercicios :
1.- Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores y
a) Respuesta:
b) Respuesta:
c) Respuesta:
2.- Encuentra el área el área del paralelogramo si sus tres vértices son
Solución: Debemos encontrar primero el par de vectores que determinan el paralelogramo. Sean estos y
Luego . Entonces Área =
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 7
3- Encuentra el área el área del paralelogramo si sus tres vértices son
( Respuesta:
Definición: (Área De Un Triángulo)
Ejemplo: Encuentra el área del triángulo determinado por los puntos
Solución:
El paralelogramo queda determinado por los vectores . Luego el área del paralelogramo es 15
unidades cuadradas.
Entonces el área del triángulo es 7,5 unidades cuadradas
Ejercicios:
Encuentra el área del triángulo con vértices los puntos
a) (Respuesta: )
b) ( Respuesta )
c) (Respuesta
DEFINICIÓN: VOLUMEN DEL PARALELEPIPEDO
El volumen de un paralelepípedo de aristas , y se define como el valor
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 8
absoluto de es decir;
Ejemplo: Encuentra el volumen del paralelepípedo de aristas
Solución:
Ejercicio:
1.- Encuentra el volumen del paralelepípedo de aristas:a)
( Respuesta: 16)
b)
( Respuesta: 45)
b)
( Respuesta: 15)
2.- Determina el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas adyacentes son ( Resp 50)
ANGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Todo vector del espacio de tres dimensiones se
puede escribir en la forma
siendo ax, ay, az las componentes del vector y
los vectores vectores unitarios dirigidos
según los ejes coordenados X,Y,Z. El módulo del vector viene dado por:
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 9
(1)
Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos que forma con los ejes coordenados X,Y,Z, según muestra la Fig 1.1. Los cosenos directores se pueden obtener sin más que observar que:
(2)
De (1) y (2) se obtiene la relación entre los ángulos directores:
(3)
Ejercicios
1.- Encuentra la dirección del vector
Solución
luego
luego
luego
2.- Dado el vector . Determine sus ángulos directores
Respuesta:
3.- Dado los vectores
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 10
Encuentra los ángulos y cosenos directores del vector suma
Respuesta:
4.- Dado los vectores .
Determina los ángulos directores del vector
Respuesta:
Profesora: Cecilia Valencia Godoy 11