algebra lineal 2

13
PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR Sean y vectores en tal que y El producto escalar denotado es el escalar obtenido multiplicando las componentes correspondientes de los vectores y sumando los productos resultantes. Ejemplo : Dado los vectores y Determina Solución : PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO 1.- 2.- 3.- Definición (vectores ortogonales) : Dos vectores y se dicen ortogonales o perpendiculares si el producto escalar es cero, es decir . Ejemplo: y Ejercicios : 1.- Determina si los vectores son ortogonales Profesora: Cecilia Valencia Godoy 1

Upload: gmmezzano

Post on 03-Jul-2015

197 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Algebra Lineal 2

PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR

Sean y vectores en tal que y

El producto escalar denotado es el escalar obtenido multiplicando las componentes correspondientes de los vectores y sumando los productos resultantes.

Ejemplo: Dado los vectores y Determina

Solución:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO PUNTO

1.-

2.-

3.-

Definición (vectores ortogonales) : Dos vectores y se dicen ortogonales o perpendiculares si el producto escalar es cero, es decir .

Ejemplo: y

Ejercicios:

1.- Determina si los vectores son ortogonales

2.- Encuentra el valor de “k” para que los vectores u =(1,k,-2) y v =(2,-3,4) sean ortogonales.

NORMA DE UN VECTOR

Sea un vector en . La norma o longitud del vector ,

escrita se define como la raíz cuadrada no negativa de .

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 1

Page 2: Algebra Lineal 2

En resumen:

Ejemplo: Sea la norma de es

Ejercicio: Determina el valor de “k” tal que si

Definición ( vector unitario) Un vector es unitario si

Ejemplos:

OBSERVACIÓN:

En existen dos vectores unitarios especiales

vector en la dirección del eje X

vector en la dirección del eje Y

De tal forma que todo vector se puede representar de manera equivalente en la forma Además los vectores y son ortogonales

En existen tres vectores unitarios especiales

vector unitario en la dirección del eje X

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 2

Page 3: Algebra Lineal 2

vector en la dirección del eje Y

vector en la dirección del eje Z

De tal forma que todo vector se puede representar de manera equivalente en la forma

Los vectores , y son mutuamente ortogonales

Ejercicios :

1.- Consideremos los vectores . Determina cada uno de los siguientes valores a) b) c) d) f) g)

2.- Realiza las operaciones entre los vectores a) b) c) d) e) f)

3.- Encuentra el valor de para que el vector sea unitario

4.- El trabajo es un concepto físico que se define como el producto escalar entre los vectores fuerza aplicada y desplazamiento efectuado . Si en un periodo de tiempo una fuerza del espacio tridimensional dada por Newton permite que un cuerpo se desplace metros. Determina el trabajo realizado en esta acción. (Respuesta: 389 joule)

NORMALIZACION DE UN VECTOR

Normalizar un vector es el procedimiento para conseguir otro vector con la misma dirección y sentido que el vector original, pero de magnitud o módulo igual a 1.Para ello basta multiplicar el vector dado por el inverso de su norma, es decir:

Ejemplos: Normalizar los vectores y

Solución luego

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 3

Page 4: Algebra Lineal 2

luego

Ejercicios :

1.- Normalice los siguientes vectores a) b) c) d) e)

f)

2.- Si A = x donde a) Halla b) Normaliza A

DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES

Sea y vectores en

La distancia entre y denotada por se define como:

Ejemplo: Dado los vectores y .

Encuentra la distancia entre ambos vectores. Respuesta:

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

Consideremos los vectores “ ” y “ ” y el ángulo formado por ellos . Se define

Ejemplo: Determina el ángulo formado por los vectores y

Solución: ; ;

Luego

Ejercicios

1.- Encuentra el ángulo determinado por los siguientes vectores

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 4

Page 5: Algebra Lineal 2

a) b) c)

d)

2.- Determina si los vectores forman un ángulo agudo, recto o obtuso.

3.- Indica el valor del coseno del ángulo entre y Respuesta: 0

4.- Dados y . Determina el coseno del ángulo entre

y si

y

Respuesta:

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

Existe una operación especial para vectores y en llamada producto vectorial y denotada por .

Consideremos En notación de determinante el producto vectorial puede expresarse como sigue

Observación: da origen a un nuevo vector, cuya particularidad es tener una

dirección perpendicular a los vectores y , siempre y cuando estos últimos no estén

orientados en la misma dirección , ya que al ser y paralelos el producto vectorial es cero.

Ejemplo: Sea y . Calcula

Solución

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 5

Page 6: Algebra Lineal 2

Ejercicio: Calcula (Respuesta:

-

OBSERVACIÓN: Los productos vectoriales de son los siguientes

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

Sean , , vectores y escalar

1.-

2.-

3.-

Ejercicios

1) Efectúa las siguientes operaciones si: y

a) ;

b) ;

c) ;

d)

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 6

Page 7: Algebra Lineal 2

Respuestas: a) (4,-3,-5) ; (-4,3,5) b) (-10,20,-20); (-80,-40,0) c) (6,-12,-10) ; (-14,-23,-25)

2) Encuentra el vector en que es perpendicular a los vectores

.

Respuesta: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO CRUZ

Definición El área de un paralelogramo formado a partir de dos vectores y en R está dada por .

El módulo del producto vectorial de dos vectores equivale al área del paralelogramo definido por ambos.

Ejercicios :

1.- Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores y

a) Respuesta:

b) Respuesta:

c) Respuesta:

2.- Encuentra el área el área del paralelogramo si sus tres vértices son

Solución: Debemos encontrar primero el par de vectores que determinan el paralelogramo. Sean estos y

Luego . Entonces Área =

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 7

Page 8: Algebra Lineal 2

3- Encuentra el área el área del paralelogramo si sus tres vértices son

( Respuesta:

Definición: (Área De Un Triángulo)

Ejemplo: Encuentra el área del triángulo determinado por los puntos

Solución:

El paralelogramo queda determinado por los vectores . Luego el área del paralelogramo es 15

unidades cuadradas.

Entonces el área del triángulo es 7,5 unidades cuadradas

Ejercicios:

Encuentra el área del triángulo con vértices los puntos

a) (Respuesta: )

b) ( Respuesta )

c) (Respuesta

DEFINICIÓN: VOLUMEN DEL PARALELEPIPEDO

El volumen de un paralelepípedo de aristas , y se define como el valor

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 8

Page 9: Algebra Lineal 2

absoluto de es decir;

Ejemplo: Encuentra el volumen del paralelepípedo de aristas

Solución:

Ejercicio:

1.- Encuentra el volumen del paralelepípedo de aristas:a)

( Respuesta: 16)

b)

( Respuesta: 45)

b)

( Respuesta: 15)

2.- Determina el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas adyacentes son ( Resp 50)

ANGULOS DIRECTORES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Todo vector del espacio de tres dimensiones se

puede escribir en la forma 

siendo ax, ay, az las componentes del vector  y

los vectores  vectores unitarios dirigidos

según los ejes coordenados X,Y,Z. El módulo del vector viene dado por:

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 9

Page 10: Algebra Lineal 2

       (1)

Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos  que forma con los ejes coordenados X,Y,Z, según muestra la Fig 1.1. Los cosenos directores se pueden obtener sin más que observar que:

    (2)

De (1) y (2) se obtiene la relación entre los ángulos directores:

     (3)

Ejercicios

1.- Encuentra la dirección del vector

Solución

luego

luego

luego

2.- Dado el vector . Determine sus ángulos directores

Respuesta:

3.- Dado los vectores

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 10

Page 11: Algebra Lineal 2

Encuentra los ángulos y cosenos directores del vector suma

Respuesta:

4.- Dado los vectores .

Determina los ángulos directores del vector

Respuesta:

Profesora: Cecilia Valencia Godoy 11